Marek Pietrzakowski

Wytrzymałość materiałów

Warszawa 2010

Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Kierunek studiów "Edukacja techniczno informatyczna"

02-524 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel. (22) 849 43 07, (22) 234 83 48

ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spin/, e-mail: sto@simr.pw.edu.pl

Opiniodawca: prof. dr hab. inż. Krzysztof GOŁOŚ

Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefan TOMASZEK

Projekt układu graficznego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ

Skład tekstu: Janusz BONAROWSKI

Publikacja bezpłatna, przeznaczona dla studentów kierunku studiów

"Edukacja techniczno informatyczna"

Copyright © 2011 Politechnika Warszawska

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany

ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych,

kopiujących, nagrywających i innych bez pisemnej zgody posiadacza praw

autorskich.

ISBN 83-89703-50-5

Druk i oprawa: STUDIO MULTIGRAF SP. Z O.O.,

ul. Ołowiana 10, 85-461 Bydgoszcz

Spis treści

Wstęp...................................................................... 7

1. Przedmiot wytrzymałości materiałów............... 9

2. Podstawowe pojęcia........................................ 13

3. Pręt jako model geometryczny. Siły wewnętrzne w pręcie ............................... 19

4. Rozciąganie i ściskanie pręta prostego o stałym przekroju........................................... 22

4.1. Zasada de Saint-Venanta ..............................................26

4.2. Zasada superpozycji ........................................................27

4.3. Określenie podstawowych właściwości mechanicznych

materiału – statyczna próba rozciągania ......................28

4.4. Obliczenia wytrzymałościowe prętów

na rozciąganie i ściskanie ..............................................32

4.5. Uwagi o spiętrzeniu naprężeń .......................................33

4.6. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe..................35

5. Momenty bezwładności figur płaskich............. 41

5.1. Momenty bezwładności względem osi przesuniętych...44

5.2. Momenty bezwładności względem osi obróconych ........45

6. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych...... 49

6.1. Obliczenia wytrzymałościowe na skręcanie ..................54

6.2. Przykłady obliczeń .........................................................55

7. Ścinanie pręta prostego ................................... 59

8. Zginanie prętów ............................................... 63

8.1. Siły poprzeczne i momenty gnące w belkach.................65

8.2. Zależności różniczkowe między obciążeniem

i siłami wewnętrznymi...................................................69

8.3. Równomierne zginanie belki – naprężenia i odkształcenia

.........................................................................................71

8.4. Obliczenia wytrzymałościowe na zginanie ....................75

8.5. Równanie różniczkowe ugiętej osi belki ........................77

8.6. Przykłady zastosowania metody Clebscha....................84

9. Elementy teorii stanu naprężenia .................... 89

9.1. Płaski stan naprężenia ..................................................91

9.2. Odwzorowanie płaskiego stanu naprężenia kołem Mohra

.........................................................................................95

10. Stan odkształcenia. Uogólnione prawo Hooke’a............................. 97

11. Hipotezy wytężenia ...................................... 101

11.1. Przegląd wybranych hipotez wytężenia ....................102

12. Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych ....................................... 107

12.1. Zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem...................108

12.2. Zginanie ze skręcaniem .............................................110

12.3. Przykłady obliczeń .....................................................112

13. Metody energetyczne - układy liniowosprężyste........................................... 117

13.1. Energia sprężysta układów liniowosprężystych........119

13.2. Twierdzenie Castigliana ............................................121

13.3. Przykłady wyznaczania przemieszczeń

w układach prętowych ................................................123

13.4. Zasada minimum energii Menabrei-Castigliana ......130

Strona 5555

13.5. Przykłady wyznaczania wielkości

statycznie niewyznaczalnych ......................................131

14. Stateczność prętów ściskanych ................... 137

14.1. Sprężyste wyboczenie pręta.......................................138

14.2. Niesprężyste wyboczenie pręta..................................143

14.3. Przykłady obliczeń na wyboczenie.............................144

15. Podstawy teorii błonowej powłok osiowosymetrycznych .................................. 149

15.1. Zbiornik kulisty i zbiornik walcowy ..........................152

16. Zmęczenie materiału.................................... 157

16.1. Cykle zmian naprężenia ............................................158

16.2. Podstawowe badania zmęczeniowe ...........................161

16.3. Wytrzymałość zmęczeniowa przy cyklach dowolnych162

16.4. Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową164

17. Literatura...................................................... 167

Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu

Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego ze środ-

ków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przezna-

czone są dla studentów studiów inżynierskich na kierunku „Edukacja

techniczno-informatyczna” na Wydziale Samochodów i Maszyn Robo-

czych Politechniki Warszawskiej.

Swoim zakresem obejmuje zagadnienia określone w programie studiów dla przedmiotu kształcenia nauczycielskiego pt.

„Wytrzymałość materiałów” opisanym w sylabusie

opracowanym dla tego przedmiotu. Zawartość merytoryczna programu przedmiotu spełnia wymagania określone w standardach kształcenia Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa

Wyższego dla kierunku „Edukacja techniczno-informatyczna”.

Materiały uzupełniające i aktualizujące do przedmiotu będą udostępniane studentom za pośrednictwem systemu e-learning.

1 Przedmiot wytrzymałości materiałów

ROZDZIAŁ 1

Strona 10101010

W mechanice ogólnej modelem ciała stałego jest ciało sztywne. Z obser-

wacji wiadomo, że ciało rzeczywiste jest ciałem odkształcalnym. Mecha-

niką ciała stałego odkształcalnego przystosowaną do potrzeb techniki

jest wytrzymałość materiałów. Wytrzymałość materiałów jest nauką o

trwałości typowych elementów konstrukcji będących pod działaniem sił.

Podstawowym zadaniem wytrzymałości materiałów jest określenie:

• wytrzymałości konstrukcji tzn. odporności konstrukcji na

zniszczenie,

• sztywności konstrukcji tzn. odporności konstrukcji na

deformację.

Ilościowa ocena wytrzymałości i sztywności konstrukcji, poprzez wy-

znaczenie naprężeń i odkształceń, a następnie odniesienie ich do odpo-

wiednich wartości dopuszczalnych, umożliwia ocenę konstrukcji pod

względem bezpieczeństwa i trwałości, oraz dostatecznej sztywności.

Realizacja zadań wytrzymałości materiałów wymaga wprowadzenia uza-

sadnionych technicznie uproszczeń.

Główne uproszczenia dotyczą modelu ciała odkształcalnego.

Przyjmujemy, że materiał ciała jest jednorodny i izotropowy, tzn. jego

właściwości są identyczne we wszystkich kierunkach, oraz wykazuje

właściwości sprężyste. Cecha sprężystości oznacza całkowitą lub czę-ściową zdolność ciała do odzyskania pierwotnego kształtu. Ze względu

na tę cechę można wyróżnić materiały idealnie sprężyste, w których po

odciążeniu nie występują odkształcenia trwałe, oraz materiały sprężys-

toplastyczne i plastyczne.

W zakresie uproszczeń geometrycznych wprowadza się modele elemen-

tów konstrukcji. Podstawowymi modelami geometrycznymi są: pręty,

w których jeden wymiar jest znacznie większy od pozostałych; powłoki,

których grubość jest mała w stosunku do pozostałych wymiarów; bryły

o trzech wymiarach tego samego rzędu.

PRZEDMIOT WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Strona 11111111

Wytrzymałość i sztywność elementu zależą od wielu czynników. Do

najważniejszych należy zaliczyć:

• rodzaj materiału i jego stan (zależny od rodzaju obróbki),

• kształt i wymiary elementu,

• rodzaj i wartości sił oraz ich przebieg w czasie.

ROZDZIAŁ 1

Strona 12121212

`

2 Podstawowe pojęcia

ROZDZIAŁ 2

Strona 14141414

Podstawowymi pojęciami stosowanymi w wytrzymałości materiałów są siły wewnętrzne, naprężenia i odkształcenia.

Siły wewnętrzne

Weźmy pod uwagę ciało poddane działaniu układu sił zewnętrznych P1,

P2,...Pn będących w równowadze. Przetnijmy umownie ciało na dwie

części I i II (rysunek 2.1).

Rysunek 2.1

Wzajemne oddziaływanie każdej części ciała sprowadza się do układu sił

wewnętrznych rozłożonych na powierzchni przekroju. Siły powierz-

chniowe wraz z siłami zewnętrznymi działającymi na rozpatrywaną część spełniają warunki równowagi.

Dokonując redukcji sił powierzchniowych do dowolnego punktu B

przekroju, wyznaczamy wektor główny sił wewnętrznych Pw i moment

główny MwB (rysunek 2.2).

PODSTAWOWE POJĘCIA

Strona 15151515

Rysunek 2.2

W celu wyznaczenia sił wewnętrznych stosujemy ogólne warunki

równowagi zgodnie z zasadą zesztywnienia. Siły wewnętrzne działające

na części ciała oddzielone umownym przekrojem są wektorami

przeciwnymi.

Naprężenia

W wyniku redukcji sił wewnętrznych działających na element pola ∆A

wydzielony wokół dowolnego punktu przekroju otrzymujemy wektor

główny ∆Pw (rysunek 2.3).

Naprężeniem w danym punkcie przekroju nazywamy granicę, do której

dąży iloraz siły wewnętrznej ∆Pw i elementu pola ∆A, na który ta siła

działa, gdy element pola dąży do zera.

A

Pw

A ∆

∆=

→∆ 0limp (2.1)

Jednostką naprężenia jest paskal – Pa = N/m2.

Naprężenie w danym punkcie przekroju jest wektorem. Wektor ten

można rozłożyć na składowe: σ - naprężenie normalne i τ - naprężenie

styczne (rysunek 2.4).

ROZDZIAŁ 2

Strona 16161616

Rysunek 2.3

Rysunek 2.4

Wektor naprężenia związany jest z płaszczyzną przekroju. Przez dany

punkt przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn, którym odpowiadają inne wektory naprężenia (przecinanie różnych więzów łączących dany

punkt z jego otoczeniem).

Stan naprężenia w danym punkcie ciała określa nieskończony zbiór

wektorów naprężeń p odpowiadających wszystkim kierunkom przekro-

jów zawierających ten punkt.

Przemieszczenia

Przemieszczenie dowolnego punktu M ciała jest wektorem, którego po-

czątek jest w punkcie M przed odkształceniem, a koniec w punkcie M’

po odkształceniu (rysunek 2.5)

PODSTAWOWE POJĘCIA

Strona 17171717

Rysunek 2.5

kwjviu ++=q (2.2)

gdzie: u, v, w – składowe przemieszczenia w kierunku osi układu

współrzędnych x, y, z.

Odkształcenia

Weźmy pod uwagę ciało obciążone siłami P1, P2, ...,Pn. Punkty A i B

oddalone od siebie o l po odkształceniu zajmą położenie A’ i B’

(rysunek 2.6). Zmiana odległości punktów A i B określa wydłużenie lub

skrócenie odcinka l

lll −=∆ ' (2.3)

Średnie odkształcenie względne jest ilorazem zmiany długości odcinka

do jego długości przed odkształceniem

l

lśr

∆=ε (2.4)

Odkształcenie względne w dowolnym punkcie ciała definiowane jest

następująco

l

l

l

∆=

→0limε (2.5)

ROZDZIAŁ 2

Strona 18181818

Rysunek 2.6

Odkształcenie względne (wydłużenie lub skrócenie) jest granicą ilorazu

przyrostu odległości między punktami ciała i ich wzajemnej odległości

przed obciążeniem, gdy odległość ta dąży do zera. Przyjmujemy, że

odkształcenie ε jest dodatnie, gdy przyrost ∆l jest dodatni.

Biorąc pod uwagę zmianę kąta między osiami układu prostokątnego O,

x, y (rysunek 2.6), definiujemy odkształcenie postaciowe, które oznacza-

my symbolem γ. Kąt odkształcenia postaciowego w dowolnym punkcie

elementu jest to kąt o jaki zmienia się wzajemne położenie linii przecina-

jących się w tym punkcie.

`

3 Pręt jako model geometryczny. Siły wewnętrzne w pręcie

ROZDZIAŁ 3

Strona 20202020

Pręt jest modelem geometrycznym, który powstaje przez przesunięcie

dowolnej figury płaskiej wzdłuż linii prostej lub krzywej w taki sposób,

że środek figury leży na tej linii i płaszczyzna figury jest do niej prosto-

padła. Linię tę nazywamy osią pręta, a przesuwana figura wyznacza

przekrój pręta (normalny).

Ze względu na przekrój rozróżniamy pręty o stałym lub zmiennym

przekroju, ze względu na kształt osi – pręty proste lub zakrzywione.

W celu wyznaczenia sił wewnętrznych w pręcie przyjmujemy środek

redukcji w środku geometrycznym (ciężkości) przekroju pręta. Wyzna-

czamy wektor główny Pw i moment główny Mw sił wewnętrznych (rysu-

nek 3.1). Rzutując wektor główny Pw i moment główny Mw na kierunki

normalny i styczny do przekroju otrzymujemy składowe: N – siłę podłużną (osiową), T – siłę poprzeczną (tnącą), Ms – moment skręcający

oraz Mg – moment gnący.

Rysunek 3.1

Jeżeli w przekroju pręta jest tylko jedna składowa sił wewnętrznych, to

mamy do czynienia z prostym zagadnieniem wytrzymałości pręta. A za-

tem, można wymienić następujące proste zagadnienia:

1. rozciąganie lub ściskanie – siła podłużna N,

2. ścinanie – siła poprzeczna T,

3. skręcanie – moment skręcający Ms,

4. zginanie (czyste) – moment gnący Mg.

PRĘT JAKO MODEL GEOMETRYCZNY. SIŁY WEWNĘTRZNE W PRĘCIE

Strona 21212121

`

4 Rozciąganie i ściskanie pręta prostego o stałym przekroju

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 23232323

Rozpatrzmy pręt prosty o stałym przekroju A, długości l, obciążony

osiową siłą P (rysunek 4.1).

Rysunek 4.1

Warunek równowagi części pręta odciętej współrzędną x ma postać

PN = (4.1)

Zakładając równomierny rozkład naprężeń w przekroju pręta mamy

AdANA

σσ == ∫ (4.2)

stąd

A

P

A

N==σ (4.3)

Pod wpływem siły rozciągającej pręt odkształca się, zmieniając wymiary

podłużne i poprzeczne. Na podstawie doświadczeń można przyjąć, że

przekroje po odkształceniu są płaskie i prostopadłe do osi pręta (hipoteza

płaskich przekrojów). Przesunięcie przekroju o współrzędnej x oznacz-

my symbolem u, a wzajemne przesunięcie przekrojów odległych o dx

jako du (rysunek 4.2).

ROZDZIAŁ 4

Strona 24242424

Rysunek 4.2

Całkowite wydłużenie wynosi

ll −= 'λ (4.4)

Odkształcenie względne (zwane też odkształceniem wzdłużnym) dane

jest wzorem

dx

du=ε (4.5)

Z założenia płaskich przekrojów wynika, że odkształcenie ε w obszarze

przekroju jest stałe. Przyjmując równomierność odkształcenia wzdłuż osi

pręta, całkowite wydłużenie λ można wyznaczyć z zależności

ldxu

l

lx εελ === ∫=

0

(4.6)

A zatem, odkształcenie wzdłużne jest ilorazem całkowitego wydłużenia

i początkowej długości pręta

l

λε = (4.7)

Podczas rozciągania zmieniają się także wymiary poprzeczne pręta.

Odkształcenie poprzeczne ε′ ze względu na zmniejszenie się średnicy

pręta d′ jest ujemneStosunek bezwzględnych wartości odkształcenia

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 25252525

poprzecznego do wzdłużnego jest liczbą stałą zależną od właściwości

materiału, a zatem mamy

0'

' <−

=d

ddε (4.8)

ενε −=' (4.9)

gdzie: ν - liczba (współczynnik) Poissona.

Liczba Poissona dla większości materiałów ma wartości 1/6 < ν < 1/2.

Na podstawie doświadczeń Robert Hooke (1672) sformułował zależność między odkształceniem i naprężeniem. Zgodnie z tą zależnością, naz-

waną prawem Hooke’a, wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia,

które je spowodowało

E

σε = (4.10)

gdzie: E oznacza moduł Younga lub moduł sprężystości podłużnej, który

np. dla stali wynosi E = 2,1·1011

Pa.

Podstawiając do wzoru (4.6) zależność (4.10) oraz uwzględniając wzór

(4.3) wyznaczamy wydłużenie pręta w funkcji siły wewnętrznej

EA

lNdx

EA

Ndx

E

ll

=== ∫∫00

σλ (4.11)

lub w funkcji zewnętrznego obciążenia

EA

lP=λ (4.12)

gdzie: iloczyn EA oznacza sztywność pręta na rozciąganie [N].

ROZDZIAŁ 4

Strona 26262626

4.1. Zasada de Saint-Venanta

W przedstawionych rozważaniach przyjęto równomierny rozkład naprę-żeń w przekroju pręta. Nasuwa się pytanie, czy sposób realizacji obcią-żenia pręta ma wpływ na rozkład naprężeń.

Weźmy pod uwagę trzy jednakowe pręty o średnicy d ściskane statycz-

nie równoważnym obciążeniem odpowiadającym sile P. Pierwszy ścis-

kany jest siłą równomiernie rozłożoną na całej powierzchni przekroju,

drugi – siłą równomiernie rozłożoną na część przekroju, trzeci – siłą skupioną na niewielkiej powierzchni. Schemat doświadczenia i jego

rezultaty pokazano na rysunku 4.3.

Można stwierdzić, że rozkłady naprężeń w pobliżu obciążonej powierz-

chni są różne, z wyraźną koncentracją naprężeń w przypadku obciążenia

o charakterze skupionym. Jednak w odległości zbliżonej do 1,5 d,

wszystkie rozkłady, niezależnie od sposobu obciążenia, stają się równomierne.

Rysunek 4.3

Na podstawie podobnych doświadczeń de Saint-Venant sformułował

następującą zasadę (1855r). Jeżeli na niewielki obszar ciała działają kolejno rozmaicie rozmieszczone lecz statycznie równoważne obciąże-

nia, to w odległości wyraźnie większej od wymiarów liniowych tego

obszaru powstają jednakowe stany naprężenia i odkształcenia.

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 27272727

4.2. Zasada superpozycji

W układach sprężystych przy wyznaczaniu sił wewnętrznych, naprężeń, odkształceń lub przemieszczeń można zastosować zasadę superpozycji

sił, ponieważ wszystkie zależności są liniowymi funkcjami obciążenia.

Zasada superpozycji sił polega na kolejnym rozpatrywaniu skutków

działania każdej z sił osobno i sumowaniu tych skutków.

Zastosowanie zasady superpozycji do wyznaczenia sił wewnętrznych w

pręcie o stałym przekroju A, obciążonym wzdłużnie siłami P i Q przed-

stawiono na rysunek 4.4.

Rysunek 4.4

W dowolnym przekroju dla 0 ≤ x ≤ l1 mamy

siłę wzdłużną QPxNxNxN +=+= )('')(')( oraz naprężenie

A

QP +=+= ''' σσσ

Podobnie w przekrojach z kolejnego odcinka pręta l1 ≤ x ≤ l1 +l2

siła wzdłużna wynosi QxNxNxN =+= )('')(')( oraz naprężenie

A

Q=+= ''' σσσ

ROZDZIAŁ 4

Strona 28282828

4.3. Określenie podstawowych właściwości mechanicznych materiału – statyczna próba rozciągania

Statyczna próba rozciągania jest jedną z podstawowych prób stosowa-

nych do określenia właściwości wytrzymałościowych i plastycznych ma-

teriałów konstrukcyjnych. Próba ta polega na osiowym rozciąganiu

próbek o ściśle określonym kształcie na maszynie wytrzymałościowej

zwanej zrywarką. Próbki przeznaczone do badań mają część pomiarową o określonej długości i stałym przekroju, a zakończone są obustronnie

główkami o zwiększonym przekroju, które służą do mocowania w uch-

wytach maszyny. Wynikiem próby rozciągania jest przebieg siły roz-

ciągającej F lub naprężeń σ, odpowiednio w funkcji wydłużenia ∆l lub

odkształcenia ε w zakresie sprężystym i sprężysto-plastycznym aż do

zerwania.

