Pegasus Bridge Projekt Færdig v2 (2)

Navn: Jacob Thornberg

Skole: Erhvervsskolen Nordsjlland

Klasse: HTX 1B

1

Navn: Jacob Thornberg Klasse: HTx1B

Opgaver: Matematik projekt 02 Battle of Brecourt Manor



Klasse: HTX 1B

2

Indholdsfortegnelse: Indledning ............................................................................................................................................ 3

Teori ..................................................................................................................................................... 3

Sinus: ................................................................................................................................................ 3

Cosinus: ............................................................................................................................................ 4

Tangens ............................................................................................................................................ 4

Sinusrelationen ................................................................................................................................. 4

Bevis for sinusrelationen .................................................................................................................. 5

Bevis for cosinusrelationen .............................................................................................................. 6

Opgave 01 ............................................................................................................................................ 9

Opgave 02 .......................................................................................................................................... 10

Opgave 03 .......................................................................................................................................... 13

Opgave 04 .......................................................................................................................................... 19

Opgave 05.1 ....................................................................................................................................... 21

Opgave 05.2 ....................................................................................................................................... 22

Opgave 05.3 ....................................................................................................................................... 23

Bilag: .................................................................................................................................................. 26



Klasse: HTX 1B

3

Indledning: Denne opgave omhandler trigonometri, som er lren om trekante. Man ville i denne opgave komme ud for at skulle bruge bde sinus, cosinus, sinusrelationen, cosinusrelationen, og alt hvad man har lrt inden for trigonometri. Trigonometri bruges til at beregne relationen mellem sidelngder og vinkler i trekante, og er ogs det sinus og cosinus er beregnet til.

Teori: Forklar enhedscirklen og de matematiske begreber Sinus, Cosinus og Tangens Gr rede for Sinusrelationen og for cosinusrelationen. Heri kan f.eks indg beviser, sammenhng med enhedscirklen etc. Enhedscirklen er en cirkel som har en radius p 1;0, og som har centrum i origo (0,0). og er et suvernt redskab indenfor trigonometri, hvad angr at bestemme vinkler. Enhedscirklens bruges primrt til at definere bde sinus, cosinus og tangens.

Sinus: Sinus er et begreb som bruges til at bestemme en trekants vinkel og/eller sidelngde. Formlen for sinus ser s ledes ud:

Enhedscirklen

1

Sin(v)

Cos(v)

Tan(v)



Klasse: HTX 1B

4

modsin( )v

hyp

Sinus kan kun benyttes i en retvinklet trekant, men kan dog kun bruges hvis man har to ud af tre flgende informationer: Den modstende katete, hypotenusen eller en vinkel.

Cosinus: Cosinus er ligesom sinus er begreb som ogs bruges til at finde en bestem vinkel/sidelngde. Formlem for cosinus ser dog lidt anderledes ud end sinus.

cos( )hos

vhyp

Ligesom sinus kan cosinus kun bruges hvis man har mindst 3 informationer om trekanten, men dog behver 2 ud af 3 flgende informationer. Den hosliggende side, hypotenusen og en virkrlig vinkel.

Tangens: Tangens er njagtigt det samme som sinus og cosinus og bruges ogs til at finde oplysninger man ikke kender. For at bruge tangens skal man have ligesom sinus og cosinus have mindst 2 ud af 3 informationer men skal tangens bruges skal det vre enten, den modliggende side, den hosliggende side eller en virkrlig vinkel igen. Tangens har navnet, da den tangerer lang cirklen. Formlen for tangens ser sledes ud:

modtan( )v

hos

Sinusrelationen: Sinusrelationen er et begreb som beskftiger sig med at finde en vinkel eller sidelngde i en virkrlig trekant. Iforhold til sinus som kun kan bruges hvis man har den modstende katete, hypotenusen og/eller en vinkel, kan sinusrelationen dog kun bruges hvis man har en vinkel og dens modstende sidelngde, + en ekstra tilfldig oplsyning. Der findes dog to forskellige former nr man skal bruge sinusrelationen, den ene er hvis man skal vinde en vinkel, og den anden er nr man skal finde en sidelngde. Formlen hvis man skal finde en sidelngde, ser sledes ud:

sin( ) sin( ) sin( )

a b c

a b c

Hvis man derimod skal finde en vinkel, ser formlen sledes ud:

sin( ) sin( ) sin( )a b c

a b c



Klasse: HTX 1B

5

Bevis for sinusrelationen: Sinusrelationen kan bevises vha. en ret vinklet trekant, som bliver delt op i to trekante.

