PDJ

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Abear Saeed Aboglida

Pogled na parcijalne diferencijalne jednaine

- master rad -

Novi Sad, 2012. godine.

Parcijalne diferencijalne jednaine

I

SADRAJ SADRAJ ........................................................................................................................................ I

1. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAINE ........................................................... 3 1.1. Uvod ............................................................................................................................................. 3 1.2. Poreklo i karakteristike ................................................................................................................. 4 1.3. Obeleavanja................................................................................................................................. 5 1.4. Prostorna dimenzija za talasnu jednainu ..................................................................................... 6 1.5. Sferni talasi ................................................................................................................................... 7 1.6. Laplace jednaina u dve dimenzije ............................................................................................... 7

1.6.1. Veza sa holomorfnom funkcijom ............................................................................................. 7 1.6.2. Problem ogranienja ................................................................................................................ 8

1.7. Eulori-Triticomi jednaina ............................................................................................................ 8 1.8. Advection jednaina ..................................................................................................................... 8 1.9. Ginzburgova Landau jednaina .................................................................................................... 9 1.10. Dym jednaina .............................................................................................................................. 9 1.11. Vibrirajua nit ............................................................................................................................... 9 1.12. Vibrirajue membrane ................................................................................................................ 10

2. KLASIFIKACIJA ............................................................................................................... 11 2.1. JednainE prvog reda .................................................................................................................. 11

2.1.1. PDJ prvog reda ....................................................................................................................... 11 2.1.2. Karakteristine povrine za talasne jednaine ........................................................................ 11

2.2. Dvodimenzionalna teorija ........................................................................................................... 12 2.2.1. Jednaine drugog reda ............................................................................................................ 13 2.2.2. Sistemi prvog reda jednaina i karakteristinih povrina ....................................................... 15 2.2.3. Jednaine meovitog oblika ................................................................................................... 16 2.2.4. Infinitivne PDE u kvantnoj mehanici ..................................................................................... 16

3. METODE REAVANJA I ANALIZE PDJ ...................................................................... 17 3.1. Integralna transfromacija ............................................................................................................ 17 3.2. Promena varijabli ........................................................................................................................ 17 3.3. Lie grupna metoda ...................................................................................................................... 17 3.4. Numerike metode za reavanje PDEs ....................................................................................... 18 3.5. metod KonaNIH elemenata ....................................................................................................... 18

3.5.1. Metod konanih razlika .......................................................................................................... 19 3.5.2. Metod konanog volumena .................................................................................................... 19

4. PRIMERI BITNIH PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAINA KOJE PROIZILAZE U PROBLEM MATEMATIKE FIZIKE ................................................................... 20

5. POJEDINANE PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAINE ........................... 24

6. SISTEMI PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAINA ................................... 28

LITERATURA ............................................................................................................................. 29

BIOGRAFIJA ............................................................................................................................... 31


3

1. PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAINE 1.1. UVOD

PDJ je krae ime za parcijalne diferencijalne jednaine, koje imaju jako mnogo upotreba u razliitim poljima aktivnosti. To je tip diferncijalnih jednaina, ukljuuje nepoznatu funkciju sa nekoliko nezavisnih varijabli i njihove parcijalne izvode u odnosu na ove varijable.

SLIKA 0.1 PRIMER PDJ

Kako bi formulisali i nali reenje za razliite probleme koji ukljuuju funkcije nekoliko

varijabli, moemo koristiti PDJ. Problemi su razliiti, od zvunih do toplotnih, elektrostatinih, elektrodinaminih, fluidnih, elastinih pojava i najbolje opisuju u kojem polju parcijalne diferencijalne jednaine mogu biti koriene.

Da istaknemo razliiti fiziki fenomeni, pojave, mogu biti identino matematiki formulisani i stoga voeni samom dinamikom koja stoji iza njih. Multidimenzionalni problemi se opisuju sa PDJ, a sa druge strane one su standardne diferencijalne jednaine modeli su dinamike sisteme.

