Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PENENTUAN NILAI TOTAL KETIDAKTERATURAN TITIK GRAF GRID
Sitti Ardianty Badawi1*), Nurdin2), Jusmawati3)
Departemen MAtematika Fakultas Matematika danIlmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin
Jln.Perintis Kemerdekaan,, Makassar, Indonesia,Kode Pos 90245
ABSTRAK
Penentuan nilai ketidakteraturan dan nilai total ketidakteraturan titik dari semua graf belum
dapat dilakukan secara lengkap. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai total
ketidakteraturan titik graf grid 𝐺𝑛2 untuk 𝑛 ≥ 2.
Penentuan nilai total ketidakteraturan titik graf grid 𝐺𝑛2 dilakukan dengan menentukan
batas bawah terbesar dan batas atas terkecil. Batas bawah dianalisis berdasarkan sifat-sifat graf
dan teorema pendukung lainnya, sedangkan batas atas dianalisis dengan pemberian label pada titik
dan sisi pada graf grid.
Berdasarkan hasil penelitian ini diperoleh nilai total ketidakteraturan titik graf grid adalah
𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) = ⌈𝑛2+2
5⌉.
Kata Kunci : Graf Grid, Nilai Ketidakteraturan, Nilai Total Ketidakteraturan Titik.
1. PENDAHULUAN
Matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mendasari berbagai macam ilmu lain,
dimana matematika selalu menghadapi berbagai macam fenomena yang semakin kompleks. Hal
ini disebabkan karena kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi. Teori graf merupakan salah satu
cabang matematika yang penting dan banyak manfaatnya karena teori-teorinya dapat diterapkan
untuk memecahkan masalah. Hartsfield dan Ringel (2003) mendefinisikan suatu graf 𝐺 sebagai
suatu pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 tidak kosong dan 𝐸 bisa kosong. Himpunan 𝐸
merupakan himpunan pasangan tak terurut dari elemen 𝑉. Elemen 𝑉 disebut titik dari 𝐺 dan
elemen 𝐸 disebut sisi dari 𝐺. Biasanya titik digambarkan dengan titik-titik pada bidang dan
sisi digambarkan dengan garis yang menghubungkan dua titik pada bidang. Dengan demikian,
suatu graf dapat didefinisikan sebagai suatu pasangan terurut antara himpunan titik 𝑉 dan
himpunan sisi 𝐸 yang dinotasikan dengan 𝐺 = (𝑉, 𝐸).
Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf yang semakin berkembang, baik
secara teoritis maupun dalam aplikasi. Pelabelan graf didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang
memetakan himpunan bagian dari unsur-unsur dari graf ke suatu himpunan bilangan (umumnya
himpunan bilangan bulat positif atau non-negatif), yang diperkenalkan oleh Sedláček (1963).
Pelabelan dengan domain titik disebut pelabelan titik, pelabelan dengan domain sisi disebut
pelabelan sisi, serta pelabelan dengan domain gabungan titik dan sisi disebut pelabelan total
(Wallis,2007).
Salah satu jenis pelabelan pada graf adalah pelabelan tidak teratur. Pelabelan tidak teratur
(irregular labeling) pada graf G didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memetakan sisi dari
G kehimpunan bilangan bulat positif, sedemikian sehingga semua titiknya mempunyai bobot
yang berbeda (Chartrand dkk, 1988)
Graf yang akan diberi label dalam skripsi ini disebut graf grid sebanyak n titik yang diberi
simbol 𝐺𝑛2 di mana 𝑛 ≥ 2. Definisi formal graf grid akan diberikan kemudian pada Bab II
Tinjauan Pustaka.
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Jenis-Jenis Graf
Definisi 2.4.1 Graf lintasan dengan n titik dan n-1 sisi, dimana n ≥ 2, dinotasikan dengan
𝑃𝑛 adalah graf dengan barisan titik 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛 dan 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 ∈ 𝐸(𝑃𝑛), 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 −
1 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑖 ≠ 𝑣𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≠ 𝑗.
𝑃2 𝑃3 𝑃4
Gambar 2.4. Graf Lintasan
Definisi 2.4.2 Graf lingkaran dengan n titik dan n sisi dimana 𝑛 ≥ 3 merupakan graf
terhubung yang dibentuk dari lintasan tertutup yaitu lintasan yang berawal dan berakhir
pada titik yang sama, dimana setiap titiknya berderajad 2 dan masing-masing titiknya
dilalui tepat satu kali. Graf lingkaran dinotasikan dengan 𝐶𝑛.
𝐶3 𝐶4 𝐶5
Gambar 2.6. Graf Siklus
Definisi 2.4.3 Graf grid adalah graf yang merupakan hasil kali cartesius dari graf
lintasan 𝑃𝑛 × 𝑃𝑛 . Graf grid dengan 𝑛 × 𝑛 titik dinotasikan dengan 𝐺𝑛2 (Weisstein dan
Eric W).
Misalkan diberikan graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃3. Graf grid 𝐺32 diperoleh dari hasil kali cartesius
dari graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃3.