Przykład wykresu rozciągania σ(ε) z wyraźną granicą plastyczności,

charakterystyczny dla stali niskowęglowej (zawartość węgla 0,15 –

0,25%) przedstawiono na rysunku 4.5. Na osi pionowej odkładane są naprężenia nominalne odniesione do początkowego przekroju części po-

miarowej, 0SFn =σ , na osi poziomej – odkształcenia mierzone

względem długości początkowej próbki, 0ll∆=ε .

W początkowej fazie obciążenia do punktu A naprężenia rosną proporcjonalnie do odkształceń zgodnie z prawem Hooke’a. Punkt A

odpowiada granicy proporcjonalności RH. Na odcinku AA’ przestaje

obowiązywać prawo Hooke’a, jednak odkształcenia pozostają sprężyste.

Punkt A’, który w praktyce jest dość trudny do wyznaczenia, odpowiada

granicy sprężystości Rsp. Po przekroczeniu punktu B w materiale poja-

wiają się wyraźne odkształcenia plastyczne i na odcinku BB’ następuje

kumulacja mikropoślizgów, a w konsekwencji obserwujemy zjawisko

płynięcia materiału tzn. przyrostu długości próbki przy stałym obciąże-

niu. Punktowi B odpowiada granica plastyczności Re. W wielu przypad-

kach po osiągnięciu stanu płynięcia wartość siły rozciągającej ulega

niewielkim wahaniom. Wprowadzane jest pojęcie górnej ReH i dolnej ReL

granicy plastyczności. Na odcinku B’C proces tworzenia się poślizgów

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 29292929

ulega zahamowaniu. Zjawisko to nazywa się umocnieniem materiału.

Punkt C odpowiada doraźnej wytrzymałości na rozciąganie Rm. Po osiąg-

nięciu maksymalnego naprężenia nominalnego wydłużenie ε przestaje

być równomierne na długości pomiarowej próbki i obserwowana jest

koncentracja odkształceń w jednym obszarze. Powstaje przewężenie

zwane szyjką. Przekrój szyjki zmniejsza się i do dalszego rozciągania

wymagana jest coraz mniejsza siła. Na wykresie naprężeń nominalnych

(odniesionych do przekroju wyjściowego) następuje zagięcie do dołu aż do zerwania próbki – punkt D. Rzeczywiste naprężenie rozrywające

oznaczane Ru odniesione jest do przekroju próbki w miejscu przewężenia

po zerwaniu Su.

Rysunek 4.5

Własności plastyczne materiału określane są przy pomocy wskaźników

podawanych w procentach:

trwałe wydłużenie względne

%1000

0

l

llA u

p

−= , (4.13)

trwałe przewężenie względne

%1000

0

S

SSZ u−

= (4.14)

ROZDZIAŁ 4

Strona 30303030

W powyższych wzorach indeks u wskazuje wymiar próbki po zerwaniu.

Dla większości metali i ich stopów wykres rozciągania przebiega bez

wyraźnej granicy plastyczności (rysunek 4.6). W przypadku takich ma-

teriałów wyznacza się tzw. umowną granicę plastyczności. Granica ta –

oznaczana symbolem R0,2 – odpowiada naprężeniu, przy którym po

odciążeniu pozostaje trwałe odkształcenie εtrw = 0,2%. Granicę R0,2

wyznacza się prowadząc prostą równoległą do odcinka OA wykresu aż do przecięcia z linią wykresu w punkcie B.

Rysunek 4.6

Podobne zależności σ(ε) uzyskuje się w przypadku próbek ściskanych.

Większość metali i ich stopów wykazuje zbliżone zachowanie przy ścis-

kaniu i rozciąganiu. Oznacza to, że podstawowe parametry materiałowe,

takie jak granica proporcjonalności, sprężystości i plastyczności, mają te

same wartości w próbie ściskania i rozciągania (materiał izonomiczny).

Na rysunku 4.7 pokazany jest przykładowy wykres uzyskany dla stali

niskowęglowej. Przy ściskaniu po przekroczeniu granicy plastyczności

następuje spęcznienie próbki i obserwuje się wyraźny wzrost siły po-

trzebnej do dalszego odkształcenia próbki.

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 31313131

Rysunek 4.7

Próba rozciągania i ściskania w przypadku materiałów kruchych

przebiega bez wyraźnej granicy proporcjonalności i granicy plas-

tyczności. Wykres zależności σ(ε) jest linią krzywą kończącą się w

punkcie odpowiadającym nagłemu zniszczeniem próbki. Materiały

kruche znoszą znacznie lepiej ściskanie niż rozciąganie. Na rysun-

ku 4.8 znajduje się uproszczony wykres otrzymany dla próbki

z żeliwa. Naprężenia niszczące przy ściskaniu są tu 3 ÷ 4 razy

wiesze od analogicznych przy rozciąganiu.

ROZDZIAŁ 4

Strona 32323232

Rysunek 4.8

4.4. Obliczenia wytrzymałościowe prętów na rozciąganie i ściskanie

W statycznej próbie rozciągania lub ściskania wyznaczane są naprężenia

niebezpieczne, za które w zależności od warunków przyjmuje się naprężenia odpowiadające granicy plastyczności Re lub doraźnej wytrzy-

małości Rm. Maksymalne, dopuszczalne ze względów technicznych

naprężenie powinno mieć wartość mniejszą od naprężenia uznanego za

niebezpieczne ( menieb RR , =σ ). Oznacza to, że naprężenie dopuszczalne

σdop jest pewnym ułamkiem naprężenia niebezpiecznego

n

niebdop

σσ = (4.15)

gdzie: n > 1 oznacza współczynnik bezpieczeństwa.

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 33333333

Współczynnik bezpieczeństwa powinien uwzględniać prawdopodobień-stwo niekorzystnych zmian warunków przyjętych w obliczeniach. Właś-ciwy dobór współczynnika bezpieczeństwa jest ważnym zagadnieniem

w projektowaniu maszyn i wymaga możliwie pełnej znajomości czynni-

ków decydujących o wytrzymałości i trwałości konstrukcji.

W przypadku rozciągania lub ściskania naprężenia dopuszczalne dopσ

oznaczamy odpowiednio kr lub kc.

Obliczenia wytrzymałościowe pręta rozciąganego lub ściskanego

polegają na porównaniu naprężeń rzeczywistych z naprężeniami

dopuszczalnymi

cr kkA

N lub ≤=σ (4.16)

gdzie: N – siła wzdłużna, A – pole przekroju pręta.

4.5. Uwagi o spiętrzeniu naprężeń

Rozkład naprężeń normalnych w prętach o zmiennych przekrojach

znacznie różni się od przyjmowanego w obliczeniach rozkładu równo-

miernego. Wyraźny wzrost naprężeń występuje w obszarach, w których

zmienia się kształt przekroju. Na przykład w płaskiej próbce w sąsiedz-

twie wywierconego otworu obserwujemy znaczny wzrost naprężeń

w stosunku do naprężeń nominalnych APn =σ , tzw. spiętrzenie

naprężeń (rysunek 4.9).

Szczególnie duże spiętrzenie naprężeń ma miejsce w miejscu ostrych

nacięć. Jest to tzw. działanie karbu (rysunek 4.10).

W przypadku materiałów kruchych spiętrzenie lokalne powoduje poja-

wienie się pęknięć, które są źródłem nowych spiętrzeń naprężeń i pęk-

nięć, a w konsekwencji zniszczenia spójności materiału. Materiały

o właściwościach plastycznych poprzez lokalne trwałe odkształcenia

i wyrównanie poziomu naprężeń łagodzą działanie karbu.

ROZDZIAŁ 4

Strona 34343434

Rysunek 4.9

Rysunek 4.10

W celu obniżenia poziomu spiętrzenia naprężeń należy stosować łagodne

przejścia w obszarach zmian geometrii elementu, a także uwzględniać możliwość wystąpienia lokalnego wzrostu naprężeń przy ustalaniu

wartości współczynnika bezpieczeństwa.

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 35353535

4.6. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe

Układami statycznie niewyznaczalnymi nazywamy układy, w których

liczba niewiadomych reakcji jest większa od liczby równań równowagi.

Uzupełniające równania otrzymujemy rozpatrując odkształcenia sprężys-

te elementów układu. Równania te noszą nazwę równań przemieszczeń

lub warunków geometrycznych.

Sposoby rozwiązywania zagadnień statycznie niewyznaczalnych ukła-

dów prętowych przedstawione są na wybranych przykładach.

Przesztywnienie układu

Sztywna belka AB zamocowana przegubowo w punkcie A jest zawie-

szona na dwóch sprężystych prętach wykonanych z tego samego mater-

iału. Swobodny koniec belki jest obciążony siłą P. Wyznaczyć siły

wzdłużne w prętach, jeśli ich długość wynosi l, a przekroje odpowiednio

A1 i A2.(rysunek 4.11)

Rysunek 4.11

ROZDZIAŁ 4

Strona 36363636

Rozwiązanie

1. Równania równowagi

021 =−++ PNNRA

032 21 =−+ PaaNaN

2. Warunki geometryczne

aa 2

21 λλ= stąd 12 2λλ =

3. Zależności fizyczne

1

11

EA

lN=λ ,

2

22

EA

lN=λ

Po podstawieniu zależności fizycznych do warunków geometrycznych

otrzymujemy równanie uzupełniające

NA

AN

1

22 2=

Rozwiązując układ równań równowagi wraz z równaniem uzupełnia-

jącym wyznaczamy

siły w prętach PAA

AN

21

1

14

3

+= , P

AA

AN

21

22

4

6

+=

oraz reakcję podpory PAA

AARA

21

21

42

+

+−=

(znak „–” oznacza przeciwny zwrot reakcji).

Naprężenia montażowe

Pręt o zmiennej skokowo średnicy wykonany z jednego materiału należy

zamontować w sztywnej obudowie. Pręt został wykonany o wymiar δ za

długi w stosunku do rozstawu ścian. Wyznaczyć reakcje ścian obudowy

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 37373737

po montażu. Zbudować wykresy sił normalnych N, naprężeń σ i prze-

mieszczeń u dowolnego przekroju (rysunek 4.12).

Rysunek 4.12

Rozwiązanie

1. Równanie równowagi

RRR == 21

2. Warunki geometryczne

δλλ =+ 21

3. Zależności fizyczne

1

1EA

Rl=λ ,

2

2EA

Rl=λ

ROZDZIAŁ 4

Strona 38383838

Jeśli jest d1 = 2d2, to A1 = 4A2 oraz 2

12EA

Rl=λ

Po podstawieniu zależności fizycznych do warunków geometrycznych

otrzymujemy równanie

δ=+212 EA

Rl

EA

Rl

z którego wyznaczamy reakcję ścian R w funkcji parametru niedokład-

ności wykonania δ

δl

EAR 2

3

2=

Naprężenia termiczne

Jeżeli element konstrukcji wykonany z materiału izotropowego zostanie

równomiernie podgrzany lub ochłodzony to odkształcenia we wszystkich

kierunkach będą wynosić

T∆= αε (4.17)

gdzie: α - współczynnik rozszerzalności liniowej.

Współczynnik rozszerzalności liniowej zależy od rodzaju materiału i w

rozpatrywanym w praktyce zakresie temperatur ma wartość stałą.

Weźmy pod uwagę przykład, w którym pręt złożony z odcinka stalowe-

go o sztywności Es As i odcinka miedzianego o sztywności Em Am został

wstawiony między dwie sztywne ściany i podgrzany o ∆T (rysu-

nek 4.13). Przyjmując współczynniki rozszerzalności liniowej stali

i miedzi, odpowiednio αs i αm, należy wyznaczyć wartość reakcji ścian.

Rozwiązanie

1. Równanie równowagi

RRR == 21

2. Warunek geometryczny

ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE PRĘTA PROSTEGO O STAŁYM PRZEKROJU

Strona 39393939

- równość swobodnego wydłużenia termicznego i skrócenia wywołanego

reakcją ścian

λλ =T

przy czym

T

m

T

s

T λλλ += oraz ms λλλ +=

Rysunek 4.13

3. Zależności fizyczne

lTs

T

s ∆= αλ , Tm

T

m ∆= αλ

ss

sAE

lR=λ ,

mm

mAE

Rl=λ

Po podstawieniu zależności fizycznych do warunków geometrycznych

otrzymujemy równanie

( )mmss

msAE

Rl

AE

RlTl +=∆+αα

z którego wyznaczamy reakcję ścian R

ROZDZIAŁ 4

Strona 40404040

( )

TAEAE

AAEER

mmss

msmsms ∆+

+=

αα

`

5 Momenty bezwładności figur płaskich

ROZDZIAŁ 5

Strona 42424242

Moment bezwładności względem bieguna (biegunowy moment bezwład-

ności) (rysunek 5.1)

Rysunek 5.1

∫=A

def

dAJ 2

0 ρ (5.1)

ρ - odległość elementu powierzchni od bieguna.

Moment bezwładności względem prostej (osi) (rysunek 5.2)

Rysunek 5.2

∫=A

def

l dArJ2

(5.2)

r - odległość elementu powierzchni od prostej

Moment bezwładności względem prostej jest równy iloczynowi pola

figury A i kwadratu tzw. promienia bezwładności i

2iAJ l = (5.3)

Wyznaczmy momenty bezwładności figury płaskiej w układzie osi pro-

stokątnych (rysunek 5.3).

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Strona 43434343

Rysunek 5.3

Momenty bezwładności figury względem osi x i osi y zgodnie z definicją (5.2) wynoszą

∫=A

x dAyJ 2 (5.4)

∫=A

y dAxJ 2 (5.5)

Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych jest

określony zależnością

( ) y

A

x

A

JJdAyxdAJ +=+== ∫∫222

0 ρ (5.6)

Biegunowy moment bezwładności figury płaskiej względem początku

układu współrzędnych prostokątnych równa się sumie momentów bez-

władności względem osi układu.

W prostokątnym układzie współrzędnych wprowadza się pojęcie mo-

mentu względem układu osi nazywanego momentem odśrodkowym lub

momentem dewiacji, który zdefiniowany jest wzorem

∫=A

def

xy dAyxJ (5.7)

ROZDZIAŁ 5

Strona 44444444

5.1. Momenty bezwładności względem osi przesuniętych

Niech osie ξ i η będą przesunięte odpowiednio o b i a względem osi x

i y. Spełniony jest następujący związek między współrzędnymi obu

układów (rysunek 5.4)

Rysunek 5.4

ax −=ξ , by −=η (5.8)

Moment bezwładności figury względem osi ξ wyznaczamy ze wzoru

AbdAybdAydAbydAJAA AA

2222 2)( +−=−== ∫∫ ∫∫ηξ (5.9)

W podobny sposób wyznaczamy pozostałe momenty bezwładności Jη

i Jξη. Ostatecznie otrzymujemy następujące wzory

AbdAybJJA

x

22 ∫ +−=ξ (5.10)

AadAxaJJA

y

22 ∫ +−=η (5.11)

bAadAyadAxbJJAA

xy ∫∫ +−−=ξη (5.12)

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Strona 45454545

gdzie całki x

A

SdAy =∫ oraz y

A

SdAx =∫ oznaczają momenty statyczne

figury, odpowiednio względem osi x i osi y.

Jeżeli początek układu 0, x, y znajduje się w środku ciężkości figury

wówczas momenty statyczne Sx i Sy są równe zeru i wzory (5.10 – 5.12)

redukują się do postaci

2bAJJ x +=ξ (5.13)

2aAJJ y +=η (5.14)

abAJJ xy +=ξη (5.15)

Powyższe wzory stanowią matematyczny zapis twierdzenia Steinera.

Moment bezwładności figury płaskiej względem osi l równa się momen-

towi bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez śro-

dek ciężkości figury zwiększonemu o iloczyn powierzchni figury przez

kwadrat odległości między osiami.

Moment odśrodkowy figury płaskiej względem układu osi prostokątnych

równa się momentowi odśrodkowemu względem układu osi równoleg-

łych przechodzących przez środek ciężkości figury zwiększonemu o ilo-

czyn powierzchni figury przez odległości między osiami obu układów.

5.2. Momenty bezwładności względem osi obróconych

Rozważmy układ o osiach ξ, η obrócony o dowolny kąt ϕ względem

układu 0, x, y (rysunek 5.5). Związek między współrzędnymi obu ukła-

dów ma postać

ϕϕξ sincos yx += , ϕϕη sincos xy −= (5.16)

Na podstawie definicji momentów bezwładności, wykorzystując zależ-ności (5.16), po przekształceniach wyznaczamy momenty bezwładności

w układzie obróconym

ROZDZIAŁ 5

Strona 46464646

ϕϕϕηξ 2sinsincos 222

xyyx

A

JJJdAJ −+== ∫ (5.17)

ϕϕϕξη 2sincossin 222

xyyx

A

JJJdAJ ++== ∫ (5.18)

ϕϕξηξη 2cos2sin2

xy

yx

A

JJJ

dAJ +−

== ∫ (5.19)

Rysunek 5.5

Podstawiając zależności trygonometryczne

2

2cos1sin 2 ϕ

ϕ−

=, 2

2cos1cos2 ϕ

ϕ+

=

otrzymujemy inną postać wzorów (5.17 – 5.19)

ϕϕξ 2sin2cos

22xy

yxyxJ

JJJJJ −

−+

+=

(5.20)

ϕϕη 2sin2cos

22xy

yxyxJ

JJJJJ +

−−

+=

(5.21)

ϕϕξη 2cos2sin2

xy

yxJ

JJJ +

−= (5.22)

Wyznaczmy kąt obrotu ϕ0 prostokątnego układu osi, któremu odpowiada

zerowa wartość momentu odśrodkowego Jξη = 0

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Strona 47474747

02cos2sin

200 =+

−= ϕϕξη xy

yxJ

JJJ (5.23)

stąd

yx

xy

JJ

Jtg

−−=

22 0ϕ (5.24)

Rozwiązaniem równania trygonometrycznego (46) są dwa wzajemnie

prostopadłe kierunki

210

πϕϕ n+= (n = 1, 2, 3...) (5.25)

Wynika stąd, że w dowolnym punkcie figury płaskiej można wyznaczyć dwie wzajemnie prostopadłe osie, względem których moment odśrodko-

wy jest równy zeru. Osie te nazywamy głównymi osiami bezwładności

figury.

Główne osie bezwładności przechodzące przez środek geometryczny

figury nazywamy głównymi centralnymi osiami bezwładności, a mo-

menty względem tych osi – głównymi centralnymi momentami bezwład-

ności. Można wykazać, że główne centralne momenty bezwładności

mają ekstremalne wartości określone wzorem

( ) 22

2,1 4)(2

1

2

1xyyxyx JJJJJJ +−±+= (5.26)

ROZDZIAŁ 5

Strona 48484848

`

6 Skręcanie prętów o przekrojach kołowych

ROZDZIAŁ 6

Strona 50505050

Skręcanie ma miejsce, gdy pręt jest obciążony parami sił w różnych

płaszczyznach prostopadłych do jego osi. Jeżeli nie występują ogranicze-

nia w swobodnej deplanacji (wypaczeniu) przekrojów poprzecznych

pręta spowodowane sposobem przyłożenia obciążenia, zmianą przekroju

poprzecznego lub warunkami podparcia, mówimy o skręcaniu

swobodnym.

W skręcaniu siły wewnętrzne redukują się do momentu skręcającego Ms.

Rozważmy pręt utwierdzony jednym końcem, a na drugim obciążony

momentem M. Niech na powierzchni walcowej pręta naniesiona zostanie

siatka linii tworzących i kół odpowiadających przekrojom poprzecznym.

Można zaobserwować, że w wyniku skręcania następują wzajemne

obroty nie deformujących się przekrojów oraz przejście tworzących

w linie śrubowe (rysunek 6.1).

Rysunek 6.1

Podstawą teorii swobodnego skręcania prętów o przekroju kołowym lub

pierścieniowym są następujące założenia:

a. przekroje po skręceniu pręta pozostają płaskie i normalne do

jego osi (hipoteza płaskich przekrojów),

SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH

Strona 51515151

b. promienie naniesione na powierzchnię przekroju pozostają pro-

ste (kształt przekroju nie zmienia się),

c. wzajemna odległość dowolnych przekrojów nie ulega zmianie,

a zatem w przekrojach skręcanych prętów występują tylko naprę-żenia styczne.

Warunki geometryczne

W celu sformułowania warunków geometrycznych rozważmy element

dx pręta po odkształceniu (rysunek 6.2).

