Eksistensi dan Teorema Keunikan

Teorema 2.4.2 Misalkan f dan ∂f /∂y kontinu pada daerah α < t < β, γ < y < δ yang memuat titik (t0,y0) . Maka dalam suatu interval t0 − h < t < t0 + h di α < t < β terdapat solusi tunggal y = φ(t) dari masalah nilai awal y’= f(t,y), y(t0) = y0.

Pada bagian ini kita membahas bukti Teorema 2.4.2, keberadaan fundamental dan Teorema keunikan untuk masalah nilai awal orde pertama. Teorema ini menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu pada f(t,y), masalah nilai awal

memiliki solusi unik dalam beberapa interval yang mengandung titik t0.

Dalam beberapa kasus (misalnya, jika persamaan diferensial linier) adanya solusi dari masalah nilai awal (1) dapat dibentuk secara langsung dengan benar-benar memecahkan masalah dan menunjukkan formula untuk solusi. Namun, secara umum, pendekatan ini tidak layak karena tidak ada metode memecahkan persamaan diferensial yang berlaku dalam semua kasus. Oleh karena itu, untuk kasus yang umum maka perlu untuk mengadopsi pendekatan tidak langsung yang menunjukkan adanya solusi dari Persamaan (1), tetapi biasanya tidak menyediakan sarana praktis untuk menemukan itu. Inti dari metode ini adalah konstruksi urutan fungsi yang menyatu ke fungsi batas yang memenuhi masalah nilai awal, meskipun anggota urutan individual tidak. Sebagai aturan, adalah mustahil untuk menghitung secara eksplisit lebih dari beberapa anggota dari urutan, sehingga fungsi batas dapat ditentukan hanya dalam kasus yang jarang terjadi. Namun demikian, di bawah pembatasan f (t,y) dinyatakan dalam Teorema 2.4.2, adalah mungkin untuk menunjukkan bahwa urutan menyatu tersebut dan bahwa limit fungsi memiliki sifat yang diinginkan. Argumen ini cukup rumit dan tergantung, sebagian, pada teknik dan hasil yang biasanya ditemui untuk pertama kalinya dalam pelajaran kalkulus lanjut. Akibatnya, kita tidak pergi ke semua rincian bukti di sini, kita lakukan, bagaimanapun, menunjukkan fitur utama dan menunjukkan beberapa kesulitan yang terlibat.

Pertama-tama, kami mencatat bahwa itu sudah cukup untuk mempertimbangkan masalah di mana titik awal (t0,y0) adalah titik asal, yaitu masalah

Jika beberapa titik awal lainnya diberikan, maka kita selalu dapat membuat perubahan awal variabel, sesuai dengan penjabaran dari sumbu koordinat, yang akan mengambil titik tertentu (t0,y0) ke titik asal. Keberadaan dan Teorema keunikan sekarang dapat dinyatakan dengan cara berikut.

Teorema 2.8.1 Jika f dan ∂f/∂y adalah kontinu dalam persegi panjang R: | t | ≤ a, | y | ≤ b, maka ada beberapa interval |t| ≤ h ≤ a di mana terdapat solusi yang unik y=φ(t) dari masalah nilai awal (2).

Untuk membuktikan teorema ini perlu untuk mengubah masalah nilai awal (2) menjadi bentuk yang lebih nyaman. Jika kita menganggap bahwa sementara ada fungsi y=φ(t) yang memenuhi masalah nilai awal, maka f [t, φ (t)] adalah fungsi kontinu dari t saja. Oleh karena itu kita dapat mengintegrasikan y’ = f (t,y) dari titik awal t = 0 ke nilai sembarang dari t, untuk mendapatkan

di mana kita telah membuat penggunaan kondisi awal φ(0) = 0. Kami juga menunjukkan variabel dummy integrasi dengan s.

