Embed Size (px)
Citation preview
1
Piiriteoria II Laskuharjoitukset - syksy 2016
TkT Marko [email protected]
TS223
Sisällysluettelo ............................................................................................... sivu
Harjoitus 1 ...................................................................................................... 3
Harjoitus 2 ...................................................................................................... 15
Harjoitus 3 ...................................................................................................... 31
Harjoitus 4 ...................................................................................................... 41
Harjoitus 5 ...................................................................................................... 51
Harjoitus 6 ...................................................................................................... 63
Harjoitus 7 ...................................................................................................... 81
Harjoitus 8 ...................................................................................................... 93
Harjoitus 9 ...................................................................................................... 103
Harjoitus 10 .................................................................................................... 123
Lisämateriaalia, aikatauluja ja kurssin ilmoituksia löytyy Optiman Piiriteoria II -työtilasta:
https://optima.oulu.fi/
Optima-ympäristö on: Oulun yliopisto, TTK
2
VÄLIKOKEETVälikokeet eivät ole pakollisia, mutta niillä voi korvata lopputentin. Niitä pidetäänjoko laskarin tai luennon paikalla. Graafiset laskimet ovat sallittuja välikokeessa.
LOPPUTENTTIYliopistotenttiin pitää ilmoittautua tenttiä edeltävän viikon maanantaina. Opettajateivät vastaa tenttiin ilmoittautumisesta. Lopputentissä saa olla graafinen laskin.
HARJOITUSTYÖ
Harjoitustyö on pakollinen ja se on yksilösuoritus1. Työ koostuu Matlab- jaLTspice-tehtävistä.
Matlab on erityisesti numeeriseen laskentaan ja esitysgrafiikkaan tarkoitettuohjelmisto. Vuoden 2016 alusta alkaen yliopiston Matlab-lisenssiin sisältyy myöskotikäyttöoikeus opiskelijoille. Ohjelman asennusohjeet löydät tietohallintopalvelu-iden ohjelmistojakelusta:
http://www.oulu.fi/th/node/15834
LTspice on monelle tuttu kurssista Piiriteoria 1, mutta Matlab on osalle uutta.Googlettamalla löydät paljon tietoa, mutta myös Matlab-ohjelmistopaketti sisältääohjeita aloittelijalle: Aja Matlab Command-ikkunassa komento doc, jolloin aukeaauusi ikkuna "Help". Klikkaa Matlab ja sitten Vasemmasta valikostaDocumentation ↑ Getting started
Suomenkielellä löytyy mm. lyhyt Matlab-opas osoitteestahttp://math.aalto.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/
Hyödyllisiä esimerkkejä luennoitsijan wikisivuilta (etsi linkki Matlab_kurssi.zip):https://wiki.oulu.fi/display/STsoftia/Octave
1. Yhteistyötä ja avun antoa emme voi kieltää. Mutta jos palautuksissa on selkeätä kopiointia tai identtisetvirheet, bumerangi tulee ja tarkastaja saattaa kutsua tekijät kuulusteluun. Eli vertaistuki on OK, mutta työpitää tehdä kaikin puolin itsenäisesti. Olkaapa kriittisiä kaverin neuvoille, jos teette työtä porukalla.
Harjoitus 1
3
1. HARJOITUS.
Harjoitus 1 on valtaosin Piiriteoria 1 kertausta. Ilman PT1 perustaitoja, kurssinsuorittaminen voi tuntua kovin takkuiselta: piiriä kuvaavan yhtälön tekeminen onedelleen tärkeässä asemassa.
PT1 laskarimoniste on ladattavissa esim. Optiman kautta. Jos alla olevassa litaniassaon joitain kohtia mitä et ihan ymmärrä, kannattaa kerrata.
• Kirchhoffin virta- ja jännitelaki (KCL & KVL)• Conventional current• Jos piirielementti kuluttaa/tuottaa tehoa, mikä on tehon etumerkki? (°)• Sarjaan- ja rinnankytkentä• Impedanssin (admittanssin) käsite (U=ZI, I=YU)• Lähteenmuunnokset• Ohjatut lähteet (miten lähteen tyyppi ja lähteen ohjaus merkitään)• Resistiivinen jännite- ja virtajako (toimii myös impedansseilla)• Miten ilmaiset piirielimen (impedanssin tai admittanssin) virran
solmujännitteillä?• Solmupiste- ja silmukkavirtamenetelmä• Astettuneen (steady-state) vasteen laskenta jatkuvalle sinimuotoiselle herätteelle
(Osoitinlaskenta)
Harjoitus 1
4
KYSYMYKSETTehtävissä 1 ja 2 kirjoitellaan piirejä kuvaavia yhtälöitä. Impedanssit ja admittanssitovat tuttuja Piiriteoria 1:stä. Nyt käytetään alla olevan taulukon (ja kurssin hengen)mukaisesti Laplace-muunnettuja impedansseja. Yhtälöiden kirjoittamisissa ei olemuuta ihmeellistä, kun se että jϖ:n paikalla onkin s.
1. Kirjoita alla olevalle piirille silmukkavirtayhtälöt matriisimuodossa.
2. Kirjoita alla olevalle piirille solmupisteyhtälöt matriisimuodossa.
Taulukko 1: Piirielinten Laplace-muunnokset
Impedanssi Z AdmittanssiY
L sL 1 / (sL)
C 1 / (sC) sC
R R 1 / R
+-
1H 1H 1H
1ς
1/2F
1ς 1F1V I1 I2I3
0ς
1H
1ς
1F1F2A 2A
U3U2U1
Harjoitus 1
5
3. Laske kuvan 1 verkon portissa a-b näkyvä impedanssi.
LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA TEHTÄVÄ:
4. Laske kuvassa 2 olevan piirin portista a-b näkyvä Thevenin ekvivalenttipiiri aset-tamalla tähän porttiin testivirta
VASTAUS:
RThev ≡ 0.2ς, VThev ≡ -0.57V
1ς
1/2ς 1/2ς
1ς v0
+
-2v0
a
b
kuva 1
+- 3A
1ς
2ς
4ς
8v0
v0
+
-
a
b
vin
+
-
2vin
kuva 2
Harjoitus 1
6
HARJOITUS 1. PT1 KERTAUSTA
STEADY-STATE VASTEIDEN LASKEMINENFourier-muunnos pyrkii esittämään aikatason signaalin f(t) sinimuotoisina komplek-siosoittimina exp(jϖt). Osoitinlaskenta jatkuville sinimuotoisille signaaleille tulitutuksi PT1:ssä. Tässä kurssissa tutuksi tulevassa Laplace-muunnoksessa on Fou-rier-muunnokseen verrattuna lisätty eksponentiaalinen vaimennus, mikä mah-dollistaa useampien funktioiden muuntamisen. Laplace-muunnos soveltuu erittäinhyvin jatkuva-aikaisten transienttisignaalien vasteen analyysiin.
Laplace-muunnetuissa funktioissa on mukana aina taajuusmuuttuja s joka onmuotoa ρ+jϖ. Tuo ρ kuvaa em. eksponentiaalista vaimennusta. Tästä taajuusvastesaadaan sijoittamalla s:n paikalle vakioamplitudista sinivärähtelyä vastaava jϖ.
