PhysikFür Studierende der Pharmazie

Andreas J. Kungl

Institut für Pharmazeutische Chemie und Pharmazeutische Technologie

Universität Graz

Stand: Oktober 2002

1. Physikalische Größen, Einheiten, Mengenbegriffe

Physikalische Größe: Eigenschaft und Beschaffenheit physikalischer Objekte, Zustände oder Vorgänge

Möglichst wenige Basisgrößen

Zuordnung willkürlich gewählter Bezugsgrößen = Einheit

Bestimmung physikalischer Größen: Messverfahren

Physikalische Größe = Zahlenwert Einheit

Internationales Einheitensystem´´Système International d´Unités´´

Basisgröße SI-Einheit

Länge Meter (m)Masse Kilogramm (kg)Zeit Sekunde (s)Elektrische Stromstärke Ampere (A)Temperatur Kelvin (K)Stoffmenge Mol (mol)Lichtstärke Candela (C)

Mengenbegriffe

Definition Einheit

Masse kgVolumen m3

Stoffmenge n = N/NA molTeilchenanzahl N = n • NA dimensionslos

Avogadro-Konstante NA 6,022 • 1023 mol-1

Bezogene Größena) VolumenbezogenDichte = m/V kg/m3

Teilchenzahldichte N = N/Vm-3

b) Massenbezogen (spezifische Größen)Spezifisches Volumen = V/m = 1/ m3/kg

c) Stoffmengenbezogen (molare Größen)Molare Masse M = m/n kg/molMolares Volumen Vm = V/nm3/mol

d) GehaltMassengehalt (Gew.%) B = mB/mi dimensionslos bzw. %Volumengehalt (Vol.%) B = VB/Vi dimensionslos bzw. %Stoffmengengehalt B = nB/ni dimensionslos bzw. %

e) KonzentrationMassenkonzentration B = mB/V kg/m3

Stoffmengenkonz. cB = nB/V mol/m3Molalität mB = nB/ML mol/kg

2. MechanikTeilgebiet der Physik, in dem die Bewegung bzw. die Bewegungsänderung und die Formänderung von Körpernunter der Wirkung von Kräften untersucht wird.

2.1 BewegungenKörper im Zustand der Ruhe: Lage in Bezug auf seine Umgebung (Koordinaten-system) mit der Zeit nicht verändert

Verändert er seine Stellung dauernd, so ist er in Bewegung

Gleichförmige Bewegung: in gleichen Zeit-abschnitten werden gleiche Wege zurückgelegt

2.1.1 Translationsbewegungen

Untersuchung der eindimensionalen Bewegung von Massenpunkten, d.h. von Körpern, deren gesamte Masse in einem mathematischen Punkt vereinigt gedacht ist.

Massenpunkt P beschrieben durch Ortsvektor r bzw. durch die Orts-koordinaten rx, ry, und rz.

Ortsvektor verändert sich zeitabhängig bei Bewegung des Massen-punktes, zu best. Zeit t gegeben durch

r(t) = rx(t) + ry(t) + rz(t)

Betrag: r(t) = |r(t)| = rx2(t) + ry

2(t) + rz2(t)

Die Geschwindigkeit

Bei reiner Translationsbewegung ist die einfachste Bewegungsform die geradlinig gleichförmige Bewegung eines Körpers.

Körper legt gleiche Wegstücke s in gleichen Zeiten t zurück, d.h. s ~ t wobei der Proportionalitätsfaktor die Geschwindigkeit v ist.

v = s / t

Einheit: m/s

Weg-Zeit-Diagramm: die vom Körper zurückgelegte Wegstrecke sauf der Bahnkurve lässt sich als Funktion der Zeit angeben - s = f(t) ist linear in der Zeit t

vt

s

tan

Die Geschwindigkeit v ist wie der Weg s ein Vektor und kann aus Komponenten zusammengesetzt dargestellt werden

21 vvv r

Die mittlere Geschwindigkeit

Geradlinig gleichförmige Bewegungen sind Spezialfälle,allgemeiner Fall: ungleichförmige Bewegung, d.h. Bahn weder geradlinig noch werden in gleichen Zeiten t gleiche Wegstrecken s zurückgelegt

Bahnkurve r(t) eines Massenpunktes, zur Zeitt im Punkt P1 und zur Zeit t + t am Punkt P2

Laut Vektoraddition gilt:

damit ergibt sich für die Änderung der Lage des Massenpunktes von P1 nach P2

rtrttr

)()(

)()( trttrr

Mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit) v auf der Strecke P1P2

t

r

Zeitneverstriche

PPngsvektorVerschiebuv

21

Bei k Teilstücken

kk

kkk

t

tvv

Die Momentangeschwindigkeit

Wenn mittlere Geschwindigkeit zwischen beliebigen Punkten der Bahn nicht konstant ist, sondern sich dem Betrag und der Richtung nach ändert Angabe der Momentangeschwindigkeit

Geschwindigkeit des Massenpunktes zur Zeit t im Punkt P als Grenzwert des Differenzenquotienten

für t

r

0t

d.h. zeitliche Ableitung von r(t) ergibt die Momentangeschwindigkeit v(t) des Massenpunktes zur Zeit t an einem beliebigen Punkt P der Bahnkurve

t

tr

t

trttr

t

rtv

tt d

)(d)()(limlim)(

00

Der Geschwindigkeitsvektor v(t) zeigt in jedem Punkt der Bahnkurve r(t) in Richtung der Tangente in diesem Punkt.Der Betrag v der Geschwindigkeit ist wegen ds = |dr|

t

tsv

d

)(d

Der Betrag der Momentangeschwindigkeit entspricht der Steigung der Tangente s = s(t) in jedem Punkt der Bahnkurve.

Eine horizontale Tangente (P2) bedeutet s = const, d.h. der Körper ist an diesem Ort in Ruhe.

Weg-Zeit-Diagramm

Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm:

Auftragen der Steigungen der Tangenten aller Punkte der Bahnkurve als Funktion der Zeit.

Die Beschleunigung

Bei ungleichförmiger Bewegung ist die Geschwindigkeit v const, sie ändert sich nach Betrag und/oder Richtung. Diese Bewegung heißt beschleunigt. Die Beschluenigung a definiert man als die in der Zeiteinheit t auftretende Änderung der Geschwindigkeit v dividiert durch das Zeit-intervall t

Mittlere Beschleunigung

Momentanwert der Beschleunigung

t

v

t

tvttva

)()(

2

2

d

)(d

d

)(d)(

t

tr

t

tvta

Beschleunigung ist 1. Differentialquotient der Geschwindigkeit nach der Zeit bzw. der 2. Differentialquotient des Ortsvektors nach der Zeit.Einheit: m/s2

Richtung der Beschleunigung relativ zur Bahnkurve: Zerlegung in eine zur Bahn tangentiale und eine dazu normale Komponente

)()()( tatata nt

Die Tangentialkomponente at(t) ändert den Betrag der Geschwindigkeit und die Normalkomponente an(t) führt zu einer Richtungsänderung der Geschwindigkeit

Sonderfälle: - a 0 und |v| konstant, z.B. gleichförmige Kreisbewegung mit at = 0 und an = const- beschleunigte Bewegung auf geradliniger Bahn, d.h. an = 0 daher gilt für momentane Beschleunigung

svt

s

t

va

2

2

d

d

d

d

Ist bei beschleunigter Bewegung auf geradliniger Bahn auch a = const spricht man von gleichförmig beschleunigter Bewegung

und es gilt

const.

t

va

d.h. Geschwindigkeit nimmt mit der Zeit linear zu

Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erhält man eine Gerade mit der Steigung a = v/ t

Zurückgelegter Weg s = s(t) nimmt von t0 aus zu t1 und t2 quadratischmit der Zeit zu.

Bei der ungleichförmig beschleunigten Bewegung kann man eine mittlere oder durchschnittliche Beschleunigung angeben

12

12

t

va

(1): Bewegung mit konst.Geschwindigkeit, a = 0

(2): gleichförmig beschleunigte Bewegung

(3): ungleichförmig beschl.Bewegung

Zusammenhänge

Zusammenhang zwischen Weg s, Beschleunigung a und Zeit t :

2

2

1tas

für s(t0) = 0, bzw. allg

20 2

1tass

Mathematisch stellt die FunktionDer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine Parabel dar.

Die Geschwindigkeit nimmt bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung In gleichen Zeiten um gleiche Beträge zu, d.h.

v

Besitzt der Körper im Zeitpunkt t0 = 0 bereits eine bestimmte Anfangs-Geschwindigkeit v(t0) = v0 ´´Fliegender Start´´

Freier Fall und Wurf im Schwerefeld der Erde

Alle Körper erfahren im Schwerefeld der Erde eine Beschleunigung a = g in Richtung des Erdmittelpunkts. Die Sog. Fallbeschleunigung g ist für einen festen Ort der Erdoberfläche konstant. Auf dem 50. nördlichen Breitengrad gilt g = 9,81 m·s-2

Wirken auf einen frei beweglichen Körper keine zusätzlichen Kräfte ein (z.B. Luftwiderstand) gleichförmig beschleunigte Bewegung durch Fallbeschleunigung.

Freier Fall: Alle Körper fallen im luftleeren Raum gleich schnell und haben Aus der Ruhe heraus nach Zeit t die Geschwindigkeit v = g·t

Fallweg (durchfallene Wegstrecke)

Fallhöhe (s = h) in der Zeit

Endgeschwindigkeit

2

2

1tgs

g

ht

2durchlaufen

hgv 2

Im Punkt P beträgt nach t = 2s (mit g 10 m·s-2):- der Fallweg s = 20 m- die Höhe über der Erdoberfläche h = 30 m- die momentane Fallgeschwindigkeit v = 20 m·s-1

- die Endgeschwindigkeit nach Durchfallen der gesamten Höhe h = h0 v 31 m·s-1

Horizontaler Wurf: ein Körper wird zum Zeitpunkt t = 0 mit der Anfangs-Geschwindigkeit v0 in horizontaler Richtung (x-Richtung) abgeworfen.Durch Fallbeschleunigung g in vertikaler Richtung (y-Richtung) Zusammensetzung der Bewegung des Körpers aus einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in x-Richtung und einer gleichförmig beschleunigten Bewegung in y-Richtung. Für v0 0 ergeben sich die sog. ´´Wurfparabeln´´

Zur Zeit t gilt:

In x-Richtung: momentane Geschwindigkeit: vx = v0

zurückgelegter Weg: x = v0 · t

In y-Richtung:momentane Geschwindigkeit: vy = g · tzurückgelegter Weg: y = ½ g · t2

Momentaner Betrag der Bahngeschwindigkeit:222

022 tgvvvv yx

(i)

(ii)

Bahnkurve folgt aus (i) und (ii): 2

202

xv

gy

2.1.2 Rotationsbewegungen

Ein Körper (Massenpunkt P) bewegt Sich auf Kreis mit Radius |r| = r um das Zentrum M. Alle Punkte des Radiusvektors r überstreichen in gleichen Zeiten t den Winkel (Angabe des Winkels im Bogen-maß: = s/r ; Einheit des ebenen Winkels im Bogenmaß ´´Radiant´´ (rad))

Winkelgeschwindigkeit

ttt d

dlim

0

Einheit: rad · s-1 (oft nur s-1) ist ein Vektor, der senkrecht auf der Bewegungsebene steht.Ändert sich in der Zeiteinheit t (ungleichförmige Rotationsbewegung) Winkelbeschleunigung = /t

2

2

0 d

d

d

dlim

tttt

Einheit: rad · s-2 (oft nur s-2)

Gleichförmige Kreisbewegung

Konstante Winkelgeschwindigkeit, d.h. = 0, d.h. es gilt auch für endliche Zeitintervalle t

t

Es sei T die Zeitdauer für einen vollen Umlauf des Massenpunktes P auf einer Kreisbahn, d.h. Radiusvektor durchläuft einen Vollkreis, also den Winkel 360o (bzw. 2 im Bogenmaß), dann gilt

T

t

2

Damit ergibt sich für die WinkelgeschwindigeitT

2

Bei gleichförmiger Kreisbewegung handelt es sich um einen periodischenVorgang. Kehrwert der Umlaufzeit T (Schwingungsdauer) ist die FrequenzDefinition:

T

1 Einheit: Hertz (Hz); 1 Hz = 1 s-1

Winkelgeschwindigkeit auch als Kreisfrequenz bezeichnet: 2

Richtung der Bahngeschwindigkeit v in jedem Punkt P tangential zum Kreis. Bei gleichförmiger Kreisbewegung ändert sich v nicht im Betrag aber in der Richtung.

tr

t

r

t

sv

tt

000t

limlimlim d.h.

rv

Verantwortlich für die Änderung der Geschwindigkeitsrichtung ist die Normal-komponente der Beschleunigung an = const. (at = 0), wirkt senkrecht zur Bahngeschwindigkeit Radialbeschleunigung, deren Betrag lautet:

22

r rr

vva

2.2 Kräfte

Bisher: Kinematik – beschreibt die Bewegung eines Körpers Dynamik: Frage nach Bewegungsursache, d.h. Lehre von der Bewegung von Körpern unter dem Einfluß von Kräften Vorhersage möglich!

Kraft ist Konzept zur Beschreibung möglicher Wechselwirkungen (freier Massenpunkt ist Idealisierung).

Kräfte können durch

• ihre beschleunigende (oder verzögernde) Wirkung auf bewegliche Körper• ihre verformende Wirkung auf Körper

beobachtet und gemessen werden.

2.2.1 Trägheitskraft

Axiome von Newton

I. Trägheitsprinzip: jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichförmigen Bewegung wenn er nicht durch äußere Kräfte Gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern

Diese Eigenschaft wird der trägen Masse des Körpers zugeschrieben.

II. Aktionsprinzip: Ein frei beweglicher Körper der Masse m erfährt durch eine Kraft F eine Beschleunigung a, die der wirkenden Kraft proportionalist

amF

Einheit: Newton (N)1 N = 1 kg · m · s-2

Beharrungskraft eines Körpers bzgl. Änderung des Bewegungszustandes Trägheitskraft FT (Pseudo- oder Scheinkraft)

0T FF

0 amF

amF

T (d´Alembert)

III. Reaktionsprinzip: wirken zwischen zwei Körpern Kräfte, so ist die KraftF12, die der Körper 1 auf Körper 2 ausübt, dem Betrag nach gleich F21, aber der Kraft des Körpers 2, die auf Körper 1 wirkt, entgegengesetzt gerichtet(actio = reactio)

2112 FF

2.2.2 GravitationskraftZwei punktförmige Körper mit Massen m1 und m2 betrachtet

Newton´sches Gravitationsgesetz für die Anziehungskräfte F1 (auf m1) und F2 (auf m2)

021

1 2r

r

mmF

bzw. 02

212 r

r

mmF

Mit 21 FFF

ergibt sich 221

r

mmF

Gravitationskonstante 2

211

kg

Nm107,6

Gewichtskraft

Im Gravitationsfeld (Schwerefeld) der Erde erfährt jeder Körper eine Kraft = Schwerkraft oder Gewicht G des Körpers. Erdanziehungskraft zeigt in Richtung Erdmittelpunkt.Es sei M die Masse der Erde, m die Masse des Körpers und R der Erdradius Dann ergibt sich für den Betrag des Gewichts

gmG mit der Fallbeschleunigung 2R

Mg

Der Zahlenwert von g schwankt von Ort zu Ort, auf dem 50. Breitengrad:

2s

m81,9g

Fallbeschleunigung ist abhängig von Höhe h über Erdoberfläche

2)()(

hR

Mhgg

2.2.3 Federkraft

Verformende Wirkung der Kraft.Beispiel: Schraubenfeder, im Punkt P greift die Kraft F in x-Richtung an Dehnung um |x|. Solange Dehnung im Elas-tizitätsbereich herrscht Ggw. zwischen angreifender Kraft F Und elastischer Rückstellkraft Fel (Federkraft, versucht die Feder in Ruhelage (x = 0) zurück-zutreiben)

Für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage gilt:

elFxDF

Hooke´sches Gesetz

D heißt Direktionskraft oder Federkonstante, Einheit: N · m-1

2.2.4 Zentripetalkraft/Zentrifugalkraft

Auf jeden beschleunigten Körper auf einer Kreisbahn wirkt eine Kraft entsprechend der Radialbeschleunigung ar, die die Trägheit der Masse überwindet und den Körper auf die Kreisbahn zwingt Zentripetalkraft Fp

0

2

rp rr

vmamF

Ursache z.B. Seil, an dem ein Körper befestigt ist, der auf rotierender Scheibe um eine Achse im Zentrum M gleichförmigeKreisbewegung ausführt.

Für Beobachter außerhalb: Körper rotiert um M und wird durch Fp auf der Kreisbahn gehalten.

Für einen auf der Scheibe mitrotierenden Beobachter bewegt sich der Körper nicht, und für ihn wirkt in dem Seil, mit dem der Körper festge-halten wird, eine radial nach außen gerichtete Kraft. Diese Trägheitskraft heißt Zentrifugalkraft Ff (oder Fliehkraft).

0

2

rf rr

vmamF

Große Trägheitskräfte erreicht man z.B. in Zentrifugen (Anwendung: um Stoffe verschie-dener Massendichten voneinander zu trennen) effektive Durchführung von Sedimentations-vorgängen

Beispiel Ultrazentrifuge: 60000 Umdrehungen/minr = 1 cma 4 · 104 g

2.2.4 Reibungskraft

Reibung zwischen Festkörpern

Es sei N der Betrag der Normalkomponente des Gewichts G des zu bewe-genden Körpers auf die Berührungsfläche der Körper

NF R Coulomb‘sches Reibungsgesetz

Reibungskoeffizient ist abhängig vom Material und vom Oberflächenzu-stand der Körper.Reibungskraft ist nahezu unabhängig von der Größe der sich berührenden Oberflächen und ist stets der Bewegung entgegengerichtet.

