8/15/2019 pag. 521 - 538

1/22

În ceea ce priveşte caracteristica fază frecvenţă, indicată prin linia întreruptă ϕ(ω ) înfigura 8.8/13, în urul pulsaţiei de rez!nanţă ea se deter"ină scriindu#se e$presia (%1), a faz!ruluicurentului, su& f!r"a'

)ω

ω

ω

ω( 1

1

)ω

ω

ω

ω( 1

1

"a$

−+=

−+=

Q

 I 

Q R

 E  I 

.   (%1)*a rez!nanţă (ω +   ω ), paranteza de la nu"it!r se anulează, în care caz curentul este în

fază cu t.e.". entru frecvenţe f!arte "ici, argu"entul nu"it!rului e$presiei (%1) se apr!pie de -  /, deci curentul va fi defazat cu apr!ape / faţă de t.e.". (curent capacitiv), iar lafrecvenţe f!arte "ari defazaul curentului se apr!pie de -  / faţă de t.e.". (curent inductiv).

%ez!nanţa circuitului  R,  L, C   serie este denu"ită şi rez!nanţa tensiunil!r0 într#adevăr, larez!nanţă tensiunea la &!rnele &!&inei este'

 E Q R

 E  L I  LU  L   ω ω   === ,

 iar tensiunea la &!rnele c!ndensat!rului este'

 E Q E  R

 L

 R

 E 

C  I 

C U 

C  

ω 

ω

1 

ω

1 

−=−=−=−= ,

de!arece la rez!nanţă ω * + 1/   ω . 2upă cu" se vede, cele d!uă tensiuni sunt egale îna"plitudine, dar se află în !p!ziţie de fază. 2in acest "!tiv, la însu"area l!r în lungul circuituluiele se anulează la rez!nanţă, cnd I  = E/R. e de altă parte, a"plitudinea cel!r d!uă tensiuni estecu att "ai "are cu ct fact!rul de calitate 4 este "ai "are (la un 4 + 1, la &!rnele &!&inei şic!ndensat!rului apar tensiuni de ! sută de !ri "ai "ari dect t.e.". a sursei de ali"entare, faptf!l!sit în aplicaţiile practice din radi!c!"unicaţii, de recepţi!nare a se"nalel!r sla&e în "!dselectiv).

Regimul armonic al circuitului paralel

5c6e"a ec6ivalentă a unui circuit f!r"at dintr#! &!&ină (cu inductivitatea pr!prie  L şi curezistenţa de pierderi R) şi un c!ndensat!r electric (cu capacitatea C   şi cu pierderi neglia&ile)legate în paralel şi situate într#! latură de curent în regi" ar"!nic per"anent (curent reprezentat prin faz!nul  I  ) este arătată în figura 8.8/17.

"pedanţa c!"ple$ă a acestui circuit este'

C  L R

C  L R Z 

 ω1) ω(

 ω) ω(

+++

= .

În "a!ritatea aplicaţiil!r practice din radi!frecvenţă, &!&ina are unfact!r de calitate Q  + ω  L/ R, astfel că R 

8/15/2019 pag. 521 - 538

2/22

!ndiţia apr!$i"ativă de rez!nanţă fiind ω ω= /1= , i"pedanţa c!"ple$ă acircuitului la pulsaţia de rez!nanţă are val!area "a$i"ă'

(%17) RC 

 L Z    ="a$  .

9tunci, tensiunea la &!rnele circuitului   I  Z U    ⋅= , are e$presia'

)

ω

ω

ω

ω( 1

1

)

ω

ω

ω

ω( 1

1

"a$

−+=

−+==

Q

 I  Z  I 

Q RC 

 L I  Z U 

  ,

sau -dacă se n!tează Z max ⋅ I  + U ma$−'

)ω

ω

ω

ω( 1

1

"a$

−+=

Q

U U .

8/15/2019 pag. 521 - 538

3/22

şi dacă R 

8/15/2019 pag. 521 - 538

4/22

Regimul armonic al circuitelor cuplate inductiv

5e are în vedere circuitul din figura 8.8/1B, tipic pentru cuplaul inductiv.!nsiderndu#se cele d!uă circuite (1 şi ) identice, adică avnd R1+ R + R, L1 + L + L şi

C 1 + C  + C , ceea ce însea"nă că şi Z 1 + R1  (ω L1 - 1/ ω C 1) + Z  + R  (ω L - 1/ω C ) + Z  + R  ( ω L - 1/ω C ), ecuaţiile faz!riale ce descriu regi"ul electr!cinetic per"anent ar"!nical circuitel!r cuplate este'

=+=+

, (ω

,ω

)1

)1

 I  Z  I    j

 E  I    j I  Z 

de unde rezultă'

(%1B)  1 ω     Z 

 Z  E  I 

+=   şi

ω

ω

   Z 

   j E  I 

+−

=  ,

unde'

(%1>) . )Cω

ω

ω

ω( 1D)

ω

1ω( 

−+=−+=   Q RC 

 L R Z   

ntr!ducndu#se în e$presiile faz!ril!r cel!r d!i curenţi (%1B) această a d!ua relaţie pentru Z , din (%1>) rezultă'

(%18)

+−+

−=

+−+

−+

=

, 

ω

ω)C

ω

ω

ω

ω( 1D

, 

ω

ω)C

ω

ω

ω

ω( 1D

)ω

ω

ω

ω( 1

1

Qk Q

kQ

 R

 E  j I 

Qk Q

Q

 R

 E  I 

ω 

ω 

 

de!arece

ω

ω11

ω

ωω

ω

ωωω   Qk 

 R R L

  

 R

 L

 R

 R

 L

 L       === (ştiut fiind faptul că  /L  + k   este

c!eficientul de cupla şi ω  L/R + Q este fact!rul de calitate).

8/15/2019 pag. 521 - 538

5/22

variază puţin în urul val!rii de rez!nanţă ==   LC /1ω  c!nst. 9stfel, dacă ω  −  ω   = ∆ω ,atunci'

←∆

=∆−≈−

ω

ω

ωω)

ω

1

ω

1()

ω

ω

ω

ω(

c!nf!r" relaţiei (%18).

