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P1.- Un satélite de 500 kg de masa se mueve alrededor de Marte, describiendo una órbita circular a 6·106 m de su superficie. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s2 y que su radio es 3400 km, se pide:a) Fuerza gravitatoria sobre el satélite.b) Velocidad y periodo del satélite. c) ¿A qué altura debería encontrarse el satélite para que su periodo fuese el doble?
a) Datos extraídos:
Rm = 3400000 m
Rs= hs + Rm =3,4·106 + 6·106 = 9,4·106
g0m= 3,7 m·s-2
Rs
Rm
2
a) Calcular la fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite.
• La fuerza sobre el satélite nos la da la ley de Newton de gravitación universal:
• Substituyendo [3] en [1]:
N242=
De esta ecuación nos falta la masa del planeta: Pero dado que tenemos el dato de g en la superficie:
a) Datos extraídos:
Rm = 3400000 m
Rs= 9,4·106
g0m= 3,7 m·s-2
Rs
Rm
]1[2S
SmS R
mMGF −=
]3[20 mmm GMRg =⇒]2[20
m
mm R
MGg =
SS
mmS m
R
RgF
2
20=
3
b) Calcular la velocidad y el periodo del satélite.
• Teníamos que:
• Finalmente:
Rio
Rj]8[
20
S
mmS R
Rgv =⇒
]7[2S
S
m vR
MG =
• Teniendo en cuenta la relación [3]
1·2133 −= smvS
a) Datos extraídos:
Rm = 3400000 m
Rs= 9,4·106
g0m= 3,7 m·s-2 ]3[20 mmm GMRg =
• Sustituyendola en [7] y operando
S
mmS R
Rgv
202 =
4
b) Calcular la velocidad y el periodo del satélite.
• Sabemos que :
Rio
Rj
]9[2
S
SS T
Rv
π=
• Despejamos de [9]:
•Sustituimos:
sTS 27690=
a) Datos extraídos:
Rm = 3400000 m
Rs= 9,4·106
g0m= 3,7 m·s-2
vs=2133 m·s-1
]10[2
S
SS v
RT
π=
5
c) ¿A qué altura el periodo del satélite seria el doble?
• Por la tercera ley de Kepler:
Rio
Rj
• Despejamos Rs:
• Primero averiguamos el radio de la orbita y luego le restamos el radio del planeta:
m610·9,14=
mRRh mSS6'' 10·52.11=−=
a) Datos extraídos:
Rm = 3400000 m
Rs= 9,4·106
g0m= 3,7 m·s-2
T = 25443 s
23 ·TKRS =
3 2·TKRS =
• Para el nuevo radio se duplica el periodo: ( )3 2' 2· TKRS =
• Por tanto: 3 23' ·4 TKRS =
3' 4SS RR =⇒
6
P2.- Un satelite artificial de 10 Tm de masa se mueve alrededor de un planeta describiendo órbitas circulares con un periodo de 50,47 h y un radio de 500000 km. Se pide :a) Calcular la fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite.b) La energia cinética, la energia potencial y la total sobre el satélite.c) Si el satélite duplica su velocidad de forma repentina sin cambiar de dirección ¿que sucederá? Demuestra y razona la respuesta. e tu respuesta.
Rs
Datos extraídos:
ms = 10000 kg
Rs= 5·108 m
T = 50,47 h = 181692 s
7
P2- a) Calcular la fuerza gravitatoria que actua sobre el satélite..
Rs
Datos extraídos:
ms = 10000 kg
Rs= 5·108 m
T = 181692 s
Por la segunda ley de Newton:
]1[SSS amF =
• La aceleración que actua es la centrípeta: ]2[
2
S
ScSS R
vamF ==
•Substituyendo [3] en [2] y operando:
•Y, como sabemos: ]3[2
S
SS T
Rv
π=
]4[4
2
2
S
SSS T
RmF
π=
•Finalmente: NFS 5979=
8
P2.- b) La energía cinética, la energía potencial, y la energía total del satélite.
JmvE Sc122 10·495.1
2
1 ==
s
sPp R
mMGE −=
Calculemos primero la velocidad del satélite:
Rs
Datos extraídos:
ms = 10000 kg
Rs= 5·108 m
T = 181692 s
1·172912 −== sm
T
Rv
S
SS
π
Ahora el cálculo de la EC es inmediato:
Para calcula la energia potencial podemos usar la fórmula directa:
Pero habria que usar la tercera ley de kepler para calcular previamene la masa del planeta.
9
P2.- b) La energía cinética, la energía potencial, y la energía total del satélite.
]5[2
1PCPT EEEE =+=
Estamos calculando la energia potencial.