Impedanssit ovat nyt taulukon 1 (s. 4) mukaisia.
VIRTA JAKAANTUU ADMITTANSSIEN SUHTEESSA
JÄNNITE JAKAANTUU IMPEDANSSIEN SUHTEESSA
R CIinIout s∋ ( Iin s∋ ( sC
G sC+-----------------√=
Iout
G = 1 / RYC = sC
R
CVin Vout
Vout s∋ ( Vin s∋ (
1sC------
R 1sC------+
----------------√=
Vout s∋ (Vin s∋ (
1 sRC+--------------------=∨
ZC = 1/ (sC)
Harjoitus 1
7
EKVIVALENTIT JÄNNITE- JA VIRTALÄHTEET
V +-
Z
I VZ---= Y 1
Z---=≠
I Y +-
≠ V ZI=
Z 1Y---=
UinUThev
RT
Itest
Iin
UtestINort GNort
Theveninin ekvivalentti tietylle piirillevoidaan muodostaa asettamalla piirintuloporttiin testivirta Itest ja ratkaisemallaporttiin aiheutuva jännite muodossa:
Uin = UThev - RThevItest. (ks. PT1 harj. 4)
Vastaavasti Nortonin ekvivalenttisaadaan asettamalla tuloporttiintestijännite Utest ja ratkaisemallaportin virta muodossa:
Iin = INort - GNortUtest .
Harjoitus 1
8
VERKKOYHTÄLÖIDEN MUODOSTAMINEN:
Silmukkamenetelmä: Silmukkamenetelmässä tuntemattomat virrat jaetaan verkonsilmukoita kiertäviin komponentteihin. Sen jälkeen kirjoitetaan Kirchhoffin jännite-lain mukaiset yhtälöt jokaiselle silmukalle. Näin saadaan yhtälöryhmä, josta silmu-koita kiertävät virtakomponentit voidaan ratkaista.
Solmupistemenetelmä: Solmupistemenetelmässä valitaan tuntemattomiksi jännit-teiksi eri solmujen ja yhden ns. kantasolmun väliset jännitteet. Solmupisteyhtälötkirjoitetaan kullekin solmulle Kirchhoffin virtalain mukainen yhtälö. Näin saadaanyhtälöryhmä, josta solmujännitteet voidaan ratkaista.
Matriisimuotoisten verkkoyhtälöiden ratkaiseminen: Silmukkavirta- jasolmupisteyhtälöt voidaan kirjoittaa suoraan matriisimuotoon. Matriisiyhtälöistävoidaan ratkaista halutut virrat tai jännitteet esimerkiksi Cramerin säännöllä, jossakäytetään determinantteja.
Esim.
Ratkaistaan muuttuja b Cramerin säännöllä:• Sijoitetaan herätevektori y matriisiin A ratkaistavaa muuttujaa b vastaavan
sarakkeen paikalle.• Jaetaan edellä muodostetun matriisin determinantti alkuperäisen matriisin A
determinantilla ja näin saadaan haluttu ratkaisu.
3-rivinen determinantti lasketaan kaavalla:
1a = 14a + 5b +6c = 08a + 2b + 3c = 0
Matriisimuodossa1 0 04 5 68 2 3
abc
√100
=
yA xi
b1 1 04 0 68 0 3
1 0 04 5 68 2 3
≤1– 4 3√ 6 8√–∋ (√
1 5 3√ 6 2√–∋ (√------------------------------------------ 12= = =
a b cd e fg h i
a e fh i
b d fg i
– c d eg h
+=
Harjoitus 1
9
OHJATUN LÄHTEEN ABSORPTIO:Ohjattu lähde voidaan muuttaa vastaavaksi impedanssiksi, jos ohjaussuure vaikut-taa lähteen yli.
Ohjatun lähteen absorptiota ei käsitelty Piiriteoria I -kurssilla, mutta se on ilmiönävarsin helppotajuinen. Kun ohjaussuure (virta tai jännite) vaikuttaa ohjatun lähteenyli, voidaan piirtää lähteen paikalle vastuksen laatikkomalli. Resistanssin (taiimpedanssin) arvon saat jännitteen ja virran suhteesta.
Eli kertauksena PT1 ekasta laskarista: Vastuksen jännitteen ja virran suuntanuoletpitäisivät olla samansuuntaisia (conventional current). Jos ne ovat oikeasti erisuun-taisia täytyy resistanssin arvon olla negatiivinen (oikea vastus ei siihen kykene).
VxZx ZxVx
gmVx------------ 1
gm------= =
VxZx Zx
rmIxIx
---------- rm= =+-
Ix
gmVx
rmIx
transkonduktanssi gm:
transresistanssi rm:
+-
8,1ςIx
8ς Ix√
Esimerkki absorptiosta.
Rtot < 7+0ς , 7ς < /+0ς
Nyt virran Ix suunta oneri, kun jännitteen.Niinpä lähteen ekvivalenttiresistanssi on negatiivinen!
+-8ς Ix√ 8ς Ix√=
Ix Ix
8– ς Ix√=Ix
Harjoitus 1
10
TEHTÄVÄ 1.
• Impedanssimatriisiin tulee silmukan varrella olevat impedanssit siten, ettädiagonaalielementille zii tulee kaikkien silmukan varrella olevien impedanssiensumma. Ei-diagonaalilla silmukoiden i ja j välissä olevat impedanssitmiinusmerkkisinä (oletuksena että silmukkavirrat ovat kaikki samansuuntaisiksimerkittynä).
• Kirjoita yhtälöryhmän (matriisin) oikealle puolelle silmukkaan liittyvätjännitelähteet. Jos silmukkavirta kiertää lähteen läpi niin että se tulee ulos plus-navasta, jännite lasketaan positiivisena, muutoin negatiivisena.
Eli: kun lähteet ovat riippumattomia jännitelähteitä, silmukkayhtälön voi kirjoittaasuoraan matriisimuotoon
+-
1H 1H 1H
1ς
1/2F
1ς 1F1V I1 I2I3
1 2s--- s+ + 1 2
s---+
∑ ⌡– 0
1 2s---+
∑ ⌡– 2 2s--- s+ + 1–
0 1– 1 1s--- s+ +
I1I2I3
√100
=
z11 z12 z13z21 z22 z23z31 z32 z33
I1I2I3
√
U1U2U3
=
Harjoitus 1
11
TEHTÄVÄ 2.
• Admittanssimatriisi: diagonaalielementeiksi yii tulee kaikkien solmuun iliittyvien konduktanssien summa ja elementiksi yij tai yji solmujen i ja j välisetadmittanssit miinusmerkkisenä.
• Kirjoita yhtälöryhmän (matriisin) oikealle puolelle solmuun liittyvät virtalähteet.Tuleva virta on plus- ja lähtevä miinusmerkkistä.
Eli: kun lähteet ovat riippumattomia virtalähteitä, solmuyhtälön voi kirjoittaasuoraan matriisimuotoon
0ς
1H
1ς
1F1F2A 2A
U3U2U1
1 2s 12s-----+ + 2s– 1 1
2s-----+
∑ ⌡–
2s– 1 2s+ 1–
1 12s-----+
∑ ⌡– 1– 2 s 12s-----+ +
U1U2U2
√220
=
Harjoitus 1
12
TEHTÄVÄ 3.
