Phan Dang Toan 12Rat Hay

Trung Tâm Luyện Thi CLC Star http://maths.edu.vn ĐC: 54H Bùi Thị Xuân Đà Lạt

GV: Lê Quang Điệp Tel: 0974200379 – 0633755711 Trang 1

PHÂN DẠNG

BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LỚP 12



PHÂN DẠNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH LỚP 12.

PHẦN A: GIẢI TÍCH.

CHƢƠNG 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.

1. Xét tính đơn điệu của hàm số.

Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số:

a) 3 2

y 2x 3x 1 b) 3 2

y x 2x x 1

c) 3 2

y x 3x 9x 1 d) 3 2

y x 2x 5x 2

Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số:

a) 4 2

y x 2x 5 b) 2 2

y x 2 x

c) 4

2x

y x 3

4

d) 4 2

y x x 1

Bài 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a)

x 1

y

x

b)

3x 1y

1 x

c)

2

x 2xy

1 x

d)

2

x 2x 3y

x 2

e) 1

y x

x

f) 1

y x

x

Bài 4: Chứng minh rằng :

a) 2

y 2x x đồng biến trên khoảng 0;1 và nghịch biến trên khoảng 1;2 .

b) 2

y x x 8 nghịch biến trên

Bài 5: Tìm tham số m để:

a) 3

y mx –x nghịch biến trên

b) 3 21

y x mx 4x 3

3

đồng biến trên

c)

2

x - m 4y

x 3

đồng biến trên từng khoảng xác định.

d)

my x 2

x 1

đồng biến trên từng khoảng xác định.

e) 3 2y x 3x mx 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch

biến trên khoảng 0; .

f) 3 2y 2x 2x mx 1 đồng biến trên khoảng 1; .

g) 3 2y mx x 3x m 2 đồng biến trên khoảng 3;0 .

h) mx 4

yx m

luôn nghịch biến trên khoảng ;1 .

i) 3 2y x 3x m 1 x 4m nghịch biến trên khoảng 1;1 .



Bài 6: Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số:

a) 3 2 3 21 1y x m m 1 x m x m 1.

3 2

b) 3 2 21 1y x mx m x m 3

3 2

c) 3 21 1y = m 1 x m 1 x x 2m 3.

3 2

Bài 7: Tìm tham số m để hàm số:

a)

2

mx 6x 2y

x 2 nghịch biến trên nữa khoảng 2; .

b)

mx 1y

x m luôn nghịch biến trên nữa khoảng 2; .

c)

x 2my

2m 3 x m luôn nghịch biến trên nữa khoảng 1;2 .

d) 3 21y = x 2 m 1 x m 1 x m.

3 đồng biến trên nữa khoảng 2; .

e) 3 2 2y = x m 1 x 2m 3m 2 x m 2m 1 . đồng biến trên nữa khoảng

1; .

Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức:

a)

tanx x 0 x

2

b)

3

xtanx x 0 x

3 2

c) sinx x x 0 d) sinx x x 0

2. Cực trị của hàm số.

Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số:

a) 3 21

y x 2x 3x

3

b) 3 21

y x x 2x 1

3

c) 4 21 1

y x 2x

4 4

d) 3

51 x

y x 2

5 3

Bài 2: Tìm cực trị các hàm số:

a) 1

y x

x

b)

2

x 3x 3y

x 1

c)

4x 1y

x 2

b)

2

x 4x 3y

2 x

Bài 3: Dùng dấu hiệu 2, tìm cực trị các hàm số:

a) 4 2

y x –2x 1 b) y sin2x –x

c) y sinx cosx d) y 3–2cosx –cos2x

e) 5 3

y x –x –2x 1 f) 1

y cosx cos2x

2



Bài 4: Tìm m để hàm số:

a) 3 2 2

y x –3mx 3 m – 1 x m đạt cực tiểu tại x 2

b)

2

x mx 1y

x m

đạt cực đại tại x 2

c) 3 2

y mx 3mx – m –1 x –1 không có cực trị.

d)

2 2

x mx my

x m

có cực đại và cực tiểu.

e) 3 2

y 2x –3 2m 1 x 6m m 1 x 1 đạt cực trị tại 1 2

x , x .

f) 3 2

y mx 3x 12x 2 đạt cực đại tại x 2

Bài 5: Tìm m để hàm số có cực trị.

a)

2

x mx 2y

mx 1

b) 3 2

y x –3mx m 1 x 3m 4

c)

2

x m 1 x m 2

y

x 1

d) 4 2

y x –2 m –4 x 2m 5

e)

2

mx m 2 x 1

y

x 2

f) 3 21

y m 1 x m 1 x 2m 1

3

Bài 6: Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu.

a) 3 2

y m 2 x 3x mx m

b)

2

m 1 x m 1 x m

y

x 1

c)

2 3

x m m 1 x m 1

y

x m

Bài 7: Tìm m để hàm số :

a) 3 2

y x mx 4

Có điểm cực đại là A 2;0 .

b) 4 2

y x m 1 x m 1

có điểm cực tiểu là B 1;1 .

c)

2

x m 1 x m 2

y

x 1

có điểm cực đại là C 2; 2 .

Bài 8: Tìm m để hàm số :

a) 4 2

y mx m –1 x 1 2m chỉ có 1 điểm cực trị.

b) 4 3 2

y x 4mx 3 m 1 x 1hàm có 3 cực trị.

Bài 9: Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại :

a) 4 21 3

y x mx

2 2

b) 4 2

y x mx 3



Bài 10: Tìm m để đồ thị hàm số :

a) 3 21

y x mx 2m 1 x 2

3

có 2 điểm cực trị dương.

b) 3 2

y x mx m 6 x 5 có 2 điểm cực trị dương.

c)

2

2x mx m 2y

mx 1

có 2 điểm cực trị âm.

d) 3 2

y x 6x 3 m 2 x m 6 đạt cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía với trục tung.

Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và cách đều trục oy :

a) 3 2

y 2x mx 12x 13

b) 3 21

y x 2m 3 x 2m 3 x

3

Bài 12: Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và 2 điểm đó nằm về 2 phía

với trục ox :

a)

2

mx 3mx 2m 1y

x 1

b) 3 2m 1

y x x m 1 x 3

3 2

c) 3 2 2

y x 4m 3 x 2m 7m 10 x 3

Bài 13: Tìm a, b, c, d sao cho hàm số:

a) 3 2

f x ax bx cx d đạt cực tiểu tại x 0, f 0 0 và đạt cực đại tại

x 1, f 1 1

b) 3 2

f x x ax bx c đạt cực trị bằng 0 tại x 2 và đồ thị đi qua điểm A 1;0 .

c)

2

ax bx abf x

ax b

đạt cực trị tại x 0và x 4

3. Gía lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Bài 1: Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) 3 2

y x 3x –9x –7 trên 4;3 và 0;2 .

b) 4 2y x – 3x 1 trên 0;3 và 4;1 .

c)

3 xy

2 x

trên 5 7

2; 1 và ;2 2

.

d)

2

x 4x 4y

1 x

trên 1

3; và 2;42

.

e)

2

x 5x 4y

x 2

trên 0;1 .



Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a)

1y x –2

x 1

trên 1; . b) 1

y x –

x

trên 0;2 .

c)

2

2

x x 1y

x x 1

d) 2

xy

x 4

e) 2

y x –3x 2 trên 10;10 .


a) 2

y 5 x b) y 7 x trên 2;3 .

c) 2

y x 4 x d) 2

y x 9 x


a) y 2cos2x 4sinx trên 0;

2

.

b) 3

y 2sinx sin x trên 0; .

c) 3 2

y cos x –6cos x 9cosx 5

d) 3

y sin x –cos2x sinx 2

e) y sin2x –x trên

;

2 2

.

Bài 5:

a) Trong các tam giác vuông có cạnh huyền là 12cm . Hãy xác định tam giác có diện tích

lớn nhất.

b) Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 2

24m . Hãy xác định hình chữ nhật có chu vi

nhỏ nhất.

4. Tiệm cận của hàm số.

Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a)

4xy

3 x

b)

2y

3x 1

c)

3y 2

x 1

d) 2

2x - 1y

x - 1

e)

2

2

x x 1y

2 x x

f)

x 2y

2x 1

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a)

2

2x 1y x 3

x

b)

3

2

xy

x 2x 1

c)

3

2

x x 1y

x 4

d)

2

2

x x 2y

3x x 2



Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) 2

y x 2x b) 2

y x x 4

c) 2

y 2x x 9 d) 2

y x 2x 5

5. Khảo sát hàm số.

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

a) 3

y 2 3x –x b) 3 2

y x 4x 4x

c) 3 2

y x x 9x d) 3

y 2x 3

e) 3 21 5

y x –x –3x –

3 3

f) 3 2

y x 3x –3x 2

g) 2

y x x –2 h) 2

y x 1 x –1

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

a) 4 2

y x –3x 1 b) 4 2

y x 2x –1

c) 4 2

y x 2x –1 d) 4

2x 3

y x

4 4

e) 4 21 3

y x –2x

4 4

f) 4 2

y x –2x 3


a)

x 2y

x 1

b)

1 2xy

2x 4

c)

2x 1y

1 3x

d)

2y

2x 1

e)

3y 1

x 1

f)

1y 2

2 x


a)

2

x 3x 6y

x 1

b)

2

2x x 1y

1 x

c)

2

2x 3x 3y

x 2

d)

1y x 2

x 1

e)

2

x 3y

x 1

f)

2

x 4x 4y

1 x

6. Những bài toán liên quan tới hàm số.

Bài 1: Cho hàm số: 3 21

y x 2x 3x 1 C

3

. Viết phương trình tiếp tuyến của C .

a) Tại giao điểm của C với trục tung.

b) Vuông góc với đường thẳng : x 3y –1 0

c) Tại hoành độ bằng 1.

d) Tại tung độ bằng 1 .

e) Có hệ số góc k 8



f) Đi qua điểm A 0; 1 .


y x 3x –4

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

b) CMR tiếp tuyến trên có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị.


y x –2x –3

a) Dựa vào C biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4 2

x –2x m 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của C có hệ số góc k 24

Bài 4: Cho hàm số: 4 21 1

y x x m

4 2

a) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số đi qua điểm A 1;1 .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có tung độ bằng 7

4


y x 3x –1 C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của đồ thị C với trục 0y .

b) Tuỳ theo giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: 3 2

x –3x m 0

Bài 6: Cho hàm số 3 2

y x 3x 1 C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 3 2

3x 9x m 0.

Bài 7: Cho hàm số : 4 2

y –x –x 2 C

a) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết hệ số góc của d bằng 6 .

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) biết đi qua điểm A 0;3 .


y x 2mx 2m .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi 1

m

2

. Viết phương trình tiếp

tuyến của (C) tại hai điểm uốn.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số có 3 điểm cực trị sao cho 2 2 2

1 2 3x x 4 .


y x x 2 C

3

a) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số C biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục tọa độ tại 2

điểm phân biệt A, B sao cho tam giác 0AB vuông cân.

b) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : y 3x 2 sao cho tổng khoảng cách tới 2 cực trị

của hàm số C là nhỏ nhất.

Bài 10: Cho hàm số: 2x 1

y C

x 1

. Với giá trị nào của m đường thẳng

md đi qua điểm

A 2;2 và có hệ số góc m.

a) Cắt C tại hai điểm phân biệt.



b) Cắt C tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

c) Tiếp xúc với C .

Bài 11: Tìm m để đồ thị của hàm số:

a) 31

C : y x 3x m

3

tiếp xúc với 2

P : y x

b) mx 1

C : y

x

tiếp xúc với 2

P : y 4x 1

c) y = 2

2m 1 x m

C : y

x 1

tiếp xúc với đường thẳng d : y x .

Bài 12: Cho hàm số: 3 2 2

y x 3mx m 1 x 2 C .

a. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x 2 .

b. Tìm m để đồ thị cắt đường thẳng y 2 tại 2 điểm phân biệt A, B .khi đó m bằng bao

nhiêu để AB khoảng cách ABngắn nhất.

c. Tìm m để hàm có 2 cực trị đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Bài 13: Cho Hàm số : 2x 1

y Cx 2

a) Chứng minh đường thẳng d: y x m luôn luôn cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt

A, B .Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

b) Tìm trên đồ thị C những điểm có tổng khoảng cách tới 2 tiệm cận là nhỏ nhất.

c) Tìm trên đồ thị những tọa độ nguyên.

Bài 14: Cho hàm số: 3x 1

y H

x 2

a) Xác định m để đường thẳng d : y 7x m cắt đồ thị H tại 2 điểm.

b) CMR tồn tại một điểm bất kỳ thuộc đồ thị H sao cho tích khoảng cách từ điểm đó tới

tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là một hằng số.

b) Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên.

Bài 15: Cho hàm số: x 1

y C

x 2

a) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C và trục hoành 0x .

b) Tìm điểm M thuộc đồ thị C sao cho khoảng cách từ điểm M tới tiệm cận đứng bằng 2 lần

khoảng cách từ điểm M tới tiệm cận ngang.

c) Vẽ đồ thị: 'x 1

y C

x 2

Bài 16: Cho hàm số: mx 1

y

2x m

a) Tìm m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

b) Tìm m để tiệm cận đứng đi qua A 2; 5 .

c) Tìm m để cho tích khoảng cách từ điểm M 1;1 tới tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của

hàm số bằng 2.




C : y x –3x 4x 1 và 2

P : y x 5x –3

a) Tìm giao điểm của C và P . Viết phương trình tiếp tuyến của C và P tại các giao

điểm trên.

b) Xác định các khoảng trên đó C nằm phía trên hoặc phía dưới P .

c) Vẽ đồ thị hàm số 3 2

y x –3x 4x 1

Bài 18: Cho hàm số: x 3

y

x 1

có đồ thị C .

a) CMR: đường thẳng y 2x m luôn cắt C tại hai điểm phân biệt M, N .

b) Xác định các giá trị m để độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.

c) Vẽ đồ thị hàm số

x 3y

x 1

d) Tìm trên đồ thị C những điểm sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó tới 2 trục tọa độ là

nhỏ nhất.


y x 3x 1 C .

a) Xác định k để đường thẳng y kx tiếp xúc với C .

b) Gọi d là đường thẳng đi qua cực đại của hàm số C và có hệ số góc là m. Tìm m để

đường thẳng d cắt đồ thị C tại 2 điểm phân biệt.

c) vẽ đồ thị hàm số 3

2

y x 3x 1

d) Tìm những điểm trên đồ thị hàm số đối xứng nhau qua trục tung.

Bài 20: Cho hàm số 3

y x –3x 2 C .

a) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A 3;20 và có hệ số góc là m.Tìm m để đường thẳng

d cắt đồ thị C tại 3 điểm phân biệt.

b) Vẽ đồ thị hàm số 3

y x –3 x 2

c) Tìm điểm M thuộc đồ thị C sao cho khoảng cách từ điểm A 1;2 tới tiếp tuyến tại M

của đồ thị C là nhỏ nhất.

d) Tìm trên đồ thị hàm số C những điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.


y x – m 2 x m 1 C

a) CMR: Đồ thị hàm số C luôn đi qua hai điểm cố định A, B với mọi giá trị của m. Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại A và B.

b) Tìm m để hàm số có 3 cực trị có hoành độ là 1 2 3

x ,x ,x sao cho 2 2 2

1 2 3x x x 1 .

c) Tìm m để đồ thị hàm số C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.



7. Những bài toán CĐ, ĐH các năm.

Bài 1: CĐ khối A, B, D 2008: Cho hàm số x

y .x 1

C .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.

b) Tìm m để đường thẳng d : y x m cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt.

Bài 2: CĐ khối A, B, D 2009: Cho hàm số 3 2y x 2m 1 x 2 m x 2 (1),với m là

tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m = 2

b) Tìm các giá trị của m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm giá trị của đồ thị

hàm số (1) có hoành độ dương.

Bài 3: CĐ khối A, B, D 2010:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 3 2y x 3x 1

b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ bằng – 1

Bài 4: CĐ khối A, B, D 2011: Cho hàm số 3 21y x 2x 3x 1.

3 C .


b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại giao điểm của C với trục tung.

Bài 5: ĐH khối B 2008: Cho hàm số 3 2y 4x 6x 1 1 ,

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm

M 1; 9 .

Bài 6: ĐH khối D 2008: Cho hàm số 3 2y x 3x 4 1 .


b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I 1;2 với hệ số góc k k 3 đều

cắt đồ thị của hàm số 1 tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của đoạn

thẳng AB.

Bài 7: ĐH khối A 2009: Cho hàm số x 2

y 1 .2x 3


b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 ,biết tiếp tuyến đó cắt trục

hoành,trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.

Bài 8: ĐH khối B 2009: Cho hàm số 4 2y 2x 4x 1 .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 .

b) Với các giá trị nào của m,phương trình 2 2x x 2 m có 6 nghiệm thực phân biệt ?

Bài 9: ĐH khối D 2009: Cho hàm số 4 2y x 3m 2 x 3m có đồ thị là mC , m là tham

số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.



b) Tìm m để đường thẳng y 1 cắt đồ thị mC , tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ

hơn 2.

Bài 10: ĐH khối A 2010: Cho hàm số 3 2y x 2x 1 m x m 1 , m là tham số thực.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m 1 .

b) Tìm m để đồ thị của hàm số 1 cắt với trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

1 2 3x , x , x thỏa mãn điều kiện 2 2 2

1 2 3x x x 4.

Bài 11: ĐH khối B 2010: Cho hàm số 2x 1

y .x 1


b) Tìm m để đường thẳng y 2x m cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ).

Bài 12: ĐH khối D 2010: Cho hàm số 4 2y x x 6.


b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường

thẳng 1

y x 1.6

Bài 13: ĐH khối A 2011: Cho hàm số x 1

y C2x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m luôn cắt C tại hai điểm

phân biệt A và B. Gọi 1 2k ,k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại A và

B.Tìm m để tổng 1 2k k đạt giá trị lớn nhất.

Bài 14: ĐH khối B 2011: Cho hàm số 4 2y x 2 m 1 x m 1 ,m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m 1 .

b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA OB; trong đó O

là gốc tọa độ,A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Bài 15: ĐH khối D 2011: Cho hàm số 2x 1

y .x 1


b) Tìm K để đường thẳng y kx 2k 1 cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt A,B sao

cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.



CHƢƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT.

I. Lũy thừa.

Bài 1: Đơn giản biểu thức.

a) 55 23 126 .. yxyx b) 33

3

4

3

4

ba

abba

c) 1.1

.1

4

14

2

1

3

4

a

a

aa

aa

a d)

m

m

m

m

m

1

2

1

2.

22

4

2

13

2

Bài 2: Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

a) 7 35.28

1ax b) 3 45 . aa

c) 48 3 . bb d) 4 3.273

1a

Bài 3 : Tính .

a) 3

3

3

b) 31321 16.4

c) 23

2

3

27 d)

55 4

82

Bài 4: Đơn giản các biểu thức.

a)

2 2 2 3

2

2 3

a b1

a b

b) 2 3 2 3 3 3 3

4 3 3

a 1 a a a

a a

c) 1

2

a b 4 .ab

d)

4 1 2

3 3 3

1 3 1

4 4 4

a a a

A

a a a

e)

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

a 2 a 2 a 1A

a 1a 2a 1 a

f)

1 7 1 5

3 3 3 3

1 4 2 1

3 3 3 3

a a a aA

a a a a

g)

1 11 12 24 4

3 1 1 1 1

4 2 4 4 4

a b a bA : a b

a a b a b

h)

1 1 1 1

12 4 2 2

1 1 1

4 4 2

x x 1 x 1 2x xA

1 x x 1 x

Bài 5: Rút gọn:

a)

1

1

2

2 3 31 1

2 22 2

1 a bA ab

a ba b

b)

2 2

1 1 3 1 1

2 2 2 2 2

a a 2 1 aB

a a a a a



c) a 2 a 2 a 1

Ca 1a 2 a 1 a

d)

12 3 4 3 3

12 3 3 3 3

a 1 a aD

a a a

e)

2 8 5 1

3 3 3 3

2 5 2 1

3 3 3 3

a a a aE

a a a a

Luyện tập

Bài 1: Viêt dươi dang luy thưa vơi sô mu hưu ti cac biêu thưc sau :

a) 5 32 2 2 b)

11

6a a a a : a ;a 0 ;.

c) 24 3x x x 0 d) 5 3a a

ab 0b b

Bài 2: Đơn gian cac biêu thưc sau :

a) 4

5a b) 4 281a b ; b 0

c) 484 1 ; 1 x x x d)

2

2

2

a1 a

bP

a b 2 ab

e)

2

1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

4a 9a a 4 3a 3Q ; a 0;a 1;a

22a 3a a a

f) 3 5 13 48

Bài 3: Đưa nhân tư ơ ngoai vao dâu căn :

a) 4 ; 44

xx x

x b)

2

15 ; 0 5

25

a a

a

Bài 4: Trục căn ơ mâu số của các biểu thức sau :

a) 4

20 b)

6 3

1; 0; 0a b

a b

c) 1

3 2 d)

5

4 11

e) 33

1

5 2

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức :

a)

1

5 13 7 1 1 2

3 32 4 4 2A 3 .5 : 2 : 16 : 5 .2 .3



b)

23 3

332 2

22 3

a b a a bA :

a a b ba ab

vơi 6

5a và

3

5b

c) 3

3 1 22 12 2 3A a b ab a

vơi 2

2a và

3

1

2b

Bài 6: Chưng minh đăng thức sau :

a) 1 2 2

21 1 1 1 3

2 2 2 2 2

a a 1 a 2a 0

a a a a a

b) 3

2 4 2 2 2 4 2 23 3 3 3a a b b a b a b

c) 3 2 2 3 2 2 2 d) 3 35 2 7 5 2 7 2

Bài 7: Rút gọn biểu thức :

a)

2 112a .a

b)

23 1

3b : b

c) 4 2 4x x : x d)

3 53 25a

Bài 8: So sanh :

a) 6003 và 4005 b)

5

71

2

và 3

142.2 c) 3 3 và 2

II. Logarit.

Bài 1: Tìm x.

a) log 42

x b) 2log 3x c) 81

1log

4x

d) log 25 2x e) log 1 23

x f) log 43

2 4x

g) log 421

2

x h) log 13 4

1 5

2

x

k) log 5 042

x

Bài 2: Tính.

a) log 3

24 b) 4

33

log

c)3

22log

d) 2log 4 e) 3

1log

3 f) 2

1log

16

g) 1

32log

aa với 0 1a h) 35

7 4949loglog

i)

1 13 2

6 89 4log log

Bài 3: Tính.

a) 12 12log 6 log 2 b) 1 1 1

2 2 2

4log 6 log 24 log

9



Bài 4: Tính.

a) 100 425 25

log log b) 2 2 2

20 6 15log log log .

c) 2 2 25 10 25log log log . d) 6 7 14

3 3 3log log log

e) 10 7 145 5 5

log log log .

Bài 5: Cho log 2;log 3b ca a . Hãy tính log xa , biết

a) 2 3

4

a bx

c b)

2

3

a bx

c c) 2 23x a bc

Bài 6: Tính

a) Cho 5 142 2

log ;loga b . Tính 352

log theo a và b

b) Cho 10 72 2


log theo a và b

c) Cho 4 53 3


log theo a và b

d) Cho 2 95 5


log theo a và b

e) Cho 3 5 272 3

log ;log ;loga b c . Tính 5063

log

Luyện tập:

Bài 1: Biết 5 5log 2 a và log 3 b . Tính các lôgarit sau theo a và b.

a) 5log 27 b) 5log 15 c) 5log 12 d) 5log 30

Bài 2: Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các

lôgarit.

a) 32

5 3ba b)

2,0

6 5

10

b

a c) 549 ba d)

7

2

27a

b

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức.

a) 9 9 9log 15 log 18 – log 10 b) 3

3

1

3

1

3

1 45log3400log2

16log2

c) 3log2

12log

6

136 d) 1 3 2

4

log log 4.log 3

Bài 4: Tính giá trị các biểu thức.

a)

1 1log 4 log 8 log 29 125 74 281 25 .49

b)

1log 3 3log 51 log 5 524 216 42

c)

1 log 4log 9 log 67 7 5272 49 5

Bài 5: Tìm x biết.

a) 6 6 6 6log x 3log 2 0,5 log 25 – 2 log 3. b) 4 4 4 4

1log x log 216 2log 10 4log 3

3

Bài 6: Tính.

a) 20 20

log 2 3 log 2 3 b) 3log 2 1 log 5 2 7



c) e

e1

lnln d) 1 2lne 4ln e . e

Bài 7: Tìm x biết

a) xlog 18 4 b) 5

32log 5 x c) 3

xlog 2. 2 6

Bài 8:

a) Biết 12 12log 6 a, log 7 b . Tính 2log 7 theo a và b.

b) Biết 2log 14 a . Tính 49log 32 theo a

III.Hàm số mũ, hàm số logarit.

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau.

a) x

x

ey

e 1

b) 2x 1y e 1 c)

2x 1y ln

1 x

d) 2y log x – 2x e) 2y ln x 5x 6 f) 2

2

2x 3x 1y log

1 3x

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau.

a) 2 xy x 2x 2 .e b) 2xy sinx – cosx .e c) x x

x x

e ey

e e

d) x xy 2 e e) 2y ln x 1 f) ln x

yx

g) y 1 lnx lnx h) 2 2y x .ln x 1 i) x

3y 3 .log x

k) e

y 2x 3 l) xy x .

m) 3y x

Bài 3: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.

a) sinxy e ; ' ''ycosx – ysinx – y 0

b) y ln cosx ; ' ''y tanx – y –1 0

c) y ln sinx ; ' '' xy y sinx tan 0

2

d) xy e .cosx ; ' ''2y – 2y – y 0

f) 2y ln x ; 2 '' 'x .y x. y 2

Bài 4: Cho hàm số 2x xy e . Giải phương trình y y 2y 0

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) xy x.e trên đoạn [ 1; 2] b)

x

x

ey

e e

trên đoạn ln2;ln 4

c) y ln x x . d) 2y x ln 1 2x trên 2;0

e) 2

2

log x 2y

log x 2

trên đoạn 8;32 f) 2y f x x 8.lnx trên đoạn 1 ;e

g) 2 xf x x – 3x 1 e trên đoạn 0;3 h) y x – lnx 3 trên 1

;ee

i) 2 xf x x e trên đoạn 1;1 k) 2ln x

f (x)x

trên đoạn 31;e



IV. Phƣơng trình mũ – Phƣơng trình logarit.

1. Phƣơng trình mũ cơ bản.

Bài 1: giải các phương trình sau:

a) x10 1 b) x

82 c) x44 d) x

5e

e) x23 f) x 1

327

g)

x

91

2

h) x 2x 34 8

i) 3 x6 216 k)

3x 11

33

l) 2x 5x 6

15 m)

2x 3x 24 16


a) x 1 2x 2x x 13 18 .2 .3 b) x 1 6x 5

0.4 6.25 c) 2x 1 2x 15 3.5 550

d) 2

2

10 1x x e)

3 7 7 3

3 7

7 3

x x

f) 5

1

2 .5 0.1 10x x x

g)

3

1 13 .

3 27

x x

x

h)

2x 2x 31 x 1

77

i)

2x 21 4 3x

22

j) 5 x

2x 3 40,75

3

k) x2 3x

0,5 2

p) 2x x 8 1 3x

42

q)

x 11 2x

12525


a) x 1 x 2 x 3 x 43 3 3 3 750

b) 2x 1 2x3 3 108

c) 2x 1 2x 15 3.5 550

d) x 1 x 1 x

2 2 2 28

e) x 1 x 1 x2.3 3 3 96.

f)

2x 7 1161 6xx.4 8

2

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) 1 2x x

.5 5.5 2505

b) 2x 2 x2 9.2 2 0

c) 2x 1 x9.3 6 03

d) 2x 6 x 72 2 017

e) x x.3 09 2 15 f) x x

064 8 56

g) x x.5 025 6 5 h) x x 1

.3 09 24 15

i) 4x 8 2x 53 4.3 27 0

k) x x 14 36.2 32 0

l) 6x 3xe 3.e 2 m)

2 2x 5 x x 5 x 24 2 4


a) x 1 x3 18.3 29

b) x 1 1 x3 3 10

c) x 1 x

5 5 4 0

d) 2x 2xe 4.e 3

e) 2 2sin x cos x

9 9 10 f) 2 2sin x cos x

4.2 62



g) x x

4 15 4 15 62 h) x x

2 42 3 3

k) x x

6 46 35 35 l)

2 3 2 3 2

x x

x

Bài 7: Giải các phương trình sau

a) x x x2.25 7.10 5.4 0 b) x x x

5.363.16 2.81

c) x x 2x 125 10 2 d) x x x

04.9 12 3.16

e) x x x3.4 2.6 9 f)

1 1 1x x x4 6 9

g) 2x 4 x 2x 23 45.6 9.2 0

h) x x x

3.25 2.49 5.35

Bài 8: Giải các phương trình sau

a) x 1 x2 .5 200

b) 2x 4 x 2

2 3

c) 2x 5x 6 x 3

5 2

d) 2x 1 x x 2

3 .2 8.4

e) x xx 1

5 . 8 100 f)

2 2 4x -6 x -6 x-1

5

12 .3 = 6

6


a) x x4 3 1 b)

x1

x 43

c) x x x2 5 7 d) x

3 5 2x

e) x x x2 3 5 f) x x x4 3 5

2. Phƣơng trình logarit.

Bài 1: Giải các phương trình:

a) 2log x 3 b) log x 1 c) lnx = 0

d) x xlog 4 x log x 1 11 e) 3log x 2 1x f) log x 5 22

g) 2 2log x 3 log x 1 3 h) 2

2log x 6x 1 3 i) 2log x 1

2x

k) 2

5 xlog x 2x 65 2 l) 3

loglog 3 2

x


a) log 5x 3 log 7x 53 3

b) 2log x x 7 log x 36

c) log x log x 1 12 2

d) log x 5 log x 2 32 2

e) log x 1 log 2x 11 log 2 f) log log x 3 22 4

x

g) log log x 23 3

x 1 h) 2log x 3 log 6x 10 0

2 21

i) 22log log x 75

22x j)

25log x log x log x log x

2 4 8 16 12

k) 21 1log x x 5 log 5x log

2 5x

l) 21

log x 4x 1 log 8x log 4x2

m) log x 4log x log x4 8

132

n) log x log x log x 63 13

3



o) x 8

log log xx 1

p)

2 1

8

log ( 2) 2 6log 3 5x x


a) log x log 4x 54 2

b) log2

3(x+1) – 5log3(x+1)+6 = 0

c) 2 2

log ( 1) 3log ( 1) log 32 02 2 2

x x d) log 16 log 64 32 2xx

e) log 2 2log 4 log 8x 2x 2x f) 2

55

log (4 6) log (2 2) 2x x

g) 2 x 11 log x 1 log 4

h)

1 x x 2

log 4 .2 1 1 log 2 2 2log2

i) 1-

2 log2 1 log 5 1 log 5 5x x

j) logx log5

5 x 50

k) 2 2

3x 7 2x 3log 4x 12x 9 log 6x 23x 21 4

l) 2 3log x – logx 2 0 m) 2

3 3

3log log 1

xx

x

V. Bất phƣơng trình mũ – Bất phƣơng trình logarit.

1. Bất phƣơng trình mũ:

Bài 1: Giải các bất phương trình:

a) x3 5 b) x2 16 c)

x1

32

d) xe 2

e) x 110

10 f) x5 16 g)

x2

43

h)

2

2 4x x

i)

2

1 1

2 4

x x


a) 2x 3x

2 4

b)

22x 3x7 9

9 7

c) x 2 x 13 3 28

d) x x4 3.2 2 0

e) 2x 1 2x 2 2x 32 2 2 448

f) x x

22 3 0

g) x x 1

0, 4 2,5 1,5

h) x x x5.4 2.25 7.10

i) 2

2

3 9x x x j)

2

61

9

3

x x

x

k) 2x 1 x5 26.5 5 0 l) 2x 1 x 13.5 2.5 0.2

2. Bất phƣơng trình logarit:




a) 2log x 3 b) 3

4

log x 1 c) 5

1log x

2

d) 2log x 4 e) log x 13

f) 1

3

log x 2

g) 3x 2log x 1 h) 2

4 2log 2x 3x 1 log 2x 2


a) log 4 2x 28

b) log 3x 5 log x 11 15 5

c) log x log x 2 log 350,2 0,2

d) 2log x 5log x 6 0

3 3

e) 2log log x 1 1

3 12

f) 2

0,2 0,2log x 5log x 6

g) 1 3

3

log 1 log 2 x x h) 2

2xlog x 5x 6 1

i) 3log log 9 6 1

x

x j)

2 1 5

3

log log log 0

x

k) 5 x2log x log 125 1 l) 2

1

2

log 4 6 2 x x

m) 1

5

4 6log 0

x

x

n) 1

5log (6 36 ) 2

x x

o) 1 1

2 2log 9 7 log 3 1 2

x x

p) 9log log 3 9 1

x

x

VI. Hệ phƣơng trình.

Bài 1:Giải hệ phương trình sau.

a)2 2

lg lg 1

29

x y

x y

b)

3 3 3log log 1 log 2

5

x y

x y

c)2 2

lg( ) 1 3lg2

lg( ) lg( ) lg3

x y

x y x y

d)

4 2

2 2

log log 0

5 4 0

x y

x y

e)1 1

3.2 2.3 8

2 3 19

x y

x y

f)

3 3

4 32

log ( ) 1 log ( )

x y

y x

x y x y

g) 2 2

( ) ( )

log log 1 0

x y

x y x y

x y



VI.Một số bài tập CĐ, ĐH các năm.

1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ

1) 2 1 2 1 2 2 0x x

(Khối B – 2007)

2) 2 22 2

4 2.4 4 0x x x x

(Cao Đẳng KTKTCNII - 2006)

3) 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x (Khối A – 2006)

4) 2 22

2 2 3x x x x

(ĐH khối D – 2003)

5) 2 2 2

2 4.2 2 4 0x x x x x

(ĐH khối D – 2006)

6) 2 21 2

10.3 1 09x x x x

( Tham khảo 2006)

7) 2

3 .2 1x x

(ĐH Hùng Vương- hệ CĐ 2006)

8) 3 1125 50 2

x x x (CĐ KT đông du – 2006)

9) 2 22 2cos cos 1 2cos cos 12cos cos 1

6.9 13.6 6.4 0x x x xx x

10) 3 1 22 7.2 7.2 2 0x x x (Tham khảo Khối D – 2007)

11) 25 2 3 .5 2 7 0 x x

x x (ĐH tài chính kế toán Hà Nội – 97)

12) 12 4 1

x xx

(ĐH Ngoại Thương 97)

11) 2 2 23 2 6 5 2 3 7

4 4 4 1x x x x x x

(Học viện quan hệ quốc tế - 99)

13) 2 22 1 2 2

2 9.2 2 0x x x x

(ĐH Thủy Lợi – 2000)

14) 7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0 x x x

15) 1 1 1

8 2 18

2 1 2 2 2 2 2

x

x x x x

16) 22 1 2

3 3 1 6.3 31

x x x x

17) 2 2x 1 1 x 2x 1 1 2 x 2

x .2 2 2 x .2

18) 2 2x 1 x x

2 2 x 1

(Đại học Thủy Lợi 2001)

19) 1

4 2 m = 0x x (ĐH Sư phạm Vinh – 2000)

20) 3 2 3 2x x x (THAM KHẢO – 2004)

21) 8 18 2.27x x x (CĐ SP Q.NGÃI–06)

22) 4 23 4.3 3 0x x (CĐ NÔNG LÂM–06)

23) 2 22 24 2.4 4 0x x x x (CĐ KTKT CÔNG NGHIỆP–2006)

24) 14 2 2 2 1 sin 2 1 2 0x x x x y

( THAM KHẢO-06)

25) x x

3 2 2 – 2 2 1 – 3 0.

26) Tìm a để hệ sau có nghiệm: 2 21 1 1 19 2 3 2 1 0 t ta a (TK-02)



27) 3

13 2 3 2

xx

x

28) 3.16 2.81 5.36 x x x (CĐ -2007)

29) 3 32x x 2 x 2 x 2 x 4x 44 2 4 2 x . (ĐH khối D – 2010)

2. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT

1) 2 2log 2 2log 4 log 8x x x

(DB_A_2006)

2) 3

1 82

2

log 1 log 3 log 1 x x x (DB_B_2006)

3) 2 2log 2 2log 4 log 8x x x

. Đs: 2x ( DB_A_2006)

4) 1

3 3log 3 1 .log 3 3 6 x x . Đs: 3 3

28log , log 10

27x x (TK- 2006)

5) 2 4 2

12l og 1 log log 0

4 x x . Đs:

12,

4x x (DB_D_2006 )

6) 3 9

3

42 log log 3 1

1 log

xx

x Đs:

1, 81

3x x (DB_B_2007)

7) 2

2 4 1

2

log 2 log 5 log 8 0 x x Đs: 3 17

6,2

x x

Mâu A_2009

8) 2

2 2log 1 6log 1 2 0 x x Đs: 1, 3x x CĐ_ABD_2008

9) 2 1

2

2log 2 2 log 9 1 1 x x . Đs:3

1,2

x x DB_B_2008

10) 3

1 63 log 9

log

x x

x x Đs: 2x DB_A_2008

11) 22

log 2 1 log 2 1 42 1 1

x x xx x

Đs:5

2,4

x x (KA_2008)

12) log log5

5 50 x

x Đs: 100x CĐKTĐN_2005_A_D

13) 2 2

1log 4 15.2 27 2log 0

4.2 3

x x

x

Đs: 2log 3x D_2007

14) 4 2

2 1

1 1log 1 log 2

log 4 2

x

x x . Đs:5

2x DB_A_2007

15) 5log 5 4 1x x Đs: 1x DB_D_2003

16) 2 3

4 82log 1 2 log 4 log 4x x x

17) 8 18 2.27x x x (CĐ SP Q.NGÃI–06)

18) 1

2

1 1

2 2

log 1 log 1 log 7 1x x x

(CĐ–06)

19) 2 21 log 9 6 log 4.3 6x x

(CĐ Y TẾ I–06)



20) 3

1 82

2

log 1 log 3 log 1 0x x x (TK - 2006)

22) 2 2log 2 2log 4 log 8 0x x x

23) 5log 5 4 1x x (THAM KHẢO –03)

24) Tìm m để phương trình: 2

2 1

2

4 log log 0x x m có nghiệm thuộc khoảng 0;1 .

25) 2 2

1log 4 15.2 27 2log 0

4.2 3

x x

x

(ĐH,CĐ–KD-2007)

28) 22

2x 1 x 1log 2x x –1 log 2x 1 4 (ĐH–KA-08)

29) 3

2

32716log 3log 0xx

x x (TK – 2002)

30) Giải phương trình: 8

4 22

1 1log 3 log 1 log 4

2 4 x x x

31) Cho phương trình: 2 2

3 3log log 1 2 1 0 1 x x m , m là tham số.

a) Giải phương trình 1 khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình 1 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3

32) 4log 4 3 1 x x x R (CĐ KA - 07)

33) 2

3 3log 1 log 2 1 2x x

(TK-KHỐI B – 2007)

34) 4 2

2 1

1 1log 1 log 2

log 4 2x

x x

(KA-07)

3. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ.

1) 1 115.2 1 2 1 2x x x Đs: 2x (DB_A_2003)

2)

222 12

9 2 33

x xx x Đs:1 2 1 2x DB_D_2005

3) 5.4 2.25 7.10x x x Đs: 0 1x CĐKTĐN_2007

4) 2 22 4 2 2 1

2 16.2 2 0

x x x x Đs: 1 3 1 3x DB_D_2008

5) 2 1 2 13 2 5.6 0

x x x Đs: 3

2

log 2x DB_B_2008

6) 12 4 16

42

x x

x

Đs: ( ;2) (4; )x (DB_B_2004)



7)

2

2

2

2 19 2 3

3

x x

x x

(THAM KHẢO – 2005)

8) 25 15 2.9x x x ( CĐ ĐH BÁCH KHOA HN – 2006)

9) 2 21 15 5 24x x (CĐ KINH TẾ- TÀI CHÍNH - 2005)

10) 1 18 2 4 2 5x x x ( CĐ GIAO THÔNG - 2004)

11) 2 2

1 3log log

2 22 2x x

x (THAM KHẢO–04)

12) 2 3 2 3 2x x

x (CĐ 07)

4. BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT.

1) 3

3 5log 1

1

x

x. Đs: 2x (DB_A_2008)

2) 1 1 2

2 4

log 2log 1 log 6 0x x Đs: 3x (DB_B_2003)

3) 2

2

4

log log 2 0

x x x Đs: ( ; 4) (1; )x

4) 1log ( 2 ) 2x x . Đs: 2 3 0x (DB_A_2006)

5) 2

5 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1 x x . Đs: 2 4x KB_2006

6)

1 3log log2 22 22 2

x xx . Đs: 0;2 4; x (DB_A_2004)

7) 2

0,7 6log log 04

x x

x Đs: ( 4; 3) (8; )x (KB_2008)

8) 2

1

2

3 2log 0

x x

x

Đs: [2 2;1) (2;2 2]x (KD2008)

9) 1 2

3

2 3log log 0

1

x

x. Đs: 2x DB_A_2008

10) 2

4 2log 8 log log 2 0 x x x . Đs: 1

0; 1;2

x

11) 3 1

3

2log 4 3 log 2 3 2x x . Đs:3

34

x (KA_2007)

12) 2 2 2

2 2 4log log 3 5 log 3 x x x

13) 2

2log 2log

2 20 0x x

x 2

14) 2

2

4

log log 2 0x x x

( THAM KHẢO –2005)



15) 1 1 2

2 4

log 2log 1 log 6 0x x ( CĐ BẾN TRE – 2006)

16) 1

2 2log 2 1 log 2 2 2x x (CĐ TÂY NINH – 2006)

17) 2

1 4

2

3 log log 2 0x x (CĐ TC KẾ TOÁN – 2006)

18) 2 4

0,5 2 16log 4.log 2. 4 log x x x (CĐ Y - 2006)

19) 3log log 3xx (THAM KHẢO–04)

20) 1 1 2

2 4

log 2log 1 log 6 0x x (THAM KHẢO–03)

21) 2 1

1 1

2 2

log 4 4 log 2 3.2x x x (THAM KHẢO–2002)

22) 3log log 9 72 1 x

x (ĐH,CĐ – KB 02)

23) 2

4 2

1 1

log ( 3 ) log (3 1)x x x

24) 31 log81

xx x

(CĐ 2007)

25) 26 6log log

6 12x x

x (CĐ KB- 07)

26) 1 1

3 3

4log log 3

2 3

xx

x

( CĐ– 07)

27) 2

2

1 log1

2 log

x

x

(CĐ -2007)

28) 2

4 2log 8 log log 2 0x x x (ĐỀ TK- 2007)

29) 2

3 2 1 3 3 1log 2 1 . log log 3 1 . log 2 x x x xx x x x

6.HỆ PHƢƠNG TRÌNH.

1)

2 2

5 5

9 5

log 3 log 3 1

x y

x y x y

(CĐTP. HCM - 2005)

2) 2 2

2

4 2

log 5

2log log 4

x y

x y

(CĐ SƯ PHẠM - KHỐI A - 2006)

3)

2 2

ln 1 ln 1

12 20 0

x y x y

x xy y ( ĐỀ THAM KHẢO - 2006)



4) 2 3

9 3

1 2 1

3log 9 log 3

x y

x y (ĐH, CĐ – KHỐI B - 2005)

5)

2 2

1 4

4

25

1log log 1

x y

y xy

(ĐH, CĐ – KHỐI A- 2004)

6)

2 1

2 1

2 2 3 1

2 2 3 1

y

x

x x x

y y y

(ĐTK07)

7) log log

2 2 3

y x

x y

xy y

(THAM KHẢO – 03)

8)

3 2

3 2

log 2 3 5 3

log 2 3 5 3

x

y

x x x y

y y y x

(THAM KHẢO 02)

9)

3 2

1

2 5 4

4 2

2 2

x

x x

x

y y

y

(ĐH, CĐ – KHỐI D– 02)

10)

2 2

2 2

2 2

x xy y

log x y 1 log xyx, y .

3 81

(ĐH – KHỐI A– 09)

11)

2

x x 2

log 3y 1 xx, y .

4 2 3y

(ĐH – KHỐI B–2010)



CHƢƠNG 3. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN.

I.Nguyên hàm.

Bài 1: Tính các nguyên hàm sau (công thức).

1.

.154

3

34

dxx

xx

2. dx

x a

3. 3

23 x dx

4. x x

dx

e e

5.

21 x

dxx

6. 2sin xdx.

7. dx

x .

8. 2 2

a bx dx a bx dx .

9. 2 2

1 sinx dx 1 cosx dx

10. dx

.2 5x

11. 3 1 3x.dx .

12. 2

dx

x x 2

13.

5

2

dx

5x 2

14. sin5x cos5x dx.

15. 2

dx

x 9

16. 3x

dxx 1

17. 5

dx

x ln x

18. 2x

2x

edx

e 1

19. 2

2x 2xe 5 e dx

20. x xcos 3e 1 e dx

21. tgx

2

edx.

cos x

Bài 2: Tính các nguyên hàm sau ( đổi biến số).

1. 5

2x 5 dx

2. 4/3

2x 1 x dx

3. 4

2 3x 8 x dx

4. 3sin xdx

5. 3cos xdx

6. 4sinxcos xdx

7. 5cosxsin xdx

8. 3 2sin x.cos xdx

9.

sinxe cosx cosxdx

10.2xxe dx

11. 3 2cos xsin xdx

12. dxx

x

ln

13. dx

x

x2

ln

14.1 ln x

dxx

15.21 ln x

dxx

16. dxx

x sin21

cos

17. 3

x 4 x dx

18. x 2 5xdx

19.2

2x 3dx

x 3x 5

20. 3

2 3x x 8 dx

Bài 3: Tính các nguyên hàm sau ( từng phần).

1. x1 3x e dx

2. 2xxe dx

3. xx.e dx

4. lnxdx

7. xsinxdx

8. xcosxdx

9. 2x 1 sinxdx

10. 1 4x cosxdx

12. dxx

x 2sin

13.

2 xx 4x 3 e dx

14. xe sinxdx

16. xlnxdx

17. xln x 1 dx

18. xsinx5xdx

19. xcos3xdx



5. 2x lnxdx

6. 2 xx e dx

11.2

xdx

cos x 15. xe cosxdx

20. ln 5x 1 dx

II. Tích phân.

1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ

BẢN:

1. 1

3

0

1x x dx 2.2

2

1

1 1e

x x dxx x

2.

3

1

2x dx 3.

2

1

1x dx

4. 2

3

2sin 3x cosx x dx

5. 1

0

xe x dx

6. 1

3

0

x x x dx 7. 2

1

1 1x x x dx

8. 2

3

13sin 2x cosx dx

x

9.

1

2

0

1xe x dx

10. 2

2 3

1

x x x x dx 11. 2

1

1 1x x x dx

12. 3

3

1

x 1 dx

13. 2

2

2

-1

x.dx

x

14.

2e

1

7x 2 x 5dx

x

15.

x 2

5

2

dx

x 2

16. 2

2

1

x 1 dx

x x x

ln 17.

2 3

3

6

x dx

x

cos .

sin

18.

4

2

0

tgx dx

x

.

cos

19.

1 x x

x x

0

e e

e edx

20.

1 x

x x0

e dx

e e

.

21.

2

21

dx

4x 8x



22.

3

x x

0

dx

e e

ln.

22.

2

0

dx

1 xsin

24. 1

2

1

2x x 1 dx

25.

2

3

0

22x x dx

3

26. 2

2

x x 3 dx

27. 4

2

3

x 4 dx

28. dxxx

2

1

32

11 29.

2

1

3

2 2dx

x

xx

30. e

e

x

dx

1

1

31. 16

1

.dxx

32. dxx

xxe

2

1

752 33. dx

xx

8

13 23

14

2. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

1.

23 2

3

sin xcos xdx

2.

22 3

3

sin xcos xdx

3.

2

0

sin

1 3

xdx

cosx

3.

4

0

tgxdx

4.

4

6

cot gxdx

5.

6

0

1 4sin xcosxdx

6.

1

2

0

1x x dx 7.

1

2

0

1x x dx

8.

1

3 2

0

1x x dx 9.

1 2

30 1

xdx

x

10.

1

3 2

0

1x x dx 11.

2

31

1

1dx

x x

12.

1

2

0

1

1dx

x 13.

1

2

1

1

2 2dx

x x

14.

1

20

1

1dx

x 15.

1

22

0

1

1 3dx

x

16. 2

sin

4

xe cosxdx

17.

2

4

sincosxe xdx



18.

21

2

0

xe xdx

19.

23 2

3

sin xcos xdx

20.

2sin

4

xe cosxdx

21.

2

4

sincosxe xdx

22.

21

2

0

xe xdx

23. 2

3 2

3

sin xcos xdx

24. 2

2 3

3

sin xcos xdx

25.

2

0

sin

1 3

xdx

cosx

26. 4

0

tgxdx

27. 4

6

cot gxdx

28. 6

0

1 4sin xcosxdx

29.

1

2

0

1x x dx

30.

1

2

0

1x x dx 31.

1

3 2

0

1x x dx

32.

1 2

30 1

xdx

x 33.

1

3 2

0

1x x dx

34.

2

31

1

1dx

x x 35.

1

1 lne

xdx

x

36.

1

sin lne

xdx

x 37.

1

1 3ln lne

x xdx

x

38.

2ln 1

1

e xedx

x

39.

221 ln

ln

e

e

xdx

x x

40.

2

2

1

1 ln

e

e

dxcos x 41.

2

1 1 1

xdx

x

42.

1

0 2 1

xdx

x 43.

1

0

1x x dx

44.

1

0

1

1dx

x x 45.

1

0

1

1dx

x x

46.

3

1

1xdx

x

47.

1

1 lne

xdx

x

48.

1

sin lne

xdx

x 49.

1

1 3ln lne

x xdx

x



50.

2ln 1

1

e xedx

x

51.

221 ln

ln

e

e

xdx

x x

52.

2

2

1

1 ln

e

e

dxcos x 53.

1

2 3

0

5 x x dx

54. 2

4

0

sin 1 cos x xdx

55.

4

2

0

4 x dx

56.

4

2

0

4 x dx 57.

1

2

01

dx

x

58. dxe x

0

1

32 59.

1

0

dxe x

60.

1

3

0

xdx

2x 1

61.

1

0

xdx

2x 1

62.

1

0

x 1 xdx 63.

1

2

0

4x 11dx

x 5x 6

64.

1

2

0

2x 5dx

x 4x 4

65.

3 3

2

0

xdx

x 2x 1

66.

6

6 6

0

sin x cos x dx 67.32

0

4sin xdx

1 cosx

68.4

2

0

1 sin2xdx

cos x

69.

2

4

0

cos 2xdx

70. 2

6

1 sin2x cos2xdx

sin x cosx

71.

1

x

0

1dx

e 1 .

72. 4

4 4

0

cos x sin x dx

72.

4

0 2sin21

2cos

dxx

x

73.

2

0 13cos2

3sin

dxx

x 74.

2

0 sin25

cos

dxx

x

75.

0

2

2 32

22 dx

xx

x 76.

1

12 52xx

dx

77. 2

3 2

0

cos xsin xdx

78. 2

5

0

cos xdx



79. 4

2

0

sin 4xdx

1 cos x

80.

1

3 2

0

x 1 x dx

81.

2

32

0

sin 2x 1 sin x dx 82. 4

4

0

1dx

cos x

83.

e

1

1 ln xdx

x

84.

4

0

1dx

cosx

85.

e 2

1

1 ln xdx

x

86.

16

5 3

0

x 1 x dx

87. 6

2

0

cosxdx

6 5sin x sin x

88.

3 4

0

tg xdx

cos2x

89. 4

0

cos sin

3 sin2

x xdx

x

90.

2

022 sin4cos

2sin

dxxx

x

91.

5ln

3ln 32 xx ee

dx 92.

2

2

0

sin 2xdx

2 sin x

93. 3

4

ln tgxdx

sin 2x

94.

48

0

1 tg x dx

95.

2

4

2sin1

cossin

dxx

xx 96.

2

0 cos31

sin2sin

dxx

xx

97.

2

0 cos1

cos2sin

dxx

xx 98.

2sin x

0

e cosx cosxdx

99.

2

1 11dx

x

x 100.

e

dxx

xx

1

lnln31

101.

4

0

2

2sin1

sin21

dxx

x 102.

1

2

0

1 x dx

103.

1

2

0

1dx

1 x 104.

1

2

0

1dx

4 x

105.

1

2

0

1dx

x x 1 106.

1

4 2

0

xdx

x x 1

107. 2

0

1

1 cos sin

dx

x x

108.

2

22

2

0

xdx

1 x



109.

2

2 2

1

x 4 x dx 110.

2

3

2

2

1dx

x x 1

101.

3 2

2

1

9 3xdx

x

112.

1

5

0

1

1

xdx

x

113.

2

2

2

3

1

1

dx

x x 114.

2

0

cos

7 cos2

xdx

x

115.

1 4

6

0

1

1

xdx

x

116.

2

0

cos

1 cos

xdx

x

117.

0

12 22xx

dx 118.

1

0 311 x

dx

119.

2

1 5

1dx

x

xx 120.

8

2

3

1

1

dx

x x

121.

7 3

3 2

0 1

xdx

x 122.

3

5 2

0

1x x dx

123.

ln2

x

0

1dx

e 2 124.

7

3

3

0

1

3 1

xdx

x

125.

2

2 3

0

1x x dx 126.

32

52 4xx

dx

II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

1.

3

3

1

lne

xdx

x 2. 1

ln

e

x xdx

3. 1

2

0

ln 1x x dx 4. 2

1

ln

e

x xdx

5.

3

3

1

lne

xdx

x 6. 1

ln

e

x xdx

7. 1

2

0

ln 1x x dx 8. 2

1

ln

e

x xdx

9. 2

0

osx sinxx c dx

10. 1

1ln

e

x xdxx



11. 2

2

1

ln x x dx 12.

32

4

tanx xdx

13.

2

5

1

ln xdx

x 14.

2

0

x cosxdx

15.

1

0

xxe dx 16.

2

x

0

e cosxdx

17. 1

0

3. dxex x 18.

2

0

x 1 cosxdx

19. 6

0

2 x sin3xdx

20. 2

0

2sin.

xdxx

21. e

xdxx1

ln 22. e

2

1

1 x ln x.dx

23. 3

1

.ln.4 dxxx 24. 1

2

0

x.ln 3 x dx

25. 2

2 x

1

x 1 e .dx 26.

0

.cos. dxxx

26. 2

0

2 .cos.

dxxx 27. 2

2

0

x 2x sin x.dx

28.

2

5

1

ln xdx

x 28.

2

2

0

x cos xdx

29.

1

x

0

e sin xdx 30.

2

0

sin xdx

31.

e

2

1

x ln xdx 32. 3

2

0

x sin xdx

cos x

33.2

0

xsin x cos xdx

34.4

2

0

x(2cos x 1)dx

35.

2

2

1

ln 1 x

dx

x

36. 1

22x

0

x 1 e dx



36. e

2

1

x ln x dx 37.

2

0

cosx.ln 1 cosx dx

38.

2

1

ln

1

e

e

xdx

x

39.

1

2

0

xtg xdx

40. 1

2x

0

x 2 e dx 41. 1

2

0

x ln 1 x dx

42. e

dxx

x

1

ln 43.

23

0

x cos x sin xdx

44. 2

0

2x 7 ln x 1 dx 45. 3

2

2

ln x x dx

III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1.

5

3

2 23

12dx

xx

x 2.

b

a

1dx

x a x b

3.

1

0

3

1

1dx

x

xx 4. dx

x

xx

1

0

2

3

1

1

5.

1 2

3

0

xdx

3x 1 6.

1

2 2

0

1dx

x 2 x 3

7.

2 2008

2008

1

1 xdx

x 1 x

8.

0

1

2

23

23

9962dx

xx

xxx

9.

3 4

22

2

xdx

x 1 10.

1 2n 3

n2

0

xdx

1 x

11.

2 2

4 2

1

x 3dx

x x 3x 2

12.

2

4

1

1dx

x 1 x

13.

2

0

24

1dx

x 14.

1

0

41dx

x

x

15. dxxx

2

0

2 22

1 16.

1

32

0

xdx

1 x

17.

4

2

23 2

1dx

xxx 18.

3

2

3

2

23

333dx

xx

xx

19.

2

1

4

2

1

1dx

x

x 20.

1

0

31

1dx

x

21.

1

0

6

456

1

2dx

x

xxx 22.

1

0

2

4

1

2dx

x

x



23.

1

0

6

4

1

1dx

x

x

24. 1

2

0

4 11

5 6

xdx

x x

25. 1

2

01

dx

x x 26.

3

21

2dx

x

x

27. dxx

x

1

0

31

22 28.

0

1

1212

2dxx

x

x

29. dxxx

x

2

0

12

13 30. dx

x

xx

1

0

2

3

32

31. dxxx

xx

0

1

2

121

1 32. dxx

x

xx

1

0

2

11

22

33.

1

0

2 34xx

dx

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:

1. xdxx 42

0

2 cossin

2. 2

0

32 cossin

xdxx

3. dxxx2

0

54 cossin

4. 2

3 3

0

sin x cos dx

5. 2

0

44 )cos(sin2cos

dxxxx 6. 2

2 2

0

2sin x sin x cosx cos x dx

7. 2

3

sin

1

dxx

8. 2

10 10 4 4

0

sin x cos x cos xsin x dx

9.

2

0cos2

x

dx 10.

2

0sin2

1

dxx

11.

2

0

2

3

cos1

sin

dxx

x 12.

3

6

4 cos.sin

xx

dx

13.

4

0

22 coscossin2sin

xxxx

dx 14.

2

0cos1

cos

dxx

x

15.

2

0cos2

cos

dxx

x 16.

2

0sin2

sin

dxx

x



17.

2

0

3

cos1

cos

dxx

x 18.

2

01cossin

1

dxxx

19.

2

2

3

cos xdx

1 cos x

20.

2

2

3cos2sin

1cossin

dxxx

xx

21. 4

0

3

xdxtg 22. dxxg4

6

3cot

23. 3

4

4

xdxtg 24.

4

01

1

dxtgx

25. 4

0

dx

cos x cos x4

26.

2

05cos5sin4

6cos7sin

dxxx

xx

27.

2

0

sin1 dxx 28.

4

0 13cos3sin2

xx

dx

29.

4

0

4

3

cos1

sin4

dxx

x 30.

2

0cossin

2sin2cos1

dxxx

xx

31.

2

0cos1

3sin

dxx

x 32.

2

4

sin2sin

xx

dx

33. 4

0

2

3

cos

sin

dxx

x 34.

2

0

32 )sin1(2sin

dxxx

35.

0

sincos dxxx 36. 3

4

3

3 3

sin

sinsin

dxxtgx

xx

37.

2

0cossin1

xx

dx 38.

2

01sin2

x

dx

39. 2

4

53 sincos

xdxx 40.

4

0

2cos1

4sin

x

xdx

41.

2

03sin5

x

dx 42.

6

6

4 cossin

xx

dx



43. 3

6

dx

sin x sin x6

4. 3

4

dx

sin x cos x4

45. 3

4

6

2

cos

sin

x

xdx 46. dxxtgxtg )

6(

3

6

47.

3

3

0

4sin xdx

sin x cosx

48.

0

2

2

sin 2x

2 sin x

49. 2

0

3sin

dxx 50. 2

0

2 cos

xdxx

51.

2

0

12.2sin

dxex x 52. dxex

x x

2

0cos1

sin1

53.

4

6

2cot

4sin3sin

dxxgtgx

xx 54.

2

0

2 6sin5sin

2sin

xx

xdx

55. 2

1

)cos(ln dxx 56. 3

2

6

ln sin xdx

cos x

57. 2

2

0

2x 1 cos xdx

58.

0

2cossin xdxxx

59. 4

0

2

xdxxtg 60.

0

22 sin xdxe x

61. 2

0

3sin cossin2

xdxxe x 62. 4

0

)1ln(

dxtgx

63.

4

2

0

dx

sin x 2cosx

64.

2

2

0

1 sin x cosxdx

1 sin x 2 cos x

65.

2

2

sin 2 sin 7

x xdx

66. 2

4 4

0

cos sin cosx x x dx

67.

23

0

4sin

1 cosx

dxx

68.

2

2

3cos.5cos

xdxx



69.

2

2

2sin.7sin

xdxx 70. 4

0

cos2

sin

xdxx

71. 4

0

2sin

xdx

V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:

1.

32

52 4xx

dx 2.

2

3

22 1xx

dx

3.

2

1

2

12 5124)32( xxx

dx 4.

2

13 1xx

dx

5.

2

1

2 2008dxx 6.

2

12 2008x

dx

7.

1

0

22 1 dxxx 8. 1

32

0

1 x dx

9.

3

122

2

1

1dx

xx

x 10.

2

2

01

1dx

x

x

11.

1

032 )1( x

dx 12.

2

2

32

0

dx

1 x

13.

1

0

21 dxx 14.

2

2

02

2

1 x

dxx

15.

2

0 2cos7

cos

x

xdx 16.

2

0

2coscossin

dxxxx

17.

2

02cos2

cos

x

xdx 18.

2

0 cos31

sin2sin

dxx

xx

19.

7

03 2

3

1 x

dxx 20.

3

0

23 10 dxxx

21.

1

0 12x

xdx 22.

1

02

3

1xx

dxx



23.

7

2 112x

dx 24. dxxx

1

0

815 31

25. 2

0

56 3 cossincos1

xdxxx 26.

3ln

0 1xe

dx

27.

1

12 11 xx

dx 28.

2ln

0

2

1x

x

e

dxe

29.

1

4

5

2 8412 dxxx 30.

e

dxx

xx

1

lnln31

31.

3

02

35

1dx

x

xx 32. dxxxx

4

0

23 2

33.

0

1

32 )1( dxxex x 34.

3ln

2ln

2

1ln

lndx

xx

x

35. 3

0

2

2

cos

32cos

2cos

dxx

tgxx

x

36.

ln 2 x

3x

0

e dx

e 1

37.

3

0 2cos2

cos

x

xdx 38.

2

02cos1

cos

x

xdx

39. dxx

x

7

03 3

2 40.

a

dxax

2

0

22

VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

1.

1

1

2

21

1dx

xx

2.

4

4

4

357

cos

1

dxx

xxxx

3.

1

x 2

1

dx

1 e 1 x

4.

2

2

2sin4

cos

dxx

xx

5.

1

2

1

2

1 xcos2x ln dx

1 x

6.

2

0

sin sin x nx dx

7. 52

2

sin xdx

1 cos x

8.

tga cot ga

2 21 1

e e

xdx dx1 tga 0

1 x x 1 x



VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1.

3

3

2 1dxx 2.

2

0

2 34 dxxx

3.

1

0

dxmxx 4.

2

2

sin

dxx

5.

dxxsin1 6. 3

6

22 2cot

dxxgxtg

7. 4

3

4

2sin

dxx 8.

2

0

cos1 dxx

9. 5

2

x 2 x 2 dx

10.

3

0

42 dxx

11.

3

2

3coscoscos

dxxxx 12.

4

2

1

x 3x 2dx

13.

5

3

x 2 x 2 dx 14. 2

2

2

1

2

1x 2dx

x

15.

3

x

0

2 4dx 16. 0

1 cos2xdx

17.

2

0

1 sin xdx

18. dxxx 2

0

2

3. Ứng dụng của tích phân :

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG.

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi

a) Đồ thị hàm số 1y x x , trục hoành , đường thẳng x 2 và đường thẳng x 1

b) Đồ thị hàm số xy e 1, trục hoành , đường thẳng x 0và đường thẳng x 1

c) Đồ thị hàm số 3y x 4x , trục hoành , đường thẳng x 2 và đường thẳng x 4

d) Đồ thị hàm số y sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x 2

Bài 2: 2p : y 2x chia hình phẳng giới hạn bơi 2 2x y 8 thành hai phần.Tính diện tích

của mỗi phần.

II. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÕN XOAY.

Bài 1: Cho miền D giới hạn bơi hai đường : 2x x 5 0;x y 3 0 .Tính thể tích khối

tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox



Bài 2: Cho miền D giới hạn bơi các đường : y x;y 2 x;y 0 . Tính thể tích khối tròn

xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

Bài 3: Cho miền D giới hạn bơi hai đường : 2

y x 2 và y 4 .Tính thể tích khối tròn

xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Trục Ox b) Trục Oy

Bài 4: Cho miền D giới hạn bơi hai đường : 2 2

4 ; 2y x y x . Tính thể tích khối tròn

xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 5: Cho miền D giới hạn bơi các đường : 2

2

1;

1 2

xy y

x

. Tính thể tích khối tròn xoay

được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 6: Cho miền D giới hạn bơi các đường 2y 2x và y 2x 4 . Tính thể tích khối tròn


Bài 7: Cho miền D giới hạn bơi các đường 2y 4x và y x . Tính thể tích khối tròn xoay

được tạo nên do D quay quanh trục Ox

Bài 8: Cho miền D giới hạn bơi các đường 1 x

2 2y x .e ; x 0; x 2 . Tính thể tích khối tròn


Bài 9: Cho miền D giới hạn bơi các đường y xlnx ; y 0; x 1; x e . Tính thể tích khối


Bài10: Cho miền D giới hạn bơi các đường 3y x ln 1 x ; y 0; x 1 . Tính thể tích khối


4. Các bài toán tích phân đề thi CĐ,ĐH các năm.

Bài 1: CĐ Khối A, B – 2005 dxxxI

1

0

23 3. KQ: 6 3 8

5

Bài 2: CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005

3

1 313

3dx

xx

xI KQ: 6ln3 8

Bài 3: CĐ GTVT – 2005 dxxxI

1

0

25 1 KQ: 8

105

Bài 4: CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I–2005: 2

0

3 5sin

xdxeIx KQ:

3

23.e 5

34

Bài 5: CĐ Truyền Hình Khối A – 2005:

4

0

2

2sin1

sin21

dx

x

xI KQ:

1ln 2

2

Bài 6: CĐSP Tp.HCM – 2005:

0

1

2 42xx

dxI KQ:

3

18

Bài 7: CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005: e

dx

x

xI

1

2

ln KQ:

21

e

Bài 8: CĐ Bến Tre – 2005:

2

01sin

3cos

dx

x

xI KQ: 2 3ln2



Bài 9: CĐSP Sóc Trăng Khối A–2005:

sin xdx

Ix

sin x cosx.cos

2

2 20 2

2

KQ: I ln2

xsin xdx

Jsin x cos x

23

2

02

KQ:3

J

3 4

Bài 10: CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 05: dxxxI sin4

0

2

KQ: 2 4

Bài 11: CĐSP Hà Nội – 2005: dx

x

xxxI

2

0

2

23

4

942 KQ: 6

8

Bài 12: CĐ Tài Chính – 2005 :

1

0

31x

xdxI KQ:

1

8

Bài 13: CĐSP Vĩnh Phúc – 2005:

e

xx

dxI

12ln1

KQ: 6

Bài 14: CĐSP Hà Nội – 2005:

2

0

20042004

2004

cossin

sin

dx

xx

xI KQ:

4

Bài 15: CĐSP KonTum – 2005:

2

0

3

cos1

sin4

dx

x

xI KQ: 2

Bài 16: CĐ KTKT Công Nghiệp II–06: 1

2

0

I x ln 1 x dx KQ:1

ln2

2

Bài 17: CĐ Cơ Khí – Luyện Kim–06: 2

2

1

ln 1 x

I dx

x

KQ:

33ln2 ln3

2

Bài 18: CĐ Nông Lâm – 2006:

1

2

0

I x x 1dx KQ: 2 2 1

3

Bài 19: CĐ Y Tế – 2006 :

2

4

sin x cosxI dx

1 sin2x

KQ: ln 2

Bài 20: CĐSP Hưng Yên-Khối D1-06:

e 3 2

1

ln x 2 ln xI dx

x

KQ: 3 2

33 3 2 2

8

Bài 21: CĐ Sư Phạm Hải Dương –2006:

2

3

0

cos2xI dx

sin x cosx 3

KQ: 1

32

Bài 22: CĐ KTKT Đông Du–06: 4

0

cos2xI dx

1 2sin2x

KQ: 1

ln3

4



Bài 23: CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 06:

ln2 2x

x

0

eI dx

e 2

KQ: 8

2 3

3

Bài 24: CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 06: 32

0

4sin xI dx

1 cosx

KQ: 2

Bài 25: CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 06: 4

2

0

xI dx

cos x

KQ: 2

ln

4 2

Bài 26: CĐ Sư Phạm Tiền Giang–06:

9

3

1

I x. 1 x dx KQ: 468

7

Bài 27: CĐ Bến Tre – 2006 :

e 3

1

x 1I ln x dx

x

KQ:

3

2e 11

9 18

Bài 28: CĐ y tế I 2006 2

0

2cos12

xdxxI KQ: 2

11

2 4 2

Bài 29: CĐ y tế II 2006

1

0

32 1 dxxexIx

KQ: 2

e 1

4 14

Bài 30: CĐ Xây dựng số 1 – 2006: 2

0

J 2x 7 ln x 1 dx KQ: 24ln3 14

Bài 31: CĐ Xây dựng số 2 – 2006:

2

1

x x 1I dx

x 5

KQ: 32

10 ln3

3

Bài 32: CĐ Xây dựng số 3 – 2006: 1

3

0

I x cos x sin x dx KQ: 5

4

Bài 33: CĐ Kinh tế đối ngoại –06: 4

8

0

I 1 tg x dx

. KQ: 76

105

Bài 34: CĐSP Hưng Yên-Khối A–06:

4

2

3

4x 3I dx

x 3x 2

KQ: 18ln2 7ln3

Bài 35: CĐSP Hưng Yên-Khối B–06:

36

0

sin3x sin 3xI dx

1 cos3x

KQ: 1 1

ln2

6 3

Bài 36: CĐ BC Hoa Sen–Khối A –06: 4

4 4

0

I cos x sin x dx

KQ: 1

2

Bài 37: CĐSP Trung ương – 2006 : 2

0

I sin xsin2xdx

KQ: 2

3

Bài 38: CĐSP Hà Nam – (DB)– 06:

e

2

1

dxI

x 1 ln x

KQ: 4



Bài 39: CĐKT Y Tế I – 2006:

2

4

sin x cosxI dx

1 sin2x

KQ: ln 2

Bài 40: CĐ Tài Chính Hải Quan–06: 3

4

ln tgx

I dx

sin2x

KQ: 21

ln 3

16

Bài 41: CĐ Kĩ thuật Cao Thắng–06: 2

32

0

I sin2x 1 sin x dx

KQ: 15

4

Bài 42: CĐKT Tp.HCM Khóa II-06:

e

0

ln xI dx

x

KQ: 4 2 e

Bài 43: CĐCN Thực phẩmHCM–06: 1

2

0

1I dx

x 2x 2

KQ:

4

Bài 44: CĐ GTVT – 2007 : cos x

I dxsin x

32

0

4

1

KQ: 2

Bài 45: CĐ Khối A – 2007: I dxx x

20071

2

1

3

1 11 KQ:

2008 2008

3 2

2008

Bài 46: CĐSP Vĩnh Phúc – 2007: I x sin x dx

4

2

1

KQ: 3 2

1

384 32 4

Bài 47: CĐ Thời Trang Tp.HCM–07: dx

Ix x

3

2 2

11

KQ: 3

1

3 12

Bài 48: CĐ Hàng hải – 2007: I x x dx 3

23

1

1 KQ: 14 3

5

Bài 49: CĐ KTKT Thái Bình –07: xI x e x dx

0

2

1

1 KQ: 2

3 31e

4 60

Bài 50: CĐSPTW–2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường có phương trình

2y x 2 ; y x, x 1, x 0 . KQ: 7

6

Bài 51: CĐ Khối A, B, D – 2007: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường

2y x, y x cos x, x 0,x KQ: 2

Bài 52: CĐ Khối A, B, D – 2008: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi parabol

2P : y x 4x và đường thẳng d : y x . KQ: 9

2 (đvdt).

Bài 53: CĐ Khối A, B, D – 2009: 1

2x x

0

I e x e dx KQ:1

2e



Bài 54: CĐ Khối A, B, D – 2010:

1

0

2x 1dx

x 1

KQ: 2 3ln2

Bài 55: CĐ Khối A, B, D – 2011:

2

1

2x 1I dx.

x x 1

KQ: ln3

Bài 56: ĐH, CĐ Khối A – 2005:

2

0 cos31

sin2sin

dx

x

xxI KQ:

34

27

Bài 57: ĐH, CĐ Khối B – 2005: dx

x

xxI

2

0cos1

cos2sin

KQ: 2ln2 1

Bài 58: ĐH, CĐ Khối D – 2005: 2

0

sin coscos

xdxxeIx KQ: e 1

4

Bài 59: Tham khảo 2005: dx

x

xI

7

03 1

2 KQ:

231

10

Bài 60: Tham khảo 2005: 3

0

2sin

xtgxdxI KQ: 3

ln 2

8

Bài 61: Tham khảo 2005 4

0

sin cos.

dxxetgxIx KQ:

1

2ln 2 e 1

Bài 62: Tham khảo 2005 e

xdxxI

1

2 ln KQ: 32 1

e

9 9

Bài 63: ĐH, CĐ Khối A – 2006: 2

2 2

0

sin2xI dx

cos x 4sin x

KQ: 2

3

Bài 64: ĐH, CĐ Khối B – 2006:

ln5

x x

ln3

dxI

e 2e 3

KQ:

3ln

2

Bài 65: ĐH, CĐ Khối D – 2006: 1

2x

0

I x 2 e dx KQ: 2

5 3e

2

Bài 66: Tham khảo 2006 :

6

2

dxI

2x 1 4x 1

KQ: 3 1

ln

2 12

Bài 67: Tham khảo 2006 : 2

0

I x 1 sin2x dx

KQ: 1

4


1

I x 2 ln x dx KQ: 5

ln 4

4

Bài 69: Tham khảo 2006 :

10

5

dxI

x 2 x 1

KQ: 2ln2 1



Bài 70: Tham khảo 2006:

e

1

3 2 ln xI dx

x 1 2 ln x

KQ:

10 112

3 3

Bài 71: ĐH khối A – 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường:

x

y e 1 x, y 1 e x . KQ: 12

e

Bài 72: ĐH khối B – 2007:Cho hình phẳng H giới hạn bơi các đường y xlnx , y 0, y e .

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. KQ: 3

5e 2

27

Bài 73: ĐH khối D – 2007: e

3 2

1

I x ln xdx KQ: 4

5e 1

32


0

2x 1I dx

1 2x 1

KQ: 2 ln2

Bài 75: Tham khảo 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường

2

x 1 xy 0 và y

x 1

. KQ:

1ln2 1

4 2

Bài 76: Tham khảo 2007:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bơi các đường

2 2y x và y 2 x . KQ: 1

2 3


2

0

x x 1

I dx

x 4

KQ: 3

1 ln2 ln3

2


2

0

I x cosxdx

KQ: 2

2

4

Bài 79: ĐH Khối A – 2008 46

0

tg xI dx

cos2x

KQ: 1 10ln 2 3

2 9 3

Bài 80: ĐH Khối B – 2008

4

0

sin x dx4

Isin 2x 2 1 sin x cosx

KQ: 4 3 2

4

Bài 81: ĐH Khối D – 2008

2

3

1

ln xI dx

x KQ:

3 2ln 2

16

Bài 82: ĐH Khối A – 2009: 2

3 2

0

I cos x 1 cos xdx.

KQ:8

15 4

Bài 83: ĐH Khối B – 2009:

3

2

1

3 ln xI dx.

x 1

KQ:

1 273 ln

4 16



Bài 84: ĐH Khối D – 2009:

3

x

1

dxI .

e 1

KQ: 2ln e e 1 2

Bài 85: ĐH Khối A – 2010:

1 2 x 2 x

x0

x e 2x eI dx

1 2e

KQ: 1 1 1 2e

ln3 2 3

Bài 86: ĐH Khối B – 2010:

e

2

1

ln xI dx.

x 2 ln x

KQ:

1 3ln

3 2


e

1

3I 2x ln xdx.

x

KQ:

2e1

2

Bài 88: ĐH Khối A – 2011: 4

0

sin 1 cosI

sin cos

x x x x

dxx x x

KQ:2

ln 14 2 4

Bài 89: ĐH Khối B – 2011: 3

2

0

1 x sin xI dx.

cos x

KQ: 23 ln 2 3

3


4

0

4x 1I dx.

2x 1 2

KQ:

34 310ln

3 5



CHƢƠNG 4. SỐ PHỨC.

1.Các phép toán đơn giản trên tập số phức.

Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

a) 4 i 2 i 5 i ; b) 2 2

1 i 1 i ;

c) 3 3

2 i 3 i ; d)3 i 2 i

;1 i i

e)7

7

1 1i ;

2i i

f)

101 i ;

Bài 2: Cho số phức z x iy x, y R .Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức:

a) 2z 2z 4i; b)z i

;iz 1

c)

22z z ;

Bài 3: Bài tìm nghiệm phức của mỗi phương trình:

a)2 i 1 3i

z ;1 i 2 i

b) 1

2 i z i iz 0;2i

c) z 2z 2 4i; d) 2z z 0;

e) 2z z 0; f) 22z z 0;

2.Giải các phƣơng trình trên tập số phức:


a) iz 2 i 0 ; b) 2 3i .z z 1 ;

c) 2 i .z 4 0 ; d) z 2 3i 0 ;

e) 1

2 i .z 3 i . iz 02i

; f) z 2i . z 2i 0 ;

Bài 5: Giải các phương trình sau :

a) 2z z 1 b) 2z 1 3i .z 2 1 i 0

c) 2z 4 0 d) 2z 2z 5 0

Bài 6: Giải phương trình : 1

z kz

với k thứ tự bằng 1; 2 ; 2i .

Bài 7: Giải các phương trình :

a) 3z 1 0 b) 3z i 0

c) 4z 1 0 d) 4z 4 0

Bài 8: Tìm các số thực b,c để phương trình ( ẩn z) : 2z bz c 0 nhận số

phức 0z 1 i làm nghiệm.

Bài 9: Tìm các giá trị thực a, b, c để phương trình : 3 2z az bz c 0 Nhận

1 2z 1 i và z 2 làm nghiệm.

Bài 10: Tìm các số thực a, b để có phân tích : 3 2 22z 9z 14z 5 2z 1 z az b

Rồi giải phương trình : 3 22z 9z 14z 5 0 .



Bài 11: Tìm các số thực a, b để có phân tích :

4 2 2 2z 4z 16z 16 z 2z 4 z az b Rồi giải phương trình:

4 2z 4z 16z 16 0 ;

Bài 12: Giải phương trình : 4 3

2

1z z z 1 0

z bằng cách đặt ẩn phụ

1z

z

Bài 13: Giải các phương trình sau : 2

2 2 2z 3z 6 2z z 3z 6 3z 0 ;

Bài 14: Tìm số thực a, b để có phân tích :

4 3 2 2 2f z z 4z 7z 16z 12 z 4 z az b .

Từ đó giải phương trình : f z 0

Bài 15: Giải phương trình :

a) 4 3 2z 5z 8z 10z 12 0 . b) z iz 1 2i .

Bài 16: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 11

z

z i

và

31

z i

z i

.

Bài 17: Tìm số phức z thỏa mãn :

4

1z i

z i

.

4. Các bài toán số phức đề thi CĐ,ĐH các năm.


a) Cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn 2

1 i 2 i z 8 i 1 2i z. Tìm phần thực và

phần ảo của z

b) Nâng cao: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức : 4z 3 7i

z 2i.z i


a) Cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2

2 3i z 4 i z 1 3i .Tìm phần

thực và phần ảo của z

b) Nâng cao: Giải phương trình 2z 1 i z 6 3i 0 trên tập hợp các số phức


a) Cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn 2

1 2i z z 4i 20. Tìm môđun của z.

b) Nâng cao: Cho số phức z thỏa mãn 2z 2 1 i z 2i 0. Tìm phần thực và phần ảo của

1.

z

Bài 4: ĐH khối A 2009: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2z 2z 10 0 .

Tính giá trị của biểu thức 2 2

1 2A z z .

Bài 5: ĐH khối B 2009: Tìm số phức z thỏa mãn: z 2 i 10 và z.z = 25.

Bài 6: ĐH khối D 2009: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn cac số

phức z thỏa mãn điều kiện z 3 4i 2.



Bài 7: ĐH khối A 2010:

a) Cơ bản: Tìm phần thực phần ảo của số phức z: 2

z 2 i 1 2i .

b) Nâng cao: Cho số phức z thỏa mãn :

3

1 3iz .

1 i

Tìm môđun của số phức z iz .

Bài 8: ĐH khối B 2010: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số

phức z thỏa mãn: z i 1 i z .

Bài 9: ĐH khối D 2010: Tìm số phức z thỏa mãn: 2z 2 và z là số thuần ảo


a) Cơ bản: Tìm tất cả các số phức z, biết: 22z z z.

b) Nâng cao: Tính môđun của số phức z, biết: 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i.

Bài 11: ĐH khối B 2011:

a) Cơ bản: Tìm số phức z, biết: 5 i 3

z 1 0z

b) Nâng Cao: Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1 i 3z .

1 i

Bài 12: ĐH khối D 2011: Tìm số phức z, biết z 2 3i z 1 9i.



PHẦN B: HÌNH HỌC.

CHƢƠNG 1. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

I. THỂ TÍCH TỨ DIỆN – HÌNH CHÓP.

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a .

Tính thể tích của khối chóp theo a.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AC a 2 và

SB a 3 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính theo a thể tích khối chóp

S.ABC.

Bài 3: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC a 3 , mặt bên

SBC là tam giác cân tại S SB SC 2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể

tích khối chóp S.ABC .

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA SB 2a và

hai mặt phẳng SAB và ABCD vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chópS.ABCD .

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với mặt

phẳng ABC . Đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM a . Mặt

bên SBC tạo với đáy góc 0

45 và 0

SBA 30 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC .

Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bên SA SB SC a . Góc giữa cạnh bên và

đáy bằng 0

60 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

Bài 7: Đáy ABCcủa hình chóp SABC là tam giác vuông cân BA BC . Cạnh bên

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài là a 3 . Cạnh bên SB tạo với một góc 0

60 .

Tính diện tích toàn phần của hình chóp

Bài 8: Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc 0

60 , độ dài các cạnh

đáy là CB 3,CA 4,AB 5 . Tính thể tích V của hình chóp

Bài 9: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a và đôi một vuông góc nhau. Gọi H là trực

tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh OH ABC

b) Chứng minh 2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC

c) Tính thể tích khối tứ diện

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc 0 a 5BAD 60 ,SA SC

2 ,

SB SD .Tính thể tích khối chópS.ABCD .

Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC a ,

a 3SA SB SC

2 và mặt bên SABhợp với đáy một góc bằng 60

0. Tính thể tích của khối

chóp.



Bài12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ABC ,góc

0ACB 60 ,BC a,SA a 3 . Gọi M là trung điểm của SB. Chứng minh SAB SBC .

Tính thể tích khối tứ diện MABC .

Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABCvuông tại B, AB a,BC a 3 . Tam

giác SAC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC .

Bài 14: Cho hình chóp S.ABC có SB SC BC CA a . Hai mặt ABC và ASC cùng

vuông góc với SBC . Tính thể tích hình chóp .

Bài 15: Cho hình chóp SABCcó đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC a biết SA

vuông góc với đáy ABC và SBhợp với đáy một góc 60o.

a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .

b) Tính thể tích hình chóp .

Bài 16: Cho hình chóp SABCcó đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với

đáy ABCvà SBC hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích hình chóp .

Bài 17: Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc

đáy ABCDvà mặt bên SCD hợp với đáy một góc 60o.

a) Tính thể tích hình chóp SABCD .

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD .

Bài 18: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là

tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD ,

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.

b) Tính thể tích khối chóp SABCD .

Bài 19: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác vuông cân tại

D , ABC BCD và AD hợp với BCD một góc o60 .Tính thể tích tứ diện ABCD .

Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có

BC a . Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một

góc 450 .

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.

b) Tính thể tích khối chóp S.ABC .

Bài 21: Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh

rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác

đều ABC .Tính thể tích chóp đều S.ABC .

Bài 22: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .

a) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.

b) Tính thể tích khối chóp SABCD .

Bài 23: Cho khối tứ diện đều ABCDcạnh bằng a, M là trung điểm DC.

a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD .

b) Tính thể tích hình chóp MABC .Suy ra khoảng cách từ M đến mp ABC .

Bài 24: Cho tam giác ABCvuông cân ơ A và AB a . Trên đường thẳng qua C và vuông

góc với mặt phẳng ABC lấy điểm D sao cho CD a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,

cắt BD tại F và cắt AD tại E.

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD .

b) Chứng minh CE ABD

c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF .



Bài 25: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác ABC vuông cân tại A có

cạnh

BC a 2 và biết A'B 3a . Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 26: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D'có cạnh bên bằng 4a và đường chéo của

hình lăng trụ 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

Bài 27: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác đều cạnh a 4 và biết

diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 28: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 060 Đường chéo

lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .

Bài 29: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B

với

BA BC a ,biết A' B hợp với đáy ABCmột góc 6 00 .Tính thể tích lăng trụ

Bài 30: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A

với AC a , góc 0

60ACB biết BC' hợp với AA'C'C một góc 030 . Tính AC' và thể tích

lăng trụ.

Bài 31: Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.và đường

chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 030 . Tính thể tích và tổng diên tích của

các mặt bên của lăng trụ .

Bài 32: Cho hình hộp đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc

0

BAD 60 biết AB' hợp với đáy ABCD một góc o30 .Tính thể tích của hình hộp.

Bài 33: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đỉnh

A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 060 . Tính thể tích của khối

lăng trụ ABC.A’B’C’theo a.

Bài 34: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B

với

BA BC a ,biết A' BC hợp với đáy ABC một góc 6 00 .Tính thể tích lăng trụ.

Bài 35: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’là tam giác đều . Mặt A' BC tạo với

đáy một góc 3 00 và diện tích tam giác A' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 36: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng BDC' hợp

với đáy ABCD một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Bài 37: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' có AA' 2a ; mặt phẳng A' BC hợp với

đáy ABCD một góc 60o và A'C hợp với đáy ABCD một góc o30 .Tính thể tích khối hộp

chữ nhật.

Bài 38: Cho lăng trụ đứng ’ ’ ’ABC.A BC , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC a ,

060ˆ

C , đường chéo BC’ của mặt bên ’ ’BCC B hợp với mặt bên ’ ’ACC A một góc 3 00 .

a) Tính độ dài cạnh ’AC b) Tính thể tích lăng trụ.

Bài 39: Cho lăng trụ xiên tam giác ’ ’ ’ABC.A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết

cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABCmột góc o60 .Tính thể tích lăng trụ.

Bài 40: Cho lăng trụ xiên tam giác ’ ’ ’ABC.A BC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình

chiếu của A' xuống ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với

đáy ABC một góc o60 .

a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.



b) Tính thể tích lăng trụ .

Bài 41: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’có đáy là hình chữ nhật với AB 3;AD 7. Hai

mặt bên ABB’A’ và ADD’A’ lần lượt tạo với đáy những góc 0 045 và 60.

. Tính thể tích

khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Bài 42: Đáy ABCcủa hình lăng trụ ’ ’ ’ABC.A BC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên

hình lăng trụ và mặt đáy bằng 0

30 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng đáy

ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC. Tính thể tích hình lăng trụ.

Bài 43: Cho hình lăng trụ tam giác ’ ’ ’ABC.A BC có BB’ a , góc giữa đường thẳng BB’ và

mặt phẳng ABC bằng 6 00 ; tam giác ABCvuông tại C và góc 0BAC 60 . Hình chiếu

vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính

thể tích khối tứ diện B’ABC theo a.

Bài 44: Cho hình hộp ’ ’ ’ ’ABCD.A BC D có đáy là hình thoi cạnh a, góc 060

A . Chân đường

vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy.

Cho ’BB a .

a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy b) Tính thể tích hình hộp

II. THỂ TÍCH HÌNH NÓN – HÌNH TRỤ - HÌNH CẦU.

Bài 1: Trong không gian cho tam giác vuông OAB tại O có OA 4,OB 3 . Khi quay tam

giác vuông OAB quanh cạnh góc vuông OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình

nón tròn xoay.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b)Tính thể tích của khối nón

Bài 2: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ơ đỉnh bằng 0120 .


b) Tính thể tích của khối nón

Bài 3: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 22 a .Tính thể tích của hình nón

Bài 4: Một hình nón có góc ơ đỉnh bằng 060 và diện tích đáy bằng 9 .Tính thể tích của hình

nón

Bài 5: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng

a.


b)Tính thể tích của khối nó

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 060 . Tính diện tích của thiết diện này

Bài 6: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h 20cm , bán kính đáy r 25cm.



c)Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng

chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó

Bài 7: Cắt hình nón đỉnh S bơi mp đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng 2a





c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng SBC tạo với mặt

phẳng chứa đáy hình nón một góc 060 . Tính diện tích tam giác SBC

Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bơi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích

của thiết diện được tạo nên

Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h r 3 Cho hai điểm A và B lần lượt nằm

trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 030 . Tính

khoảng cách giữa đường thẳng ABvà trục của hình trụ

Bài 10: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao h 50cm .

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bơi hình trụ đã cho

c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy.

Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ

Bài 11: Cho tứ diện ABCD có DA 5a và vuông góc với mp ABC , ABC vuông tại B và

AB 3a,BC 4a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu

Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A,B,C,D,S


Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hính vuông cạnh bằng a.SA 2a và vuông

góc với mp ABCD .

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A,B,C,D,S


Bài 14: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng o45 .

a) Tính thể tích khối chóp .

b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có SA 2a và SA ABC . Tam giác ABCvuông cân tại

B, AB a 2

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

c) Gọi I và H lần lượt là trung điểmSC và SB . Tính thể tích khối chóp S.AIH

Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a.

a) Tính thể tích khối lập phương

b) Tính bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh của lập phương

c) Chứng minh hai khối chóp B’.ABD’ và D.C’D’Bbằng nhau.

Bài 18: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 6 00 .



a) Tính thể tích khối chóp.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a,SA bằng a và SA vuông góc đáy.

a) Tính thể tích khối chóp.

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

c) Quay tam giác vuông SAC quanh đường thẳng chứa cạnh SA, tính diện tích xung quanh

của khối nón tạo ra

Bài 20: Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy a, mặt bên hợp đáy một góc 6 00 .

a) Tính thể tích khối chópS.ABC .

b) Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

III. Đề thi CĐ,ĐH các năm.

Bài 1: CĐ khối A, B, D 2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

0BAD ABC 90 ,AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với đáy và SA 2a. Gọi M,N

lần lượt là trung điểm của SA,SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích

của khối chóp S.BCNM theo a.

Bài 2: CĐ khối A, B, D 2009: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB=a,SA=a 2.Gọi

M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,SB và CD.Chứng minh rằng đường thằng

MN vuông góc với đường thẳng SP.Tính a thể tích của khối tứ diện AMNP .

Bài 3: CĐ khối A, B, D 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a,mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, SA SB , góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng đáy bằng 045 .Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD .

Bài 4: CĐ khối A, B, D 2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B, AB a,SA vuông góc với mặt phẳng ABC , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

bằng 030 .Gọi M là trung điểm của cạnhSC . TÍnh thể tích của khối chóp S.ABM theo a.

Bài 5: ĐH khối A 2008: Cho lăng trụ ' ' 'ABC.A BC có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là

tam giác vuông tại A, AB a,AC a 3 và hình chiếu vuông góc với đỉnh 'A trên mặt

phẳng ABC là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp 'A .ABC và tính

cosin của góc giữa hai đường thẳng ' ' 'AA ,BC .

Bài 6: ĐH khối B 2008: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,

SA a,SB a 3 và mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB,BC . Tính theo a thể tích của hình chóp S.BMDN và tính cosin

của góc giữa hai đường thẳngSM,DN .

Bài 7: ĐH khối D 2008: Cho lăng trụ đứng ' ' 'ABC.A BC có đáy ABC là tam giác vuông,

AB BC a, cạnh bên 'AA a 2. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích

của khối lăng trụ ' ' 'ABC.A BC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, 'BC.



Bài 8: ĐH khối A 2009: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và D;AB AD 2a,CD a; góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 600.Gọi I

là trung điểm của cạnh AD.Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt

phẳng ABCD ,Tính thể thích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 9: ĐH khối B 2009: Cho hình lăng trụ tam giác ' ' ' 'ABC.A BC có BB a, góc giữa đường

thẳng 'BB và mặt phẳng ABC bằng 060 ; tam giác ABC vuông tại C và 0BAC 60 .Hình

chiếu vuông góc của điểm 'B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm của tam giác ABC .

Tính thể tích khối tứ diện 'A ABC theo a.

Bài 10: ĐH khối D 2009: Cho hình lăng trụ đứng ' ' 'ABC.A BC có đáy ABC là tam giác

vuông tại B, ' 'AB a,AA 2a,A C 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng ' 'A C , I là trung

điểm của AM và 'A C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABCvà khoảng cách từ điểm A đến

mặt phẳng IBC .

Bài 11: ĐH khối A 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi

M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết

SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 . Tính thể thích khối chóp S.CDNMvà

tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Bài 12: ĐH khối B 2010: Cho hình lăng trụ tam giác đều ' ' 'ABC.A BC có AB = a, góc giữa

hai mặt phẳng 'A BC và ABC bằng 060 .Gọi G là trọng tâm tam giác 'A BC. Tính thể tích

khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Bài 13: ĐH khối D 2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh

bên SA=a; hình chiếu vuông góc từ đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh

AC, AH AC / 4. Gọi CM là đường cao của tam giácSAC . Chứng minh M là trung điểm của

SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.

Bài 14: ĐH khối A 2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B, AB BC 2a; hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng

ABC . Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt

AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 060 . Tính thể tích khối

chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài 15: ĐH khối B 2011: Cho hình lăng trụ 1 1 1 1ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ

nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A trên mặt phẳng ABCD trùng

với giao điểm của AC và BD.Góc giữa hai mặt phẳng 1 1ADD A và ABCD bằng 060 .

Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm 1B đến mặt phẳng 1A BD theo a.

Bài 16: ĐH khối D 2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, BA 3a,BC 4a; mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết

0SB 2a 3 và SBC 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt

phẳng SAC theo a.aaaa



CHƢƠNG 2. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN.

1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA

ĐIỂM.

Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho a 1; 2;1

, b 2;1;1

, c 2; 3; 4

.Tìm tọa độ các

véctơ

a) u 3a 2b

b) v c 3b

c) w a b 2c

d)3

x a b 2c2

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho a 1; 1;0

, b 1;1;2

, c 2; 3; 4

a)xác định k để véctơ u 2;2k 1;0

cùng phương với a

b)xác định các số thực m,n,pđể d ma nb pc

c)Tính a , b , a 2b

Bài 3: Cho A 2;5;3 , B 3;7;4 , C x;y;6

a)Tìm x,y để ba điểm A,B,C thẳng hàng

b)Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz .Tính độ dài đoạn AB

c)Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA MB nhỏ nhất

Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho 1

a 1; 2;4

, b 2;1;1

, c 3i 2 j 4k

a) Tính các tích vô hướng a.b

, c.b

.Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc

b)Tính Cos a,b

, Cos a,c

Bài 5: Cho A 1; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 ,D 3;0;1 ,E 1;2;3

a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.

b)Tính cos các góc của tam giác ABC

c)Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB

d)Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MB 2MC 0

Bài 6: Cho A 1; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 .

a)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB

b)Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC

2.TÍCH CÓ HƢỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG.

Bài 1: Tính tích có hướng u, v

biết rằng

a) 1; 2;1 u , 2;1;1

v b) 1;3;1

u , 0;1;1

v

c) u 4i j

, v i 2 j k

Bài 2: Tính tích u, v .w

biết rằng

a) 1; 2;1 u , 0;1;0

v , w 1;2; 1



b) 1; 1;1 u , 0;0;2

v , w 1; 2; 1

c) u 4i j

, v i 2 j k

, w 5;1; 1

Bài 3: Cho A 1; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 ,D 1;2;3

a)Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng

b)Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

c)Tính diện tích tam giác ABC

d)Tính thể tích tứ diện ABCD .Biết rằng

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có A 2; 1;1 ,B 2; 3;2 ,C 4; 2;2 ,D 1;2; 1 ,S 0;0;7

a)Tính diện tích tam giác SAB

b)Tính diện tích tứ giác ABCD

c)Tính thể tích hình chóp S.ABCD .Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp ABCD

d)Tính khoảng cách từ A đến mp SCD

Bài 12: Cho hình hộp ' ' ' 'ABCD.A BC D . Biết rằng

'A 1;2; 1 ,B 1;1;3 , C 1; 1;2 và D 2; 2; 3

a)Tìm tọa độ các đỉnh còn lại

b)Tính thể tích hình hộp

c)Tính thể tích tứ diện 'A.A BC . Tính tỉ số ABCD.A' B'C' D'

A.A' B'C'

V

V

d)Tính thể tích khối đa diện 'ABCDD

3.PHƢƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU.

Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu

a) 2 2 2

2 1 2 9 x y z b) 2 2 2 254 5 3 0

4x y z x y z

Bài 2: Cho A 1;3; 7 ,B 5; 1;1 .

a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB

b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy .

Bài 3: Cho A 1;1;1 ,B 1;2;1 ,C 1;1;2 ,D 2;2;1

a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D

b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ơ câu a) lên các mp Oxy,Oyz

Bài 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A 1;2; 4 ,B 1; 3;1 , C 2;2;3 và có tâm

nằm trên mp Oxy

Bài 5: Cho A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D 1;2;1

a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện

b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp ABC theo thiết diện là một đường tròn có bán kính

lớn nhất.

Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình 2 2 2 2x y z 4mx 2my 4z m 4m 0 luôn là

phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.



Bài 7: Chứng tỏ rằng phương trình 2 2 2 2x y z 2cos .x 2sin .y 4z 4 4sin 0

luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm để bán kính mặt cầu là lớn nhất.

4.PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.

Bài 1: Cho A 1;2;3 ,B 2; 4;3 ,C 4;5;6

a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n 1; 1;5

làm vectơ pháp tuyến

b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp

đó là a 1;2; 1 ,b 2; 1;3

c)Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB

d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC

e)Viết phương trình mp ABC

Bài 2: Cho A 1;2;1 ,B 1; 4;3 ,C 4; 1; 2

a)Viết phương trình mp đi qua I 2;1;1 và song song với mp ABC

b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp P : 2x y 3z 2 0

c)Viết phương trình mp qua hai điểm A , B và vuông góc với mp Q : 2x y 2z 2 0

d)Viết phương trình mp qua A, song song với Oy và vuông góc với

mp R : 3x – y 3z 1 0

e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

Bài 3: Viết phương trình mp đi qua M 2;1;4 và cắt các trục Ox,Oy,Oz tại các điểm

A,B,C sao cho

OA OB OC

Bài 4: Viết phương trình mp đi qua M 2;2;2 cắt các tia Ox,Oy,Oz tại các điểm A,B,C sao

cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất .

Bài 5: Viết phương trình mp đi qua M 1;1;1 cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lược tại các điểm

A,B,C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC .

Bài 6: Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D 1;2;1 .

a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp ABC

b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.

Bài 7:Cho mp P : 2x y 2z 2 0 và hai điểm A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 .

a)Tính khoảng cách từ A đến mp P

b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp P một góc có số đo lớn nhất.

c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp P

Bài 8: Cho ba mặt phẳng

: 2x y 2z 1 0; : x 2y z 1 0; : 2x y 2z 3 0

a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?

b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều và

c)Tính khoảng cách giữa hai mp và



d)Tìm quỹ tích các điểm cách một khoảng bằng 1

e)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với hai mp và

Bài 9: Cho hai mặt phẳng : 2x y 2z 1 0; : x 2y z 1 0

a)Tính cosin góc giữa hai mp đó

b)Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó.

c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox

Bài 10: Cho mặt phẳng P : 2x y 2z 3 0 và mặt cầu

2 2 2

C : x 1 y 1 z 2 25

a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng P và mặt cầu C cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn

giao tuyến

b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng P

Bài 11: Cho hai mặt phẳng : 2 2 5 0x y z và mặt cầu

2 2 2

C : x 1 y 1 z 2 25

a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với

b)Tính góc giưa mp với Ox

c)Lập phương trình mp đi qua hai A 1;0;1 điểm B 1; 2;2 và hợp với một góc 060

Bài 12: Cho bốn điểm A 1;1;2 ,B 1;2;1 ,C 2;1;1 ,D 1;1; 1

a)Viết phương trình mpABC .

b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng ABC và ABD

Bài 13: Viết phương trình mp đi qua điểm M 2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng

x y z 4 0 và 3x y z 1 0

Bài 14: Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

x 2z 4 0 và x y z 3 0 đồng thời song song với mặt phẳng x y z 0 .

Bài 15: Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

3x y z 2 0 và x 4y 5 0 đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x y 7 0

Bài 16: Cho hình lập phương ' ' ' 'ABCD.A BC D có cạnh bằng 2.Gọi I,J,K lần lược là trung

điểm các cạnh ' ' ' ' 'BB ,C D và D A .

a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng IJK vuông góc với mặt phẳng 'CC K

b)Tính góc giữa hai mặt phẳng 'JAC và IAC

c)Tính khoảng cách từ I đến mp AJK

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB SA 2a. AD a .Đặt

hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox,Oy,Oz lần lược trùng với các tia AB,AD,AS .

a)Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.

b)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD .

c)Chứng tỏ rằng mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SBC

d)Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC

e)Tính thể tích hình chóp S.ABCD



Bài 18: Cho tam giác đều ABCcạnh a, I là trung điểm của BC.D là điểm đối xứng với A qua

I.Dựng đoạn 6

SD a2

vuông góc với mp ABC .Chứng minh rằng

a) mp SAB mp SAC

b) mp SBC mp SAD

c)Tính thể tích hình chóp S.ABC

Bài 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng 2P : 2x 2y z m 3m 0

(m là tham số) và mặt cầu 2 2 2

(S) : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm m để mặt phẳng P

tiếpxúc với mặt cầu S .Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của P và S .

5.VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG.

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng , Oxyz cho mặt phẳng

P :2x 2y z 4 0 và mặt cầu 2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0 Chứng minh

rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán

kính của đường tròn đó.

Bài 2: Cho Mặt Cầu 2 2 2S : x y z 2x 6y 15 0 và mặt phẳng

P : x 2y 2z 4 0

a)Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu S

b) Chứng tỏ rằng mp P cắt mặt cầu S theo một đường tròn và tính bán kính r của

đường tròn đó

c) viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với trục Oy,Vuông góc với mặt phẳng(P) và

tiếp xúc với mặt cầu (S)

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn

điểm A 3;3;0 ,B 3;0;3 ,C 0;3;3 ,D 3;3;3 .

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D .

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm A 2;0;0 ,M 0; 3;6 .

a) Chứng minh rằng mặt phẳng P : x 2y 9 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính

M0.Tìm tọa độ tiếp điểm.

b) Viết phương trình mặt phẳng Q chứa A,M và cắt ox,oy tại các điểm tương ứng

B,C sao cho OABCV 3

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

2 2 2S : x y z 2x 4y 2z 3 0 và mặt phẳng P : 2x y 2z 14 0 .

a) Viết phương trình mặt phẳng Q chứa trục Ox và cắt (S)theo một đường tròn có bán

kính bằng 3.

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng P

lớn nhất.



6.PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG.

Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

a)Đi qua A 1;2; 1 và có vectơ chỉ phương là a 1; 2;1

b) đi qua hai điểm I 1;2;1 ,J 1; 4;3 .

c)Đi qua A và song song với đường thẳng x 1 y 2 z 1

2 1 3

d)Đi qua M 1;2;4 và vuông góc với mặt phẳng 3x y z 1 0

Bài 2: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng

a)Qua A 3; 1;2 và song song với đường thẳng

x 1 2t

y 3 t

z t

b)Qua A và song song với hai mặt phẳng x 2 z – 4 0 ; x y z 3 0

c)Qua M 1;1;4 và vuông góc với hai đường thẳng 1

x 1 2t

d : y 3 t

z t

và

2

x 1 y 2 z 1d :

2 1 3

Bài 3: Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A 2; 1;6 ,B 3; 1; 4 ,C 5; 1;0 ,D 1;2;1

a)Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD .

b)Viết phương trình đường thẳng qua I 1;5; 2 và vuông góc với cả hai đường thẳng

AB,CD .

Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x 1 y 2 z 1

d :2 1 3

lên các mặt phẳng tọa độ

Bài 5: Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng

x 1 2t

d : y 3 t

z t

lên mặt phẳng

P : x y z 3 0

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

'

' '

'

x 1 tx 2t

: y 2 3t ; y 2 t

z 4t z 1 2t

a) Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng và song song với đường thẳng

' .

b) Cho điểm M 2;1;4 tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng ' sao cho đoạn thẳng MH

có độ dài nhỏ nhất.



Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:

'

' '

'

x 6 3tx a at

: y 1 t ; y 1 2a at

z t z t

a) Tìm a để hai đường thẳng và ' chéo nhau.

b) Với a 2 ,viết phương trình mặt phẳng P chứa ' và song song với .Tính

khoảng cách giữa và ' khi a 2 .

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai

điểm A 2;0;0 ,B 0;0;8 và AC 0;6;0

.I là trung điểm của BC,tính khoảng cách từ I tới

đường thẳng OA .

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:

'

' '

'

x tx t

: y 1 2t ; y 1 2t

z t z 1 3t

a) Chứng minh hai đường thẳng và ' chéo nhau.

b) Viết phương trình tổng qu¸t của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng và song songvới

đường thẳng x 4 y 2 z 3

1 4 2

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho hai điểm

A 2;1;1 ,B 0; 1;3 và đường thẳng

x 9 2t

d : y 8 3t

z t

a) Viết phương trình mặt phẳng P đi qua trung điểm I của đoạn ABvà vuông góc với

AB

Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P . Chứng minh rằng d vuông góc với

IK b) Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt

phẳng có phương trình x y z 1 0 .

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho điểm A 4; 2;4 và

đường thẳng

x 3 2t

d : y 1 t

z 1 4t

.Viết phương trình đường thẳng 'd qua điểm A,cắt và vuông

góc với đường thẳng d .

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ đêcac vuông góc Oxyz cho 2 điểm

A 4; 2; 2 ,B 0;0;7 và đường thẳng x 3 y 6 z 1

2 2 1

. Chứng minh rằng hai đường

thẳng d và AB thuộc cùng một mặt phẳng. Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác

ABCcân tại đỉnh A .



Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng x 1 y 3 z 3

d :1 2 1

và mặt phẳng P : 2x y 2z 9 0 .

a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng P bằng 2.

b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng Viết phương trình tham số

của đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng P biết Δ đi qua A và vuông góc với d

Bài 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường

thẳng 'x 1 2t

x y zd : ; d : y t

1 1 2z 1 t

a) Xét vị trí tương đối của 'd và d .

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d và N thuộc d’ sao cho đường thẳng MN song song với

mặt P : x y z 0 và độ dài đoạn MN bằng 2 .

Bài 15:. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 0;1;2 và hai đường thẳng:

'x 1 t

x y 1 z 1d : ; d : y 1 2t

2 1 1z 2 t

a) Viết phương trình mặt phẳng P qua A , đồng thời song song với 'd và d .

b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d, N thuộc d’ sao cho ba điểm A,M, N thẳng hàng

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 và hai đường thẳng:

'x 2 y 2 z 3 x 1 y 1 z 1

d : và d :2 1 1 1 2 1

a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.

b) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d và cắt d’.

Bài 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

'x 1 t

x 3 y 1 zd : y 1 t ; d :

1 2 1z 2

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.

b) Xác định điểm A trên d và điểm B trên d sao cho đoạn ABcó độ dài nhỏ nhất.

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : 4x 3y 11z 26 0

và hai đường thẳng 'x y 3 z 1 x 4 y z 1

d : ; d :1 2 3 1 1 2

a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau.

b) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trên P , đồng thời Δ cắt cả 'd và d



7.VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƢỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG

GÓC & KHOẢNG CÁCH.

Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

a) 'x 1 y 7 z 3 x 6 y 1 z 2

d : và d :2 1 4 3 2 1

b) 'x 1 y 2 z x y 8 z 4

d : và d :2 2 1 2 3 1

c) 'x 2 y z 1 x 7 y 2 z

d : và d :4 6 8 6 9 12

d)

x 1 2t

d : y 3 t

z t

và 'd là giao tuyến của hai mặt

phẳng : 2x 3y 3z 9 0, : x 2y z 3 0

Bài 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.Tìm tọa độ giao điểm của chúng

nếu có.

a) x 12 y 9 z 1

d : và : 3x 5y z 2 04 3 1

b) x 1 y 3 z

d : và : 3x 3y 2z 5 02 4 3

c) x 9 y 1 z 3

d : và : x 2y 4z 1 08 2 3

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M 1;2;3 đến các đường thẳng

a) 1

x 12 y 9 z 1d :

4 3 1

b) 2

x 1 2t

d : y 3 t

z t

c) 3d là giao tuyến của hai mặt phẳng : 2x 3y 3z 9 0, : x 2y z 3 0

Bài 4: Cho đường thẳng x 1 y 1 z 3

d : và : x 2y 4z 1 01 2 1

a)Tìm giao điểm giữa d và

b)Viết phương trình mp chứa d và hợp với một góc có số đo lớn nhất .

c)Viết phương trình mp chứa d và hợp với một góc có số đo nhỏ nhất.

Bài 5: Trong không gian cho bốn đường thẳng

1 2 3 4

x 1 y 2 z x 2 y 2 z x y z 1 x 2 y z 1d : ; d : ; d : ; d :

1 2 2 2 4 4 2 1 1 2 2 1

,

a) Chứng tỏ rằng 1 2d và d cùng nằm trên một mặt phẳng.Viết phương trình tổng quát

của mặt phẳng đó

b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho.

c) Tính côsin góc giữa 1 3d và d .



Bài 6: Cho ba điểm A 1;1;1 ,B 1;2;0 ,C 2; 3;2 và mp : x y z 2 0

a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC

b)Tìm trên mp điểm cách đều 3 điểm A,B,C

c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp

Bài 7: Cho tứ diện ABCD .Biết rằng A 1;1;2 ,B 1;2;1 ,C 2;1;1 ,D 1;1; 1

a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD

b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp BDC

d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB

e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp BCD

Bài 8: Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M 2; 1;1 qua mp : x y z 2 0

Bài 9: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A 2; 1;5 quađường thẳng x 1 y 2 z 3

1 2 3

Bài 10: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 và mp : x y z 2 0 . Tìm điểm M trên mp sao cho

MA MB nhỏ nhất

Bài 11: A 2;1;1 ,B 1;2; 1 và mp : 2x y z 4 0 . Tìm điểm M trên mp sao

cho MA MB lớn nhất

Bài 12: A 2;1;1 ,B 1;2; 1 và mp : 2x y z 4 0 .Tìm điểm M trên mp sao

cho MA MB

nhỏ nhất .

Bài 13: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 và mp : x y z 2 0 Tìm điểm M trên mp sao cho

2 2MA MB nhỏ nhất

Bài 14: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 ,C 1; 2; 3 và mp : x y z 2 0 Tìm điểm M trên

mp sao cho 2 2 2MA MB MC nhỏ nhất

Bài 15: A 3;1;0 ,B 1; 2;5 ,C 1; 2; 3 ,D 1;5;1 và mp : x y z 1 0 Tìm điểm

M trên mp sao cho 2 2 2 2MA MB MC MD nhỏ nhất

Bài 16: Cho ba đường thẳng 1 2

x 3tx 1 y 2 z 2

d : và d : y 1 t1 4 3

z 5 t

và 3d là giao

tuyến của hai mặt phẳng : 2x y 4z 3 0, : 2x y z 1 0 . Viết phương trình

song song với 1d cắt cả hai đường thẳng 2 3d và d

Bài 17: Cho hai đường thẳng (d1): 1 2

x 1 2t

d : y t và d

z 3 t

là giao tuyến của hai mặt phẳng

: 2x y z 1 0, : x 2z 3 0 .Viết phương trình đường thẳng đi qua

A 1; 1;1 cắt cả hai đường thẳng 1 2d và d



Bài 18: Viết phương trình của đường thẳng nằm trong mp :y 2z 0 và cắt cả hai đường

thẳng.

1 2

x 1 t x 2 t

d : y t và d : y 4 2t

z 4t z 1

Bài 19: Cho hai đường thẳng 'x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z

d : và d :2 3 1 1 5 2

a) Chứng tỏ rằng 'd và d chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng.

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.

c)Tính góc giữa 'd và d

Bài 20: Cho hai đường thẳng 'x 2 t

x 1 y 2 z 3d : và d : y 1 t

1 2 3z t

a)Chứng tỏ rằng 'd và d chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng

b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng

c)Tính góc giữa 'd và d

Bài 21: Cho hai đường thẳng 1 2

x 1 3t

d : y 2 t và d

z t

là giao tuyến của hai mặt phẳng

: x y z 2 0, : x 1 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A 0;1;1 vuông

góc với đường thẳng 1d và cắt 2d

Bài 22: Cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

: x 4y 1 0, : x z 0 .Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

M 0;1; 1 vuông góc và cắt đường thẳng d .

Bài 23: Cho hai điểm A 1;1; 5 , B 0;1; 7 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt

phẳng : y 1, : x z 1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam

giác AMBnhỏ nhất.

8.GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ.

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A'B'C'D'có A trùng với gốc của hệ toạ

độ, B a;0;0 ,D 0;a;0 ,A' 0;0;b ; a 0,b 0 . Gọi M là trung điểm cạnh CC' .

a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b .

b) Xác định tỷ số b

a để hai mặt phẳng A' BD và MBD vuông góc với nhau.



Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình thoi , AC cắt BD tại gốc toạ độ O.Biết A 2;0;0 ,B 0;1;0 , S 0;0;2 2 . Gọi M là trung

điểm của cạnh SC.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳngSA và BM .

b) Giả sử mặt phẳng ABM cắt SD tại N. Tính thể tích hình chópS.ABMN .

Bài 3: Cho hình lập phương ' ' 'ABCD.A'BC D cạnh a.

a) Chứng minh rằng A'C AB' D'

b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo ' ' 'A C và mp ABD đi qua trọng tâm của

tam giác ' 'ABD

c) Tính khoảng cách giữa hai ' ' 'mp ABD và C BD

d) Tính góc tạo bơi hai ' ' 'mp DAC và ABBA

e) Tính thể tích của khối đa diện ' 'ABCA B

Bài 4: Cho hình lập phương ' ' ' 'ABCD.A BC D cạnh a.Các điểm M thuộc 'AD và N thuộc

BD sao cho AM DN k , 0 k a 2

a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất

b)Chứng minh rằng MN luôn song song với ' 'mp A D BC khi k biến thiên.

c)Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của 'AD và BDvà

lúc đó MN song song với AC .

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc 0BAD 60 và đường

caoSA a .

a) Tính khoảng cách từ O đến mp SBC

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

c)Góc giữa đường thẳng SA và mp SCD

e)Gọi M, N lần lược là trung điểm củaSA,SB .TÍnh tỉ số S.MNAB

S.ABCD

V

V

Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SADcạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB.

a) Chứng minh rằng CI SB

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB

c) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BD

d) Tính tỉ số I.SAB

S.ABCD

V

V

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng

6a

2.Gọi là mp song song với BC và vuông góc với mp SBC , gọi I là trung điểm của

BC.

a)Tính khoảng cách từ I đến mp

b)Tính góc giữa ABvà



Bài 8: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc

0BAD 60 gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC' . Chứng minh rằng

bốn điểm B',M,D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ

giác B'MDN là hình vuông.

Bài 9: Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng .

Trên lấy hai điểm A, B với AB a . Trong mặt phẳng P lấy điểm C, trong mặt phẳng

Q lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với và AC BD AB . Tính bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDvà tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD theo a.

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

chữ nhật, AC cắt BD tại gốc tọa độ O . Biết A 2; 1;0 ,B 2; 1;0 ,S 0;0;3

a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB , song song với hai đường

thẳng, AD , SC.

b) Gọi P là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC . Tính diện tích thiết diện của

hình chóp với mặt phẳng S.ABCD và mặt phẳng P .

10. Các bài toán đề thi CĐ,ĐH các năm.


a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

1 2P : x 2y 3z 4 0 và P :3x 2y z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua

điểm A 1;1;1 ,vuông góc với hai mặt phẳng 1 2P và P .

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

A 1;1;0 ,B 0;2;1 và trọng tâm G 0;2; 1 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

C và vuông góc với mặt phẳng ABC .


a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;3 ,B 1;0;1 và

mặt phẳng P : x y z 4 0 .

1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên P

2. Viết phương trình mặt cầu S có bán kính bằng AB

6,có tâm thuộc đường thẳng

AB và S tiếp xúc với P

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z

d :2 1 1

và mặt phẳng P : 2x y 2z 2 0.

1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với P .

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng P




a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hai điểm A 1;2;3 ,B 1;0; 5 và mặt

phẳng P : 2x y 3z 4 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho ba điểm A,B,M thẳng

hàng.

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x 1 y 1 z 1d : .

4 3 1

Viết phương trình mặt cầu có tâm I 1;2; 3 và cắt đường thẳng d tại

hai điểm A,B sao cho AB 26.


a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 và

mặt cầu 2 2 2S : x y z 2x 4y 6z 11 0. Chứng minh rằng mặt phẳng P cắt mặt cầu

S theo một đường tròn.Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

P : x 2y 2z 1 0 và hai đường thẳng

1 2

x 1 y z 9 x 1 y 3 z 1: ; : .

1 1 6 2 1 2

Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng

1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng

P bằng nhau.


a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho tứ diện ABCD có các đỉnh

A 1;2;1 ,B 2;1;3 ,C 2; 1;1 và D 0;3;1 .Viết phương trình mặt phẳng P bằng khoảng

cách từ D đến P .

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz., Cho mặt phẳng

P : x 2y 2z 5 0 và hai điểm A 3;0;1 ,B 1; 1;3 . Trong các đường thẳng đi qua A

và song song với P , hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường

thẳng đó là nhỏ nhất.

Bài 6: ĐH khối D 2009:

a) Cơ bản:

b) Nâng cao:


a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm

A 2;1;0 ,B 1;2;2 ,C 1;1;0 và mặt phẳng P : x y z 20 0. Xác định tọa độ điểm D

thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng P .

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

x 2 y 2 z:

1 1 1

và mặt phẳng P : x 2y 3z 4 0. Viết phương trình đường thẳng

d nằm trong P sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng .


a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho các điểm A 1;0;0 ,B 0;b;0 ,C 0;0;c ,

trong đó b,c dương và mặt phẳng P : y z 1 0. Xác định b và c,biết mặt phẳng ABC

vuông góc với mặt phẳng P và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ABC bằng 1

3.



b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y 1 z

: .2 1 2

Xác định

tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ điểm M đến bằng OM.


a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho hai mặt phẳng

P : x y z 3 0 và Q : x y z 1 0. Viết phương trình mặt phẳng R vuông góc

với P và Q sao cho khoảng cách từ O đến R bằng 2.

b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng

1 2

x 3 tx 2 y 1 z

: y t và : .2 1 2

z t

Xác định tọa độ điểm M thuộc 1 sao cho khoảng

cách từ điểm M đến 2 bằng 1.


a) Cơ bản: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A 2;0;1 ,B 0; 2;3

và mặt phẳng P : 2x y z 4 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc P sao cho

MA MB 3.

b) Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

2 2 2S : x y z 4x 4y 4z 0 và điểm A 4;4;0 . Viết phương trình mặt phẳng

OAB , biết điểm B thuộc S và tam giác OAB đều.


a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng x 2 y 1 z

:1 2 1

và mặt

phẳng P : x y z 3 0. Gọi I là giao điểm của và P . Tìm tọa độ điểm M thuộc P

sao cho MI vuông góc với và MI=4 14.

b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng

x 2 y 1 z 5 :

1 3 2

và hai điểm A 2;1;1 ,B 3; 1;2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc

đường thẳng sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5.


a) Cơ bản: Trong không gian tọa độ Oxyz. Cho điểm A 1;2;3 và đường thẳng

x 1 y z 3d : .

2 1 2

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường

thẳng d và cắt trục Ox.

b) Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz, Cho đường thẳng x 1 y 3 z

:2 4 1

và mặt

phẳng P : 2x y 2z 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán

kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P .

“Chúc các em có tiến bộ trong học tập”

-------------- Hết ------------

Documents

Phan Dang Toan 12Rat Hay