Rs
Datos extraídos:
ms = 10000 kg
Rs= 5·108 m
T = 181692 s
vs=17291 m·s-1
Ec=1,495·1012 J
Luego:
Recordemos que para el caso de orbitas circulares:
]6[2 CP EE −=
Finalmente de [5]:
JEP1210·990.2−=
JET1210·495.1−=
10
P2.- c) Que pasaría si de repente la velocidad orbital se duplicara? Justifica numéricamente tu respuesta.
Rs
La energía actual es (órbita circular):
Si duplicamos la velocidad:
PST EmvE += 2
2
1
PST EvmE += 2' )2(2
1
JET1210·990.2=
En consecuencia la energía total es positiva y escapará de la órbita.
Sustituyendo datos:
Datos extraídos:
ms = 10000 kg
Rs= 5·108 m
T = 181692 s
vs=17291 m·s-1
Ec=1,495·1012 J
Ep=-2,990·1012 J
P3.- Dos masas iguales de 3000kg iguales están situadas en los vértices A y B de un triángulo equilátero de 1,250 m de lado.
a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.b) Calcula la fuerza que se ejerce sobre una masa de 2 kg situada en el vértice C del
triángulo.c) Calcula el potencial sobre el vértice C del triángulo.d) Calcula el trabajo necesario para trasladar una masa desde el punto central de la línea
que une las masas hasta el vértice C de triángulo. ¿El proceso es espontáneo? ¿Por Qué?
mA=3000 kg mB=3000 kg
mirA
625,0−=
mirB
625,0=
mjrC
)60·sin(25,1=
1. Veamos el dibujo:
60º
1,250 m
C
mjmjrC
083,13625,0 ==⇒
3. Calculemos las posiciones:
2. Centremos el triangulo según la figura.
Datos extraídos:
mA = mB =3000 kg
L=1,25 m
a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.
mirB
625.0=
mA=3000 kg mB=3000 kg
C
mjrC
083.1=
gBC
El calculo de los campos:.
mirA
625.0−=
gAC
gR
ACAC
AAC r
r
mGg
3
−=
BCACR ggg +=
• Examinemos primero el esquema:
• El campo total es la suma de campos:
BCBC
ABC r
r
mGg
3
−=
Hemos de calcular los vectores.
Datos extraídos:
mA = mB =3000 kg
L=1,25 m
a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.
mirB
625.0=
mA=3000 kg mB=3000 kg
C
mjrC
083.1=
rBC
mirA
625.0−=
rAC
• El primer vector: ACAC rrr −=
)625.0(083.1 ijrAC
−−=
jirAC
083.1625.0 +=
mrAC 25,1=
• Igualmente:
jirBC
083.1625.0 +−=
mrBC 25,1=
BCBC rrr −=
• Volvamos al cálculo del campo
Datos extraídos:
mA = mB =3000 kg
L=1,25 m
a) Calcula el campo gravitatorio en el vértice C del triángulo.
jirAC
083.1625.0 += mrAC 25,1=
jirBC
083.1625.0 +−= mrBC 25,1=
• Volvamos al cálculo del campo: BC
BC
BAC
AC
AC r
r
mGr
r
mGg
33
−−=
( )[ ]jijir
mGgC
083.1625.0083.1625.0
3+−++−=
• Como las masas son iguales y los modulos de los vectores son iguales,
=====
mrrr
mmm
BCAC
BA
25,1
• Sacamos factor comun y sustituimos:
• Simplificamos:
• Finalmente:17 ·10·219.2 −−−= kgNjgC
• Podia haberse calculado solo la componente vertical ya que la horizontal se anula por simetria
b) Calcula la fuerza que se ejerce sobre una masa de 2 kg situada en el vértice C del triángulo.
mA=3000 kg mB=3000 kg
C• Tenemos como dato:
• El cálculo de la fuerza es sencillo:
17 ·10·219.2 −−−= kgNjgC
FC
CC gmF·=
• Substituyendo valores y operando:
NjFC
710·483.4 −−=
c) Calcula el potencial sobre el vértice C del triángulo.
mA=3000 kg mB=3000 kg
C• El potencial es un
escalar, se suma directamente:
• Todos los datos son conocidos
• Substituyendo valores y operando:
BCACC VVV +=
AC
A
AC
AC r
mG
r
mGV −−=
=====
mrrr
kgmm
BCAC
BA
25,1
2
JVC510·202.3 −−=
d) Calcula el trabajo necesario para trasladar una masa desde el punto central de la línea que une las masas (D) hasta el vértice C de triángulo. ¿El proceso es espontáneo? ¿Por Qué?
mA=3000 kg mB=3000 kg
C
• Calculamos el potencial en el punto medio (D) ya que el potencial en C ya lo tenemos:
• Los datos:
• Substituyendo valores y operando:
AD
A
AD
AD r
mG
r
mGV −−=
====
mrr
kgmm
BDAD
BA
625.0
2
110 ·10·269.4 −−−= kgJVD
• El trabajo se puede calcular a traves de los potenciales:
)( CDCD VVmW −=→
D
d) Calcula el trabajo necesario para trasladar una masa desde el punto central de la línea que une las masas (D) hasta el vértice C de triángulo. ¿El proceso es espontáneo? ¿Por Qué?