1. tapa: Käytetään lähde-absorptiota
Kahdennetaan aluksi ohjattu virtalähde, jolloin saadaan ohjausjännite vaikuttamaanalemman lähteen yli:
2v0
2v0
1/2
1v0
+
-
1/2
1
1ς
1/2ς 1/2ς
1ς v0
+
-2v0
a
b
2v0
2v0
1/2
1v0
+
-
1/2
1
Tässä haarassa kulkeeedelleen virta 2S·v0
Monistus:
Jos piirrät virtalähteiden välisestä pisteestä johtimen jonnekin muualle,se on sallittua. Uuden johtimen virta on 0A:
0A
KCL: 2v0 = 0A+2v0
zv02v0–
----------- 12---–= =
Absorptio: ohjaussuure v0 vaikuttaa alemman virtalähteen yli
ς (jännite per virta)
Harjoitus 1
13
Seuraavaksi muunnetaan jäljellä oleva ohjattu virtalähde ohjatuksijännitelähteeksi.
1
1/2
+-
1/2
1–
vo
v0
+
-
v zi 12--- 2v0√ v0= = =
1
1/2
1/2
1–v0
+
-
zvxix----
v0v0 1ς–≤-------------------- 1ς–= = =
1–
ix
⇑1/2
1-3/2 7/2ς
⇑
2v01/2
1
1
-1/2
1/2
2v0
1/2
1
1/2
1 12---–{{ 1–=
⇑
Alimmassa vastuksessa jännite on v0 javirta on v0/(-1ς). Samainen virta kulkee
Lähteenmuunnos, josta jännitelähteen arvo:
ohjetun lähteen läpi:
⇑
Harjoitus 1
14
TEHTÄVÄ 3 TOISIN.
2. tapa: Muodostetaan verkon Norton-ekvivalentti silmukkavirtamenetelmälläasettamalla tuloon testijännite vtest.
Muunnetaan piirissä oleva epäideaalinen virtalähde vastaavaksi jännitelähteeksi
vtest+-
+-2vo
1/2ς1/2ς
1ς
1ς
v0
+
-
I2I1
Silmukkamatriisit:
5 2≤ 1–1– 3 2≤
I1
I2
2v0–v– test 2v0+
=
v0 lausuttuna I1:n avulla on -I1 ·1ς
Sijoitetaan ja siirretään silmukkaviran kertoimet yhtälön vasemmalle puolelle:
5 2≤ 1–1– 3 2≤
I1
I2
2I1
v– test 2I1–= 1 2≤ 1–
1 3 2≤
I1
I2
0v– test
=∨
I2
1 2≤ 01 v– test
1 2≤ 1–1 3 2≤
---------------------------------
12--- vtest–∋ (√
32--- 1
2--- 1 1–∋ (√∋ (–√
----------------------------------------
12---vtest
74---
-------------– 0A 27---vtest–= = = =
2/7S0A
I2 IN GNvtest–=
[ς] [A] [V]
7/2ς⇑
Harjoitus 2
15
2. HARJOITUS. KYSYMYKSET
1. Laske seuraavien funktioiden Laplace-muunnokset.
a) b) c) d) e) f) , missä u(t) on yksikköaskelfunktio.
Olennaista on kuitenkin opetella, miten tehtävän 1 muunnokset löytyvät sivun 19taulukon avulla.
2. Laske seuraavien funktioiden Laplace-käänteismuunnokset.
a) b) c) d)
3. Laske kuvan 1 piirin jännitteen v0(t) aikavaste käyttämällä Laplace-muunnosta.
4. Kirjoita kuvan 2 piirille solmupisteyhtälö, jossa kaikki mahdolliset alkutilat ovatmukana.
LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVAT TEHTÄVÄT:
5. Kuvan 3 piirissä virran iin(t) Laplace-muunnos on J/s, missä J on vakio. Laske virta iout(t), kun t ″ 0 ja iout(0) = 0A. (Osakoetehtävä 2007)
6. Laske seuraavien funktioiden Laplace-käänteismuunnokset.
a) b) c)
Huom. c)-kohdassa ei lasketa osamurtoja, koska funktio voidaan muokata siten, ettämuunnostaulukkoa voidaan käyttää suoraan:
Vastaukset
teht. 5: a)
teht. 6: a) b)c)
1 t eat ϖt∋ (cos e at– ϖt∋ (sin u t a–∋ (
s 12+s2 4s+---------------- 1
s s 1+∋ (2--------------------- 1
s2 1+∋ (2
--------------------- s3
s 1+-----------
1s2 4s 3+ +∋ ( s 2+∋ (
------------------------------------------------ 3s2 2s 2+ +s 3+∋ ( s 2+∋ (2
----------------------------------- s 1–s2 2s 2+ +--------------------------
G s∋ (s 1–
s22s 2+ +
--------------------------- s 1–
s 1+∋ (2
1+----------------------------- s 1+
s 1+∋ (2
12
+-------------------------------- 2 1
s 1+∋ (2
12
+--------------------------------–= = =
iout t∋ ( J 1 e
RL--- t√–
– ∑ ⌡
=
0,5e t– e 2t–– 0,5e 3t–+ 20e 2t–– 10te 2t– 23e 3t–+ +e t– t∋ ( 2 t∋ (sin–cos∋ (
Harjoitus 2
16
+-
αib
ib
kanta
emitteri
kollektori
kanta
emitteri
kollektori
+
-
v0
α = 100
10V5u(t)
100kς
0nF 10kς
<
Kuva 1
Kuva 3
iin(t)
iout(t)
LR
L
C Rvin
Kuva 2
-
v0
++-
Transistorin sijaiskytkentä:
0, kun t < 01, kun t = /
u(t)= {
Harjoitus 2
17
HARJOITUS 2. RATKAISUT
LAPLACE - MUUNNOS
Määritelmä: (1)
Termi s on kompleksinen taajuusmuuttuja, joten e-st on kompleksinen eksponen-tiaali. Muutujalla s on reaaliosa ρ ja imaginaariosa ϖ: s = ρ+jϖ. Fourier-muunnok-sessa ei ole em. reaaliosaa: F-muunnos mallintaa signaaleja sinimuotoisillasignaaleilla. Reaaliosan avulla Laplace-muunnoksessa mallinnetaan signaalejaeksponentiaalisesti kasvavilla tai vaimenevilla sini-signaaleilla.
Laplace-muunnoksessa muunnetaan funkto aikatasosta kompleksiseen taa-juustasoon (mm. verkkoyhtälöiden muodostaminen, taajuus- ja stabiilisuustar-kastelut)
Käytännön laskutehtävissä kaavaa (1) ei käytetä, vaan turvaudutaan muunnostau-lukkoon, sivu 19.
