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Perfect samplingdi processi di coda
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA
“TOR VERGATA”Corso di laurea
in
Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi
Studente:
Paolo Massaro
Relatore:
Prof. Benedetto Scoppola
Sommario
• I processi di coda M/M/1 e M/D/1
• Catene di Markov e algoritmi per il perfect
sampling
• Implementazione della modifica di Wilson
per simulare processi di coda
• Conclusioni e sviluppi futuri
Processi di coda
• Popolazione di utenti• Servizio
• Processo di arrivi nel sistema• Tempi di servizio• Numero di serventi• Lunghezza massima della linea
Processo di coda M/M/1
• Arrivi Poissoniani (con tempo medio di
interarrivo )
• Tempi di servizio esponenziali (con tempo medio di interuscita )
• Un solo servente
• Linea illimitata
at
st
Processo di coda M/M/1/k
• Arrivi Poissoniani (con tempo medio di
interarrivo )
• Tempi di servizio esponenziali (con tempo medio di interuscita )
• Un solo servente
• Linea limitata a k utenti
at
st
Processo di coda M/D/1
• Arrivi Poissoniani (con tempo medio di
interarrivo )
• Tempi di servizio deterministici (con
tempo di servizio ts)
• Un solo servente
• Linea illimitata
at
st
Processo di coda M/D/1/k
• Arrivi Poissoniani (con tempo medio di
interarrivo )
• Tempi di servizio deterministici (con
tempo di servizio ts)
• Un solo servente
• Linea limitata a k utenti
at
st
},...,,{ 21 ksssS
)0 :(mcd , niiPn
Data una qualsiasi distribuzione iniziale le catene irriducibili e aperiodiche tendono alla distribuzione stazionaria
Processo memory-less a tempo discreto con spazio degli stati e caratterizzato da una matrice di transizione P:
Irriducibilità: se è possibile passare da ogni stato a tutti gli altri in un tempo finito.Periodo di uno stato i:
La catena è aperiodica se il periodo di tutti gli stati è pari a 1.
Catena di Markov
)|( 1, injnji sXsXPP
,...),( 10 XX
Modellizzazione M/M/1/k
Valore atteso del tempo di transizione:
P
λP
μ P
,...,k,iμ P
,...,k,i λP
i,j
k,k
,
i,i-
i,i
altrimenti0
}21{
}110{
00
1
1
sa
s
tt
t11
1
1
sa
a
tt
t11
1
sa tt11
1
Modellizzazione M/M/1/k
Scontro con la parete in 0
Scontro con la parete in k
Simulazione delle catene di Markov
Ci sono due problemi:
• Si può sempre avere un errore ε rispetto alla distribuzione stazionaria
• Non è facile capire quante iterazioni servono per rendere ε piccolo come desiderato
Algoritmo di Propp-Wilson
• Produce dei risultati perfettamente in accordo alla distribuzione stazionaria
• Capisce automaticamente quando terminare.
L’algoritmo è di difficile implementazione.
Modifica di Wilson conread-once-randomness
La modifica di Wilson
• Funzione di aggiornamento:
• Coalescenza: per ogni stato del sistema si simula la catena, che si evolve tramite una funzione di aggiornamento e una successione di numeri casuali, che sono sempre gli stessi per tutte le k catene, fino a quando tutte le catene terminano nello stesso stato
SS ]1,0[ :
Coalescenza
Coalescenza della catena per la M/M/1/k
La modifica di Wilson
Coalescenza della coppia vincente
Coalescenza della coppia perdente
Perfect sampling al 50%
Perfect sampling al 50%
La modifica di Wilson
)(2)()()(
)()()()()(
cwlwl
wlwlp
tEttEtEtE
tEEtEttEtE
Stima del tempo di convergenza
Il valore atteso del tempo per avere il perfect sampling è:
: tempo per il perfect sampling: tempo per la coalescenza di una coppia
perdente: tempo per la coalescenza di una coppia
vincente: tempo generico per la coalescenzac
w
l
p
t
t
t
t
Stima del tempo di convergenza
)()()12(
0)2(
ncnP
nPn
Stima del tempo di coalescenza
Il valore atteso del tempo per avere k scontri è:
21k
21
1
212
211)()(
12
211)()(
0
0
n
n
nnPnE
nPscontroP se
Confronto tra stima e valori simulati
2
1
Ponendo
Fenomeno di cutoff
Il fenomeno di cutoff si verifica quando una catena di Markov converge improvvisamente alla misura stazionaria.Stima della finestra di cutoff:
mixreltt
Fenomeno di cutoff
Conclusioni
La comprensione dell’algoritmo di Wilson con read-once-randomness ha permesso di:• Simulare la distribuzione stazionaria della M/M/1/k e della M/D/1/k• Trovare una stima analitica del tempo per giungere al regime stazionario
Conclusioni
EsempioSe consideriamo la pista di un aeroporto come una M/D/1, con tempo di servizio 2 minuti, utilizzata al 98% il tempo medio stimato per ottenere un perfect sampling è di circa 6000 minuti ovvero 100 ore.
Sviluppi futuri
• Individuare una stima analitica per la M/D/1/k
• Trovare una stima più precisa quando ε tende a 0
• Approfondire il fenomeno di cutoff
Grazie per l’attenzione