𝑢3 𝑣3 (𝑢3, 𝑣1) (𝑢3, 𝑣2) (𝑢3, 𝑣3)
𝑢2 𝑣2 (𝑢2, 𝑣1) (𝑢2, 𝑣2) (𝑢2, 𝑣3)
𝑢1 𝑣1 (𝑢1, 𝑣1) (𝑢1, 𝑣2) (𝑢1, 𝑣3)
𝑃3 𝑃3
Gambar 2.7. Graf 𝑃3 dan 𝑃3 Gambar 2.8. Graf 𝐺32
2.2 Pelabelan Total Tidak Teratur Titik
Definisi 2.6.1. Misalkan G(V,E) adalah grad sederhana. Suatu pelabelan 𝑓:𝑉 ∪ 𝐸 →
{1,2,3, … , 𝑘} disebut pelabelan-k total tidak teratur titik (total vertex irregularity k-
labeling) pada graf G jika setiap dua titik x dan y yang berbeda pada V, berlaku 𝑤𝑡(𝑥) ≠
𝑤𝑡(𝑦) dimana 𝑤𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ∑ 𝑓(𝑥𝑢)𝑢∈𝑉(𝐺) .
Definisi 2.6.2 Nilai total ketidakteraturan titik dari G adalah bilangan bulat positif
terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k total ketidakteraturan
titik, yang dinotasikan dengan tvs(G).
3. Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini akan diuraikan nilai total ketidakteraturan titik graf grid
Teorema 3.2.1 Untuk sebuah graf grid (𝐺𝑛2) dimana 𝑛2 adalah banyaknya titik dengan
derajad minimum 2 dan derajad maksimum 4, maka berlaku
𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) = [𝑛2+2
5].
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) ≤ [𝑛2+2
5]. Untuk tujuan tersebut, akan dikonstruksi
suatu pelabelan total tidak teratur titik pada 𝐺𝑛2 sebagai berikut.
Kasus I. Untuk 𝑛 genap
Berdasarkan Teorema 2.6.1, untuk 𝑛 = 2,4,6,… batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf
grid dapat dilihat pada Tabel 3.1berikut.
Perhatikan bahwa 𝑡 = ⌈(𝑛2+2)
5⌉.
Tabel 3.1 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺𝑛2)
𝑛 𝛿(𝐺) ∆(𝐺) ⌈(𝑛2 + 𝛿(𝐺))
(∆(𝐺) + 1)⌉ ≤ 𝑡𝑣𝑠(𝐺)
2 2 2 2
4 2 4 4
6 2 4 8
8 2 4 14
10 2 4 21
12 2 4 30
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑛 2 4 ⌈(𝑛2 + 2)
5⌉
Selanjutnya untuk menentukan batas atasnya, maka titik dan sisi 𝐺𝑛2 untuk 𝑛 = 2,4,6, … diberi
label sebagai berikut.
2
2
2
3
4 4
2
2
1
1
1
1
4
3
2
2
4
1
2
4
4
4
4
4
4
4
1
1
2
4
4
4
2
2
1
11 13 4
1
11 1 1 1 13 2 3 6 1
1
1
1
1
2 2
6
3
4
5
1
2
6
22
3
4
2
6
2
8 82 25 2 3 8
2 4 4 2
6
6
6
6
6
6
6
64 8 8 4
3 4
3 4
4
7
5
4
5
6
6 7
66 766
66
7
67
67
67 7
66
76
75 6
7 88
888
Gambar 3.4 (a) Pelabelan-4 total tidak teratur titik 𝐺42 dan (b) Pelabelan-8 total
tidak teratur titik 𝐺62
(a) (b)
1 1
2 2
3 8 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1 2
1
2
3
4
5
6
8
2
8
2
8
2
9 2 3 4 5 14 1 2 10 2 10 2 10 2
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
2 4 4 4 4 2
4 12 12 12 12 4
8 8
8 8 8 8 8
8
8
8
8 8 8 8 8 8
8
8
8
8 9
9 9 9 9
9
9
9
9 9 9 9 9
9
9
9
14 14 14
14 14
14 14
14 14
14 14
14 14 14 14
14 14
14
14 14
14 14
14 14
5
5
7 8
9 10
6
7 8
6
7 8
6 7 8 9
10 6
7
8
9
11
12
13
10 11 12 13
4 5
6
7
8
9
10 11
Gambar 3.5 Pelabelan-14 total tidak teratur titik 𝐺82
2
1
1 1
2
2 2
1
1
1
Gambar 3.3 Pelabelan-2 total tidak teratur titik graf 𝐺22.
Berdasarkan pelabelan seperti pada Gambar 3.1 sampai dengan Gambar 3.5 diperoleh suatu
pelabelan titik dan sisi untuk 𝑛 = 2,4,6, … sebagai berikut.
Perhatikan bahwa 𝑡 = ⌈(𝑛2+2)
5⌉.