Haftreibung: tritt zwischen relativ zueinander unbewegten Körpern auf; h (Haftreibungskoeffizient) abh. von Material u. Oberflächen-beschaffenheit

Gleitreibung: bei gegeneinander bewegten Körpern; g Rollreibung: bei Kugellagern und Abrollvorgängen (z.B. Rad) auf; r

Bei gleichen Materialien: h > g >> r

Reibung zwischen Festkörpern und Flüssigkeiten oder Gasen

Viskose Reibung: bei nicht zu großen Relativgeschwindigkeiten zw. Festkörper und umströmendem Medium wirkt auf den umströmten Körper die ReibungskraftFR v (Stokes-Reibung), wobei v die Relativgeschwindigkeit von Körper und Medium ist.Bei hoher Relativgeschwindigkeit oder ungünstigem Körperprofil: FR v2 (z.B. Luftwiderstand eines PKW)

2.3 Drehmoment Beispiel geöffnetes Fenster: wenn Kraft senkrecht zum Fenster angreift erhält man eine Winkelbeschleunigung (maximal für Angriffspunkt an der Außenkante des Fensters), d.h. Wirkungsrichtung der Kraft und Abstand von der Drehachse bestimmendie Winkelbeschleunigung und die erfolgende DrehbewegungZu ihrer Beschreibung: Drehmoment (analoge Größe zur Kraft bei Translations-Bewegungen)

z.B. Scheibe mit fest gelagerter Drehachse: im Punkt P greife F an, wobei P auf dem Radiusvektorr vom Drehzentrum 0 entfernt liegt. Um eine Drehunghervorzurufen muß die Kraft eine Komponente in Richtung der Tangente des Bahnkreises von P haben.Außerdem Abstand zw. Angriffspunkt und Drehachse wichtig. Drehmoment T der Kraft F bzgl. des Dreh-zentrums 0:

FrT

T steht senkrecht auf die von r und F aufgespannte Ebene. Richtung von T gibt den Drehsinn einer Rechtsschraube an.

Einheit: N · m , wobei 1Nm =1kg(m2/s2) ist

Für den Betrag des Drehmoments gilt T = r · F · sin(r, F) oder T = a · F

Die Größe a = r · sin(r, F) ist die Komponente von r, die senkrecht auf die Richtung der angreifenden Kraft steht und wird als Kraftarm bezeichnet.

2.3.1 Statisches Gleichgewicht

Statik sucht nach Bedingungen, unter denen Körper als Funktion der Zeit Im Ruhezustand bleiben (keine Beschleunigungen erfahren) Gleichgewichtsbedingungen.

Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe aller angreifenden Kräfte und aller äußeren Drehmomente verschwindet:

i

iF 0

i

iT 0

Schwerpunkt

Zwei Massen m1 und m2 sind miteinander starr verbunden und sollen in einem Punkt unterstützt werden, sodaß sich das System im Gleichgewicht befindet Auffinden des Schwerpunkt des Systems

Im Gravitationsfeld wirkt an jeder Masse m die äußere Gewichtskraft G = m · g. Im Massenmittelpunkt S soll die gesamte Masse M = mi vereinigt sein. Insgesamt angreifende Gewichtskraft G = M · g

Sxgmmxgmxgm )( 212211 daraus ergibt sich 21

2211

mm

xmxmxS

Gleichgewichtsarten

In welcher Gleichgewichtslage sich ein Körper befindet, hängt vom Verhalten seines Schwerpunkts bei Bewegung des Körpers ab.

stabil: bei jeder Verrückung aus Ggw.-Lage wird Schwerpunkt angehoben

labil: bei jeder Verrückung aus Ggw.-Lage wird Schwerpunkt gesenkt

indifferent: bei jeder Verrückung aus Ggw.-Lage bleibt Schwerpunktslage unverändert

Das Hebelgesetz

Einen um eine Achse drehbaren Körper, an dem zwei oder mehrere Kräfte Angreifen nennt man Hebel.

Dieser befindet sich dann im Gleichgewicht,wenn die Summe der an ihm wirkenden Drehmomente bzgl. des Drehpunktes D gleich Null ist. Greifen an einem Hebel nur zwei Kräfte an Drehmomente

111 FrT

222 FrT

und

Es herrscht Gleichgewicht wenn

21 TT

d.h. betragsmäßig

2211 FaFa Hebelgesetz

Kraftarm mal Kraft = Lastarm mal Last

Die Waage

Die Balkenwaage stellt einen dreiarmigen Hebel dar: zwei Hebel der Länge l, Die zusammen den Waagebalken 2l bilden, und ein weiterer Hebel für den Zeiger. Die Masse von Balken und Zeiger zusammen sei M (vereinigt im Schwerpunkt S).Im Gleichgewicht muß die Summe der Dreh-momente auf der einen Seite des Drehpunktsgleich der Summe auf der anderen Seite sein.

)sin()cos()cos( 21 sgMlgmlgm

Für kleine Winkel

msM

lmm

sM

l

)(tan 21

Die Auslenkung ist proportional zur Mehrbelastung m einer Waagschale.

Empfindlichkeit = / m

sM

l

umso empfindlicher, je länger und je masseärmer der Waage-

balken ist und je näher S an D liegt

2.3 Arbeit – Energie – Leistung

Energie ist eine der wichtigsten Größen der Physik, die über alle Zustands-änderungen hinweg erhalten bleibt (ändert ihren Wert nicht als Funktion der Zeit) = Erhaltungsgröße

2.3.1 Arbeit

Konstante Kraft F = |F| greife an einem Körper in Richtung des Weges an, Die ihn um eine Wegstrecke s = |s| verschiebt. Dafür muß Arbeit W auf-gewendet werden

sFW

gilt, wenn Kraft und Weg parallelsind. Allgemein: Produkt aus der Kraftkomponente in Bewegungs-Richtung und der zurückgelegten Wegstrecke s

cos sFsFW

Erfolgt die Bewegung des Körpers unter der Wirkung der Kraft nicht auf geradliniger Bahn und/oder ist die Kraft längs des Weges nicht konstant,ergibt sich der Beitrag dW zur Gesamtarbeit auf dem Wegelement ds zu

sFW

dd

bzw. die insgesamt verrichtete Arbeit zwischen den Punkten 1 und 2

)d,cos(dd2

1

2

1

sFsFsFW

Einheit: Joule (J)1 J = 1 N · m

Die Arbeit ist das Wegintegral der Kraft

2.3.2 Energie

Die Energie ist wie die Arbeit eine skalare Größe und wird in derselben Einheit wie die Arbeit, dem Joule, gemessen.

2.3.2.1 Potentielle Energie

Kraftfeld: ein Körper erfährt an jedem Punkt des Raumes eine wohldefinierte, Durch die Ortskoordinaten eindeutig bestimmte Kraft. Beispiel: Gravitations-feld der Erde.

2 Klassen von Kraftfelderna) konservativ: bei Verschiebung eines Körpers von nach ist die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg I oder II

Die Arbeit auf einem geschlossenen Weg verschwindet in konservativem KF.

0d sF

Beispiel: Gravitationsfeld, Federkraft

b) nichtkonservativ: z.B. Reibungskraft, Teil der verrichteten Arbeit in Wärme umgewandelt; Größe des Reibungsverlusts ist abhängig von der Weglänge

0d sF

Gravitationsfeld ist konservativ, d.h. Arbeit ist nur abhängig von der Lage des Anfangs- und Endpunktes bei Verschiebung eines Körpers.Hubarbeit: Körper um h = h2 – h1 nach oben heben

hGhhGhgmhgmhGWh

h

h

h

h

h

)(ddd 21

2

1

2

1

2

1

Wird der Körper nicht genau senkrecht nach oben gehoben: Berücksichtigung von cos (G, s).

Diese Arbeit wird im Körper als potentielle Energie bzgl. der Erdoberfläche gespeichert. Willkürlich: Nullsetzung der potentiellen Energie der Erdoberfläche

hgmE pot

Wird an einem Körper Hubarbeit verrichtet (Verschiebung von 1 nach 2):W12 = Epot(2) – Epot(1). Verschiebt man ihn auf horizontaler Ebene (h = const):keine Änderung der potentiellen Energie (Lageenergie), Bewegung auf Äquipotentialfläche bzw. –linie.

2.3.2.2 Kinetische Energie

Beschleunigung durch Kraft ist notwendig für die Erhöhung der Geschwindigkeit eines Körpers. Von der Kraft F längs des Wegelements ds verrichtete Arbeit dW

)2

1(ddddd 2vmvvmsamsFW

Definition: Bewegungsenergie oder kinetische Energie eines Körpers, der sich translatorisch mit |v| = v bewegt

2kin 2

1vmE

d.h. dW = dEkin Änderung der Geschwindigkeit und damit eine Beschleuni-gung, dW auch als Beschleunigungsarbeit bezeichnet.

Rotierende Körper besitzen auch kinetische Energie. Diese lautet für den i-ten Massenpunkt (im senkrechten Abstand ri von der Drehachse) ½ mi · vi

2 = ½ mi ·2 · ri

2. Da in einem rotierenden, starren Körper alle Massenpunkte dieselbe besitzen, ergibt sich die Rotationsenergie zu

222222rot 2

1)(

2

1)

2

1()

2

1( JrmrmvmE iiiiii

J (= Trägheitsmoment) ´´übernimmt´´in der Rotationsenergie die Funktion der trägen Masse m.