Da man nu har to trekante, kan man begynde med beviset. Hvis man tager udgangspunkt i at man ville finde hjden i den lille trekantkan det nemt gres vha. sinus. Da man tidligere ved at sinus kan bruges hvis man har den modstende katete, + hypotenusen. Hvis man stter det man ved ind i sinus formlen og isolerer hjden ser det sledes ud:

modsin( )

sin( )

sin( )

B

B

vhyp

hA

C

h A C

Hermed har man isoleret hjden i den lille trekant. Hvis man derimod gr det samme i den store trekant, ser sinus sledes ud:

sin( )

sin( )

B

B

hC

a

h C a

Da man nu har isoleret hjden i begge ligninger kan man stte de to ligninger lig hinanden, s det ser sledes ud:

sin( ) sin( )A c C a

hB

C A

B

b

a c



Klasse: HTX 1B

6

Hvis man s isolerer lille a, og store A, p venstre side, og lille c og store C p hjre side kommer det til at se sledes ud:

sin( ) sin( )

a c

A C

. .Q E D Hermed er sinusrelationen bevist.

Bevis for cosinusrelationen: Beviset for cosinusrelationen er samme udgangspunk t som beviset for sinusrelationen.

Man kalder dog de to grundlinjer i trekantene for x og b-x

Formlen for cosinusrelationen ser sledes ud: 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos( )

2 cos( )

2 cos( )

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

Cosinusrelationerne minder ekstremt meget om pythagoras, og gr ogs udfra den. S derfor skal man bruge pythagoras frst p begge trekantene, og derefter regne videre med cosinusrelationen . Hvis man tager udgangspunkt i at man godt ville finde vinklenA, og stter den ind i cosinus formlen ser den sledes ud:

B

c

A b C

a

hB

x b-x

b



Klasse: HTX 1B

7

cos( )

cos( )

cos( )

hosv

hyp

xA

c

x c A

Hermed har vi fundet hvad x er, og kan stte den ind i stedet for, nr man regner videre med relationen. For at begynde med pythagoras i den lille trekant kommer den til at se sdan ud:

2 2 2

2 2 2

B

B

x h c

h c x

Hvis man bruger den p den store trekant kommer den til at s sledes ud:

2 2 2( )Bh b x a

Da man ved hvad x, og hjden er kan man stte det ind i stedet, s den kommer til at sdan ud:

2 2 2 2( )c x b x a

Nu str man i en situation hvor man godt ville have parantesen vk, og den rigtige mde at gre det p er vha. kvadratstningen som den kloge elev vidste stod verst p side 24. Nok med det, hvis man hver parentesene kommer ligningen til at se sdan ud:

2 2 2 2 2 22c x b x bx a Nu ser det ret rodet ud og man nsker at rydde op, da man tydeligt kan se at nogle tal kan g ud med hinanden.

2 2 2 22c b bx a Nu mangler man bare at f fjernet xet, da det er den eneste ting der forstyrer, og gr at cosinusrelationen ikke helt ligner den. Man har tidligere regnet ud af x = c cos(A), hvilke betyder at man kan stte det ind i stedet for x.



Klasse: HTX 1B

8

Hermed kommer den til at se sledes ud:

2 2 22 cos( )c b b c A a

Nu begynder det at ligne noget man kender, nemlig cosinusrelationen. For at gre det lidt pnere vender vi ligningen s det ligner relationen p en prik.

2 2 2 2 cos( )a b c bc A

Hermed er cosinusrelationen bevist. . .Q E D



Klasse: HTX 1B

9

Opgave 01: Givet er en opgave, man skal bestemme hvor lang x skal vre for at udslette den tyske deling, som str i skovbrynet.

For at finde lngden x som ogs er a kan man benytte cosinus, da der bde indgr den hosliggende vinkel C samt hypotenusen som p skitsen under er sidelngden b. Det kommer til at se sledes ud:

cos( )

cos(38,4 )

2,48 cos(38,4 )

( ) 1,94

hosv

hyp

hyp hos

m hos

hos x m

Resultatet er passende og virker til atvre korrekt, eftersom at kataten ikke kan vre lngere end hypotenusen.

38,4

A

B C

a/x

b

v

90

c



Klasse: HTX 1B

10

Opgave 02: Beregen den nye vinkel r samt afstanden , der skal til for at ramme det tyske baghold.

For at finde den nye afstand , skal man frst udregne linjeafstanden b, hvorefter man kan addere med de 300m, som gr fra observatrens position til tyskernes position, og derefter lave en trekant med de ml der regnes frem til. Ved hjlp af de oplysninger kan man udregne den nye

lngde Linje afstand b udregnes ved hjlp af cosinus, og ser sledes ud:

cos( )

cos( )

cos( )

cos(30 ) 800

692,82

hosv

hyp

ba

c

b A c

b m

b m

For at kunne lave trekanten ved hjlp af mlene, skal sidelngden a udregnes.

