PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC - LÊ HỒNG ĐỨC

8/9/2019 PHNG PHÁP GII TOÁN LNG GIÁC - LÊ HNG C
http://slidepdf.com/reader/full/phuong-phap-giai-toan-luong-giac-le-hong-duc 1/454
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B

I
B

I
-'3ì SI-W
I*. ..Irris. ft, ,,, J. y-.y .-: *m*,/W<(í.. V
B

I
B

I
Cun PlIL'tfAG PHÁP GIÃI TOÁN Ll\íi Gí Ác c chia thành 3j)ì
PHN I: H THC LNG GIÁC
PHN l: PHNG TRÌNH - H PHNG TRÌNH LNG GIÁ
PHN III: PHNG PHÁ P LNG GIÁC HOÁ
Xin c by tó lng bit II sáu sc ti s giúp ng viên tinh thán cùa
ngi Thày m tôi iìg kính trng, gm: GS.TS Trn Mnh Tun nguyên Phó Giá Trung Tám KHIN & CNQ. Nhà Giáo u tú ào Thin Khi nguyên Hiu TràiigT
PTTH Hà N - Amsterdam. PGS.TSKH inh Quang La. GS.TSKH Nguyn Vãn
ngi Thày tha ilùu {hi ca tói Bác Ngô Lâm.
Cui cùng . cho dù dã rt cgttg bng vic ìiam klìào m lng rt ln các
hin nay va vit, va mang dì ging dy ngay cho các hc sinh ca mình t
nghim và b xung thiu sót, cùng vi vic tip thu c chn c kin cùa các b
Iighìép hoàn thiên b ài liêu ny, nhng rìá khó tránh khi nhng thiu sót, tác £ mong ììhn c nhng ý kin óng góp qiiý bán ca bn c gn xa.
Hà ni, ngày 1 tháng 1 nm
LÊ HNG C
PHNI
H T H C L tí N G G Á C
K CHNGI CÔNG THC LNG GIÁC
Ch 1. Công thc cng......................................................... ................... LI Ch 2. Công thc nhân... ......................................................................... 5 Ch 3. Công thc bin i....................................................................... 2 Ch 4. Các dng toán s dng bin i lng giác.................................2 ;
Bài toán 1: Bin i biu thc lng gic v dng tông - tích............. 25 Bài toán 2: Rút gn biu thc lng g iá c ..............................................32 Bài toán 3: Chng minh ng thc lng giác
c lp i vi bin s..........................................................35
Bài toán 4: Tnh giá tr ca biu thc lng giác....................................37Bài toán 5: Chng minh ng thc lng g iác .....................................43 Bài toán 6: Chng minh bt ng thc lng g iá c ................................51 Bài toán 7: Giá tr n nht và nh nht.................................................. 59
CHNG II
^ H Th c l n g t r o n g t a m g i á c
Ch 1. ng thc lng giác trong tam giác......................................... 73
Ch 2. Bt ng thc lng giác trong tam giác........... ................. ....... 91
Ch 3. Khai tháe h thc lng giác.............. ................. ..................... 1L5Ch 4. Nhn dng ram giác........... ............... ......................................... 119
Ch 5. H thc lng trong tam giác vuông............. ................ .131
Gh 6. H thc ng trong tam giác cán .. ..................................137 Ch 7. H thc lng trong tam giác u ................. ........ ... .A..14I
Ch 8. H thc lng trong tam giác có dng c bi t............ ,.145
PHN II
P m íO lV G T R Ì N H - H PH NG T R Ì M L NG GIÁ C
GHNGI \ C Á C PHNG PHÁP GII PHNG TRÌNH LNG GIÁC
Ch 1. Phng trình lng, giác c bn..................................................147 Bài toán 1: Gii và hin lun phng trình sinx=m..................... .........147 Bài toán 2: Gii và hin lun phng trình cosx=m....................... ......148 Bài toán 3: Gii và hin lun phng trìnk tgx-m................... ............150 Bài toán 4: Gii và hin lun phng trình cotgx=m...... .................... 51 Bài toán 5: Gii và hin lun s nghim thucC, j5) cùa
B

I
BBW"
, phng irình irns giác c ban........................................... 52
\^ph 2. Phng trình bc hai di vi mi hàm sô lng giác................157 / Bài toán 1: Gii và hin lun phng trình a.sin2x+b..sinx+c=0.... ... 157
Bàiton2: Giíii và hin lun phng trinh a.g:x+b.iax+c=0 ............ 161
Ch 3. Phng trình bc cao i vói mt hàm s irng g i á c . ........ 167
Ch 4. Phnc trình bc nht di vi sinx và cosx................................. 173
Chu 5. Phng trình huíin nht hc hai i vói sinx vù cosx .............. 189
Chù é 6. Phnt rình chun nhìt bc ba i vi sinx và cosx ................197
*Ch 7. Phng irình i xn» i vói sinx và cosx............. ............... 209 Bài tán 1: Gii và hin lun phng irình
a(sinx-í-cosx)+bsinx.cosx+c=0...........................................209 Bài toán 2: Giái và hin ìun pmrns rình
aísinx-cosxì+bsinx.cosx-KÔ .. •.......................... ....212
Ch íì 8: Phng trình i xns. ùi vi tgx và cotgx-..................... ......... 22
Bài toán i: Giái và hin .un phis trình a(ia:x+cotiTx.)+b(ígx+cotgx)+c= 0 ................. ................... 22
Bài toán 2: Gii và hin lun phng trình a(g2x4-cotg'x)+bgx-cogx)+c= 0 ............................ ....... 224
Chú 9. Loi níhim không thích hp ......................................................... ' .......231
Ch 10. Phng trình hriig 2íc hn hp cha các béu thc i xng vi siirnx và cos*’’x ......................... 24 í
Chú 11. Phng trình ung giác hn hp ' cha các biu thc i xng vi r!>x và cotg2’\ ...................... 251
Ch 12. Các phng pháp dai phng trình lng giác .........................259 Bài toán 1: Gii phns trình lng giác hng phng pháp
t án ph....................................... ..............................-26 i Bài toán 2: •Gii phng trinh Ìniì giác bng phns pháp
i bin.... T............................................... ....... -....... ..........271 Bài toán 3: • Gii phng trình ìng giác s dhg
cóng thc h bc...............................................................275 Bài toán 4: Bin i phng rrmh ln2 giác
tng các s hng không âm............................................... 30 Bài toán 6: Gii phng rình lng giác bng phng pháp ánh giá.................. ...........................304
Ch 13. Phng trình h qu và phng trình tng ng............... 313 Bài toán 1: Xác nh tham s này là h qu ca phng irình kia....... 313 Bài toán 2: Xác nh tham s hai phng trình tng ng...........3 6
B

I
CHNGn H PHNG TRÌNH LNG GIÁC
Chú 1. Các phircmg pháp gii h phig uình lng siiic c bán........ 32' Bài toán 1: Gii và hin lun h'tng,................................... ................ 32 > Bài toán 2: Gii và hin lun h lích............................................. ....... 32- Bài toán 3: Gii và .hin lun h thng......................................................
Ch 2. Các phcmg pháp sii h phiíi trình lng giác không mu mc...... .................................................................... 33 í
Bài toán 1: Gii h phng trình lng «Ìác bng phng pháp cns.....................................................33 i
Bài toán 2: Gii h phng trình ng siác bng phép kh sau khi bình phng.................... ......................................3-\->
Bài toán 3: Giái h phng rìnli Ins íiìác bans phng pháp ti án ph.......................................................336
Bài toán 4: H lp h;t íip........................................................................ 340
Bài toán 5: Gii h phng ình hrng giác bàng phong pháp iu kin cn và .......................... .............341 Bài toán 6 : Gi h phng trinh lng giác bng
phns pháp hàm s ...........................................................343 Bài toán 7: Giãi h phng trình lng iác bãiiii
phng.pháp ánh giá ....... : ................... .............................345 Bài toán 8: Gii h phns trình lng liiác bng
phng pháp bin i hn hp............................................346
CHNG UI
PHNG TRÌNH LNG (1ÁC DNG I S
Ch 1. Phng trình lng giác cha du tr tuyt d i ............... 355
Ch 2. Phng trình lng sùlc cha càn th úc ............................ 365
Ch c 3. Phng trinh lng giác cha hàm s m.................. . ...377
- Ch 4. Phng trình lng giác cha hàm .s lôgarit....................... 383
Gh 5. Phng trình Itng íiác kiên quan ti o hàm và tích phân....387
PHN III
H T H C L NG G I C CHNG I
PHNG PH ÁP LNG GIÁC HOÁ
GII CÁC BÀI TOÁ N I S Chu 1- Chng minh ng thc, bt ng thc ............ ..................391 Ch 2. Gii phng trình, bt phng trình và h i s .............397
B

I
NHT
r a ' P H Ù ^ P t N G GIÁC HOÁ TÍNH TÍCH PHÂN
CHNG IV
GII CÁC BÀI TOÁN H ÌNH HC
Ch 1. Gii mt s dng toán ca ng tròn ...... .................................
Ch 2. Gii mt s dng toán ca EIíp.......................... .......................
Ch 3. Gii mt s dng toán ca HypeboL.........................................
TÀI LIU THAM KHO.
Ph n 1: H£ ih i i ni giác* ' ^ /;.> r ì £ "> - - -c* r 0 Ch* mu : CÓ^ ì húy ÌtHì,
V' ~ ^
6. GÔNG THC H BC
. 2 l-c o s2x 3sinx-sin3x a. sin x= — — — c. sm x= ------- ---------
• 2 ' 4 , l-t-cos2 x ; ; 3cosx-t-cos?x
b. COS x = — —— c. COS x= -------- — --------- 2 . 4
7. CÔNG THC RÚT GN asin x+ bcosx Ta có:
a. asinx+bcosx = Va2 +b2 sin(x+ct) vi tga= —.
= Va2 +b2 cos(x-a) vi tga= —. b
a + b sin(x-a) vi tga= —. a
=- Va2 + b2 cos(x+a) vi tg a=—. b H qu:
a. sinx+cosx-V2 sin(x+ —)=V2 cos(x- —). 4 4
b. siiix-cosx= V2 sm(x- —)=- V2 cos(x+ —). 4 4
c. M rng
. cotgx-tgx=2cotg2x.
8. CÔNG THC TÍNH s in a , c o sa , t g a THEO tg —
Nu t t= tg —, ta c: &2
: - 2t sna=
, _ 2ttg a=—-- 1 - t 2 ’
jn
B

I
a. cos{x+y)=cosx.cosy-sinx.sinv b. cos(x-)=cosx.cosy+Mnx.sinv
c. sin(x+y)=siíìx.cosyT-cosx.siny / d. sin(x-y)= sinx.cosy-cosx.siny
e x - r t a y
e. igu+y)=:;ft ~ I - tgx.tgy
f. g(x-y .)= - & — l + tgx.tgy
Vic s dng công thc cng cho phép ta tip cn vi các dng oán: Dìg / ; Chng minh ang thc lng giác.
Dng 2: Rút gn biu thc lng giác.
Dng 3: Chng minh mr biu thc lng giác c lp vi biên s.
Dng 4: Tính giá tr ca biu thc ln9; giác.
Phng pháp chuns d thc hin các dn2 toán Irèn chúng ta ã c làm uen irons chng .
LVÍ D MINH HO
Ví d I: Chng minh các dng thc su: a. sinta-Hb+c^sina.cosb.cosc+sinb.cosc.cosa+.sinc.co.sa.cosb-.sinasinbsinc
, tg 2 2 a - t g 2a _ . b. -S-= — ~ =tg3a.tga.
l - r g 2 a.g a
Gii
Ta có:
VT=sin[( a+b)+c ]=sin( a+b) .cosc+sinc .cos(a+b)
=(sina.cosb+sinb.cosa)xosc+sinc.(co.sa.co.sb-sina.sinb)
=sina.cosb.cosc+sinb.cosc.cosa+sinc.cosa.cosb-sina.sinb.sinc.
Ta có:
(g2 a + lga)(tg2 a - tga) _ tg2 a + tga tg2 a - t g a 3 t
( 1 + tg 2 a.rga)(l - tg 2 a.tga) l-tg 2 a.tga l-í-tg2 a.tga
hn xét: Nh vy trong ví d trên:
Vi câu a) thc hin phép khai trin .sin(a+b+c), chúng ta ã nhóm hành hai nhân t góc ià +b và c ri s dng công thc cng cho sin.
B

I
2. Vi câu b) chng ta ã s dng phép bin i hng ng thc ri thc h phép gom các toán t liên kt làm xut hin các v p ca công thc cng
Ví d 2: Chúng minh các biu thc sau không ph thuôc vào x:
a. A=sin2x+cos(x-—).cos(x+—). 3 3 9
b. B=c o s2(x - —)+cos2x+cos2(x+ —).
Gii a. Ta có;
A~sin2x+(cosx.cos —+sinx.sin—)(cosx.cos —-sinx.sin—) , 3 3 3 3 \
=sin2x+( —cos2x-—sin2x )=*=(cos2x+sin2x)=^'. 4 4 4 4
b. Ta CÓ: '
B=(cosx.cos —+siix.sin—)2+cos2x+(cosx.cos —-sinx.sin—)2 3 3 3 3
1 ^3 1 "/3 =( —COSX+— sinx)2+cos2x+( —cosx- — sinx)2
2 2 , 2 2
1 5 3 9 7 3 ? 1 3 = —COS x+—sin x+cos A—“ (sin x+cos x)=—.
2 2 - 2 2
Ví d 3: Cho cos(a+b)=k.cos(a-b), vi k^-l. CMR:
. . 1-'k t g a . t g b = f ^ . 1 + k
Gii
* 1 —k <£> (l-k)cosa.cosb=(l+k)sina.sinb o tga.tgb=—— .
Ví d 4 : ' Tính giá các hàm s ng giác ca góc — .
Gii
Ta có:
7 1 , 7 t 71 > ' C _____ % __ ____ 71 V 6 - V 2
sin— =sin(—-—)=sin —.COS —-COS —-Sin—=----------- ,12 3 4 3 4 3 , . 4 , 4
JI ^ , ? t I t . 7T 7 t 7t . 7t + V 6
COS — =cos( —- —)=cos —.COS —+sin —-Sin—= ——-----, r 12 3 4 3 4 3 4 4
. % V6.-V 2 t t _ s i12 ' 4 V 3 -1 , '7 _ 1 _ ^ + 1
*12 a J ~ g2 V J- r 12 4 12
Phán I: Hê thc ling giác Chng I: Cong chc lcma WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
B

I
các
-W
a. sin(a+—)+sin(a- —)= v s in a ./ T'f.
b. 4 sin(a+—).sin(a- —)=4sin2a - 3 í^ ^
Bài tp 2: Chóng minh các ng thc sau:a. cos(a+b).cos(a-b)-cos2b-sìn2a.
b. sm(atb )-sill<a ~.b )^ a V b . COS2 a. COS2 b
c. cos(a + b).c os (a -b)=1_tgatg2b
cos2 a. cos2 b V , sin(a + b).sin(a-b) _ 2 -_2u\ d. — -— ----- =-cosa.sinb.
1 - tg a. cotg b*
' sin(a + b + c) * ' * T .e. ------±-Lz .— — =tga+tgb+tgc-tga.tgb.tgc. cos a. COS b. cos c
Bài tp 3: Rút gn các biu thc:
a. A=sin(a- —).cos( —-a)-cos( —-a).sin( —-a). 4 3 4 3
b. B=cos( —-a) .cos(a+ —)+ cos(a+ —) .cos(a+ — ).
„ s ín ( a- b ) s i n (b - c ) s in ( c- a) c. c= ---- ------ —H----- --------- 1--
cosa .cosb cos b. cos c COS c. COS a . Bài tp 4: Chng minh các biu thc sau không ph thuc vào x:
271V • 2a. A=sin (x- -rr )+sin x+sin (x+ — ).3 3
b. B=tgx.tg(x+^)+ tg(x+y).tg (x+Y-)+tg (x + ^ )tg x .
^ msin3x+sin3x . mcos3x-cos3x c. '' " ““ *— ,
sin X cos X Bài tp 5: Cho m.sin(a+b)=cos(a-b). Chng minh rng biu thc sau không
ph thc vào a, b:
A- 1- m. sih 2a - m. sin 2b
Bài tp 6 : Tính giá tr ca các biu thc: a ‘ A=tg 110°.tg34Õ°+sinl60°.cos 110(,+sin2500.cos340‘’.
b. B=- 1 1 COS
1 I _____
C0tg261° +tg201°
Ph:mi: He Ihc laiv- --'.'I
Bài tp 7: Bit COS; 9 3t1=--—. vi 7<a<-—. 4 2
ính A=tg(a- 71 - )- 4
Bài tp 8: Tính giá t các hàm s,,lng t v%'
aiác ca góc 7t'
12 ’
Bài tp 9: Tính ìúá các hin s lng siác ca góc 1- 12
Bài tp 10: Cho a. b à hai góc nhn thòá mãn iì+b= 4 và tga.tgb=3-2 4
a. Tính tga--gb.
b. Tính tga, tgb. t ó suy ra a. b. : Bài tp 11: Cho tgx. tgy ià nghim cúa phng trình:
ar+bt+c=0.
CMR: I a.sjn2(x+v)+b.sin(x+v).cos(x+y)+c.cos:(x+v)=c. I
14
B

I
CÔNG THC NHÂN
.K I N T H Ú C C O 1 N
Ta có các cõng thc sau: . CÔNG THC NHÂN
Cõi ì thc tìhâìì ci Côi hc nhàn bu
a. sin2x=2sinx.cosx a. cOS3 X=4cOS ’ X- 3cOS X
b. cos2x =cos'x-sin:x b. sin3x=3siax-4sin;x
VG s ng còng thc nhán cho phép ta rip cn vi các dang toán:
Dng : Chng minh ng thc lng giác.
Dng 2: Rút gn biu thc lng giác. Dng 3: Chng minh mt biu thc lng giác c lp vi bin s.
Dng 4: Tính giá tr ca biêu thc lng giác.
Phng pháp.chtmg thc hin các dn toán -trn chúng ta ã (.1c iàm quen trong chng .
=2cos2x-l
= l-2s in2x 1-3tg“íi
d. C0ts3a=: 3 c o t s a - c o i s a
1 2 i - 3 c o t 2 a
. CÔNG THC Bu DIÊN
B i u d i u ie o (= t £ — ----------- --------- » 2 Biit din theo t=cos2iì
2r 1- ta. -ína=
I + t
c. ga= 2t
Phãn V. HS thc lng giác Chng 1: Cón g thc l
n .v í D MINH HO
Ví d 1: Chng minh các ng thc sau: a. 8cos4a-4cos2a-cos4a=3. , cosa-s ina 1 .
- b. V ~tg 2a . cos a +sin a COS2a
Gii
=2( 1+2cos2a+cosz2a)-4cos2a-cos4a
b. Tacó: -• — ---------- —
TTrr, (cosa-sina)2 l - 2cosa.sina l - s in 2a VT=------ ------- — ------ — = — — — -- ——= — = — - (cos a + sin a)(cos a - sin a) COS2 a - sin 2 a - COS 2a COS
Ví d 2: Rút gn các biu thc:
2 2 2
fl + cosa).tg —.sin a9 7a. A=---------------- ----------+COS a. 1- cos a
b c _ cotga + tga cotga-tga
Gii a. Ta CÓ:
•> a a . tg ~ .s in z a tg T-.sin a
A=---- --------- +cos2a=-----------------------------------------— ------ 1- cos a a 7 tgz J
1 + cosa 2 b. Ta CÓ: 1 —- + tga 2
t§a _ 1+ tgâ 1 _ 1
— - t ° a 1 _ tg 2a I - t g 2* cos2 a
tga l + tg2a
Ví d 3: Chng minh biu thc sau không ph thuc vào x: A=8(sin6x.cos2x+cos6x.sin2x)+cos42x.
Gii-
=8[(sin2x+cos2x)2-2sin2x.cos2x].sin2x.cos2x+cos42x
=8(1-—sìn22x). —sin22x+cos42x=2siir2x-sin42x+cos42x 2 - • 4 > . >
=1 -cos4x+(cos22x-sin22x)(cos22x+sin22x)= l.
16
B

I
A=sináx+sin4(x+ —)+sin4(x+ —)+sinJ(x+ — ). 4 2 4
Gii
=(sin,x+cos4x)+[sin4(x+ —)+cos4(x+ —)] 4
Ví d 4: Chng minh biu thc sau không ph thuc vào x:
4
+{sin2(x+ —)+cos2(x+ —)]2-2sin2(x+ —).cos2(x+ —) 4 4 4 4
= 1- —sin22x+- —sin2(2x+ —)=2~—(sin22x+cós22x) = —. 2 2 2 2 2
Ví d 5:' Bit tgx= —, tính giá tr ca biu thc:
• • 2 t g 2 x - s m 2 x
A=— — . tg2x + sin2 x
Ta có th la chn mt trong hai cách sau:
Qách : S dng ngay công thc góc nhân ôi bin i A v dng: ^ 2tgx 2 tgx I
2 2 1 -tg X 1+ tg X _ 2 J_
2tgx 2tgx ~ 4 '
l - t g 2 x l + t g 2x
Cách 2: Thc hin phép cfn gin biu thc: sin2x cos2x ~ Sin x _ Ì-COS2X _ 2 sin2 X =tg2x= 1
s i n 2 x 1 s i n 2 x + c o s 2 x 2 c o s 2 X 4 ' cos2x
Ví d 6: Tính giá tr ca biu thc: P=sinl0‘l.sin30ll.sin50l’.sin70l).sin90(1.
Gi
16P.COS 10'—16cos 10°.sin I0‘l.cos20íl.cos40t’.cos60°
=8.sin20<1.cos20<,.cos40°. —=2sin40().cos40í-sin80(1=coslGí’ 2
o P = — . 16
Phán I: Hê thc lun»: uiác Ch<mir I: cnthc Ilítm'J giác
Ví d 7: Tính gíá ca biu thc: A=sin5l,.sinl5‘'..sin250.....sin85a.
Gii Bin i A v dng:
A=(sin50.sin85í)).(sinl5(’.sin75(,)....(sin35‘’.sin55')):sin450 /?
=(sm5i).cos5(>).(sinl51,.cosl5i,)....(sin35(,.cos35'>). —
= 1 sin io0. - Sin30°. - sin 5 ’: - sin70(1. — 2 2 2 2 2 P
= ——00520”.cos40(,.cos 80°. ( ) 2
. Nhn c hai v ca (1) vi sin20(1, ta c:
A.sin20f,= — sin20tl.cos20').cos40(1.cos80°= . —.sin 160"= — sin20‘’ 2 2 8 2
« A = - p -
V Ví u 8: Cho sina+cosa= — , tính giá tri ca biu thc:
2 a. A=cos4a.
*J 7
sina+cosa=— <=> —=(sina+cosa)2=sin2a+cos'a+2sina.cosa=l+sm2a2 4 3
sin2a= —. 4
T ó:
2 i + t 1+ t2 2 2±1 3 1
<=> t= —= o t! = — V 2 = r - _ V7+2 V7+2 V7+2
HI.BÀI TP NGH
a. sina.cos’a-cosa.sm'a = —sin4a. . 4
B

I
1- CO S 4a
sin 2 a cos a
Jcos2- a. cos b + sin a.sin b - —sin a. sin b =oos(a+b), Oca+bc—.V 2 2
e. J( 1+ cot ga) sin a + (1 + tgá) COS2 á = V cos(a- —), a e [ ~ , ^ N , } 4 4 4 2
Bài tp 2: Chng minh các ng thc sau:
a. sinx.sin( —-x).sin(—+x)=—sin3x. 3 3 4
Áp dng tính giá ca bi thc: A=s in20°. s in40°. sin 80''.
b. cosx.cos( —-x).cos( —+x)=—cos3x. 3 3 4
Áp dng tính giá tr ca bi thc: ip y ' ¥A=cosl0<).cos200.cos30()....cos80°.
p. tgx.tg( -x).tg( ^ +x)= tg3x. - - . \ ---- — 3- 3 / ... V
Áp ng tính giá ca bi thc: A=tg20°. tg40°. tgO'tg 80°.
d. (sina-cosb)2+(sinb+cosa)2=4cos2( - —- + —).
Bài tp 3: Rút gn các biu thc: 2
a. A=—-— cotga.sin a
_ 1 + sin 2a + COS 2a c. c= --------- ------ — .
1+ sin 2a - COS 2a Bài tp 4: Chng minh các biu thc sa không ph thuc vào x:
a. A=sin4x+2cos2(2x+—). 4
, -. sin3 x + sin3x cos? x-cos3 xb. D=-------------------- 1------------------- . sinx cosx
c. O co sx. J --------- +---- ----- , vi —<x<71. -sinx I-*sinx
Bài tp 5: Tính giá tr ca biu thc: . _ _ T 2 t 4 r c _ _ _ 8 t _ 1 Ó 7 I _ 3 2 7 1
a. . A=cos —- . cos — . cos —1 . COS . COS —- . COS —— 65 65 6565 -6565
b. B=sin6°.sin420.sin660.sm780.
Phán I: He thc lng siiifc
, . _ 4 371 . _ 4 5n . 4 7 t z c. c=sin +sin — +sin — +sm
Chtm 1: cnir th
16 16 16 l
d. D=tg6—-33tg4—+27tg2—-3 s 9 õ 9 ô 9
Bài tâp 6: Cho sin— +COS — =- - , tính giá tri ca biu thc: 2 2 3 * .
a. A=cos2a. .2
1+ COS2 a
» I T Bài tp 7: Tính giá tr các hàm s ing giác ca góc ——.
Bài tp 8: Tính giá tr các hàm s lng giác ca góc — . 8
Bài tp 9: Tính sin2a, bit: _ 3 ,. „ 7a. sma= —, vi 0<a< —.
5 2 u _ 2 3;i _ b. cosa=—, vi — <a<27C;
3 2- '
I.KIN THÚC C BN
1. CÔNG THC BIN i TÍCH THÀN H TN G
1
b. sinx.smy=—[cos(x-y)-cos(x+y)3-
. cosx.siny=—[sin(x+y)-sin{x-y)].
2. CNG THC BIN i TNG THÀNH TÍCH
_ x+y x -y a. cosx+cosy=2cos COS - —- .2 2
b. cosx-cos=-2sin— - s in ^ — J 2 2
. . ___ „ . x + y x -y c. sinx+siny=2sin —— COS- — - .
d. sinx-siny=2cos^-^sin-^^-. 2 2
* sin(x + y) 71 , _ , „ e. — — , vi X, y +k7i, k € z .
cos X. cosy 2 • sin(x-y) 7C , _ ,
£ tgx-tgy=— 3 vói X, y*—+fot, k<sZ. cos X. cos y 2
_ sin(x+y) „ g. cotgx+cotgy= —, vi X, y^krc, keZ.
sin x.siny
sin X. sin y
Vic s dng công thc cng cho phép ta tip cn vi các dng toán:
Dng : Chng minh ng thc ng giác. Dng 2: Rút gn biu the ng giác.
Dng 3: Chng minh mt biu thc lng giác c lp vi bin s. Dng 4: Tính giá tr ca biu thc lng giác. Phng pháp chung thc hin các dng toán trên chúng ta ã c làn
quen trong chng I.
Phán I: Hê thc lng iiác Chtm 1: Ciinii Ihc ltTnu giác
II. v í D MINH HO
Ví d i : Chng minh ng thc: l + sin2a^ 71. : - c o t g V j )- 1- s in 2a 4
Gii Ta có:
sin —+ sin 2 a 2 sin(a H— ). cos(a — ) VT= __ - ______ = ___ _ ___ - _______ 4-
•ft • , TC,sin —-sin 2a 2cos(a-f —).sin (a-—) 2 4 4
=tg(a+ ~ ).cotg(a- ~ )=cotg(a- ).cotg(a- )=cotg2(a- ). 4 4 ~ 4 4 4
.'Cfeú . Nh ã thy trong ch 2, chúng ta ã thc hin phép bin i cho
1 + sm 2 a kng vj£C s dung ng thc c bn sin 2a+cs2 =l và cóng thc l-s in 2a -
niân ôi. Li gii tiên cung cp thêm mt cách bin i lng giác khác s dng ,công thc bin i tng thành tích. Ví d 2: Chng minh các ng thc sau:
a. sina+sinb+sinc=4cos ~ .COS —.sin - y bit a+b=c. 2 2 2
b. sma+sinb+sinc+sind=4sin^-^- -sin-^-^-, bt a+b+c+d=2. 2 2 - 2
Gii a. Ta có:
- . a+b a -b _ . c a -b „ . c c VT=2sin — .cos----- +sinc=2sin ~ .COS — +2sin —.COS —
2 2 2 2 2 2c / a -b __ a + . b a b c=2sin —.(cos----- +COS —— )=4cos —-COS —.COS —. 2 2 2 2 2 2
b. Ta có:
• a + b _ a -b c + d c- dVT=2sin —— .cos----- +2sin —— -COS------ 2 2 2 2
_ . a + b a - b ^ a + b . __ c -d =2sin—-— .COS +2sin(— -— ).cos-----
2 2 2 2 . a+ b , a - b c - d .
=2sin —— .(cos------+ COS------ ) . 2 2 2
* a + b . .a - b + c - d _ a - b - c + d=4sn—-— -COS------ ------ .cos-------------- 2 4 2 •
: a + b a -b + c - (2 7 t -a - b -c ) a -b - ' c + (27r -a -b -c ) =4sn —— .cos------------------------------------------------------------— ------
2 4 2
. a + b ( c + a _ (n b+c =4sìn—-— .cos —— — .cos —— -—
2 { 2 2 ) u 2 .
â+b c + a . b + c =4sin—— .sin—— .sin—r - .
22
B

I
d 3: Chng minh biu thc sau không ph thuc vàó x:
A= ?in^x -2(cos4x+cos2x). sinx
i Ta có:
.sin 5x - 2 cos 4x. sin X - 2 COS 2x. sin X A=--- — -- :----------— --------------------- -------- ----------------------
sin X _ sin 5x - (sin 5x - sin 3x ) - (sin 3x - sin x) _
sin X d 4: Chng minh biu thc sau không ph thuc vào X, a:
A_._x + a * X-a _ ,A=tg—— .tg— — , bit cosx=cosa.cosb. 2 2
âi Ta có:
. x-ra . x - a 1 sin----- .sin—— -^(cosa-cosx)
x + a x - a 1> .cos —:—. cos - — _ (cos X+ cos a) 2 2 2
_ - 2 b V t _ , 2 sm — ,
_ cos a - cos a. cos b _ I-cosb _ 2 b cos a. cos b + cos a 1 + cosb „ ? b 2
2 cos ^ 2
a. A=sin20‘\sin40°.sin8011.
b. B=tg9°+tgl5í,-tg27íl- tg63{,+tg75(,+tg8la. . '
„ 2% __
7 7 7 i
A= —(cos20°-cos60‘,).sin80<- —sinSO^cosK)0-—sin80° 2 2 . - 4 '
= ~ (sin 100°+sin60°)- —sin80°= — . 4 4 8 .
Ta có:
B=tg9"+tg 15f’-tg27°-cotg27(l+cotg 15°+cotg9‘1< tg9 W g 9 ‘W g i5 W g l5 (V(tg27°+co27(>) I 1 1— -- ^ —
COS9(). sin 9 0 COS15°. sin 15° COS27°. sin 27f)
2 2 2
sin 18 sin 30 sin 54
2(s in54° - s in ! 8 °) 4cos3õ°.sin 18° „ _ 0 =—— ------------ — - +4= ——— ----- +4=8.
sin 18°. sin 54° sin 18°. sin 54°
B

I
P rt 1: Hê t c ng gác C t ' Cõng c
c. Nhân c hai v ca biu thc vi 2sin , ta c: 7
2?1 ._ -n . 4t _ n , _ 6 t .7 1 2C.sin=2cos — - . s i n +ZCOS - 7 - .sin +2cos .sin _
7 7 7 7 7 7 7 - . 3 7 1 . 7T .. 57 3it ___ . 571 . n
=sn -sin - 7 +sin -3 - -sin— +sirm-sin =-sn - 7
7 7 7 1 , 1 1
o c=- —.2 Nhn xét: Trong ví d trên tính giá tr 'ca các biu thc A, B, c chú ã s dng ba cách bin i c bn là:
“ Vi A ta s dng phép bin i tích thành.tng. vi B ta s dng phép nhóm thành ôi ri bin itng thành tích.
» Vi c chúng ta s dng phn t trung gian 2sin — to ra các tí
thc hiên phép bin i tích thành tng. Các em hc sinh cn thit phi linh hot la chn hng bin ói phù
c bit là xác nh c phn t trung gian.
.m . BÀI TP NGH
a /A= \z 2l cos £ _ V2"- sin a - COS a 1 + 2 cos 2 a sn a - COS a
, -v/3-2 cos 2 a b. D=—= --------- — .
V3+2cos2a
Bài tp 2: Chng minh bi thc sau không ph thuc vào x: A=cos2x+cos2(x+a)-2cosa.cosx.cos(x+a)
Bài tp 3: Chímg minh biu thc sau không ph thuc vào a, b, c: A_ sin( a-b ) .sin(b-c) sin(c-a).
-----------------1------ ---------- h COS a. cos b COS b. COS c COS c. COS a
3 Bài tp 4: Bit cosx= —, tính giá tr ca các biu thc:
4 .
a. A=8cos — .COS —. c. c=8sin(x- —).cos2x.sin(x 2 2 6
b. B-sinx.sin2x.sin3x. Bài tp 5: Tính giá tr ca các biu thc:
a. ’ A=tg90-tg270-tg630+tg81 .
. C0g25()+C0tg75() tg25(1+ tg75° '
c. C=cos750.cosl5í,+sinl65°.cos7511. J 71 3 7C 5ti 17t d. D=cos + cos— + cos — +... +COS ——
i9 19 19 19
BIN i LNG GIÁC
M U
Vic s dng các phép bin i lng giác cho phép tá gii các diig toán:
Dng : Thc hin các yêu cu bin i biu thc thành tích hoc thành tông.
Dng 2: Rút gn biu thc lng giác. Dng 3: Chng minh mt biu thc lng giác c lp vi bin s. Dng 4: Tính giá tr ca biu thc lng giác. Dng 5: Chng minh ng thc lng giác. Dng 6: Chng minh bt ng thc lng giác.
I. BÀI TOÁN 1
Bài toán 1: Bin di biu thc lng giác thành tng - tích. I
1. PHN G PHÁP CHNG
S dng các công thc lng giác.
2. VÍ D MINH HO
V íd l: Bin i các biu thc sau thành tng: a. A=sina.sin2a.sin3a.
5s b- B=4eosa.cos2a.siri — .
A= —(csa-cos3a).sin3a= —(cosa.sin3a-cos3a.sin3a)
b. Bin i biu thc v dng:
B=2(cos3a+cosa).sin — =2cos3a.sin — +cosa.sin—
l la a . 7a . 3a=sin -sin —+sin — +sn — . 2 2 2 2
Nhn xét: Nh vy trong ví d trên thc hin mc ích bin i biu thc v dng tng chúng ta ã s dng hai ln liên tip công thc bin i tích thành tng. Tuy nhiên trong nhng ng hp riêng cn la chn hai i tng phù hp gim thiu phc, tp, chúng ta s minh ho thông qua ví du sau:
25
B

I
Phán h He ih^ lan i : g iác Chunmg'I: Cftnt: ihc; liffiii iiát:
c=ts- - tga=- 3 7t cos a
cos —.cos a 3
Ví d 2: Bin i các biu thc sau thành tng:
a. A=8sin(a- —).cos2a.sin(a+-^-). 6 6 í
b. B=4cos(a-b).cos(b-c).cos(c-a). I Gii [ a. Bin i biu thc v dng: ;
A=Ssin(a-—).sin(a+ —).cos2a=4[cosi(- —)-cos2a].cos2a j-6 6 ' 3 =2-4(1+cos4a)=-2-4cos4a. :
b. Bin i biu thc v dng: B=2[cos(a-c)+cos(a-2b+c)].cos(c-a)=2cos2(a-c)+2cos(a-2b+c).cos(c-a) [
=l+cos(2a-2c)+cos(-2b+2c)+cos(2a-2b) , - .
=l+cos(2a-2c)+cos(2b-2c)+cos(2a-2b). ì
Chú ý: Các ví d tip theo chúng ta s quan tâm ti vic bin i biu thc I lng giác cho trc v dng tích, ãy là phép bin i quan trng vào bc
nht bi nó cho phép chúng gii c các phng trình lng giác không mu I ,mc. I Vic bin i biu thc lng giác v dng tích ph thuc vào các phép I
bin i dng: I
Dng 2 : Bin i tích thành tng. I
Dng 3: La chn phép bin i cho cos2x. I
Dng 4: Phng pháp lun h s. I
Dng 5: Phng pháp hng s bin thiên. :
Dng 6: Phng pháp nhân. I
Dang 7: S dung các phép bin i hn hop. I
Trc ht chúng ta làm quen vi các ví d s dng phép bin oi tong, hiu I thành tích.
E; Ví d 3: Bin i các biu thc sau thành tích:
a. B=cos3a-sina. !
Gii . I
B=cos3a-cos(a- —)--2sin(2a- —).sin(a+ —). I . 2 4 4 I
b- Bin i biu thc v dng: .
sin(—- a ) 2 sin(~ - a) 1 -
26
B

I
Ch è 4: Các bài toán s dung bin i ion>_' Lriac
A=cosa+cos2a+cos3a+cos4a. i Bin i biu thc v dng:
A=(cosa+cos3a)+(cos2a+cos4a)=2cos2a.cosa+2cos3a.cosa
=2(cos2a+cos3a).cosa=4cos — -COS —.cosa. hn xét: Trong li gii ên ta la chn cách gom theo hìêu (hiu hai góc ng nhau) o ó ng nhiên có -th nhóm:
A=(cosa+cos2a)+(cos3a+cos4a). Ngoài ra còn có th gom theo tons (tng hai góc bng iihau)
=(cosa+cos4a)+(cos2a+cos3a). Chúng ta s s dng li ý tng này trong ví d. tip theo. d 5: Bin i biu thc sau thành tích:
A=sina+sin2a+sin3à+sin4a+sh5a+sin6a.
iTa có th la chn mt trong các cách sau: ch 1: Bin i biu thc v dng:
A=(sina+sin6a)+(sn2a.+sin5a)+(sin3a+sin4a) 7a 5a _ . 7a 3a _ . 7a a
=2sin -r1 .cos — +2sin — xos — +2sin .COS — 2 2 2 2 2 2 5a 3 a ' a . . 7a 3a 3 a . . 7a
=2(cos — +COS — +COS —)sin— =2(2cos — .cosa+cos — )sin --- 2 2 2 2 2 2 2
3a . 7 a . . 1 3a . 7a =2(2cosa+l). cos —- .sin — =4(cosa+ —). COS — .sin —
2 2 2 2 2
=4(cosa+cos —). COS — . s i n 3 2 2
0 - / 2 ft s' - / a n %- 3a . 7a=8cos( —+ —). cost —- —l.cos — .sin— . 2 6 2 6 2 2
ách 2: La chn phép gom: A=(sina+sin2a)+(sin3a+sm4a)+(sin5a+sin6a) - ngh bn c.
ách 3: La chn phép gom: A=(sina+sm4a)+(sin2a+sm5a)+(sin3a+sin6a) - ngh bn c.
6: Bin i biu thc sau thành tích: A= +sina+cos 3a-(cosa+sin2a+cos2a).
i Bin i biu thc v dng:
A=( 1- cos2a)+sina+(cos3a-cosa)-sin2a =2sin2a+sina-2sm2a.sina-2sina.cosa =(2 sina+ 1 -4sina. cosa-2cosa) .sina=(2s ina+ 1)(l- 2 cosa).sina
=4(sina+—)(—-cosa).sina=4(sina+sm —)(cos —-cosa).sina 2 2 6 3
1 a 71 . , a 71 V' t a . . . 7T a .=-16sin( —+ —- ).cos( —- — ).sin( —+ —).sin( —- —).sina 2 12 2 12 6 2 6 2
d 4: Biên i biu thc sau thành tích:
27
B

I
Nhn xét:- Trong li gii trên s d ta la chn cách gom nh vy b thy rng chúng u có chung nhân t sina. Ví d 7: Bin i biu thc sau .thành tích:
A=2cos .cosx.cos — -2sin —.sinx.sin — -1. 2 . 2 2 .2
Gii Bin i biu thc v dng:
A=(cos2a+cosa).cosa+(cos2a-cosa).sina-i=cos2a.cosa+cos2a+cos2a.sina-cosa.sina-l =cos2a.cosa+l-sin2a+cos2a.sna-cosa,sina =(cosa+sina).cos2a-(sina+cosa).sina=(cosa+sma).(cos2a-sina)
= V2 sin(a+ —).[cos2a-cos( —-a)]
=-2 V2 s in(a+ —) .sin( —+ —) ,sii(— - —). 4 2 4 2 4
Nhn xét: Trong li gii trên bin í biu thc v dng tích tr chúng ta ã s ng phép bin i tích thành tng. Ví d này c trìn
vi mc ích minh ho cho Dng 2 - Bin i tích thành tng. Ví d tip theo s minh ho Dng 3 - La chn phép bin i cho cos
Ví d 8: Bin i biu thc sau thành tích: A=2cos:,a+cos2a+sina.
A=2cos;?a+2cos2a-1 +sina=2(cosa+l ).cos2a+sina-1 =2(cosa+1)(1 -sin2a)+sina-1=( I 'SÌna)[2(cosa+l) (1+sina)-13
=( 1-sina) [ 1+2sina.cosa+2(sina+cosa)]
=( 1-sina)[(sma+cosa)2+2(sma+cosa)] =( 1-sina)(sina+cosa)(sina+cosa+2).
Nhn xét'. 1. Trong li gii trên s d chúng ta .la chn phép bin i:
cos2a=2cos2a-l
bi 2 nhân t còn li là 2cos3a (cos có" h s 2) và sina (sin có h s 1) 2. Nh vy trong trng hp trái li, ta s la chn phép bin i:
cos2a=l-2sin2a
C th chúng ta s gp trong phn Các bài tp chn c.
3. Nh vy chúng ta ã có c phng pháp suy lun trong vic lahai hng bin i cho cos2a. Gu cùng, trong trng.hp h s i x s la chn phép bin i: _ _____
coslaôsVsinâ. 4. ôi khi vic gôm cc ton t trong u bài nhm tng phc tp c toán. Khi ó tin cho vic cn nhc la chn phép bin i các em h hãy chuyn biu thc v dng n. C th ta xem xét ví d sau:
B

I
Chù è 4: Cát; bai toán Sdung bin i lng giác
.Ví d 9: Bin i bin thc sau thành tích: A=4sin2a-3cos2a-3(4sina-l)-6sin2a.
Gii . Bin i biu thc v dng:
A=4sin2a-3cos2a- 12sina+3-6sm2a=4sin2a-3( 1-2sin2a)- 12sinx+3-6sin2a =8sina.cosa-12sina=4(2cosa-3)sina
Nhn xé t: 1. Trong li gii trên khi chuyn biu thc v dng n, ta la chn phép
bin i cos2a=l-2sm2a bi khi ó s kh c s hng t o và cùng vi nhn xét các toán t còn li u cha sina. 2. Ví d tip theo s minh ho Dng 4 - Phng pháp lun h s. Ví d 10: Bin i biu thc sau thành tích:
A=5sin3ã-3sin5a. Gii
Bin i biu thc v dng:
A=2sin3a-3(sin5a-sin3a)=2(3sina-4sin:,a)-6cos4a.sma =(3-4sin‘2a-3cos4a) .sina=[3-2( I-cos2a)-3(2cos22a-1)]. sina =(3cos22a-cos2a-2).sina=(3cos2a+2)(cos2a-í ).sina
Chú ý: Các em hc sinh cng có th s dng phng pháp tách dn: sm3a=3sina-4sin3a, sin5a=sin(a+4a)=sina.cos4a+cosa.sin4a
=sina.cos4a+2cosa.cos2a.sin2a =sma.cos4a+4cos2a.cos2a.sina.
Ví d 11: Bin i biu thc sau thành tích:
A=2sina+cotga-2sin2a+1. Gii
Bin i biu thc v dng:
A=(2sina-l)-(2sm2a-cotga)=(2sina-l)-(4sina.cosa:- ) sin a
(4 sin2 a -1 ) COS a _ (2 sin a - l)[sin a - (2 sin a +1) COS a] sin a sin a
__ (2 sin a - I)(sin a - COS a - 2 sin a. COS a)
sin a
Chú ý: Ví d tip thèo s minh ho Dng 5 - Phng pháp hng s bin thiên. Ví d 12: Bin i biu thc sau thành tích: A=sina.cosa-2(tga+cos2a)+4.
Gii . N t,t=2, ta c:
A=^ -(tga+cos2a)t+sina.cosa. : khi ó A là mt tam thc bc hai có:
A,=(tga+cos2a)2-4sina.cosa=(tga+cos2a)2-4tga.cos2a=(tga-cos2a)2,
B

I
Phi'in I: He thc Hrgns giác Ch m vni:): Cô ng [hc lima giaL-
do ó phuefng t r ình A =0 CÓ các n ghim :
tga + cos2 a + (Iga - COS2 a) t , = --------------- ----------------------- 7 “ ^
_ tga + cos2 a -C tg a -c o s2 a) _ cog2 a
_ t 2 - . 2
tc là A có th c phân tích thành: =(t - tga ) ( t -cos2a)= (2- tga) (2-cos2a) .
C h ú ý : Ý t ng p h â n t í c h n h t rê n c ò n u c s d n g k h á h i u q u i v i c á c
biu thc COtham s (s c áp dng vi phng trình lng giác cha tham s), chúng ta s minh ho thông qua ví d sau:
Ví d 13: Bin i biu thc sau thành tích: A = s i n a . c o s a - m ( s i n a + 2 c o s a ) + 2 m 2 .
Gii
Vit l i A di dng: A=2m2-(sina+2cosa)t+sina.cosa.
khi ó A là mt tam thc bc hai có: A =(sina+2cosa)2-8sina.cosa=(sina-2cosa)\
do ó phng trình A=0 có các nghim:
' ’ s ina + 2c osa + (s in a-2 co sa ) sin a
” 1* --------------------------- 4 2
sin a + 2 cos a - (sin a - 2 COS a) m ----------------------------------- --------------------------------c o s a
4
tc là A có th c phà n t ích, thàn h:
A = ( 2 m - s i n a ) ( m - c o s a ) .
Nhn xét: Hai ví d trên minh ho cho ý tng ca phng pháp hng s bin t l ì i n l n g n h i ê n c h ú n g t a c ó t h th c h i n p h é p n h ó m m t c á c h th í c h h p
có c các kt qu ó, c th:
Ta có: A=tga . cos2a-2 tga -2cos2a+4
=(cos2a-2) tga-2(cos2a-2)
= ( tga-2 ) (cos2a-2) T a có :
A =s ina . cosa -m . s i na -2m . cosa+ 2m 2
=(cosa-m).sina-2m(cosa-m)
=(cosa-m)(sina-2m). và chúng ta nhn thy công vic ó tht n gin hnnhiêu so vó' nhng lp u n tr o n g l i g i i c a c á c v í d - x o n g â y l u n l à ý t n g h a y ê s n g c h o I v i c -g i i c á c p h n g ì n h i s c n g n h l n g g i á c . I
V í d t i p t h e o s m i n h h o D n g 6 - P h n g p h á p n h â n .
B

I
Chu e 4: C ác bài Toán s du ng bin- i uri‘T*Tiúc
A = s i n - ^ - 5 c o s * a . s i n - , v i a *7 i+ 2to t, k e Z . 2
Gii T gi th i t a^7T+2k7 , k e Z ta c:
a 71 , _ a „- r * — = > C O S — 2 2 2
N h â n c h a i v c a b iu th c v i 2 co s - ^ 0 . ta c- 2
2 A c os — = 2 sin ~ . C O S — -1 O c o sV s in — .COS —
Ví d 14: Bin i biu thc sau thành tích:
2 2 2 ' 2
—sin3a+sin2a-5cosa.sina=3sina-4sin' ,a+2sina.cosa-5cos'1a.sina = (3 -4 s in2a+ 2co sa -5co . s a ) . s ina= (5co s1a -4co s2a -2c osa + l ) . s i na
=2( 5cos2a+ cosa-1 )(cosa-1 )sin — .COS — 2 2
ao A = ( 5 c o s 2a + c o $ a -1 X c o s a - 1 ) sin - . . 2
k ú ý i N h v y c h ú n g t a ã c l à m q u e n v i 6 p h n g p h á p b in i tn
hành t ích , cu i cùng chúng t a m inh ho thêm, m t và i v í d cho p h n g p l i a p
dng các phép bin i hn hp. Ví d 15 : B in i b i u t hc s au t hành t ích :
A=(2sina+i)(3cos4a+2sna-4)+4cos2a-3 Gii
Bia i b i u t hc v dng :
A=(2sina+l)(3cos4a+2sina-4)-3+4(l-sin2a)
= (2 s ina + 1 ) (3cos4 a+ 2 s ina -4 ) -4 s in2a+ l
= ( 2 s i n a + l ) ( 3 c o s 4 a + 2 s i n a - 4 - 2 s i n a + l ) = ( 2 s i n a + l ) ( 3 c o s 4 a - 3 ) .
, BÀI TP NGH
à i t p 1 : B in i c ác b i u t hc s au thành t ng :
A = co sa .co s2 a.c o s3 a. . " _ • c. C = 4 c o s(a - — ).s in 2 a .c o s (a + — ).
b. B = 2 s in a .s in 2 a x o s — . 3 3 2
ài tp 2: Bin i các biu thc sau thàrih tích:
a. A =2 co s2 a- - c - c=l-tga. b. B=sin3a-cosa. d. D=]+2sina-cos2a.
e. E = + c o s a + c o s 2 a .
ài tp 3: Bin i các biu thc sau thành tích:
a' A—2sirra-cos2a+cosa.c. C=9sina+6cosa-3sn2a+cos2a-8. b.. B=3(cotga-cosa)-5(tga-sina)-2. d. D=2sin2a-cos2a~7sina+2cosa+4. E= 1 - cosax -cos2 bx+ cos (a+ 2 b)x .
f . F= 8c os (a+ b+ c) .cos (a-b+ c) .co s(a-b -c) .COS (a+ b -c) .
31
B

I
P h n I : H e i h f c l n g g i á c C h n g 1: c n ' ì i i h u t i rt
Bài t p 4: Bin i các biu, thc sau thành tích: a. A=sma+sin2a+sm3a+sin4a+sin5a+sin6a.
h B=cosa.cos —.cos — - sina sin —.sin rr- - 4-. 2 2 2 2 2
Bài tp 5: Bin i biu thc sau thành tích: a. A=cos4a-cos2a+2sìn6a. d. D=sin*a+cos8a-2(sinK,a+c
b. B==cos2a+cos:'a+2sina-2. e. E=cos23a+cos22x-sin2a. c. C=sin22a-12(cos‘ia+tgza)+36. f . ' F=sin23a-cos24a-sin25a+c
Bài tp 6: Bin i biu thc sau thnh tích:
a. A=(sina+3).sin4—-(sina+3).sií2-L--fl. 2 2
b. B=cos5a+sin7a+—(cos’V-sin5a)sin2a-(cosa+siiia). 2
c. C=2(l-4sin2a)sin3a-l, vi a*—+k7t,ceZ.
ILBÀI TOÁN 2
I Bài toán 2: Rút gn dng thc lng giác. ,
1. PHNG PHÁP CHNG
S dng các công thc lng giác cng các phép bin âi ung giác.
2. VÍ D MBSIH HO
Ví d 1: Rú gn biu thc:
A=cos10x+2cos 2 4x+ócos3x.cosx-cosx-8cosx.cos 3 3x. Gii
Bin i biu thc v dng: A=cosl0x+i+cos8x-cosx-2(4cos?3x-3cos3x)cosx
=2cos9x.cosx+l-cosx-2cos9x.cosx=l-cosx.
. sin4 2x + cos4 2x A=— ----- .
7T . JT . ' g(7 -x ) .tg e + x)
4 4
(sin2 2 x + cos2 2 x ) 2 - 2 sin 2 2 x.cos2 2 x _ * 2 sin
t g ( - - x ) . c o t g [ ~ - ( - + x)] t g ( y - x ) .c o r g ( y - x ) 4 2 4 4 4
=1- —sin24x. 2
Ch è 4: Gíc bùi loán sù duriii bin (.loi Imrn” <*iác
A*=4[sin4x+cos4(x+ —)]-3 4
t ó suy ra giá tri ca A vi x=4^. 8
: Gii ' • Bin ôi biu thc v dng:
A=4{ - (1-c o s2x )2+ - [l+cos(2x+ —)]2}-3 4 4 2
=( I -cos2x)2+(l-sin2x)2-3=3-2(cos2x+sin2x)-3=-2 V2 sin(2x+ - ) . 4
Suy ra vi x= —, ta c: 8
A=-2 4 sin( - + - )=-2 V2 . 4 4
Ví d 4: .Rút gn biu thc:
A = { 4+Ã v í ^ W ’ vi ° - X- 7C' n du cn
Gii Ta có:
suy ra:
V 2 2
=2cos JT • nduòìn'
A= — .2cos — = COS — .2 2n 2n
Ví d 5: Rút gn biu thc: . V1+ sin 2x + V--~sin2x .. 71
A= - p : - — r . = , vi - - <x<0. Vl + s in2 x-V l -s in2x 4
Gii Bin di biu rbc v dng:
Ví d 3: Rút gn biu thc:
B

I
Phiin h H thc ln;; aiác ChoTiu 1: Cúni Ihúc lon'^ iac
1+ sin 2x + 2i/l"-"sin 2x + 1- sin 2x 1-r sin 2x - 1+ sin 2x
I ~2 —"<X<1> 2 l--cos~2x + l c o s 2 x l 4 l + c o s 2 x 2 COS" X
= ----- —------=------ — ----- = ---- —— —=----------------------— ------- sín2x sin2x sìn2x 2 sin X. COS X
Ch ý: Ngi a có th s dng kt qu ca ví d trên to ra nhng yêu cu khá thú v, minh ho ta xét òi hòi:
Cho í e - ; \{ và tho mãn:
_ vT+T + VTm: tgx v S ^ v B t '
CMR =sin2x. m ’ Ta thc hin nh sau: Trc ht:
' ( v T + 7 + V ^ õ 2 _ 1+ V l - r
Yr — ----- ---
— ---------- ----
= - = -------I------r * f —— /- - J—— (Vi +t -v i- t) w i+ t +V1-T) 1 Mt khác:
l + y - \~
1+ £E ' )
1+,s ‘ x ( U J I J 2( l W l - r >
Ví d 6: Rút gn biu thc:
A _ 1 1 1A= —— + —-— +...+ — ——. sin a sin2a sin2na
Giâi Tacó:
sin 2 k a sin2'k a sin 2ka sin2ka.
2cos22k la
Suy ra:
A=cotg —-C0tga+C0tga-C0tg2a+.. .+C0tg2n' 1a-cotg2r>a=cotg — 'COtg2na.
\p NGH
— “ + ] •*£*• b. B=cos8x!cotg4x- C- [- — —- Vcos 2x ] * 6 2cot g2x
B

I
Ch 4: Cát: b;Yi máo xduni-’ bicn i luifn -aiác
Bài tp 2: RÚI gn các biu thc:
a. A=sina+sín'2a+...+sìnna.c. C=cos2a+cos22a+...+cos2na. b. B=cosa+cos2a+...+cosna. d. D=sin2a+sín22a+...+sinina.
Bài tp 3: Rút gn biu thc:
A= 2 A " Â ~ 4 f r W • vj 0sxs2,t' nducim
Bài tp 4: Rút gn biu thc:
. 2n __ 4tc 2ni a. A -c os - - -+COS - +COS _ .
2n + 1 2n + l 2n + í
b. B=cos—— -COS- - —-+...+(-l)n+1cos- 2n +1 2n + 1 2n +1
c. C=(l-2cosa)(I-2cos2a)... (l-2cos2n'1a).
d. D=---------- + ------ ------ +...+ 1 4 cos2 —42 cos2 A t 4n cos2
2 2 2n
, ' 1 1 1 b. B :---- ------i—:----------- —+...+ - sina.sin2a sin2a.sin3a 'smna.sín(n +L)a
. l a 1 _ a b. B=tga+2fg2â+.. ,+2ntg2na. a. A = t g a + - t g — íg -— . p ® *
2 &2 2 n 2 n c. 0=tga.tg2a+tg2a.tg3a+...+tg(n-)a.tgna.
Bài 1: Rút gn các biu thc:
" a. A =(l+— -— )(1+— ^ — -— ) cos2a cos4a cos2na
' , _ _ cos2a cos3a COS na b. B=2* Y + —f-
^ cos a cos '1 a cosn a
m . BÀI TOÁN 3
I Bài toán 3; Chng minh rig thc lng giác c lp vi bin s.
l . PHNG PHP CHUNG
§ La chn mt ong hai cáeh sau: Cách : S dng các phép bin i lng giác ’ thc hin phép rút gn
I,;' biu thc ng giác. Cách 2: S ng o ham.
B

I
Philn 1: Hê thc ini: iiiái' Chtitt” 1: Cón» thc lining
2. VÍ D MINH HO
Ví d : Chng minh -biu thc sau khng ph thuc vào x:
A=sin2(x- — )+sin2x+sirr(x+ — ). 3 3
Gii
Ta có th la chn mt trong hai cách sau:Cách : S dng công thc cng: . / . 2t . 2ti 0 2 . 27T 2rc .)
A=(sinx.cos — -sin — .cosx)+sinx+(sinx.cos — -hsin -r1 .co.sx) 3 3 3 3
1 . Vs 1 > \ . J > ~ ( - s i n x - — c o s x )- k $ in x + ( - —.sinx+ — c os x)
2 2 2 2
1 - 2 3 2 '2 _ 3 / 2 2 1 _ 3 = — sin X+ —COS x+ sin x==—(s in x+ co sx) = —
2 2 2 2 Cách 2: S dng cóng hc nhn (h bc):
A= —[ 1-COS (2x- — )]+-(I-cos2x)+ —[l-cos(2x-í-— )]
= —- — [cos(2x- — )+cos(2x+ — )]- —cos2x 2 2 3 3 2
_ 3 - 471 1 3 = -j--cos2x.cos— —cos2x= —.
2 3 2 2 Chú ý: Nh ã t vn ,chúng ta có th thc hin bài toán trên bng hàm, c th:
Xét hàm s . _•_?/ 2tc . . 2 - f \A=sin (x-— )+sin x+sin (x+ -).
Ta có: ' 271 2 t c 2 71 2 t A’x=2sin(x- ).cos(x- — )+2sinx.cosx+2sin(x+ -7— ).cos(x+ — )
=sin(2x- — )+sin2x+sìn(2x+ — )=2sin2x.cos — +sin2x=0
o Hàm s không i.
Ngoài ra ta còn có A=A(0)= —.
3 Vy A=— không ph thuc vào X.
Ch y: Nh ã t vn trong bài toán " Chng minh ng táíc lng giác i vi các em hc sinh ã bit ti khái nim o hàm, chúng ta còn có mt phng.pháp c gi là
" S dng o hàm tìm iu kin cãa tham s' biu thc không p thuc vào X " Khi ó tá thc hin theo các bc sau:
Bc í: Tính A'(x), ri tìm iu kin A'(x)=0, vi Vx. Bc 2: Kt lun.
36
B

I
Chù tie 4: Các b;ìi to;in sduni.' hin <l»j Ìns giác
" minh ho chúng ta xem xét ví d sau: Ví d 2: Tìm a sap cho biu thc:
A=cos2x-a.sin2x+2cos2x không ph thic X. Gii
Ta có: A không ph thuc X<=>A'x=0 Vx <=>-2sin2x-2a.cosx-$inx-4sinx.cosx=0 Vx <=>-(a+4)sin2x=0 Vx <=>a=-4
Vy vi =-4 thì A không ph thuc X.
Ch ý: ng nhiên chúng ta cng có th thc hin bài toán trên bng phng phlp bin i lng giác, c th:
A=(I-2sin2x)-a.sin2x+2(I-sirrx)=(-4-a)sin2x+3 . Vy A không ph thuc.X iu kin là:
-a-4=0 <=>a=-4.
3. BÀI TP NGH
Bài tp 1: Chng minh biu thc sau không ph thuc vào x: À = cos2( x - —)+COS2X+CS2(X+— ).
3 3
Bài tp 2: Xác nh ae(0 , —) biu thc sau không ph thuc vào x:
A=cosx+cos(x+a)+...+cos(x+5a). Bài tp 3: Tim a, b sao cho các biu thc sau khng ph thuc X.
a. A=a.cos4x+4a.cos2x+b-cos'ix. b. B=2a.sinx-a.sin3x+bsin5x-sin5x.
Bài tp 4: Tim a, b sao cho các biu thc sau không ph thuc X.
a. Á=a.cos2x+b[cos2(x+—)+ cos2(x~ —)]-—.
b. B=a(cosx-l)-cos(ax+b2)+b2+l.
IV.BÀI TOÁN 4
Bài toán 4: Tính giá tr cùa biu thc lng giác. ________ ___________ J
1. PHN G PHP CHUN G
Thc hin phép bin i lng giác n gin biu thc cn tính giá tr.
2. v í D MINH HO ’
Ví d I: Tính giá tr ca biu thc:
A=t g 110°.tg340í)+sin 160“xos 1100+sin250(,.cos340a. Gii
Ta có: , A=-cotg20(,.tg(-2’)+sin200.cos 1lO'-sinl 10°.cos20(1=I -sin90° =0.
37
B

I
Phn I: H thc luong-giác Chmiii 1: jjim: mill]" iiim.
Nhn xét: Nh vy trong ví d trên tính giá trcùa biu thc trc ht , chúng ta ã s dng các cõng thc ca các cung liên kt dchuyn biu thc A v dng:
A=cotg20<).tg20íl+sin201,.cosl l -sin l 10°xos20l’ Bc tip theo chúng ta s ng tính cht tgx.cotgx=l và công thc cng,
nhn c:
A=l-sin9-0.Loi ví d kiu này chúng ta ã c làm quen ong ch cóng thc cng , ây nó c minh ho trc ht ' các em hc sinh nh li.
Ví d tip theo s nhc li cho các em v vic s dng phép h bc và công thc nhân' tính giá tr cabiu thc lng' giác. Ví d 2: Tính giá tr ca biu thc:
A=sin6— +cosfi— . (I) 48 48
Gii Ta CÓ:
. , . 2 71 2 ft >1 2 7C _ 2^ / '2 ^ 2 ^ \ A=(sin2— +COS — )-3 sin .COS — r .(sin +COS - J - )48 48 . 48 48 48 48 .
= 1 -— sin — = l - - ( l - c o s — )= T -+ -^ co s — . (1) 4 24 8 12 8 8 12
Mt khác ta có:
ft ft 71 71 . : 71 : TC .V +VCOS — =cos( —- —)=cos —.COS —+sin — .sin —= ----- ----- . (2) 12 3 4 3 4 3 4 4
Thay (2) vào (1), ta c:
. _ 5 3 V+ V ^ 2 0 + 3 ^ 2 + 3 ^ 5 I A = —+ - . ----- ------ = --------- ZT --------- • I
8 8 4 32 * I Nhn xét : Nh vy trong ví d èn tính giátr ca biuthcttc hêi chúng ta thc h in v ic h bc cho biu thc da ên hng ng thc: I
a'Vb’Ca+b -SalXa+b) ^ Bc tip theo s dng công thc nhân sin2x=2sinx.cosx, ri tip tc h[
bc nhn c: . 5 3 n
A =~ +- c os - — . 8 8 12 r
'
n ây tính giá tr ca COS — , ta ã s dng công thc cng.
Ví d tip theo ngoài vic s dng công thc bin i tích thành tnp
chúng ta vn s dng phép h bc, ch có iu nó à h bc n. Ví d 3: Tính giá tr cùa biu thc: A=sm273"+siir47n-sm73{l.sm47a.
Gii Ta có:
=1 - —(cos 146“+cos94°)- —(cos26(l+ —)=—-COS 120°.cos26(- —cos26°=:
38
B

I
Cu í í s? milí h?? vic s d™ mt cách linh hot công'thc £ 1 1 “1 c“a “ & *ã e l i « giác và yêu cu quan triic l i cic
7 a r y “ ««*”* # à i W * S S Ví d 4: Tính giá tr ca biu thc:
A =tg‘ | - 3 3 t g ' f + 2 7 [g= | - 3 . /C/7
Ta có:
tg3a= Y _a~ ^ a =* (ls*a-3tga)2=(3tg2a-1)2.tg23a. l~3tg~a
Vi kt qu ó ta bin i A v n;
A = (t g '| -3tg2| )2-3(3tg2I -0*=(3tg*1 -1 )!.tg23. . -3(313* i -1
= 3 ( V |- l ) 2-3(3lg! |- I)==0. Ví d 5: Tính giá tr ca biu thc:
Chù.dè 4: Các bìii loán si»duni; bin ili ion ..iiÌ-
A = co s-| . c o s ^ . c o 3 .c o s S ,cos i. ,cos 3 ? 5 65 65 65 5 65
Giai
Nhân c hai v ca biu thc vi 64sin — ta c- 65 ’
64Asin i =64si„ i .cos i xos . COS£ .co.s £ .COS i* i xos °5 05 65 5 65 65 65
=32sin^xos^.cos±l.cos-.cosi^cos^5 65 65 65 65 65
=16sin .cos ™ .cos — .COS — .COS — 65 65 65 65 65
— o n ^ 8 71 1 6 t t 3271=sm —f .cos — .cos —— .cos <55 65 65 65
Msin .cos .cós =2sin .COS — 5 65 65 5 5
_ . . . 7T 71 =sin -- =sin (T- — )=sin
65 65 65
« a = - L . 6 4
hn xét : Nh vy trong ví d trên tính giá tr ca biu thc chúng ta ã s no
àn t ph sin— to ra các công thc nhân ôi liên tip cho v phái, ý
ng này chúng ta ã c làm quen trong ch công thc nhân cng nh ng trong bài toán rút gn biu thc.
3 9
Nu bài toán phá biu li di dng:: ” Tính giá tr ca biu thc:
. . 6371 . Itc . 57-rc 49t 33t n „ A—siì —- .sin — .SUI — .cos — .COS—— .COS ——.
130 130 130 130 30 30 Khi ó chúng ta cn hc hin ngay công vic chuyn i bng công
sina=cos( —-a) bin i A v dng:
. 71 2- 4n __ 167 __ 3271A=cos —~ .COS — -COS —- -COS •— .COS ——-COS ——. 65 65 65 65 65 65
2. Chúng ta s minh ho thêm mt ví d na cho vic s dng nhân t ch có iu là nó c áp dng cho biu thc tng. Ví d 6: Tính giá tr ca biu thc:
. rc 3t __ 5rc 17ft A=cs —- + COS — -r cos — 7- +... +COS——.
19 9 19 19 Gii
Nhân hai v vi 2sin — , ta c: ,
19 2Asin — =2sín — .COS — +2sin ™ .COS — +
19 19 19 . 19 19 < 1 - 7t 5 t t : - . 11 1 7 t
+2sin — .COS —- +... +2sin — -COS ——- 19 19 19 19
_ 2 t i 4t . 2t =sin — +sm —- -sin— +
19 19 19
19 19' 19
. 1 Stc . 7t . . n: '=sin-— - =sin(i- r— )=sin — .-19 19 19 ;
<=>A=—. 2
Nhn xét : 1. Nh vy ong ví d trên tính giá tr ca biu thc chúng ta ã s
nhân t ph sin — to ra các tích 9
cosa.sinb=- [sin(a+b)-sin(a-b)]
to thun Ì 1 cho vic rút gn VP. T ó các- em hc hinh d nhn thy rng ý tng này cng s
dng cho biu thc bao gm tng các sin, bi:
sina.sinb=—[cos(a-b)-cos(a+b)].
2. Chúng ta ã tng bit ti vic tính giá tr ca biu ic lng giác vic gii phng trnh,’ví d tip theo s minh ho thêm ý tung nàý, c iu ây chúng ta s s dng tính cht nghiêm ca các phng trình
B

I
Chú dè 4; Các bài oán s dung bin.i-lmittg giác
(nh l Viét cho các nghim ca phng trình bc 2, 3, 4 ...) xác nh gi tr, trong nhng trng hp nh vy chúng ta thng thc hin theo các bc:
Bc : Chn mi phng trình nhn các giá tr trong biu thc làm nghim.
Thí d vi —, — , 7 là nghim ca phng trình:
5x=7t+2kx, keZ.
. Bc 2: Xây dng phng trình i s nhn các hàm s lng giác chacác cung làm nghim, t ó thit lp h thc Viét cho chúng. Bc 3: Tính giá tr ca biu thc.
; minh ho chúng ta xem xét các ví d sau: Ví d 7: . Tính giá tr ca biu thc:
~ 1 1 A=—-— + — ^ “1.
I 1 A=— +
5x.=n+2ki, keZ.
Ta s i xây dng phng trình i s nhn COS —, COS — , COS7 làm
hghim bng cách:
(1) <=>3x=7t-2x+2k7t <=>cos3x=cos(7-2x+2k7E) <=>4c o s; x -3cosx =-c os2x=-(2c os2x- 1) <=> 4cos’x+2cos2x-3cosx-1=0
T ó ta c: n 3n _ 1
cos — + cos — + cos n = ---- 5 5 2 Tí 371 3 n ____ 7
<cos —. COS ——+ COS — . COS 714- COSTí. COS — = • 1 5 5 5 5
3 71ft COS — . COS ------. COS X = T
5 5 4
Vy:
A=
71 3n 3t _ ___ TI cos —. cos ——+ cos — . cos 7T+ cos 71. cos —
5 5 5 5 -_3 IT 3Tt
COS — . COS---- . COS 7t 5 5
Ch ý: Nh vy thông qua ví d trên các em hc sinh ã bt u làm quen c vi phng pháp, xong iu áng bàn thêm ây là vic la chn
phng trình ban Us bi ây l công vic quyt s thành công dó ó cn phi rtrt linh hot.
41
B

I
.minh ho thêm chúng ta xét. tip ví d sau:
Phn 1: Chng I: Córi'j thc itf<Wìi aiúc
Ví 8: Tính giá tr ca các biu íhc: . 5 2 .. _2 /7Í a. A=t<f — + tg2— +tgz — .
5 J8 18 - 1 8 “ Gii
Nhn xét rng — , — , — là nghiêm ca phng uinh:
5 18 18 18 5 p è tg>3x=i ( 1)
Ta s i xây ng phng trình i s nhn tg2— Ig2— , tg2— làm 18 18 18
nghim bng cách:
T ó ta c:
= - <=>3tg6x.-27tg4x+33tg2x-l=0
2 7 2 2tg- _ + tg - _ +. tg - — = 9 18 18 5 18
_2 71 2 571 2 5t 2 7t 2 7t 2
,g ? - ,g f + t f Jg 18+ 's 18'tg
_> D7T 2 /7r tg“— .tg-T .tg - 7- =
•> 7 2 5tt - -tg — -
- B^Ctg2 — + .tg2— +tg2 )2- 18 5 18 5 18
=92-2.1=59.
Bài tp 1: Tính giá tr ca biu thc:
A=sin6a+cos6ct bit:
24Bài tp 2: Tính giá tr ca các biu thc:
*w_ ? _>5II , 2 5tt 2 7i ->7t 1 7 , ^ 18 g 18 ^ 1^ 'tg 18 ^ 1 8 ' "il
b. a= 5tt
12
A _ rc _ _ 7 ________ 71 _ JT 71 a. A=sin — .cos — . COS . COS — . COS — .
48 48 24 12
u n>_ 71 : 5 t : . 771 . l i f t b. B=sin— .sin T -.sin — .sin—
24 24 24 24
- 71 . 7t . 13-n: 197 . 2571 c. c=sin — -Sin — .sin--r- .s i n - - .sin— -,
30 30 30 30 30
42
B

I
Ch tic 4: Cúc bu U)án s dun« bián (.U'Hturiiig giác
Bài tp 3: Tính giá ca các biu thc: . 2 n 4tt 7T ___ 8
á. A-COS ——+COS +COS — +COS —- 9 9 9 9
b. B=siniO(1. sin30". sin50°. sin70°. Bài tp 4: Tính giá tr ca các biu thc:
a. A=tg2— +cotg2— . b. B=tg2— +cotg2— . j 2 12 24 * 24Bi tp 5: Tính giá tr ca các biu thc:
2 7T _ _ 2 37C . 2 Õ7C 11ì a. A=cos — +COS — +COS — c. c = — -— J----- — -1-----
7 7 7 Tt _ 5n COS “ COS— COS--—
71 4 3ti 4 571 7 7 , 7 b. B=cos -- +COS -z- +COS ~zr -
z . 1 , I ... ...Bài tp 6 : Tính giá tr ca các biu thc: A _ 4 71 ___ 4 3t ___ 4 5Z t YN! (í TI ft 3t 6 5t
a. A=cos — +COS — 1 +COS — . b. B=cos — +COS — +COS — . 14 4 4 14 14 14
Bài tp 7: Tính giá tr ca biu thc: I
A_ i í ,471 J _ 4 n A=3fcos——+3/COS—- + ijc os—— .
Bài tp 8: Bit: 1 1 1
-------------H-----------------------------------1"------------------- 6 .
Tính giá tr ca cos2x. Bài tp 9: Bit:
cosa + cosb = m , m,n;0 .
V.BÀI TOÁN 5
PHN G PHÁP CHUNG
Ta la chn mt trong các hng bin i sau: Hng 1: Dùng công thc lng giác bin i mt vthành v còn li
(VT => VPhoc VP => VT). Khi ó: Nu xut phát t v phc tp ta cn thc hinvic n gin biu thc.
Nu xut phát t v n gin ta cn 'thc hin vic phân tích.
Hng 2: Bin i ng thc cn chng minh v mt ng thc ã bi là luôn úng.
Hng 3: Bin i mt ng thc ã bit là lôn úng thành ng thc ' cn chng minh.
43
B

I
Phiin I: H ic lucmã giát: Chifitn*? I: Cflns: Ihc Im
ý rng mt biu thc lng giác có th c bin i thành nhiu khác nhau. Chng hn la có:
sin'2x= 1 - c o s 22 x = ( - c o s 2 x ) ( 1 + c o s 2x ) .
sin22x= —(i-cos4x).
sin22x=4sin2x.cos2x. Tuv theo mi bài toán, ta la chn công thc thích hp bin i.
2 . V Í D M N H H O
Ví du ...Chng minh cc ng thc sau: f~ ___ 2 '
a. cotgx+tgx= - .. b. cotsx-cot«2x="
Gii ‘ .....
a. Ta la chn mt trong hai cách Cách : Thc hin phép bin i cho VT
, _ cos X sin X cos X+ sin X ì
VT=cotgx+tgx= —— + sinx cosx sinx.cosx 1 , „ sin2xf-sinzx 2 .
Cách 2: Thc hin phép bin i cho vp
2 _ 2(cos2 X-i-sin2 X.) cosx sinx __ , = V : ---- + x+tgx.
sin 2x 2 sin X. COS X sin X COS X
b. Ta la chn mt trong hai cách Cách J: Thc hin phép bin i cho VT
,> cosx cos2x cosx cos2x cotgx-cotgzx- ——- - ——I—= — ---------- — —
si n x sin 2 x si n x 2 sin X. COS X
_ 2 cos2 X -( 2 cos2 x -1 ) _ 1
2 sin X. cos X sin2x
Cách 2: S dng công thc bin i tng thành tích
„ ~ sin(2x-x) 1 cotgx-cotg2x= — — - —-— .
sin x.sin 2x sin 2x
Nhn xét'. Nh vy ong ví d trn chng minh mt ng hc lng g • Vi câu a) khi thc hin bin.i VT, chúng ta da trên nh giá
ch cha hàm sin do ó cn bin i VT theo các hàm sin và COS. Vói câu b) ngoài cách s dng ánh giá nh trên, trong cách hai ch
ta ã s ng công thc lng giác có sn. Ví d tip theo chúng ta s s dng phép bin i h bc, theo hai hn
Hng : H bc n , tc là h bc tng nhân t trong biu thc. Hng 2: H bc toàn cc, tc là da trên hng ng thc i s:
a4+b4=(a2+b2)2-2a2.b2.
44
B

I
Gii Ta có:
VP=2( 1-c o s2x ):=2-4c o s2x +2c o s22x =2-4c o s2x + 1-t-cos4x =3-4eos2x+cos4x.'
Ví d 3: Chng minh các ng thc sau:
f 1 3 3a. sin4x+cos4x= —cos4x+—. b. sin6x+cosftx= 4 cos4x+ - . ’ 4 4 8 8
7 35 c. ;sin x+cos x= — COSX+ — c os 4x t — _i
6 4 16 6 4 ;
.• Gii a. • Ta a chn mt trong hai cách: Cách : Thc hin phép h bc n
VT=sindx+cosx=(sin2x)2+(cos2x)2
i 'i -c o s2x'y2 n + cos2x x|2 1 1 2* 1 . 1 i+cos4x = — — — + — — = - + - COS'2x= - + ------
V 2 ) { 2 ) 2 2 2 2 2
_ 3 1 .= —+ —cos4x. 4 4
Cách 2: Thc hin phép h bc toàn cc VT=sin4x+cos4x=(sirrx+cos2x)2-2sifi2x.cos2x
1 . 1 1- COS4x _ 3 . = l --7 . siir2x = i - - .— —— = —+—cos4x.
2 2 2 4 4 b. Ta có:
VT=sinfix+cos6x=(sin2x+cos2x)-,-3sin2x.cos2x(sin2x+cos2x) 3 . _ 2~ 3l - c o s 4 x _ 3 . 5=1-—sin 2x=l- —.— — — = -co s4x + ~. 4 4 2 8 8
c. Ta có: VT=sintlx+costíx-(s in4x+cos4x)2-2sin4x.cos4x
, n2
i _4~, _ ! / \2 __ 1 1 : 1-COS4X 1=1- —sirr2x = l--( s in 2x) = 1- - — ——— 8 8 8 V 2 )
=1 - — (1 -2cos4x+cos 2 4x)= 1 - — + — cos4x+ — . - QS 32 32 l 32 2
= — + — cos4x+ T - cos8x. 64 16 64
Ch : Cng có th sdng phép bin i sau tn dng kt qu ca câu a) và b):
VT=sinsx+cossx=sin2x.sin6x+ cos2x.cos6x ' =U-cos2x)sin6x+(l-sin2x)cosfix=smfix+cpsfix-(sin4x+cos4x)sin2x.cos?x
Vicáp dng phép bin i kiu này vào câu c) t ra không hiu qu, tuy nhiêu trong nhng trng hp riêng li t ra khá hiu qu và phép bin i nh vy c gi là phép h bc i xng, minh ho thêm chúng ta xét ví
B

I
Phn : Hs hc ln'.; "ic Onron'j 1: cnVI thc i!Ìáo
Ví d 4: Chng minh các ng thc sau: 3
a. cos3x.sin?x+sin3x.cos:,x=—sin4x. 4
Áp dng tính giá tr ca biu thc: =cos 172n30’.sin -^ SO ’+sin 172°30 ’ .c os-^ Ô ’.
b. cos3x.cos3x+ sin3x.si

Documents

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC - LÊ HỒNG ĐỨC