2.3.3 Energieerhaltungssatz

Reibungsfreies Herabgleiten eines Körpers mit Masse m auf schiefer Ebene, Beschleunigung durch Hangab-triebskraft (P0 = Nullpunkt von Epot)Die gesamte kinetische Energie ½ mi · vi

2 stammt aus der potentiellen Energie m · g · h, die am Fußpunkt = 0, d.h. völlig in Ekin umgewandelt, Ist.

Energieerhaltungssatz der Mechanik (auf den Körper wirken nur konservative Kräfte; System ist abgeschlossen, d.h. es greifen keine äußeren Kräfte an)

In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie, das ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie,konstant.

.constkinpotges EEE

Handelt es sich bei dem Körper um eine Kugel: setzt sich die kinetische Energie aus Translation und Rotation zusammen, d.h.

.constrotkinpotges EEEE

Treten nichtkonservative Kräfte auf, z.B. Reibungskraft Verlust an mechani-scher Energie durch Umwandlung in Wärme, d.h. gegen Reibungskräfte verrich-tete Reibungsarbeit taucht in anderer Energieform (= Wärme) wieder auf.Berücksichtigt durch Wärmeenergie Q

.constkinpotges QEEE

Durch Hinzunahme weiterer Energieformen (z.B. chemische Energie, Strahlungs-energie, elektrische Energie, etc.) erhält man einen allgemeinen Energie-erhaltungssatz für ein abgeschlossenes System

In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant:

.consti

iE

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur umgewandelt, werden

2.3.4 Leistung

Die Leistung ist das Verhältnis aus zu verrichtender Arbeit und der dafür benötigten Zeit. Für die mittlere Leistung P erhält man daher:

t

WP

Die momentane Leistung P, die die im (infinitesimalen) Zeitintervall dt verrichteteArbet dW angibt, ist gegeben durch

t

WP

d

d Einheit: Watt (W)

s

mN1

s

J1W1

Kennt man die Leistung als Funktion der Zeit P(t), so errechnet sich die Zwischen t1 und t2 verrichtete Arbeit zu

2

1

dt

t

tPW in der Zeit 0 bis t gilt: tPW

Mit dW = P · dt erhält man mit dW = F · ds

Die Leistung ergibt sich damit als Skalarprodukt (da v = ds/dt)

vFP

tPsF dd

2.4 Impuls

Wenn sich ein Körper (Massenpunkt) mit der Masse m translatorisch mit der Geschwindigkeit v bewegt, so bezeichnet man als Bewegungsgröße oder Impuls

vmp

Einheit: N · s oder kg · m · s-1

Der Impuls ist ein Vektor, der in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit zeigt.Umformulierung des II. Newton´schen Axioms:

t

p

t

vm

t

vmamF

d

d

d

)(d

d

d

Die Kraft F, die auf die Masse m wirkt, ist gleich der Impulsänderung proZeiteinheit. Diese Formulierung schließt auch Fälle mit ein, bei denen sich auch die Masse des Körpers zeitlich ändert

t

mvam

t

mv

t

vm

t

pF

d

d

d

d

d

d

d

d

Zusammenhang zwischen Impuls und kinetischer Energie:m

pE

2

2

kin

2.4.1 Kraftstoß

Ein Körper erfährt zw. t0 und t1 eine Änderung seines Impulses durch stoß-weisen Vorgang Kraft weist nicht-konstanten Verlauf mit der Zeit auf.Zeitliche Änderung des Impulses:

Zusammenhang zwischen der Kraft im Zeitintervall t = (t1 – t2) und der erfolg-ten Impulsänderung zeitliches Integral der Kraft (Kraftstoß)

ptF

dd

ptptpptFt

t

t

t

)()(dd 01

1

0

1

0

Einheit: N · s

2.4.2 Impulserhaltungssatz

Es seien zwei Massen m1 und m2 in einem abgeschlossenen System auf die gegenseitig die inneren Kräfte F1 und F2 einwirken. Gemäß dem III. Newton‘schen Axiom gilt F1 = – F2 bzw. F1 + F2 = 0, daraus folgt

0d

d

d

)d(

d

d

d

d ges2121

t

p

t

pp

t

p

t

p

d.h. const.ges p

Wirken auf ein System keine äußeren Kräfte, so bleibt der Gesamtimpuls (Vektorsumme der Impulse) konstant.

2.5 Drehimpuls

Beschreibung des momentanen Bewegungszustands eines Körpers bei der Rotation durch Drehimpuls L.

Masse m ist bestimmt durch Ortsvektor r und besitzt Impuls p = m · v Definition des Drehimpulses

)( vrmprL

Einheit: kg · m2 · s-1 = N · m · s = J · s

Drehimpuls hat die Dimension Energie mal Zeit eine solche Größe nennt man Wirkung.

Bei gleichförmiger Bewegung steht r normal auf v, für deren Betrag gilt: v = r · . Damit Ergibt sich für den Betrag |L| = m · r · v =m · r2 · = J · . Da im Falle der Kreis-bewegung L und parallel zueinander sind, gilt auch vektoriell

JL

Drehimpuls für einen mit um eine feste achse rotierenden starren Körper mit Träg-heitsmoment J und Masse m.

2.5.1 Drehimpulserhaltungssatz

Aus der Definition des Drehmoments folgt

t

LJT

d

d

( ist die Winkelbeschleunigung)

Drehmoment bewirkt also Änderung des Drehimpulses. Wenn an einem Körper keine äußeren Drehmomente angreifen (T = 0), und daher dL/dt = 0, folgt daraus

.constL Wirken auf ein System keine äußeren Drehmomente,

so bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant

Drehmoment wird auch null, wenn die am Körper angreifende Kraft eine Zentralkraft ist. Das ist eine Kraft, die auf ein Kraftzentrum hin- oder weg-gerichtet ist und deren Betrag an jedem Punkt mit Ortsvektor r nur vom Abstand r = |r| vom Kraftzentrum abhängt.

Beispiel für Drehimpulssatz: Person mit zwei Hanteln auf drehbarem Tisch

Gesamtdrehimpuls des sich in Drehbewegung versetzten Systems ist L = J · . Zieht die Person die Hanteln zu sich heran Änderung der Massenverteilung J wird kleiner. Da abgeschlossenes System gilt: L = const., das ist nur möglich, wenn größer wird. Ausnutzung dieses Effekts bei Pirouetten und Salto.

3. WärmelehreTemperatur ist eine von der Masse und der stofflichen Zusammensetzung eines Körpers unabhängige Zustandsgröße. Sie ist eine skalare Größe und beschreibt den Wärmezustand eines Systems: bei Änderung der Temperatur wird dem System Wärme (= Energie) zu- oder abgeführt. Die benötigte oder freigesetzte Wärmemenge Q ist proportional der Masse m und der stofflichen Zusammensetzung des Systems sowie der Größe der Temperaturänderung.

Temperaturskalen

SI-Einheit der Temperatur ist das Kelvin (K).Kelvinskala ist die absolute thermodynamischeTemperaturskala mit Beginn im absoluten Null-punkt. Fixpunkt: Tripelpunkt des Wassers = 273,16 K. Definition: 1K ist das (1/273,16)-facheDer Tripelpunkttemperatur von Wasser.

Temperaturmessung

Zugleich mit der Temperatur ändern sich viele physikalische Eigenschaften Von festen, flüssigen und gasförmigen Substanzen, wie z.B. Volumen, Dichte,Elastizität, Oberflächenspannung, Viskosität, elektrische Leitfähigkeit, etc.Diese Änderung für Thermometer genutzt.

Bimetallstreifen

Die meisten Festkörper dehnen sich bei Temperaturerhöhung aus Aufeinander-bringung von zwei unterschiedlichen Metal-len, die sich unterschiedlich stark bei T-Änderung ausdehnen Bimetallstreifen, Der sich bei T-Änderung biegt (bei Erhöhung zur Seite des Metalls mit geringerem Aus-dehnungskoeffizienten). Einsatzbereich von Bimetallthermometern liegt Zwischen –50oC und 400oC. Beispiele für Kombinationen: Aluminium – Kupfer, Eisen – Zink, Messing – Stahl.

Flüssigkeitsthermometer

Ausdehnung von Flüssigkeiten ist bei gleicher Temperaturänderung viel größer als die von Festkörpern.

Bereich

Quecksilber -39oC – 300oC Quecksilber mit -39oC – 700oC (Argon oder Stickstoff)GasfüllungAlkohol oder Toluol -100oC – 200oCPentan -190oC – 700oC

Widerstandsthermometer

Bei Metallen steigt der elektrische Widerstand, abhängig von der Art und Reinheit des Metalls, mit steigender Temperatur (z.B. Platin: -250oC – 1000oC).

Bei Halbleitern sinkt der elektrische Widerstand mit steigender Temperatur und Empfindlichkeit nimmt mit abnehmender Temperatur zu.

