PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG - LÊ THỊ HƯƠNG (TRÍCH ĐOẠN)

8/9/2019 PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG - LÊ THỊ HƯƠNG (TRÍCH ĐOẠN)

http://slidepdf.com/reader/full/phan-loai-va-phuong-phap-giai-toan-hinh-hoc-trong-mat-phng 1/83

Th.s Lê Thị HươngT h.s Nguyền Kiếm, t h .s Hồ Xuân Thắng

& P H Â N L O A I

' ~ mZ ■-m ■ : ” 1P

G I À I T O Á N

TRONGBồi dưdng và nâng cao kĩ năng gỉảỉ ỉoánDành cho học sinh ban ctf bản và ban KHTN ôn luyện vàchuẩnbịcho các kì ỉhi quốc gia(Tốtnghiệp, Tuyển sinh...) do bộ GD&ĐTtổchức.

Đ K ỊH à N ộ i l

NHÀ XU ẤT BẢN ĐẠ I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘ I

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN

W.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



" ĨÍHÀ XưẤ pểÉN ĐỈẠl HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI\ 16^Wang ChuốÍ - Hai Bà JTmfng - Hà Nội

éf ÌĐĨẹrt thoại: Biên tập-Chế uăn: (04) 39714896;ị ; - ' Haọh chính: (04) 3971|899|;.x$ng biên tập: (G4) 39714897

% , / Fal: (ịQỈ)'39714899

V / l

' ... ’ J -... —V ị? ' -

... GiẢmặm P H ỪN G Q UỐC BẢO"TẩỆg biẬ tậ BẾàiL TH Ị TRÂM'"nĩệ%Ja i nội dung

B ÍC H HẠN HSửa ò à p

SÁCH^ ÊN KET

PHẦN LO A JV A ^ ifeif^ S ^ d a lA ITOANHÌ NH HỌC TRONG MẠT plíẲNG



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm giúp các em học sinh có thêm tư liệu rèn lu yện kỹ ngiải toán THPT và chuẩn bị cho các kỳ thi quốc gia (tốt nghiệp,, tusinh) do bộ GD& ĐT tổ chức, nhóm tác giả ThS. Lê Thị Hưong, T

Nguyễn Kiếm, ThS. Hổ Xuân Thắng đã tổ chức biên soạn bộ "Phân loại v à phương pháp giải toán".

"Phân loại và phương phấp giải toán kình học trong m phẳng " là một tập sách trong bộ này. Nội dun g kiên thức về phươ pháp tọa độ trong mặt phẳng bám sát chương tr ìn h toán TH(Chương trình chuẩn- nâ ng cao).

Các tác giả trình bày một cách có hệ thông để học sinh nvững phương pháp giải các dạng toán mẫu mực điển hình, thưxuâlt hiện trong các kỳ thi Ẹ)H- CĐ...Cùng với các lời giải giản dịhiểu còn có các lời giải độc đáo, m ang tính tìm tòi, sáng tạo...

Với các dạing toán đa dạng, phong phú đã được phân lotrong tập sách này, chúng tôi tin rang đây sẽ là tài ỉiệu cẩn thiết các bạn học sinh trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán và chuẩôn thi của mình.

Trong, quá trình biên soạn, mặt dù các tác giả đã cố gắ

nhưng tập sách vẫn cộ thể còn những khiêm khuyết. Chúng tôimong nhận được những góp ý chân thành của các thầy, cô giáo, bạn học sin h để trong lần tái bản sau, tập sách sẽ được hoàn chơn.

Mọi ý kiêh đóng góp xin liên hệ:- Trung tâm sách giáo dục Anph a

225G Nguyễn Tri Phương, P.9,Q.5, Tp. HCM.- Công ti sách - thiết b ị giáo dục Anpha

• ‘50 Nguyễn Văn Săng, Q. Tân Phú, Tp. HCM.ĐT: 08.62676463,38547464.

Email: [email protected] chân thành cám ơn!

Tác giả



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





2mtoCJ2

<u .

‘ S ' -

ỈE

ý*®"CJ

cơ)

WWW.FA

BỒI D

ƯỠNG TOÁ

N - LÍ -

HÓA CẤP 2 3 10

00B TRẦN HƯ

NG ĐẠ





WWW.FA

BỒI D

ƯỠNG TOÁ

N - LÍ -

HÓA CẤP 2 3 10

00B TRẦN HƯ

NG ĐẠ





WWW.FA

BỒI D

ƯỠNG TOÁ

N - LÍ -

HÓA CẤP 2 3 10

00B TRẦN HƯ

NG ĐẠ





§2. TÌM TỌA Độ CỦA MỘT ĐIỂM, MỘT VÉC Tơ

Bài 1. Choa = (2;4), b = (-3;1),C = (5,-2). Tìm toạ độ của vectơ a. m = 2a + 3b b. n=3a-2 b+ c

Giảia. Gọi m = (x;y)~ - - fx = 2.2 + 3(-3) fx = —5 -m = 2a + 3b suy ra { “ - ‘ ~ ^ I n gn m _ (_ 5-Ị

[y = 2.4 + 3.ỉ Iy = 11

b. Gọ i n - (x;y)

n =3a~2b + c suy ra Ix = 3.2 -2 (-3 ) + 5y = 3.4- 2.1 + (-2)

<=>Ịx _ l7 nênn =(17;8)Ịy = 8

Bài 2. Cho ba điêm không thăng hàng A(2;l)f B(2 ;-l ), C (-2 ;-3)a. Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành b. Tìm toạ độ tâm M của hình bình hành ABCDc. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc A' của A lên BC

Giảia. Gọi D(x;y). Tứ giác ABCD là hình bình hành <=> AB 's=DC

[ 2 - 2 = - 2 - X fx = - 2 ,< <=> J nênD(-2;~ l)[ —I —1= —3 _ y Ị y = _ l '

b. Gọi M(x;y) là tâm của hình bình hành ABCD thi M là tiling điểm củađoạn thẳng AC

nênM(0;-l)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





c., ÍAAr±BC ÍAA'JBC = 0Ta có: < _______ _ <=>{ 1 _ •

[BA7/BC [BA7/BC

ÃA = (x - 2; y - 1), BC = (-4; -2), BA = (x - 2; y + 1)

, i(x -2 )M ) + (y-I)(-2 ) = 0 J 2x + y = 5Thay vào: V o ị o { ((x - 2)(-2) - (y + ỉ)(-4) = 0 [x -2y = 4

14X - — 5

3y = -§

nên

Bài 3. Cho các điểm A(2;3), B(9;4), M(5;y) và P(x;2)a. TÌIĨÍ y để tam giác AMB vuông tại M. b. TìmX để ba điểm A, p, B thẳng hàng.

Giảia. Ta có MA = (-3; 3 - y), MB = (4; 4 - y)

AAMB vuông tại M khi MA _LMB => MA -LMB MA.MB = 0<=>-12 + (3 - y)(4 - y) = 0 <íí>y2 - 7y = 0 < > y = 0 hoặc y = 7

b. AB = (7; 1) và AP = (x - 2; -1)A, B, p thẳng hảng AB //^A P ^o7(-1) —1(x - 2) =JD X= -5

'■, ' v ^ - • _^Ếỉl --- 1— --- . / '^ y ^ + V g ty c , , B : : - H ■ .

I ' - ’Í "i - : ■' ^ ■'i.;-—0 ' : ; w.:- ■■■' ‘’"•--v'" ÍÃHXBC:-- V - ' .2. H làừực tâm tam giác ABC o-< __ J _

ị.v ■■■ í ■ [BH-LAC ■- V:': :■■:

; :■ỵ. I ỉà tâm đường tròn ngoặi ticp; tám giác ẤBC <í^'ị _ ^ ■' V"

i-vM:; D :là chân đượng phân giác ừong ;góc A của tạm giác ABC ;DB V ABDC AC:

9



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 1. Cho tam giác ABC có A(2'6), B(-3;-4) và C(5;0)a. Tìm íoạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC.Chứng minh I, G, H thẳng hàng và IH = 3IG b. Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

a. Ta có

X. + Xu +:X,C _

Giải. 2 - 3t 5 _ 4

3 3 ~ 3 _yA + yB+yc _ 6~ 4 + 0 _ 2

y° _ 3 - 3 ..."3

Trọng tâm tam giác ABC là GỊ —

Xét điểm H(x;y) ta có AH = (x - 2; y - 6), BC = (8;4), BĨỈ = (x ■+3; y + 4),AC = (3;~6)H là trực tâm tam giác ABC

ịẤH-LBC í8(x - 2) + 4(y -6 ) = 0 Í2x + y = 10 fx = 5'^ Ị b H IÃ C ° [3(x + 3 )- 6(y + 4) = 0 ° jx -2 ỵ = s [y = 0Trực tâm tam giác ABC ỉà H(5;0)

Gọi I(x;y) là íâm đường tròn ngoại tiếp tạm giác ABC <3: ~ 16

^ ÍIA2=IB2 ^ f(2-x)2+(6-y)2=(-3—x)2+ (-4-y)2IA = IC [(2 -x) + (6 - y) = (5 - x)i + (0 - y)

2x + 4y = 32x - 4y = -5

1x = ~j-2

y = l

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ĩ ( - - ; 1)

Ta có ^ = = =>Iff -3/G=>lPG, H thằng hàngI U — i mvà IH = 3IG

10



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cách khác: Ta có: CA = (-3;6)yCB = (-8;-4) =>CA.CB = 0 o CA 1 CB nên trực tâm H = cTâm đường tròn ngoại tiếp AẠBC là trung điểm I(——;1) của AB, t

tâm và i c = 3IG

b, Gọi D là chán đường phân giác ữong góc A của tam giác ABC

Ta có: = = AB = VĨ25=5^5 và AC = n/45 = 3^5DC AC

. DB 5 —r 5— _=>-==- = - —<=> DB = —-DC =>•(DC 3 3

Xt, + —x r - 3 + T-.5Xn = 3 _ — = 2

1+ -

yD=5 A 5 n

yB+^yc “4+^-03

1 ‐3

nên DỰ ’

' ' ' ĨÃ BAGọi J là tâm đường tròn nội tiêp tam giác ABC khi -= = — s F s JD BD

Ta có: BD = —yÍ5' nên —— 22 BD

JA = -2 JD <=> <

BABD

Xa '+ 2x d 2 + 2 .2X, =

1 + 2= 2

L 1 + 2 3

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là J(2;l)Bài 2. Trong mặt phăng với hệ tọa độ Oxy, cho điêm A(l;l). Tìm điêm

trên đường thẳng y = 3 và điểmc trên ừục hoành sao cho ABC là tamgiác đều ______________________ _ ______________________________

Giải :Gọi B(X b; 3) thuộc đường thẳng y = 3 và điểm C(xc; 0) thuộc trục hovà M là trung điêm của AC.

1 + Xr

Suy ra: X aẩ — __

yM M

'2 2

11



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





—- ' c ịB M l a c \b m .a c =0Tam giác A3C đêu <=>i _ (*)0 [AB = AC \a b = a c

Tacó: £Ã? = p - ^ - ; c B; - - Ị , AC = (xc - l ; - l ) va AB = {x8 -1;2)

Thayvào (*), ta CÓ:|(l + * c - 2** )(*c-l) + 5 = 0

x» =~"> . X + 4 _ c ___

2 ( * c “ 0 VỚĨ X c^ l3 ịxc - l ) 4- 2 2 { x c- I ) 2 -2 5 = 0

<=>x" +4

X s = ^ I )

( * - 0 2= f

*c = 1 + v ĩ v<x n =1-

_5_

s _4_

w

* Khi Xc = I thì E M = j , J C = (0;~l) và B M A C - — * 0 = >

MB không vuông góc với AC nên AABC không phải là tam giác cân

* Tọa độ các điểm Z?Ị\ + -j= ;3 j,c ị\ + -^ ;o j hoặc 5^1--^ ;3 j,C ^l -ự=;o j

3. Tim toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ã cho trước Phương pháp:

Bài 1. (B —2004) Cho hai điểm A(l; l), B(4;—3). Tìm điểmc thuộc đườngthẳng d:X - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từc đến đường thẳng AB bàng 6.

12



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





GiảiPhương trình đường thẳng AB: 4x + 3y - 7 = 0

Phương trình thamsố của d:\ x~ 1+ e M .Gọi C(2t + 1;t)e d[y = t

d(C,AB) = i ig j± £ ± l i2 1 = 6 < > | l l t - 3 | =30 <=>Vl6 + 9

Vây: C(7;3) hoăcc| - - - - -I n ’ u

t = 3

t = — 27II

Bài 2. (A. 2006). Chọ các đường thăng di:X + y +. 3 = 0, cb:X - y - 4 = 0,d : X —2y = 0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳngỚ 3 sao chokhoảng cách từ M đến đường thẳng di bằng 2 làn khoảng cách từ Mđường thẳng cfe.

Giải

Gọi M(2y; y) ed3 và d (M, dj) = ) --■y +

v ' -J ĩ V2

Ta có: í /(M , 4) = 2 í/(M ^ 2) e > - l í ^ l = ^ l ^ l «y 2 v 2

Bài tập mẫuBài 1. Cho ba điểm A (- l; -2 ), B(4; -1 ), C(3; 2) và-đương thẳng

X - 2y - 2 = 0a. Chứng minh điểm A, B nằm cùng một phía đối vói A b. Tìm toậ độ điểm A' đối xứng với điểm A qua Ac. Tìm trến À điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc AMB ngắn nhấ

13



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





d. Tìm trên A điểm N sao cho |n ạ + Ncị đạt giá trị nhỏ nhất

e. Tìm trên A điểms sao cho |sA + SB+scị đạt giá trị nhỏ nhất

f. Viểt phương trình đường thẳng Ai đối xứng với đường thẳng AC qua ÀG i ả i

a. Ta có: (Xa - 2yA “ 2 )(x b - 2 ye - 2 )= ( -1 + 4 - 2 )(4 + 2 - 2) = 4 > 0=> A, B nằm cùng một phía đối với A

b. Gọi d là đường thặng đi qua A, vuông góc với A có phựơng trinh:2x + y + 4 = 0

Gọi I = d n A , toạ độ là nghiệm cùạ hệ:

[,2x + v + 4 = 0| x - 2y - 2 = 0

6X =

58

y= 5Điểm A' đối xứng với điểm A qua A thì I làtrung điểm của AA'.

x a + x a . = 2 x ,

yA+ yA' = 2yi

X ' “ 2x, X — '

yA' = 2 y i-y A

c. Ta có A’ đối xứng với A qua A nên AM = A'M và AM + MB = A'M +MB > A'B

min (MA + mb) = A B khi À, M, B ữiẳng => M = A’Br\ ÀPhương trình đương thẳng A'B:X - 27y —31 = 0

8

Toạ độ của M là nghiệm của hệ: I x 0 <£>-ị* lx-2y-~ 2 = 0 ^

Vậy:M Í - — L 25 25

d. Gọi D là trung điềm đoạn thẳng AC thì D(1 ;0) N 6 Atacó: NA + NC = 2ND A-

=> INA + NC1=2 1NDI đạt giá trịnhò nhất khi đoạn thẳng ND ngắn nhấtSuy ra: NĐ _LA tại N

X ——

y =

252925



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Phương trình của đường, thẳng d] đi qua D, vuông góc với A là:2x + y - 2 = 0

_ 6- T ,. _ : ' _,,■ ■, ' Ĩ2x + y -2 = 0 N - di n A: toa đô là nghiêm của hê:< <=>' IX- 2y - 2 - 0

X = — 5

2y 5

V ặ y : N | | - |

Cách khác: Gọi NC = { l-2 y ,2 ~ yỴ

2y + 2';: y) e A và NA = (-2 y - 3;-2- y ) ;

ĩầ NẢ + NC = (- 4 y- 2;C-2y) =>|Ã^ + iVc| = 2 ^ 5 ^ + - j + -

Ịĩvã + Ãcj = +—j+—>-^= nền Ịna + Ncj đạt giá trị nhỏ nhất kh2 6

V = — - =>x = — 5 5

. - NÍ Í i - Ìv5 5

Gọi G lầ ứọng tâm của tam giác ABC thì G(2;~—),s € A ta có:

SẠ + SB + SC = 3SG => j SA +.SB + SC j= 3 ị SGI đạt giá trị nhỏ nhất đoạn thẳng SG ngắn nhất.Suy rà SG j_ A tại sPhương trình của đường thẳng d đi qua G, vuông góc với À là:6x + 3 y - 11=0

28A [6x+ 3 y - l l = 0s= Ớ 2 rì A, toạ độ là nghiệm của hệ: {

■ iX —2 y - 2 = 0

X = •15

y = ~ Ĩ5



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





|SA+SB+SC|= f (y2+Ẵ y+ả ) +r n y+t ì +? " i

Nên ISA + SB + SC I đạt giá trị nhỏ nhất khi v = ——=>* = — .í . 15 15

V ậ y :# - 7?

f. Phương trình của đường thẳng d đi quac,vuông góc với A là:2x + y - 8 = 0

18[ 2X + y —8 = 0H = CỈ o. A, toạ độ là nghiệm của hệ:ị _ ..<=>{ |x - 2 y —2 = 0

X =■

y = sĐiểm C' đối xứng vớic qua Ạ khi H là trung điểm của đoặn thẳngCC'

5 5Đường thẳng A] đối xứng với đường thẳng AC qua A thì A] đi qua điểmA' và C và có phương trình là:X- 7y —7 = 0

Bài 2. Cho hai điểm A(4; 3), B(2; -1) và đường thẳng A :2 x + y - 5 = 0a. Chứng minh điểm A, B nam khác phía đối với A b. Tìm toạ độ điểm A’đối xứng với điểm A qua AC- Tìm trên A điểm M sao cho độ dài gap khúc AM + MB ngắn nhấtd. Tìm trên A điểm N sao cho ỊNA - NBị đạt giá ừị lớn nhất.