LAPLACE - KÄÄNTEISMUUNNOSKäyttö: differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen: muunnetaan Laplace-muunnettu(taajustason) ratkaisu aikatasoon. Merkintätapa: . LaskutehtävissäLaplace-muunnetut muuttujat kannattaa selkeyden vuoksi kirjoittaa isolla. Esim.muunnostaulukossa x(t):n Laplace-muunos on X(s).
Matemaattisesti käänteismuunnos on vaikeahko tehdä, joten käänteismuunnos teh-dään taulukoiden avulla, ks. sivu 19. Usein käytetään osamurtokehitelmää, jottakäänteismuunnos pelkistyisi mahdollisimman yksinkertaisiksi summatermeiksi.
OSAMURTOKEHITELMÄLaplace-muunnoksen lineaarisuus-ominaisuus (ks. muunnostaulukko s.19) mah-dollistaa sen, että kun Laplace-muunnettu funktio jaetaan osamurtoihin, kullekinosamurto-termille voidaan hakea erikseen vastaava käänteismuunnos taulukonavulla.
, (2)
L f t∋ (∋ ( f t∋ (e st– td0
⁄
⟩ F s∋ (= =
L 1– F s∋ (∋ ( f t∋ (=
H s∋ (Y s∋ (G s∋ (----------- Y s∋ (
s p1–∋ ( s p2–∋ (... s pn–∋ (-------------------------------------------------------------
A1s p1–∋ (
------------------A2
s p2–∋ (------------------ ≈
Ans pn–∋ (
------------------+ + += = =
Harjoitus 2
18
Osamurtokehitelmä on mahdollista, jos osoittajan Y(s) asteluku < nimittäjän G(s)asteluku. Tällöin kertoimet A1, A2, ..., An voidaan määrittää joko:• Laventamalla yhtälön oikean puolen termit samannimisiksi ja merkitsemällä
osoittajat yhtäsuuriksi tai• Heavisiden menetelmällä.
Jos navat ovat moninkertaisia, käytetään mieluimmin jälkimmäistä. Jos Y(s):nasteluku ″ G(s):n asteluku ⇑ muokataan yhtälö käyttökelpoiseen muotoon jaka-malla kunnes osamäärän asteluku < nimittäjän (vrt. tehtävä 2d)
Huomaa kaavan (2) esitystapa. Kyseinen verkkofunktion esitystapa on ns. nolla-napa esitys, joka soveltuu sivun 19 muunnostaulukon käyttöön. Lisää verkkofunkti-oiden esitystavoista kannattaa lukea luentomateriaalista, kappale 5.3.
OSAMURTOKEHITELMÄ - HEAVISIDEN MENETELMÄLaskuesimerkeissä käytetään usein Heavisiden menetelmää.Nolla-napa-muodossa oleva verkkofunktio (2) kerrotaan ko. navalla ja tämän tulonarvo lasketaan arvolla s = pi.
(3)
Jos funktiolla H(s) on r-kertainen napa 1/(s-p1)r, sitä varten osamurtokehitelmäänon kirjoitettava termit
(4)
missä
Jos r = 2:
Ai H s∋ ( s pi–∋ (√s pi=
=
H s∋ (Y s∋ (G s∋ (----------- Y s∋ (
s p1–∋ (r---------------------= =
K1s p1–--------------
K2s p1–∋ (2
--------------------- ...Kr
s p1–∋ (r---------------------+ + +=
Kn1
r n–∋ (!------------------
sr n–
r n–
dd Y s∋ (
G s∋ (----------- s p1–∋ (r√
∑ ⌡
s p1=√=
K1 sdd Y s∋ (
G s∋ (----------- s p1–∋ (2√
∑ ⌡
s p1=
=
K2Y s∋ (G s∋ (----------- s p1–∋ (2√
s p1==
Harjoitus 2
19
Alla oleva taulukko on perinteisesti ollut liitteenä lopputentissäTaulukko 2: Yleisimpia Laplace-muunnoksia
x(t) X(s)
impulssi χ(t) 1
yksikköaskel 1 tai u(t) 1 / s
ramppi t 1 / s2
n:s potenssi tn n! / sn+1
a:s potenssi (a>0) ta- 1 /Φ(a) 1 / sa
1 / ∏(οt) 1 / ∏s
eksp.funktio e-at 1 / (s+a)
1 - e-at a / (s(s+a))
tne-at n! / (s+a)n+1
sini sin(ϖt) ϖ / (s2+ϖ2)
kosini cos(ϖt) s / (s2+ϖ2)
sinh sinh(at) a / (s2-a2)
cosh cosh(at) s / (s2-a2)
lineaarisuus ax(t) + by(t) aX(s) + bY(s)
taajuussiirros e-at x(t) X(s+a)
aikasiirros x(t-T) e-sTX(s)
aikaderivaatta dx(t) / dt sX(s) - x(0)
n:s aikaderivaatta dnx(t) / dtn snX(s) -sn-1x(0)- sn-2x(1)(0) ... - x(n-1)(0)
aikaintegraali
konvoluutio G(s)X(s)
taajuusderivaatta (-t)nx(t) dn X(s) / dsn
x t∋ ( td⁄–
t⟩
X s∋ (s
----------- 1s--- x t∋ ( td
⁄–0⟩√+
x σ∋ (g t σ–∋ ( σdo
t⟩
Harjoitus 2
20
Laplace-muuunnoksen merkitysLaplace-muunnoksen merkittävimpiä ominaisuuksia on, että muunnosta käyttäenintegrointi ja derivointi muuttuvat taajuusmuuttujalla s jakamiseksi ja kertomiseksi.Integrointia ja derivointia ei siis tarvita, vaan differentiaaliyhtälöt palautuvat lin-eaariseksi yhtälöryhmäksi, josta haluttu lähtösuure voidaan ratkaista matriisialge-bran keinoin. Saatu tulos on taajuusmuuttujan s funktio, joka on sitten pilkottavaesim. osamurtokehitelmänä niin pieniin osiin, että jokaiselle summatermille löytyykäänteismuunnos.
AIKAVASTEIDEN LASKEMINEN ALKUEHTOINEENTaulukon 3 kaavoja käyttämällä saadaan peruskomponenttien virtajänniteyhtälötalkuehtoineen muotoon, jotka voidaan sijoittaa suoraan sekä solmupiste- ettäsilmukkavirtayhtälöihin.
Tentissä voi tarvita taulukon 3 kaavoja, mutta niitä ei tarvitse opetella ulkoa. Kaavatsaadaan johdettua helposti edellisen sivun taulukosta aikaderivaatan Laplace-muun-noksella:
Lasketaan ensin kapasitanssin virtayhtälölle Laplace-muunnos.
