PEMROGRAMAN LINEAR

PEMROGRAMANLINEARKASUSKHUSUSMETODESIMPLEKS

Jurusan Matematika - FMIPAUniversitas Udayana2012

KELOMPOK 1PRESENTASI OLEHLUH PUTU ARI DEWIYANTI10084050011NI PUTU NIA IRFAGUTAMI1008405002EVI NOVIANTARI1008405003I GUSTI NGR MAHAYOGA1008405004I GEDE AGUS JIWADIANA1008405009IMADE KESUMAYASA1008405011A.a.i.a CANDRA ISWARI1008405053HANY DEVITA1008405059

METODE SIMPLEKSKASUS KHUSUS METODE SIMPLEKS

Kasus khusus pada metode simpleks:Alternatif penyelesaianPenyelesaian tak terbatasSoal tidak fisibelKemerosotan (Degenerasi)Variabel penyusun tak bersyarat

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSALTERNATIF PENYELESAIAN

Ketika fungsi tujuan sejajar dengan satu batasan yang mengikat (yaitu, satu batasan yang dipenuhi dalam bentuk persamaan oleh pemecahan optimal), fungsi tujuan akan memiliki nilai optimal yang sama di lebih dari satu titik.Alternatif penyelesaian berarti adanya 2 penyelesaian atau lebih yang menghasilkan nilai optimal yang sama. Adanya alternatif penyelesaian dalam metode simpleks dapat dilihat pada table optimalnya. Perhatikan elemen pada baris cj zj yang bernilai 0 pada table optimal. Nilai 0 pada baris cj zj selalu bersesuaian dengan variable basis. Jika ck zk = 0 dalam table optimal, sedangkan variable pada kolom tersebut (= xk) bukanlah variable basis, maka hal ini menunjukkan adanya alternative penyelesaian. Alternatif penyelesaian didapat dengan memaksa variable xk menjadi basis (meskipun sebenarnya tabelnya sudah maksimal).KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSALTERNATIF PENYELESAIAN

EXAMPLEMaksimumkanf(x1, x2)= 3x1 + x2Kendala x1 + 2x2 203x1 + x2 20x1, x2 0

SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanf(x1, x2, x3, x4) = 3x1 + x2 + 0x3 + 0x4Kendalax1 + 2x2 + x3 = 203x1 + x2 + x4 = 20x1, x2, x3, x4 = 0

Tampak bahwa pada table optimalnya, c2 z2 = 0 meskipun x2 bukan variable basis. Ini menunjukkan adanya alternatif penyelesaian yang bisa diperoleh dengan memaksa x2 untuk menjadi basis.

Tampak bahwa tabel sudah optimal dengan penyelesaian optimal x1 = 4 dan x2 = 8. Perhatikan bahwa pada tabel di atas juga mengandung alternative penyelesaian karena x3 bukan merupakan variable basis, tapi c3 z3 = 0. Jika kemudian table direvisi lagi dengan cara memaksakan x3 untuk menjadi basis, maka akan diperoleh kembali table optimal pada tabel diatas. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSPENYELESAIAN TAK TERBATAS

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSPENYELESAIAN TAK TERBATAS

EXAMPLE 1Maksimumkanf(x1, x2) = 2x1 + 3x2Kendala x1 2x2 4x1 + x2 3x1, x2 0

SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanf(x1 x5) = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 Mx5Kendalax1 2x2 + x3 =4x1+ x2 - x4 + x5 = 3x1, x2, x3, x4, x5 0

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSPENYELESAIAN TAK TERBATAS

EXAMPLE 2Minimumkanf(x1, x2) = -x1 - 2x2Kendala-x1+x2 2-2x1+x2 1x1, x2 0

SOLUTIONBentuk standar:Minimumkanf(x1 x5) = -x1-2x2+0x3+0x4Kendala-x1+x2+x3 = 2-2x1+x2+x4 = 1x1 x4 0

