PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - NGUYỄN VĂN NHO

8/9/2019 PHNG PHÁP GII TOÁN CHUYÊN HÌNH HC KHÔNG GIAN - NGUYN VN NHO
http://slidepdf.com/reader/full/phuong-phap-giai-toan-chuyen-de-hinh-hoc-khong-gian-nguyen 1/359
SO GI 03
HÌNH HC KHÔNG GIAN
(DÀNH CHO HC SINH LP 11- 12- LUYN H)
NHÀ XUT BN I HC Q U C GIA HÀ NI
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B

I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
NHÀ XUT BN I HC uc Gift HÀ NI 16 Hàn g C hu i - Hai Bà Trng - Hà Ni
iên thoai: (04) 9714896: (04Ì 9724770: Fax: (04) 9714899
Chu t rách n him xu t b n :
Giám c: PHÙNG QUC BO
Tng biên tp: NGUYN BÁ THÀNH
.Biên tp: THU HIN
CÔNG TY SÁCH VIT
_______________________________________________S Á C H L IÊ N K T
PHNG PHÁP GII TOÁN CHUYÊN E HÌNH HC KHÔNG GIAN Mã s: lL-509 H2008
In 2000 cuôn, kh 16 X 24 cm, ti Xí nghip in Machinco 7\ Bùi Th Xuân, Qun 1, TP.HCM
S xut bn: 920-2008/CXB/16-162/HQG HN, n gày 02/10/2008 Quyt nh xut bn s: 509LK-TN/XB In xong và np lu chiu quý I nm 2009
B

I
<ac em hc sinh thân mn!
Bt u t nm nay, chng trình môn Toán lp 12 ã thay i khá iu v ni dung. Nu không nghiên cu k, các em s gp khó khn t
c nm c các kin thc lí thuyt c bn, phng pháp gii các dng án thng gp, vic trình bày li gii nh th nào phù hp vi ng trình mi... n vic t úc kt, khái quát nhng vn ã hc th áp dng vào vic gii các bài tp t c bn n nâng cao.
giúp các em phn nào trong vic gii quyt các khó khn trên, úng ti biên son b sách tham kho toán 12, báo gm 5 cun:
1. PHNG PHÁP GII TOÁN CHUY ÊN KHO SÁT HÀM s
2. PHNG PHÁP GII TOÁN CHUY ÊN HÀM s LY THA - HÀM
S MÙ - HÀM S LÔGARIT
3. PHNG PHÁP GII TOÁN CHUYÊN HNH HC KHNG GIAN
4. PHNG PHÁP GII TOÁN CHUYÊN TÍCH PHÂN - s PHC
5. PHNG PHÁP GII TOÁN CHUYÊN HÌNH GII TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN
Cc cun sách c trình bày theo tng chng, bài gn ging sách o khoa các em tin tham kho. Mi bài s có:
- Tóm t t các kin thc lí thuy t c bn.
- Phng pháp gii các dng toán thng gp và các ví d minh ha.
- Các bài tp rèn luyn k nng.
- Mt sô' iu lu ý khi gii các dng toán.
Cách trình bày li gii các bài toán chúng tôi làm úng theo yêu cu ng trình phân ban mi ca B Giáo dc ào to. Các ví d minh a c chn lc, sp xp t d n khó, mi vn có nhiu bài tp các em t rèn luyn. Các bài tp có ánh du (*) là các bài tp nâng
o và luyn thí i hc. Sau mi phn chúng tôi có ra mt s câu trc nghim khách quan phc v cho các kì thi sau này.
B

I
Các em nên hc k phn tóm tt lí thuyt, nghiên cu nhng ví n dng gii tng bài tp. Sau ó xem li li gii, t iu chnh ly ngh ca mình. Quan trng là phi bit t úc kt cho mình c .i và cách trình bày li gii tng dng toán.
Quá trình hi nhp hin nay ang òi hi cao vic t hc ca mi hân. Thit ngh, bên cnh s hng dn trên lp ca thy, các cu ích này s là ngi bn ng hành tt cho các em trong nhng kì íp ti.
Mc dù có nhiu c gng trong quá trình biên son, nhng cun s lông th tr án h khi nhng thiu sót, chúng tôi r t mong nhn c
jp ý ca các em hc sinh và quý thy, cô giáo.
Ngi biên son
\
Chng 1. NG THNG VÀ MT PHANG t r o n g
KHÔNG GIAN - QUAN H SONG SONG
Bài 1. I CNG V NG THANG v à m t p h a n g
!. KIN THC C BN 1. Các tính cht tha nhn
+ Tính cht 1: Có mt và ch mt ng thng i qua hai im phân bi t cho trc.
+ Tính cht 2: Có mt và ch mt mt phng i qua ba im không thng hàn g cho trc.
+ Tính cht 3: Tn ti bn im không cùng nm trên mt m t phn g.
+ Tính cht 4: Nu hai mt phng phân bit có mt im chung thì chúng có mt ng thng chung duy nht cha tt c các im chung ca hai mt phng ó. ung thng ó gi là giao tuyn ca hai mt phng.
+ Tính cht 5: Trong mi m t phng các k t qu ã bit ca hình hc phng u úng.
2. nh lí: Nu mt ng thng i qua 2 im phân bit ca mt mt phng thì mi im ca nó u nm tr ên mt phng.
Chú ý : M e a c : a = > M e c c 3. Cách xác nh mt phng
+ Cách 1: Mt mt phng c xác nh nu bit ba im không thng hàn g ca nó.
Mt phng i qua ba im A, B, c c kí hiu là mp(ABC).
+ Cách 2: Mt mt phng c xác nh nu bit Ó i qua mt mt
ng thng và mt im không nm trên ng thng ó.
Mt phng i qua ng thng a và im A c kí hiu là: mp(a, A) hoc mp(A, à).
+ Cách 3: Mt m t phng c xác nh nu bi t hai ng thn g ct nhau ca nó.
B

I
Mt phng i qua hai ng thng ct nhau a và b c kí hiu là: mp(a, b).
4. Hình chóp và hình din
* Hình chóp: Cho a giác AjA^-.An và cho mt im s nm ngoài m t phng (P) cha da giác. Ni s vi các nh h A 2,...J A n ta c n tam giác: SA A2, SA A ,..., SAnAj.
Hình gm n tam giác ó và a giác AA2...An gi là hìn h chóp.
Kí hiu là S.AiA2...An A
n Tên ca hình chóp gi theo tên ca áy. / T \
* Hình t din: Cho bôn im A, B, c, D / / \ . không ng phng. / \
Hình gm bôn tam giác ABC, ACD, / \
ABD và BCD gi là hình t din (hay ^ ^ - —-—1-——- - - - ^ ^ D ngn gn t din) và c kí hiu là
Hình t din có 4 mt u là các tam giác u gi là hình t din u. li. PHNG PHÁP GII CC DNG TOÁN THNG GP ______________
ì . Dng ì . Tìm giao tuyn ca hai mt phng
* Phng p há p : Tìm hai im chung phân bit ca hai mt phng,
giao tuyn là ng thng i aua hai im chung ó.
Khi làm bài ta chú ý cách trình bày theo ngôn ng trên li gii
c rõ ràng và chính xác. s im chung có th hin nhiên trong tên gi ca hai mt phng
Chng hn mp(SAB) và mp(SCD) thì s là im chung.
®im chung có th là giao im ca ng thng nm trong mt phng này và mt ng th ng nm trong m t phng kia.
ABCD.
mr\n = A
Cn lu ý: hai ng thng ct nhau thì chúng phi ng phng.
1. CÁC VÍ D MINH HA V í d 1. Cho hình chóp S.ABCD trong ó mt áy ABCD có các c
cnh i không song song, im M thuc SA.Tìm giao tuyn ca ha m t phng:
a) (SAC) và (SBD). b) (SAC) và (MBD).
c) (SAB) và (SCD). d) (MBC) và (SAD).
Qii
a) Tìm giao tuyn ca (SAC) và (SBD): AC n BD = o
Ta có: A C c(S A C ) >
BD c (SBD)
is € ( SAC ) n (SBD)
T gi thit
/ 0 ^ 1 e ( SAC ) n( MBD ) M £ SA c(SA C ) =>M e(SAC) =>í
\ O e ( S A C ) n ( M B D )
=> {SAC) n ( MBD) = MO. c) Tìm giao tuyn ca (SAB) và (SCD):
\K e AB c (SAB) Gi K = ABr^CD => r ‘ ' => if 6 (SAB )n(SC D )
[Z eC Z )c (SCO) v \ )
Hin nhiên: s 6 (SAB) n (scz>) => (SAB) n (SCO) = S i f .
B

I
BC n AD =
BC c (MBC)
AD c (SD)
=s(M BC )n(SA D) = MH.
H 6 (MBC) n (SAD)
M e (MBC) n (SAD)
í d 2. Cho t din ABCD. Gi H, K ln lt là trung im ca c cnh AD và BC.
a) Tìm giao tuyn ca hai m t phng (HBC) và (KAD).
b) Gi M là mt im nm trên on AB, N là mt im nm tr on AC. Tìm giao tuyn ca hai m t phng (HBC) và (DMN).
0 i i
ì) Tìm giao tuyn ca hai mt phng (HBC) và (KAD) Ta có:
H e A D c {KAD) => H 6 (KAD) n ( HBC ) (1)
K e B C c z (HBC) ( KAD) n (HSC) (2)
T (1) và (2) => H K = (KAD) n (HBC)
5) Tìm ( H BC ) n( D MN )
Gi p = HB n DM
Í P e H B c ( HBC )
^ |p e MZ> c (DMN)
=> P e ( H B C ) n ( D M N )
Q e H C c (HBC)
Q eD Nc z (DMN)
=>Qe (HBC) n (DMN)
MT S BÀI TP ÁP DNG CÓ LI GII
1. bài
1. Cho hình thang ABCD có áy ln AB và im s không thuc hng (.ABCD').
Q = HC n DN
a) Tìm giao tuyn ca các cp mt phng sau (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).
b) Trên cnh SD ly im M. Tìm giao tuyn ca các cp mt phng sau (SAD) và (BCM); (SAC) và (BCM).
I B à i 2. Cho h ình b ình hành ABCD có tâm o và s là mt im không thuc m t phng (ABCD). Gi M, N, p ln lt là trung im ca BC,
CD, SO. Tìm giao tuyn ca mt phng (MNP) vi các mt phng sau (SAB), (SAD), (SBC), (SCD).
Bài 3. Cho t din ABCD. Gi I, J ln lt là trung im ca AC và BC. Các im K, M, N ln lt nm trên BD, AB , AD sao cho KD < KB;
MA < MB; ND < NA. Tìm giao tuyn ca các cp mt phng sau (CMN) và (BCD); (IJK) và (ACD); (IJK) và (ABD).
Bài 4. Cho t din ABCD, o là im bên trong A BCD, M là mt im
trên AO. a) Tìm giao tuyn ca mt phn íMCD) vi hai mt phng (ABC) và
1 b) Hai im I, J ln lt nm trên BC,BD. Tìm giao tuyn ca (MIJ) và (ACD).
1.2.2. L i g i i
! B à i 1. a) Tìm (SAC) n (SJ5D) = ?; (SAD) o (SBC) = ?
* Gi o = AC n BD
(ABD).
A
H
=> H 6 (SAB) n (SCD)
s e (SAB) n (SCD) =>SH = (S A B) n( SC D ).
9
B

I
b) Tim (SAD) n ( BCM ) = ?; (SAC) n ( BCM ) = ?
Í/ e SO c (SAC) , , , * Gi I =BM n SO => r \= > I e (SAC) n (SCAT)
/ € BM e (BCM) v . v '
Hin nhiên c 6 (SAC) n (BCAf) => C/ = (SAC) n (BCM) .
\ N € S A c (SAD) x ,* Gi N = C n S A => ; ' => iV e (SA D )n(S CM ) [iV e c / c (BCM) V / V )
Hin nhiên M e (SAD) n (BCM) => MiV = (SAD) n ( BCM) .
Bài 2. s
f f f e S A c ( S A B ) H e (SAB) n (MNP) (1)
K e (SAB) n (MNP) (2)
[H eJB c (MM 5)
s Gi i f = MiV n AB
J if e AB c (SAB)
^ [ K e M N c (MNP)
T (1) và (2) => H K = (SAB) n (MNP) . [I e AD c (SAD)
; Gi I = M N n A B => { ; \ => 7 e (SAD) n (MNP) (3) [ / € MAT c (MNP) v ' v
D thy if 6 (SAD) n (MNP) (4).
T (3) và (4) = > # / = (SAD) n ( MNP) .
B

I
\F € SB c (SBC)
T (5) và (6) => M F = (SBC) n (MNP) .
E s S D c (SAD) _ [ E e H I a( M N P ) ~
D thy N e (S AD ) n (MNP) (8)
T (7) và (8) => E N = (SAD ) n (MMP).
Bài 3.
p e BD d (BCD) ^ [PeMJV c (CMN)
D thy c € (BCD) n (CMN)
T (1) và (2)
*Gi Q = J K n CD
F e (SBC) n(M NP )
E e (SAD) n (MNP) (7)
p 6 (BCD) n (CMN) (1)
(2)
Í Q e C D c ( A C D ) [ Q e J Z c (JJZ )
= > Q e ( A C D ) n ( I J K ) (3)
D thy 7 6 (ACD) n (7=71?) (4).
T (3) và (4) =>/Q = (ACD) n (/e /ír ).
ÍH € AD c (ABD)
‘ Gi H = IQ r\ AD => 4 v '[ t f e / Q c (/</#)
=> H e ( A B D ) n ( I J K )
thy if e (ABD) n ( /J íQ (6). T (5) và (6)
=>HK = (ABD)n(IJK).
i 4.
a) Gi H = DO r\ BC , K - A H n DM \ K e A H c (ABC)
[ K g DM c (MCD)
=>K e (ABC) ^ (MCD) (1)
D thy c e (ABC) n (MCD) (2)
T (1) và (2) => C if = (ABC) n (MCZ?).
* Gi E = CK n AB
\ E e A B c ( A B D )
^ { E eC K c. ( MCD)
=>Ee ( ABD ) n (MCD) (3)
D thy e (ABD) n (MCD) (4) T (3) và (4) => DÊ = (ABD) n {MCD).
\p e DC cz(ACD)
=> P e ( A C D ) n ( M I J ) (5)
i e í c (ADC)
[ f le J M c (MIJ) => i e (ADC) n {MIJ) (6)
T (5) và (6) => iP = (ACD) n (Af/«7).
3. NHNG LU Ý KHI GII DNG TOÁN NÀY
+ hai dng thng ct nhau bt buc chúng phi ng ph các em rt hay nhm ch này: khi tìm im chung là giao ca ng thng nm trong mt phng này và mt ng th
nm trong mt phng kia li không xét xem m và n có phng hay không, vì vy ta cn ch rõ th êm m d , n c nào
Tc là:
m c a; n <z p m , n c z - => A e a n p
m n n = A
)
+ Thông thng khi nhìn vào hình v, do trí tng tng không gian không tt nên hai ng thng chéo nhau các em c cho chúng ct nhau, ây là sai lm ph bin khi gii toán các em cn lu ý.
+ Khi hc ti chng song song và vuông góc, ta có th tìm giao tuyn ca hai mt phng bng cách tìm mt im chung ca chúng và phng ca giao tuyn, sau này cách này s c s dng nhiu hn.
(P).
2. Dang 2. Tìm giao im ca ng thng v à mt phng.
Tìm thit din (mt ct) ca hình ?) vi mt phng (P).
P h ng p h á p t ìm giao i m c a ng th n g và m t p h ng :
Cho ng thng a không nm trên mt phng (), tìm giao im ca ng a và mt phng (a) ta có 2 cách sau:
• Cách 1:
Tìm trên (à) mt ng thng b sao cho a, b Tìm a n b = M , thì M = a r ^ a ) .
Cách tr ìn h bày li gii:
b c (or)
a,b d (y) = > a n = M
• Cách 2: Thc hin theo 3 bc sau: Bc 1: Tìm mt mp() cha a ct (a) (mt phng này thng
c xác nh bi a và mt im ca (a). Bc 2: Tìm m =
Bc 3: Tìm K - m n a t ó suy ra a n (a) = K .
Cách trình bày li gii:
(/?)=>«
a n m = K
a n (a) = K
* Phng p h áp t ìm th i t d in (mt c t ) c a h ình (?) vi m t
p h n g (P) • Cách 1: Tìm các on giao tuyn ca (P) vi tng mt ca
hình(áf), lúc ó a giác c to bi các on giao tuyn trên
chính là thit din.
(on giao tuyn ca (P) vi mt m t ca hình (áf) là phn ca
ng giao tuyn gia mp(P) và m t phn g cha mt, thuc min trong mt ó ca hình ( ) )
®Cách 2: Tìm các giao im ca (P) vi các cnh ca hình chóp. Mi on thng ni hai ,'giao im nm trong mt mt ca hình chóp s là mt cnh caEht din.
2.1. VÍ D MINH HA _______________________
Ví d 1. Cho t din ABCD; M, N là hai im ln lt thuc AB và AC (sao cho M N không song song BC). H là mt im tùy ý thuc
min trong tam giác BCD. Tìm giao im ca: a) BC và (ADH); M N và (BCD); b) M N và (.ADH); A H và (DMN).
í i i
a) Tìm giao im ca: BC v (ADH); M N và (BCD).
Ta có
DH c (ADH)
Ta có: BC ; M N c (BCA)
=> BC n MN = F mà BC c (BCD) => M N n (BCD) = F .
b) Tìm giao im ca: M N và (ADH); AH và (DMN).
• TÌI1 M N n (ADH)
MN c (ABC)
=> M N n (ADH) = G .
• Tìm AH n (DMN)
* AH c ( ADH )
ÍG e M N cz(DMN) „ , _ * \ !=> G s (ADH) n ( DMN)
{ G e AE cz (ADH) v ; ’
=> (ADH) n ( D M N ) = D G .
B