Parcijalna diferncijalna jednaina za funkciju u(x1,...xn) je u formi:

Ako F predstavlja linearnu funkciju od u, zamenom u sa v+w se moe napisati kao: F(v) + F(w) Sa druge strane, ako zamenimo u sa ku, onda je F:

U sluaju kada F predstavlja linearnu funkciju od u i izvodi stoga PDE su isuvie

linearni. Na primer, postoji slian sluaj parcijalnih lienarnih jednaina koji ukljuuje toplotne jednaine, talasne jednaine, Laplace jednaine. Sve ce biti kasnije pojanjene.

Master rad

4

Prvo da vidimo jednostavnu formu parcijalne diferencijalne jednaine:

Ako je dobro pogledamo, moe se zakljuiti da je funkcija u(x,y) nezavisna od x. To

znai da je generalno reenje imlicirano relacijom:

Tako da za poznato f u predstavlja arbitarnu funkciju od y i analog za standardne

diferencijalne jednaine kao sto je ispod:

Sledee reenje za ovo je:

Ovde c predstavlja konstantnu vrednost nezavisnu od vrednosti x. Stoga, generalno reenje parcijalne diferencijalne jednaine ukljuuje arbitarnu funkciju i

kao reenje toga nije jedinstvena moramo odrediti granicu ili relaciju regiona gde je reenje specijalno definisano.

1.2. POREKLO I KARAKTERISTIKE Upotreba Picard-Lindelofove teoreme nam moe dati veoma pogodno i produktivno

reenje za tip diferncijalne jednaine u pur interesovanju. Ove jednaine su veoma specijalne ili jedinstvene tako da one imaju specijalno poreklo ili postojanje. Druga teorema je generalna, Cauchy-Kowalevski i stoji da Cauchi problem za bilo koju parcijalnu diferencijalnu jednainu koja je analitina, nepoznata funkcija i njeno izvodjenje ima jedinstveno analitiko reenje.

Patologiko ponaanje kao posledica Cauchy problema moe biti prezentovano u primeru ispod i to zavisi od vrednosti n:

Po Laplace-ovoj jednaini granini uslovi e ubudue odrediti to kao:

Ovde je n integralna vrednost, u i kao izvod od u, tei 0 kada n raste. Reenje za ovo s

obzirom na y biva:

Ovo reenje pristupa beskonanosti ako nx nije integralna viestruka vrednost od za bilo

koju vrednost koja nije nula za y. Cauchy-jev problem za Laplace jednainu je dakle loe postavljen (ill-posed), s obzirom da reenje ne zavisi neprekidno od podataka problema. Ovako postavljen problem nije obicno zadovoljavajui za fizike aplikacije.


5

1.3. OBELEAVANJA Parcijalni izvodi se esto oznaavaju u parcijalnim diferencijalnim jednainama

indeksima na sledei nain:

Za prostorne izvode esto je korien delta a za vremenske izvode se koristi dot. to

se tie delte, moe biti zamenjen Cartezijevim koordinatama : Lep primer za ove dve vrednosti i njihove upotrebe bi bila talasna jednaina, esto

koriena i prezentovana u dve forme: Prva je za fiziko obeleavanje, a druga za matematiko. Vrednost je Laplace

operator i moramo biti paljivi da to ne pomeamo sa delta operatorom zato to imaju istu oznaku. Stoga, ovo bi bilo otprilike sve o obeleavanju kako bi bili dobro upoznati i paljivo to koristili.

Da vidimo neke primere kako bi bolje razumeli sve navedeno. Na primer, tu je jednaina koja objanjava kondukciju toplote za homogeno telo i

data je u dimenziji poput ove dole, jednoj dimenziji: Tako da tu je temperatura predstavljena sa u(t,x) a sto se tie , predstavlja

pozitivnu konstantu za udeo difuzije. Nadalje mora biti specijalizovana vrednost od u(0,x) = f(x) a za arbitarnu funkciju imamo f(x). Ovo je nazvano Cauchijevim problemom i ima neka genralna reenja kao to je navedeno.