a

c

C B

b



Klasse: HTX 1B

11

Linje afstand a udregenes ved hjlp af sinus, da man har den modstende vinkel samt hypotenusen: Linje afstand a udregnes p flgende mde:

modsin( )

sin( )

sin( )

sin(30 ) 800

400

vhyp

aA

c

a A c

a m

a m

Der bliver konstrueret en ny trekant med de nye ml som er blevet udregnet tidligere. Man ved at den frste katete er 400m da det blev udregnet tidligere, samt man ved at lngden b var 692,82m + de 300m som gr fra observatren til tyskernes position. Idet ved man at den nye katete er:

692,82m

300m

400m

A

a C

c

B

b



Klasse: HTX 1B

12

1

1

692,82 300

992,82

kat m m

kat m

Dermed kender man de to kateter i trekanten, og man kan dermed bruge pythagoras til at udregne hypotenuse, som ogs er sidelngden c Kateten bliver udregnet p flgende mde:

2 2 2

1 2

2 2 2

2

2

992,82 400

1145691,55

1145691,55

1070,36

hyp kat kat

hyp

hyp

hyp

hyp m

Hermed har man nu udregnet den nye lngde, som ogs blev kaldt for Det ville alts sige at der skal skydes minimum 1070,36m for at kunne ramme det tyske baghold. Nu mangles der bare at udregne den nye vinkel r som kanonen skal pege. Da man nu har alle sidelngderne i trekanten, kan man ved hjlp af sinus, cosinus eller tangens beregne den nye vinkel, da det er en retvinklet trekant. Jeg vlger at bruge cosinus, da jeg syntes den er lettest, og giver mig et bedre overblik, hvor vinklen jeg skal finde ligger centralt iforhold til den hosliggende side samt hypotenusen. Vinklen r udregnes p flgende mde:

cos( )

arccos

992,82arccos

1070,36

21,94

hosv

hyp

hosv

hyp

mr

m

r



Klasse: HTX 1B

13

Opgave 03: Der skal udregens for hvilke af de tre positioner, A, B, og C den tyske stilling kan beskydes fra. Den tyske stillings positions kaldes for D Der skal udregnes tre sidelnger, nemlig |AD |, |BD |, samt |CD |, for at kunne vide hvilke af de tre lnger som er lang nok til at kunne skyde den tyske stilling. Man begynder med at udregne sidelngden b i den trekant som er markeret p skitsen.

A

102

D

B

a

b

d

62

D



Klasse: HTX 1B

14

Da man har to vinkler p trekanten, kan man ved hjlp af basal hovedregning udregne den sidste vinkel. Vinkel D m derfor vre:

180

180 102 62

16

D A B

D

D

Nu har man alle vinklerne + en ekstra oplysning, nemlig sidelngden d Det ville alts sige at man kan benytte sinusrelationen til at beregne sidelngde a, da man har et vinkelside par + en ekstra oplysning. Sidelngden a bliver udregnet p flgende mde:


149

sin(102 ) sin(16 )

sin(102 ) 149

sin(16 )

528,75

a b c

a b c

a m

ma

a m

Sidelngden a og sidelngden b udregnes p prcis samme mde, hvilke betyder at det er ligegyldigt hvor man begynder. Nu er sidelngden a udregnet, som var sidelngden |BD | De lette morterer har alts en rkkevidde p 500 meter, og sidelngden a alts siden |BD |, havde en rkkevidde p 528,75m. Det ville sige at stillingen B ikke kan beskyde den tyske stilling, da 500m-528,75m = -28,75m. Gr man videre og udregner sidelngden b, alts |AD er det p prcis samme mde som man gjorde med sidelngden a



Klasse: HTX 1B

15

Sidelngden b bliver sledes regnet ud p denne mde:


sin( ) sin( )

528,75

sin(102 ) sin(62 )

528,75 sin(62 )

sin(102 )

477,28

a b c

a b c

a b

A B

m b

mb

b m

Da man tidligere har fet oplyst at mortererene har en maksimal rkkevidde p 500 meter, og at sidelngden b ligge indenfor de 500 meter, betyder det at den tyske stilling kan beskydes fra stilling A som ogs er linjestykket |AD

For at udregne linjestykket |CD| som ogs er b i den nye trekant som er skitseret p billedet ovenover, bliver man nd til at kende sidelngden d, da man kun har to oplysinger om trekanten, nemlig vore sidelngde c som er blevet udregnet tidligere, og man har vinkel B som er

134 62

72

B

B

Vinkel

Vinkel

D

d

b

c



Klasse: HTX 1B

16

Ved hjlp af en anden trekant, kan man udregne sidelngden d

Gule trekant:

Da man allerede kender to af vinklerne, kan man igen ved hjlp af basal hovedregning, udregne den sidste vinkel, som i dette tilflde kaldes C.

180

180 134 31

15

C

C

C

Vinkel B A

Vinkel

Vinkel

Da man nu har tre informationer om trekanten kan man begynde at regne sidelngden a ud. Man kan ved hjlp af sinusrelationen udregne siden a da man har et sidevinkel-par + en ekstra oplysning.