I
=> A H n (DMN) = K .
K e DG c ( DMN)
K e AH
Ví d 2. (*) Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình bình hành tân
0. Gi M là trung im ca SB và G là trng tâm tam giác SAD a) Tìm giao im H ca DM vi (SAC). Tính t s .
HS
b) Tìm giao im K ca GM vi (ABCDJ. Chng minh K thuc CL và KC = 2 KD .
a) Tìm H = DM n (SAC)
Ta có SO; DM c (SBD)
Vì SO và DM là hai ng trung tuyn ca tam giác SBD, suy ra H là trng tâm ca
HO 1 2 '
g i i
. DM r\ (SAC) = í .
s
Ì7S
b) Gi N là trung im ca AD, suy ra G € S N => BN, MG c (S B N )
=> B N n MG = K
K e BN cz (ABCD)
^ Ì K e M G ^ K = M G n ( ABCD)
* Chng minh K thuc CD và KC = 2 KD
Gi C = CD r\ B N <=>ÌV7/ CD = D K= >NB = 2V2T mà s = 2A nên G là trng tâm BSK' => G E K'M => K' e MG m, K ' 6 (ABCD)
Tc là K ' = MG n (ABCD) K = K ' =>K e CD
=>CD = DK=>KC = 2KD (pcm).
B

I
Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có AB n CD = N; M e S A . Tìm
din ca mp(MCD) vi hình chóp S.ABCD.
g i i
=> MAT= (SAB) n (scz>)
=>MP = (MCD) n A SA B , PC = (MCD) n ASBC
Mà: CD = (MCD) n AS CD , MZ? = (MCD) n ASAD .
Vy thi t din cn tìm là t giác MPCD.
Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có AB, CD c t nhau t i và im nm trong tam giác SDC. Tìm thit din ca hình chóp m t phng (MBA).
Ta có:
SD c (SCD)
Mà c ( MAB)
^ (MAB) n SA = A
M AB) n S B = B
Vy thit din ca hình chóp vi mp(MAB) là t giác ABC'D'.
D
6
B

I
2.2. MT S BÀI TP ÁP DNG CÓ LI Gl
2.2.1. bài
Bài 1. Cho t din ABGD. Trên AC, AD ln lt ly các im M, N sao . cho M N và CD không song song. Gi p là im bên trong tam giác BCD.
a) Tìm giao tuyn ca (MNP) và (BCD).
b) Tim giao im ca BC và (MNP). Suy ra thit din ca t din vi (MNP).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC. Trên AB, BC, s c ln lt ly các im M, N, p sao cho M N và AC không song song.
a) Tìm giao im Q ca SA và (MNP). Suy ra thit din ca hình chóp và m t phng (MNP).
b) Gi I là giao im ca MP và NQ. Chng minh I chy trên mt ng c nh khi p di ng trên s c .
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, áy là hình bình hành. M là trung im s c . ^ __ j
a) Tìm giao im ca A M vi (SBD). Tính t s —— . M
b) Tìm giao im F ca SD và (ABM). Suy ra th i t din ca hình chóp vi mt phng (ABM).
c) Gi N là im tùy ý trên cnh AB. Tìm giao im K ca MN vi (SBD').
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có áy ÂBCD là hình bình hành. Gi M, N ln lt là trung im cnh BC, CD và p là mt im trên cnh SA. Tìm th i t din ca hình chóp vi (MNP).
Bài 5. (*) Cho hình chóp S.ABCD có AB song song vi CD. Mt mt phng (P) qua AB và ct s c ti E.
a) Tìm F = (P) n SD. Suy ra thit din ca hình chóp mt phng (P).
b) Tìm tp hp các giao im I = AF n BE, J = AE n BF khi mt
phng (P) quay quanh AB. 2.2.2. Li gii
Bài 1.
Gi H = CD n M N
17
B

I
if f e CD c (BCD)
^ [jsr eMiV c (PM2V)
D thy p e (SCP ) n ( PM N )
T (1) và (2)
b) Tim B C n (P M N )
Tacó: BC, HP a (BCD)
\ F s B C
Gi E = BD n HP => i? = BD n (PMN).
Hin nhiên Af = AC n (P M N) , N = AD n (PMAT) Nên th i t din ca t din vi mp(PMN) là t giác MNEF.
Bài 2. a) Tìm giao im Q ca SA và (MNP).
Gi K = M N n A C
=>K e AC c (SAC)
=> KP c (SAC)
=>Q = S A r \ (MNP)
* Thit din:
(MNP) n S A = Q, (MNP) n S C = P , B
(MNP) n AB = M , (MNP) n BC = N
Vy thit d in ca hình t din vi mp(MNP) là t giác MNPQ. b) Chng minh I chy trên mt ng cô' nh
l eM P c (S M C )
( / e NQ c (SAN)
Nu gi o = A N n C M => (SAN) n (SCM) = s o (c nh)
Vy I £ SO là ng thng c nh.
Vì I = MP n NQ € (SAN) n (SCM)
B

I
Gi o = AC n BD =>s o = (SAC ) n (SBD)
^ ì / e A Mí e SO cz(SBD)
^ l e (S B D )
/ e AM
L
* Tính t sô' —— IM B c
'Vi SO và AM là các ng trung tuyn ca tam giác SAC, nên IA
là tr ng tâm ca tam giác ó => —— = 2.
Suy ra thit din ca mp(ABM) vi hình chóp là t giác ABMF.
c) Tìm M N n (SBD )
Ta có: BF , M N c ( ABMF ) => n M N = K
K e M N
^ { K z B F c (SBD)
Gi H = M N r ^ A B , K = M N n A D ^ P H n S B = Q , P K r ^ S D = R
IM
b) Tìm F = SD n (ABM)
Ta có: BI, SD c (SBD ) => B I r>SD = F
[F € B I c (ASM) ÍF € (ABM) FeSZ>
Bài 4.
(MNP) n (SBC) = MQ
(MNP) n (SAB) = QP
(MNP) n (SAD) = PR (MNP)n(SDC) = RN
Do ó thit din ca hình chóp vi mt phng (MNP) là MNRPQ.
à 5.
a) Tìm F = ( P ) n S D .
Gi 0 = A C n B D = > S 0 , A E c : (SAC)
=$ SO n AC = J SO, B J a (SBD)
=>B J r \S D = F
F e SD
[ f e B J c (p )
D thy thit din ca hình chóp vi mt phng (P) là hình thang ABEF.
b) Ta có (SAC ) n (SBD) = s o
AE<z(SAC), BFcz(SBD) :
Vy khi (P) quay quanh AB tp hp các im J là on thng
Gi H = AD n BC => (SA) n (SBC) = S íí Mà AF c (SAD), BE c (SBC) =>AEnBF = e S H
Vy khi (P) quay quanh AB thà tp hp các im 7 là on thng S
3. NHNG LU Ý KHI GII DNG TOÁN NÀY
Vic tìm th i t din ca mt m t phng vi mt khi a din cht là vic i tìm giao tuyn gia các mt phng, hoc giao
Vy ( P )n S D = F
AE n BF = J e s o
B

I
gia ng thng và mt phng, do ó muôn tìm c thit din ta phi nm chc cách gii ca hai loi toán trên.
Mt m t phn g có th không ct ht các mt ca khi a din và các cnh ca khi a din, cn phân bit rõ on giao tuyn ca mt phng vi các mt ca khôi a din và ng giao tuyn ca mt phng vi các mt phng cha các các mt ca khi a din.
3. Dng 3. Chng minh cá c im thng hàng, các ng thng ng quy
+ Ph n g p h á p :
• Chng minh các im thng hàng: Ta chng minh chúng cùng thuc hai mt phng phân bit.
" Cách trình bày li gii:
M e (or) n (/?)
• Chng minh các ng thng ng quy: Ta tìm giao im ca hai ng thng trong các ng ã cho, ri chng minh im ó nm trên các ng thng còn li.
3.1 . C ÁC VÍ D MINH H A______________________________________________
Ví d 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gi o = AC n B D . Mt mt phng ct các cnh bên SA, SB, sc, SD ln lt ti các im M, N, p, Q. Gi s AB n CD - E] M N n PQ = F . Chng minh:
a) Các im s, E, F thng hàng.
b) Các ng thng MP, NQ, s o ng quy.
N e (a ) n (/?)
(a ) * (/?)
# i l
a) Chng minh Các im s, E, F thn g hàng:
s e ( S A D ) n ( S B C ) (1)
21
B

I
F € (SAD) o (SBC) (3)
M N n PQ = F
ÍF e PQ c (SAD)
A
T (1), (2), (3)
=>Hs (SAC) n (SBD) (*)
[oe AC <=(SAC) fo e (SAC) 0 = A C n B D = > r _ _ = > r __ _
[ O e B f l c (SBD) [o e (SBD)
=> SO = (SAC) n (SflD) (**)
T (*) và (**) =>H e SO. Vy MP, NQ, s o ng quy ti tì .
Ví d 2. Cho t din ABCD; G là trng tâm ca tam giác ACD. Các im M, N, p ln lt thuc các ng thng AS, AC, A0, sao cho:
MA NC PD 1
Gi I, J ln lt là giao im ca M N vi BC và MP vi BD.
a) Chng minh các ng thng MG, PI, N J ng phng.
b) Gi E, F ln lt là trung im ca CD,NI; H = MG n B E , K = GF n (BCD). Chng minh các im H, K, I, J thng hàng.
p i
a) Chng minh các ng thng MG, PI, N J ng phng:
Ta có: M N n B C = / = > I e M N d (M NP) (MNP)
MP n BD =J => J 6 MP c (MNP) =>' JP c (MNP)
MB NA PA 2
v ' C N EG DP 1 1 NA ~ GA ~ PA 2
NGU CD
GPU CD
=> € (MiVP) =>MGcz (MNP)
b) Chng minh các im I, thng hàng:
Gi H = M G n B E
[He. MG <=(MAP)
H e (MNP) n (BCD)
v ÍK eG F c (M iV P ) Vì = GF n (BCD) => I v ' => /T e (MNP) n (BCD)
M t khác: {MNP) n (BCD) = 1J K ,H z I J .
Nên bn im H, I, K, J thng hàng.
Ví d 3. Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD làhìn h bình hành. Gi
Aí, N ln lt là trung im cnh SB, SD. a) Tìm giao im K ca s c vi (AMN).
b) Tìm th i t din ca hình chóp vi (AMN).
c) Cho CD, NK ct nhau ti I. BC, M K ct nhau ti J. Chng minh các im A, I, J thn g hàng.
í ià i
a) Gi o = AC n BD => s o c (SBD )
=> M NnS O = H =$ SO ,AH c: (SAC)
Gi K = A H ^ S C
K e S C K e S C
^ { K b A H cz ( AMN) ^ jr e (AMN)
Tc là K = s c n (AM2V).
2:
B

I
( AMN ) n (SCD) = KN
(AMN) n (SBC) = MK,
(AM N)n (SAD ) = AN
Suy ra tht din ca hìnhchóp và mp(AMN) là t giác AMKN. B c
l e N K c (AMN) c ) V ì N K n C D = I ^ \ ; { => / e (ABCD) n (AMN)
[I e CD c ( ABCD) v \
j e M K d ( AMN) M K r\CB = J => j J =>Je [A BCD )n (AMN
le/ 6 BC c \ABCD)
Hin nhiên A e (ABCD) n ( A M N ). Vy ba im J; A; I thng hà
\.2. MT S BÀI TP ÁP DNG CÓ LI GII
i.2.1. bài
ìài 1. Cho t din ABCD. I là im thuc ng thng BD nhng ngoài on BD. Trong (ABD), qua I dng mt ng thng ct
AD ln lt ti K, L. Trong (BCD) cùng dng qua I mt ng th ct BC, CD ln lt ti M, N sao cho KM, L N ct nhau ti H. Ch
minh A, c, H thng hàng. 3ài 2. Cho hình chóp S.ABCD, có áy ABCD là hình thang vi áy
AB. Trên SA, SB ln lt ly hai im M, N sao cho M N và không song song, o là giao im ca AC và BD.
a) Tìm giao im ca AB và (MNO).
b) Tìm giao tuyn ca (MNO) vi hai m t phn g (SBC) và (SAD).
c) Gi I là giao im ca hai giao tuyn nêu câu b) và J là im ca AD, BC. Chng minh s , I, J thng hàng.
à 3. Cho hình chóp S.ABCD có AC, BD ct nhau ti o. AB, CD nhau ti E ln lt ly M, N, p, Q trên SA, SB, sc, SD sao cho ct PQ ti F.
a) Chng minh s , E, F thng hàng.
b) Chng minh MP, NQ, s o ng qui.
4
B

I
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có AB, CD ct nhau ti E, AD ct BC ti F. Gi M, N, p theo th t là trung im ca SA, SB, sc.
a) Tìm giao im Q ca SD vi (MNP).
b) MN ct PQ ti H. Chng minh s , H, E thn g hàng.
c) Chng minh SF, MQ, NP ng qui.
Bài 5. (*) Chò 2 mt phng (P), (Q) có giao tuyn a. Trong (P) ly , B nhng không thuc a và s là mt im không thuc (P). SA, SB ct (Q) ln lt ti c, D. Gi s E là giao im ca AB và a.
a) Chng minh s , A, B không thng hàng.
b) Chng m inh c, D, E thn g hàng. T ó suy ra AB, CD, a ng qui.
3.2.2. L i g i i
Bài 1. Chng minh
a) Tìm AB n (MNO)
Vì MN, A B c (SAB) , MN khôn g song song AB
=> M N r\ AB = K
K e M N c (MNO)
^ [ K e A B K e ( MNO)
^ [K e AB
Mà (ABC) n (ACD) = ÁC
=$ H e AC = (ABC) n (ACD)
EM c (ABC)
NL c (ACD)
B
Tc là 3 im A; C; H thng hàng. c
25
B

I
o = AC r\ BD
=>KO,AD, BC c (ABCD)
Ta c
c) QM a (SAD)]
PN c (SBC) I
=> QM n PN = I e (SAD) n (SBC) J
Mt khác AD n BC = J =>J e (SAD) n (SBC ), s e (SAD) n (SBC)
Vy ba im s, I, J thng hàng.
B ài 3.
a) Chng minh s, E, F thng hàng
\F e M N c (SAB) , * , MN n í>e = F =* I“ = (^CD)' - f e (SAB) n (SCD)
A B n C D = E=>
E e AB c (SAB)
[ f e CD (SCD)
Vây ba im s, E, F thn g hàng. A •
.. b) Chng minh MP, NQ, s o ng qui \ /
Gi MP n NQ = I
17 e MP c (SAC)
/ e NQ c (SBD)
=>I € SO = (SAC) n (SBD). Vy MP, iVQ, s o ng qui t i /.
Bài 4.
Gi o = AB n CD => s o -(SAC) n (SSjD)
B

I
\Q e N I cz (MNP)
[ Q e S D
N l n S D ^ Q
/ m /
b) Chng minh s, H, E thng hàng / \"-7
Vi M N n P Q = H / o r f f i
\H e M N <z(SAB) \
m=> \ H e P Q ^ (SCD )
H e (SAB) n(SC D )
\E e AB a (SAB) A B n C D = E — J v ' E e (SAB) n (SC D )
{.E e C D c (SCD)
Hin nhiên s e (SAB) n (SCD). Vy s , H, E thng hàng,
c) Chng minh SF, MQ, NP ng qui.
K = M Q n N P
MQ a (SAD) I => K e (SAD) n (SBC)
N P c (SBC)
D th y (SAD) n (SBC) = SF =>K e SF
Vy SF, MQ, iVP ng qui ti K.ài 5. a) Chng minh s, A, B không
thng hàng
Gi s s , A,B thng hàng, suy ra S e (P)
Mâu thun gi thit s (P).
b) Chng minh c, D, E thng hàng
c = SA n (Q) ì
D = SB r\ () I CD = (SAB) n (Q)
E e A B c z (SAB) Mà AB n a = E => 7 \ ’ => E e (SAB) n (Q)
i£ e a c (Q) [ w
Vy c, D, E thng hàng. Suy ra AB, CD, a ng quy ti E.
27
B

I
3.3 . NHN G LU Ý KHI GII DNG TOÁN NÀY
Vic chng minh các im thng hàng và các ng thng ng thc cht ch là mt, vì chng minh các ng thng ng ta ch vic tìm giao im ca hai ng ri chng minh im nm trên các ng còn li.
Ta có th chng minh các ng th ng ng quy bng cách ch minh chúng không cùng nm trên mt phng và ôi mt khác nh
4. Dng 4. Mt s bài tp ng hp.
4.1 . CÁ C v í D MINH HA___________________________________________
Ví d 1. Cho t din ABCD có là trng tâm tam giác BCD. F th on AB. M thuc cnh BC.
a) Tìm giao tuyn ca (AGB) và (CDF').
b) Tìm giao im H ca AG và (CDF).
c) Cho A M ct CF ti p. CD ct ( AGM) ti Q. Chng minh H, p thng hàng.
^ l i
Goi E = BG C\ CD A
Í E e B G c ( ABG)^ [ £ 6 CD<Z (CDF )
(.ABG) n (CDF )
Vy EF € (ABG) n (CDF)
b) Tìm giao im H ca AG và (CDF) c
Vì AG,EF c ( ABG) => AG n EF = H H e A G
^ I H e E F c (CDF)
=>AGn (CDF) = H .
AM n CF = p => p e AM c (SAM)
p e CF c (CDF ) => Pe (SAM) n (CDF)
(SAM) n C = = > Q e (SAM) n (C£>F) (do cz> c= (CDF ))
Theo trên suy ra H = (SAM) n {CDF). Vy H, p, Q th ng hàng. Ví d 2. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hnh bình hành, o là tâm
ca áy; M, N ln lt là trung im ca các cnh SA, sc. Gi (P) là mt phng qua M, N và B.
a) Tìm giao tuyn ca (P) vi các mt phng (SAB), (SBC).
b) Tìm giao im ca s o vi mp(P) và giao K ca SD vi mp(P)
c) Xác nh giao* tuyn ca (P) vi các mt phng (SAD) và (.SDC).
d) Xác nh các giao im E, F ca mt phng (P) vi các ng thng DA, DC và chng mish ba im E, B, F thn g hàng.
4ÌÂÌ
a) Tìm giao tuyn ca (P) vi các mt phng (SAB), (SBC)
s
b) Tìm / = SO n (p)
Hin nhiên B e (p ) n (SAB) Suy ra: MB = (p) n (SAB) .
Tng t: N B = ( p ) n (SBC).
MN, SO c (SAC) E A D
=> = S O n (P )
B I ,S D d (S B D )= > S D r ìB = K => K e SD iT e BI c: (p) ’
Vy K = S D r^(P ).
29
B

I
d) MK, AD c (SAD) AD n MK = E
c) D thy M K = (p) n (SAD); N K = (p) n (SCD).
E e A D
[ E e M K c ( p )
=>E = AD n (p )
=>F = CD n (P)
F € ( ABCD) n (P) E, F ,B thng hàng.
£ e (ABCD) n (p)
T ó ta có:
Ví d 3. Cho t din u ABCD có cnh bng a. Gi I là trung im
ca AJD, J là im i xng vi D qua c, K là im ôi xng vi D qua B.
a) Xác nh thit din ca t din khi ct bi mp(IJK).
b) Tính din tích ca thit din trên.
ii
E e I J c (JIK)
[EczAC
IK ,D B c ( ABD)
=> IK n AS = F
[F c iA B
Vy F = (JZK-) n AB
D thy / = ( J IK ) n A D . Vy th i t din cn tìm là AZEF.
b) T gi th i t suy ra E là trng tâm AADJ => AE = —AC = — a .............. 3 3
_ ___ 2 _ 2 F là trong tâm A ADK => A F = —AB = —a
3 3
E F //C B => EF = -C B = - a 3 3
13 Trong AAIE =* IE 2 = A I2 + A E 2 - 2A1.AE. COS 60° = — a
36
a\/3 a 6 + 3
\ f a a
(vdt).
Ví d 4. Cho t din ABCD tha mãn iu kin AB.CD = AC.BD = AD.BC.
Chng minh rng các dng thng i qua mi nh và tâm ng tròn ni tip ca mt i din ng quy ti mt im.
g i i
Gi / là tâm ng tròn ni tip tam giác BCD HD BD HC ~ BC
A I n CD = ÍT=>
T gi thi t AC.BD = AD.BC
BD AD
HD AD
^ H C ~ AC => A H là ng ph ân giác A
Do ó tâm ng tròn ni tip A ACD là K phi thuc AH, tc là h ng AI và BK ct nhau. Tng t các ng thng i qua mi n và tâm ng tròn ni tip ca mt i din cát nhau tng ôi m ng thi chúng không ng phng. Vy chúng ng quy.
II. BÀI TP T LUYN TP
Bài 1. Cho t din ABCD. Gi p, Q ln lt là trung im ca AC V
BC. R là mt im trên cnh BD sao cho RB = 2RD. Tìm giao tuy ca (.PQR) vi các mp(ACD) và mp(ABD).
Bài 2. Cho t din ABCD, M là mt im thuc min trong tam giá BCD, N là m t im trên AM.
a) Tìm (NCD) n (ABC); ( NCD) n ( ABD).
b) p và Q là hai im trên BC và BD. Tìm ( PQN ) n ( ACD).
3
B

I
Bài 3. Cho t giác phng li ABCD có AB ct CD ti E, AC ct BD t ly im s . khong thuc mt phng (ABCD). Tìm giao tuyn ca cp mt phng sau (SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SEF) và (SAD
3ài 4. Cho bn im A, B, c , D không ng phng. Gi trung im AC và BC ln lt là I và J. Ly trên cnh BD mt im K sao BD - 3 KD. Tìm giao tuyn ca các cp mt phng sau (A1K (ACD); (IJK) và (ACD); (IJK) và (ABD).
Bài 5. Cho bn im A, B, c, D không ng phng. Gi M, N ln l các im thuc cnh AB, AC sao cho M N không song song vi Gi p là im nm trong tam giác BCD. Tìm giao tuyn ca các mt phng sau (PMN) và (BCD); (PMN) và (ABD); (PMN) và (ACD
Bài 6. Cho t din ABCD. Gi I, J ln lt là trung im ca AD và
a) Tìm giao tuyn ca (BCI) và (ADJ).
b) Ly M, N theo th t thuc cnh AB, AC. Tìm giao tuyn ca ( và (DMN).
Bài 7. Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là các im bên tr AABD, AACD. Tìm giao tuyn ca các cp mt phng sau (AMN (BCD); (DMN) và (ABC).
Bài 8. Cho t din ABCD. Gi M, N ln lt là trung im ca AC BC. Ly K thuc cnh BD sao cho KB > KD. Tìm giao im ca:
a) CD vi mp(MNK).
b) AD vi mp(MNK).
3ài 9. Cho t din ABCD có I, J ln lt thuc các cnh AB , AD sao I J và BD kh ông song song.
-a) Tìm giao im ca I J và (BCD).
b) Gi / và H ln lt là trung im ca AB, BD. Trên cnh AC im K sao cho KC = 2KA. Tìm giao im ca BC và (IHK).
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vi áy ln Gi I, J ln lt là trung im ca SA, SB và M là im thuc c SD. Tìm:
a) Giao tuyn ca (SAD) và (SBC).
b) Giao im ca IM và (SBC); s c và (MIJ).
Ì2
B

I
Bài 11. Cho t din ABCD. Gi M, N ln ltàtrungim ca AC và BC. K là mt im trên cnh BD không trùng vitrung im ca BD. Tìm giao im ca:
a) CD vi m t phng (MNK).
b) AD vi m t phng (MNK).
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có áy là h ình thang, áy ln AB. Gi , J, K ln lt trên SA, AB, BC. Tìm giao im ca:
a) IK và (SBD).
b) (IJK) vi SD và s c .
Bài 13. Cho I, J ln lt là hai im bên trong AABC và AABD ca t din ABCD. Trên CD ly mt im M. Tìm giao im K ca J và (ABM).
Bài 14. (*) Cho hình chóp S.ABCD áy là hình bình hành tâm o. M là trung im ca SB; G là trng tâm ASÂD.
Tìm giao im I ca GM vi (ABD). Chng minh thuc CD.
_ , _ _ _ JA b) Tìm giao im J ca AD vi (OMG). Tính t s ——
JD ___ VA
c) Tìm giao im K ca (OMG) vi SA. Tính t s -— KS
Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD, áy ABCD là hình thang, áy ln AB. Gi N, p ln lt à trung im ca SA, SB. M là mt im tu ý
thuc on SD. a) Tìm giao im ca M N và (SBC).
b) Tìm giao im ca s c và (MNP).
Bài 16. Cho hình bình hành ABCD và im s không thuc (ABCD). Gi M là trung im ca SD.
a) Tìm giao im I ca BM vi mp(SAC).
b) Tìm giao im E ca mp(BCM) vi SA.
c) Chng minh B I = 2IM.Bài 17. Cho t din ABCD. Trên các cnh AB, AC, BD lây các im E, F, G bt k.
a) Tìm (EFG) n (BCD).
b) Tìm giao im R và s ca DA và DC vi (EFG).
c) Chng minh F, s , R th ng hàng.
33
B

I
Bài 18. Cho hình thang ABCD. áy ln là AS, s (ABCD). Trên SA, SB ln lt ly M, N sao cho MN không song song vi AB. Gi 0 = AC n BD.
a) Tìm giao im ca AB vi (MNO).
b) Tìm giao tuyn ca (MNO) vi (SBC) và (SAD). Gi K là giao ca
hai giao tuyn trên. E = AD n BC. c) Chng minh s , K, E thn g hàng.
Bà 19. Cho ng thng a và mt phng (P) ct nhau ti c. Trên dng thng a ly 2 im A, B phân bit và không trùng c. Ly im s trong không gian sao cho SA, SB ln lt ct mt phng (P) ti I, J. Chng minh c, I, J thng hàng.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có AB, CD ct nhau ti I. Ln lt ly trên các cnh SA, SB, sc, SD nhng, im M, N, p, Q sao cho AN,
DP ct nhau ti J, BM, CQ ct nhau ti H.Chng minh s , H, I, J thng hàng.
Bài 21. Cho hình chóp S.ABCD. Trên SA, SB , AC ln lt ly các im M, N, p sao cho M N ct AB ti I, mt phng ct s c ti J. Chng minh BC, IP, J N ng qui.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có AC, BD ct nhau ti o. Gi M, p, Q ln lt là các im trên các cnh SA, SB, sc. Gi s N là giao im
ca SD vi m t phng (MPQ). Chng m inh s o , MQ, NP ng qui Bài 23. Cho t din A BCD. Gi E, F, G ln lt là ba im trê n ba cnh
AB, AC, BD sao cho EF ct BC ti I, EG ct AD ti H. Chng minh CD, IG, HF ng qui.
Bài 24. Cho t din ABCD. Mt mp{ a ) không cha AB ct các cnh AC, BC, DB, AD ln lt ti M, N, R, s . Gi s MN, RS, AB ôi mt khhông song song, chng minh ba ng thng MN, RS, AB ng qui.
Bà 25: (*) Cho t din ABCD có trng tâm các mt i din các nh, B, c, D ln lt là A' B c ' D'. Gi M, N, p, Q, R, s ln lt là trung im ca các cnh i ca t din.
a) Chng minh AA' i qua trung im ca M N và suy ra bôn ng thng AA ' BB ' ,cc ' DD' ng quy
b) Chng minh by on thng AA ' BB ' C C DD ' MN, PQ, RS ng quy.
34
B

I
Bài 26. Cho mt phng (P) và hai im A, B không thuc (P). AB và (P. không song song, s là mt im di dng nhng không thuc m phng (P) và ng thng AB, SA, SB ct (P) theo th t ti I, J Chng minh I J luôn luôn i qua m t im c nh.
ài 27. Cho hình chóp S.ABCD có AB, CD ct nhau ti E, AD ct BC
ti F. M di ng trên cnh SB. a) Tìm giao im N ca SA vi (CEM).
b) Gi / là giao im ca CN, DM và J là giao im ca CM, DN. Chng minh I di ng trên mt ng c’ nh và J cng di ng trên mt ng cô' nh.
à 28. Cho t din ABCD. Gi N và p ln lt là trung im các cnh AC và BC. Trong ABCD ly im M sao cho hai ng thng PM và CD ct nhau ti I. Tìm thit din ca t din ABCD vi mp(MNP).
a) Trong trng hp I thuc on CD.
b) Trong trng hp I ngoài on CD.
ài 29. Cho hình chóp S.ABCD. Có áy ABCD là hình bình hành. Gi M, N, p ln lt là trung im ca các cnh SA, BC, CD.
a) Xác nh thit din ca hình chóp S.ABCD vi mp(MNP).
b) Xác n h th i t di n ca hìn h chóp S.ABC vi mp(MNP).
c) Xác nh thit din ca hình chóp S.ABD vi mp(MNP).
ài 30. Cho hình chóp S.ABCD, có áy ABCD là hình thang, áy ln AD. Gi M, N ln lt là trung im ca các cnh SA, SB.
a) Tìm giao im ca s c vi mp(DMN).
b) Tìm th i t din ca hìn h chóp S.ABCD vi mp(DMN).
ài 31. Cho S.ABCD có AB song song vi CD (AB > CD), I là trung im ca s c . Mt mt phng (P) qua A I và ct SB, SD ln lt ti
M, N. IM ct BC ti p ; IN ct CD ti Q.
a) Chng minh A, p, Q th ng hàng.
b) Tìm th i t di n ca hìn h chóp vi m t phng (P).
35
B

I
. KIN THC C BN
I. V trí tng i gia hai ng thng phân bit
• nh ngha
+ Hai ng thng gi là chéo nhau nu chúng không cùng trong m t m t phng.
+ Hai ng thng gi là song song nu chúng ng phn không có im chung.
+ Hai ng thng gi là ct nhau nu chúng có duy nht mt chung.
• Tính cht
+ Tính cht 1: Trong không gian, qua mt im ngoài mt th ng có mt và ch mt ng thng song song vi ng thng
+ Tính cht 2: Hai ng thng phân bit cùng song son g vi
ng thng th ba thì song song vi nhau.
A b
c ã a
+ nh lý: Nu ba mt phng ct nhau theo ba giao tuyn phân thì ba giao tuyn y hoc ng quy hoc ôi mt song song.
B

I
b
+ H qu: Nu hai mt phng phân bit ln lt i qua hai ng thng song song thì giao tuyn ca chúng (nu có) song song vi hai ng thng ó (hoc trùng vi mt trong hai ng thng ó).
2. V trí tng i ca ng thng và mt phng
®Cho ng thng a và mt phng a. Ta có các v tr í tng i sau
+ Nu a n a = 0. Khi ó ta nói a songsong vi a, kí hiu: a // a. + Nu a và a có mt im chung duy nht M. Khi ó a ct cc. a n a
+ Nu a và a có quá mt im chung. Khi ó a nm trên cc. a c a a a
» nh ngha: Mt ng thng và mt mt phng gi là song song vi nhau nu chúng không có im chung.
3. iu kin mt ng thng song song V mt m phng ® nh lý 1: Nu ng thng a
song song vi mt ng thng b nào ó nm trên mt phng (P) và (P) không cha a thì a song song vi mp(P).
®Tính cht:
+ nh lý 1: Nu ng thng a
song song vi mt mpfPJ thì mi mt phng (Q) cha a mà ct (P) thì ct (P) theo giao tuyn song song vi a.
+ H qu 1: Nu mt ng thng song song vi mt mt phng thì nó song song vi mt ng thng nào ó nm trên mt
phng y. + H qu 2: Nu hai mt phng
phân bi t cùng song song vi mt ng thng thì giao tuyn ca chúng (nu có) cng song song vi ng thng ó.
37
B

I
4. V trí tng i ca hai m phng phân ihi
* Hai mt phng gi là ct nhau khi chúng có im chung. Lúc ó chúng có c mt ng thng chung gi là giao tuyn, kí hiu:
(P) n (Q) = b
* Hai mt phng gi là song song vi nhau khi chúng không có im chung, kí hiu:
(P) II (Q) o (P) n (Q) = 0
* Các nh l í và t ín h cht:
© nh lí 1: Nu m t phng (P) cha hai ng th ng a và b ct nhau và cùng song song vi mt phng (Q) thì (P) song song vi (Q).
(P)z>a//(Q)
a r \ b = {0}
® Tính cht 1: Qua mt im ngoài mt. m t phng có mt và ch mt mt phng song song vi mt phng ó.
® H qu : Nu ng thng’. song song vi mt phng (Q) thì qua A có mt và chi mt mt phng (P) song song vi mt phng (Q).
® H qu 2: Hai mt phng phân bit cùng song song vi mt phng th ba th ì song song vi nhau.
®Tính cht 2: Nu hai mt phng' (P) và
(Q) song song thì mi mt phng (E) ã ct (P) thì phi ct (Q) và các giao tuyn ca chúng song song.
® nh í Thalès: Ba mt phng ôi mt song song chn ra trên hai cát tuyn
bt kì các on thng tng ng t l.
38
B

I
Ba mt phng song song (P), (Q), (R) ct hai ng thng a, b l
lt ti A, B, c và A', B', C'; khi ó ta có: ^ ^ ^ A'B ' B'C' C'A'
• nh lí Thales o: Gi s trên hai ng thng a và a' ln lt ly hai
b ba im (A, B, C) và (A', B', C')
sao cho: AB BC CA A'B' ~ B ' ~ C ' ''
Khi ó ba ng thng AA', BB', CC' cùng song song vi mt mt phng.
. Hình lng tr và hình hp
• Hìn h hp bi các hình bình hành'. ABB’A ’, BCC’B ’, w... và hai mii
a giác ABCDEF A ’B ’C’D’E’F ’ ... gi là hình lng tr. + Các hình bình hành c gi là các
mt bên, hai min a giác gi là hai mt áy ca lng tr. Hai áy là hai a giác bng nhau.
+ Các on thng AA’; BB’) w ... Gi là các cnh bên. Các cnh bên ca lng tr u song song và bng nhau.
+ Ta gi lng tr theo tên ca a giác áy. ® Hình hp: Hình lng tr t giác có áy là hình bình hành c g:
là hình hp.
+ Vy hình hp có sáu mt u là nhng hình bình hành.
+ Hai mt song song vi nhau gi là hai mt i din, hình hp có 3 cp mt i din, hai mt i din thì bng nhau.
-f Hai nh ca hình hp c gi là hai nh i din nu chúng không cùng nm trê n mt m t nào.
+ Các on thng nôi hai nh ôi din gi là các ng chéo. Bôn ng chéo ct nhau ti trung im ca mi ng, im ó gi là tâm ca hình hp.
B

I
+ Hai cnh gi là i nhau nu chúng song song nhng không nm trên mt mt ca hình hp.
+ Mt chéo ca hình hp là hình bình hành có hai cnh là hai i din ca hình hp. Có 6 mt chéo.
• Hình chóp ct: Mt mt phng a song song vi áy ca hình S.AjAjAj ... Ct các cnh bên SA^ ,Sj ,SA$... ca hình chóp
lt t i các im Hình to bi thi t
A[ A và áy A j A2A3... ca hình chóp cùng vi các m
A ^ A ^ A , AgA^AA, A^AAA... gi là mt hình chóp ct. s
+ áy ca hình chóp gi là áy ln, thit din gi là áy nh hình chóp ct.
+ Các mt còn i gi là các mt bên ca hình chóp ct.+ Gi tên ca hình chóp ct theo tên ca a giác áy.
* Tính cht:
a) Hai áy ca hình chóp ct là hai a giác ng dng. b) Các m t bên ca hìn h chóp ct là các hìn h thang.
c) Nu kéo dài các cnh bên ca hình chóp ct thì chúng u quy ti mt im.
II. PHNG PHÁP GI CÁC DNG TOÁN THNG GP ___________
1. Dng 1. Hai ng hng song song
a c a a chéo b o .
[ ò n a = M s a
n u ^ a , b c a• a // b «> •{_ o n a = 0
40
B

I
Ví d 1. Cho t din ABCD. Gi M, N là hai im thuc ng thng AB; p, Q là hai im thuc ng thng CD. Xét v trí tng i ca hai ng thng MQ và NP. Xét v trí tng i ca ca hai ng thng MP và NQ.
0
Gi s MQ và NP ng phng, suy ra bn im M, N, p, Q ng phng, tc là hai ng thng AB và CD cùng nm trên mt mt phng, mâu thun gi thit hai cnh i ca t din thì
phi chéo nhau.
Vy MQ và N P không ng phng, tc là MQ và NP chéo nhau.
I Tng t MP và NQ cng chéo nhau. _________________
Ví d 2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vi áy ln AB. Gi M, N ln lt là trung im ca SA, SB.
a) Chng minh MN song song vi C.
; b) Tìm giao im Q ca s c vi mt phng (AND).
\ c) Cho {1} = A N n DQ. Chng minh S song song vi AB, song song
vi CD. T giác SABI là hình gì?_______________________________ í i i
I a) Chng minh M N song song vi CD. I
Ta có: M N là ng trung bình ca ASAB nên
M N //A B ) , n r n m n >=> M N //C D .
Do A B / /C D
A
c
41
B

I
Gi o = AC n BD
=> S O ,D N c (S B D )
=> SO n D N = J
=>J e DN cz (AND) =>A J , SC cz (SAC ) => A J n SC = Q
fQ e A J c (AND)
^ { Q e S C
Nên Q = SC n ( AND ) .
c) Chng minh S I song song vi AB, song song vi CD. T giác SABI
là hình gì? A N n DQ = I =>S I = (SAB ) n (SCO)
"AB c (SAB)
mà CU c (SCD) => (SAB) n (5CZ>) = S / /ABI I CD.
AB//CD
* Ta có: M là trung im ca SA mt khác
M N //A B '
A B //S I]
Vy t giác SABI là hình bình hành.
M N //S I ^ S I = 2MN = AB
Ví d 3. Cho t din ABCD. Trên AB và AC ln lt ly hai im M, , 7 ' , AM’ A N
N sao cho — —= — - A8 AC
a) Chng minh M N song song Yi BC.
b) Chng minh giao tuyn ca (MND) và (BCD) là song song vi BC.
a) Chng minh M N song song vi BC
Yì Á, B, c, M, N ng phng và = â í.- o ó theo inh lí - - AB AC
Thaiès; ta có M N song song BC.
42
B

I
(. MND) o MN'
(BCD) 3 BC
=> ( MND) n (BCD) = m //B C .
Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông. Trên các cnh BC, AD, SD ln lt ly các im M, N, p di ng sao cho:
BM AN SP BC AD SD
a) Tìm giao tuyn ca (MNP) và (SCD). b) Gi ÍQ = s c n (MNP). Xé t hình tín h ca t giác MNPQ.
c) Tìm tp hp giao im R ca MQ và NP, khi M di ng trên on BC.
d) Chng minh SB song song vi MQ. __
a) Tìm giao tuyn ca (MNP) và (SCD).
™ BM AN SP , MN/CD rheo gi thit — =>< _ _
BC AD SD [N P //SA
p e (MNP) n SCD)
(MNP) 3 M N
(MNP) n (SCD) = Px // CD
b) Gi Q = P x n s c => Q = s c n (MA/P)
=> MiV // PQ => MNPQ là hình thang.
c) Tìm tp hp giao im i ca ATQ và NP
Ta có: MQ n JVP = i]
M c (SBC) => B e (SBC) n (SAD)
NP c (SAD)
(SBC) 3 B C ^ ^ =S y / /AD IIBC (SAD);dAZ)|
B C//AD
=> R e Sy, khi M -> B => R -> s, khi M -> c => i -> T, {CTHSB)
Vy tp hp các im i khi M di ng trên on s c là thng ST
d) Theo gi th i t — = — = — , theo tr ên p q IIM NII CD B C A D S D
SP SQ _ BM SQ _ .. OD
Suyrap = ^ = s ^ MQ/ /SB- 1.2. MT S BÀI TP ÁP DNG CÓ LI GII
2.2.2. J9 6ài
Bài 1. Cho t din ABCD. Gi M, N, p ln lt là trung im AB, BC, CD.
a) Tìm giao tuyn ca (MNP) và ( ABD).
b) Gi (Q) = AD n (MNP). Xác nh v trí ca Q và chng min
giác MNPQ là hình bình hành. Bài 2. Cho hình chóp SABCD có áy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyn ca (SAB ) và (SC).
b) Ly M thuc cnh s c (S # M * C).Tìm giao tuyn ca (A và (SCD ).
c) Xác nh th i t din ca hình chóp vi ( ABM ), thit din là hình
Bài 3. (*) Cho t din ABCD. Gi M, N, p, Q, R, s ln lt là t im ca AS, CD, AC, BD, AD, BC. Gi A ’, B ’, , D’ ln lt là t
tâm các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. a) Chng minh các on thng MN, PQ, RS, A A \ BB\ c , DD’
quy ti G.
b) Chng minh GA = 3GA’. (im G gi là trng tâm ca t ABCD các on thng A\ BB’, C, D gi là các trng tuyn t din).
44
B

I
Bài 4. (*) Cho hình chóp SABC, o là mt im nm bên trong tam giác ABC. Qua o dng các ng thng ln lt song song song vi SA; SB; s c và ct các mt phng SBC),(SCA),(SAB) theo th t ti Gác im Ã', B ’,
a) Nêu cách dng các im A ’, B ’, .
OA' OB' OC' b) Chng minh tng -----+ ------+ ------ có giá tr không i khi 0 di
SA SB s cng bên trong tam giác ABC.
c) Xác nh v trí ca o tích OA’.OB’.OC’ có giá tr ln nht.
Bài 5. (*) Cho t din ABCD và bn im M, N, E, F ln lt nm trên các cnh AB, BC, CD và DA. Chng minh rng:
XT.<_ %* *7• n TP .3-'_____4.1.' MA N B EC 1 Bn im M’ N ’ E’ F ng phn« thl E A F A = 1 -
b) Nu M l . I . . _ EP- = thì bôn im M, N, E, F ng phng.
MB NC EA FA (nh lí Mênêlauyt trong khôig gian).
Bài 6. (*) Cho t din ABCD và m t phng (a) ct các cnh AB, BC, CD và DA ln lt ti bn im M, N, E, F. Tìm giá tr ln nht ca MA.NB.EC.FD.
1.2.2. Li gii
Theo gi thit, suy ra
'M e (MNP) n (SB D ) B
(MNP) =5 NP
(SBD ) 3 BD
=>(MNP) n (SBD) = Mx IIBD IIN P
b) Xác nh v trí ca Q = SD n (MNP) và chng minh t giác MNPQ là hình bình hành.
QeMxc: (MNP) Vì M x , BDcz (SBD ) ^ Mx n SD = Q => " v ;
[Q e SD
45
B

I
NP và MQ ln lt là n

Documents

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - NGUYỄN VĂN NHO