PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc

7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc

1/13

n

n

dx

yda0

1

1

1

n

n

dx

yda

2

2

2

n

n

dx

yda

n

n

dx

yda0

1

1

1

n

n

dx

yda

2

2

2

n

n

dx

yda

0...1

2

2

1

10=+++++

tx

n

tx

n

txntxntxn

eateaetaetaeta

0... 12

2

1

10 =+++++

nn

nnntxatatatatae

n321t...ttt

xt

n

xtxtxt neCeCeCeCy ++++= ...321 321

PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN

DENGAN KOFESIEN TETAP

Bentuk Umum :

+ + + + any = 0

a0,a1,a2,a3, , an = Bilangan Tetap

Bentuk ini disebut persamaan defferensial linier homogen dengan koefisien tetap.

Bentuk Umum PDL Homogen :

+ + + + any = 0

Penyelesaiannya dengan cara memisalkan y = etx , maka :

txte

dx

dy=

txet

dx

yd 22

2

=

txn

n

n

etdx

yd=

Subsitusi persamaan (1) ke bentuk umum PDL homogen,

Bentuk terakhir ini dinamakan bentuk persamaan karakteristik dari P.D mula-mula.

Penyelesaian persamaan ini adalah dengan menyelesaikan persamaan pangkat tinggi

dalam kurung. Ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :

1). Bila akar-akar nya :

Jawab Umum :

2). Bila akar-akarnya : t1 = t2 = t3 = = tn

Jawab Umum :

y = etx ( C1 + C2.x + C3.x2 + + Cn.x

n-1)

3). Bila akar - akarnya : t1 = a + bi


2/13

2

4t

2baa

=

t2 = a - bi

Identitas euler : eib = cos b + i sin b

Jawab umum : eibx = cos bx + i sin bx

y = C1e(a+bi)x + C2e

(a-bi)x

y = eax (C1ebix + C2e

-bix)

y = eax ( C1 cos bx + C1.i sin bx + C2 cos bx - C2 .i sin bx)

y = eax {( C1 + C2) Cos bx + i ( C1 C2) sin bx}

Bila k1 = (C1 + C2)dan k2 = (C1 - C2), maka y = eax {k1 Cos bx + i k2 sin bx}

Perhatikan Persamaan defferensial y + ay + by = 0

Persamaan orde dua homogen.

Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx

Persamaan menjadi etx ( t2 + at + b ) = 0

Persamaan karakteristik ( t2 + at + b ) = 0

Harga t adalah

Jelas harga ini tergantung pada (a2 4b)

1). Bila a

2

4b > 0 21tt

Jawab Umum :xtxt

ee 2121 CCy +=

2). Bila a2 4b = 0t1 = t2

Jawab umum : y = ( C1 + C2x ) etx

3). Bila a2 4b < 0 .. t1 = a + bi

t2 = a - bi

Jawab umum : y = eax {C1 Cos bx + C2 sin bx}

Contoh soal :

1. Selesaikan MNA y y 6y = 0

y(0) = 0 ; y(0) = 1

Penyelesaian :



3/13

5

1C1 =

5

1C1 =

5

1C2 =

)(5

1y

23 xxee =

Persamaan menjadi : t2 etx - t etx 6.etx = 0

Persamaan karakteristik : t2 t 6 = 0

(t 3) (t + 2) = 0 .. t1 = 3 .. t2 = -2

Jawab umum : y = C1.e3x + C2.e

-2x

y = 3 C1 e3x 2 C2.e

-2x

y(0) = 0 ; y(0) = 1

0 = C1 e0 C2.e

0 . C1 C2 = 0

1 = 3 C1 e0 2 C2.e

0 3 C1 2 C2 = 1

Eliminasi kedua persamaan

C1 C2 = 0

3 C1 2 C2 = 1

.