Vastaava jänniteyhtälö saadaan ratkaisemalla UC(s) edellisestä tuloksesta:
Taulukko 3: Komponenttien virtayhtälöt alkuehtoineen
U(s) = I(s) =
R
L
C
aikaderivaatta dx(t) / dt sX - x(0)
R I s∋ (√ G U s∋ (√
sL I s∋ (√ Li 0∋ (– U s∋ (sL
----------- i 0∋ (s
---------+
I s∋ (sC--------- u 0∋ (
s-----------+ sC U s∋ (√ Cu 0∋ (–
iC t∋ ( CduC t∋ (
dt----------------= Laplace-muuunnetaan ⇑
IC s∋ ( C s UC s∋ (√ uC 0∋ (–Ζ ∴√ sC UC s∋ ( CuC 0∋ (–√= =
IC s∋ ( sC UC s∋ ( CuC 0∋ (–√= UC s∋ (∨IC s∋ (
sC-------------
uC 0∋ (
s--------------+=
Harjoitus 2
21
Vastaavat laskelmat induktanssille, aloitetaan jänniteyhtälöstä:
SINI- JA KOSINIFUNKTIOT KOMPLEKSIOSOITTIMILLA (EULER)
TEHTÄVÄ 1.
uL t∋ ( LdiL t∋ (
dt--------------= ⇑
(ratkaise itse...)
ϖtcos e jϖt e j– ϖt+2
-----------------------------------=ϖtsin e jϖt e j– ϖt–2j
----------------------------------=
Toisinaan käänteisfunktion ratkaisu saadaan selkeämpään muotoon,kun käytetään sini- ja kosinifunktion kompleksiosoitin-esitystä. Kyseiset kaavaat saadaan johdettua Eulerin kaavalla: e jϖt°
ϖtcos j° ϖtsin=
a)L 1∋ ( 1 e st–√ td
0
⁄
⟩= =0
⁄1s---e st–– 0 1
s---e0–
∑ ⌡– 1s---= = s 0=∋ (
b) L t∋ ( te st– td0
⁄
⟩=
Käytetään osittaisintegrointikaavaa:
uϒv⟩ = uv uv ϒ⟩–
Nyt t v= ja e st– uϒ= , joten
⁄
0, kun t < 01, kun t = /
u(t)= {
a)-kohdassa on kyseessä ns. yksikköaskel-funktio, jota usein merkitään funktiollau(t) ykkösen asemesta.
Jos vaikkapa Laplace-muunnetaan vakio A,muunnokseksi tulee A·1/s eli A/s.
Harjoitus 2
22
TEHTÄVÄ 1.
c) L eat∋ ( eate st– td0
⁄
⟩ e a s–∋ (t td0
⁄
⟩= =0
⁄
= 1a s–-----------e a s–∋ (t (1)
Nyt kun s < a, integraali ei suppenes > a, integraali suppenee
Oletetaan s > a
(1) ⇑ 1a s–----------- e ⁄– e0–Ζ ∴
1a s–-----------– 1
s a–-----------= =
d) L ϖt∋ (cos∋ ( = ?
Käytetään kosinin kompleksiosoitin -esitystä ϖt∋ (cos ejϖt e jϖt–+2
--------------------------=
ϖt∋ (e st– tdcos0
⁄
⟩12--- e jϖ s–∋ (t e jϖ s+∋ (– t+Ζ ∴ td
0
⁄
⟩=
12---=
0
⁄1
jϖ s–-------------- e jϖ s–∋ (t√ 1
jϖ s+-------------- e jϖ s+∋ (– t√
∑ ⌡–
0 1–= 0 1–=
e:n potenssien reaaliosat ovat negatiiviset ⇑ lauseke suppenee
12---= 1
jϖ s–--------------– 1
jϖ s+--------------+ 1
2--- jϖ– s– jϖ s–+
jϖ s–∋ ( jϖ s+∋ (---------------------------------------=
12--- 2s–
ϖ2 s2+∋ (–--------------------------= s
s2 ϖ2+-----------------=
Harjoitus 2
23
TEHTÄVÄ 1.e) L e at– ϖt∋ (sin∋ ( e at– ϖt∋ (e st–sin td
0
⁄
⟩=
Käytetään sinin kompleksiosoitin -esitystä ϖt∋ (sin ejϖt e jϖt––2j
--------------------------=
e a– t ejϖt e jϖt––2j
-------------------------- ∑ ⌡ e st– td
0
⁄
⟩= 12j----- e jϖ a–∋ (te st– t e jϖ a+∋ (– te st– td
0
⁄
⟩–d0
⁄
⟩=
12j-----= e jϖ a– s–∋ (t t e jϖ a s+ +∋ (– t td
0
⁄
⟩–d0
⁄
⟩
0
⁄e jϖ a– s–∋ (t
jϖ a– s–-------------------------1
2j-----=
0
⁄e jϖ a– s+∋ (– t
jϖ a s+ +∋ (–--------------------------------- vrt. d)-kohta
12j-----= 1–
jϖ a– s–----------------------- 1
jϖ a s+ +------------------------– 1
2j----- 1–
jϖ a s+∋ (–---------------------------- 1–
jϖ a s+∋ (+-----------------------------+=
12j-----= jϖ– a– s– jϖ– a s+ +
ϖ2– a s+∋ (2–---------------------------------------------------------- 1
2j----- 2jϖ–
ϖ2– s a+∋ (2–------------------------------------ ϖ
s a+∋ (2 ϖ2+--------------------------------= =
f) L u t a–∋ (∋ ( Kyseessä on viivästetty yksikköaskelfunktio
ta
u t a–∋ (0 t a;+1 t a=+
=
L u t a–∋ (∋ ( 1e st– tda
⁄
⟩= =a
⁄e st–
s--------– e s ⁄√–
s------------- e as–
s---------–– e as–
s---------= = vrt. a)-kohta
Harjoitus 2
24
TEHTÄVÄ 2.
