PHẦN 2: CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT - hcmut.edu.vnphhoang/PTHH/bai2.pdf · TÍNH o Phương pháp ma trận Ph ạm Huy Hoàng 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. 3 Phạm

1

PHẦN 2: CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT

X

Y

Z

Phạm Huy Hoàng

o Ta phải giải hệ phương trình [K]{U}={F}:

ïïïï

þ

ïïïï

ý

ü

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

=

ïïïï

þ

ïïïï

ý

ü

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

n

2

1

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

F

.

.

.

F

F

U

.

.

.

U

U

K...KK

...

...

...

K...KK

K...KK

1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

2

Phạm Huy Hoàng


o Phương phápma trận

Phạm Huy Hoàng


3

Phạm Huy Hoàng

o Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:


Phạm Huy Hoàng


4

Phạm Huy Hoàng

o Phương pháp Gauss (Gaussian elimination):

Tạo ma trận hệ số tam giác dưới bằng 0


Vector BMa trận hệ số A

0Các hệ sốthuộc tam giác dướibằng 0

Ma trận

Phạm Huy Hoàng


ïïï

î

ïïï

í

ì

=+-=+-

=

=+=+

=

=

Þ

úúú

û

ù

êêê

ë

é-

-

úúú

û

ù

êêê

ë

é

--

-

úúú

û

ù

êêê

ë

é

----

-

12

0.10.022

2.13.021

05

0.405

3402

03

0100

0450

2012

0220

0450

2012

0220

1231

2012

xxx

xx

x

5

Phạm Huy Hoàng


úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

2134

0121

6112

Phạm Huy Hoàng


úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

2134

0121

6112

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

--

-

4200

56

51

10

321

21

1

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

---

-

10150

321

25

0

321

21

1

ïïï

î

ïïï

í

ì

=--=--=

=+=+=

=--=

Þ

56

58

21

221

3221

321

31

58

251

56

351

56

2

224

3

xxx

xx

x

6

Phạm Huy Hoàng

Tất cả các tích phân có miền [x1 , x2] đều có thể quyvề tích phân trên miền [-1, 1]

ò-

=ò ®=1

1)(

2

1

)( xx dfIx

xdxxfI

Bằng cách đổi biến: 21 21

21

xxxxx +

+-

=

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

Phạm Huy Hoàng

Gần đúng bằng hình thang (Trapezoidal rule):Xấp xỉ hàm f(x) bằng đường thẳng g(x) đi qua haiđiềm đầu và cuối.

x

f(x)

-1 1

f(-1)

f(1)g(x)

)1(2

1)1(

21

)( ffgxxx +

+--

=

)1()1()()(1

1

1

1-+=»= òò --

ffdgdfI xxxx


7

Phạm Huy Hoàng

• Hàm f(x) được tính tại hai điểm (-1) và 1. • Kết quả chính xác nều hàm tuyến tính hay hằngsố nhưng không chính xác cho hàm bậc 2 trở lên.


x

f(x)

-1 1

f(-1)

f(1)g(x)

)1(31

)0(34

)1(31

)()(1

1

1

1-++=»= òò --

fffdgdfI xxxx

Phạm Huy Hoàng

Xấp xỉ bậc 2 - Simpson’s rule: Xấp xỉ hàm f(x) bằngđường parabol g(x) đi qua 3 điểm đầu, cuối và giữa(-1), 1 và 0.

( 1) (1 )( ) ( 1) (1 )(1 ) (0) (1)

2 2g f f f

x x x xx x x- += - + - + +

)1(31

)0(34

)1(31

)()(1

1

1

1-++=»= òò --

fffdgdfI xxxx

x

f(x)

-1 1

f(-1)

f(1)g(x)

f(0)


8

Phạm Huy Hoàng

• Hàm f(x) cần được tính tại 3 điểm (-1), 0 và 1. • Kết quả chính xác cho hàm từ bậc hai trở xuống, nhưng không chính xác cho hàm bậc 3 trở lên.

Tổng quát hóa cách xấp xĩ như thế nào?