Jawab khusus :

2. Selesaikan MNA : y + 8y + 16y = 0

y(0) = 1 ; y(0) = 1

Penyelesaian :


Persamaannya : t2 etx + 8 t etx +16 tx

Persamaan karakteristik : t2 + 8t + 16 = 0

(t + 4) (t + 4) = 0 . t1= t2 = -4

Jawab umum : y1 = (C1 + C2.x)e-4x

Untuk menghitung C1 dan C2, cari turunannya.

y= ( 0 + C2) e-4x 4(C1 + C2x) e

-4x

= C2.e-4x 4(C1 + C2x) e

-4x

y(0) = 1 ; y(0) = 1

y(0) = 1 .. 1 = (C1 + C2.0)e0 .. C1= 1

y(0) = 1. 1 = C2.e0 4(C1 + C2.0) e

0

1 = C2. 4(C1 + 0)

1 = C2 4(1) .C2 = 5


4/13

i=

= 12

842t1.2

Jawab khusus : y = (1 + 5x) e-4x

3. Selesaikan MNA : y + 2y + 2y = 0

y(0) = 1 ; y(0) = -1

Penyelesaian :


Persamaannya : t2 etx + 2 t etx + 2 etx = 0


Jawab umum : y = e-x (C1 cos x + C2 sin x)

y = - e-x (C1 cos x + C2 sin x) + e-x (-C1 sin x + C2 cos x)

y(0) = 1 ; y(0) = -1

y(0) = 1 .. 1 = e0 (C1 cos 0 + C2 sin 0)

1 = C1

y(0) = -1 -1 =- e0 (C1 cos 0 + C2 sin 0) + e0 (-C1 sin 0 + C2 cos 0)

-1 = - C1 + C2

-1= -1 + C2

C2 = 0

Jawab Khusus : y = e-x ( cos x + 0. sin x)

y = e-x cos x

4. Selesaikan MNA : y- 4y + 4y = 0

y (0) = 2 ; y(0) = -1 ; y(0) = 0

Penyelesaian :

Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx . y= t3 etx

Persamaannya : t3 etx 4t2 etx + 4 t etx = 0

Persamaan karakteristik : t3 4t2 + 4 t = 0

t (t2 - 4 t + 4t) = 0

t (t 2)2 = 0


5/13

t1 = 0 ; t2 = t3 = 2

Jawab umum :

y = C1 + C2 e2x + C3.xe

2x

y (0) = 2 . ... 2 = C1 + C2 e0 + C3 (0) e

0

2 = C1 + C2 .(1)

y = 2C2 e2x + C3e

2x + 2x C3e2x

y(0) = -1 -1 = 2C2 e0 + C3e

0 + 2(0) C3e0

-1 = 2C2 + C3..(2)

y = 4C2 e2x + 2C3e

2x + 2C3e2x + 4x C3e

2x

y = 4C2 e2x + 4C3e

2x + 4x C3e2x

y(0) = 0 ........... 0 = 4C2 e0 + 4C3e

0 + 4(0) C3e0

0 = 4C2 + 4C3 (3)

Eliminasi persamaan (2) dan (3)

0 = 4C2 + 4C3

-1 = 2C2 + C3

C2 = -1 dan C3 = 1

Subsitusi nilai C2 = -1 ke persamaan ( 1 )

2 = C1 + (-1).C1 = 3

Jawab khusus : y = 3 e2x + x.e2x

5. Selesaikan MNA : y- 3y + 3y - y = 0

y (0) = 0 ; y(0) = -1 ; y(0) = 0

Penyelesaian :


Persamaannya : t3 etx 3t2 etx + 3 t etx - etx = 0

etx (t3 3t2 + 3 t 1) = 0

Persamaan karakteristik : t3 3t2 + 3 t 1 = 0

(t - 1)3 = 0

t1 = t2 = t3 = 1

Jawab umum :