Thermoelemente

Kontaktspannung entsteht durch das Übertreten von Elektronen zwischen zwei verschiedenen Metallen, die durch Klemmen, Löten oder Schweißen verbunden sind. Werden zwei Kontaktstellen auf verschiedenen Temperaturen gehalten Differenz der Kontakt-spannungen als Thermospannung ist der Temperaturdifferenz propor-tional. T2 ist die zu messende Tem-peratur und T1 ist die möglichst Konstante Referenztemperatur. Die am Voltmeter abgelesene Spannung entspricht

)( 12th TTaTaU

a ist materialspezifische Konstante (Thermokraft), z.B. für Kupfer-Kon-stantan a 42,5 µV/K

3.1 Thermische Eigenschaften von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen

3.1.1 Lineare Ausdehnung von Festkörpern

Metallstab besitzt bei Ausgangstemperatur T0 die Länge l0. Bei der TemperaturT = T0 + gilt

)1(0 llT

Der lineare Ausdehnungskoeffizient ist gleich der mittleren relativen Längenänderung des Körpers im Temperaturintervall T0 bis (T0 + ) und ist gegeben durch

00

0 11

l

l

l

llT

Einheit: K-1

Über große Temperaturbereiche ist selbst von der Temperatur abhängig.Beispiele: (Eisen) = 12,1 10-6/K, (Polyethylen) = 200 10-6/K.

3.1.2 Volumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten

Analog zur linearen Ausdehnung gilt für die Volumenausdehnung bei Tem-peraturerhöhung = T = T – T0

)1(0 VVT , Volumenausdehnungskoeffizient00

0 11

V

V

V

VVT

entspricht der mittleren relativen Volumenänderung des Körpers pro Kelvin.

-Werte von Flüssigkeiten sind erheblich höher und variieren stärker mit derTemperatur als jene von Festkörpern Volumen von Flüssigkeiten wächst nicht linear mit der Temperatur. Ausnahme: Quecksilber, über großen Temperaturbereich unabhängig von der Temperatur äquidistante Teilung der Skala auf Hg-Thermometern.

Anomalie von Wasser: bei Erwärmung von 0oC auf 3,98oC weist Wasser einen negativen Ausdehnungskoeffizienten auf bei dieser Temperatur ist die Dichte von Wasser am höchsten

3.1.3 Temperaturabhängigkeit der Dichte

Bei der Temperatur T = T0 + besitzt ein Körper die Dichte

11

1

)1(0

00 V

m

V

m

V

m

TT

Im allgemeinen nimmt die Dichte von festen Körpern und von Flüssigkeiten mit steigender Temperatur ab. Für kleine = T erhält man für die Dichte-änderung = T - 0

0

Anomalie des Wassers: Maximum der Dichte bei 3,98oC: H2O = 0,999975 · 103kg · m-3

Unterhalb und oberhalb dieser Tem-peratur ist die Dichte stets kleiner.

3.2 Ausdehnung von Gasen – Zustandsgleichungen

Ideales Gas: Moleküle sind punktförmig, keine intermolekularen Wechsel-wirkungskräfte, verhalten sich bei Zusammenstößen wie elastische Kugeln.Als ideal kann man Gase weit oberhalb ihres Siedepunkts betrachten. Alle anderen Gase bezeichnet man als real.

Zustandsgrößen von Gasen sind Druck p, Volumen, V und Temperatur T. Zustands-änderung unter Konstanthaltung einer Zustandsgröße

3.2.1 Gesetz von Boyle und Mariotte

Bei konstanter Temperatur sind Druck und Volumen miteinander verknüpft

const....1100 VpVp

Kurven konstanter Temperatur im p,V-Dia-gramm nennt man Isothermen.

T = const.

3.2.2 Gesetze von Gay-Lussac

Bei Erwärmen eines Gases ändert sich Volumen und Druck. Bei Konstant-halten des Drucks ändert sich Volumen eines Gases linear mit der Temp. 1. Gay-Lussac‘sches Gesetz für ideale Gase:

)1(0 VVT p = const. VT : Volumen bei T = T0 + : kubischer Ausdehnungskoeffizient

Im (p,V)-Diagramm erhält man paralleleLinien zur Abszisse = Isobaren (2)

Der Ausdehnungskoeffizient von Gasen ist viel größer als der von Flüssigkeiten und Festkörpern. Für alle idealen Gase Ist er gleich groß

151 K101,366K15,273

1

Hält man das Volumen es Gases konstant, so ändert sich der Druck linear mit der Temperatur und es gilt das 2. Gesetz von Gay-Lussac für ideale Gase

)1(0 ppT V = const. pT : Volumen bei T = T0 + : Spannungskoeffizient

Der Spannungskoeffizient für ideale Gase ist numerisch gleich groß wie der kubische Ausdehnungskoeffizient. Im (p,V)-Diagramm erhält man paralleleLinien zur Ordinate = Isochoren (3)

Die beiden Gesetze von Gay-Lussac für ideale Gase lassen sich umformulierenmit T0 = 273,15 K und = (1/273,15)K-1

00 T

TVVT d.h. für isobare Zustandsänderungen gilt .const

T

VT

00 T

TppT d.h. für isochore Zustandsänderungen gilt .const

T

pT

3.2.3 Zustandsgleichung idealer Gase

Verknüpft für eine gegebene Menge eines idealen Gases die ZustandsgrößenDruck, Volumen und Temperatur. Aus dem Avogadro‘schen Gesetz (´´Ideale Gase enthalten bei gleichem p, V, und T dieselbe Anzahl an Molekülen´´) folgt, daß für ein ideales Gas bei 1013,25 hPa (Normdruck) und bei 0oC (Normtem-peratur) das molare Volumen Vm,0 = 22,41 l/mol beträgt.

Ideales Gas mit konstanter Masse m = n · M, d.h. konstanter Stoffmenge, werde Isobar von T0 auf T erwärmt und dann isotherm von p0 auf p komprimiert. Mit

TVpVp 0

00 T

TVVT für den ersten Schritt und ergibt sich

0

00

T

Vp

T

Vp

Unter Normalbedingungen, d.h. T0 = 273,15 K, p0 = 1013,25 hPa und V0 = n · Vm,0, kann die allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase formuliert werden

TRnVp

Der Wert der universellen (molaren) Gaskonstanten R ergibt sich zu

Kmol

J315,8

Kmol

J)1015314472,8( 6

0

0,0

T

VpR m

Der funktionelle Zusammenhang zwischen je zwei der drei Zustandsgrößen lässt sich in (p,V)-, (V,T), bzw. (p,T)-Diagrammen unter Konstanthaltung der dritten Größe darstellen.

Bei isothermer Zustandsänderung ergibt sich p · V = const., d.h. das Gesetz von Boyle-Mariotte

Bei isobarer Zustandsänderungergibt sich (V/T) = const. Im (V,T)-Diagramm ergeben sich Geraden deren Steigung umgekehrt pro-portional zum Druck sind.

Bei isochorer Zustandsänderungergibt sich (p/T) = const. Im (p,T)-Diagramm ergeben sich Geraden deren Steigung umgekehrt pro-portional zum Volumen sind.

3.2.4 Zustandsgleichung realer Gase

Zur Beschreibung realer Gase wird z.B. die Gleichung von van der Waals ver-wendet, die die Wechselwirkung zwischen den Gasmolekülen bei höheren Gas-dichten durch einen inneren Druck, den sog. Binnendruck a/Vm

2, sowie das Eigenvolumen der Gasmoleküle durch das sog. Kovolumen b berücksichtigt.

TRnbnVV

nap

)()(

2

2

Für hohe Temperaturen und geringe Gasdichten geht diese Zustandsgleichung in jene idealer Gase über.

3.2.5 Zustandsgleichung von Gasgemischen

V

TRnp ii

Wobei pi der Partialdruck und ni die Stoffmenge der i-ten Komponente ist (V und T sind Volumen und Temperatur des Gasgemisches)

Mit dem Dalton‘schen Gesetz

i

ii

i nV

TRpp und dem Stoffmengengehalt

ii

ii n

nx ergibt sich

pxp ii

3.3 Kinetische Wärme- und Gastheorie

Brown´sche Bewegung: Teilchen von Flüssigkeiten und Gasen pendeln nicht um Gleichgewichtslage sondern bewegen sich fortschreitend auf regellosen Zickzackbahnen durch Zusammenstoß mit anderen Teilchen und dadurch Ablenkung.

3.3.1 Druck und Energie eines Gases

Die in der Stoffmenge von einem Mol enthaltene Anzahl von Teilchen ist die Avogadro-Konstante NA 6,022 · 1023 (mol)-1. Bezogen auf das molare Volumen eines idealen Gases ergibt die Loschmidt-Konstante (bei 273,15 K und 101,325 kPa)

3250 m10687,2

m

A

V

NN

Ableitung des Drucks und der Energie eines Gases aus den Bewegungsvor-gängen der Gasmoleküle. Diese bewegen sich ungeordnet und verhalten sich bei Stößen wie vollkommen elastische Kugeln (ideales Gas). Druck elastische Stöße gegen begrenzende Wände. Die Kraft, die auf die Fläche A wirkt, ist bestimmt durch die Anzahl der Moleküle gleicher Masse m pro Volumseinheit, (N/V), sowie durch dasMittel aller vorkommenden Geschwindigkeitsquadrate v2

AvmV

NF 2

3

1

Da der Druck p = (F/A) und die Dichte N = (N/V) ist, ergibt sich für die makroskopische Größe des Drucks als Funktion der mikroskopischen Größe v2

kin2

3

2

3

1Evmp NN Ekin ist die mittlere kinetische Energie eines

Teilchens.