)1(31

)0(34

)1(31

)()(1

1

1

1-++=»= òò --

fffdgdfI xxxx

x

f(x)

-1 1

f(-1)

f(1)g(x)

f(0)

Phạm Huy Hoàng

Lưu ý các xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát nhưsau:

Trapezoidal rule: M=2Dùng cho hàm đa thức bậc tối đaM -1 = 1

11

11

22

11

==-==

xx

W

W

åò=

-»=

M

iii fWdfI

1

1

1)()( xxx


)1(31

)0(34

)1(31

)()(1

1

1

1-++=»= òò --

fffdgdfI xxxx

trọng số điểm lấy tích phân

9

Phạm Huy Hoàng

Lưu ý các xấp xỉ trước cho thấy dạng tổng quát nhưsau:

Simpson’s rule: M = 3Chính xác cho hàm bậc tối đa M -1 = 2 13/1

03/413/1

22

22

11

====-==

xxx

W

WW

åò=

-»=

M

iii fWdfI

1

1

1)()( xxx


)1(31

)0(34

)1(31

)()(1

1

1

1-++=»= òò --

fffdgdfI xxxx


Phạm Huy Hoàng

Tổng quát hóa thành công thức: Newton-Cotes

• Chia miền [-1,1] thành (M-1) khoảng nhỏ đềunhaubằng M điểm.• Vẽ đường cong đa thức bậc (M-1) qua M điểm trên(giá trị đa thức bằng giá trị hàm tại M điểm.• Xấp xỉ tích phân bằng tích phân của đa thức.

x

f(x)

-1 1

f(-1)

f(1)

g(x)


10

Phạm Huy Hoàng

550/144

75/144

19/144

-1/5, 1/5

-3/5, 3/5

-1, 1

6

412/45

32/45

7/45

0

-1/2, 1/2

-1,1

5

33/41/4

-1/3, 1/3-1, 1

4

24/3

1/3

0

-1, 1

3

11-1, 12

Bậc đa thức tối đa mwixiN

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNåò

=-

»=M

iii fWdfI

1

1

1)()( xxxNewton-Cotes

Phạm Huy Hoàng

Với ‘M’ điểm chúng ta có thể tính chính xác tíchphân hàm đa thức bậc ‘M-1’.

Thực tế, với ‘M’ điểm lấy tích phân và ‘M’ trọng số tacó thể tính chính xác đến tích phân của hàm đa thứcbậc (2M-1)! → Công thức gần đúng Gauss (Gaussian rule)


11

Phạm Huy Hoàng

Gauss quadratureåò

=-

»=M

iii fWdfI

1

1

1)()( xxx


Chọn điểm lấy tích phân và trọng số như thế nào để tínhchính xác tích phân hàm bậc 2M-1?


Phạm Huy Hoàng

Trường hợp M=1 (Midpoint quadrature)

Chọn W1 và x1 sao cho tích phân chính xác đa thứcbậc (2M - 1) = 1 – tuyến tính.

xx 10)( aaf +=

)()( 11

1

1xxx fWdfI »= ò-

0

1

12)( adf =ò-

xx

nhưng101011

1

1)()( xxxx WaWafWdf +==ò-


Do đó: 1111002 xWaWaa +=

Vậy a0 và a1 phải thỏa: 01121 == xWvàW

0;2 11 == xW

12

Phạm Huy Hoàng

x

f(x)

-1 1

f(0)

g(x)

)0(2)(1

1fdfI »= ò- xx

(Midpoint quadrature rule): • Chỉ tính f(x) tại một điểm giữa của miền tích phân.• Cách này chính xác cho đa thức bậc 1 trở xuống (hằnghay tuyến tính) (tương ứng với Trapezoidal rule)

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNTrường hợp M=1

Phạm Huy Hoàng

Chọn W1, W2, x1 và x2 như thế nào để tính chính xáctích phân đa thức bậc (2M-1) = 3?