6/13

y = C1 ex + C2 x e

x + C3.x2 ex

y (0) = 0 . ... 0 = C1 e0 + C2 0 e

0 + C3.02 e0

0 = C1 .(1)

y = C1 ex + C2 e

x + C2 x ex + 2C3.x e

x + C3.x2 ex

y(0) = -1 -1 = C1 e0 + C2 e

0 + C2 0 e0 + 2C3.0 e

0 + C3.02 e0

-1 = 2C2 + C3..(2)

y = C1 ex + C2 e

x + C2 ex + C2 x e

x + 2C3.ex + 2C3.x e

x + 2C3.xex + C3.x

2 ex

y = C1 ex + 2C2 e

x + C2 x ex + 2C3.e

x + 4C3.x ex + C3.x

2 ex

y(0) = 0 ..........0 = C1 e0 + 2C2 e

0 + C2 0 e0 + 2C3.e

0 + 4C3.0 e + C3.02 e0

0 = C1 + 2C2 + 2C3 (3)

Subsitusi persamaan (1) ke (3)

0 = 0 + 2C2 + 2C3

0 = 2C2 + 2C3 ................................. (4)


-1 = 2C2 + C3

0 = 2C2 + 2C3

Didapat C2 = -1 ; C3 = 1

Jawab khusus : y = x ex + x2 ex

LEMBAR KERJA MAHASISWA


7/13

Selesaikan MNA :

1. y 7y + 12y = 0 ; y(0) = 0, y(0) = 1

2. y + 8y + 16y = 0 ; y(0) = 1, y(0) = 0

3. y + 4y + 5y = 0 ; y(0) = 1 , y(0) = 0

4. y 27y = 0 ; y(0) = 1, y(0) = 0, y(0) = 0

5. y y = 0 ; y(0) = 1, y(0) =3, y(0) = 2

KUNCI JAWABAN


8/13

1. Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx

Persamaan menjadi : t2 etx 7 tetx + 12 etx = 0

etx (t2 7 t + 12) = 0

Persamaan karakteristik : t2 7 t + 12 = 0

(t 3) (t - 4) = 0

t1 = 3, t2 = 4

Jawab umum :

y = C1e3x + C2e

4x

y(0) = 0 . 0 = C1e0 + C2e

0

0 = C1 + C2..(1)

y = 3C1e3x + 4C2e4x

y(0) = 1 . 1 = 3C1e0 + 4C2e

0

1 = 3C1 + 4C2 (2)


0 = C1 + C2

1 = 3C1 + 4C2

Menghasilkan C1 = -1 dan C2 = 1

Jawab Khusus : y = -e3x + e4x


Persamaan menjadi : t2 etx + 8tetx + 16 etx = 0

etx (t2 + 8t + 16) = 0


(t + 4) (t + 4) = 0

t1 = t2 = -4

Jawab umum :

y = (C1 + C2x) e-4x

y(0) = 1 . 1 = (C1 + C2. 0)e0

1 = C1 ..(1)

y = C2 e-4x - 4 (C1 + C2x) e

-4x

y(0) = 0 0 = C2 e0 - 4 (C1 + C2. 0) e

0


9/13

0 = C2 - 4 C1 .. (2)


0 = C2 - 4(1)

Menghasilkan C1 = 1 dan C2 = 4

Jawab Khusus : y = ( 1 + 4x) e-4x


Persamaan menjadi : t2 etx + 4tetx + 5 etx = 0

etx (t2 + 4t + 5) = 0


i=

= 22

20164t1,2

Jawab umum :y = e-2x( C1 cos x + C2 sin x )

y(0) = 1 . 1 = e0( C1 cos 0 + C2 sin 0 )

1 = C1 ..(1)

y = -2e-2x( C1 cos x + C2 sin x ) + e-2x( - C1 sin x + C2 cos x )

y(0) = 0 0 = -2e0( C1 cos 0 + C2 sin 0 )+e0(- C1 sin 0 + C2 cos 0)

0 = -2 C1 + C2 .(2)


0 = -2(1) + C2

2 = C2

Menghasilkan C1 = 1 dan C2 = 2

Jawab Khusus : y = e-2x ( cos x + 2 sin x)

4. Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx . y= t3 etx

Persamaannya : t3 etx 27 t etx = 0

etx (t3 27) = 0

Persamaan karakteristik : t3 27 = 0

t3 = 27

t1 = t2 = t3 = 3

Jawab umum :


