ELEKTROTECHNIKA DLA NIEELEKTRYKÓW

ĆWICZENIA LABORATORYJNE. ZBIÓR ZADAŃ

Praca zbiorowa pod redakcją P. Zielińskiego

WROCŁAW 1999

PRZEDMOWA Skrypt niniejszy stanowi podstawową pomoc do przedmiotu Elektrotechnika prowadzonego dla studentów wydziału Mechanicznego w wymiarze: 30h - wykład, 15h - laboratorium. Pierwsza część skryptu zawiera opis 10. ćwiczeń laboratoryjnych. Ze względu na bardzo mały wymiar godzinowy wykładu, opis niektórych ćwiczeń został poszerzony o krótkie wprowadzenie teoretyczne, które powinno ułatwić studentom przygotowanie się do ćwiczeń, ich poprawne wykonanie oraz właściwą interpretację uzyskanych wyników. Tematyka większości ćwiczeń laboratoryjnych dotyczy silników elektrycznych, zwłaszcza silników indukcyjnych, których znajomość jest szczególnie przydatna w praktyce zawodowej inżynierów mechaników. Druga część skryptu jest zbiorem zadań wraz z rozwiązaniami oraz zadań do samodzielnego rozwiązania. Niewielki wymiar godzinowy wykładu w stosunku do zamierzeń programowych nie pozwala w jego ramach poświęcać dużo czasu na rozwiązywanie przykładowych problemów praktycznych, związanych z przerabianym materiałem. Niniejszy zbiór zadań ma na celu łagodzenie tej trudności. Umiejętność rozwiązywania zawartych w zbiorze i podobnych zadań jest jednym z podstawowych warunków zaliczenia przedmiotu. Nigdy bowiem dosyć przypominania studentom, że celem zdobywania wiedzy jest nie tylko satysfakcja z jej zdobycia, lecz głównie - możliwość i umiejętność jej stosowania w rozwiązywaniu problemów, jakie stawiać będzie przed każdym zawód i powołanie inżyniera. Skrypt jest pracą zbiorową. Poszczególne części skryptu opracowali: Olgierd Kasaty - Zadania 1do 3, Krystyna Kubzdela - Ćwiczenia 2; 4; 5; 6, Stefan Kubzdela - Ćwiczenia 7; 8; 9;10, i Piotr Zieliński, - Ćwiczenia 1; 3 i Zadania 4 i 5 oraz redakcja całości skryptu. Pragnę serdecznie podziękować zespołowi Współautorów za wyrozumiałość i współpracę, a studentom życzę owocnej lektury.

Piotr Zieliński

5

ĆWICZENIE Nr 1

POMIARY MOCY W TRÓJFAZOWYCH UKŁADACH PRĄDU PRZEMIENNEGO 1.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie wybranych metod pomiaru mocy w układach

trójfazowych prądu przemiennego, oraz nauczenie się stosowania tych metod w praktyce. 1.2. Program ćwiczenia

− praktyczne zapoznanie się z watomierzami ( budowa, zakresy pomiarowe, stała przyrządu),

− pomiary mocy odbiornika trójfazowego metodą jednego watomierza, − pomiary mocy odbiornika trójfazowego w układzie Arona (dwoma watomierzami).

1.3. Wiadomości ogólne Ważnymi parametrami służącymi do opisu danego odbiornika prądu przemiennego,

oceny poprawności jego pracy, stopnia wykorzystania czy sprawności są moce: czynna P., bierna Q, i pozorna S oraz współczynnik mocy cosϕ. W układach służących do pomiarów bądź wyznaczania wartości tych parametrów używane są watomierze. Watomierze różnią się od większości przyrządów pomiarowych tym, że posiadają dwa obwody pomiarowe: prądowy i napięciowy. Obwód prądowy stanowi nieruchoma cewka a obwód napięciowy lekka ruchoma cewka - zwykle połączona w szereg z rezystorem o dużej rezystancji. Wzajemne oddziaływanie prądów płynących w tych cewkach generuje moment obrotowy powodujący wychylenie wskazówki przyrządu. Moment ten jest proporcjonalny do iloczynu chwilowych wartości obydwu prądów (iI⋅iU). Ponieważ są to prądy sinusoidalne o częstotliwości f, moment ma charakter pulsujący o częstotliwości 2f. Bezwładność organu ruchomego przyrządu sprawia, że jego wychylenie (α) jest proporcjonalne do średniej wartości tego iloczynu.

α ∝ = ∠∫1

0Ti i dt I I I II U

T

I U I Ucos ( , ) (1)

Ponieważ obwód cewki napięciowej ma charakter praktycznie czysto rezystancyjny, prąd

płynący w mim jest w fazie z napięciem na jego zaciskach. Zatem można napisać:

),(cos UIUI UIUI ∠∝α (2)

Jeśli zatem watomierz włączyć do układu w sposób pokazany na rys.1.1, tak aby przez

cewkę prądową płynął prąd odbiornika a na obwodzie napięciowym było napięcie odbiornika, to wskazanie przyrządu będzie proporcjonalne do mocy czynnej pobieranej przez odbiornik gdyż

odbodbodbUI UIUI ϕcos),(cos),(cos =∠=∠ (3)

6

*

IU V

II

*

A

OD

BIO

RN

IK

Rys.1.1. Sposób włączenia watomierza do układu pomiarowego.

Zatem

odbodbodbodb kPUkI == ϕα cos (4) gdzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Zaciski obwodów prądowego i napięciowego watomierza są wyprowadzone na jego

obudowę. Zaciski odpowiadające początkom cewek są oznaczone gwiazdką lub strzałką co ułatwia prawidłowe włączenie watomierza w układ pomiarowy. Zmiana biegunowości przyłączenia jednej z cewek skutkuje zmianą kierunku wychylenia się wskazówki przyrządu.

Zwykle watomierze mają kilka zakresów pomiarowych, zarówno prądowych jak i napięciowych, które można wybierać w zależności od spodziewanego prądu i napięcia za pomocą odpowiednich przełączników. Ponieważ wskazanie watomierza jest zależne od iloczynu trzech różnych parametrów, może się zdarzyć, że nawet przy niewielkim wskazaniu, lub jego braku, prąd lub napięcie podawane na watomierz przekraczają wartości znamionowe użytych zakresów, co może prowadzić do uszkodzenia cieplnego przyrządu. Aby tego uniknąć, watomierzowi pracującemu w układzie pomiarowym musi zawsze towarzyszyć amperomierz włączony w szereg z jego cewką prądową oraz woltomierz włączony równolegle do cewki napięciowej. Przy zmianie zakresów pomiarowych watomierza należy się kierować głównie wskazaniami tych przyrządów. Dla wygody należy się starać aby zakresy współpracujących przyrządów były jednakowe. Równoległy pomiar mocy czynnej, napięcia i prądu pozwala wyznaczyć moce bierną i pozorną oraz współczynnik mocy. Konstrukcja watomierza przewiduje możliwość pewnego przeciążenia danego obwodu bez niebezpieczeństwa jego przegrzania. Możliwość ta jest często wykorzystywana w przypadku niewielkich wychyleń wskazówki co ma miejsce przy małych wartościach współczynnika mocy. Wartości dopuszczalnych przeciążeń są podawane na przyrządzie.

W przypadku gdy napięcie lub prąd badanego obiektu przekraczają wartości znamionowych zakresów przyrządów będących do dyspozycji to przyrządy te łączy się za pośrednictwem transformatorów pomiarowych o znanych przekładniach (przekładników). Stosowanie przekładników ma oprócz transformowania prądu do wartości dogodnej dla pomiarów również i tę zaletę, że jednocześnie izoluje układ pomiarowy od niebezpiecznego napięcia obwodu badanego. Ma to szczególne znaczenie w obwodach wysokiego napięcia. Sposób połączenia watomierza z zastosowaniem przekładników pokazuje rys.1.2.

7

**

VWA

OD

BIO

RN

IK

K

lk

L

Mm

n N

Rys.1.2. Układ pomiarowy z zastosowaniem przekładników.

1.4. Stałe przyrządów pomiarowych Wskazania przyrządów wielozakresowych są zwykle odczytywane w działkach (α), a

wartość wielkości mierzonej jest obliczana jako iloczyn liczby działek α i tzw. stałej przyrządu c, która określa wartość wielkości mierzonej odpowiadającą przy określonym zakresie pomiarowym jednej działce na skali. Stałe poszczególnych przyrządów oblicza się z wzorów:

stała woltomierza –

uN

V kU

cmaxα

= (5)

stała amperomierza –

IN

A kI

cmaxα

= (6)

stała watomierza –

IuNN

W kkIU

cmaxα

= (7)

w których: αmax – maksymalna liczba działek na skali przyrządu, UN – zakres napięciowy, IN - zakres prądowy, kU – przekładnia przekładnika napięciowego, kI - przekładnia przekładnika prądowego. Jeżeli przekładniki nie są stosowane w układzie to kU i kI są równe 1. 1.5. Metody pomiaru mocy w układach trójfazowych 1.5.1. Pomiar mocy metodą jednego watomierza Metoda ta może być stosowana jedynie w symetrycznych układach trójfazowych z

dostępnym punktem zerowym (rys.1.3). Wymagana symetria dotyczy zarówno obiektu badanego jak i źródła zasilania. Ponieważ napięcia i prądy oraz współczynniki mocy w każdej fazie są takie same pomiar mocy czynnej dokonywany jest tylko na jednej fazie. Na podstawie zmierzonych wartości P1f , Uf, If można obliczyć moc czynną, pozorną i bierną oraz współczynnik mocy odbiornika trójfazowego z wzorów:

ff PP 13 3= (8)

8

fff IUS 33 = (9)

23

233 fff PSQ −= (10)

f

f

SP

3

3cos =ϕ (11)

a)

VB

C

0

A

OD

BIO

RN

IK

3 FA

ZOW

YSY

MET

RYC

ZNY

A*

* W

b)

* WA

K

lk

L

VB

C

0

A

OD

BIO

RN

IK

3 F

AZ

OW

YS

YM

ET

RY

CZ

NY

*

Rys.1.3. Układy pomiarowe pomiaru mocy trójfazowej w układzie symetrycznym

z dostępnym punktem zerowym: a- bez przekładników, b- z przekładnikami..

1.5.2. Pomiary mocy metodą dwu watomierzy (w układzie Arona) W przypadku gdy odbiorniki lub źródła zasilania są niesymetryczne, pomiary mocy

można przeprowadzić oddzielnie na każdej fazie za pomocą 3. watomierzy i zsumować wyniki celem uzyskania mocy całkowitej. W praktyce stosuje się tańszą i wygodniejszą metodę wymagającą jedynie dwóch watomierzy i nie wymagającą przy tym dostępu do punktu zerowego, zwaną układem Arona. Schematy układów pomiarowych przedstawia rys.1.4.

Jak widać, przez cewki prądowe watomierzy płyną prądy dwóch faz. Początek cewki napięciowej danego watomierza jest przyłączony do fazy do której przyłączona jest jego cewka prądowa a koniec cewki do fazy w której nie ma watomierza.

Wartość chwilowa mocy w układzie trójfazowym wynosi:

p u i u i u if A A B B C3 C= + + (12) Ponieważ suma wartości chwilowych prądów przewodowych jest równa zero.

9

i i iA B C+ + = 0 (13)

zależność (12) można przekształcić do postaci:

p u i u i u i i u u i u u i u i u if A A B B C A B A C A B C B AC A BC3 = + + − − B= − + − = +( ) ( ) ( ) (14)

a)

V

C

A

OD

BIO

RN

IK

3 FA

ZOW

Y

** W

** WA

B

A

VV

A

b) C

A

OD

BIO

RN

IK

3 FA

ZOW

Y

BV V

VA

K

lk

L

** W

A

K

lk

L

** W

Rys.1.4. Schematy do pomiaru mocy w układach trójfazowych metodą Arona: a- bez przekładników, b- z przekładnikami..

Moc czynna, równa wartości średniej tego przebiegu wyniesie:

PT

u i u i dt U I U I U I U IAC A

T

AC A AC A AC A BC B BC B= + = ∠ + ∠∫1

0

( ) cos ( , ) cos ( , ) (15)

Porównując to wyrażenie z wzorem (2) łatwo zauważyć, że jego prawa strona jest równa sumie wskazań obydwu watomierzy (WI i WII) pracujących w układzie Arona. Zatem moc odbiornika trójfazowego można obliczyć jako:

P W WI II= + (16)

Prawdziwość zależności (16) szczególnie łatwo wykazać dla przypadku odbiornika

symetrycznego. Z przykładowego wykresu wektorowego dla takiego odbiornika (rys.1.5) wynika, że wskazania poszczególnych watomierzy wynoszą:

)30cos( ϕ−= o

ACAI UIW (17) )30cos( ϕ+= o

BCBII UIW (18)

10

Dla układu symetrycznego można napisać: IA=IB=I oraz UB AC=UBC=U, przy czym I oraz U są wartościami przewodowymi, odpowiednio, prądu i napięcia w układzie trójfazowym. Suma wskazań obydwu watomierzy jest równa mocy czynnej układu trójfazowego gdyż

fIII PUIIUIUWW 3cos3)30cos()30cos( ==+°+−°=+ ϕϕϕ (19)

Różnica wskazań watomierzy wynosi:

ϕϕϕ sin)30cos()30cos( UIIUIUWW III =+°−−°=− (20)

UA

UC

UB

-UC

-UC

UBC

UAC

IA

IB

IC

ϕ

3 0 ° + ϕ

3 0 ° − ϕ

ϕ

ϕ

Rys.1.5. Wykres wektorowy prądów i napięć w układzie Arona

co jest równe mocy biernej odbiornika trójfazowego podzielonej przez 3 .

Podsumowując można napisać, że w układzie Arona: moc czynna - IIIf WWP +=3 (21)

moc bierna - )(33 IIIf WWQ −= (22)

moc pozorna - UIS f 33 = (23) Należy jednak pamiętać, że jakkolwiek wzór (21) jest ważny również w przypadku

układów niesymetrycznych, to z wzoru (22) można korzystać tylko dla obwodów symetrycznych, a w innych przypadkach dla obliczenia mocy biernej stosować zależność(10).

11

1.6.Opis wykonania ćwiczenia 1.6.1. Pomiar metodą jednego watomierza W ćwiczeniu należy przeprowadzić pomiary mocy wskazanego przez prowadzącego

odbiornika trójfazowego. Na wstępie należy zapoznać się z danymi znamionowymi badanego obiektu i na tej podstawie dobrać potrzebne przyrządy pomiarowe. Następnie należy połączyć układ do pomiaru metodą jednego watomierza (rys.1.3) i wykonać pomiary mocy zasilając odbiornik napięciem znamionowym. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 1.1. Na podstawie uzyskanych wyników obliczyć z wzorów (9,10,11) moce bierną Q i pozorną S oraz współczynnik mocy cosϕ.

Tabela 1.1. Wyniki pomiarów Wyniki obliczeń

U I P Q S cos ϕ l.p. αV cV V αA cA A αW cW W var VA -

Uwagi

1.6.2. Pomiar mocy w układzie Arona Dla tego samego odbiornika jak w p.1.6.1. należy przeprowadzić pomiar mocy w

układzie Arona. Po połączeniu układu pomiarowego wg rys.1.4 należy zasilić odbiornik napięciem znamionowym i dokonać odczytów przyrządów. Wyniki zestawić w tabeli 1.2.

Tabela 1.2.

Wyniki pomiarów Wyniki obliczeń UI UII II III WI WII Uśr Iśr P Q S cos ϕ l.p.

V A W V A W var VA - Uwagi

Na podstawie pomiarów obliczyć moce: czynną P, bierną Q i pozorną S oraz

współczynnik mocy odbiornika cosϕ. 1.7. Opracowanie wyników pomiarów Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać:

− opracowany protokół z pomiarów wraz z wynikami pomiarów i obliczeń zestawionych w tabelach,

− uwagi i wnioski dotyczące porównania obydwu zastosowanych metod pomiaru mocy. 1.8. Pytania kontrolne

1. Scharakteryzować metody pomiaru mocy odbiorników jednofazowych i trójfazowych. 2. Opisać budowę watomierza. Od czego zależy wartość wskazania watomierza? 3. Dlaczego przy pomiarach watomierzem należy równocześnie mierzyć prąd jego cewki

prądowej i napięcie na cewce napięciowej? 4. Co to jest stała watomierza? Podać wzór do jej obliczenia. 5. Jakie warunki muszą być spełnione aby można było zastosować do pomiaru mocy

odbiornika trójfazowego: a) układu z jednym watomierzem, b) układu Arona? 6. Jaki jest cel stosowania przekładników prądowych i napięciowych?

12

ĆWICZENIE NR 2

BADANIE OBWODÓW PRĄDU PRZEMIENNEGO ZAWIERAJĄCYCH ELEMENTY R, L, C

2.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie właściwości obwodów prądu przemiennego

zawierających elementy R, L, C. 2.2. Program ćwiczenia - pomiary prądów, napięć i mocy w obwodach zawierających elementy R, L, C a) połączone szeregowo, b) połączone równolegle, - wyznaczenie charakterystyki Z=f(f) 2.3. Omówienie programu ćwiczenia 2.3.1 Uwagi ogólne 2.3.1.1. Szeregowe połączenie elementów R, L, C Podstawowymi elementami odbiornikowymi w obwodach prądu przemiennego są

elementy zawierające rezystancję R (rezystory), indukcyjność L (cewki, dławiki) oraz pojemność C (kondensatory). Elementy te mogą być połączone szeregowo i równolegle.

Przy połączeniu szeregowym (rys.2.1a) przez wszystkie elementy płynie ten sam prąd i.

R CL

u

i

uR uL uC

a)

Błąd! Nieprawidłowe łącze. b)

d) c)

UU C

U L

U R

U C

U L

I

ϕ Z

XC

R

XL

ϕ

13

Rys. 2.1 Obwód z elementami R, L, C połączonymi szeregowo; a) układ połączeń, b) przebiegi czasowe prądu i napięć, c) wykres wektorowy, d) trójkąt impedancji.

W przypadku, gdy jest to prąd sinusoidalny, tIi ωsin2= , napięcia na elementach R, L, C będą również sinusoidalne (rys.2.1b), a ich wartości chwilowe wyniosą:

tIRiRuR ωsin2== (1)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

2sin2 πωω tLI

dtdiLuL (2)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∫=

2sin121 πω

ωt

CIidt

CuC (3)

Z powyższych zależności wynika: - napięcie na rezystancji uR jest w fazie z prądem, - napięcie na indukcyjności uL wyprzedza prąd o kąt π /2, - napięcie na pojemności uC jest opóźnione względem prądu o kąt π /2. Wartości skuteczne tych napięć wynoszą:

IRU R = , (4)

LL XILIU == ω , (5)

CC XIC

IU ==ω

1, (6)

gdzie: XL, XC - reaktancje: indukcyjna i pojemnościowa. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, suma napięć chwilowych na poszczególnych elementach obwodu równa jest napięciu wypadkowemu

CLR uuuu ++= (7) Ponieważ wszystkie napięcia składowe są funkcjami sinusoidalnymi o tej samej

częstotliwości, napięcie wypadkowe jest również sinusoidalne ( ϕω += tUu sin2 ) (8)

Wartość skuteczną napięcia wypadkowego (U) uzyskuje się w wyniku geometrycznego zsumowania napięć skutecznych (4), (5) i (6)

CLR UUUU ++= (9) Równaniu (9) odpowiada wykres wektorowy przedstawiony na rys.2.1c, z którego

wynika: ( )22

CLR UUUU −+= (10) Kąt przesunięcia fazowego ϕ między prądem i napięciem jest równy:

R

CL

UUU

arc−

= tgϕ (11)

Stosunek skutecznych wartości napięcia i prądu na zaciskach danego obwodu nosi nazwę impedancji

IUZ = . (12)

Zależność (12) często nazywana jest prawem Ohma dla obwodów prądu przemiennego. Z rys. 2.1d, zwanego trójkątem impedancji, wynika

( )22CL XXRZ −+= (13)

oraz

14

RXX

arc CL −= tgϕ . (14)

Z zależności (2) i (3) wynika z kolei, że napięcia UL i UC przesunięte są względem siebie o 180°. Oznacza to, że napięcia te w większym lub mniejszym stopniu kompensują się. Stan, w którym dochodzi do pełnej kompensacji obu napięć (UL−UC=0) nazywany jest rezonansem napięć. Ponieważ UL=XLI, a UC=XCI rezonans napięć wystąpi, gdy

CL XX = (15) Częstotliwość fo , przy której dochodzi do rezonansu, nazywana jest częstotliwością

rezonansową. Jej wartość wynika z warunku (15) i wynosi:

LCfo π2

1= (16)

Podczas rezonansu napięć impedancja obwodu Z=R , zatem prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną. W konsekwencji tego napięcia na cewce i kondensatorze mogą być dużo większe od napięcia zasilającego układ. Zależność prądu oraz impedancji obwodu szeregowego od częstotliwości pokazano na rys. 2.2.

Błąd! Nieprawidłowe łącze. Rys. 2.2 Zależność impedancji oraz prądu od częstotliwości

Obwody rezonansowe znajdują zastosowanie jako filtry w układach elektronicznych. 2.3.1.2 Równoległe połączenie elementów R, L, C Rys.2.3 przedstawia obwód z równolegle połączonymi elementami R, L, C.

R CLu

i

iR iL iC ϕU

I C

I L

I R

I C

I L

I Y

BC

G

BL

ϕ

a) b) c)

Rys. 2.3. Obwód z elementami R, L, C połączonymi równolegle; a) układ połączeń, b) wykres wektorowy c) trójkąt admitancji.

W obwodzie tym, zgodnie z I prawem Kirchhoffa, chwilowa wartość prądu wypadkowego i jest równa sumie prądów chwilowych w poszczególnych gałęziach:

CLR iiii ++= (17) Ponieważ wszystkie elementy tego obwodu są zasilane napięciem sinusoidalnym

tUu ωsin2= , prądy iR, iL oraz iC mają charakter sinusoidalny. Prąd wypadkowy ma postać:

( ϕω −= tIi sin2 ) (18) Jego wartość skuteczną (I) otrzymuje się w wyniku geometrycznego zsumowania prądów

skutecznych w poszczególnych gałęziach: CLR IIII ++= (19)

Równaniu (19) odpowiada wykres wektorowy przedstawiony na rys. 2.3b, z którego wynika:

15

( )22CLR IIII −+= (20)

Kąt przesunięcia fazowego ϕ pomiędzy prądem wypadkowym I i napięciem U wynosi:

R

CL

III

arc−

= tgϕ (21)

Rozwiązanie obwodów równoległych upraszcza się po wprowadzeniu admitancji, zdefiniowanej jako

UI

ZY ==

1 (22)

Z rys. 2.3c, zwanego trójkątem admitancji, wynika że admitancja obwodu wynosi ( )22

CL BBGY −+= (23) gdzie:

UI

RG R==

1 - konduktancja,

UI

XB L

LL ==

1 - susceptancja indukcyjna,

UI

XB C

CC ==

1 - susceptancja pojemnościowa.