134

31 15

a

c

b



Klasse: HTX 1B

17

Sidelngden a bliver udregnet sledes:


sin( ) sin( )

149

sin(31 ) sin(15 )

149 sin(31 )

sin(15 )

296,50

a b c

a b c

a c

a c

a cm

cma

a cm

Da man nu har sidelngden a kan man nu udregne den sidste sidelngde, som er linjestykket |CD |

C

c

B

b

D

d



Klasse: HTX 1B

18

Da man nu kender to af sidelngderne samt den vinkel som ligger centralt mellem dem, kan man benytte cosinusrelationen, til at beregne den sidste sidelngde, nemlig b i dette tilflde. Det ville alts sige at men skal bruge formlen hvor man finder b. Sidelngden b bliver udregnet sledes:

2 2 2

2 2 2

2

2 cos( )

296,50 528,75 2 296,50 528,75 cos(72 )

270596,92

520,18

b d c d c B

b cm cm cm cm

b

b cm

Det ville sige at det kun er stilling A hvorfra den tyske stilling kan beskydes fra.



Klasse: HTX 1B

19

Opgave 04: Hvor stor skal vinklen mellem de to projektres sigtelinie have for at de danner The Figure of Eight?

Da man har to vinkler, kan udregne den sidste vinkel, blot med at subtrahere. Vinkel B m vre vinkelsummen af trekanten subtraheret med de to andre vinkler. Man skal dog frst dividere vinkel C med 2, da man deler trekanten op i to.

3,1322

A

Hjden (b) = (60 ft.)18,288m

A

a

C

c B

b



Klasse: HTX 1B

20

Vinekel C udregnes:

3,1322

2

1,5661

C

C

Vinkel

Vinkel

Hermed har man de to vinkler og man kan regne den sidste vinkel ud. Vinkel B udregnes:

180

180 90 1,5661

88,4339

B

B

B

Vinkel A C

Vinkel

Vinkel

Nu nsker man at udregne linjen c. Det udregnes vha. tangens, da man har den hosliggende og nsker at udregne den modstende. Linjen c udregnes:

modtan( )

mod tan( )

mod tan(1,5661 ) 18,288

mod 0,50

vhos

C hos

m

Hermed har man at linjestykket c er 0,50m. Man skal dog multiplicere med 2, for at f hele trekantens grundlinje. Dvs at trekantens grundlinje er: 0,50 2 1m m

Resten af opgave 04, mangler da jeg ikke kunne regne den



Klasse: HTX 1B

21

Opgave 05.1: Mhne Damn bliver angrebet og der er 192m mellem trnene p dmningen. Man skal bestemme hvor lang afstanden mellem smmene skal vre.

Da der er to trekante, den ene trekant med hjden 60cm som ogs er den lille trekant. Den anden trekant med hjden 388,62 som er hele den bl trekant. Da de kan bestemmes til at vre ensvinklede, glder flgende formel for udregning af en nsket linje:

Da man nsker at udregne lngden x som man i dette tilflde kalder for b1 Linjen b1 udregnes:

1 1

2 2

1

1

1

1

0,6

388,82 192

0,0015192

192 0,0015

0,288 28,8

a b

a b

bm

m m

b

m

b m

b m cm

192m

Hjde = 425 yds =388,62m

x og/eller b1

60cm

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

b2

a1

a2



Klasse: HTX 1B

22

Opgave 05.2: Edersee Damm bliver angrebet og der er 243m mellem trnene p dmningen. Man skal bestemme hvor lang afstanden mellem smmene skal vre.

Udregningen for denne trekant forlber p prcis samme mde som den frste trekant. Dog skal trekantens grundlinje ndres fra 192m til 243m.

Linjen b1 udregnes:

1 1

2 2

1

1

1

1

0,6

388,82 243

0,0015243

243 0,0015

0,3654 36,54

a b

a b

bm

m m

b

m

b m

b m cm

Hjde = 425 yds =388,62m

60cm

x og/eller b1

243m



Klasse: HTX 1B

23

Opgave 05.3: Bestem den trekant som beskiver flyveruten for bombetogtet, nr det er givet at: Afstanden fra Scampton til Mhne Damn er 620km. Afstanden fra Mhne Damm ti Edersee Damm er 88km, og Afstanden fra Edersee Damm hjem til Scampton er 698km. For at danne et bedre overblik, laver man en skitse.

For at bestemme trekanten, skal man frst udregne trekantens vinkler for at kunne bestemme hvilke type trekanten er. Da man har alle sidelngderne givet kan man ved hjlp af cosinusrelationen beregne de tre vinkler.

