Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENCETAHUAN AWAL MATEMATMA SEKOLAH
Oleh:
Dr. H. Aleh Maryunis
JURUSAN PENDIDIKAN M ATEM ATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN
ILMU PENGETAHUAN ALAM
PADANG
1998
PENGETAWAN AWAL M A m T I K A SEKOLAE
oleh :
Dr. ALEKS MARYUNIS
Jurusan Pendidikan M'atematika FPMIPA IKIP Padang
1998
PENGETAHUAN A'A.4L blATEM_4TIKA SEKOLAH
oleh : Dr. Aleks Maryunis
Berbagai t e o r i be la j a r yang men jelaskan bagama-
na proses b e l a j a r t e r j a d i pada d i r i siswa, s e p e r t i Teo-
r i Pemrosesan I n f ormasi, Teori Konst rukt iv is , a t a u Teo-
r i Bela j a r Bermakna, menekankan pentingnya peranan pe-
ngetahuan awal dalam proses be la ja r .
Teori Pemrosesan Informasi (Kein, 1997; Leahey
dan H a r r i s ' , 1997) nenjelaskan bahwa proses b e r p i k i r
a k t u a l yang t e r j a d i dalam memori jangka pendek, d i s a w
t i n g tergantung kepada informasi a t a u masalah 'yang d i -
hadapi, juga sangat tergantung kepada te rsedianya pe-
ngetahuan a t a u skemata. Pada memori jangka pendek t e r -
j a d i proses k o n t r o l berupa p e n s l a n g a n dan penyandian,
Pengulangan menungkinkan informasi i t u t e t a p hidup da-
lam memori jangka pendek, dan dengan penyandian t e r j a -
d i proses penyatuan informasi yang baru d i te r ima de-
ngan pengetahuan awal yang t e r sed ia .
Teor i Konst rukt iv is (NCTM, 1992; D r i s c o l l , 1994)
mengemuk,akan bahwa siswa s e n d i r i l a h yang sebenarnya ber-
tanggungjawab mengkonstruksi pengert ian mengenai konsep
yang sedang d ipe la jar inya . Pembentukan konsep t e r s e b u t
akan sangat di tentukan oleh pengetahuan awal yang dimi-
l i k i siswa.
1
Eegitu pula d a r i Teor i Eklajar Bermakna yang d i k e
mukakan oleh Ausubel (1985) dapat d i k e t a h u i bahwa be la j a r
akan bermakna a p a b i l a in formas i bahan pengajaran baru da-
p a t t e r k a i t dengan s t r u k t u r k o g n i t i f a t a u penge tahuan
awal s i s w a .
Walaupun peranan pengetahuan awal t e r s e b u t t e l a h
d i s a d a r i keutamaannya oleh pa ra guru matematika, namun
masih s e r i n g t imbul pertanyaan t e n t a n g pengetahuan awal
mana yang dianggap menjadi pengetahu-an awal sua tu t o p i k
m a temat ika t e r t e n t u . S e p e r t i misalnya t imbul pertanyaan,
pengetahuan m a n a yang menjadi pengetahuan a w a l untuk me*
p e l a j a r i fungs i kuadra t , mat r iks , l o g i k a matematika, d m
sebagainya.
Berdasarkan hal-ha1 t e r s e b u t d i a t a s , n d - a l a h i n i
ak=m berusaha mengungkapkan dan nembahas apa yang menja-
d i pengetahuan awal b a g i matematika sekolah yang t e r d i r i
a t a s subbidang s t u d i a r i t m e t i k a , a 1 jabar , geometri , dan
kalkulus . Untuk- maksud i t u , akan d iu ra ikan penger t ian
s i s tem matematika, matematika sekolah , pengetahuan awal
untuk masing-masing subbidang s t u d i matematika sekolah,
pengetahuan awal dan pemecahan masalah, s e r t a p roses
akomodasi s ebaga i pengembangan penge tahuan awal .
Peterson (1974) mengemukakan bahwa sua tu s i s tem
mat,ematika dibentuk o leh t i g a komponen utama, y 3 i t u :
a. himpunan,
b, r e l a s i , dan
C. operasi .
Himpunan merupakan sekelompok obyek ( b a i k konk-
r i t maupun a b s t r a k ) yang memil iki c i r i - c i r i t e r t e n t u ,
Obyek-obyek t e r s e b u t s e p e r t i misalnya i d e a t a u h a s i l
pengamatan dapat menjadi anggota a t a u unsur sebuah him-
punan t e r t e n t u .