Moe biti reeno korienjem odvajanje od varijabli metode i korienjem redova u vezi toplotnih jednaina. Za periodine serije u sluaju od f a to se tie ne periodinih transfromacija imamo Fourier transformacije. Na poslednjem primeru, korienjem Fourier transformacije, reenje moe biti dato kao to je dole i to je reenje toplotne jednaine:

Ovde F predstavlja arbitarnu funkciju I Fourierovu transformaciju od f za podrku inicijalnim uslovima:

Master rad

6

Izvor toplote je ovde predstavljen kao f i dovljno je malen, ali dovoljno i snaan izvor, tako da e dalje biti integrisan i ii kroz delta distribuciju. Ovaj nain e ukljuiti jainu izvora i u sluaju kada je izvor dobro normalizovan za vrednost od 1, imamo rezultat:

Konano, izraunat je rezultat toplotne jednaine i nazvan Gausianov integral.

Drugi nain da se ovo predstavi je:

Ovde x ide ujedno sa normalnom verovatnoom i ima vrednost o kao i varijansa 2t

koja je i ova jednaina je konana, moe biti koriena u mnogim istraivanjima uzevi u obzir difuzione jednaine u razliitim sluajevima ili pojavama.

1.4. PROSTORNA DIMENZIJA ZA TALASNU JEDNAINU Nepoznata funkcija za jednainu talasne funkcije u(t, x) je forma: Ovde je

u- vibracija rairene ice u ravnotei, drugi model za u je da bude varijacija u vazdunom pritisku u cevi,

c-broj koji odgovara brzini talasa. to se tie u, takoe moe biti veliina magnetnog polja u cevi. Inicijalne podaci su

poetni poloaj ice I njena poetna brzina, te tako: Ovde su date arbitarne funkcije u obliku f i g tako da je finalno reenje za problem

dAlembertova jednaina:

Ali kako bi je bolje razumeli moramo biti upoznati sa faktorima koji utiu i tako, reenje na (t,x) je pod uticajem podataka na poetnoj liniji i tako, karakteristine krive: Propagiranjem sa brzinom c, signali su odgovarajui za krivu predstavljenu iznad i stoga

unazad i unapred, tako da imamo prenosiv uticaj podataka na razliitim takama koje su date i na nekoj inicijaloj linije. to se tie linije, za konana brzina c nema efekat iza trougla kroz tu taku ije su strane karakteristine krive.


7

Ovo ponaanje je veoma razliito od reenja za toplotnu jednainu gde je efekat take izvora vidljiv svakoj taki u prostoru. ([1])

U sluaju kada je t negativno, imamo validno reenje od pre, gore, i jasno je da nae reenje zavisi od injenice o veoma dobro postavljenim talasnim jednainama Cauchy problem opisuje, oba pravca, unapred i unazad.

1.5. SFERNI TALASI Dalje e biti opisana upotreba diferencijalnih jednaina u sfernim talasima. Jedna injenica je u vezi talasa kao to je ovaj i mora biti proraunata u tipu jednaina kao ove to su, u zavisnosti od talasa od radijalne udaljenosti f od centralne take izvora. ta to znai? Pa, za ove talase je predstavljena trodimenzionalna talasna jednaina ispod, i ovde je takoe zadovoljena jedno-dimenzionalna talasna jednaina. Prvo imamo ovu formu jednaine:

A kasnije moe biti transformisana u ovo: to je ekvivalentno

Kao svojom finalnom i moda najrazumljivijom verzijom. Ovde su F i G arbitarne funkcije kao to se moe i pretpostaviti. U sluaju kada je G jednako nuli, tada je radijacija od antene pogodna za ovaj sluaj. Ovde se moe zakljuiti da nema distorzije u vremenu kada je talasi oblik formiran i predstavljen od antene. U sluaju kada su predstavljene dve specijalne dimenzije, budua iI nedistorzirana propagacija talasa nije prikazana.

1.6. LAPLACE JEDNAINA U DVE DIMENZIJE A nepoznatu funkciju dve varijable, data forma za u Laplaceovoj jednaini je

sledea: Dobro poznata, harmonina funkcija, je reenje za ove jednaine.

1.6.1. Veza sa holomorfnom funkcijom

Ne moemo odvojiti Laplace jednainu i analitiku jednainu od kompleksne i varijable zato to su usko povezane u reenjima i stoga opisuju neki kompleks varijable te imamo realne i imaginarne delove bilo koje analitike funkcije koja je konjugativna harmonina funkcija.

