BỘ ĐỀ LUYỆN THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 2012 - NGUYỄN VĂN NHO

8/21/2019 B LUYN THI TH I HC MÔN TOÁN 2012 - NGUYN VN NHO
http://slidepdf.com/reader/full/bo-de-luyen-thi-thu-dai-hoc-mon-toan-2012-nguyen-van-nho 1/381
(GV chuyên Toán trng THCS & THPT Nguyn Khuyn - TP.HCM)
B LUYÊN THI TH I HC • • •
Môn
TOÁN(Tái bn ln th nh t , sa cha và b sung theo t inh thn thi mi)
NHÀ XUT BN I HC QUC GIA HÀ NI
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B

I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
NHft XURT BN RI h c u c Gift h à NI
16 Hàng Chui - Hai Bà Trng - Hà Ni
in thoai: Biên tp-Ch bn: (Q4V39714896:
Hành chính: (04ì 39714899: Tng hên tp: Í04> 39714897
Fax: (04) 39714899
TS. PHM TH TRÂM
Bin tp: HNG SN
Sa bài: TUYT VÂN
i tác liên kt xut bn:
NHÀ SÁCH HNG ÂN
Mã s: 1L-21 6H 201 2
In 1.000 cun, kh 17 X 24cm i Công ti c phn Vn hóa Vn Lang.
S xut bn: 2 37 -20 12/CXB /25-45/HQ GHN
Quyt nh xut bn s: 207L I5-TN/Q-NXB HQGH N ngày 23/7/2012.
In xong và nlu chiu quý IV nm 2012.:
B

I
Các em hc sinh thân mn !
Nhm giúp các em t tin hn khi bc vào kì thi i hc sp n, chúng tôi biên
son cun sách “B thi th i hc môn Toán” . B bao quát phn ln kin thc trng tâm ca chng trình Toán trung hc ph thông. Mi thi c biên son theo
ng cu trúc thi cùa B Giáo c và ào to; các câu hi tron" thi u'C chn lc
cn thn, tiêu biu cho tng dng toán. Các thi có lài gii chi tit nhm giúp các em c thun li hn trong vic t ôn luyn, ng thòi rèn luyii cho các em cách trinh bày
mt bài thi sao cho t kt qu tt nht. Chúng tôi cng gii thiu mt s thi chính thc cùa B giáo dc và ào to trong nhng nm gn ây các em thy c khó d ga các trong tng khi thi, t ó chn c khi thi, ngành Ihi phù hp vói khá nng ca mình.
Khi tip cn thi các em cn dành thi gian c k tng câu hi, xác nh xem
chúng thuc dng toán nào, chn phng pháp nào gii quyt câu hi ó ti u nht. Trong khi gii thi các em nên chn câu hòi d gii trc, câu khó gii sau và ng
quên tính toán tht k lng, vì thc t có nhiu em nm kin thc tt, chn phng pháp
gii úng nhng tính toán sai dn n bài làm b im thp áng ticc !
Sau khi gii tng xong, các em i chiu li gii trong sách tham khào thêm,
t úc kt cho mình cách gii và cách trình bày li gii tng dng toán.
uá trình i mi hin nay ang òi hòi cao vic t hc ca mi cá nhân. Thit ngh, bên cnh s hng dn trên lp ca thy cô, quyn sách này s là ngòi bn ng hành
tt cho các em trong nhng kì thi sp ti.
Mc dù b ã c chúng tôi s ng làm tài liu luyn thi i hc, chình sa,
cp nht và cng rt c gng trong quá trình biên son, nhng cun sách không thê tránh
khi nhng thiu sót, chúng tôi rt mong nhn c s góp ý ca các cm hc sinh và quý
Thy, Cô giáo ln tái bn sau cun sách c tt hn.
Nhân ây chúng tôi cng xin gi li cm n chân thành n quý Thy Cô trên các
din àn Toán hc ã cung cp nhng ý tng hay và í liu quý mà chúng tôi ã tham kho trong quá trình biên son, c bit bit n quý Thy Cô trong t Toán Trng
THCS & THPT Nguyn Khuyn Tp.HCM ã giúp nhit tnh bàn tho sm c hoàn thành.
Ngiri biên son
3
B

I
3H I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7,0 im)
Câu 1 (2 ,0 im). Cho hàm s y = X4 - 2{m + ì) * 2+ m2 - 4 ( l) , m là tham s thc.
a) Kho sát s bin thiên và v th ( c ) ca hàm s ( l) khi m = 2 .
b) Tìm m sao cho th hàm s ( l) ct trc hoành ti bn im phân bit có hoành
ln hn —4.
Câu 2 {1,0 im). Gii phng trình s i n f ~ ——- ì “ COsí—; —— = V2COS— . { 2 4 ) u 4 ) 2
Câu 3 Gii phng trình 2sjl - X —Vl + X + 3^ j\—x2 = 3 —X.
„ ^ V X -J- Câu 4 (, im). Tính tích phân I =. I----------- —dx -
J X + sx2 —1
Câu 5 {1,0 im). Cho hình chóp iS^-BC có áy ABC là tam giác vuông ti B và AB = a . Cnh bên SA vuông góc vi mt phng (ABC), Góc hp bi s c và mt phng (SAB) bng
. . , a-46 60°; M là trung im ca AC. Bit khong cách gia SM và AB bng —- — , tính th tích
khi chóp S.ABC theo a. Câu 6 ,0 im). Cho a, b, c là các s dng tha mãn ab + bc + ca = a b c . Chng minh rang
1 1---------------- 1---------------- ----------------- < —_ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6
II. PHN RIÊNG (3,0 im) Thi sình ch c làm mt trong haiphtt (phn A hoc B)
A. Theo chng trình Chun
Câu 7.a y0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho tam giác ABC c in tích bng 45 và
hai ình B 2 ; l ) , c ( — 1;5), trng tâm G ca tam giác ABC thuc ng thng
( .x + y - 1 = 0 . Tìm ta ình A ca tam giác.
Câu 8.a (1,0 im). Trong không gian ta Oxyz, cho tam giác ABC vi
B (3; 3; 2 ) , c (5; 1; - 2 ) . Chng t tam giác ABC là tam giác u và tìm ta im
s sao cho S.ABC là hình chóp tam giác u có th tích bng 6.
Câu 9.a , im) Tìm s phc z tha mãn iu kin I z —2i
|z + l - 2 i = Lz + 3 + 4í và -=----- là s thun o. 1 1 z + i
5
B

I
R- Theo chng trình Nâng cao Câu 7-b (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho tam giác ABC có A (2; 6 ), chân
ng phân giác trong ca góc A à m ^ 2 ;- — và tâm òng tròn ngoi tip tam
giác là /^——;l j . Xác nh ta các ình B và c .
Câu 8.b (1,0 im). Trong không gian ta C)xyz, cho ba im M ( l; - 3 ; —2),
A( 1;-1;2), B { - v à mt cu (iS) : ( ;c -3 )2*+*(>’+ 4 )24-(2 + 1)2 = 25 . Gi
(p ) là mt phng i qua M và ct ( s ) theo giao tuyn là mt ucmg tròn có bán kính
nhò nht. Vit phng trinh ng thng ( a ) qua B, nàm trong (p ) và cách A mt
khong ln nht.
Câu 9.b (1,0 im). Tìm s phc z thòa mãn Z.Z = 1 và z2+ 2z —l =.
BÀI GI
I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH Câu 1
a) Kho sái s bin thiên và v th (c) ca hàm s (1) khi m —1
Khi m — 2 >ta có y - X4 - óx2
• Tp xác nh D - R . • S bin thiên - Giói hn lim y — +00, lim y = +C0 .
X —>—» .r—>H-CC
- Bâng bin thiên
Bâng bin thiên
X = 0 => y = 0 _y' 0 r
X = ±V3 => y — -9
y 0 + 0 0 +
6
B

I
Hàm s t cc tiu ti X = ±V3, y r r = —9 , t cc i ti X — 0, y = 0 .
® th - im un
y " = l 2 x 2 - 1 2 = 12(jc2 - l ) ; y " = 0 X = ±1 => y = -5 .
th có hai im un /j ( — —5).
- im c bit = 0 <=> X - 0; X = ± V ó .
Nhn xét. th hàm s nhn Oy làm trc i xng. b) Tim m Phng trnh hoành giao im cùa th hàm s (1) và trc Ox :
(3)
X 4 - 2(m + l ) x 2 + m 2 - 4 := 0 (2)
t í = X 2 ( / > o ) , ta có í 2 —2 ( m + 1) / + m 2 — 4 = 0
th hàm s ( I) ct Ox ti 4 im phân bit <=> (2) c 4 nghim phân bit
o (3) có hai nghim dng phân bit
<=>
s - 2 (m + 1) > 0 <=>
p = m2 - 4 > 0
m < - 2
m > 2
Khi ó
(3) có hai nghim 0 < /, = m +1 - -s/2m + 5 < t2 ~ m +1 + \fm + 5 . (2 ) có 4 nghim JCj — —yjtj < x 2 - —yT < x3 = < x 4 - yí^.
Yêu cu bài toán < > X = —y > - 4 <=> y < 4 <=> t2 <16
<=> m + \ + y[2m + 5 < 16 <=> 'J im + 5 <1 5 - m
\ 5 - m > 0 m < 5
|2 m + 5 < (15 —m)2 \m 2 —32m + 220 > 0
So vi iu kin (*), ta có giá tr cn tìm là 2 < m < 10 .
. ( 5x Câu 2. Gii phng trình sin I --------- I—COS
( l ) « sin ^ _ ^ _ sin ^ _ | j = V 2 c o s |
' m < 15
m < 10
m> 22
<=> m < 10 .
. ( 5x ( X 71 ì ~ 3x n l — — -c o s [ = V 2 c o s - ~ - (1 )
{.2 4 ) 2
- _ ( _ f3 x ') /r- 3x <=> 2 cos X + — .sin — —— = V2 COS —
I 4 / u 2 J 2
^ T f * 0 _ /Õ<=>-2cos x + — .COS-—= v 2 c o s —— <=>cos 3x
T ' v/2 + 2cos^ * + — j = 0
<=>
3 3
3 37T 3;r X + — = ± —- + £ 2 /7
4 4
Câu 3. Gii phng trình 2 V —X —-v/l + JC+ 3vl —X2 = 3 — X (1) Diu kin —1< x < 1.
(l)<=>(l + x)-i-2(l —x ) - 2 V — X + \l\ + -V—3 V - X2 = 0
« = y l T x u > o) t ^ ____ ' , ta có
v = yj\ - X ( v > 0 )
u2 +2 v2 -2 v + w -3«v = 0 C3> u 2 + ( l - 3 v ) « + 2v l — 2v = 0
u = 2v <=> V T X = 2V l — X <=> 1 + JC= 4(1 — x ) <=> X = .
V = u + 1 Cí> V ì - x - y j \ + X + 1
< = > ì - x ~ X + 2 + 2y +~x <=> 2 y ì + x = - 2 x - 1
u = 2v
4 ( l + x ) = ( - 2 x - l ) 2 x 2 = - 4
-1 < x <
x = ± -
V3
.. , , 73 3 So vi iêu kin, ta có nghim ca phng trình là X = ——— ; X ——.
2 \l +1 Câu 4. Tính tick phân = f ----- y ~ = d x
] x + \ x 2 -1
2 _______ _ 2 2
/ = jVx + 1I X- yfx2—\ \ d x - JxVx+Td x - J(x + l ) yJ x - \d x 1 I I .
2
Tính /, = xyx + l dx
/j = J(x + 1- l ) \[x + \d x = J (x + l - ( x + l)2
i 1 -
dx
—(x + l )2 yjx + l (x + l)Vx+T 8^3 4V2
5 15
2 Tính / 2 = J(x + l) > /x -l dx
2 2rT 3 1 / 2 = J ( x -1 + 2 ) V x - l dx = j ( x - l + 2( .r- l )2
! 1 -
+ | ( x - ') * =| ( ^ - l ) 2 ' / x - i + | ( x - l) V x ^ T
,8V3 4 V2 26 Vay / = / , —/ , = — ---------- — ----- .
1 2 5 15 15 Chú ý. Ta c có th s dng phng pháp i bin so tính tích phân này. Câu 5. Tinh th íich khi chóp S.ABC
BC J_ AB . . Ta có í => BC-L(S B)
[ 5 C X & Í v '
=> SB l hnh chiu vuông góc ca s c trên mt phang (SAB) => BSC = 60° là góc hp bi s c và mt phng ( SAB). Dng hnh ch nht ABED, v E là trung im ca BC.
TaCÓ ^ S M l(S{ S E D ) ^ d { A B ' S M ) = d ^A,{SED)>l
( E D ± A D , x Mt khác __ => ED _L(SAD)
{EDL-SA v '
Mà ED c: SED) nên ( SED) _L{SAD) theo giao tuyn SD.
Trong tam giác SAD k ng cao AHt hì AH -L ( SED)
^ > d (A , ( SE D) ) = A H = ? ^ - .
t BC = X (x > 0) , ta có AD = BE = .
26 15
Tam giác SBC vuông ti B, có SB = BC. cot 60° =
Tam giác SAB vuông ti A, có
SA = ySB2 — AB2 = - a 1 (x2 > 3 a 2).
Tam giác SAD vuôna tai A, cóTam giác SAD vuông ti Ay có 1 1 . 1 2
+ —~ <=> A lf- S2 + A D 2 °" 3a 2 X2 - 3 c r + X
2x4 ~ 21a~x2 + 36a’ = 0
X = 12(3
3 2 =í> X = 2 \ / ^ => = (loi)
Vy th tích khi chóp S.ÁBC là
VS,W( = - = - B. BC. SA = - a . 2 a f i . a f i = a :' (dvtt). 3 ó 6
Câu 6. Chng minh ----- —— —— i-------- - —-— I------ —— ——< —. a + 3£>-f-2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6
1 Ta có ab + bc + ca = ab c C5> —+ —-f —= 1.
a c c
Theo bt ng thc Cauchy, ta c ó -------------- = ------ — < —— ----- b—- <2+ 3 è+ 2 c 4 \ + 2 c 3b )
1 ì^ f l l 1Mt khác — -— = ----- -----< —í —+ —+ — a + 2c t + c + c 9 V <2 c c
Do ó
Tng t
- L <2-f 30 + 2c 4 9 1 a c ) 3b
_ J L f_ L 1 ~ n { 3 a + b + 3c
_ L _ s _ L f ± 4 + A b + 3c + 2a 12 V36 c 3a
c + 3a + 2b 12^3c a 3b
Cng (1X (2) và (3) v theo v, ta có
1 1 1 1 n 1--------------------------- ------------------------------ 1------- ---------------------< _ _ + —- - I - — = — (pcm). a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Va b c ) 6
ng thc xy ra khi a = b = c —3 .
(1)
(2 )
(3)
10
B

I
IL PHN RIÊNG A- Theo chng trình Chun Câu 7.a Tìm ta ô ính A ca tam giác
Ta có ÃC = ( -3;4 )= > 5 C = 5.
Phng trình ng thng BC có dang ———= ——- <=>4x + 3y — 11 —0 .
—3 4
Ta có S Am. = — BC. AH (Atì là chiu cao) => AH = — = 18 AK 2 B c 5
Gi G (/; 1— t ) G (ú/) là trng tâm tam giác ABC, ta có
x A+X# + x (. - 3xc f x , + 2 - 1 = 3*
+ » + yc = 3y<; +1 + 5 = 3 -3 /
= 3 í ~ 1 => j4(3/ _ i _ 3 í _ 3\
U = - 3 í - 3 v '
<=>
n V... 2 s . M
Mt khác d ( , B C ) - A H <=> |r —8j —30 ()_
r = 38 = > ^[ ( l l3 ; -117 )
= - 2 2 ^ > (~67;63)
Vy có hai im cn tì là A ( l 13; -117 ); A2( -67 ; 63 ) .
Câu 8.a
• Chng t tam giác ABC là tam giác u Ta có
AB = ( 2 ; 4 ; 2 ) , Ã C = ( 4 ' , 2 ; - 2 ) , B C = ( 2 ; ~ 2 ; - 4 ) = > A B = AC = BC = 2s6.
Suy ra ABC là tam giác u.
• Tìm ta im s sao cho S.BC là hình chóp tam giác u có th tích bng 6
<=>
<=>
ù[x; y; z ) , ta có SA ~ SÍS --=ÒC
S A 2 - SB2 ( l - x ) 2 +(1 + y f + z 2 = (3~x)2+(3 - v ) 2 + ( 2 - z f
I&42 - s c 2 ++ z 2-^ 5 -j c )2 + (2 4-
x + 2 y + z ~ 5 = 0
\ l x + y - z - 7 = 0.2 x + y - z - 1 = 0.
t X = t => y = 4 - t ,z = ~3 + 1 s ~ t - ?>y
Ta có [ Z , I c ] = ( - 1 2 ; 1 2 ; -1 2 ) , a s = (t ~ 1;5 - t - 3 ) .
11
B

I
heo c bài, ta có
1 K \'í/i, AC . AS = ” 1108 —3rI = 6 < > |/ —3| = 1 <=>
6 1 1 1
' /= 4= > 5 , ( 4 ; 0 ; 1 )
t — 2 =>S7 (2;2; —l) .
Vy có hai im cn tim là 5, (4;0;l) ; S (2; 2; —l) .
Cách khác
Gi G !à trng tâm tam giác ABC thì G (3; 1; o ) .
Mt phng (ABC) có vecto pháp tuyn ~n= - — \ AB,Ã~C 1 = . 1 2 “-
Phng trình mt pling (ABC) có dng X - y + z - 2 = 0 .
Gi A là òng thng qua G và vuông góc vi mt phng [ABC) th A có vect ch phng
X = 3 + í
Do S.ABC là hình chóp tam giác u nên le +
Ta có
S,,* = = - ^ - ) 2+ | 2J+ ( -1 2 )2 = 6^3 . 2IL 2
= \ s * k s g = (,= > s g 3V Z_JL 3.6
Mt Nkhác d ( S , ( A B C ) ) = SG <x- Jyi - J v3
6y3
í = l = > s ( 4 ; 0 ; l )
í = - l = > s ( 2 ; 2 ; - l )
Vy có hai im cn tìm là S (4 ;0 ; l) ; iS2(2 ;2 ; —l)
I I !“ z —2,1 - Câu 9.a. Tìm sô phc z tha mãn \z +1 — 2i = z -f 3 + 4/ và — -----là sô thuân o
z
Gi s phc z = x + y i (x, y e IR) => = X - y ì .
^ z - 2 i x + ( y - 2 ) i [x + C y -2 ) / ] [x - ( l ->>)/] Ta có — - = ———........ = ----------------------- ---- — --------- ----------
z + / X + (1 - _y) X + (1- x )
X 2 - y 2 + 3 y - 2 ( 2 x y - 3x) .
* 2 + ( i - > 0 2 + x 2 + ( \ - y f
12
B

I
z - 2 i „ k _ A , fx2 + 3 . y - 2 = 0 Do —— —là so thuan ao nen ta CO <
z + i [x2 + ( l - y )2 * 0 (1)
Mc khác |z + 1- 2i\ = z + 3 + 4/1 x + + (y - 2)ì\ = jc + 3 + (4 - _y)/|
x + X + ( y - 2 f = x + f + ( A - y Y & x - y + 5 = 0 (2)
T (1) và (2) ta có h <
'X2 - y 2 + 3 y - 2 = 0
X2+ ( l - y )2 ^ 0 <=>
x - ^ + 5 = 0
y 1
. Í _ L,. 12 23..Vy so phc cân tìm la z = -------1----- .
j ^ + l J + ( j , - =
trình ní tlìnt .4iV/
B. Theo chng trình Nâng cao Câu 7.b. Xác nh toa ô các nh B v à C
Gi (C ) là n S tròn ngoi tip tam iiác A ÌC và R là bán kính cùa ( c ) . ta có
Zi = —;5 => 7? - X4
P hi ro 'ii s t rin h n g tr òn ( c ) c ó d n g
125
4
Phiiíí trình ní thn A M có dng X — 2 = 0.
Gi D = AM o (c ) thì ta ca D tha h r X — 2 = 0 , _ 2
‘ ( x + + 0 - 1 ) 2= f
o i (loai, do D = A ) hav J => D ( 2; — 4). \ y = 6 b - - 4 v '
o AM là una phân ai ác tron li ca góc A nén D là iém chính iÌa cùa cun a B C .
Suy ra BC J. D . __ 5
ng thn< B C i q u a i m M v à Ì ih n / D = — ( l ; —2 ) là m v e c t p há p t u v n c ó
pliorm trình 1.(jc —2 ) - 2 .^ t + —j = 0 <í=> X —2 y — 5 = 0.
13
B

I
Vy £ ( 5 ; 0 ) , C ( - 3 ; - 4 ) ha B ( - 3 ; -4 ) , c ( 5 ; 0 ) . CÂ« <9. . Vit phng trình ng thng (a )
Trc ht ta vit phng trình mt phng (p ) .
Mt cu (1.9 ) có tâm /( 3 ;~ 4 ; — 1) và bán kính R ~ s .
Ta c M = (— => M = Vó .
Suy ra m A/nm trong mt cu ( .s ) . Do ó, mt phng i quaiW luôn ct (<s)
theo mt ng tròn ( c ) . Gi J là hình chiu ca / trên (p ) thì J là tâm ca (C )-
ng tròn ( c ) có bán kính nhò nht khi J ln nht.
Ta có < M = Vó => max J = V ó , khi J = M => M X ( p ).
Vy (.p) [à mt phng qua M và nhn IM — (—2;1; — 1) là vecto pháp tuyn.
Phng trình mt phng (p ) có dng
- 2 ( x - l ) + (y + 3 ) - (2 + 2) = 0<=> 2 x - + Z"3 = 0 . Tip theò ta vit phng trình irng thng ( a ) .
Gí H là hình chiu ca im A trên ng thng ( ) , ta có
AH < AB (không i) =^>max AH = Á B , khi H = B <=> AB JL( a ) .
Ta có AB = (—2; —3; — 1); mt phng ( p ) có vect pháp tuyn n = 2 ; — l ; l ) .
Gi a là vect chi phng ca ng thng ( a ) , ta có
[(a) => a X n
( A ) ± A B = > a ± A Bu _ l_
_ => a —
— - 2 - ' f 8 Câu 9.b. Tm sô phc z tha mãn Z. Z = I và \z + 7.Z — = .
I I V 27
t z = a + bi a ,b eIR)==> z = a —b i .
Theo bài, ta có
{a + b ) ( a - b i ) = \ a2+ b 2 =\
a + b i f + 2 { a - b i ) - i ^ 'a2 - b 2 + 2 a - ì + 2 b - ] ) \ = 27
a 2 + b 2 = 1
[ a2 - b 2 + 2 a - ì ) 2 +42( - l ) 2 = 27
V = i - 2
2 a — —
2 = - -
(3 + - i y -f ( l - c r ) ( t f - l ) 2 =
13
2
(loi) <=> < b = ±
. 2 s . 2 V . Vây có hai sô phc cân tìm là z = — I- —— i ; z = ----- — I .
3 3 3 3
I. PHN CHUNG CHO TÁT C THÍ SINH (7,0 im) 3x — 4
Câu 1 (2,0 im). Cho hàm s y = —— — ( l)
a) Kho sát s bin thiên, và v th ( c ) ca hàm s (l) .
b) Tìm các im thuc ( c ) sao cho khong cách t im dn trc hoành gp 2 ln
khong cách t im ó n ng tim cn ng cùa th ( c ) .
7T
Câu 2 {1,0 iêrrì). Gii phng trình 8sin X H— + tan X + cot X = 4 co t 2x .{ 6 )
x2(y + ) = 6 y - 2 Câu 3 {1,0 im). Gii h phng trình
\x*y2+ 2x*y2+ y ( x 2+ \ ) = \2 y 2 -1 .
X
4fS Câu 4 ( ,0 êrrì). Tính tích phân / — —
0 :
15
B

I
Câu 5 ,0 im). Cho hình chóp tam giác u S.ABC có cnh áy bàng <2. Gi M, N ln lt là trung im ca SA và sc . Tính th tích khi chóp S.ABC , bit BM vuông góc vi AN.
Câu 6 ,0 im). Cho a,b,c là các s thc dng tha mãn 3ab + bc + 2ac = 6 . Tìm giá tr ln nht ca biu thc
p = 1 4 9
a2+ \ + b2+4 + c2+9 ‘
II. PHN RIÊNG (3,0 im) Th sinh ch u c làm mt trong hai phn (phn A hoc B) A. Theo chong trình Chun
Câu 7.a (1,0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho tam giác ABC có phong trình
ng cao k t inh A là 3x — y + 5 = 0 , trc tâm / f ( — — ;4-J là
trung im ca AB, BC - V õ . Tìm ta các nh A, /?, c vi XH< x c .
Câu 8.a ( J,0 im). Trong không gian ta Oxyz, cho hai im /4(3;—2 ;-2 ) ,
, \ ' í \ x + y —I z + 2 7?(j;3;0) và ng thng y d ) có phng trình------= ------- = ------- . Tìm ta
im c thuc (?) sao cho tam giác ABC có din tích nh nht.
Câu 9.a ,0 im). Tìm s phc z tha mãn phng trình z.z + z2 —z —2z j = 10 + 3 .
B. Theo choìig trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 im). Tron mt phna ta Oxy, cho ng thãna (í/): X —y + 1= 0 v
n g I r ò n c ) : X 2 - - y 2 —2 x + 4 y — 4 — 0 . T ì m i m M t h u c i r n a
thniìg (c /) sao cho qua M ke c các ticp tuyn MA. MB n rm
tròn ( c ) vi (.'í, B là các lip (lim) ne. thi khoang cách t im n
d ng thn d i qua ha i i m A t B !à
ln nhát.
Câu 8.b (1,0 im). Trong không gian ta o.xyz, cho hai ng thng
/ \ x y z , / >\ *+1 y Z-1 ^ , / \ yd )'.—- — —— v (« 2) :------= — = ------- . Tìm ta diêm M thuc và
im N thuc (t/2) sao cho ng thng MN song song vi mt phng
{ p ) : X ~ y + z ~3 = , ng thi ài on MN bàng yf .
Câu 9.b (1,0 im). Tìm h s cùa s hng cha X5 trong khai trin nh thc Newton cùa
biu thc (l 4- 3x)2” , bit rng /i l + 2Al =100 (n là s nguyên dng).
16
B

I
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH Câu 1
a) Kho sát s bin thiên v v th (c) ca hàm s y =
• Tp xác nh D — R \
• S bin thiên cùa hàm s - Gii hn và tim cn
lim y = - 00, lim y = +00 => X = — là tim cn ng.
H ' 1
3x~ 4
2x~3
lim y - lim = —=> = — là tim cn ngang. , v —>-0 0 .Y“ >+0 0 99
- Bng bin thiên: y ' = - 1
( 2 x - 3 ý
< 0, Vx e D
X —CO "í" +00
3 4-00
y 3
—co 2
Hàm s nghch bin trên mi khong ^-00;—j và — .
• th im c bit
4 4 x = ^ > y = —; y ~ 0 = ^ > x = —
3 3 . , (3 3
ô th nhn giao iêm /1 ’ c^a hai òng
tim cn làm tâm i xng.
b) Tm các im thuc (c ) 3
th (c) có tim cn ng là A : X - —= 0.
^ 4 ^ 1 (*»*!)•
Khong cách t Aín tim cn ng và trc Ox ln lt là 3
d(M, A) = x° ~ 2
2*0 -3 0 2
&\3x0-4\ = (2x0- 3 ) 2
3x0- 4 = (2x0-3 )2 r4xo2-15xo + 13=0
_4-3 x0= (2*0- 3 ) 2 _4x02 - 9 x +-5=0
S-V 17 _ 15 -V 7 3 —s/~T*0 = ------ ---- => Af. ------ ;-----' 8 8 j 4 ^
15 + V7 . f l5 + V7 3 + ^/f7 xn= ---- —— => My ---- —-— :----- —
° 8 \ 8 ’ 4
M, r1 5 -V 7 3 - V r P (
, A/, 0 0
8 4
> iêu kiên sin2x * 0 <=> X & k —y k e Z .
2
(l ) o 4ÍV 3s in;t + cos.x)+--;— --------------------=0S--X v ' sin xco sx sìiì2jc
o 2 sin 2xy3 s in X + COS* j 4-1 - 2 COS2x = 0
o 2 sin 2x\ /3sm ;c + cos;cj + sin2x + cos2jc-2 (co s2 x -s in 2x) = 0
<=> 2 s in 2 x (^ s in :r + co sx j + 3sm 2 X - COS2 X = 0
(\/3 sin X + co sx j 2 sin 2x + yÍ3 sin X - COS X ) = 0
<=> ' j 3 s m x + c o s x = Q
2 sin 2x + V3 sin X - COS X = 0
18
B

I
* V3 sin X + cos X = 0 <=> tan Jt = — ~ - o X - + k x , i e Z . V3 6
1 V3 • 2 sin 2 x + v 3 s in x - c o s x = 0 <=> sin2 x = —COS* —sinx
2 2
<=> sin 2x = COS X + - - = sin — —XI 3 j u J
< > n
18 3
* - ^ + * 2* 6
2x = ^ - —JC\ + k27t u ^ A 6 J - -
So vi iu kin, ta có nghim ca phcmg trình là
X = —— + k i x = —- + k ^ - ( ì g Z ) . 6 18 3
| V ( y + l) = 6 . y -2 Câu 3. Gia/ /£'phng trình í , . . .
( / ) »
<=>
\x2(y + \ ) + 2 = 6y
* y + 2x2y 2 + y (x 2+ l ) 4-1 = 12
^ + 1 + i J + ( ^ +1) i = 7
(x’ +l) + -j j + (* 2+ l ) i = 13
<=> \ y ) y
v l y y
( s 2- 4 p > 0 ) , t a có
S = -5
12 (loi).
[£ + /> = 7 p = 7 - s fs = 4 i <=> ì _ - <=> { hay [S2- P = n [S'2 + 5 -2 0 = 0 [ p = 3
, 1 2 Khi ó X +1 và — ià các nghim cua phng trình X - 4X + 3 = 0 -0
y
K 4
X - 0
\ y = 1.
sinx + cosx
dx
K
dx —dí
^ 71 71 n ôi cn X = 0 => í = — ; X —— => t = — . 4 4 2
/T %
= s \ -------- ^ — Vd, = m - ^ L - d t = V5—-5™L , " 3 + sin í 2í - ^ ì Ì3-CO S2Í J 4 - 2 c o s 2 í 4 \ 0 4 *3 + sin 2 - 4 V 2
t u = COSt => du - - s i n t dí
. _ * . . - ^ 2 * nôi cn í — — u — —— ; / = — => u = 0 . 4 2 2
y / °f du 4 \ du
/ = - — - — - d = - — —“ 2 / 2 2 -W 2 0J « 3 - 2
2 V
V V2
, , , , , 4r sinx + co sx , \ sinx + cosx Cách khác - ----- — ----------- -dx = ------ ----- ----------- -
0 4 - ( l - s i n 2 x ) 0 4 - ( s i n x - c o s x ) dx
B

I
= —In 3. 4
t ~ s i n x - c o s x = > d i = (co sx + sinx)iic
i cn X = 0 => t = -1; X = — => / = 0 .
_14 - / 4 j U + 2 r - 2 j 4 r
, 1 nVy / = —n 3. 4
Câu 5. Tính th tích khi chóp S.ABC Gi H là hình chiu ca s trên mt phng (ABC); do S.ABC là hnh chóp tam giác u nên
H là trng tâm tam giác ABC. Gi / là trung iêm ca SN thì M là ng trung bình cùa tam giác SAN. Ta có BM _L AN và MI // A N , suy ra BM -L M .
Mt khác M = — AN = — BM — — B N . . 2 2 2
t SA = X x > o ) Do AN là ng trung tuyn trong A/íC nên ta có
C f 2 S2+ A C 2 = 2 A N 2 + —
2
<?>x2+a2—2AN2+ ~ => A N 2 - — + — . 2 4 2
Do B là ng trung tuyn trong ASBN nên ta có
, 0 , SN 2 BS2+ B N 2 = 2 B f + ^ ~ ~
2 ( "> 2 'N 2 > 2
x a ì x ^ or2 a
— + = 2 B + — => BI - + ----- . 4 2 j 8 16 4
Tam giác BMI vuông ti M, ta có
BI 2 = B M 2 + M 2 < > B 2 = AN 2+
9x2 a 2 5 f X2 a 2 ì 2 3<z2 Vó <=>— - + — = u=> X = - — = > x = — —16 4 4^ 4 2 j 2 2
3" 2 Goi /í là trung im ca BC , ta có = ——— v AH - — = ——
2 3 3
Gi / í là trung im ca # c , ta có = ——— v / í #
Tam giác SHA vuông ti //, ta có
a / = V S r a F S T j W = J { 3 J 6
21
B

I
Vy th tích khi chóp S.ABC là
rr 1 <- ó „ 1 «>/42 a 3V 4K ~ —SÀlr.SH = —.---- —.—— =,—--— (vtt). 3 c 3 4 2 4
Ch : Ta có thê tinh dài cnh bên cùa hình chóp theo cách khác nh sau
^ “ «€= - J - W ^ > c
Gi G là trong tâm ca íam giác SAC. Qua G k ng thng song song vi BM ct BC ti E. Do BM _L AN nên EG L A N . t SA = SB = s c = X(x > o) .
Ta có AE2 = AB1+ BE2 - 2AB.BE.OOS 60° = cr + — - 2. - = — . 9
2 ( ^ 5 2 + ^ C 2) - 5 C 2 _ 2 ( y + a 2)~ ;c 2 x 2 + 2tf2 = _ = _ _ = -
=
Do AG = G£ nên tam giác /ÍG£ vuông cân E.
3 2
_ A n ' - 4 22=> AG — — = ------ --------
p — o _ 2x2 +4 2Suy ra ;4£ = 2AG <=>—— = ------ -------9 9 a- js
1 4 y Câu 6. Tìm giá tri in nht ca biêu thc p = — ------1- — ----- -- —------
a + \ b + 4 c + 9 t a - x >b = 2 y, c = 3 z , t i u k i n suy ra X, 2 d n g và xy 4- y z + zx — 1 .
1 1 1 Khi ó p = —r----- i ----- + — -----
X +1 y + 2 + 1
Ta có 1 I 1
x 2 + l x 2+ xy + y z + zx (x + _v)(x + z)
- r .~ 1 1 1 lTng t — — ------- — ------- ; — 5-— = ---------------- . : y +1 ( y + z ) ( y + x ) 2 + 1 ( z + x ) ( z + )
Do
22
B

I
2 ( x + y + z ) 2 [ x + y + z } { x y y z + zx}
~ ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) = (x + j ) ( j + z )( z + x )
Mt khác {x + y + z } {xy + yz + zx} = {x + y ) { y + z ) (z + x} + xyz .
« ~ 2 xyz Suy ra p - 2 + - ----- - f -— -------- -
(x + y ) (y + z)(z + x) Theo bt ng thc Cauchy, ta có
(x + y ) ( y + z ) (z + x) > 2-ì[x .2-sfyz 2 -J zx = Sxyz
2 xyz 1 9 = > - --------- — - -----------< — => P < 2 + '~ = ~ .
(x + >*)(.y + z ) ( z + *) 4 4 4
9 1 1 2 r Vy max p = —, t c khi x = y - z = — = a = — =r, b = —7=, c - V3 .
s n/3 V3
Cóc/i khác t a = x,b —2y, c = 3z , t iu kin suy ra x , y , z dng và xy + yz + zx = l.
1 1 1T acóP = -^ ----- ì— ~ —- + -TT-— X + 1 y + 1 z + 1
„ t X = tan—, V = tan — ,2 = tan— . 2 2 2
5 £ C C A t Do y + VZ+ zx = 1, suy ra tan— tan—+ tan~r tan — + tan — tan — ~ 1.
2 . 2 2 2 2 2 Khi ó
jP = COS2 — + cos2 — + cos2 — - cos2 — + —(1 + cos B) + —(1 -f cos c ) 2 2 2 2 2 ' 2 k 1
= l + cos2— (cosB + cosC) = 1+ cos2— + COS^ + COS^ — 2 2 2 2 2
„ , _2 A . a B - C „ 1 2 B ~ C ( . a 1 B - C ) = 2 -s in -~ + s in—cos—-— - 2 + ~COS — ----- .sin-"--f-COS----------
2 2 2 4.2 I222 J
=>p <2 + - COS2 < 2 + ~ .
4 2 • 4 4 . _ A 1 B - C sin — = —cos—-—
2 2 2 A - B = c ~ 60°
cos --- -----= 1
II. PHÀN RIENG A. Theo chng trình Chun Câu 7.a. Tim toa ô các nh A, B, c Gi N là trung im AC thi MN l ng trung bình ca tam giác ABC.
MN i i BC MN _L AH => MN : X + 3y + m = 0
A / e ( M V ) = > m = ~ = > M N : x + 3 ~ ~ = 0 .
t iV^~ + 3>7;4--/7^ e (ma/) MN = (3 /?;-w ) .
Ta có MN = BC = 2
< ^ M N 7 = - O \ 0 2 = 5 2 2
Cí>
n - —=> 7V, ( 2 ;— I2 a 2 )
t A (;3 + 5) G {AH) :=> # ( l - a ; 3 - 3 a ) .
Vi jV, ^-1 ; —j , ta có C (-2 - ;4 -3 < 2 ) => xr < (loi).
Vi /V212;—), ta có c ( 4 - ; 2 ~ 3 a ) ^ X > ' (thòa)Vi /V2^ 2;~ j, ta có c ( 4 - ; 2 ~ 3 a ) => xr >
Ta có AÉ = (l - 2 a ;~ 2 - 6 a )> C7/ = (< 2 -6 ;3~ 3 )
<=>
Vy ta các inh catam %\kcABC là ^4(0 ;5),jB (l;3)?C (4 ;2 ) hay
Câu 8-a. Tìm ta im c t C (- l + / ; l + 2 / ;~ -2+ /)e( f) , tacó A B ~ ( - 2;5;2 ) , AC = ( / - 4 ; 2 í + 3 ;f)
= > [ ^ , ^ c ] = ( í- 6 ; 4 / - 8 ; 1 4 - 9 / ) .
24
B

I
Din tích tam giác ABC !à
SM«C = \ [Ã B , Ã c ] \ = t - 6 ) 2 + ( 4 l - $ + ( U - 9 , ) 2
= —V98/2 —32 8/+ 296 = — /98 ^/ —— ì + l > b ^ , 2 2V I 4 9 J 49 7
c 2V66 ^ _ 82 f 33 213 1 6)
=> min o A,„,. = — — , t c khi t = — ==>c — —; MK' 7 49 U 9 49 49 J
_ :„ 1A ~ f 3 3 213 1 6 " Vy ìm cân tìm là c — —;---- - .
\4 9 49 49 j
Câu 9.a Tìm s phc z thôa mãn phurng trình Z.Z + Z2 ~~z — 2z j =
Gi z - X + y i (x, y e K ) , ta có Z = X - y i , z 2 - X 2 - y 2+ 2 x y i .
Do ó Z.Z + Z2 -^ 2 —2zj = 10 + 3/
(x2 + y 2) + (x2 - y 2 + 2 x y ' j -[(x + yz ' )-2 (x -> ' )] = 10 + 3z (2.X2+ x) + .y( 2 ;í-3 )/ = 10 + 3/
\ÁX +X -1U pc = /
[ y ( 2 x - 3 ) = 3 <* \ y = 3
5 ° Vâv có hai s phc cn tìm là = 2 + 3/; z = ' —~- ——i.
2 8
B. Theo chng trình Nâng cao Câu 7.b /. 77w /rt í7{5im M
(C) có tâm / ( l ; —2) và bán kính R = 3 .
t M { m \ m + \ ) e (?) và'j4(jtj ;j]), #(*2 ^ 2) >ta C(:>
A = (x, -1 ;y, + 2 ) , A//4 = (X| —m - l )
L íc e (C ) f ^ j c )
[ Z 4 1 M 4 / A M 4 = 0 I X,2 + - 2x] + 4y, - 4 = 0
(*1 - 0 ( x i - m ) + i + 2 ) i - m - l ) = 0
x,2 + X - 2 x i + 4y, - 4 = 0 (1)
*,2+ >>12 - (m + l) *! - ( m - l ) j;, - m - 2 = 0 (2 )
10 + 3z
Tons t
{m —ì)x + {m + 3)^ + « 7-2 —0
Khong cách t N én AB là
2^ 2m 2 + 4m + \0
=><r = 225/772 4-1Om +1
8 m +16m + 40
.« w \ 25 w 2+ Ora + lXét hàm so J ( m ) = - — ;--------------------m e1 ' 8m + 16/77 + 40
\ 5«22-i-3ìm + 6 f ( m) = r 7 m2+ 2m + 5
= 0 <=>
r { m ) + 0 - 0 +
T bng bin thiên, ta thy
_________ /58max d(N ,( AB) ) = ymx f ( m ) = t c khi m ~ - 6
Vy im cn tìm là M —6; — 5).
Chú . Theo bt nsì thc Bunhiacpxk ta có
d \5.(m + í) + ( - 2 ) 2 \ J ? + ( - l . )2 m + l f + 2> M
2yÍ2.yj(m + l)2+4 ly/.ym + l)2+4 4
26
B

I
, . V 5 8 m + 1 2 , V :=> max a — -------- . a i i ro c k il i — - — = —— <=> w - —6 = > M ( - 6 ; - 5 )
4 : 5 - 2 v ' Cách khác
T a c ó ( w - l ) x + (t f + 3 ) j y - b « - 2 = 0
<=>(x + .y + l) tf -x + 3_>>-2-0
p u r n s tr ìn h n à y n g h i m ú n g v i m i m khi và ch khi
x + y + ì = 0
X — — 4
y = 1
f .5 l ì ( , . . ---- ( 1 3 ^ ^ K\ —— là im cô ctnli ca n thn a -'1.5 =? KN = — .I 4 4 J * ^4 , 4 J
Gi H là hình ch in vu ôn Si Sóc cùa /V trn tiíí th nu A B, ta có
d N ^ A B = NH < NK (không i)
Do ó NH ln nht H = K <=> NK -L aAH . vi aAi —m + 3 ;1 - rrì) à VTCÌJca AB.
« - NK. aAÌÌ = 0 < ^ 7 ( m + 3) + 3(l~-íw ) = 0 < = > w - - 6 = > A / ( - 6 ; - 5 ) .
Câu 8-b. Tìm ta ô im M N t M (í !;/,;2/1) € d và N ( - ] - 2 t 2;/2;\ + t 2 ) e d 2 .
=> MN = (~/ - 2i2 - l 2~t \ U -2 / , +1) .
Mt phng ( p ) có vect pháp tuyn n = ( l ; -1; ) .
MNÍ(P) =>M V .« = 0 « > ( - /, - 2 / 2 - l ) - ( / 2 - / , ) + ( / , - 2 / , + 1) = 0
<£> í + /2 = 0 t2= -t => MN = ( t ì —1; —2/,; 1—3íj).
Mt khác MÍV = V2 < > M/V2 = 2 <=>(/] — 1) + 4/2+ (1 —3/j)" = 2
= 0 => = 0
Vi /, = /2 = 0 ,ta c ó A /,(0;0;0 ) , N ( -1;0;1) .
7 7 VI I = —- ta có M-
1 4 2 4 :
Vy các im cn tim !à M ( 0 ;0 ;0) , N (—1;0 ;l ) hay
"#?#"'( H 4 '
Câu 9-b. Tím h s ca s hng cha X 5
Ta có Â', + 2 .a I =100 (« > 3, n e N)
<=> 7-J^Wt + 2 7—~rcr = 100 <=> { n - 2 ) ( n - \ ) n + 2 ( n - \ ) n = \ m yn —iy. f —2y.
<=> n - n —100 = 0 o n - 5 . 10 10
Khi ó (l + 3x)' = (3x) = 'y'jCí)3kxk k =0 k--
S hng cha X5ng vi k = 5 .
Vy h s ca hng cha X5là c ,50.35 = 61236 .
I. PHN CHNG CHO TÁT C THÍ SÍNH (7,0 im)
Câu 1 (2,0 im). Cho hm s y = — xy - — m ~ l ) x 2+ (m ~ 2) x+ 1 (1), vi m là tham
s thc.
a) Kho sái s bin thiên và v th ( c ) ca hàm s ( l) khi m = —1.
b) Tìm m d th hàm s ( l) có hai im cc tr A, B ng thòi hai im cc tr ó
cùng vói dicm />^3;—j và gc ta o to thành hình bình hành OAD theo th t ó.
X C — — — -
• Í4x2y 2 ~ Câu 3 ,0 ìêm). Gii h phng trình < 6 x2y - y 1 ~ 9x = 0
Câu 4
I U A y — y •“* —y I
(7 ,0 im). Tính tích phân = |( x 4- l)V l — 2x2 ch . 0
(1,0 im). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hnhCâu 5 (,0 im). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hnh ch nht vi AB = 2a . Mt bên SAB là tam giác u và nm trong mt phng vuông góc vi áy. Bit AC vuông góc vi
SD, tính thê tích khôi chóp S.ABCD và khong cách gia hai ng thng BD, sc. Câu 6 ,0 im). Cho các s dng X, y, tha mãn x + y + z < 3 . rim gi tr ln nht ca biu thc
p = + X — 1 + yy + y — 1+ "S z~ + z — 1 .
28
B

I
II. PHÀN RIÊNG (3,0 im) Thí sinh ch c làm mt trong hai phn (phn A hoc B) A. Theo chng trình Chun Câu 7.a (1,0 iêm). Trong mt phng ta ()xy cho ng tròn
( c ) : (x ~ l)" + {y + 2 )2 = 9 và òng thng ( í / ) : X + y + m = 0. Tìm m trên
{ d ) có duy nht mt im A mà t ó k c hai tip tuyn AB, AC n ( c ) (vi B,
c là hai tip im) sao cho tam giác ABC vuông.Câu 8.a (1,0 im). Trong không giàn ta Oxyz, cho hai im ( 1;0;2),
B ( 3;1; —2) và mt phang ( p ) có phng trình x + _y+ z —1= 0. Hãy tim im M
íhuc mt phng *) sao cho \$MÃ—2MB t giá tr nh nht.
Câu 9.a (, im). Tìm s phc z thòa mãn iu kin z 4——- 8 —6/. 7
B. Theo chng trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 iêm). Trong mt phng ta Oxy, cho hai ng thng
(r)):x + 2 > '- 3 = 0, ( d 2y . x + 2 y - 5 - 0 và im A 1;3). Vit phng trình ng thng (à ) i qua A và ct ln it ti B, c sao cho din tích tam
5giác OBC bng —.
Câu 8.b (1,0 im). Trong không gian ta Oxyz, cho im A (2 ; 0; l) và hai mt phng
( a ) : x - y + 2 z ~ l = 0 , (/?):3:x:-_y + 2:+ l =0 . Vict phng trình mt phng (.p)
i qua A, v u ô n g g ó c v i ( / ? ) v à g ó c g i a h ai m t p h n g ( p ) , ( r ) b à n g 6 0 ° .
Câu 9.b {1,0 im). Cho (í/, ) và {d 2) là hai ng thng song song. Trên (Vj) ly 5 im và trên d 2) !y n im. Tìm n s tam giác lp c t (« + 5) im bng 45.
BÀI GX
và v th ( c ) ca hàm s kh m = ~ \
1 . , Khi m = - 1 , ta có y = — + X —3jc+1
3 • Tp xác nh D ~ IR. • S bin thiên - Gii hn lim y = -co; lim y .
X —>—co X~ >- KC
x = - 3 = > J > = 1 0
x = ì = > = ~ — 3
—00
+00
Hàm s nghch bin trên khong (—3 ;l); ng bin trên mi khong (—oo;—3) và (l;+oc) .
, 2 H à m s ô t c c i t i X - —3 , y . = 1 0 ; t c c t iê u t i x = \ , y c r = — .
• th im un
y" = 2x + 2
Nhn xét. th (c ) nhn im un1;— ^ làm tâm i xng.
b) Tim m
y ' = 0<=>
X = 1 => y ~ ~ m - ~ 2 6
^ 1 __ 3 3 2 J x - m - 2 - = > - —- m -ì— m —4m +
13
3
Hàm s có cc i, cc tiu <=> y ' = 0 có hai nghim .phân bit <£> m — 2 1 <=> »7 3* 3.
A X)
1 - 3 3 _2 7 2 A —-m + --m - —ra + —= 0 1 6 2 - 2 3
Vy giá tr cn tìm là m = 4 . Cách khác
Í 3 7 )Goi J là trung iêm OD thì J \ . [ 2 4J
T giác OADB là hình bình hành <=> J là trung im AB
'm - 2 + 1 3
u 1 3 2 , - . - . —- m - — m —4 m + — + — m —— = —
21 6
m = 4
^ I 1 3 3 , 7 2 —-m + —m + — . 6 2 2 3
Vy giá tr cn tìm là m — 4 .
13 1 --- "T 3 2
<=> m = 4 .
Câu 2. Gii p h n g t r ìn h 1+ sin X + COS X = 2 COS — - — j
* 2 * ~ - X X - ( X ;7T^ <=>2cos --+ 2 sin 0 0 5 “ = 2 COS -r _ ~
2 2 2 \ 2 4 J
x f j: . x i _ f x <=>2cos— cos-~ + sm— =2cos —- —
2 V 2 2 ) u 4 J
« ^ c o s i . c o s f i - i j = c o s p - ^ )
o í v c o s ± - l j . < r x ^ -
r * 1
<=>
<=> X — ± — 4- &4;r
2
Vy nghim ca phng trình là X = ± — + &4/T [k G z ) .
Cách khác _ X 71 ^ 7t t t = — —— => X ~ 2 t + " .
2 4 2
(l) <=>1+ sin^2/ + — j + cos^2/ + — j - 2cosí
<=> 1+ co s2/ - s i n 2t = 2 cos/ <=>
c=> 2 c o s i ( c o s i - s in / - l) = 0 c=>
<=> 1+ cos 2/ - sin 21 = 2 cos/ <=> 2 COS2 Í —2 sin / COS/ = 2 COS/
COS t = 0
cos / = 0 I = —- + k.7 2
<=> / 7 i\ 4 2 ^ t = k 2n <=> X = —- + &4tt (& €Z ) cos /+•— != —— 2
1 4 ' 2 i = - - + * 2 » _ %? x = - — + &4;t L L 2
Vy nghi Cm ca phng trinh là X = + k27r; x-^~ + £4tt; X ——— + k^T, k e z .
[4x2y 2 - 6xy - 3 y2 - - 9 ( l )
,T = -----+ fcZTT
[òx2y - y 2—9x = 0 ' (2 )
Do y = 0 không tha h nên h phng trình ã cho tng ng vi
12x2y 2 - 18xy - 9 y 2 = -27 (3)
l 2x2y 2- 2 ' -1 Sxy = 0 (4)
Ly (3) tr (4) v theo v, ta c: 2 y %- 9 y~ + 2 7 - 0 <:í>
Vi y - ~ \ (2) <=> 4x2 + 4 x + l = 0 <=> X = . 2 2
X = I
Vói 7 = 3 : (2 ) <=> 2 jc2 - x -1 = 0 « • 1
_ x ~ ~ 2
[
Câu 4. Tính tích phân = J(x +1) Vl - 2x7dx 0
1 I 2 ------------- 2 --------
Ta có I = xyì - 2x2 x + JV1- 2x2dx 0 0
3 y = ~
y = 3
Tính /, = J W l -2 x 2 dx 0
t t = Vl - 2 x 2 => (2 = \ - 2 x 2 => 2tdí = - 4 xdx=> xdx - - —tdí 2
o , 1oi cn X = 0 => / = 1; X = — => / - 0 .
r f 2 , _ r ' 1 _ 1 y2 L = - - \ r d t = —
1 } 6 0 6 24 1 2 -------------
Tính = J v i - 2x2 cx 0
t ;t = — =sin/ => dx = -\ =c os t dt V 2 V 2
.. „ _ _ 1 nôi cân X —0 :=?>/ = 0; X —— = > = — . 2 4
X
2 - —?= jVl - sin31costdt = Jcos2 v 2 0 > 2 Q
7r. Jt
= _ J( + cos2/) dt = ^ - ^+—sin2/'j = 4 _ 7\j2 V 2
~~r + T ~
7 r - 1Vy = /| + /-, —— H---- f- “ — . , 6 l6 12
Câu 5. Tinh th tích kh chóp S-ABCD và khong cách gia hai ng thng BD, s • Tnh th tích khi chóp S.ABCD Gi H là trung im AB: do SAB là tam giác u nên SH _L AB và
a b 4 3 SH =
Ta có \ S H L A B _ ,
/ . . . => SH L ( A B C D ) .
\(SAB) A.(ABCD) - v V
^ Í C 1 ( 5 / Í D ) = > ^ C X H D
IM , Mt khác
{ A C ± S H
=> AHD = D A C .
Xét hai tam giác vuông ng dng AHD \kDAC,Xz.có
— = — <=> AH.CD = AD~ <=>- C D 2 = A D 1 AD CD 2
<=> A D 2 —2a 2 => AD = c i'jl Th tích hình chóp S.ABCD là •
VSM:,>= s Mm.SH = lAB .AD .SH = i 2 a . a S . a S ~ • Khong cách gia ha ng thng B), s c Gi o = AC r \ BD và M là trung im cùa SA thì OM\ ng trung bình ca AS/áC.
=> OM / / SC => S C / / (MBD) .
Do d(S C,BD) = d (S; (MBD)) = d (A , (MBD))
Gi N là trung im cùa AH thì MN !à ng trung bình cùa A SHA .
=> MN // SH => MN _L( ABC D) .
[ B D L N K K N K J_ BD ti K, ta c ] =>JSD±( MNK) [ B D 1 M N v '
Mà BD cz ( MBD) nên {MBD) _L MNK) theo giao tuyn MK.
Trong tam giác MNK k ng cao A7thi N _L MBD)
= > m = d ( N , ( m D ) ) .
Ta có BD = s I â B2 + A D2 = 4 a 2 + 2a2 = a 4 , BN = ~ A B = — 4 2
Xét hai tam giác vuông ng dng BKN và BAD, ta có
3 nr KN_ _ BN _ BN.AD ~ _ a S
AD B D ^ BD ~ a j 6 ~ 2
1 /3 Ta CÓ MÀ'' = —SH = ------ = N K , suy ra ísMNK vuông cân tai N.
2 2 6
2 2 4
Mt khác: —y -—y —— = —=> d Í A , ( MBD) ) — — N = —. NB 3 v v " 3 3
Vy =
{AD L A B . . Ta có \ „ = * A D L { S A B ) = > A D ± S A
\ A D ± S H k ' V.
=?MD = J a D 2 + MA 2 = V a 2 + a 2 -a V 3 = M .
Mt khác BD = ayf —MB-J => À MBD vuông cân ti M.
2 3a2 ^ Smn ~ ^ — 2 •
r, 1 T/ _ 1 rr „ 5>/6 Ngoài ra AÌO — .s-. /ío — — £
2 4 6
3 « V
2
Vy d (B D , SC) = ~ .
Câu 6. Tìm gi tr ln nht ca biu thc p —\ix 2 + X — 1 + V y + J - 1 + V ? 4-Z —1
- + Vs iêu kin > ----------- .
Ta có : a/x2+ X — = J ~ ( 3 x - ì ) 2 ( x - l )2 < — ( 3 x - )
Tng t yy2 + y ~ l < -J (3^ -1)
y j z 1 + z - 1 < —( 3 2 - 1 )
Suy ra: p < ~ ( x + _y + z ) - —< 3 , do x + _y + z< 3.
Vy max p = 3 , t c khi X = y = z = 1.
Cách khác
Tomgt
y j y 2 + y - \ < —^2.y+1— j (2)
= -r-| 2x + l - - 1 ( 1)
35
B

I
z + z. —I < — 2z + 1---- (3)
Cng (1). (2) và (3) v theo v ta c p < —
Li áp dng bt ng thc Cauchy, ta có V l T 3
Suy ra p 2
2 x + y-- z ) + 3 - X + y + z
Vy max p - 3 , t c khi X = y — z = 1.
II. PHN RIÊNG A. Theo chng trình Chun
Câu 7.a. Tìm m
ng tròn ( c ) có lâm / ( l ; - 2 ) , bán kính R - 3 .
T gi ihit, suy ra t giác ABIC là hình vuông cnh bng 3.
=> AI = Ryf - 3V2 .
=^>im A nm trên ng tròn ( c ) tâm / bán kính
R' = A = 3V2 .
Mt khác A G(tì?) A = ( C )
v4 à im duy nht<=> (?) và ( c ) có mt im chung duy nht
<=> (d ) tip xúc ( c r) <=> d = R' <=> -— ~=-í- = J v 2
I I m = —5 <=> \m — 1 = 6 <=> _
m —1
Vy giá tr cn tìm là m = -5 hay m —1.
Câu 8.a. Tim ta im M
Gi (a;b',c) là im tha 3A —2B = 0.
Ta có À = (1 - a ; - b ; 2 - c ) , B = (3 - a ; —b\ —2 — c) = > 3Z 4 -2 /» = ( - 3 - ; - 2 - ; I 0 - c ).
a = -3
Do ó 3Z Ì - 2 /S = Õ o ]6 = ~ 2 = > / ( -3 ; - 2 ;1 0 ) .
c = 10
Ta có |3 MA - 2MB\ = |s [m + ~Â) - 2 (M + B) = MÌ + iÀ - 2/2?) = \~M\ = M
|3 MA - 2 Mb nh nht <=> M nh nht o Af là hình chiu ca / trên ( p ) .
Mt phng (/*) có vect pháp tuyn n = ( l ; l ; l) .
Gi (^ ) là ng thng qua/và vuông góc vi (p ) thì (t /) nhn r t= ( l ; l; l) làm
vect ch phong
x = -3 + t
Phng trình ng thng d ) có dng \ y ~ - 2 + t
[z = 10 + /
ta có M e (íf) =í> /(- 3 + / ; - 2 + / ;10 + /)
M s —3 + / H — 2 + Í +10 + Í - 1= 0
4 „ v 13 10 26 "ì
3 3 3 3 ) / 13 10 26 1
Vây M \ ----- ;------ ;— là ìêm cn tm. V 3 3 3 J
“ 25 Câu 9.a Tìm sô phc z tha mãn iu kin ~\— —= 8 — 6/
z
Gi s z = a + b i [ a , b e K, a2-t-b2> o, ta có
" 2 5 - O 2 5 _ _ z 4-----= ò - 6 i < > a- b i - i ------— = 8 — 6/
z a + bi 2 S a —bi)
<=>a - b i ' ----- \ --- - 8 - 6ì <=> a 2 + b 2
a ( a 2 + b 2 + 2)
— — T 2-------------- z = 8 (! ) a + b w
b ( a 2 + b 2 + 25 ) 3 , . 2
a ( a 2 +b 2 + 25) b ( a 2 +b 2 +2 5)
a2 + b2 a 2 + b 2 i = 8 - 6i
<=>
= 6 (2)
4 3Lây ( 1) chia (2) vê theo vê, ta c ———z=> £ = — a (3) b 3 4
Th (3) vào (1), ta có
a - 0=> b - 0 (loi)
a = 4=> b = 3
Vy s phc cn tìm là z —4 + 3 i .
a a 2 - 8 + 16) = 0 <=>
37
B

I
Câu 7.b. Vit phng trình ng thng (a )
t B(3 -2b ; & )e C ( 5 - 2 c ; c ) e (d2), ta có
Ã = 2 - 2 b ; b - 3 ) , Ã C = ( 4 - 2 c ; c - 3 ) .
e ( A) <=> Ai B, c thng hàng <=> AB và AC cùng phng. 2 - 2 b b-
<=> <=> ( l - ) ( c - 3 ) ~ ( ò - 3 ) ( 2 - c ) 4 - 2 c c - 3
<z>b = 2c-3=> £ ( 9 - 4 c ; 2 c - 3 ) .
Ta có BC = ( 2 c - 4 - 3 - c ) ^ B C = yJ( 2c -4) 2+ ( 3 - c f
Phng trình ng thng (a ) qua 5 và nhn BC lm vect ch phng có dng
(c - 3) (x + 4c - 9 ) + (2c - 4) - 2c + 3) = 0
o ( c - 3 ) x + ( 2 c- 4 ) j/ -7 c - i- 1 5 = 0.
Theo bài ta có
W = ^ ( , A ) . £ C = f
<=>
- 2 V 4
- , . J ( 2 c - 4 ) 2 + ( 3 - c f = - 2 c -3 )2+(2c-4)2 4
<=>| l5 -7 c | = —<=>
Vi c = — ,tac ó (a , ) :17x + - 3 5 = 0.
Vi c ——, ta có (A2) : X —2_y + 5 = 0 .
Vy có hai ng thng cn tìm là (A j) : 17x + 6y - 35 = 0; ( , ) :x-2> > + 5 = 0.
Câu 8.b. Vit phng trình mt p h n g (p )
Phng trình mt phng ( p ) qua A và có vect pháp tuyn nt —{A ; # ;C ) , có dng
A ( x - 2 ) + By + C ( z - l ) = 0 [ a 1+ B2 + c 2 * o)
< > Ax + B y + C z - 2 —c = 0.
Mtphng ( a ) và (j) có vecto pháp tuyn ln lt là na = ( l ; - l ;2 ) , rip = (3 ;—l;l) .
38
B

I
Ta có __ (?)_L(/?)<=>«,,.np = 0 o 3 A - B + C ^0 <= > B = 3A + C
K.hi ó ( / >): Ax + (3A + C ) y + C z - 2 A —C = 0 và nr = ( A ; 3 A + C ; C ) .
(p ) hp vi (or) mt góc 60° nên ta có
£f$ K -" «| _ \A -( 3A + C) + 2C\ 1 COS 6 0 = ,1— . , " 1 <=>- I ------- — - - —
1*41*« I yjA2 +(3 + C) + c 2. 4 2
o 2 ( C - 2 A ) 2 = 3( 10 A2 + 6 C + 2 C 1 )
'C = -A
& 2 C 2 +13AC + U A 2 = 0 „ l i C = - ~
2
Vi c = —A : chn A = ì, c = - 1 , ta có p y . x + 2 y - z —ì = 0.
Vi c = —— /4 : chn /( = 2, c = - 1 1, ta có (jP) : 2x - 5>> - lz + 7 = 0 .
Vy có hai mt phng ( /* ) cn tìm là x + 2 y —z —l = 0; 2x - 5 y —ll z + 7 = 0 .
Câu 9.b Tm n
Trng hp L Tam giác có hai nh thuc (d ) và mt nh thuc (< 2)
Chn 2 nh trên ( \): có C52 cách.
Chn 1 nh trên (íf 2 ): có n cách.
^>CÓ nC = 10 n (tam giác)
Trng hp 2. Tam giác có mt nh thuc (^[) và hai nh thuc (d 2)
Chn 1 nh trên (d ) : có 5 cách.
Chn 2 nh trên (d 2) : có c cách.
=>CÓ 5c = — nn — 1) (tam giác)
C hai trng hp, ta có
—r t( tt- l) + 10/7 = 45 ( k > 2 , « 6 N )
o n2 +3n —18 = 0<^>« = 3. Vy giá tr cn tìm \k n = 3 .
39
B

I
a n
1- PHÀN CHUNG CHO TT C THÍ SINH (7 ,0 im)
Câu 1 (2,0 im). Cho hàm s y = -X 3+ 3x2 —4.
a) Kho sát s bin thiên và v th ( c ) ca hàm s.
b) Tim m ng thng (d) y = m {x + 1) ct è th (c ) ti ba im phân bit
A / ( - l ; 0 ) , A, s sao cho MA - 2 M B .
C â u 2 ( 1,0 inì ) . G i i p h o n g t rì n h 3 s i n 4 X + 2 COS2 3 x + COS 3 x — 3 COS1 X — COS X + .
Câu 3 (, im). Gii phng trình 2 yfx 2 - 9 = { x + 5 ) t k +
•2
-cx ,
Câu 5 , im). Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân ti c, cnh huyn
bng 3tr; Chân ng cao là trng tâm G ca tam giác ABC\ cnh bôn SB —— — . Tính th
tích khi chóp S.ABC và khong cách t B n mt phng {SACT). Câu 6 ( ,0 im). Cho a, b, c ìà các s thc ng tha mãnab + hc-r ca —'labc . Chng minh rng
1 1 ____ _ __ J_
a l a - Ì b l b - Ý + c ( 2c ~ l )3 2
II. PHN RIÊNG (3,0 im)
Thí sinh ch c làm mt trong hai phn (phn A hoc B) A. Theo chng trình Chun
Câu 7.a (, 0 im). Trong mt phng ta Oxy, cho tam giác ABC có cnh AB = 4V2
và inh c ( l ;5) . ng thng AB có phng trình X — y + 2 = 0 , ng thng
(d ) : X + 3 - 8 = 0 i qua trng tâm G ca tam giác. Tìm ta các nh A, B.
Câu 8.a ,0 im). Trong không gian ta xyz, cho ng thng (d ) : ——- = ——- —
và mt phng (P) có phng ình 2x + y — 2z -J- 2 = 0 . Vit phng ình mt cu ( s )
có tâm nm trên ng thng (<i), có bán kính nhò nht, tip xúc vói (P) và i qua im
Câu 9.a {1,0 im) Tìm s phc z tha mãn iu kin z —
Z — 1 = 1 và
B. Theo chuo'fi" trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 iêm). Trong mt phng ta Oxy\ cho tam giác ABC có phng trình các
ng thng cha ng cao và ng trung tuyn kc t nh A ln lt là x - 2 y - 3 = Q và 13;t — 6 y — 9 = 0. Tìm ta nh B v c bit tâm ng tròn
ngoi tip tam giác ABC là 7 ( - 5 ; l ) .
Câu 8.b (1,0 im). Trong không gian ta Oxz, cho ng thng
{d .~ —- = —= ——- và imy4(l0;2,'—]). Vict pnrong trình Mt phng (p ) qua A, song song vi (c /) và khoáng cách t (c/) ti (p ) n nht.
4-1 Câu 9.b (1,0 im). Cho hàm s y — -------- — ------ có th ià ( c ) . Tìm m ng
thng ( d ) : y —m ct ( c ) ti hai im A, B sao cho din lích tam giác OAB bàng — 9
(O là gc ta ).
BÀ GII I. PHN CHUNG CHO TT C THÍ SINH Câu .
a) Kho sát s bin thiên v v th ( c ) ca hàm s y = —X* + 3-XT—4
• Tp xác nh D = jR . • S bin thiên - Giói hn lim y = +oo; im y = 0 0 .
X—>-03
y ' - - 3 x 7+6x
Hàm s nghch bin trên mi khong (—co;0) và ( 2 ;+co) ng bin trên khong (0 ;2 ) .
Hàm s at cc ai tai X = 2, y = 0: at cc tiu tai X = 0, V , — - 4 . 5 y CI O ••7
B

I
• th im un ' = - 6 x + 6 y " = 0 <=> X = 1 = > V = —2
th ( c ) có im un / ( l ; - 2 ) .
im c bit X = 0 y = —'4; _ y -0 = > x = - l ; x - 2 .
A%w xé?.
làm tâm i xng, b) Tim m
Phng trinh hoành giao im ca ( c ) và (í) là
—X3 + 3.X2—4 = m x (-]) (l )
<=> (x + l)( x 2 - A x + m + 4} ~ 0 x ~ - = xt g ( x ) = X 2 - Ax + m + 4 = 0 (2)
( c ) ct ( í/) ti 3 im phân bit<=> ( l) có 3 nghim phân bit
f x í A' = —m > 0 m <0 <=> (2 ) có hai nghiêm phân biêt khác -1 <=> < . _ < (*)
w 5 g ( - l ) = m + 9 * \ m * - 9
Gi A(x ì ; y ì) , B( x 2;y2) thì X, x2 là nghim ca (2).
Theo nh lí Vi-et, ta có + x 7 = 4; x].x2 = m + 4 .
Mt khác y, = m (x, + 1), y 2 - m (x2+ 1 ) .
Theo bài ta có MA = 2 MB <=> MA2 = 4MB2
(x, + 1)~ + = 4 ( x 2 + 4 -
( x , + l ) 2 + m 2 (x j + 1 ) 2 = 4 ^ ( x ~ + l ) 2 + m 2 (jc2 *f1)2
<=>
<=>
<=> (.X, + l ) 2 = 4 (x > + l ) 2 <=> jct +1 = l { x 2 + l) Xj +1 = — 2 (x, +
<=> JCj - 2x> +1 i_Xj = -2x> - 3
X +X- , = 4 JC, + . r , = 4 X] =3
T ó, ta có < x r x 2 = m + 4 hay «X,JC2 ~ m + 4 <=> • x2 =1 hay <
JCj = 2 x 2 + 1 Xj = — 2 x 2 - 3 m = —\
*, =11
x2- - 7
m = -81

Documents

BỘ ĐỀ LUYỆN THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 2012 - NGUYỄN VĂN NHO