Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Phần 1: Giải tích Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
Chương 1 : Chuỗi Fourier
Chương 2 : Tích phân Fourier và biến đổi Fourier
1
Chương 1 Chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
1.1 Hàm tuần hoàn 1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier 1.4 Khai triển bán kỳ 1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier 1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
2
1.1 Hàm tuần hoàn
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
Định nghĩa 1.1hàm f(t) gọi là tuần hoàn nếu và chỉ nếu tồn tại số dương T sao cho
f(t+T) = f(t) với mọi t trong miền xác định của f(t)
T gọi là chu kỳ (chu kỳ cơ bàn ) Phân loại: f(t) tuần hoàn sin f(t) tuần hoàn không sin
3
Ví dụ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 4
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 5
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
00 0
1( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω+∞
=
= + +∑
Vôùi : n = 1,2 …ω0 = 2π/T = taàn soá cô baûna0, an , bn = caùc heä soá khai trieån chuỗi Fourier .
Chuỗi Fourier của haøm tuaàn hoaøn f(t) chu kyø T laø :
Giaù trò caùc tích phaân xaùc ñònh2 2
0 0
2 2
2
0 0
2
2
0 0
2
2
0 0
2
cos( ) sin( ) 0 ,
cos( )sin( ) 0 ,
0cos( )cos( )
20
sin( )sin( )2
T T
T T
T
T
T
T
T
T
m t n t dt m n
m t n t dt m n
m nm t n t dt T m n
m nm t n t dt T m n
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
− −
−
−
−
= = ∀
= ∀
≠=
=≠
= =
∫ ∫
∫
∫
∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 6
2
0
2
2 ( )T
T
a f t dtT
−
= ∫
2 2
0 0
2 2
cos( ) sin( ) 0 ,T T
T T
m t n t dt m nω ω− −
= = ∀∫ ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 7
00 0
1( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω+∞
=
= + +∑
2
0
2
2 ( ) cos( )T
nT
a f t n t dtT
ω−
= ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 8
00 0
1( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω+∞
=
= + +∑2
0 0
2
2
0 0
2
cos( )sin( ) 0 ,
0cos( )cos( )
2
T
T
T
T
m t n t dt m n
m nm t n t dt T m n
ω ω
ω ω
−
−
= ∀
≠=
=
∫
∫
2
0
2
2 ( )sin( )T
nT
b f t n t dtT
ω−
= ∫
Caùc heä soá khai trieån Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 9
00 0
1( ) ( cos sin )
2 n nn
af t a n t b n tω ω+∞
=
= + +∑2
0 0
2
2
0 0
2
cos( )sin( ) 0 ,
0sin( )sin( )
2
T
T
T
T
m t n t dt m n
m nm t n t dt T m n
ω ω
ω ω
−
−
= ∀
≠=
=
∫
∫
● nếu f liên tục tại t.
● nếu f gián đoạn tại t.
Điều kiện tồn tại
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 10
Định lý 1.1: (Định lý Dirichlet)
Nếu hàm f tuần hoàn chu kỳ T và thỏa điều kiện Dirichlet trên một khoảng IThì chuỗi Fourier của f hội tụ về :
( )f t1 ( ) ( )2 k kf t f t+ − +
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 11
a) Xác định chuổi Fourier ?b) Kiểm lại dùng MATLAB ?