Label titik pada lapisan 1
𝑓(𝑥1,1) = 𝑓(𝑥1,𝑛) = 1 𝑛 = 2,4, …
𝑓(𝑥𝑛,1) = 𝑓(𝑥𝑛,𝑛) = 2 𝑛 = 2,4, …
𝑓(𝑥1,𝑗) = {𝑗 + 1 𝑗 − 1
2≤𝑗≤𝑛−1;𝑛=4,𝑗=2,𝑛−1 ;𝑛=6,8,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,…
𝑓(𝑥𝑖,1) = 𝑖 + 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛) = 𝑖 − 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,…
𝑓(𝑥𝑛,𝑗) = {
𝑗 + 1
2(𝑛 − 4) + (𝑗 − 1)𝑗 − 1
2≤𝑗≤𝑛−1;𝑛=4 𝑗=2,𝑛−1;𝑛=6,8,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,…
Label titik pada lapisan 2
𝑓(𝑥2,2) = 𝑓(𝑥𝑛−1,2) = 𝑛 − 3 𝑛 = 4,6, …
𝑓(𝑥2,𝑛−1) = 𝑓(𝑥𝑛−1,𝑛−1) = 𝑛 − 2 𝑛 = 4,6,…
𝑓(𝑥2,𝑗) = {(𝑛 − 5) + 𝑗𝑗 + 5
3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,𝑗=3,𝑛−2;𝑛=10,12,… 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=10,12,…
𝑓(𝑥𝑖,2) = { (𝑛 − 5) + 𝑖
𝑖 + 5
3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=6,8,𝑖=3,𝑛−2;𝑛=10,12,… 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=10,12,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1) = {2(𝑛 − 4) + (𝑖 − 1)
𝑛 + (𝑖 + 1)
𝑖=3,𝑛−2;𝑛=6,8,…,4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=8,10 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=12,14,…
𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗) = {2(𝑛 − 4) + (𝑗 − 1)
𝑛 + (𝑗 + 1) 𝑗=3,𝑛−2;𝑛=6,8,…,4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=8,10 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=12,14,…
Label titik pada lapisan 3
𝑓(𝑥3,3) = 5 𝑛 = 6,8
𝑓(𝑥3,𝑛−2) = 6 𝑛 = 6,8
𝑓(𝑥𝑛−2,3) = 7 𝑛 = 6,8
𝑓(𝑥𝑛−2,𝑛−2) = 8 𝑛 = 6,8
𝑓(𝑥3,𝑗) = 𝑗 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 8
𝑓(𝑥𝑖,3) = 𝑖 + 2 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 8
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2) = 𝑖 + 4 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 8
𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗) = 𝑗 + 6 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 8
𝑓(𝑥3,3) = 2(𝑛 − 5) + 1 𝑛 = 10,12,…
𝑓(𝑥3,𝑛−2) = 2(𝑛 − 5) + 2 𝑛 = 10,12,…
𝑓(𝑥𝑛−2,3) = 2(𝑛 − 5) + 3 𝑛 = 10,12,…
𝑓(𝑥𝑛−2,𝑛−2) = 2(𝑛 − 5) + 4 𝑛 = 10,12,…
𝑓(𝑥3,𝑗) = 𝑗 + 1 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 10,12,…
𝑓(𝑥𝑖,3) = (𝑛 − 5) + 𝑖 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 10,12, …
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2) = 2(𝑛 − 6) + (𝑖 + 1) 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 10,12, …
𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗) = 3(𝑛 − 5) + (𝑗 − 2) 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3;𝑛 = 10,12,…
Label titik dari lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛
2) − 1
𝑓(𝑥4,4) = 3 𝑛 = 10
𝑓(𝑥4,7) = 4 𝑛 = 10
𝑓(𝑥7,4) = 5 𝑛 = 10
𝑓(𝑥7,7) = 6 𝑛 = 10
𝑓(𝑥4,𝑗) = 𝑗 + 2 𝑗 = 5,6; 𝑛 = 10
𝑓(𝑥𝑖,4) = 𝑖 + 4 𝑖 = 5,6; 𝑛 = 10
𝑓(𝑥𝑖,7) = 𝑖 + 6 𝑖 = 5,6; 𝑛 = 10
𝑓(𝑥7,𝑗) = 𝑗 + 8 𝑗 = 5,6; 𝑛 = 10
𝑓(𝑥𝑖,𝑗=𝑖) = 3(𝑛 − 11) + 6(𝑖 − 3) 𝑛 = 12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑖−1)) = 3(𝑛 − 11) + 6(𝑖 − 3) + 1 𝑛 = 12,14,…
𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑖) = 3(𝑛 − 11) + 6(𝑖 − 3) + 2 𝑛 = 12,14,…
𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑛−(𝑖−1)) = 3(𝑛 − 10) + 6(𝑖 − 3) 𝑛 = 12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {2(𝑛 − 12) + 8(𝑖 − 3) + (𝑗 − 𝑖)
3(𝑛 − 10) + 6(𝑗 − 3) + (𝑖 − 𝑗) 4≤𝑖≤(
𝑛
2)−1;(𝑖+1)≤𝑗≤(𝑛−𝑖);𝑛=12,14,…
4≤𝑗≤(𝑛
2)−1;(𝑗+1)≤𝑖≤(𝑛−𝑗);𝑛=12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1)) = 4(𝑛 − 10) + 4(𝑗 − 2) + (𝑖 − 𝑗) 4 ≤ 𝑗 ≤ (𝑛
2) − 1; (𝑗 + 1) ≤ 𝑖 ≤ (𝑛 −
𝑗); 𝑛 = 12,14,…
𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗) = 5(𝑛 − 10) + 2(𝑖 + 1) + (𝑗 − 𝑖) 4 ≤ 𝑖 ≤ (𝑛
