PENARIKAN SAMPEL BERTAHAP

Multistage Sampling

2

Penarikan Sampel Bertahap

Pengertian

• Penarikan sampel bertahap merupakan perluasan dari penarikan sampel klaster, pada klaster terpilih tidak semua elemen dalam klaster dikumpulkan informasinya.

• Pada klaster terpilih, dipilih elemen dan selanjutnya informasi hanya dikumpulkan dari elemen terpilih.

• Penarikan sampel bertahap bisa lebih dari 2 tahap, jadi pada klaster ada lagi sub-klaster dan unit terakhir berupa elemen yang disebut unit sampling terkecil (ultimate sampling unit).

• Unit sampling tahap pertama disebut primary sampling unit (psu), unit sampling tahap kedua disebut secondary sampling unit (ssu), dan seterusnya

Contoh Sampling Dua Tahap

Blok sensus adalah unit sampling tahap pertama(primary sampling unit)

Rumah tangga adalah unit sampling tahap kedua (Secondary sampling unit), sekaligus merupakan ultimate sampling unit

Pada suatu survei dilakukan penarikan sampel blok sensus dan pada setiap blok sensus terpilih dipilih rumahtangga.

Contoh Sampling Tiga Tahap

Desa adalah unit sampling tahap pertama(primary sampling unit, psu)

Blok Sensus adalah unit sampling tahap kedua (Secondary sampling unit, ssu)

Pada suatu survei dilakukan penarikan sampel desa, dan setiap desa dipilih blok sensus dan dari blok sensus terpilih dipilih rumahtangga.

Rumah tangga adalah unit sampling tahap ketiga ultimate sampling unit

6

Mengapa Sampling Bertahap ?

• Tidak tersedianya kerangka sampel sampai satuan unit terkecil yang akan dijadikan dasar penarikan sampel

• Untuk membangun kerangka sampel yang memuat unit sampling terkecil memerlukan biaya, tenaga, dan waktu yang besar

7

Mengapa ?

• Dengan menerapkan penarikan bertahap, maka pengawasan lapangan lebih dapat ditingkatkan sehingga non sampling error dapat diketahui

• Ditinjau dari segi biaya, penarikan sampel bertahap jauh lebih efisien dibanding dengan penarikan sampel satu tahap langsung melalui elemen sampling

8

Catatan/ Note :• Ditinjau dari segi metode sampling dengan

banyaknya sampel yang sama, maka sampling bertahap lebih efisien dibanding dengan klaster satu tahap, tetapi kurang efisien dibanding sampling elemen.

• Ditinjau dari segi biaya, maka sampling bertahap kurang efisien dibanding dengan klaster satu tahap, tetapi lebih efisien dibanding dengan sampling elemen.

• Jadi dalam penggunaan sampling bertahap perlu ada keseimbangan antara penurunan biaya dan kenaikan sampling error.

9

PENARIKAN SAMPEL DUA TAHAP

• Seperti halnya pada Sampling Klaster Satu Tahap, maka banyaknya unit pada tahap pertama dapat sama atau berbeda. Demikian pula banyaknya unit yang harus dipilih pada tahap kedua dapat sama atau berbeda. Sehingga hal ini berpengaruh pada metode estimasi dan notasi yang dipergunakan.

10

Sampling Dua Tahap Dengan Ukuran Sama

• Pada metode sampling ini banyaknya unit pada unit sampling tahap pertama adalah sama (M), demikian pula banyaknya unit yang dipilih pada tahap kedua (m).

MM i

11

Penarikan sampel dua tahap

Misalkan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N, dan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap kedua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i adalah Mi .