Kąt przesunięcia fazowego między prądem wypadkowym a napięciem jest równy:

GBB

arc CL −= tgϕ (24)

Stan, w którym w obwodzie równoległym (rys.2.3a) dochodzi do pełnej kompensacji prądów płynących w gałęziach zawierających elementy L i C (IL−IC=0), nazywany jest rezonansem prądów. Rezonans prądów wystąpi gdy:

CL BB = Ma wtedy miejsce oscylacja prądu i energii między elementami L i C. Energia pola

magnetycznego cewki ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 2

21 iLWL w każdej połówce okresu zamienia się na energię pola

elektrycznego kondensatora ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ = 2

21 uCWC i odwrotnie. Prąd oscylujący nie jest pobierany ze

źródła mimo często dużych wartości prądów jakie płyną przez elementy L i C. Zjawisko to wykorzystuje się w praktyce do budowy filtrów oraz do kompensacji mocy biernej.

W obwodach prądu przemiennego zawierających elementy R, L, C oprócz mocy czynnej, która określa rzeczywistą przemianę energii P=I2 R , definiuje się dodatkowo moc bierną Q=I2X i pozorną S=I2 Z=U⋅ I. Z rys. 2.4, zwanego trójkątem mocy, wynika:

ϕϕ coscos IUSP ⋅=⋅= (25) ϕϕ sinsin UISQ == (26)

22 QPS += (27) Stosunek P/S=cosϕ nosi nazwę współczynnika mocy.

S

P

ϕQ = (QL - QC)

16

Rys. 2.4 Trójkąt mocy

2.3.2 Badanie obwodu szeregowego Pomiary napięć, prądu i mocy pobranej z sieci przez elementy R, L, C połączone

szeregowo prowadzone będą w układzie jak na rys. 2.5.

** W

V

A

f VV V

RR1 L

W1

W

I

AT

U

C1 C2 C3

UCURURL

ULUR1

Do oscyloskopu

Rb

Rys. 2.5 Układ pomiarowy obwodu szeregowego

W układzie tym cewkę rzeczywistą przedstawiono w postaci dwóch elementów

idealnych: rezystora R i cewki o indukcyjności L. Przed włączeniem układu należy ustawić autotransformator w pozycji U=0. Po

zamknięciu wyłącznika W należy zwiększać napięcie zasilające zwracając uwagę na to, by nie przekroczyło ono wartości napięć znamionowych podanych na elementach L i C. Pomiary należy wykonać dla trzech różnych wartości pojemności. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 2.1.

Tabela 2.1. Lp

U

I

Moc cosϕ

UR1

URL

UR

UL

UC

R1

R

XL

L

XC

C

Z

Uwagi

α cW P V A dz W/dz W - V V V V V Ω Ω Ω mH Ω μF Ω

f =...Hz

W powyższej tabeli:

WcP ⋅= α ,

UIP

=ϕcos ,

1cos RR UUU −= ϕ ,

17

22RRLL UUU −= ,

IUR R1

1 = ,

IUR R= ,

IUX L

L = ,

fX

L L

π2= ,

fCX C π2

1= .

Po wyłączeniu napięcia zasilającego nie należy dokonywać żadnych zmian w układzie połączeń, dopóki napięcie na kondensatorze nie zmaleje do bezpiecznej wartości, co można stwierdzić obserwując wskazania woltomierza włączonego na jego zaciski.

Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń należy narysować wykres wektorowy prądu i napięć przy wybranej pojemności (rys.2.6). Przy tej pojemności należy obliczyć częstotliwość rezonansową, a następnie określić wartość Z przy f = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 i 1,25fo. Wyniki obliczeń zestawić w tabeli 2.2. Na ich podstawie wykreślić zależność Z=f(f) (rys.2.2).

I

U

U C

U R

U RL

U L

U R1

ϕ

U R1

Rys. 2.6 Wykres wektorowy napięć obwodu szeregowego z cewką rzeczywistą

Tabela 2.2 Lp. f Z

Hz Ω

2.3.3 Badanie obwodu równoległego Pomiary prądu i mocy pobranej z sieci przez elementy R, L, C połączone równolegle

prowadzone będą w układzie jak na rys. 2.7.

18

I R1** W

V

A

R

R1

L

W

I

AT

C

W2

I RL

W1

I C

W3

Rys. 2.7. Układ pomiarowy obwodu równoległego W układzie tym rzeczywistą cewkę przedstawiono w postaci dwóch elementów

idealnych: rezystora R i cewki o indukcyjności L. Przed uruchomieniem układu autotransformator należy ustawić w położeniu U=0. Po zamknięciu wyłącznika W należy zwiększyć napięcie zasilające do wartości znamionowej podanej na elementach R, L i C. Następnie zamykając lub otwierając wyłączniki W1, W2 i W3 należy wybrać kolejną kombinację połączeń elementów tworzących obwód. Dla każdej kombinacji przy U=Un odczytać wartość prądu i mocy. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 2.3. Na ich podstawie wykonać wykres wektorowy prądów dla przypadku równoległego połączenia wszystkich elementów (rys.2.8).

I RL

I R1

I C

I

U

ϕ

I R1

I C

Rys. 2.8 Wykres wektorowy prądów obwodu równoległego z rzeczywistą cewką

Tabela 2.3 sposób połączenia Moc

U I α cW P cosϕ V A dz W/dz W -

R1 (RL)

C R1(RL) R1 C

C (RL) R1 (RL) C

19

2.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy wektorowe napięć i prądów, - wykres Z=f(f) dla obwodu szeregowego, - uwagi i wnioski. 2.5. Pytania kontrolne 1. W jakich układach i kiedy zachodzi rezonans napięć? 2. W jakich układach i kiedy zachodzi rezonans prądów? 3. Jaki warunek musi być spełniony, aby w obwodzie R, L, C wystąpił rezonans? 4. Podaj zależność na częstotliwość rezonansową. 5. Dlaczego przy rezonansie napięć napięcia na cewce i kondensatorze mogą być większe

od napięcia zasilającego?

21

ĆWICZENIE Nr 3

POPRAWA WSPÓŁCZYNNIKA MOCY - KOMPENSACJA MOCY BIERNEJ

3.1. Cel ćwiczeniaCelem ćwiczenia jest zapoznanie się z problemem i metodami poprawy współczynnika

mocy odbiorników przemysłowych.

3.2. Program ćwiczenia - identyfikacja odbiornika (pomiary mocy i wyznaczenie współczynnika mocy) - dobór i połączenie baterii kondensatorów do poprawy współczynnika mocy - pomiary mocy układu z kompensacją mocy biernej.

3.3. Omówienie programu ćwiczenia. 3.3.1. Uwagi wstępne Większość dużych odbiorników energii elektrycznej w zakładach przemysłowych to

odbiorniki o charakterze czynno-indukcyjnym. Należą do nich m.in. nagrzewnice, spawarki, transformatory oraz silniki indukcyjne, które stanowią najliczniejszą grupę. Odbiorniki takie oprócz mocy czynnej P. pobierają moc bierną Q, która jest niezbędna do ich funkcjonowania. Jest niekorzystnym jeśli potrzebna moc bierna jest pobierana z odległych źródeł (elektrowni) gdyż powoduje wzrost prądów zasilających, a w konsekwencji wzrost strat przesyłowych, konieczność zwiększenia przekroju przewodów linii zasilających oraz zmniejsza możliwość obciążenia mocą czynną generatorów i transformatorów. Wszystkie te aspekty są powodem wzrostu kosztów eksploatacyjnych ponoszonych przez odbiorców energii. W związku z tym w zakładach przemysłowych o dużym zapotrzebowaniu na moc bierną stosuje się środki zmierzające do zmniejszenia tego zapotrzebowania czyli poprawy współczynnika mocy.

Naturalne sposoby poprawy współczynnika mocy polegają na: - właściwym doborze mocy instalowanych maszyn (nie w pełni obciążone silniki

indukcyjne wykazują niski współczynnik mocy), - ograniczaniu okresów biegu jałowego maszyn i urządzeń, wyłączanie nie

pracujących transformatorów, spawarek itp. Jeśli zastosowanie tych sposobów nie jest wystarczające, wówczas stosuje się tzw. kompensację mocy biernej. Polega to na wytworzeniu potrzebnej mocy biernej wewnątrz zakładu, zamiast pobierania jej z sieci energetycznej. Do wytwarzania mocy biernej indukcyjnej służą baterie kondensatorów o odpowiednio dobranej pojemności (kompensatory statyczne) oraz kompensatory maszynowe tzw. kompensatory synchroniczne.

Rozróżnia się kompensację indywidualną, kiedy urządzenia kompensatorowe są instalowane na zaciskach poszczególnych odbiorników, lub grupową gdy kompensatory są instalowane w rozdzielni lub podstacji zasilającej grupę odbiorników lub cały zakład. W tym drugim przypadku stosuje się zwykle automatyczną regulację pozwalającą na utrzymywaniu wypadkowego współczynnika mocy na zadanym poziomie, aby uniknąć przypadku przekompensowania, tj. stanu w którym zakład będzie pobierał moc bierną pojemnościową. Regulacja polega na odpowiednim dopasowaniu pojemności baterii kondensatorów (w kompensatorach statycznych) lub na regulacji prądu wzbudzenia kompensatora synchronicznego.

Ze względu na koszt kompensatorów moc bierna pobierana przez zakład nie jest kompensowana w pełni a jedynie do wartości współczynnika mocy cosϕ =0,9 - 0,95.

22

Rys.3.1 przedstawia schemat zastępczy obwodu odbiornika i baterii do poprawy współczynnika mocy oraz odpowiadający im wykres wektorowy prądów i napięć.

U

IB

I

IODB

ICZ

C

IC

U

IODB

ϕ0 I

IC

ϕW

IC

b)

a)

Rys.3.1. Schemat układu do poprawy współczynnika mocy (a) oraz wykres wektorowy (b).

Znając moc czynną odbiornika (zakładu) Po oraz wypadkowy współczynnik mocy cosϕo

można, na podstawie wykresu, znaleźć pojemność baterii kondensatorów potrzebną do uzyskania wypadkowego współczynnika mocy cosϕw. W przypadku odbiorników trójfazowych zależność na pojemność baterii ma postać:

)tg(tg6 2 wo

f

o

fUP

C ϕϕπ

−= [F/fazę] (1)

gdzie: Uf oznacza napięcie fazowe w miejscu zainstalowania baterii a f jego częstotliwość.

Z wzoru (1) wynika, że wymagana pojemność baterii trójfazowej jest trzy razy mniejsza

przy połączeniu jej w trójkąt niż przy połączeniu w gwiazdę. Należy jednak pamiętać, że znamionowe napięcie fazowe baterii przy połączeniu w trójkąt musi być o 3 razy większe niż przy gwieździe. Zatem znamionowa moc bierna baterii, proporcjonalna do jej kosztu, jest w obydwu przypadkach taka sama.

3.3.2. Wykonanie ćwiczenia 3.3.2.1. Identyfikacja odbiornika. Ćwiczenie polega na dobraniu odpowiedniej baterii kondensatorów do poprawy

współczynnika mocy indywidualnego odbiornika czynno-indukcyjnego do wartości cosϕw=0,95. W tym celu należy najpierw dokonać identyfikacji odbiornika poprzez pomiar mocy i wyznaczenie jego współczynnika mocy przed kompensacją. Schemat układu pomiarowego jak na rys.3.2 (bez włączonej baterii).

23

C

A

OD

BIO

RN

IK

B

A

A

** W

V*

* W

V

CΔ YC

U V W U V W

A

Rys.3.2. Układ pomiarowy do kompensacji mocy biernej.

Po włączeniu odbiornika do źródła zasilania i nastawieniu napięcia znamionowego na

jego zaciskach należy dokonać pomiaru prądów, napięcia i mocy. Na ich podstawie można obliczyć współczynnik mocy cosϕo i moc bierną Qo pobieraną ze źródła zasilania. Wyniki pomiarów i obliczeń zestawić w tabeli 3.1.

Tabela3.1

U1 U2 Uśr I1 I2 Iśr IC WI WII P S Q

cosϕ

V V V A A A A dz dz W VA var --

Uwagi

_ Przed kompensacją

Z kompensacją C= .....μF/fazę

W powyższej tabeli: - moc czynna odbiornika

)( IIIw WWcP += (2) - moc pozorna

śrśr IUS 3= (3) - moc bierna

22 PSQ −= (4) - współczynnik mocy

SP

=ϕcos (5)

W powyższych wzorach: cw – stała watomierzy, WI, WII – wskazania watomierzy w układzie Arona (w działkach), Uśr, Iśr – odpowiednio, średnie zmierzone wartości napięcia i prądu.

24

3.3.2.2. Dobór baterii kondensatorów Na podstawie danych z tabeli 1 należy obliczyć z wzoru (1) pojemność baterii

kondensatorów potrzebną do uzyskania wypadkowego współczynnika mocy cosϕw=0,95 zarówno dla przypadku połączenia w gwiazdę jak i w trójkąt.

Cgwiazda= .............μF/fazę, Ctrójkąt=................μF/fazę. Z będących do dyspozycji pojedynczych kondensatorów należy zestawić baterię

trójfazową (połączoną w trójkąt lub w gwiazdę) o pojemności możliwie najbardziej zbliżonej do wartości obliczonej.

3.3.2.3. Pomiary w układzie z kompensacją Dobraną baterię kondensatorów należy włączyć równolegle do odbiornika (rys.3.2) i po

zasileniu układu napięciem znamionowym wykonać pomiary jak w p.3.3.2.1. Wyniki zestawić w tabeli 3.1, a na ich podstawie obliczyć wypadkowy współczynnik mocy.

3.4. Opracowanie sprawozdania z ćwiczenia. Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać:

- opracowany protokół z pomiarów, - wykresy wektorowe napięcia i prądów (wykreślone z zachowaniem podziałki) w układzie

bez kompensacji i z kompensacją, - uwagi i wnioski wynikające z otrzymanych wyników.

3.5. Pytania sprawdzające.

1. Podać definicję współczynnika mocy odbiornika (zakładu). 2. Dlaczego niska wartość współczynnika mocy odbiornika jest niekorzystna? 3. Na czym polega kompensacja mocy biernej odbiornika? Czy po pełnym skompensowaniu

mocy biernej odbiornik nadal ją pobiera? 4. Dlaczego nie należy dobierać silników indukcyjnych „z zapasem mocy’? 5. Które połączenie baterii kondensatorów jest korzystniejsze – gwiazda czy trójkąt? 6. Dlaczego zwykle nie stosuje się pełnej kompensacji mocy biernej?

25

ĆWICZENIE NR 4

BADANIE TRANSFORMATORA TRÓJFAZOWEGO 4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy, zasady działania, właściwości transformatorów

trójfazowych oraz sposobu wyznaczania ich sprawności i parametrów schematu zastępczego. 4.2. Program ćwiczenia – pomiar przekładni, – pomiar charakterystyk stanu jałowego, – pomiar charakterystyk stanu zwarcia, – wyznaczenie parametrów schematu zastępczego, – wyznaczenie sprawności. 4.3. Omówienie programu ćwiczenia 4.3.1 Uwagi ogólne Transformatory są to urządzenia elektromagnetyczne przeznaczone do przetwarzania

prądu przemiennego o jednym napięciu na prąd przemienny o innym napięciu. Proces przetwarzania odbywa się za pośrednictwem pola magnetycznego, bez udziału ruchu mechanicznego i przy zachowaniu tej samej częstotliwości.

Najprostszy transformator trójfazowy składa się z trójkolumnowego rdzenia oraz sześciu uzwojeń fazowych (rys. 4.1).

1U1

2U2

2U1

1U2

1V1 1W1

1V2 1W2

2W22V2

2W12V1

Rys. 4.1 Transformator trójfazowy

W celu zminimalizowania strat od histerezy i prądów wirowych rdzeń wykonany jest z

cienkich, wzajemnie od siebie odizolowanych, blach stalowych, zawierających około 4% Si. W większości transformatorów blachy te mają grubość 0,35 lub 0,5 mm. Na każdej kolumnie umieszczone są dwa uzwojenia, odpowiadające tej samej fazie. Jedno z nich połączone jest do sieci zasilającej, a drugie do odbiornika. To uzwojenie, które pobiera energię elektryczną z sieci, nazywa się pierwotnym, a to, które oddaje ją do odbiornika - wtórnym. Sposób oznaczania początków i końców obu uzwojeń pokazano na rys. 4.1. Uzwojenia pierwotne i wtórne można łączyć w gwiazdę lub trójkąt. Wszystkie wielkości związane ze stroną pierwotną (prąd, napięcie, moc, parametry uzwojenia) mają oznaczenie"1", a ze stroną wtórną - "2".

26

Pod względem wartości napięcia uzwojenia transformatora dzieli się na uzwojenia górnego (wyższego) i dolnego (niższego) napięcia. W zależności od przeznaczenia transformatora uzwojeniem górnego napięcia może być uzwojenie pierwotne lub wtórne.

Transformator może pracować w stanie jałowym, stanie obciążenia lub stanie zwarcia. Właściwym stanem pracy transformatora jest stan obciążenia. Na podstawie stanu jałowego i stanu zwarcia można natomiast uzyskać wiele informacji pozwalających ocenić transformator zarówno pod względem konstrukcji jak i przydatności do dalszej pracy.

4.3.2 Pomiar przekładni Przekładnia transformatora trójfazowego jest to stosunek wartości górnego napięcia

międzyfazowego do dolnego napięcia międzyfazowego, zmierzonych równocześnie na zaciskach transformatora pracującego w stanie jałowym

d

g

UU

=ϑ (1)

Znajomość wartości przekładni jest niezbędna zarówno do obliczenia niektórych parametrów schematu zastępczego, jak i oceny przydatności transformatora do pracy równoległej z innymi transformatorami. Zgodnie z obowiązującymi przepisami, przekładnie transformatorów pracujących równolegle nie mogą różnić się więcej niż o ±0,5%. Woltomierze użyte do pomiaru powinny mieć klasę dokładności nie mniejszą niż 0,2 i zakresy tak dobrane, aby ich wskazania znajdowały się w końcowej części skali.

W ćwiczeniu przekładnia wyznaczona będzie metodą bezpośredniego pomiaru napięcia w układzie jak na rys. 4.2.

VV

1U1 2U1

1V1

1W1 2W1

2V1

Rys. 4.2 Układ do pomiaru przekładni transformatora

Wyniki pomiarów, wykonanych dla trzech różnych wartości napięcia zasilającego,

należy zestawić w tabeli 4.1.

Tabela 4.1 Lp Strona górnego napięcia Strona dolnego napięcia ϑ ϑśr Δϑ

UU-V UV-W UW-U Ug śr UU-V UV-W UW-U Ud śr V V V V V V V V - - %

Uchyb pomiaru przekładni

100⋅−

=Δn

śrn

ϑϑϑϑ , (2)

gdzie: dn

gnn U

U=ϑ a

śrd

śrgśr U

U=ϑ .

27

4.3.3. Pomiar charakterystyk stanu jałowego Stan jałowy jest to taki stan, w którym transformator zasilany od strony pierwotnej

pracuje bez obciążenia, czyli przy rozwartym obwodzie wtórnym (I2=0). Pod wpływem napięcia zasilającego w uzwojeniu pierwotnym płynie prąd I1. Z uwagi na stan pracy nazywa się go prądem jałowym i oznacza symbolem I0. Prąd ten jest stosunkowo mały i przy napięciu znamionowym osiąga wartości od 1-10%In.

Moc pobierana przez transformator w stanie jałowym

10 CuFe PPP Δ+Δ= (3) pokrywa straty w rdzeniu (ΔPFe) i uzwojeniu pierwotnym (ΔPCu1). Ponieważ prąd I0≤0,1I1n , straty mocy w uzwojeniu pierwotnym (ΔPCu1=3⋅ R1I0

2) są w porównaniu ze stratami w rdzeniu bardzo małe. W praktyce pomija się je i przyjmuje, że

FePP Δ≅0 (4) Przy stałej częstotliwości straty w rdzeniu transformatora zależą w przybliżeniu od

kwadratu indukcji magnetycznej. Ponieważ indukcja jest proporcjonalna do strumienia, a ten z kolei do napięcia zasilającego, można przyjąć, że

2

12

122

0 UEBPP Fe ∝∝Φ∝∝Δ≅ . (5) Z zależności (5) wynika, że charakterystyka P0=f(U1) ma kształt paraboli. Schemat zastępczy jednej fazy transformatora pracującego w stanie jałowym pokazano

na rys. 4.3.

R1

RFe E 1

X1

XμU 1

I 0

I μI Fe

ϕ0

E 1 U 1

I 0

I μI Fe

U R1

U X1

b) a)

Rys. 4.3 Schemat zastępczy (a) oraz wykres wektorowy (b) jednej fazy transformatora w stanie

jałowym

W schemacie tym uzwojenie pierwotne reprezentowane jest przez rezystancję R1 i

reaktancję rozproszenia X1, natomiast rdzeń przez reaktancję Xμ i rezystancję RFe. Z rys. 4.3b wynika, że

220 FeIII += μ (6)

gdzie: 00 cosϕIIFe = (7)

00 sinϕμ II = (8) Ponieważ IFe≤0,1 I0, w praktyce często przyjmuje się, że Iμ≅I0. Badanie transformatora w stanie jałowym prowadzi się w układzie jak na rys. 4.4.

28

1U1 2U1

1V1

1W1 2W1

2V1

V

V

WA

WA

Rys. 4.4 Układ do pomiaru charakterystyk stanu jałowego

Zmieniając wartość napięcia zasilającego od U=0 do U=1,2Un wykonać co najmniej 10

pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 4.2.

Tabela 4.2

Moc Lp U1 U2 U0śr I1 I2 I0śr α1 α2 cW ki P0 cosϕ0 IFe Uwagi

V V V A A A dz dz W/dz - W - A

Wartości prądu IFe wyznacza się z wzoru (7) a współczynnika mocy cosϕ0 i mocy P0

oblicza się z zależności:

śrśr IUP

00

00 3

cos⋅⋅

=ϕ ,

( ) iW kcP ⋅⋅+= 210 αα gdzie: ki - przekładnia przekładnika prądowego, Na podstawie wyników pomiarów wykreślić następujące charakterystyki: P0=f(U0),

I0=f(U0), IFe=f(U0) i cosϕ0=f(U0). Przykładowe przebiegi tych charakterystyk pokazano na rysunku 4.5.