2) − 1; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ (𝑛 −
𝑖); 𝑛 = 12,14,…
Label titik pada lapisan (𝑛
2)
𝑓 (𝑥𝑛2⁄ ,𝑛 2⁄
) = 𝑛2 − 4𝑡 − 1 𝑛 = 8,10,12, …
𝑓 (𝑥𝑛2⁄ ,(𝑛 2⁄ )+1) = 𝑛
2 − 4𝑡 𝑛 = 8,10,12, …
𝑓 (𝑥(𝑛 2⁄ )+1,𝑛 2⁄) = 𝑛2 − 4𝑡 + 1 𝑛 = 8,10,12, …
𝑓 (𝑥(𝑛 2⁄ )+1,(𝑛 2⁄ )+1) = 𝑛2 − 4𝑡 + 2 𝑛 = 8,10,12, …
Label sisi pada lapisan 1
𝑓(𝑥1,1𝑥1,2) = 𝑓(𝑥1,1𝑥2,1) = 1 𝑛 = 2
𝑓(𝑥2,1𝑥2,2) = 𝑓(𝑥1,2𝑥2,2) = 2 𝑛 = 2
𝑓(𝑥4,2𝑥4,3) = 4 𝑛 = 4
𝑓(𝑥1,𝑗𝑥1,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,1) = 1 1≤𝑗≤𝑛−1;1≤𝑖≤𝑛−1;𝑛=4,6,8,…
𝑓(𝑥𝑛,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 2 𝑗=1,3,5,…,𝑛−1;𝑖=1,3,5,…,𝑛−1;𝑛=4,6,8,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 𝑛 𝑖=2,4,6,…,𝑛−2𝑛=4,6,8,…
𝑓(𝑥𝑛,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1) = 𝑛 + 2 𝑗=2,4,6,…,𝑛−2𝑛=6,8,…
𝑓(𝑥1,𝑗𝑥2,𝑗) = 2 𝑗 = 2, 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,8,…
𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖,2) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1𝑥𝑖,𝑛) = 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,8,…
𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 4 𝑗 = 2, 𝑛 − 1; 𝑛 = 4,6,8,…
𝑓(𝑥1,𝑗𝑥2,𝑗) = 4 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 6,8,…
𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 2(𝑛 − 2) 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 6,8,…
Label sisi pada lapisan 2
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑛 𝑖=2,𝑛−1;2≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=4,6,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑛 𝑗=2,𝑛−1;2≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=4,6,…
𝑓(𝑥2,𝑗𝑥3,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗𝑥𝑛−1,𝑗)
= {𝑛 + 1
2(𝑛 − 5) + 1
3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=6,8,10,𝑗=3,𝑛−2;𝑛=12,14,… 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,2𝑥𝑖,3) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2𝑥𝑖,𝑛−1)
= {𝑛 + 1
2(𝑛 − 5) + 1
3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=6,8,10,𝑖=3,𝑛−2;𝑛=12,14,… 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=12,14,…
Label sisi pada lapisan 3
𝑓(𝑥3,3𝑥3,4) = 𝑓(𝑥4,3𝑥4,4) = 𝑓(𝑥3,3𝑥4,3) = 𝑓(𝑥3,4𝑥4,4) = 𝑡 𝑛 = 6
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 8
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2; 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 8
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 2(𝑛 − 2) + 1 𝑖 = 3, 𝑛 − 2; 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3; 𝑛 = 10,12,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗)= 2(𝑛 − 2) + 1 𝑗=3,𝑛−2;3≤𝑖≤𝑛−3𝑛=10,12,…
𝑓(𝑥3,𝑗𝑥4,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−3,𝑗𝑥𝑛−2,𝑗) = 2𝑛 + 1 4≤𝑗≤𝑛−3 𝑛=10,12,…
𝑓(𝑥𝑖,3𝑥𝑖,4) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−3𝑥𝑖,𝑛−2) = 2𝑛 + 1 4≤𝑖≤𝑛−3 𝑛=10,12,…
Label sisi pada lapisan 4
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3; 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 4; 𝑛 = 10
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 3; 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 4; 𝑛 = 10
Label sisi pada lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛
2− 2)
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗+1)
= 𝑡 − [(𝑛
2− 𝑖) (𝑛 −
𝑛
2− 𝑖)]
4≤𝑖≤(𝑛−4
2);𝑖≤𝑗≤𝑛−𝑖;
𝑛=12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1)𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑗−1))
= 𝑡 − [(𝑛
2− 𝑗) (𝑛 −
𝑛
2− 𝑗)]
4≤𝑗≤(𝑛−4
2);𝑗≤𝑖≤𝑛−𝑗;
𝑛=12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−𝑖,𝑗𝑥(𝑛−𝑖)+1,𝑗)
= 𝑡 − [(𝑛
2− (𝑖 + 1)) (𝑛 −
𝑛
2− (𝑖 + 1)) + (
𝑛
2− (𝑖 + 2))]
