P. Máster: Tecnología y Sistemas de comunicaciones Asignatura: … 2010... · 2010-03-04 · 4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema

P. Máster: Tecnología y Sistemas de comunicacionesAsignatura: Temas avanzados sobre RadiaciónAsignatura: Temas avanzados sobre Radiación,

Propagación y Dispersión de ondas electromagnéticas

h // /d i /d d / d

TEMA 1: Ecuaciones y principios electromagnéticos en radiación y dispersión

1

http://www.gr.ssr.upm.es/docencia/doctorado/prdoe

Manuel Sierra Castañer: [email protected] (C-410)

1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera2 Obtención de los potenciales retardados

Índice

2. Obtención de los potenciales retardados3. Radiación de un elemento de corriente 4. Principios y teoremas del electromagnetismo

4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema de reciprocidad 4.5 Teorema de reacción4.6 Teorema de equivalencia volumétrica

2

4.7 Teorema de equivalencia superficial 4.8 Teorema de inducción 4.9 Teorema de equivalencia física

Bibliografía: C.A. Balanis. “Advanced Engineering Electromagnetics”. Capítulos 6 y 7. Ed. John Wiley and Sons. 1989.

Pioneros del electromagnetismo

1 5

3

Ejercicio 1: ¿Quién es quién?

2

3 4

6

BjE

Ley de Faraday

L d A li d

CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico

H: Intensidad de campo magnético

1. Ecuaciones de Maxwell

HB

ED

0jJ

0B

D

JDjH

Ley de Amper generalizada

Ley de Gauss

Continuidad de Flujo Magnético

Ecuación de Continuidad

EcuacionesConstitutivasde la Materia

FUENTES: Densidad de carga eléctrica

J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción

MEDIO

D: Inducción de campo eléctricoB: Inducción de campo magnético

4

EJc

de la Materia: Permitividad eléctrica

: Permeabilidad magnética: Conductividad

j1jJE

jjH

EJ

cext

c

Permitividad Complejaen un medio con pérdidas

Condiciones de Frontera deConductor Perfecto.

Condiciones de Frontera deConductor Real

j1Zf1

1. Condiciones de frontera

0H0Hn

0E0En

nor

tan

Dn

HnJ

s

s

n

sJ

tanH0H

0E

0H0Hn

HZEn

nor

tans

n

J

tanH

z

e

J

H

E

Zf1 s

2

sdis JZRe2

1HERe

2

1P

tanEz

5

Condiciones de Fronteraentre dos Dieléctricos

n

1 2

21

21

21

21

BnBn

DnDn

HnHn

EnEn

1. Ecuaciones de Maxwell

EjJH

HjME

Ecuaciones de Maxwell generalizadas en un medio h é i l

mH

E

homogéneo: incluyen corrientes y cargas magnéticas equivalentes

Si se desarrollan, llegamos a las ecuaciones de onda vectoriales de E y H:

1

6

HMjJHH

HMjJH

HjMJHj

1

22

2

1JjMEE

1MjJHH

22

m22

2. Potenciales retardados (I)

7

• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell. Haciendo M=0 y m=0:

2. Potenciales retardados (II)

– (potencial vector magnético)

– (potencial escalar eléctrico)

A

AB0B

ya que 0A

AjE

BjE

8

AjE0AjE

AjE

ya que 0

AjE

EjJHEjJH

• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:

2. Potenciales retardados (III)

jAJAA

AAA

AjjJA

2

JAA

0jA2

• Condición de Lorentz (fijación de A)• Ecuación de Helmholtz para A

0jAED

9

2

0jA

Aj

Aj

ED

j

AAjE

0jA

AjE

Hj

1E

Fuera de

las Fuentes

• Se puede hacer lo mismo con las corrientes y cargas magnéticas (J=0, =0)

– (potencial vector eléctrico)F

F1

EFD0F0D

2. Potenciales retardados (IV)

– (potencial escalar magnético)m

FEFD0F0D

FjH0FjH

FjF1

jH

EjH

10

mFjH0FjH ya que 0m

FjE m

HjMEHjME

• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:

2. Potenciales retardados (V)

m2

m

jFMFF

FFF

FjHjMF

jj

MFF

0jF2

m

• Condición de Lorentz (fijación de F)• Ecuación de Helmholtz para F

0jFHB

11

mm

2m

m

mm

mm

mm 0jF

Fj

Fj

HB

j

FFjH

0jF

FjH

m

m

Ej

1H

Fuera de

las Fuentes

2. Potenciales retardados (VI)

Para calcular los campos totales E y H, aplicamos el principio de superposición:

A1

Fj

FjHHH

F1

Aj

AjEEE

FA

FA

12

3. Radiación de un elemento de corriente (I)

• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en elseno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas. z rz r

• Como en la ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:

• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:

Idl

x y

00 ,J I dS

dV dl dSz Idl

x y

00 ,J I dS

dV dl dSz

Ec. escalar, con fuente Jz puntual

z0z20

z22 JAk

dr

dAr

dr

d

r

1

z0z20

0022

0

020 JAk

k

rJrAkrA

13

La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:

Propagación hacia el

Propagación hacia el origen

La solución física del problema de radiación

Idl4

dVJ4

C 0z

01

Integrando la Ecuación Completasobre una esfera de r 0

La solución física del problema de reflexión

r

eCrA

r

eCrA

rjk

22z

rjk

11z

0

0

• Los campos que produce el elemento de corriente son:

1

A1

H0

z

senˆcosrIdle

Arjk

00

Sustituyendo

3. Radiación de un elemento de corriente (II)

Hj

1E

0

sencosrIdlr4

A

rjk32

020

320

0

rjk0r

0

0

er

1

r

jk

r

k

2

senˆr

1

r

jkcosr

k2

IdljE

er

1jk

r4

senIdlˆArAr

ˆH

ˆr4

esendlIkjE

ˆr4

esendlIjkH

rjk

0

rjk

0

0

0

Si k0r>>1 (r>>) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3

C d di ió

14

• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):

0 Campos de radiación:E r, H r, E H

S E H r I dl

k

r

1

2 322 2

2 2

2 2Re sen*

• Una distribución real de corriente

se supone formada por infinitos elementos P

z

j J r

r r dV P

z

j J r

r r dV

3. Radiación de una antena

dV de corriente J situados en r’.

• El potencial total radiado será la superposición.

dVrJrr

e

4rAd

rrjk0

0

r

x y

r

'rr

x y

r

'r

15

V

rrjk0 Vd

rr

erJ

4rA

0

S

rrjks0 Sd

rr

erJ

4rA

0

L

rrjk0 ld

rr

erI

4rA

0

Volumen Superficie Línea

• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max r >>, r (2D2)/

r r r

2 2 1 22 1 2

2 12

rrjk

0 erJ 0

3. Radiación de una antena (II)

R r r r r r r rr

r

r r

r

2 2 2 12

S

rrjks

rjk0 SderJ

r

e

4rA 0

0 R r

r r

rr r r

1

1

2

2

S

s0 Sdrr

erJ

4rA

r rmax

16

• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:

Hj

r A Hr E

E j r A r E H r

E H

E r

H r

r

P

x y

z

j

r

J r

r r

'rr

P

x y

z

j

r

J r

r r

'r

• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura

3. Radiación de una antena (III)

– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:

R r r

Js

P

R r r

Js

P

R r r r r r

17

r

r r

r

r

r r

r

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo

1. Teorema de dualidad

18


1. Teorema de dualidad: aplicación práctica

Dipolo eléctrico Dipolo magnético Cuadro eléctrico

Idl

x y

z r

00 ,

x y

z r

00 ,

dlIm2b2C

b

Io()

19

ˆ4

ˆ4

0

0

0

0

r

edlsenIkjE

r

edlsenIjkH

rjk

rjk

ˆ4

ˆ4

0

0

0

0

re

dlsenIk

jH

re

dlsenIjkE

rjk

m

rjk

m

Nota: los dipolos magnéticos se utilizan para representar los cuadros eléctricos, y generan los mismos campos radiados, haciendo:

ˆr4

esenIbkH

ˆr4

esenIbkE

rjk

o2

0

rjk

o2

0

0

0

o2

m IbjdlI

2. Teorema de unicidad En una región V, sin fuentes y con pérdidas, los campos E y H en dicha región son únicos y


E,Hv

S

Et, Ht

campos E y H en dicha región son únicos y quedan determinados:

- si se conocen las componentes tangenciales de E en la frontera S

-si se conocen las componentes tangenciales de H en la frontera S

- si se conocen en una parte de la frontera las componentes tangenciales de E y en la otra las d

20

de H.

- En un medio sin pérdidas se analiza como el límite cuando las pérdidas tienden a 0.

Aplicación práctica:

• De aquí se derivan los principios de equivalencia.

3. Teoría de imágenes


J

J

Resultadosválidos sólo para z 0

dV

Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido

dV

dV

h

h

z

E zt 0 0

Cargas y Corrientes Imágenes

>< E zt 0 0

21

J i

i

i

x y z

i x y z

J J x J y J z

J J x J y J z

Cargas y Corrientes Imágenes

zMyMxMJ

zMyMxMM

zyxi

zyx

mm,i

m

Si el conductor es magnético perfecto, los resultados son los duales.

3. Teoría de imágenes: aplicación práctica


><V

IIN

z

h I(z)

2V

IIN

z

2h

IIN

I(z)

><

I1

z

h

z

I1

h

I2=-I1h

22

MonopoloDipolo sobre un plano conductor

4. Teorema de reciprocidad

Dados dos conjuntos de corrientes eléctricas y magnéticas que radian un campo simultáneamente l i di l i f i l t d i id d l i l


en el mismo medio y a la misma frecuencia, el teorema de reciprocidad relaciona los campos creados por ambos conjuntos con dichas corrientes.