Einführung des molaren Volumens ergibt

kinkinkin 3

2

3

2

3

2ENEV

Vn

NnEV

V

NVp Am

m

Amm

Die in einem Mol enthaltene kinetische Energie der Translation istDa p · Vm = R · T erhält man für die mittlere kinetische Energie der Translationaller Moleküle in einem Mol Gas (unabhängig von der Art des Gases)

kinkinm, ENE A

TRENE A 2

3kinkinm,

Die Temperatur ist Maß für den Energieinhalt eines idealen Gases (innere Energie) und damit für die mittlere Energie der Bewegung eines Moleküls

TkTN

RvmE

A

2

3

2

3

2

1 2kin

Die Größe k wird als Boltzmann-Konstante bezeichnet: k 1,381 · 10-23 (J/K).Beziehung zwischen mittlerem Geschwindigkeitsquadrat der Moleküle und T

m

Tkv

32 Damit ergibt sich für den Druck Tkp N

Berücksichtigung der Freiheitsgrade: die Gesamtzahl der Freiheitsgrade eines Gasmoleküls ist die Summe der Translations-, der Rotations-, und der Schwingungsfreiheitsgrade. Nach dem Äquipartitionsgesetz ist im statistischen Gleichgewicht die Energie pro Freiheitsgrad im Mittel ½ · k · T, bzw. pro mol und Freiheitsgrad ½ · NA · k · T = ½ · R · T. Die mittlere Energie eines Mols eines Gases ergibt daher

TRiE 2

1kinm,

Ohne Berücksichtigung der Schwingungsfreiheitsgrade beträgt i = 3 für ein-atomige, i = 5 für zweiatomige, und i = 6 für dreiatomige Gase.

3.3.2 Die Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle

Für alle vorkommenden Molekülgeschwindigkeiten gibt es eine charakteristische Verteilungsfunktion f(v), die von der Temperatur abhängt. Sie gibt die Häufigkeit an, mit der dN Moleküle eine Geschwindigkeit zwischen v und v + dv aufweisen.Die Wahrscheinlichkeit für eine Geschwindigkeit zwischen v und v + dv beträgt

vvfNN d)(d

Für ein Gas mit gleicher Geschwindigkeitsverteilung der Teilchengeschwindigkeitskomponenten in die drei Raumrichtungen, ergibt sich für die Beträge der Geschwindigkeitsvektoren die Maxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung

)2

(2

3 2

2)2

(4)( Tk

vm

evTk

mvf

Boltzmann Faktor

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit (Maximum der Verteilungskurve) erhält man mit

m

Tkv

2ˆ

Da die Verteilung unsymmetrisch ist

vv

m

Tkvv ˆ128,1

ˆ28ˆ

Gas

H2 1694 1487N2 453 398O2 425 377J2 151 133

)m/s(v )m/s(v̂

3.4 Wärme als Energie

Wenn zwei Systeme unterschiedlicher Temperatur in Kontakt gebracht werden,so wird solange Wärme auf das kältere System übertragen, bis die beiden dieselbe Temperatur aufweisen. Durch übertragene Wärme ändert sich die innere Energie U der beiden Systeme. Diese kann sich auch durch Verrichtung von Arbeit verändern (= Zuführung von Energie). Wärme ist daher eine Energieform.

3.4.1 Wärmemenge – Wärmekapazität

Es muß einem Körper eine bestimmte Wärmemenge Q zugeführt oder entzogen werden, um seine Temperatur von T1 auf T2 zu erhöhen oder zu erniedrigen.

TmcTTmcQ )( 12

Einheit: Joule (J) 1J = 1 N · m = 1 W · sAlte Einheit: Kalorie (cal) 1calth = 4,184 J

Proportionalitätsfaktor c heißt spezifische Wärmekapazität: diejenige Wärme-Menge, die einem homogenen Körper der Masse 1 kg zugeführt werden muß, um ihn um 1 K zu erwärmen (Einheit: J/(kg · K)). c ist temperaturabhängig und außerdem abhängig von der Art der Erwärmung (Konstanthalten von Druck cp oder Volumen cV).

3.4.2 Molare Wärmekapazität

Im Gegensatz zur spezifischen Wärmekapazität ist die Wärmekapazität C eine von der Masse m des Körpers abhängige Größe und ist die Wärmemenge, die notwendig ist um die Temperatur eines Körpers um 1 K zu erhöhen.

mcT

QC

Einheit: J/K

Die molare Wärmekapazität Cm ist die Wärmemenge, die notwendig ist, um ein Mol eines Stoffes um 1 K zu erwärmen

McCm Einheit: J/(mol · K)

M: molare Masse in kg/molc: spezifische Wärmekapazität

Regel von Dulong und Petit (für einatomige Festkörper): Die einem Element im festen Aggregatzustand zugeführte Wärmemenge, die erforderlich ist, um seine Temperatur um 1 K zu erhöhen, ist vom chemischen Charakter unab-hängig du hängt nur von der Zahl der Atome ab, die in der Elementmenge enthalten sind.

Die molaren Wärmekapazitäten der meisten festen Elemente sind sehr ähnlich

Kmol

J25

mC

Neumann-Kopp´sche Regel: Die Molwärme ist die Summe der Atomwärmen

3.4.3 Kalorimetrie

Zur Ermittlung von Wärmekapazitäten verwendet man Kalorimeter.

Mischungskalorimeter: Dewar gefüllt mit Wasser (m1 und T1), Ermittlung von c des Metallstücks (m2) Erhitzen auf T2 (>T1) Und Einbringen in Dewar Temperatur-gleichgewicht bei Mischungstemp. Tmt. Die abgegebene Wärmemenge muß gleich der aufgenommenen sein. Der Festkörper gibt folgende Wärmemenge ab:

)( 222 mtTTmcQ

Es sei CK die Wärmekapazität des Kalorimetergefäßes (Wasserwert) und cH2O

die spezifische Wärmekapazität von Wasser, so beträgt die vom Wasser aufge-nommene Wärmemenge

)()( 111H2O1 TTCTTmcQ mtKmt

Daher gilt:

Daraus folgt die spezifische Wärmekapazität des Metallstücks zu

)()()( 11H2O22 TTCmcTTmc mtKmt

mt

mtK

TT

TT

m

Cmcc

2

1

2

1H2O

3.4.4 Hauptsätze der Wärmelehre

Thermodynamisches System: Vielteilchensystem, das mit seiner Umgebung Energie in Form von Wärme oder mechanischer Arbeit austauscht.Offenes System: durch Grenzfläche kann Materie und Energie ausgetauscht

werdenGeschlossenes System: Grenzflächen für Materie undurchlässigAbgeschlossenes System: undurchlässig für Materie und jede Art Energie

Thermodynamisches Gleichgewicht: Eigenschaften ändern sich nicht mit der ZeitThermodynamische Zustandsgrößen (wie p, V und T) sind von der Vorge-schichte unabhängig; abgeleitete ZG sind die innere Energie U, die Enthalpie H und die Entropie S. Thermodynamische Zustandsgleichungen stellen die Beziehungen zw. den ZG her.

Die innere Energie U wird bei vorgegebenem p und V allein durch T bestimmt. Für ein ideales Gas besteht U nur aus kinetischer Energie, d.h. für einatomige Gase gilt

TRnTkNU 2

3

2

3

Für ein mehratomiges Gas mit i Freiheitsgraden für die Energieaufnahme oder -abgabe gilt

TRinU 2

1

Für die Verschiebung eines Stempels, der ein gasgefülltes Volumen V begrenzt, muß Arbeit, die sog. Volumenarbeit, verrichtet werden.

Bei einer Verkleinerung des Volumens (dV<0)berechnet sich die Arbeit zur Verschiebung des Stempels aus dW = - p · dV zu

2

1

dV

V

VpW Kompressionsarbeit

2

1

d'V

V

VpW Expansionsarbeit

Bei isothermer Ausdehnung (dV > 0) gilt

Die Arbeit W´, die vom System nach außen verrichtet wird (gegen äußere Kräfte), ist Gleich – W. Im p,V-Diagramm: Arbeit ist die Fläche unter Der Kurve zwischen V1 und V2.

3.4.4.1 Erster HS der Wärmelehre

´´Die Änderung der inneren Energie dU eines Systems ist gleich der Summe aus der dem System von außen zugeführten (bzw. nach außen abgegebenen) Wärmemenge dQ und der von außen zugeführten (bzw. vom System verrich-teten Arbeit dW´´ (besondere Formulierung des Energieerhaltungssatzes)

WQU ddd

Dem System zugeführte Energien werden positiv, abgegebene negativ gerechnet. Für ein abgeschlossenes System gilt: ´´Die Summe der inneren Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant´´.

1. HS entspricht der Erfahrung, daß es keine Maschine gibt, die mehr Energie Liefert als ihr zugeführt wird (Unmöglichkeit eines Perpetuum mobile 1. Art).

Isochore Zustandsänderung

Zustandsänderung eines idealen Gases entsprechend 2. Gay-Lussac´schem Gesetz. Da V = const keine Arbeit wird verrichtet

Die dem idealen Gas zugeführte Wärmeenergie dQ wird zu einer Steigerung der inneren Energie benutzt, d.h.