 F!tndu#se cu $  "

=∆ω /   ω   ,  care în radi!te6nică se nu"eşte ?dezac!rdul relativ@

de!arece reprezintă du&lul variaţiei relative a pulsaţiei faţă de ω , e$presia curentului   din

(%18) devine'(%1:) .1

ω

ω

 )1( 

) 1( 

  ≈⇒

++−−=

++−≈

QxQk  xQ

kQ

 R

 E 

Qk Qx

kQ

 R

 E  I   

Gal!area a&s!lută a lui I 2 din e$presia finală (%1:) este'

(%).

1)1(

7)1(

7777

+++−+=

=++−

≈

Qk Qk  xQQk  xQ

kQ

 R

 E 

 xQQk  xQ

kQ

 R

 E  I 

8/15/2019 pag. 521 - 538

6/22

I caracteristică i"p!rtantă în radi!te6nică a circuitel!r  R, L, C  cuplate inductiv (ca cel dinfigura 8.8/1B) este lărgi"ea de &andă ∆   )ω  (vezi figura 8.8/1>). *a cupla "agnetic critic (cuk c +1/Q) e$presia (%3) devine'

,7)(

 xQ xQ '

+−=

care, pentru ! atenuare pnă la  '+ /1 , c!nduce la'( - 4$ &) 74 $ & + 8 ∴  sau 47$ &7 + 7,

de unde rezultă x) 

+  Q/

 şi ţinndu#se sea"a de faptul că x+∆ω / 

ω, se !&ţine în definitiv'

∴∆

=ω

ω   )

Q.

ωω

Q)  =∆   (%7)

!"parndu#se această e$presie a lărgi"ii de &andă cu relaţia (%11), rezultă că lărgi"ea de &andă în cazul circuitel!r cuplate inductiv la cupla critic este de  !ri "ai "are dect la uncircuit si"plu  R,  L, C . 2acă se realizează însă un cupla peste cuplaul critic, caracteristicaa"plitudine#frecvenţă a acestui circuit apr!$i"ează cel "ai &ine caracteristica de selectivitateideală (un dreptung6i), dect un singur circuit ac!rdat, ceea ce e$plică larga utilizare a acest!r circuite (cu cupla inductiv şi cu Qk  /1> ) în "!ntaele din radi!te6nică.

8.8.3. Circuite electrice neliniare

ircuitele electrice neliniare sunt circuitele ai căr!r para"etri  R(*), L,   şi C (+ ) au val!ricare se "!difică în funcţie de "ări"ile electrice de circuit' i sau / şi u, deci sunt funcţii de tipul

( )iu R R ,= , ( )iu** ,= , ( )iu L L ,= , ( )iu     ,= , ( )iuC C  ,= , ( )iu+ +  ,=  etc.În principiu, nici ! c!"p!nentă de circuit (rezist!r, &!&ină, c!ndensat!r/capacit!r şi -cu att "ai"ult- c!"p!nentele electr!nice de circuit' di!de, tranzist!are, tirist!are, tu&uri cu vid sau cu gazeetc.) nu sunt perfect liniare, liniaritatea fiind c!nsiderată ! situaţie ideală, deşi în practică -în"ulte situaţii (c6iar şi în electr!nică)- se c!nsideră că circuitele sau unele c!"p!nente de circuitsunt liniare cu ! &ună apr!$i"aţie sau între anu"ite li"ite ale tensiunil!r şi curenţil!r electrici

(liniare pe p!rţiuni).În cazul circuitel!r electrice care nu p!t fi ad"ise ca fiind liniare (deci sunt circuiteneliniare), "!delele ce descriu starea l!r electr!cinetică sunt f!r"ate din ecuaţii cu c!eficienţivaria&ili şi principala caracteristică a acest!r "!dele(şi circuite) c!nstă în aceea că ele nu satisfacte!re"ele de superp!ziţie.

Jn e$e"plu tipic de ele"ent puternic neliniar îl c!nstituie di!da Ktunel@ (v. ;izica şi cursul!"p!nente şi circuite electrice liniare).aracteristica aşa#nu"ită Kcurent#tensiune@, adică

( )U   $   I  =   a di!dei Ktunel@ este reprezentată înfigura 8.8/18.

În situaţia în care tensiunea şi curentul variazăsuficient de puţin în urul punctului static    se p!atescrie'

17

;ig.8.8/1>

8/15/2019 pag. 521 - 538

7/22

(F1) i I  I    +=   şi uU U    +=  .9d"iţndu#se că funcţia  I U    $  →    este diferenţia&ilă în punctul   se p!ate scrie'

dU 

  $   I 

∂

∂=  dU 

şi apr!$i"ndu#se diferenţialele cu diferenţele finite i şi u din relaţiile (F1) rezultă'

U 

  $  

U 

  $  u

U 

  $  u

U 

  $  i

d

d

d

d=

∂∂

⇒=∂∂

=  .

 F!tndu#se r U   $     " 1

d

d

= , unde r   este rezitenţa %inamic-  (v. su&cap. 8.1) a di!dei în

 punctul  , ea este funda"ental diferită de rezistenţa

 I 

U  R

 "

= , nu"ită rezistenţa statică sau în

curent c!ntinuu (v. su&cap. 8.1). Într#adevăr din interpretarea ge!"etrică (v. fig. 8.8/18) rezultă'∧

= R ctgα   şi∧

=r   ctgβ

!&servndu#se că -în acest caz- r este ! Krezistenţă negativă@ în punctul  .%elundu#se cazul general al reţelel!r electrice neliniare, "!delul l!r este'

(F) =•

 . 

  $    ( )U  X   ,L ,

unde =′ X    [ ]n .  .  .  ,,, 1   , c!nsiderat ca "atrice transpusă (pentru si"plificarea scrierii în

 pagină), este vect!rul de stare al reţelei (de e$e"plu curenţii din ra"uri) iar U este vect!rul dec!"andă al reţelei (de e$e"plu tensiuni electr!"!t!are).

