phương pháp tính - lebaohoang05dhth3.files.wordpress.com · xxxxxn q-a£---=-=-Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( ) xxnn=j-1

[Phương pháp tính-ĐH công nghiệp Thực phẩm TP.HCM]

[Trần Đình Trọng] Page 1

GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TÍNH

***Giải bài tập dựa trên:

Sách Phương pháp tính

Nguyễn Thành Long- Nguyễn Công Tâm- Lê Thị Phương Ngọc- Nguyễn Văn Ý

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM -2013***

Chương 1: SAI SỐ

Câu 9: (Trần Đình Trọng)

Ta có: a = 12,3075 là số gần đúng có 2 chữ số đáng nghi:

=> 20,5.10a -D £ ;2

40,5.10 4,0626.1012,3075

aaa

d-

-D= = =

Chương 2: GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1:

a/ x3+3x2-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2).

Giải:

Ta có: 2 2 3

2 3log 1 log 10,9710

b ane -

- - +é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û



( ) ( )3 3 0 , 2 1 0f f- = - < - = >

3 2 2,52

c - -= =

( ) ( )2,5 0f c f b c= - > Þ =

Ta có bảng:

n an bn 2

n nn

a bc += ( )nf c bn - an

0 -3 -2 -2,5 0,125 1 1 -3 -2,5 -2,75 -1,109375 0,5 2 -2,75 -2,5 -2,625 -0,416015625 0,25 3 -2,625 -2,5 -2,5625 -0,127197266 0,125 4 -2,5625 -2,5 -2,53125 0,003387451 0,0625 5 -2,5625 -2,53125 -2,546875 -0,060771942 0,03125 6 -2,546875 -2,53125 -2,5390625 -0,028410435 0,015625 7 -2,5390625 -2,53125 -2,53515625 -0,012441218 0,0078125 8 -2,53515625 -2,53125 -2,533203125 -0,004509337 0,00390625 9 -2,533203125 -2,53125 -2,532226563 -0,000556559 0,001953125 10 -2,532226563 -2,53125 -2,531738281 0,001416542 0,000976563 11 -2,532226563 -2,531738281 -2,531982422 0,000430265 0,000488281 Vậy: c =-2,531982422 là nghiệm của phương trình.

b/ x3-6x+2=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3).

Giải:

Ta có: 2 2 3

1log 1 log 1110

b ane -

-é ù é ù= + = »ê ú ê úë û ë û

( ) ( ) -2 0 , 11 0a bf f= < = >



Ta có bảng:

n an bn 2

n nn


0 2 3 2,5 2,625 1 1 2 2,5 2,25 -0,109375 0,5 2 2,25 2,5 2,375 1,146484375 0,25 3 2,25 2,375 2,3125 0,491455078 0,125 4 2,25 2,3125 2,28125 0,184356689 0,0625 5 2,25 2,28125 2,265625 0,035831451 0,03125 6 2,25 2,265625 2,2578125 -0,037185192 0,015625 7 2,2578125 2,265625 2,26171875 -0,000780404 0,0078125 8 2,26171875 2,265625 2,263671875 0,017499618 0,00390625 9 2,26171875 2,263671875 2,262695313 0,008353134 0,001953125 10 2,26171875 2,262695313 2,262207031 0,003784747 0,000976563 11 2,26171875 2,262207031 2,261962891 0,001501767 0,000488281 Vậy: c = 2,261962891 là nghiệm của phương trình.

c/ 2x-5x-3=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5).

Giải:

Ta có: 2 2 3

1log 1 log 1110

b ane -


( ) ( ) -7 0 , 4 0f fa b= < = >

Ta có bảng:

n an bn 2

n nn


0 4 5 4,5 -2,872583002 1 1 4,5 5 4,75 0,158685288 0,5



2 4,5 4,75 4,625 -1,449626793 0,25 3 4,625 4,75 4,6875 -0,669654689 0,125 4 4,6875 4,75 4,71875 -0,26166235 0,0625 5 4,71875 4,75 4,734375 -0,053049715 0,03125 6 4,734375 4,75 4,7421875 0,052425374 0,015625 7 4,734375 4,7421875 4,73828125 -0,000410008 0,0078125 8 4,73828125 4,7421875 4,740234375 0,025983191 0,00390625 9 4,73828125 4,740234375 4,739257813 0,012780472 0,001953125 10 4,73828125 4,739257813 4,738769531 0,006183703 0,000976563 11 4,73828125 4,738769531 4,738525391 0,002886465 0,000488281 Vậy: c =4,738525391 là nghiệm của phương trình.

d/ x3-x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2).

Giải:

Ta có: 2 2 3

1log 1 log 1110

b ane -


( ) ( ) -1 0 , 5 0f fa b= < = >

Ta có bảng:

n an bn 2

n nn


0 1 2 1,5 0,875 1 1 1 1,5 1,25 -0,296875 0,5 2 1,25 1,5 1,375 0,224609375 0,25 3 1,25 1,375 1,3125 -0,051513672 0,125 4 1,3125 1,375 1,34375 0,082611084 0,0625 5 1,3125 1,34375 1,328125 0,014575958 0,03125 6 1,3125 1,328125 1,3203125 -0,018710613 0,015625



7 1,3203125 1,328125 1,32421875 -0,002127945 0,0078125 8 1,32421875 1,328125 1,326171875 0,00620883 0,00390625 9 1,32421875 1,326171875 1,325195313 0,002036651 0,001953125 10 1,32421875 1,325195313 1,324707031 -4,65949.10-3 0,000976563 11 1,324707031 1,325195313 1,324951172 0,000994791 0,000488281 Vậy: c =1,324951172 là nghiệm của phương trình.

e/ x3-x-1=0 , sai số 10-3 trong khoảng phân ly nghiệm (-0,8;-0,5).

Giải:

Ta có: 2 2 3

0,3log 1 log 610

b ane -


( ) ( ) 0,486 >0 , -0,75<0af f b= =

Ta có bảng:

n an bn 2

n nn


0 -0,8 -0,5 -0,65 -0,36 0,3 1 -0,8 -0,65 -0,725 -0,021 0,15 2 -0,8 -0,725 -0,7625 -0,2058 0,075 3 -0,7625 -0,725 -0,74375 -0,0866 0,02125 4 -0,74375 -0,725 -0,734375 0,0314 0,01875 5 -0,734375 -0,725 -0,7296875 4,88.10-3 9,375. 10-3 6 -0,7296875 -0,725 -0,7273375 8,18. 10-3 4,469. 10-3 Vậy: c =-0,7273375 là nghiệm của phương trình.

Bài 2:

a/ (Trần Đình Trọng)



3 23 3 0x x+ - = với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (-3,-2)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

( )

3 22

2

33 3 3

3 3

x x xx

xx

j

= - Û = -

Þ = -

( ) ( )3

2' 0, 3; 2 .x xx

j-

= ³ " Î - - Do đó là hàm tăng trên[-3,-2]

Vậy:

[ ]8 93 ( 3) ( ) ( 2) 2, 3; 23 4

x xj j j- -

- < = - £ £ - = < - " Î - -

Mặt khác, ta có [ ]

( )3; 2

1max ' 14x

q xjÎ - -

= = < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn yêu cầu của

phương pháp lặp.