R e l a s i ada lah bentuk hubungan yang t e r d a p a t an-
tara anggota-anggota a t a u unsur-unsur himpunan t e r s e -
bu t , Persamaan, per tidaksamaan, s i m e t r i , dan ekuivalen-
si, merupakan beberapa contoh r e l a s i . Antara 3 dan 4
t e r d a p a t r e l a s i 3 kurang d a r i 4, a t a u 4 l e b i h d a r i 3 ,
Operasi merupakan manipulas i apa yang dapa t d i -
lakukan te rhadap anggota-anggota a t a u unsur-unsur sebu-
ah himpunan, Penjumlahan, pengurangan, pe rka l i an , dan
pembagian merupakan beberapa contoh operasi . Antara 7 - dan 5 misalnya, dapa t di lakukan o p e r a s i :
a . penjumlahan : 7 + 5
b, pengurangan : 7 - 5
c. pe rka l i an : 7 x 5
d . pemhagian
M ATEM ATIKA' :SEKOLkH
Matematika sekolah ada lah bidang s t u d i matemati-
ka yang d i a j a r k a n d i s ekolah-sekolah, Topik-topik y a x
d i a jarkan diambil d a r i kurikulum yang t e l a h di te tapkan.
Matematika yang d ia j a rkan d i sekolah-sekolah t e r -
d i r i a t a s empat subbidang s t u d i matematika, y a i t u : a r i t -
n e t i k a , a l j a b a r , g e o a e t r i , dan kalkulus .
a, Aritmetika
Aritmetika d ikena l juga dengan nama berhi tung.
Subbidang s t u d i matematika i n i t e l a h d i a jarkan s e jak se-
kolah dasar (SD).
Unsur-unsur utama a r i t m e t i k a adalah bi langan-
bilangan a s l i yang d i sebu t juga bi langan b u l a t p o s i t i f .
Bilangan-bilangan a s l i i n i digunakan untuk menghitung ba-
nyaknya benda a t au obyek s e p e r t i orang, mobil, pohon ka.-.
yu, dan sebagainya. Dengan menambahkan bilangan n o l , ma-
ka himpunan bilangan a s l i i n i d i p e r l u a s menjadi himpunan
bilangan cacah. Begitu se te rusnya dengan menambahkan ber-
t u r u t - t u r u t bilangan b u l a t n e g a t i f , b i langan pecah, b i -
langan i r r a s i o n a l , dan bilangan khayal ; maka b e r t u r u t -
t u r u t d ipero leh himpunan bilangan b u l a t , himpunan bilang-
a n r a s i o n a l , himpunan bilangan r e a l , dan himpunan bilang-
an kompleks.
Re las i utama pada a r i t m e t i k a adalah r e l a s i :
a ) sama dengan,
b) l e b i h d a r i , dan
c ) kurang da r i .
Operasi-operasi dasar pada a r i t m e t i k a adalah :
a ) pen jumlahan , b) pengurangan,
c ) perka l ian , dan
d) pembagian
Dalam banyak ha1 t e r d a p a t persamaan a n t a r a a l j a b a r
dan a r i t m e t i k a , Perbedaan a n t a r a keduanya ada lah j i k a pa-
da a r i t m e t i k a hanya bi langan-bi langan t e r t e n t u yang diope-
r a s ikan , maka pada a l j a b a r di samping bilangan-bilangan
t e r t e n t u dioperasikan juga unsur-unsur berupa lambang-
lambang yang menyatakan bilangan.
Secara umum obyek-obyek a l j a b a r d i s e b u t bentuk-ben-
t u k a l j a b a r . Sebuah bentuk a l j a b a r dapa t merupakan :
a ) bi lzngan t e r t e n t u , s e p e r t i : 2 , 3 , 10 , 3 , dan sebagai-
b) sebuah lambang huru f , s e p e r t i : a, b, x , y ,
c ) kombinasi a n t a r a bi langan t e r t e n t u dan lambang huruf , 2
s e p e r t i : 2 + a , ' a + b, x + 1, t - 5t + 6, dan sebagai-
nya . R e l a s i - r e l a s i utama pada a l j a b a r ada lah :
2 a ) persamaan, s e p e r t i : 3x + 1 = 10 , x - 4 = 0, dan se-
bagainya,
b) pertidaksamaan, s e p e r t i : 3x + 1 10, y - 1 5, dan
sebagainya , dan
c ) r e l a s i f u n g s i yang dinyatakan dalam bentuk persamaan
s e p e r t i : y = f ( x ) , y = f (x-1) , d m sebagainya,
S e p e r t i halnya dengan a r i t m e t i k a , ope ras i -ope ras i
dasar pada a l j a b a r ada lah :
a ) pen jumlahan,
b ) pengurangan,
c ) perk31ican, d m
d) peabagian
D i samping obyek-obyek berupa bentuk-bentuk a l j a -
b a r , obyek-obyek utama pada geometr i ada lah t i t i k dan ga-
ris (Moise dan Downs, 1964; Bernkopf, 1975). Sebuah ti-
t i k t i d a k memiliki ukuran s e p e r t i panjang a t a u l e b a r . Se-
buah t i t i k hanya menyatakan sebuah p o s i s i . Begitu pula
dengan sebuah g a r i s , t i d a k memil iki ukuran s e l a i n ukuran
panjang. Secara a b s t r a k dinyatakan bahwa t i t i k dan g a r i s
hanya ada sebaga i ide .
