PIANO DI RECUPERO DI MATEMATICA

ANNO SCOLASTICO 2015/2016

CLASSI 3°

DISEQUAZIONI

Risolvi le seguenti disequazioni numeriche intere.

1) 2

4 1 11

3 3 3x x x

2 4

3 3x x

2) 2

4 1 12 2 1 2

3 3 3x x x

2 1

3 2x x

3) 2 21 3 9

1 4 12 2

x xx

1

2x

4) 2 22 2 2 9

(2 1) 12 2

x x x xx

1

2x

5)

245 3 2 1

112 6 4 3

xx x xx

non esiste xR

6)

255 2 3

212 6 4 3

xx x xx

non esiste xR

Risolvi le seguenti disequazioni di grado superiore al secondo.

1) 6 37 8 0x x 2 1x x

2) 6 37 8 0x x 1 2x x

3) 3 26 5 12 0x x x 1 3 4x x

4) 3 24 7 10 0x x x 5 1 2x x

5) 4 3 22 5 6 0x x x x 3 1 0 2x x

6) 4 3 22 11 12 0x x x x 4 1 0 3x x

Risolvi le seguenti disequazioni fratte.

1) 2

2

20 640

1

x x

x

1 1 4 16x x x

2) 2

2

12 320

4

x x

x

2 2 4 8x x x

3) 2

2 12 31

1 1 1x x x

7 1 1 2x x

4) 2

3 12 21

1 1 1x x x

2 1 1 7x x

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.

1)

2

3 51

3 4

1 12

2 4 8

x x

x x

x x

2 4x

2)

2

3 41

3 4

2 15

2 20 4

x x

x x

x x

4 5x

3)

2

2

2 2

6 50

8 7

1 1 3

x x

x x

x x x

5

12

x

4)

2

2

2 2

5 40

9 14

1 1

x x

x x

x x x

3

12

x

5)

xx

xxxx

3

12

3

3

120232

2

2

1

02

x

6)

xx

xxxx

2

12

2

3

32032

2

2

3

02

x

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

Risolvi le seguenti equazioni con valore assoluto.

1)

22 29 1x x x

4; 1 11

2) 22 21 3x x x [2; 4]

3) 2 26 6 5 5x x x x 0 1 5 6x x

4) 2 29 4 5x x 2 3 3 2x x

5) 2

2 11 0

4

x

x

3; 1 6

6) 2

2 11 0

4

x

x

1; 1 6

7)

22 29 1x x x 4; 1 11

8) 22 21 3x x x [2; 4]

Risolvi le seguenti disequazioni con valore assoluto

1) 2 2 21 2 4x x x x 5 3 3 5x x

2) 2 2 22 3 4x x x x 1 7x x

3)

2

2

3 40

2 4 2

x x

x x

1 4x x

4)

2 4 30

2

x x

x

2x

5)

2

2

6 20

3 2 1

x x x

x x

11

3x x

6)

2

2

3 4 10

2 3 2

x x x

x x

12 1 4

2x x x

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

Risolvi la disequazione irrazionale.

1) 2 5 6 4x x x 10

3 23

x x

2) 2 7 12 5x x x

134 3

3x x

3) 2 3 1x x 3

22

x

4) 4 5 2x x 1 1x

5) 5 5

4 4 4 3 34 1 22 2

x x x x x

1 6 3

2 2x x

6) 3 3 1

2 32 2 2

x x x x x

1 6 3

2 2x x

7)

21 3 5

2 3 12 2 2

x x x x

1

2x

8)

22 1 4

3 4 13 3 3

x x x x

2

3x

9) 21 5

2 2 2 5 92 2

x x x x x [impossibile]

10) 25 1

4 1 1 2 5 92 2

x x x x x [impossibile]

11)

21 5 4

2 23 3 3

x x x

5

3x

12)

21 3 3

2 22 4 4

x x x

6 1

2x

13) 5 4 1

3 1 2

x

x

41

5x

14) 5 6 1

3 7 2

x

x

61

5x

ESPONENZIALI E LOGARITMI

LE EQUAZIONI ESPONENZIALI

Risolvi le seguenti equazioni esponenziali.