Chọn x0= 2 3 2,52

- + -= - . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp

( )1

1 2

3 3, 1, 2,...n

n nx x nx

j-

-= = - =

Ta nhận được dãy lặp này hội tụ và có đánh giá sai số

1 11 , 1,2,...

1 3n n n n nqx x x x x n

qa - -- £ - = - =

-

Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây:

n ( )1n nx xj -= 1

13 n nx x --

1 -2,52 6,666.10-3

2 -2,52759 2,53. 10-3

3 -2,53042 9,433.10-3

4 -2,53147 3,5.10-4

5 -2,53186 1,3. 10-4

6 -2,53200 4,66667. 10-5



Vậy x6=2,53200 54,66667.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.

b/ (Trần Đình Trọng)

3 6 2 0x x- + = với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (2,3)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số:

Chọn [2,3]

max '( ) 21x

M f xÎ

= = . Đặt:

( ) ( ) 3 36 2 27 221 21

f x x x x xx x xM

j- + - + -

= - = - =

( ) ( )23 27' 0, 2;3 .21

xx xj- +

= ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3]

Vậy:

[ ]41 522 (2) ( ) (3) 3, 2;321 21

x xj j j< = £ £ = < " Î


( )2;3

5max ' 17x

q xjÎ



Chọn x0= 2 3 2,52+

= . Tính các giá trị x1,x2,… theo công thức lặp

( )3

1 11

27 1, 1, 2,...21

n nn n

x xx x nj - --

- + += = =


1 12,5 , 1, 2,...1n n n n n

qx x x x x nq

a - -- £ - = - =-


n ( )1n nx xj -= 12,5 n nx x --

1 2,517857 0,0446425

2 2,524758 0,0172525



3 2,527364 6,515. 10-3

4 2,528339 2,4375. 10-3

5 2,528702 9,075.10-4

6 2,528838 3,4.10-4

7 2,528888 1,25.10-4

8 2,528906 4,5.10-5

9 2,528914 2.10-5

10 2,528916 5.10-6

Vậy x10=2,528916 65.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.

c/(Trần Đình Trọng)

2 5 3 0x x- - = với sai số 10-4 trong khoảng phân ly nghiệm (4,5)

· Tính giá trị nghiệm và đánh giá sai số

( )( ) ( )

2

2

2 5 3 log 5 3

log 5 3

x x x x

x xj

= + Û = +

Þ = +

( ) ( ) ( )5' 0, 4;5 .5 3 ln 2

x xx

j = ³ " Î+

Do đó là hàm tăng trên[4,5]

Vậy:

( ) ( ) [ ]2 24 log 23 (4) ( ) (5) log 28 5, 4;5x xj j j< = £ £ = < " Î


( ) ( )4;5

5max ' 0,3136 123ln 2x

q xjÎ

= = » < . Vậy hàm ( )xj thỏa mãn

yêu cầu của phương pháp lặp.

Chọn x0= 4 5 4,52+


( ) ( )1 2log 5 3 , 1,2,...n nx x x nj -= = + =




1 10, 4569 , 1,2,...1n n n n n

qx x x x x nq

a - -- £ - = - =-


n ( )1n nx xj -= 10,4569 n nx x --

1 4,67243 0,07878

2 4,72039 0,02191

3 4,73346 5,9397.10-3

4 4,73700 1,617426.10-3

5 4,73796 4,38624.10-4

6 4,73822 1,18794.10-4

7 4,73829 3,1983.10-5

Vậy x7= 54,73829 3,1983.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.

d/ (Trần Đình Trọng)

3 1 0x x- - = với sai số 10-5 trong khoảng phân ly nghiệm (1,2)


Chọn [1,2]

max '( ) 11x

M f xÎ

= = . Đặt:

( ) ( ) 3 31 12 111 11

f x x x x xx x xM

j- + - + +

= - = - =

( ) ( )23 12' 0, 1;2 .11

xx xj- +

= ³ " Î Do đó là hàm tăng trên[2,3]

Vậy:

[ ]12 171 (1) ( ) (2) 2, 1;211 11

x xj j j< = £ £ = < " Î




( )2;3

9max ' 111x

q xjÎ



Chọn x0= 2 1 1,52+


( )3

1 11

12 1, 1,2,...11

n nn n

x xx x nj - --

- + += = =


1 11,5 , 1, 2,...1n n n n n

qx x x x x nq

a - -- £ - = - =-


n ( )1n nx xj -= 11,5 n nx x --

1 1,420455 0,119318 2 1,379947 0,060762 3 1,357418 0,0337935 4 1,344351 0,0196005 5 1,336599 0,011628 6 1,331942 0,0069855 7 1,329122 0,00423 8 1,327408 0,002571 9 1,326362 0,001569 10 1,325724 0,000957 11 1,325334 0,000585 12 1,325095 0,0003585 13 1,324949 0,000219 14 1,324859 0,000135 15 1,324804 8,25.10-5 16 1,324771 4,95.10-5 17 1,32475 3,15.10-5



18 1,324738 1,8.10-5 19 1,32473 1,2.10-5 20 1,324725 7,5.10-6

Vậy x20=1,324725 67, 5.10-± là nghiệm gần đúng thỏa mãn yêu cầu về sai số.

Bài 3:

b/ (Trần Đình Trọng)

3 20,2 0,2 1, 2 0x x x- - - = trên (1; 1,5) với sai số ε = 0,003

Ta có:

( ) ( ) ( )2' 3 0,4 0,2; '' 6 0,4; ''' 6f x x x f x x f x= - - = - =

( )( ) ( )'' 0 0,4 [1;1,5],

' 1,5 5,95; ' 1 2,4

f x x

f f

= Û = Ïìïí

= =ïî

Suy ra:

( )

( )1 1,5

1 1,5

'( ) 0, [1;1,5]

min ' 2, 4

max '' 8,6x

x

f x xm f x

M f x£ £

£ £

ì> " Îï

ï = =íïï = =î


Chọn x0=1,5(vì ( )(1,5) '' 0, [1;1,5]f f x x> " Î

· Đánh giá sai số

1 143 , 1,2,...

2 24n n n n nMx x x x x nm

a - -- £ - = - =




n ( )( )

11

1'n

n nn

f xx x

f x-

--

= - 2

14324n n nx x -D = -

0 1,5

1 1,260504 43/24(0,239496)2=0,429097

2 1,203173 5,234.10-3

3 1,200010 1,79249.10-5

· Đến bước k =3 thì 2

14324n n nx x -D = - =1,79249.10-5<0,003 thoả mãn yêu cầu bài

toán. Vậy nghiệm của phương trình là:

51,791, 2 249000 01 .1a -= ±


3 3 5 0x x+ + = với độ chính xác 10-2

Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-1,5;-1]

Ta có:

( ) ( ) ( )2' 3 3; '' 6 ; ''' 6f x x f x x f x= + = =

( )( ) ( )'' 0 0 [-1,5;-1],

' 1,5 9, 45; ' 1 6

f x x

f f

= Û = Ïìïí

- = - =ïî

Suy ra:

( )

( )1,5 1

1,5 1

'( ) 0, [-1,5;-1]

min ' 6

max '' 9x

x

f x xm f x

M f x- £ £-

- £ £-

ì> " Îï

ï = =íïï = =î

· Kiểm tra (-1,5;-1) là khoảng ly nghiệm.



Ta có:

( ) ( )( )

( ) lien tuc tren [-1,5;-1]1,5 1 2,875 0

' 0, [-1,5;-1]

f xf f

f x x

ìï

- - = - <íï > " Îî


Chọn x0=-1,5(vì ( )( 1,5) '' 0, [-1,5;-1]f f x x- > " Î


1 13 , 1,2,...


a - -- £ - = - =


n ( )( )

11

1'n

n nn

f xx x

f x-

--

= - 2

134n n nx x -D = -

0 -1,5

1 -1,205128 0,065212

2 -1,155430 1,852.10-3


134n n nx x -D = - =1,852.10-3<10-2 thoả mãn yêu cầu bài toán.

Làm tròn số: x=-1,154172≈-1,154 Sai số làm tròn

24

2 1,72.10' x x -- = -

Sai số cuối cùng: 3

2 24 3

2 1,72.10 2,024' ' 1,85 . .102 10nx x xa - --- £ - + D £ + »

Vậy nghiệm của phương trình là: 32,01 2,1 4.154 0a -- ±=

d/(Trần Đình Trọng)

4 3 1 0x x+ + = với độ chính xác 10-2



Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [-0,5;-0,25]

Ta có:

( ) ( ) ( )3 2' 4 3; '' 12 ; ''' 24f x x f x x f x x= + = =

( )( ) ( )'' 0 0 [-0,5;-0,25],

' 0,5 2,5; ' 0, 25 2,9375

f x x

f f

= Û = Ïìïí

- = - =ïî

Suy ra:

( )

( )0,5 0,25

0,5 0,25

'( ) 0, [-0,5;-0,25]

min ' 2,5

max '' 0,75x

x

f x xm f x

M f x- £ £-

- £ £-

ì> " Îï

ï = =íïï = =î

· Kiểm tra (-0,5;-0,25) là khoảng ly nghiệm.

Ta có:

( ) ( )

( )

( ) lien tuc tren [-0,5;-0,25]4550,5 0, 25 0

4096' 0, [-0,5;-0,2]

f x

f f

f x x

ìïï - - = - <íïï > " Îî


Chọn x0=-0,25(vì ( )( 0,25) '' 0, [-0,5;-0,25]f f x x- > " Î


1 13 , 1,2,...


a - -- £ - = - =


n ( )( )

11

1'n

n nn

f xx x

f x-

--

= - 2

132n n nx x -D = -

0 -0,25

1 -0,336436 0,011206



2 -0,337666 2,26935. 10-6


132n n nx x -D = - =2,26935. 10-6<10-2 thoả mãn yêu cầu bài

toán. Vậy nghiệm của phương trình là:

60,337666 2, 26935.10a -- ±=

e/(Trần Đình Trọng)

4 23 75 10000 0x x x- + - = với 5 chữ số chắc ( đáng tin)=> nD <0,5.10-4

· Ta tìm được khoảng ly nghiệm: [5;5,5]

Ta có:

( ) ( ) ( )3 2' 4 6 75; '' 12 6 ; ''' 24f x x x f x x x f x x= - + = - =

Suy ra:

( )

( )5 5,5

5 5,5

'( ) 0, [5;5,5]

min ' 545

max '' 357x

x

f x xm f x

M f x£ £

£ £

ì> " Îï

ï = =íïï = =î

· Kiểm tra (5;5,5) là khoảng ly nghiệm.

Ta có:

( ) ( )( )

( ) lien tuc tren [ ]5,5 5 0

' 0

5;5,5

5;5,[ 5, ]

f xf f

f x x

ìï

<íï > " Îî


Chọn x0=5(vì ( )(5) '' 0, [5;5 ],5f f x x> " Î




1 1357 , 1, 2,...


a - -- £ - = - =


n ( )( )

11

1'n

n nn

f xx x

f x-

--

= - 2

1357

1090n n nx x -D = -

0 5

1 5,137615 7,875238.10-3

2 5,132780 3,605475. 10-8


1357

1090n n nx x -D = - =3,605475. 10-8<0,5.10-4 thoả mãn yêu cầu

bài toán.

Vậy nghiệm của phương trình là: 85,132780 3,605475.10a -±=



Chương 3: GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN

TÍNH

Bài 1:

e/(Trần Đình Trọng)

A =

2 10 6 4 83 12 9 6 31 1 34 15 18

4 18 0 4 145 26 19 25 36

-é ùê ú- - -ê úê ú- -ê úê úê ú-ë û

; b =

8329

223

é ùê úê úê úê ú-ê úê úë û

Ax = b ta có hệ phương trình:

Lập bảng tính:

HS

của x1

HS

của

x2

HS

của

x3

HS

của x4

HS của

x5

Vế phải Phương trình

2

-3

-1

4

5

10

-12

1

18

26

-6

-9

-34

0

-19

4

6

15

4

25

8

3

18

14

36

8

3

29

-2

23

E1

E2

E3

E4

E5

1

0

0

0

5

3

16

-2

-3

-18

-43

12

2

12

21

-4

4

15

30

2

4

15

41

-18

E1(2)=1/2 E1

E2(2)= E2+3E1

(2)

E3(2)= E3+ E1

(2)

E4(2) = E4- 4E1

(2)



0

1 -4 15 16 3 E5(2)= E5- 5E1

(2)

1

0

0

0

0

5

3

0

0

0

-3

-18

53

0

2

2

12

-43

4

11

4

15

-50

12

11

4

15

-39

-8

-2

E1(2)

E2(2)

E3(3)= E3

(2)-16/3 E2(2)

E4(3)= E4

(2) +2/3 E2(2)

E5(3)= E5

(2)-1/3 E2(2)

0

0 0 669/53 683/53 -50 E5(4)= E5

(3)-2/53E3(3)

0 0 0 0 5296/669 9262/669 E5(5)= E5

(4)-212/669 E4(3)

0 0 0 0 1 1,7488867 E5(6)= 669/9262E5

(5)

Từ bảng suy ra:

1 2 3 4 1

2 3 4 2

3 4 3

4 4

5 5

5 3 2 2,995468 298,1651713 18 12 11,233006 66,00930453 43 48,443353 6,7940004 28,989641 7,247410

1,748867 1,748867

x x x x xx x x x

x x xx x

x x

+ - + = - = -ì ìï ï- + = - =ï ïï ï- = Û =í íï ï= - = -ï ïï ï= =îî

Bài 2:


1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

10 2 3 010 2 5

2 3 20 103 2 20 15

x x x xx x x x

x x x xx x x x

- - + =ìï - - + =ïí + + - = -ïï + + + =î

với sai số ε=10-3 (C)



· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:

Ta có det

10 1 2 31 10 1 2

39012 02 3 20 13 2 1 20

- -é ùê ú- -ê ú = - ¹ê ú-ê úë û

Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.

· Biến đổi hệ (C) ta được:

1 1 2 3 4

2 1 2 3 4

3 1 2 3 4

4 1 2 3 4

0 0,1 0,2 0,30,1 0 0,1 0,20,1 0,15 0 0,050,15 0,1 0,05 0

x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x

= + - +ìï = - + - -ïí = - - + +ïï = - - - -î

Đặt B=

0 0,1 0,2 0,30,1 0 0,1 0,20,2 0,3 0 0,10,3 0,2 0,1 0

-é ùê ú- - -ê úê ú- -ê ú- - -ë û

c=(0;5;-10;15)T, X=(x1,x2,x3).

Khi đó ta có hệ (C) được viết dưới dạng: X=BX+c

Ta có { }max 0, 4;0,6;0,6 0,6 1B¥

= = < vậy ma trận B thỏa điêu kiện hội

tụ.

· Chọn X(0)=c=(0;5;-10;15)T

Tính X(1), X(2),… theo công thức

X(k+1)=B X(k)+c, k=0,1,2,3…


( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)3 , 1, 2,...1 2

k k k k kBX X X X X k

Ba - -¥

¥ ¥ ¥¥

- £ - = - =-

Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết

quả:



k x1(k) x2

(k) x3(k) x4

(k) ( ) ( 1)32

k kX X -

¥-

0 0 5 -10 15

1 3 3 -10 15 4,5

2 2,8 3,3 -10 14,5 0,75

3 2,68 3,38 -10,1 14,5 0,18

4 2,668 3,378 -10,1 14,53 0,018

5 2,6768 3,3708 -10,094 14,534 0,0132

6 2,67848 3,37028 -10,0932 14,5322 2,7.10-3

7 2,678048 3,370728 -10,0936 14,53172 7,2.10-4

Giải thích cột sai số(cột cuối):

{ }(1) (1) (0) (1) (0)

1 4

3 3 3max max 3; 2;0;02 2 2

4,5i iiX X X X Xa

¥ ¥ £ £- £ - = - = - =

{ }(2) (2) (1) (2) (1)

1 4

3 3 3max max 0,2;0,3;0;0,52 2

0,72

5

i iiX X X X Xa

¥ ¥ £ £- £ - = - =

=

{ }(3) (3) (2) (3) (2)

1 4

3 3 3max max 0,12;0,0

0,

8;0,1;0

12 2 2

8

i iiX X X X Xa

¥ ¥ £ £- £ - = - =

=



{ }

(4) (4) (3) (4) (3)

1 4

0,018

3 3 max2 2

3 max 0,012;0,002;0;0,032

i iiX X X X Xa

¥ ¥ £ £- £ - = -

= =

{ }

(5) (5) (4) (5) (4)

1 4

3 3 max2 2

3 max 0,0088;0,0072;0,006;0,004 0,01322

i iiX X X X Xa

¥ ¥ £ £- £ - = -

= =

{ }

(6) (6) (5) (6) (5)

1 4

3

3 3 max2 2

3 max 0,00168;0,00052;0,0008;0,0018 2,7.102

i iiX X X X Xa

¥ ¥ £ £

-

- £ - = -

= =

{ }

(7) (7) (6) (7) (6)

1 4

4

3 3 max2 2

3 max 0,00043;0,00048;0,00036;0,000482

7, 2.10

i iiX X X X Xa

¥ ¥

-

£ £- £ - = -

= =

· k=7 thì ε= 7,2.10-4<10-3

Làm tròn số:

(7) (7)

(7) (7)2 2

(

1 1

37) (7)

(7) (7)4

3

4

2,678048 2,678 '3,370728 3,371 '

10,0936 10,094 '14,53172 14,532 '

x xx x

x xx x

= » == » =

=

ì

- » - == » =

ïïíïïî

Sai số làm tròn

( )(7) (7 5)' 4,8.10 ;0,00027;0,00044;0,00028XX -- = (7) (7)' XX

¥- =4,4.10-4

Từ cột cuối và dòng cuối của bảng, ta có:

(7) (7) (6) 432

7,2.10X X Xa¥ ¥

-- £ - =

Sai số cuối cùng:



(7) (7) (6) (

34 4

7)

34,4.10 7,2.1

' '

1,16.10 1,0 2.10

X X X Xa a¥

--

¥

-

¥

-

- £ - + -

£ + = »

Vậy nghiệm của hệ: 3

32

3

1

33

4

2,678 1,3,371 1,

10,094

2.102.102.102.1

1,14,53 02 1,

aa

aa

-

-

-

-

= ±±

= - ±= ±

ìï =ïíïïî

j/(Trần Đình Trọng)

2 40 6 4 8 83 12 9 50 3 3

75 15 18 2965 18 0 4 14 25 26 19 25 120 23

x y z u vx y z u v

x y z u vx y z u v

x y z u v

+ - + + =ìï- - - + + =ïï- + - + + =íï + + + + = -ï

+ - + + =ïî

với sai số ε=10-2 (D)

· Kiểm tra hệ có nghiệm duy nhất:

Ta có det

2 40 6 4 83 12 9 50 3

01 1 75 15 1865 18 0 4 145 26 19 25 120

1030066610

-é ùê ú- - -ê úê ú = ¹- -ê úê

-

úê ú-ë û

Vậy hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất.

· Biến đổi hệ (C) ta được:

2 40 6 4 8 65 18 0 4 143 12 9 50 3 2 40 6 4 81 1 75 15 18 1 1 75 15 18

65 18 0 4 14 3 12 9 50 35 26 19 25 120 5 26 19 25 120

-é ù é ùê ú ê ú- - - -ê ú ê úê ú ê úÛ- - - -ê ú ê ú- - -ê ú ê úê ú ê ú- -ë û ë û



0 0, 28 0 0,06 0, 220,05 0 0,15 0,1 0, 2

0,01 0,01 0 0, 2 0, 240,06 0,24 0,18 0 0,06

0,04 0, 22 0,16 0, 21 0

x x y z u vy x y z u vz x y z u vu x y z u vv x y z u v

= - - - +ìï = - + + - -ïï = - + - -íï = + + - -ï

= - - + - -ïî

Đặt B=

0 0, 28 0 0,06 0,220,05 0 0,15 0,1 0, 20,01 0,01 0 0, 2 0, 240,06 0, 24 0,18 0 0,060,04 0, 22 0,16 0,21 0

- -é ùê ú- - -ê úê ú- - -ê ú-ê úê ú- - -ë û

c=(8;3;29;-2;23)T, X=(x,y,z,u,v).

Khi đó ta có hệ (D) được viết dưới dạng: X=BX+c

Ta có { }max 0,56;0,5;0, 46;0,54;0,63 0,63 1B¥

= = < vậy ma trận B thỏa

điều kiện hội tụ.

· Chọn X(0)=c=(8;3;29;-2;23)T

Tính X(1), X(2),… theo công thức

X(k+1)=B X(k)+c, k=0,1,2,3…


( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)63 , 1,2,...1 37

k k k k kBX X X X X k

Ba - -¥

¥ ¥ ¥¥

- £ - = - =-

Tính toán theo từng bước cùng với giải thích bên dưới bảng này, ta được kết

quả:

k x(k) y(k) z(k) u(k) v(k) ( ) ( 1)6337

k kX X -

¥-

0 8 3 29 -2 23

1 2,22 11,75 34,57 5,8 -18,92 14,89865

2 0,1996 11,2785 33,4455 8,311 -21,3606 4,275486486



3 -0,35597 11,44787 34,01576 8,020642 -21,8833 0,97097473

4 -0,50096 11,69475 34,13395 8,161962 -21,7461 0,420379334

5 -0,54839 11,6782 34,0971 8,22556 -21,8054 0,108289073

6 -0,56061 11,68051 34,11103 8,215659 -21,8191 0,023700441

7 -0,56368 11,68694 34,11417 8,218816 -21,8148 0,010947412

8 -0,56473 11,68639 34,11305 8,220483 -21,8163 0,002839241

· Giải thích cột sai số(cột cuối):

{ }{ }

(1) (1) (0)

(1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0) (1) (0)

6337

63 max , , , ,3763 max 5,78;8,75;5,57;7,8;4,08 14,898637

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

{ }{ }

(2) (2) (1)

(2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1)

6337

63 max , , , ,3763 2,0204max ;0, 4715 1,1245 2,511 2, 4406 4, 275486; ; ;37

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

{ }{ }

(3) (3) (2)

(3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2)

6337

63 max , , , ,3763 ma 0,55557;0,169365;0,570255;0,29036;0,52268 0,970975x37

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =



{ }{ }

(4) (4) (3)

(4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3) (4) (3)

6337

63 max , , , ,

0,14499;0, 246889;0,118195;0,14132;0,1

376 37179 0, 43 max37

20379

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

{ }{ }

(5) (5) (4)

(5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4) (5) (4)

6337

63 max , , , ,3763 m 0,04743;0,01659;0,03684;0,063598;0,05928 0,1082ax37

89

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

{ }{ }

(6) (6) (5)

(6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5) (6) (5)

6337

63 max , , , ,3763 max3

0,01221;0,002342;0,013919;0,0099;0,0137 0,02377

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

{ }{ }

(7) (7) (6)

(7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6) (7) (6)

6337

63 max , , , ,

0,00308;0,006429;0,003143;0,003157;0,

376 00428 0,03 max37

10947

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

{ }{ }

(8) (8) (7)

(8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7) (8) (7)

6337

63 max , , , ,3763 m 0,00105;0,00055;0,00112;0,001667;0,00145 0,0028ax37

39

X X X

x x y y z z u u v v

a¥ ¥

- £ -

= - - - - -

= =

· k=8 thì ε=0,002839241<10-2



Làm tròn số:

(8) (8)

(8) (8)

(8) (8)

(8) (8)

(8) (8)

'0,56473 0,5611,68639 11,69

'34,11305 34,118, 220483 8, 22

21,8163 21,82

'

''

y y

u uv

x x

z z

v

ìï =

= =- » -= »= =»

»=

ïïíï =ïï =î - » -=

Sai số làm tròn (8) (8)' X X- =

(0,004729733; 0,003609616; 0,003048546; 0,000483331; 0,003737181) (8) (8)' XX

¥- =0,004729733


(8) (8) (7) 0,002836337

9241X X Xa¥ ¥

- £ - =

Sai số cuối cùng: (8) (8) (7) (8)

30,004729733 0,00283924

' '

7,57.1 10

X X X Xa a¥ ¥ ¥

-

- £ - + -

£ + »


32

3

34

35

1

3

7,57.107,57.107,57

0,5

.10

611,6934,118, 22

21,827,57.107,57.10

aaaa

a

-

-

-

-

-

ìï =ï

= - ±±

= ±ï

= ±- ±

íïï

=ïî

Bài 3




1 2 3

1 2 3

1 2 3

8 15 16

4 7

x x xx x xx x x

- + + =ìï - + =íï + - =î

· Kiểm tra hệ đã cho có nghiệm duy nhất:

det8 1 11 5 1 163 01 1 4

é ùê ú =ê úê úë û

- ¹-

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

· Đưa hệ đã cho về dạng

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 18 8 88 1

1 1 165 165 5 5

4 7 1 1 74 4 4

x x xx x x

x x x x x xx x x

x x x

ì = + -ï- = - - -ì ï

- -ï ï- = - Û + = +í íï ï+ - =î - -ï - + =ïî

Phương pháp lặp Gauss-Seidel

( 1)1 2 3

( 1) ( 1)1 2 3

( 1) ( 1) ( 1)1 2 3

1 1 18 8 8

1 1 165 5 51 1 7

4 4 4

k k k

k k k

k k k

x x x

x x x

x x x

+

+ +

+ + +

ì = + -ïï

- -ï + = +íï

- -ï - + =ïî



( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( 1) ( )1 2 3

( 1) ( 1)2 3 1

3 2 3

3 2

( 1) ( 1) ( 1)3 1 2

2 3 3 2

1 1 18 8 8

1 16 15 5 5

1 16 1 1 1 15 5 5 8 8 89 1 129

40 40 407 1 1

4 4 47 1 1 1 1 1 9 1 129

4 4 8 8 8 4 40 40 40

kk k

kk k

k k k

k k

k k k

k k k k

x x x

x x x

x x x

x x

x x x

x x x x

+

+ +

+ + +

= + -

- -= + +

- - æ ö= + + + -ç ÷è ø

-Û = - +

- -= + -

- - -æ ö æ ö= + + - - - +ç ÷ ç ÷è ø è ø

= ( ) ( )2 3

101 1 140 40 40

k kx x

ìïïïïïïïïïíïïïïïïï

-ï - +ïî

( )

( )

( )

( 1)11

( 1)2 2

( 1)3 3

1 1 108 8 81 9 1290

40 40 401 1 1010

40 40 40

kk

kk

k k

xxx xx x

+

+

+

é ù é ù-ê ú ê úé ùé ù ê ú ê úê úê ú - -ê ú ê úÛ = +ê úê ú ê ú ê úê úê ú ê ú ê úê úë û - -ë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û

Hay ( )( 1) kkx Bx c+ = + (3.3)

Với

B=

( )

( )

( )

1

( )2

3

1 108 81 9 1 129 1010 , ; ; ,

40 40 8 40 401 10

40 40

k

Tkk

k

x

c x x

x

é ùê ú é ùê ú ê ú- - -æ öê ú = - = ê úç ÷ê ú è ø ê úê ú ê ú- ë ûê úê úë û

Ta có: { }max 0, 25;0, 25;0,05 0,25 1B¥

= = < vậy ma trận B thỏa điều kiện hội tụ.

Đánh giá sai số



( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)1 , 1,2,...1 3

k k k k kBx x x x x k

Ba - -¥

¥ ¥ ¥¥

- £ - = - " =-

· Chọn x(0)=1 129 101; ;8 40 40

T

c -æ ö= -ç ÷è ø

Tính x(0), x(1),… theo công thức (3.3) ta nhận được kết quả:

k x1(k) x2

(k) x3(k) ( ) ( 1)1

3k kX X -

¥-

0 -0,125 3,225 -2,525

1 -0,038 3,7125 -2,669 0,1625

2 0,0055 3,7327 -2,685 0,014322917

3 0,006 3,7357 -2,685 0,001

· Giải thích cột sai số(cột cuối):

{ }

(1) (1) (0) (1) (0)

1 3

0,0875;0,4875;0,144 0,16

1 1 max3 3

3 ma 25x2

i iix x x x xa

¥ ¥ £ £- £ - = -

= =

{ }

(2) (2) (1) (2) (1)

1 3

1 1 max3 3

1 ma 0,04296875;0,02015625;0,01578125

0,014322917

x3

i iix x x x xa

¥ ¥ £ £- £ - = -

=

=

{ }

(3) (3) (2) (3) (2)

1 3

0,0005;0,003;0,0009 0,001

1 1 max3 3

1 max3

i iix x x x xa

¥ ¥ £ £- £ - = -

= =

· Đến bước k =3 thì ε=0,001<10-2

Làm tròn số:



(3) (3)1

(3) (3)2

(3) 3)3 3

1

2(

0,006 0,006 '3,7357 3,736 '2,685 2,685 '

x xx x

x x

» =» =

- » -

ì ==

= =

ïíïî

Sai số làm tròn (3) (3)' x x- = (0;3.10-4;0)

(3) (3)' x x¥

- =3.10-4


(3) (3) (2) (3) (2)

1 3

3

1

0,001

1 m

10

ax3 3 i ii

x x x x xa

-

¥ ¥ £ £- £ - = -

==

Sai số cuối cùng: (3) (3) (2) (3)

4 3 33.

' '

10 1,3.1010

x x x xa a-

¥ ¥ ¥

- -

- £ - + -

£ + »


1

33

32

,3.10,3.10

0,00

,3.10

6 13,736 12,685 1

aa

a

-

-

-

= ±±

=

ìï =

-í

±ï

ïïî



CHƯƠNG 4

ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 1: (Đào Thị Hương) Tính giá trị của một đa thức 5 4 3 25( ) 2x 3x 4xP x x x= + - + - tại

32

x -= theo sơ đồ Hoocne.

1 2 1- 3 4- 0 32

-

32

- 34

- 218

13516

- 59732

1 12

74

- 458

19916

- 59732

= 5( 3 / 2)P -

Bài 2: Tìm đa thức nội suy Lagrange theo bảng số:

a/ (Hồ Thị My)

x 1 2 3 4 7 y 17 17,5 76 210,5 1970

4 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4 0 2 3 40 1

0 1 0 2 0 3 0 4 1 0 1 2 1 3 1 4

0 1 3 42 3

2 0 2 1 2 3 2 4

( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) (

( )( )( )( )

P x y L y L y L y L y Lx x x x x x x x x x x x x x x xy y

x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xy y

x x x x x x x x

= + + + +- - - - - - - -

= +- - - - - - - -

- - - -+ +

- - - -0 1 2 4

3 0 3 1 3 2 3 4

0 1 2 34

4 0 4 1 4 2 4 3

)( )( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )( )( )

x x x x x x xx x x x x x x x

x x x x x x x xyx x x x x x x x

- - - -- - - -

- - - -+

- - - -



( 2)( 3)( 4)( 7) ( 1)( 3)( 4)( 7)17 17,536 10

( 1)( 2)( 4)( 7) ( 1)( 2)( 3)( 7)76 210,536 18

( 1)( 2)( 3)( 4)1970360

x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

- - - - - - - -= +

-- - - - - - - -

+ +-

- - - -+

4 3 217 ( 16x 89x 206x+168)36

x= - + - 4 3 217,5 ( 15x 75x 145x 84)10

x- - + - +

4 3 295 ( 14x 63x 106x 56)10

x+ - + - + 4 3 2421( 13x 53x 83x 42)36

x- - + - +

4 3 2197 ( 10x 35x 50x 24)36

x+ - + - +

4 3 22x 17x 81x 153,5x 104,5= - + - +

Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 4 3 24 ( ) 2x 17x 81x 153,5x 104,5P x = - + - +

b/ (Hồ Thị My)

x 0 2 3 5 y 1 3 2 5

3 0 0 1 1 2 2 3 3

1 2 3 0 2 30 1

0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3

0 1 3 0 1 22 3

2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2

( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

P x y L y L y L y Lx x x x x x x x x x x xy y

x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xy y

x x x x x x x x x x x x

= + + +

- - - - - -= +

- - - - - -

- - - - - -+ +

- - - - - -

( 2)( 3)( 5)130

x x x- - -=

-( 3)( 5)3

6x x x- -

+( 2)( 5)2

6x x x- -

+-

( 2)( 3)530

x x x- -+

3 21( 10x 31x 30)30

x-= - + - 3 21 ( 8x 15x)

2x+ - + 3 21 ( 7x 10x)

3x- - + 3 21 ( 5x 6x)

6x+ - +

3 213 620,3x 16 15

x x= - + +

Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 3 23

13 62( ) 0,3x 16 15

P x x x= - + +

c/ (Hồ Thị My)



x 321,0 322,8 324,2 325,0 y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188

3 0 0 1 1 2 2 3 3

1 2 3 0 2 30 1

0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3

0 1 3 0 1 22 3

2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2

( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

P x y L y L y L y Lx x x x x x x x x x x xy y

x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x xy y

x x x x x x x x x x x x

= + + +

- - - - - -= +

- - - - - -

- - - - - -+ +

- - - - - -

( 322,8)( 324,2)( 325,0)2,5065123,04

x x x- - -=

-( 321,0)( 324,2)( 325,0)2,50893

5,544x x x- - -

+

( 321,0)( 322,8)( 325,0)2,510813,584

x x x- - -+

-( 321,0)( 322,8)( 324,2)2,51188

7,04x x x- - -

+

5 3 4 21,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74x x- -= - ´ + ´ + -

Vậy đa thức nội suy Lagrange là: 5 3 4 2

3( ) 1,2 10 4,6875 10 10201,55x 21232547,74P x x x- -= - ´ + ´ + -

d/ (Lê Trần Mười)

x 2 4 6 8 10 y 0 3 5 4 1

L0 = ( 4)( 6)( 8)( 10) ( 4)( 6)( 8)( 10)(2 4)(2 6)(2 8)(2 10) 384x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - -

L1 = ( 2)( 6)( 8)( 10) ( 2)( 6)( 8)( 10)(4 2)(4 6)(4 8)(4 10) 96x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - - -

L2 =( 2)( 4)( 8)( 10) ( 2)( 4)( 8)( 10)(6 2)(6 4)(6 8)(6 10) 64x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - -

L3 = ( 2)( 4)( 6)( 10) ( 2)( 4)( 6)( 10)(8 2)(8 4)(8 6)(8 10) 96x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - - -

L4 =( 2)( 4)( 6)( 8) ( 2)( 4)( 6)( 8)

(10 2)(10 4)(10 6)(10 8) 384x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - -

P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)



= 4 3 21 19 47 65 1128 96 32 24

x x x x- + - +

e/ (Lê Trần Mười)

x 1 2 3 4 5

y 1 2 3 2 1

Lo = (x 2)(x 3)(x 4)(x 5) ( 2)( 3)( 4)( 5)(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 24

x x x x- - - - - - - -=

- - - -

L1 = ( 1)( 3)( 4)( 5) ( 1)( 3)( 4)( 5)(2 1)(2 3)(2 4)(2 5) 6x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - - -

L2 = ( 1)( 2)( 4)( 5) ( 1)( 2)( 4)( 5)(3 1)(3 2)(3 4)(3 5) 4x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - -

L3 = ( 1)( 2)( 3)( 5) ( 1)( 2)( 3)( 5)(4 1)(4 2)(4 3)(4 5) 6x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - - -

L4 = ( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)(5 1)(5 2)(5 3)(5 4) 24x x x x x x x x- - - - - - - -

=- - - -

P4 = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x) + y3L3(x) + y4L4(x)

= 4 243 156 108

6x x x- + + =

4 243 26 186 6x x x- + +

Bài 3: (Lê Trần Mười) Cho bảng số liệu của hàm số y = f(x)

x 11 13 14 18 19 21 y 1342 2210 2758 5850 6878 9282

a/ Tìm đa thức nội suy Newton

n x y Tỉ sp cấp 1

Tỉ sp cấp 2

Tỉ sp cấp 3

Tỉ sp cấp4

Tỉ sp cấp 5

0 11 1342 434 1 13 2210 50 548 -1



2 14 2758 45 28

773 1 - 1

40

3 18 5850 51 0 1028 1 4 19 6878 58 1202 5 21 9282

P5= 1342 + (x-11)434 + (x-11)(x-13)50 + (x-11)(x-13)(x-14)(-1)

+ (x-11)(x-13)(x-14)(x-18) 28

+ (x-11)(x-13)(x-14)(x-18)(x-19) 140

P5= 5 4 3 256 2827 47871 393932 1273844

40x x x x x- + - + - +

b/ Tính f(13,5)

f (13,5) =P5(13,5)

= 5 4 3 213,5 56(13,5) 2827(13,5) 47871(13,5) 393932(13,5) 1273844

40- + - + - +

= -21589,70547

Bài 4: (Trần Đình Trọng) Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x)

x 0 2 3 5 6

y 1 3 2 5 6

a/ Dùng đa thức nội suy tiến bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân

đến cấp 4.

n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4

0 0 1



1

1 2 3 -2/3

-1 3/10

2 3 2 5/6 -11/120

3/2 -1/4

3 5 5 -1/6

1

4 6 6

Khi đó:

P4(x)= 1+(x-0).1 +(x-0)(x-2).(-2/3)

+(x-0)(x-2)(x-3).(3/10)

+ (x-0)(x-2)(x-3)(x-5).(-11/120)

( )4 3 211 73 601 413( ) ( ) 1120 60 120 60

x x x x= - + - + +

b/ Tính f(1,25)

f(1,25)= P4(1,25)

( )4 3 211 73 601 413(1, 25) 1, 25 (1, 25) .1, 25 1120 60 120 60

= - + - + +

=3,9311525

c/ Dùng đa thức nội suy lùi bậc 4 với 5 nút không cách đều. Ta lập được bảng tỉ sai phân

đến cấp 4.

n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4

0 0 1



1

1 2 3 -2/3

-1 -3/10

2 3 2 5/6 -11/120

3/2 -1/4

3 5 5 -1/6

1

4 6 6

Khi đó:

P4(x)= 6+(x-6).1 +(x-6)(x-5).(-1/6)

+(x-6)(x-5)(x-3).(-1/4)

+ (x-6)(x-5)(x-3)(x-2).(-11/120)

( )4 3 211 73 601 413( ) ( ) 1120 60 120 60

x x x x= - + - + +

(5,25) 5,5124fÞ =

Bài 5: (Phan Thị Kim Ngân) i xi yi ∆� ∆�� ∆�� ∆�� 0 1,9 11,18 3,6 1 2,1 14,78 -0,49 3,11 3,08 2 2,3 17,89 2,52 -6,19 5,63 -3,11 3 2,5 23,52 -0,5 5,04 4 2,7 28,56 i xi yi ∇� ∇�� ∇�� ∇��



Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,9:

P4(1,9 + 0,2t) = 11,18 + 3,6t – �,��(��)�! + �,��(��)(��)�! – �,��(��)(��)(��)�! Tính gần đúng f(2,0).

Ta có: x = 2,0 = 1,9 + 0,2t ó t = 0,5.

Vậy

P4(2,0) = 11,18 + 3,6.0,5 – �,��.�.�(�.��)�! + �,��.�,�(�,��)(�,��)�! – �,��.�,�(�,��)(�,��)(�,��)�!

Ta có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x0 = 2,7:

P4(2,7 + 0,2t) = 28,56 + 5,04t – �.��(��)�! – �,��(��)(��)�! – �,��(��)(��)(��)�!

Bài 6: (Vương Bảo Nhi)

x 150 200 250 300 y = sin(x) 0,2588

19 0,342020 0,422618 0,500000

n x y Tỉ SP cấp 1

Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3

0 15 0,258819 0,0166402 1 20 0,342020 5,206.10-5 0,0161196 8,1733.10-7 2 25 0,422618 6,432.10-5 0,0154764 3 30 0,500000

P3(x) = 0,258819 + (x – 15). 0,0166402 + (x –15)(x – 20). 5,206.10–5 + (x –15)(x – 20)(x – 25).

8,1733.10-7

= 8,1733.10–7 x3 + 3,0202.10–6 x2 + 0,0158 x + 0,018704

P3(x) = 0,5 + (x – 30). 0,0154764 + (x –30)(x – 25). 6,432.10-5 + (x –30)(x – 25)(x – 20). 8,1733.10-7



= 8,1733.10-7 x3 + 3,02625.10–6 x2 + 0,0134508 x + 0,071688

Bài 7: (Vương Bảo Nhi)

a)

x 1 2 3 4 y 1 5 14 30

n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 0 1 1 4 1 2 5 5/2 9 1/3 2 3 14 7/2 16 3 4 30

Đặt n= 1+ t

P3 (1+ t) = 1 + 4t + 5 ( 1)2

2!

t t -+

1 ( 1)( 2)3

3!

t t t- -

Sn= P3 (n) = 1 + 4(n –1) + 5 ( 1)( 2)2

2!

n n- -+

1 ( 1)( 2)( 3)3

3!

n n n- - -

= 1 + 4(n –1) + ( 1)( 2)2!

n n- -1 ( 3)5 3

2 3

né ù-ê ú+ê ú

ê úë û

= 1 + 4n – 4 + ( 1)( 2)2!

n n- - 5 1 ( 3)2 9

né ù+ -ê úë û

= 4n – 3 + ( 1)( 2)2!

n n- - 13 16 9

né ù+ê úë û

b)

x 1 2 3 4 5



y 1 9 36 100 225

n x y Tỉ SP cấp 1 Tỉ SP cấp 2 Tỉ SP cấp 3 Tỉ SP cấp 4 0 1 1 8 1 2 9 9,5 27 3 2 3 36 18,5 0,25 64 4 3 4 100 30,5 125

4 5 225

Đặt n= 1+ t

P4 (1 + t) = 1 + 8t + 9,5 ( 1)2!

t t - + 3 ( 1)( 2)3!

t t t- - + 0,25 ( 1)( 2)( 3)4!

t t t t- - -

Sn= P4 (n) = 1+ 8(n – 1) + 9,5( 1)( 2)2!

n n- - + 3( 1)( 2)( 3)3!

n n n- - - +

0,25( 1)( 2)( 3)( 4)4!

n n n n- - - -

= 1+ 8n – 8 + ( 1)( 2)2!

n n- - 3( 3) 0,25( 3)( 4)9,53 12

n n n- - -é ù+ +ê úë û

= 8n – 7 + ( 1)( 2)2!

n n- - ( 3)( 4)6,548

n nn - -é ù+ +ê úë û

Bài 8: (Đào Thị Hương)

Dùng đa thức nội suy Newton bậc 6 với 7 nút nội suy. Ta lập được bảng các sai phân:

i xi yi yD 2 yD 3 yD 4 yD 5 yD 6 yD 0 1,4 0,9523 0,0138 1 1,5 0,9661 -0,0036



0,0102 0,0009 2 1,6 0,9763 -0,0027 -0,0004 0,0075 0,0005 0,0005 3 1,7 0,9838 -0,0022 0,0001 0,0895 0,0053 0,0006 0,09 4 1,8 0,9891 -0,0016 0,0901 0,0037 0,0907 5 1,9 0,9928 0,0891 -0,0928 6 2,0 0,9

Ta có đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 = 1,4 với h = 0,1

6( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)(1,4 0,1 ) 0,9523 0,0138 0,0036 0,0009 0,0004

2 3! 4!( 1)( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)0,0005 0,0895

5! 6!

t t t t t t t t tP t t

t t t t t t t t t t t

- - - - - -+ = + - + -

- - - - - - - - -+ +

(1,43) (1,4 0,3.0,1) 0,9548188379Pf » + =

Bài 9:

a/ (Trần Đình Trọng)

Ta có:

x 0 1 2 3 4 5 6 7

y 1,4 1,3 1,4 1,1 1,3 1,8 1,6 2,3

Ta lập bảng từ số liệu trên:

i ix iy 2ix i ix y

1 0 1,4 0 0

2 1 1,3 1 1,3

3 2 1,4 4 2,8

4 3 1,1 9 3,3

5 4 1,3 16 5,2



6 5 1,8 25 9

7 6 1,6 36 9,6

8 7 2,3 49 16,1

1

n

i =å

28 12,2 140 256,8

Sau đó ta giải hệ:

{ 28 8 12,2140 28 47,3

b ab a+ =+ =

Ta được: a = 1,14166666667 ≈ 1,14

b = 0,1095238095 ≈0,11

Vậy ta có: y = 1,14 + 0,11x

b) (Phan Thị Kim Ngân)

f(x) = a + bx + cx2

Ta lập bảng số liệu:

i xi yi xi2 xi

3 xi4 xiyi xi

2yi 1 0 1,4 0 0 0 0 0 2 1 1,3 1 1 1 1,3 1,3 3 2 1,4 4 8 16 2,8 5,6 4 3 1,1 9 27 81 3,3 9,9 5 4 1,3 16 64 256 5,2 20,8 6 5 1,8 25 125 625 9 45 7 6 1,6 36 216 1296 9,6 57,6 8 7 2,3 48 343 2401 16,1 112,7 � �� 28 12,2 140 784 4676 47,3 252,9

Ta có hệ phương trình:



�4676� + 784� + 140� = 252,9784� + 140� + 28� = 47,3140� + 12,2� + 8� = 12,2 ó � � = 1,441667 � = −0,190476� = 0,042857

Vậy: y = 1,441667x2 – 0,190476x + 0,042857

c/ (Đào Thị Hương)

Lấy logarit Neper ln ( ) ln xf x a b= +

ta có bảng:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3)

ln 0,17153314160,06469348092

ab

=ìí =î

→1,187123485

0,06469348092a

b=ì

í =î

Vậy 0,06469348092( ) 1,187123485f x e= ´

d/ (Đào Thị Hương)

( ) ln( x)f x a b= +

( ) xf xe a b= +

ta có bảng sau:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 ( )f xe 1,4e 1,3e 1,4e 1,1e 1,3e 1,8e 1,6e 2,3e

2,6579181490,648809873

ab

=ìí =î

Vậy ( ) ln(2,657918149 0,648809873 )f x x= + ´

e/ (Đào Thị Hương)

x( ) a bf x e +=

ln ( ) xf x a b= +



ta có bảng sau:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 ln f(x) ln(1,4) ln(1,3) ln(1,4) ln(1,1) ln(1,3) ln(1,8) ln(1,6) ln(2,3)

0,17153314160,06469348092

ab

=ìí =î

Vậy 0,1715331416 0,06469348092( ) xf x e + ´=

Bài 10: (Phan Thị Kim Ngân)

a) Hàm thực nghiệm y=a + bx2

Ta lập bảng số tư liệu trên

i xi yi xi2 xi3 xi

4 xiyi xi2yi

1 1 0,1 1 1 1 0,1 0,1 2 2 3 4 8 16 6 12 3 3 8,1 9 27 81 24,3 72,9 4 4 14,9 16 64 256 59,3 238,4 5 5 23,9 25 125 625 119,5 597,5

1

n

i=å

15 50 55 225 979 205,5 920,9

Ta có hệ phương trình:

3

2

979a 225 55 920,9225a 55 15 209,555a 15 5 50

0,992857 17,142857.10 00,9 1

1

b cb c

b c

abc

y x

-

+ + =ìï + + =íï + + =î

= »ìïÞ = - »íï = - » -î

Þ = -

b)

2( ) x

cy dxx

y x c d

= +

Û = +

Đặt f(x)=yx



theo kết quả câu a

Ta có

( ) 2

2

1

1 1

( ) 1

f x yx x

xy xx x

f xy xx x

= = -

-Û = = - +

Þ = = - +

Bài 11: (Đào Thị Hương) Cho bảng số liệu

x 2 4 6 8 10 12 y 7,32 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05

a/

3( x)y a b= +

23 xy a b= +

ta có bảng sau;

x 2 4 6 8 10 12 23y

3,769994535 4,07960524 4,3906136 4,70019767 4,94908462 5,25603237

3,4894333340,1478315912

ab

=ìí =î

Vậy 3(3,489433534 0,1478315912 )y x= + ´

b/

2ln( x )y c d= +

2xye c d= +



Ta có bảng sau:

x 2 4 6 8 10 12 ye 1510,20397 3789,5403 9897,129 26635,4949 60475,88684 171099,408

Ta lập bảng số từ bảng số liệu trên:

i xi yi 2ix 3

ix 4ix i ix y 2

i ix y 1 2 1510,20397 4 8 16 3020,40794 6040,81588 2 4 3789,5403 16 64 256 15158,1612 60632,6448 3 6 9897,129 36 216 1296 59382,774 356296,644 4 8 26635,4949 64 512 4096 213083,9592 1704671,674 5 10 60475,88684 100 1000 10000 604758,8684 6047588,684 6 12 171099,408 144 1728 20736 2053192,896 24638314,75

1

n

i=å 42 273407,7

364

3528

36400

2948597

32813545

Giải hệ phương trình:

36400d +364c = 32813545 d = 1133,3683

364d +6c = 273407,7 c = -23189,7246

Vậy ta có: ye = -23189,7246 + 1133,3683 x2 → y = ln(-23189,7246 + 1133,3683 x2 )

Bài 12: (Trần Thị Kim Ngân)

( )( ) ( )1 2

1

( 1) ln( 1)

1 ln( 1)

( ) ( )( ) ( 1) e (1) (2)

x

x

x x

y a e b x

f a e f b x y

f x f x yf x a e a a f f

= - + +

Û - + + =

Û + =

= - = - = -

1

1

1

(1) eln ln

( 1)

xy f ay a x

y A XB

= =Û = +Û = +

=

Điều Kiện: ln(y) với y ¹ 0

Suy ra



x 1 3 2 y ln3,8 ln23,2 ln9,7

Ta có hệ:

( )

1

1

1

2

14a 6 15,316a 3 6,75

0,903 110,442

12

12

1 1 1( ) 12 2 2

( ) ln( 1)

x

x x

bb

a

b

y X

y e

f x e e

f x x

+ =ìí + =î

= »ìïÞ í

= »ïî

Þ = +

Û =

Þ = - = -

Þ = +

-------------------------------------------------THE END----------------------------------------------

Documents

phương pháp tính - lebaohoang05dhth3.files.wordpress.com · xxxxxn q-a£---=-=-Ta nhận được các xấp xỉ nghiệm được cho trong bảng dưới đây: n ( ) xxnn=j-1