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSSoal tidak fisibel

Soal tak fisibel berarti soal tidak memiliki daerah fisibel (tidak memiliki titik yang memenuhi semua kendala)Dalam metode simpleks, variable semu berfungsi sebagai katalisator agar muncul matriks identitas sehingga proses simpleks dapat dilakukan. Pada iterasi pertama, variable semu akan dipakai sebagai variable basis. Untuk mempercepat keluarnya variable semu dari variable basis, maka pada fungsi sasarannya diberi koefisien M (untuk kasus meminimumkan) atau M (untuk kasus memaksimumkan). Akan tetapi ada kalanya variable semu tetap merupakan variable basis pada table optimalnya. Hal ini menunjukkan bahwa soalnya tidak fisibel.Pengecekan soal yang tidak fisibel dapat dilihat pada nilai Cj Zj. Setelah tidak ada CjZj > 0 (untuk kasus memaksimumkan) atau Cj-Zj < 0 (untuk kasus meminimumkan), maka proses dilanjutkan dengan meneliti apakah ada variable semu yang masih bernilai positif. Jika tidak ada, maka penyelesaian optimal didapatkan. Akan tetapi, jika ada variable semu yang masih bernilai positif berarti soalnya tidak fisibel. KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSSoal tidak fisibel

EXAMPLE 1Maksimumkanf(x1, x2) = 4x1 + 3x2Kendala x1 + x2 32x1 x2 3x1 4x1, x2 0

SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanf(x1 x6)= 4x1 + 3x2 + 0x3+ 0x4 + 0x5 - Mx6Kendalax1 + x2 + x3= 32x1 - x2 + x4= 3x1 x5 + x6= 4x1 x6 0

Pada iterasi terakhir, semua CjZj 0. Ini menunjukkan bahwa table sudah optimal. Akan tetapi x6 yang merupakan variable semu masih tetap menjadi variable basis. Ini berarti bahwa soalnya tidak fisibel sehingga tidak memiliki penyelesaian optimal.KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSSoal tidak fisibel

EXAMPLE 2Minimumkanf(x1, x2) = 2y1+4y2Kendala 2y1-3y2 2-y1+y2 2y1, y2 0

SOLUTIONBentuk standar:Minimumkanf(x1 x6)= 2y1+4y2+0y3+0y4+My5+My6Kendala2y1 - 3y2 - y3 + My5 = 2-y1+y2 - y4 + My6 = 3y1 y6 0

Dapat dilihat bahwa pada iterasi pertama, variable Y6 keluar dari variable basis kemudian pada iterasi ke-2 variabel Y6 kembali menjadi variable basis. Karena kedua variable semu Y5 dan Y6 menjadi variable basis dan tidak dapat mencapai penyelesaian optimum, maka soal tidak fisibel.KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSKEMEROSOTAN (DEGENERASI)

Kasus degenerasi terjadi apabila satu atau variable basis berharga nol sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya bisa menjadi suatu loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya. Kejadian ini disebut cycling atau circling.Namun ada kalanya pada iterasi berikutnya degenerasi ini menghilang. Kasus seperti ini disebut degenerasi temporer.KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSKEMEROSOTAN (DEGENERASI)

EXAMPLEMaksimumkanf(x1, x2) = 5x1 + 3x2Kendala 4x1 + 2x2 124x1+ x2 10x1 + x2 4x1, x2 0SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanf(x1 x5) = 5x1+3x2+0x3+0x4+0x5Kendala4x1+2x2+x3 = 124x1+x2+x4 = 10x1+x2+x5 =4x1 x5 0

Perhatikan bahwa table 1 merupakan kelanjutan iterasi jika x3 keluar dari basis

Table 2 merupakan kelanjutan iterasi jika x5 keluar dari basis. Perhatikan bahwa meskipun jumlah iterasi hingga mencapai optimal pada Tabel 1 dan Tabel 2 tidak sama, namun keduanya menghasilkan penyelesaian optimal yang sama yaitu x1 = 2 dan x2 = 2KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSKEMEROSOTAN (DEGENERASI)

EXAMPLEDEGENERASI TEMPORERMaksimumkanz = 3x1 + 2x2Kendala 4x1 + 3x2 124x1 + x2 84x1 - x2 8x1, x2 0SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanz = 3x1+2x2+0x3+0x4+0x5Kendala4x1+3x2+x3=124x1+x2+x4=84x1-x2+x5=8x1x5 0

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSVARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT

Dalam bentuk standar program linier diisyaratkan bahwa semua variable penyusun harus 0. Apabila ada variable penyusun yang bernilai bebas (boleh negatif), maka sebelum masuk ke proses simpleks, masalah tersebut harus terlebih dahulu ditransformasi sehingga semua variable penyusun 0. Caranya adalah dengan menyatakan variable yang bernilai bebas tersebut sebagai selisih 2 variabel baru yang keduanya 0.KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSVARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT

EXAMPLE 1Maksimumkanf(x1, x2, x3) = 3x1+2x2+x3Kendala 2x1+5x2+x3 126x1+8x2 22x2, x3 0Perhatikan bahwa yang diisyaratkan hanyalah x2 dan x3 saja, sedangkan x1 bernilai sembarang. Untuk menjadikan ke bentuk standar program linier, maka x1 dinyatakan sebagai selisih 2 variabel baru x4 dan x5.x1=x4-x5Kemudian substitusikan ke model

SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanf(x2, x3, x4, x5)= 2x2+x3+3x4-3x5+0x6+0x7Kendala5x2+x3+2x4-2x5+x6 = 128x2+6x4-6x5+x7 = 22x2x7 0Sehingga soal menjadi:Maksimumkanf(x2, x3, x4, x5)= 3(x4-x5)+2x2+x3Kendala 2(x4-x5)+5x2+x3 126(x4-x5)+8x2 22x2, x3, x4, x5 0

Penyelesaian optimal x2 = 0, x3 = 28/6 = 14/3, x4 = 22/6 = 11/3, x5 = x6 = x7 = 0. Jika dikembalikan ke soal aslinya, maka x1 = 11/3, x2 = 0 dan x3 = 14/3. Perhatikan di sini bahwa x1 yang bernilai sembarang tidak berarti harus bernilai negatif. Akan tetapi juga tidak boleh diasumsikan 0 sehingga proses simpleks juga tidak dapat langsung digunakan.

KASUS KHUSUS METODE SIMPLEKSVARIABEL PENYUSUn TAK BERSYARAT

EXAMPLE 2Maksimumkanz = -2x1 + x2Kendala x1+x2 4x1 - x2 6x1 0Perhatikan bahwa yang diisyaratkan 0 hanyalah x1 saja, sedangkan x2 bernilai sembarang. Untuk menjadikan ke bentuk standar program linier, maka x2 dinyatakan sebagai selisih 2 variabel baru x5 dan x6x2= x5 x6

SOLUTIONBentuk standar:Maksimumkanz = -2x1 + x5 - x6 + 0x3 + 0x4Kendalax1+ x5 - x6 + x3 = 4x1 x5 + x6 + x4 = 6x1, x3, x4, x5, x6 0

Didapat solusi optimum x1 = 5, x6 = 1, x3 = x4 = x5 = 0. Jika dikembalikan ke soal aslinya maka akan didapat x1 = 5 dan x2 = -1 (di mana x2 = x5 x6).PEMROGRAMANLINEARKASUSKHUSUSMETODESIMPLEKS

Jurusan Matematika - FMIPAUniversitas Udayana2012

Cj3100

(Cb)i Xj(Xb)i X1X2X3X4bi

0X312102020

0X431012020/3

Zj00000

Cj Zj3100

0X305/31-1/340/3

3X111/301/320/3

Zj310120

Cj-Zj000-1

Bukan basis tapi bernilai nol

Cj3100

(Cb)i Xj(Xb)i X1X2X3X4bi

0X305/31-1/340/3

3X111/301/320/3

Zj310120

Cj-Zj000-1

1X2013/5-1/38

3X110-1/52/54

Zj310120

Cj-Zj000-1

Cj2300-M

(Cb)i Xj(Xb)i X1X2X3X4X5bi

0X31-21004-

-MX5110-1133

Zj-M-M0M-M-3M

Cj Zj2 + M3 + M0-M0

0X3301-2210-

3X2110-113-

Zj330-339

Cj-Zj-1003-3 M

Cj-1-200

(Cb)i(Xb)i XjX1X2X3X4bi

00X3X4-1-21110012121

ZjCj-Zj0-10-200000

0-2X3X21-20110-11111-

ZjCj-Zj4-5-2000-22-2

-1-2X1X2100112-1-113--

Zj-1-2-55-7

Cj-Zj005-5

CjXj

43000-M

(Cb)i(Xb)i

X1X2X3X4X5X6bi

00-MX3X4X61211-1010001000-100133433/24

ZjCj Zj-M4+M030000M-M-M0-4M

04-MX3X1X60103/2-1/2100-1/2-1/200-10013/23/25/21-5

ZjCj Zj40

00

M-M-M0

CjXj

43000-M

(Cb)i(Xb)i

X1X2X3X4X5X6bi

34-MX2X1X60101002/31/3-1/3-1/31/3-1/300-1001122

ZjCj Zj4030

M-M-M011-2M

CjXi

2400MM

(Cb)i(Xb)i

Y1Y2Y3Y4Y5Y6bi

MY52-3-10102-

M Y6-110-10133

ZjM-2M-M-MMM5M

Cj-Zj2-M4-2MMM00

MY5-10-1-3131111/3

4Y2-110-10133

Zj-4-M4-M-4-3MM4+3M12+11M

Cj-Zj6+M0M4+3M0-4-2M

MY52-3-10102

MY6-110-1013

Tabel 2CjXj

53000

(Cb)i(Xb)i

X1X2X3X4X5bi

050X3X1X50101100-1-1/400125/23/22102

ZjCj-Zj505/47/4005/4-5/40025/2

053X3X1X2010001100-2/31/3-1/3-4/3-1/34/3022

ZjCj-Zj5030002/3-2/37/3-7/316

CjXj

53000

(Cb)i(Xb)i

X1X2X3X4X5bi

000X3X4X54412111000100011210435/24

ZjCj-Zj05030000000

0X3011-1022

50X1X51000-1/4015/23/2102

ZjCj-Zj505/47/4005/4-5/40025/2

Tabel 1CjXj

53000

(Cb)i(Xb)i

X1X2X3X4X5bi

050X3X1X50101100-1-1/400125/23/22102

ZjCj-Zj505/47/4005/4-5/40025/2

350X2X1X50101001-1/4-3/4-1001220-40

ZjCj-Zj50307/4-7/4-1/20016

350X2X1X4010100-1/2-3/20012-12220

ZjCj-Zj50301-1001-116

Cj32000

(Cb)i Xj(Xb)iX1X2X3X4X5bi

0X343100123

0X44101082

0X54-100182

Zj000000

Cj-Zj32000

0X3021-1042

3X110028

0X50-20-110-

Zj3006

Cj-Zj05/40-3/40

2X201-1/202

3X110-1/83/803/2

0X50-41-214

Zj325/81/8017/2

Cj-Zj00-5/8-1/80

Cj213-300

(Cb)i Xj(Xb)iX2X3X4X5X6X7bi

1X3512-210126

0X7806-6012222/6

Zj512-21012

Cj - Zj-301-100

1X314/61001-2/628/6

3X48/601-101/622/6

Zj38/613-311/694/6

Cj - Zj-26/6000-1-1/6

Cj-21-100

(Cb)i(Xb)i XjX1X5X6X3X4bi

0X311-11044

0X41-110166

Zj000000

Cj Zj-21-100

-2X111-1104-

0X40-22-1121

Zj-2-22-20-8

Cj-Zj03-320

-2X11005

-1X60-11-1/21

Zj-21-1-1/2-3/2-11

Cj-Zj0003/2