Błąd! Nieprawidłowe łącze. Rys. 4.5 Charakterystyki stanu jałowego transformatora trójfazowego

4.3.4. Pomiar charakterystyk stanu zwarcia Stanem zwarcia transformatora nazywa się taki stan jego pracy, w którym strona

pierwotna zasilana jest ze źródła prądu przemiennego przy zwartych zaciskach strony wtórnej. Gdyby w tym stanie pracy napięcie zasilające było równe napięciu znamionowemu, to w obu obwodach popłynęłyby prądy dochodzące do (20÷30) In. Ciepło wydzielające się przy tym z uzwojeń byłoby tak duże, że doprowadziłoby do zniszczenia izolacji, a siły elektrodynamiczne do deformacji konstrukcji. Tego typu zwarcie, niszczące transformator,

29

może wystąpić w przypadku awarii, transformator musi być wtedy natychmiast odłączony od zasilania.

Zwarcie pomiarowe, na podstawie którego wyznaczane są niektóre parametry transformatora, realizowane jest przy napięciu obniżonym. Napięcie zasilania, przy którym, przy zwartych zaciskach uzwojenia wtórnego w obwodzie płynie prąd znamionowy, nazywa się napięciem zwarcia. Napięcie to jest zależne od wielkości transformatora i wartości jego napięć znamionowych. Zwykle mieści się ono w granicach 4-12% Un, przy czym wyższe wartości dotyczą większych transformatorów wysokonapięciowych.

Moc pobrana przez transformator w stanie zwarcia CuFez PPP Δ+Δ= (9)

pokrywa straty w rdzeniu i obu uzwojeniach. Ponieważ napięcie zwarcia jest małe, mały jest również strumień magnetyczny, w konsekwencji czego straty mocy w rdzeniu, w porównaniu do strat w uzwojeniach, są bardzo małe. W praktyce pomija się je i przyjmuje

CuZ PP Δ≅ (10) Schemat zastępczy jednej fazy transformatora pracującego w stanie zwarcia pokazano na

rys. 4.6. R1 X1

U 1

I 1 X'2 R'2

I' 2

ϕZ

U 1I 1= I'2

X Z I 1

RZ I 1

a) b) Rys. 4.6 Uproszczony schemat zastępczy (a) oraz wykres wektorowy jednej fazy transformatora

w stanie zwarcia (b).

Ze schematu tego wynika, że

11 IZU z ⋅= gdzie: Zz - impedancja zwarcia transformatora

22zzz XRZ += (11)

'21 RRRz += (12)

'21 XXX z += (13)

Zgodnie z podaną definicją, napięcie zwarcia wynosi nzz IZU =

Napięcie to jest zwykle wyrażane w procentach napięcia znamionowego i nosi nazwę napięcia zwarcia

1001

⋅=n

zz U

Uu (14)

Badanie transformatora w stanie zwarcia prowadzi się w układzie jak na rys. 4.4 z tym, że przy zwartych zaciskach strony wtórnej. Zmieniając wartość prądu od I1=1,2⋅I1n do I1=0,2⋅I1n należy wykonać co najmniej 6 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 4.3.

Tabela 4.3.

Moc Lp U1 U2 Uzśr I1 I2 Izśr α1 α2 cW ki Pz cosϕz Uwagi

30

V V V A A A dz dz W/dz - W -

W powyższej tabeli

śrzśrz

zz IU

P3

cos =ϕ

( ) iwz kcP 21 αα += Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń wykreślić charakterystyki: Iz=f(Uz),

Pz=f(Uz) i cosϕz=f(Uz). Przykładowe przebiegi tych charakterystyk pokazano na rys. 4.7. Z charakterystyki Iz=f(Uz) dla Iz=I1n odczytać wartość Uz, a następnie na podstawie zależności (14) obliczyć wartość uz.

Błąd! Nieprawidłowe łącze. Rys. 4.7 Charakterystyki zwarcia transformatora trójfazowego

4.3.5 Parametry schematu zastępczego Analizę większości zjawisk zachodzących w transformatorze trójfazowym ogranicza się

zwykle do jednej fazy i prowadzi na podstawie schematu zastępczego. Najczęściej schemat ten ma postać jak na rys. 4.8. W schemacie tym parametry strony wtórnej sprowadzone są na stronę pierwotną. Wielkości sprowadzone oznaczono indeksem "prim".

E1=E'2

IμIFe

R1 X1I1 X'2 R'2 I'2

I0

U1 U'2RFe Xμ Z'obc

Rys. 4.8 Schemat zastępczy jednej fazy transformatora trójfazowego

Wyniki pomiarów stanu zwarcia pozwalają obliczyć w przybliżeniu wartości rezystancji

R1 i R'2 oraz reaktancji X1 i X'

2. Obliczenia należy wykonać na podstawie pomiarów przy Iz=In. Zakładając równość obu rezystancji i obu reaktancji parametry te można obliczyć z wzorów:

2'21 32

12 n

znz

IPRRR ≅≅≅ (15)

( )21

2'21 2

21

2R

IUXXX

n

zz −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≅≅≅ (16)

Parametry "poprzeczne" schematu zastępczego, RFe i Xμ , mozna wyznaczyć na podstawie wyników pomiarów stanu jałowego. Straty mocy na rezystancji RFe w schemacie zastępczym są równe stratom mocy w rdzeniu. Ponieważ moc pobrana przez transformator w stanie jałowym prawie w całości pokrywa straty w rdzeniu (P0≅ΔPFe) rezystancję tę można obliczyć z zależności:

31

0

21

21 33

PU

PE

R f

Fe

fFe ≅= 17)

Ze schematu zastępczego wynika zależność na reaktancję Xμ:

0

11

IU

IE

X ff ≅=μ

μ (18)

gdzie: Iμ - wartość prądu magnesującego obliczona z równania (8). Obliczenia RFe i Xμ należy wykonać na podstawie pomiarów odpowiadających

znamionowej wartości napięcia zasilającego (U1=Un) 4.3.6 Wyznaczenie sprawności Sprawność transformatora η jest to stosunek mocy czynnej oddanej P2 do mocy czynnej

pobranej P1, co można wyrazić wzorem:

PPP

PP

Δ+==

2

2

1

2η (19)

gdzie: ΔP - sumaryczne straty mocy. W przypadku transformatorów energetycznych, o dużej sprawności (η>0,97), sprawności

nie wyznacza się metodą bezpośredniego pomiaru mocy oddanej i pobranej ze względu na małą dokładność tej metody. Zgodnie z zaleceniami obowiązującej normy sprawność transformatorów energetycznych należy wyznaczać metodą strat poszczególnych. Metoda ta polega na obliczeniu sprawności na podstawie znajomości sumarycznych strat mocy, w skład których wchodzą głównie straty w rdzeniu i obu uzwojeniach

ΔP = ΔPFe + ΔPCuW stanie obciążenia, transformator zasilany jest zwykle napięciem znamionowym.

Oznacza to, że w tym stanie pracy straty mocy w rdzeniu są stałe i zgodnie ze wzorem (4) są w przybliżeniu równe mocy pobieranej przez transformator w stanie jałowym przy U1=U1n

ΔPFen ≅ P0n Straty mocy w obu uzwojeniach transformatora pracującego przy obciążeniu prądem

znamionowym I1= I1n wynoszą 2

13 nznCuzn IRPP ⋅=Δ= a przy dowolnej wartości prądu

213 IRPP zCuz =Δ=

skąd 2

1

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nznz I

IPP (20)

Moc pozorna transformatora pracującego przy obciążeniu prądem I1=I1n wynosi

nnn IUS 113 ⋅= Przy dowolnej wartości prądu

2111 3 SIUS n ≅= , zatem

21

12 S

IISS

nn ≅= (21)

Ponieważ moc czynna oddawana wynosi 222 cosϕSP = ,

zatem po wprowadzeniu współczynnika obciążenia

32

nII

1

1=β , (22)

wyrażenie na η przyjmie postać

nznn

n

PPSS

02

2

2

coscos

++⋅

=βϕβϕβ

η (23)

gdzie: Pzn - moc pobrana przez transformator w stanie zwarcia pomiarowego przy Iz=I1n, P0n - moc pobrana przez transformator w stanie jałowym przy napięciu U1=U1n. Zakładając stałą wartość współczynnika mocy cosϕ 2=0,8, należy na podstawie równania

(23) obliczyć sprawność transformatora przy różnych wartościach współczynnika obciążenia β = 0,25; 0,5; 0,75; 1,0 i 1,25. Wyniki obliczeń zestawić w tabeli 4.4. Na podstawie wyników obliczeń wykreślić zależność η=f(β).

Tabela 4.4

Lp β β ⋅ Sn cosϕ2 β2Pzn η Uwagi - W W - 0,25

0,50 0,75 1,00 1,25

Sn= ....................kVA cosϕ2= ......................

P0n= ..................W Pzn = ..................W

4.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z ćwiczenia wraz z wynikami badań i obliczeń, - wykresy charakterystyk stanu jałowego, - wykresy charakterystyk stanu zwarcia, - schemat zastępczy transformatora z podanymi wartościami obliczonych parametrów i

prądów, - wykres η=f(β), - uwagi i wnioski. 4.5. Pytania kontrolne 1. Dlaczego w stanie jałowym głównym składnikiem strat występujących w

transformatorze są straty w rdzeniu? 2. Dlaczego rdzenie transformatorów są wykonywane z blach? 3. Co to jest napięcie zwarcia? 4. Dlaczego w stanie zwarcia można pominąć straty w rdzeniu? 5. Dlaczego w schemacie zastępczym transformatora parametry strony wtórnej są

przeliczone na stronę pierwotną? 6. Jaką część transformatora w schemacie zastępczym reprezentują parametry gałęzi

poprzecznej?

34

ĆWICZENIE NR 5

ROZRUCH SILNIKÓW INDUKCYJNYCH 5.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych sposobów rozruchu trójfazowych silników

indukcyjnych, metody rejestracji przebiegu prądu rozruchowego oraz wyznaczania jego początkowej wartości.

5.2. Program ćwiczenia – rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika klatkowego

a) przy rozruchu bezpośrednim b) przy rozruchu za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt

- rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika pierścieniowego a) z rozrusznikiem rezystorowym b) z rozrusznikiem wiroprądowym

- wyznaczenie początkowych wartości prądu rozruchowego. 5.3. Omówienie programu ćwiczenia 5.3.1 Uwagi ogólne Przez rozruch silnika rozumie się proces przejścia wirnika od postoju (n=0) do prędkości

obrotowej odpowiadającej danym warunkom zasilania i obciążenia. Silnik indukcyjny w początkowej fazie rozruchu zachowuje się tak jak transformator

podczas zwarcia. Jego uzwojenie wtórne (na wirniku) jest bowiem zwarte i nieruchome, a uzwojenie pierwotne (na stojanie) zasilane napięciem znamionowym. Różnice konstrukcji sprawiają, że silnik w chwili rozruchu nie pobiera jednak z sieci tak dużego prądu jak transformator w stanie zwarcia awaryjnego. Prąd ten, nazywany prądem rozruchowym i oznaczany symbolem Ir , wynosi dla większości silników indukcyjnych:

( ) nr II 84 ÷= (1) Przy rozruchu dużego silnika lub jednoczesnym rozruchu wielu silników mógłby

wystąpić pobór dużego prądu, a tym samym duży spadek napięcia w sieci zasilającej. Ponieważ jest to zjawisko szkodliwe, Zakłady Energetyczne dopuszczają do bezpośredniego rozruchu jedynie silniki o małych mocach. Silniki o mocach większych muszą być uruchamiane w sposób gwarantujący mały pobór prądu z sieci zasilającej.

W silnikach klatkowych zmniejszenie prądu rozruchowego można uzyskać przede wszystkim przez zmniejszenie napięcia zasilającego. Z tego powodu silniki, których nie można uruchomić w sposób bezpośredni, uruchamiane są za pośrednictwem różnego rodzaju urządzeń obniżających napięcie zasilające. Jednym z najprostszych, najtańszych, a przez to najczęściej stosowanych, jest przełącznik gwiazda - trójkąt (rys. 5.1).

35

UU

If

a)

b) c)

Błąd! Nieprawidłowe łącze.Błąd! Nieprawidłowe łącze. Rys. 5.1 Przełącznik gwiazda-trójkąt;a) układ połączeń, b) i c) charakterystyki

Rozruch za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt polega na tym, że uzwojenia silnika w

pierwszej fazie rozruchu łączy się w gwiazdę, a po osiągnięciu pewnej prędkości obrotowej - w trójkąt. Przy połączeniu w gwiazdę, uzwojenia każdej fazy zasilane są napięciem 3 razy mniejszym od napięcia znamionowego. W tym stanie pracy silnik pobiera z sieci prąd

ffY Z

UII3

== (2)

gdzie: Zf - impedancja fazy uzwojenia. Przy połączeniu w trójkąt uzwojenia każdej fazy są zasilane napięciem znamionowym w

związku z czym

ff Z

UII 33 ==Δ (3)

Z zależności (2) i (3) wynika, że

31Y =

ΔII

(4)

Zatem przy połączeniu w gwiazdę silnik pobiera z sieci 3 razy mniejszy prąd niż przy rozruchu bezpośrednim. Trzy razy mniejszy jest również moment rozruchowy,gdyż moment obrotowy jest proporcjonalny do kwadratu napięcia fazowego. Oznacza to, że przełącznik gwiazda - trójkąt może być stosowany tylko wtedy, gdy silnik uruchamiany jest bez obciążenia lub przy obciążeniu bardzo małym.

W silnikach pierścieniowych zmniejszenie prądu rozruchowego osiąga się przez włączenie w obwód wirnika rozrusznika Rr (rys. 5.2).

Rr

a)

c) b)

Błąd! Nieprawidłowe łącze.Błąd! Nieprawidłowe łącze.

Rys. 5.2 Rozruch silnika pierścieniowego a) układ połączeń, b) i c) charakterystyki

36

Najczęściej jest to rozrusznik rezystorowy (zwykle kilkustopniowy) lub wiroprądowy (bezstopniowy). W pierwszej chwili rozruchu rozrusznik powinien znajdować się w położeniu, przy którym jego rezystancja lub impedancja jest największa. Wraz ze wzrostem prędkości obrotowej wartości tych wielkości powinny maleć. Po rozruchu rozrusznik należy zewrzeć tak, aby jego rezystancja lub impedancja była równa zeru. Zastosowanie takiego sposobu rozruchu powoduje nie tylko zmniejszenie prądu rozruchowego do wartości

( nr II 5,275,1 ÷= ) , (5) lecz równocześnie wzrost momentu rozruchowego (rys. 5.2).

Ponieważ czas rozruchu jest krótki, zatem ustalenie początkowej wartości prądu rozruchowego za pomocą przyrządów wskazówkowych jest niemożliwe. Wartość tego prądu ustala się zwykle na podstawie przebiegu prądu rozruchowego, zarejestrowanego za pomocą odpowiednich rejestratorów lub oscylografów.

5.3.2 Rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika klatkowego Rozruch silnika klatkowego należy wykonać w układzie jak na rys. 5.3. W układzie tym

badany silnik zasilany jest z sieci poprzez automatyczny przełącznik gwiazda - trójkąt. Czas przełączenia uzwojeń stojana z gwiazdy na trójkąt może być regulowany za pomocą odpowiedniego przekaźnika, umieszczonego w układzie sterowania przełącznika. Gdy przekaźnik ten znajduje się w położeniu zerowym, rozruch jest bezpośredni, czyli przy napięciu znamionowym i uzwojeniach stojana połączonych w trójkąt. W każdym innym położeniu rozruch rozpoczyna się przy połączeniu uzwojeń w gwiazdę, a kończy przy połączeniu w trójkąt. W celu wydłużenia czasu rozruchu badany silnik został sprzęgnięty z układem mas zamachowych.

Sygnał proporcjonalny do prądu pobieranego przez silnik z sieci zasilającej może być uzyskany z bocznika (w postaci spadku napięcia biRu =Δ ) lub z przekładnika prądowego (w postaci prądu strony wtórnej). Sygnał ten podany jest na wejście odpowiedniego rejestratora lub oscylografu.

ARb

n

VREJESTRATOR

M

JUKŁAD STEROWANIA

Rys. 5.3 Układ do rozruchu i rejestracji prądu rozruchowego silnika klatkowego Do przyrządu rejestrującego podany jest również sygnał proporcjonalny do prędkości

obrotowej, którym jest SEM występująca na zaciskach prądnicy tachometrycznej. Przykładowy przebieg prądu i prędkości obrotowej przy rozruchu bezpośrednim pokazano na rys. 5.4.

Błąd! Nieprawidłowe łącze. Rys. 5.4 Przykładowy przebieg prądu i prędkości obrotowej przy rozruchu bezpośrednim

37

Z rys. 5.4 widać, że rzędna a jest proporcjonalna do maksymalnej wartości

początkowego prądu rozruchowego ( rr II 2max = ). Po rozruchu, czyli w stanie ustalonym, wartość prądu pobieranego przez silnik z sieci

można określić na podstawie wskazań amperomierza (IA). Rzędna b jest proporcjonalna do maksymalnej wartości prądu w stanie ustalonym, czyli do AI2 . Z prostej proporcji wynika, że skuteczna wartość początkowego prądu rozruchowego wynosi:

Ar IbaI = (6)

W podobny sposób, na podstawie wskazań woltomierza mierzącego napięcie na zaciskach prądnicy tachometrycznej, można obliczyć wartość prędkości obrotowej.

Pomiary należy wykonać zarówno przy rozruchu bezpośrednim, jak i za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt. W tym ostatnim przypadku rejestrację przebiegu prądu i prędkości obrotowej należy przeprowadzić dla 3 różnych czasów przełączenia uzwojeń stojana z gwiazdy na trójkąt. Należy przy tym pamiętać, że przyrząd rejestrujący musi być uruchomiony wcześniej niż silnik. Wyniki pomiarów przedstawić w formie graficznej (np. oscylogramów). Wskazania amperomierza oraz wartość prądu Ir obliczonego z zależności (6) dla każdego zarejestrowanego przebiegu zestawić w tabeli 5.1.

Tabela 5.1 Lp Połączenie w Δ Połączenie w Y

rY

r

II Δ

IA Ir Ir/In IA Ir Ir/In A A - A A - -

3.3.3. Rejestracja przebiegu prądu rozruchowego silnika pierścieniowego Rozruch i rejestrację przebiegu prądu rozruchowego silnika pierścieniowego należy

wykonać w układzie jak na rys. 5.5.

J

ARb

n

VREJESTRATOR

UKŁAD STEROWANIA

RO

ZRU

SZN

IK

Rys. 5.5. Układ do rozruchu i rejestracji prądu rozruchowego silnika pierścieniowego

38

Pomiary należy wykonać przy rozruszniku rezystorowym i wiroprądowym. W przypadku rozrusznika rezystorowego przejście z jednego stopnia na drugi może być ręczne lub samoczynne. W badanym silniku zastosowano samoczynny układ rozruchowy. W układzie tym poszczególne stopnie rozrusznika zwierane są przez styczniki sterowane przekaźnikami czasowymi.. Przykładowy przebieg prądu rozruchowego przy 5. stopniowym rozruszniku rezystorowym pokazano na rys. 5.6.

Błąd! Nieprawidłowe łącze. Rys. 5.6 Przebieg prądu rozruchowego silnika pierścieniowego przy 5 stopniowym rozruszniku

rezystorowym Wartość skuteczną początkowego prądu rozruchowego należy wyznaczyć w sposób

podany w punkcie 5.3.2 Wyniki pomiarów przedstawić w formie graficznej (np. oscylogramów). Wskazania amperomierza oraz wartości prądu Ir dla każdego zarejestrowanego przebiegu zestawić w tabeli 5.2.

Tabela 5.2

Lp Rozrusznik rezystorowy

Rozrusznik wiroprądowy

IA Ir Ir /In IA Ir Ir/In A A - A A -

5.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z ćwiczenia z wynikami badań, - opisane przebiegi prądów rozruchowych, - uwagi i wnioski. 5.5. Pytania kontrolne 1. Ile razy większy jest prąd rozruchowy od prądu znamionowego w silnikach

indukcyjnych klatkowych? 2. Omów sposoby rozruchu silników indukcyjnych klatkowych. 3. Omów sposoby rozruchu silników indukcyjnych pierścieniowych. 4. Jaki wpływ na przebieg charakterystyki M=f(n) ma wartość rezystancji włączonej w

obwód wirnika silnika pierścieniowego? 5. Omów rozruch silników klatkowych za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt. 6. Czy każdy silnik może być uruchamiany za pomocą przełącznika gwiazda - trójkąt?

40

ĆWICZENIE NR 6

BADANIE TRÓJFAZOWEGO SILNIKA INDUKCYJNEGO O WIRNIKU KLATKOWYM

6.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pogłębienie wiedzy z zakresu budowy, zasady działania,

właściwości ruchowych oraz przebiegu charakterystyk roboczych trójfazowych silników indukcyjnych o wirniku klatkowym.

6.2. Program ćwiczenia

– pomiar charakterystyk roboczych, – porównanie wartości zmierzonych wielkości z podanymi na tabliczce znamionowej.

6.3. Omówienie programu ćwiczenia 6.3.1 Uwagi ogólne Silniki indukcyjne, zwane również asynchronicznymi, to jedne z najprostszych,

najtańszych, a jednocześnie najpewniejszych w eksploatacji maszyn elektrycznych. Stosowane powszechnie prawie w każdej dziedzinie gospodarki, stanowią obecnie najliczniejszą grupę maszyn elektrycznych. W przeważającej mierze są to maszyny trójfazowe o wirniku klatkowym (zwartym).

Duża przydatność silników indukcyjnych do napędu różnego rodzaju maszyn i urządzeń wynika zarówno z ich prostej budowy, dużej niezawodności, niskich kosztów, jak i właściwości eksploatacyjno-ruchowych. Właściwości te podawane są zwykle w formie charakterystyk. Charakterystyki ilustrujące zależność podstawowych wielkości elektrycznych i mechanicznych maszyny od jej mocy użytecznej, nazywa się roboczymi lub obciążeniowymi. Charakterystyki te służą z jednej strony do oceny wyrobu jakim jest silnik, a z drugiej do ustalenia warunków jego pracy przy obciążeniach odbiegających od znamionowego.

Charakterystyki robocze maszyn małej mocy wyznacza się z reguły metodą bezpośrednią. Polega ona na bezpośrednim obciążeniu maszyny i określeniu jej mocy użytecznej na podstawie równoczesnego pomiaru prędkości obrotowej oraz momentu na wale. Pomiar momentu umożliwiają hamownie lub współpracujące z nimi przetworniki o odpowiedniej konstrukcji.

W przypadku maszyn średniej i dużej mocy korzystanie z metody bezpośredniej jest ekonomicznie nieuzasadnione, a często nawet niemożliwe. Z tego powodu charakterystyki robocze maszyn średniej i dużej mocy wyznacza się metodami pośrednimi, znacznie tańszymi i technicznie prostszymi.

6.3.2 Pomiar charakterystyk roboczych Charakterystyki robocze trójfazowego silnika indukcyjnego wyznacza się w układzie jak

na rys. 6.1. W układzie tym badany silnik (M) sprzęgnięty jest z hamulcem, którym jest obcowzbudna prądnica prądu stałego (G). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i silnika, służy rezystor Ro.

41

n

_G

T

B2

A1

M

V

W

V

W

A

A

W1

3 ×

380

VA

R0VF2F1

220 V

W2

A

Rys. 6.1. Układ pomiarowy do badań silnika indukcyjnego klatkowego.

Przed uruchomieniem układu rezystor ten powinien znajdować się w położeniu Ro max , a

obydwa autotransformatory w położeniu zerowym. Uruchomienie silnika polega na zamknięciu wyłącznika W1 i powolnym zwiększaniu

napięcia zasilającego od U=0 do U=Un. Po uruchomieniu silnika należy zamknąć wyłącznik W2, wzbudzić prądnicę i obciążyć silnik tak, aby przy U=Un=const. pobierał on z sieci prąd I=1,2In. Następnie zmniejszając stopniowo obciążenie aż do I=I0 (I0 - prąd jałowy silnika) wykonać co najmniej 10 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 6.1.

Tabela 6.1

Moc Lp

U1 U2 Uśr I1 I2 Iśr α1 α2 cW P1 T n s P2 cosϕ η Uwagi

V V V A A A dz dz W/dz W Nm obr/min - W - % U=Un

W powyższej tabeli:

( ) W

śr

śr

cP

III

UUU

211

21

21

,2

,2

αα +=

+=

+=

nTP602

2π

=

śrśr IUP

3cos 1=ϕ ,

1001

2 ⋅=PPη ,

s

s

nnns −

= ns

gdzie ns- prędkość synchroniczna,

42

Na podstawie wyników zawartych w tabeli 6.1 wykreślić następujące charakterystyki

robocze silnika: n, I, P1, T, cosϕ i η =f(P2). Ich orientacyjny przebieg pokazano na rys. 6.2. Z charakterystyk tych dla P2=Pn odczytać wartości I, cosϕ i n. Odczytane wartości porównać z podanymi na tabliczce znamionowej. Zgodnie z wymaganiami PN-88/E-06701 dopuszczalne odchyłki wynoszą:

sprawności - 0,15% (1-η), współczynnika mocy - 1/6 (1-cosϕ) przy czym minimum 0,02 a maksimum 0,07, poślizgu - ±30% dla Pn<1kW i ±20% dla Pn≥1kW.

P 2

nITηP 1

cosϕη

T

I

n P 1

cosϕ

P n

Rys. 6.2 Charakterystyki robocze silnika

6.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy charakterystyk roboczych, - porównanie odczytanych parametrów przy Pn z podanymi na tabliczce znamionowej, - uwagi i wnioski. 6.5. Pytania kontrolne 1. Sposoby rozruchu silników indukcyjnych o wirniku klatkowym. 2. Sposoby regulacji prędkości obrotowej w silnikach indukcyjnych. 3. Dlaczego silniki indukcyjne nie powinny pracować bez obciążenia? 4. W jaki sposób można zmienić kierunek wirowania trójfazowego silnika

indukcyjnego? 5. Dlaczego silniki indukcyjne nazywa się również asynchronicznymi?

43

ĆWICZENIE NR 7

BADANIE SILNIKA INDUKCYJNEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

7.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie właściwości ruchowych silnika indukcyjnego klatkowego

zasilanego z przemiennika częstotliwości, wyznaczenie sprawności układu napędowego oraz charakterystyk mechanicznych silnika dla kilku wartości częstotliwości napięcia zasilającego.

7.2. Program ćwiczenia

- wyznaczenie charakterystyki przemiennika, - wyznaczenie sprawności układu przemiennik - silnik, - wyznaczenie charakterystyk mechanicznych silnika.

7.3. Omówienie programu ćwiczenia 7.3.1 Uwagi ogólne Większość współczesnych maszyn i urządzeń jest napędzana za pomocą silników

elektrycznych. Najczęściej są nimi trójfazowe silniki indukcyjne o wirniku klatkowym. Realizacja wielu procesów technologicznych wymaga płynnej regulacji prędkości

obrotowej w szerokich granicach (od 0 do nn). W przypadku silników indukcyjnych klatkowych regulację taką można uzyskać jedynie przez zmianę częstotliwości napięcia zasilającego. Z tego powodu w nowoczesnych układach napędowych silniki te coraz częściej są zasilane z energoelektronicznych przemienników częstotliwości. Najczęściej stosowane są tzw. przemienniki pośrednie, to znaczy takie, w których napięcie przemienne o częstotliwości sieciowej (50Hz) zamieniane jest na napięcie stałe, a to z kolei na napięcie przemienne o regulowanej częstotliwości.

Regulacja prędkości obrotowej przez zmianę częstotliwości napięcia zasilającego jest najkorzystniejsza wtedy, gdy odbywa się przy stałej znamionowej wartości strumienia magnetycznego. Jeśli zaniedbać rezystancję uzwojenia silnika, to napięcie zasilające stojan będzie w przybliżeniu równe sile elektromotorycznej indukowanej w uzwojeniu fazowym stojana

Φ=≈ fcEU . (1) Stąd wynika warunek stałości strumienia w maszynie (Φ = const.):

.constf

U= (2)

Oznacza to, że przemiennik przeznaczony do zasilania silnika indukcyjnego powinien być urządzeniem o regulowanym zarówno napięciu jak i częstotliwości.

Charakterystyki mechaniczne silnika indukcyjnego dla różnych częstotliwości napięcia

zasilającego przy .constf

U= pokazano na rys. 7.1.

44

f 1

f 4

f 3

f 2

f 1>f 2>f 3>f 4

T max

n

T

Rys.7.1 Charakterystyki mechaniczne silnika indukcyjnego dla różnych częstotliwości

napięcia zasilającego przy zachowaniu warunku U/f =const. Przy małych częstotliwościach (f<10Hz) uwidacznia się wpływ rezystancji uzwojenia

stojana, w związku z czym, przy zachowaniu warunku U/f =const., moment maksymalny silnika maleje. Aby w całym zakresie regulacji prędkości obrotowej przeciążalność momentem była jednakowa, należy przy małych częstotliwościach nieco zwiększyć wartość napięcia zasilającego silnik (o około 20%). Nowe konstrukcje przemienników umożliwiają programowanie potrzebnego przebiegu zależności U=f(f).

7.3.2 Wyznaczanie charakterystyki przemiennika Charakterystykę przemiennika ( )ffU = , czyli zależność napięcia zasilającego silnik

od częstotliwości, wyznacza się w układzie jak na rys. 7.2.

V

W

V

W

A

A

W n

M

V f

A

A

R

PRZE

MIE

NN

IKC

ZĘST

OTL

IWOŚC

I

M1

UKŁAD STEROWANIA

ItA

Ro

B2

A1

F1 F2

A

= 220VW1

R1

G V

T

3 ×

380

V

Rys. 7.2 Układ pomiarowy - silnik indukcyjny zasilany z przemiennika

W czasie pomiarów silnik indukcyjny (M) pracuje bez obciążenia (T=0). Aby podczas

pracy, przy małych prędkościach obrotowych nie doszło do przegrzania uzwojeń stojana,

45

silniki zasilane z przemienników częstotliwości muszą być intensywnie chłodzone. Zwykle chłodzenie to zapewnia im wentylator napędzany innym silnikiem elektrycznym. Najczęściej wentylator ten wraz z silnikiem napędowym jest wkomponowany w konstrukcję silnika przeznaczonego do pracy przy f = var. W układzie jak na rys. 7.2 silnik M chłodzony jest powietrzem tłoczonym przez wentylator napędzany silnikiem indukcyjnym M1 zasilanym bezpośrednio z sieci.

Przed uruchomieniem układu potencjometr R, znajdujący się w obwodzie sterowania przemiennika, należy ustawić w położenie zerowe. W czasie pracy przemiennika potencjometrem tym zadawane będą kolejne wartości częstotliwości napięcia zasilającego silnik. Po uruchomieniu układu, to znaczy po zamknięciu wyłącznika W, potencjometrem R w przedziale od f=0 do f=60Hz należy nastawić 8 różnych wartości częstotliwości napięcia zasilającego silnik. Wartości częstotliwości, wyświetlane zwykle na przemienniku, oraz odpowiadające im wartości napięć zestawić w tabeli 7.1.

W przypadku, gdy w przemienniku brak jest wyświetlacza częstotliwości, jej wartość należy odczytać na podstawie wskazań częstotliwościomierza znajdującego się w układzie pomiarowym. Na podstawie wyników pomiarów wykreślić zależności:

( )ffU = oraz ( )fff

U= .

Tabela 7.1

U f U/f Lp. V Hz V/Hz

Przykładowe przebiegi tych zależności pokazano na rys. 7.3.

f

U

U , U /f

U /f

Rys. 7.3 Przebieg U=f(f) i U/f=f(f)

7.3.3 Wyznaczenie sprawności układu przemiennik - silnik oraz charakterystyk

mechanicznych silnika Sprawność układu napędowego, składającego się z przemiennika częstotliwości oraz

silnika indukcyjnego o wirniku klatkowym, a także charakterystyki mechaniczne silnika, zostaną wyznaczone w układzie jak na rys. 7.2. W ćwiczeniu charakterystyki te będą wyznaczane dla trzech wartości częstotliwości napięcia zasilającego: f=0,5; 0,75; 1,0fn.

46

Przed rozpoczęciem pomiarów potencjometr R należy ustawić w położenie zerowe, a rezystor R0 w położenie, przy którym prąd w obwodzie twornika prądnicy It=0. Po uruchomieniu układu potencjometrem R należy ustawić wybraną wartość częstotliwości napięcia zasilającego silnik. Następnie należy zamknąć wyłącznik W1 i za pomocą rezystora R1 ustawić znamionową wartość prądu w obwodzie wzbudzenia obcowzbudnej prądnicy prądu stałego (G), pełniącej rolę hamulca. Zmianę obciążenia prądnicy, a tym samym i badanego silnika, uzyskuje się przez zmianę rezystancji R0. Pomiary należy rozpocząć od obciążenia, przy którym prąd silnika I=1,2In a zakończyć przy I=I0 (I0 - prąd jałowy silnika). W podanym zakresie obciążenia należy wykonać minimum 8 pomiarów. Podobne pomiary wykonać przy dwóch pozostałych wartościach częstotliwości napięcia zasilającego. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 7.2.

Tabela 7.2 U Moc

Lp f U f U1 U2 Uśr I1 I2 Iśr α1 α2 cW P1 T n P2 η Hz V V/Hz V V V A A A dz dz W/dz W N⋅m obr/min W -

W powyższej tabeli:

221 UUU śr

+= ,

221 III śr

+= ,

( ) wcP 211 αα += , nTP602

2π

= ,

1

2

PP

=η .

Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń dla każdej częstotliwości wykreślić zależność

η=f(P2) oraz n=f(T). 7.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać:

- opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy podane w punkcie 7.3.2 i 7.3.3, - uwagi i wnioski.

7.5. Pytania kontrolne 1. Omówić sposoby regulacji prędkości obrotowej w silnikach indukcyjnych

klatkowych. 2. Dlaczego regulacja prędkości obrotowej przez zmianę częstotliwości napięcia

zasilającego powinna być prowadzona przy .constfU = ? 3. Dlaczego przy małych częstotliwościach napięcia zasilającego i stałej wartości fU

moment maksymalny silnika maleje? 4. Narysuj przebieg charakterystyk mechanicznych silnika przy różnych

częstotliwościach napięcia zasilającego.

46

ĆWICZENIE NR 8

BADANIE UKŁADU NAPĘDOWEGO ZE SPRZĘGŁEM WIROPRĄDOWYM 8.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy, zasady działania oraz właściwości sprzęgła

wiroprądowego, a także warunków pracy układu napędowego ze sprzęgłem wiroprądowym. 8.2. Program ćwiczenia - wyznaczenie charakterystyk mechanicznych sprzęgła n=f(T) dla kilku wartości prądu

wzbudzenia, - obliczenie sprawności sprzęgła. 8.3. Omówienie programu ćwiczenia 8.3.1 Uwagi ogólne Moment obrotowy z wału silnika napędowego jest przenoszony na wał maszyny napędzanej

za pomocą sprzęgła. Ogólnie biorąc może to być sprzęgło mechaniczne, hydrauliczne lub elektromagnetyczne. Obecnie coraz częściej wymaga się, aby było to sprzęgło sterowane. Za pomocą sprzęgła sterowanego można bowiem w czasie ruchu regulować wartość zarówno prędkości obrotowej jak i przenoszonego momentu, a tym samym kształtować warunki pracy układu napędowego.

Największe predyspozycje do pracy w charakterze sprzęgieł sterowanych mają sprzęgła elektromagnetyczne. Najprostszym, najtańszym, a przez to najczęściej stosowanym elektromagnetycznym sprzęgłem sterowanym jest sprzęgło wiroprądowe (rys.8.1).

If

5

4

3

2

1

Rys. 8.1 Sprzęgło wiroprądowe:1 – wirnik zewnętrzny (twornik), 2 – wirnik wewnętrzny, 3 – cewka, 4 – szczotki,5 – pierścienie ślizgowe

47

Sprzęgło to składa się z dwóch współosiowych wirników, oddzielonych od siebie szczeliną powietrzną. Wirnik zewnętrzny ma postać masywnego stalowego cylindra, natomiast wirnik wewnętrzny wielobiegunowego elektromagnesu, zasilanego – poprzez pierścienie ślizgowe i szczotki – prądem stałym. W obecnych konstrukcjach elektromagnes ten zamiast wielu uzwojonych biegunów ma jedną toroidalną cewkę i wiele nabiegunników rozmieszczonych na przemian po obu bokach cewki. Z reguły wirnik zewnętrzny osadzony jest na wale silnika napędowego, a wirnik wewnętrzny na wale maszyny napędzanej.

Zasada działania sprzęgła wiroprądowego jest podobna do zasady działania silnika indukcyjnego.

Pod wpływem prądu If cewka wytwarza stałe pole magnetyczne, którego linie zamykają się przez szczelinę powietrzną, nabiegunniki i jarzma obu wirników. Po uruchomieniu silnika napędowego w polu tym wiruje wirnik zewnętrzny z prędkością obrotową n1. W wyniku przecinania linii pola magnetycznego w jego części cylindrycznej (tworniku) będą indukować się siły elektromotoryczne, wywołujące prądy wirowe. Efektem oddziaływania pola magnetycznego i prądów wirowych, wywołanych przez to pole, jest moment obrotowy, który wprawia w ruch wirnik wewnętrzny. Ponieważ zwrot tego momentu jest taki sam jak rozwijanego przez silnik napędowy, oba wirniki wirują w tym samym kierunku. Gdyby wirnik wewnętrzny osiągnął prędkość obrotową n2=n1 w tworniku zanikłyby SEM i prądy wirowe, a w konsekwencji tego zanikłby również moment obrotowy. Oznacza to, że sprzęgło wiroprądowe może przenosić moment tylko wtedy gdy n2<n1 , czyli wówczas, gdy wirnik wewnętrzny będzie wirował względem zewnętrznego z pewnym poślizgiem s:

1

21

nnns −

= (1)

Z tego powodu sprzęgła wiroprądowe nazywane są również sprzęgłami poślizgowymi. Ponieważ straty mechaniczne sprzęgła są niewielkie w stosunku do przenoszonej mocy,

zatem w przybliżeniu można przyjąć, że moc P2 przenoszona przez sprzęgło wynosi: ( ) 12 1 PsP −= (2)

gdzie: P1 – moc jaką silnik napędowy przekazuje do sprzęgła. Moment, jaki sprzęgło przenosi z wału silnika napędowego na wał maszyny napędzanej

wynika z zależności:

2

2

260

nPT

π=

Charakterystyki mechaniczne sprzęgła wiroprądowego n2=f(T) dla kilku wartości prądu If pokazano na rys. 8.2.

I f 3 < I f 2 < I f 1

n 2

n 2 = n 1

T

Rys. 8.2 Charakterystyki mechaniczne sprzęgła wiroprądowego

48

Z uwagi na dużą rezystancję wirnika zewnętrznego charakterystyki te przypominają charakterystykę mechaniczną silnika pierścieniowego o powiększonej rezystancji wirnika.

Sprzęgła wiroprądowe odznaczają się wieloma cennymi właściwościami. Najważniejsze z nich to: prosta budowa, niezawodność działania, dobre tłumienie drgań i udarów skrętnych, mała moc sterująca (z reguły nie przekracza 1% przenoszonej mocy) oraz możliwość pracy w układach automatyki w charakterze elementu wykonawczego. Zasadniczą wadą sprzęgieł wiroprądowych jest to, że wraz ze wzrostem poślizgu rosną w nich straty mocy, przez co maleje sprawność:

s−= 1η (3) 8.3.2 Pomiar charakterystyki mechanicznej oraz obliczenie sprawności

Charakterystykę mechaniczną sprzęgła n2=f(T) wyznacza się w układzie jak na rys. 8.3. W

układzie tym silnikiem napędowym jest maszyna indukcyjna o wirniku klatkowym o znanej charakterystyce sprawności ηs=f(P). Rolę maszyny roboczej, obciążającej układ, pełni obcowzbudna prądnica prądu stałego.

V

n1

n2

If

Ifg

It

~MG

M

A220 V

V

W

V

W

A

A A

A

F1R0

F2

W2

B2W1

220 V

W3

A1

380

/ 220

V

Rys. 8.3 Układ do pomiaru charakterystyki mechanicznej sprzęgła wiroprądowego.

Przed uruchomieniem układu należy rezystor Ro ustawić w położenie Rmax, a

autotransformatory w obwodach wzbudzenia sprzęgła i prądnicy w położenie zerowe. Silnik napędowy uruchamiany jest przez bezpośrednie włączenie do sieci za pomocą wyłącznika W1. Po uruchomieniu silnika należy zamknąć wyłącznik W2 i za pomocą autotransformatora ustawić określoną wartość prądu wzbudzenia sprzęgła (If). Następnie należy zamknąć wyłącznik W3 i ustawić znamionową wartość prądu wzbudzenia prądnicy (Ifgn). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i całego układu napędowego, służy rezystor Ro. Jego wartość należy zmieniać tak, aby można było uzyskać co najmniej 8 punktów pomiarowych przy prądzie twornika prądnicy zmieniającym się w przedziale It=(0-1,25)Itn. Pomiary wykonać przy wartościach prądu wzbudzenia If=1;2;3;4 i 5A. Wyniki pomiarów i obliczeń należy zestawić w tabeli 8.1.

Na podstawie wyników pomiarów i obliczeń wykreślić charakterystyki:

− n2=f(T) dla If=1;2;3;4 i 5A − s =f(T) dla If=1;2;3;4 i 5A − η = f(s) dla If=1;2;3;4 i 5A

49

Tabela 8.1 Silnik napędowy Sprzęgło

L Moc Uwagip U1 U2 Uśr I1 I2 Iśr α1 α2 cw P n1 P1 If T n2 P2 s η V V V A A A dz dz W/dz W obr/min W A Nm obr/min W - -

W powyższej tabeli:

( ) w

śr

śr

cP

III

UUU

⋅+=

+=

+=

21

21

21

2

2

αα

PP s ⋅= η1 gdzie: ηs - sprawność silnika napędowego, odczytana z charakterystyki ηs=f(P)

22 105,0 nTP ⋅=

1

2

PP

=η

8.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z wynikami pomiarów i obliczeń, - wykresy charakterystyk podanych w punkcie 8.3.2,

8.5. Pytania kontrolne 1. Omówić zasadę działania sprzęgła wiroprądowego. 2. Dlaczego sprzęgła wiroprądowe nazywa się również poślizgowymi? 3. Dlaczego sprzęgła wiroprądowe nie powinny pracować przy dużym poślizgu? 4. Czy wirnik zewnętrzny (twornik) może być wykonany z niemagnetycznego materiału

przewodzącego (np. z miedzi)? 5. Dlaczego wirnik wewnętrzny jest budowany jako elektromagnes o dużej liczbie

biegunów? 6. Czy magnesy trwałe mogą być stosowane jako źródła pola magnetycznego w sprzęgłach

wiroprądowych?

50

ĆWICZENIE NR 9

BADANIE SILNIKA BOCZNIKOWEGO PRĄDU STAŁEGO 9.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pogłębienie wiedzy z zakresu budowy, zasady działania, sposobów

rozruchu i regulacji prędkości obrotowej oraz właściwości silników bocznikowych prądu stałego.

9.2. Program ćwiczenia - pomiar charakterystyki mechanicznej, - pomiar charakterystyki obciążenia, - pomiar charakterystyki regulacyjnej, - wyznaczenie charakterystyk roboczych. 9.3. Omówienie programu ćwiczenia 9.3.1 Uwagi ogólne W silniku bocznikowym uzwojenie wzbudzenia połączone jest równolegle z uzwojeniem

twornika (rys. 9.1). Prąd jaki silnik pobiera z sieci (I) rozgałęzia się zatem na prąd twornika (It) i prąd wzbudzenia (If). Rezystancja obwodu twornika (Rt) jest dużo razy mniejsza od rezystancji obwodu wzbudzenia (Rf) w konsekwencji czego It>>If. Dla większości silników bocznikowych If=(1÷5)%It.

B1

B2

A2

A1

E1 E2 U

IIt

If

E

Rys. 9.1 Silnik bocznikowy

Pod wpływem prądu If uzwojenie wzbudzenia wytwarza pole magnetyczne. W polu tym

znajduje się uzwojenie twornika, w którym płynie prąd It. W wyniku oddziaływania pola magnetycznego na uzwojenie z prądem wytworzony zostaje moment elektromagnetyczny T,

tIcT Φ= 1 , (1) wprawiający twornik (wirnik) w ruch obrotowy. W uzwojeniu twornika, wirującym w

polu magnetycznym z prędkością obrotową n, indukuje się SEM ncE Φ= 2 (2)

Ma ona kierunek przeciwny do kierunku napięcia zasilającego U, a wartość mniejszą o spadek napięcia na rezystancji obwodu twornika (It Rt).

Na podstawie II prawa Kirchhoffa można napisać: tt RIUE −= . (3)

51

Po uwzględnieniu zależności (2) i odpowiednich przekształceniach otrzymamy:

Φ−

=2c

RIUn tt (4)

Z zależności (4) wynika, że w silnikach bocznikowych prędkość obrotową można regulować przez zmianę napięcia zasilającego, zmianę spadku napięcia na rezystancji obwodu twornika lub zmianę strumienia magnetycznego.

