PERANGKAT PEMBELAJARAN · KONTRAK PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR MKK206515 Semester II / 3 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. FAKULTAS KEGURUAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN

MATA KULIAH : PROGRAM LINEAR

KODE : MKK206515

DOSEN : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA

SUKOHARJO

KONTRAK PEMBELAJARAN

PROGRAM LINEAR MKK206515

Semester II / 3 SKS

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.


UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA

SUKOHARJO

A. Identitas Mata Kuliah

Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR

Semester / SKS : II / 3 SKS

Pengampu Mata Kuliah : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.

Kode Mata Kuliah : MKK206515

B. Manfaat Mata Kuliah

Setelah mengikuti kuliah ini diharapkan mahasiswa dapat :

1. Mengenal program linear sebagai penunjang pengambilan keputusan

2. Memahami syarat-syarat pemecahan persoalan program linear dengan metode grafik

3. Memahami masalah teknis dalam program linear

4. Memahami bentuk standar model program linear

5. Memahami metode simpleks untuk memecahkan permasalahan program linear

C. Deskripsi Mata Kuliah

Program Linear adalah mata kuliah yang mempelajari tentang metode optimasi untuk menentukan

nilai optimum dari fungsi tujuan linear pada kondisi pembatasan-pembatasan tertentu. Metode yang

digunakan dalam optimasi adalah : metode grafik dengan titik ekstrim, metode grafik dengan isoline,

serta metode simpleks. Kejadian-kejadian khusus dalam permasalahan program linear juga dipelajari

dan disertai pula dengan cara pengambilan keputusan apabila terjadi kejadian khusus, baik untuk

metode grafik maupun metode simpleks.

D. Kompetensi Dasar dan Indikator

Kompetensi Dasar Indikator

1. Membentuk model

matematika dari

permasalahan program linear

1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan

program linear

1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program

linear

1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program

linear

2. Menyelesaikan permasalahan

program linear dengan

metode grafik

2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari


2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear

dengan metode grafik menggunakan isoline


menggunakan metode grafik dengan menentukan titik

ekstrim

2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang

muncul saat optimasi dengan metode grafik

3. Menyelesaikan permasalahan

program linear dengan

metode simpleks

3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika


dengan metode simpleks


dengan metode simpleks menggunakan teknik M


dengan metode simpleks dua tahap

3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks

3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang

muncul saat optimasi dengan metode simpleks

E. Organisasi Materi

F. Pendekatan Dan Strategi Pembelajaran

Strategi pembelajaran yang digunakan mengarah pada Active Learning. Metode-metode yang

digunakan adalah sebagai berikut :

1. Questions Students Have

2. Kelompok Belajar (The Study Group)

3. Concept Sentences

4. The Learning Cell

G. Sumber Belajar

[1] Aminudin . 2005 . Prinsip–prinsip Riset Operasi . Jakarta : Erlangga

[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa

Sains

[3] Siswanto . 2006 . Operations Research Jilid I . Jakarta : Erlangga

[4] Handout Kuliah

H. Penilaian Dan Kriteria Pembelajaran 1. Presensi dan Keaktifan : 30 %

2. Tugas Terstruktur : 20 %

3. UTS : 20 %

4. UAS : 30 %

100 %

I. Jadwal Perkuliahan

Pertemuan P E M B E L A J A R A N

1

Materi : a. Pengenalan Pemrograman Linear

b. Membentuk permasalahan program linear ke dalam model matematika, yang

menyangkut :

Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear

Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear

Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear

2

Materi : a. Menggambar daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear

b. Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program linear

3

Materi :

Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik

menggunakan isoline

4

Materi :

Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode grafik

menggunakan titik ekstrim

5

Materi :

Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat optimasi

dengan metode grafik

6 QUIZ 1 : KD 1 dan KD 2

KD I KD II

KD III

7 Materi : a. Bentuk standart dari permasalahan program linear

b. Konsep dasar dan algoritma metode simpleks

8 Materi : Penyelesaian permasalahan program linear dengan metode simpleks

9 Ujian Tengah Semester

10

Materi : a. Peyelesaian awal semu

b. Metode simpleks dengan teknik M

11 Materi : Metode simpleks dua tahap

12 Materi : Interpretasi tablo optimal simpleks

13 Materi :

Berbagai kejadian khusus pada metode simpleks

14 QUIZ II Materi : KD 3

15 REVIEW:

Persiapan Ujian Semester

16 Ujian Akhir Semester

UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO


SILABUS

Program Studi : PENDIDIKAN MATEMATIKA



Bobot : 3 SKS

Semester : II

Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar

Standar Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan menggunakan berbagai metode

Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok

Alokasi

Waktu

(menit)

Sumber/ Bahan/

Alat

Penilaian/

Evaluasi

1. Membentuk model

matematika dari

permasalahan

program linear

1.1 Menentukan variabel keputusan

dari permasalahan program

linear

1.2 Menentukan fungsi kendala dari


1.3 Menentukan fungsi tujuan dari


Tatap muka

Memberikan deskripsi tentang program

linear

Memberi contoh permasalaahan program

linear

Memberikan gambaran tentang variabel,

fungsi kendala dan fungsi tujuan

Kegiatan terstruktur

Pre-test

Mendiskusikan pemodelan dengan

menentukan variabel keputusan, fungsi

kendala dan fungsi tujuan pada

permasalahan pemrograman linear

Post-test

Pengenalan

Pemrograman Linear

Membentuk

permasalahan program

linear ke dalam model

matematika

3 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

Program Linear

Modul

Alat :

Bentuk

evaluasi :

Pre-test

Post-test

Instrumen :

Lembar

Kerja

Individu

2. Menyelesaikan

permasalahan

program linear

dengan metode

grafik

2.1 Menentukan daerah layak

(feasible region) dari


2.2 Menentukan nilai optimum


dengan metode grafik

menggunakan isoline



menggunakan metode grafik

Tatap muka

Memberikan deskripsi singkat tentang

daerah layak (feasible region)

Memberikan definisi dari titik ekstrim cara

penentuan nilai optimum dengan evaluasi

nilai fungsi tujuan pada titik ekstrim

Menjelaskan secara singkat tentang

isoline dan cara penentuan nilai optimum

dengan isoline


Daerah penyelesaian

dari pertidaksamaan

linear

Penentuan daerah

layak (feasible region).

Meetode grafik dengan

titik ekstrim.

Metode grafik dengan

isoline

9 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

Program Linear

Modul

Alat :

Bentuk

evaluasi :

Pre-test

Post-test

Instrumen :

Lembar

Diskusi

Kelompok

dengan menentukan titik ekstrim

2.4 Menentukan nilai optimum dari

kejadian khusus yang muncul

saat optimasi dengan metode

grafik

Pre-test

Mendiskusikan berbagai kejadian khusus

yang muncul saat optimasi dengan

metode grafik

Post-test

Menentukan nilai

optimum dari kejadian

khusus

3. Menyelesaikan

permasalahan

program linear

dengan metode

simpleks

3.1 Menentukan bentuk standar dari

model matematika







menggunakan teknik M



dengan metode simpleks dua

tahap

3.5 Menentukan nilai optimum dari

kejadian khusus yang muncul

saat optimasi dengan metode

simpleks

Tatap muka

Menjelaskan tentang bentuk standar

(bentuk kanonik) dalam pemodelan

matematika permasalahan program linear

Menjelaskan optimasi permasalahan

pemrograman linear dengan metode

simpleks, metode simpleks dengan teknik

M, dan metode simpleks dua tahap


Post test

Bentuk

standart/bentuk

kanonik

Metode simpleks.

Interpretasi tablo

optimal simpleks

Kejadian khusus pada

metode simpleks

Peyelesaian awal semu

Metode simpleks

dengan teknik M

Metode simpleks dua

tahap

18 50 Sumber :

Buku panduan

mata kuliah

Program Linear

Modul

Alat :

Bentuk

evaluasi :

Post-test

Instrumen :

Lembar

Kerja

Individu

Lembar

diskusi

kelompok

RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP)

Nama Dosen : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd.

NIP : 19860715 2013032174

Fakultas : KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN




Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 1

Standart Kompetensi : Menentukan penyelesaian dari permasalahan program linear dengan

menggunakan berbagai metode

Kompetensi Dasar : 1. Membentuk model matematika dari permasalahan program linear

Indikator : 1.1 Menentukan variabel keputusan dari permasalahan program linear

1.2 Menentukan fungsi kendala dari permasalahan program linear

1.3 Menentukan fungsi tujuan dari permasalahan program linear

Tujuan : Menentukan model matematika dari permsalahan pemrograman linear

MATERI

A. DEFINISI PEMROGRAMAN LINEAR

Suatu perusahaan atau organisasi harus membuat keputusan mengenai cara mengalokasikan

sumber-sumbernya dan tidak ada organisasi yang beroperasi secara permanen dengan sumber yang

tidak terbatas, akibatnya manajemen harus secara terus menerus mengalokasikan sumber langka

untuk mencapai tujuan yang optimal. Tiap organisasi mencoba untuk mencapai tujuan tertentu sesuai

dengan batasan sumber daya, seperti : bahan mentah, uang, waktu, tenaga, dll.

Pemrograman Linear adalah metode optimasi untuk menentukan nilai optimum dari fungsi

tujuan linear pada kondisi pembatasan-pembatasan (constrains) tertentu. Persoalan pemrograman

linear dapat ditemukan pada berbagai bidang dan dapat digunakan untuk membantu membuat

keputusan, memilih suatu alternatif yang paling tepat. Aplikasi program linear misalnya untuk keperluan

: perencanaan produksi, produksi campuran, penjadwalan, relokasi sumber daya, masalah transportasi,

dll.

B. MODEL PEMROGRAMAN LINEAR

Bentuk umum model program linear adalah :

Optimumkan :

Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Dengan batasan :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm

x1, x2,... , xn 0

Terminologi umum untuk model program linear di atas adalah :

1. Fungsi yang akan dicari nilai optimumnya (Z) disebut fungsi tujuan (objective function)

2. Fungsi batasan (constrains) yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu :

a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m.

b. Fungsi batasan non-negatif (non-negative constrains)

3. Variabel keputusan (decision variables)

4. Parameter model

C. PERSOALAN PEMROGRAMAN LINEAR

Persoalan pemrograman linear adalah persoalan optimasi yang memenuhi ketentuan sebagai

berikut :

1. Fungsi tujuan merupakan fungsi linear dari variable keputusan.

2. Nilai variabel keputusan harus memenuhi pembatasan-pembatasan yang berbentuk persamaan

atau ketaksamaan.

3. Setiap variabel keputusan harus dibatasi yaitu non negatif.

Model adalah sebuah tiruan terhadap realitas. Langkah yang dilakukan untuk membuat

peralihan dari realita ke model kuantitatif disebut perumusan model. Ada beberapa tahap dalam

memformulasikan persoalan pemrograman linear ke model kuantitatif, yaitu :

1. Mengidentifikasi variabel keputusan

2. Mendeskripsikan fungsi tujuan sebagai kombinasi linear dari variabel keputusan

3. Mendeskripsikan pembatasan-pembatasan sebagai kombinasi linear dari variabel keputusan

4. Mengidentifikasi batas bawah atau batas atas dari variabel keputusan

5. Mengekspresikan semua hasil identifikasi tersebut dalam model kuantitatif

Contoh 1.1 :

Sebuah perusahaan memproduksi sofa, meja dan kursi. Sumber daya untuk produksi tersebut adalah

kayu, bahan pelapis, dan waktu produksi. Sumber daya yang dibutuhkan untuk pembuatan tiap unit

barang per minggunya ditunjukkan sebagai berikut :

Jenis Produk Kebutuhan sumber daya

Kayu (lembar) Pelapis (m) Waktu kerja (jam)

Sofa 7 12 6

Meja 5 - 9

Kursi 4 7 5

Sumber daya tersedia 1400 840 540

Pembuatan produk dibatasi perminggunya 500 buah karena keterbatasan tempat penyimpanan. Laba

masing-masing produk per unit adalah Rp. 50.000,00 untuk sofa, Rp. 25.000,00 untuk meja dan Rp.

40.000,00 untuk kursi. Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak masing-masing produk harus

dibuat agar mencapai laba maksimum. Tentukan model matematikanya!

Penyelesaian :

Variabel keputusan : a = banyak produksi sofa

b = banyak produksi meja

c = banyak produksi kursi

Fungsi tujuan (Z) : Memaksimumkan laba

Memaksimumkan Z = 50.000a + 25.000b + 40.000c

Fungsi pembatas : 7a + 5b + 4c 1400 (keterbatasan kayu)

12a + 7b 840 (keterbatasan pelapis)

6a+ 9b + 5c 540 (keterbatasan waktu)

a + b + c 500 (keterbatasan tempat penyimpanan)

Batas variabel keputusan : a, b, c 0

Model matematisnya :

Tentukan nilai a, b, c Memaksimumkan : Z = 50.000a + 25.000b + 40.000c

Dengan pembatas : 7a + 5b + 4c 1400

12a + 7b 840

6a+ 9b + 5c 540

a + b + c 500

a, b, c 0

METODE PEMBELAJARAN

Learning Cell

LANGKAH PEMBELAJARAN

No. Tahap Kegiatan Pembelajaran Alokasi

Waktu

1. Pendahuluan a. Apersepsi

Memberi gambaran tentang permasalahan program linear

b. Motivasi

Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear

dalam kehidupan sehari-hari

10 menit

15 menit

2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan

tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi

tujuan.

b. Membentuk siswa dalam beberapa kelompok

Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi

contoh permasalahan.

b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup

menuliskan pertanyaan berkaitan dengan materi.

c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan

grup II menjawab pertanyaan. Setelah itu, bergantian grup II

bertanya, dan grup I menjawab.

Eksplanasi Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan

hasil diskusinya, untuk kemudian dibahas secara klasikal.

15 menit

10 menit

5 menit

10 menit

30 menit

25 menit

3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan

program linear kemudian membentuknya dalam model matematika

30 menit

MEDIA PEMBELAJARAN

Whiteboard, LCD, Laptop

SUMBER BELAJAR


[2] Ruminta . 2009 . Matriks, Persamaan Linear dan Pemorograman Linear . Bandung : Rekayasa Sains


[4] Handout Kuliah

PENILAIAN

1. Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi, hasil post-test

2. Bentuk Instrumen : Tes Uraian



NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 2



Kompetensi Dasar : 2. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode grafik

Indikator : 2.1 Menentukan daerah layak (feasible region) dari permasalahan program

linear.

Tujuan : Menentukan daerah feasible dari permalsalahan program linear

MATERI

PENYELESAIAN PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR

DAERAH LAYAK (FEASIBLE REGION)

Pada setiap kasus pemrograman linear, susunan dari kendala-kendala akan membentuk suatu

bidang yang menjadi tempat kedudukan bagi variabel-variabel yang memenuhi seluruh kendala.

Fungsi Pembatasnya : a – b 1 (i) a 7 (iii)

3a + 2b 12 (ii) b 6 (iv) b 3 (v)

(i) (ii)

(iii) (iv) dan (V)

Gambar 1.1

1

-1

6

4

7

6

3

a

b

a

b

a

b

a

b

1

-1

3

6

4 7

Jika keempat daerah tersebut dijadikan satu bidang kemudian dicari irisannya diperoleh :

Gambar 1.2

Masing-masing kendala pertidaksamaan di atas menjangkau suatu bidang penyelesaian dimana

variabel-variabel keputusan memenuhi fungsi-fungsi matematikanya. Perpotongan antara bidang

penyelesaian dari masing-masing kendala membentuk suatu bidang baru yang dinamakan dengan daerah

layak (feasible region). Oleh karena itu, penyelesaian optimum, yaitu variabel-variabel keputusan yang

memenuhi seluruh kendala dan mengakibatkan fungsi tujuan bernilai ekstrim, pasti terletak pada daerah

layak.

METODE PEMBELAJARAN

Learning Cell



Waktu


Memberikan permasalahan program linear kemudian menjelaskan

tentang penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi

tujuan

b. Motivasi

Memberikan gambaran tentang permasalahan program linear

dalam kehidupan sehari-hari

10 menit

15 menit

2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta

mahasiswa menjelaskan tentang penentuan variabel keputusan,

fungsi kendala dan fungsi tujuan.


Elaborasi a. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi

contoh permasalahan penetuan daerah feasible.

b. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup


c. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan





15 menit

10 menit

5 menit

10 menit

30 menit

25 menit


program linear kemudian membentuknya dalam model matematika

30 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 3




Indikator : 2.2 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear dengan metode

grafik menggunakan isoline.

Tujuan : 2.2.1 Menentukan penyelesaian basis awal yang feasible.

2.2.2 Menggunakan bantuan isoline untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi

tujuan

MATERI

METODE GRAFIK DENGAN ISOLINE

Ada dua cara untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan

metode grafik. Teknik yang pertama adalah dengan teknik kesamaan garis (isoline). Langkah yang

dilakukan untuk menentukan solusi optimum dengan teknik isoline adalah :

1. Tentukan kemiringan garis fungsi tujuan (merupakan himpunan infinitif dari isoline)

Pilihlah titik tertentu pada daerah layak

Gambarkan garis fungsi tujuan yang mengenai titik tersebut

2. Tentukan arah peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan persoalan maksimum/minimum. Pilih dua

garis (isoline) fungsi tujuan di daerah layak dan evaluasi nilai fungsi tujuan pada kedua garis isoline.

3. Ikuti arah peningkatan/penurunan sampai mencapai titik batas (sudut) dimana

peningkatan/penurunan dari fungsi tujuan keluar dari daerah layak.

4. Solusi optimum diperoleh dari titik batas dimana peningkatan atau penurunan dari fungsi tujuan akan

meninggalkan daerah layak.

Contoh 1.3

Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear

menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

Z1

Z2

Z3

Z4

Z4 (Solusi Optimum)

Maksimum

Z3 (Solusi Optimum)

Minimum

METODE PEMBELAJARAN

Learning Cell


Waktu


Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan

daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya

dalam menentukan nilai optimum fungsi

b. Motivasi

Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah

layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai

optimum dari permasalahan program linear

15 menit

10 menit

2. Penyajian Eksplorasi

a. Memberikan permasalahan program linear kemudian meminta

mahasiswa membentuk dalam model matematis, yang meliputi

penentuan variabel keputusan, fungsi kendala dan fungsi tujuan.


Elaborasi

d. Memberikan lembar kerja kepada setiap kelompok yang berisi

contoh permasalahan beserta langkah pemecahannya dengan

metode titik ekstrim menggunakan isoline.

e. Setiap kelompok dibagi lagi menjadi 2 grup. Setiap grup


f. Pada kesempatan pertama, grup I bertugas sebagai penanya dan



Eksplanasi

Menunjuk perwakilan dari setiap kelompok untuk menyampaikan


15 menit

10 menit

5 menit

10 menit

30 menit

25 menit

3. Penutup Refleksi dan Evaluasi

Secara individu, mahasiswa diminta membuat satu permasalahan

program linear kemudian di selesaikan sendiri dengan metode grafik

menggunakan isoline.

30 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 4




Indikator : 2.3 Menentukan nilai optimum permasalahan program linear menggunakan

metode grafik dengan menentukan titik ekstrim.

Tujuan : Menggunakan bantuan titik ekstrim untuk mengevaluasi optimasi nilai fungsi

tujuan

MATERI

METODE GRAFIK DENGAN BANTUAN TITIK EKSTRIM

Teknik kedua untuk menentukan solusi optimum pada daerah layak (feasible region) dengan

metode grafik adalah titik ekstrim. Titik ekstrim merupakan titik-titik sudut pada daerah layak. Nilai ekstrim

dari fungsi tujuan pasti terletak pada salah satu titik ekstrim. Langkah yang dilakukan untuk menentukan

solusi optimum dengan teknik titik ekstrim adalah :

1. Tentukan irisan (intersection) daerah penyelesaian dari semua fungsi kendala, sehingga diperoleh

daerah layak (feasible region).

2. Tentukan tiitik ekstrim (titik sudut) dari daerah layak.

3. Evaluasi nilai fungsi tujuan pada setiap titik ekstrim daerah layak. Solusi optimum terletak pada salah

satu titik ekstrim daerah layak.

4. Tentukan nilai optimumnya, dengan aturan: nilai terbesar dari evaluasi pada langkah 3 menjadi nilai

maksimum, dan nilai terkecilnya menjadi nilai minimum

Contoh 1.4

Untuk mengetahui proses penentuan solusi optimum dari suatu permasalahan program linear

menggunakan metode grafik dengan teknik isoline, lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

A

B

C

O

Jika fungsi tujuan dari permasalahan diatas adalah Z, setelah ditentukan koordinat titik O, A, B,

dan C, maka selanjutnya eveluasi nilai Z di setiap titik tersebut. Tentukan ZO, ZA, ZB, dan ZC.

Nilai maksimum = maks (ZO, ZA, ZB, ZC)

Nilai minimum = min (ZO, ZA, ZB, ZC)

METODE PEMBELAJARAN

Kelompok belajar (The Study Group)



Waktu

1. Pendahuluan a. Apersepsi Memberi permasalahan program linear kemudian menentukan

daerah layaknya serta memberikan gambaran penggunaannya

dalam menentukan nilai optimum fungsi

b. Motivasi Memberikan gambaran tentang kaitan titik ekstrim dan daerah

layak dari sistem pertidaksamaan linear untuk penentuan nilai

optimum dari permasalahan program linear

15 menit

2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan berbagai permasalahan program linear yang memuat

kejadian khusus berikut :


Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan nilai optimum dari berbagai

permasalahan pemrograman linear.



5 menit

10 menit

50 menit

50 menit



menggunakan titik ekstrim.

20 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 5




Indikator : 2.4 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat

optimasi dengan metode grafik.

Tujuan : 2.4.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi

2.4.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif

2.4.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas

2.4.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible

MATERI

KEJADIAN KHUSUS PADA METODE GRAFIK

Permasalahan program linear terkadang ada yang memiliki lebih dari satu penyelesaian, atau

memiliki penyelesaian yang nilainya tidak terbatas, bahkan ada permasalahan yang tidak dapat dicari

penyelesaiannya. Berikut akan dibahas berbagai kejadian khusus yang dapat muncul saat optimasi fungsi

tujuan dengan menggunakan metode grafik.

1. Degenerasi

Satu titik terbentuk dari perpotongan antara dua buah garis. Apabila terjadi perpotongan tiga garis

melalui satu titik maka kejadian ini disebut dengan over determined. Over deternimed inilah yang

menyebabkan salah satu kejadian khusus pada metode grafik, yaitu degenerasi. Dengan alasan ini

dapat dikatakan bahwa terdapat satu batasan yang melimpah atau berlebih. Batasan yang seperti ini

dinamakan dengan batasan redundan (redundant constarins).

2. Optimal Alternatif

Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan. Hal

ini terjadi apabila fungsi tujuan sejajar dengan fungsi batasan pembentuk penyelesaian optimal.

Akibatnya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian.

3. Penyelesaian tidak feasible

Suatu model pemrograman linear dikatakan memiliki penyelesaian tak feasible apabila fungsi-fungsi

batasan dalam model tersebut tidak dapat dipenuhi secara simultan. Dengan kata lain, Interseksi dari

semua fungsi batasan yang ada tidak dapat ditemukan.

4. Penyelesaian tidak terbatas

Pada model masalaah program linear ada beberapa model dimana variabel-variabel tersebut dapat

dinaikkan sampai tak terhingga tanpa melanggar fungsi batasan. Hal ini berarti ruang penyelesaian

atau daerah penyelesaian dari permasalahan pemrograman linear tersebut tidak terbatas. Akibatnya,

nilai fungsi tujuan dalam kasus memaksimumkan dapat naik sampai tak terhingga. Melihat kejadian

ini dikatakan bahwa permasalahan pemrograman linear tersebut memiliki daerah penyelesaian yang

tak terbatas dan nilai fungsi tujuannya pun tidak terbatas.

METODE PEMBELAJARAN




Waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan

program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang

tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak

tunggal.

15 menit



1). Degenerasi

2). Optimal alternatif

3). Penyelesaian tidak terbatas

4). Penyelesaian tidak layak






5 menit

10 menit

50 menit

50 menit



menggunakan titik ekstrim.

20 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 7



Kompetensi Dasar : 3. Menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode simpleks

Indikator : 3.1 Menentukan bentuk standar dari model matematika.

Tujuan : Mengubah permasalahan pemrograman linear menjadi bentuk standar

MATERI

PENDAHULUAN

Apabila suatu persoalan program linear hanya mengandung dua variabel keputusan, maka untuk

menentukan solusinya dapat dilakukan dengan metode grafik. Akan tetapi apabila permasalahan

mengandung tiga variabel atau lebih, maka akan sangat sulit, bahkan tidak bisa dilakukan optimasi

dengan metode grafik sehingga diperlukan metode lain untuk menentukan titik serta nilai optimumnya.

Salah satu metode yang bisa digunakan adalah metode simpleks.

Gagasan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris atau grafik dari titik ekstrim

atau titik sudut menjadi definisi aljabar. Metode simpleks adalah suatu teknik penyelesaian pemrograman

linear secara iterasi. Metode simpleks mencari suatu penyelesaian dasar yang feasible ke penyelesaian

dasar feasible lainnya yang dilakukan secara berulang-ulang sehingga akhirnya tercapai suatu

penyelesaian optimum. Setiap tahap penyelesaian menghasilkan nilai fungsi tujuanyang selalu lebih

optimum atau sama dari tahap-tahap penyelesaian sebelumnya. Metode simpleks sangat sistematik dan

dilengkapi test kriteria yang dapat memberitahukan kapan perhitungan harus dilanjutkan atau dihentikan

sampai diperoleh solusi optimum.

BENTUK STANDAR MODEL PROGRAM LINEAR

Pada metode simpleks permasalahan pemrograman linear selalu diubah menjadi bentuk standart

(bentuk kanonik). Ciri dari bentuk kanonik adalah sebagai berikut :

1. Semua batasan atau kendala adalah persamaan dengan sisi kanan yang non negatif.

2. Semua variabel keputusan adalah non negatif.

3. Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi dan minimasi.

Secara umum bentuk kanonik dari permasalahan program linear adalah sebagai berikut :

Optimumkan :

Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Dengan batasan :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

⁞ ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

x1, x2,... , xn 0

b1, b2,... , bm 0

Berikut ini adalah cara pengubahan dari masalah program linear ke dalam bentuk kanonik.

No Tinjauan Cara Pengubahan ke Bentuk Kanonik

1 Fungsi Batasan Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel slack biasa disimbolkan

dengan S dengan S 0.

Contoh : 3a + 2b 36 dengan a, b 0

Bentuk kanoniknya menjadi

3a + 2b + S = 36 dengan a, b, S 0

Fungsi batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda Tambahkan variabel slack pada ruas kiri. Variabel surplus biasa disimbolkan

dengan S dengan S 0.



3a + 2b S = 36 dengan a, b, S 0

Fungsi batasan dengan nilai kanan negatif

Mengalikan masing-masing sisi dari fungsi batasan dengan 1.


3a + 2b + S = 12 dengan a, b, S 0


3a 2b S = 12 dengan a, b, S 0

2 Variabel Keputusan Variabel yang tidak dibatasi tanda Misalkan ada variabel x yang nilainya tidak dibatasi, maka x harus disubstitusi

dengan x1 – x2 dengan x1, x2 0. Substitusi ini menyebabkan perubahan pada

fungsi tujuan dan fungsi batasannya.

3 Fungsi Tujuan Catatan : Sisi kanan dari fungsi tujuan dibuat nol (0)

Bentuk memaksimumkan fungsi tujuan ekuivalen dengan meminimumkan

negatif dari fungsi tujuan tersebut.

METODE PEMBELAJARAN




Waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kelemahan metode grafik, yang

dapat diselesaikan dengan metode simpleks

15 menit

2. Penyajian Eksplorasi a. Memberikan sebuah contoh permasalahan program linear, dan

meminta siswa mengidentifikasi cara mengubahnya kedalam

bentuk standar.

b. Memberikan beberapa permasalahan program linear dan

membentuk siswa dalam beberapa kelompok

Elaborasi Setiap kelompok diminta menentukan bentuk standar dari berbagai

permasalahan pemrograman linear berikut.

1. Memaksimumkan : Z = 8p + 6q

Terhadap batasan : 4p + 3q 18

6p + 5q 30

2p + q 8

p, q 0

2. Meminimumkan : P = 3x + 2y + 4z

Terhadap batasan : x + y – z 12

2x + y 3

x, z 0, y tidak dibatasi

15 menit

10 menit

40 menit

50 menit

3. Meminimumkan : W = 6a + 5b + 2c

Terhadap batasan : 3a + 2b + 5c 30

2a + 7b 28

3a 5c 15

a, b 0, c tidak dibatasi



3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Secara individu, mahasiswa diminta membuat dua buah

permasalahan program linear kemudian mengubahnya ke dalam

bentu standar.

20 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 8





simpleks.

Tujuan : Menentukan penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan metode

simpleks

MATERI

KONSEP DASAR METODE SIMPLEKS

Konsep dasar metode simpleks bertolak dari konsep dasar metode grafik, yaitu penyelesaian

optimum terjadi pada titik ekstrim. Metode simpleks dalam bekerja menggunakan proses iterasi dimulai

dari titik ekstrim feasible awal ke titik ke titik ekstrim feasible lain yang terhubung (adjecent), dan iterasi

akan berhenti jika penyelesaian optimal telah diperoleh.

Perhatikan contoh permasalahan program linear dan penyelesaiannya dengan metode grafik berikut ini:

Memaksimumkan : Z = 3a + 5b

Terhadap batasan : 2a 6

3b 15

6a + 4b 24

a, b 0

Algoritma simpleks dimulai dari titik feasible awal (misalkan titik asal O) dan akan menghasilkan

penyelesaian awal. Kemudian iterasi dilanjutkan ke titik ekstrim lain yang terhubung dengan O. Dalam

permasalahan ini ada dua kemungkinan titik ekstrim yang terhubung dengan O yaitu titik A dan D. Untuk

menentukan titik mana yang terpilih untuk iterasi selanjutnya dapat dilihat dari koefisien-koefisien pada

fungsi tujuannya. Jika koefisien a b dan masalahnya memaksimumkan maka penyelesaian akan

bergerak sejalan dengan kenaikan b. Jadi,iterasi selanjutnya terjadi di titik D. Di titik D ini proses diulang

untuk melihat apakah ada titik ekstrim lain yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Demikian

seterusnya sehingga diperoleh nilai optimum. Cara penentuan titik awal feasible pada metode simpleks

adalah sebagai berikut :

Ubah permasalahan program linear kedalam bentuk kanonik.

D C

B

A O

Misal permasalahan tersebut terdiri atas n buah variabel dan m buah fungsi batasan, titik ekstrim

feasible awal ditentukan dengan terlebih dahulu mengambil sebanyak (n – m) variabel yang

disamadengankan nol, dan disebut sebagai variabel non basis. Variabel selain variabel non basis,

disebut sebagai variabel basis.

Penyelesaian tunggal yang dihasilkan dengan menetukan variabel basis, disebut dengan

penyelesaian basis. Untuk dapat menyelesaikan dengan metode simpleks penyelesaian basis awal

yang diperoleh harus merupakan penyelesaian basis awal yang feasible, yang memenuhi syarat non

negatif.

A. ALGORITMA SIMPLEKS

Berikut ini merupakan algoritma penyelesaian permasalahan pemrograman linear dengan

menggunakan Metode Simpleks.

1. Langkah 1 :

Ubah permasalahan menjadi bentuk kanonik.

2. Langkah 2 :

Tentukan variabel basis dan variabel non basis dari bentuk kanonik persamaan linear untuk mencari

penyelesaian basis awal yang feasible.

3. Langkah 3 :

Susun persamaan-persamaan ke dalam tablo simpleks. Berikut ini adalah cara menyusun bentuk

kanonik kedalam tablo simpleks.

Variabel

Bais Z X1 X2 ... Xn Xn+1 Xn+2 ... Xn+m

Nilai

Kanan Rasio

Z 1 -c1 -c2 0 0 ... 0 0

Xn+1 0 a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 b1

Xn+2 0 a21 a22 ... a2n 0 1 ... 0 b2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Xn+m 0 am1 am2 ... amn 0 0 ... 1 bm

Keterangan :

Nilai kanan adalah nilai di belakang tanda sama dengan dan sering disebut sebagai

penyelesaian.

Xn+1, Xn+2, ... , Xn+m merupakan simbol lain dari variabel slack yang biasa disimbolkan S1, S2, ... ,

Sm.

4. Langkah 4 :

Memilih entering variable yang biasa disimbolkan dengan ev. Entering variable adalah variabel non

basis yang masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya. Cara menentukan ev adalah :

Jika fungsi tujuan memaksimumkan

Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai negatif dengan angka

terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai

terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai

non negatif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti.

Jika fungsi tujuan meminimumkan

Pilih nilai yang terletak pada baris fungsi tujuan yang memiliki nilai positif dengan angka

terbesar. Variabel yang memiliki koefisien nilai terpilih (variabel pada tablo terletak di atas nilai

terpilih), ditentukan sebagai ev. Jika pada baris fungsi tujuan, semua koefisien sudah bernilai

non positif, maka penyelesaian selesai dan iterasi berhenti.

5. Langkah 5:

Memilih leaving variable yang biasa disimbolkan dengan lv. Leaving variable adalah variabel basis

yang akan keluar menjadi variabel non basis pada iterasi berikutnya. Berikut adalah cara penentuan

lv.

Baik untuk fungsi tujuan memaksimumkan dan meminimumkan lv. Dipilih diantara variabal

basis yang memiliki nilai rasio terkecil. Rasio ditentukan dengan cara sebagai berikut :

Rasio = ev kolom Elemen

Kanan Nilai

Hal yang perlu diperhatikan dalam mencari nilai rasio adalah sebagai berikut :

Baris fungsi tujuan tidak dicari nilai rasionya.

Jika elemen pada kolom ev nol atau negatif maka nilai rasio diabaikan.

Baris yang memuat variabel yang terpilih sebagai lv disebut sebagai baris pivot. Irisan antara

baris pivot dan kolom pivot disebut sebagai elemen pivot.

6. Langkah 6 :

Memperbaiki nilai-nilai pada baris persamaan pivot, caranya :

Nilai baris pivot baru = pivot Elemen

lamapivot baris Nilai

7. Langkah 7 :

Memperbaiki nilai pada baris lain selain baris pivot, dengan aturan :

Nilai baris baru = nilai baris lama – (koefisien kolom ev nilai baris pivot baru )

8. Langkah 8 :

Ulangi langkah 4 sampai dengan 8 sampai diperoleh penyelesaian optimal.

METODE PEMBELAJARAN

Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning



Waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Mengulas pengubahan permasalahan program linear menjadi bentuk

standar

10 menit

2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks.

Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear

b. Kegiatan Kelompok

Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan

penyelesaiannya menggunakan metode simpleks

Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat

yang telah disediakan.

c. Diskusi antar kelompok

3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di

posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan

atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.

3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu

kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan

bertanya pekerjaan kelompok lain.

Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang

sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.

35 menit

5 menit

30 menit

5 menit

40 menit

20 menit

3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kelebihan metode simpleks.

5 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 10





simpleks menggunakan teknik M.

Tujuan : 3.3.1 Menetukan bentuk kanonik dari permasalahan dengan penyelesaian

awal semu.

3.3.2 Menggunakan algoritma simpleks untuk menyelesaikan permasalahan

yang mengandung variabel semu dengan metode simpleks teknik M.

MATERI

PENYELESAIAN AWAL SEMU

Perhatikan contoh permasalahan linear berikut :

Permasalahan Program Linear Bentuk Kanonik

Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k

Terhadap batasan : 2i + 6k 3 (1)

3j + 4k 5 (2)

i, j, k 0

Meminimumkan : W 6i 15j 24k = 0

Terhadap batasan : 2i + 6k S1 = 3 (1)

3j + 4k S2 = 5 (2)

i, j, k, S1, S2 0

Bentuk kanonik tersebut terdiri atas dua persamaan dan lima variabel tek diketahui. Sehingga

untuk menentukan penyelesaian basis awal terlebih dahulu harus menentukan sebanyak n – m = 5 – 2 =

3 variabel non basis. Misalkan dipilih i = j = k = 0 maka diperoleh variabel basisnya adalah S1, dan S2

dengan nilai S1 = -3 dan S2 = -5. Karena terdapat variabel basis yang nilainya negatif, berarti penyelesaian

basis awal yang diperoleh merupakan penyelesaian basis awal yang tidak feasible.

Untuk mengatasi hal tersebut maka pada bentuk kanonik untuk setiap persamaan yang tidak

mengandung variabel slack ditambah variabel semu pada ruas kirinya. Variabel semu biasa disimbolkan R

dengan R 0. Penambahan variabel ini diperlakukan seperti variabel slack maupun variabel surplus.

Sebagai konsekuensi dari penggunaan variabel semu ini adalah penambahan sebesar MR pada ruas

kanan fungsi tujuan yang meminimalkan dan adanya pengurangan sebesar MR pada ruas kanan fungsi

tujuan yang memaksimalkan (M adalah bilangan positif yang sangat besar)

Karena variabel semu tidak berarti pada masalah aslinya, maka prosedur akan valid hanya

apabila pada saat optimasi, variabel semu ini bernilai nol. Dengan kata lain, variabel semua hanya

digunakan pada awal penyelesaian dan sebagai konsekuensinya harus dinolkan pada penyelesaian

akhirnya. Apabila ada variabel semu yang tidak sama dengan nol pada penyelesaian akhirnya berarti

penyelesaian tersebut tidak feasible.

METODE PENALTI / TEKNIK M

Metode ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan

permasalahan program linear yang bentuk kanoniknya mengandung variabel semu.

Perhatikan contoh berikut.




3j + 4k 5 (2)

i, j, k 0

Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2)

Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1)

3j + 4k S2 + R2 = 5 (2)

i, j, k, S1, S2, R1, R2 0

Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 – 2i – 6k + S1

(2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 – 3j – 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2

Sehingga bentuk kanoniknya menjadi :

Meminimumkan : W = 6i + 15j + 24k + M (R1 + R2) = 6i + 15j + 24k + M (8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2)

W = (6 – 2M)i + (15 – 3M)j + (24 – 10M)k + MS1 + MS2 + 8M

W + (–6 + 2M)i + (–15 + 3M)j + (–24 + 10M)k – MS1 – MS2 = 8M

Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3

3j + 4k S2 + R2 = 5

i, j, k, S1, S2, R1, R2 0

Permasalahan tersebut memiliki 2 persamaan dengan 7 variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya

permasalahan ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :

Mencari penyelesaian basis awal feasible.

Ambil sebanyak 7 – 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5

sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = 8M.

Tablo Simpleks secara lengkap dari masalah tersebut adalah sebagai berikut :

Ket Var.

Basis W I j k S1 S2 R1 R2 Nilai Kanan Rasio

Iterasi Awal W 1 -6+2M -15+3M -24+10M -M -M 0 0 8M -

ev = k R1 0 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2

lv = R1 R2 0 0 3 4 0 -1 0 1 5 5/4

Iterasi (1) W 1 2-(4M/3) -15+3M 0 -4+(2M/3) -M 4-(5M/3) 0 12+3M -

ev = j k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 ½ -

lv = R2 R2 0 -4/3 3 0 2/3 -1 -2/3 1 3 1

Iterasi (2) W 1 -14/3 0 0 -2/3 -5 4/6 - M 5 – M 27

Optimal k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 ½

j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 -2/9 1/3 1

Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian

optimal tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k) =

2

1 1, 0, dengan

Wmin = 27.

METODE PEMBELAJARAN

Two Stay Two Stray dan Gallery of Learning



Waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi

Mengulas tentang metode simpleks

10 menit

2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang algoritma metode simpleks untuk

35 menit

menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu.

Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear

b. Kegiatan Kelompok

Meminta mahasiswa secara berkelompok untuk menentukan

penyelesaiannya menggunakan metode simpleks teknik M.

Setiap kelompok menempelkan hasil diskusinya pada tempat

yang telah disediakan.

c. Diskusi antar kelompok

3 orang anggota kelompok diberi tugas untuk tetap berada di

posisi semua untuk menjelaskan apabila ada pertanyaan

atau koereksi yang nantinya diberikan kelompok lain.

3 orang yag lain ditugaskan untuk berkeliling dari satu

kelompok ke kelompok yang lain untuk mengomentari dan

bertanya pekerjaan kelompok lain.

Eksplanasi Diskusi kelas untuk membahas beberapa permasalahan yang

sudah dibuat dikerjakan mahasiswa.

5 menit

30 menit

5 menit

40 menit

20 menit

3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Penarikan kesimpulan mengenai kejadian penyelesaian awal

semu.

5 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 11





simpleks Dua Tahap.

Tujuan : 3.4.1 Menentukan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap

3.4.2 Menentukan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II

3.4.3 Menentukan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II

3.4.3 Menentukan nilai optimum dari permasalahan program linear

MATERI

METODE SIMPLEKS DUA TAHAP

Pemberian koefisien M pada variabel semu fungsi tujuan untuk metode penalti, ternyata

menghambat sekali. Karena pemberian bilangan yang sangat besar tersebut akan mengurangi kecepatan

perhitungan. Jika pada tablo optimal simpleks dari permasalahan yang mengandung variabel semu

ternyata R tidak sama dengan nol, maka penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian optimal yang

tidak feasible.

Untuk mengatasi hal tersebut maka dikembangkan metode dua tahap. Sesuai dengan namanya,

cara kerjanya dibagi menjadi dua tahap. Tahap I bertujuan untuk mengetahui apakah R dalam suatu

permasalahan dapat mencapai nilai nol atau tidak. Jika R mencapai nilai nol berarti penyelesaian optimal

yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang feasible. Jika R tidak nol berarti

penyelesaian optimal yang akan diperoleh pada tahap II merupakan penyelesaian optimal yang tidak

feasible. Jika hal ini terjadi maka tahap II pada metode dua tahap tidak perlu dikerjakan. Tahap II pada

metode duan tahap bertujuan untuk mencari penyelesaian optimal dari permasalahan aslinya.

LANGKAH METODE DUA TAHAP

Tahap I

Mencari nilai minimal dari jumlah variabel-variabel semu terhadap fungsi batasan pada masalah

aslinya.

Meminimumkan r =

n

1iiR

Jika rmin = 0 maka dilanjutkan ke tahap II

Jika rmin > 0 maka tidak dilanjutkan ke tahap II

Tahap II

Menggunakan penyelesaian basis optimal pada tahap I sebagai penyelesaian basis awal pada

masalah aslinya. Untuk lebih jelasnya perhatikan conoth berikut.

Contoh

Tahap I




3j + 4k 5 (2)

i, j, k 0

Meminimumkan : r =

2

1iiR

Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3 (1)

3j + 4k S2 + R2 = 5 (2)

i, j, k, S1, S2, R1, R2 0

Karena (1) 2i + 6k S1 + R1 = 3 R1 = 3 – 2i – 6k + S1

(2) 3j + 4k S2 + R2 = 5 R2 = 5 – 3j – 4k + S2 Maka R1 + R2 = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2


Meminimumkan : r =

2

1iiR = 8 – 2i – 3j – 10k + S1 + S2

r + 2i + 3j + 10k – S1 – S2 = 8

Terhadap batasan : 2i + 6k S1 + R1 = 3

3j + 4k S2 + R2 = 5

i, j, k, S1, S2, R1, R2 0


permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :


Ambil sebanyak 7 – 2 = 5 variabel non basis yaitu : i = j = k = S1 = S2 = 0. Akibatnya R1 = 3, R2 = 5

sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan r = 8.


Keterangan Var.

Basis R i j K S1 S2 R1 R2

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal r 1 2 3 10 -1 -1 0 0 8 -

ev = k R1 0 2 0 6 -1 0 1 0 3 1/2

lv = R1 R2 0 0 3 4 0 -1 0 1 5 5/4

Iterasi (1) r 1 -4/3 3 0 2/3 -1 -5/3 0 3 -

ev = j K 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2 -

lv = R2 R2 0 -4/3 3 0 2/3 -1 -2/3 1 3 1

Iterasi (2) r 1 0 0 0 -5/3 0 -1 -1 0

Optimal k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/6 0 1/2

j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 -2/9 1/3 1

Karena pada iterasi (2) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian

optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa rmin = 0 berarti masalah tersebut

memiliki penyelesaian yang feasible dan dapat dilanjutkan pada tahap II.

TAHAP II

Karena rmin = 0 berarti R1 = R2 = 0 sehingga variabel-variabel semu pada perhitungan tahap II dapat

diabaikan. Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi :

3

1i + k –

6

1S1 =

2

1 (1) dan

9

4 i + j +

9

2S1

3

1 S2 = 1 (2)

Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi :


Terhadap batasan : 3

1i + k –

6

1S1 =

2

1

9

4 i + j +

9

2S1

3

1 S2 = 1

i, j, k, S1, S2 0




Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan

pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa :

(1) 3

1i + k –

6

1S1 =

2

1 k =

2

1 –

3

1i +

6

1S1

(2) 9

4 i + j +

9

2S1 –

3

1S2 = 1 j = 1 +

9

4i –

9

2S1 +

3

1S2

Sehingga penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : k =2

1–

3

1i +

6

1S1 dan j = 1 +

9

4i–

9

2S1 +

3

1S2

dengan : W = 6i + 15j + 24

W = 6i + 15

21 S

3

1 + S

9

2 - i

9

4 + 1 + 24

1S

6

1 i

3

1 -

2

1

W = 3

14i +

3

2S1 +5S2 + 27

W 3

14i

3

2S1 5S2 = 27


Keterangan Variabel

Basis W i j k S1 S2 Nilai Kanan Rasio

Iterasi awal W 1 -14/3 0 0 -2/3 -5 27

(0) k 0 1/3 0 1 -1/6 0 1/2

Optimum j 0 -4/9 1 0 2/9 -1/3 1

Karena pada iterasi awal (0) semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka

penyelesaian optimal telah tercapai. Jadi permasalahan tersebut mencapai nilai optimal di titik (i, j, k)

=

2

1 1, 0, dengan nilai Wmin = 27.

METODE PEMBELAJARAN

Practice Rehearsal Pairs



Waktu


Mengulas kembali tentang metode penalti.

b. Motivasi

1. Memberikan permasalahan program linear yang penyelesaian

awalnya semu

2. Mengungkapkan kesulitasn yang dialami pada saat

menyelesaikan permasalahan program linear dengan metode

penalti

5 menit

10 menit

3. Memberikan wawasan tentang metode dua tahap sebagai

salah satu alternatif untuk menyelesaikan permasalahan

program linear

2. Penyajian Eksplorasi

Memberi penjelasan tentang metode simpleks dua tahap untuk

menyelesaiakan permasalahan yang penyelesaian awalnya semu.

Elaborasi

a. Memberikan permaslahan program linear yang penyelesaian

awalnya semu.

b. Meminta mahasiswa berkelompok.

c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus

menyelesaiakan permassalahan meggunakan metode simpleks

dua tahap dan menjawab pertanyaan yang ada pada LKM.

d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim

yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.

Eksplanasi

Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang

konsep yang harus dipahami mahasiswa.

10 menit

5 menit

5 menit

30 menit

30 menit

15 menit


Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut :

a. Penentuan prasyarat awal pemakaian metode dua tahap

b. Penentuan fungsi tujuan pada tahap I dan tahap II

c. Penentuan kriteria optimum pada tahap I dan tahap II

d. Penentuan nilai optimum dari permasalahan program linear

10 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 12




Indikator : 3.5 Melakukan Interpretasi terhadap Tablo Optimal Simpleks

Tujuan : 3.5.1 Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks

3.5.2 Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks

3.5.3 Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks

MATERI

INTERPRETASI TABLO OPTIMAL SIMPLEKS

Dalam suatu tablo optimal simpleks terdapat beberapa informasi penting yang dapat digunakan

sebagai bahan pertimbangan dalam meningkatkan nilai keoptimalan fungsi tujuan. Informasi penting

tersebut meliputi : 1. Penyelesaian optimal

2. Status sumber

3. Bobot satuan (unit worth) suatu sumber

Contoh 2.5

Sebuah industri rumah tangga memproduksi dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan B dengan bahan dasar

berupa terigu, keju dan daging. Kebutuhan dasar utama per unit produksi dan batas maksimum

persediaan bahan dasar utama untuk satu masa produksi serta laba dari penjualan kue tertera pada tabel

berikut :

Bahan Dasar

Utama

Jenis Kue Persediaan

Maksimum Satuan

A B

Terigu 12 8 52 Kg

Keju 0 6 30 ons

Daging 4 0 12 ons

Laba 6 10 Ratusan Rupiah

Permasalahan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk matematis menjadi :


Memaksimumkan : P = 6a + 10b

Terhadap batasan : 12a + 8b 52 (1)

6b 30 (2)

4a 12 (3)

a, b 0

Memaksimumkan : P – 6a – 10b = 0

Terhadap batasan : 12a + 8b + S1 = 52 (1)

6b + S2 = 30 (2)

4a + S3 = 12 (3)

a, b, S1, S2, S3 0

Apabila permasalahan tersebut diselesaikan dengan metode simpleks, maka diperoleh tablo simpleks

berikut :

Keterangan Variabel

Basis P a b S1 S2 S3

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal P 1 -6 -10 0 0 0 0 -

0 S1 0 12 8 1 0 0 52 13/2

ev = b S2 0 0 6 0 1 0 30 5

lv = S2 S3 0 4 0 0 0 1 12 -

Iterasi P 1 -6 0 0 5/3 0 50 -

(1) S1 0 12 0 1 4/3 0 12 1

ev = a b 0 0 1 0 1/6 0 5 -

lv = S1 S3 0 4 0 0 0 1 12 3

Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56

(2) a 0 1 0 1/12 -1/9 0 1

Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5

S3 0 0 0 -1/3 4/9 1 28/3

PENYELESAIAN OPTIMAL

Dalam membaca informasi penyelesaian optimal, klasifikasi variabel sebagai variabel basis

maupun non basis tidak begitu penting. Variabel yang tidak tercantum dalam kolom variabel basis berarti

bernilai nol. Sedangkan nilsi variabel-variabel yang terletak pada kolom variabel basis dapat dilihat pada

kolom nilai kanan. Dari tablo optimal simpleks pada contoh 2.5 dapat diperoleh informasi seperti yang

terlihat pada tabel berikut:

Variabel Keputusan Nilai Optimal Keputusan

a 1 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis A sebanyak 1

B 5 Dalam satu masa produksi membuat roti jenis B sebanyak 5

P 56 Keuntungan yang diperoleh sebesar Rp. 5.600,-

STATUS SUMBER

Status dari sumber dalam satu masa produksi diklasifikasikan menajdi dua jenis, yaitu :

Scarce, sumber dikatakan scarce apabila kapasitas persediaan sumber tersebut dipakai semua

Abundant, sumber dikatakan abundant apabila kapasitas persediaan sumber tersebut tidak dipakai

semua

Dalam pembahasan mengenai status sumber ini berkaitan dengan persediaan sumber yang

mempunyai batas maksimal, yang ebrarti fungsi batasan yang berkaitan dengan sumber tersebut

merupakan pertidaksamaan dengan tanda . Sehingga untuk permasalahan program linear dengan fungsi

batasan berupa pertidaksamaan dengan tanda secara fisik tidak dapat dikaji tentang status sumber dari

permasalahan tersebut. Informasi mengenai status sumber dapat dilihat langsung dari tablo optimal

simpleks dengan cara memperhatikan nilai-nilai variabel slacknya. Untuk lebih jelasnya, berikut ini akan

dibahas status sumber pada permaslaahan dari contoh 2.5.

Sumber Variabel slack Status sumber

Sumber 1 (terigu) S1 = 0 Scarce / terpakai semua

Sumber 2 (keju) S2 = 0 Scarce / terpakai semua

Sumber 3 (daging) S3 = 28/3 Abundant / melimpah

Variabel slack yang bernilai positif berarti kapasitas dari sumber melimpah atau tidak digunakan

seluruhnya. Sedangkan apabila variabel slack bernilai nol berarti persediaan sumber dipakai semua dalam

produksi.

Berdasar tabel di atas terlihat bahwa terigu dan keju dipakai semua dalam produksi roti. Sehingga,

baik terigu maupun keju apabila kapasitasnya ditambah akan menigkatkan keuntungan. Untuk daging

kapasitas sebesar 12 ons dalam satu masa produksi ternyata tidak dipakai seluruhnya, jadi masih ada

sisa. Sehingga apabila kapasitas daging ditambah maka akan sia-sia karena tidak akan menambah

keuntungan.

BOBOT SATUAN (UNIT WORTH) SUATU SUMBER

Unit worth suatu sumber adalah laju penambahan nilai optimal dari fungsi tujuan sebagai akibat

kenaikan persediaan/kapasitas sumber. Informasi mengenai unit worth suatu sumber dapat diperoleh

langsung dari tablo optimal simpleks. Untuk lebih jelasnya akan dilihat unit worth dari tablo optimal

simpleks pada contoh 2.5 berikut :

Keterangan Variabel

Basis P a b S1 S2 S3

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi P 1 0 0 1/2 1 0 56

(2) a 0 1 0 1/12 -1/9 0 1

Optimal b 0 0 1 0 1/6 0 5

S3 0 0 0 -1/3 4/9 1 28/3

Dari tabel di atas diperoleh informasi bahwa :

Unit worth dari sumber 1 (terigu) sebesar 1/2

Berarti penambahan kapasitas terigu setiap 1 kg menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp.

50,-

Unit worth dari sumber 2 (keju) sebesar 1

Berarti penambahan kapasitas keju setiap 1 ons menyebabkan kenaikan keuntungan sebesar Rp.

100,-

Unit worth dari sumber 3 (daging) sebesar 0

Berarti penambahan kapasitas daging tidak akan mempengaruhi keuntungan

Penambahan kapasitas sumber 2 (keju) seharusnya lebih diprioritaskan dibandingkan sumber yang lain.

METODE PEMBELAJARAN

Practice Rehearsal Pairs



Waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi Mengulas kembali tentang metode penalti.

10 menit

2. Penyajian Eksplorasi Memberi penjelasan tentang cara menginterpretasikan tablo optimal

simpleks

Elaborasi a. Memberikan permaslahan program linear.

b. Meminta mahasiswa berkelompok.

c. Setiap kelompok dibagi menjadi dua tim, dan setiap tim harus

menyelesaiakan permassalahan dengan metode simpleks dan

menginterpretasi hasilnya.

d. Setelah selesai, salah satu tim diminta menjelaskan kepada tim

yang lain. Pada tahap berikutnya kedua tim bertukar peran.

Eksplanasi Dosen memberikan beberapa pertanyaan kepada siswa tentang

konsep yang harus dipahami mahasiswa.

20 menit

5 menit

5 menit

40 menit

30 menit

25 menit


Menyimpulkan apa yang dipelajari secara klasikal, yang menyangkut :

a. Menentukan penyelesaian optimal dari tablo optimal simpleks

b. Menentukan bobot satuan pada tablo optimal simpleks

c. Menentukan status sumber pada tablo optimal simpleks

15 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN





NIP : 19860715 2013032174





Bobot : 3 SKS

Semester : II

Pertemuan ke- : 13




Indikator : 3.6 Menentukan nilai optimum dari kejadian khusus yang muncul saat

optimasi dengan metode simpleks.

Tujuan : 2.6.1 Mengidentifikasi ciri kasus degenerasi

2.6.2 Mengidentifikasi ciri kasus optimal alternatif

2.6.3 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak terbatas

2.6.4 Mengidentifikasi ciri kasus penyelesaian tidak feasible

MATERI

KEJADIAN KHUSUS PADA METODE SIMPLEKS

DEGENERASI

Dalam penggunaan metode simpleks syarat ke-feasible-an ditunjukkan dengan rasio minimal.

Dalam aplikasinya dimungkinkan terjadi rasio minimal tersebut lebih dari satu. Apabila hal itu terjadi maka

satu atau lebih variabel basis akan bernilai nol pada iterasi berikutnya. Kejadian seperti ini

dikatakanbahwa penyelesaian baru yang diperoleh adalah degenerate. Peristiwa ini terjadi disebabkan

permasalahan program linear tersebut memiliki satu fungsi batasan yang berlebih.

Contoh 2.6


Memaksimumkan : Z = 3a + 9b

Terhadap batasan : a + 4b 8 (1)

a + 2b 4 (2)

a, b 0

Memaksimumkan : Z – 3a – 9b = 0

Terhadap batasan : a + 4b + S1 = 8

(1)

a + 2b + S2 = 4

(2)

a, b, S1, S2 0

Berikut adalah tablo simpleks dari permasalahan di atas :

Keterangan Variabel

Basis Z a b S1 S2

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal

(0) Z 1 -3 -9 0 0 0 -

ev = b S1 0 1 4 1 0 8 2

lv = S2 S2 0 1 2 0 1 4 2

Iterasi (1) Z 1 -3/4 0 9/4 0 18 -

ev = a B 0 1/4 1 1/4 0 2 8

lv = S1 S2 0 1/2 0 -1/2 1 0 0

Iterasi (2) Z 1 0 0 3/2 3/2 18

Optimal B 0 0 1 1/2 -1/2 2

a 0 1 0 -1 2 0

Secara umum, pada peristiwa degenerasi, prosedur simpleks akan terulang dalam iterasi pada

baris yang sama, nilai fungsi tujuan tidak berubah dan perhitungan tidak pernah berhenti. Peristiwa ini

disebut cycling. Tabel pada contoh 2.6 diatas memperlihatkan degenerasi terjadi karena pada iterasi (1)

dan (2) walaupun variabel basis dan non basisnya berbeda, namun tetap menghasilkan nilai yang sama

untuk semua variabel dalam fungsi tujuan, yaitu : a = 0, b = 2, S1 = 0, dan S2 = 0 menghasilkan Wmaks = 18.

Jadi peristiwa degenerasi tidak selamanya seperti pada cycling, namun ada kemungkinan degenerasi

tersebut sifatnya hanya sementara saja (temporarily degenerate).

OPTIMAL ALTERNATIF

Dalam kejadian ini terdapat beberapa alternatif penyelesaian optimal pada suatu permasalahan.

Artinya, fungsi tujuanakan bernilai optimal sama pada lebih dari satu titik penyelesaian. Perhatikan contoh

berikut ini :


Memaksimumkan : P = 2a + 4b

Terhadap batasan : a + 2b 5 (1)

a + b 4 (2)

a, b 0

Memaksimumkan : P – 2a – 4b = 0

Terhadap batasan : a + 2b + S1 = 5 (1)

a + b + S2 = 4 (2)

a, b, S1, S2 0


Keterangan Variabel

Basis P a B S1 S2

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal (0) P 1 -2 -4 0 0 0 -

ev = b S1 0 1 2 1 0 5 5/2

lv = S1 S2 0 1 1 0 1 4 4

Iterasi (1) Optimal P 1 0 0 2 0 10 -

ev = a b 0 1/2 1 1/2 0 5/2 5

lv = S2 S2 0 1/2 0 -1/2 1 3/2 3

Iterasi (2) P 1 0 0 2 0 10

Optimal b 0 0 1 1 1 1

a 0 1 0 -1 2 3

Pada metode simpleks iterasi terjadi dari satu titik ekstrim ke titik ekstrim lain yang saling

terhubung. Pada tabel diatas terlihat bahwa penyelesaian optimal tercapai di titik (a, b) = (0, 5/2) dan

menghasilkan Pmaks = 10. Perhatikan iterasi (1), koefisien dari variabel non basis a pada fungsi tujuan

adalah nol, selanjutnya a masuk sebagai variabel basis pada iterasi berikutnya tanpa mengubah nilai P,

tetapi berakibat pada perubahan nilai variabelnya. Pada iterasi (2), a masuk menjadi variabel basis dan

memaksa S2 keluar menjadi variabel non basis. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal baru terjadi di (a, b)

= (3, 1) dan menghasilkan Pmaks = 10.

PENYELESAIAN TIDAK TERBATAS

Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut :


Memaksimumkan : T = 2a + b

Terhadap batasan : a b 10 (1)

2b 40 (2)

a, b 0

Memaksimumkan : T – 2a – b = 0

Terhadap batasan : a b + S1 = 5 (1)

2a + S2 = 40 (2)

a, b, S1, S2 0


Keterangan Variabel

Basis P a b S1 S2

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal (0) T 1 -2 -1 0 0 0 -

ev = b S1 0 1 -1 1 0 10 10

lv = S1 S2 0 2 0 0 1 40 20

Iterasi (1) T 1 0 -3 2 0 20 -

ev = b A 0 1 -1 1 0 10 -

lv = S2 S2 0 0 2 -2 1 20 10

Iterasi (2) T 1 0 0 -1 3/2 50 -

A 0 1 0 0 1/2 30 -

b 0 0 1 -1 1/2 10 -

Perhatikan tabel di atas. Pada iterasi (2) penyelesaian optimal belum tercapai, S1 terpilih sebagai

entering variable, akan tetapi leaving variable-nya tidak dapat ditentukan. Jadi permasalahan tersebut

memiliki penyelesaian yang tidak terbatas.

Secara umum, perhatikan tabel diatas, a dan b merupakan variabel non basis. Salah satu variabel

ini akan terpilih menjadi entering variable yang akan masuk sebagai variabel basis pada iterasi

selanjutnya. Tetapi perhatikan bahwa semua fungsi batasan di kolom b adalah non-positif. Artinya, nilai b

dapat dinaikkan sampai tak hingga tanpa melanggar satupun batasan. Jadi dengan melihat tablo awal

simpleks, tanpa melalui perhitungan pun dapat disimpulkan bahwa permasalahan tersebut memiliki

penyelesaian yang tidak terbatas.

PENYELESAIAN TIDAK FEASIBLE

Perhatikan contoh permasalahan pemrograman linear berikut :


Memaksimumkan : K = 3a + 2b

Terhadap batasan : 2a + b 2 (1)

3a + 4b 12 (2)

a, b 0

Memaksimumkan : K – 3a – 2b + M(12 – 3a – 4b + S2)= 0

Terhadap batasan : 2a + b + S1 = 2 (1)

3a + 4b – S2+ R = 12 (2)

a, b, S1, S2, R 0


Keterangan Variabel

Basis K a b S1 S2 R

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal (0) K 1 –3 – 3M –2 – 4M 0 M 0 0 -

ev = b S1 0 2 1 1 0 0 2 2

lv = S1 R 0 3 4 0 -1 1 12 3

Iterasi (1) T 1 1 + 3M 0 2 + 4M M 0 4 – 4M

Optimum b 0 2 1 1 0 0 2

R 0 -5 0 -4 -1 1 4

Pada tabel tersebut terlihat bahwa pada iterasi (1) telah tercapai penyelesaian optimum. Untuk

penyelesaian optimum tersebut diperoleh nilai variabel semu R = 4. Hal ini menunjukkan bahwa

penyelesaian permasalahan tersebut merupakan penyelesaian yang tidak feasible.

METODE PEMBELAJARAN




Waktu

1. Pendahuluan Apersepsi dan Motivasi Memberikan gambaran tentang kejadian khusus permasalahan

program linear, karena kemungkinan ada permasalahan yang

tidak memiliki penyelesaian atau bahkan penyelesaiannya tidak

tunggal.

15 menit



1). Degenerasi

2). Optimal alternatif

3). Penyelesaian tidak terbatas

4). Penyelesaian tidak layak






5 menit

10 menit

50 menit

50 menit

3. Penutup Refleksi dan Evaluasi Menyimpulkan ciri kejadian khusus pada metode simpleks

20 menit

MEDIA PEMBELAJARAN


SUMBER BELAJAR




[4] Handout Kuliah

PENILAIAN



METODE PENALTI (TEKNIK M)

Tentukan nilai a dan b dari permasalahan berikut dengan Metode Penalti (Teknik M)

Meminimumkan : P = 6a + 4b

Terhadap batasan : 3a + b 30

a + b = 15

a + 2b 24

a, b 0

\

S O L U S I

Bentuk Kanonik

Permasalahan Bentuk Kanonik

Meminimumkan :

P = 6a + 4b

Terhadap batasan:

3a + b 30

a + b = 15

a + 2b 24

a, b 0

Variabel basis dan non basis

__________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________

Tablo Simpleks

Kesimpulan :

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

PENDALAMAN MATERI

1. Pada kasus seperti apa metode penalti (Teknik M) digunakan?

Jawab : ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

2. Batasan apa saja yang ditambah dengan variabel semu? Berikan Alasannya!

Jawab : ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Apa ciri batasan yang harus ditambah dengan variabel semu?

Jawab : ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

4. Pada fungsi tujuan (meminimumkan) apa arti penambahan MR? Bagaimana jika kasusnya

meminimumkan?

Jawab : ______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Anggota Kelompok :

1. __________________________ ( ______________________ )

2. __________________________ ( ______________________ )

3. __________________________ ( ______________________ )

4. __________________________ ( ______________________ )

METODE DUA TAHAP

PERMASALAHAN

Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks dua tahap :

Meminimumkan : P = 20r + 30s

Terhadap batasan : 2r + s 10

r + 4s 12

r, s 0

PENYELESAIAN

TAHAP I


Meminimumkan : P = 20r + 30s

Terhadap batasan : 2r + s 10 (1)

r + 4s 12 (2)

r, s

Meminimumkan : W =

2

1iiR

Terhadap batasan : 2r + s S1 + R1 = 10 (1)

r + 4s S2 + R2 = 12 (2)

i, j, k, S1, S2, R1, R2 0

..... [ 10 ]

Karena (1) 2r + s S1 + R1 = 10 R1 = 10 – 2r – s + S1

(2) r + 4s S2 + R2 = 12 R2 = 12 – r – 4s + S2 Maka R1 + R2 = 22 – 3r – 5s + S1 +


Meminimumkan : W =

2

1iiR = 22 – 3r – 5s + S1 + S2 W + 3r + 5s – S1 – S2 = 22

Terhadap batasan : 2r + s S1 + R1 = 10

r + 4s S2 + R2 = 12

r, s, S1, S2, R1, R2 0

Permasalahan tersebut memiliki ___ persamaan dengan ___ variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya

permasalahan tahap I ini diselesaikan dengan metode simpleks sebagai berikut :


Ambil sebanyak ____ variabel non basis yaitu : _________________. Akibatnya R1 = ___, R2 = ___

sebagai variabel basis. Hal ini menghasilkan nilai awal fungsi tujuan W = ____


Keterangan Var.

Basis

Nilai

Kanan Rasio

Iterasi Awal

ev = .....

lv = .....

Iterasi (1)

ev = .....

lv = .....

Karena pada iterasi _____ semua nilai pada baris fungsi tujuan sudah non positif maka penyelesaian

optimal tercapai. Berdasarkan iterasi pada tahap I diperoelh bahwa Wmin = ______.

TAHAP II

Sehingga tablo optimal tahap I dapat ditulis dalam bentuk persamaan menjadi :

Sehingga permasalahan pada tahap II menjadi :

Meminimumkan :

Terhadap batasan :

Permasalahan tersebut memiliki ____ persamaan dengan ____ variabel yang tidak diketahui. Selanjutnya



Pada tahap II ini penyelesaian basis awal feasible telah diperoleh dari tablo optimal permasalahan

pada tahap I. Jadi dari tablo optimal permasalahan tahap I diperoleh bahwa :

(1)

(2)

Penyelesaian basis awal tahap II terjadi pada saat : r = ________________ dan s = ________________

dengan : P = 20r + 30s

P =


Keterangan Variabel

Basis P r s S1 S2

Nilai

Kanan Rasio

P 1 0 0 –50/7 –40/7 140

r 0 1 0 4/7 1/7 4

s 0 0 1 1/7 2/7 2

Kesimpulan:

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________

Anggota : 1. ________________________

2. ________________________

3. ________________________

4. ________________________

ISOLINE

Suatu industri kecil memproduksi kue jenis A dan B. Kue tersebut dibuat dari 2 bahan pokok. Kebutuhan bahan

setiap kue sebagai berikut :

Jenis Kue

Bahan Pokok Keterangan (dalam ribuan)

X Y Bahan

Baku

Biaya

Produksi Harga Jual

A 3 ons 1 ons 9 2 14

B 2 ons 2 ons 12 3 19

Kapasitas

Bahan 180 ons 100 ons

Pada satu periode produksi, industri kecil tersebut paling tidak harus membuat kue sebanyak 20 buah.

Jika industri tersebut menginginkan laba sebesar-besarnya, maka tentukan model matematika dari permasalahan

tersebut, kemudian cari penyelesaiannya dengan Metode grafik teknik isoline.

POST TEST

Tentukan solusi dari permasalahan berikut ini menggunakan metode grafik dengan teknik isoline :

1. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi :

Fungsi Tujuan : Memaksimumkan Z = 40a + 30b

Terhadap kendala : 2a + b 20

2a + 3b 32

2a – b 0

b 2 dan a 0

2. Tentukan nilai t dan u yang memenuhi :

Fungsi Tujuan : Meminimumkan P = 20t + 30u

Terhadap kendala : 2t + u 10

t + u 14

t + 4u 12

t 8 dan u 0

KEJADIAN KHUSUS METODE GRAFIK

ANGGOTA KELOMPOK

1. ______________________________ NIM : ___________________

2. ______________________________ NIM : ___________________

3. ______________________________ NIM : ___________________

4. ______________________________ NIM : ___________________

5. ______________________________ NIM : ___________________

1. Tentukan nilai a dan b yang memenuhi :

Fungsi tujuan : Memaksimumkan W = 3a + 9b

Terhadap kendala : a + 4b 8

a + 2b 4

a, b 0

SOLUSI :

Nilai maksimum Wmaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )

Perhatikan daerah feasiblenya kemudian jawab pertanyaan berikut :

1. Titik mana saja yang menjadi batas dari daerah feasiblenya ?

Jawab : _____________________________________________________________________

2. Adakah batasan yang sama sekali tidak mempengaruhi daerah feasible ?

Jawab : _____________________________________________________________________

3. Apabila batasan yang tidak mempengaruhi daerah feasible tersebut direduksi (dihilangkan) apakah

daerah feasible-nya berubah ?

Jawab : _____________________________________________________________________

Batasan yang memiliki sifat seperti pada pertanyaan 2 dan 3 disebut sebagai batasan redundan (redundant

constrains)

Kesimpulan : Permasalahan program linear yang memiliki sifat khusus seperti pada contoh di atas disebut

dengan ________________________________________

2. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi :

Fungsi tujuan : Memaksimumkan T = 2x + 4y

Terhadap kendala : x + 2y 5

x + y 4

x, y 0

(Kerjakan dengan isoline dan titik ekstrim, kemudian bandingkan hasilnya)

SOLUSI :

Titik ekstrim

(x, y) T = 2x + 4y

Nilai maksimum Tmaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )

Penjelasan : _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Adakah keanehan yang anda temukan ? atau kesulitan yang anda hadapi dalam menentukan titik optimumnya

? Jika ada, tuliskan :

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________


dengan ________________________________________

3. Tentukan nilai r dan s yang memenuhi :

Fungsi tujuan : Memaksimumkan K = 3r + 2s

Terhadap kendala : 2r + s 2

3r + 4s 12

r, s 0

SOLUSI :

Nilai maksimum Kmaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )

Penjelasan : _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________


dengan ________________________________________

4. Tentukan nilai t dan u yang memenuhi :

Fungsi tujuan : Memaksimumkan S = 2t + u

Terhadap kendala : t – u 10

2t 40

t, u 0

(Kerjakan dengan isoline dan titik ekstrim, kemudian bandingkan hasilnya)

SOLUSI :

Titik ekstrim

(t, u) T = 2t + u

Nilai maksimum Smaks = ____________ dicapai pada titik ( __ , __ )

Penjelasan : _______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________


dengan ________________________________________

MODEL MATEMATIKA PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR

1. Suatu perusahaan memproduksi 3 jenis barang dengan 2 bahan yang tersedia. Kebutuhan barang dan

ketersediaan sumber terlihat pada tabel berikut ini:

Sumber Barang

Kapasitas Sumber

K L M

P 3 4 2 Minimal 60 unit

Q 5 1 3 Minimal 75 unit

Waktu 8 jam 5 jam 7 jam Maksimal 450 jam

Biaya Produksi 45 30 50

(dalam ribuan) Biaya Transport 15 12 13

Harga Jual 90 75 80

Kebijakan yang diambil perusahaan :

Dalam satu periode produksi, produk K dibuat lebih banyak dari pada produk L dengan selisih tidak kurang dari

10 unit. Tentukan model matematika dari permsalahan tersebut apabila :

a. Perusahaan ingin menekan biaya pengeluaran

b. Perusahaan ingin memperoleh hasil penjualan barang yang sebesar-besarnya

MENENTUKAN DAERAH FEASIBLE

PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR

Suatu perusahaan memproduksi 2 jenis barang dengan 2 buah bahan mentah. Kebutuhan bahan untuk setiap

unit barang terlihat pada tabel berikut!.

Barang Bahan Baku Biaya Produksi

(Jutaan Rp.)

Biaya Distribusi

(Jutaan Rp.)

Harga Jual

(Jutaan Rp.) X Y

A 1 3 70 13 113

B 2 2 60 12 82

Dalam satu periode produksi, perusahaan tersebut memiliki bahan X paling tidak 240 unit, dan bahan Y tidak

lebh dari 400 unit. Banyak produkdi barang A tidak boleh diproduksi melebihi 4 kali banyak produksi barang B.

Perusahaan menginginkan pendapatan sebesar-besarnya.

Tentukan model matematikanya!

Gambarkan Daerah Feasible.nya!

QUIZ I (Tipe A)

Suatu perusahaan memproduksi 2 macam barang dengan 2 jenis bahan utama. Kebutuhan bahan untuk setiap

barang terlihat pada tabel berikut.

Jenis

Barang

Bahan Utama Keuntungan

per unit X Y

A 3 2 Rp. 30.000,00

B 1 2 Rp. 20.000,00

Kapasitas

Bahan

Utama

Bahan X disediakan

tidak kurang dari 60 unit

tetapi tidak melebihi

240 unit

Bahan Y disediakan

tidak melebihi 120 unit

Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang A diproduksi paling tidak 10 unit. Kebijakan perusahaan

menetapkan bahwa 3 kali banyak produksi barang A tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang B.

Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mendapatkan

keuntungan sebesar-besarnya!

QUIZ I (Tipe B)



Bahan

Utama

Jenis Barang Kapasitas

X Y

A 2 3

Bahan A disediakan tidak kurang

dari 60 unit tetapi tidak melebihi

240 unit

B 2 1 Bahan B disediakan tidak

melebihi 120 unit

Biaya

Produksi

Rp.

400.000,00

Rp.

600.000,00

Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang Y diproduksi paling tidak 10 unit. Kebijakan perusahaan

menetapkan bahwa 3 kali banyak produksi barang Y tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang X.

Tentukan model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mengeluarkan biaya

produksi sekecil-kecilnya!

QUIZ I (Tipe C)



Jenis

Barang

Bahan Utama Keuntungan

per unit P Q

X 1 1 Rp. 30.000,00

Y 1 3 Rp. 20.000,00

Kapasitas

Bahan

Utama

Bahan P disediakan

tidak kurang dari 90 unit

Bahan Q disediakan

tidak kurang dari 150

unit

Untuk memenuhi permintaan konsumen, barang A diproduksi paling tidak 20 unit. Kebijakan perusahaan

menetapkan bahwa banyak produksi barang A tidak boleh kurang dari 2 kali banyak produksi barang B. Tentukan

model matematikanya dan banyak produksi setiap jenis barang agar perusahaan mendapatkan keuntungan

sebesar-besarnya!

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 2014/2015



PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156


Waktu : 90 Menit

Semester : II

Dosen Pengampu : Erika Laras Astutiningtyas, S.Pd., M.Pd.

KETENTUAN UJIAN:

Sifat ujian : Closed Book

Boleh menggunakan alat bantu hitung selain handphone.

KASUS:

UD. Bahagia adalah suatu industri yang bergerak dalam bidang handycraft. Ada 2 jenis handycraft yang dibuat, yaitu

jenis X dan jenis Y. Kedua jenis handycraft tersebut akan dipasarkan per lusin. Untuk membuat 1 lusin handycraft X

diperlukan 2m kayu dan 1m papan. Sedangkan untuk membuat 1 lusin handycraft Y diperlukan 3m kayu dan 1m

papan. Handycraft jenis X lebih digemari dari pada jenis Y sehingga X harus diproduksi lebih banyak daripada Y.

Disisi lain, industri tersebut memiliki kebijakan bahwa selisih produksi kedua jenis produk tersebut tidak lebih dari 6

lusin. Pada satu periode produksi, industri tersebut hanya memiliki 72m kayu dan 26m papan. Tabel berikut

menunjukkan biaya operasional dari UD. Bahagia.

Jenis Hadycraft

Biaya Operasional (per unit) Harga Jual

(per unit) Biaya Produksi Biaya

Pengemasan

X Rp. 1.800,00 Rp. 300,00 Rp. 2.700,00

Y Rp. 2.000,00 Rp. 400,00 Rp. 3.000,00

UD. Bahagia ingin menghitung berapa laba terbesar yang bisa diperoleh dan menentukan berapa lusin masing-

masing jenis handycraft harus diproduksi untuk mencapai laba terbesar itu.

SOAL

1. Tentukan model matematika untuk permasalahan di atas!

2. Selesaikan permasalahan tersebut dengan metode grafik teknik isoline!

_Semoga Berhasil dengan Jujur_

UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2014/2015



PROGRAM STUDI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

Jl. Letjend. S. Humardani No. 1, Jombor Sukoharjo. Telp. (0271) 593156

Mata Kuliah : PROGRAM LINEAR Semester : II

Waktu : 90 Menit Dosen Pengampu : Erika Laras Astutiningtyas, M.Pd.

KETENTUAN UJIAN: Sifat ujian : Closed Book

Boleh menggunakan alat bantu hitung selain handphone.

Tuliskan tanggal, bulan dan tahun lahir pada lembar jawab

A. Kasus I : Untuk mahasiswa yang bulan lahir bulan Januari, Pebruari, Maret, April

Suatu perusahaan memproduksi barang A dan B dengan 2 jenis bahan mentah P dan Q. Kebutuhan bahan untuk

setiap barang terlihat pada tabel berikut.

Barang Bahan Laba per unit

(ratusan) P Q

A 2 2 12

B 3 1 18

Kapasitas Maksimal 96

unit

Minimal 48

unit

Tentukan keuntungan optimal yang dapat diperoleh perusahaan dengan Metode grafik dan metode simpleks.

Kemudian interpretasikan tablo optimal simpleksnya. Jika ada kejadian khusus, jelaskan!

B. Kasus II : Untuk mahasiswa yang bulan lahirnya bulan Mei, Juni, Juli, dan Agustus

Suatu perusahaan memproduksi barang P dan Q dengan 2 jenis bahan mentah A dan B. Kebutuhan bahan untuk


Bahan Barang

Kapasitas P Q

A 3 2 Maksimal 90 unit

B 3 5 Minimal 90 unit

Laba per unit

(ratusan) 24 16



C. Kasus IV : Untuk mahasiswa yang bulan lahirnya bulan September, Oktober, Nopember dan Desember

Suatu perusahaan memproduksi barang P dan Q dengan 2 jenis bahan mentah A dan B. Kebutuhan bahan untuk


Bahan Barang

Kapasitas P Q

A 3 2 Maksimal 144 unit

B 1 2 Minimal 72 unit

Laba per unit

(ratusan) 24 16



QUIZ II

Waktu : 90 menit

Tentukan penyelesaian dari permasalahan berikut dengan metode simpleks.

1. Memaksimumkan : Z = 15a + 30b

Terhadap batasan : 2a – 3b 30

a + 2b 40

a 0, b tidak dibatasi

2. Meminimumkan : T = 20x + 30y

Terhadap batasan : x + y 15

4x + 3y 75

3x + 2y 60

x tidak dibatasi, y 0

QUIZ II

Waktu : 90 menit


1. Memaksimumkan : W = 50x + 25y

Terhadap batasan : 6x – 4y –60

2x + y 40


2. Meminimumkan : P = 24a + 16b

Terhadap batasan : a + b 10

2a + 3b 40

3a + 4b 50


QUIZ II

Waktu : 90 menit


1. Memaksimumkan : F = 18r + 36s

Terhadap batasan : 6r – 9s 90

r + 2s 40

r 0, s tidak dibatasi

2. Meminimumkan : Y = 24t + 36u

Terhadap batasan : t + u 20

4t + 3u 60

3t + 2u 48

t tidak dibatasi, u 0

QUIZ II

Waktu : 90 menit


1. Memaksimumkan : W = 40x + 20y

Terhadap batasan : 3x – 2y –45

2x + y 30


2. Meminimumkan : M = 45p + 30q

Terhadap batasan : p + q 20

2p + 3q 80

3p + 4q 100


QUIZ II

Waktu : 90 menit


1. Memaksimumkan : H = 18p + 36q

Terhadap batasan : 6p – 9q 45

p + 2q 20

p 0, q tidak dibatasi

2. Meminimumkan : G = 32a + 48b

Terhadap batasan : a + b 30

8a + 6b 80

9a + 6b 96

a tidak dibatasi, b 0

Documents

PERANGKAT PEMBELAJARAN · KONTRAK PEMBELAJARAN PROGRAM LINEAR MKK206515 Semester II / 3 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. FAKULTAS KEGURUAN