4≤𝑖≤(𝑛−4
2);(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;
𝑛=12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−𝑗𝑥𝑖,(𝑛−𝑗)+1)
= 𝑡 − [(𝑛
2− (𝑗 + 1)) (𝑛 −
𝑛
2− (𝑗 + 1)) + (
𝑛
2− (𝑗 + 2))]
4≤𝑗≤(𝑛−4
2);(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;
𝑛=12,14,…
Label sisi pada lapisan (𝑛
2− 1)
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 − 1 𝑖 =𝑛−2
2,𝑛+4
2 ; 𝑗 =
𝑛−2
2,𝑛+2
2 ; 𝑛 = 12,14,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 − 1 𝑗 =𝑛−2
2,𝑛+4
2 ; 𝑖 =
𝑛−2
2,𝑛+2
2 ; 𝑛 = 12,14,…
𝑓 (𝑥𝑖,𝑛2𝑥𝑖,𝑛+2
2
) = 𝑓 (𝑥𝑛2,𝑗𝑥𝑛+2
2,𝑗) = 𝑡
𝑛−2
2≤ 𝑖 ≤
𝑛+4
2 ;𝑛−2
2≤ 𝑗 ≤
𝑛+4
2 ; 𝑛 = 12,14,…
𝑓 (𝑥𝑛−22,𝑗𝑥𝑛2,𝑗) = 𝑓 (𝑥𝑛+2
2,𝑗𝑥𝑛+4
2,𝑗) = 𝑡 𝑗 =
𝑛
2,𝑛+2
2 ; 𝑛 = 12,14,…
𝑓 (𝑥𝑖,𝑛−2
2
𝑥𝑖,𝑛2) = 𝑓 (𝑥
𝑖,𝑛+2
2
𝑥𝑖,𝑛+4
2
) = 𝑡 𝑖 =𝑛
2,𝑛+2
2 ; 𝑛 = 12,14,…
Berdasarkan definisi bobot titik tersebut, diperoleh
𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+2) < ⋯ <
𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛) <
𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+2) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛−𝑖) <
𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+2) <
𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑖+1)) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑖+1) < ⋯ <
𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛−𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑛−𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−𝑖) <
𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+2) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛−(𝑖+1)) < ⋯ <
𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−(𝑖+2)) < ⋯ < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛2,𝑛2) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛
2,𝑛+22) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+2
2,𝑛2) <
𝑤𝑡 (𝑥𝑛+22,𝑛+2
2
).
Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap titik pada 𝐺𝑛2 berbeda. Maka 𝑓 yang
dikonstruksi tersebut merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada 𝐺𝑛2 , dimana 𝑛 =
2,4,6,… .
Kasus II. Untuk 𝑛 ganjil
Berdasarkan Teorema 2.6.1, untuk 𝑛 = 3,5,7,… batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf
grid dapat dilihat pada Tabel 3.2 berikut.
Tabel 3.2 Batas bawah nilai total ketidakteraturan titik graf grid (𝐺𝑛2)
𝑛 𝛿(𝐺) ∆(𝐺) ⌈(𝑛2 + 𝛿(𝐺))
(∆(𝐺) + 1)⌉ ≤ 𝑡𝑣𝑠(𝐺)
3 2 4 2
5 2 4 4
7 2 4 8
9 2 4 14
11 2 4 21
13 2 4 30
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑛 2 4 ⌈(𝑛2 + 2)
5⌉
Selanjutnya untuk menentukan batas atasnya, maka titik dan sisi 𝐺𝑛2 untuk 𝑛 = 3,5,7, … , diberi
label sebagai berikut.
1
2 2
1
1
1 1
1
1
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3 3
Gambar 3. 8 Pelabelan-3 total tidak teratur titik graf 𝐺32.
Gambar 3. 9 Pelabelan-6 total tidak teratur titik graf 𝐺52.
Gambar 3. 10 Pelabelan-11 total tidak teratur titik graf 𝐺72.
2 2
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
3 2 5
3
4
5
2
4
2
2
5
6
2
2 4 6 6 6 1
2
2 2 4
5
5
5 5
5
5
4 4 4
5 5
6 5
5
5
5
5 5 6
6 6
2 3
2 3
3
3
3 4
6
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
2 2
3 2 3 4 7
2
2
2
2
2
2
2
6
7
8
9
10
6 1 10 3 10 2 10 2 2 10
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
2 4 4 4 2
4 4 10 10 10
7 7 7 7
7 7
10 10 10
7 10
7 10
7 7
10
7 7 7 7
7
7
10 10 10 10
10
10 11
11 11 11
11
11 11
11 11
11
11 11
4 5
4 5
1 2
3 4
7
3 4 5
3
4
5
6
7
8
6 7 8
4
5 6
7
3
4
5
6
7
Berdasarkan pelabelan pada Gambar 3.8 sampai dengan Gambar 3.10 diperoleh suatu pola pada
pelabelan titik untuk 𝑛 = 3,5,7, … , sebagai berikut
Perhatikan bahwa 𝑡 = ⌈(𝑛2+2)
5⌉.