R e l a s i - r e l a s i pada geometr i yang banyak dikemuka-
kan dalam matematika sekolah ada lah : . a ) r e l a s i - r e l a s i pada a r i t m e t i k a dan a l j a b a r ,
b ) berimpitan,
c ) b e r s i l a n g m ,
d) s e j a j a r ,
e ) bers i langan ,
f ) berpotongan,
g ) sebangun,
h ) sama dan sebangun,
Operasi -operas i d a s a r geomet r i yang banyak d i -
kemukakan dalam matematika sekolah ada lah :
a ) ope ra s i -ope ra s i d a s a r yang be r l aku pada a r i t m e t i k a
dan a1 jabar ,
b) d i l a t a s i ,
c ) t r a n s l a s i ,
d) r o t a s i , dan
e ) transformasi . ,
Obyek-obyek, r e l a s i - r e l a s i , dan ope ra s i -ope ra s i
yang t e r d a p a t pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan geometr i ,
juga t e r d a p a t dalam k a l k u l u s , Fungsi- fungsi s e p e r t i
y = f ( x ) , y = (u,v), dan sebagainya, merupakan obyek-
obyek utama d a r i kalkulus .
D i samping ope ra s i -ope ra s i da sa r yang t e r d a p a t
pada a r i t m e t i k a , a l j a b a r , dan geometr i , operas i -opera-
s i yang men j a d i c i r i utama k a l k u l u s ada lah :
a ) p e n d i f e r e n s i a l a n , dan
b ) pengin tegra lan ,
Kedua o p e r a s i ini memegang peranan yang sanga t pen t ing
ba ik dalam matematika murni maupun dalam matematika te-
rapan. Dalam mekanika misalnya, j a r a k yang ditempuh
o leh sebuah obyek yang bergerak d i t en tukan o l e h kece-
patan dan waktu, y a i t u j i k a v a r i b e l - v a r i a b e l l a i n n y a
dianggap konstan, J i k a kecepatam mengalami perubahan
s e t i a p s a a t , makn perhi tungan d i lakukan dengan menggu-
nakan ka lku lus ,
4. PENGETWAN AWAL
Pengetahuan awal merupakan pengetahuan yang su-
dah ada dalam memori jangka panjang seseorang. Pengeta-
huan awal ini juga s e r i n g d i s e b u t skema, s t r u k t u r kog-
n i t i f , a t a u l a n d a s d a t a (Bower dan EEilgard, 1986; Rey-
no ld dan Flagg, 1983; Le f r anco i s , 1995).
Leahey dan Harris (1985, 1997) mengemukakan bah.-
w a gagasan awal d a r i pengetahuan awal a t a u skema ini
t e l a h dikemukakan s e j a k nasa a h l i f i l s a f a t Immanuel
Kant dan a h l i f i s i o l o g i S i r F rede r i ck B a r t l e t t yang me-
nyatakan bahwa konsep hanya memil iki a r t i b a g i s e se -
orang j i k a konsep i t u dapa t dihubungkan dengan pengeta-
huan awal yang t e l a h d imi l ik inya ,
Pengetahuan awal a t a u skema merupakan sa tuan da-
sar untuk merepresentas ikan pengetahuan. Obyek i n d i v i -
dua l , p e r i s t i w a , a t a u i d e a b s t r a k d i r e p r e s e n t a s i k a n da-
l a m memori dalam bentuk skema (Eysenc, 1984; Hergenhahn
dan Oslon, 1997). Dengan demikian pengetahuan lawal a t au
skema merupakan bangunan penge r t i an mental seseorang
t en t ang apa-apa yang pernah d i a l a m i a t a u d i p e l a j a r i n y a ,
Misalnya konsep t e n t a n g kecepa tan ( v ) , waktu ( t ) , dan
ja rak yang ditempuh ( s ) pada s u a t u gerak p e r j a l a n a n
yang berAturan, dapnt ters impan s e c a r a t e r p i s a h l e p a s
s a t u sama l a i n , a t a u dalam hubungan bahwa j a r a k yang di-
tempuh sama dengan kecepatan d i k a l i waktu ( s = v. t ) ,
v s
w -- - dalnm waktu t
Begitu pula pada konsep t e n t a n g a l a s ( a ) , t i n g g i ( t ) ,
dan l u a s s e g i t i g a (L) dapat ters impan sebaga i pengeta-
huan awal s e c a r a t e rp i sah -p i sah l e p a s s a t u sama k i n ,
a t a u tersimpan dalam bentuk hubungan bahwal l u a s sebu-
ah s e g i t i g a sama dengan setengah panjang alas d i k a l i
t i n g g i (L = 3 a t ) .
Dar i kedua contoh d i a tas dapa t d inyatakan bahwa
pada contoh pertama, konsep kecepa tan ( v ) dan waktu ( t )
dapa t dipandang s e b a g a i d i r i n y a s e n d i r i a t a u s e b a g a i
komponen d a r i konsep j a r ak yang ditempuh ( s = v t ) . Begi-
t u pu la pada contoh kedua, a las ( a ) dan t i n g g i (t) da-
p a t dipandang s e c a r a t e rp i sah -p i sah , a t a u dipandang se-
baga i komponen l u a s s e g i t i g a (L = 3 a t ) .