8/15/2019 pag. 521 - 538

8/22

8/15/2019 pag. 521 - 538

9/22

În f!arte "ulte aplicaţii practice, un circuit electric sau ! p!rţiune din el, un disp!zitiv (dee$e"plu un tranzist!r) sau nu"ai ! si"plă c!"p!nentă de circuit, un aparat de adaptare ce face p!si&ilă c!nectarea între ele a d!uă circuite electrice diferite funcţi!nal (ca, de e$"plu' una"plificat!r electr!nic, un filtru, un redres!r, un transf!r"at!r, ! linie de transp!rt a energieielectr!"agnetice etc., etc.), t!ate acestea p!t fi Kprivite@ ca un K&l!c@ sau Keta@ f!r"at dintr#!

sc6e"ă ce are d!uă )orne %e intrare (! şi !′  în figura 8.8/1:) şi d!uă )orne %e ie0ire (2 şi 2′  - fig. 8.8/1:), care p!artă nu"ele generic de cuadripol şi se reprezintă aşa ca în figura 8.8/1:. Oai"ult, intrarea şi ie0irea fiind f!r"ate dintr#! perec6e de &!rne ele p!t fi reduse la ! aşa#nu"ităKp!artă@ (p!artă de intrare, p!artă de ieşire) astfel că &l!cul este c!nsiderat -"ai general- ca undip!rt, aşa cu" se arată în figura 8.8/. În unele aplicaţii (ca, de e$e"plu, în sc6e"ele l!gice)circuitele p!t fi tratate -din punct de vedere funcţi!nal- ca un multi&ort , cu "ai "ulte perec6i de &!rne de acces (una din ele putnd fi c!"ună, ca -de e$e"plu- &!rna de "asă).

Oări"ile e$istente (Kaplicate@ sau care Katacă@) la intrare cuadrip!lul (tensiune la &!rne

1u , curent electric 1i , puteri instantanee 1 &  sau aparente 1+  ) sunt denu"ite generic se"nal(se"nal de intrare, deşi -le$ical- se face ! taut!l!gie), iar "ări"ile ce Krezultă@ (adică Kcitite@) laieşirea cuadrip!lului sunt denu"ite - la "!dul generic- răspuns (se"nal de ieşire).

uadrip!lul are, în interi!rul lui, ! structură care din punctul de vedere al c!"p!rtăriicuadrip!lului în relaţia Kintrare@ Q Kieşire@ nu interesează, dar este f!r"ată din rezist!are, &!&ineşi c!ndensat!are. 2acă în această structură interi!ară nu e$istă surse electrice (cu t.e.". saucurenţi de scurtcircuit, adică "ări"i specifice sursel!r) atunci despre cua%ri&ol  se spune că este

 &ai1  (aşa cu" se va vedea la cursul 2isp!zitive şi circuite electr!nice, tranzist!arele sunt

reprezenta&ile prin cuadrip!li care nu sunt pasivi, de!arece -prin specificul l!r funcţi!nal- tranzist!arele sunt cuadrip!li ce c!nţin în interi!rul l!r surse de tensiune şi surse de curent (v. fig.8.8/1). 2acă t!ţi para"etrii cuadrip!lului ( R, L, C ,  ) sunt c!nstanţi şi independenţi de "ări"ilese"nalel!r de la p!rţi, atunci cua%ri&olul ete liniar  şi funcţi!narea sa este descrisă de "!dele(ecuaţii) liniare.

uadrip!lul p!ate avea !rice fel de regi" electr!cinetic per"anent' staţi!nar (de curentc!ntinuu) caz în care se"nalele pe p!rţi sunt c!nstante în ti"p ( 11111 ,,   I U  2  I U    = 0

,,   I U  2  I U    = ) şi nestaţi!nar, fie ar"!nic - situaţie în care se"nalele de la p!rţi sunt

reprezentate în c!"ple$ (  ∗=

  11111  ,,   I U +  I U  0

∗=

  ))))),,   I U +  I U  ), fie !arecare - 

situaţie în care se"nalele sunt reprezentate în planul c!"ple$ al frecvenţel!r, ca funcţii de !varia&ilă c!"ple$ă    ω+α=   , prin transf!r"atele *aplace ( ) ( ) , I  ,U  11 , , ( ) ,U   şi ( ) , I  .

În cele ce v!r ur"a se va prezenta ! te!rie succintă a cuadrip!lil!r c!nsideraţi' pasivi,liniari şi în regi" ar"!nic per"anent, se"nalele fiind faz!rii tensiunil!r, curenţil!r şi puteril!r aparente (aşa ca în figura 8.8/1:). entru a nu c!"plica scrierea -dar şi pentru a "ări gradul degeneralizare al "!delel!r- faz!rii v!r fi n!taţi "ai si"plu, cu 11 ,   iu , u   şi i   (dar cu precizarea că reprezintă nu"ere c!"ple$e), iar i"pedanţele c!"ple$e şi ad"itanţele c!"ple$e nuv!r "ai fi su&liniate (se va scrie "ai si"plu  Z   şi  , printr#! generalizare la cazul regi"uluinestaţi!nar !arecare ele reprezentnd şi i"pedanţele / ad"itanţele !peraţi!nale, după cu" 11 ,   iu

1>

;ig. 8.8/1: ;ig. 8.8/

8/15/2019 pag. 521 - 538

10/22

, u  şi i  p!t reprezenta t!t att de &ine şi transf!r"atele *aplace - ca funcţii i"agine în planulω+α   ).În aceste c!ndiţii, vect!rul c!l!ană al se"nalel!r (de la intrare' 11 ,   iu ) şi vect!rul c!l!ană

al răspunsului (de la p!arta de ieşire' u , i ) sunt dependente liniar prin aplicaţia'

   

  

    

  

 

1

1

i

u

i

u  , (1)

care reprezintă un siste" de ecuaţii liniare, ce p!t fi reprezentate şi "atriceal, "atricea care

c!respunde aplicaţiei (1) este ! "atrice A, f!r"ată din d!uă linii şi d!uă c!l!ane cu ele"entenu"ere c!"ple$e - ceea ce se scrie A∈O(, , c). 9tunci se p!ate scrie'

=   

  

 

1

1

i

uA   

 

  

 

i

u  sau   

 

  

    

  

 =  

 

  

 