33

2210)( xxxx aaaaf +++=

)()()( 2211

1

1xxxx fWfWdfI +»= ò-

20

1

1 32

2)( aadf +=ò-xx

Ta muốn

( ) ( )

( ) ( )3223113

222

2112

22111210

)2(2)1(11

1)(

xxxx

xx

xxxx

WWaWWa

WWaWWa

fWfWdf

++++

+++=

+=ò-


13

Phạm Huy Hoàng

Do đó:

0322

311;

322

222

11

;02211;221

=+=+

=+=+

xxxx

xx

WWWW

WWWW

vậy:31

2;31

1;121 =-=== xxWW

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN( ) ( ) ( )( )

232

02

322

3113

222

211222111210

1

1)(

aa

WWa

WWaWWaWWadf

+=

++

+++++=ò-

xx

xxxxxx

Phạm Huy Hoàng

)3

1()

3

1()(

1

1ffdfI +-»= ò-

xx

• Chỉ 2 điểm của hàm f(x) cần phải tính.• Công thức này chính xác cho hàm tối đa bậc2M-1 = 3 (ứng với Simpson’s rule)

x

f(x)

-1 1

)3

1(-f )

3

1(f

**


14

Phạm Huy Hoàng

70,65215

0,34785

-0,33998, + 0,33998

-0,86113, + 0,86113

4

50,888889

0,555556

0

-0,774597, + 0,774597

3

31-0,57735, +0,577352

1201

Bậc đa thức tối đa mwixiN

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNåò

=-

»=M

iii fWdfI

1

1

1)()( xxxGauss

Phạm Huy Hoàng

Newton-Cotes Gauss

1. Cần ‘M’ điểm lấytích phân để tính chínhxác tích phân hàm đathức bậc ‘M-1’. 2. Tốn công hơn.

1. Cần ‘M’ điểm lấy tíchphân để tính chính xáctích phân hàm đa thứcbậc ‘2M-1’. 2. Ít tốn công hơn.3. Hội tụ theo hàm mũ(exponential convergence), sai số tỉlệ với M

M

2

21

÷øö

çèæ


15

Phạm Huy Hoàng

Ví dụ: 1 3 2

1f( )d f( )I wherex x x x x

-= = +ò

Tính giải tích23

I =

Newton-Cotes Cần 4 điểm.

Gauss Cần 2 điểm.


1

1f( )d

1 1f(- ) f( )

3 323

I x x-

=

= +

=

ò

Phạm Huy Hoàng

So sánh Gauss và Newton-Cotes ò-=

1

1)2cos( dxxI p

Newton-Cotes

Gauss quadrature


16

Phạm Huy Hoàng

dtdstsfI ò ò- -=

1

1

1

1),(

Miền hình vuông

å å

å å

ò å

ò ò

= =

= =

-=

- -

=

»

÷÷ø

öççè

æ»

=

M

i

M

jjiij

M

i

M

jjiji

M

jjj

tsfW

tsfWW

dstsfW

dtdstsfI

1 1

1 1

1

11

1

1

1

1

),(

),(

),(

),(

- tích phân (1-D Gauss) theo ‘t’

- tích phân (1-D Gauss) theo ‘s’

với Wij =Wi Wj

s

t

1

1

1 1 ÷÷ø

öççè

æ3

1,

3

1

÷÷ø

öççè

æ-

3

1,

3

1÷÷ø

öççè

æ--

3

1,

3

1

÷÷ø

öççè

æ-

3

1,

3

1


Phạm Huy Hoàng

)3

1,

3

1()

3

1,

3

1()

3

1,

3

1()

3

1,

3

1(

),(2

1

2

1

-+--+-+=

» å å= =

ffff

tsfWIi j

jiij

Với M = 2

Wij =Wi Wj=1

Số điểm lấy tích phân IP = 1, 2, 3, 4

IPIP

IP fWdtdstsfI åò ò=

- -»=

4

1

1

1

1

1),(

s

t

1

1

1 1 ÷÷ø

öççè

æ3

1,

3

1

÷÷ø

öççè

æ-

3

1,

3

1÷÷ø

öççè

æ--

3

1,

3

1

÷÷ø

öççè

æ-

3

1,

3

1


17

Phạm Huy Hoàng

å åò ò= =

- -»=

M

i

M

jjiij tsfWdtdstsfI

1 1

1

1

1

1),(),(

Công thức

Dùng M2 điểm lấy tích phân trên một lưới khôngđều (nonuniform grid) để tính chính xác cho đa thứbậc (2M-1), ví dụ:

121 1

1

1

1

1-£+= å åò ò

= =- -

MfortsWdtdstsM

i

M

jjiij

exact

bababa

Dùng M2 điểm chính xác cho đa thức bậc (2M-1).


Phạm Huy Hoàng

Với: M = 11 điểmGauss

t

s1

1

1 1 s1=0, t1=0W1= 4

)0,0(4),(1

1

1

1fdtdstsfI »= ò ò- -

Chính xác cho hàmlà tích hai đa thứctuyến tính.


18

Phạm Huy Hoàng

Với: M = 22x2 Gauss

)3

1,

3

1()

3

1,

3

1()

3

1,

3

1()

3

1,

3

1(

),(2

1

2

1

-+--+-+=

» åå= =

ffff

tsfWIi j

jiij

Chính xác cho hàm là tích hai đa thức bậc 3.

s

t

1

1

1 1 ÷÷ø

öççè

æ

3

1,

3

1

÷÷ø

öççè

æ-

3

1,

3

1÷÷ø

öççè

æ--

3

1,

3

1

÷÷ø

öççè

æ-

3

1,

3

1


Phạm Huy Hoàng

Với: M = 3 3x3 Gauss

Chính xác cho hàm bậc 5 là tích hai đa thức.

å åò ò= =

- -»=

3

1

3

1

1

1

1

1),(),(

i jjiij tsfWdtdstsfI

s

t

1

1

1 1

53

53

53

53

1

23

4 5

6

7

8

9

81408125

,8164

9876

5432

1

====

====

=

WWWW

WWWW

W


19

Phạm Huy Hoàng

Ví dụ:

Nếu f(s,t) = 1 thì 1 điểm Gauss là đủ và:

4),(1

1

1

1== ò ò- -

dtdstsfI

Nếu f(s,t) = s thì 1 điểm Gauss là đủ và:

0),(1

1

1

1== ò ò- -

dtdstsfI

Nếu f(s,t) = s2t2 thì 3x3 Gauss và:

94

),(1

1

1

1== ò ò- -

dtdstsfI


Phạm Huy Hoàng

Miền tam giác

Xét miền tam giác vuông thuận cạnh đơn vị.

s

t

1

1

s=1-tt

t

ò ò=

-

==

1

0

1

0dsdt),(f

t

t

stsI

å

ò ò

=

=

-

=

»

=M

IPIPIP

t

t

s

fW

tsI

1

1

0

1

0dsdt),(f


20

Phạm Huy Hoàng

Nếu f(s,t) = 1

21

21

dsdt),(f

1

1

1

0

1

0

=\

=

==

å

å

ò ò

=

=

=

-

=

M

IPIP

M

IPIP

t

t

s

W

W

tsI


s

t

1

1

s=1-tt

t

Phạm Huy Hoàng

Nếu M = 1

ts

tsf 1~),(

÷øö

çèæ»

31,

31

21

fI

s

t

1

11/3

1/3


21

Phạm Huy Hoàng

tstsf 321),( aaa ++=Nếu:

321

1

0

1

0 !31

!31

21

dsdt),(f aaa ++=ò ò=

-

=t

t

stsThì:

Nhưng

( )131211321

111

1

0

1

0

!31

!31

21

),(dsdt),(f

tsW

tsfWtst

t

s

aaaaaa ++=++\

=ò ò=

-

=

nên!31

11;!31

11;21

1 === tWsWW


Phạm Huy Hoàng

Nếu M = 3 sẽ phù hợp hàm đa thức bậc 2

22

1~),(

tsts

ts

tsf

÷øö

çèæ+÷

øö

çèæ+÷

øö

çèæ»

21

,061

0,21

61

21

,21

61

fffI

s

t

1

1

1/2

1/22

1

3


22

Phạm Huy Hoàng

Nếu M = 4 thì phù hợp hàm đa thức bậc 3

3223

22

1~),(

tsttss

tsts

ts

tsf

( ) ( ) ( )2.0,6.09625

2.0,2.09625

6.0,2.09625

31,

31

9627

ffffI +++÷øö

çèæ-»

s

t

1

1 2

13 4

(1/3,1/3)

(0.2,0.2)

(0.2,0.6)

(0.6,0.2)


Phạm Huy Hoàng

2. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂNGợi ý:

23

Phạm Huy Hoàng

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU

o Chuyển vị tại một điểm bất kỳ có tọa độ (x, y, z) được biểu diễn dưới dạng vectơ:

[ ]Twvuu ,,=

Phạm Huy Hoàng

xy

z

Thể tích V

uv

w

x

Phần tửthể tích dV

sx

sy

sz

tyz

tyx

txytxz

tzytzx


24

Phạm Huy Hoàng

Ứng suất xuất hiện ở phầntử có thể tích dV là:

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

=

xz

yz

xy

z

y

x

t

t

ts

ss

σ


xy

z

sx

sy

sz

tyz

tyx

txy

txz

tzytzx

xzzxzyyzyxxy tttttt === ;;sx, sy, sz: ứng suất pháp

: ứng suất tiếp

Phạm Huy Hoàng

o Biến dạng tại một điểm được biểu thị bằngvectơ:

{ }

ïïïï

þ

ïïïï

ý

ü

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

=

zx

yz

xy

z

y

x

g

g

ge

ee

e


25

Phạm Huy Hoàng

o Hai hằng số đặc trưng cho cơ tính vật liệu là:- Module đàn hồi (còn gọi là hệ số Young) E

- Hệ số Poison n

Ví dụ:

Thép: E = 200000MPa, n = 0,29

Hợp kim nhôm: E = 72000MPa, n = 0,3

o Module đàn hồi trượt G:


( )n+=

12E

G

Phạm Huy Hoàng

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

o Trong trường hợp biến dạng nhỏ:

xu

x ¶¶

=eyu

xv

xy ¶¶

+¶¶

=g

yv

y ¶¶

=ezu

xw

xz ¶¶

+¶¶

=g

zw

z ¶¶

=ezv

yw

yz ¶¶

+¶¶

=g


26

Phạm Huy Hoàng

o Viết lại:

{ } [ ]{ }u¶=e

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúúúúúúúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêêêêêêêê

ë

é

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

=

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

w

v

u

yz

xz

xy

z

y

x

yz

xz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

gggeee

hoặc

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUQuan hệ giữa biến dạng và chuyển vị

Phạm Huy Hoàng

Ví dụ:

o Chuyển vị:

ïî

ïí

ì

++=w++=++=

23

23

23

22

22

22

21

21

21

zCyBxA

zCyBxAv

zCyBxAu

Biến dạng:

zC2

yB2

,xA2

3z

2y

1x

=e

=e=e

zC2yB2

zC2xA2

yB2xA2

23yz

13xz

12xy

+=g+=g

+=g


27

Phạm Huy Hoàng

x

y

A B

CA’

B’

C’

v

udy

dx

dxxv

¶¶

xdxu

u¶¶

+

dyyu

¶¶

dyyv

v¶¶

+

1b

2b

xu

xv

tan βtan βββ)B'A'(C'angle2π

yv

dy

dyvdyyv

vdy

ACACC'A'

xu

dx

dxudxxu

udx

ABABB'A'

2121

¶¶

+¶¶

»

+»+=-=

¶¶

=

-÷÷ø

öççè

æ-÷÷

ø

öççè

æ¶¶

++

=-

=

¶¶

=-÷÷

ø

öççè

æ-÷

øö

çèæ

¶¶

++=

-=

xy

y

x

g

e

e

Phạm Huy Hoàng

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUQuan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Trường hợp vật liệu đẳng hướng:

o Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trongphạm vi đàn hồi, tuyến tính tuân theo định luậtHooke:

{ } [ ]{ }se C=

[C]: là ma trận các đàn hồi.