Przy zmianie napięcia zasilającego od U=Un do U=0 prędkość obrotowa maleje od n=nn do n=0. Źródłem o regulowanym napięciu może być np. prostownik sterowany zasilany z sieci prądu przemiennego. Regulacja prędkości obrotowej przez zmianę napięcia zasilającego jest zatem regulacją "w dół". W wyniku włączenia w obwód twornika dodatkowej rezystancji spadek napięcia wzrasta, a prędkość obrotowa maleje. Oznacza to, że regulacja prędkości obrotowej przez zmianę spadku napięcia jest również regulacją "w dół". Należy przy tym podkreślić, że jest to regulacja nieekonomiczna, gdyż straty mocy na rezystancji dodatkowej są duże. Zmianę strumienia magnetycznego uzyskuje się przez zmianę prądu If. Włączenie w obwód wzbudzenia dodatkowego rezystora prowadzi do zmniejszenia prądu If, a w konsekwencji tego do osłabienia strumienia i wzrostu prędkości obrotowej. Regulacja prędkości obrotowej przez zmianę strumienia magnetycznego jest więc regulacją "w górę". Z uwagi na małą wartość prądu If straty mocy na rezystancji włączonej w obwód wzbudzenia są niewielkie. Zanik strumienia (Φ=0) w czasie pracy silnika prowadzi do tzw. "rozbiegania się maszyny", czyli niebezpiecznie dużego wzrostu prędkości obrotowej.

Jeżeli w równaniu (4) uwzględni się zależność (1) to uzyska się wyrażenie

232 Φ

−Φ

=c

RTcUn t (5)

Przy założeniu, że U=const., Rt=const. i Φ=const., równanie (5) można zapisać w postaci Tcnn 40 −= (6)

Z równania (6) wynika, że zależność n=f(T) jest linią prostą (rys. 9.2).

T

n

n 0

n n

T n

U =U n

Rys. 9.2 Zależność n=f(T) dla silnika bocznikowego

Ponieważ zależność T=f(It) jest liniowa, charakterystyka n=f(It) ma podobny przebieg jak

charakterystyka n=f(T). Przy bezpośrednim włączeniu na sieć o napięciu U silnik w chwili rozruchu (n=0),

pobierałby prąd

tr R

UI = (7)

52

Z uwagi na małą wartość Rt prąd ten przy U=Un byłby 20-30 razy większy od prądu In. Ponieważ tak duża wartość prądu jest szkodliwa zarówno dla silnika, jak i sieci zasilającej, rozruch silników bocznikowych przeprowadza się w taki sposób, aby Ir ≤ 2,5 In. Z zależności (7) wynika, że można to uzyskać przez zmniejszenie wartości napięcia zasilającego lub włączenie na czas rozruchu dodatkowej rezystancji w obwód twornika.

Silniki bocznikowe prądu stałego stosowane są głównie tam, gdzie wymagana jest mała zależność prędkości obrotowej od obciążenia.

9.3.2 Pomiar charakterystyki mechanicznej Charakterystykę mechaniczną silnika, czyli zależność n=f(T) lub n=f(It) przy U=const. i

Rf =const. wyznacza się w układzie jak na rys. 9.3.

A

AA1

A2n

G

T

M

A

A1

A2

B2B2

B1 B1

E1 E2

Rr

R0

R

V

It

If

V

W1

= 220V

= 220V

F1 F2

W2

Ifg

R1

A

V

Rys. 9.3 Układ pomiarowy do badań silnika bocznikowego.

W układzie tym badany silnik (M) połączony jest z hamulcem, którym jest obcowzbudna

prądnica prądu stałego (G). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i silnika, służy rezystor Ro. Przed uruchomieniem układu rezystor ten powinien znajdować się w położeniu Ro max. Rezystor Rr w obwodzie twornika służy do ograniczenia prądu rozruchowego, natomiast rezystor R do regulacji prądu If, a tym samym prędkości obrotowej silnika. Przed uruchomieniem silnika rezystor Rr należy ustawić w położenie Rr max, a rezystor R w położenie R=0. Uruchomienie silnika polega na zamknięciu wyłącznika W1 i stopniowym sprowadzeniu rezystora Rr z położenia Rr max w położenie Rr=0. Po uruchomieniu silnika należy wzbudzić prądnicę. Polega to na zamknięciu wyłącznika W2 i doprowadzeniu do jej obwodu wzbudzenia prądu o wartości znamionowej (Ifgn).

Pomiary należy rozpocząć od stanu, w którym silnik pracuje w warunkach znamionowych, tzn. przy U=Un, I=In i n=nn. Następnie, utrzymując stałą wartość napięcia zasilającego i stałą wartość rezystancji R, należy stopniowo zmniejszać obciążenie silnika (za pomocą rezystora Ro) do stanu, w którym T=0. W podanym przedziale obciążenia należy wykonać co najmniej 6 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 9.1. Na ich podstawie wykreślić charakterystyki n=f(T) i n=f(It). Na podstawie charakterystyki n=f(T) lub n=f(It) wyznaczyć znamionową zmienność prędkości obrotowej silnika z wzoru:

⋅−

=Δn

n

nnn

n 0 100%

53

Tabela 9.1 Lp. It n T Uwagi

A obr/min N⋅m U=Un

Rf =const.

9.3.3 Pomiar charakterystyki obciążenia Charakterystyka obciążenia jest to zależność n=f(If) przy U=const. i It=const. Przy

prostoliniowej charakterystyce magnesowania zależność n=f(If) ma postać hiperboli. Z uwagi na nieliniowość obwodu magnetycznego maszyny, rzeczywisty przebieg charakterystyki obciążenia odbiega nieco od hiperboli (rys. 9.4).

I fn min

n

n max

I fmaxI fmin

U =U n

I t =I tn

Rys. 9.4 Charakterystyka obciążenia silnika bocznikowego

Charakterystykę obciążenia wyznacza się w układzie jak na rys. 9.3. Pomiary należy prowadzić przy znamionowym napięciu i znamionowym prądzie twornika. Prąd wzbudzenia, regulowany za pomocą rezystora R, należy zmieniać od If max do takiej wartości If min, przy której prędkość obrotowa n=1,3nn. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 9.2. Na ich podstawie wykreślić charakterystykę n=f(If) przy U=Un=const. i It=Itn=const.

Tabela 9.2

Lp. n If Uwagi obr/min A U=Un =........V

It=Itn =.........A

9.3.4 Pomiar charakterystyki regulacyjnej Charakterystyka regulacyjna jest to zależność If=f(It) przy U=const. i n=const.

Charakterystyka ta informuje, jak należy zmieniać prąd wzbudzenia, aby przy zmieniającym się obciążeniu prędkość obrotowa pozostała na tym samym poziomie.

Charakterystykę regulacyjną wyznacza się w układzie jak na rys. 9.3. Pomiary należy rozpocząć od biegu jałowego (T=0) przy prądzie If tak dobranym, aby n=nn. Następnie należy

54

stopniowo powiększać obciążenie aż do I=1,25 In utrzymując prędkość obrotową na poziomie znamionowym. W podanym przedziale obciążenia wykonać co najmniej 6 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 9.3. Na ich podstawie wykreślić charakterystykę If=f(It) przy U=Un i n=nn. Przykładowy przebieg takiej charakterystyki pokazano na rys. 9.5.

I f

I t

U =U n

n=n n

Rys. 9.5 Charakterystyka regulacyjna silnika bocznikowego.

Tabela 9.3.

Lp. If It Uwagi A A U=Un=.......V

n=nn=.......obr/min

9.3.5 Wyznaczenie charakterystyk roboczych Pod nazwą charakterystyk roboczych rozumie się zależności: n=f(P2), T= f(P2), I= f(P2), η= f(P2) określone dla U=Un i If=Ifn. Niezbędne dane do

wyznaczenia charakterystyk roboczych należy zestawić w tabeli 9.4.

Tabela 9.4 Lp. It If I n T P1 P2 η Uwagi

A A A obr/min N⋅m W W - U=Un=.......V

If=Ifn =.......A

Wartości It, n i T należy przepisać z tabeli 9.1, a pozostałe obliczyć z zależności: - prąd pobierany przez silnik z sieci zasilającej

ft III += , - moc pobierana przez silnik

IUP =1 , - moc na wale silnika

55

nTP602

2π

= ,

- sprawność silnika

1

2

PP

=η .

Na podstawie wyników podanych w tabeli 9.4 wykreślić charakterystyki n, T, I, η=f(P2). Dla P2 = P2n odczytać wartości prądu, prędkości obrotowej i sprawności, a następnie porównać je z podanymi na tabliczce znamionowej silnika. Przykładowy przebieg charakterystyk roboczych silnika bocznikowego pokazano na rys. 9.6.

P 2

nITη

η

T

I

n

P 2n

Rys. 9.6 Charakterystyki robocze

9.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać: - opracowany protokół z pomiarów, - wykresy charakterystyk: mechanicznej, obciążenia, regulacyjnej, - zestawienie wyników pomiarów i obliczeń niezbędnych do wykreślenia

charakterystyk roboczych silnika, - uwagi i wnioski. 9.5. Pytania kontrolne 1. Opisać sposoby regulacji prędkości obrotowej w silnikach bocznikowych. 2. W jaki sposób można zmienić kierunek wirowania silnika bocznikowego? 3. Jaką rolę w silniku pełnią bieguny komutacyjne? 4. Dlaczego prąd rozruchowy silnika jest duży i jakie są sposoby jego ograniczenia? 5. W jakich okolicznościach silnik bocznikowy może stać się prądnicą bocznikową? 6. Dlaczego przerwanie obwodu wzbudzenia w czasie pracy silnika jest groźne?

56

ĆWICZENIE NR 10

BADANIE SILNIKA SZEREGOWEGO PRĄDU STAŁEGO

10.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest pogłębienie wiedzy z zakresu budowy, zasady działania,

właściwości ruchowych oraz sposobów rozruchu i regulacji prędkości obrotowej silników szeregowych prądu stałego.

10.2. Program ćwiczenia – wyznaczenie charakterystyk mechanicznych (n=f(T)), – wyznaczenie charakterystyk roboczych (n, I, T, η=f(P2)) – wyznaczenie charakterystyk regulacyjnych (n=f(U)).

10.3. Omówienie programu ćwiczenia 10.3.1 Uwagi ogólne W silnikach szeregowych uzwojenie wzbudzenia jest połączone szeregowo z

uzwojeniem twornika (rys. 10.1). Oznacza to, że w maszynach tych prąd pobierany z sieci jest jednocześnie prądem twornika i prądem wzbudzenia (I=It=If).

B1

B2

A2

A1

D1D2

U

I

It

If

E

Rys. 10.1 Schemat silnika szeregowego prądu stałego Uzwojenie wzbudzenia wytwarza strumień magnetyczny Φ, który przy nienasyconym

obwodzie magnetycznym jest proporcjonalny do prądu I Ic1=Φ (1)

Strumień ten oddziałuje na pręty uzwojenia twornika, w których płynie taki sam prąd jak w uzwojeniu wzbudzenia. Efektem tego oddziaływania jest moment elektromagnetyczny

232 IcIcT =Φ= (2)

wprawiający wirnik w ruch obrotowy. W uzwojeniu twornika, wirującym w polu magnetycznym z prędkością obrotową n,

indukuje się SEM nIcncE 54 =Φ= , (3)

której wartość jest mniejsza od wartości napięcia zasilającego (U) o spadek napięcia na rezystancji obwodu twornika (IRt). Na podstawie II prawa Kirchhoffa można napisać, że w silniku tym:

57

tRIUE −= (4) Po uwzględnieniu zależności (3) i prostym przekształceniu otrzymamy:

IcRIUn t

5

−= (5)

Z zależności (5) wynika, że w silnikach szeregowych prędkość obrotową można regulować przez zmianę: wartości napięcia zasilającego, rezystancji obwodu twornika lub prądu wzbudzenia. Zmianę tego ostatniego uzyskuje się przez bocznikowanie obwodu wzbudzenia.

Ponieważ I Rt << U w przybliżeniu można przyjąć, że

IcUn5

≈ (6)

lub

TcUn

6

≈ (7)

Z równania (7) wynika, że przy U=const. zależność n=f(T) ma postać jak na rys. 10.2.

T

n

U =U n

Rys. 10.2. Zależność n=f(T) dla silnika szeregowego

Włączenie w obwód twornika dodatkowej rezystancji powoduje przesunięcie

charakterystyki w dół, a zbocznikowanie obwodu wzbudzenia w górę. Przy bezpośrednim włączeniu na sieć o napięciu U silnik w pierwszej chwili rozruchu

(n=0) pobierałby prąd

tr R

UI = (8)

Z uwagi na małą wartość rezystancji obwodu twornika prąd ten przy U=Un byłby wielokrotnie większy od prądu znamionowego, co zarówno dla silnika jak i sieci zasilającej byłoby szkodliwe. Z zależności (8) wynika, że wartość prądu Ir można obniżyć przez zmniejszenie wartości napięcia zasilającego lub przez włączenie na czas rozruchu dodatkowej rezystancji w obwód twornika.

Silniki szeregowe odznaczają się dużym momentem rozruchowym, dużą zależnością prędkości obrotowej od obciążenia oraz niebezpiecznie dużą prędkością obrotową podczas pracy bez obciążenia. Z uwagi na tę ostatnią właściwość, silniki szeregowe powinny zawsze pracować przy pewnym obciążeniu.

Obecnie silniki szeregowe stosuje się głównie w trakcji elektrycznej jako silniki napędowe oraz w pojazdach samochodowych, gdzie pełnią rolę rozruszników.

58

10.3.2. Wyznaczenie charakterystyk mechanicznych i roboczych Charakterystykę mechaniczną silnika, czyli zależność n=f(T) przy U=const. i If /I=const.

wyznacza się w układzie jak na rys. 10.3.

G

V

MA

A

T

A

V

A

n

= 220V

A1A1

A2A2

B2B2

B1 B1

F1 F2D1 D2

W2

W1

W3

Ifg

Rr

R0

R1

R2

If

I

Rys. 10.3 Schemat układu do badania silnika szeregowego.

W układzie tym badany silnik (M) połączony jest z hamulcem, którym jest obcowzbudna prądnica prądu stałego (G). Do obciążenia prądnicy, a tym samym i silnika, służy regulowany rezystor Ro.

Przed uruchomieniem silnika należy zamknąć wyłącznik W3 i za pomocą rezystora R2 ustawić znamionową wartość prądu w obwodzie wzbudzenia prądnicy (Ifgn). Następnie rezystor Ro należy ustawić w takie położenie, przy którym prądnica zapewni silnikowi obciążenie wstępne, aby zapobiec jego rozbieganiu się.

Aby prąd rozruchowy silnika Ir≤2,5In w obwód twornika włączono rezystor Rr. Przed uruchomieniem silnika rezystor ten powinien znajdować się w położeniu Rr max. Uruchomienie silnika polega na zamknięciu wyłącznika W1 i stopniowym zmniejszaniu rezystancji Rr od wartości Rr max do wartości Rr=0. Po rozruchu silnik należy obciążyć za pomocą rezystora Ro tak, aby przy U=Un pobierał on z sieci prąd I=1,25 In. Zmniejszając obciążenie silnika od I = 1,25 In do wartości, przy której prędkość obrotowa wirnika n=1,3nn, wykonać co najmniej 6 pomiarów. Pomiary należy wykonać dla If/I=1; 0,9 i 0,8. Charakterystykę naturalną silnika (If =I) wyznacza się przy otwartym wyłączniku W2, natomiast charakterystyki sztuczne przy zamkniętym. Odpowiednie wartości prądu wzbudzenia ustala się za pomocą rezystora R1. Rezystor ten powinien mieć blokadę uniemożliwiającą zwarcie obwodu wzbudzenia. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 1. Na ich podstawie wykreślić charakterystyki mechaniczne silnika dla podanych wartości If /I.

W przypadku, gdy w układzie pomiarowym (rys. 10.3) brak jest miernika momentu, zamiast charakterystyk n=f(T) należy wykreślić charakterystyki n=f(I).

59

Tabela 10.1 Lp. If /I I n T Uwagi

- A obr/min N⋅m 1 . . 6

1,0

U=Un=const

1 . . 6

0,9

1 . . 6

0,8

Tabela 10.2

Lp. I P1 n T P2 η Uwagi A W obr/min N⋅m W - U=Un=const

W tabeli 10.2 należy zestawić wyniki pomiarów z tabeli 10.1 dla If /I=1 oraz obliczenia

niezbędne do wykreślenia charakterystyk roboczych silnika. W powyższej tabeli: - moc pobrana przez silnik z sieci

IUP =1 , - moc oddana przez silnik (na wale)

TnP 105,02 = , - sprawność

1

2

PP

=η

Na podstawie otrzymanych wyników wykreślić następujące charakterystyki robocze: n, I, T, η = f(P2). Dla silnika szeregowego charakterystyki te mają postać jak na rys. 10.4.

P 2

nITη

η

TI

n

P 2n

Rys. 10.4 Charakterystyki robocze silnika szeregowego prądu stałego

60

Na podstawie wykreślonych charakterystyk dla P2=P2n należy odczytać wartość prądu, momentu, prędkości obrotowej i sprawności. Odczytane wartości porównać z wartościami podanymi na tabliczce znamionowej silnika.

10.3.3 Wyznaczenie charakterystyk regulacyjnych W silnikach szeregowych zmianę prędkości obrotowej najczęściej uzyskuje się przez

zmianę wartości napięcia zasilającego. Przy stałym momencie obciążenia (T=const. lub I=const.) zależność n=f(U), zwana charakterystyką regulacyjną, ma zgodnie z wyrażeniem (7), postać linii prostej (rys. 10.5).

n

U

0,5I 0,75I I n 1,25I

Rys. 10.5 Charakterystyki regulacyjne

Pomiary charakterystyk regulacyjnych należy wykonać dla 4 wartości prądu obciążenia,

wynoszących 0,5; 0,75; 1,0; 1,25 In. Bez względu na wartość prądu obciążenia pomiary należy rozpoczynać od U=Un. Dla każdej wartości prądu wykonać 5 pomiarów. Wyniki pomiarów zestawić w tabeli 10.3. Na ich podstawie wykreślić rodzinę charakterystyk n=f(U).

Tabela 10.3

Lp. I U n Uwagi A V obr/min

10.4. Opracowanie wyników Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać:

- opracowany protokół z pomiarów wraz z wynikami badań i obliczeń, - wykresy charakterystyk mechanicznych, roboczych i regulacyjnych, - wnioski z pomiarów.

10.5. Pytania kontrolne

1. Omówić sposoby regulacji prędkości obrotowej silników szeregowych. 2. Dlaczego silniki szeregowe nie powinny być uruchamiane bez obciążenia? 3. W jaki sposób można zmienić kierunek wirowania silnika szeregowego? 4. Dlaczego prąd rozruchowy silnika szeregowego jest duży? 5. Dlaczego silniki szeregowe stosowane są w trakcji elektrycznej?

61

II. ZBIÓR ZADAŃ

1.OBWODY PRĄDU STAŁEGO Zadanie 1.1.

Napięcie na zaciskach akumulatora samochodowego w stanie jałowym wynosi 12 V a prąd płynący między zaciskami w stanie zwarcia jest równy 300 A. Obliczyć napięcie na zaciskach i rezystancję odbiornika przy obciążeniu akumulatora prądem 25A . Rozwiązanie.Napięcie na zaciskach akumulatora w stanie jałowym (rys.1.1.1a) jest równe jego sile elektromotorycznej U0= E = 12V.

RW

U0

E

RW

E

IZ

IZ RW RW

E

I

I RW

U0 R

a) b) c)

Rys.1.1.1. Układ połączeń akumulatora

W stanie zwarcia (rys.1.1.1 b) siła elektromotoryczna E równoważona jest spadkiem napięcia na rezystancji wewnętrznej akumulatora Rw powstającym wskutek przepływu prądu zwarcia Iz : .E I Rz w=

Zatem rezystancja wewnętrzna akumulatora wynosi:

R EIw

z

= = =12300

0,04Ω .

Przy obciążeniu akumulatora odbiornikiem o rezystancji R (rys.1.1.1c) , zgodnie z II prawem Kirchhoffa można napisać . E IR IRw− − = 0Napięcie na zaciskach akumulatora U równe napięciu na odbiorniku (I R ) wynosi: U= E - I Rw = − ⋅12 25 0 04, = 11V, zatem rezystancja odbiornika jest równa:

R UI

= = =1125

0 44, .Ω

Zadanie 1.2.

Dwa akumulatory połączone są równolegle z odbiornikiem o rezystancji R (rys.1.2.1.). Obliczyć prądy płynące w poszczególnych gałęziach obwodu i napięcie na odbiorniku. W obliczeniach przyjąć: E1=12,5V, Rw1=0,05Ω, E2=11,5V, Rw2=0,1Ω, R =1Ω.

62

RW1

E1

I R

I1 RW1

I1

R

I2 RW2RW2

E2

I2

II II

Rys.1.2.1 Schemat układu do zad.1.2. RozwiązaniePrzy rozwiązywaniu tego typu zadań (obwody rozgałęzione), w celu uniknięcia pomyłek, należy: a) zaznaczyć kierunki prądów we wszystkich gałęziach; kierunki te można przyjąć dowolnie, b) zaznaczyć - przeciwnie do kierunku prądów - napięcia na wszystkich elementach obwodu

(rezystancjach), c) przyjąć i oznaczyć kierunki „ obchodzenia” oczek obwodu . W obwodzie zawierającym g gałęzi do wyznaczenia płynących przez nie prądów należy ułożyć g niezależnych równań. Najpierw układa się proste w zapisie równania węzłowe. Przy liczbie węzłów w można ułożyć w - 1 niezależnych równań. Pozostałe równania układa się dla wybranych oczek obwodu. Zadany obwód ma 3 gałęzie. Należy więc ułożyć 1 równanie węzłowe i 2 równania oczkowe. Na podstawie I prawa Kirchhoffa, dla węzła A: I1 + I2 - I = 0, zaś zgodnie z II prawem Kirchhoffa , w oczku I: E1 - I R – I1 Rw1 = 0 w oczku II E2 - I R – I2 Rw2 = 0 Po uporządkowaniu, układ podanych równań można przedstawić w postaci macierzowej:

EE

R RR R

III

w

w

1

2

1

2

1

2

0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

=⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

⋅⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

,

,

0, 0, , 1, - 1

Poszczególne prądy obliczone metodą wyznaczników wynoszą:

I WW1

1 14 52= = , A ,

I WW2

2 2 74= = − , A ,

I WW

= =3 11 78, A ,

przy czym

0,155- 1- 1, ,1

0 0, ,

2

1

== , R, R RR

W w

w 25,21- 1, ,0

0

22

1

1 −== , R , R E, R, E

W w

63

425,01 - 0, ,1

, 0, , ,

2

11

2 == R ERER

Ww

825,10 1, ,1

, 0, ,0 ,

22

11

3 −== ERER

W w

w

Ujemna wartość prądu I2 wskazuje, że płynie on w kierunku przeciwnym do zaznaczonego na rysunku. Zatem w podanym układzie pierwszy akumulator zasila odbiornik równocześnie ładując drugi akumulator. Napięcie na odbiorniku wynosi:

U IR= = ⋅ =11 78 1 11 78, , V. W celu sprawdzenia poprawności uzyskanych wyników można wykorzystać równania ułożone dla obwodu. Zadanie 1.3. Obliczyć wartości i określić zwroty prądów w poszczególnych gałęziach obwodu pokazanego na rysunku1.3.1. Parametry poszczególnych elementów obwodu wynoszą: U = 24 V, R1=R6=1Ω, R2=4 Ω, R3=12 Ω, R4=R5=3 Ω .

