7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
1/13
n
n
dx
yda0
1
1
1
n
n
dx
yda
2
2
2
n
n
dx
yda
n
n
dx
yda0
1
1
1
n
n
dx
yda
2
2
2
n
n
dx
yda
0...1
2
2
1
10=+++++
tx
n
tx
n
txntxntxn
eateaetaetaeta
0... 12
2
1
10 =+++++
nn
nnntxatatatatae
n321t...ttt
xt
n
xtxtxt neCeCeCeCy ++++= ...321 321
PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DIFFERENSIAL HOMOGEN
DENGAN KOFESIEN TETAP
Bentuk Umum :
+ + + + any = 0
a0,a1,a2,a3, , an = Bilangan Tetap
Bentuk ini disebut persamaan defferensial linier homogen dengan koefisien tetap.
Bentuk Umum PDL Homogen :
+ + + + any = 0
Penyelesaiannya dengan cara memisalkan y = etx , maka :
txte
dx
dy=
txet
dx
yd 22
2
=
txn
n
n
etdx
yd=
Subsitusi persamaan (1) ke bentuk umum PDL homogen,
Bentuk terakhir ini dinamakan bentuk persamaan karakteristik dari P.D mula-mula.
Penyelesaian persamaan ini adalah dengan menyelesaikan persamaan pangkat tinggi
dalam kurung. Ada beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :
1). Bila akar-akar nya :
Jawab Umum :
2). Bila akar-akarnya : t1 = t2 = t3 = = tn
Jawab Umum :
y = etx ( C1 + C2.x + C3.x2 + + Cn.x
n-1)
3). Bila akar - akarnya : t1 = a + bi
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
2/13
2
4t
2baa
=
t2 = a - bi
Identitas euler : eib = cos b + i sin b
Jawab umum : eibx = cos bx + i sin bx
y = C1e(a+bi)x + C2e
(a-bi)x
y = eax (C1ebix + C2e
-bix)
y = eax ( C1 cos bx + C1.i sin bx + C2 cos bx - C2 .i sin bx)
y = eax {( C1 + C2) Cos bx + i ( C1 C2) sin bx}
Bila k1 = (C1 + C2)dan k2 = (C1 - C2), maka y = eax {k1 Cos bx + i k2 sin bx}
Perhatikan Persamaan defferensial y + ay + by = 0
Persamaan orde dua homogen.
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
Persamaan menjadi etx ( t2 + at + b ) = 0
Persamaan karakteristik ( t2 + at + b ) = 0
Harga t adalah
Jelas harga ini tergantung pada (a2 4b)
1). Bila a
2
4b > 0 21tt
Jawab Umum :xtxt
ee 2121 CCy +=
2). Bila a2 4b = 0t1 = t2
Jawab umum : y = ( C1 + C2x ) etx
3). Bila a2 4b < 0 .. t1 = a + bi
t2 = a - bi
Jawab umum : y = eax {C1 Cos bx + C2 sin bx}
Contoh soal :
1. Selesaikan MNA y y 6y = 0
y(0) = 0 ; y(0) = 1
Penyelesaian :
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
3/13
5
1C1 =
5
1C1 =
5
1C2 =
)(5
1y
23 xxee =
Persamaan menjadi : t2 etx - t etx 6.etx = 0
Persamaan karakteristik : t2 t 6 = 0
(t 3) (t + 2) = 0 .. t1 = 3 .. t2 = -2
Jawab umum : y = C1.e3x + C2.e
-2x
y = 3 C1 e3x 2 C2.e
-2x
y(0) = 0 ; y(0) = 1
0 = C1 e0 C2.e
0 . C1 C2 = 0
1 = 3 C1 e0 2 C2.e
0 3 C1 2 C2 = 1
Eliminasi kedua persamaan
C1 C2 = 0
3 C1 2 C2 = 1
.