1

111

1

1

i

u

aa

aa

i

u  sau

+=

+=

)))))11

)1))111

iauai

iauau. ()

*a un cuadrip!l, avnd la p!rţile sale 7 se"nale liniar independente (   11 ,   iu , u , i ),e$istă B p!si&ilităţi de a defini aplicaţii liniare pe vect!ri c!l!ană (cu cele d!uă ele"ente as!ciate

 prin c!"&inări de patru ele"ente luate cte d!uă B

1

1

37

7

  ==××

= ) şi anu"e'1) cuadrip!l cu para"etri A, descris prin "!delul ()0) cuadrip!l cu para"etri B descris de'

=   

  

 

i

uB   

 

  

 

1

1

i

u  sau

+=

+=

1))1)1)

11)111)

i 4u 4i

i 4u 4u, (3)

care reprezintă răspunsul în funcţie de se"nal03) cuadrip!li cu para"etri  (i"pedanţă peste t!t)'

=   

  

 

1

u

u    

  

 

1

i

i  sau

+=

+=

)))1)1)

)1)1111

i Z i Z u

i Z i Z u, (7)

care e$pri"ă tensiunile pe p!rţi în funcţie de curenţi07) cuadrip!li cu para"etri R (ad"itanţă peste t!t)'

=  

 

 

 

 

1

i

i!   

 

 

 

 

1

u

u  sau

+=

+=

)))1)1)

)1)1111

u3 u3 i

u3 u3 i, (=)

care e$pri"ă curenţii (de atac şi citit) în funcţie de tensiunile la &!rne0=) cuadrip!li cu para"etri S (K6i&rizi@)'

=   

  

 

1

i

u"   

 

  

 

1

u

i  adică

+=

+=

)))1)1)

)1)1111

u5i5i

u5i5u0 (B)

B) cuadrip!li cu para"etri T'

18

8/15/2019 pag. 521 - 538

11/22

=   

  

 

1

i

u#   

 

  

 

1

i

u  sau

+=

+=

)))1)11

)1)111)

i 6 u 6 i

i 6 u 6 u. (>)

2e e$e"plu, funcţi!narea unui tranzist!r &ip!lar cu e"it!rul c!"un p!ate fi descris printr#un cuadrip!l ", cu "!delul (B) care reprezintă ! sc6e"ă internă cu structura din figura 8.8/1, para"etri   ji5   (   { },1,   ∈  ji ) fiind deter"inaţi e$peri"ental, pentru fiecare tip c!nstructiv de

tranzist!r, de către fa&ricant.În c!ntinuare se va analiza nu"ai "!delul (), cu "atricea A (celelalte "!dele putnd fi

analizate în acelaşi "!d). 5e"nificaţia ter"enil!r   jia , ai "atricei A, se deduce uş!r prininterpretări fizice0 astfel la aşa#zisul K"ers în g!l@ al cuadrip!lului (caracterizat de c!ndiţia

 =i ) siste"ul () devine'

1

11111u

uauau   =∴= , cu di"ensiunea [ ] [ ]111   =a ,

1

111u

iauai   =∴= , cu di"ensiunea [ ] [ ]3 a   =1 .

9şadar 11a  este un fact!r de pr!p!rţi!nalitate adi"ensi!nal (care, în "ulte aplicaţii, este denu"itam&li$icarea %e teniune a cuadrip!lului la "ersul în g!l, n!tată cu  7 ), iar ele"entul 1a  aredi"ensiunea unei ad"itanţe (reprezentnd, în fapt, a%mitanţa %e tran$er   a cuadrip!lului la"ersul în g!l, n!tată cu (3   ).

În cazul scurtcircuitării cuadrip!lului la ieşire (ceea ce însea"nă  =u ) siste"ul () dă'

1

111i

uaiau   ,c ,c   =∴= , cu di"ensiunea [ ] [ ] Z a   =1 ,

 ,c

 ,c

 ,c ,c

i

iaiai

1

1   =∴= , cu di"ensiunea [ ] [ ]1   =a .

rin ur"are, ele"entul 1a   al "atricei 9 are di"ensiunea unei i"pedanţe (denu"ită

im&e%anţa %e tran$er  a cuadrip!lului în scurtcircuit, n!tată cu  ,c Z  ), iar ele"entul a   esteadi"ensi!nal (putnd fi denu"it am&li$icarea %e curent  în scurtcircuit a cuadrip!lului, n!tată cu

 ,c 7 ).

Uinndu#se sea"a de aceste se"nificaţii ale ele"entel!r "atricei A, "!delul () devine'

(8)

+=

+=

))(1

))(1

i 7u3 i

i Z u 7u

 ,c

 ,c

sau

   

  

    

  

 =  

 

  

 

1

1

i

u

 73 

 Z  7

i

u

 ,c

 ,c.

 

1:

;ig. 8.8/1

8/15/2019 pag. 521 - 538

12/22

2in siste"ul (8) se p!t calcula direct (prin "et!da deter"inanţil!r a lui Vra"er)se"nalele u  şi i  în funcţie de 1u  şi 1i '

−−

−=

−

=

−−

−=

−

=

.

,

1

((

(

1

((

(

((

1(

1(

)

1

((

1

((((

1

1

)

u3  Z  7 7

3 i

3  Z  7 7

 7

3  Z  7 7

i3 

u 7

i

i3  Z  7 7

 Z u

3  Z  7 7

 7

3  Z  7 7

 7i

 Z u

u

 ,c ,c ,c ,c ,c ,c

 ,c ,c

 ,c

 ,c ,c

 ,c

 ,c ,c

 ,c

 ,c

;!l!sindu#se n!taţia ∆=−   3  Z  7 7  ,c ,c   (adică deter"inantul siste"ului) siste"ul precedent devine'

(8W )

( )

( )

+−∆

=

−∆

=

,1

,1

11

11

i 7u3 i

i Z u 7u  ,c ,c

 

sau, în scriere "atriceală'

(3W)    

  

    

  

 −

−∆

=   

  

 

1

1

  1

i

u

 73 

 Z  7

i

u  ,c ,c,

care -de fapt- reprezintă "!delul (3) cu "atricea B, ale cărei ele"ente (   11 4 , 1 4 , 1 4   şi

 4 ) rezultă i"ediat din ecuaţia (3W ).

Oai departe, înl!cuindu#se vect!rul     

  

1

1

i

u  cu e$presia lui din ecuaţia (8), rezultă

identitatea'

   

  

    

  

 ⋅  

 

  

 −

−

∆=  

 

  

 

1

i

u

 73 

 Z  7

 73 

 Z  7

i

u

 ,c

 ,c ,c ,c  sau =  

 

  

 

i

u$   

 

  

 

i

u,

unde I  este "atricea unitate, ceea ce însea"nă'

$     

  

 ⋅  

 

  

 −

−∆

=   

  

 =

 ,c

 ,c ,c ,c

 73 

 Z  7

 73 

 Z  7

1

1

1.

2acă la ieşirea cuadrip!lului se c!nectează ! i"pedanţă  L Z    (indicele L pr!venind de ladenu"irea uzuală de i"pedanţă de lucru) şi se aplică la intrare ! tensiune 1u , atunci celelalte

"ări"i, 1i , i  şi u  sunt unic deter"inate (de pildă   i Z u  L= ). rin ur"are, în ecuaţia (8)dacă se da 1u   rezultă 1i , u   şi i , ceea ce arată că, de fapt, di"ensiunea &azei în care s#ac!nsiderat "atricea A nu este d!i, ci unu, de!arece siste"ului (8) i se p!ate adăuga relaţiasupli"entară'

  i Z u  L= ,astfel că siste"ul (8) devine (prin înl!cuirea lui u  cu i Z  L )'

8/15/2019 pag. 521 - 538

13/22

( )( )

+=

+=

,)(1

)(1

i 7 Z 3 i

i Z  Z  7u

 ,c L

 ,c L

din care rezultă'# im&e%anţa %e intrare a cuadrip!lului, i Z  , "ăsurată la &!rnele de intrare !#!W'

 ,c L

 ,c L

 "

i 7 Z 3 

 Z  Z  7

i

u Z  +

+==

1

1 0 (:)

# im&e%anţa %e intrare a cuadrip!lului la "ersul 8n 6ol  (   ∞→⇒=   L Z i ), n!tată cu i Z  '

1

1

  /

3  7i

u Z 

i

 "

i  ==

=

, (1)

ce rezultă din siste"ul (8) în care s#a luat  =i 0# i"pedanţa de intrare a cuadrip!lului la "ersul în scurtcircuit (     =⇒=   L Z u ), n!tată

cu  ,ci Z  '

 ,c ,c

u

 "

 ,ci   7 Z i

u

 Z  /1

1

== = , (11)

ce rezultă direct din (:) în care se pune = L Z  0# im&e%anţa caracteritic- a cua%ri&olului la intrare, n!tată cu c Z   şi definită prin'

 ,c

 ,c

 ,cii

 "

c 73 

 Z  7 Z  Z  Z 

  =⋅= .

2acă la un cuadrip!l se inversează intrarea cu ieşirea (fapt care se precizează cu ap!str!fW),în sensul că atacul se face la &!rnele 2#2W (ale ieşirii) şi citirea se face la &!rnele !#!W (ale intrării),siste"ul (8) capată f!r"a'

(1)

′′+′′=′′′+′′=′

11()

11()

i 7u3 i

i Z u 7u

 ,c

 ,c,

în legatură cu care se defineşte im&e%anţa caracteritic- a cua%ri&olului văzută de la ie0ire'

(13) ′′

′′=′⋅′=′

 ,c

 ,c

 ,cii

 "

c

 73 

 Z  7 Z  Z  Z 

 .

!"parndu#se acu" ecuaţiile (8W ) cu (1) rezultă (în c!ndiţii de liniaritate) prinaplicarea te!re"ei circuitel!r funda"entale independente'(17) 1   =−=∆   3  Z  7 7  ,c ,c ,vala&ilă pentru !rice cuadrip!l liniar pasiv. 9tunci, ecuaţiile (8W ) capată f!r"a (rezultată dinfaptul că 1=∆ )'

(1=)

+−=

−=

1(1()

11)

i 7u3 i

i Z u 7u ,c ,c

  cu′=

i

 ,c  Z 3 

 7  şi

′=   ,ci ,c  Z 

 7

 Z 

 .

1

8/15/2019 pag. 521 - 538

14/22

!"parndu#se siste"ul de ecuaţii (1=) cu siste"ul (1) şi ţinndu#se sea"a că cel puţin

u   este ar&itrar, rezultă sc6i"&area recipr!că a l!curil!r ter"enil!r  7   şi  ,c 7 , astfel că

i"pedanţa caracteristică ′c Z   - definită prin e$presia (13)- "ai p!ate fi calculată şi cu f!r"ula'

(13W)

 73 

 Z  7 Z    ,c ,c

c  =′ .

"pedanţele caracteristice c Z    şi ′c Z    au ! de!se&ită i"p!rtanţă pentru sc6e"ele în care

"ai "ulţi cuadrip!li sunt c!nectaţi în lanţ (sau cascadă) -aşa cu" se arată în figura 8.8/- pentrurealizarea aşa#nu"itei a%a&t-ri (a ieşirii unui cuadrip!l cu intrarea celui care ur"ează în lanţ).entru evidenţierea adaptării, se va c!necta la ieşirea 2#2W a cuadrip!lului ! sarcină cu i"pedanţa

egală cu cea critică de la ieşire ′i Z  . 9tunci, i"pedanţa de la intrarea cuadrip!lului, i Z  , care la

ieşire are i"pedanţa ′=   c L   Z  Z   (calculată la &!rnele !#!W cu e$presia ei :) este'

(1B)   c ,c

 ,c

 ,c ,c

 ,c

 ,c ,c

 ,c

 ,c

 ,c ,c

 ,c

 ,c ,c

 ,cc

 ,cc

i   Z  73 

 Z  7

 7

 Z 

3 

 7 73 

 7

 Z 

3 

 7 Z  7

 7 73 

 Z  73 

 Z  73 

 Z  7 7

 7 Z 3 

 Z  Z  7 Z    ==

   

  

 +

   

  

 +

=

+

+

=+′+′

=

 .