G iả i

a. Ta có: (2xa + Ya -5 ) ( 2x b + Ỵb - 5) = (8 + 3 - 5)(4 - 1 - 5) = -12 < 0Suy ra: A, B nằm khác phía đổi với A

b. Đường thẳng d đi qua A, vuông góc với A có phương trình:X - 2y + .2 = 0Gọi I = dn, A, íọa độ là nghiệm Acủa hệ phương trình:

x - 2 v + 2= 02x + y - 5 =0

<=> X — —■

59

y s

i _J

16



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Điểm A đối xứng vói A qua đường thẳng A thì < X, =2 x i - xa = —

c. Phương trình đường thẳng (AB) là: 2x - y + 1 = 0Gọi K = AB n A, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

2x —y —5 = 02x + y — 5 = 0

5 x =— 2

VM eA, ta có: MA-+ MB > AB =>mỉn(M4 + MB) = ffk ỉii A, Mthẳng hàng nên M = K

đ. Phương trình đường thẳng AB: 4x + 7 y - 1 =0Gọi H = A’B Oi A, tọa độ là nghiệm của hệ phương ừình:

174x + 7y~ĩ = ồ 2x + y - 5 - 0

* = s. 9 l 5 5

y sVNeA, INA - NB| = Ịn A' - N b Ị^ A B => max|NA - NB| = AB khi N, A’, Bthẳng hàng nên N= H

B À I T Ậ P Đ Ề N G H ỊBài 1. Cho ba điềm A(2;-l), B(0;3) và C(4;2)

a. Tìm toạ độ điềm Mđể 2AM + 3BM - 4CM = õ b. Tìm toạ độ điểm ì) trên ó x để ABCD là hình thang có một cạnh

làABc. Tìra toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường ưòn n

tiếp tam giác ABCđ. Chứng minh ba điểm G, H, I thẳng hàng

Bài 2. (Khối A - 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai A(0;2) và B(-V3 ;-l). Tìm toạ đô trực tâm và toạ độ tâm đường tngoại tiếp của tam giác OAB

Bài 3. (Khối D - 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ óxy cho tamABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với m* 0. Tìm toạ độ ừọngtâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m đê tam giác GAB vutại G

17



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 4. Cho tam giác ABC có A(-8;3), B(4;12) và C(4;-13)a. Tính các góc của tam giác ABC b. Tìm toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 5. Cho bốn điểm A(10;5), B(3;2), C(6;-5) và D(12;^/Ĩ3 ). Chứng minhtứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn, tìm toạ độ tâm của đường tròn

đó.Bài 6. Trong mặt phẳng với 'hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnhA(0;2), B(-2;-2), C(4; -2). Gội H là chân đường cao kẻ từ B; M vàN làtrung điểm của các cạnh AB, BC. Xác định tâm I và tính bán kính đườngtròn ngoại tiếp tam giác HMN.

Bài 7. Trong mặí phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 và hai đỉnh . A(3;l), B(l ;-3). Trọng tâm G của tam giác thuộc trụchoành. Tìm tọa độ đỉnh c.

Bầỉ 8. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình, thang cân/ABCĐ đáyAD các đỉnh A(0;1), B(1;2), C(4; 3). Tìm tọa độ đỉnh D và tính diện tíchhình thang đó. .

Bài 9. Cho tam giác ẠBC, biết A (-l; 0), B(2; 3), C(3; -6) và đưòng thẳng d:X - 2y - 3 - 0.

a. Đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác. b. Tìm điểm I thuộc d sao cho IA + ĨB nhỏ nhất.c. Tim điểm J thuộc d sao cho JA + JC nhỏ nhấtd. Tìm điểm H thuộc đ sao cho\HA-HC\ lớn nhất.

e. Tìm điểm M thuộc d sao cho Ịẳ£4 + MB + Afc| nhỏ nhất.Bài 10- Tìm tọa độ điểm A thuộc trạc hoành và-điểm B thuộc trục tung sao

cho A, B đối xứng v<ýi nhau qua đường thẳng đ: X - 2y + 3 = 0Bài 11. Cho hai đường thẳng di: X - 2y - 3 = 0 và ch: X+ y + 1 = 0. Tìm tọa

độ điểm M thuộc đường thẳng di sao cho khoảng cách từ M đển đườngthắngỞ 2 bằng -ị=T

v2Bài 12. Cho hai đường thẳng đi: 2x - 3y +1 = 0 và di 4x + y “ 5 = 0 và

điểm G(3; 5). Gọi A là giao điểm của di,Ở 2-a. Tìm tọa độ điểm B thuộc-di, c ứiuộe d sao cho tam giác ABC có

trọng tâm là điểm G. b. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng VỚI đường thẳng d] qua

đường thẳng -.

18



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 13. (Dự bị D-07) Cho điểm A(2;l). Lấy B thuộc Ox có hoành độ kâm, c thuộc Oy có tung độ không âm sao cho tam giác ABC vuônA. Tìm tọa độ các điểm B, c sao chó diện tích tam giảc ABC lớn nh

Bài 14.(Dự bị' 04) Gốo điểm A(0; 2) và đường thẳng d: X - 2y + 2 = 0trên đ hai điểm B, c sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC

H ướ n g d ẫ n g iả i

Bài 1. a. Gọi M(x;y), ta có AM - (x - 2; y + 1), BM = (x; y - 3CM = (x - 4 ;y -2 )

--------------- — . ------ - Í 2 ( x - 2 ) + 3 x - 4 ( x - 4 ) = 02 AM + 3 BM - 4 CM .=: ()•»-< 7|2(y + I) + 3 (y -3 )-4 (y -2 ) = 0

fx + 12 = 0 fx = -12[y +1 = 0 [y = - l

Vậy M(-12 ;-l)

b. Gọi D(x;0) thuộc Ox và DC = (4 - x; 2); AB = (-2 ; 4)ABCD là hình thang có một cạnh đáy AB. Suy ra:

__ __ [ 4 - x = -2k fx = 5DC =kAB <=> j _ < >ị ^ . Vậy D ( 5 ; 0 )

c. Trọng tâm i Trv c ;f )'»Tâm

d. ĨH = và ỊG=^—;——j nên ĨH = 3IG I, H, G thẳng hàng

Bài2. Gọi H(x;y) là trực .tâm của tam giác OAB thì:ÍÃH1ÕB ÍÃH.ỘB = 0Ị b h x õ ã | b h .õ Ã =o

H x" iy" 2) = 0. ~ Í X. = H ( ^ ; - 1 )[0(x+ J Ĩ ) + 2(y+1) = 0 [y = - lGọỉ I(x;y) là tâm đương ữốn ngõại tiếp của tam giác OAB thì

[10 = IA ÍOĨ2 =IA2 . |x 2+ y2 = X2+ (2 - y)2 ^ jy = lị io = IB j o i 2 = IB2 ^ [x2 + y2 = (-Vã- X)2 + (-1 - y)2 Ịx = sVậy ;1)

19



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





, t . *Bài 3. Trọng tâm G của tam gỉác ABC có toạ độ «

x„ =-+ Xt» + x , ■=1

_ y A + y B+ y cy° - 3 - 3

VậyG(l . ;ỹ)

Tam giác GAB vuông tại G <=> GA.GB = 0

GÃ = ^-2 ;-— j ,GB = 3;-—j nên GA.GB = 0 -6 + — = 0

< >m = ±3 VóBài 4. ÃB = (12;9), BC = (0;-25), Ãc = (12;-Ỉ6)

a. cosẴ = = Qsuy ra A = 90°ỊAB|.|AC|

cỏsB = = -B£g - = '- suy rà § « 5307’48IBA I. IBC Ị 5

/ C = 9 0 ° - B =36°52,i r ^ . 9 b. AD phân giác góc A nên D(4;—)

Gọi J ỉà tâm đường ừòn nội tiếp tam giác ABC:JAJD

BABD

Bài 5. BÀ = (7;3), BC = (3;-7), DÃ = (-2;5 - -n/ĨĨ )5 DC =*(-6; -5 - VĨ3 )

Ta có: Ã i. BC = 0 => BA _LBC => ABC = 90°DÃ. DC = 0 => DA _LDC=> ADC =90°

Tứ giác ABCD nội tiếp một đường ữòn đường kính AC. Tâm của đườngtròn là trung điểm I đoạn thẳng AC =>1(8; 0)

Bài 6. Gọi H(x; y), ta có: BH = (x + 2;y + 2), ÃG = (4M );ÃH = (x;y -2)

Nên H(l; 1). M, N lân lượt là trung điêm của AB, BC nên M (-l; 0), N (l;-2).



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Gọi í(x, y) lả tâm đường ừòn ngoại tiếp AHMN th i:

m 2= m 2 taf -i)* +0> -i)2 = (* - ')2 +(y+2)2 IH2 ~

x = — 2

y = ~2

1 I•Tâm / | — Ị và bán kính R=IM = J :z■ I _ , — \ xq - x c = 2 ( 2 - x g ) (xr = 3 x ^ - 4

Bài7.Tacó:C G - 2 G M o ị , , <=>Jừ c = 2

Phương trình đường thẳng AB:2x - ỵ - 5 = 0 và AB = V .

Gọi h^d (C,AB ) = ^ - 1

dt(&ABC) = = o |2% - 5| = 1

o2 XG —5 = 1

2 x n - 5 = - 1o

xữ = 3

LXG = 2

Tọa độ đỉnhc ỉà C(5; 2) hoặc C(2; 2)Bài 8. Gọi D(x; y), H, I lần lượt là trung điểm của BC, AD thi

H i 4 ; ị ì v à

U ’2 ) u 2 ) — J - 5 - X 4 - y

; 2Ta có tự giác ABCĐ là hình thang cân có đáy AD thỉ

21



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Rr'-U /r> VĨÕ + -VĨÕ , _ , , ,dt ( ABCD) = ----- JH =------— .-7ĨÕ = — (đvđt) BC + AD

Cách khác: Ta có AD // BC nên phương ừình đường thẳng AD:X - 3y +3 = 0

Gọi D(3y-3;y)eA'D và CD = yj(3y-7)2 + ịy-3)2 =AB = yỊĨ

<>1 0 / -4 8 7 + 56 = 0 0 y ~ 5 ^ D1\ ~ \ — \ d 2{3i2)y = 2

Phương trình đường thẳng AB:X - y + 1 - 0 và D,c nằm còng phía đốivới AB nên D 3 Dx

Bài 9. a. Thay tọa độ các điểm A, B,c vào phướng trình, đường thẳng đ, tacó: d(A) = -4 ; d(B) = -7 , d(C) = 12Suy ra: đ(A)đ(B) = 28 > 0 nên đường thẳng đ Iđiông cắt cạnh AB.d( A)d(C) = -48 < 0 nên đường thẳng d cắt cạnh AC.d(C)d(B) = -84 < 0 nên đường thẳng đ cắt cặuh BC

b. Ta có: A, B nằm cùng phía vói đường thẳng <í Gọi A đối xứng với A qua

Phương trình đường thẳng A B: 3 Ix - 7y ~ 41 = 0~ Suy ra: I = A B n dcò tọa đọ / — ;----- ■

(,55 55Jc. Ta có: A,c nằm khác phía với đường thẳng d nên JA + JC nhỏ nhất khi

J - AC n d

d. Phương trinh đường thẳng A C: 7x + 6y +15 = 0; H = A C n d có tọa độ

e. Gọi M(2y + 3; y) thuộc đường thẳng d và M4.+MB+MO-[~6y~^,-2y~3)

61 52

Phương trình đường thẳng ÁC: 3x + 2y -t- 3 = 0 và J

=>\m a + MB + MCÌ = yj45y2+7$y + 34 = J + — 1■> — ĩ=

22



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Suy ra: \mả-r MB + Mc\ nhỏ nhất khi y = - -—=>x= — .

Bài 10. Gọi A(a; 0)e0x. B(D; b)e òy và trụng điểm của AB là

ÃB = (-a;b)

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là d = (2; l)

19

A I. * , • +Ui ÍABXd _ ĩ AB.d~0A, B đôi xứng với nhau qua đưcmg thăng d nên A o <ự €d [ỉ ed

° ỉ 2 _ v / Ẳ n ° ÍẲ=\ ■¥ậy A(2; 0)và B(0; 4)ứ-2ỉ> + 6 = 0 \b — 4

Cách khác: Gọi A(ạ; CỌeỌx, B(0; b)e Oy. Biểu thức phép đối xứng là:

sd:M(x;y) ị-*M ịx;ỳ'}<=><

3;t + 4 v - 6 X = --------— ------5

_ 4*~3y + 12. _ I

Srf:,4(a;0)H>£(();ỉ>)0 -

b =

y

3 a -6 5 ^ Ị ơ=z2

4a + 12 w 4

Vậy A(2; 0) và B(0; 4)Bài 11. GộiM(2y. + 3; y) e di.và

y= -ĩ

y= ~

M (l; -1 ) hoặc'M I

Bài 12. Ta cỏ: A = di Pi CỈ, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:Í2x-3y + l = 0 ịx = \[ 4 x + - >> - 5 = 0 1 ^ = 1

23



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Gọi và c(x;-4.x: + 5)e^2. Tam giác ABC nhận G là

trọng tâm nên:. _ _ f 5l + lz_ l + x = (2x + 3y = ỉ7

7 ^

ỉ + y -4 x + 5 = ĩ5Ị-4x+_y-9

_ _ 5

7 - J 6 ì 43 ì , J 5 55nênS và c43 l 7 7 J l 7 77

d] cắt d tại A(1; 1) nên lấy M(-2; -1) <=đi và M đối xứng với M qua d>

t h ì * / z i ; Ị i{ ỉ7 \ l )

Đường thẳng d đổi xứng với đường thẳng đi qua đường thẳng d thì đ điqua hai điểm A, M .Phương trình đường thẳng d: 6x - 61 y - 67 ~ 0.