Rysunek 6.2

Przekroje odległe o dx obracają się względem siebie o kąt dϕ. Obrotowi

przekrojów odpowiada kąt odkształcenia postaciowego γ, którego war-

tość na obwodzie wynosi γr. Na podstawie zależności geometrycznych

mamy

ϕγ drdxCC r ==' (6.1)

stąd

rdx

dr

ϕγ = (6.2)

Na współśrodkowej powierzchni walcowej w dowolnej odległości ρ

prawdziwa jest zależność

ROZDZIAŁ 6

Strona 52525252

ϕργ ddxDD ==' (6.3)

oraz ogólny wzór na kąt odkształcenia postaciowego

ρϕ

γdx

d= (6.4)

gdzie: dx

dϕ oznacza jednostkowy kąt skręcenia.

Zależności fizyczne

Zależności fizyczne określa prawo Hooke’a dla ścinania, zgodnie z któ-

rym odkształcenie postaciowe jest proporcjonalne do naprężenia, które je

spowodowało

G

τγ = (6.5)

gdzie: G – moduł Kirchhoffa, moduł sprężystości postaciowej, który

np. dla stali wynosi G = 8·1010

Pa.

Naprężenia styczne wyznaczamy porównując wzory (6.4) i (6.5)

dx

dG

ϕρτ = (6.6)

Jednostkowy kąt skręcenia dla dowolnego przekroju jest stały, a zatem

wartość naprężeń stycznych jest proporcjonalna do odległości od środka

przekroju. Naprężenia styczne w przekroju skręcanego pręta charaktery-

zuje rozkład liniowy, przy czym kierunek wektorów naprężeń jest pro-

stopadły do promienia przekroju (rysunek 6.3).

Rysunek 6.3

SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH

Strona 53535353

Warunek równowagi

Równanie momentów względem osi pręta ma postać

0=−∫ s

A

MdAρτ (6.7)

po podstawieniu wyrażenia (6.6) na naprężenia styczne otrzymujemy

równanie

02 =−∫ s

A

MdAdx

dG ρ

ϕ (6.8)

w którym 0

2 JdAA

=∫ρ oznacza biegu biegunowy moment bezwładności

przekroju.

Z równania równowagi (6.6) wyznaczamy jednostkowy kąt skręcenia

0GJ

M

dx

d s=ϕ

(6.9)

Kąt skręcenia skrajnych przekrojów pręta wyznaczamy całkując

wyrażenie (6.9) na długości pręta l

00 0 GJ

lMdx

GJ

M s

l

s == ∫ϕ (6.10)

Kąt skręcenia pręta mierzony w stopniach dany jest wzorem

0

180

GJ

lM so

πϕ = (6.11)

Obliczanie kąta skręcenia związane jest z zapewnieniem dostatecznej

sztywności elementów. Wprowadzając tzw. dopuszczalny kąt skręcenia

ϕdop, warunek sztywności skręcanego pręta można zapisać w postaci

dop

s

GJ

lMϕϕ ≤=

0

(6.12)

ROZDZIAŁ 6

Strona 54545454

6.1. Obliczenia wytrzymałościowe na skręcanie

W celu wyznaczenia naprężeń stycznych w funkcji obciążenia, do wyra-

żenia (6.6) na naprężenia styczne podstawiamy zależność (6.9) określa-

jącą jednostkowy kąt skręcenia, otrzymujemy

ρτ0J

M s= (6.13)

Wzór ten umożliwia wyznaczenie naprężeń stycznych w dowolnym

punkcie przekroju.

Zgodnie z rozkładem naprężeń, maksymalne naprężenia styczne

występuje na konturze przekroju (ρ = r)

00

maxW

Mr

J

M ss ==τ (6.14)

gdzie: W0 – wskaźnik wytrzymałości na skręcanie

r

JW 0

0 = (6.15)

Warunek wytrzymałości skręcanego pręta ma postać

tdop

s kW

M=≤= ττ

0

max (6.16)

gdzie: kt – dopuszczalne naprężenie styczne.

Biegunowe momenty bezładności i wskaźniki wytrzymałości na skręca-

nie obliczamy ze wzorów:

a) przekrój kołowy

322

44

0

drJ

ππ== (6.17)

SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH

Strona 55555555

162

33

0

drW

ππ== (6.18)

b) przekrój pierścieniowy

−=

4

44

0 132

z

wz

d

ddJ

π

(6.19)

−=

4

43

0 116

z

wz

d

ddW

π

(6.20)

gdzie: dz i dw oznaczają odpowiednio zewnętrzną i wewnętrzną średnicę przekroju.

6.2. Przykłady obliczeń

1. Wyznaczyć średnicę d przekroju pręta utwierdzonego na jednym

końcu i obciążonego momentami 4M i M działającymi odpowiednio

w przekrojach B i C (rysunek 6.4). Zbudować wykres momentów skrę-cających oraz wykres kąta skręcenia. Przyjąć, że dane są: długość l,

moment M, moduł Kirchhoffa G oraz naprężenie dopuszczalne τdop.

Rysunek 6.4

ROZDZIAŁ 6

Strona 56565656

Rozwiązanie

Równanie równowagi

04 =+− MMM A

stąd MM A 3=

Funkcja momentu skręcającego

lx ≤≤0

MM s 3−=

lxl 3≤≤ MMMM s =+−= 43

lxl 43 ≤≤ 043 =−+−= MMMM s

Kąty skręcenia poszczególnych odcinków pręta wynoszą:

0

3

GJ

lMAB

−=ϕ ,

0

2

GJ

lMBC =ϕ , 0=DCϕ

Całkowity kąt skręcenia jest sumą algebraiczną kątów skręcenia odcin-

ków pręta

0GJ

lMCDBCABAD

−=++= ϕϕϕϕ

W przypadku pręta o przekroju kołowym warunek wytrzymałościowy

ma postać

dop

ss

d

M

W

Mτ

πτ ≤==

3

max

0

max

max

16

stąd obliczamy średnicę d przekroju pręta

3max16

dop

sMd

πτ≥

SKRĘCANIE PRĘTÓW O PRZEKROJACH KOŁOWYCH

Strona 57575757

Ostatecznie, podstawiając największy co do bezwzględnej wartości

moment skręcający MM s 3max = otrzymujemy warunek poprawnie

dobieranej średnicy pręta

348

dop

Md

πτ≥ .

2. Wyznaczyć największe naprężenie w pręcie o średnicy d utwierdzo-

nym na obu końcach i obciążonym momentami M i 3M w sposób

pokazany na rysunek 6.5. Zbudować wykresy momentów skręcających

i kątów skręcenia. Przyjąć, że dane są: długość l, średnica d, moment M

oraz moduł Kirchhoffa G.

Rysunek 6.5

Rozwiązanie

Równanie równowagi

03 =+−+ DA MMMM

stąd 02 =+− DA MMM

W powyższym równaniu występują dwa nieznane momenty utwierdze-

nia MA i M

D, a zatem zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczal-

ROZDZIAŁ 6

Strona 58585858

ne. Dodatkowe równanie wyznaczamy biorąc pod uwagę przemieszcze-

nia pręta. Wiemy, że przekroje utwierdzone nie obracają się względem

siebie, mamy więc następujący warunek geometryczny

0=++= CDBCABAD ϕϕϕϕ

Zależności fizyczne określają kąty skręcenia poszczególnych odcinków

pręta

0GJ

lM A

AB =ϕ, 0

)(

GJ

lMM A

BC

+=ϕ

, 0

)3(

GJ

lMMM A

CD

−+=ϕ

Po podstawieniu zależności fizycznych do warunku geometrycznego

otrzymujemy dodatkowe równanie

03 =−++++ MMMMMM AAA ,

z którego wyznaczamy

MM A

3

1=

Z równania równowagi obliczamy moment MD

MM D

3

5=

Największa bezwzględna wartość momentu skręcającego wynosi

MM s

3

5max =

A zatem, największe naprężenie styczne występuje w na powierzchni

odcinka CD pręta i określone jest wzorem

3

0

maxmax

3

80

d

M

W

M s

πτ ==

.

`

7 Ścinanie pręta prostego

ROZDZIAŁ 7

Strona 60606060

Ścinanie ma miejsce, gdy jako siła wewnętrzna występuje tylko siła

poprzeczna. W praktyce realizacja czystego ścinania jest niemożliwa ze

względu na towarzyszący ścinaniu efekt zginania. Gdy działanie mo-

mentu gnącego jest małe w porównaniu z działaniem siły poprzecznej,

wprowadza się pojęcie ścinania technicznego.

Ograniczając siły wewnętrzne do siły poprzecznej, średnią wartość naprężenia stycznego τśr obliczana się jako iloraz siły T i powierzchni

przekroju A

A

Tśr =τ (7.1)

Jest to przybliżony sposób wyznaczania naprężeń w niektórych

elementach maszyn np. sworzniach, nitach itp. Warunek

wytrzymałościowy przyjmuje się w postaci

dopśrA

Tττ ≤= (7.2)

Przykładem obliczeń na ścinanie może być tzw. zakładkowe połączenie

nitowane dwóch blach rozciąganych siłą P (rysunek 7.1)

Rysunek 7.1

Przy założeniu równomiernego obciążenia wszystkich nitów, pojedynczy

nit ścinany jest siłą

ŚCINANIE PRĘTA PROSTEGO

Strona 61616161

n

PT = (7.3)

gdzie: n oznacza liczbę nitów.

Na rysunku 7.2 pokazane jest oddziaływanie łączonych blach na trzon

nitu.

Rysunek 7.2

Warunek wytrzymałościowy ma postać

dopdn

P

nA

Pτ

πτ ≤==

2

4 (7.4)

gdzie d oznacza średnicę nitu.

Po przekształceniu warunek ten może służyć do wyznaczenia i doboru

średnicy nitów w rozważanym połączeniu nakładkowym

dopn

Pd

τπ

4≥ (7.5)

ROZDZIAŁ 7

Strona 62626262

`

8 Zginanie prętów

ROZDZIAŁ 8

Strona 64646464

Rozważmy pręt, którego oś jest krzywą płaską, a obciążenie w postaci sił

P1,..., Pn działa w płaszczyźnie osi pręta. Przecinamy pręt przekrojem

poprzecznym na dwie części I i II (rysunek 8.1).

Rysunek 8.1

W wyniku redukcji sił zewnętrznych działających na część I do środka

przekroju wyznaczamy składowe sił wewnętrznych:

N1 – siła podłużna (normalna),

T1 – siła poprzeczna (tnąca),

Mg1 – moment gnący.

Siły te są oddziaływaniem części I w miejscu przekroju na część II.

Przeprowadzając analogiczne rozumowanie w stosunku do części II

pręta, otrzymujemy przeciwne wektory sił N2, T2 i momentu gnącego

Mg2, którymi część II działa na część I.

Przyjmujemy następujące określenia sił wewnętrznych.

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 65656565

Siła podłużna lub poprzeczna w dowolnym przekroju jest równa sumie

odpowiednich składowych obciążenia działających na część pręta

oddzieloną tym przekrojem.

Moment gnący w dowolnym przekroju jest równy sumie momentów

względem środka przekroju wszystkich sił działających na część pręta

oddzieloną tym przekrojem.

8.1. Siły poprzeczne i momenty gnące w belkach

Belki są to pręty proste obciążone siłami prostopadłymi do osi.

Wyznaczmy siły wewnętrzne w belce opartej na podporach przegubo-

wych i obciążonej siłą P (rysunek 8.2).

Rysunek 8.2

Reakcje podpór obliczamy z równań równowagi

0=−+ PRR BA

0)( =+− baRPa B

po przekształceniach mamy

ba

PbRA

+= ,

ba

PaRB

+=

Siłę poprzeczną i moment gnący wyznaczamy z warunku równowagi

odciętej myślowo części belki (rysunek 8.3)

ROZDZIAŁ 8

Strona 66666666

Rysunek 8.3

ax ≤≤0

ba

PbRT A

+==1

x

ba

PbxRM Ag

+==1

baxa +≤≤

BA RP

ba

PbPRT −=−

+=−=2

)()(

)(2

xbaRaxPxba

Pb

axPxRM

B

Ag

−+=−−+

=

=−−=

Przyjmujemy umowę dotyczącą znaku siły poprzecznej T i momentu

gnącego Mg.

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 67676767

Siła poprzeczna spowodowana siłami działającymi po lewej stronie

przekroju do góry, a po prawej do dołu ma znak dodatni, w przeciwnym

przypadku ma znak ujemny.

Moment gnący spowodowany siłami działającymi do góry jest dodatni,

a działającymi do dołu ujemny.

Siły wewnętrzne w belkach obciążonych w sposób ciągły

Weźmy pod uwagę belkę swobodnie podpartą, której część obciążona

jest obciążeniem o natężeniu q(ξ), zmieniającym się wzdłuż osi

(rysunek 8.4).

Rysunek 8.4

Całkowite obciążenie belki wynosi

∫−

=al

dqQ0

)( ξξ

Siły wewnętrzne w poszczególnych przedziałach określone są wzorami

ax ≤≤0 ART =1 , xRM Ag =1

ROZDZIAŁ 8

Strona 68686868

lxa ≤≤ ∫−

−=ax

A dqRT0

2 )( ξξ ,

ξξξ daxqxRM

ax

Ag )()(0

2 −−−= ∫−

Oznaczmy wypadkową obciążenia ciągłego po lewej stronie przekroju

przez

∫−

=ax

x dqQ0

)( ξξ

oraz odległość wypadkowej od rozpatrywanego przekroju przez

∫

∫−

−

−−

=ax

ax

x

dq

daxq

s

0

0

)(

)()(

ξξ

ξξξ

Wówczas siły wewnętrzne w przedziale lxa ≤≤ możemy zapisać w

prostej formie

xA QRT −=2

xxAg sQxRM −=2

Jeśli obciążenie jest rozłożone równomiernie na odcinku belki, q =

constans, na podstawie podanych wzorów otrzymujemy

)( axqQx −=

2

)( axqsx

−=

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 69696969

8.2. Zależności różniczkowe między obciążeniem i siłami wewnętrznym

Weźmy pod uwagę element belki o długości dx (rysunek 8.5). Na belkę działa poprzeczne obciążenie ciągłe o intensywności q. Zakładamy, że

funkcje opisujące siły wewnętrzne T i Mg są różniczkowalne względem

współrzędnej x.

Rysunek 8.5

Zapiszmy warunki równowagi elementu belki.

Suma rzutów na kierunek prostopadły do osi belki wynosi

0=+−+ qdxTdTT (8.1)

Suma momentów względem punktu O znajdującego się w środku ele-

mentu dx dana jest równaniem

02

=−−−+dx

dTTdxMdMM ggg (8.2)

Odrzucając w równaniach równowagi małe wyższego rzędu, otrzymuje-

my następujące zależności różniczkowe

qdx

dT−= (8.3)

ROZDZIAŁ 8

Strona 70707070

Tdx

dM g= (8.4)

Różniczkując obie strony równania (8.4) mamy

qdx

Md g−=

2

2

(8.5)

Zależności (8.3 – 8.5) można zapisać w formie wniosków:

a. pochodna siły poprzecznej względem współrzędnej mierzonej

wzdłuż osi belki jest równa intensywności obciążenia ciągłego

(ze znakiem ujemnym),

b. pochodna momentu gnącego względem współrzędnej mierzonej

wzdłuż osi belki jest równa sile poprzecznej,

c. druga pochodna momentu gnącego względem współrzędnej

mierzonej wzdłuż osi belki jest równa intensywności obciążenia

ciągłego (ze znakiem ujemnym).

Wyprowadzone zależności różniczkowe wykorzystuje się do skontrolo-

wania poprawności wyznaczanych wykresów T(x) i Mg(x).

Wskazówki:

• Jeśli jest q = 0 to wykresem T(x) jest prosta równoległa do

osi pręta, Mg(x) jest prostą nachyloną do osi.

• Moment gnący Mg(x) ma ekstremum w miejscu zerowania

się siły poprzecznej T.

• W miejscu działania siły skupionej lub momentu skupionego

na wykresie T(x) lub Mg(x) występuje nieciągłość w postaci

skoku odpowiednio o wartość siły skupionej lub momentu

skupionego.

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 71717171

8.3. Równomierne zginanie belki – naprężenia i odkształcenia

Zbadajmy naprężenia i odkształcenia w belce równomiernie zginanej.

Taki rodzaj zginania występuje, gdy moment gnący wywołany obciąże-

niem jest stały wzdłuż osi belki, const.)( =xM g Z zależności różnicz-

kowej (8.4), wiążącej siłę poprzeczną z momentem gnącym, wynika, że

w zginaniu równomiernym siła poprzeczna jest równa zeru, 0)( =xT .

A zatem, zginanie równomierne jest zginaniem czystym, w którym jedy-

ną siłą wewnętrzną jest moment gnący.

Rozważmy zginanie równomierne belki o przekroju prostokątnym z na-

niesioną na bokach siatką linii podłużnych i poprzecznych (rysunek 8.6).

Rysunek 8.6

Po odkształceniu linie podłużne oraz oś belki zakrzywiają się, linie pro-

stopadłe pozostają proste i prostopadłe do osi belki, a kontur przekroju

pozostaje płaski. Przyjmując strukturę materiału złożoną z włókien rów-

noległych do osi belki, można stwierdzić, że włókna po stronie wklęsłej

skróciły się, a po stronie wypukłej uległy wydłużeniu. Oznacza to, że w

belce istnieje warstwa utworzona z włókien o niezmienionej długości.

Jest to tzw. warstwa obojętna, której przecięcie z przekrojem poprzecz-

nym wyznacza oś obojętną.

ROZDZIAŁ 8

Strona 72727272

Na podstawie doświadczeń można przyjąć mechanizm zginania oparty

na następujących założeniach:

a. przekrój płaski pozostaje po odkształceniu płaski i prostopadły

do osi belki,

b. istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania

momentu gnącego,

c. w przekroju poprzecznym występują wyłącznie naprężenia

normalne, a w przekrojach podłużnych nie ma żadnych naprężeń.

Odkształcenia elementu belki

Rozpatrzmy element belki o długości dx przed odkształceniem i po

odkształceniu (rysunek 8.7).

Rysunek 8.7

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 73737373

Weźmy pod uwagę włókno znajdujące się w odległości y od warstwy

obojętnej. Włókno, które przed odkształceniem miało długość dx = ds,

po odkształceniu wydłuża się o ε do długości ds (1 + ε).

Na podstawie zależności geometrycznych mamy

ρρ

ε

−=

+−

+ ds

y

ds )1( (8.6)

stąd

ρ

εy

−= (8.7)

gdzie: ρ jest promieniem krzywizny warstwy obojętnej, który w przyję-tym układzie współrzędnych i przy dodatnim momencie gnącym Mg ma

wartość ujemną.

Wzór (8.7) oznacza, że wydłużenie włókien jest proporcjonalne do ich

odległości od warstwy obojętnej i ze względu na znak promienia krzy-

wizny jest dodatnie dla dodatnich wartości współrzędnej y.

Warunki równowagi

Siły zewnętrzne działające na część belki oddzieloną przekrojem

redukują się do momentu gnącego Mg. W obszarze przekroju działają

elementarne siły σ dA (rysunek 8.8).

Rysunek 8.8

ROZDZIAŁ 8

Strona 74747474

Warunki równowagi odcinka belki mają postać

0=∑ xF 0=∫A

dAσ (8.8)

0=∑ yM 0=∫A

dAzσ (8.9)

0=∑ zM 0=+− ∫ g

A

MdAyσ (8.10)

Zależności fizyczne dla materiału sprężystego określone są prawem

Hooke’a, z którego po uwzględnieniu wzoru (8.7) wyznaczamy napręże-

nia normalne

yE

Eρ

εσ −== (8.11)

Związek (8.11) ustala rozkład naprężeń normalnych w przekroju pręta

zginanego. Zgodnie z nim wartość naprężeń jest proporcjonalna do

odległości punktu przekroju od osi obojętnej.

Po podstawieniu do warunków równowagi (8.8) – (8.10) funkcji rozkła-

du naprężeń (8.11) otrzymujemy kolejno

0=∫A

dAy (8.12)

0=∫A

dAzy (8.13)

g

A

MdAyE

−=∫2

ρ (8.14)

Równość (8.12) oznacza zerowanie się momentu statycznego Sz wzglę-dem osi obojętnej (oś z), a zatem oś obojętna przechodzi przez środek

ciężkości przekroju.

Zgodnie z równością (8.13) moment odśrodkowy Jyz względem układu

osi prostokątnych y, z ma wartość zerową. Osie y i z są głównymi osiami

bezwładności przekroju. Można zatem stwierdzić, że oś obojętna jest

główną centralną osią bezwładności.