Dado que el trabajo es negativo el sistema pasa a un estado mas energético y por tanto el proceso no es espontáneo.
• Ahora ya tenemos los datos:
( )( )1010 10·1344.210·269.4 −−→ −−−= mW CD
−=
−=−−
−−
110
110
·10·1344.2
·10·269.4
kgJV
kgJV
C
D
D
mA=3000 kg mB=3000 kg
C
JmW CD1010·1344,2· −
→ −=
( )CDCD VVmW −=→
• Podemos calcular el trabajo:
C1 .- La figura representa las líneas de fuerza de un campo gravitatorio uniforme de 8 N/kg de módulo. Sabiendo que la distancia AB es de 14cm y que AC es de 18 cm calcula:
A
BC
a) El trabajo que habría que realizar para trasladar una masa de 2kg del punto A al punto B. ¿Sería un proceso espontáneo?
En este caso no se realiza ningún trabajo ya que el desplazamiento es perpendicular a las líneas del campo. No cabe hablar de espontaneidad
xFW
∆= ·)·cos(·· αxmgxgmW ∆=∆=
gmF
=
Dado que el campo es constante:
C1 .- La figura representa las líneas de fuerza de un campo gravitatorio uniforme de 8 N/kg de módulo. Sabiendo que la distancia AB es de 14cm y que AC es de 18 cm calcula:
A
BC
b) El trabajo que habría que realizar para trasladar una masa de 2kg del punto B al punto C. ¿Seria un proceso espontáneo?
===−=∆
Nmg
mx
168·2
1131,014,018,0 22
JW 96,18031,11·16 ==
El trabajo es positivo: se realiza a favor del campo y por tanto el proceso es espontáneo
xFW
∆= ·)·cos(·· αxmgxgmW ∆=∆=
gmF
=
Al igual que antes:
Pero ahora campo y el campo son paralelos:
xmgW ∆= ·
Consecuencias (1)
El momento angular de un sistema se conserva siempre que la suma de momentos que actúan sobre el sistema sea nula
Dado que
vmxrL=
FxrMdt
dL ==
Dado que
La conservación de L implica que la velocidad no puede cambiar de sentido
Dado que para que se conserve L: 0== FxrM
Como en los sistema planetarios r y F no son nulos la única manera de que se anule F es que r y F sean paralelos, por tanto
La conservación de L implica que el giro siempre tiene lugar en el mismo plano.
Consecuencias (2)
Los sistemas planetarios son sistemas centrales
C2.- Enuncia el teorema de conservación del momento angular. ¿Que consecuencias tiene sobre las órbitas de los planetas?
dias h y dias TP 375,2524
925925 =+==
Despejamos
RT = Distancia tierra - sol = 1,496·1011mRP = Distancia planeta - sol (incognita)TT = Periodo de la tierra = 365.25 diasTP = Periodo del planeta helioestacionario:
La tercera ley de kepler aplicada a la tierra y un planeta cualquiera: 2
2
3
3
P
T
P
T
T
T
R
R =
De esta expresión sabemos
Sustituimos y tenemos que:
C3.- Teniendo en cuenta que el sol gira alrededor de si mismo con un periodo de 25 días y 9 horas calcula el radio de la órbita de un planeta “Helioestacionario” (igual que geoestacionario pero sobre el sol).
2
233
T
PTP T
TRR =
m RP1010·53.2=
32
23
T
PT T
TRR =⇒ 3
2
=⇒
T
PTP T
TRR
C4.- Si se supone que no existe rozamiento, con que velocidad llegaría a la superficie de la tierra una masa que se abandona sin velocidad inicial en un punto del espacio situado a una altura cinco veces el radio de la tierra.
v0= 0m/s
Así:
)()(0 finalEinicialE mfm = cffpcp EEEE +=+⇒ 00
Dado que no hay rozamiento la energía mecánica se ha de conservar, así:
220 2
1
2
1
6 fTT
mvR
MmGmv
R
MmG +−=+−
Substituyendo los datos se obtiene que: vf = 10200 m·s-1
⇒
•El radio inicial seria R0=RT+5RT = 6RT
•La energía cinética inicial es nula ya que la velocidad inicial también lo es
0
Usamos los datos:
Tf R
GMv
3
5=
TT GMRg =20⇒ Tf Rgv 03
5=