Skemp (1981) mengemukakan adanya konsep ordo l e -
b i h t i n g g i dan konsep ordo l e b i h rendah. Konsep j a r a k
yang ditempuh ( s = v t ) memil iki ordo yang l e b i h t i n g g i
dar ipada konsep kecepatan ( v ) dan waktu ( t ) , Begi tu pu-
l a konsep l u a s s e g i t i g a (L = + a t ) memil iki ordo yang le-
b i h t i n g g i da r ipada konsep alas ( a ) dsn t i n g g i ( t ) ,
Oleh karena i t u s e p e r t i dikemukakan s e l a n j u t n y a
o leh Skemp ( l 9 8 1 ) , j i k a seseorang akan mempelajar i
sebuzih konsep matematika, maka d i a t e r l e b i h dahulu ha-
r u s memiliki pengetahuan awal yang l e b i h rendah yang me-
rupakan komponen konsep matematika yang a k m d i p e l a j a r i
i t u , D i s m p i n g i t u d i a juga h a r u s memil iki pengetahu-
an awal t en t ang n o t a s i dan ope ra s i -ope ra s i yang d iper lu-
kan s e r t a segenap a tu ran -a tu ran a t a u prosedur-prosedur
pengerjaan h i tung . S e l a i n i t u d ipe r lukan pu la pengetahu-
an mengenai teorema-teorema a t a u rumus-rumus yang menya-
takan r e l a s i yang t e r d a p a t dalam s i s t e m matena t ika t e r -
t e n t u ,
5 PENGETAHUAN A1.UAL MATEN A T I K h SEKOLAH
D a l a m b e l a j a r matematika d i s eko lah , pengetahuan
awal matematika sekolah yang d i m i l i k i siswa t e r d i r i atas
penge tahuan be rbaga i s a tuan bahasan subbidang s t u d i m a -
temat ika yang t e l a h d i p e l a j a r i n y a , J i k a d i l i h a t d a r i ba-
nyaknya sa tuan bahasan s e t i a p subbidang s t u d i matemati-
ka t e r s e b u t yang t e l a h d i p e l a j a r i s i s w a d a r i SD, k e l i -
ha tan seolah-olah pengetahuan awal matematika t e r s e b u t
sangat banyak dan sanga t beraneka ragam,
Namun j i k a d i l i h a t d a r i konseps i matematika seba-
g a i sua tu s i s t e m , maka pengetahuan awal matematika t e r -
s ebu t untuk s e t i a p subbidang s t u d i dapa t dikelompokkan
ke dalam :
a ) pengetahuan awal t en t ang himpunan obyek matematika,
b) pengetahuan awal t e n t a n g r e l a s i a n t a r a obyek-obyek
11
himpunan matematika t e r s e b u t , dan
c ) pengetahuan awal t e n t a n g ope ras i -ope ras i yang dapat
dilakukan a n t a r a obyek-obyek himpunan matematika
te rsebut .
I Obyek-obyek a t a u unsur-unsur himpunan matematika
s e p e r t i bilangan-bilangan t e r t e n t u , huruf-huruf, maupun
berbagai bentuk a l j a b a r l a innya dapa t dijumpai pada se-
t i a p s i s tem matematika. Begitu pu la r e l a s i - r e l a s i seper-
t i persamaan dan pertidaksamaan, s e r t a operas i -operas i
s e p e r t i penjumlahan dan pe rka l i an , d spa t dijumpai pada
s e t i a p s i s tem matematika.
Berdasarkan u r a i a n d i a t a s dapat dinyatakan bah-
via himpunan, r e l a s i , dan o p e r a s i yang mendasar ini me-
rupakan pengetahuan awal yang pen t ing dalzm b e l a j a r rna-
t e n a t i k a sekolah. Pengetahuan awal t e r s e b u t be r fungs i
I sebagai pengetahuan p r a s y a r a t yang sangat berperan da-
l a m menentukan k e s i a p n b e l a j a r siswa.
I . Sebagai i l u s t r a s i misalnya siswa-siswa SLTP d i -
minta menjawab a t a u nenyelesaikan berapakah 18 - (3-4) ?
I Ada beberapa kernungkinan jawaban yang akan d ibe r ikan
siswa-siswa SLTP t e r s e b u t , y a i t u :
(a) 18 - (3 - 4 ) = t i d a k tahu karena t i d a k memiliki pe-
ngetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i dan u ru tan pengerja-
an hitung. Atau s e p e r t i kebanyakan siswa yang ti-
dak memiliki dasa r pengetahuan akan menjawab misal-
nya s e p e r t i : 18 - ( 3 - 4) = 18 + 7 = 25
( b ) 18 - (3 - 4 ) = 11, dalam ha1 i n i siswa mengabaikan
tanda kurung, a t a u karena t i d a k memil iki pengetahuan
awal t e n t a n g konsekuensi menghilangkan t anda kurung
t e rhadap perubahan tanda b i l angan p o s i t i f a t a u nega-
t i f . J a d i siswa mengerjakan o p e r a s i 18 - ( 3 - 4 ) s e
p e r t i mengerjakan 18 - 3 - 4 = 11.