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 75757575

W rozważanym przypadku kierunek wektora momentu gnącego pokrywa

się z kierunkiem osi obojętnej i ten rodzaj zginania nazywamy zgina-

niem prostym.

W równaniu (8.14) całka z

A

JdAy =∫2

oznacza moment bezwładności

względem osi obojętnej. Przekształcając równanie (8.14) otrzymujemy

związek między krzywizną a momentem gnącym

z

g

EJ

M−=

ρ

1 (8.15)

w którym iloczyn EJz oznacza sztywność na zginanie.

Podstawiając do wzoru (8.11) promień krzywizny ze wzoru (8.15) wy-

znaczamy zależność na naprężenia normalne w dowolnym punkcie

przekroju w funkcji obciążenia (momentu gnącego)

z

g

J

yM=σ (8.16)

Zgodnie z wcześniejszymi wnioskami naprężenia normalne charaktery-

zuje liniowy rozkład.

8.4. Obliczenia wytrzymałościowe na zginanie

Największe bezwzględne wartości naprężeń występują w punktach

przekroju najbardziej odległych od osi obojętnej (rysunek 8.9 - punkty I

i II) obliczamy ze wzorów

z

g

J

eM 1

1 =σ (8.17)

ROZDZIAŁ 8

Strona 76767676

z

g

J

eM 2

2 =σ (8.18)

gdzie: e1, e2 – odległości skrajnych punktów konturu przekroju od osi

obojętnej

Rysunek 8.9

Wprowadzamy następujące oznaczenia

1

1e

JW z= (8.19)

2

2e

JW z= . (8.20)

Powyższe wielkości nazwane są wskaźnikami wytrzymałości na zgina-

nie. A zatem, wskaźnik wytrzymałości na zginanie jest ilorazem momen-

tu bezwładności przekroju względem osi obojętnej i odległości od tej osi

skrajnych włókien.

Jeśli materiał, z którego wykonany jest pręt, ma jednakową wytrzymaość na rozciąganie i ściskanie (materiał izonomiczny), to o wytrzymałości

decydują naprężenia o największej bezwzględnej wartości. W tym przy-

padku należy wyznaczyć jeden wskaźnik wytrzymałości odpowiadający

największej odległości emax punktu przekroju od osi obojętnej

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 77777777

maxe

JW z= (8.21)

Największą wartość naprężenia σmax obliczamy ze wzoru

W

M g=maxσ (8.22)

W poprawnie zaprojektowanej belce powinien być spełniony następują-cy warunek wytrzymałościowy

crdop

gk

W

M,max =≤= σσ (8.23)

gdzie: kr,c – dopuszczalne naprężenie przy rozciąganiu lub ściskaniu

8.5. Równanie różniczkowe ugiętej osi belki

Działanie momentu gnącego powoduje zakrzywienie osi belki. W oma-

wianym zginaniu prostym, w którym kierunek wektora momentu gną-cego pokrywa się z kierunkiem głównej osi bezwładności przekroju, oś belki po odkształceniu jest krzywą płaską.

Rozpatrzmy belkę swobodnie podpartą na końcach i zginaną siłą skupio-

ną P (rysunek 8.10).

Rysunek 8.10

Przyjmijmy w początku belki układ współrzędnych prostokątnych,

którego oś x stanowi oś geometryczną nieodkształconej belki, a oś y

ROZDZIAŁ 8

Strona 78787878

skierowana jest do dołu. Dowolny przekrój o współrzędnej x obraca się o

kąt ϑ, a jego środek ciężkości przemieszcza się pionowo o y. Oś ugiętą belki opisuje równanie y = f(x), a jej krzywiznę wzór (8.15). Krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej określa znana z geometrii różniczkowej

zależność

3

2

2

2

1

1

+

=

dx

dy

dx

yd

ρ (8.24)

Z porównania wzorów (8.15) i (8.24) otrzymujemy równanie różniczko-

we ugiętej osi belki

3

2

2

2

1

+

=−

dx

dy

dx

yd

EJ

M g (8.25)

Ze względu na stosunkowo dużą sztywność belek, a zatem małe prze-

mieszczenia liniowe i kątowe, z dostateczną dokładnością można przy-

jąć, że współrzędna y reprezentuje całkowite przemieszczenie liniowe,

a kąt obrotu przekroju ϑ (zawarty między osią belki nieodkształconej

i styczną do osi ugiętej) oznacza przemieszczenie kątowe. Przemieszcze-

nie liniowe y nazywane jest ugięciem, a kąt ϑ – kątem ugięcia.

Przy założonych małych przemieszczeniach kątowych mamy

ϑϑ ≈= tgdx

dy i mianownik prawej strony równości (8.25) można

przyjąć równy jedności. Otrzymujemy równanie uproszczone, które

zapisujemy w postaci

gMdx

ydEJ −=

2

2

(8.26)

Jest to tzw. równanie techniczne ugiętej osi belki, w którym iloczyn EJ

jest ogólnym oznaczeniem sztywności na zginanie. Znak „–” we

wzorach (8.25) i (8.26) wynika z przyjętej umowy określającej znak

momentu gnącego.

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 79797979

W celu wyznaczenia ugięć belki całkujemy dwukrotnie równanie (8.26),

otrzymujemy

CdxMdx

dyEJ g +−= ∫ stąd ( )CdxM

EJdx

dyg +−== ∫

1ϑ (8.27)

DCxdxdxMyEJ g ++−= ∫ ∫

stąd

( )( )DCxdxdxMEJ

y g ++−= ∫ ∫1

(8.28)

gdzie: C i D oznaczają stałe całkowania.

W przypadku gdy moment gnący opisany jest inną funkcją w kolejnych

przedziałach belki, należy napisać równania różniczkowe osi ugiętej

osobno dla każdego przedziału. Ze względu na ciągłość i gładkość linii

ugięcia, stałe całkowania muszą spełniać warunki ciągłości ugięć i kątów

ugięcia na granicach przedziałów. W takim przypadku sposób całkowa-

nia równania różniczkowego ma istotne znaczenie.

Przykład

Wyznaczmy równanie osi ugiętej belki swobodnie podpartej na końcach

i obciążonej siłą P (rysunek 8.11).

Rysunek 8.11

Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje podpór, które wynoszą odpowiednio:

)( baPbRA += oraz )( baPaRB += .

Przyjmijmy układ współrzędnych x, y o początku w punkcie A belki.

Moment gnący Mg(x) należy określić w dwóch przedziałach

ROZDZIAŁ 8

Strona 80808080

0 ≤ x ≤ a xba

PbxRxM Ag

+==)(

a ≤ x ≤ l )()()( axPxba

PbaxPxRxM Ag −−

+=−−=

Równania różniczkowe osi ugiętej odpowiadające tym przedziałom cał-

kujemy osobno.

W przedziale 0 ≤ x ≤ a mamy

xR

dx

ydEJ A−=

2

2

1

2

12

Cx

RCdxxRdx

dyEJ AA +−=+−= ∫

11

3

11

2

62DxC

xRDxCdxx

RyEJ A

A ++−=++−= ∫

Całkowanie w przedziale a ≤ x ≤ l przeprowadzamy nie rozwijając wyra-

żeń w nawiasach

)(

2

2

axPxRdx

ydEJ A −+−=

2

22

2

2

)(

2

)(

CaxPx

R

CdxaxPdxxRdx

dyEJ

A

A

+−

+−=

=+−+−= ∫∫

22

33

22

22

6

)(

6

)(22

DxCaxPx

R

DxCdxaxP

dxxR

EJy

A

A

++−

+−=

=++−+−

= ∫∫

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych:

1) 0)0( =y

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 81818181

2) 0)( =ly

3) )()( 21 ayay =

4) )()( 21 aa ϑϑ =

Pierwsze dwa warunki wynikają ze sposobu podparcia belki, dwa kolej-

ne są warunkami ciągłości przemieszczeń.

Na podstawie warunku 4)

mamy

2

2

1

2

22C

aRC

aR AA +−=+− , a zatem jest C1 = C2.

Z warunku 3) otrzymujemy

22

3

11

3

66DaC

aRDaC

aR AA ++−=++−

a stąd, uwzględniając równość stałych C1 i C2, mamy D1 = D2

Z warunku 1)

jest D1 = 0.

Na podstawie warunku 2)

otrzymujemy równanie

0)(66

)(2

33

=++++

− baCb

Pba

RA

z którego po podstawieniu )( baPbRA += wyznaczamy stałą C2

( )( )22

2)(6

bbaba

PbC −+

+=

Zaletą zastosowanego sposobu całkowania równania różniczkowego osi

ugiętej jest równość odpowiednich stałych całkowania w obu przedzia-

łach C1 = C2 oraz D1 = D2. Sposób ten nazywany jest metodą Clebscha.

Metoda Clebscha wymaga przestrzegania następujących zaleceń.

a. Należy przyjąć wspólny dla wszystkich przedziałów belki układ

współrzędnych o początku w jednym z jej końców.

ROZDZIAŁ 8

Strona 82828282

b. Jeśli współrzędne ai określają położenie sił skupionych Pi lub

początków obciążenia ciągłego qi, to wyrażenia typu )( ii axP −

lub 2

)( 2

i

i

axq

− całkuje się według schematu

Cn

axdxax

n

in

i ++

−=−

+

∫ 1

)()(

1

c. W przypadku obciążenia ciągłego przyjmuje się układ równo-

ważny w taki sposób, aby każde zaczęte obciążenie ciągłe

przebiegało do końca belki.

d. W przypadku działania momentu skupionego do równania mo-

mentów gnących należy wprowadzić współrzędną określającą położenie tego momentu.

Rozpatrzmy belkę obciążoną momentem M, siłą P i obciążeniem cią-głym o intensywności q (rysunek 8.12)

Rysunek 8.12

Zgodnie ze stosowaną metodą rozpoczęte obciążenie ciągłe działa do

końca belki, a zatem w przedziale 5 należy wprowadzić obciążenie rów-

noważące ze znakiem przeciwnym (−q).

Ze względu na równość odpowiednich stałych całkowania równanie mo-

mentu gnącego można zapisać dla przedziału ostatniego, zaznaczając

końce poszczególnych przedziałów pionowymi kreskami z numerami

tych przedziałów.

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 83838383

Dla belki przedstawionej na rysunku 8.12 moment gnący określony jest

zależnością

5

2

4

2

32

0

1

2

)(

2

)()()(

dxq

cxqbxPaxMxRM Ag

−+

+−

−−−−+=

(8.29)

Zapisując równanie różniczkowe osi ugiętej zmieniamy znak momentu

gnącego

5

2

4

2

32

0

12

2

2

)(

2

)(

)()(

dxqcxq

bxPaxMxRdx

ydEJ A

−−

−+

+−+−−−=

(8.30)

Po scałkowaniu równania (8.3) otrzymujemy zależności określające kąt ugięcia i ugięcie

5

3

4

3

3

2

2

1

2

6

)(

6

)(

2

)()(

2

dxqcxq

bxPaxM

xRC

dx

dyEJ A

−−

−+

+−

+−−−=

(8.31)

5

4

43

3

2

2

1

3

24

)(

24

4)(

6

)(

2

)(

6

dxqcxqbxP

axMxRCxDyEJ A

−−

−+

−+

+−

−−+=

(8.32)

Stałe całkowania C i D wyznaczamy z warunków brzegowych wynikają-cych ze sposobu podparcia belki. Należy pamiętać, że obliczając prze-

mieszczenia z równań (8.31) i (8.32) bierze się pod uwagę tylko wyrazy

odpowiadające danemu przedziałowi. Stałe całkowania C i D, które

zapisuje się w pierwszym przedziale, są proporcjonalne odpowiednio do

kąta ugięcia i ugięcia belki w początku układu współrzędnych; mamy

bowiem EJC== 0)0( ϑϑ oraz EJDyy == 0)0( .

ROZDZIAŁ 8

Strona 84848484

8.6. Przykłady zastosowania metody Clebscha

1. Wyznaczyć funkcje ugięć belki o sztywności EJ opartej na dwóch

podporach w punktach A i B oddalonych o l. Belka obciążona jest w

sposób ciągły o stałej intensywności q (rysunek 8.13)

Rysunek 8.13

Zgodnie z metodą obciążenie ciągłe zostaje przedłużone do końca belki

(punkt C). A zatem, na odcinku BC należy wprowadzić obciążenia

równoważące przeciwnie skierowane (-q).

Reakcje podpór wynoszą

2

qlRR BA ==

Zmiany momentu gnącego określone są w dwóch przedziałach

zależnością

2

2

1

2

2

)()(

2

lxqlxR

qxxRM BAg

−+−+−=

Całkując równanie osi ugiętej

2

2

1

2

2

2

2

)()(

2

lxqlxR

qxxR

dx

ydEJ BA

−−−−+−=

otrzymujemy

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 85858585

2

32

1

32

3

)(

2

)(

62

lxqlxR

qxxRC

dx

ydEJ BA

−−

−−+−=

2

43

1

43

24

)(

6

)(

246

lxqlxR

qxxRCxDyEJ BA

−−

−−+−+=

Stałe całkowania C i D wyznaczamy z warunków podparcia belki:

1) y(0) = 0

2) y(l) = 0

Z warunku 1) mamy D = 0,

z warunku 2) otrzymujemy równanie

0246

43

=+−qll

RCl A ,

z którego po podstawieniu wzoru na reakcję RA wyznaczamy stałą całkowania C

24

3ql

C =

Ostatecznie ugięcia belki w poszczególnych przedziałach opisane są następującą funkcją

−−−−+−=

2

43

1

433

24

)()(

12241224

1 lxqlx

qlx

qx

qlx

ql

EJy

2. Wyznaczyć funkcję ugięcia osi belki swobodnie podpartej na końcach,

obciążonej w przekroju o współrzędnej x = a parą sił o momencie M.

Belka ma długość l i stałą sztywność EJ (rysunek 8.14).

ROZDZIAŁ 8

Strona 86868686

Rysunek 8.14

Reakcje podpór tworzą parę sił o wartościach obliczanych ze wzoru

l

MRR BA ==

Moment gnący określony jest w dwóch przedziałach, przy czym w

przedziale 2 moment skupiony M zapisano wprowadzając współrzędną położenia tego momentu

2

0

1)( axMxRM Ag −+−=

Równanie osi ugiętej ma następującą budowę

2

0

12

2

)( axMxRdx

ydEJ A −−=

Po dwukrotnym całkowaniu mamy

2

1

2

)(2

axMx

RCdx

ydEJ A −−+=

2

2

1

3

2

)(

6

axM

xRCxDyEJ A

−−++=

Stałe całkowania C i D wyznaczamy z warunków brzegowych odpowia-

dających swobodnemu podparciu belki:

1) y(0) = 0

2) y(l) = 0

ZGINANIE PRĘTÓW

Strona 87878787

Z warunku 1) mamy D = 0.

Warunek 2)

sprowadza się do równania

02

)(

6

23

=−

−+alMl

RCl A

z którego po podstawieniu RA = M/l wyznaczamy stałą C

( )22)(36

lall

MC −−=

Uwzględniając wyznaczone stałe całkowania, równaniu ugięć belki

można nadać następującą formę

( )

−−+−−=

2

2

1

322)(

26)(3

6

1ax

Mx

l

Mxlal

l

M

EJy

ROZDZIAŁ 8

Strona 88888888

`

9 Elementy teorii stanu naprężenia

ROZDZIAŁ 9

Strona 90909090

Stanem naprężenia w punkcie ciała nazywamy zbiór wszystkich wek-

torów naprężeń występujących we wszystkich dowolnie przeprowadzo-

nych przekrojach przechodzących przez ten punkt.

Rozważmy elementarny prostopadłościan o wymiarach dx, dy, dz, któ-

rego krawędzie są równoległe do osi x, y, z układu prostokątnego zwią-zanego z ciałem (rysunek 9.1)

Rysunek 9.1

Naprężenia występujące na ściankach tego elementu zostały rozłożone

na składowe normalne σx, σy, σz równoległe odpowiednio do osi x, y, z

oraz składowe styczne τxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy oznaczone dwoma indeksa-

mi, przy czym pierwszy indeks odnosi się do normalnej przekroju,

a drugi wskazuje kierunek naprężenia.

Na podstawie warunków równowagi elementu można stwierdzić, że

składowe naprężeń stycznych prostopadłe do wspólnej krawędzi dwóch

wzajemnie prostopadłych przekrojów są sobie równe. Mamy zatem:

τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz.

ELEMENTY TEORII STANU NAPRĘŻENIA

Strona 91919191

Biorąc pod uwagę prawo równości naprężeń stycznych, można wykazać, że stan naprężenia w ogólnym przypadku jest określony przez sześć składowych stanu naprężenia: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx. Oznacza to, że

naprężenia w trzech wzajemnie prostopadłych przekrojach stanowią podstawę do wyznaczenia naprężenia w dowolnie zorientowanym prze-

kroju zawierającym ten punkt.

Zgodnie z teorią sprężystości przez każdy punkt dowolnie obciążonego

ciała przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny, w których nie

występują naprężenia styczne. Te szczególne płaszczyzny przekrojów,

charakteryzujące się zerowymi naprężeniami stycznymi nazywamy

płaszczyznami głównymi stanu naprężenia. Kierunki wyznaczone przez

normalne tych płaszczyzn są kierunkami głównymi. Naprężenia w płasz-

czyznach głównych, które są naprężeniami normalnymi, nazywamy

naprężeniami głównymi. Naprężenia główne oznacza się symbolami σ1,

σ2, σ3, przy czym przyjmuje się σ1 > σ2 > σ3. Indeksy 1, 2, 3

odpowiadają kierunkom głównym stanu naprężenia (rysunek 9.2).

Rysunek 9.2

Można zatem stwierdzić, że do określenia stanu naprężenia w dowolnym

punkcie ciała wystarczą trzy naprężenia główne σ1, σ2, σ3.

9.1. Płaski stan naprężenia

Stan naprężenia nazywamy płaskim, gdy jedno z naprężeń głównych jest

równe zeru. Płaski stan naprężenia ma miejsce w warstwie zewnętrznej

ROZDZIAŁ 9

Strona 92929292

obciążonego elementu, w przypadku gdy nie działają na nią siły

zewnętrzne.

Weźmy pod uwagę płaską, cienką tarczę obciążoną na krawędziach siła-

mi działającymi w płaszczyźnie tarczy. W dowolnym elemencie, w prze-

krojach prostopadłych do płaszczyzny obciążenia, których normalne są równoległe odpowiednio do osi x, y układu związanego z tarczą, występują składowe naprężenia σx, σy, τxy, τyx (rysunek 9.3).

Rysunek 9.3

W celu wyznaczenia naprężeń normalnych i stycznych w przekroju, któ-

rego zewnętrzna normalna tworzy kąt α z kierunkiem osi x rozpatrzmy

równowagę elementu pokazanego na rysunek 9.4.

Rysunek 9.4

ELEMENTY TEORII STANU NAPRĘŻENIA

Strona 93939393

Sumując elementarne siły na kierunki osi ξ i η, otrzymujemy

odpowiednio

ααταατ

αασαασσξ

cossin)90cos(cos

)90cos(sincoscos

dAdA

dAdAdA

yxxy

yx

+−+

+−+= (9.1)

oraz

ααταατ

αασααστξη

sinsin)90sin(cos

)90sin(sinsincos

dAdA

dAdAdA

yxxy

yx

−−+

+−+−= (9.2)

Po przekształceniach, uwzględniając podstawowe związki trygonome-

tryczne oraz równość naprężeń stycznych (τxy = τyx) wyznaczamy nastę-pujące zależności

ατασασσξ 2sinsincos 22

yxyx ++= (9.3)

ατασσ

τξη 2cos2sin2

xy

yx +−

−= (9.4)

Składową naprężenia ση w przekroju prostopadłym do osi η można

wyznaczyć podstawiając do wzoru (9.3) w miejsce kąta α kąt α’ = 90 + α

ατασασση 2sincossin 22

yxyx −+= (9.5)

Wzory (9.3, 9.4, 9.5) są zależnościami transformacyjnymi dla płaskiego

stanu naprężenia. Wzorom (9.3) i (9.5) można nadać inną formę

uwzględniając związki trygonometryczne )2cos1(2

1sin 2 αα −= oraz

)2cos1(2

1cos2 αα += . Ostatecznie otrzymujemy

ατασσσσ

σξ 2sin2cos22

xy

yxyx +−

++

= (9.6)

ατασσσσ

ση 2sin2cos22

xy

yxyx −−

−+

= (9.7)

ROZDZIAŁ 9

Strona 94949494

Jeden z kierunków głównych stanu naprężenia jest określony przez oś z prostopadłą do płaszczyzny elementu. Pozostałe kierunki główne wy-

znaczamy przyrównując do zera naprężenie styczne τξη

02cos2sin2

00 =+−

− ατασσ

xy

yx (9.8)

stąd mamy

yx

xytg

σσ

τα

−=

22 0 (9.9)

Rozwiązanie równania trygonometrycznego (9.9) ma postać

....) 2, 1, ( 2

10 =±= nnπ

αα (9.10)

gdzie α1 oznacza dodatni kąt ostry.