Contoh :

Sampel dua tahap dengan jumlah unit sama N = 81, n = 5, M = 9, m = 2      

12

Penarikan sampel dua tahap

N = 81 unit

n = 5 unit

m = 2 subunit

M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit M = 9 subunit

m = 2 subunit

m = 2 subunit

m = 2 subunit

m = 2 subunit

13

s ss

s

s

ss

sss

s ssu terpilih

Sampel terpilih n = 5, M = 9, m = 2

14

a). Mean (rata-rata) dan varian pada sampling dua tahap

nilai harapan untuk sampel secara keseluruhan

nilai harapan untuk sampel pada tahap pertama

nilai harapan untuk sampel pada tahap ke dua

21 EEE

E

1E

……….. ( 1 )

2E

E

15

varian utk penarikan sampel tahap ke dua.

Utk membuktikan hal di atas misal ,

maka

dari

E

1E

2121 VEEVV

2V

E

2

21

2

EEEV ……….. ( 1 )

16

22

2

2

2

2 2

EEE

Menurut definisi : 222

EEEEV

VEE22

222

2

2

2

2 2

EVEE

Ambil rata-rata pada penarikan tahap pertama ( ), dan subsitusi :

1E

21EE

22121

2

21

2

21 2

EEVEEEEE

17

221

2

21

2

21

VEEEEE

212

2

21 VEEE

Dari konsep varian di atas:

2221

2

212

2121

22

EEEEEEEVEEV

Masukkan ke persamaan (2) di atas, menjadi:

2121 VEEVV

V

……….. ( 2 )

18

b). Total dan rata-rata populasi

Misalkan jumlah unit yang dapat dijadikan dasar untuk penarikan sampel tahap pertama ( pstp atau first stages sampling unit – fsu) adalah N

jumlah unit yang dapat dijadikan dasar penarikan sampel tahap kedua ( pstd atau secondary sampling unit – ssu) pada setiap unit penarikan sampel tahap pertama yang ke-i adalah Mi.

Bila menyatakan nilai karakteristik Y pada unit pstd ke-j dalam unit pstp ke-i, maka nilai total dan rata-rata dapat dinyatakan sebagai berikut: 

ijy

19

 

- total nilai karakteristik Y pada fsu ke-i adalah:

-  rata-rata nilai karakteristik fsu ke-i adalah:

-  total nilai karakteristik dalam populasi adalah:     - rata-rata nilai karakteristik per unit fsu dalam populasi:     

- rata-rata nilai karakteristik per unit ssu

iM

jiji yY

1

i

ii M

YY

N

i

N

iii

N

ii

M

jij YMYyY

i

1 111

N

ii

N

iiiN

ii

opstd MYM

M

Y

M

YY

11

1

N

iiipstp YM

NN

YY

1

1

20

Bila Penarikan Sampel Tahap 1 dan 2 keduanya secara SRS WOR, maka

Tahap

Banyaknya Unit Metode Sampling

Peluang Pemiliha

n Sampel

Fraksi

Sampel

Faktor Pengali

Populasi

Sampel

1 N n WORSRS N

1 N

n n

N

2

M m WORSRS M

1 M

m m

M

21

Pendugaan Total dan Variance

• Pendugaan Total

n

iij

m

jij ywY

1 1

ˆ21dimana FFwij

ij

n

i

m

j

ym

M

n

NY

1 1

ˆ

n

i

m

jij

n

i

m

jij y

nm

NMy

n

M

n

NY

1 11 1

ˆ

Yyn

NEYEEYE

n

ii

1121

ˆˆ

Estimator di atas adalah unbiased dimana:

22

• Pendugaan Variance

2

12

22

122

1

2

22

2

2

11

1

2121

)1()1(

)1(

ˆˆˆ

wi

N

i

b

n

i

win

ii

Sfm

M

n

N

n

SfMN

m

SfM

n

NEy

n

NV

YVEYEVYV

N

i

ib YYN

S1

22

1

1

M

j

iijwi YyM

S1

22

1

1

N

SS

N

iwi

w

1

2

2

23

Pendugaan Total dan Variance

• Dengan demikian penulisan rumus variance menjadi

222122

22

22

122

11

11ˆ

wb

wb

Snm

fS

n

fMN

SNfm

M

n

N

n

SfMNYV

2221 11wb S

mn

fS

n

fyV

Dari rumus di atas dapat dilihat bahwa besarnya variance tergantung variance karakteristik di antara unit sampling tahap 1 dan unit sampling tahap 2.

