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PHY1501
PHY1501 – circuits linéairesRikard Blunck – [email protected]
PHY1501
PHY1501 - Les circuits linéaires RLC
• Appendix B
• http://www.mapageweb.umontreal.ca/leonelli/PHY1501.htm
• 07 janvier 2010
– Définitions et éléments (I, V, R, L, C)
– Les lois d’Ohm et de Kirchhoff
PHY1501
Définitions
• chargeq Coulomb 1 C
• courant i ampère 1 A = 1 C/s
• potentiel v, u volt 1V = 1 J/C• tension v, u volt 1Vcharge élémentaire
e = 1.6022 10-19 CI
+-
PHY1501
Champ électrique de deux charges q et -q
F =
F = E qtest
q1 q2 4 r2
= const
E
PHY1501
Le circuit électrique
i = dq/dt
+V(1)
-V(2)
±V i
Les éléments lineaires:
I(2*V) = 2*I(V)
PHY1501
Définitions
• charge q Coulomb 1 C• courant i ampère 1 A
= 1 C/s• potentiel v volt 1 V = 1 J/C• tension v volt 1 V
• source de voltage e volt
• source de courant i ampère
• résistance R Ohm 1 = 1 V/A
• inductance L Henry 1 H = Vs/A
• condensateur C Farad 1 F = 1 C/V
±V
PHY1501
Définitions
• charge q Coulomb 1 C• courant i ampère 1 A
= 1 C/s• potentiel v volt 1 V = 1 J/C• tension v volt 1 V
• source de voltage e volt
• source de courant i ampère
±V
PHY1501
La résistance
R = l/Aavec : résistance
spécifiquel : longeurA : surface
R = U / I (loi d’Ohm)
±V i R
Wel = U q = U ∫ I dt = U I t
P = W/t = U I t/t = U I= U2/R= I2R
1. anneau facteur2. anneau tolérance
argentor
PHY1501
La résistance
R = l/Aavec : résistance
spécifiquel : longeurA : surface
R = U / I (loi d’Ohm)
±V i R
Wel = U q = U ∫ I dt = U I t
P = W/t = U I t/t = U I= U2/R= I2R
PHY1501
Le condensateur
+++++++++
---------
+Q -Q
d
E = Q / ( A)
= 0 r
0 = 8.85 10-12 As/Vm
Matériel r
Vide 1.0000Aire 1.0006Verre 4..12Plexiglas 3Eau 81Bariumtitanat >1000
+++++++++
---------
E
+Q -Q
V
PHY1501
Le condensateur
+++++++++
---------
E
+Q -Q
F
Fchamp = E q
Wchamp = Fchamp d = E q d
Welec = U q
Welec = Wchamp
U q = E q dU = E d (E=Q/A)U = Q d / A
d
PHY1501
Le condensateur
+++++++++
---------
E
+Q -Q
U = Q d / AU Q
La capacité C
C = Q / U
Farad 1 F = 1 C/V
Condensateur de planC = A/d
d
PHY1501
Le condensateur
i(t) = dq/dt= d(C v(t))/dt
i(t) = C dv(t)/dt
v(t) = 1/C ∫i(t) dt
Ce
i
V
C = Q/V
PHY1501
L’inductance : la bobine
B =
µ = µ0µr (perméabilité magnétique)
µ0= 1/0c2 = 1.26 10-6 Vs/Am
µ q v4 r2
PHY1501
L’inductance : la bobine
Bobine de N tours:
B = µ I N / 2 r
(Loi de Biot-Savart)
u(t) = d(AB)/dt
N tours, A=const
u(t) = N A dB/dt
PHY1501
L’inductance
uL(t) = N A dB/dt
= N A d/dt(µ i(t) N / 2 r)
= N2µA/2r di(t)/dt
uL(t) di(t)/dt
uL(t) = L di(t)/dt
L: inductance
L = N2µA/2r
e
i
LV
PHY1501
Définitions
• charge q Coulomb 1 C• courant i ampère 1 A
= 1 C/s• potentiel v volt 1 V = 1 J/C• tension v volt 1 V
• source de voltage e volt
• source de courant i ampère
• résistance R Ohm 1 = 1 V/A
• inductance L Henry 1 H = Vs/A
• condensateur C Farad 1 F = 1 C/V
±V
PHY1501
Les lois de Kirchhoff
U = R I loi d’Ohm
∑ qk = ∑ik = 0 1. loi de Kirchhoff
∑ek - ∑uk = 0 2. loi de Kirchhoff
i
RU
i1 i3i2
i4
ddt
u1u3
u2
u4
u3
u2
u4
e
PHY1501
Deux résistances en série
Diviseur du tension
i
R2
R1
E i
R2
R1
E
U =2
RR +R
2
1 2
E
PHY1501
Extension d’échelles des mètres de voltage et courant
RS
R i V sat
V totalV = R / (R +R ) V
R = R (n- 1) avec n=V / V
sat i s i total
s i
total sat
RS
R iI total
R (I )s total- I = R I
R = R / (n- 1) avec n=I / I
sat i sat
s i
total sat
I sat
PHY1501
http://www.mapageweb.umontreal.ca/lapoinj/PHY1501/
Bouarich Said
13 janvier 2010
• Regime transitoire• (Regime alternatif)
– Loi d’Ohm R = U / I
– Inductance UL = L dI/dt
– Capacitance I = C dU/dt
PHY1501
PHY1501
Série et parallèle
R
R
R R
L
L
L L
C
C
C C
Rtotal = ∑Rk Ltotal = ∑Lk = ∑1Ck
= ∑ = ∑ Ctotal = ∑Ck
1Ctotal
1Rtotal
1Rk
1Ltotal
1Lk
PHY1501
Régime variable
u(t) = E
0 t<0u(t) =
E t>0
u(t+T) = u(t)
T
t=0
PHY1501
Circuit RRC
i = i1 + i2
E = V + R1i
V = R2i1
ii1 i2
C
R1
R2E V
e(t)
t
continue transitoire continue
dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –E/R1C = 0
PHY1501
Circuit RRC
e(t)
t
continue transitoirecontinue
dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v –e/R1C = 0
équation différentielle homogène:
dv/dt + (1/R2C + 1/R1C) v = 0
v(t) = v0e-at + const
a = (R1+R2)/R1R2C
v(t=0) = 0 const = -v0
v(t=∞) = i R2 = E R2/(R1+R2) = const
v(t) = E {1-e }
0
ER / (R +R )2 1 2
(R1+R2) tR1R2C
R2
R1+R2
PHY1501
Régime variable
u(t) = E
0 t<0u(t) =
E t>0
u(t+T) = u(t)
T
t=0
PHY1501
Le circuit LRC en série
C
R
Le
iSolution:
i(t) = e sin(0t)
avec 0=(4L/C –R2)1/2
E0L
Rt/2L
de d2i di idt dt2 dt C
= L +R +
e = vL + vR + vC
i = iL = iR = iC
= Ldi/dt + Ri + Q/C
LRC régime transitoire
PHY1501
-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
u(R) = R i(t)
u(L) = L di/dt
e
-0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
time
t=0
voltagecourant
PHY1501
Régime alternatif
• sinus
• triangle
• rectangle
• dents de scie=—∑sin(kt)/k
2π
PHY1501
Régime alternatif – génération
u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(t)
PHY1501
Régime alternatif - génération
u(t) = d(BA)/dt = B dA/dt = B r l cos(t)
PHY1501
Le courant alternatif
u(t)
B
t
û
T = 1/f = 2/
u(t) = û cos(t) = û cos(2f t) = û cos(2 t/T)
PHY1501
Le courant alternatif
u(t)
B
t
û1
u1(t) = û1 cos(t + 1)
u2(t) = û2 cos(t + 2)
= 2 - 1
12
PHY1501
Le circuit LRC en série
de d2i di idt dt2 dt C
C
R
Le
i
= L +R +
e(t) = Ê cos(t)
i(t) = Î cos(t+φ)
PHY1501
Impédance – déphasage
1E-3 0.01 0.1 1pi/2 10 100 1000
0
- / 20.01 0.1 1 10 100 1000
/ 2
I / E
f réquence
résonance0=1/(LC)1/2
Î = Ê/(R2+(1/C -L)2)½ tan (φ)= 1/C -LR
PHY1501
Le condensateur en régime alternatif
Ce
i
C = Q/U
i(t) = C d/dt u(t)
u(t) = e(t) = E cos(t)
i(t) = -CE sin(t) = C E cos(t + /2)
e
i
L
u(t) = L d/dt i(t)
i(t) = 1/L E cos(t) dt
i(t) = E/L sin(t) = 1/L E cos(t - /2)
e
i
Ri(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(t + 0)
PHY1501
Le courant alternatif
u(t)
B
t
û1
u1(t) = û1 cos(t + 1)
u2(t) = û2 cos(t + 2)
= 2 - 1
12
PHY1501
C, L et R en régime alternatif
C = Q/U
i(t) = C d/dt u(t)
u(t) = e(t) = E cos(t)
i(t) = -CE sin(t) = C E cos(t + /2)
u(t) = L d/dt i(t)
i(t) = 1/L E cos(t) dt
i(t) = E/L sin(t) = 1/L E cos(t - /2)
i(t) = 1/R u(t) = 1/R E cos(t + 0)
i(t ) u(t )
/ 2
i(t )
u(t )
/ 2
i(t ) u(t )
PHY1501
Impédance complexe
uc(t) = Ûejt = Û cos(t) + jÛ sin(t) (Euler)
u(t)
I m
Re
t
t
Û cos( t )
Û sin( t )
Û
PHY1501
Impédance complexe
uc(t) = Ûejt = Û cos(t) + jÛ sin(t) (Euler)
Re(uC(t)) = Û cos(t) = u(t)
Im(uC(t)) = Û sin(t) (aucun sens)
u(t)
I m
Re
t
t
Û cos( t )
Û sin( t )
Û
PHY1501
Impédance complexe
uc = Ûej = Û cos() + jÛ sin() = Re(uc) + j Im(uc)
Û = Re(uc)2 + Im(uc)2
tan() =Im(uc)
Re(uc)
u(t)
I m
Re
t
t
Û cos( t )
Û sin( t )
Û
PHY1501
Impédance complexe Z
ej(+/2) = cos(+/2) + j sin(+/2)= -sin() + j cos()= j (cos() + j sin())= j ej() = d/d ej()
ej(-/2) = cos(-/2) + j sin(-/2)= sin() - j cos()= -j (cos() + j sin())= -j ej() = 1/j ej() = ∫ ej() d
i(t ) u(t )
/ 2
i(t )
u(t )
/ 2
i(t ) u(t )
PHY1501
Impédance complexe Z
ej(+/2) = j ej() = d/d ej()
ej(-/2) = -j ej() = 1/j ej() = ej() d
Condensateur:u(t) = 1/C ∫ i(t) dt
= 1/C ∫ Î ejt dt = 1/jC Î ejt = 1/jC i(t)
Inductance:u(t) = L di(t)/dt = L d/dt Î ejt
= jL Î ejt
= jL i(t)
i(t ) u(t )
/ 2
i(t )
u(t )
/ 2
i(t ) u(t )
PHY1501
Impédance complexe Z
Z = impédance complexe
Condensateur:u(t) = 1/jC i(t) Z = 1/jC
Inductance:u(t) = jL i(t) Z = jL
Résistanceu(t) = R i(t) = R Î ejt Z = R
i(t ) u(t )
/ 2
i(t )
u(t )
/ 2
i(t ) u(t )
PHY1501
Impédance complexe Z
série parallèleZtotal = Z1 + Z2 1/Ztotal = 1/Z1 + 1/Z2
R R1+R2 = Rtotal 1/R1+1/R2= 1/Rtotal
L jL1 + jL2 1/jL1 + 1/jL2
= j (L1 + L2) =1/j (1/L1 + 1/L2)
= j Ltotal = 1/jLtotal
C 1/jC1 + 1/jC2 jC1 + jC2
= 1/j (1/C1 + 1/C2) = j (C1 + C2)
= 1/jCtotal = jCtotal
PHY1501
Impédance complexe ZL d’une inductance réelle
ZL = RL + j L
|ZL| = RL2 + (L)2
tan ()= =
ZL = |ZL| ej
e
i
L e
i
L
RL
L
RL
Z L
u(t )
L Im(ZL)R Re(ZL)
PHY1501
Le circuit LRC en série
ic(t) = uc(t) / Z
i(t) = Re{ic}= Re{uc(t)/Z}
u(t) = E cos(t)uc(t) = E ejt
Série: Ztotal = Zc+ZR+ZL
= 1/jC + R + jL
= R + j(L-1/C)= |Z| ej
avec |Z| = (R2 + Z02)1/2
Z0 = L – 1/C
= arctan(Z0/R)
C
R
Le
i
ic(t) = uc(t)/Ztotal = E/|Z| ejt e-j
= E/(R2+Z02)1/2 ej(t-)
i(t) = Re{ic(t)} = E/(R2+Z02)1/2 cos(t-)
PHY1501
Impédance – déphasage
1E-3 0.01 0.1 1pi/2 10 100 1000
0
- / 20.01 0.1 1 10 100 1000
/ 2
I / E
f réquence
résonance0=1/(LC)1/2
résonance0=1/(LC)1/2
1 / C
u(t )L
R
Puissance
PHY1501
0 2 4 6 8 10 12
-10
-5
0
5
10
/4voltage
courant
puissance
Puissance
PHY1501
0 2 4 6 8 10 12
-10
-5
0
5
10
/2
voltage
courant
puissance
PHY1501
Le filtre passe-bas
C
R
U siU e
Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt
Us=Ûs ej(t+)
A=Us/Ue = ? = ?
Les boîtes noires
PHY1501
Le filtre passe-bas
0.1 10 1000 1000000.0
0.5
1.0
0.1 10 1000 100000
0
|A|
fréquence
1/ 2
PHY1501
Le filtre passe-haut
Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt
Us=Ûs ej(t+)
A=Us/Ue = ? = ?
U siU e
C
R
PHY1501
Le filtre passe-haut
1/ 2
0.1 10 1000 1000000.0
0.5
1.0
0.1 10 1000 1000000.000
|A|
fréquence
LRC filtre
PHY1501
10-3
10-2
10-1
100
101
102
0
0.5
1
1.5
2
2.5
R = 500 Ohm
R = 5 kOhm
LRC filtre
PHY1501
10-3
10-2
10-1
100
101
102
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
RC
LRC
PHY1501
Le filtre passe-bande
Ue=Ûe cos(t) = Ûe ejt
Us=Ûs ej(t+)
A=Us/Ue = ? = ?
C
R
U siU e
C
R
PHY1501
Le filtre passe-bande
1/3
0.1 10 1000 1000000.0
0.50.1 10 1000 100000
0.00
|A|
fréquence