A zatem, rozwiązanie (9.10) wyznacza dwa wzajemnie prostopadłe

kierunki główne stanu naprężenia, które oznaczane są 1 i 2.

Kierunkom głównym odpowiadają przekroje główne, w których działają naprężenia główne σ1 i σ2, o wartościach danych wzorem

22

21 4)(2

1

2, xyyx

yx τσσσσ

σσ +−±+

= (9.11)

Trzecie naprężenie główne o kierunku wzdłuż osi z ma wartość równą zeru, σ3 = 0.

Gdy płaski stan naprężenia określony jest przez naprężenia główne σ1

i σ2, składowe naprężeń w dowolnych, wzajemnie prostopadłych prze-

krojach wyznaczamy z zależności transformacyjnych

ασσσσ

σξ 2cos22

2121 −+

+= (9.12)

ασσσσ

ση 2cos22

2121 −−

+= (9.13)

ELEMENTY TEORII STANU NAPRĘŻENIA

Strona 95959595

ασσ

τξη 2sin2

21 −−= (9.14)

9.2. Odwzorowanie płaskiego stanu naprężenia kołem Mohra

W płaskim stanie naprężenia określonym naprężeniami głównymi

σ1 > σ2 naprężenia w dowolnym przekroju prostopadłym do płaszczyzny

obciążenia można wyznaczyć stosując konstrukcję koła Mohra. Na osi

poziomej odkładane są naprężenia normalne, a na osi pionowej naprę-żenia styczne.

Przedstawione zadanie polega na wyznaczeniu składowych stanu naprę-żenia σx, σy, τxy w układzie osi x, y obróconym o kąt α względem układu

głównych osi 1, 2. W tym celu na osi poziomej odkładamy naprężenia σ1

(punkt B1) i σ2 (punkt B2) (rysunek 9.5).

Rysunek 9.5

W odległości 2)( 21 σσ +=OS znajduje się środek koła Mohra, z któ-

rego promieniem 2)( 21 σσ −=r kreślimy okrąg. Przez środek S rysu-

jemy prostą nachyloną do osi naprężeń normalnych pod kątem 2α.

ROZDZIAŁ 9

Strona 96969696

Współrzędne punktów Tx i Ty przecięcia prostej z okręgiem koła Mohra

wyznaczają w przyjętej podziałce poszukiwane składowe naprężenia w

układzie osi obróconych. Odcinki ORx i RxTx odpowiadają naprężeniom

σx i τxy w przekroju określonym normalną równoległa do osi x. Mierząc

odcinki ORy i RyTy wyznaczamy naprężenia σy i τyx = τxy w przekroju

prostopadłym, o normalnej równoległej do osi y. W przyjętym układzie

oś naprężeń stycznych zwrócona „do góry” odpowiada naprężeniom τyx

a zwrócona „do dołu” – naprężeniom τxy.

Na podstawie zależności trygonometrycznych otrzymujemy wzory trans-

formacyjne analogiczne do wzorów (9.12 – 9.14)

α

σσσσσ 2cos

22

2121 −+

+=x

(9.15)

α

σσσσσ 2cos

22

2121 −−

+=y

(9.16)

α

σστ 2sin

2

21 −−=xy

(9.17)

Łatwo zauważyć, że największe co do bezwzględnej wartości naprężenie

styczne występuje w przekrojach obróconych względem kierunków

głównych o kąt α = π/4 (na kole Mohra jest 2α = π/2)

21max2

1σστ −= (9.18)

Ostatecznie możemy stwierdzić, że okrąg koła Mohra jest miejscem

geometrycznym punktów, które określają wartości składowych płaskiego

stanu naprężenia w przypadku płaskiej, kątowej transformacji układu

osi.

Stosując konstrukcję koła Mohra, można rozwiązać zadanie odwrotne

tzn. wyznaczyć naprężenia główne, gdy dane są składowe stanu napręże-

nia σx, σy, τxy w dowolnym układzie osi.

`

10Stan odkształcenia. Uogólnione prawo Hooke’a

ROZDZIAŁ 10

Strona 98989898

W przypadku ogólnym, trójwymiarowemu stanowi naprężenia w dowol-

nym punkcie ciała, zdefiniowanemu przez sześć składowych σx, σy, σz,

τxy, τyz, τzx (rys. 9.1) odpowiada trójwymiarowy stan odkształcenia okreś-lony trzema odkształceniami liniowymi εx, εy, εz oraz trzema odkształce-

niami kątowymi γxy, γyz, γzx. Odkształcenia kątowe wpływają na zmianę postaci elementu i nazywane są kątami odkształceń postaciowych. Jeżeli

na ściankach elementarnego prostopadłościanu występują naprężenia

główne σ1, σ2, σ3 (rys. 9.2) to kierunki krawędzi prostopadłościanu,

które pokrywają się z kierunkami głównymi stanu naprężenia,

wyznaczają jednocześnie kierunki główne stanu odkształcenia. Oznacza

to, że w elementarnym prostopadłościanie zachodzi wyłącznie zmiana

długości krawędzi przy zachowaniu jego kształtu, a liniowe,

jednostkowe wydłużenia są odkształceniami głównymi. A zatem,

kierunki główne stanu naprężenia i stanu odkształcenia pokrywają się, i stan odkształcenia można jednoznacznie określić trzema składowymi –

odkształceniami głównymi ε1, ε2, ε3.

W płaskim stanie odkształcenia jedno z odkształceń głównych np. ε3 jest

równe zeru i stan odkształcenia określają pozostałe składowe ε1 i ε2.

Ze wzglądu na analogię między stanem odkształcenia i stanem napręże-

nia w celu wyznaczenia składowych odkształceń w układzie osi obróco-

nych o dowolny kąt α stosuje się wzory 9.12 ÷ 9.13, w których należy

zamienić σ na ε oraz τ na γ2

1.

Do wykreślnego odwzorowania płaskiego stanu odkształcenia i zadań

transformacyjnych wygodnie jest stosować konstrukcję koła Mohra.

Między składowymi stanu odkształcenia i składowymi stanu naprężenia

istnieją zależności potwierdzone doświadczalnie, znane jako prawo

Hooke’a.

W przypadku ścinania w płaszczyźnie wyznaczonej przez osie x, y od-

kształcenie elementarnego prostokąta pod wpływem naprężeń stycznych

τxy, τyx sprowadza się do zmiany kąta prostego o kąt odkształcenia posta-

ciowego γxy (rysunek 10.1)

STAN ODKSZTAŁCENIA. UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE’A

Strona 99999999

Rysunek 10.1

Związek między odkształceniem postaciowym γxy a naprężeniem stycz-

nym τxy jest zgodny z prawem Hooke’a dla ścinania

G

xy

xy

τγ = (10.1)

W przekroju pręta rozciąganego występują naprężenia równoległe do osi

pręta np. σz. Obok odkształcenia εz wzdłuż osi pręta mierzone są odkształcenia poprzeczne εx i εy związane z odkształceniem wzdłużnym

zależnością

zyx ενεε −== (10.2)

w której ν oznacza współczynnik charakteryzujący właściwości materia-

łu zwany liczbą Poissona.

Sumując, zgodnie z zasadą superpozycji, odkształcenia liniowe wywoła-

ne przez poszczególne składowe naprężenia normalne oraz uwzględnia-

jąc efekt ścinania można wyznaczyć zależności między składowymi

stanu odkształcenia i naprężenia w formie następujących równań

( )[ ]zyxxE

σσνσε +−=1

G

xy

xy

τγ =

( )[ ]xzyyE

σσνσε +−=1

G

yz

yz

τγ = (10.3)

( )[ ]yxzzE

σσνσε +−=1

G

zxzx

τγ =

ROZDZIAŁ 10

Strona 100100100100

Równania (10.3) stanowią matematyczny zapis uogólnionego prawa

Hooke’a. Z równań tych wynika, że składowe stanu odkształcenia są jednorodnymi liniowymi funkcjami składowych stanu naprężenia.

W przypadku płaskiego stanu naprężenia mamy σz = 0, τyz = 0, τxz = 0

i prawo Hooke’a wyrażają równania

( )yxxE

νσσε −=1

( )xyyE

νσσε −=1

(10.4)

G

xy

xy

τγ =

W powyższych równaniach sprężyste właściwości materiału charaktery-

zują stałe: moduł Younga E, moduł Kirchhoffa G i liczba Poissona ν.

Można wykazać, że związane są one następującą zależnością

)1(2 ν+

=E

G (10.5)

A zatem, tylko dwie z nich są niezależne.

`

11 Hipotezy wytężenia

ROZDZIAŁ 11

Strona 102102102102

W większości przypadków elementy maszyn i konstrukcji są poddane

działaniu złożonych obciążeń, które wywołują dwu- lub trójwymiarowy

stan naprężenia. Ocena dostatecznej wytrzymałości konstrukcji technicz-

nej powinna opierać się na wynikach eksperymentalnych uzyskanych

przy zachowaniu charakteru rzeczywistych obciążeń poszczególnych

elementów. Badania takie byłyby jednak trudne do przeprowadzenia i

bardzo kosztowne. Dostępne są natomiast wskaźniki wytrzymałościowe

materiału wyznaczone w badaniach laboratoryjnych w jednoosiowym

stanie naprężenia np. prostym rozciąganiu lub ściskaniu. Stąd też powstała koncepcja określenia zachowania się materiału w przypadku

dowolnego stanu naprężenia na podstawie rezultatów badań w stanie

jednoosiowym.

W efekcie eksperymentów i analiz opartych na teorii sprężystości

i plastyczności sformułowano szereg hipotez określających warunki

pojawienia się stanu niebezpiecznego – tzw. stopień wytężenia

materiału.

Przez wytężenie materiału rozumiemy ogół zmian w stanie fizycznym

materiału, wywołany obciążeniem, prowadzący do powstania trwałych

odkształceń lub utraty spójności. W zależności od rodzaju materiału stan

niebezpieczny może być określony przez wytrzymałość na rozciąganie

Rm lub granicę plastyczności Re. Wytężenie zależy od właściwości ma-

teriału a także od obciążenia i składowych stanu naprężenia w punkcie

ciała.

11.1. Przegląd wybranych hipotez wytężenia

Najstarszą hipotezą wytężeniową jest hipoteza największego naprę-

żenia rozciągającego (VII w.). Za jej autorów uważa się Galileusza

i Leibnitza. Modyfikacją tej hipotezy, uwzględniającą także naprężenia

ściskające, jest hipoteza największego naprężenia normalnego

(Rankine i Clebsch XIX w.). Według tej hipotezy miarą wytężenia

HIPOTEZY WYTĘŻENIA

Strona 103103103103

materiału jest największe naprężenie normalne. Oznacza to, że żadne z

naprężeń głównych nie może być większe od wartości naprężenia nie-

bezpiecznego w jednoosiowym rozciąganiu i mniejsze od naprężenia

niebezpiecznego przy ściskaniu.

Doświadczenia nie potwierdziły słuszności tej hipotezy szczególnie

w przypadku materiałów sprężysto-plastycznych.

Hipotezą odkształceniową jest hipoteza największego wydłużenia roz-

powszechniona przez de Saint-Venanta (XIX w.). Według tej hipotezy

zniszczenie zachodzi wtedy, gdy największe jednostkowe wydłużenie

w złożonym stanie naprężenia osiągnie wartość wydłużenia odpowiada-

jącą naprężeniu niebezpiecznemu w jednoosiowym rozciąganiu.

Duże rozbieżności wyników obliczeniowych i doświadczalnych wskazu-

ją na małą przydatność także tej hipotezy w odniesieniu do materiałów

sprężysto-plastycznych.

Kolejną hipotezą wytężeniową jest hipoteza największych naprężeń

stycznych (τmax) zaproponowana przez Coulomba (XVIII w.) i rozwi-

nięta przez Tresca (XIX w.). Zakłada ona, że miarą wytężenia materiału

jest największe naprężenie styczne. A zatem, zniszczenie zachodzi wte-

dy, gdy największe naprężenie styczne w złożonym stanie naprężenia

osiągnie wartość naprężenia stycznego odpowiadającą naprężeniu nie-

bezpiecznemu w jednoosiowym rozciąganiu.

W trójosiowym stanie naprężenia największe naprężenie styczne τmax

wynosi

)(2

1minmaxmax σστ −= (11.1)

W jednoosiowym rozciąganiu mamy

0max2

1στ = (11.2)

Porównując wytężenia materiału w obu stanach, otrzymujemy napręże-

nie zredukowane w postaci

minmax σσσ −=red (11.3)

Warunek zachowania wytrzymałości materiału jest następujący

ROZDZIAŁ 11

Strona 104104104104

Zrred σσσσ ≤−= minmax (11.4)

gdzie σZr oznacza naprężenie niebezpieczne w prostym rozciąganiu.

W ogólnym stanie naprężenia określonym naprężeniami głównymi σ1,

σ2, σ3, zakładając jednakowej wytrzymałość przy rozciąganiu i ściskaniu

( ZcZr σσ −= ), warunek wytężenia (11.4) można zapisać następującym

układem nierówności

ZrZr σσσσ ≤−≥− 21

ZrZr σσσσ ≤−≥− 32 (11.5)

ZrZr σσσσ ≤−≥− 13

W płaskim stanie naprężenia określonym składowymi σx, σy, τxy

naprężenia główne wyznaczamy ze wzoru (9.11)

22

21 4)(2

1

2, xyyx

yx τσσσσ

σσ +−±+

=

Jeśli znaki naprężeń σ1 i σ2 są różne, to jest σ1 = σmax, σ2 = σmin, σ3 = 0,

a zatem naprężenie zredukowane dane jest wzorem

22

21 4)( xyyxred τσσσσσ +−=−= (11.6)

Jeśli oba naprężenia główne są dodatnie σ1 > σ2 > 0, wówczas mamy σ1

= σmax, σ3 = 0 = σmin i naprężenie zredukowane obliczamy ze wzoru

22

31 4)(2

1

2xyyx

yx

red τσσσσ

σσσ +−++

=−= (11.7)

W przypadku ujemnej wartości obu naprężeń głównych σ2 < σ1 < 0,

największe i najmniejsze naprężenia są odpowiednio równe σ3 =0 =

σmax, σ2 = σmin, i naprężenia zredukowane dane są wzorem

22

23 4)(2

1

2xyyx

yx

red τσσσσ

σσσ +−++

−=−= (11.8)

HIPOTEZY WYTĘŻENIA

Strona 105105105105

W stanie czystego ścinania, gdy jest σx = 0, σy = 0, τxy = τ, naprężenia

zredukowane na podstawie wzoru (11.6) wynoszą τσ 2=red . Oznacza

to, że niebezpieczne naprężenia styczne mają wartość ZrZ στ 5,0= .

Hipoteza największych naprężeń stycznych sprawdza się dość dobrze dla

materiałów sprężysto-plastycznych, szczególnie w płaskich stanach

naprężenia. Zastosowanie tej hipotezy do oceny wytężenia materiałów o

różnej wytrzymałości na rozciąganie i ściskanie umożliwiły późniejsze

wskazówki podane przez Mohra.

Podstawową, szeroko stosowaną hipotezą energetyczną jest hipoteza

największej energii odkształcenia postaciowego, nazywana od naz-

wisk jej autorów hipotezą Hubera (1904), Misesa (1913), Hencky’ego

(1924). Według tej hipotezy o wytężeniu materiału decyduje tylko część energii sprężystej związana ze zmianą postaci. Zniszczenie zachodzi

wtedy, gdy energia odkształcenia postaciowego w złożonym stanie

naprężenia osiągnie wartość energii odkształcenia postaciowego odpo-

wiadającą naprężeniu niebezpiecznemu w stanie jednoosiowym

(rozciąganiu).

W ogólnym stanie naprężenia jednostkowa energia odkształcenia posta-

ciowego (energia jednostki objętości ciała) wyrażona jest wzorem

( )[ ]222222 33

1zxyzxyxzzyyxzyxf

Eτττσσσσσσσσσ

νφ +++−−−++

+= (11.9)

Jednostkową energię w stanie jednoosiowym wyznaczamy podstawiając

do powyższego wzoru σx = σ0, σy = σz = 0, τxy = τyz = τzx = 0, co daje

2

03

1σ

νφ

Ef

+= (11.10)

Przyjmując, że wytężenia w obu stanach są równe, otrzymujemy nastę-pującą zależność na naprężenia zredukowane

( )222222 3 zxyzxyxzzyyxzyxred τττσσσσσσσσσσ +++−−−++= (11.11)

Gdy stan naprężenia określony jest przez naprężenia główne, wzór

(11.11) ma budowę

133221

2

3

2

2

2

1 σσσσσσσσσσ −−−++=red (11.12)

ROZDZIAŁ 11

Strona 106106106106

W płaskim stanie naprężenia jest σz = 0 oraz τyz = τzx = 0 lub σ3 = 0 i

wzory na naprężenia zredukowane przyjmują postać

222 3 xyyxyxred τσσσσσ +−+= (11.13)

lub

21

2

2

2

1 σσσσσ −+=red (11.14)

Warunek zachowania wytrzymałości materiału sprowadza się do żądania

by naprężenia zredukowane nie przekroczyły wartości naprężeń niebez-

piecznych w stanie jednoosiowego rozciągania Zrred σσ ≤ .

Na podstawie wzoru (11.13) podstawiając σx = 0, σy = 0, τxy = τ wyz-

naczamy naprężenia zredukowane w przypadku ścinania τσ 3=red ,

a stąd graniczne naprężenia styczne ZrZ στ 58,0= .

Hipoteza energii odkształcenia postaciowego została potwierdzona doś-wiadczalnie i znalazła szerokie zastosowanie w badaniu wytężenia ma-

teriałów sprężysto-plastycznych. Stosowanie tej hipotezy zarówno do

stanów sprężystych, jak również plastycznych uzasadnia brak stałych

sprężystych we wzorach na naprężenia zredukowane.

Na podstawie doświadczeń potwierdzono, że hipotezy największych na-

prężeń stycznych i energii odkształcenia postaciowego dają dostatecznie

dokładne wyniki w ustaleniu granicznych stanów naprężeń związanych z

uplastycznieniem materiału (kryterium plastyczności). Hipotezy naj-

większych naprężeń normalnych i odkształceń są hipotezami wytężenia

materiałów kruchych, których zniszczenie charakteryzuje złom

rozdzielczy.

`

12Złożone działanie sił wewnętrznych w prętach prostych

ROZDZIAŁ 12

Strona 108108108108

Złożone zagadnienia wytrzymałości prętów występują wtedy, gdy siły

wewnętrzne redukują się do więcej niż jednej składowej określającej

prosty przypadek obciążenia, tzn. siły podłużnej N, poprzecznej T,

momentu skręcającego Ms i momentu gnącego Mg. W rozwiązywaniu

złożonych zagadnień stosuje się zasadę superpozycji, sumując odpo-

wiednio wyniki (np. odkształcenia, naprężenia) otrzymane dla prostych

przypadków obciążenia. Metoda ta spełnia wymagania dotyczące

dokładności jedynie w zakresie dostatecznie małych odkształceń

i przemieszczeń.

12.1. Zginanie z rozciąganiem lub ściskaniem

Rozpatrzmy pręt, na który działają równolegle do jego osi x dwie równo-

ważące się siły P. Siły przyłożone są mimośrodowo w jednej z płasz-

czyzn bezwładności (wyznaczonej przez osie x i y) w odległości a od

głównej osi bezwładności przekroju z (rysunek 12.1).