1 1 22 2 2 5x x x 2x

2 1 13 3 3 63x x x 3x

3 33 3 12x x 1 2x x

4 52 2 12x x 2 3x x

5 1666

12

3

86

x

x

xx

35

2x x

6 1777 3

528

3

6

x

x

xx

38

2x x

1) 1 22 2 2 5x x x 2x

2) 1 13 3 3 63x x x 3x

3) 33 3 12x x 1 2x x

4) 52 2 12x x 2 3x x

5) 1666

12

3

86

x

x

xx

35

2x x

6) 1777 3

528

3

6

x

x

xx

38

2x x

7) 343

177 xx 2x

8) xxx 3183232 22 2x

9)

xx 213

9

16

4

3

5

1x

10) 5

1

125

255 12

x

xx

4

5x

11) 1659327 2323

2

xxx

2

1x

12) x

xx

11

2

5

5

2

1x

13) 1125

1

15

5

xx

x

S

Calcola i seguenti logaritmi applicando la definizione.

1 16

1log 2 ;

8

27log

3

2 ; 100log 01,0 ; 9log3

. 4; 3; 1;4

2 27

1log 3 ;

4

25log

5

2 ; 10000log 01,0 ; 16log2

. [ 3; 2; 2;8]

Calcola il valore della base a usando la definizione di logaritmo.

1 log 25 2a ; log 7 1a ; log 3 4a ; 1 1

log5 2

a . 4

1 15; ; ;25

7 3

2 log 49 2a ; log 5 1a ; log 3 3a ; 2

1

4

1log a .

3

1 17; ; ;16

5 3

Sviluppa le seguenti espressioni, applicando le proprietà dei logaritmi.

3 2

2

1 3log

4

; 2 2log 3a b ; 3

loga

ab.

2

5 12log 1 3 4;log3 2log 2log ; log log

2 2a b a b

4 2

33

32log

; 435log ba ;

2

loga

ab.

3

3 12log 2 3 2;log 5 3log 4log ; log log

2 2a b a b

Applica le proprietà dei logaritmi per scrivere la seguente espressione sotto forma di un unico

logaritmo.

1 21log log 2 3log 1

2x x x

2

32

2log

1

x x

x

2 21log log 4 2log 1

2x x x

22log 1

4

xx

x

Risolvi le seguenti equazioni logaritmiche.

1 2 2 2log 1 log 2 2 log 3x x 2x

2 3 3 3log 2 log 3 1 log 4x x 1x

3 2log 2 log 2 1 2log 1x x x 3x

4 2log 2 log 4 2 2log 2x x x 4x

5 3 9 9log 5 log 3 log 3 1x x x 11x

6 2 4 4log 2 1 log 1 log 4 5x x x 2x

Risolvi le seguenti equazioni.

1 1 12 5 3 5 5 16x x x log5 log 2

log5x

2 1 12 4 3 4 4 7x x x log 4 log3

log 4x

3 3 22 2 20 2 168x x x log 7

log 2x

4 2 12 3 2 3 5 3 14x x x log 2

log3x

5 1 12 5 3 5 5 16x x x log5 log 2

log5x

6 1 12 4 3 4 4 7x x x log 4 log3

log 4x

Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche.

1) 3

4log 1

2

x

x

2 5x

2) 2

3log 1

4

x

x

4 11x

3) 1 1 1

2 2 2

log log 2 log 12x x x 4 12x

4) 1 1 1

3 3 3

log 2 log log 10x x x 2 10x

5) log 1 log 3 log3 log 2 1x x x 0 2x

6)

log 3 log 5 log3 log 2 5x x x 2 0x

Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali

1)

1 11 1 1

7 93 3 3

x x x

1x

2)

1 11 1 1

7 33 3 3

x x x

2x

3) 0222 232 xx 2x

4) x

xx

2

2

1

2

12

1x

5) 013493 1212 xx

2

10 xx

6) 3339 1211 xxx 0x

7) 071822

xx 30 xx

8) 013

1

93

1

xx

2x

9) 5

12112

3

603932 xxx

10

9x

10) 3 31 434217 xx 9x

11) x

x

xx

13

25 6832

0x

7 3 22 2 20 2 168x x x log 7

log 2x

8 2 12 3 2 3 5 3 14x x x log 2

log3x

12) 925

925

5

334

xx

20 xx

13) 012

9

22

6

xx 210 xx

GEOMETRIA ANALITICA

RETTA

Risolvere i seguenti problemi.