TCTcmQU vv dddd

Damit folgt für die Wärmekapazität bei konstantemVolumen

vv T

UC )

d

d(

Die innere Energie eines idealen Gases bestimmter Masse ist nur von T abhängig

const.const. TCTcmU vv

Isobare Zustandsänderung

Temperaturzunahme bedingt eine Ausdehnung des Gasvolumens 1. Gay-Lussac´sches Gesetz. Ein Teil der zugeführten Wärmeenergie dient zur Erhö-hung der inneren Energie, der andere verrichtet Volumenarbeit (-p · dV) Verschiebung des Stempels gegen äußeren Druck

Aus dem 1. HS folgt: VpUQ ddd oder VpTcmTcm vp ddd

Daraus ergibt sichp

vp T

Vpcmcm

d

dund mit TRnVp und

M

mn

erhält man RCCccM vmpmvp ,,)(

Die Enthalpie H (oder Wärmeinhalt, Wärmefunktion) ist eine Zustandsfunktion und ist definiert als

VpUH

Die Enthalpieänderung ergibt sich durch Differentiation

pVVpUH dddd und bei isobarer Zustandsänderung gilt VpUH ddd

Daraus folgt, daß TCTcmHQ pp dddd

d.h. die von einem System bei p = const. Aufgenommene bzw. abgegebene Wärmemenge ist gleich der Zu- bzw. Abnahme der Enthalpie.

Für die Wärmekapazität bei konstantem Druck ergibt sich

Die Enthalpie eines idealen Gases hängt nur von T ab und ist m proportional

pp T

HC

d

d

const.const. TCTcmH pp

Isotherme Zustandsänderung

Einbringen des idealen Gases in Wärmebad mit T = const. Wärmezuführung von außen Beschreibung durch Gesetz von Boyle-Mariotte.Da T = const. ist auch U = Cv · T konstant und daher dU = 0. Aus dem 1. HS folgt für isotherme Expansion

0dddd VpQWQ

d.h. bei isothermer Zustandsänderung wird die gesamte zugeführte Wärme-menge in mechanische Energie umgesetzt.

Wenn sich das Gas im Gefäß mit verschiebbarem Stempel isotherm von V1 auf V2 ausdehnen soll, wird Arbeit gegen den äußeren Druck verrichtet und es muß die Wärmemenge dQ = -dW = p · dVquasistatisch zugeführt werden. Die zugeführte Wärmemenge (und damit die Arbeit) ergibt sich zu

1

2lndd2

1

2

1V

VTRnV

V

TRnVpQ

V

V

V

V

Adiabatische Zustandsänderung

Das bedeutet, es findet kein Wärmeaustausch mit der Umgebung statt. Wird erreicht entweder durch vollkommene Wärmeisolation oder durch sehr schnellen Ablauf der Änderungsprozesse, sodaß in der kurzen Zeit kein Energieaustausch mit der Umgebung stattfinden kann. Für eine adiabatische Zustandsänderung (dQ = 0) folgt aus dem 1. HS

TCVpWU v dddd

Bei einem adiabatischen Prozeß findet Umwandlung von innerer Energie eines Gases in mechanische Arbeit, bzw. umgekehrt, statt, die mit einer Temperatur-änderung des Gases verbunden ist:Adiabatische Expansion (dV > 0) Temperaturabnahme (Abkühlung)Adiabatische Kompression (dV < 0) Temperaturzunahme (Erwärmung)

Allgemein: Adiabatengleichungen (Poisson Gleichungen) stellen den Zusam-menhang zwischen je zwei der Zustandsgrößen p, V und T her

1

1

2

2

1

V

V

T

Toder const.1 VT

1

2

2

1

V

V

p

poder const. Vp

1

2

1

2

1

p

p

T

Toder const.

1

pT

In diesen Gleichungen bedeuten p1, V1, T1 die Zustandsgrößen vor und p2, V2, T2 nach der adia-batischen Zustandsänderung. Der Adiabatenkoeffizient ist definiert als

v

p

c

c

Im p,V-Diagramm verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen

Die Expansions- oder Kompressions-arbeit folgt aus Integration der adiaba-tischen Zustandsgleichung

2

1

12 )(d TTCTCW vv

3.4.4.2 Kreisprozesse

Ein System durchläuft eine Reihe von Zustandsänderungen (z.B. durch Austausch von Arbeit und Wärme mit anderen Systemen) um wieder in den ursprünglichen Zustand zurückzukehren.Zustände und charakterisiert durch (p1,V1,T1) bzw. (p2,V2,T2) sind durch unter-schiedliche Kurven verbunden. Nach Durchlaufen des Kreisprozesses muß die innere Energie des Systems wieder die gleiche sein, d.h. U = 0 und damit nach dem 1. HS auch die Summe der zugeführten und abge-führten Energien in Form von Wärme und Arbeit.

Der Carnot´sche Kreisprozeß beschreibt die Zustandsänderungen einer idealisierten Wärmekraftmaschine: die bei T1 aufgenommene Wärmemenge Qzu (= Q1) wird in mechanische Arbeit W umgewandelt, Restwärmemenge Qab (= Q2) bleibt übrig und wird bei tieferer Temperatur T2 wieder vom Gas abgegeben.

Der thermischen Wirkungsgrad gibt den Bruchteil der zugeführten Wärme an, die in Arbeit umgewandelt wird.

zuQ

W

Im Falle eines reversiblen Kreisprozesses folgt

1

21

1

21

1rev T

TT

Q

QQ

Q

W

d.h. der Wirkungsgrad ist abhängig von der Tempe-raturdifferenz der Wärmebehälter.

Da der Carnot´sche Kreisprozeß reversibel ist, kann man ihn auch in umge-kehrter Richtung betreiben Kältemaschine oder Wärmepumpe.

3.4.4.3 Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre

´´Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts anderes bewirkt als Die Erzeugung mechanischer Arbeit unter Abkühlung eines Wärmereservoirs´´(Unmöglichkeit eines Perpetuum mobile 2. Art).

Reversibler Prozeß: wenn dem vorgegebenen Prozeß ein im umgekehrten Sinne ablaufender Prozeß folgen kann, ohne daß in der Umgebung Änderungen zurückbleiben. Erreicht durch langsame Zustandsänderungen (Prozeß verläuft quasistatisch). Irreversibler Prozeß: das System kann nicht in den Ausgangszustand zurück-Kehren, ohne daß Änderungen in der Umgebung aufgetreten sind. Irreversible Vorgänge laufen spontan nur in einer Richtung ab, z.B. Erwärmung durch Reibung Umkehrvorgang ist unmöglich (2. HS). In realen Wärmekraftmaschi-nen verlaufen zumindest Teilprozesse irreversibel, d.h.

1

21rev T

TT

Der Wirkungsgrad realer Wärmekraftmaschinen beträgt: 10-30% für Benzin-motor, 30-40% für Dieselmotor, ca. 43% für Kohlekraftwerk.

Entropie

Wirkungsgrad des reversiblen Carnot-Prozesses mit idealem Gas als Arbeits-substanz

1

2

1

2rev 11

T

T

Q

Q

bzw. 01

2

1

2

T

T

Q

Q

daraus folgt 02

rev2,

1

rev,1

T

Q

T

Q

d.h. die sog. reduzierten Wärmemengen Q/T sind gleich, unabhängig davon, auf welchem Weg sie erreicht wurden. Die beim gesamten Kreisprozeß auf-genommenen reduzierten Wärmemengen sind nur vom Anfangs- und Endpunktim (p,V)-Diagramm abhängig. Für einen beliebigen Kreisprozeß mit beliebiger Arbeitssubstanz und beliebig vielen Wärmereservoirs der Temperatur Tn gilt:

0n

revn,

T

Q

Beschreibung des augenblicklichen Zustands eines Systems durch Zustands-größe Entropie S: die Änderung dS entspricht der aufgenommenen oder abge-gebenen reduzierten Wärmemenge in einem reversiblen Kreisprozeß, d.h.

T

QS

dd Einheit: J/K

Da dS nur vom Anfangs- und Endpunkt im Zustandsdiagramm abhängig ist, Beschreibt die Entropie gemeinsam mit p, T, und V den Zustand eines Systems.

Die Entropiedifferenz zwischen zwei Zuständen eines Systems lautet:

B

A

B

A

AB T

QSSSS

dd

Für reversiblen Kreisprozeß (Austausch verschwindend kleiner Wärme-mengen dQ bei Temperaturen T mit unendlich vielen Wärmereservoirs)

0d

d revrev T

QSS

Das bedeutet, daß bei einem reversibel geführten Kreisprozeß mit idealem Gas als Arbeitssubstanz in einem abgeschlossenen System gilt S = const.Bei Ablaufen eines irreversiblen Prozesses (bzw. irreversiblen Teilprozessen) folgt S > 0, d.h. es tritt Entropievermehrung auf.

2. HS: ´´In einem abgeschlossenen System kann die Entropie bei irreversiblen Veränderungen nur zunehmen. Von selbst verlaufen nur Vorgänge mit zuneh-mender Entropie. Bei einem idealen reversiblen, quasistatisch ablaufenden Kreisprozeß bleibt die Entropie konstant.´´

Entropie und Wahrscheinlichkeit

Zwei verschiedene Gase getrennt durch Trennwand, bei Aufhebung: irrever-sible Durchmischung

Der unwahrscheinlichere Zustand der Ordnung geht in den wahrscheinlicheren Zustand der Unordnung über Entropie ist Maß für Unordnung. S definiert Über die thermodynamische Wahrscheinlichkeit w durch

wkS ln

d.h. je größer der Ordnungszustand desto geringer die thermodynamische Wahrscheinlichkeit desto geringer die Entropie eines Systems.

Bei einer Veränderung eines Systems vom Zustand A (mit wA) in den Zustand B (mit wB), wobei wB wA sein soll, ändert sich die Entropie entsprechend

0lnA

BAB

w

wkSSS

Dies ist eine weitere Formulierung des 2. HS, wobei S = 0 für reversible und S > 0 für irreversible Prozesse gilt. Anders ausgedrückt: ´´Jeder von selbst ablaufende Vorgang führt in einem abgschlossenen System von Zuständen geringerer Wahrscheinlichkeit zu Zuständen größerer Wahrscheinlichkeit´´

3.4.4.4 Thermodynamische Potentiale und Gleichgewichte

Einführung weiterer Zustandsgrößen für die Beschreibung von Prozessen aus Chemie, Biologie und Pharmazie. Für ein System, das sich im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet, gilt die Ungleichung:

STQ dd (=) für reversible und (<) für irreversible Prozesse

Mit dem 1. HS erhält man bei konstanten Stoffmengen n

WSTU ddd

Neue Zustandsfunktion: freie Energie F (Helmholtz-Funktion), Definition:

STUF

Differentialbildung ergibt TSSTUF dddd

woraus sich folgende Ungleichung ergibt: TSWF ddd

Bei isothermen Prozessen ist dT = 0 und die Änderung der freien Energie ist Höchstens gleich der in das System gesteckten oder der vom System verrichte-ten Arbeit.

Für isobar ablaufende Zustandsänderungen wird die freie Enthalpie G (Gibbs-Funktion) eingeführt

STHG

Differentialbildung ergibt )(d)(dd)(ddd STVpUSTHG

woraus die Ungleichung folgt TSpVVpWG ddddd

Da die Arbeit aus Volumenarbeit (-p · dV) und Nicht-Volumenarbeit WNV bestehtergibt sich TSpVWG dddd NV

Für einen isothermen und isobaren Prozeß lautet die Ungleichung:Und für den Fall, daß auch keine Nicht-Volumenarbeit auftritt, stellt die Ungleichung

NVdd WG

0d G

das Kriterium für spontan, isotherm-isobar verlaufende Vorgänge in einem abgeschlossenen System dar. Spontan verlaufen thermodynamische Prozesse stets in Richtung von thermodynamischen Gleichgewichtszuständen, die sich durch ein (relatives) Minimum der thermodynamischen Potentiale auszeichnen.

3.4.4.5 Dritter Hauptsatz der Wärmelehre

Ist ebenso Erfahrungssatz (in vollkommener Übereinstimmung mit Beobach-tung), der von W. Nernst aufgestellt wurde: ´´Bei einem kondensierten System geht die mit einem Übergang zwischen zwei Zuständen im Gleichgewicht verbundene Entropieänderung gegen null, wenn die absolute Temperatur gegen null geht. ´´ Oder: ´´Die Differenz der freien Energie zweier Zustände eines kondensierten Systems wird temperaturunabhängig bei hinreichend tiefen Temperaturen.´´

Bei hinreichend tiefen Temperaturen verlaufen Zustandsübergänge in reinen kondensierten Systemen reversibel, d.h. ohne Entropieänderung. Der Grenz-Wert der Entropie ist am absoluten Nullpunkt gleich null

0)(lim TS für T 0

Das aber bedeutet, daß für kondensierte Systeme bei Annäherung an den absoluten Nullpunkt deren molare bzw. spezifische Wärmekapazitäten sowie die thermischen Ausdehnungskoeffizienten sich dem Wert 0 nähern. Daraus folgt eine verallgemeinerte Formulierung des 3. HS:

´´Es ist unmöglich, den absoluten Nullpunkt durch irgendeinen – auch ideali-sierten Prozeß – mit einem System in einer endlichen Anzahl von Schritten zu erreichen´´.

3.5 Aggregatzustände der Materie

Festkörper: bestimmte, ohne äußere Kraft beibehaltene GestaltFlüssigkeit: beliebige Gestalt, jedoch bestimmtes VolumenGas: füllt jedes Volumen aus

Phase differenziert innerhalb eines Aggregatszustands (z.B. Graphit und Diamant für festen Kohlenstoff). Die beim Übergang (p = const.) von einer Phase in die andere aufgenommene oder abgegebene Phasenübergangs-wärme Q, bei gleichbleibender Temperatur lautet

qmQ m: Masse des Körpersq: spezifische Umwandlungswärme (Umwandlungsenthalpie)

q ist eine Materialkonstante mit Einheit J/kg.

Bei konstant zugeführter (bzw. entzo-gener) Wärmemenge bleibt die Tem-peratur jeweils bei Erreichen der Um-wandlungstemperatur des Stoffes so-lange konstant, bis die Phasenände-rung des Stoffes abgeschlossen ist

Entsprechend der spezifischen Umwandlungswärme q lässt sich die molare Umwandlungswärme qm angeben

mqnQ n: Stoffmenge des an der Umwandlung beteiligten Stoffesq: molare Umwandlungswärme (Umwandlungsenthalpie), Einheit: J/mol

Zusammenhang zwischen molarer und spezifischer Umwandlungswärme

Mqq m M: Molare Masse

Bei allen Phasenumwandlungen ist die Umwandlungstemperatur vom äußerenDruck abhängig. Tritt bei Umwandlung eine Volumenvergrößerung auf (wie bei den meisten Stoffen), so erhöht sich die Umwandlungstemperatur mit steigen-dem Druck. Bei Volumenverkleinerung (z.B. Eis in Wasser) erniedrigt sich die Umwandlungstemperatur bei Drucksteigerung.

Die Enthalpieänderung H ist unabhängig vom Weg (Zustandsgröße), auf welchem die Phasenumwandlung erfolgt. Zustandsänderung daher gleich, wenn ein Stoff unmittelbar sublimiert wird (Hs) oder zunächst geschmolzen (Hm) unddann verdampft wird (He). Es gilt daher

ems HHH

3.5.1 Reaktionswärme, - enthalpie und energie

Bei chemischen Reaktionen (allg. isobar und isotherm) findet neben Materie-umsatz auch Energieumsatz statt. Dieser tritt in Form von Wärme (Reaktions-wärme) auf und ist gleich der Reaktionsenthalpie H (außer Volumenarbeit keine Arbeit geleistet). Wenn dabei keinerlei Arbeit verrichtet wird enspricht die Reaktionswärme der Reaktionsenergie U.

Reaktionen, bei denen H negativ ist (Ergebnis aus Differenzbildung der Summe der Enthalpien der Endprodukte und jenen der Ausgangsstoffe) nennt man exotherm, ist H > 0 so ist die Reaktion endotherm. Ist der Prozess isotherm-isobar so wird bei einer exothermen Reaktion Energie freigesetzt und in Form von Wärme (Q < 0) an die Umgebung abgegeben, umgekehrt wird bei einer endothermen Reaktion Energie in Form von Wärme (Q > 0) aufgenommen.

Verbrennungsenthalpie/wärme: verbrennt z.B. Kohlenstoff an der Luft so wird Wärme freigesetzt (H < 0) C + O2 CO2 + WärmeDie bei einer Verbrennung freigesetzte Wärmemenge ist gegeben durch

VqmQ m: Masse des verbrannten StoffesqV: Spezifische Verbrennungswärme/enthalpie (Einheit J/kg)

Bezogen auf ein Mol eines Stoffes erhält man die molare Verbrennungswärme

Mqq VmV, Einheit: J/mol

3.5.2 Gleichgewicht von Aggregatszuständen3.5.2.1 Sättigungsdampfdruck – Dampfdruckkurve

Wenn eine Flüssigkeit in einen evakuierten Behälter eingebracht wird, entsteht durch austretende Moleküle in dem Restvolumen des Behälters ein Gasdruck = Dampfdruck. Zum Austreten aus der Flüssigkeit müssen die Moleküle eine bestimmte kinetische Energie (entspr. Der Maxwell-Verteilung) aufweisen, die Ausreicht, um die Oberflächenenregie zu überwinden. Gleichzeitig treten Mole-küle aus der Gasphase wieder in die flüssige Phase in einem abgeschlos-senen Volumen stellt sich ein dynamisches Gleichgewicht zwischen gasförmiger und flüssiger Phase ein, d.h. die Stoffmengen der beiden Phasen bleiben im zeitlichen Mittel konstant. Über der Flüssigkeit stellt sich der sog. Sättigungs-dampfdruck pD(T) ein. Ist abhängig von der Art der Flüssigkeit und von der Temperatur steigt mit steigender Temperatur an.