28

Phạm Huy Hoàng

{ } ( )[ ]zyxx Essnse +-=

1 { } ( )[ ]xzyy Essnse +-=

1

{ } ( )[ ]yxzz Essnse +-=

1

( )xyxyxy EG

tntg +==

121 ( )yzyzyz EG

tntg +==

121

( )zxxyzx EG

tntg +==

121

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp vật liệu đẳng hướng:

Phạm Huy Hoàng

o Ma trận C:

[ ] ( )( )

( )úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

++

+--

----

=

nn

nnn

nnnn

1200000

0120000

0012000

0001

0001

0001

1E

C


29

Phạm Huy Hoàng

o Biểu diễn ứng suất theo biến dạng qua biểu thức:

{ } [ ]{ }es D=

( )( )

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

úúúúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêêêê

ë

é

-

-

--

--

-+=

úúúúúúúú

û

ù

êêêêêêêê

ë

é

yz

xz

xy

z

y

x

yz

xz

xy

z

y

x

E

gggeee

n

n

nnnn

nnnnnn

nn

tttsss

221

00000

0221

0000

00221

000

0001

0001

0001

211


Phạm Huy Hoàng

o Nếu kết cấu chịu biến dạng ban đầu { }0e

{ } [ ]{ } { }0ese += C

{ } [ ]{ } { }( )0ees -= D


30

Phạm Huy Hoàng

0=== yzxzz tts0== xzyz gg

( )( )n

eene

-

+-=

1yx

z

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU-Trường hợp ứng suất phẳng:bề dày z nhỏ hơn nhiều so với chiều dài và rộng

(x, y)tải tác dụng coi như chỉ trong mặt phẳng xy.

ys

xsxyt

xyt

Phạm Huy Hoàng

o Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

úúú

û

ù

êêê

ë

é

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

--=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

xy

y

x

xy

y

xE

gee

nn

n

ntss

21

00

01

01

1 2

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp ứng suất phẳng:

31

Phạm Huy Hoàng

Ví dụ:1. Thin plate with a hole

2. Thin cantilever plate

ys

xsxyt

xyt


Phạm Huy Hoàng

0=== xzyzz gge

0== yzxz tt

( )yxz ssns +=

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆU-Trường hợp biến dạng phẳng:bề dày z lớn hơn khá nhiều so với chiều dài và

rộng (x, y)tiết diện và tải không đổi theo trục z.

ye

xe

xygxyg

32

Phạm Huy Hoàng

o Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:

( )( ) úúú

û

ù

êêê

ë

é

gee

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

n-n-n

nn-

n-n+=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

tss

xy

y

x

xy

y

x

221

00

01

01

211

E

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp biến dạng phẳng:

Phạm Huy Hoàng

Ví dụ:1. Đập nước

2. Bình chứa chịu áp lực hìnhtrụ dài chịu áp lực bện trong vàđược ngàm chặt ở 2 đầu.

1

Một lát cắt cóchiều dầy đơn vị

x

y

z

ys

xsxyt

xytzs


33

Phạm Huy Hoàng

o Chỉ tồn tại một thành phần ứng suất

a: hệ số dãn nở nhiệtDT: biến động nhiệt độ

TEE xx D-= aes

3. CƠ TÍNH CỦA VẬT LIỆUTrường hợp biến dạng một chiều:

x

Phạm Huy Hoàng

o Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi:

o U – thế năng đàn hồi của vật thể tích lũy trong quátrình biến dạng.

o A – công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển vịcủa điểm đặt ngoại lực do vật thể bị biến dạng.

với {g}: lực thể tích tác dụng trên thể tích V và {p} làlực bề mặt tác dụng trên bề mặt S.

U AP = -

4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

{ } [ ] { } { }( )0

12

T

V

U D dVe e e= -ò

{ } { } { } { }t

T T

V S

A u g dV u p dS= +ò ò

34

Phạm Huy Hoàng

4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦNo Nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần:

Khi hệ đàn hồi chuyển vị và đạt trạng thái cânbằng thì

0=Õ¶

Phạm Huy Hoàng

4. THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Cân bằng lực

Năng lượng

Công

Thế năng đàn hồi

Thế năng toàn phần

Cực tiểu

Pkx =

221kxU =

ò ==ò PxPdxdtxP&

Pxkx -=Õ 221

00 =-Þ=Õ¶¶

Pkxx

Documents

PHẦN 2: CÁC KIẾN THỨC CẦN THIẾT - hcmut.edu.vnphhoang/PTHH/bai2.pdf · TÍNH o Phương pháp ma trận Ph ạm Huy Hoàng 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. 3 Phạm