1)Verifica che il triangolo di vertici A(2; 1), B(5; 5) e C(–2; –2) è un triangolo

isoscele; calcola l’area del triangolo.7

2

2)Sia M(1; 6) il punto medio del segmento AB, con A(–3; 5). Determina le

coordinate di B. 5; 7B

3)Verifica che il triangolo di vertici A(3; 2), B(9; –2) e C(7; 8) è isoscele. Calcola

il perimetro e l’area e determina il baricentro 19 8

4 13 2 26; 26; ;3 3

44)Scrivi l’equazione della retta che passa per il punto P(2; –3) e ha coefficiente angolare

uguale a quello della retta di equazione 3 2 4 0x y .

36

2y x

5) Dopo aver verificato che le due rette 3 2y x e 5 2 4 0x y sono incidenti, determina il

loro punto di intersezione. [(8; 22)]

6)Trova le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazione 3 4 10 0,x y

5 2 2 0,x y 1y x e calcola l’area del triangolo.

2; 1 , 0; 1 , 2; 4 ; 7

7)Trova le coordinate dei vertici del triangolo individuato dalle rette di equazione 3 4 10 0,x y

5 2 2 0,x y 1y x e calcola l’area del triangolo.

2; 1 , 0; 1 , 2; 4 ; 7

8) I punti 2; 4 A e 1; 2 B sono vertici consecutivi di un parallelogramma ABCD.

L’equazione della retta su cui giace il lato BC è 3 0x y e il punto C appartiene all’asse x.

Calcola le coordinate dei vertici del parallelogramma. 3; 0 , 0; 6 C D

9)Trova la retta passante per 7; 2 , P perpendicolare alla retta 5 3 5 0,x y e il punto di

intersezione tra le due rette. 3 5 31 0; 2; 5 x y

0;2 ; 2;4 ; 6;5 ; 4;3A B C D

11)Un triangolo ABC ha vertici di coordinate 3; 4 A e 1; 4 . B Sia 0; 2 H il piede

dell’altezza CH del triangolo. Determina il vertice C sapendo che esso appartiene alla retta di

equazione 10 0.x y 8; 2 C

12)Dato il triangolo di vertici A(2; 0), B(3; –3) e C(7; 1), determina l’altezza relativa al lato AB e

l’area del triangolo.16

; 810

13)Dato il triangolo di vertici A(2; 0), B(3; –3) e C(7; 1), determina l’altezza relativa al lato AB e

l’area del triangolo.16

; 810

14)Dato il triangolo di vertici A(1; 0), B(2; –3) e C(6; –1), determina l’altezza relativa al lato AB e

l’area del triangolo.

14; 7

10

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

1 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 2 dal punto

C(1; 3). 2 2 2 6 6 0x y x y

2 Determina il luogo geometrico costituito dai punti del piano aventi distanza 3 dal punto

C(2; 1). 2 2 4 2 4 0x y x y

Indica se le seguenti equazioni sono le equazioni di una circonferenza e in caso affermativo

rappresentale graficamente.

1 2 2 4 2 4 0x y x y ; 2 2 6 7 0x y y ; 2 2 3 5 9 0x y x y .

2 2 2 8 6 0x y x y ; 2 2 6 9 0x y y ; 2 2 2 2 7 0x y x y .

3 Scrivi l’equazione della circonferenza di raggio 4, concentrica alla circonferenza di

equazione: 2 2 4 32 0x y x .

012422 xyx

10)I lati del quadrilatero ABCD appartengono alle rette di equazione:

2y x ; 1 7

4 2y x ; 1y x ;

12

4y x .

Determina le coordinate dei vertici e verifica che il quadrilatero è un parallelogramma.

Stabilisci la posizione della retta r, rispetto alla circonferenza e, nel caso in cui la retta non

sia esterna, determina le coordinate dei punti di intersezione.

1 2 2: 2 4 3 0x y x y ; : 1 0r y x . 1;0 :tangente

2 2 2: 2 2 1 0x y x y ; : 2 1 0r x y .

5

2;

5

9 ,0;1 :secante

RISOLVI I SEGUENTI PROBLEMI

1 Determina l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione 2 2 4 2 15 0x y x y condotte dal punto P(–2; –4).

11 115; 5

2 2y x y x

2 Determina l’equazione delle rette tangenti alla circonferenza di equazione 2 2 2 2 18 0x y x y condotte dal punto P(–3; 4).

; 11 41 1 11

2 2 2 2y x y x

3 Data la circonferenza di equazione 2 2 4 2 5 0x y x y , verifica che il punto P(3; 4) le

appartiene e determina l’equazione della retta tangente in P alla circonferenza.

3 15 0x y

4 Data la circonferenza di equazione 2 2 2 4 27 0x y x y , verifica che il punto P(5; 2)

le appartiene e determina l’equazione della retta tangente in P alla circonferenza.

7 0x y

5 Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(2; 3), passante per A(3; –1) e disegnala.

Determina poi l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A. 2 2 4 6 4 0; 4 7 0x y x y x y

6 Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(1; 4), passante per A(2; –1) e disegnala.

Determina poi l’equazione della retta tangente alla circonferenza in A. 2 2 2 8 9 0; 5 7 0x y x y x y

7 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 0), B(–1; 2), C(2; –4). 2 2 9 7 10 0x y x y

8 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1; 1), B(–1; 1), C(0; 2). 2 2 2 0x y y

9 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(3; 2), e B(0; –1) e avente

centro sulla retta r di equazione 2 1 0x y . 2 2 2 2 3 0x y x y

10 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(4; 1), e B(2; 2) e avente

centro sulla retta r di equazione 2 0x y . 2 2 6 3 10 0x y x y

11 Determina la circonferenza con centro C(2; 5) e tangente alla retta di equazione 2 1y x .

2 2 1414 10 0

5x y x y

12 Determina la circonferenza con centro C(–2; –4) e tangente alla retta di equazione

2 1y x .

2 2 194 8 0

5x y x y

13 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti P(1; 1) e Q(7; 1) e tangente

alla retta di equazione 3 0y x . 2 2 2 28 4 10 0; 9 9 72 44 10 0x y x y x y x y

14 Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti P(0; 4) e Q(–2; 2) e

tangente alla retta di equazione 4 0y x . 2 24 4 7 9 28 0x y x y

Determina l’asse radicale e i punti di intersezione delle due circonferenze assegnate.

1 2 2 7 14 0x y x y , 2 2 6 11 0x y y . 3 0; 2;1 , 4; 1x y P Q

2 2 2 3 4 0x y x y , 2 2 4 6 0x y x . 2 0; 1; 1 , 1; 3x y P Q

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano.

1 25y x ; 21

5y x ; 23y x .

2 24y x ; 21

4y x ; 25y x .

Applicando la definizione, determina l’equazione della parabola di cui sono assegnate le

coordinate del fuoco F e l’equazione della direttrice d.

1 1;2F , : 3d y . 21

22

y x x

2 1;1F ; : 2d y . 21

12

y x x

Determina le caratteristiche delle seguenti parabole e rappresentale nel piano cartesiano.

1 21

4 62

y x x ; 2 2 15y x x .

2 21

2 162

y x x ; 2 2 3y x x .

Scrivi l’equazione della parabola avente vertice nell’origine degli assi e per fuoco il seguente

punto. Disegna la parabola nel piano cartesiano e scrivi l’equazione della direttrice.

1 1

;02

F

2 ; 1 1

2 2x y x

2 3

;04

F

2; 1 3

3 4x y x

Sono date le seguenti equazioni di una parabola e di due rette. Determina l’intersezione di

ciascuna retta con la parabola e disegnane il grafico.

