Upload
risky-sukma-w-mangaholic
View
226
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
ANALISIS VEKTOR(Fungsi Vektor)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2013
FUNGSI VEKTOR
Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A
bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor
yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.
Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan:
A(t) = A1(t) i + A2(t) j
Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan:
A(t) = A1(t) i + A2(t) j + A3(t) k
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3
dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk
fungsi vektor sebagai berikut:
A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2(x,y,z) j + A3(x,y,z) k
KURVA VEKTOR
Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa
disajikan dalam bentuk fungsi vektor:
r(t) = [x(t), y(t), z(t)]
= x(t) i + y(t) j + z(t) k
Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang
posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan
z(to). Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan
penyajian parametrik dari kurva C, dengan t sebagai parameternya.
Dalam mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam
satuan detik.
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
1. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus
Contoh 1: Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t j + t k.
Penyelesaian:
Persamaan parameter dari fungsi vektor
x = t; y = t; dan z = t
Hubungan antar parameter:
x = y atau x – y = 0
x = z atau x – z = 0
y = z atau y – z = 0
Kesimpulan: Kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t j + t k berbentuk
garis lurus yang melalui titik (0,0,0)
Persamaan garis lurus
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
Penyelesaian:
Persamaan parameter dari fungsi vektor
x = t; y = 2t; dan z = 2
Hubungan antar parameter:
x = t
y = 2t
Persamaan parameter menjadi:
y = 2x dan z = 2
Kesimpulan: Kurva berbentuk garis lurus yang sejajar dengan bidang
XOY dan berjarak 2 terhadap bidang XOY.
y = 2x atau x = ½y (persamaan garis lurus)
Contoh 2: Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +2t j + 2 k.
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
F(t) = t i +2t j + 2 k
F(0) = 0 i + 0 j + 2 k
F(1) = 1 i + 2 j + 2 k
(0,0,2)
(1,2,2)
F(2) = 2 i + 4 j + 2 k (2,4,2)
F(-1) = -1 i + -2 j + 2 k (-1,-2,2)
x
y
z
1
2
2 4
2
(2,4,2)(1,2,2)
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
2. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Parabola
Contoh 1: Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t2 j + 2 k.
Penyelesaian:
Persamaan parameter dari fungsi vektor
x = t; y = t2; dan z = 2
Hubungan antar parameter:
x = t
y = t2
Persamaan parameter menjadi:
y = x2 dan z = 2
Kesimpulan: Kurva dari fungsi vektor F(t) = t i +t2 j + 2 k berbentuk
parabola yang sejajar bidang XOY dan berjarak 2 terhadap XOY.
y = x2 (persamaan parabola)
F(t) = t i +t2 j + 2 k
F(0) = 0 i + 0 j + 2 k
F(1) = 1 i + 1 j + 2 k
(0,0,2)
(1,2,2)
F(2) = 2 i + 4 j + 2 k (2,4,2)
F(-1) = -1 i + 1 j + 2 k (-1,1,2)
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
x
y
z
1
2
2 42
(2,4,2)(1,2,2)
-1
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
3. Persamaan Kurva Vektor yang berupa lingkaran
Contoh 1:
Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = a cos t i +a sin t j + b k.
Penyelesaian:
Persamaan parameter dari fungsi vektor
x = a cos t; y = a sin t; dan z = b
Hubungan antar parameter:
x = a cos t
y = a sin t
Persamaan parameter menjadi:
x2 + y2 = a2 dan z = b
Kesimpulan: Kurva berbentuk lingkaran yang sejajar bidang XOY dan
berjarak b terhadap XOY.
x2 + y2 = a2 cos2t + a2 sin2t
x2 + y2 = a2(cos2t + sin2t)
x2 + y2 = a2 persamaan lingkaran
aj
ai
x
y
z
F(1/2 π)
F(π)
F(3/2 π)
F(0)
bk
F(t) a cos t i +a sin t j + b k
F(0) = a i + 0 j + b k
F(1/2 π) = 0 i + a j + b k
F(π) = -a i + 0 j + b k
F(3/2 π) = 0 i + -a j + b k
Karena t adalah besaran sudut,maka kita ambilsudut-sudut yang sederhana:
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
KURVA VEKTOR
(Menganalisa dan Menggambarkan Kurva dari Sebuah Fungsi Vektor)
4. Persamaan Kurva Vektor yang berupa ellips
Contoh 1:
Analisa gambar kurva dari fungsi vektor F(t) = a cos t i + b j + c sin t k
Penyelesaian:
Persamaan parameter dari fungsi vektor
x = a cos t; y = b; dan z = c sin t
Hubungan antar parameter:
x = a cos t
z = c sin t
Persamaan parameter menjadi:
(x/a)2 + (z/c)2 = 1 dan y = b
Kesimpulan: Kurva berbentuk ellips yang sejajar bidang XOZ dan
berjarak b terhadap XOZ.
x/a =cos t (x/a)2 = cos2t
z/c = sint (z/c)2 = sin2t
(x/a)2 + (z/c)2 = 1 pers. ellips+
TERIMA KASIH