A

a

B

b

C

c

Afstanden fra Scampton til Mhne Damn er 620km

Afstanden fra Mhne Damm ti Edersee Damm er 88km

Afstanden fra Edersee Damm hjem til Scampton er 698km



Klasse: HTX 1B

24

Vinkel A udregnes:

2 2 2

2 2 2

cos( )2

698 88 620cos( )

2 698 88

cos( ) 0,8998

arccos(0,8998)

25,86

b c aA

b c

km km kmA

km km

A

A

A

Da man nu har en af de tre vinkler, skal man mindst beregne en vinkel mere, fr man kan subtrahere de to vinkler fra trekantens vinkelsum, for at f den sidste vinkel. Vinkel B udregnes:

2 2 2

2 2 2

cos( )2

620 88 698cos( )

2 620 88

cos( ) 0,8711

arccos( 0,8711)

150,58

a c bB

a c

km km kmB

km km

B

B

B

Da man nu har to af de tre vinkler kan man ved hjlp af en trekants vinkelsum udregne den sidste vinkel vha. subtraktion. Vinkel C udregnes:

180

180 25,86 150,58

3,56

C A B

C

C

Vinkel Vinkel Vinkel

Vinkel

Vinkel



Klasse: HTX 1B

25



Klasse: HTX 1B

26

Bilag:

Navn: Klasse: HTx1A

Opgaver: Matematik projekt 02 Battle of Brecourt Manor

Afleveringsdato: 06-02-2012



Klasse: HTX 1B

27

Rettes: Karakter:

155 mm Long Tom

Haubits

Som allerede beskrevet, er de allierede get i land i Normandiet. Efter de indledende

kampe og et par dages marcheren, ligger en tysk deling i baghold i et skovbryn. Den allierede officer pkalder sttteild, og haubitsen sttes op og affyres. Observatren melder tilbage, at der er skudt for kort, og efter nye beregninger meldes det, at til det nste skud skal kanonrret eleveres til 38,4 (vinklen v) i forhold til affutagen (den vogn, som haubitsen str p)1.

Problemet er bare, at ved det frste skud faldt haubitsens indbyggede vinkelmler af, og den ser ikke ud til umiddelbart at kunne psttes igen

Men artilleristerne havde get p HTx De vidste prcis, hvordan vinklen kunne bestemmes uden vinkelmler.

Kanonrrets lngde sttes til 2,48 m. (Dette udmles med delingens udm rkede mlebnd, og i opgaven gr vi ud fra, at kanonrret gr helt ned til affutagen.)

En af artilleristerne har et snrebnd i overskud. Dette snrebnd lader de hnge fra kanonrrets munding lodret ned, og markerer dette sted.

P denne mde kan kanonrrets vandrette lngde bestemmes. (Lad os kalde denne afstand for x.)

Hvor lang skal x vre for at udslette den tyske deling, som str i skovbrynet?

1 Affutage er et underlag eller monteringsstativ til vben. Betegnelsen kan benyttes om et kanonunderlag eller morterstativ, men benyttes ogs om et stativ til fast montage af let eller tungt

maskingevr p kretjer eller blot stende p jorden eller p et skib. Fordelen er bedre kontrol over vbnet under skydning og dermed strre skudvidde. Betegnelsen lavet (som fx kanonlavet),

som ogs ses, er etymologisk beslgtet med affutage (gennem tysk fra fransk l'afft).

v



Klasse: HTX 1B

28

Situationen er katastrofal! Alle har misforstet hinanden. Efter det nste

En af de operationer, som blev gennemfrt af de allierede allerede natten

inden selve D-dagen blev kaldt for Operation Tonga. I denne operation

skulle en svveflyverenhed tilhrende den britiske 6th Airborne Division

under ledelse af Major John Howard lande, indtage broerne over floderne

Fleuve Orne (Orne Floden) og Canal de Caen og holde dem intakte. Dette var

ndvendigt for at minimere det tyske modangreb i perioden lige efter selve D-dagen.

Den mest bermte bro i dette slag, blev lige efter operationen opkaldt efter de britiske soldaters skuldermrke Pegasus den flyvende hest, og hedder sledes stadig Pegasus Bridge. Lige ved siden af Pegasus Bridge ligger der en lille caf, som hedder Caf Gondre. Den bygning, som cafen ligger i, siges at vre den frste bygning i Europa, som

skud, forsvinder al radiokommunik a tion med observatren.

Da e t allieret Taylorcraft L - 2

Grasshopper ( et amerikansk observ a

tions fly) rapporterer, viser det sig, at

observatren har videregivet sine

egne koordin a ter i stedet for tyske r

nes.

S det perfekte skud har udslettet o b-

servatren i stedet for tyskerne

Men observationsflyet rapporterer, at

tyskernes stilling er prcis 3 00 m e

ter stik nord for det punkt, hvor o b

servatren sad skjult.

Beregn den nye vinkel r , som kanonen skal pege

og den nye afstand , der skal skydes for at ra m me det tyske baghold.



Klasse: HTX 1B

29

blev befriet af de allierede under invasionen. Arlette Gondre, som var bare 4 r gammel, da invasionen fandt sted, serverer stadig kaffe,

af et museum, som rummer broen og en masse ting, som har haft betydning i slaget om Pegasus Bridge. Herunder ogs en Horsa Glider.

Om natten til den 6. juni, landede 6 Horsa Gliders (et svvefly, beregnet til at landstte soldater uden at stje) kl. 00:16 ved broerne over Fleuve Orne (Orne Floden) og Canal de Caen). Fem af disse svvefly landede tt p

broerne. Et enkelt s tt som 47 yards, og et svvefly kom ud af kurs og landede 7 miles fra broerne.

Ud af disse svvefly myldrede 181 soldater tilhrende B og D kompagnierne fra 2. bataljon af Oxfordshire og Buckinghamshire Light Infantry. (The Ox and Bucks), en deling af B-kompagniet fra Royal Engineers

sandwiches, Calvados og gode historer den dag i dag (2014).

Den oprindelige Pegasus Bridge er blevet flyttet 400 meter, og er i dag en del

Den nye Pegasus Bridge og den gamle ovre p museet



Klasse: HTX 1B

30

(Ingenirtropperne) og nogle medlemmer af Glider Pilot Regimentet.

P mindre end 10 minutter var broerne indtaget med kun to faldne allierede soldater. (Den ene Lance-Corporal Fred Greenhalgh druknede, da hans svvefly landede i floden, og den anden Lieutenant Den Brotheridge faldt, da han skulle krydse broen efter et par minutters trfning. Han var sledes officielt den frste allierede soldat, som faldt i kamp under invasionen.)

Lad os igen lege lidt med historien for at f en god matematikopgave ud af det...

Vi forestiller os, at Major John Howard og hans mnd blev standset, inden de kunne krydse broerne over hhv. Fleuve Orne og Canal de Caen pga. massiv tysk modstand.

Det strste problem med fremrykningen er en tysk Wiederstandsnest (en tysk maskingevrstilling med et MG42 maskingevr), som alene kan holde den allierede fremrykning tilbage. Vi kender ikke afstanden til maskingevrstillingen. Den er ikke afmrket p de allierede oversigtskort, og i kampens hede, er det ikke muligt at sende en spejder over p den anden side af floden.

Men der udfres en rkke vinkelmlinger mellem tre af de svveflyvere, som landede, og en enkelt afstandsmling.

Det vurderes, at den bedste mde at udslette den tyske maskingevrstilling p, er ved at beskyde den med mortergranater.

Idet vi antager, at vores lette morterer har en maksimal rkkevidde p 500 meter, skal der nu

beregnes, i hvilke af de tre stillinger: A, B og C, hvorfra den tyske stilling kan beskydes med

lette morterer.



Klasse: HTX 1B

31

(Denne opgave om Pegasus Bridge er opdigtet, men metoden til at bestemme afstande til fjendtlige ml er skam autentisk nok. Opgaven er omskrevet fra et gammelt senmiddelalderligt kobberstik, som viser en situation med prcis de samme oplysninger (andre talvrdier, naturligvis), som er givet i opgaven om Pegasus Bridge.)

Operation Chastise (Operation Revselse) - The Dambusters Raid Natten d. 16. maj 1943. RAF (Royal Air Force) - Squadron 617 De allierede inds allerede tidligere i krigen, at Tysklands industri mtte svkkes. Et af de mest oplagte ml i denne forbindelse var et af Tysklands mest effektive industriomrder, nemlig Ruhr-distriktet, som ligger omkring 120 km. st for Kln. Man fandt frem til, at hele omrdet kunne mere eller mindre delgges ved at destruere 4 dmninger, som producerede strm til - og opdmmede de store landomrder, som udgjorde industriens ngleomrde.



Klasse: HTX 1B

32

De to vigtigste af disse dmninger var Mhne-Dmningen (ved Mhne S) og Edersee-Dmningen (ved Edertal). De to andre ml var Sorpe-Dmningen og Ennepe-Dmningen. Og som et alternativt ml: Bever-Dmningen.

Til selve operationen, mtte der udtnkes et ingenirmssigt mestervrk, for dmningerne var alle beskyttet med torpedonet, som skulle sikre, at der ikke kunne kastes en torpedo fra en flyvemaskine og delgge dmningen.

Resultatet blev en bombe, som kunne sl smut hen over vandet og torpedonettene for s at falde ned langs dmningen og eksplodere nr bunden af dmningen under vandet (30 fods dybde) for at lave strst mulig skade.

Men hvordan virker sdan en bombe? Efter utallige forsg med form og nedkastningsforhold, fandt man ud af, at bomben skulle vre cylindrisk, 50 inches i diameter og 60 inches hj. Den skulle roteres med 500 omdrejninger i minu ttet (backspinnes), mens den stadig var monteret p flyvemaskinen. S ville den nemlig skjte p vandet i stedet for at synke, og nr den nede frem til dmningen s ville den nrmest klistre sig til vggen og rulle nedad, indtil de barometriske pistoler detonerede den. Bomben skulle kastes fra prcis 60 fods hjde og med en flyvehastighed p 220 mph (miles per hour). Og det var beregnet og afprvet, at bomben skulle smides njagtig 425 yards fr dmningen med en fejlmargen p kun 6%. Blev bomben smidt tidligere, ville den blive fanget i torpedonettet og blev den smidt senere, ville den hoppe hen over dmningen. For resten skulle alt dette foreg under svr beskydning - og om natten.

En umulig opgave! - Eller hvad?

Bomben som indeholdt 7500 lbs (pund) sprngstof blev udtnkt af chefingenir hos Vickers Armstrong: Barnes Wallis, som i lang tid havde get rundt med The Big Bomb Theory - ideen om at f, men virkeligt store og velplacerede bomber kunne vinde krigen for de allierede. Problemet med dette var at omskifte produktionen af bombefly til strre modeller - midt i en krigsperiode.

Men bomben skulle ogs kastes. Til dette ankom 20 Avro Lancasters (Kun de 19 kom af sted) til RAFs 617 Squadron i Scampton lidt nord for London. Det var en relativt ny flytype hos RAF, og kunne lige njagtig bre en bombe af den strrelse. De skulle ledes af WC (Wing Commander) Guy Gibson, som var s anerkendt en pilot og leder, at han selv fik lov at vlge sit mandskab.

For at gre en lang historie kort, s tog de 19 Lancasters af sted i tre angrebsblger. Hver blge havde sine bestemte angrebsml. Og p trods af de tilsyneladende umulige forhold - takket vre de 19 flybestningers heltemodige indsats - lykkedes det efter adskillige anflyvninger at delgge de to dmninger: Mhne og



Klasse: HTX 1B

33

Edersee. Dmningen ved Sorpe var af en anden type, og viste sig umulig at delgge med denne slags bombe.

Efterspillet: Da Mhne dmningen brd sammen, styrtede 330 milioner tons vand ind i Mhne-dalen og Ruhr flodens omrde. Det svarer til en terning, som er 687 meter p hver side. Det resulterede i en 10 meter hj flodblge som bevgede sig 80 km vk fra angrebsstedet med 24 km/t, og man har senere

sammenlignet typen og strrelsen af skaden med orkanen Katrina i New Orleans i august 2005.

I alt omkom omkring 1650 mennesker - heraf var de fleste krigsfanger, som var sat til at arbejde i dette omrde En del underjordiske miner blev oversvmmet 11 fabrikker totalt delagt, 114 fabrikker alvorligt skadet 92 huse totalt delagt, 971 huse alvorligt skadet 25 veje, jernbaner og broer blev skyllet vk Omrdets produktion blev sat ned til en fjerdedel Elektricitet genereret af dmningerne (5100 kilowatt) manglede i fabrikker og husholdninger i to uger efter angrebet

P trods af disse tilsyneladende enorme delggelser, var elproduktionen genetableret efter et par uger, og generelt var omrdet produktivt igen efter et rs tid, s den strste gevinst for de allierede var nok - nr man tager de allieredes tab i betragtning (8 Lancasters med bestning) - det massive moralske rygstd, som englnderne kunne sole sig i efter angrebet.

Men tilbage til matematikken Vi er nu i en situation, hvor bomben skal kastes. Som tidligere beskrevet er der nogle faktorer, som er vigtige for at bomben afleveres korrekt:

Der skal flyves med 220 mph i en lige linie mod mlet om natten og under svr beskydning af FlaK.

( - Den klarer piloten - forhbentlig) Der skal flyves i en hjde af 60 fod

( Den klarer navigatren (dig) vha. trigonometriske udregninger ) Bomben skal rotere baglns med 500 omdrejninger/minut

( - Den klares af et remtrk og en Vickers Janny hydraulisk motor ) Bomben skal kastes prcis 425 yards inden dmningen

Den klarer bombeskytten (det er ogs dig) vha. trigonometriske udregninger ) De tyske ( FlaK-stillinger skal beskydes med spor-projektiler.

( - Den klarer de tre maskingevrskytter ) I virkeligheden lste man flyvehjdeproblemet ved at montere to meget kraftige projektrer under flyet. En, som lyste nsten lodret ned lige under piloterne, og en



Klasse: HTX 1B

34

lngere bagude. Disse projektrer var monteret sledes, at nr de to lyskegler ramte vandet og lige njagtig rrte ved hinanden (alts som to cirkler ved siden af hinanden - The Figure of Eight), s var flyvehjden korrekt - alts 60 fod. Grunden til at den forreste lyskegle var nsten lodret var, at mdestedet for de to lyskegGivet at afstanden mellem projektrerne er 12,8 m. (Bemrk at nogle ml er i yds, ft & inches mens andre er i m og km.) I opgaven forudsttes det, at begge projektrerne er placeret i

samme hjde, og at det er denne hjde, som er lig med flyvehjden. (Se ogs bilag 1 p sidste side for information.)