Jawab khusus :
2. Selesaikan MNA : y + 8y + 16y = 0
y(0) = 1 ; y(0) = 1
Penyelesaian :
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
Persamaannya : t2 etx + 8 t etx +16 tx
Persamaan karakteristik : t2 + 8t + 16 = 0
(t + 4) (t + 4) = 0 . t1= t2 = -4
Jawab umum : y1 = (C1 + C2.x)e-4x
Untuk menghitung C1 dan C2, cari turunannya.
y= ( 0 + C2) e-4x 4(C1 + C2x) e
-4x
= C2.e-4x 4(C1 + C2x) e
-4x
y(0) = 1 ; y(0) = 1
y(0) = 1 .. 1 = (C1 + C2.0)e0 .. C1= 1
y(0) = 1. 1 = C2.e0 4(C1 + C2.0) e
0
1 = C2. 4(C1 + 0)
1 = C2 4(1) .C2 = 5
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
4/13
i=
= 12
842t1.2
Jawab khusus : y = (1 + 5x) e-4x
3. Selesaikan MNA : y + 2y + 2y = 0
y(0) = 1 ; y(0) = -1
Penyelesaian :
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
Persamaannya : t2 etx + 2 t etx + 2 etx = 0
Persamaan karakteristik : t2 + 2t + 2 = 0
Jawab umum : y = e-x (C1 cos x + C2 sin x)
y = - e-x (C1 cos x + C2 sin x) + e-x (-C1 sin x + C2 cos x)
y(0) = 1 ; y(0) = -1
y(0) = 1 .. 1 = e0 (C1 cos 0 + C2 sin 0)
1 = C1
y(0) = -1 -1 =- e0 (C1 cos 0 + C2 sin 0) + e0 (-C1 sin 0 + C2 cos 0)
-1 = - C1 + C2
-1= -1 + C2
C2 = 0
Jawab Khusus : y = e-x ( cos x + 0. sin x)
y = e-x cos x
4. Selesaikan MNA : y- 4y + 4y = 0
y (0) = 2 ; y(0) = -1 ; y(0) = 0
Penyelesaian :
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx . y= t3 etx
Persamaannya : t3 etx 4t2 etx + 4 t etx = 0
Persamaan karakteristik : t3 4t2 + 4 t = 0
t (t2 - 4 t + 4t) = 0
t (t 2)2 = 0
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
5/13
t1 = 0 ; t2 = t3 = 2
Jawab umum :
y = C1 + C2 e2x + C3.xe
2x
y (0) = 2 . ... 2 = C1 + C2 e0 + C3 (0) e
0
2 = C1 + C2 .(1)
y = 2C2 e2x + C3e
2x + 2x C3e2x
y(0) = -1 -1 = 2C2 e0 + C3e
0 + 2(0) C3e0
-1 = 2C2 + C3..(2)
y = 4C2 e2x + 2C3e
2x + 2C3e2x + 4x C3e
2x
y = 4C2 e2x + 4C3e
2x + 4x C3e2x
y(0) = 0 ........... 0 = 4C2 e0 + 4C3e
0 + 4(0) C3e0
0 = 4C2 + 4C3 (3)
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
0 = 4C2 + 4C3
-1 = 2C2 + C3
C2 = -1 dan C3 = 1
Subsitusi nilai C2 = -1 ke persamaan ( 1 )
2 = C1 + (-1).C1 = 3
Jawab khusus : y = 3 e2x + x.e2x
5. Selesaikan MNA : y- 3y + 3y - y = 0
y (0) = 0 ; y(0) = -1 ; y(0) = 0
Penyelesaian :
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx . y= t3 etx
Persamaannya : t3 etx 3t2 etx + 3 t etx - etx = 0
etx (t3 3t2 + 3 t 1) = 0
Persamaan karakteristik : t3 3t2 + 3 t 1 = 0
(t - 1)3 = 0
t1 = t2 = t3 = 1
Jawab umum :
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
6/13
y = C1 ex + C2 x e
x + C3.x2 ex
y (0) = 0 . ... 0 = C1 e0 + C2 0 e
0 + C3.02 e0
0 = C1 .(1)
y = C1 ex + C2 e
x + C2 x ex + 2C3.x e
x + C3.x2 ex
y(0) = -1 -1 = C1 e0 + C2 e
0 + C2 0 e0 + 2C3.0 e
0 + C3.02 e0
-1 = 2C2 + C3..(2)
y = C1 ex + C2 e
x + C2 ex + C2 x e
x + 2C3.ex + 2C3.x e
x + 2C3.xex + C3.x
2 ex
y = C1 ex + 2C2 e
x + C2 x ex + 2C3.e
x + 4C3.x ex + C3.x
2 ex
y(0) = 0 ..........0 = C1 e0 + 2C2 e
0 + C2 0 e0 + 2C3.e
0 + 4C3.0 e + C3.02 e0
0 = C1 + 2C2 + 2C3 (3)
Subsitusi persamaan (1) ke (3)
0 = 0 + 2C2 + 2C3
0 = 2C2 + 2C3 ................................. (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (4)
-1 = 2C2 + C3
0 = 2C2 + 2C3
Didapat C2 = -1 ; C3 = 1
Jawab khusus : y = x ex + x2 ex
LEMBAR KERJA MAHASISWA
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
7/13
Selesaikan MNA :
1. y 7y + 12y = 0 ; y(0) = 0, y(0) = 1
2. y + 8y + 16y = 0 ; y(0) = 1, y(0) = 0
3. y + 4y + 5y = 0 ; y(0) = 1 , y(0) = 0
4. y 27y = 0 ; y(0) = 1, y(0) = 0, y(0) = 0
5. y y = 0 ; y(0) = 1, y(0) =3, y(0) = 2
KUNCI JAWABAN
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
8/13
1. Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
Persamaan menjadi : t2 etx 7 tetx + 12 etx = 0
etx (t2 7 t + 12) = 0
Persamaan karakteristik : t2 7 t + 12 = 0
(t 3) (t - 4) = 0
t1 = 3, t2 = 4
Jawab umum :
y = C1e3x + C2e
4x
y(0) = 0 . 0 = C1e0 + C2e
0
0 = C1 + C2..(1)
y = 3C1e3x + 4C2e4x
y(0) = 1 . 1 = 3C1e0 + 4C2e
0
1 = 3C1 + 4C2 (2)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
0 = C1 + C2
1 = 3C1 + 4C2
Menghasilkan C1 = -1 dan C2 = 1
Jawab Khusus : y = -e3x + e4x
2. Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
Persamaan menjadi : t2 etx + 8tetx + 16 etx = 0
etx (t2 + 8t + 16) = 0
Persamaan karakteristik : t2 + 8t + 16 = 0
(t + 4) (t + 4) = 0
t1 = t2 = -4
Jawab umum :
y = (C1 + C2x) e-4x
y(0) = 1 . 1 = (C1 + C2. 0)e0
1 = C1 ..(1)
y = C2 e-4x - 4 (C1 + C2x) e
-4x
y(0) = 0 0 = C2 e0 - 4 (C1 + C2. 0) e
0
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
9/13
0 = C2 - 4 C1 .. (2)
Subsitusi persamaan (1) ke (2)
0 = C2 - 4(1)
Menghasilkan C1 = 1 dan C2 = 4
Jawab Khusus : y = ( 1 + 4x) e-4x
3. Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx
Persamaan menjadi : t2 etx + 4tetx + 5 etx = 0
etx (t2 + 4t + 5) = 0
Persamaan karakteristik : t2 + 8t + 16 = 0
i=
= 22
20164t1,2
Jawab umum :y = e-2x( C1 cos x + C2 sin x )
y(0) = 1 . 1 = e0( C1 cos 0 + C2 sin 0 )
1 = C1 ..(1)
y = -2e-2x( C1 cos x + C2 sin x ) + e-2x( - C1 sin x + C2 cos x )
y(0) = 0 0 = -2e0( C1 cos 0 + C2 sin 0 )+e0(- C1 sin 0 + C2 cos 0)
0 = -2 C1 + C2 .(2)
Subsitusi persamaan (1) ke (2)
0 = -2(1) + C2
2 = C2
Menghasilkan C1 = 1 dan C2 = 2
Jawab Khusus : y = e-2x ( cos x + 2 sin x)
4. Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx . y= t3 etx
Persamaannya : t3 etx 27 t etx = 0
etx (t3 27) = 0
Persamaan karakteristik : t3 27 = 0
t3 = 27
t1 = t2 = t3 = 3
Jawab umum :
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
10/13
y = C1e3x + C2x e
3x + C3. x2 e3x
y (0) = 1 1 = C1e0 + C20 e
0 + C3. 02 e0
1 = C1 .(1)
y = 3C1e3x + C2 e
3x +3C2x e3x + 2C3. x e
3x + 3C3. x2 e3x
y(0) = 0. 0 = 3C1e0 + C2 e
