PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1 · Temukan nilai y. Solusi: 1 2 3 5 8 6 6 8 2 2 2 ... 4 + 3 = 2 Jadi, nilai dari

1 | Phibeta1000, Pengayaan Matematika, 2017

PENGAYAAN MATEMATIKA

SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1

1. Diketahui Rx dan 168532

28622

22

yxxyyx

yxxyyx. Temukan nilai y.

Solusi:

168532

28622

22

yxxyyx

yxxyyx

68532286 2222 yxxyyxyxxyyx

0816448 2 yxxyy

0242 2 yxxyy

0122 2 xxyyy

0)1()1(2 2 yxy

0)22)(1( xyy

01y atau 022 xy

1y

1y 022 xy

02)1(2 x

0x

Jadi, nilai dari y adalah 1.

2. Pada simtem persamaan

567

765

432234

234432

y

x, temukan nilai xy.

Solusi:

567

765

432234

234432

y

x

765234432 yx

567432234 yx

1332666666 yx +


2 yx

xy 2

xy 2 765234432 yx

765)2(234432 xx

765234468432 xx

297198 x

2

3x

2

3x xy 2

2

1

2

32

4

3

2

1

2

3xy

Jadi, nilai dari xy adalah 4

3.

3. Jika 1673636 xx , hitunglah xx 216216 .

Solusi:

1673636 xx

1672662

xx

169662 xx

1366 xx

xx 216216 xxxxxx 66663663 313 3 1 13 2158

4. Jika merupakan salah satu akar persamaan 022 xx , carilah nilai 4 + 3.

Solusi:

x = 022 xx

2 + 2 = 0

2 = 2

4 =

2 4 + 4

4 + 3 = (

2 + 2) + 2

4 + 3 = (0) + 2

4 + 3 = 2

Jadi, nilai dari 4 + 3 adalah 2.


5. Persamaan 022 pxx akar-akarnya adalah dan . Jika 0p dan

nnnF )( , 3)2( F , temukan nilai dari )3(F .

Solusi:

022 pxx , dengan p dan 2

3)2( F

322

311

22

322

22

3)(

2)(2

2

3)2(

22)(2

2

p

1242 p

162 p

4p

Karena 0p , maka yang memenuhi adalah 4p .

33)3( F )(3)( 3 )4(23)4( 3 402464 .

Jadi, nilai dari )3(F adalah 40.

6. Carilah harga x dari persamaan 2

3347347

xx

.

Solusi:

2

3347347

xx

2

312271227

xx

2

33232

xx

(kedua ruas dikalikan x32 )

xxx

322

3323232

2


xxx

322

3)34(32

2

xx

322

3132

2

Misalnya ax

32 , maka persamaan itu menjadi:

aa2

312

0232 2 aa

0)2)(12( aa

2

1a (ditolak) atau 2a (diterima)

232 x

2log32log x

2log32log x

32log

2log

x

2log32x

Jadi, harga x yang memenuhi persamaan itu adalah 2log32 .

7. Jika a, b, dan c adalah penyelesaian dari persamaan 023 cbxaxx dan

0,, cba , carilah nilai dari 333 cba .

Solusi:

ax 023 cbxaxx

033 cabaa

0 cab

abc

bx 023 cbxaxx

0223 cbabb

0223 abbabb

02 ababb

0)()( ababb


0))(1( abb

1b atau ba

1b atau 1 ba

1)1)(1(1

1

abc

b

a

333 cba 333 1)1()1( 1111

Jadi, nilai dari 333 cba adalah 1.

8. Salah satu akar real bulat dari persamaan 019211212 24 xxx adalah p.

Hitunglah nilai 210 pp .

Solusi:

Sehingga 2p

2p 210 pp 16420)2()2(10 2

Jadi, nilai dari 210 pp adalah 16.

9. Dalam ABC, AB = AC dan 15

7

cos

cos

B

A. Tentukan

B

A

sin

sin.

Solusi:

Dalam ABC, dengan AB = AC atau c = b, maka menurut Aturan Kosinus:

bc

acbA

2cos

222

bb

abb

2

222

2

22

2

2

b

ab

2

2

21

b

a dan

ac

bcaB

2cos

222

ab

bba

2

222

ab

a

2

2

b

a

2

15

7

cos

cos

B

A

0cos7cos15 BA

02

72

1152

2

b

a

b

a

07215 22 abab

2 1 0 12 112 192

2 4 16 192

1 2 8 96 0


071530 22 abab

030715 22 baba

0)53)(65( baba

5

6

b

a(diterima) atau

3

5

b

a(ditolak, karena a dan b keduanya positif)

Menurut Aturan Sinus:

B

b

A

a

sinsin

5

6

sin

sin

b

a

B

A

10. Sisi-sisi sebuah segitiga panjangnya adalah 13 , 74 , dan 85 satuan. Berapakah

luas segitiga itu?

Solusi:

Kita ketahui bahwa 22 9285 , 22 5774 , dan 22 3213 , sehingga persegi

panjang itu memiliki ukuran panjang 9 satuan dan lebar 5 satuan.

Luas ABC 752

132

2

192

2

159

2

353945

2

31 satuan

Jadi, luas segitiga itu adalah 2

31satuan.

11. Persamaan 01574 23 xxx memiliki akar-akar , , dan . Susunlah

persamaan kuadarat baru yang akar-akarnya )1( , )1( , dan )1( .

Solusi 1:

Persamaan kubik 023 dcxbxax atau 023 a

dx

a

cx

a

bx yang akar-

akarnya , , dan adalah

0))()(( xxx

85

74

13

A

B

C

3

2

2

9

7

5


0)(2 xxx

0)()( 223 xxxxx

0)()( 23 xxx , dengan

a

b ,

a

c , dan

a

d

01574 23 xxx

4

7 ,

4

5 , dan

4

1

Akar-akar persamaan yang diminta adalah )1( , )1( , dan )1( , sehingga

persamaannya adalah

4

53

4

73111

)1)(1()1)(1()1)(1(

111

3)(2

34

72

4

5

4

7

)1(1)()1)(1)(1( 1

14

5

4

7

4

1

4

7

04

7

4

7

4

5 23 xxx

07754 23 xxx

Solusi 2:

Karena akar-akar persamaan itu )1( , )1( , dan )1( adalah simetri atau

setangkup, maka persamaan yang diminta adalah

1 x 01574 23 xxx

01)1(5)1(7)1(4 23 xxx

0155)12(7)133(4 223 xxxxxx

01557147412124 223 xxxxxx

07754 23 xxx


12. Garis 60512 yx memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A

dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran L dibuat

sedemikian, sehingga menyinggung sumbu X, sumbu Y, dan garis tersebut. Carilah

luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga.

Solusi:

Menurut Dalil Pythagoras:

13169125 22 AB

15)13125(2

1S

Luas OAB = 301252

1

215

30

S

Lr

Luas daerah di luar lingkaran dan di dalam segitiga = luas segitiga – luas lingaran

2)2(1252

1

430

13. Jika 21 y dan 01 yx , cari nilai 10262344 22 yxyyx .

Solusi:

01 yx 1 yx

1 yx 10262344 22 yxyyx

102)1(6234)1(4 22 yyyyy

10266234484 22 yyyyyy

1682144 22 yyyy

2212 yy

Jika 1y , maka 31212121122212 yy

Jika 2y , maka 30232221222212 yy

Jadi, nilai dari 10262344 22 yxyyx adalah 3.

14. Jika 900 cba dan cba logloglog 532 , carilah nilai dari cba .

Solusi:

kcba logloglog 532

X

Y

B(0, 12)

A(5, 0) O

60512 yx


aka k 2log2

bkb k 3log3

ckc k 5log5

900 cba

900532 kkk

900)532( k

23030 k

2k

422 2 ka

933 2 kb

2555 2 kc

Jadi, 482594 cba .

15. Bilangan )89( p , )25( p , )13( p merupakan tiga suku pertama deret

geometri konvergen. Carilah jumlah tak hingga deret itu.

Solusi:

Karena bilangan )89( p , )25( p , )13( p merupakan tiga suku pertama deret

geometri konvergen, maka berlakulah hubungan:

)13)(89()25( 2 ppp

82492742025 22 ppppp

01252 2 pp

0)4)(32( pp

2

3p (ditolak) atau 4p (diterima)

Karena:

2

3p )89( p , )25( p , )13( p =

2

11 ,

2

11 ,

2

11 (bukan deret geometri

konvergen)

4p )89( p , )25( p , )13( p = 44, 22, 11 (deret geometri konvergen)

44a dan 2

1

44

22r


88

2

11

44

1

r

aS

Jadi, jumlah tak hingga deret itu adalah 88.

16. Diberikan deret: (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), (22, 24, 26, 28, 30), …

Carilah jumlah bilangan pada kelompok ke-21.

Solusi:

Jumlah bilangan sampai kelompok ke-21 = 1 + 2 + 3 + … + 21

231)211(2

21 .

Suku terakhir pada kelompok ke-21 46246022)1231(2

Suku pertama pada kelompok ke-21adalah

2)121(462 a

422a

Jumlah bilangan pada kelompok ke-21 9282)462422(2

21

17. Jika aa

axf

x

x

)( , carilah

11

10...

11

3

11

2

11

1ffff

Solusi:

aa

a

aa

aff

11

10

11

10

11

1

11

1

11

10

11

11

11

10

11

1

11

10

11

1

aaaaaa

aaaaaa

aa

a

aa

aff

11

9

11

9

11

2

11

2

11

9

11

21

11

9

11

2

11

9

11

2

aaaaaa

aaaaaa

aa

a

aa

aff

11

8

11

8

11

3

11

3

11

8

11

31

11

8

11

3

11

8

11

3

aaaaaa

aaaaaa

aa

a

aa

aff

11

7

11

7

11

4

11

4

11

7

11

41

11

7

11

4

11

7

11

4

aaaaaa

aaaaaa

aa

a

aa

aff

11

6

11

6

11

5

11

5

11

6

11

51

11

6

11

5

11

6

11

5

aaaaaa

aaaaaa

11

10...

11

3

11

2

11

1ffff 511111


18. Jika A adalah jumlah 100 suku pertama deret 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + …, carilah

nilai dari 500

A.

Solusi:

Misalnya jumlah n suku pertama deret itu adalah dcnbnannS 23)( , maka

3)1()1()1()1( 23 dcbaS 3 dcba ….(1)

10)2()2()2()2( 23 dcbaS 10248 dcba ….(2)

23)3()3()3()3( 23 dcbaS 233927 dcba ….(3)

44)4()4()4()4( 23 dcbaS 4441664 dcba ….(4)

(2) – (1): 737 cba ….(5)

(3) – (2): 13519 cba ….(6)

(4) – (3): 21737 cba ….(7)

(6) – (5): 6212 ba ….(8)

(7) – (6): 8218 ba ….(9)

(9) – (8): 26 a 3

1a

3

1a 6212 ba

623

112

b

1b

737

13

1

cba

b

a

7)1(33

17

c

3

5c

3 7 13 21 31 …

4 6 8 10

2 2 2


3

3

513

1

dcba

c

b

a

33

51

3

1 d

0d

nnnnS3

5

3

1)( 23 53

3

1 2 nnn

51003100)100(3

1)100( 2 SA 343500

Jadi, nilai dari 687500

343500

500

A

19. Pada suatu barisan geometri, nS adalah jumlah n suku pertama. Jika 59 S dan

2518 S , carilah nilai dari 27S .

Solusi:

1

1

r

raS

n

n

51

19

9

r

raS

1

5

1 9

rr

a

251

118

18

r

raS

2511

5 18

9

r

r

25111

5 99

9

rr

r

519 r

49 r

1

127

27

r

raS 1

1

5 27

9

r

r 91839

9331

1

5rrr

r

1311

5 9939

9

rrr

r 929 1515 rr 415145

2 105


20. Akar-akar persamaan kuadrat 0232 xx adalah p dan q. Carilah jumlah tak

hingga dari ...111111

3322

qpqpqp

Solusi:

q

q

p

pS

11

1

11

1

1

1

1

1

qp 1)(

2)(

qppq

qp

132

23

4

1

Jadi, jumlah tak terhingga dari deret itu adalah 4

1 .

21. Carilah jarak terdekat dari kurva xxy 2 ke garis 5 xy .

Solusi:

Persamaan garis singgung pada kurva xxy 2 yang sejajar garis 5 xy

memiliki gradien 1m , yaitu nxy

nxxx 2

022 nxx

0D

0)(14)2( 2 n

044 n

1n

Mencari titik singgung:

0122 xx

0)1( 2 x

1x

1x 0111 xy

Titik singgungnya adalah (1, 0)

222

4

)1(1

501

)1(1

5

222222

yx

ba

cbyaxd

22. Titik-titik )6,(aA ; )1,(bB ; dan )4,( cC terletak pada kurva xy 122 . Carilah luas

segitiga ABC.

Solusi:

5

5 O

5 xy

xxy 2

Y

X

g

d


)6,(aA xy 122

a1262

3a

Koordinat titik A adalah (3, 6).

)1,(bB xy 122

b1212

12

1b

Koordinat titik B adalah

1,

12

1.

)4,( cC xy 122

c12)4( 2

3

4c

Koordinat titik A adalah

4,

3

4

Luas segitiga ABC

63

43

4

43

4

112

1

112

163

2

1

1283

4

3

1

2

13

2

1

203

5

2

5

2

1

2

1201015

2

1

12

125

12

510 satuan luas.

23. Jika akar-akar dari persamaan kuadrat 02 baxx ditambah 3 maka diperoleh

persamaan kuadrat 02 abxx . Carilah nilai a dan b.

Solusi:

Misalnya akar-akar persamaan kuadrat 02 baxx adalah dan , maka

a dan b .

Persamaan kuadrat yang baru yang 3 dan 3 adalah

0)3)(3()33(2 xx

09)(3)6(2 xx

09)(3)6(2 abxax

093)6(2 abxax


Persamaan kuadrat 093)6(2 abxax identik dengan persamaan

kuadrat 02 abxx , maka diperoleh:

ba 6 …. (1)

aab 93 …. (2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita memperoleh:

aaa 936

33 a

1a

1a ba 6

b 61

5b

Jadi, nilai dari a dan b berturut-turut adalah 1 dan 5.

24. Dinda, Annisa, dan Fitri mengumpulkan uang. Annisa 25 % lebih banyak dari

pada Dinda. Fitri 20 % kurang dari pada Dinda. Fitri p % kurang dari pada

Annisa. Carilah nilai p .

Solusi:

Misalnya uang Annisa = A rupiah, uang Dinda = D rupiah, dan uang Fitri = F

rupiah, maka:

DDDA 25,1%25 …. (1)

DDDF 8,0%20 …. (2)

AApAFp

100

1% …. (3)

Dari persamaan (2) dan (3) diperoleh:

ADp

100

1008,0 …. (4)

Dari persamaan (1) dan (4) diperoleh:

DDp

25,18,0100

100

25,1

1008,0100

p

64100 p

36p


Jadi, nilai p adalah 36.

25. Jika 2222 x . Carilah nilai dari 82384 xx .

Solusi:

6282 384384 xxxx

x2 = 2 + 2 + 2 2 + 2 )22)(22( = 4 + 2 2

x6 = 32x = 64 + 3(16) 22 + 3(4)(8) +16 2 = 160 + 112 2 .