R1I1

U

I2A

I3

I4

I5

I6

R2

R3

R4

R5

R6

CB

R1I1

U

A

I4

I5

I6

RZ1

R4

R5

R6

B

a) b)

R1I1

U

A

I4

I5

I6

RZ2R5

R6

B

R1I1

U

I6

RZ3

R6

c) d)

Rys.1.3.1. Schemat obwodu do zadania 1.3. Rozwiązanie

W przypadku gdy w obwodzie rozgałęzionym znajdują się jedynie rezystancje, prądy w gałęziach można obliczyć stosując metodę redukcji liczby tych elementów przez wprowadzenie rezystancji zastępczych.

64

Poszczególne etapy takiego postępowania pokazano na rysunku, gdzie skomplikowany, rozgałęziony obwód zredukowano do prostego obwodu nie rozgałęzionego. Przy rysowaniu kolejnych obwodów o zmniejszonej liczbie elementów zachowuje się takie same oznaczenia nie ulegających zmianie prądów i napięć. Ułatwia to, przez porównanie obwodów przed i po przekształceniu, wyznaczenie prądów i napięć w zadanym obwodzie. Poszczególne rezystancje zastępcze występujące w obwodach zastępczych są równe:

R R R R RR Rz1 2 3

2 3

2 3

4 124 12

= =+

=⋅+

/ / = 3 , Ω

R R Rz z2 1 4 3 3 6= + = + = Ω ,

R R R R RR Rz z

z

z3 2 5

2 5

2 5

6 36 3

2= =+

=⋅+

=/ / Ω .

Prąd pobierany przez cały układ wynosi

I1 = I6 = UR R Rz1 3 6

241 2 1

6+ +

=+ +

= A.

Napięcie między punktami A i B jest równe UAB = I5R5 = U - I1R1 - I6R6 = 24 − ⋅ − ⋅ =6 1 6 1 12 V. Zatem prąd płynący przez rezystancję R5

I5 = UR

AB

5

123

= = 4 A .

Prąd I4 można obliczyć na podstawie I prawa Kirchhoffa dla węzła B I4 = I6 - I5 = 6 - 4 = 2 A. Prąd ten powoduje spadek napięcia między punktami C i B UCB = I4R4 = 2 . 3 = 6 V. Napięcie między punktami A i C obliczone na podstawie II prawa Kirchhoffa wynosi: UAC = UAB - UCB = 12 - 6 = 6 V. Napięcie to powoduje przepływ prądów:

I2 = UR

AC

2

64

= = 1,5 A,

I3= UR

AC

3

612

= = 0,5 A.

Brak ujemnych wartości obliczonych prądów świadczy, że kierunek ich przepływu jest zgodny z zaznaczonym na rysunku. Zadanie 1.4.

Odbiornik o napięciu znamionowym Un= 100 V i mocy znamionowej Pn=500 W ma być zasilany z sieci o napięciu U = 220 V. Dobrać wartość rezystancji opornika dodatkowego, połączonego szeregowo z odbiornikiem, przy której układ załączony na sieć będzie pobierał prąd równy prądowi znamionowemu odbiornika. Obliczyć moc traconą w tym oporniku , moc pobieraną przez odbiornik oraz sprawność układu. Rozwiązanie.

R0 Rd

I

U

Rys.1.4.1. Układ połączenia odbiornik - opornik dodatkowy

65

Z danych znamionowych wynika, że prąd znamionowy odbiornika wynosi

In =PU

n

n

= 5A a jego rezystancja Ro = UI

n

n

= 20 Ω.

Rezystancja układu załączanego na napięcie U = 220 V przy założeniu wartości prądu

I = In = 5 A powinna wynosić: R =UIn

= 44 Ω.

Zatem wartość rezystancji opornika dodatkowego wyniesie: Rd = R - Ro = 24 Ω.

Moc tracona w tym oporniku wynosi Pd =In2Rd = 600 W a moc pobierana przez

odbiornik Po = In2Ro =500 W jest równa jego mocy znamionowej.

Moc pobieraną przez cały układ można obliczyć z zależności: P = Po + Pd = I2R = UI =1100 W.

Sprawność układu , równa stosunkowi mocy pobieranej przez odbiornik do mocy dostarczanej z sieci (pobieranej przez cały układ), wynosi:

η = PP0 = 0,455.

Zadanie 1.5. Obliczyć prądy w gałęziach oraz rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na rys.1.5.1. Parametry poszczególnych elementów obwodu są równe: E = 26V, R1= 3 Ω, R2 = 2,5 Ω, R3 = 2 Ω, R4 =3 Ω, R5 = 5 Ω.

R1

R2

R3

R4

R5

I1

I2

I3

I4

I5

IE

AB

D

C

Rys.1.5.1.Obwód rozgałęziony do zadania 1.5.

Rozwiązanie. Obwód (rys.1.5.1) zawiera 6 gałęzi, więc obliczenie prądów wymagałoby ułożenia i

rozwiązania układu 6 równań liniowych. Dlatego korzystne jest zastosowanie przekształcenia podanego obwodu w celu zredukowania liczby jego elementów (rezystancji). Ze względu na połączenie trzech rezystancji R3, R4 i R5 w trójkąt przekształcenie go w równoważną gwiazdę (rys. 1.5.2a ) powoduje zredukowanie liczby gałęzi do trzech. Kolejne kroki w przekształcaniu obwodu, polegające na wprowadzaniu rezystancji zastępczych dla rezystancji połączonych szeregowo lub równolegle i doprowadzające go do postaci obwodu prostego zawierającego tylko źródło (sem E) i odbiornik w postaci rezystancji zastępczej Rz , ilustrują rysunki 1.5.2 a, b, c, d.

66

a)

RZ2RZ1

RZ3

R1

R2

I1

I2

IE

AB

D

C

O

b)

RZ 4

RZ 5

RZ 1

I1

I2

IE

AB

O

c)

RZ 6

RZ 1IE

AB

O

d)

RZ

IE

Rys.1.5.2. Redukcja elementów obwodu rozgałęzionego z rys. 1.5.1. Zamiast tych przekształceń można także dla obwodu z rysunku 1.5.2a ułożyć 3 równania posługując się prawami Kirchhoffa. Dla podanych wartości poszczególne rezystancje zastępcze są równe:

Rz1 = R RR R R

3 4

3 4 5+ + =

⋅+ +2 3

2 3 5= 0,6 Ω,

Rz2 = R RR R R

3 5

3 4+ + 5

= 2 52 3 5

⋅+ +

= 1 Ω,

Rz3 = R RR R R

4 5

3 4 5+ +=

⋅+ +3 5

2 3 5 = 1,5 Ω,

Rz4 = R1+ Rz2 = 3 + 1 = 4 Ω, Rz5 = R2 + Rz3 = 2,5 + 1,5 = 4 Ω,

Rz6 = R RR R

z z

z z

4 5

4 5+ =

⋅+

4 44 4

= 2 Ω,

Rz = Rz1 + Rz6 = 0,6 + 2 = 2,6 Ω. Prądy w poszczególnych gałęziach obwodu oblicza się , korzystając z I i II prawa Kirchhoffa, dla wybranych węzłów i oczek , cofając się od obwodu prostego do zadanego obwodu rozgałęzionego. Na podstawie rys.1.5.2.b prąd I wypływający ze źródła jest równy:

I = ERz

=262 6,

= 10 A.

Prąd I1, obliczony na podstawie II prawa Kirchhoffa dla górnego oczka z rysunku 1.5.2b, wynosi

I1 =E IR

Rz

z

− 1

4

=− ⋅26 10 0 6

4, = 5 A.

Prąd I2 , obliczony na podstawie I prawa Kirchhoffa z sumy prądów w węźle A, jest równy: I2 = I - I1 = 10 - 5 = 5 A.

67

Prąd I3 można obliczyć z równania ułożonego na podstawie II prawa Kirchhoffa dla górnego oczka z rysunku 1.5.1.

I3 =E I R

R− 1 1

3

=− ⋅26 5 32

= 5,5 A.

Z sumy prądów w węźle B wynika, że I4 = I - I3 = 10 - 5,5 = 4,5 A. Prąd I5 można obliczyć z sumy prądów w węźle C I5 = I3 - I1 = 5,5 - 5 = 0,5 A. Zadanie1. 6.

Wyznaczyć rezystancję zastępczą obwodu przedstawionego na rysunku 1.6.1. oraz prądy i moce pobierane przez obwód i przez poszczególne rezystory.

R1 = 1Ω R3 = 4Ω

U = 12 V

R2 = 2Ω

Rys1.6.1. Schemat układu do zadania1.6.

Odpowiedź: Rz=47

Ω , I=21A, P=252W, I1=12A, P1=144W, I2=6A, P2=72W, I3=3A,

P3=36W. Zadanie 1.7. Dobrać wartość opornika R tak, żeby rezystancja zastępcza obwodu z rysunku 1.7.1. była równa 2R. Obliczyć moc traconą na tym oporniku oraz moc pobieraną ze źródła.

R1 = 10Ω

R2 = 50Ω RE = 50 V

R1 = 10Ω

Rys.1.7.1. Schemat obwodu do zadania 1.7. Odpowiedź: R=12,84Ω, PR=22,95W, P=97,35W. Zadanie 1.8. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu pokazanego na rysunku 1.8.1. przy otwartym i zamkniętym wyłączniku W.

68

E1 = 50 V

E2 = 50 V E3 = 50 V

W

R2 = 10Ω

R1 = 20Ω

R3 = 5Ω

R4 = 3Ω

Rys.1.8.1. do zadania 1.8.. Odpowiedź: Przy otwartym wyłączniku w żadnej gałęzi obwodu nie płynie prąd. Przy zamkniętym wyłączniku I1= 1,22A, I2= 2,44A, I3= 4,88A, I4= 8,54A. Zadanie 1.9. Jaką wartość prądu wskazuje amperomierz w obwodzie przedstawionym na rysunku 1.9.1.

A

R2 = 4Ω

R4 = 2ΩR3 = 4Ω

R1 = 2Ω

R5 = 1Ω E = 5,5 V

Rys.1.9.1 Schemat układu do zadania 1.9.

. Odpowiedź: I = 0,5 A

70

2.OBWODY MAGNETYCZNE Zadanie 2.1.

Obliczyć indukcyjność cewki o liczbie zwojów z =2000 nawiniętej na rdzeniu ferromagnetycznym ze szczeliną powietrzną, pokazanym na rysunku 2.1.1. Reluktancję rdzenia pominąć. Jaka jest wartość indukcji magnetycznej i strumienia w szczelinie δ przy zasilaniu cewki prądem I = 2 A.

Φ

I

z

×25

25δ = 5

Rys.2.1.1. Szkic do zadania 2.1. RozwiązanieIndukcyjność własna L cewki skupionej o liczbie zwojów z , której wszystkie zwoje są sprzężone ze strumieniem magnetycznym Φ, wytworzonym przez siłę magnetomotoryczną cewki Θ = Ι z, określona jest zależnością:

L zI

=⋅ Φ . (1)

Zgodnie z prawem Ohma dla obwodu magnetycznego:

μμ RzI

R⋅

=Θ

=Φ (2)

przy czym Rμ jest zastępczą reluktancją (oporem magnetycznym) na drodze strumienia Φ. Zakładając, że cały strumień Φ przepływa przez rdzeń i szczelinę oraz pomijając reluktancję rdzenia można przyjąć, że reluktancja zastępcza obwodu magnetycznego jest równa reluktancji szczeliny powietrznej

δδμδμ μ

δS

RR =≅ (3)

Ostatecznie z podanych zależności wynika, że indukcyjność cewki:

L zR z S

= =2 2

μδ

δμδ . (4)

Podstawiając do powyższego wzoru wartość przenikalności magnetycznej powietrza μδ równą przenikalności magnetycznej próżni μo=4π 10−7 H/m i powierzchnię Sδ przez którą przenika strumień w szczelinie równą przekrojowi rdzenia uzyskuje się:

L = ( )

2000 4 1025 10

5 102 7

3

3

2

⋅ ⋅⋅

⋅−

−

−π = 0,628 H.

Strumień magnetyczny obliczony z wcześniej podanej zależności (1) wynosi:

71

Φ = L Iz⋅

=⋅

=0 628 2

2000, 6,28. 10−4 Wb,

a indukcja magnetyczna w szczelinie:

BBδ = ΦSδ

= ( )6 28 10

25 10

4

3 2, ⋅

⋅≅

−

−1 Τ.

Przy podanych założeniach indukcja magnetyczna w rdzeniu ma taką samą wartość jak w szczelinie. Zadanie 2.2.

Cewka elektromagnesu pokazanego na rysunku, o liczbie zwojów z = 1000, jest zasilana prądem stałym I=10A.Obliczyć udźwig elektromagnesu, jeżeli szczelina δ między rdzeniem a zworą wynosi 5 mm a powierzchnia przekroju rdzenia elektromagnesu Sr = 0,2 m2.Jaka jest wartość indukcji magnetycznej w szczelinie elektromagnesu?

Φ

I z

δ

F

Sr

Rys.2.2.1.Szkic elektromagnesu do zadania 2.2. Rozwiązanie.

Udźwigiem elektromagnesu jest siła F z jaką przyciąga on dolną płytę (zworę). Siłę tą obliczyć można z pracy wykonanej przez zworę na elementarnej drodze dδ :

dA = F dδ . (1) Przy zasilaniu elektromagnesu prądem stałym praca dA wykonywana jest kosztem ubytku energii dW zmagazynowanej w polu magnetycznym. Energię pola magnetycznego wytworzonego przez cewkę zasilaną prądem I określa zależność:

W = Ψ ⋅ I2

, (2)

przy czym jest strumieniem sprzężonym z uzwojeniem elektromagnesu. ΨW przypadku uzwojenia skupionego, którego wszystkie zwoje sprzężone są z tym samym strumieniem magnetycznym Φ, całkowity strumień sprzężony wynosi Ψ = z Φ. Przyjmując, że cewka elektromagnesu spełnia ten warunek i że cały strumień Φ przepływa przez szczelinę powietrzną między elektromagnesem a zworą, przy pominięciu reluktancji rdzenia i zwory można przyjąć, że praktycznie cała energia pola elektromagnesu zmagazynowana jest w szczelinie powietrznej.

72

Przy tych założeniach siła magnetomotoryczna cewki Θ wytwarzająca strumień magnetyczny Φ, zgodnie z prawem Ohma dla obwodu magnetycznego, jest równa :

Θ = ⋅I z = Φ(2 Rμδ) = Φ. 2

0

δμ δS

, (3)

przy czym Rμδ jest reluktancją jednej szczeliny; powierzchnię Sδ można w przybliżeniu przyjąć jako równą powierzchni przekroju rdzenia elektromagnesu Sr. Uwzględniając podane zależności energię pola magnetycznego zmagazynowaną w szczelinie powietrznej zapisać można w postaci:

W = ( )μδ

δ02

4S I z⋅

. (4)

Zatem udźwig elektromagnesu wyrazi się zależnością:

F = ( )dAd

dWd

S I zδ δ

μδ

δ= − =⋅0

2

24. (5)

Wstawiając do uzyskanej zależności dane elektromagnesu otrzymuje się wartość siły udźwigu wynoszącą:

F = ( )( )

4 10 0 2 10 1000

4 5 10

7 2 2

3 2

π ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

−

−

, = 50240 N,

czyli przy zadanej szczelinie równej 5 mm elektromagnes może unieść ponad 5 ton masy. Wprowadzając do wzoru (5) indukcję magnetyczną w szczelinie określoną zależnością:

BBδ = ΦSδ

, (6)

i wstawiając łączną powierzchnię S między rdzeniem elektromagnesu a zworą przez którą przenika strumień Φ , S = 2Sd, uzyskuje się zależność wyrażającą siłę udźwigu elektromagnesu na jednostkę powierzchni:

FS

B= δ

μ

2

02 . (7)

Indukcja magnetyczna w szczelinie, obliczona z tego wyrażenia, jest równa:

BBδ = 2 2 4 10 502402 0 20

7μ πFS

= ⋅ ⋅⋅

=−

, 1,256 Τ.

Zadanie 2.3.

Jakim prądem należy zasilić cewkę nawiniętą na rdzeniu składanym z blach magnetycznych, pokazanym na rysunku 2.3.1, żeby uzyskać w rdzeniu indukcję równą 1T, przy następujących założeniach: a) w obwodzie magnetycznym nie ma szczelin powietrznych, b) w obwodzie magnetycznym występują szczeliny powietrzne na stykach składanych blach;

łączna zastępcza długość szczeliny δ wynosi 1mm. Natężenie pola magnetycznego, odczytane z charakterystyki magnesowania zastosowanej blachy dla indukcji równej 1T, wynosi 1000 A/m. Obliczyć i porównać reluktancje rdzenia i szczeliny oraz wartości indukcyjności cewki dla obydwu przypadków. W obliczeniach pominąć strumień rozproszenia magnetycznego.

73

60

SFe = 400 mm2

z = 2000

40

Rys.2.3.1. Szkic do zadania 2.3. Rozwiązanie. Przypadek δ=0 Zgodnie z prawem przepływu (Ampera) przepływ cewki Θ = ⋅I z związany jest z natężeniem pola magnetycznego zależnością:

Θ = ⋅∫ H dll

.

W zadanym obwodzie , przy braku szczeliny powietrznej, wartość tej całki równa jest iloczynowi natężenia pola magnetycznego w rdzeniu HFe i średniej długości zamkniętej linii pola magnetycznego lFe , którą zaznaczono na rysunku. Zatem siła magnetomotoryczna cewki, odpowiadająca natężeniu pola magnetycznego w rdzeniu HFe = 1000 A/m, powinna wynosić:

( )Θ = = ⋅ ⋅ + ⋅ =−H lFe Fe 1000 2 60 40 10 3 200 A Cewkę należy zasilić prądem

Iz

= = =Θ 200

20000 1, A.

Siła magnetomotoryczna wytwarza strumień magnetyczny Φ który, przy pominięciu strumienia rozproszenia, przepływa tylko w rdzeniu o powierzchni przekroju S

ΘFe. Jego

wartość wynosi : 46 104104001 −⋅=⋅⋅==Φ FeFe SB Wb

Reluktancję rdzenia obliczyć można z prawa Ohma dla obwodu magnetycznego: R Feμ

R Feμ = =⋅

= ⋅−

ΘΦ

2004 10

50 1044 H-1.

Indukcyjność cewki odpowiadająca obliczonej reluktancji obwodu magnetycznego wynosi:

L zR Fe

= =⋅

=2 2

42000

50 108

μ

H.

Przypadek δ = 1mm. W obwodzie ze szczeliną powietrzną założenie takiej samej (jak w obwodzie bez szczeliny powietrznej) wartości indukcji w rdzeniu odpowiada przyjęciu tej samej wartości strumienia

74

magnetycznego Φ. Reluktancja rdzenia RμFe nie ulegnie zmianie a całkowita reluktancja obwodu magnetycznego Rμ będzie powiększona o reluktancję szczeliny powietrznej Rμδ , która wynosi:

R lS SFe

μδδ

δμδ

μ π=

⋅≅

⋅=

⋅⋅ ⋅ ⋅

≅ ⋅−

− −0 0

3

7 441 10

4 10 4 10199 10 H-1 .

Całkowita reluktancja obwodu magnetycznego Rμ jest równa: Rμ= Rμδ + RμFe = 50.104 + 199.104 = 249 104 H-1.

Siła magnetomotoryczna cewki powinna więc wynosić: 99610249104' 44 =⋅⋅⋅=Φ=Θ μR A

co wymaga zasilania cewki prądem:

A.498,02000996'' ==

Θ=

zI

Indukcyjność cewki o rdzeniu ze szczeliną jest równa:

H.6,110249

2000' 4

22

≅⋅

==μR

zL

Z porównania odpowiednich wartości wynika, że niewielka szczelina powietrzna w obwodzie magnetycznym powoduje duży, prawie pięciokrotny, wzrost reluktancji obwodu i smm niezbędnej do uzyskania wymaganej wartości strumienia lub indukcji magnetycznej.Oznacza to również pięciokrotne zmniejszenie indukcyjności cewki. Zadanie 2.4. Obliczyć energię pola magnetycznego zmagazynowaną w szczelinie elektromagnesu z zadania 2.2. Odpowiedź: W = 1256 J. Zadanie 2.5. Elektromagnes z rdzeniem bez szczeliny o danych z rysunku 2.3.1. zasilany jest prądem o regulowanej wartości od 0 do 0,4 A. Charakterystyka magnesowania ferromagnetycznego materiału rdzenia jest przedstawiona w postaci poniższej tabeli: B [T] 0 0,3 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,5 1,6 1,65 H [A/m] 0 50 100 240 500 1000 1700 2500 4000 6000

Początkowa część charakterystyki jest praktycznie prostoliniowa. Określić zakres zmian wartości indukcyjności cewki elektromagnesu. Odpowiedź: Lmax= 48 H, Lmin= 3,2 H.

75

3. OBWODY PRĄDU PRZEMIENNEGO JEDNOFAZOWEGO. Zadanie 3.1.

Cewka indukcyjna zasilana napięciem sinusoidalnym U =100 V o częstotliwości f = 50 Hz pobiera moc P=60 W przy prądzie I =1A. Wyznaczyć rezystancję i indukcyjność cewki. Rozwiązanie:

Impedancja cewki wynosi:

.1001

100Ω===

IUZ

Impedancję Z cewki indukcyjnej traktuje się jako układ rezystancji R i reaktancji X połączonych szeregowo (rys.3.1.1).

R

X

U

I

Rys. 3.1.1. Schemat zastępczy cewki indukcyjnej.

Prąd pobierany w takim układzie płynie przez oba elementy a impedancja określona jest zależnością:

Z R X= +2 2 . Pobierana przez cewkę moc czynna, odpowiadająca wydzielanej przez nią energii cieplnej, wyraża się wzorem P = I2R. Zatem rezystancja cewki jest równa

Ω=== 60160

22IPR .

Reaktancja cewki wynosi

Ω=−=−= 8060100 2222 RZX , a jej indukcyjność

L X Xf

= =⋅

=⋅

≅ω π π2

802 50

0 255, H .

Zadanie 3.2.

W układzie jak na rysunku 3.2.1, zasilanym napięciem sinusoidalnym o częstotliwości f =50 Hz wszystkie woltomierze wskazują napięcie równe 100 V a amperomierz wskazuje prąd 10 A. Narysować wykres wektorowy i wyznaczyć wartości R , L i C oraz wartość napięcia zasilającego układ.