Zadovoljavajui Laplace jednainu, moemo koristiti gradijente u ortogonalnoj formi i stoga f predstavlja vrednost od u=v. Nakon ovog stanja Cracht Riemanove jednaine je sledee:

Master rad

8

Konverzno, data harmonicna funkcija u dve dimenzije, je realni deo analiticke

funkcije, barem lokalno. Ako traimo detalje, tu je Laplace jednaina. ([1])

1.6.2. Problem ogranienja

esto je za Laplace jednaine i reenje mora biti predstavljeno na nain da ispuni arbitarnu vrednost na granici domena. ta to znai? Dati primeri koji sadre harmonine funkcije i uzimaju vrednost u() na krugu radijusa u vrednosti 1.

To je reenje od Poisona i dopunjeno je kasnije nekim podacima iz Petrovskijevog

istraivanja. Po Petrovskom, formula iznad moe lako biti upoznata sa Fourier serijom za vrednost od .

U sluaju kada je r manje od 1, sledei izvodi e lako biti izraunati u razlike ispod integralnog znaka. Ovde moe biti proverena vrednost od koje je analitino. To je stabilno, ak i u sluaju kada je predstavnik neprekidna, ne obavezno diferencijabilna funkcija.

Reenja kao eliptine parcijalne jednaine sadre sledee podatke. Reenja mogu biti doneena mnogo lake nego podaci o ogranienjima. Ovo nije

kontrastno reenjima talasnih jednaina i generalno hiperbolino parcijalno diferencijalnim jednainama, koje tipino nemaju vie izvoda nego podataka. ([1])

1.7. EULORI-TRITICOMI JEDNAINA

U istraivanjima transoninih tokova mozemo koristiti jednainu pronaenu od strane Eulera i Triconija, nazvanu Eulori-Triconi jednaina:

1.8. ADVECTION JEDNAINA Transport konzervativnog skalara u frekvenciji polja je

predstavljen sledeom jednainom ili moemo rei, advektivnom jednainom. To je: U sluaju kada je polje frekvencija solenoidno a to je , tada jednaina

moe biti pojednostavljena u : To je jednodimenzionalni sluaj gde je u konstanta i jednaka , jednaina je

predstavljena kao Burgerova.


9

1.9. GINZBURGOVA LANDAU JEDNAINA Za modeliranje superkonduktiviteta koristimo ovu Ginzburg-Landau jednainu, a to je: Gde su I konstantni, a i je imaginarna jedinica.

1.10. DYM JEDNAINA Dym jednaina je imenovana po Hariju Dimu i javlja se u istraivanjima solitona. To je:

1.11. VIBRIRAJUA NIT Rastezanje niti medju dve take gde je x=0 i x=L denote amplitude zamene niti, moe

lako biti predstavljen za jednodimenzionalne talasne jednaine u region gde je 0

Master rad

10

Duvaki instrumenti tipino odgovaraju na vibracije vazdune kolumne sa jednim otvorom i jednim krajem zatvorenim. ([1])

Tako, odgovarajaue granice bi bile: Primenom metoda separacije u ovakvim sluajevima kao to je prezentovani, je

reenje i pratei ga, biemo voeni do nekoliko udnih prekotonova. Formiranje reenja problema ovog tipa moemo koristiti teoriju pronadjenu od

strane Sturma i Liovila. 1.12. VIBRIRAJUE MEMBRANE

irenje membrane preko krive C koja formira granicu domena D u nekim odreenim ravnima, talasna jednaina prateeg tipa moe upravljati ovom, mambranom, vibracijama

Ako je t>0 i (x,y) je u D. Granini uslov je u(t,x,y) je na C. Metod separacije varijabli vodi ka formi: Koja zauzvrat mora biti dopunjena sa sledeim:

Sledea jednaina je nazvana Homholtz jednaina. Doputajui ne trivijalnom v u

redu da popuni granine uslove na C, moramo odrediti konstantu k. Da vidimo: k2 je nazvano karakteristina vrednost Laplaciana u D a povezano reenje je karakteristino reenje Laplaciana u D. Sturm Liovilova teorija moe biti proirena na ovu eliptinu eigenvalue problem. (Jost, 2002)


11

2. KLASIFIKACIJA Kako bi napravili neki vodi za pogodne ili odgovarajue granine uslove,

matematiari su napravili klasifikaciju meu jednainama. Korienjem ovakvih klasifikacija, reenja e doi lako prilino. Postoji nekoliko redova za klasifikaciju. Na primer, za neke linearne, drugog reda parcijalne diferencijalne jednaine klasifikacija je parabolina, hiperbolina i eliptina. Druge kao to je Euler Tricomi jednaina imaju razliite tipove u razliitim regionima.

2.1. JEDNAINE PRVOG REDA 2.1.1. PDJ prvog reda

Parcijalne diferncijalne jednaine prvog reda ukljuuju samo prve izvode nepoznate funkcije od n varijabli nazvane parcijalnim jednainama prvog reda. Jednaina uzima oblik:

Ovakve jednaine proizilaze iz konstrukcije karakteristinih povrina za hiperboline parcijalne diferencijalne jednaine, u raunajima varijacija, u nekim geometrijskim problemima i proizilaze u jednostavnom modelu za gas dinamiku ija su reenja ukljuena u metod karakteristika.

Generalno reenje integrisane familije uobiajenih jednaina moze biti orjentisano na reenje iz pojedine jednaine prvog reda koja e ubudue pomoi pronalaenju reenja za ove pojedinane jednaine. Tako, moemo rei da ovo generalno reenje je obuhvaeno u razliite uobiajene diferencijalne jednaine.

2.1.2. Karakteristine povrine za talasne jednaine

Karakteristine povrine za talasne jednaine su nivo povrina za reenja jednaine: U sluaju kada je talas postavljen kao ut = 1, tu je odreeni gubitak generalnih i

sledeih prezentovan kao:

U vektorskoj rotaciji, sledi: Set reenja sa ravnima kao nivoima povrina je dat kao: Gde:

Master rad

12

Ako je x i xo sadrano fiksno, razvoj ovih reenja je sadran traenjem take na sferi

radijusa 1/c gde je vrednost od u stacionarna. Ovo je istina ako je paralelno sa . Stoga ovaj je predstavljen jednainom:

Sfere sa radiusom koji proizilazi i koji imaju odskok sa frekvencijom c ne mogu ovo

uzeti za odgovarajue reenje. Ovo su laki konusi u prostoru i vremenu. to se tie problema, glavni razlog ovde bi bio odredjivanje nivoa povrine S gde je u=0 za t=0. Ako uzmemo razvoj svih sfera sa centrima u S, tada emo uzeti u obzir i ovo

reenje, a to se tie S, radius bi rastao sa frekvencijom koja je obeleena kao c. Ovaj zavoj je sadran u

Ako postavimo ovaj deo u relaciju normalno sa S, zahtevi e biti

popunjeni. Stoga zavoj odgovara kretanju sa frekvencijom c du svake normale ka S. Ovo je Huygenova konstrukcija talasnog fronta tako da e svaka taka na S emitovati sferni talas na vreme t-0. Onda talas e suprotstaviti na sledeem vremenu t je zavoj ovih sferinih talasa. Normale ka S su laki zraci.

2.2. DVODIMENZIONALNA TEORIJA Generalno diferencijalne jednaine prvog reda imaju formu: Gde: Kompletan integral ove jednaine je reenje (x,y,u) koje zavisi od dva parametra a i

b. to se tie parametra n, bie zahtevan u n-dimenzionalnom sluaju a ako elimo da

razvijemo glatko reenje, birajui arbitrarnu funkciju w u ovom sluaju. Kasnije e biti postavljen b, kao b=w(a). Sledee, mi moramo da utvrdimo A: -A(x,y,u) zahtevajui totalne izvode:

U ovom sluaju, reenje uw je dato kao: Ako pronaemo reenje za funkciju w, bie lake da naemo reenje za nau

parcijalnu diferencijalnu jednainu. Drugi nain je da vodimo konstrukciju lakog konusa kao karakteristinu povrinu za talasnu jednainu.

U sluaju kada kompletan integral nije dostupan, reenje moe jo uvek biti sadrano reavanjem sistema uobiajenih jednaina. Kako bi obuhvatili ovaj sistem, prvo zabeleiti


13

da parcijalne diferencijalne jednaine odreuju konus analogno lakom konusu na svakoj taki: -ako je PDE linearno u izvodima od u (to je kvazi linearno) onda -konus degenerie u liniji.