Rysunek 12.1

W dowolnym przekroju siły wewnętrzne redukują się do siły podłużnej

N = P i momentu gnącego Mg = P a. Naprężenia w dowolnym punkcie

przekroju są sumą algebraiczną naprężeń normalnych wywołanych

rozciąganiem σr i zginaniem σg

ZŁOŻONE DZIAŁANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH PROSTYCH

Strona 109109109109

yJ

Pa

A

P

J

yM

A

N

zz

g

gr +=+=+= σσσ (12.1)

Największe naprężenia normalne występują w punktach przekroju

o współrzędnej y = ymax i ze względu na wytrzymałość powinny być ograniczone naprężeniami dopuszczalnymi σdop

dopW

Pa

A

Pσσ ≤+=max (12.2)

gdzie Wz oznacza wskaźnik wytrzymałości na zginanie maxyJW z= .

Podstawiając we wzorze (12.1) za moment bezwładności przekroju wy-

rażenie 2

zz iAJ = , otrzymujemy

+= y

i

a

A

P

z

21σ (12.3)

gdzie iz jest promieniem bezwładności przekroju.

W celu wyznaczenia położenia osi obojętnej w pręcie rozciąganym i

zginanym przyjmujemy w równaniu (12.3) zerową wartość naprężenia σ

= 0. Odległość osi obojętnej od głównej osi bezwładności przekroju

wynosi zatem

a

imy z

2

0 −== (12.3)

Z zależności (12.3) wynika, że zmniejszając mimośród a można

przesunąć oś obojętną poza przekrój, uzyskując w obszarze przekroju

naprężenia dodatnie. W przypadku granicznym, gdy jest a = 0, wystąpi

czyste rozciąganie. Zwiększanie mimośrodu powoduje wzrost udziału

zginania, które dominuje przy bardzo dużych wartościach mimośrodu.

ROZDZIAŁ 12

Strona 110110110110

12.2. Zginanie ze skręcaniem

Rozpatrzmy pręt o przekroju kołowym, który jednocześnie jest zginany

momentem Mg i skręcany momentem Ms. W przekroju pręta wystąpią naprężenia styczne i normalne o rozkładzie pokazanym na rysunku 12.2.

Rysunek 12.2

Największe naprężenia są w punktach najbardziej oddalonych od osi

obojętnej zginania i wynoszą

W

M g=maxσ , 0

maxW

M s=τ (12.4)

W tych punktach jest też największe wytężenie materiału. Zakładając

sprężysto-plastyczne właściwości materiału pręta, naprężenia

zredukowane możemy wyznaczyć na podstawie hipotezy Hubera-Misesa

lub hipotezy największych naprężeń stycznych.

Dla płaskiego stanu naprężenia określonego składowymi

σx = σmax, σy = 0, τxy = τmax naprężenia zredukowane według hipotezy

Hubera-Misesa wynoszą

2

max

2

max

222 33 τστσσσσσ +=+−+= xyyxyxred (12.5)

ZŁOŻONE DZIAŁANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH PROSTYCH

Strona 111111111111

lub podstawiając zależności (12.4)

2

0

2

3

+

=

W

M

W

Msg

redσ (12.6)

Uwzględniając w (12.6) związek między wskaźnikami wytrzymałości na

zginanie i skręcanie WW 20 = , ostatecznie mamy

W

MM sg

red

22

4

3+

=σ (12.7)

Wprowadzając oznaczenie momentu zredukowanego

22

4

3sgred MMM += (12.8)

warunek wytrzymałości wału zginanego i skręcanego zapisujemy w po-

dobnej formie jak dla zginania

dopred

redW

Mσσ ≤= (12.9)

W przypadku hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych stosujemy

wzór na naprężenia zredukowane w płaskim stanie naprężenia, określo-

nym przez naprężenia główne σ1 i σ2 o różnych znakach (11.6)

2

max

2

max

22 44)( τστσσσ +=+−= xyyxred (12.10)

Po podstawieniu do powyższego wzoru zależności (12.4) i związku

między wskaźnikami wytrzymałości otrzymujemy

W

MM

W

M

W

M sgsg

red

222

0

2

4+

=

+

=σ (12.11)

Moment zredukowany według hipotezy „τmax” ma postać

22

sgred MMM += (12.12)

ROZDZIAŁ 12

Strona 112112112112

Oczywiście, ocena wytrzymałości polega na porównaniu wartości

naprężenia zredukowanego σred z naprężeniem dopuszczalnym σdop.

12.3. Przykłady obliczeń

1. Wyznaczyć największe naprężenia zredukowane w pręcie AB o śred-

nicy d i długości l utwierdzonym na jednym końcu z prostopadle przy-

mocowanym ramieniem BC o długości a (rysunek 12.3). Koniec C ra-

mienia obciążony jest pionową siłą P. Przyjąć następujące dane liczbo-

we: P = 20 N, l = 1 m, a = 0,5 m, d = 0,01 m.

Rysunek 12.3

Na podstawia warunków równowagi wyznaczamy reakcje w przekroju A

PRPR AA =⇒=− 0

PlMPlM AxAx =⇒=− 0

PaMPaM AyAy =⇒=+− 0

W pręcie AB, w przedziale 0 ≤ y ≤ l moment gnący wynosi

)()( ylPMyRyM AxAg −−=−=

ZŁOŻONE DZIAŁANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH PROSTYCH

Strona 113113113113

Moment skręcający ma wartość stałą

PaM s =

Ramię BC jest zginane momentem

)()( xaPMxRxM AyAg −−=−= , 0 ≤ x ≤ a

Wykresy momentów gnących i momentów skręcających pokazane są na

rysunku 12.4.

Rysunek 12.4

Naprężenia zredukowane wyznaczamy na podstawie hipotezy Hubera-

Misesa. Największe obciążenie występuje w przekroju utwierdzenia,

w którym moment gnący i moment skręcający wynoszą odpowiednio

Mg = Pl oraz Ms = Pa. Moment zredukowany obliczamy ze wzoru (12.8)

2222

4

3

4

3alPMMM sgred +=+=

Po podstawieniu danych liczbowych mamy

8,215,04

3120 22 =+=redM Nm

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie obliczony z przybliżonego wzoru 31,0 dW ≅ wynosi

710−=W m3.

Ostatecznie, obliczamy naprężenia zredukowane

21810

8,217

===−

W

M redredσ MPa,

ROZDZIAŁ 12

Strona 114114114114

które nie powinny przekroczyć wartości naprężeń dopuszczalnych σdop.

2. Obliczyć minimalną średnicę d wału o długości l utwierdzonego na

jednym końcu, a na drugim z tarczą o promieniu R i ciężarze Q

(rys. 12.5). Na tarczę nawinięta jest lina obciążona siłą P.

W obliczeniach przyjąć: l = 0,16 m, R = 0,1 m, P = 200 N, Q = 50 N,

σdop = 200 MPa.

Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje: RA = P + Q,

MAg = (P + Q) l, MAs = P R.

Z przedstawionych na rysunku 12.5 wykresów momentów gnących

i skręcających wynika, że najbardziej obciążony jest przekrój zamoco-

wania wału.

Rysunek 12.5

Zastosujmy hipotezę największych naprężeń stycznych. Zgodnie z tą hipotezą moment zredukowany wynosi

( ) 2222 )()( PRlQPMMM sgred ++=+=

Po podstawieniu danych liczbowych mamy

7,4452020)16,0250( 22 ==+⋅=redM Nm

ZŁOŻONE DZIAŁANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W PRĘTACH PROSTYCH

Strona 115115115115

Na podstawie warunku wytrzymałości

dopred

redW

Mσσ ≤= ,

uwzględniając 323dW π= ,

0trzymujemy nierówność, na podstawie której dobieramy średnicę wału

332

dop

redMd

σπ≥

Podstawiając wartości liczbowe wyznaczamy najmniejsza wartość średnicy

2

36

1031,110200

7,4432 −⋅≅⋅⋅

⋅=

πd m

ROZDZIAŁ 12

Strona 116116116116

`

13Metody energetyczne - układy liniowosprężyste

ROZDZIAŁ 13

Strona 118118118118

Metody energetyczne oparte są na bilansie pracy sił zewnętrznych

i energii odkształcenia sprężystego układu. Metody te stanowią ważne

narzędzie do wyznaczania przemieszczeń i sił w tzw. układach

liniowosprężystych.

Układem liniowosprężystym (układem Clapeyrona) nazywamy układ,

w którym przemieszczenie dowolnego punktu wywołane działaniem

zrównoważonych sił zewnętrznych jest liniową funkcja tych sił.

W teorii układów liniowosprężystych wprowadza się pojęcie siły uogól-

nionej i przemieszczenia uogólnionego. Siłą uogólnioną jest każda skła-

dowa obciążenia, jeśli wielkość ta jednoznacznie określa cały układ sił

wywołany jej działaniem. A zatem, siłą uogólnioną jest siła skupiona

i moment skupiony. Przemieszczeniem uogólnionym odpowiadającym

sile skupionej jest rzut przemieszczenia liniowego na kierunek działania

siły. Momentowi skupionemu odpowiada przemieszczenie uogólnione

w postaci kąta obrotu w płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu.

Weźmy pod uwagę ciało sprężyste obciążone układem sił uogólnionych

Q1, Q2, ... Qn (rysunek 13.1).

Rysunek 13.1

Zgodnie z definicją, układy liniowosprężyste spełniają prawo superpozy-

cji i przemieszczenia uogólnione ui (i = 1,..., n) odpowiadające poszcze-

gólnym siłom Qi (i = 1,..., n) są równe sumie przemieszczeń wywoła-

nych działaniem każdej siły Qi oddzielnie. Możemy zatem zapisać

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 119119119119

nnnniinnn

inniiiiii

nnii

nnii

QQQQu

QQQQu

QQQQu

QQQQu

∆++∆++∆+∆=

∆++∆++∆+∆=

∆++∆++∆+∆=

∆++∆++∆+∆=

......

.............................................................

......

.............................................................

......

......

2211

2211

222222112

111221111

(13.1)

lub w ogólnej postaci

∑=

∆=n

j

ijji Qu1

(13.2)

Współczynnik ∆ij nazywany jest liczbą wpływową, która oznacza prze-

mieszczenie uogólnione odpowiadające sile Qi wywołane działaniem siły

uogólnionej Qj o wartości jednostkowej, przy czym jest ∆ij = ∆ji.

Układ liniowosprężysty musi spełniać następujące warunki:

1. materiał jest liniowosprężysty,

2. układ jest w równowadze,

3. nie występuje rozpraszanie energii (brak tarcia),

4. przemieszczenia są tak małe, że pomijalny jest ich wpływ na

skutki działania sił (wartości sił wewnętrznych, warunki równo-

wagi).

13.1. Energia sprężysta układów liniowosprężystych

W stanie równowagi energia sprężysta U (energia potencjalna wewnętrz-

nych sił sprężystości) jest równa pracy sił zewnętrznych L

LU = (13.3)

ROZDZIAŁ 13

Strona 120120120120

W celu obliczenia pracy sił zewnętrznych zakładamy, że proces obciąże-

nia odbywa prawie statycznie (quasi-statycznie) i w każdej chwili zacho-

wana jest równowaga między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.

Obliczmy energię sprężystą pręta rozciąganego siłą P, którego wydłuże-

nie wynosi λ. Elementarna praca jest iloczynem działającej siły i ele-

mentarnego przyrostu wydłużenia pręta du

duPdL = (13.4)

Podstawiając w powyższym równaniu w miejsce P zależność ul

EAP = ,

a następnie całkując w granicach od 0 do λ otrzymujemy następujące

wzory na energię sprężystą pręta

λλλ

PPEA

l

l

EAduu

l

EAU

2

1

2

1

2

1 22

0

==== ∫ (13.5)

A zatem, energia sprężysta jest równa połowie iloczynu siły rozciągają-cej pręt i wywołanego wydłużenia.

W przypadku ogólnym energia sprężysta układu liniowosprężystego jest

sumą prac wszystkich sił uogólnionych

i

n

i

iuQU ∑=

=12

1 (13.6)

Energia sprężysta układu liniowosprężystego jest równa połowie sumy

iloczynów sił obciążających układ i odpowiadających im przemieszczeń.

Podstawiając we wzorze (13.6) w miejsce przemieszczenia uogólnione-

go ui wyrażenie (13.2) mamy

∑∑= =

∆=n

i

ij

n

j

ij QQU1 12

1 (13.7)

Z powyższego wzoru wynika, że energia sprężysta jest jednorodną kwadratową funkcją sił uogólnionych. Oznacza to, że przy obliczaniu

energii nie można stosować zasady superpozycji.

Energię sprężystą można także wyznaczyć jako pracę sił wewnętrznych.

Na podstawie wzoru (13.5) energia sprężysta jednostkowej długości

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 121121121121

pręta, w którym obciążenie osiowe wywołuje wzdłużną siłę wewnętrzną N, wynosi

EA

N

dx

dU2

2

1= (13.8)

Dla innych prostych przypadków obciążenia pręta mamy:

ścinanie GA

T

dx

dU2

2

1 β= (13.9)

skręcanie 0

2

2

1

GJ

M

dx

dU s= (13.10)

zginanie EJ

M

dx

dU g

2

2

1= (13.11)

Współczynnik β we wzorze (13.9) zależy od kształtu przekroju.

Na podstawie przedstawionych zależności stwierdzamy, że energia

sprężysta jednostki długości pręta jest równa połowie ilorazu kwadratu

siły wewnętrznej i odpowiedniej sztywności.

13.2. Twierdzenie Castigliana

Obliczmy pochodną energii sprężystej danej zależnością (13.7) wzglę-dem dowolnej siły uogólnionej Qk

( ) ∑∑∑∑= == =

∂

∂+

∂

∂∆=∆

∂

∂=

∂

∂ n

i

n

j

j

k

i

i

k

j

ij

n

i

n

j

ijij

kk

QQ

QQ

Q

QQQ

QQ

U

1 11 1 2

1

2

1 (13.12)

Zauważmy, że pochodne w równaniu (13.12) przyjmują wartości

≠

==

∂

∂

kj

kj

Q

Q

k

j

dla 0

dla 1 oraz

≠

==

∂

∂

ki

ki

Q

Q

k

i

dla 0

dla 1

A zatem, mamy

ROZDZIAŁ 13

Strona 122122122122

( )∑∑ ∑∑= = ==

∆+∆=∆+∆=∂

∂ n

i

n

j

n

j

jkj

n

i

iikjkjiik

k

QQQQQ

U

1 1 11 2

1

2

1

2

1 (13.13)

Zmieniając wskaźnik sumowania w drugim składniku z j na i oraz

uwzględniając równość odpowiednich liczb wpływowych, otrzymujemy

∑=

∆=∂

∂ n

i

iki

k

QQ

U

1

(13.14)

Wyrażenie po prawej stronie równania oznacza przemieszczenie

uogólnione uk

k

k

uQ

U=

∂

∂ (13.15)

Powyższe równanie wyraża twierdzenia Castigliana.

Pochodna cząstkowa energii sprężystej układu liniowosprężystego

względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu

odpowiadającemu tej sile, wywołanemu działaniem wszystkich sił obcią-żających układ.

W przypadku gdy wyznaczamy przemieszczenie odpowiadające działa-

jącej sile, stosujemy bezpośrednio twierdzenie Castigliana. Jeśli poszu-

kujemy przemieszczenia, dla którego brak rzeczywistej siły uogólnionej,

należy wprowadzić dodatkową (fikcyjną) siłę odpowiadającą temu prze-

mieszczeniu, uwzględnić wywołane jej działaniem siły wewnętrzne,

obliczyć pochodną energii sprężystej i w końcowym wyniku przyjąć wartość zerową siły dodatkowej.

W obliczeniach przemieszczeń konstrukcji prętowej o elementach zgina-

nych energię sprężystą można ograniczyć do energii czystego zginania,

pomijając energię ścinania spowodowaną działaniem siły poprzecznej

jako stosunkowo małą. A zatem, energia sprężysta układu złożonego z n

zginanych odcinków prętowych dana jest wzorem

∫∑=

=)(

2

1

1

2

1

il

gi

n

i ii

dxMJE

U (13.16)

gdzie: iloczyn ii JE jest sztywnością na zginanie i-tego odcinka pręta,

Mgi oznacza funkcję momentu gnącego na odcinku li.

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 123123123123

Na podstawie twierdzenia Castigliana ugięcie (odpowiadające sile P)

obliczamy ze wzoru

∫∑∫∑∂

∂=

∂

∂=

== )(1)(

2

1

11

2

1

ii l

gi

gi

n

i iil

gi

n

i ii

dxP

MM

JEdxM

JEPy (13.17)

W celu obliczenia kąta ugięcia wyznaczamy pochodną energii sprężystej

względem momentu skupionego M

∫∑∫∑∂

∂=

∂

∂=

== )(1)(

2

1

11

2

1

ii l

gi

gi

n

i iil

gi

n

i ii

dxM

MM

JEdxM

JEMϑ (13.18)

W przypadku jednakowej sztywności wszystkich odcinków prętowych

układu ugięcie i kąt ugięcia obliczamy ze wzorów

∑ ∫= ∂

∂=

n

i l

gi

gi

i

dxP

MM

EJy

1 )(

1 (13.19)

∑ ∫= ∂

∂=

n

i l

gi

gi

i

dxM

MM

EJ 1 )(

1ϑ (13.20)

13.3. Przykłady wyznaczania przemieszczeń w układach prętowych

1. Na belkę swobodnie podpartą działa siła P i moment M (rysu-

nek 13.2). Wyznaczyć związek między składnikami obciążenia, aby

przemieszczenie końca C belki było zerowe. Sztywność belki jest stała

i wynosi EJ.

ROZDZIAŁ 13

Strona 124124124124

Rysunek 13.2

Na podstawie warunków równowagi wyznaczamy reakcje podpór:

Pl

MRA += , P

l

MRB 2+=

Stosując bezpośrednio twierdzenie Castigliana, wyznaczamy ugięcie

punktu C belki

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂= ∫∫

l

l

l

C dxP

MMdx

P

MM

EJP

Uy

2

22

0

11

1

Momenty gnące wynoszą:

w przedziale lx ≤≤0

xPl

MMxRMM A

+−=−=1

w przedziale lxl 2≤≤

( )

( ) ( )xlPlxPl

MxP

l

MM

lxRxRMM BA

−−=−

++

+−=

=−+−=

22

2

stąd

xP

M−=

∂

∂ 1 , ( )xlP

M−−=

∂

∂22

Po podstawieniu funkcji momentów gnących i ich pochodnych do wzoru

na ugięcie, a następnie scałkowaniu otrzymujemy

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 125125125125

( )

−=

=

−+

++−= ∫∫

63

21

21

22

0

2

MPl

EJ

dxxlPdxxPl

MMx

EJy

l

l

l

C

A zatem, warunek 0=Cy jest spełniony, gdy jest M = 4Pl.

2. W belce jak na rysunku 13.3 jednostronnie utwierdzonej i obciążonej

obciążeniem rozłożonym o intensywności q wyznaczyć kąt ugięcia swo-

bodnego końca. Przyjąć długość belki l i stałą sztywność na zginanie EJ.

Rysunek 13.3

W celu wyznaczenia kąta ugięcia υB należy w punkcie B przyłożyć dodatkowy (fikcyjny) moment Md.

Na podstawie warunków równowagi wyznaczamy reakcje utwierdzenia.