Jaetaan muunnoslausekkeet osamurtoihin, joiden käänteismuunnoksetnähdään taulukosta
a) L 1– s 12+s2 4s+----------------
∑ ⌡
F s∋ (s 12+s2 4s+---------------- s 12+
s s 4+∋ (------------------- A
s--- B
s 4+-----------+= = =
1. tapa: Lavennetaan samannimisiksi:
F s∋ (A s 4+∋ ( Bs+
s s 4+∋ (---------------------------------= ⇑ A s 4+∋ ( Bs+ s 12+=
⇑ As Bs+ s=4A 12=
⇑
⇑
⇑ A B+ 1= B 1 A–=
A 3=B 1 3– 2–= =
⇑ F s∋ (3s--- 2
s 4+-----------–= Joten L 1– F s∋ (∋ ( 3 2e 4t––= vrt. 1 a) ja 1 c)
2. tapa: Heavisiden kaavalla:
A s F s∋ ( s 0=√s 12+s 4+--------------
s 0=
124
------ 3= = = =
B s 4+∋ ( F s∋ ( s 4–=√s 12+
s--------------
s 4–=
4– 12+4–
------------------- 2–= = = =
kuten edelläf t∋ (⇑
b) L 1– 1s s 1+∋ (2---------------------
∑ ⌡ Jaetaan osamurtoihin
F s∋ (As--- B
s 1+∋ (2------------------- C
s 1+-----------+ +=
Harjoitus 2
25
Heavisiden kaavalla:
A sF s∋ ( s 0=1
s 1+∋ (2-------------------
s 0=
112----- 1= = = =
B s 1+∋ (2F s∋ ( s 1–=1s---
s 1–=
11–
------ 1–= = = =
Csd
d s 1+∋ (2F s∋ (ζ | s 1–= sdd 1
s---
∑ ⌡
s 1–=
1–s2------
s 1–=
1–1
------ 1–= = = = =
⇑ F s∋ (1s--- 1
s 1+∋ (2-------------------– 1
s 1+-----------–= f t∋ ( L 1– F s∋ (∋ ( 1 te t–– e t––= =⇑
c) L 1– 1s2 1+∋ (2
--------------------- ∑ ⌡ Osamurto:
F s∋ (1
s2 1+∋ (2--------------------- 1
s j–∋ ( s j+∋ (Ζ ∴2------------------------------------- 1
s j–∋ (2 s j+∋ (2-----------------------------------= = =
Nähdään, että s = j ja s = -j ovat kaksinkertaisia nollakohtia, jotenosamurtokehitelmäksi tulee:
F s∋ (A
s j–∋ (2----------------- B
s j–---------- C
s j+∋ (2----------------- D
s j+----------+ + +=
A s j–∋ (2F s∋ ( s j=1
s j+∋ (2-----------------
s j=
12j∋ (2
------------ 14---–= = = =
Bsd
d s j–∋ (2F s∋ (Ζ ∴s j= sd
d 1s j+∋ (2
----------------- ∑ ⌡
s j=
2–s j+∋ (3
-----------------s j=
2–2j∋ (3
------------ 14j-----= = = = =
C s j+∋ (2F s∋ ( s j–=1
s j–∋ (2-----------------
s j–=
12j∋ (2
------------ 14---–= = = =
Dsd
d s j+∋ (2F s∋ (Ζ ∴s j–= sd
d 1s j–∋ (2
----------------- ∑ ⌡
s j–=
2–s j–∋ (3
-----------------s j–=
= = = 2–2j–∋ (3
---------------= 1–4j------=
F s∋ (1 4≤–
s j–∋ (2----------------- 1 4≤ j
s j–------------ 1 4≤
s j+∋ (2-----------------– 1 4j≤
s j+------------–+=
Harjoitus 2
26
⇑ f t∋ ( 14--- te jt–– 1
4j-----ejt 1
4--- te jt–– 1
4j-----e jt––+= 1
2---t ejt e jt–+
2--------------------– 1
2--- ejt e jt––
2j-------------------+=
Käyttämällä sinin ja kosinin kompleksiosoitin -esitystä
f t∋ ( 12--- t t 1
2--- tsin+cos–=
d) L 1– s3
s 1+-----------
∑ ⌡ Osoittajan asteluku > nimittäjän asteluku ⇑ jaetaan
s 1+ s3
s2 s– 1+
s3– s2∗,
s2–s2 s°°
ss– 1∗,
1–
F s∋ ( s2 s– 1 1s 1+-----------–+=
f t∋ ( χϒϒ t∋ ( χϒ t∋ (– χ t∋ ( e t––+=
⇑
Tehtävä 3.
+-
+
-
v010V
vin(t) = 5u(t)
Käytetään transistorin tilalla yksinkertaista sijaiskytkentää
+-
+
-
v0 10Vis
100ib
ib
ic i
vo t∋ ( 10V R2i–=
i 100ib ic 100ib≡+=
ib is ic+ 5R1------ C
tdd vo t∋ (√+= =
vo t∋ ( 10 R2 100 5R1------ C
tdd vo t∋ (√+√–=⇑
R1
R2C
Tarkastellaa oikeanpuoleista sijaiskytkentää
0, kun t < 01, kun t = /
u(t)= {
R2R1
vin vin
C
, missä
R1=100kςR2=10kς
C=1nF
Kiinnostava suure on v0, kun t = 0,
⇑
joten u(t):n voi asettaa ykköseksi.
vo t∋ ( 10500R2
R1--------------- 100R2C
tdd vo t∋ (√––=josta
Harjoitus 2
27
Differentiaaliyhtälö johdettiin kuten PT1:ssä pelkästään vertailun vuoksi.
Aloitetaan dc-tilanteen tarkkailulla, että saadaan alkutila selville. Tämä on tuttua puuhaa...
Kondensaattorihan on dc-tilanteessaavoin piiri, joten ic(0)= 0.
Myös ib = 0, koska sini- ja askefunktio ovat
Koska i=100ib=0, R2 on virraton ja vo(0) = 10V
+
-
v0 10Vis
100ib
ib
ic i
R2R1nollia kun t=0.
x(t) X(s)
tdd v0 t∋ ( sVo s∋ ( vo 0∋ (–
K (vakio) Ks----
K v0 t∋ (√ K V0 s∋ (√
Lähdetään alkuperäisestä piirikaaviosta elimuodostetaan yhtälö kuten edellisellä sivulla.
Erona on se, että käytetään Laplace-muunnettuja virtoja ja jännitteitä.
Nämä suureet ovat siis kompleksisen taajuusmuuttujans funktioita, ja ne kirjoitetaan selvyyden vuoksi isolla.
DC-jännitelähde on aikatasossa vakio, jaL-muunnettuna se on vakio jaettuna s eli tulkitaanaskelfunktioksi.
Vo s∋ (10s
------ R2I s∋ (–=
I s∋ ( 100Ib s∋ ( Ic s∋ ( 100Ib s∋ (≡+=
Ib s∋ ( Is s∋ ( Ic s∋ (+ L 5R1------ C
tdd vo t∋ (√+
= =
5R1------ 1
s---√ C sV0 s∋ ( v0 0∋ (–Ζ ∴√+=
Vo s∋ (10s
------ R2 100Ib s∋ (√–=⇑
Vo s∋ (10s
------ R2 1005 R1≤
s------------- C sV0 s∋ ( v0 0∋ (–Ζ ∴√+√–=
alkutila, 10V
Harjoitus 2
28
V0 s∋ (10
s 103+----------------- 40 103
√
s s 103+ ∑ ⌡
--------------------------–=
Käytetään kompenettien lukuarvoja ja ratkaistaan V0(s):
(3)
Tehdään osamurto termille 40– 103√
s s 103+∋ (------------------------
40– 103√
s s 103+∋ (------------------------ A
s--- B
s 103+-----------------+=
A 40– 103√
s 103+----------------------
s 0=
40–= =
B 40– 103√s
----------------------s 1000–=
40= =
sV0 s∋ ( v0 0∋ (–V0 s∋ (
10 3–-------------+ 40– 103√
s----------------------=
∨
, v0(0)=10a-kohdasta
V0 s∋ (10
s 103+----------------- 40
s------– 40
s 103+-----------------+=
(3) ⇑
V0 s∋ (50
s 103+----------------- 40
s------–=∨
Lopuksi Laplace-käänteismuunnos:
v0 t∋ ( 50e 1000t– 40–=
X(s) x(t)
50
s 103
+----------------- 50e 1000t–
40s
------ 40
Harjoitus 2
29
Tehtävä 4. Kuvan 2 piirille solmuyhtälö alkuehtoineen. Solmupistemenetelmässäkirjoitetaan kuhunkin tuntemattomaan solmujännitteeseen liittyvien virtojensumma. Alkutilat ovat kelan virran alkutila ja kondensaattorin jännitteen alkutila,i(0) ja v0(0).
Toisinaan tentissä on tehtäviä, jossa piirissä on nollasta poikkeava alkutila. Täl-lainen tehtävä ei ole vaikea, kun hoksaat miten taulukon 3 (sivu 20) virta- ja jän-nitekaavat saadaan johdettua.
Jos piirissä on nollasta poikkeava alkutila, ratkaisussa ei voida käyttää esim. jännite-jaon tai virtajaoin kaavoja. Kirchhoffin lait eli solmupiste ja silmukkavirtame-netelmät toimivat tässä tapauksessa.
Jos alkutilat ovat nollia, poista alkuarvoja sisältävät termit. Nolla-alkuarvoilla myösjännitejaon tai virtajaon kaavaa voidaan käyttää. Tästä esimerkkeina seuraavansivun lasku ja tehtävä 6.
Harjoituksessa 2 lasketaan tehtävän 4 piirille jännitteensiirtofunktio. Siirtofunkti-oiden tapauksessa alkutilat oletetaan automaattisesti nolliksi. Nyt saatua tulosta voikäyttää apuna (aseta alkutilat nolliksi).
L
C Rvin
-
v0
++-
V0 s∋ ( Vin s∋ (–
sL------------------------------------ i 0∋ (
s--------- sC V0 s∋ (√ Cv0 0∋ (–
V0 s∋ (
R--------------+ + + 0=
I(s) =
R
L
C
G U s∋ (√
U s∋ (sL
----------- i 0∋ (s
---------+
sC U s∋ (√ Cu 0∋ (–
vastaus:
Harjoitus 2
30
YLIMÄÄRÄINEN ESIMERKKI
Ratkaisu löytyisi myös osamurtokehitelmällä, mutta sitä ei nyt tarvittu koska tarvittumuunnospari löytyi taulukosta.
Vastaavanlainen Laplace-muunnospari oli myös tehtävässä 3b. Siinä käytettiinosamurto-kehitelmää, jotta Laplace-muunnettu verkkofunktio saataisiin mahdollisi-mman yksinkertaiseksi käänteismuunnosta varten (osoittajassa s+103).
Entäpä jos uc(0) olisikin nollasta poikkeava? Tällöin jännitejaon kaava ei toimija käytetään Kirchhoffin lakeja, kuten edellisellä sivulla ohjeistettiin. Kokeillaanmolempia, eli kirjoitetaan yllä olevalle piirille sekä solmu- että silmukkayhtälö(piirrä kuvaan maasolmu JA silmukkavirta I(s) myötäpäivään):
Kumpaa yhtälöä kannattaa käyttää? Riippuu siitä mitä ollaan ratkaisemassa: jän-nitettä tai virtaa.
Yllä olevasta solmuyhtälöstä pitäisi saada sama tulos uout(t), kun uc(0) merkataannollaksi.
uc(0) = 0V
uin(t)
R
C+-
uout(t)
uin t∋ ( = E , kun t 0=0, kun t < 0
{
Uout s∋ ( Uin s∋ (
1sC------
R 1sC------+
----------------√ Es---
1sC------
R 1sC------+
----------------√ Es---
1RC--------
s 1RC--------+
----------------√ E
1RC--------
s s 1RC--------+
∑ ⌡-------------------------√= = = =
Uin s∋ ( E 1s---√=
1 e at––
as s a+∋ (-------------------
uout t∋ ( E Ee
tRC--------–
–=
joten
RC-piirin askelvaste laskettiin PT1:n harjoituksessa 6.Vastaava lasku käyttäen Laplace-muunnosta menee näin:
Jännitejaon kaavaa voitiin käyttää, koska alkuehto oli nolla.
x(t) X(s)
(muutoin käytetään solmupiste- tai silmukkavirtayhtälöitä)
R I s∋ (√I s∋ (sC---------
uc 0∋ (
s-------------+ + Uin s∋ (=
Uout s∋ ( Uin s∋ (–R
----------------------------------------- Uout s∋ ( sC√ C uc 0∋ (√–+ 0=Solmuyhtälö
Silmukkayhtälö
Harjoitus 3
31
3. HARJOITUS. KYSYMYKSET1. Laske kuvan 2 piirillea) Yleinen transienttivasteen Laplace-muunnos.b) ac-jännitesiirtofunktio V0/Vin.c) Lähtöjännitteen osoitin taajuuksilla 100Hz ja 1kHz, kun tulojännitteen osoitin on1∉0º.d) Jännitesiirtofunktion V0/Vin nollanapakartta.
2. Yhdistä kuvan 1 askelvasteet ja nollanapakartat
LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA:3. Laske kuvan 3 piirille lähtöjänniteen osoitin taajuudella ϖ=1rad/s ja ϖ=10rad/s japiirrä jännitesiirtofunktion nollanapakartta. Tee tämä kumpaisellekin komponent-tiarvoille a) ja b).
Viime laskuharjoituksessa laskettiin piirille 3 solmuyhtälö alkutiloilla. Tulostavoidaan käyttää tässä tehtävässä (merkitse alkutilat nolliksi).
x
x
x
x
x
x
x
x
(a) (b) (c) (d)
Kuva 1
1
-1/4
1 1
-1/4 -1/4
1
-1
0 5 10 15 20-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8(1)
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6(2)
0 5 10 15 20-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
(3)
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
(4)
Harjoitus 3
32
Vastaukset:Teht. 3:
1rad/s 10rad/sa) V0=0.63∉-27↓ V0=0.02∉-118↓b) V0=0.80∉-8↓ V0=0.04∉-112↓
L
C Rcos(ϖt + ο/4)
αib
ib
kanta
emitteri
kollektori
kanta
emitteri
kollektori
α = 100<
Kuva 2
Kuva 3
-
v0
++-
C = 1FL = 1/2HR = 1/3ς
C = 1/2FL = 1/2HR = 1/2ς
a)
b)
+-
+
-
v010V
100kς
0nF 10kς
vin
Harjoitus 3
33
HARJOITUS 3. RATKAISUT
TEHTÄVÄ 1.
a) Harj. 2 tehtävässä 3 saadaan herätteellä vin(t) piiriä kuvaavaksi differentiaaliyhtälöksiaika-alueessa:
L-muunnettuna:
sijoitetaan: R1 = 100kς+ R2 = 10kς+ C = 1nF ja v0(0)=10V
tdd vo t∋ (
vo t∋ (100R2C-------------------+ 10V
100R2C-------------------
vin t∋ (R1C-------------–=
sV0 s∋ ( v0 0∋ (–V0 s∋ (
100R2C-------------------+ 10V
100R2C------------------- 1
s---√ 104Vin s∋ (–=
V0 s∋ (10
s 103+----------------- 104
s s 103+∋ (-------------------------
104Vin s∋ (
s 103+------------------------–+=
Tehdään osamurto termille 104
s s 103+∋ (------------------------
104
s s 103+∋ (------------------------ A
s--- B
s 103+-----------------+=
A 104
s 103+-----------------
s 0=
10= =
B 104
s--------
s 1000–=10–= =
V0 s∋ (10
s 103+----------------- 10
s------ 10–
s 103+-----------------
104Vin s∋ (
s 103+------------------------–+ + 10
s------
104Vin s∋ (
s 103+------------------------–= =
vo t∋ ( 10V R2 100 vin t∋ (R1
-------------- Ctd
d vo t∋ (√+√–=
∨
Harjoitus 3
34
TEHTÄVÄ 1b) Ac-jännitteensiirtofunktio
a)- kohdassa
Taajuusvasteen analyysissä oletetaan, että piirin kaikki alkutransientit ovat vaimenneet ja vaste on
kokonaisuudessaan pakotettua ac-vastetta (ns. steady-state -tilanne).