( c ) 18 - ( 3 - 4) = 17, dalam ha1 i n i siswa mengetahui
u ru t an penger jaan h i t u n g y a i t u nenger jakan yang d i
dalam t anda kurung t e r l e b i h dahulu y a i t u 3 - 4 = -1 , t e t a p i s i s w a t e r s e b u t t i d a k mengetahui konsekuensi
menghilangkan tanda kurung t e rhadap perubahan tanda
n e g a t i f a t a u p o s i t i f . Siswa t e r s e b u t mengerjakan ope-
rasi 18 - ( 3 - 4) = 18 - 1 = 17
( d ) Siswa-siswa yang menguasai ope ra s i -ope ra s i d a s a r dan
u r u t a n penger jaan h i t u n g akan menger jakan s e p e r t i be-
r i k u t :
1 8 - ( 3 - 4 ) = 18 - (-1)
. = 1 8 + 1
= 19
Sebagai i l u s t r a s i l a i n misalnya seorang siswa SMU
dimin ta menyelesaikan berapakah 5 3 ? Untuk dapa t men ja-
wab per tanyaan i n i , pertama-tama s i swa SMU t e r s e b u t harus
memil iki pengetahuan awal mengenai konsep b i langan ber -
pangkat n e g a t i f yang d i d e f i n i s i k a n dengan :
Se te l ah penge r t i an konsep b i langan berpangkat n e g a t i f di-
inga tnya kembali , maka b u t i r - b u t i r pengetahuan s e p e r t i
5' = 5.5.5, dan 5 x 5 x 5 = 125 yang pernah d i p e l z r i n y a
d i S D maupun SLTP h a r u s dapa t d ipanggi lnya kembali d a r i
memori jangka panjangnya. J i k a pemanggilan kembali t e rh -
dap pengetahuan awal i n i gaga l , maka s iswa t e r s e b u t ti-
dak dapat memberikan r e spons yang benar t e rhadap s t imu-
l u s yang d i te r imanya y a i t u berapakah 5-3. J i k a d i l i h a t
d a r i konsep ordo yang l e b i h t i n g g i dan ordo yang l e b i h
rendah, maka ordonya dapa t d i l i h a t pada diagram b e r i k u t :
T I N G G I
REND AH 5 x 5 ~ 5 = 9 ........ ordo 1
Contoh l a i n misalnya pada penye lesa ian persamaan
kuadra t : x2 - 5x + 4 = 0 akan d i t en tukan harga-harga x
mana yang memenuhi persamaan k u a d r a t t e r s e b u t . ~ i a dua
ha rga x, y a i t u xl dan x2 yang d i h i t u n g dengan menggunakm
s e t e l a h melakukan s u b s t i t u s i n i l a i a = 1, b = -5, dan
C = 3, maka d ipe ro l eh : v
Agar dapat menentukan berapa besarnya harga xl
dan x2 dengan benar d iper lukan dasar -dasar pengetahuan
awal yang a n t a r a l a i n n e l i p u t i :
a ) o p e r a s i pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n , dan pem-
bagian,
b ) s i s t em b i langan b u l a t (yang mengandung b i langan b u l a t
p o s i t i f dan n e g a t i f ,
c ) b i langan r a s i o n a l (yang mengandung b i langan pecahan),
d ) b i langan i r r a s i o n a l (bentuk a k a r ) , dan
e ) u r u t a n penger jaan h i tung .
J i k a d i t e r u s k a n dengan c ontoh-c ontoh pemecahan so-
a1 matematika yang l e b i h t i n g g i , maka akan dapa t d i k e t a -
h u i bahwa pengetahuan awal yang d iper lukan s e b a g a i penge-
tahuan p r a s y a r a t akan semakin banyak, Hal i n i memperjelas
h a k i k a t matematika yang b e r s i f a t h i r a r k i s , s e r t a mengapa
matematika i t u semakin t e r a s a suka r j i k a dasar -dasar pe-
ngetahuan awal t i d a k banyak yang d ikuasa i .
