TRIANGULOS EN EL PLANO Y EN LA ESFERA

Actividades de ampliacion

1 Supongamos una circunferencia y en ella un angulo cuyos lados son un diametro de dicha circunferencia, el AC, y una cuerda ABque parte de uno de los extremos del mencionado diametro. Prueba que este angulo mide la mitad que el arco que abarca.

r

O

C

B

A

α

2 Angulo inscrito en una circunferencia. Supongamos ahora el angulo BACr que tiene por lados dos cuerdas AB y AC de la circun-ferencia que parten de un mismo punto A. Prueba que en este caso el angulo BACr tambien mide la mitad que el arco BCw queabarca.

O C

B

A

αβ

D

3 Angulo interior de una circunferencia. Es todo angulo cuyo vertice es un punto P interior a dicha circunferencia. Prueba que sumedida es igual a la semisuma de las medidas angulares de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones deestos.

PC

B

A

α D

4 Angulo exterior a una circunferencia. Es aquel cuyo vertice es exterior a la misma y cuyos lados son tangentes o secantes a ella.Prueba que su medida es igual a la semidiferencia de las medidas angulares de los arcos comprendidos entre sus lados.

PC

B

Aα

D

Solucionario1 El triangulo AOBu es isosceles ya que AO � OB � r.

2 BACr � 180� � (180� � �) � � BACr � �� BCw2 2

2 Considerando el diametro auxiliar AD, se verifica:

BACr � �

�BADr �

� � � BCw2� 2 2�DACr �2

3 Consideremos el triangulo PCBu :

PCBr � CBPr � 180� � (180� � �) � � � �BDw � CAw

2

4 Consideremos el triangulo PADu :

DAPr � APDr � DAPr � � � 180� � 180� �ABw� �2

� � � DAPr �ABw ABw � CDw2 2