10/13

y = C1e3x + C2x e

3x + C3. x2 e3x

y (0) = 1 1 = C1e0 + C20 e

0 + C3. 02 e0

1 = C1 .(1)

y = 3C1e3x + C2 e

3x +3C2x e3x + 2C3. x e

3x + 3C3. x2 e3x

y(0) = 0. 0 = 3C1e0 + C2 e

0 +3C2 .0 e0 + 2C3. 0 e

0 + 3C3. 02 e0

0 = 3C1 + C2..(2)

y = 9C1e3x + 3C2 e

3x +3C2. e3x + 9C2x e

3x + 2C3 e3x + 6C3. x e

3x + 6C3. x e3x +

9C3. x2 e3x

y = 9C1e3x + 6C2 e

3x + 9C2x e3x + 2C3 e

3x + 12C3. x e3x + 9C3. x

2 e3x

y(0) = 0 ........ 0 = 9C1e0 + 6C2 e

0 + 9C20 e0 + 2C3 e

0 + 12C3.0 e0 +

9C3. 02 e0

0 = 9C1 + 6C2 + 2C3 (3)


0 = 3(1) + C2

-3 = C2 (4)

Subsitusi persamaan (1) dan (4) ke (3)

0 = 9(1) + 6(-3) + 2C3

2

9

= C3

Jadi, C1 = 1, C2 = -3 dan C3 =2

9

Jawab khusus : y = e3x - 3x e3x +2

9. x2 e3x

5. y y = 0 ; y(0) = 1, y(0) =3, y(0) = 2


Persamaannya : t3 etx t2 etx = 0

etx (t3 t2) = 0

Persamaan karakteristik : t3 t2 = 0

t2(t 1) = 0

t1 = t2 = 0 ; t3 = 1

Jawab umum :


11/13

y = C1ex + C2 + C3x

y (0) = 1 . 1 = C1e0 + C2 + C3. 0

1 = C1 + C2 .(1)

y = C1ex + C3

y(0) = 3 3 = C1e0 + C3

3 = C1 + C3..(2)

y = C1ex

y(0) = 2 ........ 2 = C1e0

2 = C1 (3)


1 = 2 + C2

-1 = C2


3 = 2 + C3

1 = C3

Jadi, C1 = 2, C2 = -1 dan C3 = 1

Jawab khusus : y = 2ex - 1 + x

DAFTAR PUSTAKA


12/13

Ayres, frank. 1986.Persamaan diferensial. Jakarta : Erlangga

Isa, Muhammad. 2007.Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Palembang:

Universitas PGRI

Herdiana, heris, dkk. 2001.Persamaan differensial. Bandung : Pustaka Setia

KATA PENGANTAR


13/13

Bismillahirahmanirahim

Segala puja dan puji syukur penulis panjatkan ke hadirat ALLAH SWT, karena

atas limpahan rahmat, petunjuk, bimbingan dan lindungan Nya penulis masih diberi

ksempatan untuk mengerjakan ataupun menyelesaikan makalah tentang Persamaan

differensial Homogen dan koefisien tetap ini dengan baik Shalawat serta salam

senantiasa kita curahkan pada junjungan Nabi Besar kita Muhammmad SAW beserta

keluarganya.

Pembuatan makalah ini merupakan salah satu syarat sebagai tugas mata

kuliah Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Penulis telah berusaha semaksimal mungkin

untuk meresumekan atau membuat makalah ini sebagai bahan ajar untuk belajar bagi kita

semua terutama sebagai pelajar.tetapi penulis juga menyadari bahwa di dalam

penyusunan maupun penulisan Makalah ini banyak terdapat kekurangan baik dalam

penyampaian maupun dalam penulisan. Hal ini dikarenakan terbatasnya kemampuan dan

pengalaman penulis. Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari teman-

teman yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.

Harapan penulis agar makalah yang dibuat dapat bermanfaat bagi mahasiswa danmahasiswi Universitas PGRI Palembang.

Palembang, April 2010

Penulis

Documents

PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc