PENGGUNAAN INTEGRALismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files... · y Menghitung Luas dengan Integral Luas ... maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut

PENGGUNAAN INTEGRAL 1. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan

sumbu-sumbu koordinat.

2. Menghitung volume benda putar.

9

2xy

Luas daerah di bawah

kurva Volume benda putar yang diputar

mengelilingi sumbu Y

=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 1 :

Jawab

Next Back Home

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka

berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a b x

y

a

x

0 b

b

a

dxxf )(

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

i

n

ii

n

b

a

xxfdxxfL 1

)()( lim

Next Back Home

Kegiatan pokok dalam menghitung luas

daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y )(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi


a

dxxf0

)(L

Next Back Home

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Contoh 1.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya


3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix


Jawab

Next Back Home

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4

Contoh 2.

Langkah penyelesaian :



3. Aproksimasi luasnya L xi.y

4. Jumlahkan luasnya L y. y

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim y. y

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

4

dyy4

0

.L

3

168.

3

2

3

2L

4

0

2

3

y


Jawab

Next Back Home

xi

2)( xxf

y

y

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A

-(4xj - xj2)xj

4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi

dan A = lim -(4xj - xj2)xj

5. Nyatakan dalam integral

y

0 x 6 4

24)( xxxf

dxxx 4

0

2)4(L dxxx

6

4

2 )4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx


Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,

dan garis x = 6

Contoh 3.

Jawab

Next Back Home

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx

6

4

2 )4(A

y

0 x 6 4

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

3

3122L xx

3643

312 320)4()4(2L

64

3

3122A xx

3

3123

312 )4()4(2)6()6(2A

364

3216 3272A

40A3

152

3

1214032daerah Luas

3152

364


Next Back Home


Next Back Home

Kesimpulan :

b

a

dyxL .b

a

dxyL .

y

0

x

y

y

x

0

)(xfy xi

xi

)( ixf

y

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang

[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,

jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas

daerah antara dua kurva tersebut.



2. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x

4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

b a

)(xfy

)(xgy

0

x Li

x

x

)()( xgxf


Next Back Home

dxxgxfb

a )()(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Contoh 4.


1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0

diperoleh x = -2 dan x = 1


4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x


dxxx

1

2

2)2(L 0

x

1 2 -1 -2 -3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx


Jawab

Next Back Home

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2 -1 -2 -3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1

232

32

2L

xxx

3

3)2(

2

2)2(

3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L


Next Back Home

Untuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal menyebabkan ada

dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

)(xfy

y

a b

Li x

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0

x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

a

dxxgxf )()(


Next Back Home

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga

penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0

x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

c

dyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg


Next Back Home

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh 5.


1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2


4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y


Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li y y

2)6( yy


Jawab

Next Back Home

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li y y

2)6( yy

Luas daerah =

2

03

3

2

26

yy

y

Luas daerah = 03

3224)2(6

Luas daerah =

38212

Luas daerah = 3

22


Home Back Next

Pendahuluan

Bola lampu di samping dapat

dipandang sebagai benda

putar jika kurva di atasnya

diputar menurut garis

horisontal. Pada pokok

bahasan ini akan dipelajari

juga penggunaan integral

untuk menghitung volume

benda putar.

Volume Benda Putar

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360º, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda putar

dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. Gb. 4

Home Next Back

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi

tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda

putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0

x

1 2 -

2

-

1

y

1

2

3

4

Next Back Home

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume

mentimun dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Next Back Home


Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari

r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V r2h atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 x

dxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

x a

)(xf

)(xfr

Next Back Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 7.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

y

2 x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

Jawab

Next Back Home


y

h=x

x

x

12 xr

V r2h

V (x2 + 1)2 x

V (x2 + 1)2 x

V = lim (x2 + 1)2 x

dxxV 2

0

22 )1(

dxxxV 2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

Next Back Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 8.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

y

y

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

Jawab

Next Back Home


V r2h

V (y)2 y

V y y

V = lim y y

dyyV 2

0

20

2

21 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV

2

0

2V

Next Back Home

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang bombay

dengan memotong-motongnya yang

potongannya berbentuk cincin.

Next Back Home


Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping,

yaitu V= (R2 – r2)h

h r

R

Gb. 5

Next Back Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 9.



