PERKALIAN VEKTOR 3Vektor satuan(unit vektor)merupakan suatu vektor yang besarnya = 1. vektor satuan tidak mempunyai satuan. Vektor satuan berfungsi untuk menunjukan suatu arah dalam ruang. Untuk membedakan vektor satuan dari vektor biasa maka vektor satuan dicetak tebal (untuk tulisan cetak) atau di atas vektor satuan disisipkan tanda ^ (untuk tulisan tangan)Pada sistem koordinat kartesius (xyz) kita menggunakan vektor satuaniuntuk menunjukkan arah sumbu x positif, vektor satuanjuntuk menunjukkan arah sumbu y positif, vektor satuankuntuk menunjukkan arah sumbu y positif.Untuk memudahkan pemahaman dirimu, perhatikan contoh berikut ini. Misalnya terdapat sebuah vektorFsebagaimana tampak pada gambar di bawah.

Pada gambar di atas, tampak bahwa vektor satuanimenunjukkan arah sumbu x positif dan vektor satuanjmenunjukkan arah sumbu y positif. Kita dapat menyatakan hubungan antara vektor komponen dan komponenya masing-masing, sebagai berikut :Fx=FxiFy=FyjKita dapat menulis vektor F dalam komponen-komponennya sebagai berikut :F=Fxi+FyjMisalnya terdapat dua vektor,AdanBpada sistem koordinat xy, di mana kedua vektor ini dinyatakan dalam komponen-komponennya, sebagaimana tampak di bawah :A=Axi+AyjB=Bxi+ByjBagaimana jikaAdanBdijumlahkan ? gampangR=A+BR= (Axi+Ayj) + (Bxi+Byj)R= (Ax+Bx)i+ (Ay+By)jR=Rxi+RyjApabila tidak semua vektor berada pada bidang xy maka kita bisa menambahkan vektor satuan k, yang menunjukkan arah sumbu z positif.A=Axi+Ayj+AzkB=Bxi+Byj+BzkJika vektorAdanBdijumlahkan maka akan diperoleh hasil sebagai berikut :R=A+BR= (Axi+Ayj+Azk) + (Bxi+Byj+Bzk)R= (Ax+Bx)i+ (Ay+By)j+ (Az+Bz)kR=Rxi+Ryj +RzkPerkalian titik menggunakan komponen vektor satuanKita dapat menghitungperkalian skalarsecara langsung jika kita mengetahui komponen x, y dan z dari vektorAdanB(vektor yang diketahui).Untuk melakukan perkalian titik dengan cara ini, terlebih dahulu kita lakukan perkalian titik dari vektor satuan, setelah itu kita nyatakan vektorAdanBdalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.Vektor satuaji,jdanksaling tegak lurus satu sama lain, sehingga memudahkan kita dalam perhitungan. Menggunakan persamaan perkalian skalar yang telah diturunkan di atas (A.B=ABcosteta) kita peroleh :i . i=j . j=k . k= (1)(1) cos 0 = 1i . j=i . k=j . k= (1)(1) cos 90o= 0Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.A.B=Axi.Bxi+Axi.Byj+Axi.Bzk+Ayj.Bxi+Ayj.Byj+Ayj.Bzk+Azk.Bxi+Azk.Byj+Azk.BzkA.B=AxBx(i.i)+AxBy(i.j)+AxBz(i.k)+AyBx(j.i)+AyBy(j.j)+AyBz(j.k)+AzBx(k.i)+AzBy(k.j)+AzBz(k.k)Bahasa apaan neh dipahami perlahan-lahan ya.Karenai.i=j.j=k.k= 1 dani.j=i.k=j.k= 0, maka :A.B=AxBx(1) +AxBy(0) +AxBz(0)+AyBx(0) +AyBy(1) +AyBz(0)+AzBx(0) +AzBy(0)+AzBz(1)A.B=AxBx(1) + 0 + 0 +0 +AyBy(1) + 0 +0 + 0 +AzBz(1)A.B=AxBx+AyBy+AzBzBerdasarkan hasil perhitungan ini, bisa disimpulkan bahwa perkalian skalar atau perkalian titik dari dua vektor adalah jumlah dari perkalian komponen-komponennya yang sejenis.Gampang khan ? dipahami perlahan-lahan ntar juga ngerti kok kaya belajar naek sepedaagar dirimu semakin memahami bahasaaliendi atas, mari kita kerjakan latihan soal di bawah iniContoh Soal 1 :Besar vektorAdanBberturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90o. Hitunglahperkalian titikkedua vektor tersebut

Panduan jawaban :Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.Ax= (5) cos 0o= (5) (1) = 5Ay= (5) sin 0o= (5) (0) = 0Az= 0Bx= (4) cos 90o= (4) (0) = 0By= (4) sin 90o= (4) (1) = 1Bz= 0VektorAhanya mempunyai komponen vektor pada sumbu x dan vektorBhanya mempunyai komponen vektor pada sumbu y. Komponen z bernilai nol karena vektorAdanBberada pada bidang xy.Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektorAdanBmenggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :A .B = AxBx+AyBy+AzBzA .B =(5)(0) + (0) (1) + 0A .B =0 + 0 + 0A .B =0Masa sich hasilnya nol ?Coba kita bandingkan dengan cara pertamaA.B =ABcostetaA.B =(4)(5) cos90A.B =(4) (5) (0)A.B =0Hasilnya sama.Contoh Soal 2 :Besar vektorAdanBberturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Hitunglahperkalian titikkedua vektor tersebut, jika sudut yang terbentuk adalah 30o

Panduan jawaban :Sebelum kita menghitung perkalian titik vektor A dan B, terlebih dahulu kita ketahui komponen vektor kedua tersebut.

Komponen z bernilai nol karena vektorAdanBberada pada bidang xy.Sekarang kita hitung perkalian titik antara vektorAdanBmenggunakan persamaan perkalian titik dengan vektor komponen :

Coba kita bandingkan dengan cara pertama.

Hasilnya sama.Perkalian silang menggunakan komponen vektor satuanKita dapat menghitung perkalian silang secara langsung jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Urutannya sama dengan perkalian titik.Pertama-tama, kita lakukan perkalian antara vektor-vektor satuani,jdank. Hasil perkalian vektor antara vektor satuan yang sama adalah nol.ixi=jxj=kxk= 0Dengan berpedoman pada persamaan perkalian vektor yang telah diturunkan sebelumnya (AxB=ABsinteta) dan sifat anti komutatif dari perkalian vektor (AxB= BxA), maka kita peroleh :ixj=-jxi=kjxk=-kxj=ikxi= -ixk=jSekarang kita nyatakan vektorAdanBdalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.AxB =(Axi+Ayj+Azk) x (Bxi+Byj+Bzk)AxB=AxixBxi+AxixByj+AxixBzk+AyjxBxi+AyjxByj+AyjxBzk+AzkxBxi+AzkxByj+AzkxBzkAxB=AxBx(ixi)+AxBy(ixj)+AxBz(ixk)+AyBx(jxi)+AyBy(jxj)+AyBz(jxk)+AzBx(kxi)+AzBy(kxj)+AzBz(kxk)Karenaixi=jxj=kxk=0danixj= -jxi=k,jxk= -kxj=i,kxi=-ixk=j,maka :AxB=AxBx(0) +AxBy(k) +AxBz(-j) +AyBx(-k) +AyBy(0)+AyBz(i) +AzBx(j) +AzBy(-i)+AzBz(0)AxB=AxBy(k) +AxBz(-j) +AyBx(-k) +AyBz(i) +AzBx(j) +AzBy(-i)AxB=AxBy(k) +AxBz(-j) +AyBx(-k) +AyBz(i) +AzBx(j) +AzBy(-i)AxB= (AyBz-AzBy)i+ (AzBx-AxBz)j+ (AxBy-AyBx)kPahami perlahan-lahan.JikaC=AxBmaka komponen-komponen dariCadalah sebagai berikut :Cx=AyBz-AzByCy=AzBx-AxBzCz=AxBy-AyBx

1. Di berikan dan a.) A . Bb.)A x B2. buktikan bahwa dan Tegak Lurus Sesamanya.

Jawab