Giải
Chu kỳ và tần số cơ bản:
Các hệ số chuổi Fourier: a0 = 2,
1
3 4 2 3 4 2( ) 1 sin cos 1 cos sin3 3 3 3n
n n t n n tf tn n
π π π ππ π
∞
=
= + + − ∑
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 12
pi = 3.14159; N = 100; T = 3; a0 = 1;w0 = 2*pi/T;t = linspace(0,2*T,600);for n=1:N
a(n)= (3/(n*pi))*sin(4*n*pi/3);b(n)= (3/(n*pi))*(1 - cos(4*n*pi/3));
endfor i=1:length(t)
f(i) = a0;for n=1:length(a)
f(i) = f(i) + a(n)*cos(n*w0*t(i)) + b(n)*sin(n*w0*t(i));
endendplot(t,f,'black');xlabel('t(s)');ylabel('f(t)');
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 13
Tìm chuỗi Fourier của các hàm sau
2
0 0) ( ) ; 2
sin 0
) ( ) 4 2 2 ; 4
ta f t T
t t
b f t t t T
ππ
π− ≤ ≤
= = ≤ ≤= − − ≤ ≤ =
21
1
2 21
1 sin 2 cos 2) ( )2 4 1
8 16 ( 1)) ( ) cos3 2
nn
n
t nta f tn
n tb f tn
π ππ
π
+∞
=
++∞
=
= + −−
−= +
∑
∑ Kết quả
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
Nếu f(t) gián đoạn tại tk thì Jk ≠ 0 Nếu f(t) liên tục tại tk thì Jk = 0
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 14
Bước nhảy của một hàm:
Định nghĩa :Bước nhảy của một hàm f tại tk là: Jk = f(tk
+) – f(tk-)
a bt2t1
f(a+)
f(t1-)f(t1+)
f(t2-)
f(t2+)
f(b-)
t
f(t)
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 15
Định lý 1.2:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichletvà có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạnt1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2, … ) ( bn’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)
'0
10
1 1 sin( )m
n n k kk
a b J n tn n
ωω π =
−= − ∑
Hai công thức lặp để tính các hệ số Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 16
Định lý 1.3:
Nếu f là hàm tuần hoàn chu kỳ T, thỏa điều kiện Dirichletvà có m bước nhảy J1, J2, …, Jm tại m điểm gián đoạnt1 < t2 < … < tm trong một khoảng chu kỳ nửa hở [a, a + T) thì:
( n = 1, 2, … )
( an’ = hệ số chuỗi Fourier của hàm f’)
'0
10
1 1 cos( )m
n n k kk
b a J n tn n
ωω π =
= + ∑
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 17
Xác định các hệ số chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn mà định nghĩa trong 1 chu kỳ là
1 2 10 1 0
( )1 0 10 1 2
tt
f ttt
− − < < − − < <= < < < <
-2 -1 0 1 2
1
-1
f(t)
t
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bảng các điểm gián đoạn tk và bước nhảy Jk
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 18
-2 -1 0 1 2
1
-1
f(t)
t -2 -1 0 1 2
f'(t)
t
k 1 2 3 4tk -2 -1 0 1Jk -1 1 1 -1
f’(t) = 0 ⇒ an’ =bn’=0
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 19
k 1 2 3 4tk -2 -1 0 1Jk -1 1 1 -1
'0
10
'0
10
'
'
1 1 sin( )
1 1 cos( )
2 1 ( 2) ( 1) (0) (1)( 1)sin (1)sin (1)sin ( 1)sin2 2 2 2
2 1 ( 2) ( 1) (0)( 1)cos (1)cos (1)cos ( 1)cos2 2 2
m
n n k kk
m
n n k kk
n n
n n
a b J n tn n
b a J n tn n
n n n na bn n
n n nb an n
ωω π
ωω π
π π π ππ π
π π ππ π
=
=
−= −
= +
− − − = − − + + + − − −
= + − + + + −
∑
∑
(1)2
nπ
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 20
2 sin ( 2 1)2
2 ( 2 1)
n
n
na n kn
b n kn
ππ
π
= = +
= = +
Đối với a0 ta tính trực tiếp1 1
02 0
1 ( 1) (1) 02
a dt dt−
−
= − + =
∫ ∫
Chuỗi Fourier của f(t) là :
12 1
2 1( ) sin cos sin2 2 2n
n k
n n t n tf tn
π π ππ
+∞
== +
= + ∑
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 21
Xác định f’(t), tk và Jk:
Xác định các hệ số chuỗi Fourier dùng công thức lặp ?