Projektrernes lyskilder er punktformede, og lyset spredes med en vinkel p 3,1322. Den forreste projektr har en vinkel 6,2411 mod lodret, som gr at den lyser foran cockpittet.

Hvilken vinkel, v, mod vandret skal den bagerste projektrs sigtelinie have, for at de to

lyskegler danner The Figure of Eight p vandoverfladen, nr flyvehjden er 60 ft.?

ler skulle kunn e ses af andenpiloten gennem en lille glaskuppet under cockpittet.

De tre billeder illustrerer, hvordan lyskeglerne var

placeret, og hvordan de kunne bruges til at b e

stemme den rette flyvehjde.



Klasse: HTX 1B

35

endnu ikke er opfundet avancerede afstandsmlere, og det er vigtigt at der er prcis 425 yds til dmningen.

Igen var den virkelige lsning simpel - og trigonometrisk.

Man opfandt en trgaffel - et Y, hvor bunden af Yet var et okular, som skulle holdes op til jet. P hver gren af Yet var der et lodret sm.

Ideen var nu, at nr smmene p instrumentet netop i okularet flugtede med de to trne, som var p dmningen, s var afstanden prcis 425 yds.

(Man skulle nsten tro, at de allierede ingenirer allerede dengang vidste prcis, hvad der str p side 85)

v

Nste problem er s: Hvordan ved vi, hvornr vi skal slippe bomben?, nr der



Klasse: HTX 1B

36

Det antages i denne opgave at den vinkelrette afstand fra okularet til linien mellem smmene er 60 cm.

Hvad skal afstanden

mellem smmene

vre, nr:

Vi angriber Mhne

Damm, og der er 192 meter mellem trnene p

dmningen?

Vi angriber Edersee Damm, og der er 243 meter mellem

trnene p dmningen?

Der ses bort fra anflyvningsmanvrer og gentagne angreb p samme ml.

Bestem den trekant som beskriver flyveruten for bombetogtet, nr det er givet at:

Afstanden fra Scampton til Mhne Damm er 620 km.

Afstanden fra Mhne Damm til Edersee Damm er 88 km. og Afstanden fra

Edersee Damm og hjem til Scampton er 698 km.

Royal Air Forces

617 Squadrons Badge. Anerkendt af den engelske konge i 1944. Symbolet beskriver en af de delagte dmninger fra togtet i maj 1943. Bemrk mottoet: Aprs moi le dluge, som oversat betyder: Efter mig kommer flodblgen. 617 Squadron er stadig aktiv den dag i dag -

om end med noget mere moderne udstyr



Klasse: HTX 1B

37

Teoriopgaver

Forklar enhedscirklen og de matematiske begreber: Sinus, Cosinus og Tangens.

Gr rede for Sinusrelationen og for Cosinusrelationen. Heri kan f.eks. indg beviser, sammenhng med enhedscirklen etc.



Klasse: HTX 1B

38

Bilag 1 - Specifikationer p en Avro Lancaster

Specifikationer Bestning: 7-8: Pilot, flymekaniker, navigatr, bombeskytte, radiooperatr, midter-, top- og agterskytter Lngde: 69 ft 5 in (21,16 m) Spndvidde: 102 ft (31,09 m) Hjde: 19 ft 7 in (5,97 m) Vingeareal: 1,300 ft (120,77 m) Tom vgt: 36 828 lb (16,7 t) Lastet vgt: 63,000 lb (28,6 t)

Ydeevne Maksimum hastighed: 280 mph (450 km/t) ved 15,000 ft (4572 m) Rkkevidde: 3,000 miles (4828 km) med minimal bombe last Maksimal flyvehjde: 23,500 ft (7163 m) Planbelastning: 48 lb/ft Kraft/masse: 0.082 hp/lb

Bestykning Maskingevrer: 8 0.303 in (7.7 mm) Browning maskingevrer i tre trne. Der eksisterer forskellige variationer. Bomber: Maksimum normal bombe last p 14,000 lb (6352 kg) eller 22,000 lb (9979 kg) Grand Slam med ndringer ved

bombe lastrummet.

1 in (inch - eller tomme) = 2,54 cm

1 ft (foot - eller fod) = 30,48 cm

yd 1 (= 3 ft ) 91,44 cm =

1 lb (pound - eller pund) 0,453592 kg =



Klasse: HTX 1B

39

Motorer: 4 Rolls-Royce

Merlin XX V12 motorer,

1,280 hp hver

Documents

Pegasus Bridge Projekt Færdig v2 (2)