24

• Perkiraan variance dari metode di atas:

22121 11wb s

nm

ffs

n

fyv

1

1

2

2

n

yys

n

ii

b

)1(

1 1

2

2

mn

yy

s

n

i

m

jiij

w

1

1

2

2

m

yy

s

m

jiij

win

ss

n

iwi

w

1

2

2

yvMNYv 22ˆ

25

c). Penarikan sampel dua tahap, kedua tahap acak sederhana

Dari N unit pstp dipilih n unit, dan dari Mi unit fsu pada setiap ke-i dipilih sebanyak mi unit.

Penarikan sampel pada kedua tahap menerapkan metode penarikan sampel acak sederhana tanpa pemulihan. Banyaknya sampel pada ssu adalah m1+m2+…+mn. Misalkan yij adalah nilai karakteristik Y pada unit pstd ke-j dan fsu ke-i yang terpilih (j=1,2,…,mi) dan (i=1,2,3,…,n).

Secara skematis penarikan sampel acak sederhana dua tahap dapat disajikan pada gambar berikut.

26

 

         

6

 

7  

                                                         

                                                         

                                                         

  

                                     

 

       

 

                                                         

                                                         

                                                         

                                                         

Keterangan:

    Unit pstp terpilih     : Unit pstd terpilih        

                                                         

Penarikan Sampel Acak Dua Tahap(N=12, n=4 , m1=3, m2=2, m3=5, m4=3)

1 2 3 4 5

8 9 10 11 12

27

 

d)Penduga Parameter (1) Penarikan sampel dua tahap dengan metode

SRSWR (PSAS DP) Rancangan penarikan sampel yang digunakan adalah rancangan penarikan sampel 2 tahap, dengan tahapan sebagai berikut :

 Tahap pertama, dari N unit sampling tahap pertama dipilih n unit dengan menerapkan metode PSAS DP.

Tahap kedua, misalkan pada setiap unit fsu yang terpilih memuat Mi unit ssu, selanjutnya dipilih mi unit dengan menerapkan metode PSAS DP. Dari uraian rancangan penarikan sampel yang direncanakan dapat ditentukan peluang, dan fraksi sampling pada setiap tahap penarikan sampel seperti tercantum pada tabel di bawah ini.

28

N

1

N

n

iM

1

i

i

M

m

Tahap

Banyaknya unit di dalam

Metode penarikan sampel

Peluang pemilihan

sampel

Fraksi sampling

Populasi Sampel

Pertama N n PSAS-DP

KeduaMi

mi

PSAS-DP

Penarikan sampel dua tahap dengan metode PSAS DP 

29

Dengan demikian selanjutnya dapat ditentukan besarnya faktor pengali (inflation factor) pada tahapan penarikan sampel yang merupakan kebalikan dari fraksi sampling dan factor pengali-pengalinya (overall inflation factor) adalah: Faktor pengali fsu  

Faktor pengali ssu   Faktor pengali keseluruhan, yang berbeda antar pstp, kecuali bila F2i = F2 konstan, maka F = F1.F2 merupakan desain tertimbang sendiri (self-weighting design).

n

N

fF

11

1

i

i

ii m

M

fF

22

1

iFFF 21.

30

Misal yij menyatakan nilai karkteristik Y pada pengamatan ke-j dalam unit fsu ke-i, maka rumus umum estimasi yang tak bias bagi total adalah

dengan

Ambil wij dan diletakkan pada rumus umum, maka akan diperoleh estimasi bagi total karakteristik Y berdasarkan nilai-nilai sampel, yaitu :

ji

ijijsampel

iji ywyFFY,

21.ˆ

i

iiij m

M

n

NFFw 21.

n

i

m

jij

i

ii

ym

M

n

NY

1 1

ˆi

n

ii yM

n

N

1

31

dan varian penarikan sampel bagi adalah

Y

n

ii

i

ib S

m

M

n

NS

n

MNYV

1

22

222

)ˆ(

2

1.

2

1

1

N

iNib YY

NS

2

1

2

1

1

iM

iiij

ii YY

MS

N

iiMNN

MM

1

0 1 1N

nN 1

i

ii

M

mM

32

dan masing-masing adalah varian antar unit penarikan sampel tahap pertama dan varian di dalam unit penarikan sampel tahap kedua pada unit penarikan sampel tahap pertama ke-i.

Dalam penarikan sampel dengan pemulihan, penduga tak bias bagi total karakteristik Y dapat didekati untuk n = 1, melalui estimasi yang diperoleh dari masing-masing unit penarikan sampel tahap pertama ke-i adalah

2bS

2iS

im

jij

i

ii y

m

NMY

1

ˆ

33

Jadi ada sebanyak n estimasi dari setiap fsu. Dengan demikian penduga tak bias bagi varian adalah

Y

n

ii YY

nnYVYv

1

2ˆˆ)1(

1)ˆ(ˆ)ˆ(

n

ii

m

jij

n

i i

i Yn

ym

M

n

NY

i

111

ˆ1ˆ

34

Y Apabila penarikan sample tanpa pemulihan maka setiap pstp tidak merupakan estimasi yang bebas satu sama lain. Varian harus dihitung melalui pstp dan pstd.

i

in

ii

b

m

sM

n

N

n

sMNYv

2

1

22

22 '')ˆ(

n

inib yy

nMs

1

2.2

2 )'()1('

1

n

iii

n

iii

n

M

yMy 1

.

'

1

2.

2 )()1(

1

jiij

ii yy

ms

35

Rumus klaster yang kedua

Dalam suatu survei dengan skala besar biasanya perkiraan varian didekati dengan penghitungan dengan pemulihan. 

n

iiMn

M1

1'

36

(2) Penarikan sampel dua tahap dengan metode penarikan sampel sebanding ukuran unit (probability proportional to size – pps) dan metode PSAS DP.

Rancangan penarikan sampel yang direncanakan adalah penarikan sampel dua tahap:

Tahap pertama, dari N unit penarikan sampel tahap pertama dipilih n unit dengan menerapkan metode penarikan sampel sebanding terhadap ukuran unit xi dengan pemulihan. Nilai-nilai xi untuk seluruh unit untuk penarikan sampel tahap pertama harus tesedia sehingga dapat dihitung   

N

iixX

1

37

Tahap kedua, misalkan pada setiap unit pstp yang terpilih memuat Mi unit pstd, kemudian dipilih mi unit dengan metode PSAS DP.

Dari uraian rancangan penarikan sampel yang direncanakan dapat ditentukan peluang, dan fraksi sampling pada setiap tahap pemilihan sampel seperti tercantum pada tabel berikut.

38

Rencana penarikan sampel 2 tahap dengan metode PPS dan PSAS DP 

X

xiX

xn i

iM

1

i

i

M

m

Tahap

Banyaknya unit di dalam Metode

penarikan sampel

Peluang pemilihan

sampel

Fraksi sampling

Populasi Sampel

Pertama N n PPS DP

Kedua Mi miPSAS DP

39

 

Penduga tak bias bagi total karakteristik Y yang hanya didasarkan pada unit penarikan sampel tahap pertama ke-i adalah

ii m

jij

ii

im

jij

i

i

ii y

mx

MXy

m

M

pY

11

1ˆ

40

Penduga tak bias bagi total populasi dari

seluruh unit penarikan sampel tahap pertama n, adalah merupakan rata-rata sederhana

dari , yaitu

Dengan demikian penduga tak bias bagi varian

adalah

Y

iY

n

iiYn

Y1

ˆ1ˆ

Y

n

ii YY

nnYvYV

1

2ˆˆ)1(

1ˆ)ˆ(ˆ

41

Contoh klaster dua tahap dengan menggunakan sampel desa pada uraian sebelumnya.

Kolom (1) s.d. (3) pada tabel tsb untuk penghitungan klaster satu tahap.