Karena Persamaan (3) berisi integral dari φ fungsi yang tidak diketahui, hal itu disebut persamaan integral. Ini persamaan integral bukanlah formula untuk solusi dari masalah nilai awal, tetapi tidak memberikan lagi hubungan dipenuhi dengan solusi dari Persamaan (2). Sebaliknya, anggaplah bahwa ada fungsi kontinu y = φ(t) yang memenuhi persamaan integral (3), maka fungsi ini juga memenuhi masalah nilai awal (2). Untuk menunjukkan hal ini, pertama-tama kita menggantikan nol untuk t pada Persamaan (3), yang menunjukkan bahwa kondisi awal terpenuhi. Selanjutnya, karena integran di Persamaan. (3) kontinu, maka dari teorema dasar kalkulus bahwa φ'(t) = f[t,φ(t)]. Oleh karena itu masalah nilai awal dan persamaan integral adalah sama dalam arti bahwa setiap satu solusi juga merupakan solusi yang lain. Hal ini lebih mudah untuk menunjukkan bahwa ada solusi unik dari persamaan integral dalam interval tertentu |t| ≤ h. Kesimpulan yang sama kemudian akan berlaku juga untuk masalah nilai awal.

Salah satu metode untuk menunjukkan bahwa persamaan integral (3) memiliki solusi unik dikenal sebagai metode perkiraan berurutan, atau metode iterasi Picard. Dalam menggunakan metode ini, kita mulai dengan memilih fungsi awal φ0, baik sembarang atau perkiraan dalam beberapa cara solusi dari masalah nilai awal. Pilihan yang paling sederhana adalah

kemudian φ0 setidaknya memenuhi kondisi awal dalam Persamaan (2), meskipun mungkin bukan persamaan diferensial. Aproksimasi berikutnya φ1 diperoleh dengan menggantikan φ0(s) untuk φ(s) di sisi kanan Persamaan (3), dan menyebut hasil dari operasi ini φ1(t). Maka

Demikian pula, φ2 diperoleh dari φ1 :

dan secara umum

Dengan cara ini kita menghasilkan urutan fungsi {φn}= φ0, φ1,...,φn, ... Setiap anggota urutan memenuhi kondisi awal, tetapi secara umum tidak memenuhi persamaan diferensial. Namun, jika pada tahap tertentu, katakanlah untuk n = k, kita menemukan bahwa φk+1(t)=φk(t), maka disimpulkan bahwa φk adalah solusi dari persamaan integral (3). Oleh karena itu φk juga merupakan solusi dari masalah nilai awal (2), dan urutan diakhiri pada tahap ini. Secara umum, hal ini tidak terjadi, dan perlu untuk mempertimbangkan urutan yang tak terbatas keseluruhan.

Untuk membangun Teorema 2.8.1 empat pertanyaan pokok yang harus dijawab:

1. Apakah semua anggota urutan {φn} ada, atau mungkin proses memecah pada tahap tertentu?2. Apakah urutan konvergen?3. Apa sifat-sifat limit fungsi? Secara khusus, apakah itu memenuhi persamaan integral (3), sehingga

ada masalah nilai awal (2)?4. Apakah ini satu-satunya solusi, atau ada solusi yang lain?

Kita pertama kali menunjukkan bagaimana pertanyaan-pertanyaan ini dapat dijawab dalam contoh spesifik dan relatif sederhana, dan kemudian mengomentari beberapa kesulitan yang mungkin ditemui dalam kasus umum.

Contoh 1.

Selesaikan masalah nilai awal berikut.

dengan metode aproksimasi berurutan.

Catat! pertama bahwa jika y = φ(t), maka persamaan integral yang sesuai adalah

Jika perkiraan awal adalah φ0(t) = 0, maka

demikian pula

dan

Persamaan (10), (11), dan (12) menunjukkan bahwa

untuk setiap n ≥ 1, dan hasil ini dapat ditetapkan dengan induksi matematika. Persamaan (13) memang benar untuk n = 1, lihat Persamaan (10). Kita harus menunjukkan bahwa jika memang benar untuk n = k, maka juga berlaku untuk n = k + 1. Kita memiliki

dan bukti induksi sudah lengkap.

Sebuah plot dari empat iterates pertama, φ1(t), ..., φ4(t) ditunjukkan pada Gambar 2.8.1. Seiring dengan peningkatan k, yang iterates tampaknya tetap dekat selama suatu interval secara bertahap meningkat, menunjukkan konvergensi akhirnya ke fungsi batas.