2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

Jawab

Next Back Home


y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

V (4x2 – x4) x

V (4x2 – x4) x

V = lim (4x2 – x4) x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)(532

332 V

)(15

96160 V

1564V

Next Back Home

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar disamping.

Next Back Home


r r

h

h

2r Δr

V = 2rhΔr

Next Back Home


Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 10.



2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral.

0

x

1 2 x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

Jawab

Next Back Home


0

x

1 2 x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = x

x

h = x2

0

x

1 2 1 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

Next Back Home


Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan

sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode

cincin adalah sebagai berikut.

0

x

1 2 -2 -1

y

1

2

3

4

V (R2 – r2)y

V (4 - x2)y

V (4 – y)y

V = lim (4 – y)y

dxyV 4

0

4

4

0

2214 yyV

)816( V

8V

0

x

1 2 x

2xy

y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

Home Back Next

Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Home Next Back


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk

integral sebagai ....

0 X

Y 2xy

2

4 dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

Soal 1.

A

B

C

D

E

Home Back Next




Soal 1.

0 X

Y 2xy

2

4 dxx

2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Benar

Home Next Back




Soal 1.

dxx2

0

2

dyy4

0

dxx4

0

2

dxx 2

0

2)4(

dxx 4

0

2)4(

A

B

C

D

E

0 X

Y 2xy

2

4

x

x

4 - x2

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

0

2 ( Jawaban D )

Jawaban Anda Salah

Home Next Back


Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

24 xy

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

24 xy

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

2

2

3

314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Benar

Home Next Back



A

B

C

D

E

Soal 2.

4,5 satuan luas

6 satuan luas

7,5 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 2/3 satuan luas

0 X

Y

24 xy

2 -2

x

x

L (4 – x2) x

L (4 – x2) x

L = lim (4 – x2) x

dxx )4(L2

2

2

( Jawaban E )

2

2

3

314L

xx

)8()8(L 38

38

3210L

3

32

Jawaban Anda Salah

Home Next Back



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0 X

Y

28 xy

xy 2

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

L (8 – x2 -2x) x

dxxx )28(L2

0

2

( Jawaban D ) 319L

3

28

2

0

23

318L xxx

416L 38

0 X

Y

28 xy

xy 2

2

Jawaban Anda Benar

Home Next Back



A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

0 X

Y

28 xy

xy 2

2

L (8 – x2 -2x) x

dxxx )28(L2

0

2

( Jawaban D ) 319L

3

28

2

0

23

318L xxx

416L 38

Jawaban Anda Salah

Home Next Back


Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = y2 dan garis x + y = 2 adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

Home Back Next



A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas

( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,42

9L

1

2

3

312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21

0 X

Y

2yx

yx 2

-2

1

Jawaban Anda Benar

Home Next Back


( Jawaban B )

L [(2 – y ) – y2 ] y

dyxy )2(L1

2

2

5,42

9L

1

2

3

312

212L

yyy

)24()2(L 38

31

21


A

B

C

D

E

Soal 4.

2,5 satuan luas

4,5 satuan luas

6 satuan luas

10 2/3 satuan luas

20 5/6 satuan luas 0

X

Y

2yx

yx 2

-2

1

Jawaban Anda Salah

Home Next Back


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y

sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka bentuk integral yang

menyatakan volume benda putar tersebut adalah ....

A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next





A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V

Jawaban Anda Benar

Home Next Back


( Jawaban D )

V 2xx x

dxxx4

02V




A

B

C

D

E

Soal 5.

4

0dxxv

4

0

2 dxxv

4

02 dxxxv

2

0)16(2 dyyv

2

0dyyv

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Next Back


Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X

sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….

A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

Home Back Next




A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

4

0

2

21V x

8V

Jawaban Anda Benar

Home Back Next


( Jawaban C )

V (x)2 x

4

0V dxx

4

0

2

21V x

8V



A

B

C

D

E

Soal 6.

4 satuan volum

6 satuan volum

8 satuan volum

12 satuan volum

15 satuan volum

0 X

Y

Xy

4

2

x

x

Jawaban Anda Salah

Home Back Next

Documents

PENGGUNAAN INTEGRALismail_muchsin.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files... · y Menghitung Luas dengan Integral Luas ... maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut