Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah     

 

4 Votes

Persamaan Diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling

sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang

tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel

terikatnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka

disebut PD peubah terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya, tinggal

diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut PD peubah tak terpisah.

Suatu PD orde satu yang peubahnya tak terpisah biasanya dapat dengan mudah

dijadikan PD peubah terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah

satu variabelnya.

Bentuk umum dengan peubah-peubah terpisah dapat ditulis sebagai berikut

M(x) dx + N(y) dy = 0. Oleh karena itu, variabel-variabel telah terpisah

dan penyelesaian PD diatas adalah dengan mengintegralkan suku demi suku

yaitu   M(x) dx +   N(y) dy = C, dengan C adalah konstanta sebarang.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1. x dx + y dy = 0

Penyelesaian :

karena peubahnya sudah terpisah, maka langsung bisa diintegralkan

 x dx =   y dy

x2 + c1 =  y2 + c2

x2 –  y2 = c2 - c1

x2 + y2 = 2(c2 – c1)

x2 + y2 = c, dengan c = 2(c2 – c1)

2. 9yy’ + 4x = 0

Penyelesaian :

9yy’ + 4x = 0

9y   = -4x

9y dy = -4x dx

 9y dy =   -4x dx

y2 + c1 = -2x2 + c2 [bagi 18]

 +   =   + 

 +   = C, dengan C = 

3. (1 – y)y’ = x2

Penyelesaian :

(1 – y)y’ = x2

(1 – y)   = x2

 (1 – y) dy =   x2 dx

 (1 – y)   =   x2 dx

 (1 – y)2 + c1 =  x3 dx + c2

 (1 – y)2 –  x3 dx = c2 - c1

(1 – y)2 + x3 dx = -6(c2 - c1)

(1 – y)2 + x3 dx = c, dengan c = -6(c2 - c1)

4. 2x dx – (y + 1) dy = 0

Penyelesaian :

2x dx = (y + 1) dy

 2x dx =   (y + 1) dy

x2 + c1 =   (y + 1)2 + c2

x2 –   (y + 1)2 = c2 - c1

2x2 – (y + 1)2 = 2(c2 - c1)

2x2 – (y + 1)2 = c, dengan c = 2(c2 - c1)

Jika PD berbentuk M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, maka kita harus bentuk

menjadi PD peubah terpisah. Jika PD tersebut berbentuk f1(x)g2(y) dy +

f2(x)g1(y) dy = 0 yaitu dipisahkan dengan melakukan pembagian f2(x).g2(y),

sehingga diperoleh   dx +   dy = 0. Untuk mencai solusinya, tinggal

diintegralkan saja, diperoleh   dx +   dy = C.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

1. y dx + (1 + x2) dy = 0, dengan y   0

Penyelesaian :

y dx + (1 + x2) dy = 0 [bagi dengan y.(1 + x2)]

 dx +   dy = 0

 dx +   dy = C

arc tan x + ln y = C

NOTE :   dx = arc tan x baca DISINI

2. 2(y + 3) dx – xy dy = 0

Penyelesaian :

2(y + 3) dx – xy dy = 0 [bagi dengan (y + 3).x]

 dx +   dy = 0

 dx +   dy = C

2 ln x +   dy = C

2 ln x +   dy –   dy = C

2 ln x + y –   = C

2 ln x + y – 3 ln (y + 3) = C

ln x2 + y – ln (y + 3)3 = C

Suatu persamaan diferensial variabel terpisah ditandai oleh fakta bahwa dua peubah dari

persamaan itu bersama-sama masing-masing dideferensiannya, dapat ditempatkan di ruas yang

berlawanan. Dengan manipulasi aljabar, memungkinkan kita menuliskan persamaan diferensial

terpisah dalam bentuk implisit:

y’ = P(x)/Q(x), atau

dalam bentuk eksplisit:

dy/dx = P(x)/Q(x)

Untuk memperoleh penyelesaian umum suatu persamaan diferensial terpisah, pertama-tama kita

pisahkan kedua peubah dan kemudian integralkan kedua ruas.

awal        →  Q(y) dy = P(x) dx

integral   →  ∫ P(x) dx = ∫ Q(y) dy + C,  dimana C adalah konstanta sembarang

 

Note: Bisa dilakukan hanya pada variabel yang sama,

Contoh:

Hanya mengandung variabel  y  ←  (y + 1 / y2 + 4) dy = -x dx   →  Hanya mengandung variabel  x

Contoh soal dan Pembahasan

Selesaikan setiap persamaan diferensial di bawah ini:

1. y2 dy = (x + 3x2) dx, bila mana  x = 0 dan y = 6 →  bentuk Implisit

2. xyy’ + x2 + 1 = 0 → bentuk Eksplisit

Pembahasan:

1. y2 dy = (x + 3x2) dx, syarat harus mengandung variabel yang sama pada tiap ruas.

Integralkan kedua ruas

∫ y2 dy = ∫ (x + 3x2) dx

y3/3 + C1 = (x2/2 + x3 + C2)

y3 = (3x2/2 + 3x3 + 3C2 – 3C1)

y3 = 3x2/2 + 3x3 + C    ; C = 3C2 – 3C1

Maka solusi umumnya adalah  :  y3 = 3x2/2 + 3x3 + C 

Menghitung konstanta  C, kita menggunakan persyaratannya bilamana  x = 0  dan  y = 6, maka

akan menghasilkan:

C = 216

Solusi khususnya adalah :   y3 = 3x2/2 + 3x3 + 216

2. xyy’ + x2 + 1 = 0

Ubah ke dalam eksplisit

xy (dy/dx) + x2 + 1 = 0

Bagi tiap-tiap ruas

y dy = -(x2 + 1/x) dx

Integralkan kedua ruas

∫ y dy = – ∫((x2 + 1)/x) dx

∫ y dy = – ∫( X + 1/x) dx

y2/2 = – (x2/2 + ln|x|) + C

y2 = -x2/2 – ln|x + c       ; c = -C

Maka, solusi umumnya adalah   y2 = -x2/2 – ln|x + c

PERSAMAAN DIFERENSIAL

LEAVE A COMMENT »

AUG 16

Persamaan Diferensial

BY PETRUSFENDIYANTO

 

 

 

 

 

 

Rate This

A. Definisi Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan satu (atau

beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya di sebut

“Persamaan Turunan”, namun istilah “Persamaan Diferensial” (aequatio differentialis) yang

diperkenalkan Leibniz dalam tahun 1676 sudah umum digunakan.

Contoh:

y’ + xy = 3                                              . . . . . . . . . . (1)

y” – 5y’ + 6y = cos x                              . . . . . . . . . . (2)

y” = (1 + y’) (x2 + y2)                             . . . . . . . . . . (3)

Pada persamaan di atas menyatakan turunan pertama dan kedua dari fungsi y(x) terhadap  x 

yang disebut persamaan diferensial biasa.

B. Bentuk Umum Persamaan Diferensial

Adapun bentuk umum persamaan diferensial yaitu:

f(x) dx + g(y) dy = 0

C. Orde (Tingkat) dan Degree (Derajat)

Orde (tingkat) adalah turunan tertinggi dalam persamaan diferensial.

Degree (derajat) adalah derajat dari orde tertinggi.

Contoh

(d3 y /dx3 )2 – (d2 y + dx2 )3 + 2xy = 6

pada persamaan di atas memiliki orde 3 dan derajat 2.

D. Mencari Solusi Persamaan Diferensial

Langkah-langkah:

Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada didalam persamaan garis lengkung

(kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya.

Hilangkan semua konstanta sembarang. Jika banyaknya konstanata sembarang ada  n,

maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dibutuhkan  n + 1

persamaan. Untuk mendapatkan  n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva)

semual dideferensialkan samapai turunan ke-n.

Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan orde tertinggi dari turunan dalam

persamaan diferensial yang dicari.

E. Contoh Soal dan Pembahasan

Carilah persamaan diferensial dari hi,mpunan garis lengkung:

a. y = A sin 2x + B cos 2x; A dan B adalah konstanta sembarang

b. y = x3 + A x2 + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang

Penyelesaian

a. Karena ada (dua) kosntanta sembarang, maka dibutuhkan 3 persamaan untuk mengeliminasi 

dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 2.

Persamaan 1     : y = A sin 2x + B cos 2x, turunan terhadap x

Persamaan 2     : dy/dx = 2a cos 2x – 2B sin 2x, turunan terhadap x

Persamaan 3     : d2y/dx2  = – 4A sin 2x – 4B cos 2x

Substitusi persamaan (1) ke persamaan (3) diperoleh:

d2y/dx2  = -4A sin 2x – 4B cos 2x

d2y/dx2  = -4(A sin 2x + B cos 2x)  →  y = A sin 2x + B cos 2x

d2y/dx2  = – 4y

Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah  d2y/dx2  + 4y = 0

b. Karena ada (tiga) konstanta sembarang, maka dibutuhkan 4 persamaan untuk mengeliminasi

A dan B serta orde tertinggi dari turunannya adalah 3.

Persamaan 1     : y = x3 + A x2 + Bx + C, turunan terhadap x

Persamaan 2     : dy/dx = 3 x2  + 2Ax + B, turunan terhadap x

Persamaan 3     : d2y/dx2  = 6x + 2A, turunan terhadap x

Persamaan 4     : d3y/dx3 = 6

Jadi, persamaan diferensial yang dicari adalah   d3y/dx3 – 6 = 0

PERSAMAAN DIFERENSIAL

LEAVE A COMMENT »

AUG 16

PDB Orde Satu

BY PETRUSFENDIYANTO

 

 

 

 

 

 

Rate This

1. Penyelesaian PDB Orde Satu dengan Integerasi Langsung

Jika persamaan diferensial biasa (PDB) dapat disusun dalam bentuk  dy/dx = f(x), maka

persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh

dy/dx = 3x2 - 6x + 5

maka

y = ∫ (3x2 - 6x + 5) dx = x3 – 3x2 + 5x + C

Penyelesaian menggunakan program MATLAB sebagai berikut:

>> y = dsolve(‘ Dy = 3*x^2 – 6*x +5 ‘,’ x ‘)

maka

dy/dx = 5x2 - 4/x

sehingga

y = (5/3) x3 – 4lnx + C

Penyelesaian menggunakan program MATLAB sebagai berikut:

>> y = dolve(‘ x*Dy = 5*x^3 + 4 ‘, ‘ x ‘)

y = 5/3*x^3 + 4*log(x) + C1

Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas c merupakan keterangan

syarat (sebuah nilai y untuk nilai x tertentu). Solusi dengan kosntanta sembarang atau  c  disebut

solusi umum/primitif. Sedangkan, jika nilai c dapat dihitung maka disebut solusi khusus.

Contoh:

Tentukan solusi khusus jika y = 3 untuk x = 0

ex (dy/dx) = 4      →     dy/dx = 4e-x

maka

y = ∫ 4e-x dx = -4e-x + C

dengan mengetahui y = 3 untuk x = 0 dapat dihitung nilai  c  yaitu

y = -4e-x + C  ↔  3 = -4 + C ; C = 7

sehingga solusi khusus adalah :

y = ∫ 4e-x dx  = 4e-x + 7

Penyelesaian menggunakan program MATLAB sebagai berikut:

>> y = dsolve(‘ exp (x) * Dy = 4 ‘, ‘ y(0) = 3 ‘, ‘ x ‘)

>> y = -4 * exp (-x) + 7

2. Penyelesaian PDB Orde Satu Dengan Pemisahan Variabel

Jika persamaan diferensial berbentuk (dy/dx) = f(x,y), yaitu persamaan yang kanannya dapat

dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi ‘ x ‘  dan fungsi  ‘ y ‘, maka penyelesaian

peersamaan diferensial dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor  ‘ y ‘ bisa kita

kumpulkan dengan  ‘ dy ‘ dan faktor ‘ x ‘ dengan ‘ dx ‘.

Contoh:

Selesaikan Persamaan diferensial berikut

a.  dy/dx = (1 + x) (1 + y)

Penyelesaian

∫ (1 / (1 + y)) dy = ∫ (1 + x) dx

ln (1 + y) = x + (1/2) x2 + C

Penyelesaian menggunakan program MATLAB sebagai berikut:

 >> y = dsolve(‘ Dy = (1 + x) * (1 + y) ‘)

y = C1 * exp (t * (x + 1)) – 1

b.  9y  (dy/dx) + 4x = 0

Penyelesaian

Dengan memisahkan variabelnya diperoleh:

9y  dy = -4 x  dx

Selanjutnya tiap ruas diintegralkan dan didapatkan solusi:

(9/2) y2  =  -2x2+ C

(9/2) y2 + 2x2 = C  ↔ ( y2/2 + 2x2 /9) = C/9

y = √(- 4/9 x2 + 2/9 C)

Solusi dengan MATLAB

syms x y

fx = ‘ (2*x ^2) + (9/2 * y^2) – C’

for C = -11 : 11

ezplot(eval (fx))

axis square

axis equal

 hold on

grid on

end

title(‘ kurva f(x,y) = 2x^2 + 9/2 y^2 – C’)

Hasil Output:

PERSAMAAN DIFERENSIAL

LEAVE A COMMENT »

JUN 21

PD Linier

BY PETRUSFENDIYANTO

 

 

 

 

 

 

Rate This

BAB-IV-PERSAMAAN-DIFERENSIAL-LINIE

PERSAMAAN DIFERENSIAL

LEAVE A COMMENT »