PEMBAHASAN SOAL2 MEKANIKABUKU MEKANIKA (halaman 74-76)

Di bahas oleh : Wawan HermantoNIM : 100210102058KELAS : C

8 Pada kasus osilator terpaksa, posisi partikel yang bergerak disepanjang sumbu x ditentukan

oleh persamaan x+4 x+8 x=20 cos 2t . Jika pada awalnya partikel diam di x = 0, maka

posisi benda sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut :

Dari persamaan umum m x+b x+kx=Focosωt

sehingga diperoleh harga untuk m = 1 kg, b

= 4 dan k = 8 serta Fo = 20.

Dengan menggunakan persamaan 3.61 dalam buku mekanika karangan supenopada halaman 69.

Solusi umum dari persamaan diferensian tak homogen di atas adalah :

x (t )=Ahe− λt cos (ω1 t+φh )+

Fo /m

√(ωo2−ω2 )2+4 γ2ω2

cos (ωt−φ )

Dengan

ω1=√ω02−γ 2=√km −b2

4 m2=√8−4=2

γ=b2m

=2 ωo2=8 dan ω=2

tanφ=2 γω

ωo2−ω2

=2 maka sinφ=2√5

dan cosφ=1√5

Sehingga diperoleh solusi umum persamaan posisi sebagai fungsi waktu sebagai berikut:

x (t )=Ahe−2t cos (2 t+φh )+20 /1

√ (8−22)2+4 .22 . 22cos (2t−φ )

x (t )=Ahe−2t cos (2 t+φh )+√5 cos (2 t−φ ) . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(1 )

Untuk mencari besarnya parameter Ah dan

φh persamaan 1 di atas dapat dijabarkan berikut

x (t )=e−2 t {Ahcos φhcos (2t )−Ahsinφhsin (2t ) }+cos (2t )+2sin (2t ) .. .. .. . .. .. . .. (2 )dengan pemisalan bahwa : B=Ahcos φh

C=−Ah sinφh

maka Ah=√C2+B2 dan tan φh=−CB

Sehingga persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi :

x (t )=e−2 t {B cos (2 t )+C sin (2t ) }+cos (2t )+2 sin (2t ) .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . (3 )x ( t )=−2e−2t {B cos (2t )+C sin (2 t ) }+2e−2 t {−B sin (2 t )+C cos (2 t ) }−2sin (2t )+4 cos (2 t )

Pada persamaan (3) kita akan mencari solusi khususnya dari persamaan diferensial biasa tak

homogen dengan mengambil syarat kondisi awal yang telah diketahui di soal yaitu :

1. Ketika t = 0, x(0) = 0

x (0 )=e−2 .0 {B cos (2. 0 )+C sin (2 .0 ) }+cos (2.0 )+2sin (2. 0 )=01 .(B+0)+1+0=0 ⇒B+1=0 ⇒B=−1

2. v(0) = 0

x (0 )=−2e0 {−cos (0 )+C sin (0 ) }+2e0 {sin (0 )+C cos (0 ) }−2sin (0 )+4 cos (0 )=0

2+2C+4=0 ⇒C=−3Setelah kita dapatkan harga B dan C mari di masukan saja ke persamaan (3) sehingga diperoleh

persamaan khusus untuk gerak osilasi teredam terpaksa yang sesuai dengan kasus soal nomor 8

adalah sebagai berikut:

x (t )=e−2 t {−cos (2 t )−3 sin (2 t ) }+cos (2 t )+2sin (2 t )x (t )=( 2−3e−2t ) sin(2 t )+(1−e−2 t ) cos(2 t ) persamaan posisi benda

Dengan amplitudo maksimum dapat dicari sebagai berikut:

dAdω

=ddω

(Fo /m

√ (ωo2−ω2)2+4 γ 2ω2

)=0

Foω (2 (ωo2−ω2)−4 γ 2)

m√(ωo2−ω2 )2+4 γ2ω2 {(ωo

2−ω2)2+4 γ 2ω2 }=0

Supaya pembagian diatas menghasilkan 0, maka pembilangnya harus = 0

F0ω {2(ω02−ω2 )−4 γ2 }=0

2 (ωo2−ω2)−4 γ 2=0 ⇒ωo

2−ω2=2 γ2 ⇒ω2=ωo2−2 γ 2 .. . .. .. .. . .. .. . .. . (4 )

Substitusi persamaan (4) ke persamaan

A=Fo /m

√(ωo2−ω2)2+4 γ 2ω2

untuk mencari Amaksimum.

Amaksimum=Fo /m

2 γ √ωo2−γ 2

=2,5 meter

a. persamaan posisi sebagai fungsi waktu diberikan oleh :

x (t )=( 2−3e−2t ) sin(2 t )+(1−e−2 t ) cos(2 t )

b. amplitudo maksimum osilasi adalah : Amaksimum=2,5 meter

7. indentik dengan soal nomor 6. m = 2 g = 2.10-3 kg, k = 4 N/m dan F = 25 cos (3t) tanpa redaman (b=0).

Dari data diperoleh γ=0 , ωo

2= km

=2000, ω1=20√5 , Fo=25 dan ω=3

Dengan persamaan diferensial untuk geraknya adalah :2 .10−3 x+4 x=25 cos (3t )

Persis dengan langkah nomor 8 sehingga diperoleh solusi umum untuk persamaan diferensial di atas

yaitu :

x (t )=Ahcos (20√5 t+φh )+25000 /21991

cos (3 t−φ )

x (t )=Ahcos (20√5 t+φh )+125001991

cos (3 t−φ ) .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(7 .1 )

Dengan

tanφ= 2 γω

ωo2−ω2

=0 ⇒φ=0

x (t )= {Ah cosφhcos (20√5 t )−Ahsinφhsin (20√5t )}+125001991

cos (3 t ) . .. .. . .. .. . .. . (7 . 2 )

dengan pemisalan bahwa : B=Ahcos φh

C=−Ah sinφh

maka Ah=√C2+B2 dan tan φh=−CB

Persamaan (7.2) dpat dinyatakan :

x (t )= {B cos (20√5 t )+C sin (20√5 t ) }+125001991

cos (3 t ) . .. .. . .. .. . .. . (7 . 3 )

Melalui proses yang sama dengan soal nomor 8, dengan syarat kondisi awal adalah saat 0 sekon ,

v(0) = 0 dan x(0) =0, maka diperoleh B = −12500

1991 dan C = 0. Maka persamaan posisi setiap

saat aadalah : x (t ) =+

125001991

cos (3 t )−125001991

cos (20√5t )

6. kasus soal sama dengan nomor 7. Hanya F=12 sin2t. tanpa redaman (b=0).

Dari data diperoleh γ=0 , ωo

2= km

=2000, ω1=20√5 , Fo=12 dan ω=2

Bila dituliskan dalam persamaan diferensialnya adalah : 2 .10−3 x+4 x=12 sin(2 t )Solusi umum persamaan diferensial diatas adalah

x (t )=xh (t )+x i ( t ) dengan xh( t ) solusi umum PDB hom ogen

dan x i( t ) =solusi khusus PDB linier tak hom ogen

Langkah 1 : mencari solusi umum PDB linier homogen sebagai berikut

Misalkan : x=λ 2 danx=λ0 sehingga 2 .10−3 λ2+4=0 ................................................(6.1)

Persamaan 6.1 merupakan persamaan kuadrat dengan akar akarnya adalah

λ1=20√5 i dan λ2=−20√5 i karena λ1 dan λ2 merupakan pasangan konjugat

kompleks, yang sesuai dngan bentuk a+bimaka solusi umum dari PDB homogenya di atas adalah

memenuhi :xh( t )=c1e−at cosbt+c2e

−at sinbt dengan a=0 dan b=20√5 maka :

xh( t )=c1cos(20 √5 t )+c2sin(20√5 t )........................................(6.2)

Langkah 2: Mencari Solusi Khusus untuk PDB tak homogenya

Karena harapanya solusi dari x i( t ) merupakan fungsi sinusoida, maka kita ambil solusi yang

memenuhi x i( t )=A sin (2t−φ) ......................................................................................(6.3)

x i( t )=2 A cos (2t−φ) dan x i( t )=−4 A sin(2 t−φ )

Selanjutnya kita substitusi ke persamaan diferensialnya yaitu :

2 .10−3 x+4 x=12sin(2 t ) ⇒ x+2000 x=6000sin (2t )−4 A sin(2 t−φ )+2000 A sin (2t−φ)=6000sin(2 t )

1996sin(2 t−φ )=6000A

sin (2t )

1996sin(2 t )cosφ−1996cos (2t )sinφ=6000A

sin(2 t )

Koefisien ruas kanan dengan ruas kiri harus sama, sehingga diperoleh :

1996 cos φ=6000A

dan 1996 sinφ=0⇒sinφ=0 , berarti φ=0

Karena φ=0 maka A=6000

1996 substitusi A dan φ=0 pada persamaan (6.3) yaitu

x i( t )=60001996

sin(2 t ) .........................................................(6.4)

Persaman (6.4) merupakan solusi khusus PDB linier bagian Tak homogen. Sehingga solusi umumnya dapat di tuliskan kembali sebagai berikut :

x (t )=xh (t )+x i (t )

x ( t )=c1 cos (20√5 t )+c2 sin (20√5 t )+60001996

sin (2 t )........................................(6.5)

Dengan menggunakan syarat kondisi awal saat t = 0 , x(0) = 0 dan v(0) =0 maka diperoleh koefisien

untuk c1=0 dan c2=−120√5

1996 sehingga persamaan posisi setiap saat sebagai fungsi waktu

adalah : x ( t )=−120√5

1996c2sin(20√5 t )+6000

1996sin(2 t )

5 diketahui : m=10 g ;. F=2 N; Fredaman=2x ; syarat kondisi awal t = 0 x(0)=0,4 cm ; v(0) = 0ditanyakan :

a. persamaan diferensial?....b. x(t)=....?c. v(t)=......? d. grafiknya?......

Jawaban :A. persamaan difersialnya adalah :

kita tinjau sebuah pegas pada saat t = 0 memiliki simpangan maksimum xo=4.10-4 m , sementara

gaya penggerak yang menyebabkan benda berosilasi adalah gaya pembalik pegas F=kx=2 maka

diperoleh k = 5 N/m. Persamaan umum osilasi teredam : m x+b x+kx=0

Dengan mengganti variabel m, b, dan k diperoleh persamaan diferensial orde dua yaitu :

10d2 xdt 2

+2dxdt

+5 x=0..........................................................................(5.1)

B. untuk menentukan posisi benda setiap saat, kita selesaikan dulu solusi PDB homogen orde dua di

atas dengan memisalkan x=λ dan x=λ2 sehingga persamaan (5.1) menjadi persamaan

kuadrad :

λ2+0,2 λ+0,5=0

Akar akarnya adalah λ1=−0,1+0,7 i dan λ2=−0,1−0,7 i yang merupakan pasangan konjugat

kompleks dengan memenuhi bentuk kompleks a+bi sehingga solusi umum PDB yaitu:

x ( t )=c1e−0,1 tcos (0,7 t )+c2e

−0,1t sin(0,7 t ) ............................................................(5.2)

x ( t )=−0,7 c1 e−0,1 t sin (0,7 t )−0,1c1e

−0,1t cos(0,7 t )+0,7c2e−0,1t cos(0,7 t )

−0,1c2e−0,1t sin(0,7 t ) .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(5.3 )

Dengan menggunakan syarat kondisi awal, maka dapat diperoleh c1=0,4 ; c2=4 /70

Maka persamaan posisi benda setiap saat adalah :

x ( t )=0,4 e−0,1t cos(0,7 t )+ 470

e−0,1 t sin( 0,7 t )

C. dari persamaan )5.3 diperoleh persamaan kecepatan tiap saat yaitu :

x ( t )=−0 ,28e−0,1t sin(0,7 t )−0 ,04e−0,1t cos( 0,7 t )+0 ,04 e−0,1t cos(0,7 t )

−4700

e−0,1 t sin(0,7 t )

x ( t )=−27e−100 t sin(200 t )

D. dengan menggunakan bantuan matlab dapat ditampilkan grafik posisi benda sebagai fungsi waktu

sebagai berikut :

interval waktu diambil mulai dari 0 sampai 100 sekon

4 persamaan diferensial bagi osilator harmonik teredam adalah sebagai berikut: d2 xdt2

+2dxdt

+4 x=0 jika kondisi awal gerak tersebut adalah xo=5cm dan vo=−2cm/s pada

saat t = 0 sekon, maka tentukan :a. x(t) =.......b. interpretasi fisis dari gerak tersebut?.....

JAWABAN :

A. seperti pembahasan nomor sebelumnya, untuk mencari persamaan posisi setiap saat kita harus

mencari solusi PDB sebagai berikut :

d2 xdt2

+2dxdt

+4 x=0 .................................................(4.1)

Dimisalkan

d2 xdt2

= λ2

dan

dxdt

=λ maka persamaan (4.1) dapat digantikan sebagai persaman

kuadrad :λ2+2 λ+4=0 dengan akar akarnya adalah λ1=−1+√3 i dan λ3=−1−√3i

sehingga solusi umumnya memenuhi :

x ( t )=c1e−t cos(√3 t )+c2e

−t sin (√3 t ) ..........................................................................(4.2)

x ( t )=e−t {(√3c2−c1)cos (√3 t )−(√3c1+c2 )sin(√3 t )}.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(4 .3 )

Denngan langkah seperti nomer nomer sebelumnya kita gunakan syarat kondisi awal saat t = 0 ,

xo= 5 cm dan vo= -2 cm/s. Dari persamaan (4.2) dan (4.3) dapat diperoleh c1 dan c2 yaitu:

x (0 )=c1e−0cos (√3 .0 )+c2e

−0 sin(√3 .0 )=5 ⇒ c1 cos(0 )+c2sin(0 )=5 ⇒ c1=5

x ( t )=e−0 {(√3c2−5 )cos (0)−(5√3+c2)sin (0)}=−2 ⇒ √3c2−5=−2 ⇒ c2=√3

Dengan mensubtitusi c1 dan c2 ke persamaan (4.2) dan (4.3) maka diperoleh:

persamaan posisi setiap saat yaitu x ( t )=5e−tcos (√3 t )+√3e−t sin(√3t )

kecepatan setiap saat adalah x ( t )=e−t {−2 cos(√3 t )−6√3 sin(√3 t )}

B. Dengan bantuan program matlab, dapat ditampilkan grafik sebagai berikut :

Dari grafik di atas secara fisis gerak benda adalah mengalami osilasi underdamped (benda

berosilasi), namun gaya redaman yang bekerja pada benda ini sangat besar, sehingga setelah 5

sekon, simpangan osilasi benda mengecil dan hingga akhirnya benda berhenti.

Untuk menjelaskan interpretasi fisis gerak benda selain melalui grafik, kita juga dapat melihat

secara langsung besarnya γ 2= b2

4m2=1

dan ωo

2= km

=4 karena γ

2<ωo2

maka terjadi osilasi

underdamped.

Bila ditampilkan grafik kecepatan setiap saat adalah :

Dari grafik kecepatan setiap saat diatas, dapat kita simpulkan bahwa benda bergrak osilasi

terredam dengan kecpatan sebagai fingsi harmonik teredam, dan kecepatan sama dengan nol

setelah 5 sekon, artinya benda diam.

3. Benda bermassa 2 g, mengalami gerak harmonis sederhana disepanjang sumbu horizontal.

Untuk kondisi awal saat t = 0 sekon, x (0 )=10cm; v (0)=−4 cm/s dan a (0)=−12 cm/s2. Tentukan :a. Posisi setiap saat x(t) =......b. Amplitudo, periode, dan frekuensi osilasi?.....

c. F(t) =.... saat t =

π4

sekon

JAWABAN

A. Persamaan umum gerak OHS adalah x+ωo2 x=0 ...............................................................(3.1)

dengan salah satu solusinya adalah x ( t )=A sin(ωo t+φ ) .....................................................(3.2)

sehingga kecepatan setiap saatnya dapat dituliskan x ( t )=Aω o cos(ωo t+φ )........................(3.3)

dari persamaan (3.1) dapat diperoleh nilai percepatanya sebagai berikut :

x+ωo2 x=0 ⇒ x=−ωo

2 x

a ( t )=−ωo2 x ( t )

a (0)=−ωo2 x (0)=−12 ⇒ωo=√1,2

Persamaan (3.2) dijabarkan sebagai x ( t )=A sin(ωo t )cos φ+A cos (ωo t )sin φ . ....................(3.4)

Dari persamaan (3.2) dan (3.3) saat t = 0 diperoleh : sinφ=10

Adan cos φ= −4

Aωo dengan mensubstitusikan ke persamaan (3.4) maka diperoleh persamaana posisi setiap saat sebagai

berikut : x ( t )=−√120

3sin( √1,2 t )+10 cos(√1,2t )

B. Dengan mengkuadradkan kedua ruas persamaan sinφ=10

Adan cos φ= −4

Aωo lalu

menjumlahkanya, maka didapatkan A=√100ωo

2+16

ωo2

=√136012

=2√3403

cm. Atau dengan

menggunakan rumus pada buku mekanika karangan supeno dalam halaman 60, persamaan 3.19

yang dituliskan sebagai A=√ vo

2

ωo2+xo

2

maka didapatkan :

amplitudo yaitu A=√ 42

1,2+102=√16+120

1,2=2√340

3

mencari periode dan frekuensi osilasi

ωo=2πT

=√1,2 ⇒ T=53π √1,2

sekon sehingga diperoleh f= 1

2π√1,2

Hz.

C. Untuk mencari persamaan gaya F(t) terlebih dahulu mencari persamaan percepatanya yaitu :

a ( t )=dv ( t )dt

= ddt ( dxdt )=−ωo

2 x ( t )=0,4√120sin (√1,2 t )−12 cos (√1,2t )

F ( t )=ma( t )=2 .a( t )=0,8√120sin (√1,2t )−24 cos (√1,2 t )

F (14 π )=0,8√120 sin (√1,2 .14π )−24 cos(√1,2 .

14π )

F=0,8√120×0 ,7581−24×0 ,6522=−9 ,0085=−9 gm / s2

Jadi gaya pada saat

π4

sekon adalah 9.10-5 Newton memiliki arah berlawanan dengan

simpanganya.

2 Benda bermasa 20 g digantungkan pada pegas tak bermassa sehingga pegas bertambah panjang 5 cm. Tentukan :a. Posisi benda setiap saat jika saat t = 0, x(0) = 2 cm dan v(0) = 0b. Amplitudo,Periode, dan Frekuensi Osilasi?.....

JAWABAN:

a. Mula mula kita cari konstanta pegasnya dulu k= 0,2

0 ,05=4 N /m

sehingga dapat kita peroleh

ωo2= k

m= 4

0 ,02=200

dan kita ambil salah satu solusi persaman gerak hamonis sederhana

dalam fungsi sinusoida yaitu x ( t )=A sin(ωo t+φ ) sehingga x ( t )=Aω o cos(ωo t+φ ). Dengan

langkah penyelesaian yang persis dngan nomor 3 dan diperoleh φ=1

2π

, maka didapatkan

persamaan posisi setiap saat adalah : x ( t )=0 ,02 sin(10√2t+ 1

2π )

b. Amplitudonya adalah A = 2 cm = 0,02 m

Periode : ωo=

2πT

=10√2 ⇒ T=√210

π

Frekuensi : f= 1

T= 5

π√2

Hz

1. Benda bermassa 10 g, berosilasi sepanjang bidang horizontal akibat adanya gaya sebesar 2 N. Jika x(0) = 0,4 cm dan v(0) = 0 saat t = 0 sekon, maka tentukan :a. Persamaan diferensialnya?.....b. Posisi setiap saat x(t)?.....c. Kecepatan benda setiap saat v(t)?....d. Amplitudo, Periode, dan frekuensi osilasi?.....

JAWABAN :

a. Persamman umum GHS (OHS) dalam bentuk diferensial orde dua diberikan oleh :

x+ωo2 x=0 bila kita tinjau benda itu sebagai sebuah pegas, maka

k= 20 ,004

=500 N /m

sehingga persamaan diferesialnya adalah :

m x+kx=00 ,01 { x+500 x=0

¿ x+50000 x=0 ¿¿

b. Dengan mengmbil slah satu slusi umum dari persamaan diferensial diatas yaitu:

x ( t )=A sin(ωo t+φ ) dan diperoleh kecepatanya x ( t )=Aω o cos(ωo t+φ ) dengan mengambil

ωo=√ km

=√50000=100√5 dan memasukan syarat kondisi awal pada saat t = 0 sekon, maka

diperoleh persamaan posisi setiap saat adalah : x ( t )=0 ,004 sin (100√5 t+ 1

2π )

dimana x dalam

meter dan t dalam sekon.

c. Untuk mencari setiap saat adalam merupakan turunan pertama dari persamaan posisi setiap saat.

Yaitu sebagai berikut :

v ( t )=dx ( t )dt

=0,4√5cos(100√5 t+ 12π )

d. Amplitudo A = 0,004 m = 0,4 cm

Periode : ωo=

2πT

=100√5 ⇒ T= √5250

π

Frekuensi : f= 1

T=50

π√5

Hz

Jember, 24 November 2013

Pembahas soal

(Wawan Hermanto)