1 2 4 2y x x ; 5y x ; 4 6y x . nessuna intersezion 2;14 , 2e; 2;

2 2 4 10y x x ; 4 11y x ; 1y x . nessuna inters1;7 , ezio 1;1 ne5 ;

LE RETTE TANGENTI A UNA PARABOLA

1 È data la parabola di equazione 21

3 22

y x x . Scrivi l’equazione della retta tangente

alla parabola nel punto in cui questa interseca l’asse y.

3 2y x

2 È data la parabola di equazione 21

5 12

y x x . Scrivi l’equazione della retta tangente

alla parabola nel punto in cui questa interseca l’asse y.

5 1y x

3 È data la parabola di equazione 2 2y x x . Determina l’equazione delle rette tangenti alla

parabola passanti per il punto P(1; –2). Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro

del triangolo ABP.

2 4; 2 ; 2;0 ; (0;0); 2 2 5y x y x A B

4 È data la parabola di equazione 2 4y x x . Determina l’equazione delle rette tangenti alla

parabola passanti per il punto P(2; –5). Detti A e B i punti di tangenza, calcola il perimetro

del triangolo ABP.

2 9; 2 1; 3; 3 ; (1; 3); 2 2 5y x y x A B

Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x, della quale sono indicate di

seguito le coordinate del vertice V e del fuoco F e rappresentala nel piano cartesiano.

1 0; 2V , 1

; 24

F

. 2 4 4x y y

2 0; 3V , 1

; 34

F

. 2 6 9x y y

3 Scrivi l’equazione della parabola di vertice

3;0

4V

e direttrice 1

:4

d y , poi

rappresentala graficamente.

2 3 9

2 16y x x

4 Scrivi l’equazione della parabola di vertice

3;0

4V

e direttrice 1

:4

d y , poi

rappresentala graficamente.

2 3 9

2 16y x x

Determina l’equazione della parabola che passa per i punti A, B e C assegnati e rappresentala

graficamente.

1 1; 1A , 0;4B , 3; 5C . 2 6 4y x x

2 0;2A , 1; 1B , 2; 2C . 2 4 2y x x

3 Scrivi l’equazione della parabola di vertice V(2; 5), asse parallelo all’asse y e passante per

il punto A(1; 4). Rappresentala graficamente. 2 4 1y x x

4 Scrivi l’equazione della parabola di vertice V(–1; –5), asse parallelo all’asse y e passante

per il punto A(1; 3). Rappresentala graficamente. 22 4 3y x x

5 Determina l’equazione della parabola 2y ax bx c di vertice V(1; 5) e tangente alla

retta r di equazione 4 1 0y x . 22 4 7y x x

6 Determina l’equazione della parabola 2y ax bx c di vertice

1 5;

2 4V

e tangente alla

retta r di equazione 3 5 0y x .

2 1y x x

TRIGONIOMETRIA

APPLICAZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI

In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei

due angoli acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.

1 4 cm; 7,5 cm.AB AC 8,5 cm; 28 4 20,95 ; 61 55 39

2 20 cm; 4,5 cm.AB AC 12° 40 49,20,5 cm; 77 19 10,6 ; 3

3 In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 40 cm e l’altezza è di 12 cm. Sapendo che

gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 70°, calcola il perimetro e l’area del

trapezio. 296,82 cm; 427,68 cm

4 In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 30 cm e il lato obliquo è di 18 cm.

Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 80°, calcola il perimetro e

l’area del trapezio. 289,76 cm; 476,31 cm

Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni).

Determina quanto richiesto.

1 cos 0,6; 24 cmAB ; determina perimetro e area. 296 cm; 384 cm

2 sen 0,8; 12 cmAB ; determina perimetro e area. 236 cm; 54 cm

3 Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con

l’ipotenusa, sapendo che il rapporto del cateto con la proiezione dell’altro cateto

sull’ipotenusa vale 2 3 . 6

4 Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con

l’ipotenusa, sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale

1

2 3.

3

5 In un rettangolo la diagonale è di 20 cm e forma con un lato un angolo di 20°. Calcola il

perimetro del rettangolo. 51,26 cm

7 In un rettangolo la diagonale è di 30 cm e forma con un lato un angolo di 80°. Calcola il

perimetro del rettangolo. 69,5 cm