Petrijeve mreže

Mentor:

Prof.dr Milorad Banjanin

Student:

Slađana Jović 3577

Prof. dr. Carl Adam Petri, rođen 12.7.1926. god. u Lajpcigu, profesor na

Univerzitetu u Hamburgu

1962. god. kreirao Petri mreže

Bavio se razvijanjem opšte teorije diskretnih sistema zasnovane na

konceptima paralelizma, distribuiranosti i asinhrone

komunikacije

Struktura Petrijevih mreža

Petrijeve mreže su grafičke metode konceptualnog modelovanja procesa.

Odnosno, to su grafički predstavljene usmerene mreže realizovane sa dve različite vrste čvorovavrste čvorova::

MestaMesta (stanja) - informacioni sadržaj

PrelazPrelazaa (prelazi stanja) - opisuju informacionu obradu

Struktura Petrijeve mreže opisana je četvorkom: C=(P,T,I,O)

konačni skup mesta

konačni skup prelaza P = {p1, p2...,pn} T = {t1, t2,..., tm}

I funkcija ulaza

funkcija izlaza O

Obradapodataka

Ulazi za t Izlazi za tp1 p2t

Struktura Petrijeve mreže opisana je četvorkom: C=(P,T,I,O)

konačni skup mesta konačni skup prelaza

P={p1, p2...,pn} T={t1, t2,..., tm}

I funkcija ulaza funkcija izlaza O

p1

p2

p3

p4t1

t2

t3

Primer

)(p)I(t

)p,(p)I(t

)(p)I(t

33

322

11

1))I(t,(p#

1))I(t,(p#

1))I(t,(p#

2))I(t,(p#

23

33

22

11

)(p)O(t

)(p)O(t

)p,(p)O(t

43

42

321

1))O(t,(p#

2))O(t,(p#

1))O(t,(p#

1))O(t,(p#

13

34

24

12

Ulazi Izlazi

321

4321

,,

,,,

tttT

ppppP

Stanja

Prelazi

Područje ispred

Kad strelica pokazuje na neki čvor x, tada čvor y od kojeg

počinje strelica, pripada području ispred 'x čvora x. ( 'x je područje ispred x).

Područje ispred prelaza sastoji se samo od elemenata različitog tipa, odnosno samo od mesta.

tp1

p2

p3

Područje iza

Kada strelica pokazuje od čvora x prema čvoru y, tada čvor y

pripada području iza x' čvora x (x' je područje iza x).

p1

p2

p3

t

Područje iza prelaza sastoji se samo od elemenata različitog tipa, odnosno samo od mesta.

Područje ispred i područje iza se ne isključuju međusobno. Neki elementi mogu istovremeno biti

područje ispred nekog elementa, ali i područje iza nekog drugog ili istog elementa, kao što je to kod

mreže kruga.

Dualna mreža Petrijeve mreže C=(P,T,I,O) je O)I,P,(T,C

Ct1

t2

t3

t4p1

p2

p3

t2

p1

p2

p4t1

t3p3

C

Inverzna mreža Petrijeve mreže C=(P,T,I,O) je -C=(P,T,O,I)

t2

p1

p2

p4t1

t3p3

-C

Označavanje Petrijeve mreže),,,,( OITPM

C

),...,,( 21 n Vektor oznaka

Oznaka

p1

p2

p3

p4

t1

t2

t3

μ=(μ1, μ2, μ3, μ4)=(2,0,0,0)μ=(μ1, μ2, μ3, μ4)=(2,0,0,0)

Pravila za izvođenje Petrijeve mreže

Da bi se prelaz tn aktivirao, potrebno je da svako ulazno mesto za tn sadrži bar jednu oznaku.

Pri realizaciji prelaza tn vrši se

okidanje

ulazna mesta gube oznake - sadržaj

izlazna mesta dobijaju oznake

p1 p2t

original okinuto

Stanje mreže nakon realizovanog prelaza t1

(0,1,1,0)μ'(2,0,0,0)μ

)p,p,p,(pμ 4321

μ

'μ- Vektorski oblik početnog stanja

- Vektorski oblik novog stanja

t1p1 p4

p2

p3

t2

t3

Stanja mreže nakon realizovanih prelaza

t1p1 p4

p2

p3

t2

t3

Kreiranje grafika stanja:

zadaje se početno stanje Petrijeve mrežezadaje se početno stanje Petrijeve mreže

definišu se prelazi koji se mogu izvršiti iz početnog stanja

svakom mogućem prelazu odgovara grana prema čvoru koji opisuje novo stanje u koje

mreža prelazi po aktiviranju prelaza

sledeći koraci se ciklično ponavljaju

zzavršno stanjeavršno stanje

Stanja koja isključuju dalje korake:

uumnoženo množeno stanjestanje

Karakteristike Petrijeve mreže

Sekvenca i paralelizam

Kada se istovremeno odvijaju dva ili više događaja, tada se na različitim mestima u Petrijevoj mreži okida više prelaza. Da bi neki prelaz mogao okinuti zavisi o području ispred i području iza. Kada se odvijaju dve ili više međusobno nezavisne sekvence radi se o paralelizmu.

sekvenca

paralelizam

Grananja

Razlikujemo: razdvajanje (dekompozicija), spajanje (agregacija) i

sinhronizaciju.

Do razdvajanja dolazi kada se na jednu sekvencu nastavljaju

dve sekvence koje teku paralelno. Takvu Petrijevu mrežu modelujemo pomoću tri mesta i isto toliko prelaza.

Razdvajanje

Spajanje je obrnuti postupak od razdvajanja. U takvoj Petrijevoj mreži od dve posebne sekvence nastaje jedna.

Kod okidanja prelaza iz dve oznake, koje se nalaze u mestima područja ispred prelaza, nastaće jedna u

mestu područja iza prelaza.

Spajanje

Sinhronizacija

Postoje procesi koji međusobno nezavisno rade, ali u nekom trenutku trebaju međurezultat onog drugog. Zato se ti procesi moraju sinhronizovati. Prelaz, koji sinhronizuje,

čeka da svi procesi koje treba sinhronizovati stignu do tačke sinhronizacije. Kada su svi procesi stigli do tačke

sinhronizacije ona okidanjem započinje nastavak toka svih procesa u granama.

DostupnostDostupnost

Opisuje odnos među stanjima i određuje moguća stanja na osnovu uslova iz prelaza.Važna je za izučavanje dinamičkih

svojstava mreže i za njenu analizu, što je jedan od najsloženijih problema.

2 0 0 0

0 1 0 20 0 1 1

0 1 1 0(0,1,0,2)μ

(0,0,1,1)μ

(0,1,1,0)μ

(2,0,0,0)μ

3

2

1

0

Skup dostupnih stanja

Generisani tokovi stanja i prelaza

)μ,μ,(μ

)μ,μ,(μ310

210

)t,(t

)t,(t

31

21

30

20

μ,μ

μ,μDostupna stanja

t1t1

t2t2 t3

t3

Sigurnost i ograničenost određuju kapacitet elemenata

sistema – ne sme postojati prekoračenje kapaciteta

OgraniOgraniČČenosenostt

Odnosi se na pojam maksimalnog broja oznaka u mestu mreže. Petrijeva mreža je k-ograničena ako su sva mesta u mreži najmanje k-ograničena.

SigurnostSigurnost

Sigurnost Petrijeve mreže se ogleda u tome da broj

oznaka ni u jednom mestu ne sme biti veći od jedan. Petrijeva mreža je sigurna

ako su sva mesta u njoj sigurna. Ne sme postojati

višestruka veza mesta i prelaza.

AktivnostAktivnost

Odnosi se na mogućnost izvršenja prelaza. Aktivna mreža isključuje mogućnost blokiranja ili potpunog zastoja u modelovanom sistemu. Dakle, nema ni jednog prelaza koji se nikad ne izvodi ili stanja kome se ne može izvesti ni jedan prelaz. Aktivnost je najvažnije svojstvo za modelovanje telekomunikacionih procesa.

ReverzibilnostReverzibilnost

Petrijeva mreža je reverzibilna ako se iz svakog stanja može vratiti u početno stanje.U telekomunikacijskim procesima se često zahteva povratak u prvobitno stanje nakon izvršenja nekih operacija.

Konzervacija oznakaKonzervacija oznaka

Predstavlja zadržavanje jednakog, početnog broja oznaka u svim stanjima

mreže. Uslov je postojanje jednakog broja ulaza i izlaza za

svaki prelaz u mreži.

Sinhrona distancaSinhrona distanca

Označava nivo usklađenosti dva prelaza ti i tj i odgovara razlici brojeva

izvođenja prelaza.

Konflikt

U Petrijevim mrežama dolazi do konflikta onda kada obe grane žele učiniti nešto što se međusobno isključuje. Do konflikta područja ispred dolazi kada dva prelaza trebaju istu oznaku da bi okinuli.

Područje ispred

Područje iza

Do konflikta područja iza dolazi kada dva prelaza žele staviti oznaku u jedno te isto mesto, a kapacitet mesta nije dovoljan za obe oznake. Dakle, dva prelaza su aktivna, ali može okinuti samo jedan.

U literaturi često nailazimo da se za konflikt područja ispred upotrebljava pojam “konflikt”, a za konflikt područja iza

upotrebljava pojam “kontakt”.

Konfuzija

Konfuzija je “dvostruki konflikt”, tj. nekad se prelaz istovremeno nalazi u konfliktu s dva različita prelaza.

Semafor i potpuni zastoj (Deadlock)

Svrha semafora u operativnom sistemu je osigurati da je kritično područje na raspolaganju uvek samo jednom procesu. U Petrijevoj mreži kojom se modeluje ovakva situacija postoji samo jedna

oznaka i ona se zove semafor.

Kad je u Petrijevoj mreži ostvarena takva označenost da neki prelazi nikada više ne mogu biti aktivni, a put za dolazak oznaka

na tražena mesta postoji, kažemo da je došlo do potpunog zastoja (eng. Deadlock).

Potpuni zastoji su često skriveni, jer svaki sled okidanja ne

dovodi do potpunog zastoja.

Modeli sa klasifiModeli sa klasifikovkovanim anim mestima/prelazimamestima/prelazima

Modeli sa klasifiModeli sa klasifikovkovanim anim mestima/prelazimamestima/prelazima

Pet. mreža sa inhibicijskinhibicijskoom granm granoommPet. mreža sa inhibicijskinhibicijskoom granm granoomm

Pet. mreža sa isključivim ILI prelazimaisključivim ILI prelazimaPet. mreža sa isključivim ILI prelazimaisključivim ILI prelazima

Pet. mreža sa usmerenim prelazimausmerenim prelazimaPet. mreža sa usmerenim prelazimausmerenim prelazima

Pet. mreža sa prioritetimaprioritetimaPet. mreža sa prioritetimaprioritetima

VremenskaVremenska Petrijeva mrežamrežaVremenskaVremenska Petrijeva mrežamreža

Obojene mrežeObojene mrežeObojene mrežeObojene mreže

Mreže Booleovog tipaBooleovog tipaMreže Booleovog tipaBooleovog tipaModeli sa mogućnošću Modeli sa mogućnošću ispitivanja neispunjenog ispitivanja neispunjenog

uslovauslova

Modeli sa mogućnošću Modeli sa mogućnošću ispitivanja neispunjenog ispitivanja neispunjenog

uslovauslova

Osnovni model je doživeo više varijanti u vidu proširenja ili ograničenja. Dve osnovne grupe izvedenih modela su:

Osnovni model je doživeo više varijanti u vidu proširenja ili ograničenja. Dve osnovne grupe izvedenih modela su:

Petrijeva mreža sa inhibicijskom granomPetrijeva mreža sa inhibicijskom granom

Inhibicijska grana između mesta pi

i prelaza tj ima značenje negacije, i ako je inhibicijsko mesto označeno prelaz se

ne izvodi. Svaki prelaz tj može imati proizvoljan broj inhibicijskih grana.

Inhibicijska grana između mesta pi

i prelaza tj ima značenje negacije, i ako je inhibicijsko mesto označeno prelaz se

ne izvodi. Svaki prelaz tj može imati proizvoljan broj inhibicijskih grana.

pi tj

Praktičnom primenom inhibicijske grane u telekomunikacionim modelima pojednostavljuje se

stuktura modela, jer se često pojavljuju situacije kada se uz ispunjen uslov izvršava jedan skup akcija, a u suprotnom drugi.

(Npr. slobodan/zauzet korisnik)

Praktičnom primenom inhibicijske grane u telekomunikacionim modelima pojednostavljuje se

stuktura modela, jer se često pojavljuju situacije kada se uz ispunjen uslov izvršava jedan skup akcija, a u suprotnom drugi.

(Npr. slobodan/zauzet korisnik)

Petrijeva mreža sa ILI prelazima Petrijeva mreža sa ILI prelazima

Isključivi ILI prelaz – izvodi se akoje samo jedno od ulaznih mesta

označeno ili ako je u pitanju neparan broj ulaznih mesta.

Isključivi ILI prelaz – izvodi se akoje samo jedno od ulaznih mesta

označeno ili ako je u pitanju neparan broj ulaznih mesta.

pk

p1

tj

+

∙ ∙

p2

p1

tj

+

∙ ∙

p1

p2 tj2

tj1

Isključivi ILI prelaz sa k-ulaznih mesta se može opisati sa k-prelaza povezanih kao na slici iznad.

Isključivi ILI prelaz sa k-ulaznih mesta se može opisati sa k-prelaza povezanih kao na slici iznad.

Ekvivalentno predstavljanjeEkvivalentno predstavljanje

Petrijeva mreža sa usmerenim prelazima Petrijeva mreža sa usmerenim prelazima

p1

pk

pe

pf

ps

∙ ∙

tj

Podrazumeva se postojanje najmanje dva ulazna i samo dva izlazna mesta (pe i pf). Jedno od ulaznih mesta ima funkciju upravljanja, odnosno usmeravanja (ps).

Podrazumeva se postojanje najmanje dva ulazna i samo dva izlazna mesta (pe i pf). Jedno od ulaznih mesta ima funkciju upravljanja, odnosno usmeravanja (ps).

ps prazanps prazan

ps označenps označen

Ako je:Ako je:

oznaku dobija pe oznaku dobija pe

oznaku dobija pf oznaku dobija pf

Petrijeva mreža sa prioritetimaPetrijeva mreža sa prioritetimaPetrijeva mreža sa prioritetima sadrži prelaze ti i tj od kojih se oba mogu izvršiti, ali je prioritetom određeno

koji od njih će biti prvi.

Vremenska Petrijeva mrežaVremenska Petrijeva mreža

Vremenska Petrijeva mreža se izvodi iz izvorne Petrijeve mreže tako da se svakom prelazu dodele dva vremenska intervala:

d Diletacija - minimalno vreme koje mora proteći nakon ispunjenja uslova da bi se

prelaz realizovao.

Diletacija - minimalno vreme koje mora proteći nakon ispunjenja uslova da bi se

prelaz realizovao.

Maksimalno vreme za ispunjavanje uslova za realizaciju prelaza, a nakon toga se prelaz

mora izvršiti.

Maksimalno vreme za ispunjavanje uslova za realizaciju prelaza, a nakon toga se prelaz

mora izvršiti.

Ako je i , pojam vremena se gubi i mreža postaje izvorna Petrijeva mreža.

Ako je i , pojam vremena se gubi i mreža postaje izvorna Petrijeva mreža.

0τd gτ

g

Različiti intervali vremena između dva prelaza koji se mogu

izvršiti su ekvivalent Petrijevoj mreži sa prioritetima.

Različiti intervali vremena između dva prelaza koji se mogu

izvršiti su ekvivalent Petrijevoj mreži sa prioritetima.

Mreža Booleovog tipaMreža Booleovog tipa

To je takozvana Petrijeva mreža mešanog tipa. Opisuje se preko šest parametara: M=(PB, PI, T, I, O, μ ) od kojih zadnja četiri imaju isto značenje kao i kod izvorne mreže, a parametri:

PB- skup mesta Booleovog tipa

PI - skup mesta celobrojnog tipa

To je takozvana Petrijeva mreža mešanog tipa. Opisuje se preko šest parametara: M=(PB, PI, T, I, O, μ ) od kojih zadnja četiri imaju isto značenje kao i kod izvorne mreže, a parametri:

PB- skup mesta Booleovog tipa

PI - skup mesta celobrojnog tipa

Ako je:Ako je:

PB = 0PB = 0

PI = 0PI = 0

mreža je celobrojna mreža je celobrojna

mreža je Booleova mreža je Booleova

Proširena Petrijeva mreža se dobija ako se svakom Booleovom mestu dodeli logička pauza, a svakom prelazu impuls

kojim se generiše izvršenje prelaza.

Proširena Petrijeva mreža se dobija ako se svakom Booleovom mestu dodeli logička pauza, a svakom prelazu impuls

kojim se generiše izvršenje prelaza.

Svako mesto ima tačno jednu ili nijednu oznaku.

Svako mesto ima tačno jednu ili nijednu oznaku.

Obojena Petrijeva mreža

Obojena Petrijeva mreža

Za Petrijevu mrežu C=(P,T,I,O), kojoj je pridružen skup boja B, označavanje μi opisuje za svako mesto

pi skupinu oznaka s bojom bj є B.

Za Petrijevu mrežu C=(P,T,I,O), kojoj je pridružen skup boja B, označavanje μi opisuje za svako mesto

pi skupinu oznaka s bojom bj є B.

Dobija se proširenjem osnovnog modela Petrijeve mreže postupkom klasifikovanja oznaka. Različite oznake u stanjima se opisuju atributima različitih svojstava, ta svojstva se simbolizuju bojama (instance atributa).

Dobija se proširenjem osnovnog modela Petrijeve mreže postupkom klasifikovanja oznaka. Različite oznake u stanjima se opisuju atributima različitih svojstava, ta svojstva se simbolizuju bojama (instance atributa).

Izvođenje prelaza eliminiše te oznake iz ulaznih mesta, a dodaje obojene oznake u izlazna mesta.

Izvođenje prelaza eliminiše te oznake iz ulaznih mesta, a dodaje obojene oznake u izlazna mesta.

Obojena Petrijeva mreža

Obojena Petrijeva mreža

p0

t2

p1

1

1

1

1

1

1

t1

t3

p1p0

t1

t2

t3

1

1

1

1

1

1

t1

p0

t2

p1

1

1

1

1

1

1

t1

t3

p0

t2

p1

1

1

1

1

1

1

t1

t3

t3

b1

b2

b3

slobodanslobodan

zauzet zauzet

blokiran blokiran

Prednosti Petrijeve mrežePrednosti Petrijeve mreže

sadrži malo elemanatasadrži malo elemanata

sastoji se od jednostavnih elemenatasastoji se od jednostavnih elemenata

može se dobro prikazati grafičkimože se dobro prikazati grafički

oznake obezbeđuju dobru vizuelizaciju stanja sistemaoznake obezbeđuju dobru vizuelizaciju stanja sistema

poseduje solidnu teoretsku osnovuposeduje solidnu teoretsku osnovu

mogu se analizirati i simuliratimogu se analizirati i simuliratijednostavno proširenje osnovnog

koncepta mreže u složeniju mrežu

jednostavno proširenje osnovnog koncepta mreže u složeniju mrežu

Ograničenja Petrijeve mreže

Ograničenja Petrijeve mreže

za praktičan rad neophodno je koristiti više Petri mrežeza praktičan rad neophodno je koristiti više Petri mreže

više Petrijeve mreže su složene za kreiranje i analizuviše Petrijeve mreže su složene za kreiranje i analizu

Petrijeve mreže još uvek nisu bile kombinovane sa drugim osnovnim konceptima, tj. predstavljaju

potpuno samostalan koncept

Petrijeve mreže još uvek nisu bile kombinovane sa drugim osnovnim konceptima, tj. predstavljaju

potpuno samostalan koncept

Petrijeve mreže i konceptualno simulacijsko modelovanje

Petrijeve mreže i konceptualno simulacijsko modelovanje

Pod modelovanjem se podrazumeva proces oblikovanja, odnosno, izrađivanja na temelju nekog uzorka.

Pod modelovanjem se podrazumeva proces oblikovanja, odnosno, izrađivanja na temelju nekog uzorka.

Model predstavlja apstraktni prikaz sistema i poseduje barem osnovna svojstva originala,i njima se

omogućava opisivanje složenih fenomena.

Model predstavlja apstraktni prikaz sistema i poseduje barem osnovna svojstva originala,i njima se

omogućava opisivanje složenih fenomena.

modeli dinamičkih sistema

njihovo stanje se menja tokom vremena

omogućavaju ispravan prikaz i efikasno izvođenje pomaka vremena

omogućavaju istovremeno odvijanje aktivnosti

Osnovne komponente simulacijskog modelovanja su:

Sistem Sistem

Model Model

Program Program

Računar Računar

skup delova koji zajedničkim

međudelovanjem ostvaruju zadani cilj ili

funkciju

prikazuje strukturu sistema, njegove delove i njihovo međudelovanje

detaljan opis strukture i načina rada modela

na temelju instrukcija programa i ulaznih

podataka generiše razvoj modela u vremenu

Osnovne operacije nad komponentama su:

Osnovne operacije nad komponentama su:

Analiza i modelovanje Analiza i modelovanje analiza strukture i načina rada sistema, te

predstavljanje sistema u formalnom apstraktnom obliku

analiza strukture i načina rada sistema, te predstavljanje sistema u formalnom

apstraktnom obliku

Programiranje Programiranje detaljan prikaz modela u obliku pogodnom za rad na računaru

detaljan prikaz modela u obliku pogodnom za rad na računaru

Simulacija Simulacija izvođenjem instrukcija programa na račuaru, oponaša se razvoj sistema u vremenu

izvođenjem instrukcija programa na račuaru, oponaša se razvoj sistema u vremenu

Prvi korak simulacijskog modelovanja je izgradnja konceptualnih simulacijskih modela. Njihova je važnost da:

Prvi korak simulacijskog modelovanja je izgradnja konceptualnih simulacijskih modela. Njihova je važnost da:

izdvoje najvažnije karakteristike sistema

opišu elemente sistema i njihovo međudelovanje

pomognu u komunikaciji onih koji razvijaju model i onih koji se koriste njime

pomognu u komunikaciji onih koji razvijaju model i onih koji se koriste njime

pomognu u razvijanju računarskog modela

omogućavaju strukturiranje problema, te služe kao alat za razmišljanje o problemu i za njegovo bolje razumevanje

omogućavaju strukturiranje problema, te služe kao alat za razmišljanje o problemu i za njegovo bolje razumevanje

sadrže grubi opis sistema i njegovu razradu u module sadrže grubi opis sistema i njegovu razradu u module

povezuju identifikaciju sistema i detaljan opis simulacijskog programa

povezuju identifikaciju sistema i detaljan opis simulacijskog programa

predstavljaju objekte s dinamičkim paralelnim međudelovanjem

predstavljaju objekte s dinamičkim paralelnim međudelovanjem

Od kvalitetnog konceptualnog modela se očekuje:Od kvalitetnog konceptualnog modela se očekuje:

jednostavan, prirodan, lako razumljiv i nedvosmislen prikaz elemenata sistema,

jednostavan, prirodan, lako razumljiv i nedvosmislen prikaz elemenata sistema,

velike izražajne mogućnosti modelovanja,velike izražajne mogućnosti modelovanja,

modularan i fleksibilan prikaz koji omogućuje jednostavne i sigurne izmene modela.

modularan i fleksibilan prikaz koji omogućuje jednostavne i sigurne izmene modela.

Uloga Petrijevih mreža u konceptualnom simulacijskom

modelovanju

Uloga Petrijevih mreža u konceptualnom simulacijskom

modelovanju Petrijeve mreže su jedna od grafičkih metoda konceptualnog simulacijskog modelovanja. Njihovom upotrebom i pridržavanjem

precizno definisanih pravila, može se izgraditi konceptualni model određenog sistema čije se ponašanje želi simulirati.

poseduju sve bitne karakteristike koje metode konceptualnog modelovanja trebaju imati

zbog svoje dvodimenzionalnosti omogućavaju čovekovu vizualizaciju modelovanog sistema

omogućavaju i istovremeno odvijanje aktivnosti, te opisuju problem takmičenja procesa za resurse

omogućavaju i prikaz dinamičkih diskretnih događaja koji svoje stanje menjaju tokom vremena

Literatura:Literatura:

DAAD Project “Joint Course on Software Engineering”, chapter 11, 2003.

http://www.petrinets.org

Hržić, T, Diplomski rad: Konceptualno modeliranje uz primjenu Petrijevih mreža, Varaždin, 2004.

Čerić, V, Simulacijsko modeliranje, Školska knjiga, Zagreb, 1993.

DAAD Project “Joint Course on Software Engineering”, chapter 11, 2003.

http://www.petrinets.org

Hržić, T, Diplomski rad: Konceptualno modeliranje uz primjenu Petrijevih mreža, Varaždin, 2004.

Čerić, V, Simulacijsko modeliranje, Školska knjiga, Zagreb, 1993.