76

A

V V V

UR UCUL

U

I R L C

Rys.3.2.1. Schemat układu do zad.3.2. Rozwiązanie:

Elementy R , L i C połączone są szeregowo, więc przy sporządzaniu wykresu wektorowego wygodnie jest zacząć od narysowania wektora prądu I, który płynie przez te elementy. Kierunek pierwszego rysowanego wektora można przyjąć dowolnie. Na rys.3.2.2 założono I=I, co oznacza że prąd ma tylko składową rzeczywistą, zatem został narysowany poziomo.

jXL I = U L

- jXC I = U C

R I = U R I

U

U L

U C

Rys. 3.2.2. Wykres wektorowy do układu z rys.3.2.1.

Pozostałe wektory muszą być rysowane z odpowiednim przesunięciem kątowym równym przesunięciu fazowemu odpowiadającego im przebiegu. Wektor napięcia na rezystorze UR ma kierunek taki sam jak prąd I, gdyż ich przebiegi są w fazie. Przebieg napięcia na elemencie indukcyjnym wyprzedza przebieg prądu o kąt π/2, zaś przebieg napięcia na elemencie pojemnościowym jest opóźniony względem prądu o kąt π/2 . Dlatego wektory U L i UC są przesunięte odpowiednio o kąt +π/2 i -π/2 względem wektora prądu I.

Napięcie zasilające układ szeregowo połączonych elementów równe jest sumie napięć na tych elementach. W rozpatrywanym układzie wektory U L i UC znoszą się, toteż wektor wypadkowy

U = UR + U L + UC = UR. Wartość napięcia zasilającego jest więc równa:

U = UR= 100 V. Wartość rezystancji R wyznaczyć można bezpośrednio z wartości napięcia UR i prądu I

77

R UIR= = =

10010

10Ω .

Wartości indukcyjności L i pojemności C wynikają z obliczonych reaktancji :

X UIL

L= = =10010

10Ω , skąd mH 8,31502

102

=⋅

=⋅

=ππ f

XL L .

X UICC= = =

10010

10Ω , skąd Cf XC

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=1

21

2 50 10318

π πμ F.

Zadanie 3.3

Sporządzić wykres wektorowy dla układu pokazanego na rysunku 3.3.1 i na jego podstawie obliczyć przy jakiej wartości pojemności C prąd pobierany przez układ będzie najmniejszy. Obliczyć wartość tego prądu. Przyjąć R = 10 Ω, L = 20 mH, U = 100 V, f = 50 Hz.

R

X

U

I

C

I1 I2

Rys. 3.3.1. Schemat układu do zadania 3.3. Rozwiązanie: Układ składa się z dwóch gałęzi połączonych równolegle i zasilanych napięciem U. Wykres wektorowy dla tego układu (rys.3.3.2.) sporządzono przyjmując wektor napięcia zasilającego jako wektor podstawowy i zakładając, że leży on na osi liczb rzeczywistych (U=U=100V).

I U

I 2

I 1

I 2ϕ

Rys.3.3.2. Wykres wektorowy do układu z rys.3.3.1.

Przy takim założeniu wektor prądu w pierwszej gałęzi wyniesie:

78

)49,418,7(28,610

1001 j

jjXRUI

L

−=+

=+

= A,

przy czym reaktancja indukcyjna

X f LL = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =−2 2 50 20 10 6 283π π , .Ω Wektor prądu I2, płynącego przez kondensator wyprzedza wektor U o kąt

π/2. Dodając I2 do wektora I1 otrzymuje się wypadkowy wektor prądu pobieranego przez układ I. Z wykresu wynika, że przy zadanym prądzie I1, najmniejszą wartość prądu I uzyskuje się wówczas gdy jest on w fazie z napięciem zasilającym. Obwód jest wtedy w stanie rezonansu.

Z wykresu można również zauważyć, że moduł prądu I2 odpowiadający najmniejszemu prądowi I: jest równy składowej urojonej prądu I1. Zatem prąd I2= 4,49A. Taką wartość prądu uzyskuje się przy reaktancji kondensatora równej:

XC = = ≅UI2

1004 49

22 27,

, .Ω

Pojemność kondensatora powinna więc wynosić:

Cf XC

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=1

21

2 50 22 27143

π πμ

, F .

Prąd wypadkowy I jest równy składowej rzeczywistej prądu I1. I= Re(I1) =7.18 A

Przedstawione rozwiązanie uzyskano na podstawie analizy wykresu wektorowego. Zadanie można też rozwiązać obliczając impedancję zastępczą i przyrównując jej część urojoną do zera ( w stanie rezonansu reaktancja zastępcza układu równa jest zero). Zadanie 3.4.

Obliczyć impedancję zastępczą obwodu pokazanego na rysunku 3.4.1, określić charakter tej impedancji i obliczyć wypadkowy współczynnik mocy obwodu. Wartości poszczególnych parametrów obwodu wynoszą: R1 = 4,5 Ω, XL1 =2,5 Ω, XC1 = 16 Ω, R2 = 3 Ω, XL2 = 4 Ω, XC2= 5 Ω.

R1

R2

jXL 2

-jXC 1

jXL 1

-jXC 2

A

B

Rys.3.4.1. Schemat obwodu do zadania 3.4.

79

Rozwiązanie:Obwód składa się z szeregowo połączonych elementów R1, XL1, Z1 i XC1 (rys.3.4.2), przy czym Z1 jest impedancją zastępczą dwóch gałęzi równoległych między punktami A i B.

R1

Z 1

-jXC 1

jXL 1A

B

Z

a) b)

Rys.3.4.2. Przekształcanie obwodu z rys. 3.4.1.

Przy przekształcaniu obwodu prądu przemiennego i redukcji liczby jego elementów można stosować zależności o takim samym zapisie formalnym jak dla obwodów prądu stałego z tym, że parametry elementów obwodu muszą być wyrażone za pomocą liczb zespolonych. Impedancję zastępczą Z1 dwóch gałęzi równoległych między punktami A i B można zapisać w postaci:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )222

2222221 //

CL

CLCL jXjXR

jXjXRjXjXRZ

−++−⋅+

=−+=

Po podstawieniu odpowiednich wartości otrzymujemy: ( ) ( )( ) ( ) )5,25,7(

543543

1 jjjjjZ −=

−++−⋅+

= A.

Wartość zespolona impedancji zastępczej Z całego obwodu jest równa: ( )[ ] [( ) ( )] )1612(165,25,45,25,71111 jjjXXjRZZ CL −+= + − = − + + − = A

a jej moduł wynosi: Z = + =12 16 202 2 Ω.

Znak minus przy części urojonej impedancji zastępczej Z wskazuje, że ma ona charakter pojemnościowy. Wypadkowy współczynnik mocy obwodu jest równy:

.6,02012cos ===

ZRϕ

Zadanie 3.5. Obliczyć prądy w poszczególnych gałęziach obwodu przedstawionego na rysunku 3.5.1, sporządzić bilans mocy czynnej i biernej oraz wyznaczyć wypadkowy współczynnik mocy układu. Narysować wykres wektorowy napięć i prądów w obwodzie. Przyjąć: U = 220V, R1 = 1Ω, R2= 8 Ω, R3= 12 Ω, XL = 6 Ω, XC = 16 Ω.

80

AR1

R2

XL XC

B

R3

I1 I2

I

U

Rys.3.5.1. Schemat układu do zad.3.5.

Rozwiązanie: Obliczenie prądu pobieranego przez obwód wymaga wyznaczenia jego impedancji zastępczej. Impedancję tą, przy zastosowaniu metody symbolicznej, można zapisać w postaci:

( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )CL

CLCL jXRjXR

jXRjXRRjXRjXRRZ

−++−⋅+

+=−++=32

321321 //

Po podstawieniu wartości parametrów otrzymuje się: ( ) ( )( ) ( ) )6,18,9(

1612681612681 jjjjjZ +=

−++−⋅+

+= Ω

Moduł impedancji zastępczej Z jest zatem równy: Z = R X2 2 2 29 8 1 6 9 93+ = + ≅, , , Ω.

Wypadkowy współczynnik mocy układu

cos ,,

, .ϕ = = ≅RZ

9 89 93

0 987

Prąd pobierany przez cały układ jest równy

A16,2293,9

220≅==

ZUI ,

Zakładając że wektor napięcia zasilającego U ma tylko składową rzeczywistą (U=220V) można obliczyć zespoloną wartość prądu I:

)57,387,21(6,18,9

220 jjZ

UI −=+

== A

Napięcie między punktami A i B, wspólne dla dwóch gałęzi obwodu połączonych równolegle, jest równe różnicy między napięciem zasilającym cały obwód i spadkiem napięcia na rezystancji R1

)57,313,198(1)57,387,21(2201 jjRIUU AB +=⋅−−=⋅−= V. Moduł tego napięcia wynosi:

UAB = 198,16V 57,313,198 22 =+ . Prądy I1 i I2 są równe:

( )6,1106,1668

57,313,198

21 j

jj

jXRUI

L

AB −=++

=+

= A,

81

( )03,88,51612

57,313,198

32 j

jj

jXRUI

C

AB +=−+

=−

= A

zatem ich moduły wynoszą:

A. 91,903,88,5

A, 81,196,1116,0622

2

221

=+=

=+=

I

I

Moc czynna pobierana przez obwód równa jest sumie mocy pobieranych przez występujące w nim rezystancje a całkowita moc bierna obwodu jest równa algebraicznej sumie mocy biernych elementów indukcyjnych i elementów pojemnościowych. Zatem w rozpatrywanym obwodzie: moc czynna , P I R I R I R= + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅2

1 12

2 22

32 2 222 16 1 19 82 8 9 91 12 4812, , , W

moc bierna var7851691,9682,19 2222

21 ≅⋅−⋅=−= CL XIXIQ

Uzyskane wartości można sprawdzić obliczając jak wyżej moc całego obwodu - czynną P=I2R oraz bierną Q= I2X, lub wykorzystując zależność na moc pozorną:

( )VA. 7854812)57,387,21(220 jjIUjQPS +≅+⋅=⋅=+= ∗ Wykres wektorowy napięć i prądów w obwodzie przedstawiono na rysunku 3.5.2.

I 1

ϕ

I 2

I

I 2

U

U ABI R1

Rys.3.5.2. Wykres wektorowy do obwodu z rys. 3.5.1.

Obliczenia prowadzone konsekwentnie metodą symboliczną znacznie ułatwiają narysowanie wykresu wektorowego, gdyż wartości wszystkich wielkości występujących na tym wykresie mają formę liczb zespolonych. Zadanie 3.6. Cewka indukcyjna pobiera prąd 5 A przy zasilaniu napięciem stałym 50 V lub napięciem sinusoidalnym 200 V o częstotliwości 50 Hz. Obliczyć częstotliwość napięcia zasilającego obwód złożony z tej cewki i szeregowo połączonego kondensatora o pojemności 50 μF przy której wystąpi w nim rezonans. Odpowiedź: f = 64,2 Hz. Zadanie 3.7. Obliczyć częstotliwość rezonansową obwodu podanego na rysunku 3.3.1. przyjmując następujące wartości jego elementów: R = 10 Ω, L = 20mH, C = 50μF.

82

Odpowiedź: f = 138 Hz. Zadanie 3.8. Na sinusoidalne napięcie 1-fazowe U = 220 V załączono równolegle trzy odbiorniki pobierające następujące prądy i moce czynne: I1 = 12,5 A, P1 = 2,2 kW, I2 = 25 A, P2 = 3,3 kW, I3 = 20 A, P3 = 4,4 kW. Obliczyć prąd pobierany przez układ i wypadkowy współczynnik mocy. Odpowiedź: I = 52,7 A, cosϕ = 0,853.

83

4. OBWODY PRĄDU PRZEMIENNEGO TRÓJFAZOWEGO. Zadanie 4.1.

Dwa symetryczne trójfazowe odbiorniki połączone w trójkąt o danych: 1) P1=30kW, cosϕ1=0.75 (ind.) 2) Z2=20-j15 Ω/fazę;

są zasilane z sieci o napięciu liniowym U=380V. Obliczyć sumaryczne moce: czynną P, bierną Q , pozorną S i prąd przewodowy I pobierany z sieci oraz wypadkowy współczynnik mocy cosϕ . R o z w i ą z a n i e

Układ połączeń jak na rysunku 4.1.1.

A

C

B

Z 1 Z 2

I1

I2I

3 ×

380

V

If 2If 1

Rys.4.1.1. Układ połączeń odbiorników do zadania 4.1.

Moc bierna odbiornika 1: 111 tgϕPQ =

cosϕ1= 0,75, zatem tgϕ1 = 0,882 Q1=30⋅ 0,882 = 26,46 kvar.

Moc czynna odbiornika 2.

222 cos3 ϕff IUP = .

Po uwzględnieniu w powyższej zależności, że w odbiorniku połączonym w trójkąt: Uf = U = 380V oraz:

;2

22 Z

UI f

f = 2

22cos

ZR

=ϕ ; 22

222 XRZ +=

otrzymamy:

86,131520

203803322

2

22

22

22

2 =+

⋅⋅=

+=

XRRU

P kW.

84

Poddobnie obliczona moc bierna odbiornika 2 wynosi:

4,101520

15380333sin3 22

2

22

22

22

2

2

22222 =

+⋅⋅

=+

===XRXU

ZX

ZU

UIUQ ff ϕ kvar

Sumaryczna moc czynna: P.= P1+P2 = 30,0 + 13,86 = 43,86 kW. Sumaryczna moc bierna: Q = Q1+Q2 = 26,46 + 10,4 = 36,86 kvar. Wypadkowa moc pozorna: 29,573686043860 2222 =+=+= QPS kVA Wypadkowy prąd liniowy:

0,873803

572903

=⋅

==U

SI A

Wypadkowy współczynnik mocy:

766,05729043860cos ===

SPϕ .

Zadanie 4.2.

Dwa symetryczne odbiorniki trójfazowe o impedancjach odpowiednio: Z1 = 16+j12 Ω/fazę i Z2= 15+j20 Ω/fazę, są zasilane z symetrycznej sieci o napięciu 3 x 380V. Odbiornik 1. jest połączony w gwiazdę a odbiornik 2. w trójkąt. Obliczyć wypadkowy prąd pobierany z sieci I, sumaryczną moc czynną P oraz wypadkowy współczynnik mocy cosϕ. R o z w i ą z a n i e

Schemat połączeń odbiorników pokazano na rysunku 4.2.1.

A

C

B

Z 1

Z 2

I1

I2I

3 × 3

80 V

I2f

Rys.4.2.1. Układ połączeń odbiorników do zad.4.2. Prąd przewodowy odbiornika 1. (odb. połączony w gwiazdę).

85

1112163/380

221

111 =

+===

ZU

II ff A

Współczynnik mocy odbiornika 1.

8,01216

16cos22

1

11 =

+==

ZR

ϕ

Moc czynna odbiornika 1. 57928,0113803cos3 111 =⋅⋅⋅== ϕUIP W Prąd przewodowy odbiornika 2. (Odb. połączony w trójkąt).

3,262015

38033322

2

222 =

+===

ZU

II ff A

Współczynnik mocy odbiornika 2.

6,02015

15cos22

2

22 =

+==

ZR

ϕ

Moc czynna odbiornika 2. 103866,03,263803cos3 222 =⋅⋅⋅== ϕUIP W Sumaryczna moc czynna pobierana z sieci:

1617810386579221 =+=+= PPP W Sumaryczna moc bierna pobierana z sieci:

1815733.11038675,05792tgtg 221121 =⋅+⋅=⋅+⋅=+= ϕϕ PPQQQ var Wypadkowa moc pozorna:

=+=+= 2222 1815716178QPS 24319 VA Wypadkowy prąd pobierany z sieci:

9,363803

243193

=⋅

==U

SI A

Wypadkowy współczynnik mocy:

665,02431916178cos ===

SPϕ .

R o z w i ą z a n i e a l t e r n a t y w n e Połączony w trójkąt odbiornik 2. zastępujemy równoważnym odbiornikiem połączonym w gwiazdę (rys.4.2.2.).

86

Z 2Y = Z 2 / 3Z 1

I1

I2I

A

B

C

Rys.4.2.2. Ilustracja do przekształcenia układu z rys.4.2.1.

W tym celu jego impedancję Z2Δ należy przeliczyć na Z2Ψ . Korzystając z symetrii odbiornika obliczamy:

67,653

201532

2 jjZZ +=+

== Δ Ω/fazę.

Impedancja fazy odbiornika zastępczego połączonego w gwiazdę (rys. 4.2.3.): A

B

C

Z = Z 1 || Z 2Y

I

Rys. 4.2.3. Układ zastępczy dwóch odbiorników z rys.4.2.2.

44,494,3)67,65()1216()67,65()1216(//

21

2121 j

jjjj

ZZZZZZZ +≅

++++⋅+

=+⋅

== Ω/fazę.

Prąd pobierany z sieci przez odbiornik zastępczy:

9,3644,494,3

3/38022

≅+

===Z

UII f

f A

87

Współczynnik mocy odbiornika zastępczego:

665,044,494,3

94,3cos22

≅+

==ZRϕ .

Moc czynna pobierana z sieci: 16150665,09,363803cos3 ≅⋅⋅⋅== ϕUIP W

Uwaga! Nieznaczne różnice wyników obydwu metod są rezultatem zaokrąglania liczb podczas obliczeń. Zadanie 4.3.

Mały zakład produkcyjny jest zasilany linią trójfazową o parametrach: Rl = 0,5Ω/fazę oraz Xl = 0,9Ω/fazę. Moc czynna pobierana przez zakład wynosi P = 25kW przy współczynniku mocy cosϕ = 0,75. Obliczyć: 1) napięcie na początku linii zasilającej U1, jeśli napięcie na końcu linii U2 = 380V, 2) pojemność baterii kondensatorów jaką należy zainstalować w zakładzie aby jego

wypadkowy współczynnik mocy wzrósł do wartości cosϕk = 0,9, 3) napięcie na początku linii po włączeniu baterii kondensatorów U1k, przy założeniu, że

napięcie na końcu linii wynosi 380V. Rozwiązanie

Dla uproszczenia obliczeń, wygodnie jest analizowany zakład przedstawić jako jeden trójfazowy odbiornik połączony w gwiazdę, tak jak to przedstawiono na rysunku 4.3.1a. Korzystając z symetrii zasilania i odbiornika obliczenia przeprowadzamy dla jednej fazy. Jednofazowy schemat układu przedstawiono na rysunku 4.3.1b.

a)

Rl

Rl

Rl

Xl

Xl

Xl

I

U2U1

ODBIORNIK

b)

I Rl

Rl Xl

I X l

I

U f 2U f 1

ODBIORNIK

c)

ϕ

I Rl

I

U f 2

U f 1

ϕ

I X l

88

Rys.4.3.1. Schemat połączeń odbiorników 3-fazowych (a); schemat jednofazowy (b);wykres wektorowy (c).

Prąd fazowy If pobierany przez zakład jest równy przy połączeniu w gwiazdę prądowi przewodowemu I.

IP

U=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

325000

3 380 0 7550 6

cos ,,

ϕA. (1)

Przyjmując Uf2 = Uf2, można przedstawić zespoloną wartość prądu jako: I Ie I j j jj= = − = − = −− ϕ ϕ ϕ(cos sin ) , ( , , ) ( , , )50 6 0 75 0 661 37 9 33 5 A. (2)

Dla obwodu jednofazowego (rys.4.3.1b) można na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa napisać:

llff jXIRIUU ++= 21 (3) Rys.4.3.1c przedstawia wykres wektorowy ilustrujący powyższe równanie. Zgodnie z (3) napięcie fazowe na początku linii wyniesie:

U j j jf 1 380 3 37 9 33 5 0 5 0 9 220 49 1 17 4 269 1 17 4= + − + = + + = +/ ( , , )( , , ) , , ( , ,j ) V,

zaś moduł tego napięcia jest równy: 6,2694,171,269 22

11 =+== ff UU V. Alternatywnie, do obliczenia modułu napięcia Uf1 można zastosować przybliżony wzór:

)sincos(21 ϕϕ llff XRIUU ++≅ (4) We wzorze tym przyjmuje się, że długość wektora Uf1 jest równa długości jego rzutu na kierunek wektora Uf2 (rys.4.3.1c), co jest wystarczająco dokładnym przybliżeniem do celów praktycznych. W analizowanym przypadku Uf1 obliczone z wzoru (4) ma wartość:

U f 1 220 50 6 0 5 0 75 0 9 0 661 269 1= + ⋅ ⋅ + ⋅ =, ( , , , , ) , V Napięcie przewodowe na początku linii wyniesie:

4676,26933 11 ≅⋅=⋅= fUU V. Po włączeniu baterii kondensatorów (rys.4.3.2a) wypadkowy współczynnik mocy wzrośnie do wartości cosϕk = 0,9 - natomiast prąd pobierany z sieci zmaleje do wartości:

IP

Ukk

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=3

250003 380 0 9

42 2cos ,

,ϕ

A.

Z wykresu wektorowego (rys.4.3.2b) wynika, że prąd przewodowy baterii Ic jest równy: I I tg tgc = k−cos ( )ϕ ϕ ϕ . (5)

Podstawiając do powyższego wyrażenie (1) na prąd I oraz Ic = Ufc ω C, po przekształceniach otrzymamy wyrażenie na pojemność jednej fazy baterii kondensatorów:

223 fcfUPCπ⋅

= , (6)

co daje przy połączeniu baterii w gwiazdę (Ufc = Uf2 = 220V): 6

2 105482205023

25000 −⋅=⋅⋅⋅

=πYC F/fazę,

lub przy połączeniu w trójkąt (Ufc = U2 =380V):

89

a)

I k Rl I k X l

Ik

U f 2U f 1k

ODBIORNIK

IC

C I

b)

ϕ ϕk

I

U f 2I k

IC

IC

U f 1k

I k X l

I k Rl

Rys.4.3.2. Schemat układu z baterią kondensatorów (a); wykres wektorowy (b).

CΔ =⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ −250003 2 50 380

183 1026

πF/fazę,

Napięcie fazowe na początku linii, potrzebne aby przy włączonych kondensatorach utrzymać pożądaną wartość 380V na końcu linii, można obliczyć z wzoru (4):

U f k1 220 42 2 0 5 0 9 0 9 0 436 255 5≅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =, ( , , , , ) , V. Odpowiadające mu napięcie przewodowe wyniesie:

U Uk f k1 13 3 255 5 442 5= ⋅ = ⋅ ≅, , V.

Zadanie 4.4. Napięciem fazy A trójfazowej czteroprzewodowej linii zasilającej o napięciu 380/220 V jest zasilany grzejnik o mocy 2 kW a napięciem fazy B żarówka o mocy 100W. Obliczyć wartości napięć jakie pojawią się na zaciskach poszczególnych odbiorników jeśli w przewodzie zerowym linii zasilającej powstanie przerwa. Skomentuj otrzymane wyniki. Odp. Ugrzejnika =18,1V; Użarówki =362V. Zadanie 4.5. Ile wynosi współczynnik mocy symetrycznego odbiornika trójfazowego jeśli wskazanie watomierza włączonego w sposób pokazany na rys.4.5.1 wynosi zero.