Label titik pada lapisan 1
𝑓(𝑥1,1) = 𝑓(𝑥1,𝑛) = 1 𝑛 = 3,5,7, …
𝑓(𝑥𝑛,1) = 𝑓(𝑥𝑛,𝑛) = 2 𝑛 = 3,5,7, …
𝑓(𝑥1,2) = 𝑓(𝑥2,1) = 𝑓(𝑥2,𝑛) = 𝑓(𝑥𝑛,2) = 3 𝑛 = 3
𝑓(𝑥1,𝑗) = {𝑗 + 1𝑗 − 1
𝑗=2,𝑛−1;𝑛=5,7,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7,…
𝑓(𝑥𝑖,1) = 𝑖 + 1 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 5,7,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛) = (𝑛 − 3) + 𝑖 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 5,7,…
𝑓(𝑥𝑛,𝑗) = {
𝑗 + 2
2(𝑛 − 5) + 𝑗𝑗 − 2
(𝑛 − 1) + 𝑗
𝑗=2,𝑛−1;𝑛=5 𝑗=2,𝑛−1;𝑛=7,9,… 𝑗=3,𝑛−2;𝑛=5,7,….4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=7,9,…
Label titik pada lapisan 2
𝑓(𝑥2,2) = 𝑓(𝑥𝑛−1,2) = 𝑛 − 3 𝑛 = 5,7, …
𝑓(𝑥2,2) = 1 𝑛 = 3
𝑓(𝑥2,𝑛−1) = 𝑓(𝑥𝑛−1,𝑛−1) = 𝑛 − 2 𝑛 = 5,7, …
𝑓(𝑥2,𝑗) = {𝑗
(𝑛 − 7) + 𝑗
3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=9,11,…
𝑓(𝑥𝑖,2) = {𝑖
(𝑛 − 7) + 𝑖
3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=9,11,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1) = {(𝑛 − 4) + 𝑖
2(𝑛 − 6) + (𝑖 + 1)
3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑖≤𝑛−2;𝑛=9,11,…
𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗) = {𝑗 + 3
2(𝑛 − 6) + (𝑗 + 1)
3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=9,11,…
Llabel titik pada lapisan 3
𝑓(𝑥3,3) = 3 𝑛 = 5
𝑓(𝑥3,3) = {2(𝑛 − 6) − 1𝑛 − 6
𝑛=7,9 𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥3,𝑛−2) = {2(𝑛 − 6)
𝑛 − 5
𝑛=7,9 𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥𝑛−2,3) = {2(𝑛 − 6) + 1(𝑛 − 5) + 1
𝑛=7,9 𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥𝑛−2,𝑛−2) = {2(𝑛 − 5)𝑛 − 3
𝑛=7,9 𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥3,𝑗) = {
𝑗 + 1𝑗 − 1
(𝑛 − 12) + (𝑗 − 4)
4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑖,3) = {𝑖 + 4
(𝑛 − 7) + 𝑖
2(𝑛 − 11) + 𝑖
4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2) = {
𝑖 + 72(𝑛 − 7) + (𝑖 + 1)
3(𝑛 − 9) + (𝑖 − 1)
4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗) = {
𝑗 + 10
3(𝑛 − 6) + (𝑗 − 1)
4(𝑛 − 9) + (𝑗 + 2)
4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=9 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=17,19,…
Label titik pada lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛−1
2)
𝑓(𝑥4,𝑗) = 𝑗 + 9 5 ≤ 𝑗 ≤ 11; 𝑛 = 15
𝑓(𝑥𝑖,4) = 𝑖 + 16 5 ≤ 𝑖 ≤ 11; 𝑛 = 15
𝑓(𝑥𝑖,12) = 𝑖 + 23 5 ≤ 𝑖 ≤ 11; 𝑛 = 15
𝑓(𝑥12,𝑗) = 30 + 𝑗 5 ≤ 𝑗 ≤ 11; 𝑛 = 15
𝑓(𝑥𝑖,𝑗) = {
8(𝑖 − 4) + (𝑗 − 𝑖) + 14(𝑗 + 6)
4(𝑛 − 15) + 7(𝑖 − 3) + (𝑗 − 1)
𝑖 = 5,6; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑛− 𝑖;𝑛 = 15
4 ≤ 𝑖 ≤𝑛 − 32
; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑖; 𝑛 = 11,13
4 ≤ 𝑖 ≤𝑛 − 32
; (𝑖 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 𝑖;
𝑛 = 17,19,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗)
= {
6(𝑗 − 4) + (𝑖 − 𝑗) + 21(𝑛 − 2) + 𝑖
5(𝑛 − 14) + 5(𝑗 − 2) + (𝑖 − 2)
𝑗=5,6;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=15
4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=11,13
4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;
𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1))
=
{
4(𝑗 − 4) + (𝑖 − 𝑗) + 282(𝑛 − 5) + 𝑖
6(𝑛 − 13)+ 3𝑗 + (𝑖 − 4)
𝑗=5,6;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=15
4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;𝑛=11,13
4≤𝑗≤𝑛−32;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗;
𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗)
= {
2(𝑖 − 4) + (𝑗 − 𝑖) + 353(𝑛 − 6) + 𝑗
7(𝑛 − 12) + 𝑖 + (𝑗 + 2)
𝑖=5,6;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;𝑛=15
4≤𝑖≤𝑛−32;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;𝑛=11,13
