Periodic solution of van der Pol differential equation.

Seminar at Kitami Institute of Technology

January 8, 2009,By Akio Arimoto (武蔵工業大学）

van der Pol Equation

22 1 0w w w w

0 1

w w t dw t

wdt

概略

1. Van der Pol の微分方程式

がリミットサイクルをもつということ２．微分方程式から導かれる積分方程式（いくつかの基本公式）

22 1 0w w w w

３．　周期解の様子（円、半径が決まってくる）

４．周期　

0

2 0

2 2

0lim , , 4w t w t

簡単な例

0w w dw

wdt

2

2

d ww

dt

0

両辺に　　　をかけるとw

0ww ww

2 2 0w w c

相空間　　　　　で円をなす

,w w

両辺に　　　　を掛けるw

2 22 1 0ww w w ww

22 2 2

0

4 1t

w t w t w s w s ds c

Limit Cycle の存在の可能性

行列形式

2W AW

0 1

1A

2

0

ww

wW

w

解の積分方程式

0

0 2t

A t sAtW t e W e s ds

2

0s

w s w s

のスペクトル表現

1 2A rP rP

1 2I P P 1 2 2 1 0PP P P

0 1

1 2A

21r i

1 2

1At rt rt rt rt rt rte e P e P e e A re rer r

基本行列のスペクトル表現

sin sincosAt t t t

e e A t

21 0 1

1 2A

Theorem 1.2

0 2 Stt

C

I te W t U W

I t

2

0

sints

S

sI t e w s w s ds

2

0

cost

sCI t e s w s w s ds

w t

W tw t

定理１．２からの帰結（１）

• 2つの時点　　 , 　　の関係

2 1

2 12 1t t

t te U W t e U W t

2

12

02

t sst

e U dsw s w s

1t 2t

定理１．２からの帰結（２）

• 初期時点を　

0

0 0t t

t te U W t W t

0t

0 20 00

sin2

cos

t t s

se w s t w s t ds

s

Theorem1.2 の証明 (1)

sin0t

t

te W t U W

2

0

0sin2

ts

t s

t se U ds

w s w s

0

0 2t

A t sAtW t e W e s ds

Theorem1.2 の証明 (2)

sin

cos

sin cost t

tt

U Ut t

t s t sUU U 0U I

sint t

tU U

1 0

1

Ｔｈｅｏｒｅｍ１．３

0 2 0S

C

IW

I

1 0

1

Ｔｈｅｏｒｅｍ１．３の証明

0 2 Stt

C

I te U W t W

I t

t

0 2 0S

C

IW

I

Theorem1.4 周期条件

W t W t

2 0S S

C C

I t I te U e U I W

I t I t

0

Ｔｈｅｏｒｅｍ１．５　周期条件

1 0 2 S

C

Ie U W

I

W t W t

0

Ｔｈｅｏｒｅｍ１．６周期条件

S S S

C C C

I t I t Ie U

I t I t I

W t W t 0

に同等な積分方程式

sin sin, cost t t

w t e t

2

0

sin2 , ,

tt s t s

e w s w s ds

21 0,w 0,w

22 1 0w w w w

同等な積分方程式

sin sin, cost t t

w t e t

2

0

sin2 cos , ,

tt s t s

e t s w s w s ds

0,w 0,w 21

周期条件　　　 , ,w t w t

sin sincose

2

0

sin2 , ,s s

e w s w s ds

0,w 0,w

周期条件

sin sincose

2

0

sin2 cos , ,s s

e s w s w s ds

0,w 0,w

0

0 0lim 0,w

0 0lim 0,w

0 0 0 0 0cos sin

0 0 0 0 0sin cos

00lim

0 2 (mod 2 )n

0 0 0 0 0cos sin

cos 1 sin

2 2

e e

22

0

sin, ,

s se w s w s ds

2

20 0 1

0

sin 0s w s w s ds

1

0lim

0

2

20 0 1

0

cos 0s w s w s ds

0

1

0lim

Limit cycle から決まる円

• 　　　　　　　の解は任意の半径を持つ円　　　　

0 0cos sinw t t t

0 0sin cosw t t t

0

lim ,w t w t

0w w

2 20 0 4

Limit cycle の様子

2 2

0lim , , 4w t w t

2 o

Another Aproach

211 0

2x x x x

0 dxx

dt

2

2

d xx

dt

2 22 1 0xx x x xx

2 2 2 24 1x x x x dt

is a period of the solution

2 2 22 2 2

0

0 0 4 1t

x t x x t x x s x s ds

2 2

0

0 1 x s x s ds

0 2

0 0 0cos sinx t x t t t

2

2 20 0

0

0 1 x s x s ds

2

2 2

0 0 0 0

0

0 1 cos sin sin cost t t t dt

2 20 0 4

2 2

0lim 4x t x t