%ezultă, deci, că dacă la ieşirea 2#2W se c!nectează ! sarcină cu i"pedanţa ′c

 Z 

(caracteristică ieşirii) atunci la intrarea !#!W se "ăs!ară ! i"pedanţa egală cu i"pedanţa c Z 

(caracteristică intrării). 2e ase"enea, este vala&ilă şi recipr!ca în sensul că dacă la &!rnele !#!W sec!nectează ! latură cu i"pedanţa c Z  , atunci -privit dinspre ieşire- la &!rnele 2#2W se "ăs!ară !

i"pedanţă egală cu ′c

 Z  .

*a cua%ri&olii imetrici, adică la acei cuadrip!li care îndeplinesc c!ndiţiile de si"etrie'

′=    ii

  Z  Z    şi ′=  ,ci ,ci

  Z  Z  ,

deci care se c!"p!rtă identic indiferent de p!arta prin care se face atacul, rezultă i"ediat'

 ,c

 ,c

cc 73 

 Z  7 Z  Z 

=′= . (1>)

%elaţiile (1>) şi (1B) arată că dacă un cuadrip!l este si"etric şi Klucrează@ pe !i"pedanţă c Z    c!nectată la ieşire, atunci la intrare, i"pedanţa "ăsurată va fi i"pedanţacaracteristică a cuadrip!lului. 5e spune despre acest cuadrip!l că funcţi!nează în "!dul adaptat.

9şa cu" s#a "ai aratat, "ai "ulţi cuadrip!li p!t fi c!nectaţi în cascadă, după ! sc6e"ă cacea din figura 8.8/.

!trivit sensuril!r de referinţă indicate în această figură, pentru fiecare cuadrip!l se p!atescrie ! ecuaţie de f!r"a (), adică'

;ig. 8.8/

8/15/2019 pag. 521 - 538

15/22

=   

  

 

1

1

i

uA1   

 

  

 

i

u, =  

 

  

 

i

uA   

 

  

 

3

3

i

u, A, =  

 

  

 

n

n

i

uAn   

 

  

 

+

+

1

1

n

n

i

u,

şir din care rezultă i"ediat'

=   

  

 

1

1

i

uA1 X A X A X An   

 

  

 

+

+

1

1

n

n

i

u . (18)

2acă se c!nsideră întregul lanţ ca fiind un singur cuadrip!l de "atrice 9, se p!ate scrie'

   

  

 =   

  

 

+

+

1

1

1

1

n

n

i

u

i

uA

şi prin identificarea acestei ecuaţii "atriciale cu ecuaţia (18)rezultă că "atricea A a întreguluilanţ este egală cu pr!dusul "atricel!r k  7  (E+1,,A,n) ale fiecărui cuadrip!l din lanţ adică '

k 

n

k n

  AAAAA1

)1  ...

=Π=⋅⋅⋅= , (1:)

cuadrip!lul în lanţ c!"p!rtndu#se ca un singur cuadrip!l, ec6ivalent.entru a se e$e"plifica pr!cedura de tratare a unui circuit ca dip!rt (cuadrip!l) în lanţ, se

v!r c!nsidera cuadrip!lii din figura 8.8/3.entru cuadrip!lul capacit!r din figura 8.8/3a, f!l!sind n!taţiile şi sensurile de referinţă

indicate în figură, se scriu ur"ăt!arele relaţii &ine cun!scute (v.su&cap.8.7)'

.d/d

 ,

,

1

1

t uC i

iii

uuu

cc

c

c

⋅===+=

  ()

9plicndu#se transf!r"ata *aplace (v.P :.7.1)egalităţii (), "e"&ru cu "e"&ru se !&ţine'

( ) ( ) ( ) ( ).1şi   , I  ,C 

 ,U  , ,CU  , I  cccc   =

entru cuadrip!lul rezist!r din figura 8.8/3)  se p!atescrie '

( ) ( ).

,şi,

1

1

iii

 , RI  ,U  Riuuuu

 R

 R R R R R

+=

====

;!l!sindu#se nu"ai transf!r"ata *aplace, "atricele  A9ale acest!r d!i cuadrip!li rezultă că sunt '

# pentru cuadrip!lul capacit!r'

3

;ig.8.8/3

8/15/2019 pag. 521 - 538

16/22

( )

( ) ( )

 ( )

( ) ,9  )1

=

, I 

,U 

,, I 

,U 

C

C

C

de unde, prin identificare cu ecuaţia

( )  

= 1

/11

')8(

 ,C 

 ,C  C  A0

# pentru cuadrip!lul rezist!r'

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 

=∴

=

1/1

(1

)1  R

,, I

,U

,, I

,U

R

R

R

R

AA.

9tunci pentru un cuadrip!l ca cel din figura 8.8/7, care este ! cascadă de trei cuadripi!li'capacit!rul (fig.8.8/3a) - rezist!rul (fig.8./3&) - capacit!rul(fig .8.8./3a) , "atricea A(s)ec6ivalentă dater"inată c!nf!r" relaţiei (1:), este '

(1) ) ( ) ( ) ( ) =⋅⋅=   , , ,,

C  RC   AAA   ,CR

11+    

  

   +

 ,CR ,C 

1

1

7

8/15/2019 pag. 521 - 538

17/22

≡

 ,c

C 

 73 

 Z  7

 R

1

 ,CR

11+

a aplicaţie practică cuadrip!lul din figura 8.8/7 reprezintă un filtru trece sus, în K H @.5e !&servă că acest cuadrip!l este si"etric, de!arece  ,c 7 7   =   şi verifică relaţia

1   =−=∆   3  Z  7 7  ,c ,c 0 astfel, din "atricea (1) rezultă '

1

1

111

1

=   

  

+⋅−   

  

+  ,CR ,C  R ,CR .2e ase"enea se verifică şi altă c!ndiţie de si"etrie şi anu"e cea referit!are la i"pedanţele

caracteristice '   cc   Z  Z    ′=  .În particular, pentru se"nalele ar"!nice, pentru care  ω= , , rezultă '

,YundeYω

11cu

 ω

11

  RC  7

CR 7   =+=+=

care arată că pentru ∞→ω   şi 1   = 7   şi deci 1   uu 7u   == , iar pentru,/şi,ω 1   ==∞→=   7uu 7  ceea ce însea"nă că acest cuadrip!lul este un filtru de

trece sus, care K &l!c6ează trecerea @ c!"p!nentel!r c!ntinue şi parţial pe cele de frecvenţă !asăşi per"ite Ktrecerea @se"nalel!r cu frecvenţă înaltă. ragul de separare depinde de val!area pecare ! are c!nstanta de ti"p CR=Y  ce intervine în e$presia atenuării de tensiune la funcţi!nareaîn g!l şi anu"e ' ,ωY/19   ≈ de!arece la frecvenţe !ase 1ωY/1   >>   şi, ca ur"are,

ωY/1ωY/11   ≈+ .