82384 xx = 224 2112224 = 224 22 22 = 448

Jadi, nilai dari 82384 xx adalah 448.

26. Hitunglah 1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 +….+ 2

2 1

2.

Solusi:

Perhatikan pola berikut.

22 – 1

2 = 3 = 1 + 2.

42 – 3

2 = 7 = 3 + 4.

62 – 5

2 = 11= 5 + 6.

Sehingga dapat disimpulkan bentuk deret

1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 +….+2

2 - 1

2 = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 97 + 98 + 99 + 100

50502

)1100(100

Jadi, hasil dari 1002 – 99

2 + 98

2 – 97

2 +….+ 2

2 – 1

2 adalah 5050.

27. Temukan angka terakhir dari bilangan !1989...!3!2!1 n

Solusi:

Angka terakhir !n adalah 0 untuk 5n , sedangkan !4!3!2!1 3324621

memiliki angka terakhir 3.

Jadi, angka terakhir dari bilangan !1989...!3!2!1 n adalah 0 + 3 = 3.

28. Carilah nilai x dari 3113 23 2 xxxx .

Solusi:

3113 23 2 xxxx

3 23 23 222 111131 xxxxxxxxxx

271 2 xx

273132 3 22 xxx


27192 3 22 xxx

2792 x

362 x

18x

29. Diberikan bahwa 31

xx , berapakah nilai dari

7

7 1

xx ?

Solusi:

31

xx

91

2

xx

91

22

2 x

x

71

2

2 x

x

Diberikan n

n

nx

xa1

, maka 31

1 x

xa , 71

2

2

2 x

xa , dan

1

1

1

1 1111

n

n

n

n

n

n

xx

xx

xx

xx

113 nnn aaa

11 3 nnn aaa

Dengan demikian,

123 3 aaa 18373

234 3 aaa 477183

345 3 aaa 12318473

456 3 aaa 322471233

567 3 aaa 8431233223

Jadi, nilai dari 7

7 1

xx adalah 843.

30. Hasil kali dua akar (dari empat akar) persamaan 0198420018 234 xkxxx

adalah 32. Tentukan nilai k.

Solusi:

Misalnya akar-akar persamaan 0198420018 234 xkxxx adalah 1x , 2x , 3x ,

dan 4x , maka

3221 xx

19841

19844321

a

exxxx


6232

1984

21

4321

43

xx

xxxxxx

Sehingga untuk suatu bilangan p dan q:

198420018 234 xkxxx 6232 22 qxxpxx

198432326262 223234 qxxpxpqxpxxqxx

1984)3262()30()( 234 xqpxpqxqpx

18 qp qp 18

kpq 30

2003262 qp

qp 18 2003262 qp

20032)18(62 qq

20032621116 qq

131694 q

14q

14q qp 18 41418

86301443014

4

kkpq

q

p

Jadi, nilai k adalah 86.

TIPS:

1. Jika 1x dan 2x adalah akar-akar persamaan kuadrat (pangkat dua)

02 cbxax , maka:

a

bxx 21 dan

a

cxx 21

2. Jika 1x , 2x , dan 3x adalah akar-akar persamaan kubik (pangkat tiga)

023 dcxbxax , maka:

a

bxxx 321 ,

a

cxxxxxx 313221 , dan

a

dxxx 321

3. Jika 1x , 2x , 3x , dan 4x adalah akar-akar persamaan pangkat empat

0234 edxcxbxax , maka:

a

bxxxx 4321 ,

a

cxxxxxxxxxxxx 434232413121 ,

a

dxxxxxxxxxxxx 432431421321

a

exxxx 4321

Documents

PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1 · Temukan nilai y. Solusi: 1 2 3 5 8 6 6 8 2 2 2 ... 4 + 3 = 2 Jadi, nilai dari