6 , PENGETAHUAN AW-AL DAN PEMECAHAN MASALAH
Dua contoh yang dikemukakan sebelumnya pada kon-
s e p ordo yang l e b i h t i n g g i dan ordo yang l e b i h rendah un-
mengenai j a r ak yang ditempuh s e r t a l u a s s g i t i g a , s e r t a
s o a l - s o a l : berapakah 5-3 ? , berapakah 18 - ( 3 - 4) ?.:, 2 s e r t a penye lesa ian persamaan k u a d r a t x - 5x + 4 = 0 ;
keaemuanya- 1Cu merupak-an c ontoh-contoh keg ia t an b e r p i k i r
dalam matematika yang d i s e b u t pemecahan masalah,
Wickelgren (1974) mengemukakan bahv~a sebuah masalah d i -
susun o leh t i g a j e n i s i n fo rmas i yang nencakup :
a. in formas i mengenai apa yang d i k e t a h u i t e n t a n g masa-
l a h , b, i n fo rmas i mengenai t indakan- t indakan (operas i -opera-
s i ) yang h a r u s d i lakukan , dan
c , in formas i t e n t a n g t u j u a n apa yang h a r u s d i c a p a i pa-
da pemecahan masalah t e r s e b u t ,
Sebagai contoh misalnya : Berapakah
a. In fo rmas i me Bentuk pen jumlahan
ngena i apa b i langan pecahan yang d i k e t a h u i 1 t e n t a n g masa-
GI/ l a h ,
I Berapakah b. Informas i t e n - 9Samakan genyebut
t a n g t indakan IUI .pa yang ,,,us
kedua pecahan dan
lakukan pen jum-
\ di lakukan l ahan
4/ c , In fo rmas i t e n -
t a n g t u j u a n pemecahan m a -
s a l a h : h a s i l pen- jumlahan t
Pada masalah i n i , i n fo rmas i t en t ang t indakan apa
yang h a r u s di lakukan mempersyaratkan pemanggilan kemba-
li informas i mengenai pengetahuan awal t e n t a n g o p e r a s i
penjumlahan dan prosedur menyamakan penyebut pecahan,
Contoh be r iku tnya : Se le sa ikan lah 2x + 4 = 16
a. Informas i me- + Persamaan li-
ngena i apa n e a r : yang d i k e t a h u i 2x + 4 = 1 6 t e n t a n g rnasa- p-( lab
Se le sa ikan lah 3 b, In fo rmas i t en- + Pindahkan ang-
2x + 4 = 1 6 t a n g t indakan k a 4 ke r u a s
apa yang h a r u s kanan : di lakukan
Bagi masing-
masing r u a s
dengan 2 :
4' 6. In fo rmas i t en -
t ang t u j u a n
pemecahan ma-
s a l a h :
Pada contoh d i atas d ipe r lukan pengetahuan awal t en-
t a n g a r t i k a t a s e l e s a i k a n l a h , Yang dimaksud dengan pe-
nye l e sa i an sebuah persamaan dengan v a r i a b e l x ada lah
menentukan n i l a i v a r i a b e l x t e r s e b u t . Juga d iper lukan
pengetahuan awal tensang s i f a t - s i f a t o p e r a s i pada se -
buah persamaan y a i t u bahwa : pemindahan bentuk a l j a b a r
d a r i r u a s k i r i ke r u a s kanan a t a u seba l iknya akan me-
ngubah tanda bentuk a l j a b a r t e r s e b u t , b e g i t u p u l a
t e r d a p a t ketentuan bahwa sebuah persamaan t i d a k berubah
harganya a p a b i l a kedua r u a s persamaan t e r sebu t d i b a g i
dengan bentuk a1 j a b a r yang sama.
Dar i kedua contoh t e r s e b u t d i a t a s dapat d ike t a -
h u i bahwa untuk memecahkan sebuah masalah matematika d i -
perlukan pengetahuan awal untuk :
a . menafsirkan apa yang d i k e t a h u i dan apa yang menjadi
tu juan pemecahan masalah, dalam ha1 i n i s anga t diper-
lukan kemampuan untuk menerjemahkm. pernyataan-pernya-
t aan v e r b a l yang t e r d a p a t dalam sebuah masalah ke da-
l a m bentuk model-model matematika,
b. melakukan manipulas i t e rhadap apa yang d i k e t a h u i d a r i
masalah, y a i t u berupa a turan-a turan o p e r a s i a t a u pe-
nger jaan h i t u n g , s i f a t - s i f a t a t a u runus-runus dan se -
bagainya.
Dengan perka taan lain dapa t dikatakan bahwa in-
formasi mengenai apa yang d i k e t a h u i t e n t a n g masalah s e -
c a r a langsung akan dapat d i k e t a h u i a p a b i l a dalam masalah
t e r s e b u t s e c a r a j e l a s t e l a h dinyatakan bentuk a l j a b a r
a t a u r e l a s i yang h a r u s d i s e l e s a i k a n . S e l a i n i t u , j i k a
masalah t e r s e b u t masih dalam bentuk pernyataan v e r b a l ,
maka ungkapan v e r b a l t e r s e b u t h a r u s diterjemahkan t e r l e -
b ih dahulu ke dalam bentuk a l j a b a r a t a u r e l a s i a n t a r a
bentuk-bentuk a l j a b a r yang b iasanya dinyatakan dalam mo-
del-model matematika berbentuk persamaan a t a u p e r t i d a k -
samaan .
Sebagai contoh misalnya pe rha t ikan lah persoa lan b e r i k u t :
Seorang ayah membelan jakan uangnya sebanyak 4 5.000,- kemudian sisa uangnya dibagikannya kepada k e t i g a a n a h y a , Jika masing-masing anaknya memperoleh F$ 400,- be rapa uang ayah semula ?
Model matematika yang d iper lukan untuk memecahkan
masalah t e r s e b u t d i t en tukan sebaga i b e r i k u t :
a, Misalkan uang ayah semula x
b, S i s a uang ayah s e t e l a h dibe-
l an j akan F) 5.000,- . x - 5000
c. S i s a uang ayah t e r s e b u t d i -
bagikan kepada k e t i g a anak,
s e t i a p anak memperoleh
d, Masing-masing anak mempero-
l e h 400,- i n i b e r a r t i x - 5000 = 400 . 3
e , Model matematika yang d i -
pero leh : x - 5000 = 1200
* Informas i t e n t a n g t indakan- t indakan yang h a r u s
dilakukan t e rhadap apa yang d i k e t a h u i t en t ang masalah
merupakan in fo rmas i t e n t a n g prosedur s e r t a o p e r a s i yang
ha rus di lakukan t e rhadap bentuk a l j s b a r a t a u rslasi an-
tara bentuk-bentuk a l j aba r t e r s e b u t . Selan ju tnya , Fnfor-
n a s i t en t ang tu juan pemecahm masalah dapat berupa :
a , h a s i l operasi pen jumlahan, pengurangan, p e r k a l i a n ,
d m pembagian,
b. penentuan n i l a i s a t u a t a u l e b i h v s r i a b e l ,
c. nenentukan perbandingan,
d. melakukan pembuktian,
e m dan sebagainya,
~ e r d a s a r k x i u r a i a n d i atas b e r i k u t contoh-con-
toh yang dikemukakan, maka s e c a r a umum dapat dikernuka-
k m bahwa pengetahuan ten tang :
a. himpunzn obyek-objek maternatika,
b, n o t a s i , d e f i n i s i , s e r t a rumus dan teorema,
c . kemampuan mener jemahkan sua tu pernyataan v e r b a l ke
dalam bentuk model matematika,
d. kemampuan melakukan o p e r a s i (pen jumlahan, pengurang-
an , pe rka l i an , pembagian, t r a n s l a s i , r o t a s i , pendi-
f e r e n s i a l a n , pengin tegra lan , dan l a i n - l a i n ) s e s u a i
a t u r a n pengerjaan h i t u n g te rhadap obyek-obyek yang
t e r d a p a t pada s i s tem matematika t e r t e n t u ,
e. prosedur penyelesaian r e l a s i matematika s e p e r t i pe-
nye lesa ian persamaan dan pertidaksamaan,
merupakan sebagian besa r pengetahuan awal yang d iper -
lukan siswa untuk melakukan a n a l i s i s dan s i n t e s i s t e r -
hadap informas i pengajaran matematika yang diterimanya,
7. PROSES AKOMODASI SEBAGAI PROSES PENGEMBANGAN
PENGETAHUAN AWAL
Proses menghubungkan in fo rmas i baru dengan pe- .
ngetahuan awal yang sudah ada , menurut P iage t , dapat
t e r j a d i dalarn dua ben tuk y a i t u a s i m i l a s i dan akornoda-
s i (Skemp, l981) , As imi las i ada lah penyesuaian
informasi baru dengan pengetahuan awal yang sudah ada
tanpa menimbulkan perubahan pada pengetahuan awal i t u ,
sedangkan akomodasi merupakan penyesuaian informasi ba-
r u dengan pengetahuan awal yang ada dengan menimbulkan
perubahan pada s t r u k t u r dasar pengetahuan awal.
Dalam b e l a j a r matematika dapat dikemukakan sebu-
ah contoh sebagai b e r i k u t . J i k a seorang siswa t e l a h
memiliki pengetahuan awal a t a u skema sistem bilangan
as l i , maka uengan proses asimilasi d i a dapat memecahkan
masalah s e p e r t i 3 + 4 a t a u 3 x 5. Dalam melakukan peme-
cabs masalah i n i t i d a k t e r j a d i perubahan s t r u k t u r da-
s a r skema karena pemecahan masalah nas ih berada dalam
sis tem bilangan as l i . Namun jika kemudian kepada siswa
+ sedangkan siswa tersebut i t u diberikan masalah 3 ' belum memiliki skema s e l a i n skema bi langan a s l i , maka
skema bilangan a s l i yang d imi l ik inya t i d a k mampu mem-
4 . H a l i n i . disebab- bantu menyelesaikan masalah 2 +
1 kan karena 7 dan bukan anggota bi langan a s l i t e t a p i 5 *
nerupakan anggota bi langan r a s i o n a l (bi langan pecahan).
Oleh karena i t u skema bilangan a s l i yang ada dalam me-
mori jangka pan jang per lu dikembangkan.
Siswa-siswa yang t i d a k b e r h a s i l mengembangkan
skema bilangan a s l i menjadi skema bi langan r a s i o n a l
1 s e r i n g mencoba menjawab masalah 2 + dengan c a r a : 5
. .
Jawaban yang d ibar ikan siswa hi s a l a h , dan kesalahan
yang dibuatnya ada lah kesalahan yang rnendasar, Jawaban
yang benar adalah :
Kesalahan yang mendasar hi pada umumnya t e r j a d i
j i k a p roses pengajaran rnatematika t i d a k b e r h a s i l menge*
bangkan pengetahuan awal yang d i m i l i k i siswa. Sebagai
sua tu bidang s t u d i yang b e r s i f a t h i r a r k i , matematika
pe r lu d i a j a rkan dengan menekankan proses akomodasi. Ji-
ka ini t i d a k b e r h a s i l , maka matematika &an semakin su-
lit d i p e l a j a r i s i s w a , dan guru akan menghadapi banyak
kesukaran dalam mengajarkan matematika.