11 M,J 11 H,E

22 M,J 22 H,E

dvMHJEdvMHJEv

1212v

2121

Si

23

Aplicación práctica:• Propiedades en recepción son las mismas que en transmisión.• En medidas en campo próximo existe relación entre modos esféricos en transmisión y recepción

El teorema de reciprocidad en circuitos equivale a decir que las posiciones de un fuente de tensión ideal y de una fuente de corriente ideal se pueden intercambiar sin afectar el comportamiento.

nmsm

smn TR )()1(

5. Teorema de reacción


v 2121 dvMHJE2,1

v 1212 dvMHJE1,2

1,22,1

En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida en una fuente j debida a unafuente i multiplicada por el voltaje aplicado a dicha fuente i, es igual a la corriente inducida

24

en la fuente i, debida a la fuente j, multiplicada por el voltaje aplicado a la fuente j.

5. Teorema de reacción: aplicación práctica


V

V

Z Z Z

Z Z Z

I

IN

N

1

2

11 12 1

21 22 2

1

2

I1

I2

V1VN

IN

...

• Análisis de acoplos en arrays de antenas: jiij ZZ

25

• En obtención de la matriz del método de los momentos, sólo tienes que obtener la mitad superior/inferior de la matriz del sistema, porque las otras interacciones son las mismas.

V Z Z Z IN N N NN N1 2

V2

6. Teorema de equivalencia volumétrica


11 M,J oo H,E

11 M,J so EEE

so HHH

En el vacío:

Si se introduceun material (, ) :

eqeqss M,JH,E

EjJ oeq

26

HjM oeq

Aplicación práctica:

• Formulación volumétrica en método de los momentos para el cálculo de RCS, de modo que el mismo operador para medio dieléctrico te vale para medio conductor, sustituyendo el medio por Jeq y/o Meq.

7. Teorema de equivalencia superficial: principio de Huygens


Configuración física Campos internos y corrientes en la superficie

HE, HE,

11 H,E

)(ˆ)(ˆ

1

1E EnM

H HnJ

s

s

n

Principio de equivalencia de Love Situación con conductor eléctrico perfecto

27

p q

HE,

00,

E nMHnJ

ˆ

ˆ

s

sn

HE,

PEC

EnM ˆsn

p

Nota: se podría hacer lo dual con un conductor magnético perfecto

Análisis de una guía abierta o de una ranura sobre plano conductor


7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica

><as EnM ˆ

aE sJ ><as EnM ˆ

0sJ

PEC PECAire Aire Aire

as EnM ˆ

Aire Aire

><

Aire

0sJ)(imagen

Ms

as EnM ˆ2

Aire Aire

0sJ><

28

0sMsJ

0sM0sJ

0sM 0sM0sJ 0sJ

Transformación de campo próximo adquirido a campo lejano calculado en medida de


7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica

antenas

dipolew

Campo radiado por la f

29

antena en el infinito

8. Teorema de inducción (para dispersión)


a) Situación sin obstáculo b) Si se introduce un obstáculo

n

c) Principio de equivalencia d) Despejando H y E

J1

M1

1 1

1 1E1,H1

E1,H1

J1

M1

1 1

E=E1+Es

H=H1+HsEt,Ht

2 2

30)(ˆ

)(ˆts

ts

E EnM

H HnJ

i

i

c) Principio de equivalencia

1

1

E nM

HnJ

ˆ

ˆ

i

i

n n

d) Despejando H1 y E1

Et,Ht

2 2

Es, Hs

Et,Ht

2 2

1 11 1

Teorema equivalente de inducción para la dispersión de una placa conductora


8. Teorema de inducción (para dispersión): aplicación práctica

q p p pinfinitamente extensa:

><0 tt HE

Aire PEC

1ˆ2 EnMi

Aire Aire

1ˆ EnMi

ss HE ,

31

9. Teorema de equivalencia física (para dispersión)


E=E +Es Es Hs

PEC

n

J1

M1

1 1

E=E1+Es

H=H1+Hs

Et=Ht=0

0

ˆ

pM

H nJpn

1 1

E , H

-E1,-H1

1 1

32

p

a) Problema físico de dispersión de PEC

b) Problema equivalente

9. Teorema de equivalencia física (para dispersión): aplicación práctica

Formulación de óptica física para cálculo de el campo dispersado por un objeto (placa


Formulación de óptica física para cálculo de el campo dispersado por un objeto (placa metálica infinita).

><0 tt HE

Aire PEC

0

ˆ2 1

p

M

HnJ

Aire Aire

1ˆ EnMi

ss HE ,

33

0pM

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