Giải0
10
π 2π
f(t)
0
T
π 2π
f’(t)
0
T
t1
10
π 2πt2
f(t) tk t2 = πt1 = 0
Jk 10 – 10
Ví dụ tìm khai triển Fourier dùng công thức lặp
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 22
Xác định các hệ số chuỗi Fourier dùng công thức lặp ?
Giải0
10
π 2π
f(t)
Xác định các hệ số chuỗi Fourier: 0
0
1 ( ) 52
Ta f t dtT
= =∫
1n nπa [10.sin(0) 10sin( )] 0nπ= − − =
1 20(n:odd)n nπ nπb [10.cos(0) 10cos( )]nπ= − =
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 23
Sóng vuông
1 01
2 1
4( ) sin( )n
n k
Af t n tn
ωπ
+∞
== +
= ∑
( )
( )
/2/20
00
2
0 0
1
cos( )4sin( )
2 cos( ) 1 4
4TT
n
n k
n tAb A n t dtT T n
A n An n
ωω
ω
ππ π = +
−= =
− += =
∫
f1A
-A
T/2-T/2 T
f1(t) hàm lẻ
Ví dụ tìm chuỗi FourierSóng tam giác f2(t) hàm lẻ
f2A
-A
T/2-T/2 TT/4
-T/4
2 022 21
2 1
8( ) sin( )sin( )n
nn k
Af t n tn
π ωπ
+∞
== +
= ∑
24Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
Ví dụ tìm chuỗi FourierSóng răng cưa
3 01
2( ) cos( )sin( )n
Af t n n tn
π ωπ
+∞
=
−=∑
f3(t) hàm lẻ
f3A
-A
T/2-T/2 T
25Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 26
0 02( )
sin 02
T tf t
TA t tω
− ≤ ≤= ≤ ≤
Chỉnh lưu bán kỳA
T/2 T-T/2
f4
4 0 022
( 2 )
2 2( ) sin( ) cos( )2 1n
n k
A A Af t t n tn
ω ωπ
+∞
==
= + +−∑
Ví dụ tìm chuỗi Fourier
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 27
( ) sinf t A tω=
Chỉnh lưu toàn kỳA
T 2T-T
f5
Tần số cơ bản ω0 = ?
Các chuỗi Fourier thông dụng
3 01
2( ) cos( )sin( )n
Af t n n tn
π ωπ
+∞
=
−=∑
f3A
-A
T/2-T/2 T
2 022 21
8( ) sin( )sin( )n
n
Af t n tn
π ωπ
+∞
=
=∑f2
A
-A
T/2-T/2 TT/4
-T/4
1 01
2 1
4( ) sin( )n
n k
Af t n tn
ωπ
+∞
== +
= ∑f1A
-A
T/2-T/2 T
0 01 0
sin(3 ) sin(5 )4( ) sin( ) ...3 5
t tAf t t ω ωωπ
= + + +
0 02 02 2 2
sin(3 ) sin(5 )8( ) sin( ) ...3 5
t tAf t t ω ωωπ
= − + −
0 03 0
sin(2 ) sin(3 )2( ) sin( ) ...2 3
t tAf t t ω ωωπ
= − + − 28
Tổ hợp các khai triển cơ bản
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 29
4
1 5-3
f6
21
-13
3
2-2t [s]
-1
f2A
-A
T/2-T/2 TT/4
-T/4
f1A
-A
T/2-T/2 T
Khai triển chẵn lẻ
Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 30
A
f(t)
-A
T/2-T/2-T T
0 0c
nc
l
n
n n
a aa ab b
===
0( ) ( )( ) ;
2( ) ( )( )
2
c n
l n
c c
l
f t f tf t a a
f t f tf t b
+ −= →
− −= →
Khai triển chẵn lẻ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2c l
f t f t f t f tf t f t+ − − −= =
A
f(-t)
-A
T/2-T/2
A
f(t)
-A
T/2-T/2
A/2
fc(t)
-A/2
T/2-T/2
A/2
fl(t)
-A/2
T/2-T/2
31