VB

C

A

ODBI

ORNI

K

A*

* W3 x 380 V

Rys.4.5.1. Układ połączeń do zad.4.5.

Odp.: cosϕ =1.

90

5. TRANSFORMATORY I MASZYNY ELEKTRYCZNE. Zadanie 5.1.

Transformator jednofazowy ma dane znamionowe: moc Sn=15kVA, U1n=6kV;U2n=231V; fn=50Hz; napięcie zwarcia uz%=4,2% , moc pobierana w stanie zwarcia Pzn=450W, moc pobierana przez transformator w stanie jałowym P0n=190W, prąd stanu jałowego zmierzony po stronie dolnego napięcia I20n=4,2A. Obliczyć: 1. parametry schematu zastępczego transformatora (przeliczone na stronę napięcia

górnego). 2. sprawność transformatora:

a) znamionową, b) przy obciążeniu prądem znamionowym i współczynniku mocy cosϕ odb=0,8ind. c) przy obciążeniu połową prądu znamionowego i współczynniku mocy jw.

Rozwiązanie.

Napięcie zwarcia uz% jest to taka wartość napięcia na zaciskach strony pierwotnej, która powoduje, przy zwartej stronie wtórnej, przepływ w uzwojeniach transformatora prądów znamionowych. Zatem można powiedzieć, że napięcie zwarcia jest równe spadkowi napięcia na impedancji transformatora Zz przy obciążeniu prądem znamionowym. Ilustruje to uproszczony schemat zastępczy transformatora podczas stanu zwarcia przedstawiony na rys.5.1.1.

ZzI1n

I'2nU1zU1

Rys.5.1.1. Schemat zastępczy transformatora w stanie zwarcia. Prąd znamionowy strony górnej jest równy:

IS

Unn

n1

1

150006000

2 5= = = , A (1)

Napięcie zwarcia przeliczone na stronę górnego napięcia wyniesie:

UU u

zn z

11

1006000 4 2

100252= =

⋅=% ,

V (2)

Impedancja transformatora jest zatem równa:

Ω=== 8,1005,2

252

1

1

n

zz I

UZ (3)

Impedancja Zz składa się z rezystancji RT oraz reaktancji rozproszenia Xz obydwu uzwojeń transformatora:

zzz jXRZ += (4) Rezystancja Rz może być wyznaczona na podstawie mocy czynnej pobieranej w stanie zwarcia transformatora, równej w przybliżeniu stratom mocy w uzwojeniach przy obciążeniu prądem znamionowym(Pzn=ΔPCu).

91

Ω==Δ

= 725,2

45022

1n

znz I

PR (5)

Reaktancja transformatora jest równa: Ω=−=−= 5,70728,100 2222

zzz RZX . (6) Uproszczony schemat zastępczy transformatora przedstawia rys.5.1.2a

a)

Rz

U1

Xz

U'2

.

b)

A

U'2U1 E1 = E'2

R1 X1 R'2X'2

B

Rys.5.1.2. Uproszczony schemat zastępczy transformatora.

Zwykle przyjmuje się, że rezystancje i reaktancje rozproszenia obydwu uzwojeń przeliczone na jedną stronę transformatora są w przybliżeniu jednakowe. Zatem Rz i Xz mogą być podzielone następująco:

Ω=≈≈ 362

'21zRRR (7a)

Ω=≈≈ 25,352

'21zXXX (7b)

Schemat zastępczy uwzględniający powyższy podział impedancji przedstawia rys.5.1.2b. Takie uproszczone schematy zastępcze zawierające jedynie elementy „podłużne” są stosowane w większości przypadków analizy obwodów w których występują transformatory gwarantując wystarczającą dokładność. Jednak w przypadku kiedy przedmiotem analizy jest sam transformator, korzysta się z pełnego schematu zastępczego w którym występują również parametry „poprzeczne” uwzględniające prąd jałowy I0 oraz jego składowe: bierną - prąd magnesujący Im i czynną - prąd strat w rdzeniu IFe.

μjIII Fe +=0 (8) Ponieważ obydwa te prądy są proporcjonalne do wartości siły elektromotorycznej E indukowanej przez strumień główny transformatora odpowiadające im elementy Xμ i RFe są włączone w schemacie między punktami A i B. Rezystancja RFe może być obliczona na podstawie wyników pomiarów stanu jałowego. Ponieważ w stanie jałowym prąd pobierany przez transformator I0 jest mały w porównaniu z prądem znamionowym In, można pominąć straty mocy w uzwojeniu i uznać, że moc

92

pobierana przez transformator P0n jest równa stratom mocy w rdzeniu transformatora ΔPFe oraz, że siła elektromotoryczna E jest w przybliżeniu równa napięciu zasilającemu U1. Zatem:

5,189190

60002

0

21 ===n

nFe P

UR kΩ. (9)

Prąd IFe płynący przez tę rezystancję wynosi:

0317,0189500

60001 ===Fe

nFe R

UI A. (10)

Podany prąd stanu jałowego I20n został zmierzony przy zasilaniu strony dolnego napięcia. Po przeliczeniu na stronę napięcia górnego wynosi:

II

nn

1020 4 5

6000 2310 173= = =

ϑ,/

, A. (11)

gdzie ϑ − przekładnia transformatora. Na podstawie wyrażenia (8) można obliczyć prąd magnesujący Iμn: 17,00317,0173,0 2222

10 =−=−= Fenn III μ A (12) Reaktancja gałęzi magnesującej Xμ jest równa:

29,3517,0

60001 ===n

n

IU

Xμ

μ kΩ. (13)

Pełny schemat zastępczy transformatora ma postać jak na rys.5.1.3.

U'2U1

R1 X1 R'2X'2

I0

IFe Iμ

RFe Xμ

Rys.5.1.3.Pełny schemat zastępczy transformatora.

Sprawność transformatora można wyrazić ogólną zależnością

η =+ +

PP P P

odd

odd Fe CuΔ Δ, (14)

w której: Podd – moc oddawana przez transformator, ΔPFe , ΔPCu – straty mocy, odpowiednio w rdzeniu i w uzwojeniach transformatora jakie występują przy danym obciążeniu.

Ponieważ transformator pracuje zwykle przy stałej, znamionowej wartości napięcia, strumień magnetyczny w rdzeniu będzie również w przybliżeniu stały; stałe będą zatem i straty mocy w rdzeniu ΔPFe, równe w przybliżeniu mocy pobieranej w stanie jałowym Pon. Straty mocy w uzwojeniach ΔPCu zależą natomiast od kwadratu prądu płynącego przez te uzwojenia. W stanie zwarcia, natomiast, strumień magnetyczny w rdzeniu jest niewielki, straty w rdzeniu są pomijalnie małe, można zatem przyjąć, że moc pobierana w tym stanie Pzn

93

jest równa znamionowym stratom w uzwojeniu. Straty mocy w uzwojeniach transformatora obciążonego dowolnym prądem I= β ⋅ In wynoszą:

znznn

Cu PPIIP Δ=Δ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ 2

2

β . (15)

Jeśli dodatkowo uwzględnić, że moc oddawana przez transformator przy obciążeniu dowolnym prądem β ⋅ In jest rowna:

ϕβ cosnood SP = , (16) to zależność (14) będzie miała postać:

znnn

n

PPSS

20cos

cosβϕβ

ϕβη++

= (17)

Sprawność znamionową transformatorów wyznacza się dla współczynnika mocy równego 1. Po podstawieniu do powyższego wzoru: β=1, cosϕ=1otrzymamy:

959,045019015000

15000=

++=nη .

Sprawność transformatora obciążonego znamionowym prądem (β =1) lecz przy współczynniku mocy 0,8ind wyniesie:

949,04501908.015000

8,015000=

++⋅⋅

=bη

Sprawność transformatora obciążonego połową prądu znamionowego (β = 0,5) przy współczynniku mocy 0,8ind jest równa:

952.04505,01908,0150005,0

8,0150005,02 =

⋅++⋅⋅⋅⋅

=cη

Zadanie5.2.

Silnik indukcyjny trójfazowy, klatkowy, o danych znamionowych: Pn =9 kW; Un =380 V; f=50 Hz; nn =1430 obr/min; cosϕn = 0,86; ma przeciążalność momentem λ=2,4 i stosunek momentu rozruchowego do momentu znamionowego δ = 1,5. Wyznaczyć charakterystykę mechaniczną silnika T=f(n), oraz jego prędkość obrotową przy obciążeniu momentem znamionowym jeśli napięcie zasilające obniży się o 10%. Rozwiązanie

Przy wyznaczaniu charakterystyki mechanicznej posłużymy się uproszczonym wzorem Klossa:

ss

ssT

Tk

k

+≅

2

max

(1)

w którym: T – moment obrotowy przy poślizgu s, Tmax – moment maksymalny, odpowiadający poślizgowi krytycznemu sk Podstawiając do wzoru za T i s znamionowe wartości Tn i sn, oraz uwzględniając, że przeciążalność λ = Tmax / Tn po przekształceniach otrzymujemy zależność na poślizg krytyczny:

94

)1( 2 −+= λλnk ss (2) Znamionowa prędkość 1430obr/min wskazuje, że jest to silnik o dwóch parach biegunów, o prędkości synchronicznej ns = 1500 obr/min. Zatem znamionowy poślizg sn jest równy:

.05,01500

14251500=

−=

−=

s

nsn n

nns (3)

Po podstawieniu do (2) można obliczyć poślizg krytyczny: 229,0)14,24,2(05,0 2 =−+=ks .

Wartość momentu znamionowego wynosi:

3,6060/14252

900060/2

=⋅

=⋅

=ππ n

nn n

PT N⋅m.

Moment maksymalny jest równy: 7,1443,604,2max =⋅=⋅= nTT λ N⋅m.

Podstawiając obliczone wartości Tmax i sk do wzoru (1) otrzymamy zależność T=f(s) będącą analitycznym wyrażeniem szukanej charakterystyki mechanicznej silnika:

ss

T229,0

229,0

7,1442

+

⋅= .

W tabeli 1 zestawiono obliczone wartości momentu obrotowego T i prędkości obrotowej n dla wybranych wartości poślizgu s.

Tabela 5.1 s 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,229 0,5 1

N [obr/min] 1500 1425 1350 1275 1200 1156 750 0 T[N⋅m] 0 60,3 106 132 143 144,7 109 62,9

Przebieg charakterystyki T=f(n) wykreślonej na podstawie tabeli przedstawia krzywa (a) na rys.5.2.1.

144,7

(1405; 60,3)

(1425; 60,3)

020406080

100120140160

0 250 500 750 1000 1250 1500n [obr/min]

T [N·m]

abc

1156

Rys.5.2.1. Charakterystyka silnika obliczona wg wzoru Klossa.

Należy pamiętać, że dokładność wzoru Klossa maleje ze wzrostem poślizgu, gdyż, nie jest w nim, między innymi, uwzględniane zjawisko wypierania prądu w prętach wirnika. Obliczone wartości momentu obrotowego są na ogół niższe od rzeczywistych. Dlatego przybliżony

95

przebieg charakterystyki w zakresie od n = 0 do nk będzie dokładniej szacowany jeśli posłużyć się wartością momentu rozruchowego, który jest zwykle podawany w danych katalogowych silnika. W rozpatrywanym przypadku:

δ =TT

r

n= 1 5, - zatem Tr =1,5⋅60,3=90,45 N⋅m.

Skorygowana niestabilna część charakterystyki narysowana jest linią przerywaną (krzywa b). Moment obrotowy silnika jest proporcjonalny do kwadratu napięcia zasilającego, zatem charakterystykę mechaniczną silnika przy obniżonym o 10% napięciu można uzyskać mnożąc poszczególne rzędne charakterystyki naturalnej (przy napięciu znamionowym) przez:

UU

UUn

n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

2 20 9

0 81,

, .

Tak przeliczoną charakterystykę przedstawia krzywa c. Wartość prędkości obrotowej silnika obciążonego momentem znamionowym przy obniżonym napięciu można znaleźć na przecięciu tej krzywej z prostą T = Tn . Prędkość odczytana z wykresu wynosi 1405 obr/min. Wartość tę można również znaleźć obliczając odpowiadający jej poślizg na podstawie wzoru Klossa, do którego w miejsce Tmax należy podstawić 0,81⋅Τmax = 117,2 N⋅m. Wartość poślizgu krytycznego pozostaje nie zmieniona, gdyż nie zależy ona od napięcia zasilającego. Zadanie 5.3.

Twornik silnika obcowzbudnego prądu stałego o danych znamionowych: Pn=22kW; Un=220V; Itn=112A; nn=1250obr/min; napięcie wzbudzenia Ufn=220V; prąd wzbudzenia Ifn=1,9A; rezystancja obwodu twornika Rt=0,1Ω, jest zasilany regulowanym napięciem z prostownika tyrystorowego. Silnik pracuje przy znamionowym prądzie wzbudzenia i jest obciążony stałym momentem oporowym równym momentowi znamionowemu. Obliczyć: 1) znamionowy moment obciążenia (Tn), 2) minimalne napięcie twornika przy którym silnik rusza (Umin), 3) napięcie twornika przy którym silnik pracuje z prędkością n = 0,5nn (U0,5), 4) sprawność znamionową silnika (ηn) oraz sprawność (η) przy warunkach jak w p.3. W obliczeniach założyć brak nasycenia obwodu magnetycznego silnika oraz pominąć wpływ oddziaływania twornika. Rozwiązanie

Schemat elektryczny silnika przedstawia rys.5.3.1.

M

If

Uf

E

Rt It

Ut

It RtL1

L2

L3~~~

Rys.5.3.1. Schemat zastępczy silnika obcowzbudnego.

96

Moment znamionowy silnika

TP

nnn

n= =

⋅=

ω π22000

2 60168

/ N ⋅m. (1)

Aby rozpocząć rozruch silnika jego moment obrotowy musi być minimalnie większy od momentu oporowego równego momentowi znamionowemu. Moment obrotowy silnika można wyrazić iloczynem:

T c IT t= Φ . (2) Ponieważ silnik pracuje przy stałym (znamionowym) prądzie wzbudzenia stały będzie strumień Φ, zatem dla wytworzenia znamionowego momentu obrotowego przy rozruchu należy wymusić w obwodzie twornika prąd o wartości znamionowej Itn. Ze schematu na rys.5.3.1 na podstawie II prawa Kirchhoffa można znaleźć ogólną zależność na napięcie zasilające twornik:

U E I Rt = t t+ (3) Podstawiając do powyższego wzoru It=Itn i uwzględniając, że siła elektromotoryczna indukowana w tworniku silnika

E c nE= Φ , (4) jest przy nieruchomym wirniku równa zero, otrzymamy: U I Rt tn tmin .= = ,⋅ =112 01 11 2 V. Napięcie twornika przy prędkości obrotowej 0,5nn można znaleźć uwzględniając we wzorze (3) zależność (4):

U c n It E n0 5 0 5, , Rtn t= ⋅ +Φ . (5) Można zauważyć, że cE⋅Φ⋅nn w powyższej zależności jest równe znamionowej sile elektromotorycznej, która może być obliczona po przekształceniu wzoru (3) i podstawieniu wartości znamionowych prądu i napięcia twornika:

8,2081,0112220 =⋅−=−=Φ= ttntnnEn RIUncE V. Podstawiając otrzymaną wartość do wzoru (5) otrzymamy: 6,1151,01128,2085,05,0 =⋅+⋅=tU V Sprawność znamionowa silnika wynosi:

.878,02209,1220112

22000=

⋅+⋅=

+==

fnfntntn

n

npob

nn UIUI

PP

Pη

Przy założonym stałym momencie obciążenia, równym znamionowemu, moc P oddawaną przez silnik przy dowolnej prędkości obrotowej n można obliczyć z zależności:

nn

PnnP =

Zatem sprawność silnika przy prędkości 0,5nn wyniesie:

.823,02209,16,115112

220005,05,0

5,05,0

5,05,0 =

⋅+⋅⋅

=+⋅

==fnfnttn

n

pob UIUIP

P

Pη

97

Zadanie 5.4.

Silnik szeregowy prądu stałego ma następujące dane znamionowe: Pn=5,1kW; Un=220V; In=28A; nn=1500obr/min; rezystancja twornika Rt=0,35Ω; rezystancja uzwojenia wzbudzenia Rf=0.45Ω. Οbliczyć: 1) znamionowy moment obrotowy (Tn), 2) sprawność przy obciążeniu znamionowym (ηn), Opisać przebieg zjawisk jakie wystąpią jeśli moment oporowy silnika pracującego w warunkach znamionowych zostanie zmniejszony do wartości 0,3Tn. Obliczyć ustaloną prędkość obrotową silnika w nowym punkcie pracy. W obliczeniach założyć brak nasycenia obwodu magnetycznego silnika oraz pominąć wpływ oddziaływania twornika. Rozwiązanie:

Schemat elektryczny silnika szeregowego przedstawia rys.5.4.1.

E

Rt It

U

It Rt

Rf

It Rf

Rys.5.4.1.Schemat połączeń silnika szeregowego.

Moment znamionowy silnika

TP

nn

n= =

⋅=

ω π100

2 1500 6032 5

/, N ⋅m. (1)

Znamionowa sprawność:

ηnn

n

n

n n

PP

PU I

pob

= = =⋅

=5100

220 280 828, (2)

Jeśli moment obciążenia na wale silnika pracującego w znamionowym punkcie pracy

(Tn; nn; Un; In) zostanie nagle zmniejszony do wartości T, to w układzie wystąpi przewaga momentu napędowego nad oporowym o początkowej wartości (Tn-T) pod wpływem której układ zacznie zwiększać prędkość obrotową. Ponieważ jednocześnie ze wzrostem prędkości obrotowej pojawiają się czynniki powodujące zmniejszenie momentu napędowego silnika wzrost ten będzie trwał aż do osiągnięcia nowego punktu równowagi przy prędkości n, przy której moment wytwarzany przez silnik zrówna się z momentem oporowym. Moment obrotowy wytwarzany przez silnik prądu stałego jest proporcjonalny do strumienia wzbudzenia Φ i prądu twornika It.

T I It f∝ I t∝Φ . Przy poczynionych założeniach upraszczających, strumień Φ jest proporcjonalny do prądu wzbudzenia If. Ponieważ w silniku szeregowym prąd wzbudzenia jest równy prądowi twornika, wytwarzany moment można wyrazić wzorem:

, (3) T c IT t= 2

w którym cT jest stałą zależną od konstrukcji silnika.

98

Prąd twornika jaki ustali się w nowym punkcie równowagi będzie równy:

ITct

T= . (4)

Stałą cT można obliczyć przekształcając zależność (3) i podstawiając znamionowe wartości momentu i prądu twornika:

cTIT

n

n= 2 . (5)

Po wstawieniu tak wyrażonej stałej cT do wzoru (4) obliczamy wartość prądu twornika odpowiadającego momentowi w nowym punkcie równowagi:

ITT

Itn

n= = ⋅ =0 3 28 15 3, , A. (6)

Przyczyną obniżenia się wartości prądu w obwodzie twornika jest wzrost siły

elektromotorycznej E, co można prześledzić na podstawie obwodu elektrycznego silnika (rys.5.4.1). Prąd w tym obwodzie jest równy:

IU ER Rt

n

t f=

−+

. (7)

Siła elektromotoryczna E jest proporcjonalna do iloczynu strumienia wzbudzenia Φ i prędkości obrotowej n ( E n∝ Φ ). Jak to już wspomniano przy wyprowadzaniu zależności (3), strumień Φ w silniku szeregowym jest proporcjonalny do wartości prądu twornika. Zatem:

E c I nE t= , (8) gdzie: cE - stała, zależna od konstrukcji silnika. Uwzględniając (8) we wzorze (7) otrzymamy:

IU c I n

R Rtn E t

t f=

−+

. (9)

Po przekształceniu otrzymujemy zależność na szukaną prędkość obrotową :

nU I R R

c In t t f

E t=

− +( ). (10)

Stałą cE można wyznaczyć na podstawie znamionowego punktu pracy przekształcając odpowiednio powyższą zależność i podstawiając znamionowe wartości napięcia, prądu i prędkości obrotowej. W wyniku otrzymujemy:

cU I R R

I nEn tn t f

tn n=

− +( ). (11)

Ostatecznie, wartość prędkości obrotowej w nowym punkcie równowagi jest równa:

n nII

U I R RU I R Rn

tn

t

n t t f

n tn t f= ⋅ ⋅

− +

− += ⋅ ⋅

− ⋅ +− ⋅ +

=( )( ) ,

, ( , , )( , , )

150028

15 3220 15 3 0 35 0 45220 28 0 35 0 45

2885obr/min.

Zadanie 5.5. Napięcie międzyfazowe strony wtórnej transformatora o grupie połączeń Yd5 wynosi 380V. Ile wyniesie to napięcie po zmianie połączeń uzwojeń strony wtórnej tak aby uzyskać grupę połączeń Yy0. Odp.: U = 660V.

99

Zadanie 5.6. Silnik obcowzbudny z zad.5.3. jest zasilany z sieci o napięciu 220V. Przyjmując upraszczające założenia jak w zad. 5.3 obliczyć rezystancję rozrusznika jaki należy włączyć w szereg z twornikiem silnika aby początkowy moment rozruchowy był równy 2 Tn. Jaką wartość będzie miała krotność prądu twornika w pierwszej chwili rozruchu. Odp.: Rr = 0,88Ω ; Itr / Itn = 2. Zadanie 5.7. Obliczyć rezystancję rozrusznika jaki należy włączyć w szereg z silnikiem szeregowym z zad.5.4, aby początkowy moment rozruchowy przy zasilaniu z sieci 220V był równy 2 Tn. Jaką wartość będzie miała krotność prądu rozruchowego Itr / Itn. Przy obliczeniach przyjąć założenia upraszczające jak w zad.5.4. Porównać wyniki z wynikami zadania 5.6. Odp.: Rr = 4,47 Ω ; Itr / Itn = 2 . Zadanie 5.8. Silnik indukcyjny pierścieniowy o prędkości znamionowej 2870 obr/min ma przeciążalność momentem λ=3,2. Rezystancja wirnika wynosi 0,167 Ω/fazę. Obliczyć rezystancję rozrusznika jaki należy przyłączyć do pierścieni silnika aby jego moment rozruchowy był równy momentowi maksymalnemu. Odp.: Rr = 0,45 Ω/fazę. Zadanie 5.9. Obliczyć rezystancję opornika jaki należy włączyć na pierścienie wirnika silnika z zad.5.8 aby uzyskać maksymalny moment hamujący w pierwszej chwili po zmianie kolejności faz napięcia zasilającego silnik pracujący przy obciążeniu znamionowym ( hamowanie przeciwprądem). Odp.: Rh = 0,90Ω/fazę.