Pengetahuan awal memegang peranan pent ing dalam
proses penerimaan, pengolahan, dan penyimpanan i n f orma-
si, Pengetahuan awal i t u sudah ada dalam memori jangka
panjang dan s e r i n g d i s e b u t sebaga i skema, s t r u k t u r kog-
n i t i f , a t au l a n d a s da ta ,
Pengetahuan awal matematika secara umum dapat
dipandang sebaga i pengetahuan be rbaga i subbidang s t u d i
matematika yang t e l a h d i p e l a ja r i siswa, Secara khusus
s e s u a i dengan konsepsi..matematika sebagai suatu s i s tem
yang dibentuk o leh berbagai komponen, maka untuk s e t i a p
subbbidang s t u d i matematika sekolah ( a r i t m e t i k a , alja-
bar , geometri , dan ka lku lus ) pengetahuan awal yang sa-
ngat diper lukan untuk mempelajari materi p e l a j a r a n baru
maupun dalam pemec,?han rnasalah matematika adalah :
a, pengetahuan awal t en tang himpunan matematika yang m e -
ngandung unsur-unsur utama s e p e r t i : bi langan, huruf
a t a u n o t a s i yang menyatakan bi langan, bentuk-bentuk
a l j a b a r , t i t i k dan g a r i s , d m sebagainya.
b. pengetahuan awal t en tang r e l a s i a n t a r a unsur-unsur
rnatematika, s e p e r t i : persanaan, pertidaksamaan, r e -
l a s i fungs i , kesebangunan, ke samasebangunan, dan se-
bagainya.
c, pengetahuan awal t e n t a n g operas i -operas i yang dapat
dilakukan te rhadap unsur-unsur sebuah himpunan mate-
matika, s e p e r t i : penjumlahan, pengurangan, perkali.9-
an , pembagian, d i l a t a s i , r o t a s i , t r a n s l a s i , pendife-
r e n s i a l a n , pengin tegra lan , dan ,sebagainya.
Untuk me la t ih mengingat dan mengaplikasikan pe-
ngetahuan awal t e r s e b u t dapat di lakukan me la lu i p roses
a s i m i l a s i , namun pengembangan pengetahuan awal p e r l u di-
lakukan me la lu i p roses akomodas i , -ya i tu aga r pengetahuan
awal t e r s e b u t s e l a l u dapat d i sesua ikan dengan permasa-
lahan matematika yang penuh keanekaragaman.
D A F T A R B A C A A N
Ausubel, David P, (1985) "Learning a s Construct ing Mean- ing", Dalam New D i r e c t i n s i n Educational Ps~cho logy , ed, Noel Entwist le . London : The Falmer P ress ,
Bernkopf , Michael (19'75) Mathematics. An Appreciation, Boston : Houghton K a f f l i n Co,
Bower, Gordon H e ; Hilgard, Ernes t Re (1986) Theories of beaming, New Delhi : Pren t i ce Ha l l of Ind ia ,
Dr i sco l l , Mercy P, (1994) Psycholom of learn in^ f o r In- s t r u c t i o n , Boston : Allyn and Bacon,
Eysenck, M c h a e l W e (1984) A Handbook of C o ~ n i t i v e Psg- c h o l o a . London : Lawrence Erlbaum Associates ,
Hergenhahn, B.R. ; Olson, Matthew EE, (1997) Theories of Learninq. Upper Saddle River, New Je r sey : Pren t i - c e-Hal1 Inc ,
Klein, Stephen B. (1997) Learning, P r i n c i v l e s and A ~ p l i - c a t ions , New York : McGraw-Kill Book Company.
Leahey, Thomas H e ; Harris, Richard J. (1985) Human Learn- a, Englewood C l i f f s , New Je r sey : Prent ice-Hall Inc ,
Leahey, Thomas K,; Harris, Richard J, (1997) Learninq and Cognition. Upper Saddle River, New J e r s e y : Prentice-Hall Inc ,
Lefrancois , Guy R. (1995) Theories of Human Learninq, Kro's Reports.
Moise, Edwin E,; Downs, Floyd La (19bO) Geometr~.. Don M i l l , Ontar io : Addison Wesley (Canada) Limited,
NCTII (1992) Cons tuc t iv i s t Views on t h e Teaching and Le- arninq, Reston, Virg in ia : NCTM.
Peterson, John Me (1974) Basic Concept of Elementary Mathematics. Boston : Pr ind le , Weber and Schmidt, Inc .
Reynolds, Allan G. ; ' Flagg Pa= W. (1983) Cognit ive PSY- cho lom, Boston : ~ i t t l e , Brown and Company.
Wickelgren, Wayne (1974) How t o Solve Problem Solving. San Fransisco : W.H. Freeman and Conpany.