Wynoszą one: qlR A2

1= , dA MqlM += 2

8

1

Twierdzenie Castigliana zapisujemy w postaci

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂= ∫∫

l

l d

l

dd

B dxM

MMdx

M

MM

EJM

U

2

22

2

0

11

1υ

Momenty gnące wynoszą:

w przedziale 2

0l

x ≤≤

ROZDZIAŁ 13

Strona 126126126126

dMM −=1

w przedziale lxl

≤≤2

2

222

1

−−−=

lxqMM d

stąd

11 −=∂

∂

dM

M, 12 −=

∂

∂

dM

M

oraz

−++= ∫∫

l

l

d

l

dB dxl

xqMdxMEJ

2

22

022

11υ

Po podstawieniu Md = 0 i scałkowaniu otrzymujemy

∫ =

−=

l

l

BEJ

qldx

lxq

EJ2

32

4822

1υ

3. Wyznaczyć ugięcie środka belki o stałej sztywności EJ i długości l.

Belka jest swobodnie podparta na końcach i obciążona na całej długości

obciążeniem równomiernym q (rysunek 13.4)

Rysunek 13.4

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 127127127127

W celu wyznaczenia ugięcia środka belki należy w punkcie C przyłożyć dodatkową (fikcyjną) siłę Fd. Z ogólnych warunków równowagi wyzna-

czamy reakcje podpór )(2

1dBA FqlRR +==

Na podstawie twierdzenia Castigliana mamy

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂= ∫∫

l

l d

l

dd

C dxF

MMdx

F

MM

EJF

Uy

2

22

2

0

11

1

Momenty gnące wynoszą:

w przedziale 2

0l

x ≤≤

( )22

1 )(2

1

2

1qxxFqlqxxRM dA −+=−=

w przedziale lxl

≤≤2

( )

−−−+=

−−−=

2)(

2

1

22

1 22

2

lxFqxxFql

lxFqxxRM dddA

Obliczamy pochodne cząstkowe

xF

M

d 2

11 =∂

∂, ( )xl

lxx

F

M

d

−=

−−=

∂

∂

2

1

22

12

A zatem, ugięcie yC dane jest równaniem

( )( )

( )( ) ( )

−

−−−++

+−+=

∫

∫

dxxll

xFqxxFql

dxxqxxFqlEJ

y

l

l

dd

l

dC

2

2

2

0

2

24

1

4

11

ROZDZIAŁ 13

Strona 128128128128

Po podstawieniu Fd = 0 i scałkowaniu otrzymujemy

( ) ( )

( ) ( )

EJ

qlxx

lx

lxx

l

EJ

q

dxxlxxldxxlxEJ

q

dxxlxlxqdxxxlxqEJ

y

l

l

l

l

l

l

ll

l

l

l

l

l

l

C

4

2

4

2

3

2

22

2

0

42

0

3

2

3222

0

32

2

22

0

2

384

5

4

1

3

2

24

1

34

24

)(4

1

=

+−+−

=

+−+−

=

−−+−=

∫∫

∫∫

4. Rama złożona z dwóch sztywno połączonych prętów, podparta swo-

bodnie na końcach A i B, obciążona jest obciążeniem rozłożonym

o stałej intensywności q i siłą skupioną P (rysunek 13.5). Zakładając

stałą sztywność EJ prętów, wyznaczyć przesunięcie podpory B.

Rysunek 13.5

Wprowadzamy fikcyjną siłę Fd działającą w kierunku poszukiwanego

przesunięcia podpory C. Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje

podpór:

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 129129129129

dAx FP

qlR +−=2

, dAy FqlR += 2 ,

dB FP

qlR ++=2

Energię sprężystą ograniczamy do działania momentu gnącego. Wpro-

wadzając lokalne współrzędne x1, x2, x3, odpowiadające przedziałom

zmienności momentu gnącego, twierdzenie Castigliana zapisujemy

w postaci

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂= ∫∫∫

l

d

l

d

l

dd

B dxF

MMdx

F

MMdx

F

MM

EJF

Uy

0

33

3

0

22

2

2

0

11

1

1

Momenty gnące wynoszą:

w przedziale lx ≤≤ 10

1

2

11

2xF

qxM d−−=

w przedziale lx ≤≤ 20

222

2xF

PqlxRM dAx

+−−=−=

w przedziale lx ≤≤ 30

33333 )(

2)( PxxlF

PqlPxxlRM dAx −+

+−−=−+−=

Obliczamy pochodne cząstkowe

11 x

F

M

d

−=∂

∂, 2

2 xF

M

d

−=∂

∂, )( 3

3 xlF

M

d

+−=∂

∂

Przesunięcie yC określa wzór

ROZDZIAŁ 13

Strona 130130130130

+

++

+−+

+

+−+

+=

∫

∫∫l

d

l

d

l

dB

dxxlPxxlFP

ql

dxxFP

qldxxxFqx

EJy

0

3333

0

2

2

2

2

0

111

2

1

)()(2

22

1

Po podstawieniu Fd = 0 i scałkowaniu otrzymujemy

[ ]PqlEJ

l

dxxlPxxlP

ql

dxxP

qldxqx

EJy

l

ll

B

3286

)()(2

22

1

3

0

3333

0

2

2

2

2

0

1

3

1

−=

=

+

++

−+

+

−+=

∫

∫∫

13.4. Twierdzenie Menabrei-Castigliana

Twierdzenie Menabrei-Castigliana służy do wyznaczania wielkości

statycznie niewyznaczalnych (nadliczbowych) w układach statycznie

niewyznaczalnych. Rozróżniamy dwa rodzaje statycznej niewyznaczal-

ności – zewnętrzną i wewnętrzną. Zewnętrzna statyczna niewyznaczal-

ność jest wtedy, gdy liczba reakcji podpór (nałożonych więzów)

przekracza liczbę równań równowagi. W przypadku wewnętrznej

statycznej niewyznaczalności reakcje podpór są statycznie wyznaczalne,

natomiast nie można określić wartości sił wewnętrznych na podstawie

równań równowagi.

Oczywiste jest, że w układzie sztywno podpartym przemieszczenie

odpowiadające reakcji traktowanej jako siła uogólniona jest równe zeru.

Na podstawie twierdzenia Castigliana możemy napisać

0=∂

∂

iR

U (13.21)

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 131131131131

Powyższy zapis jest słuszny wyłącznie w odniesieniu do reakcji nadlicz-

bowych w układach statycznie niewyznaczalnych, gdyż wszystkie pozo-

stałe reakcje powiązane są warunkami równowagi.

Równanie (13.21) wyraża treść twierdzenia Menabrei-Castigliana.

W układzie liniowosprężystym sztywno podpartym pochodna cząstkowa

energii sprężystej całego układu względem wielkości podporowej sta-

tycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.

Powyższe twierdzenie oznacza spełnienie warunku ekstremum energii

sprężystej układu traktowanej jako funkcja reakcji statycznie niewyzna-

czalnej. Jest to zarazem warunek minimum energii, gdyż druga pochod-

na energii sprężystej względem reakcji statycznie niewyznaczalnej jest

zawsze dodatnia. Stąd też twierdzenie Menabrei-Castigliana nazywane

jest także zasadą minimum energii.

Twierdzenie Menabrei-Castigliana można również stosować do rozwią-zywania układów wewnętrznie statycznie niewyznaczalnych, tzn. obli-

czania statycznie niewyznaczalnych sił wewnętrznych.

13.5. Przykłady wyznaczania wielkości statycznie niewyznaczalnych

1. Dla belki o stałej sztywności EJ, przedstawionej na rysunku 13.6, wy-

znaczyć reakcję podpory B.

Rysunek 13.6

ROZDZIAŁ 13

Strona 132132132132

Przyjmujemy reakcję RB jako wielkość statycznie niewyznaczalną. Z ogólnych warunków równowagi wyznaczamy pozostałe reakcje pod-

pór w zależności od reakcji statycznie niewyznaczalnej:

RA = P – RB, MA = Pl/2 – RBl.

Na podstawie twierdzenia Menabrei-Castigliana otrzymujemy dodatko-

we równanie

01

2

22

2

0

11 =

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂∫∫l

l B

l

BB

dxR

MMdx

R

MM

EJR

U

Momenty gnące wynoszą:

w przedziale 2

0l

x ≤≤

( )

−−−=+−= x

lPxlRxRMM BAA

21

w przedziale lxl

≤≤2

( )xlRl

xPxRMM BAA −=

−−+−=

22

stąd

xlR

M

B

−=∂

∂ 1 , xlR

M

B

−=∂

∂ 2

Dodatkowe równanie ma postać

( ) ( ) ( ) 02

2

22

0

=−+−

−−− ∫∫

l

l

B

l

B dxxlRdxxlxl

PxlR

Po scałkowaniu otrzymujemy

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 133133133133

048

5

3

1 33 =− PllRB

A zatem, reakcja statycznie niewyznaczalna wynosi PRB16

5=

2. Wyznaczyć reakcje podpór belki o stałej sztywności EJ, przedstawio-

nej na rysunku 13.7.

Rysunek 13.7

Zadanie jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Jako nadliczbową wielkość przyjmujemy reakcję RB. Z warunków równowagi wyznaczamy

pozostałe reakcje: RA = ql – RB, MA = 3ql2/2 – RBl.

Momenty gnące wzdłuż osi x1 i x2 wynoszą:

w przedziale lx ≤≤ 10

2

112

1qxM −=

w przedziale lx ≤≤ 20

+−=

2222

lxqlxRM B

Niezerową wartość ma tylko pochodna momentu M2

22 x

R

M

B

=∂

∂

ROZDZIAŁ 13

Strona 134134134134

Na podstawie twierdzenia Menabrei-Castigliana mamy

02

112

0

222

0

22

2 =

+−=

∂

∂=

∂

∂∫∫ dxx

lxqlxR

EJdx

R

MM

EJR

Ul

B

l

BB

Po scałkowaniu otrzymujemy

012

7

3

1 43 =− qllRB

a stąd qlRB4

7= . Pozostałe reakcje wynoszą: qlRA

4

3−= ,

2

4

1qlM A −= (znak minus wskazuje na przeciwny zwrot reakcji).

3. Rama złożona z dwóch sztywno połączonych prętów, podparta prze-

gubowo na końcach A i C, obciążona jest obciążeniem rozłożonym o

stałej intensywności q (rysunek 13.8). Zakładając stałą sztywność EJ

prętów, wyznaczyć reakcje podpór.

Rysunek 13.8

METODY ENERGETYCZNE - UKŁADY LINIOWOSPRĘŻYSTE

Strona 135135135135

Jako wielkość statycznie niewyznaczalną przyjmujemy reakcję RCy.

Pozostałe reakcje nieprzesuwnych podpór przegubowych, na podstawie

ogólnych warunków równowagi wynoszą:

RAy = ql – RCy, RCx = ql/2 – RCy, RAx = RCx.

Wprowadzając lokalne współrzędne x, y, odpowiadające przedziałom

zmienności momentu gnącego, twierdzenie Menabrei-Castigliana zapi-

sujemy w postaci

01

0

22

0

11 =

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂∫∫l

Cy

l

CyCy

dyR

MMdx

R

MM

EJR

U

Wyznaczamy momenty gnące wzdłuż osi x i y:

w przedziale lx ≤≤0

2

12

1qxxRM Cy −=

w przedziale ly ≤≤0

qlyyRyRM CyAx2

12 −=−=

oraz ich pochodne

xR

M

Cy

=∂

∂ 1

yR

M

Cy

=∂

∂ 2

Dodatkowe równanie ma postać

02

1

2

1

00

2 =

−+

− ∫∫

l

Cy

l

Cy ydyqlyyRdxxqxxR

Po scałkowaniu i przekształceniach otrzymujemy

024

7

3

2 43 =− qllRCy

ROZDZIAŁ 13

Strona 136136136136

a stąd qlRCy16

7=

Pozostałe reakcje wynoszą: qlRAy16

9= , qlRR CxAx

16

1== .

`

14 Stateczność prętów ściskanych

ROZDZIAŁ 14

Strona 138138138138

Pręty ściskane osiowo, których długość jest wielokrotnie większa od

wymiarów poprzecznych, ulegają zniszczeniu przy wartościach naprężeń

znacznie mniejszych od wytrzymałości na ściskanie. Przyczyną znisz-

czenia jest utrata stateczności prostej postaci pręta, tzn. wychylenie z po-

łożenia równowagi i przejście w stan równowagi niestatecznej (chwiej-

nej). Graniczną wartość siły, przy której ściskany pręt traci stateczność prostoliniowej postaci nazywamy siłą krytyczną i oznaczamy symbolem

Pkr. Siłę krytyczną należy traktować jako siłę niszczącą, gdyż niewielki

jej wzrost powoduje postępujące wygięcie pręta i jego zniszczenie.

Zjawisko niestateczności prostoliniowej postaci pręta ściskanego nazy-

wamy wyboczeniem.

14.1. Sprężyste wyboczenie pręta

Rozpatrzmy zagadnienie wyznaczania siły krytycznej w przypadku

ściskanego pręta podpartego przegubowo na obu końcach (rysunek

14.1).

Stosując sposób podany przez Eulera, wyznaczamy warunki konieczne

do zachowania równowagi pręta w postaci wykrzywionej. Otrzymujemy

następujące równanie ugiętej osi pręta

PyMxd

ydEJ g −=−=

2

2

(14.1)

Dzieląc obie strony równania (14.1) przez sztywność na zginanie EJ, po

prostych przekształceniach mamy

02

2

2

=+ ykxd

yd (14.2)

gdzie oznaczono

STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH

Strona 139139139139

EJ

Pk =2 (14.3)

Rysunek 14.1

Rozwiązanie ogólne jednorodnego równania (14.2) ma postać

kxBkxAy cossin += (14.4)

Na podstawie warunków brzegowych

00

==x

y oraz 0==lx

y (14.5)

otrzymujemy B = 0 oraz

0sin =klA (14.6)

ROZDZIAŁ 14

Strona 140140140140

Równanie (14.6) jest spełnione w dwóch przypadkach: gdy stała A ma

zerową wartość, co odpowiada prętowi prostemu (y = 0), oraz gdy

zachodzi związek

0sin =kl , (14.7)

który jest spełniony dla ciągu πnkl = przy n = 1, 2,....

Zakładając siłę ściskającą różną od zera (P ≠ 0) oraz n = 1, z zależności

π=kl , zgodnie z przyjętym oznaczeniem (14.3), wyznaczamy naj-

mniejszą wartość siły ściskającej powodującej wyboczenie, tzw. siłę krytyczną

2

2

l

EJPkr

π= (14.8)

Sile krytycznej odpowiada ugięcie osi pręta opisane z dokładnością do

stałej A następującym równaniem

xl

Ayπ

sin= (14.9)

Podstawiając kolejne wartości kl (2π, 3π,...) otrzymujemy wyższe

wartości sił krytycznych którym odpowiada ugięta osi pręta w kształcie

dwóch, trzech itd. połówek fali sinusoidy. Tak obliczone wartości sił nie

mają praktycznego znaczenia, gdyż wyboczenie w postaci półfali sinu-

soidy (14.9) wywołane najmniejszą siła krytyczną przy wzroście siły

spowoduje dalsze zginanie i w konsekwencji zniszczenie pręta.

Podobnie jak w opisanym przypadku wyboczenia pręta zamocowanego

przegubowo na końcach, można określić siłę krytyczną odpowiadającą różnym warunkom brzegowym wzorem Eulera w ogólnej formie

2

2

w

krl

EJP

π= (14.10)

gdzie lw oznacza długość wyboczeniową zależną od sposobu zamocowa-

nia pręta.

Na rysunku 14.2 pokazano kształt wygiętej osi pręta z zaznaczoną długością wyboczeniową dla kilku podstawowych rodzajów podparcia.

STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH

Strona 141141141141

Rysunek 14.2

Dzieląc obie strony wzoru na siłę krytyczną przez pole przekroju A,

wyznaczamy naprężenie krytyczne

Al

EJ

w

kr 2

2πσ = (14.11)

Wprowadźmy pojęcie smukłości pręta zdefiniowane jako stosunek

długości wyboczeniowej lw do promień bezwładności przekroju i

i

lw=λ (14.12)

Podstawiając do wzoru (14.11) zależność J = A i2 oraz wzór na smukłość

otrzymujemy

2

2

λ

πσ

Ekr = (14.13)

Moduł Younga E materiału pręta ma stałą wartość, zatem równanie

(14.13) opisuje zależność naprężenia krytycznego od smukłości.

Obrazem tej zależności na wykresie w układzie osi σkr, λ jest krzywa

nazywana hiperbolą Eulera (rysunek 14.3)

ROZDZIAŁ 14

Strona 142142142142

Rysunek 14.3

Jak wynika z wykresu, wraz ze zmniejszaniem smukłości naprężenie

krytyczne wyraźnie wzrasta dążąc do nieograniczonych wartości. Ko-

nieczne jest zatem ustalenie kryterium stosowalności wzoru Eulera. Pod-

stawowym warunkiem jest sprężyste zachowanie materiału zgodne

z prawem Hooke’a. Oznacza to, że panujące w pręcie naprężenie nie

może przekroczyć granicy proporcjonalności RH (rys. 14.3). Naprężeniu

σkr = RH odpowiada zgodnie ze wzorem (14.13) smukłość graniczna λgr

H

grR

E2π

λ = (14.14)

Przykładowo, dla stali miękkiej, przyjmując RH = 200 MPa,

E = 2⋅105 MPa, mamy λgr = 100.

Ograniczenie naprężeń krytycznych dopuszcza stosowanie wzoru Eulera

wyłącznie do przypadków, gdy smukłość pręta jest większa od

smukłości granicznej, λ > λgr.

STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH

Strona 143143143143

14.2. Niesprężyste wyboczenie pręta

Wyboczenie prętów o smukłości mniejszej od smukłości granicznej ma

charakter niesprężysty i zachodzi przy naprężeniach mniejszych od

naprężeń wynikających ze wzoru Eulera. W zakresie smukłości λ < λgr

stosowane są aproksymacje empiryczne. Jedną z najczęściej stosowa-

nych jest aproksymacja liniowa określona wzorem Tetmajera-Jasińskie-

go (rysunek 14.4)

Rysunek 14.4

Aproksymacja liniowa opisana jest ogólnym wzorem w następującej

formie

λσ bakr −= (14.15)

gdzie a i b są współczynnikami wyznaczanymi doświadczalnie o wartoś-ciach zależnych od właściwości materiału.

W przypadku materiałów, dla których można określić granicę proporcjo-

nalności RH i plastyczności Re stałe a i b wyznaczamy podstawiając do

równania (14.15) warunki brzegowe (por. rysunek 14.4)

ROZDZIAŁ 14

Strona 144144144144

ekr R==0λ

σ oraz Hkr Rgr

==λλ

σ (14.16)

Ostatecznie otrzymujemy uproszczony wzór na naprężenia krytyczne

λλ

σgr

Heekr

RRR

−−= (14.17)

Należy podkreślić, że aproksymacja Tetmajera-Jasińskiego pozwala

jedynie w sposób przybliżony oszacować naprężenia krytyczne w oma-

wianym zakresie smukłości. Wartości naprężeń wyznaczone doświad-

czalnie wskazują na funkcję aproksymacyjną drugiego stopnia zapewnia-

jącą znacznie mniejszy rozrzut wyników.

14.3. Przykłady obliczeń na wyboczenie

1. Pręt stalowy o długości l = 1,5 m utwierdzony na jednym końcu

ściskany jest osiową siłą P (rysunrk 14.5). Zakładając prostokątny

przekrój pręta o wymiarach a = 10 mm, b = 60 mm, obliczyć dopuszczalną siłę Pdop przy której współczynnik bezpieczeństwa wynosi

n = 2.

W obliczeniach przyjąć E = 2⋅105 MPa, RH = 200 MPa.

Ze względu na sposób zamocowana wyboczenie nastąpi w płaszczyźnie

najmniejszej sztywności. Minimalną wartość ma moment bezwładności

przekroju względem osi y

93

10512

)01,0(06,0 −⋅=⋅

=yJ m4

A zatem, płaszczyzna x-z jest płaszczyzną wyboczenia.

Uwzględniając długość wyboczeniową lw = 2l, wyznaczamy smukłość pręta

yJ

Al

i

l2

2==λ

STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH

Strona 145145145145

Rysunek 14.5

Po podstawieniu danych liczbowych mamy

1039105

1065,12

9

4

=⋅

⋅⋅=

−

−

λ

Obliczona smukłość λ jest większa od smukłości granicznej λgr = 100.

A zatem, siłę krytyczną wyznaczamy ze wzoru Eulera

10963

1051022

9112

=⋅⋅⋅

=−π

krP N

Dopuszczalna siła ściskająca przy współczynniku bezpieczeństwa n = 2

wynosi

5482

1096==dopP N

ROZDZIAŁ 14

Strona 146146146146

2. Wyznaczyć krytyczną siłę ściskającą stalowy pręt o długości

l = 0,5 m, zamocowany przegubowo na końcach (rysunek 14.6). Przekrój

pręta ma kształt pierścienia o wymiarach średnic zewnętrznej

dz = 20 mm i wewnętrznej dw = 10 mm. W obliczeniach przyjąć E = 2⋅10

5 MPa, RH = 200 MPa, Re = 250 MPa.

Rysunek 14.6

Obliczamy moment bezwładności przekroju względem dowolnej osi

centralnej

( ) ( ) 94444 1036,701,002,06464

−⋅=−=−=ππ

wz ddJ m4

następnie pole powierzchni przekroju

( ) ( ) 42222 1035,201,002,044

−⋅=−=−=ππ

wz ddA m2

Smukłość pręta przy założonym sposobie zamocowania (lw = l) wynosi

STATECZNOŚĆ PRĘTÓW ŚCISKANYCH

Strona 147147147147

3,891036,7

1035,25,0

9

4

=⋅

⋅==

−

−

yJ

Alλ

Smukłość pręta jest mniejsza od smukłości granicznej, λ < λgr = 100.