4≤𝑖≤𝑛−32;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖;
𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗=𝑖) = ((𝑛2 + 2) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −𝑛+1
2)))
4≤𝑖≤𝑛−1
2;
𝑛=9,11,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑖−1)) = ((𝑛2 + 3) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −𝑛+1
2)))
4≤𝑖≤𝑛−1
2;
𝑛=9,11,… 𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑖) =
((𝑛2 + 4) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −𝑛+1
2)))
4≤𝑖≤𝑛−1
2;
𝑛=9,11,…
𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑛−(𝑖−1)) = ((𝑛2 + 5) − 4𝑡) − (6 (𝑖 − (2𝑖 −
𝑛+1
2)))
4≤𝑖≤𝑛−1
2;
𝑛=9,11,…
Label titik pada lapisan (𝑛−1
2)
𝑓 (𝑥𝑛−12,𝑛+1
2
) = ((𝑛2 + 2) − 4) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …
𝑓 (𝑥𝑛+12,𝑛−1
2
) = ((𝑛2 + 2) − 3) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …
𝑓 (𝑥𝑛+12,𝑛+3
2
) = ((𝑛2 + 2) − 2) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …
𝑓 (𝑥𝑛+32,𝑛+1
2
) = ((𝑛2 + 2) − 1) − (4𝑡 − 1) 𝑛 = 7,9, …
𝑓 (𝑥𝑛+12,𝑛+1
2
) = (𝑛2 + 2) − 4𝑡 𝑛 = 7,9, …
Label sisi pada lapisan 1
𝑓(𝑥1,𝑗𝑥1,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖+1,1) = 1 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 1;𝑛 = 3,5,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 2 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 𝑛 = 3,5,…
𝑓(𝑥𝑛,𝑗𝑥𝑛,𝑗+1) = {
2
6
𝑛 + 3
2
𝑗=1,𝑛−1;𝑛=3,5,… 𝑗=2,𝑛−2;𝑛=5 𝑗=2,𝑛−2;𝑛=7,9,… 3≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=7,9,…
𝑓(𝑥1,2𝑥2,2) = 𝑓(𝑥2,3𝑥2,2) = 2 𝑛 = 3
𝑓(𝑥2,1𝑥2,2) = 𝑓(𝑥2,2𝑥3,2) = 3 𝑛 = 3
𝑓(𝑥1,𝑗𝑥2,𝑗) = {24
𝑗=2,𝑛−1;𝑛=5,7,… 3≤𝑗≤𝑛−2;𝑛=5,7,…
𝑓(𝑥𝑖,1𝑥𝑖,2) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1𝑥𝑖,𝑛) = 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1𝑛 = 5,7, …
𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 4 𝑗 = 2, 𝑛 − 1; 𝑛 = 5,7,…
𝑓(𝑥4,3𝑥5,3) = 4 𝑛 = 5
𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛,𝑗) = 2(𝑛 − 2) 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 7,9, …
Label sisi pada lapisan 2
𝑓(𝑥2,𝑗𝑥2,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑛−1,𝑗𝑥𝑛−1,𝑗+1) = 𝑛 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 5,7, …
𝑓(𝑥𝑖,𝑛𝑥𝑖+1,𝑛) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−1𝑥𝑖+1,𝑛−1) = 𝑛 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 5,7,…
𝑓(𝑥2,3𝑥3,3) = 𝑓(𝑥3,2𝑥3,3) = 𝑓(𝑥3,3𝑥3,4) = 𝑓(𝑥3,3𝑥3,4) = 𝑡 𝑛 = 5
𝑓(𝑥2,𝑗𝑥3,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−2,𝑗𝑥𝑛−1,𝑗) = 𝑛 + 3 3 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 7,9, …
𝑓(𝑥𝑖,2𝑥𝑖,3) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−2𝑥𝑖,𝑛−1) = 𝑛 + 3 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2; 𝑛 = 7,9,…
Label sisi pada lapisan 3
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) =
{
1516
5(𝑛−1
2− 1) + 1
2(𝑛 − 1)𝑛 + 13
𝑖=3,7;3≤𝑗≤6;𝑛=9 𝑗=3,6;4≤𝑖≤6;𝑛=9 𝑖=3,𝑛−2;3≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,… 𝑗=3,𝑛−3;4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 𝑗=3,𝑛−3;4≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=17,19,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) =
{
1516
5(𝑛−1
2− 1) + 1
2(𝑛 − 1)𝑛 + 13
𝑗=3,7;3≤𝑖≤6;𝑛=9 𝑖=3,6;4≤𝑗≤6;𝑛=9 𝑗=3,𝑛−2;3≤𝑖≤𝑛−3;𝑛=11,13,… 𝑖=3,𝑛−3;4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=11,13,15 𝑖=3,𝑛−3;4≤𝑗≤𝑛−3;𝑛=17,19,…
Label sisi pada lapisan 4 sampai dengan lapisan (𝑛−1
2)
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗𝑥𝑛−(𝑖−1),𝑗+1)
= 𝑡 − ((𝑛−1
2− 𝑖) (𝑛 −
𝑛+1
2− 𝑖))
4≤𝑖≤𝑛−3
2;𝑖≤𝑗≤𝑛−𝑖
𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−(𝑗−1)𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑗−1))
= 𝑡 − ((𝑛−1
2− 𝑗) (𝑛 −
𝑛+1
2− 𝑗))
4≤𝑗≤𝑛−3
2;𝑗≤𝑖≤𝑛−𝑗
𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑓(𝑥𝑖,𝑛−𝑗𝑥𝑖,(𝑛−𝑗)+1)
= 𝑡 − (((𝑛−12− 𝑗) (𝑛− 𝑛+1
2− 𝑗)) + (𝑛−1
2− (𝑗 + 1)))
4≤𝑗≤𝑛−3
2;(𝑗+1)≤𝑖≤𝑛−𝑗
𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑓(𝑥𝑛−𝑖,𝑗𝑥(𝑛−𝑖)+1,𝑗)
= 𝑡 − ((𝑛−12− 𝑖) (𝑛− 𝑛+1
2− 𝑖) + (𝑛−1
2− (𝑖 + 1)))
4≤𝑖≤𝑛−3
2;(𝑖+1)≤𝑗≤𝑛−𝑖
𝑛=11,13,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1) = 𝑡 𝑛−1
2≤ 𝑖 ≤
𝑛+3
2;𝑛−1
2≤ 𝑗 ≤
𝑛+1
2; 𝑛 = 7,9,…
𝑓(𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖+1,𝑗) = 𝑡 𝑛−1
2≤ 𝑗 ≤
𝑛+3
2;𝑛−1
2≤ 𝑖 ≤
𝑛+1
2; 𝑛 = 7,9,…
Berdasarkan definisi bobot titik tersebut, diperoleh
𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑖+2) < ⋯ <
𝑤𝑡(𝑥𝑖,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛) <
𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑖+2) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛,𝑛−𝑖) <
𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−1,𝑛−1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+2) <
𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+1,𝑛−(𝑖+1)) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑖+1) < ⋯ <
𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑖+1) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+2,𝑛−𝑖) < 𝑤𝑡(𝑥𝑖+3,𝑛−𝑖) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−𝑖) <
𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+2) < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑖+3) < ⋯ < 𝑤𝑡(𝑥𝑛−𝑖,𝑛−(𝑖+1)) < ⋯ <
𝑤𝑡(𝑥𝑛−(𝑖+1),𝑛−(𝑖+2)) < ⋯ < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛−12,𝑛+12) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+1
2,𝑛−12) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+1
2,𝑛+32) <
𝑤𝑡 (𝑥𝑛+32,𝑛+1
2
) < 𝑤𝑡 (𝑥𝑛+12,𝑛+1
2
).
Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap titik pada 𝐺𝑛2 berbeda. Maka 𝑓 yang dikonstruksi tersebut
merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik pada 𝐺𝑛2, dimana 𝑛 = 3,5,7,… .
4. Penutup
4.1 Kesimpulan
Dengan menggunakan pelabelan total tidak teratur titik pada graf 𝐺𝑛2 maka diperoleh nilai
total ketidakteraturan titik pada graf 𝐺𝑛2 adalah 𝑡𝑣𝑠(𝐺𝑛2) = [𝑛2+2
5].
4.2 Pembahasan mengenai pelabelan total tidak teratur titik masih terbuka bagi peneliti lain
untuk melanjutkan penelitian ini dan bisa juga melakukan penelitian sejenis namun dengan
jenis-jenis graf yang berbeda ataupun sebaliknya, melakukan penelitian dengan graf yang
sejenis namun dengan jenis pelabelan yang berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
Bᾰca M, Jendrol S, Miller M, Ryan J, On Irregular Total Tabllings, Discrete Mathematics, 307:
1378 – 1388, 2007.
Chartrand G, Jacobson M, Lehel J, Oellermann O, Ruiz S & Saba F, Irregular Network,
Congressus Numerantium, 64:187-192, 1988.
Hartsfield N, Ringel G, Pearls in Graph Theory, Dover, New York, 2003.
Rajasingh I, Rajan B, Arockiamary T.S, Irregular Total Labeling of Grid Network, Jurnal of
Computer and Mathematical Science, 2 : 780-898, 2011.
Saputra A. F, Bilangan Rainbow Connection dari Hasil Operasi Penjumlahan dan Perkalian
Kartesius Dua Graf, Jurnal Cauchy, 2 : 2086-0382, 2012.
Ummah W, Pelabelan Graf, Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya, 2013.
Wallis W.D, A Beginner’s Guide to Graph Theory, 2nd edition, Berlin: Birkhäuser Boston, 2007.
Weisstein, Eric W, Grid Graph, MathWorld-A Wolfram Web Resource,
(http://mathworld.wolfram.com/GridGraph.html) diakses tanggal 27 Agustus 2017).