U generalnom sluaju, parovi (p,q) koji zadovoljavaju jednainu odreuju familiju ravni na datoj taki:

Gde Zavoj ovih ravni je konus ili linija ako je PDE quazi linearno. Tako, to se tie zavoja, uslovi bi bili: F-vrednovano kao (x0,y0,u0,p,q), -dp i dq- inkrementi od p i q koji zadovoljavaju F=0. Konano, generator konusa je linija sa sledeim redom: Pravac ovog generatora odgovara lakim zracima za talasnu jednainu. Da bi

integrisali diferencijalne jednaine meu ove pravce, moramo da naemo inkremente za p i q meu zracima. To moze biti dalje sadrano diferenciranjem PDE:

Sledee, zrani pravci u (x,y,u,p,q) prostoru bi bili sledei:

2.2.1. Jednaine drugog reda Ako krenemo od ove relacije uxy = uyx, generalno drugog reda parcijalnih diferencijalnih jednaina u dve odvojene varijable imaju sledeu formu:

Ovde su koeficijenti ABC zavisni od x i y. Ako je A2 + B2 + C2 > 0 preko regiona od xy ravni, parcijalne diferencijalne jednaine su drugog reda u tom regionu.

Neke ili analogne ovoj jednaini su date ispod relacijom: To je dato za konusnu sekciju.

Master rad

14

Zamenom za druge varijable kao to je uinjeno u Fourier transformaciji, ubudue e konvertovati konstantno koeficijent i parcijalno diferencijalnu jednainu PDE u polinominalnu istog stepena sa top nivoom ili homogenim polinominalnim, gde je kvadratna forma ili ubudue, posebno e biti znaajno za nau klasifikaciju.

Samo kao jedna klasifikuje konusnu sekciju i kvadratnu formu u parabolinu,hiperbolinu, eliptinu zasnovano na diskriminanti (2B)2 4AC, isto moze biti uinjeno za PDE drugog reda na datoj taki. Bilo kako bilo, diskriminant u PDE je dat putem B2 AC, kroz konvenciju od xy postajui 2B pre nego B; formalno diskriminant asocirane kvadratne forme je (2B)2 4AC = 4(B2 AC), to je faktor od 4 ostavljen jednostavnosti. 1. reenja elliptic PDEs su glatka koliko to koeficijenti

dozvoljavaju unutar oblasti gde postoji reenje. Na primer, reenja

Laplasove jednaine su analizika, ak I ako granini uslovi nisu glatki. Kretanje fluida na subsoninim brzinama se moe aproksimirati

eliptinom PDJ, EulerTricomi jednaina je eliptina za x0. Sledee, u sluaju da imamo nezavisne varijable za proizvoljno n: - x1, x2 , ..., xn, Onda generalna linerana parcijalna diferencijalna jednaina drugog reda ima sledeu formu:

Klasifikacija zavisi od potpisa katakteristinih korena koeficijenta matice.


15

1. Eliptina: Svi karakteristini koreni su pozitivni ili negativni. 2. Parabolina: Svi karakteristini koreni su pozitivni Ili negativni sem jednog koji je nula. 3. Hiperbolina: Samo jedan karakteristini koren je negativan, dok su ostali pozitivni ili obrnuto. 4. Ultrahiperbolina: Ima vie od jednog karakteristinog korena svakog znaka i nema nula. ([2])

2.2.2. Sistemi prvog reda jednaina i karakteristinih povrina Za klasifikaciju sistema prvog reda koristimo matrinu notaciju. Nepoznata u je sada

vektor sa m komponentama i koeficijenti su mxm matrice A za Parcijalne diferencijalne jednaine e kasnije uzeti ovu formu:

Gde: - Koeficijent matrice Ay, - Vektor B moe zavisiti od x i u. - Ako je hiperpovrina S data u implicitnoj formi:

Gde - nema nula gradijent - -onda S je karakteristina povrina za operator L na datoj taki ako je karakteristina forma nestaje

Geometrijska interpretacija ovih uslova je sledea: ako su podaci za u prepisani

na povrinu S, onda moe biti mogue da se odredi dormalni izvod u na S iz diferencijalne jednaine. Ako je podatak na S i diferencijalna jednaina determinie normalan izvod od u na S onda S je ne karakteristina. Ako je podatak na S i diferencijalna jednaina ne odreuje normalne izvode od u na S, onda je povrina karakteristina.. I diferencijalna jednaina ograniava podatke na S: diferencijalna jednaina je internal za S.

Master rad

16

1. Sistem prvog reda Lu=0 je eliptian ako neka karakteristine povri za L: Vrednosti u I njenih izvoda uvek odreuju normalni izvod od u na S. 2. Sistem prvog reda je hiperbolian u nekoj taki ako postoji space-like karakteristina povr S u toj taki sa normalom . To znai da za svaki netrivijalni vektor normalan

na , I skalar , jednaina ima realni koren 1, 2, ..., m. Koreni su razliiti i to se tie sistema, hiperbolian je.

Geometrijska interpretacija ovih uslova je sledea: karakteristina forma Q()=0 definie konus normani konus, sa homogenim koordinatama . U hiperbolinom sluaju, ovaj konus ima listu m i osa prolazi u okviru ovih listova = , a ne preseca nijednu od njih.

Razmeten od porekla putem , osa e sei svaki list. U eliptinom sluaju, normalni konus nema realne listove.

2.2.3. Jednaine meovitog oblika Parcijalne diferencijalne jednaine imaju nestabilan koeficijent i zato ne mogu biti deo bilo koje druge kategorije pre nego ove meovitog tipa. Drugim reima, ovaj naroiti koeficijent naih parcijalnih jednaina e biti ukljuen u meoviti tip jednaine.

Ovde je dat jednostavan primer Euler tricomi jednaine nazvane eliptina hiperbolina jer je eliptina u region xo stoga

To degenerie parabolino u liniji x=0. 2.2.4. Infinitivne PDE u kvantnoj mehanici

Quantum Hamilton jednaine za trajektore kvantumskih esticama voeno je od strane Weyl kvantizacije u fazi prostora. Jednaine kao to su ove beskonanog reda su parcijalne diferencijalne. U semiklasinim ekspanzijama jedna ima beskonaan sistem od ODEs na bilo kome ustanovljenom redu od . Jednaina evolucije od Wingera funkcije je PDE beskonanog reda takoe. Kvantum trajekt je kvantum karakteristian sa upotrebom gde jedan kalkulie evolucijom Wignerove funkcije.


17

3. METODE REAVANJA I ANALIZE PDJ 3.1. INTEGRALNA TRANSFROMACIJA

Parcijalna diferencijalna jednaina moe biti transfromisana u jednostavniju formu (ili recimo u formu sa razdvojenim promenljivima) od parciajlne diferencijalne jednaine. To bi bilo u skladu sa dijagonalizovanjem operatora kao sto i jeste.

Primer za ovaj nain je Fourier analiza. Dijagonalizuje toplotnu jednainu koristei bazu karakteristinih vektora sinusoidnog talasa.

Ako je domen konaan ili periodian, beskonana suma reenja kao to su Fourierove serije ne odgovarajua, ali integral reenja kao to je Fourier je generalno traeno za beskonane domene. Reenje za taku izvora za toplotnu jednainu dato iznad je primer upotrebe Fourier integrala. ([2]).

3.2. PROMENA VARIJABLI Redukovanjem parcijalnih diferencijalnih jednaina u jednoj jednostavnijoj formi

je uraeno kroz reenje adaptne varijable promena. Ovde je dat lep primer promene ovih varijabli u jednaini pronaenoj od strane Black i Schole kao to moemo videti dole:

Moe se redukovati do jednaine za toplotu:

3.3. LIE GRUPNA METODA Druga teorija diferencijalnih jednaina je pronaena od strane Sophusa L

godine 1870. To je bilo zadovoljavajua forma jednaine za pronalaenje reenja.

Pokazao je da integracija teorija starijih matematiara moe, putem upoznavanja to

je sada nazvano Lie grupa, biti referisano kao zajedniki izvor; i taj uobiajeni

diferencijalne jednaine koje priznaju istu beskonanu transformaciju predstavljaju

uporedljive potekoe integracije. Druga stvar je uraena, uveavanjem subjekta

transformacije sadraja.

Master rad

18

Karakteristike simetrije diferncijalnih jednaina koriene su za druge naine

reavanja, sa konstantnom beskonanou transformacija reenja ka reenjima od

strane Lie teorije. Po teoriji CO grupe, da bi razumeli strukturu linearnih i nelinaernih

parcijalnih diferencijalnih jednaina, korieni su Lie algebra i diferencijalna

geometrija, a takoe u svrhu za generisanje jednaina kao i za pronalaenje: Lax parova, ponavljanje operatora, Backlund transformacija i konano za nalaenje tanih analitikih reenja za parcijalne diferencijalne

jednaine. U prouavanju istraivanja diferencijalnih jednaina mnoge simetrine

metode su koriene, u razliitim poljima aktivnosti, na primer u matematici, fizici,

inenjeringu i tako i u drugim disciplinama. 3.4. NUMERIKE METODE ZA REAVANJE PDES

Da bi reili parcijalnu diferencijalnu jednainu, najee su u upotrebi tri

numerika metoda: 1. Konana element metoda (FEM) 2. Konana vrednost metoda (FVM) 3. Konana razlika metoda (FDM). FEM ima prominentnu poziciju izmeu metoda i naroito njenih izuzetnih

efikasnih viih redova verzija hp-FEM. Druga verzija od FEM ukljuuje:

Generalizovan konaan metod Rairen konaan metod Spektralni konaan metod Mrea-slobodan konaan metod Diskontinuosni Galerkin konaan metod

3.5. METOD KONANIH ELEMENATA Numerike tehnike za nalaenje odgovarajueg reenja za parcijalne diferencijalne

jednaine i integralne jednaine u konanom metodu, poznatom kao FEA. To je praktina


19

aplikacija, primena, esto poznata kao konaan element analiza ili FEa kao to je ve reeno.

Nalaenje reenja je u smeru eliminisanja diferencijalnih jednaina, siguran poloaj

problema ili putem renderingovih parcijalnih diferencijalnih jednaina u maksimalizovanje

sistema uobiajenih diferencijalnih jednaina. Ove jednaine e nadalje biti numeriki integrisane korienjem standardnih tehnika. Na primer tu su neke tehnike kao to je Euler

metoda, Runge Kutta itd. 3.5.1. Metod konanih razlika

Za maksimalizovanje reenja diferencijalne jednaine korienjem konane razlike

jednaina za izvode koriste se konane metode razlike. 3.5.2. Metod konanog volumena

Ukazuje na mali volume okruujui svaku vornu taku na mreici. Slino konanom

metodu razlika moemo proraunati vrednosti u diskretnim mestima na mreici

geometrije. U metodu konanog volumena, volume integral u parcijalnoj diferencijalnoj

jednaini koji sadri razliku termina je konvertovan na povrinu integral, koristei

divergenciju teoreme; ovi termini su zatim izraunati kao fluksovi na povrini svakog

konanog volumena. Ove metode su konzervativne zbog fluksa koji ide u volume dat i

identian onom prilagoenom volumenu.

Master rad

20

4. PRIMERI BITNIH PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAINA KOJE PROIZILAZE U PROBLEM MATEMATIKE FIZIKE

Benjamin-Bona-Mahony equation

u1 + ux + u ux - ux x 1 = 0

Biharmonic equation

Boussinesq equation

Cauchy-Riemann equations

Chaplygin's equation


21

Euler-Darboux equation

Heat conduction equation

Helmholtz differential equation

Klein-Gordon equation

Korteweg-de Vries-Burgers equation

Korteweg-de Vries equation

Master rad

22

Krichever-Novikov equation

gde

Laplace's equation

Lin-Tsien equation

Sine-Gordon equation

Spherical harmonic differential equation


23

Tricomi equation

Wave equation

Master rad

24

5. POJEDINANE PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNAINE


25

Master rad

26


27

[3]

Master rad

28

6. SISTEMI PARCIJALNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAINA

[3]

NASLOVNEmaster rad 202.1.2012.SADRAJLITERATURABIOGRAFIJA

ENGmaster rad 202.1.2012.CONTENTBIOGRAPHY

Documents

PDJ