Pertemuan ke-2AKAR-AKAR PERSAMAAN
Tujuan Pembelajaran :1. Mahasiswa mampu menggunakan metode
komputasi untuk menentukan akar-akar persamaan.2. Mahasiswa mampu
mengaplikasikan metode pencarian akar-akar persamaan pada sistem
fisika.
I. Akar Persamaan Adalah bilangan yang merepresentasikan titik
potong kurva polinomial terhadap variabel bebasnya. Persamaan
kuadrat dalam bentuk , akar-akarnya dapat ditentukan secara
analitik . Sedangkan persamaan derajat lebih tinggi, akar-akarnya
tidak dapat ditentukan dengan persamaan (2) melainkan dengan
menggunakan metode numerik. Penyelesaian numerik diselesaikan
dengan pendekatan berurutan (iterasi) sedemikian hingga hasil yang
diperoleh pada setiap step lebih teliti dari sebelumnya. Beberapa
metode yang umumnya digunakan adalah :a. Metode setengah
intervalMetode ini biasa disebut metode bagi dua atau metode
bisection. Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan dengan
metode setengah interval adalah :1. Menghitung fungsi pada interval
yang sama dari x sampai diperoleh perubahan tanda untuk fungsi f(x)
dan f(xn+1), yaitu f(x) x f(xn+1) < 0.2. Melakukan estimasi
pertama terhadap akar xt yang dihitung dengan rumus .3. Membuat
evaluasi untuk menentukan sub interval tempat akar persamaan berada
dengan criteria: Jika f(x) x f(xn+1) < 0, akar persamaan berada
pada sub interval pertama, jadi xn+1= xt maka hitungan dilanjutkan
pada langkah ke-4. Jika f(x) x (xn+1) < 0, akar persamaan berada
pada sub interval kedua, jadi xn = xt hitungan dilanjutkan pada
langkah ke-4 Jika f(x) x (xn+1), akar persamaan xt hitungan
selesai.4. Menghitung perkiraan baru dengan rumus 5. Jika perkiraan
akar baru cukup kecil atau sesuai dengan target awal dalam batasan
yang dapat diterima, hitungan dianggap selesai dengan xt adalah
akar persamaan. Jika perkiraan belum kecil, hitungan di ulang dari
langkah no 3 sampai diperoleh hasil sesuai dengan target.
Bagan alir metode setengah intervalContoh 1Hitung salah satu
akar persamaan polynomial orde 3 b. Metode Regulasi FalsiDapat
diartikan sebagai metode posisi palsu karena metode ini memberikan
posisi palsu akar w berdasarkan titik potong garis lurus yang
melalui (x1,f(x1)) dan (x2,f(x2)) dengan tanda yang berbeda dan
kontinu. Perhitungan akar-akar persamaan metode ini sebagai berikut
:1. Menentukan fungsi pada interval x yang sama sampai diperoleh
perubahan tandadari fungsi f(x) dan f(xn+1).2. Dari kedua fungsi
f(x) dan f(xn+1) ditarik garis lurus sehingga terbentuk segitiga
sebangun yang memenuhi persamaan Langkah ke-2 adalah menentukan w
menggunakan persamaan tersebut dan nilai fungsi f(w).3. Melakukan
evaluasi terhadap fungsi f(w) dan f(xn+1) untuk menentukan sub
interval tempat w berada dengan criteria : Jika f(w) x f(xn+1) <
0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, jadi xn+1= w
maka hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4. Jika f(w) x (xn+1)
< 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, jadi xn = w
hitungan dilanjutkan pada langkah ke-4 Jika f(x) x (xn+1)=0, akar
persamaan w hitungan selesai4. Melakukan interpolasi baru
menggunakan persamaan
Bagan alir metode regulasi Falsi
Contoh 2Hitung salah satu akar persamaan polynomial orde 3 c.
Metode Newton-RaphsonMetode ini Newton-Raphson dibangun dari
informasi harga f(xn) pada titik perkiraan awal xn. perhitungan
akar-akar persamaan dengan metode ini ditentukan dengan
langkah-langkah berikut :1. Menentukan f (x)dari f(x).2. Menentukan
nilai xn pada sembarang titik.3. Menghitung nilai xn+1 menggunakan
persamaan 4. Membuat estimasi pada nilai xn+1 dengan keriteria :
Jika nilai kecil atau mendekati nol maka xn+1adalah akar-akar
persamaan sehingga perhitungan dinyatakan selesai. Jika nilainya
belum kecil maka diulangi lagi langkah ke-3.Contoh 3.Hitung salah
satu akar persamaan polynomial orde 3 d. Tutorial dan latihan
program1. Diketahui fungsi , hitunglah akar persamaan fungsi
tersebut dengan metode setengah interval.a. %interval awal akar
persamaandisp(Estimasi awal akar persamaan)disp( )x1=input(masukkan
perkiraan awal1 = );x2=input(masukkan perkiraan awal2= );fungsi1=
x1^3+2*x1^2-5*x1-5fungsi2= x2^3+2*x2^2-5*x2-5if fungsi1*fungsi2
> 0 pesan=estimasi salah, ulangi lagi..else pesan=estimasi
benarend
b. Menghitung estimasi sub interval pertama% program menghitung
akar persamaandisp(menghitung akar persamaan)disp(
)x1=input(masukkan akar awal pertama = );x2=input(masukkan akar
awal kedua = );f1= x1^3+2*x1^2-5*x1-5;f2=
x2^3+2*x2^2-5*x2-5;t1=(x1+x2)/2;
ft1^3+2*t1^2-5*t1-5;M=input(masukkan jumlah iterasi =
);X1=zeros(M,1); % tempat penyimpanan data x1X2=X1; %tempat
penyimpanan data x2T=X1; %tempat menyimpan data tFX1=X1; FX2=X2;
FT=X1;X1(1) = x1; X2(1) = x2; T(1) = t1;FX1(1) =
f1;FX2(1)=f2;FT(1)=ft1;for m=2 : M if FT(m-1) < 0 X1(m) =
T(m-1); X2 (m) = X2(m-1); else X1(m)=X1(m-1); X2(m)=T(m-1);
EndFX1(m) = X1(m)^3+2*X1(m)^2-5*X1(m)-5;FX2(m) =
X2(m)^3+2*X2(m)1^2-5*X2(m)-5;T(m)= (X1(m) + X2(m))/2;FT(m)=
T(m)^3+2*T(m)^2-5*T(m)-5;endIt = (1:M);disp( )disp(Akar-akar
persamaan) % membuat tabeldisp( )disp(iterasi ke- Xm Xm+1 t F(Xm)
F(Xm+1) F(t) )disp( )disp ([It X1 X2 T FX1 FX2 FT]) % mengisi
tabel