8.8.%. &inii electrice lungi

ircuitele electrice studiate pnă in prezent auf!st caracterizate prin para"etri l!calizaţi în laturilereţelei.

În practică se întlnesc însă nu"er!ase aplicaţiiîn care circuitele au para"etri distri&uişi si utilizarea

unei sc6e"e cu para"etri l!calizaţi nu "ai p!ate fi acceptată ca sc6e"ă ec6ivalentă situaţieireale. Jnul din aceste cazuri îl c!nstituie liniile de c!nduct!are iz!late între ele, f!arte lungi,utilizate la transp!rtul energiei electr!"agnetice (pe lungi"i de sute de E"), ca&lurile dedistri&uţie a acestei energii (cu lungi"i de "ii de "etri ),liniile telef!nice, ca&luri pentrudistri&uirea e"isiunil!r HG şi "ulte altele. În cazurile acest!r linii (cu para"etri distri&uiţi înlungul l!r, de !&icei în "!d unif!r", şi indicaţi prin  R în [ ]Z/" , L în [ ]S/"  şi în [ ];/" ),tensiunile şi curenţii electrici nu depind nu"ai de ti"p ci şi de distanţa în lungul liniei (dee$e"plu, de la Kcapul@/ intrarea ei la un punct c!nsiderat de pe linie).

În c!ntinuare, se va c!nsidera ! linie &ifilară cu para"etrii unif!r"i distri&uiţi în lungul ei.Hensiunile la &!rnele de intrare ale liniei (la &!rnele !:!;) este 1u ,iar tensiunea la &!rnele de

ieşire (la &!rnele 2:2; ) este u 0 aceste tensiuni sunt funţii nu"ai de ti"p' ( ) )(u,u 11   t t  x   ==  şi( ) )(u,u

  t t l  x   == , unde l  este lungi"ea liniei.

ara"etri liniei, e$pri"aţi pe unitate de lungi"e, sunt' rezistenţa specifică a c!nduct!ruluiliniei 9R în serie cu inductivitatea electrică 9L  a liniei şi transversal (în derivaţie de#a lungulliniei) c!nductanţa specifică iz!laţiei liniei 9* şi capacitatea electrică specifică întrec!nduct!arele liniei (). entru ! fracţiune de linie, de lungi"e  x∆ , sc6e"a electrică a linieiarată aşa ca în figura 8.8/=.

=

;ig.8.8/7

8/15/2019 pag. 521 - 538

18/22

!nf!r" n!taţiil!r din această figură, "!delul liniei electrice lungi este '

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∂

∂⋅∆+∆=∆+−

∆+∂

∂⋅∆+∆+⋅∆=∆+−

),,(),(,,

,,,,,

t  xut 

 xC t  x xu*t  x xit  xi

t  x xit 

 x Lt  x xi x Rt  x xut  xu

  (*1)

adică un siste" de ecuaţii cu derivate parţiale în rap!rt cu ti"pul.

Î"părţindu#se în a"&ele ecuaţii, a"&ii "e"&ri, cu ∆ x rezultă '

∂

∂+⋅=

∆

−∆+−

∆+∂

∂+∆+⋅=

∆

−∆+−

).,(),(),(),(

),,(),(),(),(

t  xut 

C t  xu* x

t  xit  x xi

t  x xit 

 Lt  x xi R x

t  xut  x xu

2acă se trece la li"ită (∆ x→) şi si"plificndu#se n!taţia "ări"il!r electrice (prinrenunţarea la indicarea argu"entului, care a f!st specificat iniţial) se !&ţine '

∂

∂+=

∂

∂−

∂∂+=

∂∂−

t 

uC *u

 x

i

t 

i L Ri x

u

 , (*)

adică un siste" de ecuaţii cu derivate parţiale în rap!rt cu ti"pul. 5iste"ul (*) este cun!scut şisu& nu"ele de ecuaţia tele6ra$i0tilor de!arece pri"ele ei aplicaţii practice au f!st efectuate înd!"eniul telegrafiei (la trans"iterea de date prin linii electrice la distanţă). 5e va aplica acestuisiste", transf!r"ata *aplace (v. P :.1.7) ştiind că'

L   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),d

dde,de,,

∫ ∫ ∞ ∞

−− =∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

 ,U  x

 ,U  x

t t  xu x

t t  xu x

t  xu x

 ,t  ,t 

care arată că, de!arece integrala este definită, transf!r"ată J(s) nu "ai depinde de t0 va rezulta pentru siste"ul (*)'

B

;ig.8.8/=

8/15/2019 pag. 521 - 538

19/22

(*3)

( )( ) ( )

( )( ) ( )

 

.d

d

,d

d

+=−

+=−

 ,U  ,C * x

 , I 

 , I  ,L R x

 ,U 

 

)

( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )  ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

−−

+=

−+

+=

−

−

 x

c

c x

c

c

 xc xc

 , Z 

 , I  , Z  ,U 

 , Z 

 , I  , Z  ,U  , I 

 , I  , Z  ,U  , I  , Z  ,U  ,U 

 [11 [11

 [11 [11

e)

e)

e

)

e

)  .

9şa cu" s#a de"!nstrat în paragraful precedent, la fel se p!ate arăta şi aici (linia &ifilarădin figura 8.8/= fiind şi ea t!t un cuadrip!l) că dacă linia este c!nectată la ieşire pe i"pedanţacaracteristică )/()()(   ,C * ,L R , Z c   ++= , atunci la intrare se "ăs!ară i"pedanţa caracteristică(cuadrip!l si"etric), ceea ce însea"nă'(*8)   ( ) ( ) ( ) , I  , Z  ,U  c 11   =  .

>

8/15/2019 pag. 521 - 538

20/22

2in ecuaţia (*>) se !&servă că dacă c!ndiţia (*8) este îndeplinită, atunci dispare undareflectată (al d!ilea ter"en din "e"&rul drept se anulează). *a trans"isiile pe ca&lu sau linii acestfapt prezintă ! de!se&ită înse"nătate, de!arece prin c!nectarea înt!tdeauna a i"pedanţeicaracteristice pr!&le"a practică a adaptării liniei este rez!lvată.

entru studiul regi"ului ar"!nic per"anent, la ! pulsaţie ω dată, se f!l!sesc aceleaşi relaţii -adică (*3)A(*>)- în care se intr!duce +ω şi transf!r"atele *aplace se înl!cuiesc cu faz!rii detensiune şi de curent. 9stfel ecuaţia (*3) devine'

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 

 ωd

d

 ωd

d

+=−

+=−

 xU C * x I  x

 x I  L R xU  x

  )(*3L

sau, de!arece  Z  L R   =+ ω , (i"pedanţa c!"ple$ă ?l!ngitudinală@ a liniei) şi 3 C *   =+ ω(ad"itanţa c!"ple$ă ?transversală@ a liniei) siste"ul (*3]) se "ai scrie şi în f!r"a'

.d/d

d/d

=

=

U 3  x I 

 I  Z  xU 

  (*3]])

"pedanţa caracteristică (c!"ple$ă) a liniei lungi &ifilare, în regi" ar"!nic, este c!nf!r"definiţiei (*B)'

3  Z C *

 L R Z 

c/

 ω

 ω=

++

=  . (*B])

9tunci, e$presiile faz!ril!r de tensiune şi de curent ale liniei &ifilare lungi în regi"ular"!nic, care se deduc din ecuaţiile generale (*>) în care  [   devine aici

( ) ( )   3  Z C * L R   =++=  ω ω [ , sunt'

( ) ( )

( ) ( )

−++=

−++=

−

−

 x

c

c

 x

c

c

 x

c

 x

c

 I  Z U  Z 

 I  Z U  Z 

 I 

 I  Z U  I  Z U U 

 [

11

 [

11

 [

11

 [

11

e)

1e

)

1

e)

1e

)

1

, (*>])

în care u jU U    ϕ= e1  şi i j I  I    ϕ= e , unde U 1 şi I 1 sunt val!rile efective ale tensiunii şi curentului la

capul (intrarea) liniei, iar iu   ϕϕ şi sunt fazele iniţiale ale tensiunii şi curentului la &!rnele 1#1] (la

intrare).2acă, în altă !rdine de idei, linia &ifilară este fără pierderi (nedisipativă), caz ce p!ate fiad"is cu ! &ună apr!$i"aţie în unele aplicaţii din radi!c!"unicaţii, atunci %+ şi T+, "!delul(*) al liniei devenind'

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−

t 

uC 

 x

i

t 

i L

 x

u

 .

8

8/15/2019 pag. 521 - 538

21/22

rin derivarea pri"ei ecuaţii în rap!rt cu x şi a celei de a d!ua în rap!rt cu t siste"ul acestadevine'

,// //şi// t u LC  xut uC t  xi xt i L xu   ∂∂=∂∂∴∂∂=∂∂∂−∂∂∂=∂∂−  ceea ce însea"nă'

sau1

=∂∂

−∂∂⋅

t 

u

 x

u

 LC ^*u+ , (*:)

unde !perat!rul lui d]9la"&ert este, aici'

^*

1

t  x LC    ∂∂

+∂∂

−= .2upă cu" se vede ecuaţia (*:) este un caz particular al ecuaţiei undel!r (v. P. >.1.)

entru e$tinderea analizei liniil!r lungi, se p!ate f!r"ula acu" pr!&le"a lui !uc6Ngeneralizată pentru ecuaţia undel!r (*:)'

)(/)0()(1   xut u xut u t    =∂∂=+=   += .

5e c!nsideră ' )(şi)(),( 11

nn  RC u RC ut C  $     ∈∈≥∈  şi se prelungesc funcţiile u şi $ cu val!area zer! pentru t_'

, ((

(`0

((

(`

8/15/2019 pag. 521 - 538

22/22

( ) ( )

( )   ( ) ( ) ( )

( )   ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,``d,

d,

dd`

d,

,

d,,

ddCd,

,

d,,

dd1

Dli"

11

1

ϕδ+δ+=ϕ+

+∂

ϕ∂−=∂

∂ϕ+

+∂

ϕ∂−ϕ=∂

ε∂εϕ+

+ε∂

εϕ∂−ϕ   

  

 ∆−

∂∂=

∫ 

∫ ∫ ∫ 

∫ ∫ ∫ ∫ 

∫ ∫ ∫ 

+

∞

∞

ε→ε

t  xut  xu  $   x x xu

 xt 

 xut  x  $   x

t 

 xu x

 x xut 

 xt  x  $   x

t 

 xu x

 x xut 

 xt  xu

 LC t 

u

n

n n n

nnn

n n

 R

 R R R

 R R R

 R R

9stfel, c!ndiţiile iniţiale 1   u 0iu au r!lul un!r surse instantanee iniţiale (se rea"inteşte

cazul c!ndensat!rului care la t + se încarcă &rusc cu Q ). 9tunci, însă, pertur&aţiile iniţiale 1u

îi c!respunde stratul du&lu ( ) ( )t  xu   δ , iar pertur&aţiei iniţiale 1u   îi c!respunde stratul si"plu( ) ( )t  xu   δ

1  a"&ele în planul t +.

2acă s#a găsit s!luţia funda"entală a ecuaţiei   ( )t  xu LC  ,δ= , fie aceasta   $  u , rezultăs!luţia unică   ( )t  x $  u LC  ,=  şi anu"e ( ) .   =.1.7.).