Wyboczenie ma charakter niesprężysty i w celu wyznaczenia naprężeń

krytycznych stosujemy wzór Tetmajera-Jasińskiego

35,2053,89100

200250250 =

−−=

−−= λ

λσ

gr

Heekr

RRR MPa

A zatem, siła krytyczna wynosi

481035,21035,205 46 =⋅⋅⋅== −AP krkr σ kN

ROZDZIAŁ 14

Strona 148148148148

`

15Podstawy teorii błonowej powłok osiowosymetrycznych

ROZDZIAŁ 15

Strona 150150150150

Powłokami nazywamy elementy przestrzenne ograniczone zakrzywiony-

mi powierzchniami, przy czym odległość między nimi oznacza grubość powłoki. Jeśli promienie krzywizn powierzchni ograniczających są znacznie większe od grubości powłoki, to taka powłoka jest powłoką cienkościenną. Przykładem powłok cienkościennych są ściany różnego

rodzaju zbiorników.

W obliczeniach wytrzymałościowych powłok cienkościennych stosowa-

na jest teoria błonowa, w której pomija się efekt zginania powłoki.

Zgodnie z teorią błonową przyjmuje się następujące założenia:

• grubość powłoki mała w porównaniu z pozostałymi

wymiarami,

• ugięcie powłoki małe w stosunku do grubości,

• naprężenia w przekrojach poprzecznych mają rozkład

równomierny i są równoległe do powierzchni środkowej

powłoki,

• naprężenia w przekrojach równoległych do powierzchni

środkowej są pomijalnie małe.

Weźmy pod uwagę powłokę cienkościenną o grubości δ ograniczoną po-

wierzchniami obrotowymi o wspólnej osi symetrii, tzw. powłokę osio-

wosymetryczną. Załóżmy, że powłoka obciążona jest osiowosymetrycz-

nie siłami równomiernie rozłożonymi, normalnymi do jej powierzchni

środkowej. Takim obciążeniem jest nadciśnienie p. Wytnijmy z powłoki

element ograniczony dwoma bliskimi przekrojami południkowymi

(przekroje przechodzące przez oś symetrii) i dwoma przekrojami prosto-

padłymi do południków (rysunek 15.1). W przekrojach południkowych

o promieniu krzywizny ρ2 występują naprężenia obwodowe σ1, a w prze-

krojach prostopadłych do południków, których promienie krzywizny

oznaczono przez ρ1 – naprężenia południkowe σ2. Składowe naprężenia

σ1 i σ2 są naprężeniami głównymi i określają stan naprężenia w powłoce.

PODSTAWY TEORII BŁONOWEJ POWŁOK OSIOWOSYMETRYCZNYCH

Strona 151151151151

Rysunek 15.1

Na rysunek 15.2 pokazany jest element powłoki oraz jego obciążenie.

Rysunek 15.2

ROZDZIAŁ 15

Strona 152152152152

Analizując równowagę elementu, na podstawie sumy rzutów sił na nor-

malną do powłoki otrzymujemy

02

sin22

sin2 212

121

21 =−+ dspdsd

dsd

dsϕ

δσϕ

δσ (15.1)

gdzie ds1 i ds2 oznaczają długości elementu powłoki odpowiednio w kie-

runku obwodowym i południkowym.

Bardzo małe wymiary elementu uzasadniają następujące zależności mię-dzy kątami środkowymi dϕ1 i dϕ2, a odpowiednimi promieniami

krzywizny ρ1 i ρ2

1

111

222sin

ρ

ϕϕ dsdd==

(15.2)

2

222

222sin

ρ

ϕϕ dsdd==

Podstawiając związki (15.2) do równania równowagi (15.1) po prze-

kształceniach otrzymujemy

δρ

σ

ρ

σ p=+

2

2

1

1 (15.3)

Równanie (15.3), zwane równaniem Laplace’a, ma podstawowe znacze-

nie w teorii powłok cienkościennych i służy do rozwiązywania praktycz-

nych zagadnień wytrzymałościowych. W ogólnym przypadku ze wzglę-du na dwa nieznane naprężenia główne σ1 i σ2 wymagane jest dodatko-

we równanie, którym może być suma sił na kierunek osi powłoki.

15.1. Zbiornik kulisty i zbiornik walcowy

W przypadku zbiornika kulistego (rysunek 15.3) wypełnionego gazem

o nadciśnieniu p do określenia stanu naprężenia w ściance zbiornika

o grubości δ wystarcza równanie (15.3).

PODSTAWY TEORII BŁONOWEJ POWŁOK OSIOWOSYMETRYCZNYCH

Strona 153153153153

Rysunek 15.3

Ze względu na symetrię mamy

σσσ == 21

oraz (15.4)

2

21

D== ρρ

gdzie D jest średnicą powierzchni środkowej zbiornika.

Po podstawieniu związków (15.4) z równania Laplace’a (15.3) wyzna-

czamy naprężenie

δ

σ4

pD= (15.5)

które jednocześnie określa dwuosiowe równomierne rozciąganie ścianki

zbiornika.

Weźmy pod uwagę zbiornik walcowy o średnicy D, grubości ścianek δ i

wewnętrznym nadciśnieniu p, którego fragment przekroju pokazano na

rysunku 15.4.

ROZDZIAŁ 15

Strona 154154154154

Rysunek 15.4

Wyznaczmy naprężenia w części walcowej zbiornika.

Na element ścianki zbiornika działają naprężenia σ1 i σ2. Podstawiając

w równaniu Laplace’a promienie krzywizn 2

1

D=ρ oraz ∞→2ρ ,

wyznaczamy naprężenie obwodowe σ1

δ

σ2

1

pD= (15.6)

Naprężenie wzdłużne σ2 wyznaczamy z warunku równowagi fragmentu

zbiornika przedstawionego na rysunku 14.10. Rzutując wypadkowe siły

na kierunek osi zbiornika otrzymujemy równanie

04

2

2 =− pD

Dπ

σδπ (15.7)

stąd mamy

δ

σ4

2

pD= (15.8)

Porównując obliczone naprężenia główne, stwierdzamy, że naprężenia

obwodowe σ1 są dwukrotnie większe od naprężeń osiowych σ2.

PODSTAWY TEORII BŁONOWEJ POWŁOK OSIOWOSYMETRYCZNYCH

Strona 155155155155

Wyznaczmy naprężenia w stojącym zbiorniku walcowym o średnicy D,

wysokości H i grubości ścianki δ pokazanym na rysunku 15.5. Zbiornik

jest otwarty i wypełniony cieczą o ciężarze właściwym γ.

Rysunek 15.5

Na ścianki zbiornika działa ciśnienie hydrostatyczne, które zgodnie

z przyjętymi oznaczeniami w dowolnej odległości y od podstawy zbior-

nika opisane jest wzorem

)( yHp h −= γ (15.9)

Z równania Laplace’a, uwzględniając promienie krzywizn części walco-

wej zbiornika 2

1

D=ρ oraz ∞→2ρ , wyznaczamy rozkład naprężeń

obwodowych σ1 wzdłuż osi zbiornika

δ

γ

δσ

2

)(

21

DyHDph −== (15.10)

Największe naprężenia obwodowe są w pobliżu dna zbiornika (y = 0)

i wynoszą

δ

γσ

2max1

HD= (15.11)

ROZDZIAŁ 15

Strona 156156156156

W rozważanym przypadku, ze względu na oddziaływanie podłoża

(reakcja R) naprężenia osiowe są równe zeru, σ2 = 0.

`

16 Zmęczenie materiału

ROZDZIAŁ 16

Strona 158158158158

Konstrukcje mechaniczne i elementy maszyn bardzo często poddane są działaniu obciążeń zmiennych, wielokrotnie powtarzających się w czasie

eksploatacji. Obciążeniom tym odpowiadają zmienne naprężenia, które

wywołują w materiale złożone zjawiska i zmiany nazywane zmęczenio-

wymi. Podstawowym skutkiem tych zjawisk jest sukcesywny spadek

wytrzymałości materiału aż do zniszczenia elementu. Stan taki określany

jest zmęczeniem materiału.

Na podstawie doświadczeń i badań mikroskopowych stwierdzono, że

proces zniszczenia zmęczeniowego inicjowany jest w obrębie ziaren.

Lokalny wzrost naprężeń prowadzi do odkształceń ziaren obserwowa-

nych jako pasma poślizgów. Wraz z narastaniem liczby cykli obciążenia

w pasmach poślizgów tworzą się mikroskopowe szczeliny. W wyniku

łączenia się szczelin mikroskopowych powstaje szczelina w skali makro,

która pod wpływem zmiennych obciążeń rozszerza się na większy ob-

szar, doprowadzając do zniszczenia elementu.

W przełomach zmęczeniowych występują dwie strefy o odmiennym

wyglądzie. Pierwszą, nazywaną strefą zniszczenia zmęczeniowego,

charakteryzuje wygląd drobnoziarnisty, wygładzony przez tarcie ścianek

szczeliny o siebie. Druga strefa przełomu, tzw. strefa doraźna o wyglą-dzie bardziej gruboziarnistym powstaje nagle w końcowym okresie pra-

cy elementu, poprzedzającym jego pęknięcie.

Pęknięcia zmęczeniowe rozwijają się szczególnie w obszarach lokalnych

spiętrzeń naprężeń. Miejsca te nazywane są ogniskami pęknięć zmęcze-

niowych i stwarzają potencjalne zagrożenie zniszczenia elementu.

16.1. Cykle zmian naprężenia

Podczas zmiennych obciążeń naprężenia mogą wahać się w dowolny

sposób między krańcowymi wartościami σmax i σmin. W badaniach

zmęczeniowych przyjmuje się, że naprężenia zmieniają się według

harmonicznej funkcji czasu, która w ogólnym przypadku ma postać

ZMĘCZENIE MATERIAŁU

Strona 159159159159

tam ωσσσ sin+= (16.1)

gdzie σa – amplituda naprężenia, σm – wartość średnia naprężenia,

ω - częstość kołowa.

Na rysunku 16.1 pokazano przebieg zmian naprężenia opisany wzorem

(16.1). Cyklem nazywamy zmiany naprężenia między kolejnymi maksy-

malnymi wartościami σmax, w czasie T, który jest okresem cyklu,

T = 2π /ω.

Rysunek 16.1

Największa i najmniejsza wartość naprężenia cyklu wynosi odpowiednio

am σσσ +=max (16.2)

am σσσ −=min (16.3)

Znając ekstremalne wartości naprężeń, można obliczyć naprężenie śred-

nie i amplitudę cyklu ze wzorów

2

minmax σσσ

+=m (16.4)

2

minmax σσσ

−=a (16.5)

Stosunek naprężeń σmin do σmax nazywany jest współczynnikiem asy-

metrii cyklu i oznaczany symbolem r

ROZDZIAŁ 16

Strona 160160160160

max

min

σ

σ=r (16.6)

W badaniach zmęczeniowych duże znaczenie ma cykl wahadłowy

(r = − 1 i σm = 0), pokazany na rysunku 16.2, oraz cykl tętniący

(pulsujący), w którym dla dodatnich wartości naprężeń jest σmin = 0 oraz

r = 0 (rysunek 16.3).

Rysunek 16.2

Rysunek 16.3

W cyklu wahadłowym spełnione są następujące zależności:

aσσσ =−= minmax . W przypadku cyklu tętniącego jest

max5,0 σσσ == am .

ZMĘCZENIE MATERIAŁU

Strona 161161161161

16.2. Podstawowe badania zmęczeniowe

Punktem wyjścia analizy ilościowej zjawiska zmęczenia są ustalone

doświadczalnie właściwości materiału przy zmiennych obciążeniach.

W tym celu przeprowadza się odpowiednie badania na próbkach o znor-

malizowanym kształcie poddanych obciążeniom cyklicznym o stałej

amplitudzie. Podstawową próbą zmęczeniową jest badanie, w którym na

próbkę w postaci pręta o stałym przekroju działa okresowo zmienna siła

osiowa.

Często stosowane jest badanie polegające na czystym zginaniu obraca-

jącej się ze stałą prędkością kątową cylindrycznej próbki, umieszczonej

w uchwytach specjalnej maszyny wytrzymałościowej. Próbka poddana

naprężeniom o określonej amplitudzie σa ulega zniszczeniu po pewnej

liczbie N cykli. Zmieniając kolejno wartości amplitudy naprężenia przy

ustalonej wartości średniej σm, wyznaczane są doświadczalnie odpowia-

dające tym amplitudom liczby cykli do zniszczenia. W ten sposób two-

rzony jest wykres w układzie współrzędnych σa – N, który nazywa się krzywą Wöhlera.

Na rysunku 16.4 przedstawiony jest przykładowy wykres otrzymany dla

próbki stalowej przy cyklu wahadłowym.

Rysunek 16.4

Krzywa wykresu zbliża się asymptotycznie do wartości naprężenia

oznaczonej Zrc. Naprężenie Zrc nazywamy wytrzymałością zmęczeniową

ROZDZIAŁ 16

Strona 162162162162

materiału przy cyklu wahadłowym (rozciąganie – ściskanie). W przypad-

ku stali na podstawie doświadczeń wykazano, że po pewnej granicznej

liczbie cykli NG krzywa Wöhlera zbliża się z dostateczną dokładnością do wartości Zrc. Oznacza to, że osiągnięcie przez próbkę tej liczby cykli

zapewnia jej trwałość. Wartość NG dla stali przyjmowana jest w grani-

cach 5·106 do 107 cykli.

Dla metali nieżelaznych i ich stopów na wykresie Wöhlera nie występuje

pozioma asymptota i jako praktyczną wytrzymałość zmęczeniową przyj-

muje się naprężenie odpowiadające liczbie cykli NG = 2·107 do 5·107.

Ze względu na długotrwałość prób zmęczeniowych stosuje się empirycz-

ne związki odnoszące wytrzymałość zmęczeniową do wytrzymałości

doraźnej Rm. Na przykład dla stali walcowanych i kutych wytrzymałość zmęczeniową przy zginaniu wahadłowym można oszacować na podsta-

wie zależności mrc RZ )6,04,0( ÷≅ .

16.3. Wytrzymałość zmęczeniowa przy cyklach dowolnych

Badania zmęczeniowe w zakresie dowolnych obciążeń są podstawą określenia wpływu naprężenia średniego σm cyklu na wytrzymałość zmęczeniową. Do przedstawienia wyników tego rodzaju badań najczęś-ciej stosuje się wykres Smitha.

Wykres Smitha budowany jest w układzie osi prostokątnych, w którym

na osi poziomej odkładana jest wartość naprężenia średniego σm, a na osi

pionowej – naprężenia ekstremalne σmax i σmin. Uzyskane doświadczalnie

punkty wykresu odpowiadają granicznym wartościom naprężeń

am σσσ +=max i am σσσ −=min , przy których, po umownie przyjętej

liczbie cykli, następuje zniszczenie próbki. Łącząc linią ciągłą szereg

punktów doświadczalnych, otrzymuje się wykres, którego linie górna

i dolna przedstawiają odpowiednio zależność maksymalnego i minimal-

nego naprężenia cyklu od jego wartości średniej. Prosta poprowadzona

przez początek układu współrzędnych, pod kątem 45o jest miejscem

geometrycznym punktów o współrzędnych równych naprężeniu śred-

niemu σm.

ZMĘCZENIE MATERIAŁU

Strona 163163163163

Przykładowy wykres Smitha zbudowany dla dodatnich wartości naprę-żeń σm został pokazany na rysunku 16.5. Prosta poprowadzona przez

początek układu współrzędnych, pod kątem 45o jest miejscem geome-

trycznym punktów o współrzędnych równych naprężeniu średniemu σm.

Zaznaczone na wykresie punkty A i B odpowiadają wytrzymałości

zmęczeniowej przy cyklu wahadłowym Zrc, punkty C i D odnoszą się do

rozciągania tętniącego i naprężenia granicznego Zrj.

Rysunek 16.5

Ze wzrostem wartości naprężenia średniego wzrasta także wytrzymałość zmęczeniowa przy jednoczesnym ograniczeniu wartości amplitudy

cyklu. Dla uproszczenia można przyjąć, że w punkcie K wykresu, gdy

jest σa = 0, naprężenie graniczne ma wartość równą wytrzymałości

doraźnej Rm.

ROZDZIAŁ 16

Strona 164164164164

Ze względu na niebezpieczeństwo pojawienia się odkształceń plastycz-

nych ogranicza się wykres Smitha linią poziomą FH o rzędnej równej

granicy plastyczności Re. Ograniczenie maksymalnych naprężeń jest

podstawą przedstawionej na rysunku 16.5 aproksymacji wykresu linią łamaną AFHGB. Uproszczenie wykresu Smitha wynika z konieczności

zmniejszenia liczby kosztownych i długotrwałych prób zmęczeniowych.

16.4. Czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową

Do najważniejszych czynników mających wpływ na obniżenie wytrzy-

małości materiału przy zmiennych naprężeniach należy zaliczyć kształt

elementu i materiał z jakiego jest on wykonany. Szczególnie niebez-

piecznymi obszarami są tzw. karby czyli miejsca wyraźnej zmiany prze-

kroju w postaci otworów, wrębów, odsadzeń itp. Karby wywołują lokal-

ne spiętrzenie naprężeń przewyższające kilkakrotnie naprężenia w odleg-

łych od karbu punktach elementu. Dużą wrażliwość na działanie karbu

wykazują stale stopowe o wysokiej wytrzymałości doraźnej. Mniej wraż-liwe są stale węglowe a szczególnie żeliwo szare.

Przebieg procesu zmęczenia zależy od stanu powierzchni elementu.

Wytrzymałość zmęczeniowa wzrasta, gdy powierzchnia jest bardziej

gładka, bez śladów obróbki mechanicznej. W celu zwiększenia wytrzy-

małości zmęczeniowej obok szlifowania i polerowania stosuje się po-

włoki antykorozyjne. Dobre efekty daje wytwarzanie w warstwie po-

wierzchniowej naprężeń ściskających przez obróbkę mechaniczną (młot-

kowanie, kulkowanie itp.) lub obróbkę cieplną i cieplno-chemiczną.

W ocenie wytrzymałości zmęczeniowej należy uwzględnić wpływ wiel-

kości elementu. Wraz z wymiarami elementu wzrasta prawdopodobień-stwo pęknięcia zmęczeniowego wywołanego defektem struktury a także

wartość uśrednionych naprężeń w obszarach krytycznych, która wynika

z rozkładu naprężeń (np. zginanie, skręcanie). W dużych elementach

mniejszy jest wpływ obróbki powierzchniowej np. zgniotu powierzchni.

Wytrzymałość zmęczeniowa zależy także od właściwości otaczającego

ośrodka. Nadmierna wilgotność i wysoka temperatura wywołują korozję

ZMĘCZENIE MATERIAŁU

Strona 165165165165

elementów stalowych i znacznie obniżają ich odporność na naprężenia

cyklicznie zmienne.

ROZDZIAŁ 16

Strona 166166166166

`

17 Literatura

ROZDZIAŁ 10

Strona 168168168168

5. Brzoska Z., Wytrzymałość materiałów, Warszawa, PWN, 1982.

6. Dyląg Z., Jakubowicz J., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów

tom I, II, Wyd. 1. Warszawa, WNT 1996.

7. Jakubowicz J., Orłoś Z., Wytrzymałość materiałów, Wyd. 6.

Warszawa, WNT 1984.

8. Kurowski R., Niezgodziński M., Wytrzymałość materiałów,

Warszawa, PWN 1961.

9. Lewiński J., Wilczyński A., Witember-Perzyk D., Podstawy

wytrzymałości materiałów, Warszawa, Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej 1991.

10. Niezgodziński M., Niezgodziński T., Zadania z wytrzymałości

materiałów, Warszawa, WNT 1997.

11. Pyrz R., Tylikowski A., Wytrzymałość materiałów, Wydawnic-

twa Politechniki Warszawskiej 1983.

12. Rżysko J., Statyka i wytrzymałość materiałów, Warszawa, PWN

1971.

13. Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów, Praca zbiorowa pod

red. K. Gołosia i J. Osińskiego, Oficyna Wydawnicza

Politechniki Warszawskiej 2001.