Dalam desain dua tahap, pada desa terpilih dipilih sejumlah usaha dan dari usaha terpilih ditanyakan banyaknya ternak ayam yang dipelihara. Hasil pencacahan terlihat pada kolom (4) tabel tsb.

Penghitungan , dan untuk sampling dua tahap didasarkan pada data di kolom (4) s.d. (7).

m i

y i y i .m i

42

Dan selanjutnya data ini digunakan untuk menghitung:

Catatan: Klaster satu tahap berdasarkan kolom (3), klaster dua tahap berdasarkan kolom (4) tabel tsb. 

m i y s

y s

y s

n b

n b

n b

2

2

2

* *

43

Tabel 3.5. : Jumlah Usaha dan Ternak Ayam Dipelihara padaDesa Terpilih dan Usaha Terpilih

 

( )M i ( ).Yi ( )y ij

m i y i . y i .  Jumlah

usahaJumlah ayam

Ternak ayam dipelihara pada usaha terpilih

     

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

 

A   B   C   D

 

102    

105    

200    

88 

Y1.

Y2 .

Y3.

Y4 .

 

12546 =123  24150 =230  88200 =441  14080 =160 

 266, 890, 311, 46, 174, 31, 17, 186, 224, 31, 102, 46, 31, 109, 275, 128, 125, 267, 153, 152, 84, 21, 52, 10, 0, 48, 94, 129, 87, 89, 109, 0, 310, 3 129, 57, 64, 11, 163, 77, 278, 50, 26, 127, 252, 194, 350, 0, 572, 149, 275, 114, 387, 53, 34, 150, 224, 185, 157, 224, 466, 203, 354, 816, 242, 140, 66, 590, 747, 147 247, 622, 225, 278, 181, 132, 659, 403, 281, 236, 595, 265, 431, 190, 348, 232, 88, 1165, 831, 120, 987, 938, 197, 614, 187, 896, 330, 485, 60, 60, 1051, 651, 552, 968, 987 347, 362, 34, 11, 133, 36, 34, 61, 249, 170, 112, 42, 161, 75, 68, 0, 247, 186, 473, 0, 143, 198, 65, 0, 308, 122, 345, 0, 223, 302, 219, 120, 199, 35, 0, 0 

 

m1 = 34  m2 = 36  m3 = 35   m4 = 36   

 

y1. = 4594   y2. =8093   

y3. =16492   y4. =5080

y 1.

y 2 .

y 3.

y 4 .

 

=135    =225     =471   

=141

 

495Jumlah 138976

Desa

44

Estimasi cara pertama

(dihitung dari kolom (4) tabel 1, masing-masing klaster terpilih) 

yn

yn ii

n

1 1 3 5 2 2 5 4 7 1 1 4 1

4

9 7 2

42 4 3

1.

v yN n

N

s

n nN

M m

M

s

mnb i i

i

w i

ii

n

( )

2 2

1

1

sm

y yw ii

ij ij

mi2 2

1

1

1

( )

sn

y yb i ni

n2 2

1

1

1

( ).

45

Dengan rumus di atas diperoleh:

sw 12 2 2 2

21

3 4 12 6 6 8 9 0 3

4 5 9 4

3 42 4 4 8 1

( . . . .

sw 22 2 2 2

21

3 6 11 2 9 5 7 1 4 7

8 0 9 3

3 63 9 9 1 2

( . . . .

sw 32 2 2 2

21

3 5 12 4 7 6 2 2 9 8 7

1 6 4 9 2

3 51 0 5 3 4 6

( . . . .

sw 42 2 2 2

21

3 6 13 4 7 3 6 2 0

5 0 8 0

3 61 5 9 5 3

( . . . .

46

v y n( )( )

,

1 2 4

1 2

2 4 7 9 2

4

1

4 1 2

1 0 2 3 4

1 0 2

2 4 4 8 1

3 4

1 0 5 3 6

1 0 5

3 9 9 1 2

3 6

2 0 0 3 5

2 0 0

1 0 5 3 4 6

3 5

8 8 3 6

8 8

1 5 9 5 3

3 64 2 1 4 3 7

( ), ,

,y x xn 4 2 1 4 3 7

2 4 31 0 0 %

6 4 9 2

2 4 31 0 0 % 2 6 7 1 %

sb2 2 2

21

4 11 3 5 1 4 1

9 7 2

42 4 7 9 2

( . . . .

RSE

47

Penduga cara ke dua

y

M y

M

x x x xn

i ii

n

ii

n

. ( ) ( ) ( ) (8 8 )1

1

1 0 2 1 3 5 1 0 5 2 2 5 2 0 0 4 7 1 1 4 1

4 9 52 9 1

v yN n

N

s

n nN

M

M

M m

M

s

mnb i i i

i

wi

ii

n

( )

2 2

2

2

1

1

sM

M

y y

nbi i n

i

n2

2

2

2

1 1

( ).

MM

n

ii

n

1 1 2 4

48

Ruas kanan pertama  

Ruas kanan kedua:

dalam contoh ini sama dengan yaitu 124  

sb

22 2 2 20 6 7 1 3 5 2 9 1 0 7 2 2 2 5 2 9 1 2 6 0 4 7 1 2 9 1 0 5 0 1 4 1 2 9 1

4 1

, ( ) , ( ) , ( ) , ( )

3 8 4 0 1 8 7,

N n

N

s

nb

2 1 2 4

1 2

3 8 4 0 1 8 7

4

3 8 4 0 1 8 7

66 4 0 0 3 1

, ,,

11 5 4 8 7

2

2

2

1nN

M

M

M m

M

s

mi i i

i

wi

ii

n

,

M M

49

 

  

v y n( ) , , , 6 4 0 0 3 1 1 5 4 8 7 6 5 5 5 1 8

( ), ,

, y x xn

6 5 5 5 1 8

2 9 11 0 0 %

8 0 9 6

2 9 11 0 0 % 2 7 8 2 %RSE

50

Penduga cara ke tiga

bila diketahui populasi = 124,

 

 

yM y

nM

x x x x

xn

i ii

n

*. ( ) ( ) ( ) (8 8 )

1 1 0 2 1 3 5 1 0 5 2 2 5 2 0 0 4 7 1 1 4 1

4 1 2 4

2 9 0

M

v yN n

N

s

n nN

M

M

M m

M

s

mnb i i i

i

wi

ii

n

( )*

2 2

2

2

1

1

51

Ruas kanan pertama:

sn

M

My y

n

M

My ny

x x x x x

N n

N

s

n

bi

i ni

ni

ii

n

b

*.

*

*

( , , , , )

,

, ,,

2

2

1

2

22 2

1

2 2 2 2 2

2

1

1

1

1

1

4 10 6 7 1 3 5 0 7 2 2 2 5 2 6 0 4 7 1 0 5 0 1 4 1 4 2 9 0

5 4 3 5 1 6 0

1 2 4

1 2

5 4 3 5 1 6 0

4

5 4 3 5 1 6 0

69 0 5 8 6 0

52

1 1

4 8

1 0 2

1 2 44 7 3

1 0 5

1 2 47 2 9

2 0 0

1 2 42 4 8 3

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2nN

M

M

M m

M

s

mx x xi i i

i

wi

ii

n

8 8

1 2 42 6 2 1 5 4 8 7

2

2 x

,

v y n( ) , , ,* 9 0 5 8 6 0 1 5 4 8 7 9 2 1 3 4 7

( ), ,

,*y x xn 9 2 1 3 4 7

2 9 01 0 0 %

9 5 9 9

2 9 01 0 0 % 3 3 1 0 %

Ruas kanan kedua:

RSE

53

Penghitungan di atas merupakan penghitungan nilai rata-rata per elemen.

Apabila dikehendaki penduga total, maka secara umum dihitung dengan rumus: 

disesuaikan dengan ketiga cara penghitungan di atas. 

Y N M y n

v Y N M v y n( ) ( ) 2 2

M

Terima Kasih