0 +3C2 .0 e0 + 2C3. 0 e
0 + 3C3. 02 e0
0 = 3C1 + C2..(2)
y = 9C1e3x + 3C2 e
3x +3C2. e3x + 9C2x e
3x + 2C3 e3x + 6C3. x e
3x + 6C3. x e3x +
9C3. x2 e3x
y = 9C1e3x + 6C2 e
3x + 9C2x e3x + 2C3 e
3x + 12C3. x e3x + 9C3. x
2 e3x
y(0) = 0 ........ 0 = 9C1e0 + 6C2 e
0 + 9C20 e0 + 2C3 e
0 + 12C3.0 e0 +
9C3. 02 e0
0 = 9C1 + 6C2 + 2C3 (3)
Subsitusi persamaan (1) ke (2)
0 = 3(1) + C2
-3 = C2 (4)
Subsitusi persamaan (1) dan (4) ke (3)
0 = 9(1) + 6(-3) + 2C3
2
9
= C3
Jadi, C1 = 1, C2 = -3 dan C3 =2
9
Jawab khusus : y = e3x - 3x e3x +2
9. x2 e3x
5. y y = 0 ; y(0) = 1, y(0) =3, y(0) = 2
Ambil y = etx y = t etx .y = t2 etx . y= t3 etx
Persamaannya : t3 etx t2 etx = 0
etx (t3 t2) = 0
Persamaan karakteristik : t3 t2 = 0
t2(t 1) = 0
t1 = t2 = 0 ; t3 = 1
Jawab umum :
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
11/13
y = C1ex + C2 + C3x
y (0) = 1 . 1 = C1e0 + C2 + C3. 0
1 = C1 + C2 .(1)
y = C1ex + C3
y(0) = 3 3 = C1e0 + C3
3 = C1 + C3..(2)
y = C1ex
y(0) = 2 ........ 2 = C1e0
2 = C1 (3)
Subsitusi persamaan (3) ke (1)
1 = 2 + C2
-1 = C2
Subsitusi persamaan (3) ke (2)
3 = 2 + C3
1 = C3
Jadi, C1 = 2, C2 = -1 dan C3 = 1
Jawab khusus : y = 2ex - 1 + x
DAFTAR PUSTAKA
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
12/13
Ayres, frank. 1986.Persamaan diferensial. Jakarta : Erlangga
Isa, Muhammad. 2007.Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Palembang:
Universitas PGRI
Herdiana, heris, dkk. 2001.Persamaan differensial. Bandung : Pustaka Setia
KATA PENGANTAR
7/27/2019 PENYELESAIAN MNA DALAM PERSAMAAN DEFFERENSIAL HOMOGEN DENGAN KOFESIEN TETAP.doc
13/13
Bismillahirahmanirahim
Segala puja dan puji syukur penulis panjatkan ke hadirat ALLAH SWT, karena
atas limpahan rahmat, petunjuk, bimbingan dan lindungan Nya penulis masih diberi
ksempatan untuk mengerjakan ataupun menyelesaikan makalah tentang Persamaan
differensial Homogen dan koefisien tetap ini dengan baik Shalawat serta salam
senantiasa kita curahkan pada junjungan Nabi Besar kita Muhammmad SAW beserta
keluarganya.
Pembuatan makalah ini merupakan salah satu syarat sebagai tugas mata
kuliah Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Penulis telah berusaha semaksimal mungkin
untuk meresumekan atau membuat makalah ini sebagai bahan ajar untuk belajar bagi kita
semua terutama sebagai pelajar.tetapi penulis juga menyadari bahwa di dalam
penyusunan maupun penulisan Makalah ini banyak terdapat kekurangan baik dalam
penyampaian maupun dalam penulisan. Hal ini dikarenakan terbatasnya kemampuan dan
pengalaman penulis. Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari teman-
teman yang bersifat membangun demi kesempurnaan makalah ini.
Harapan penulis agar makalah yang dibuat dapat bermanfaat bagi mahasiswa danmahasiswi Universitas PGRI Palembang.
Palembang, April 2010
Penulis