Upload
nguyendan
View
238
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
I. Pokok Pembahasan Integral tentu
Integral tak tentu
Sigma
II. Tujuan:1. Mengetahui dan memahami bentuk-bentuk integral tentu dan integral tak tentu
2. Mengetahui dan memahami bentuk sigma
3. Menyelesaikan bentuk integral dan sigma dengan maple
4. menentukan hasil penyelesaian integral dan sigma dengan maplle
III. Landasan Teori1. Integral Tentu dan Tak Tentu
Setelah kita memahami tentang integral tentu dan integral taktentu, baik pada
materi Calculus yang dipelajari di ruang kelas maupun yang dipelajari pada bab lain dari
perkuliahan matematika komputasi ini, maka pada kesempatan ini pengetahuan itu akan
kita perluas pada penerapannya. Materi integral ini memang mendapat porsi yang besar
karena adalah inti dari Calculus di samping turunan dan diferensial serta limit dan deret.
Program Maple dalam hal ini kita gunakan sebagai perangkat pendukung untuk
memperdalam pengetahuan kita tentang integral dan melebih-nyatakan integral sehingga
kita dengan mudah membangun suatu konstruksi pemahaman di dalam pikiran yang pada
akhirnya dapat diingat lebih lama. Beberapa contoh akan kita uraikan sebagai kajian, dan
untuk pengembangan diri, anda diharapkan menerapkannya pada contoh-contoh lain yang
dapat anda jumpai pada textbook-texbook Calculus. Kita awali dengan pendalaman pada
polynomial berpangkat 3.
Contoh 1 :
Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial pangkat tiga di mana fungsi ini
memiliki titik maksimum relative pada (1,7) dan titik minimum relative pada (8,-2).
Perkenalkan fungsinya :
> f:=a*x^3+b*x^2+c*x+d;
:= f a x3 b x2 c x d
> el:=subs(x=1,f)=7; := el a b c d 7
> e2:=subs(x=8,f)=-2; := e2 512 a 64 b 8 c d -2
Suatu kurva yang memiliki titik maksimum dan minimum, pada titik-titik tersebut nilai
turunannya sama dengan nol. Sehingga fungsi tersebut dapat kita turunkan dan
mensubstitusikan nilai titik-titik tersebut kemudian menyamakannya dengan 0.
Turunkan fungsi f(x) terhadap x :
> fdiff:=diff(f,x);
:= fdiff 3 a x2 2 b x c
> e3:=subs(x=1,fdiff)=0; := e3 3 a 2 b c 0
> e4:=subs(x=8,fdiff)=0; := e4 192 a 16 b c 0
Kita telah mendapatkan 4 persamaan dengan empat variable yang tidak diketahui, yaitu
variable a, b, c, dan d. Kita selesaikan ke-4 persamaan tersebut :
> q:=solve({e1,e2,e3,e4},{a,b,c,d}); := q
Kemudian substitusikan nilai-nilai a, b, c dan d ke dalam persamaan awal untuk
mendapatkan bentuk sempurna persamaan itu :
> f1:=subs(q,f);
:= f1 a x3 b x2 c x d
Cara lain untuk menyelesaikan persoalan tersebut :
Dengean mengetahui titik-titik maksimum dan minimum kita dapat membangun suatu
persamaan dan mengintegralkan persamaan ini untuk mendapatkan persamaan awal
dengan beberapa konstanta yang belum dikatahui :
> fp:=c*(x-1)*(X-8); := fp c ( )x 1 ( )X 8
> F:=int(fp,x)+d;
:= F c ( )X 8
12 x2 x d
Substitusikan titik-titik maksimum dan minimum ke persamaan hasil integral :
> E1:=subs(x=1,F)=7;
:= E1 c ( )X 8
2 d 7
> E2:=subs(x=8,f)=-2; := E2 512 a 64 b 8 c d -2
Kita mendapatkan dua persamaan dengan dua variable yang tidak diketahui, selesaikan
kedua persamaan ini untuk mendapatkan nilai dua variable yang tidak diketahui tersebut :
> Q:=solve({E1,E2},{c,d});Q { :=
,c 2 ( ) 9 512 a 64 b
8 X d 2 ( ) 2048 a 256 a X 256 b 32 b X 64 X
8 X}
Substitusikan hasilnya ke persamaan hasil integral :
> F1:=subs(Q,F);
F12 ( ) 9 512 a 64 b ( )X 8
12 x2 x
8 X :=
2 ( ) 2048 a 256 a X 256 b 32 b X 64 X8 X
Contoh 2 :
Carilah nilai-nilai a, b, c, dan d dari fungsi polynomial pangkat tiga di mana fungsi ini
memiliki titik maksimum relative pada (8,4) dan titik minimum relative pada (5,1).
> restart:
> gp:=c*(x-5)*(x-8); := gp c ( )x 5 ( )x 8
> g:=int(gp,x)+d;
:= g c
40 x
13 x3 13
2 x2 d
> e1:=subs(x=5,g)=1;
:= e1 475 c
6 d 1
> e2:=subs(x=8,g)=4;
:= e2 224 c
3 d 4
> q1:=solve({e1,e2},{c,d});
:= q1 { },c-23 d
4849
> g1:=subs(q1,g);
:= g1 803 x
29 x3 13
3 x2 4849
Contoh 3 :
Carilah luas yang dibatasi oleh persamaan f(x) dan g(x) pada contoh 1 dan 2 .
Pertama-tama kira gambar dahulu kedua grafik dari persamaan tersebut untuk melihat
luasan yang dimaksud. Hasilnya adalah :
> restart:
> f1:=(18/343)*x^3-(243/343)*x^2+(432/343)*x+(2194/343);
:= f1 18
343 x3 243343 x2 432
343 x2194343
> g1:=(-2/9)*x^3+(13/3)*x^2-(80/3)*x+(484/9);
:= g1 29 x3 13
3 x2 803 x
4849
> plot({f1,g1},x=3..10);
Dengan memperhatikan gambar di atas, maka luasan yang akan dicari tersebut adalah
luasan yang dibatasi dari kira-kira pada harga x = 3 sampai x = kira-kira 10. Untuk lebih
jelasnya mari kita lihat titik potong kedua grafik tersebut.
> r:=fsolve(f1=g1,x); := r , ,3.374774810 5.257242355 9.721756420
Pada proses penghitungan luas yang dibatasi oleh dua kurfa mempersyaratkan agar kita
membedakan antara kurva “bagian atas” dan kurva “bagian bawah” :
Dan hasil luas yang dibatasi oleh kedua kurva tersebut adalah :
> value(q2);
18.41475281
Contoh 4 :
Carilah panjang kurfa grafik sinus x pada batas x = 0 sampai x = Pi.
> restart:
> with(student);
> f:=sin(x); := f ( )sin x
> fint:=Int(sqrt(1+diff(f,x)^2),x=0..Pi);
:= fint d
0
1 ( )cos x 2 x
> evalf(fint);
3.820197789
Contoh 5 :
Suatu benda berosilasi pada suatu pegas dengan kecepatan. Pada saat t=0, benda tersebut
berada 2 cm di bawah titik keseimbangannya yang ditentukan sebagai titik acuan. Carilah
posisi sebagai fungsi waktu x(t) dari benda tersebut dan gambar grafik pola gerakannya
pada batas t = 0 sampai t = 3Pi.
Karena kecepatan adalah turunan terhadap waktu dari posisi, maka kita dapat
mencari posisi dengan mengintegralkan fungsi kecepatan. Akan tetapi kita membutuhkan
suatu konstanta integrasi.
> restart:
Perkenalkan persamaan :
> v:=10*exp(-t)*sin(3*t);
:= v 10 e( ) t
( )sin 3 t
Cari posisi benda dengan mengintegralkan kecepatan :
> x1:=int(v,t)+c;
:= x1 3 e( ) t
( )cos 3 t e( ) t
( )sin 3 t c
Masukkan syarat batas untuk menentukan nilai c :
> x2:=subs(t=0,x1)=-2;
:= x2 3 e0 ( )cos 0 e0 ( )sin 0 c -2
> solve(x2,c);
1
Substitusikan harga c ke dalam persamaan posisi :
> xt:=subs(c=1,x1);
:= xt 3 e( ) t
( )cos 3 t e( ) t
( )sin 3 t 1
Gambar grafik posisi :
> plot(xt,t=0..3*Pi);
2. Integral Tentu
Luasan Di Bawah Suatu Kurva
Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius,luas persegi
panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Perhatikan gambar 5.1 Luas persegi panjang
adalah A=f(x)∆x.
Gambar 5.1
Bila jumlah persegi panjang kita perbanyak menjadi 4 dengan lebar yang sama namun
tinggi f(x)-nya berbeda-beda maka keadaannya akan terlihat seperti gambar 5.2.
Gambar 5.2
Luas keseluruhan persegi panjang adalah :
A=A1+A2+A3+A4=f1(X) Δx + f2(x) Δx +f3(x) Δx +f4(x) Δx
Δx
Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya
yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil. Hasilnya akan menjadi seperti
ditunjukkan pada gambar 5.3.
Gambar 5.3
Luas totalnya dirumuskan sebagai :
Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 100 dengan tinggi f(x)-nya
yang berbeda-beda dan dengan Δx –nya kita perkecil lagi. Hasilnya akan menjadi seperti
ditunjukkan pada gambar 5.4.
Gambar 5.4
Pada gambar 5.1 sampai gambar 5.4 secara tidak disadari kita telah membuat tinggi
persegi panjang berubah memenuhi keteraturan mendekati pola persamaan :
. Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi menjadi , dan seiring
dengan itu membuat , maka tinggi f(x) untuk setiap Δx berubah secara kontinu
mengikuti persamaan : . Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya
dinyatakan sebagai :
Jika kita membuat Δx mendekati 0, maka penulisan berubah menjadi ∫dan Δx
berubah menjadi dx. Sehingga selengkapnya ditulis menjadi :
Karena batas-batas pembuatan persegi panjang tadi kita sebar dari 0 sampai 1, maka
batas-batas tersebut kita letakkan pada tanda ∫dan ditulis seperti : . Tanda ∫ disebut
sebagai integral atau lambang integral. Bila integralnya tidak dibatasi, maka integral itu
disebut integral taktenu. Bila kita memberikan batasannya, seperti contoh di ∫10∫atas di mana batas-batas integralnya adalah dari 0 sampai 1, maka tanda integralnya
ditulis sebagai ∫dan disebut sebagai integral tentu. 10
Fungsi f(x) pada contoh di atas adalah fungsi satu variable bebas, yaitu : variable x. Jika
fungsi yang diintegralkan adalah fungsi satu variable bebas maka hasilnya adalah
merupakan luasan (A) yang dibatasi oleh fungsi tersebut dengan sumbu-x. Maka untuk
mencari suatu luasan yang berada di bawah kurva suatu fungsi dapat dilakukan dengan
cara integral.
Penggunaan MAPLE Untuk Menyelesaikan Integral
Untuk menghantarkan teori integral ke bentuk yang lebih nyata secara visual, agar
mudah difahami, MAPLE digunakan sebagai perangkat lunak yang tepat. Teori integral
yang terlihat seolah-olah semu dapat diperjelas dengan uraian gambar-gambar.
Defenisikan suatu fungsi persamaan yang dikehendaki :
> restart;
> with(student);
> f:=x^2+1;
:= f =x2 + 1
Menggambar persegi panjang – persegi panjang yang tingginya memenuhi persamaan
f=x2 + 1 dan lebarnya sebesar Δx.
> leftbox(f,x=0..1);
> q:=leftsum(f,x=0..1);
q:=
> A:=value(q);
:A:=
> evalf(A);
1.218750000
Jumlah persegi panjang yang digambarkan adalah 4 yang tersebar dari batas-batas
0 sampai 1 pada sumbu-x, sehingga besar Δx = 0,25. Luas yang dihasilkan oleh
penjumlahan luas seluruh persegi panjang tersebut tentulah belum sama dengan luas di
bawah kurva f(x)=x2 + 1 sampai ke sumbu-x, karena masih tersisa ada empat seperti
berbentuk segita yang berada di bagian atas persegi panjang yang luasnya belum
termasuk ke dalam perhitungan. Agar luasan yang tidak terhitung ini menjadi kecil, maka
cara yang dilakukan adalah memperkecil lebar Δx. Kita coba lakukan dengan menambah
jumlah persegi panjang menjadi 10. Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.6
> leftbox(f,x=0..1,10);
Gambar 5.6
> q:=leftsum(f,x=0..1,10);
q:=
> A:=value(q);
A:=
> evalf(A);
1.285000000
Bila kita perhatikan gambar 5.6 dengan tiliti, maka masih didapatkan luasan di bawah
kurfa yang belum terhitung, namun besarnya sudah semakin kecil dari yang sebelumnya.
Untuk mempersingkat waktu, maka kita buat jumlah persegi panjangnya langsung 100.
Hasilnya ditunjukkan pada gambar 5.7.
> leftbox(f,x=0..1,100);
> q:=leftsum(f,x=0..1,100);
q:=
> A:=value(q);
A:=
> evalf(A);
1.328350000
Tentu saja hasil pada gambar 5.7 lebih mendekati ke hasil yang sebenarnya bila
dibandingkan dengan hasil-hasil sebelumnya. Dengan demikian, semakin kecil harga Δx
dibuat, semakin dekat hasil luas yang diperoleh ke luas yang sebenarnya. Untuk tujuan
tersebut, kita buat saja jumlah persegi panjangnya sebanyak “n” di mana “n” menuju
takhingga.
> restart:
> with(student);
> f:=x^2+1;
> q:=leftsum(f,x=0..1,n);
> A:=value(q);
> limit(A,n=infinity);
> evalf(limit(A,n=infinity));
1.333333333
Dengan membuat jumlah persegi panjang sebanyak takhingga pada batas x = 0 sampai x
= 1 sebagaimana dinyatakan oleh program terakhir ini kita dapat memanfaatkan konsep
limit untuk menghitung hasilnya dan memberikan hasil yang sebenarnya. Pembuatan
persegi panjang sebanyak takhingga pada selang x = 0 sampai x = 1 seperti di atas
memaksa harga Δx mendekati 0 sehingga Δx berubah bentuk menjadi dx. Dengan
demikian konsep integral dapat kita gunakan untuk mendapatkan hasil di atas dan kita
mendapatkan hasil yang sebenarnya :
> restart:
> with(student);
> f:=x^2+1;
> A1:=Int(f,x=0..1);
> evalf(value(A1));
1.3333333
Setelah kita dihantarkan pada pemahaman tentang konsep integral tentu oleh
uraian di atas, dalam ruang kuliah kita sering disuguhi fungsi-fungsi persamaan untuk
diintegralkan. Batas-batas integral sering tidak dilibatkan untuk tujuan yang lebih umum.
Persoalan seperti ini tentu lebih menantang untuk diselesaikan. Bila batas-batas
integralnya tidak diketahui, maka integral semacam itu disebut integral taktentu. Berikut
ini urusan semacam itu diuraikan dengan menggunakan program MAPLE.
Suatu fungsi persamaan tertentu disuguhi untuk diintegralkan, Contoh :
> restart:
> with(student);
> f1:=x^2-2;
> f1gral:=Int(f1,x);
> f1lai:=value(f1gral);
Hasil terakhir ini adalah hasil integral dari persamaan fI=X2-2 . Tentu anda yang
sudah mendapatkan materi kuliah Calculus sudah familiar dengan cara analitik
integralnya. Sebagaimana kita ketahui bahwa integral adalah suatu antiturunan, itu berarti
kita dapat mendapatkan ulang fungsi persamaan awal f1 dari hasil integralnya dengan
proses turunan, yaitu :
> diff(f1lai,x);
Contoh terkahir ini adalah contoh yang relative mudah difahami. Kita telusuri contoh
yang sedikit lebih rumit :
> f2:=(x^3+4)^6*x^2;
> f2gral:=Int(f2,x);
> f2lai:=value(f2gral);
Kita ingin mencoba mengembalikan persamaan f2lai ke bentuk f2 dengan cara
menurunkannya :
> f2run:= diff(f2lai,x);
Anda lihat, ternyata hasil yang didapatkan tidak persis sama dengan persamaan f2
(walaupun sebenarnya adalah sama bila factor pada f2 diuraikan). Agar
hasilnya persis sama, maka harus kita lakukan :
> factor(f2run);
Hasil terakhir ini terlihat sudah persis sama dengan persamaan f2.
Kita perluas pemahaman kita untuk contoh yang melibatkan fungsi trigonometri.
> restart:
> with(student);
> f3:=sin(x)^2*cos(x)^2;
> f3gral:=Int(f3,x);
> f3lai:= value(f3gral);
> f3run:=diff(f3gral,x);
Integral Tentu
Beberapa contoh di atas telah mengajari kita bagaimana menyelesaikan integral taktentu
dengan MAPLE. Berikut adalah cara bagaimana menyelesaikan integral tentu. Kita ambil
contoh persamaan ()()xxcossin yang akan kita integralkan pada batas x = 0 sampai x =
π/2.
> restart:
> with(student);
> f4:=sin(x)*cos(x);
> f4gral1:=Int(f4,x=0..Pi/2);
> f4gral2:=int(f4,x);
> f4lai:=value(f4gral1);
Perhatikan perintah f4gral2:=int(f4,x); perintah ini kita berikan untuk menunjukkan hasil
integralnya dalam bentuk variable. Artinya, .
Demikian uraian materi integral ini disajikan untuk menghantarkan anda ke pemahaman
yang lebih baik sehingga dapat mengerti konsep integral dan juga dapat mengajarkannya
dengan enak dan persuasive kepada khalayak ramai.
3. Notasi Sigma
Secara umum, pengertian notasi sigma adalah sebagai berikut.
Dibaca “jumlah ak untuk k sama dengan 1 sampai n atau jumlah ak untuk k =1 sampai
dengan k = n”
Berikut ini sifat – sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan.
1. ak = a1 + a2 + a3 + … + an
2. (ak + bk) = ak + bk
3. cak = c ak
4. ak = ak – p
5. c = (n – m + 1)c
6. ak + ak = ak
7. ak = 0
8. (ak + bk)2 = ak2 + 2 ak bk + bk
2
Barisan Aritmetika
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un.
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk setiap suku ke-
n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan). Selisih tersebut dinamakan
beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda b, maka
U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah :
Suku Tengah ( Ut)
Jika bilangan berurutan a, b, c membemtuk barisan aritmatika, maka
terdapat hubungan.
2b = a + c atau
2 ( suku tengah ) = jumlah suku tepi
Contoh :
-4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. merupakan barisan aritmatika karena
2.14 = 8 + 20 = 2 + 26 = -4 + 32
b. Jika empat bilangan berurutan a, b, c, d, membemtuk barisan aritmatik maka
terdapat hubungan.
b + c = a + d atau
jumlah suku tengah = jumlah suku tepi
Contoh :
3, 7, 11, 15, 19, 23 merupakan barisan aritmatika karena
11 + 15 = 7 + 19 = 3 + 23
Contoh :
Deret Aritmatika ( Deret Hitung )
Un = a+ (n -1)b
Deret Aritmatika adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2,
U3, …,Un adalah barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupaka deret
aritmatika. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn.
Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Menerapkan Konsep Barisan dan Deret Geometri
Barisan Geometri
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan untuk
setiap suku ke – n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap. Nilai perbandingan
itu disebut rasio ( r ), ditulis :
R =
Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1
Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :
U1, U2, U3, ..., Un
a, ar, ar2 , … ,arn – 1
Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Deret Geometri
Deret geometri adalah bentuk penjumlahan suku – suku barisan geometri.
Jika U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un adalah barisan geometri, maka U1 + U2 + U3 + …,Un
merupaka deret geometri. Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan (Sn)
Sn =
Sn =
Un = arn-1
Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Deret Geometri Takhingga
Jika suatu deret geometri, Sn = U1 + U2 + …, Un-1 + Un dengan n
mendekati takhingga, maka deret geometri tersebut dikatakan sebagai deret
geometri tak hingga dan di tulis dengan
S∞ = U1 + U2 + …, Un-1 + …
Jika
Jika
Sehingga,runus jumlah deret geometri takhingga untuk
IV. Teladan
Contoh integral tak tentu 1
> Int(3*x^10-2*x^4+16*x-12,x);
> value(%);
>
Contoh integral tak tentu 2
> Int((12*x^3/5-x+3),x);
> value(%);
Contoh integral tentu 1
Int(x^2-x-6,x=0..2); value(%);
contoh integral tentu 2
> Int(x^2-4*x+5,x=1..4);value(%);
Contoh sigma 1
> with(student):> Sum(1/n^3,n=1..100);
DAFTAR PUSTAKA
Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm
Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)
Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html
Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf
Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.