Bài 13. Gọi 5(ồ;0) và C(0;c) với b >0, c >0 nên5ẽ=(-2;c-l);55={ố-2;-l)

Tam giác ABC vuông tại A nên AC 1 AB <t>ÃCÃB = 0 o c = 5 -2b

dt (ảABC) = - AC.AB = b2- 4Ố + 5

_ , . , . {b> 0 5Đặt f (b ) = b ~ 4 b + 5 vớ ỉ ị o 0 < ố < — ■ w |c = 5 -2è> 0 2

/ (ố)=2ổ-4=>/ (6)= 0oồ= 2 nên max f(b ) = f ( 0) = 5 khi b = 0 vàc = 5

fx = 2t _ Bài 14. Phương trình tham sô của đường thăng d: ■] ,/ e E và gọi[y = l + t c ( t;ì +t)Phương trình đường thẳng A đi qua A, vuông góc với đường thẳng đ là:2x + y - 2 =0

Tam giác ABC vuông tại B nên B = A n d có tọa độ: 5^— j

Mặt khác: AB = 2BC nên =.Í Í / - - J » |S í - Ị | = l4í>

hoặc C(Q; 1)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập mẫuBài 1. Viết phương trình đường thẳng A:

ả. Đi qua điểm M (2; 4) và song song với đường thẳng đ: X - 2y + 4 = 0 b. Đi qua điểm M (-3; 5) và song song với đường thẳng d: J * “ 1+

[>>= -3 - 3 / _____

a. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d lànd = (1; -2 )Đường thẳng A song song vói đường thẳng d nên có véc tơ pháp tuyến«1 = nd =( \ ; - 2) -

Phương trình của đường thẳng A : l (x -2 )-2(j>~4) = 0 O*~2;y+ 6 = 0Cách khác: Đường thẳng A song sọng đường thẳng d có phựơng trình:X - 2y + c = 0 (1)Điểm M thuộc A nên thay toạ độ điểm M vào (1) ta được:2 —2.4 +c = 0o c —6Phương trình của đường thẳng A là: X- 2y + 6 = 0

b. Véc tơ chỉ phường của đường thẳng d làd = (2;-3) nện véc tơ pháptuyến nả = (3; 2) ■

Đường thẳng A song song với đường thẳng d nên cỏ véc tơ pháp tuyến= (3; 2)

Phương ừĩnh của đường thẳng A : 3(x + 3) + 2(y-5) = 0 -o3x + 2y-1 = 0Cách khác: Phương ữình tồng quát của đường thẳng d;3x + 2y + 3 = Q

Đường thẳng A song song vói đường thẳng d nên phương trinh có dạng:3x + 2y + c = 0 (1)Điểm M thuộc À nên thay toạ độ điểm M vào (1) ta được:

3 (-3) + 2.5 + c = 0 <í=>C ==-1

Phương trình của đường thẳng A là: 3x + 2y -1 = 0Bài 2. Viết phương trình tham sô, chính tăc (nêu có), tông quát của đường

thẳng A:a. Đi qua điểm M (7; -5) và vuông góc vói đưòng thẳngậ: X +3y -6 = 0

b. Đi qua điểm M (1; -2) và vuông góc với đường thẳng đ:\ x 1+ >• = 5

26



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Giảia. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng A lànầ ì ìd = (-3;l) hoặc véc tơ ch

phưong của đường thẳng A lấ -A/ìnd = (l;3) X - 1 + 7

y = -5 + 3/

Phương trình chính tắc éủa đưởng thẩng A : ——- =' 1 3

Phương trình tổng quát cùa đường thẳng A : 3x - V - 26 = 0 b. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng A ỉà:n&JJd =(2; 0) hoặc véc tơ ch

phương của đứờng thẳng A là A I lrTd = (0;2), t í \ x = \ + 2 t Phương ữình tham so A : I

■ [y = -2

Phưcmg trình tổng quát À : ỷ + 2 - 0Bài 3. Gho hai điểm P(4, 0), Q(0; - 2)

a. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm p và Q b. Viết phương trình đường trurig trực của đoạn thẳng PQ

Giảia. Đường thẳng đi qua hai điểm p(4; 0) và' Q{0; -2 ) là:

—+ = I< ^ > x -2 y -4 = 04 ( - 2 )

b. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng PQ ta có: M(2; -1), PQ = (-4;Đường trung trực của đoạn thẳng PQ đi qua điểm M và có véc tơ tuyến PQPhương trình đường trung trực: 2x + ỵ - 3 - 0 _____ _______________

Bài 4. Cho điểmI(-2., 0) và hai đường thẳng d j: 2x - y + 5 = 0, d2: X+ y -3Viết phương ưình đường thẳng đi qua điểm I, cắt di, ổ tại A, B sao cho:LÃ= 2ĨB __________________________________ , ______________

G iả i

Gọi A (x ;2x+ 5)ed, ;B (3-y ;y)eđ2 và IA = (x + 2;2x + 5); IB = (5-y;

^ — fx+.2 = 2(5-y) _ fx = 1 . / ỉ 7)Ta có: IA = 2 IB ^ nên A(l;7);B[2x + 5 = 2y y = j 1 \ 2 2)

Phương trình đường thẳng AB: 7x - 3y + 14 = 0

27

Phương ữình tham số của đường thẳng A : I



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 5. Cho đường thẳng d: 3x “2y +5 - 0 và điểm A(l;2).Viế t phương trìnhđường thẳng:a. Đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đ b. Đi qua điểm A và song song với đường thẳng dc. Đi qua điểm A và tạo với đường thẳng d một góc 45°

G iả i3 5 . 3

Phương trình đượng thăng d : _y=—X + —có hệ sô góc k = —

1 2a. Đường thăng di đi qua A và vuông góc với đ có hê sô ki = —- = cók 3

phương trình: y = (x - I) + 2 <=>2x + 3y - 8 = Q3

3 b. Đường thăng di đi qua A và song song với d có hệ sô góc ki = k = — có

3 phương trình: y = —( x - 1) + 2 <=>3x - 2y + 1= 0

c. Gọi ki là hệ số góc của đường thẳng di đi qua điểm A và tạo với đườngthẳng d một góc 45°Phương trình của đi: y =? ki(x - 1) + 2

Ta cỏ: tan45° =- - k j2 1 3-2kj

l + -k j 2 + 3kj2 1

= 1^

3 - 2 k1 _ 2 + 3kj3 - 2 k ị

= 1<=>

= -I

kj =—1 5

k n = -52 + 3 k j

Phương frinhcủa di-‘ X —5y + 9 = 0; 5x + y - 7 = 0

B à i tập đề n g h ịBài 1. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu. có), tổng quát của đường

thẳng À trong các trường hợp sau:

a. A đi qua điểm M (2;-l) và song song với đường thẳng d: —" — = y ~ 3

0. A đi qua gốc toạ độ 0(0;0) và song song với đường thẳng đ: X+ 2y - 7 = 0

Bàì 2. Viết phương trình các đường trung trực của một tam giác có trungđiểm các cạnh lần lượt là M (- l ;1), N(ỉ ;9) và p(9; 1)

3ài 3. Cho tam giác ABC có A(-l;2), B(2;-4) và C(1;0)a. Viết phưcmg trình các đường cao của tam giác ABC

b. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABCc. Tính diện tích của tam giác ABC

:8



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 4. Viết phừợng trình đựờng thẳng A đi qua điểm M(l;2) và cắt hỌx, Oy lẩn lượt tại A, B sao cho diện tích tam giáe OAB nhỏ nhất

Bài 5: Viết phương trình tham số, chánh tắc (nếu có), tổng quát của đthẳng trong mỗi trường hợp sau:a. Đi qua điểm M (l;-4) và vuông góc đường thẳng có phưcmg

x = 3t

7 1‐ 2b. Đi qua điểm N(l;3) và vuông góc vóâ đường thẳng có phương

2x - 5y + 4 = 0c. Đi qua hai điểm A(l;5), B(-2;9)

Bài 6. Viết phương trình đứòng thẳng A trong các trường họp sau:a. Đi qua điểm M(2; 5)’Vấcách đềúhai điểm P(-l ;2 ), Q(5; 4) b. Đi qua điểm A(2; 5) và cách điểm B(5; 1) một khoảng bằng 3.

Bài 7. Viết phương trình đường thẳng A ữong các trường hợp sau:a. Đi qua điểm A(2; 1) và tạo với đường thẳng d:,2x + 3y + 4 = 0

góc 45°[ =\/31 b. Đi qua điểm A(1; 1) và tạo với đường thẳng d:\ một góc 60°[>• = 4 + /

Bài 8. Cho AABC, biết A(l; -1 ), B(-2; 1) và C(3; 5)a. Viết phương trình đường thẳng chứa trung tuyến BM (M e AC

AABC b. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với trung

BMBài 9. Cho điểm M(2; 1) và đường thẳng d: X - ỹ - 0. Viết phương

đường thẳng A cắt Ox, đường thẳng d tại A, B sao cho tam giác Avuông cân tại M

Bài 10. Cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường thẳng A đi qua Mhai nửa trục dương Ox, Oy tại A, B sao cho OA + OB nhỏ nhất

Hướng dẫn giảiỉ

2 1 —3 x + —

Bài l.a. Phương trình đường thẳng d: ■= ——=>d:— = có1 2 1 22

VTCP d = ị ~ ;2

29



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Phương trình, tham số : | x 2 + í , chinh tắc tổng quát :

4x - y - 9 - 0 b. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d làd = (-2;l)

Ị X — —21 ' X V ’’ Phưcmg trình tham sô :ị , chính tăc: —'= —, tông quát: X+ 2y = 0[y = í -2 1

Bài 2. Đường ừung trực cạnh AB đi qua điểm p có vectơ pháp tuyến NÍN = (2 ;8 ) cố phương trình: X + 4y - 13 = 0Phương trình đường trung trực cạnh BC:

x - y + 2 - OPhương trình đường trung trực cạnh AC:

X - 1 = 0

Bài 3.a. Đường cao AH đi qua A, VTPT: ,BC = (-1;4) có phương trình:

X- 4y - 9 - 0Phương trình đường cao BH: X- y - 6 = 0Phương trình đường cao CH: X - 2y - 1 = 0

b. Trực tâm H của tam giác ABC là giạó điểm hai đường cao AH, BHToạ độ của H là nghiệm của:

[ x - 4 y + 9 = 0 íx —11 T1/11 _ V 7 _ n <=>< * .VậyH (ll;5 )[x - y —6 = 0 Ịy = 5

c. Phương ừình đương thẳng BC: 4x + y - 4 = 0

Gọi h =d(A,BC) = vàBC = VĨ7

Diện ưch tam giác ABC là s - —h.BC = 3 (đvdt)

Bài 4. Gọi giao điềm của A với hai tia Ox, Oy lần lượt là À(a;0), B(0;b) vớia> 0, b > 0

Đường thẳng A có phương trình theo đoan chắn là —+ — = 1 (1)a b

M(l;2)e a và S = dt(AOAB)=-OA.OB = -ab



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





S đạt giá trị nhỏ nhất » S = 4 » - = - = - o | a/ a b 2 Ịb = 4

Phượng ữinh đường thẳng A thoả mãn đề bài là: 2x + y - 4 = 0Bài 5.

T ' í t í fx = l + 2 t , - X —1 V + 4a. Phương trình, tham so: I :; chính tăc: —— = — —, tông quát:: Ị y = -4+.3 t 2 3

3 x - 2 y - 11= 0 b. Véc tơ pháp tuyến của đựờng thẳng d: 2x - 5y + 4 = 0 làn = (2;-5)

Đường thẳng A đi qua N, vuông góc với đường thẳng d có vectơ phượng A =n =(2;-5)

Phương trình tham số : Ịx ~ ^+ . chính tắc : - - y ; tổng q

5x + 2y - 11 = 0 '

c. Ta có: AB = (-3;4). Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có vectơ phương AB

Phương trình tham sổ :j x - ỉ ^ , chính tắc:- —- = ^ ; tổng qIV = 5 T 4 t -3 4

4x + 3y - ] 9 = 0Bài 6.a. Trưòng họp 1. Khi Aíỉ PQ thì A cách đều hai điểm p, Q.

Ta có: PQ = (6-,2)±nă = (l;-3) nên phương

trình đường thằng A :X -3y +13 = 0Tnrờng hợp 2: Khi A không song song với PQ

Ta có: Đường thẳng A đi qua M,cách đều hai điểm.p, QSuy ra: A PHI = A QKI ^ IP = ĨỌ nên 1(2; 3)Đường thẳng A đi qua hai điểm M, I có phương trình:X - 2 = 0

Oách khác. Đường thẳng A đi qua điểm A(2; 5) có phương trình:Ax + By - 2 A - 5 B -ọ, A2 +B2± 0.

’ \ \-Ả + 2B-2Ả -5B \ \-3Ả-3B\Ta có: í/(P,A)=— ----- — ------- = ,

Ax + By - 2 A - 5 B -ọ, A2 +B2± 0.

’ ■\ \-A + 2B -2A-5B \ HTa có: í/(P,A)=— ----- — --- -= r

V A~ + B2 . ' V A2 + B1

31



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





d{P,& h d i& A ) J ^ 0 - - j ± ± ~ p A + 3B H 3 A ^

. , , , =\3A + 3B\=\2A-B\<Z>1 11 1 B = -3A

Phương trình đường thẳng À:X —2 = 0 hoặc: *x —3y + 13 = 0 b. Đường thẳng A đĩqua điểm A(2; 5) có phương trình:

Ax + By -2A - 5B = 0, A2 + B2 * 0Ta có:

/ \ Ì5Á + B —2 A ~~5i?j II I í". d(B,A)=----- J====----[ = 3 o p A ~ 4 B \ = 3^lA1 + B2*J a 2+b z

'£ = 00 IB2 -24AB = ồ <£> 24 A

_ =— .

Phương ưình đường thẳng A: X - 2 = 0; 7x + 24y -134 = 0Bài 7. a. X- 5 y +3 = 0; 5x + y - 11 = 0 b. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đ làná = ịl;—JỈỴ

Đường thẳng A đi qua điểm A(l; 1) có phương trình:Ax + By - A - B = 0, A2+B2 * ồ

T ' ỉ " ^ l - _ 1Ta CÓ: COS60 = Frrnzrrr = -L-?= = ^ o — = u = — 2yjA2+ B2 l 'ÌA2 + B7 2

^ a - S b ^ - I a 2+ B2o B2-y ỉĩẢB=0e>' B = 0

_B = j ĩ APhương trình đường thẳng A:X - 1 = 0; x + y ị ĩ y - ỉ - ^ ị ĩ = 0

Bài 8. a. Trung điểm của AC là M(2; 2) và phương trmli đường thẳng chứatrung tuyến BM:-x - 2 = ——-■» jc-4v + 6 = 0

2 + 2 2 - 1

b. Gọi d là đường thẳng vuông góc vói BM, hệ số góc của d là k = - 4

Phương trình đường thẳng đ: y = - 4(x - 1) —1 <=> 4x + y —3 = 0B à i 9. Gọi i(x ;0 )€ 0 x ;s(^ ;j;)eí/v à MA = (x-2;-\);MB = (y~ 2 ;y-ì)

Tam giác AMB vuông cân tại M nêni m i m f m M B=0 J (^ -2 ) (^ -2 ) - ( j - i )=0\mâ = MB Ịm42 = MB1 ^ ị(x - 2)2 +1= (y -ĩ)2 +{y~ l)2



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Đặt u =X - 2 vả V = y — 2, ta có:íirv = v + 1:(u2:+ l)(y2-1) = 0.** [ V2 = 1

uv = V+ 1

| u v - V + 1 f u = 2

| v = l ị v = r f °, [ u v = V + 1 c 1 1

o

( v = - l

X = 4

y = 3x = 2 :y = l

A(4;0);B(3;3)A(2;0);B(1;1)

Phương ữình đường thẳng A: 3x + y —12 = 0 hoặcX + y - 2 = 0Bài 10. Gọi Ả (ứ; o) e Ox; B(0;b) € Oy vội a > 0 , Ịb > 0. Phương trình đường

thẳng A: —+ —= 1a b

Ta có: M € A => —+ —= 1=>b = — - vởi a 3a b a - 3

Ta có: OA + OB = \a\ + \b\ = a + b = a + —^— v ó ia > 0 v à a * 3

Xét f ịa ) = a+— ~~=> f (a)= l------ — 2 nên / (a)=0=>l-— ~^—^=0=>a=3±S ữ -3 (ứf-3) ịa—.3)

=> m in/(a) = 4 + 2s/3 khi ỊŨE= 3 + ^j/3ỏ = 1

Phương trình đường thẳng A: X + yyjĩ - 3 - ^ 3 =0



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





B à i t ậ p m ẫ u

Bài 1. Xét vị trí tương đôi của các cặp đường thăng cho bờí các phương trìnhsau:

a. a i:x + 2y + 4 = 0 b. bi':x + y + 5 = 0 c. Ci: x+.2y + 1 = 02L2' X+ 5y —9 = 0 b*. 2x + 2y —4 = 0 C: 3x + 6y + 3 = 0

G i ả ỉ1 2 ' ’ -a. Ta có ~ * —=> ai căt ạ, toạ độ giao điêm là nghiệm :

X+ 2y + 4 —0x+5y-9=0

<=>X =-

y ~ ■

-383

13

b. Ta cỏ: —= —* — ^ b i / / t2 2 —4

rp , 1 2 1c. l a có: —= —~ — =>'Cj =,C 2 _________ 3 6 3 _________________________________________ ______ _______Bài 2. Xét vị trí tương đôi của mỗi cặp đường thăng sau và tìm toạ độ giao

điểm (nếu có)

a. ar.íx = 4 -2 t

[y = 5 + tvà a2’.

J X =; 8 + 6t

| y = 4-3 t b. bi:

íx = l- 4 t jy = 2 + 2t

và b2‘.x-4 y+7

2 3

c. Ci: x + 1_ y -2-5 4

và c2: X 5y-61 -4

G i ả i

a. Phương trình tổng quát của đường thẳng ai-:X+ 2y - 14 =ọ Phương trình tổng quát của đưòng thẳngâ2‘. X+ 2y - 16 = 0

T , 1 2 14 „Ta có: -- = -r*-—■>suy ra: ai // a1 2 16 b. Phươngừình.tổng quát của đường thẳng bi:X+ 2y - 5 = 0

Phương trình tổng quát củạ đường thẳng Ồ*. 3x - 2y —26 = 0: ■ /Ta có: T _ =>bỉ căt ồ-3 -2

34



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





- fx + 2y —5 = 0Toạ độ giao điêm là ĩigMệm của hệ i <=>& |3 x -2 y -2 6 = 0

. .31X —— 411

y 8c. Phương trình, tổng quát của đường thẳngd : 4x + 5y - 6 - 0

Phương trình tổng quát của đường thẳrig C:4x + 5y - 6 = 0T , 4 _ 5 - 6Ta có: —= —= = ỉ =>Ci = C

4 5 - 6

Bài 3. £LXác định giá trị của ra đê hai đường tìbãng sau song song với nhaĐ i: 2x + my + ỉ = 0 D: mx + 8y + 2 = 0

b. Xáe đ ịnh giá trị của m để hai đường thẳng sau vuông góc với nhau.Di: 2x + my - 9 = 0 Dỉ: 6x - y - 10 = 0

G iả i

a. Tacó : Đ//D O = — o Ịm j™ =‐ <=>m = -4m 8 2 m [m * 4

b. Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng Di là ĩii = (2; m)Véc tơ pháp tuyển cửa đường thẳng D là ĨỈ = (ộ; -1)Ta có: D ịXD ĩĩi = 0 12 - m = 0 <=> 12

B à i t ậ p đ ề n g h ị

Bài 1. Gho hai đường thẳng: di: 4x - my + 4 - m = 0 và ch: (2m + 6)x - 2m —I = 0a. Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng di,Ớ 2

b. Tim m để di vuông gôe với đ \ _ . • , ’ fx = XỊ+at , I x = xy+ct ỵBài 2. Cho hai đường thăngdx.•’I vàd2:< , (Xj, X, yi,Ỵ 2

[y = y{+bt [y = y2 + dt là hằng số). Tìm điều kiện của ạ, b, c, đ để hai đường thẳng di, dh:a. Cắt DÌiau b. Song song

. c. Trùng nhau d. Vuông góc với nhau

Bài 3- Cho hai đường thẳngậx:{a-b)x+y = 1 và d2 :{a2 - b 2}x + ay = b với

a2+b2> 0a. Xác định giao diem của hai đường thẳng di, ổ- b. Tìm điều kiện của a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành.

35



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 4. Cho hai đường thẳngdì :m x- y + m = 0 và d2:{l-m2)jx+2my-m2-1 = 0

a. Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng di luôn đi qua mộtđiểm cố định.

b. Với mồi gíá trị của m, xác định giao điềm I của đi và ch. Chứng minhrằng điểm I luôn thuộc một đường tròn cố định; - '

H ướ n g đ ẫ n g iả i

Bài 1. Véc tơ pháp tuyến của d],CỈ2 lần lượt là , «,.■=={2m + ố;l)Xét các ti số:

* đi = ch Im + 6 _ 1

fm1+ 3m + 2 —02m + 6 1 ~2m — 1C5> —— = —— = ------ — --------- o i

4 ~m 4 — m

* di // d2

2m +6 1 —2/72 —1<=>——— = —— * —— -----<r>4 —m A—m

- 4 ' " " < * < ,-2/72 —1 ; 1 1—2m +m~2=04 —m —m

2m + 6 _ 14 Iw2+ 3w + 2 = 0

<3-< , : ■-om = - l^ r \m +m—2#Ò

. 4 —m : —th* , J 2m + 6 1 2 -I „ ~* d) căí ổ o ——— +3m + 2 ^Q .o {

4 -m ịm&—2-24* dj vuôn g góc với đ <=>«! i n 2 <s>«jK2 = 0 <=> 4(2m + 6 ) - m = 0<£>m=

,, . . . . , X,+ at - Xy-ị-ct \a t-c t =x> -XBài 2. Xét hệ phương trình: < . Lập các+bt = y2+ải \bt~dt =ý2'~yl

định thức'O~c\ D~' \=bc~aă;Dt = ịb -d\ f

X, —cy2- ^

a X, —X , , . .

\° y\\* d ] cắt CỈ2<=> D í* 0 o bc - ad 0Z)=0

* dj //ứf, o ^Ị Í Ị í O o D.*0

bc-ad=0

36



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





đx=d2 <=>. 3 = 0 [ a ( * - * ) - b ( * ,- ; < i ) = 0 l u v w

* i/j -Ld2 <=>í/j -Ld2 o 4 .d2 = 0 ac + bá = ỌBài 3. Tọa độ giao điểm củayhai đường thẳng di, d2 là nghiệm của hệ ph

. ' {{á-b)x+y = 1 .trình: <w : .

' l(ữ2- ố 2)x + ạy = è

a - b 1a2- b 2 a

D-Q bc~aở=0 ,

Lập các định thức: Z) -

D = 1 X a —ố 1= a —b ; D y ==

a2 - b2 b6 a

—b2 —ab = b{b — ứ)

= a b- ã2 =a ịb -ẩ )

Khi z> * 0 o i ( Ế - ứ ) í 0 thì đi cắt d tại điểm I có tọa độ= 5 l = J . x D b

y D b

b, Điểm I thụộc trục hoành khi: D* 0 <=>bịb —ữ)ỹ£ 0

" = 0é

<=>

Bài 4:a. GọiM(xo, yo) edi, V m.

Suy ra: mxữ - y0+m = Oo » í(^ + l)— y0 = 0 có nghiệm với mọi m. Suyra: | x° + 1 ®^ | x° “ 1 Điểm cố đinh M (-l; 0). W o = o U - 0 : K

b. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng di,dĩ là nghiệm của hệ phươngay

Í mx —y - — Ị - V , Lâp các đinh thức D =

ị l - m 2] x + 2 m y = m 2 +1

m —11— m2 2 m

- m 2+1

A = —m ~1 m

= ỉ - m 2; Dy =\ + ml 2m

■ y1-

- m= 2»z

Tọa độ địểm l ỉà Z) 1+ 7M2 A

> = 2m

vói mọi m

D l W

37



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





\~m, x ~ l + m2 ^ 2 ( 2m Ỵ f l + m2}L y w J -1

^ l + m2Điểm I luôn thuộc một đường ừòn cố định có phưcmg trình:X2+ y2 = 1

Bài tập mẫuBài 1. Tính các khoảng cách sau:

a. Từ điểm A(3;5) đến đường thẳng A: 4x + 3y + 1 - 0fx = 2 + 2tr

b. Giữa hai đường thăng song song A].'< I y = 3 + t và A : x - 2 y - 3 - 0

Giảia. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng A là:

AỈA A,_ Ị4.3+3.5 + 1Ị _ 28d(A’A) 5

b. Ta có Ai // À nên d(Ai,A) -fd(M,A)| m (2;3)s 4,

= d(M, A) =

Ịx=l + tly = 2 + t và điểmBài 2. Cho hai đường thẳng Ai: 2x + 3y - 6 = 0, A: í

bM(2;l)a. Tìm điểm H thuộc đường thẳng Ai sao cho đoạn thẳng MH có độ đài nhỏ

nhât b. Tìm điểm I thuộc đường thẳng À sao cho khoảng cách từ điểm I đến

đường thẳng Ai bằng Vĩ?

38



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





a. Gọi d iằ đường thing đi qua M, vuổng góc với (Ai)Phương trình, của d: 3x —2y - 4 = 0 và H dr\ AiToạ độ là nghiệm của hệ:

3 x - 2 y - 4 = 02 x + 3 y - 6 = 0<=> <X = •

2 4

1310x 13

H

( đM

N ẨAi)

V N e Aj, Ta có MN > MH. Suy ra MH là đoạnthẳng có độ đà

1 1 3 13

b. Gọi 1(1 + t; 2 + 1) € A, khoảng cách tò điểm I đến Ai là:dợ, Aị) = 3 £ + t )- 6 L l l ĩ± 3 i = 7 i l

. V Ĩ3 V ĩs5t + 2 = 13 t= — <I> _ <>

[ 5 t + 2 = —Ĩ 3 [ t J 3

Điểm I có toạ độ j hoặc (-2 ;- !)

Bài 3.(D-201Ô) Cho điểm A(G; 2) và đường thẳng A đi qua O. Gọi H ỉàchiểu vuông góc của A ừên A. Viết phương trình đường thẳng A,

khoảng cách từ H đên trục hoành băng AHGiảiGọi H(x;y) là hĩnh chiếu vuông góc của A trên A.Tacó: AH = (x;y-2);'OH>(x ;y)

fÃH_LÕH _ [x2 + y (y -2) = ° jx2+ y2- y ‐

ỊAH = đ (H, òx ) =>, X2 +(y_2)2 = |y |^ |x 2-4y + 4 = 0

íy2+2y“ 4 = 0 íy = -l±>/5 Ty = —1+[x2 - 4y + 4 = 0 Ịx 2 = 4 y-4 -8

=> h|±>/ 4\/5 - 8;-1 -r V s j

Phương trình đường thẳng Ả: Ị - l + v?jx ± yvW S-S = 0

39



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 1. Tính góc giữạ hai đường thẳng Ai và A trong mỗi trường hợp sau:a. Aj: X - 2y + 5 = 0 và A: 3x - y = 0

í x = —1—5 t ..■■■■- í x = 2 + 2 t b. Ai: và A: { |y = 2 + 2t ì y - l + 5t

. Ạjiảịa. Véc tơ pháp tuyến của Ai là ill = (1;—2) và véc tơ pháp tuyến của A là

ni = (3; -l)

cos(Ai,ủ;) - - |ĩ l j Ị L * =>(A|,a 2) = 45°Ini Ỉ-Ịn? j v lv ìõ v ĩ

b. Véc tơ chỉ phương của Ai là A1 = (-5; 2) nên véc tơ pháp tuyến ni = (2; 5)

Véc tơ chỉ phương của À là ầ2 =■(2; 5) nên véc tơ pháp tuyến ĨÍ 2 - (5; -2)

c os(A],A2) = -1— ìi- = ò => (Ai,A2) = 90° Ai X A2t ni Ị. [H ị V .VBài 2. Cho hai đường thẳng di: 2x - y - 2 = 0 vàấ 2 '. 2x + 4y - 7 = 0

a. Viết phương trình đường phân giác của các góc tạo bời di và d‐

b. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(3yl) cùng với d],Ở 2 tạothành một tam giác cân có đ ỉnh là giao điểm của đ'i và d

40



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





■' Giảia. Phương trình phân giác 'củả gổc tạo bơi hai đường thẳng di,ảj là:

. 2x + 4 y -7 ^ + 2 x - y - 2 |~2x-6y + 3 = 0 (pj )x/20 js . [ 6 x + 2 y - l l = 0 (p j)

b. Đường thẳạg A đi qua điểm p cùng với di, d tạo thành một tam giác câncó đinh A “ dj.n ch thì AJL.Pi hóặc A _LPhương ừình đường,thẳng A\: 3x + y - 10 - 0 và A.: X- 3y - 0

Bài tập đề nghịBài 1. Cho hai đường thẳng di: 2x - y - 2 = 0, ch: X+ y + 3 = 0 và đ

P(3;0). Gọi đ ỉấ đường thẳng đi qua điểm p cắt di, CỈ lần lượt tại A vàB.Viết phương trình đường thẳiig d sao cho:PA = PB

Bài 2. Cho hai đường thẳng dj: 2x —ý + I = 0 và đi X + 2y - 7 = 0. Viết

phương trình đường thẳng đ.đi qua gốc tọa độ tạo vói di, d một tam giáccận có đỉnh Ịà giao của dí, d- Tính diện tích tam giác đó.Bài 3. Viết phương trìnK đường thẳng song song với đường thẳng

3x - 4y + 1 = 0 và có khoảng cách đến đường thẳng d bàng 1.Bài 4.Viết .phương ừình. đường thẳng đi qua điểm A(2; 7) và cách đ

B(i; 2) một khoảng bàng 1Bài 5. Cho tam giác ABC, biết ba canh có phương ừình: AB: X - y - 4

BC: 3x + 5ỵ^ 4 = 0; AC: 7x + y - 12 = 0.a. Viết phương trình phân giác trong của góc A.

b. Chứng minii rang điềm o nằm ữong tam giácBài . Cho đường thẳng d: (m - 2)x + (m - l)y + 2m - 1 = 0 và hai điA(2; 3), B(l; 0). ^ 'a. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi. qua một điểm cố định

mọim . V .. ■■ ;y.

b. Tìm m để đường thẳng đ cắt đoạn thang AB ,c. Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là lớn nhất.

Bài 7. Cho bạ điểm A(—6;-3), B(-4;3) và C(9;2).:, SL Viết phương trình đường thẳng đ chứa đường phân giác ừong kẻ

của tam giậc ABC b: Tìm điểm D ừên đường thẳng đ sao cho tứ giác ABDC là hình tha

Hướng dẫn giảiBài 1. * Khi đường thẳng d không vuông góc với trục Ox.Phương t

đường thẳng đ đi qua điểm p(3;0) có hệ số góc k: y = kx - 3k

41



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





2x —y —2 = 0 I 2_k A = dr\ di có toạ độ là nghiệm của hệ:{ ■' ^ với|y = kx-3k I -4k y= -

k * 2

ĩx + y + 3 = 0B = dr\ d có toạ độ là nghiệm của hệ< <=><í

|y = kx-3k .

k * - l

x= -

y=

2 - k

3k-31+k -6k 1+ k

với

Ta cỏ: P5A, B nằm trên d và PA = PB nên p ỉà trung điểm của AB

Suy ra: Xp = *A+Xg => 2 ~ 3- + ——- = 6=> k = 8, nênd: y = 8x - 242 2 -k 1+k .

* Khi d± Ox, đường thẳng d đi qua P(3;0) có phương trình X = 3, thay vào

phương tành của di, ch ta có: Ỵa = 4; ye = “6 và •yA+^B = -1* yp = ọ

Phương trình đường ứiẳng d : 8x - y - 24 = 0Cách khác: Gọi A (x;2x -2)eđj vả B (-y -3 ;y )ed 2, PA = (x -3 ;2 x -2 ),

PB = (-y -6 ;y )11

- , ÍPA//PB _ Ta có: < o[ p a = PB

3xy-5y + 12x-12 = 0x -y = 9 «•

2x + y = 2

X=■

16> 3

- . [ 1 1 ‘ S ' ! o f 7 16nên

Phương trình đường thẳng AB : 8x - y - 24 = 0Bài 2. Gọi A = d jn CỈ, tọa độ là nghiệm của hệ phương irmli:

2x~y + ì=0 {X — 1\ - lA(1;3) X T2 y - l = 0 ly = 3

Phương ừình phân giác của góc tạo bời hai đường thẳng d-, ỏ2 là:"x—3y-i-8 = 0 (J>)3 x + y - 6 = 0 ( P 2 )

2 x — y + ỉ x + 2 y ~ 7 --- ■= +------4---- o\ Í 5 <->— V/ 2;

Đường thẳng d đi qua gốc íọa độ và vụông góc với đượng thẳng Pi hoặc p 2. ^ y . ■

* Đường ứiẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng Pi có phương trình: 3x + y = 0



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





h = d(A^đ) J ẽ ^ Ắ = - j = nên dt(àABC)=-h.BC = ~ (đvdt)VI0 V10 2 5

* Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng có pỉjương trình:X - 3y = 0

Gọi B =ár\ dí vàc = d n d2 thì , BC =

h-d{A,đ) = L £ £ i = nêndtị^ầĂBC) - — h.BC = — (đvdt)

i 3. Gọi A là đường thẳng song song với đường thẳng đ: 3x - 4Bài 3. Gọi A là đường thăng song song với đường thăng d :3 x -4 y + 1Khi đó phương trình của đường thẳng A có dạng: 3x -4 y +c = 0

c =6------- = I<o5

phương trinh eủa đường thẳng A : 3x - 4y + 6 = 0 hoặc 3x - 4y - 4 =Bài 4. Phương trinh đường thẳng A đi quá điểm A(2; 7) có dạng:

Ax + By —2A -7B = 0 với A2 + B2 * 0Khoảng cách từ B đến đường thẳng A là:

' B = 0

d ( BẠ ) = \ Á = 1 0 2 4 ^ + 1 0 ^ = 0 0 yjA2+Bỉ

12Phương trình đường thẳng A:X —2 = 0 hoặc 12X —5y + 11 = 0Bài 5. a. Phưcmg trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thăng AB, A

x+3y—l6 = 0 (ij)3 x -y + 2 = Q (/>).

x ~ y + 4 , lx + ỹ —12■= + ---------“ =— <=>V

Ta có: B = AB n BC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:x - y + 4 = 0 fx - - 33x +5y + 4 = 0 [y ~ ỉ

c = AC PiBC,tọađộ lànghiệm củahệ phương trình:7x + y - i 2 = 0 fx = 2<=><3x + Sy + 4 = 0 [_y =—2

P2(B) = -8 và P2(C) = io nên P2(B)P2(C) < 0với đường thẳng P.Phương trình phân, giác trong của góc A : 3 x - y + 2 = 0

B, c nằm khác phía đối

43



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





b. Thay tọa độ điêm o lân lượt vào vê trái phương ưình của AB, BC, ACthi ta có: 4, 4,-12Thay tọa độ các điêm c, A, B lần lượt vào vế trái phương trình của AB,BC, AC thì ta có: 8, 32, -32. Suy ra: o, c nằm cùng phía đối với AB; o ,A nằm cùng phía đối với BC; o , B nằm cùng phía đối vói AC nên o nằmtrong tam giác ABC. V

Bài 6. a. Gọi M(xo; yo)ed, với mọi m. Suy ra: w(x0+y0+2)-^2x0- y ồ-1 = 0có vô số nghiệm.^ + yo + 2 = 0 ^ ịx0~ 1 ^y vợi moi m.

[ 2j t0 +>>0 + 1 = 0 ự o - “ 3 • ■

b. Đường thẳng d cắt đoạn thẳng AB khi A, B nằm khác phía đối với đường

thẳng d hoậc A ed, hoặc B €đ. Suy 'ra:'(7m-8)(3w-3):<O o lám< —

c. Khoảng cảch từ Ấ đển đường thẳng đ lậả = d(A, d)~- -p J l = = L = r v m2 ~6m + 5

Suy ra: d 2 = - 8- - , V ỊĨỊ s R ;v ' 2 n i - 6 m + 5 ■ .

. , . 2(7m - 8 ) ( — 5m +1 1) '■■ ■■'’ , "' í ’ ,í 2m ~ 6 m + 51

và / (m) = 0 o 2(7m - 8 )(-5m +11) = 0 o

8 11

. 8m~ — 7• Ị1 n t ~ ~ '

: 5m - CO 7 5 ■ ■ +00

f(m) 0 f 0.- ■ 37

f(m) 4 9 ^2

0

Ta có: d có giá trị ịớn nhất <=>d2 có giá trị lớn nhất. Suy ra: đ có giá trịlớn nhất khi m = —

5Cách khác: Ta có: M(l; -3) eđ, với mọi m và kẻ AH-L đ với H ed



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





’ Suy ra: HA. < AM. v.ới mọĩiri. AH lớn nhất khi AH .=. AM =>:AM J- Ta có: A M ' = (-1; -6 ) và véc tơ chi Ịd = { ì- m;m -2) ;

Bài 7.a. AE là phân giác trong góc A khi:ẼB_ AB 2Ẽ c ‘ AC _ 5

2 19Suy ra: E j . Phương ửình phân giác AE:X — y + 3 = 0

b. Tứ giác ABĐC là ■hình-thang. Suy ra: AB // CD hoặc BD // AC- Khi AB// CD, đường thẳng A đi quac, song song với AB có phươngtrình: 3x - y - 25 = 0

Í 3 x - y - 2 5 = 0 f x = I 4D = A n AE, toạ độ lả nghiệm của hệ:|x - y + 3 = 0 [y = 17

Vậy: D(14;17)- Khi AC.-// BD, đường ứiẳng Ạ đi qua B, song song với AC có phưtrình:X - 3y + 13 = 0

D = A n AE, toạ độ là nghiệm QỦa hệ: Ix~3y + 13 = 0 Jx = 2x - y + 3 = 0 l y = 5

Vậy : D(2;5)

- Ba đườrig tnm'g tuyên củá À ABC 'đông quỵ tại G.G gọi là trọng tầm.của .tam giác và ẠG.=2GMỊ&-

45



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập mẫuBài 1. Cho tam giác ABC, biêt đường thãng chứa cạnh AB có phương trình:

X + y - 9 = 0 .

Các đường cao qua đỉnh A, B lần ỉượt có phương trình: X + 2y - 13 = 0và 7x + 5y - 49 = 0Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh AC, BC và xác định toạ độtrọng tâm G của tam giác ABC.

Giảia. Ta có: A = ABn AH, tọa độ là ngkiệm của

* t . •. ị x + y ~ 9 = ồ ị x = 5hê phương trình:< <$■<\x + 2y—ỉ3 = Q = 4nên A(5; 4)Ta có: B - AB n BH, tọa độ là nghiệm của, * , _____ , , f x + _ y - 9 = 0 ị x = 2hệ phương trình:<

y . [7x + 5 j-4 9 = 0 \y = 7nên B(2; 7)Đưòmg thẳng chửa cạnh AC đi qua A, vuông góc với BH có phượng

. trình: 5x -T y+3 = 0Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua B, vuông góc với ÂH có phươngtrình: 2x - y + 3 - 0Ta có: c = AC n BC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:ịS x ~ l y + ì = Ồ j x - ~ 2 .[2;e - + 3 = 0 \y = - ĩ

Trọng tâm của

Bài 2. Viết phương trình các cạnh cùa tam giác ABC biết đỉnh C(4;-l).Đường cao và đường trung tuyến kè từ một đình có phương trình tươngứng là: 2x - 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0

tam giác ABC là o f - ; — j

46



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





GiảiTa có điểm C(4 ;-l) không thuộc các đường thẳng có phươngtrìỉih:2x - 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0Đặt AH: 2x - 3y + 12 = 0

AM: 2x + 3y = 0

A = A H n AMToạ độ Ịà nghiệm củahệ:2x—3y+12 = 0 . fx = -32x + 3y = 0 [y = 2

C(4;-l)

Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua hai điềm A vàc có phương trình:3x + 7y - 5 - 0Đường thẳng chứa cạnh BC đi quạc, vuông góc với AH có phươngtrình: 3x + 2y - 10 - 0

[2x + 3y = 0 Jx = 6[3x + 2y-10 = 0 Ịy = -4

XB= 2x m - x c =8LyB=2y M -yc = - 7

=> B(8;-7)Đường thẳng chứa cạnh ẠB có phươngtrình: 9 x + ll y + 5 = 0

M = AM ó BC, toạ.độ là nghiệm của hệ:

M là trung điểm cạnh BC nên | Xs + X-c ^XmỊyB+yc=2yM

Bài 3. Viêt phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(l;3) và đường trung tuyến có phương trinh lần lượt: x - 2 y + l = 0 v à y - l = 0

GiảiTa có điểm A(1 ;3) không thuộe cáe đường thẳng có phương trình:

X - 2y + 1 = 0 v ày - 1 = 0

Đặt: BN: X - 2y + 1 = 0 và CP: y - 1 = 0Trọng tâm G —BNr\ CP có toạ độ là nghiệm của hệ:

x -2 y + l = 0 Jx = ly - l = 0 ° 1Ịy = l

Gọi B(x b;y b) và C(xc;yc).<Tp ' J x a + x b + x c = 3 x gla có: <

|yA+yB+yc =3yGX D + X o = 2

|yB+yc=°B e BN nên: Xb -2ys + 1 - 0 và C e CP nên: yc - 1 = 0

47



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





xc =5

yc =1Phưang ừình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC:AB:X- y + 2 = 0; BC:X- 4y -1=ọvà AC:X+2y - 7 = 0

Cách khác: Gọi D đối xứng với A qua G thì D(l; -1), khi đó M là trungđiểm của GD và BC nên tứ giác BDCG là hình bình hành. Suy ra: DC //BN và DB // CPPhương trinh đường thẳng DC:X- 2y ~ 3 = 0 và DB: y + 1 ~ 0B = BD n BN nên B (-3 ;-1) và c = DC n CP nên C(5;l)Phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ẠB C:'A B :x -y + 2 = 0; BC: X- 4y -1= Qvả A C :x+ 2y -7 = 0

Bài 4. Cho tam giác ABC, biêt C(4;3) và phân giác trong, trung tuyên kẻ từmột đinh lần lượt có phương trình:X + 2y —5 = 0 và 4x + 13y - 10 = 0.Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác

Phương trình đường thẳng AC:X+ y - 7 = 0Đường thẳng A đi qua C, vuông góc với đ có phương trình:2x - y - 5 = 0

Gọi 1 = d n A, toạ độ là nghiệm của hệ: | x + ^ ^ ^[2 x -y -5 = 0 |y = l

Gọi ữ đối xứng vóic qua d thì I là trung điểm củacc.48

GiảiĐặt đ:X+ 2y - 5 ~ 0m: 4x + 13y -1 0 = 0

Thay C(4;3) vào phương trinh của d vàm ta có:4 + 6 - 5 = 5 * 016 +39 —10=^0 A



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Suy ra: C'(2;-l) e ABĐường thẳng AJB đi qua hai điểm A và' C có phương-trình:x-f-7ý + 5 = 0Gọi B(x b;Y b), trung điểm M của BC thuộc trung tuyến m

[xB+7yB+5-° r , = _12SuyPhương trinh đường thẳng BC:X - 8y + 20 = 0

Bài 5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng —, các đỉnh A(2; -3), B(3;

và trọng tâm tam giác thuộc đường thẳng d: 3x - y —4 = 0. Tìm tọđinhc

Giải

Gọi C(xi; yi) và G là trọng tâm AABC, ta có:

nên: 3 x ị - y i - 4 = 0 0 0

Xr. -

-5+yl l * “ 1

nên : 3x ị - y - 4 = 0 (*)Phương trình đường thẳng AB : X- y - 5 = 0 và AB = yỊĨ

Gọi h =d{C,ÁẼị^ — í ~ 5Ị nên S-đt(ầABC)=-kAB=$h= v2 2

Suy ra: —— =—- -=-Ậ? <=> Xl " ^ • Kết hợp với (*) ta có: C(-2; -10V 2 V 2 Xị—yỵ—2hoặc C(ỉ; -1)

Bài tập đề nghịBài 1. Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d :x - 4 y - 2

cạnh BC song song Vơiầ, đường cao BH: X '•+y + 3 = 0 và trung điểmcạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, c

Bài 2. Phưcmg trình hai cạnh ồủa một tam giác là 5x - 2y •+ 6 = 0 và 4x -21 0

Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm trùng với toạ độ

Bài 3. Cho tam giác ABC, biết A(l;2), B(3;4), cosA =~ và cosB - - Ị=

a. Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với írục Oy. Tính giữa đưòng thẳng d vá đường thẳng AB

25 _ AB~ yịĩ

49



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





b. Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABCBài 4. Cho tam giác ABC, biết A(-l;-3), đường trung trực cạnh AB:

3x + 2 y - 4 = 0và trọng tâm của tam giác G(4;-2). Tìm toạ độ các đinh Bvà c

Bài 5. Cho tam giác ABC, biết đinh A(l; 1) các đường cao qua đỉnh B và clần lượt có phương trình: -2x + y - 8 = 0 và 2x + 3y - 6 = 0. Viết

phương trình đường thẳng chứa đường cao qua đỉnh A và xác đình toạ độcác đỉnh B?c của tam giác ABC.

Bài 6. Cho điểm A(l; 1) và đường thẳng đ: 4x + 3y - 12 = 0a. Gọi B, c lẩn lượt là giao điểm của d với các trục Qx, Oy. Xảc định toạ

độ trực tâm của tam giác ABC. b. Cho điểm M chạy trên đường thẳng d. Trên nửa đường thẳng đi qua A và

M lấy điểm N sao cho AM.AN - 4 . Điểm N chạy ữên đường cõng nào?Viết phương trình đường cong đó.

Bải 7. Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(2; -1) và phương trình các đường phân giác tr ong kẻ từ B và c lần lượ t có phương tr ìn h: d ] : X - 2y + 1 = 0và ầ2i X + y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Bải 8. Cho tam giác ABC, biết các đường cao qua đinh A và B lần lượt có phương trình: 3x + y - 7 = 0 và X + y —5 = 0 và đường thẳng BC tiếpxúc với đường ừòn (C): (* + 2)2+ ị y - 7 ý = 10 tại trung điểm M của cạnhBC. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 9. Cho tam giác ABC biết đường cao, đirờng trung tuyến qua đỉnh B lầnlượt có phương trình:' X- 2y - 5 = 0, 14x —13y —10 = 0 và đường phângiác trong góc À là: X - 2 = O.Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giácABC.

Bài 10. Cho tam giác ABC biết M(-2;2) là trung điểm cạnh BC. Cạnh AB,AC lần lượt có phương trình.: X - 2ỵ - 2 = 0, 2x + 5y + 3 = 0. Xác địnhtoạ độ cáe đinh của tam giác ABC.

Bài 11. Cho ba điểm A(l; 1), B(3; 3), C(2; 0). Tính diện tích tam giác ABCvà tìm toạ độ điểm M thuộc trục hoành sao ch AMB có số đo lớn nhất.

Bài 12. Cho tam giác ABC có đ ỉnh A(2; 1), đường cao BH: X —3y - 7 = 05trung tuyến CM: X + y + 1 = 0. Tìm tọa độ các đinh B, c

Bài 13. (Khối B - 2003) Cho tam giáe ABC có AB = AC và BAC = 90°. Biết

M( 1; -1) là trung điểm cạiứi BC và G ; oj là frọng tâm tam giác ABC.

Tìm tọa độ các đỉnh A, B, cBài 14. Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; 0), phirơng trìĩđi eác cạnh

AB: 4x + y + 14 = 0, AC: 2x + 5y - 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, c



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 15. (Khối B - 2008) Tìm tọa độ đỉnh c của tam giác ABC biết rằngchiếu vuông góc của c trên đường thẳng AB là điểm H(—1; —1), đ phân giác trong góc A có phưomg trình.: x - y + 2 = 0và đường cao đỉnh B có phương trình: 4x + 3y - 1 = 0.

Bài 16.(Khối D - 2009) Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm AB. Đường trung tuyến, đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương t7x - 2y - 3 = 0 và 6x - y - 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC

Bài 17. (CĐ- 2009) Cho tam giác ABC có C(-l; -2), đường trung tuyến đỉnh A và đường cao kẻ từ đỉnh B lần lượt có phương trình: 5x + y - và X+ 3y - 5 = Ọ. Tìm tọa độ các đỉnh A, B.

Bài 18. Cho tam giác ABC có N(6; 9) là trung điêm canh BC, các đưtrung tuyến kẻ từ đ ỉnh B, c lẩn lượ t có phương trình: X + y - 12 = 04x - 5y + 18 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giảiBài 1. Đường thẳng AC đf qua Ms vuông góc vói BH có phương trình: X- y

A= AC n d nêna Ị*— j . Điểm c đối xứng với A qua M nên

Đường thẳng BC di qua c, song song với đường thẳng d có pỉ ưtrình: x - 4 y + 8 = 0B= BC n BH nên .

Bài 2. Đặt AB: 5x - 2y + 6 = 0 yà AC: 4x + 7y - 21= 0 thì A = ABr\ AC' , ,,, Í5 x-2 y + 6 = 0 [x = 0

Toạ độ là nghiệm của hệ:{ <^ ■ [4x + 7y-21 = 0 Ịy = 3Đường cao o c đi qua o , vuông góc với AB cô phương trình: 2x + 5y

' _ Í2x + 5y = 0 ỊX= —— c = o c n AC, toa đô là nghiêm của hê: < <£>ị 2[4x+ 7y-21 = 0 | y = _7

Đường ứiẳng chứa cạnh. BC, đi qua c và vuông góc với OA có phưtrình: y + 7 - 0

Bài 3.a. Ta có d // Oy nên vectơ pháp tuyến của d ỉà I = (1 ;0)

Vectơ chi phương của đường thẳng AB là AB = (2;2) /NvVectơ pháp tuyếnn = (1;—1) / N.

cos(d,AB)= j Ị ậ Ị= - L ^ ( d , A B ) = 45° / \|ì|.|nỊ V2 g ---

51



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





b. Phương trình đường thẳng AB:X- y + 1= 0Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng AC làn\ = (ai;a ) với af+aị ^ 0

T a c ó :c o s A = Ạ > — =cos45o =>0o <A < 4 5° yỈ5 2

Suy ra:COSẢ= l n‘nìj - —Ị^ = iJ = -= ~<^> 3 +3aị +. 10aia2 = 0In Ị-tm I 4 Ĩ Ạ \ + z ị V5 ... ...

a.-I^ , 5 9 nv ^ . a,==> 3(— + — ) +10 = 0 (do a j + a ^ O). Đặt-t=- —

3 (t + -) + 10 = 0=>31? + I Ot + 3 = 0 <=>= _1- :

3 <=>t=-3

2 ” ■.3 1,■av ~ -3a2

Vậy ttj = (l; -3 ) hoặc - (—3; 1)

Phương trình đường thẳng chứa cạnh ẠC:X - 3y + 5 = 0hoặc: 3x - y - 1 = 0Gọi n2= (bi;b ) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC VỚỊbị + bị ^ 0

Ta có: cosB =-Ậ= > — - cos45° =5- 0° < B < 45°# 2

Suy ra: cosB = |n£2] = Ị b ^ M =. 3I n I. Iĩì-2 Ị

= -f=<=> 2bt +5bjb2+2bị - 0

Suy ra: ồ = -2bi hoặc bi = -202 nênn2 = (l;-2 ) hoặc = (-2;1)Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC: 2x - y - 2 = 0 hoặcX- 2y + 5 = 0.

Bài 4. Gọi B(xB;yB) và C(xc;yc), đ là A(:l;-)đường trung trực cạnh AB nên ^trung điểm M của AB thuộc dSuy ra: AB± d = (-2;3) và M e dSuy ra:,'(xB+ lX-2) + (yB+ 3)3 = 0

+ 2 -3+yB- 4 = 0XB=5ys-1

Ta c ó : ^ c +x a + x b = 3 x

^ c + yA + yB=3yGVậy: B(5;l) và C(8;-4)

xc = 3xG- x A-x B=8yc=3yG-yA-yB=~4

52



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 5. Trực tâm H có toạ độ là nghiệm của hệ:

f-2x + y -8 = 02x + 3y-6 = 0

« •

= _9x ~ 4

• 7 f"y 2

9 7H(— )4 2

Phương ừình đường cao AH:10x+ 13y —23 —0.Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB:3 x - 2 y - 1 =0

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC:X+ 2y - 3 = 0Toạ độ các đ ỉnh B (—17; -26) và C(3; 0)

Bài 6.a. Toạ độ các điểm B(3; 0) và C(0; 4)

Gọi H (x; y) ta có AH = ( x - l; y - l )BC = (~3;4), BH = (x-3 ;ỵ ), Ãc = (-1;3)

■■■’■ÍÃH-LBCH là trực tâm AABC ị[BH.LAC

rX.' ='—3 ■-3 x -4 y + 1= 0[x -3 y -3 =0 ,[y = -2

Vậy H (-3 ;-2 )

b. Gọi Mo e d sao cho AMo -L d, AMo = d (A, đ) = 1 No thuộc tia AMo saọ cho AM0AN0=4=> ÃM^-ÃN^ = AM0.AN0 = 4 => ANo = 4Với M e d v à N thuộc tia AM ta có:ÃM.ÃN = AM AM = 4Suy ra AM0AN0 = AM.AN

Ạ(-2;l)

<=> AM AM„AN0 AN

AAMMo ~ AANoN

=>.AMo.M = ANNo=90°Vậy N nhìn AN0 dưới một góc vuông nên Nthuộc đương tròn (G) đường kính ANo

Gọi I là trung điểm ANo, ta có AI =AN, _ = 2 .

53



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





( 13 Y f 1JỸPhương ưình đườngừòn (C): l x - — j + | y - —- j = 4

Bài 7.Gọi A\; Ả 2 lần lượt đối xứng với A qua phân giác gócc, góc BTa có: Ai(-2; -5 ) và A2(0; 3) thuộc đường thẳng BC phương trình đườngthẳng chứa cạnh BC: 4x - y + 3 = 0

Bài 8. Ta có: AH: 3x + y - 7 = 0 và BH;X+ y - 5 = 0

Suy ra I đối xứng với A qua d nên 1^— j

Phương trình đường thẳng BC có dạng:X- 3y + c = 0

và BC tiếp xúc với đường tròn (C) nên\-2-21 + c\ r— — ~ ~ — I = VĨO

<=> c-2 3 ị = 10o c = 33c = 13

Đường thẳng d đi qua I, song song với đường thẳng AH có phương trình:3x + y - 1 = 0* KJii đường thẳng BC có phưcmg trình:X- 3y + 33 = 0B = BCr\ BH, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

_ 9Ja’-3 > ' + 33 = 0 jx + - 5 = 0

Tiếp điểm M - BCn d, tọa độ là nghiệm của hệ phương trĩnh:[x -3 > ’ + 33 = 0 [ jc = -3[3x + jy —1= 0 ° t y -1 0

o x =--- 2

19 y 2

= 2xư -x s = ~

21

y c = 2yu ~yBTọa độ điểm C: <

^ u LYL Si ) 2

Đường thẳng AC đi quac, vuông góc với đường thẳngBHcó phươngtrình :X- y + 12 = 0A = AC n AH, tọa độ là nghiệm c ia hệ phương trinh:

\ x - y + \2 =4 <=>i| 3x+ ‐ = 0

5 X — —

4 _ 43

54



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Tộa độ trọng tam <jrỊ ‐ V 12 4 J

* Khiđường thẳngBC có phương trình: X- 3y + 13 = 0,làm tương tự ta

trung tuyến BM: 14x - 13y -1 0 = 0B = BM/n BH, tọa độ là nghiệmcủa hệ phương trình: Ỉ4x —Ỉ3y —10 = 0 Ị x = ~3 x - 2 y - 5 = Q \ y = -4

Phân giấc trong góc A là AD:X - 2. = 0. Gọi Bj đối xứng với B quađường thẳng AD thì Bie AC và Bi(7; -4).

Đường thẳng AC đi qua Bi và vuông góc với BH có phương ừình:x + y - ‐

M = BM n AC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

]4x-13_y-10 = 02x + ỵ —10 = 0

ĩ 7 x= — 2

y~3

Gọi G là trọng tâm AABC thì ẼG - 2GM <=>■< y c = j

Bài 10. Ta cổ:. A “ ABn AC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

ịx ~2y —2 = 02x + 5y + 3 = 0

<=>■<

4 x = — 97

y 9Đường thẳng d đì qua M, song song với AB có phương trĩnh:X- 2y + 6 = 0Gọi N = dr\ AC, tọa độ là nghiệm củạ hệ phương trình:

*-2>> + 6 = 0 jx = —42* + 5y + 3 = 0 \ y = ỉ

Điểm c đối xứng với A qua N nênc I ìV 9 9 j

55



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cách khác. Ta có: Ta có: A = AB n AC nêna Ị^-

Xét phép đối xứng tâm M ỉà Du :ỉ(x,y) -» ỉ \ x , ỳ ) < >ỈM = M Suy ra biểu thức giải tích của phép đối xứng Du là: x 4 hoặc

[y =-y+4 Ịx - - X -4\y = -y +4Dm: AB x -2 y +14 = 0. và Dm‘. B <=ABc edi màC eAC nên:c = di n AC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

Điểm B đối xứng với c qua M nên B j •

x - 2 y + 14 = 0<=>i2x +5y + 3 = Q

= _76* 9

25

Dm:C B n ê n B Í y ;- ^ !

Bài 11. Ta có: Phương trình đường thẳng AB: X —y = 0 vả AB = 2 v2

h =d(c, AB) = -11 = VI nêndt{ăABC)=~ÁB.h = 2 (đvdt)>/2 2 2

Gọi M(m; 0) thuộc trục hoành và AM = (m~ l;- l) , BM = (m~ 3;-3)

Các đường thẳng AM, BM lần lượt có hệ số góc là: ,k, =1 —m 3 —m

Ta có: AMR có số đo lón nhất khi và chi khitanịAMB^ có giá trị lớnnhất

t m / a s ) . H I -' ' Ịl + Ấr^Ị \m2~Am + ủ m -4 m + 6

* Khi m > 0 ta có: y = ——-m-----=> ym2 - 2m(2y +1)+ 6y ~ 0 có nghiêmm ~4m + 6

Ta có: Khi y = 0 thì —2m = 0 <=>m = 0 (loại)Khi y 3È0, phương trinh có nghiệm th ì:

A =(2_y + l - y~ > 0o - l y 2+4y + l > 0 e > l - ^ - < y < \ + ~

56



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Máx(y) —1+-^— khim = nênMÍV6;0Ì2 y K J

Bài 12. Đường thẳng AC đi qua A, vuông góc vói BH có phương tr3x + y - 7 = 0c = .AC r> CM nên C(4 ;-5). Gọi B(3y + 7;y) € BH và trọng tâm tam

ABC là Gp y— e CM nên y = -3 => B(-2;-3)

Bài 13. G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC nMA~ 3MG =5» A(0; 2) gAABC vuông cân tại A nên AM J_ BC phương trình. đường thẳng BC:-X + 3y + 4 = 0MB = MC - MA = y/ĩõ nên B, c thuộcđường tròn tâm M, bán kính R = Vĩõ,toạ độ của B, c là nghiệm cửa hệ:Ị (x - l) 2+(y + l)2 =10[ - X + 3 y + 4 = 0

Suy ra B(4; 0), C(-2; -2 ) hoặc B(-2; -2) và C(4; 0)Bài 14. Ta có: A - ABn AC nên A(-4; 2).

Gọi B (x;-^ x-1 4)eAB;C^1-— ;y je AC

Trọng tâm tam giác ABC làg Ị — - — - 4

nên£ - 5 l - 1=-23 6

Z - ~ - 4 = 0.3 3

x 3 nênB (-3;-2) và B(l; 0) _y = 0

Bài 15. Gọi đường cao BBị : 4x + 3y - 1 “ 0.Phân giác trong AD:X- y + 2 = 0Và Hi đối xứng vói H qua AĐ thì Hi e AC nên Hi (-3;1)Phương trình đường ủiẳng AC: 3x - 4y + 13= 0A = ADn AC, tọa độ là nghiệm củahệ phương ữìnli:

\ x - y + 2 = 0 0 ÍX= 53x —4y + 13 — 0 = 7



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Đường cao CH đi qua H, vuông góc với HA = (6; 8) có phương trình:3x + 4y + 7 = 0c = AC n CH, tọa độlà nghiệm của hệ phương trình:

103*-4y+13 = 03x + 4y + 7 = 0 x = ~ 3 vậ L 10 3

y = 4 1 3 4'4Bài 16. Gọi đường cao AH: 6x - y - 4 - 0 vả trung tuyến AN:

7x - 2y - 3 - 0Ta có: A = AH n AN, tọa độ ỉà nghiệm của hệ phương trình:

6x - y - 4 = 0 ịx = \7 x ' - 2 j / - 3 = 0 ự = 2

M là trung điểm của AB nên B đối xứng với A qua M. Suy rá: B(3; -2 )Đường thẳng BC đi qua B, vuông góc với AH có phương trình:

X + 6y + 9 = 0Gọi N = BC o AN, tọa độ lànghiệm của hệ phương trình:

X = 0 X 6 y + 9 = 07x-2 j>-3 = 0o

Đường thẳng AC đi qua hai điểm A,c có phương trình: 3x —4y + 5 = 0Bài 17. Trung tuyến AM: 5x + y - 9 = 0 và đường cao BH:X+ 3y - 5 = 0

Đường thẳng AC đi qua C; vuông góc vói BH có phương trình:3x - y + 1 = 0A= AC n AM, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

3*-j/ + l = 0 f* = l A(l;4)5x +V- 9 = 0 ]y = 4

Ta có: B eBH nên B(5- 3b; b) vàM là trung điểm BC nên M4 -3b b-2

Ta có: M eAM nên 5Ì i — j _ = 0 <=>b~ Onên B(5; 0)

58



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 18. Gọi G là trọng tâm AABC thi G = BM n CP, tọa độ là nghiệmhệ

14, , [x + y — 12 = 0Phucmg trình:<

14 jc —5 +1 s = 0

X - -

Suy ra: CQ //■BG và BQ // CGPhương trìiih đựờng thẳng CQ: x + y -1 8 = 0vàC = CQ n CP=>0(8; 10)Phương-trình đường thẳng BQ: 4x - 5y +24 = 0 vả B = BQn BM=> B(4; 8)

Điểm A đối xứng với Q qua G nên A(2; 4)

_ , , Ịx = ỉ + / _,Bài 1. Cho hai điêm A(—1; 2), B(3; 1) và đường thăng A : ^ . Tìm [y = 2 + t

độ đỉnhc thuộc đường thẳng À sao cho:a. Tam giác ABC vuông b. Tam giác ABC cân.c. Tam giác ABC đều ____________ _____________

59



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





GiảiTa có: A, B không thuộc đường thẳng A và gọi C (l+; 2 + ) € A

= Ã c = (t + 2;t) và BC = ự -2 ;t + ỉ)a. Tam giác ABC vuông.

*AABC vuông tại A<z>AB Ả- AC AB.AC = ồ o4 ( 2 + t ) - t = ồ <z>t = -» J 5 2nen c ;—

V 3 3*AABC vuông tại B<=>ẢB1BC <>AB.BC = 0<=>4(t~2)~t-ì = 0.<=>t - 3nên C(4;5)*AABC vuông tạic

- ỉ±J Ỉ3o / IC lSC o^ C .5C = 0 o ( f + 2 )(/-2 ) + / (í+ l) =o í = - nên

c 'h o * c c f -3- ^ ; ^ ì )

W 7 + /3?4 ; 4 I - - !\ y \

b. Tam giác ABC cân*AABC cân tại Ao A B = ACe>AB2=AC20 1 7 = (í + 2)2+ í2<=>2/2+ 4/-13 = 0

‐ , rj5õ + y/ ĩõ ) u . f-V3Õ 2-V3Õ — — — nênc — - —— hoặcc -- :------ — 2 ( 2 ) 9 {

<=>

*AABC cân tại B

<=>AB = BC<r> AB2 = 5C <=>17 = (/ - + (/ + 1 <=>t1 - t - = 0/ = 3

nên c(4;5)hoặc C(-1;0)

*AABCcântạiC

<=> AC -B C o ^C 2= BCZ <=>(í +ì ỷ + í2 = (í —2)2 + (V+ 1)2 o / = —

. 13nên c — U ’ 6 j 4

c. Tam giác ABC đều\AC = SC ỈAC2=BC2 ị(t + 2)2 +Í1 = (t -2 )2+(/ + l)2[4C = ^ [ á c 2= AB1** {(í + 2 +12= 17

<=>

o/ = -

6

r - -2±>/3Õ nên không có điểmc

60

i

I r o



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 2. Cho điêm A(2; 1) và hai đường thăng dí: X+ 2y - 2 = 0, d2: X- 2y + 2 = 0.Tìm các điểm B,c lần lượt thuộc di,Ở 2 sao cho tam giác ABC vuông cântại A. _ _ _ _ _ _

Phép quay Q (A; 90°), Q (A; - 90°) lần lượt có biểu thức giải tích là:

Ịx ' = - y + 3 j x ' = y + ì [y' = X - 1 [y = - x + 3

Phép quay Q (A; 90°): di -» ái, phương trình đường thẳng ai:-2 x + y + 5 = 0Q (A; 90°): B e di -* Ceai và c e di nên íộa độ của c là nghiệm của

~ ị—2x + y + 5 = 0 fx = 4ệ: 1 _ 7 V?1 ° 1 , ^ c ( ;[ x - l y +2 = 0 , \ y =Ậ -

Q (A; - 90°): c -» B thì B(4; -ỉ)e diPhép quay Q (Á; - 90°): di ->ạ.2 , phựcmg trình đường thẳngã2’ .2x - y - 1 *=0Q (A; - 90°): B € dĩ -> c eạ.2 v à C e dạ nên tọa độ của c là nghiệm củ

j2x —y - ì = 0 hệ: 1 _ <=>I X —2ỵ + 2 = 0 3 ^ c ' 4 :5

!5 ' 1 3 '31; r =? :

Q (A; 90°):c 4 B thí b I - ; - ] e di

Vậy B(4; -1),C(4; 3) hoặc b Í Ì ; Ì ] , C í | ; |

Bài 3. Cho điém Á(4; 4). Tìm các điém B,c lần lượt thuộc trục hoành, trụctung sao cho tam giác ABC đều.

GiảiPhương trìnht r ụ c hoành, trục tưng lần lượt là Ox: y = 0; Oy:X — 0Phép quay Q (A; 60°)có biểu thức giải tích là:



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Phép quay Q (A; - 60°) có biểu thức giải tích ìà

x -= ĩ. + ầ y + 2 ( ì - j 3 )

7 _ 4 * +x + 2 (i + V ĩ )

x = ị - ^ í + 2(l + V Ĩ)

, = 4 ^ + 2 (i - v t ị2 2

* Phép quay Q (A; 60°): Ox -> di, phương ừình đường thẳng di:~yfjx + y + 4(1 =)- V ĩ) = 0

Q (A; 60°): B € Ox -» C eđ ỉ và c e Oy nên tọa độ của c là nghiệm củaịx - 0 ịx = 0 ị-

hệ: < !-■ 0 4r- =>c (0; — 4 - 4 - ^ 3 )Ị—v/ĩx+ y + 4(Ị + Vj) = 0 4-4 ^3

Q (A; - 60°): c -» B thỉ B(- 4 - 4 3 ; 0)e Ox* Phép quay Q (A; -60°): Ox - » <Ỉ, phương trình đường thẳng d2:

>/ĩx + y + ( - V ĩ ) = 0Q (A; -60°): B 6 Ox -» Ced và c € Oy nên tọa độ củac là nghiệm

Ịx - 0 ịx = o Ị-cùahệ: ^ _ r- o i =i>c (Ọ;4 V3- 4)

[y/3x + y + 4(ỉ — V3) = 0 [ỵ = 4y Ị3-4

Q (A; - 60°): c B thi B(4>/3 -.4; 0)e OxVậy B(- 4 - 4>/3 ; 0), C(0; ~4 - 4s ) hoặc B(4 s - 4; 0), c (0; 4^3 -4 )Cách khác: Gọí B(x; 0) eOx và C(0; y) eOy

Ta có: ÃB - (x- 4;~4),ẨC = (-4;y ~4 ) và 5C= {~x',ỳ)Tam giác ABC đều

[ AC = AÊ Ị AC2=AB2 ịl6 + (y -4 )2 =16 +( x -4 )2•: «/~S. /"‘S ^L4C = £ C U c = C , ,. -ỉ6 + (y - 4Ỵ =x2+y2

0 ừ - 4 ) 2=(x -4 ) ! ohc2=32-8^

x = y X1 + 8* — 32 = 0 _V= - j: + !

<=> x ~ y ~ ~ 4 ± 4 ^ 3

x,j>e 0

X -8a: + 32 = 0Vậy B(- 4 - 4 V3 ; 0), C(0; - 4 - 4y5 ) hoặc B(4 V- 4; 0),c (0; 4 Vã - 4)

Bài 4.(A-2010) Cho tam giác ABC cân tại A có đinh A(6; 6); đường thẳngđi qua trang điểm của các cạnh AB, AC có phương trình: X' + ý —4-= 0.Tìm tọa độ các đỉnh B,c, biểt điểm E(l; -3) nằm trên đường cao đi quađỉnh c củatam giácđó.

62



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





G i ả i

Gọi H là trung điểm BC và D. lả trung điểm của AH, ta có: AH _LBCđường thẳng AH đi qua A, vuông góc với đường thẳng d:X + y - 4 = 0có phương trìàh:X- y = 0 => D= AH nd nênD(2; 2) => H(-2; - 2) / Phươngừ ình đườngthẳng BC:X+■y + 4 = 0 (d) /

A(6;6)

d \Gọi c ịx;— X — 4)eZ?C=>2?(— r ( 1 xa trung Qieni DL /) ■" /

Ta có: EC = {x —\’ ,-x~\)',AB = {-x —\tyx~6}

CE -L ÁB =>ẼCÃB =0 o V + 2 i - 8 =ơ o x = 2 x = i

Vậy C(2; -6 ), B(-ố; 2) hoặc C(-4; 0), B(0; -4 )Bài 5.(8-2010) ■Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4; 1); phân g

trong góc A có phương trình:X+ y - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳngBC, biêt diện tích tam giác ABC băng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

GiảiGọiCi là đỉểm đổi xứng vớic qua phân giác trong góc Athì Ci(4; 9)e AJBTam giác ABC vuông tại A nên CỉA X AC.Gọi A(x; 5 - x) ed:X+ y - 5 = 0

= .( * .- 4 ; - j c - 4 ) ; C Ĩ - ( x + 4 ;4 - jc )và q j -LCAe> qA.C 4 = ữ<=>* =

Do A có hoành độ dương nên A(4; 1) và AC = 8

dt(àABC) =-AB.AC = 4 AB = 24=>AB = 6.

Gọi B(x; y) và AB = (x - 4;y -ìỳ-jCA = (8; o)

X--4

ABLCA I AB.CA = 0 Í8(jc-4) = 0 AB = 6 [v452 =36

x = 4 y = l ' x = 4 y ~ —5

nên B(4; 7) hoặc B(4;—5)Do B,c nằm khác phía đối với đường phân giác trong góc A nên B(4; Phương trình đường thẳng BC: 3x - 4y + 16 - 0

63



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài tập đề nghịBài 1. Cho tam giác ABC cân tại A, phương trình các đường thẳng AB, BC

lần lượ t là: X - y - 5 = 0 và X “ 3y - 1 = 0. Đường thẳn g AC đi qua điểmM(-4;l). Tìm toạ độ đỉnh c

Bài 2. (Dự bị B—06) Cho tam giảe ABC cân tại B vởi A(l;-1), G(3;5). Đỉnh

B thuộc đường thẳngả : 2 x - y = 0 ..Viết phương trình các đường thẳngAB, BC.

(4 O .Bài 3.(Dự bị 05) Cho tam giác cân ABC có trọng tâm ƠI — I, phương trình

BC: X- 2y - 4 = 0, BG: 7x - 4y - 8 =0.Tìm tọa độ các đỉnh A, B, c,Bài 4.(Dự bị 05) Cho tam giác ABC vuông ở A,Biết A(-Ị;4), B(l; -4) và

đường thẳng BC đi qua điểm j . Tìm đỉnh C.

( 4 7 \ ^Bài 5.Cho tam giác ABC có đỉnh ị và hai đường phân giác trong

BB : X - 2y - 1 = 0, c c : X + 3y-—i - 0. Chứng minh tam giác ABCvuông.

Bài 6. (Khối A-2002) Cho tam giác ABC vuông tại A, phương trinh đườngthẳng BC là y / ỉx - y - y ỉ ỉ = 0các đỉnh A và B thuộc trục hoành, và bánkính đường ừòn nội tiếp bằng 2. Tỉm tóạ độ trọng tâm G của tam giácABC.

Bài 7. (Khối B - 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, chođiểm A (2; 2) và các đường thẳng: đi: X + V - 2 — 0,ầ i X + y - = 0.Tìm tọa độ 'các điểm Bvà c lần lượt thuộc đi và cUsao cho tam giác ABCvuông cân tại A.

Bài 8. (Dự bị-D 04) Cho tam giác ABC vuông tại À. Biết A (-l; 4), B(l;~A),

đường thẳng BC đi qua điểm ;2 j . Tìm tọa độ đỉnh c .

Hướng dẫn giảiBài 1. Phương trình đường thẳng A đi qua M,

song song với BC: X- 3y + 7 = 0Gọi N là giao điểm của Ạ vả AB, toặđô N là nghiêm của hê:[x-3y + 7 = 0 “ ’•X -y-5 = 0 <=> X=11

y = ố

64



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Gọi I là trung điểm của đoán thẳng MN thìl ị~ \ —

Phương trình đường thẳng (d) đi qua I nhận MN = (15;5) làm vectơ ptuyến: 3x + y - 14 = 0A là giao điểm của đường thẳng d và AB, toạ độ của A ìà nghiệm của

193 x + y - 1 4 = 0

X - y - 5 = 0<=><

X = —

Tacó A W ~j' 3 :£ ; _ í = (1;7). ■

Phương trình đường thẳng AM:X + 7y - 3 =ọ

c -A M nBC, toạ độ là nghiệm cùa hệ:ix <=>l x - 3 y - l = 0

X = — 5

Vậy:C(H ) .

Bài 2. Gọi H là trung điểm cùa AC thi H(2; 2) và BH±AC Phương trình đường thẳng BH:X + 3y - 8 = 0 nên B = BH n đ

Phương trinh đựờng thẳng AB: 23x - y - 24 = 0 và BG: 19x - 13y + 8 =Bài 3.Ta có: B = BC C\ BG => 5 (0 ;- 2 ). Gọi M là trung điểm của AC thì

Gọi c (2 y + 4;_y) £ BC => A(-2 y ;3 - y) nên AC = {Ay + 4;2v-3 ) ,

55-(H)* Trường hợp 1. Tam giác ABC cân tại đình B thì

B G X Á C ^> B G Ã C = ồ^ > - (A y + A) + - { 2 y - 3 ) = Ồ^>y = ~ nên3 3 6



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





* Trưòng hợp 2. Tam giác ABC cân tại đỉnh A thì> = 0

AG 1 BC => AG.BC = 0 o y 2+2y = 0 <=>

nên C(4;0);^(0;3); C(0;^2)M(4;5)* Trường hợp 3. Tam giác ABC cân tại đỉnh

cthì

CG -L BA=ỳ CG.BA = 0 5yz + —= 0 » V 6 03

Bài 4. Đường thẳng BC đi qua hai điểm B và M có phương trình:9x - 2y - 17 = 0. Tam giác ABC vuông ờ A nên đường thẳng AC đi quaA, vuông góc với AB có phương trình:X- 4y + 17 = 0.Tọa độ đỉnhC = AC nBC ^> C(3;S)

Bải 5.Gọi Aj, A lần lượt đối xứng với A qua BB và c c thì Ai, A thuộcđường thẳng BCTa có: Phép đối xứng qua đường thẳng A: Ax + By +c= 0 vơi A2 + B2 * 0

2A(Ax + By + C)X = x —

A2+B22B(Ax + By + C)

Nên

y.=-+- =-1

y = y —

4 j K j

=>A(2;-l)và- 5 1 0

L #10

=0

=-1

Đường thẳng BC đi qua hai điềm Ai, A có phương trình: y + 1 = 0 B = BC r\B B '^> B {-1;-1) vàC = BCc\CC' ' = > c ( 4 ; - l )

AB = — ;----- AC ẤB AC = AB J-AC nên AABC

vuông tại A.Bài 6. Ta có: BC cắt Ox tại B (1; 0). Gọi A(a; 0) và c(a;%/Ja -a/J)

Trọng tâm của tam giác ABC là G - a— ; —ỉl I• { 3 3 J

66



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Cách 1:Ta có AB = [ả - 1Ị; AC = V J |a - l|, BC = 2|a - 1|

1^ S MBC= ịA B .A C = Ỷ ( a - 1?

Mặt khác: s ^ c = r (AB + C + BC)

r _ 2SdABC _ Ịa-lị _2 AB+AC+BC V3+1

<=><£>ịa —lỊ —2V3+2 <=> a = 2>/3+3a = - 2 V —1

Vậy trọng tâm tam giác ABC là:^ [ 7 +4 J 3 6 + 2-v/J - . - . -4V3-1 -6-2V3 Ị(3 -------;----- .-------------- h o ặ c G — :--------•---------------

I 3 3 J l 3 3_ )Cách khác: Gọỉ I(xi; yi) là tâm đường tròn nội tiếp AABC.Ta có r = 2 nến yi = ±2, phương trình ▲X,

\ r ho ặc G - ‐ - 6 - 2 J 3

3 ’ 3

Ta có r = 2 nến yi = ±2, phương trìnhcủa đường thẳng BC: y = cóhệ số góc k = \/3 = tan a => a = 60°:Phương trình phân giác trong góc B là

BI:y = tan30°(x-l); y = x_1£

x] = ỉ±2>/3* Trường hợp 1: Nếu A và o nằm khác

phía đối với B thìXj = 1+2-J 3 nênl( l + 2V3;2),d(I,AC) = 2

a = 1+ V +2 = 3 + 2 f 7 +aS_ 6+2VT

G, 3 3\ /* Trường hợp 2: Nếu A và o nằm cùng phía đối với điểm B Xj = 1-2^3 nên ( - 2 ^ 3 ; - );

đ(I, AC)= 2 = * a = - l - 2 ^ = > G J ± ã z l - l Ế r ĩ ầ .3 2

67



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 7. Phép quay Q (A; 90°), Q (A; - 90°) có biểu thức giải tích là:ịx - -y +4 \x =y\ ỳ = x va ị ỳ = - x + 4

* Phép quay Q (A; 90°): di ãì, phương ừình đường thẳng ai:X - y - 2 = 0Q (A; 90°): B e di Ceai và c € d nên tọa độ của c là nghiệm của

f x - v - 2 - O ịx = 5 hê: O'! => c (5; 3)[x + y ~8 = 0 [v = 3

Q (A; - 90°): c -> B thì B(3; - l) e di* Phép quay Q (A; - 90°): di ->■ a, phương trình đường thẳngã2 '.

X - y + 2 = 0

Q (A; - 90°): B 6 d2 -> c s a nên tọa độ của c là nghiệm của hệ :.í x - y + 2 -O [x = 3 |x + .y -8 = 0 Ị_y = 5

Q (A; 90°): c B.thì B (- 1; 3) -6 diVậy B(- 1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; - 1), c (5; 3)Cách khác. Ta có: Be di vàc £ d2 nên gọi B(b; 2—b) vàC(c; 8 - c )Tam giác ABC vuông cân tại A nên:

ÍÃB1 ÃC ịÃB.ẢC = 0 f(ố —0(° —4)

ị ^ ^ C 0 | ^ = i C ; 0 | ( i - l ) 2- (c -4 )2=3 Ịx - b - l Íjọ/ = 2

Đăt < , ta có hê phương trình: < , ■ <=>= Tr [x2 _ / = 3

Suy ra: B(- 1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; - 1),c (5; 3)Bài 8. Phương trìnhAC:X- 4y + 17 = 0 và BC: 9x - 2y ~ 17 = 0:

c = AC n BC => C(3; 5)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bai tập mẫuBài 1. Cho tam giác ABC, A(2; 4), B(4; 8), C(12; 2).

. a. Viết phương trình đưòng trung tuyến AM (M <=BC) của tam gABC. .•

b. Xác đinh tọa độ đ ỉnh D e AM sâò cho tứ giác ABDC là hình thangGiải

a.Phương trình đường thẳng ÁM là:X- ốy + 22 = 0

b. Tứ giác ABDC là hinh thang* Trường hợp 1: AB//CD

Phương trình đương thẳng đ đi qua c,song song với AB: 2x - y —22 = 0D = AM o d, tọa độ là nghiệm của hệ phưcmg ừinh

x — € y + 22 = 0 Jx = i42 x — y — 2 2 = ồ = 6

Trường hợp 2: AC // BD

69



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Phươngtrình đườngthẳng dđi qua B*songsọngvới AC:X+5y — 44 =0D = AMr\ d, tọa độ là nghiệm của M pĩiương trình:ịx ~ 6 y + 22—ồ fx='14\x + 5y-4 4 = ồ {>' = 6

Bài 2. Cho đường tròn (C): (jr+l)2+(y-2)2= 13 và đường thẳng d: x - 5 y - 2 = 0.Gọi A, B ỉà giao điểm của d vói (C). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thangvuông ABCD (AD // BC, DAB-90°), biết đỉnhc e(C) và đỉnh D cáchđường thẳng d một khoảng bằng 2 V .

GiảiHình thang vuông ABCD có ADiì BC và DÁB - 90° nên ABC = 90°Tọa độ của A, B là nghiệm của hệ phương trình:

Ux + i f+ (y -2 ) 2 =13 U + y==0[ j c - 5 . y - 2 = 0 \x = 5y + 2

Nên A(2; 0), B(-3; -1) hoặc A (-3; -1), B(2; 0)Trưòng hợp 1. Khi A(2; ờ), B(-3; -1)Điểmc đối xứng với điểm A qua tâm I(- l; 2)cùa (C) nên C(—4; 4) Ta có: AD ± AB nênđường thẳng AĐ đi qua A, vuông góc với ABcỏ phương ữình : 5x + y -1 0 = 0Gọi D(x; 10 - 5x) eAD

'x = 4va d(D, AB) = \26\ J 2\ = V 6 ox = 0nên Di(4; -10) hoặc D2(0; 10).

Tứ giác ABCD là hình thang vuông nên D,c cùng phía đối với đườngthăng AB.Ta có: d(Dx) = 52, d(D2) = - 52 và đ(C) = -26 nên d(D2)d(C) >0. VậyđiểmD(0;10)Trường hợp 2. Khi A(-3 ;-1), B(2; 0)Điểmc đối xứng vói điểm A qua tâm I(-ỉ; 2) của (C) nên C(l; 5). Ta

có: AD J- AB nên đường thẳng AD đi qua A, vuông góc với AB có phương trình: 5x + y +16 = 0

Gọi D(x; - 16 - 5x) € AD vàd(D,AB) = _2 -J 2 6 o X - 5

x = \ Nên Di(5; -41) hoặc Da(l; -21).

70



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Tứ giậc.;AB€D ỉầ hìăh thang vuông nên D,c . cùng phía đối với đườngthẳngvAB/Tã; có:- đ(Dị) = 208, ,d (z ) = 104 và d(C) = -26 nên d(Dx)d(C)<0;đ(D )d(C) < 0 nên không;thòa mãn.

Kế tluận: A(2; 0), B(T3;'-lX C(-4; 4), D(0; 10) ________________________

Bài 3. Cho ba điểm A(10; 5), B(15; 5), D(-20; 0) là ba đỉnh của hình tcân ABCD. Tìm tọa độ đìnhc, biết AB // CD

2x - 25 = 0Đường thẳng DC đí qua D, vuông góc với d có phương trình: y = 0

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh A(-3; -1 j, B(2;2), giao đhai đường chéo thuộc đường thẳngX — 6y - 3 = 0, diện tích bằng 26. Tìmtọa độ các đỉnhc, __ ____ . _______________

Gĩẵi ,đTứ giác ABCD là hình thang cân

thang ABCD nênc đối xứng với D / V ______ P -V

với AB •// CD và gọi đ ỉà đườngthẳng đi qua trung điểm hai cạnhđáy tbì d là trục đối xứng của ỉùnh

H = d n DC cỏ tọa độ,h \ — ;0ị nên điểm C(45; 0).

GiảiTa có: AB = (5;3) và phương trình đường thẳng AB:3x -5 ỵ + 4 = 0CD ỉ ỉ AB nênc, D Ihuộc đường:thẳng d: 3x - 5y + c = 0

dt(ABGD) = ABM = sỊĨ4.h = 26=>h = vàV34

D' c* Trương họp U Khi d: 3x —5y + 30 = 0 '

eđ và ĩ là giao điểm của hai đườn

chéo AC vớrBD.

71



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





-~ỉ ± f L - 6i 35 - - 1 - 3 = 0 ó ^ = -15 nên c ( - ĩ 5; -3 )2 10 v ’ . ■ ■

„ , / 2 f x2 3 x 2 + 40^ A c ' 'ì ~ ( \ ‘Taeó: / —— ——— e A : x - 6 y - 3 —0l 2 10 J A ■ :

2_+£ 2__ ^ 3 — ^-~3 = 0<=> x2 = -20n ên Z) ( -20;-6)2 10 v '

* Trường hợp 2. Khi đ: 3x - 5y - 22 = 0

Gọi c í X.; 3 - - 2- j , -D x2;— ——j € d và I là giao điểm của hai đường

chco AC với BD.

Ta có: / Ị ^ Ỉ Ì Ì L ;3- C l 7j e A: X - 6y - 3 = 0

^ r l t f l - I I I - 3 = 0 o = 9 nên c (9 ;l)2 10 v 7

Ta có: — j e A: X- 6y - 3 = 0

feL~ fĩ} - - Q ^ r =4 nên Z>(4;-2)2 10 2 v ' "

Ta cỏ: / f -! ± ÌL ;2 íL l3 ì j eA: X - 6y - 3 = 0

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1(1; -ĩ) và phương trinh đường

thăng AD:X + y + 2 - 0, AD = 2AB. Tìm. tọa độ các đinh của hình chữnhật, biết đình A có hoành độ âm.Giải

Phương trình đường thẳng d đi qua I, vuông góc với AĐ:X~ y - 2 = 0Gọi M = ADn d, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: Ị X + 7 + 2 = 0 Jx~0 jx->>-2 = 0 [> = -2Gọi N đối xứng vói M qua I thì N(2;0) eBC và A(x; - x - > ) eADKhi đó: AD = 2AB => AM = MN

x~2 nênA(-2;0)x = - 2

Điểm D đối xứng với A qua M nên D(2; -4). Điểmc đối xứng vói À vàB đốì xứng vớì D qua I nên C(4; -2), B(0; 2).

o 2x2= 8 <3-

72



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 6. Cho him thoi ABCD có tâm /(0 ;l) và phương trình đường thẳng AX + 3y -1 = 0, đỉnh Dthuộc đườngthẳng:X - 3y + 1 = 0. Tìm tọa độ cácđỉnh của hìih thoi

GiảiGọi M ( x ;/ ) là ảnh của điểm M(x; y) qua phép đối xứng tâm I(xo; yo

Tacó: M - Ĩ M ~ 2 x° ~ xl y = 2 yữ - y ịy = 2 y o ~ y

Khi /(0;l) thi biểu thức giải tích của

phép đối xứng tâm I là:\ x - ~ x ' \x = ~x< „ ỉioặc <

\ y - 2 - y ■ [ y = 2 - ỳGọi D(I):là phép đối xứng tâm I. Khi đó: D(I): Bh D và AB h->DC.Suy ra phương trinh đường thẳng DC:X+3y - 5 = 0.Mặt khác: Ded: X - 3y + 1 = 0 nên tọa độ của D là nghiệm của

> , fx + 3y -5 = 0 ịx = 2 A , - . phương trình: j o j nên £>(2;l) và £(-2;l)

Đường thẳng AC đi qua ĩ, vuông góc với BD cỏ phương trình: X= 0Suy ra: A = AJB n AC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

{ * i r i=0ô t = i nên4 0;ĩ ) vàcHBài 7. Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(-l; 3) và hai đỉnh B,c thuộcđường thẳng có phương trình:X - 2y + 2 = 0, các tọa độ đỉnhc đềudương. Tìm tọa độ các đỉnh B,c, D của hình vuông; tính chu vi và diệntích của hình vuông đ ó . ________________________________ __

GiảiĐường thẳng d đi qua A, vuông góc với BC có phương trình:2x + y - 1 = 0

B = d n BC, tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:ị2 x + y - l - 0 ^ jx = 0 ngn g^Q\ ) vk AB = J Ĩ \ x - 2 y + 2=Q Ịy = l

Gọi C(2y - 2; y) eBC,

BC = yỊ( 2 y - 2 )2+ ( y - ỉ )2=yỊsy 2- l 0 y + 5

73



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Do đỉnhc có tọa độ dương nên C(2; 2).Gọi D(x; y) và CZ> = (jc-2;>>-2), BA = (-l;2). Tứ giác ẰBCD là hình

— ----ịx - 2 ~ - ỉ Ị x ~ 1 „ ^vuông nên:CĐ = B A o< 4 nênD (l;4 )[y- 2 = 2 Ị.V= 4Chu vi hình vuông là L- AAB = 4-v/s (đvđd).Diện tích hình vuông ỉà s = AB2= 5 (đvđt)

Bài 8. Cho hai đường thăng dj:X + 2y - 1 =0 , d-' X + 2y -8 = 0 và điểmA(1 ;2). Tìm tọa độ các điểm Bedi, Ded và c sao cho tứ giác ABCD làhình vuông.

Giải ịXét phép quay Q (A; 90°), Q (A; - 90°) có biểu thức giải tích là:

Q (A; - 90°) :D H B thì B(-5; 3 )e d]Phương trình đường thẳng BD: 7x +- 5ỵ + 20 = 0 V\ .ươngtrình đưòngthẳng d đi qua A, vuông góc với BD là: 5x - 7y 4- 9 r L GọiI = BD r \ d, tọađộ là nghiệmcủakệ phươngti:

B

* Phép quay Q (A; 90°): di phương trình đường thẳng ax:2 x - y - 4 = 0Q (A; 90°): B 6 d[ H Deaivà D 6 d nên tọa độ của D là nghiệm của hệ:

A

diD

5

2Điểmc đối xứng với A quaBDnên I là trung điểm: ư à AC.Suy ra: C(-6; -3)* Phép quay Q (A; - 90°): đi a2, phương trình đưòng thẳng3.2' 2x - y + 4 = 0

74



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





5 ’ 5Bài 9. Cho hình, vuông ABCD có tâm I, biết A(-2;2) và trọng tâm tam

ABC và ĨBC lần lượt G^—;2 j,G j .• Viết phương trình đư

thẳng CDGiải

Gọi M là trung điểm của BC thì:

ỠM = - IỠ= > M ( 3 ; 2 )

Ta có:- G’là trọng tâm AIBC nên IM = 3ƠM => /( l ; l )

c đối xứng với A qua I nên C(4; 0)Đường thẳng CD đi qua

c,song song với IM có phương trình:

2x - y —14 - 0_________________________ _ _______________________Bài 10. Cho hình vuông ABCD có M là trung điêm cạnh BC, phương

đường thẳng DM: x - y - 2 = 0v à C(3;-3). Đỉnh A thuộc đường thẳ3x + y —2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D.

GiảiTa có: dí(AẢDM) = 2íA(ADCM) => = 2d(C,DM)Gọi A(x; 2 - 3x)e d thì:

d(A,DM) = 0 - = 2 d ( C , D M ) = ^

=>\x — 1 = 2 o x = 3 x = - ì

nên A(3; -7 ) hoặc A (- l; 5) B C(3;-3)

Do A nằm khác phía vớic đối với đường thẳng DM nên A (- l ; 5)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Gọi I là trung điểm của AC thì 1(1; I) vả phương trình đường thẳng DB:X- 2y + 1 = 0D = DM ri BD => Đ(5; 3) và B đối xứng với D quạ I nên B(-3; -1)

Bài tập đề nghịBài 1. Cho ba điểm A(~l; 0), B(2; 3), C(4; 2) và đường thẳng d: 3x + y + 2 = 0.

Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d sao cho tứ giác ABCD là hìnhthang.

Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ẠD = AB, DC —2ẠB và BAD = 90°. Biết M(l; -1) lả trung điểm cạnh DB và trọng tâm của tam

giác ABD là G ^ - ;0 j . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang.

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB//-CD), cạnh AB, AD lần. lượt có phương trình: X+ y - 4 = 0; X+ 2y - 8 = 0. Đường thẳng chứa cạrih BCđi qua điểm M(5; 2). Tìm tọa độ cầc đỉnh của hình thang cận ABCD, biếtđỉnh c thuộc đường thẳng đ: X - y = 0.

Bài 4 Cho hình bỉnh hành có toạ độ một đỉnh là (4 ;- l) , phương trình haicạnh: X - 3y = 0 và 2x + 5y + = 0. Tìm toạ độba. đ ỉnh CÒDỊ lạ i củ a h ìn h bình hành đó.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD có diện tích s = 4, biết A(1;0), B(2;0).Giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng A:V - X. Tìm toạ độ các đỉnh c và D

Bài . Cho ba đường thẳng di: X - y + 1 = 0; ch: X - y = 0; d.: X - y -1 = 0và điểm M(0; 1) ed i. Tìm tọa độ các điểm N ed, Qeđ và p sao chodiện tích hình chữ nhật MNPQ có giá trị nhỏ nhat.

Bài 7. (Khối B - 2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm iị —;P j. Phương

trình đường thẳng AB là: X - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD: Tìm tọạ độ cácđình A, B, c, D. Biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.

Bài 8. Cho hình chữ nhật ABCD có phương ừình đường thẳng chứa hai cạnhlần lượt là: 2x - 3y + 5 = 0, 3x + 2y 7 = 0 và đỉnh A(2; ~3). Tính diệntích cùa hình chữ nhật đó.

Bài 9. Cho hình thoi ABCD có tâm 1(1; 1) và phương trình đường thẳng ẠB:2x - y + 1 = 0, đỉnh D thuộc đường thẳng: X- y + 1 = 0. Tìm tọa độ cácđỉnh của hình thoi.

Bài 10. Cho hình thoi ABCD có A(l; 3), B(4; —1) và AD song song với trụchoành. Tìm tọa độ các đỉnhc, D biết đỉnh D có hoành độ âm.

Bài 11. Viết phương trùih các cạnh eúa hình vuông ABCD, biết A(-4; 5) vàmột đường chéo có phương trình: 7x - y + 8 = 0.

76



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







Bài 3. Đường thẳng AB:X + y - 4 = 0 và AD:X + 2y - 8 = 0 Nên A = AD n AB =>A(0; 4)Đường thẳng a đi qua M, song song vớiAB có phưcmg trình:X + y - 7 = 0Gọi N = AD n a

>N(6; I) và trung điểm MN là iỊ — j

Đường thẳng À đi qua ĩ, vuông góc vớiAB có phương trinh: X - y - 4 = 0Điểm B đối xứng với A qua đường thẳng A nên B(8; -4)Phương trình đường thẳng BC: 2x + y —12 = 0 vàc = BCr\ dĐiểm D đối xứng vớic qua đường thẳng A nên D(8; 0)

B à ỉ 4. Đặt AB:X - 3y = 0 và BC: 2x+ 5y+ 6 = 0 và Đ(4; -1 ) .

C(4;4).

m J 5 ; J Ị11 11

B = AB n BC

DC // AB nên DC có phương trình: X~ 3y —7 - 0

=> c = DC n BC => cf— { n 11

AD // BC nên AD có phương trình: 2x + 5y - 3 = 0 và A = ADr\ AB

V H 11Bài 5. Ta cỏ ABCD ỉà hình bình hành nên DC // AB, AB = 1, s = h.AB = 4

h = 4Suy ra: D, c thuộc đường thẳng A song song với AB và cách AB mộtkhoảng bằng 4Phương ừình A: y = 4 hoặc y =-4- Khi A có phương trình y = 4. Gọi C(xc;4),D (x d ;4)Trung điểm I của AC thuộc đường thẳng y = X

=>—■ - = 2=>xc = 32Trung điểm I cùa BD thuộc đường thẳng y = X.

0 x n + 2 ^ _ Suy ra: ——— = 2 => XD= 22

Vậy: C(3;4) và D(2;4)- Khì A có phương ứình y = -4.Gọí C(xc;-4) và D(x d;-4)Trung điểm ĩ của AC thuộc đường thẳng y = X.

78



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Suy ra: Xc + 1 - -2 :=> Xc - -5

Trung điểm ĩ củaBD ứiuộc đườhg thẳng y =X.

Suy ra: — —2 - -2 =>XD= -6

Vậy: C(-5;-4) và D(-6;-4)Bài 6. Gọi N(a; a) ed và Q(b + 1; b)ecỈ

l r = (a ;a -1 ), MQ = (è + l;è - l)Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

nhất o dtịpMNỢ) nhỏ nhất. Ta có:

' m i M Q ịm M Q = o■A(AMVe ) = M ^ ~ Ị rfí(AMVB)=M ^ 2

ị 2 a b - b + ỉ = ồ

I * ( A MNQ) = |.J[ (2 a - 1)2+] ( ỉ2 + 1)

'(2a -l )ỗ + l = 0

° |<*(AA!W S)=I^[(2 a - l ) 2 +l](42 +l)

\x=?2a-ỉ Đặt ị '

o y=— X

dt(AMNO)>ỉ dt(AMNQ) = - ^ 2 + x2+ ~

=>mind/(AMVố) = 1 khi

- 1 Fjc —1;V = —X \2a~~ l = l;ỉ> = —1 Ị"a=l;ố = —1X = —— => zí>< > X 'x = -l;j/ = l 2 a - l = -l;i> = l \_a = Q\b = 1

* Khi a = 1; b = - 1 thì N(1; 1); Q(0; -1) và lQ .;0 j nên P (1 -1 )

* Khj a = 0; b - 1 thi N(0; 0); Q(2; 1) và nên P(2; 0)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Suy ra: (ố -])2= ỉ o

Bài 7. Đưòng thẳng d đi qua I, vuông góc với AB là: 2x + y - 1 = 0Gọi N = AB n d thì N(0; 1) và M đối xứng vói Nqua ĩ nên M(l ; - 1)Gọi A(2b - 2; b) eA B và ĨŨ = (Z b -2 \b - \) , MV = (-1;2)Ta có: AN J_ MN và AB = 2AD nên AN = MN.

'b = 2 U(2;2) _ổ==0

Do điểm A có hoành độ âm nên A(-2; 0);B đối xứng với A qua N nên B(2; 2)c đôi xứng với A qua I nênCỌ; 0) và D đôi xứng vóic qua M nênD(- l ; -2 )

Bài 8. Đặt DC: 2x - 3y + 5 = 0 và BC: 3x + 2y - 7 - 0Khi đó:

AD = d(A,DC)=-^L và A B = d (A ,B C )= ~ V13 vl3

dt ( ẢBCD) - ÁB.ẨD = = — (đ vdt)v i3 V13 Ỉ3

B

“LD

Bài 9. Gọi là ảnh của điểm M(x; y) qua phép đổi xứng tâmI(xo; yo) . ,

Ta có: MI - ỈM o I X = 2jcn ‐ X j: = 2jc0-X [ỳ=2yữ -y [y~2yữ -y

Biểu thức giải tích của phép đổỉ xứng tâm I là: ^\x ~2 ~ x ịx = 2~ x[y =2-y [y=z2-y

Gọi D(I) là phép đối xứng tâm I. Khi đó: D(I): B M>D và AB->DC.Suy ra phương trình đường thẳng DC: 2x - y —3 = 0.Mặt khác: D e d:X- y + 1 = 0 nên tọa độ của D là nghiệm của hệ phương

Í 2 x - y - 3 = 0 ịx = 4 „ ,.

{“ - ,+ 1 -0 0 u = s ử(4;5) B(_2;"3)

Đường thăng AC đi qua I, vuông góc với BD có phương trình:3x + 4y - 7= 0Suy ra: A = ABr\ AC, tọa độ là nghiệm của hệ phưomg ừình:

3



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN





Bài 10. Ta có: AD // Ox nên phương trình đường thẳng AD: y - 3 = 0BC // AD => BC // Ox nên phương trình đường thẳng BC: y + l = 0Gọi D(d; 3) eAD và C(c; —1) eBCTứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = ADi ữ giaca ì j c ; jư la m nn tnoi nen AJữ = tíu = AU

\BC = AB [(c-4 )2 = 25 | c - 4 = ±5 |c = 9;c = - lSuy ra: ị o r 7 o ị & ị

\A D = AB [(^_1)2=25 V - l= ± 5 \d = 6;d =- 4Do điểm D có hoành độ âm nên C(9; -1)hoặc C(-.l; -1 ) và D(-4; 3)Ta có tứ giác ABGD ià hình thoi nênc, Dnằm cùng phía đối với đưòng thẳng AB

A /

I

DPhương trình đường thăng AB là d: 4x + 3y -1 3 = 0* Xét hai điểm C(9; -1 ), D(-4; 3), ta có: d(C) - 4.9+3.(-l) -13 = 20d(D) - - 2 0 nên D,c nằm khác phía đối với đường thẳng AB. Do đó tđộ các điểm cần tìm C (- l; -1 ) vàD(—4; 3)

Bài 11. Ta có: Điểm A không thuộc đườngthẳng7x - y+ 8 = 0nên đặt BD:7 x - y + 8 = 0t hìC đối xứng với A qua BD nên

J 4 ( ^ - 5 + 8)50

2(-28-5 + 8)y = S + . . \ . ---- L -450

c(3;4)

Gọi B(x; 7x + 8) eBD và AB = (x + 4;7x + 3 );CB = (x - 3; 7x + 4)

Ta có: Ị a b i c b ÌAB.CB=0■\ ầ B = CB^>\a B1 = CB2

o x +x = Q oX - 0

x ~ —\nên B(0; 8), D(-l; 1)

hoặc D(0; 8), B (-l; 1)Bài 12. Phương trình đường thẳng AB: 2x - y = 0 và BC:X+ y - 6 = 0

Gọi ;_yje./íLB:=>iV(6->>;>>) và jp(a ;0 );0(ố ;0 )e0x vớ i a > b > 0

m = [ 6 ~ ^ - ^ N P = (a + y -6 --y YQ P = ( a -b ^ )

Ta có tứ giác MNPQ là hình vuông nên' m n = q p

ịM N / IQP\MN - QP [MN LNP;MN = NP

MN.NP = 0 MN = NP

81



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN







MỤC LỤC

§1. Các khái niệm cơ bản .......................................................................... . 5

§2. Tìm tọa độ của một điểm, một véctơ .......................................................8

§3. Phương trình đường thẳng........................................ .. ...............25

§4. Đường tròn.............................................................................................. 83

§5. Elip....................................................... ............. ................................110

§6. Hypebol...................................................... .................................................. 131

§7. Parabol...................................................................................i...............150


OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG Đ

ẠO TP.

QUY N

HƠN


Documents

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG - LÊ THỊ HƯƠNG (TRÍCH ĐOẠN)