Poistetaan dc-jännitelähteen vaikutus sekä alkuehto vo(0)
Vo s∋ (∨104Vin s∋ (–
s 103+ ∑ ⌡
------------------------------=
Vo s∋ (
Vin s∋ (-------------------------
104–
s 1000+--------------------
s jϖ=
104–jϖ 1000+------------------------= =
10V
sV0 s∋ ( v0 0∋ (–V0 s∋ (
10 3–-------------+ 10V
100R2Cs---------------------- 104Vin s∋ (–=
10V
sV0 s∋ ( v0 0∋ (–V0 s∋ (
10 3–-------------+ 10V
100R2Cs---------------------- 104Vin s∋ (–=
Vo s∋ ( s 103+ ∑ ⌡ 104Vin s∋ (–=
Harjoitus 3
35
TEHTÄVÄ 1
c)
⇑ Vo 2ο100∋ ( 104–1000 j 2ο100∋ (+----------------------------------------- 1 0↓∉√
104 180↓∉
10002 200ο∋ (2+ 200ο1000------------
∑ ⌡atan∉-------------------------------------------------------------------------------= =
104 180↓∉1181 32,1↓∉------------------------------= 8 47 147,9↓–∉+=
Vo 2ο1000∋ (104 180↓∉
1000 j 2000ο∋ (+---------------------------------------- 104 180↓∉
10002 2000ο∋ (2+ 80,1↓∉------------------------------------------------------------------ 1 57 99,9↓∉+= = =
d)nollanapakartta
-1000
napa: -1000 (reaalinen)
x
nolla: -⁄ (reaalinen)-⁄
TEHTÄVÄ 2
x
x
(a)1
-1
Navat pisteissä -1 ° j
H s∋ (1
s p–∋ ( s p)–∋ (----------------------------------- 1
s 1 j–+∋ ( s 1 j+ +∋ (-------------------------------------------------= =
1s2 2s 2+ +--------------------------=
Vo s∋ (
Vin s∋ (-------------------------
104–
s 1000+--------------------=
Real
Imag
Tulojännitteen osoitin
Harjoitus 3
36
Askelvasteen L-muunnos: L u t∋ (∋ (1s---=
R s∋ ( 1s--- 1
s2 2s 2+ +--------------------------√
k1s-----
k2s 1 j–+-------------------
k3s 1 j+ +-------------------+ += =
k1 sR s∋ ( s 0=1
02 2 0 2+√+------------------------------- 1
2---= = =
k2 s 1 j–+∋ (R s∋ ( s 1– j+=1
1– j+∋ ( 1– j 1 j+ + +∋ (---------------------------------------------------------- 1
1– j+∋ (2j-------------------------= = =
k3 s 1 j+ +∋ (R s∋ ( s 1– j–=1
1– j–∋ ( 1– j– 1 j–+∋ (--------------------------------------------------------- 1
1– j–∋ ( 2j–√--------------------------------= = =
14--- 1 j–∋ (–=
14--- 1– j–∋ (=
⇑ R s∋ (1 2≤
s----------
14--- 1 j–∋ (
s 1 j–+-------------------–
14--- 1– j–∋ (
s 1 j+ +-----------------------+=
L 1– R s∋ (∋ ( r t∋ (12--- 1
4--- 1 j–∋ (e 1– j+∋ (t– 1
4--- 1– j–∋ (e 1– j–∋ (t+= =
12--- 1
4---e 1– j+∋ (t– j
4---e 1– j+∋ (t 1
4---e 1– j–∋ (t– j
4---e 1– j–∋ (t–+=
12--- 1
4---e t– ejt e jt–+Ζ ∴– j
4---e t– ejt e jt––Ζ ∴+=
12---= 1
2---e t– 1
2--- ejt e jt–+Ζ ∴ 1
2---e t– 1
2j----- ejt e jt––Ζ ∴√–√–
12--- 1
2---e t– t 1
2---e t– tsin–cos–=
12--- 1
2---e t– t tsin+cosΖ ∴–=
⇑ vastaa askelvastetta (2)
Harjoitus 3
37
2b) Muodostetaan aluksi verkkofunktio (kuten a-kohdassa), jolle lasketaan vaste,kun tuloherätteenä on askelpulssi.
Navat pisteissä (-1/4 + j) ja (-1/4 - j), nolla “nollassa”⇑
Kerrotaan F(s) askelvasteen L-muunnok-
sella 1/s ⇑
Tehtävä on helpointa ratkaista kirjoittamalla R(s) eksponentiaalisesti vaimenevansiniaallon L-muunnosta vastaavaan muotoon (huom! kompleksiset napaparit aiheut-tavat aina sinimuotoisen vasteen):
⇑
⇑ jonka käänteismuunnos on
⇑ vastaa askelvastetta (1) (vaimeneva sinivärähtely, jonka vaihesiirto 0↓)
2c)
x
x
1
-1/4
F s∋ (s
s 14--- j–+
∑ ⌡ s 14--- j+ +
∑ ⌡-------------------------------------------------- s
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------= =
R s∋ ( 1s---F s∋ (
1
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------= =
L e at– ϖt∋ (sin∋ (ϖ
s a+∋ (2 ϖ2+--------------------------------=
R s∋ (1
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------= r t∋ ( e
t4---–
t∋ (sin=
x
x
1
-1/4
Harjoitus 3
38
Navat pisteissä (-1/4 + j) ja (-1/4 - j) ⇑
⇑
Tehtävän voi ratkaista kokonaan Heavisiden kehitelmällä, mutta tässä tapauksessasen käyttö vaatii paljon laskemista johtuen kompleksisista navoista (ja sinimuotois-esta vasteesta). Ratkaistaan tehtävä helpommin kirjoittamalla toisen asteen termiyleistä vaimenevan siniaallon L-muunnosta vastaavaan muotoon (myös edellisentehtävän voi laskea näin):
Lasketaan vakio k1 Heavisiden menetelmällä:
Lasketaan seuraavaksi a ja b käyttämällä k1:tä ja laventamalla samannimisiksi:
⇑
⇑ ∨
Kirjoitetaan seuraavaksi 2. asteen termi sinin ja kosinin L-muunnoksia vastaavaanmuotoon (vrt. edelliseen tehtävään):
∨
F s∋ (1
s 14--- j–+
∑ ⌡ s 14--- j+ +
∑ ⌡-------------------------------------------------- 1
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------= =
R s∋ ( 1s---F s∋ (
1
s s2 12---s 1 1
16------+ +
∑ ⌡-----------------------------------------= =
R s∋ (k1s----- as b+
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------+=
k1 sR s∋ ( s 0=1617------= =
k1 s2 12---s 1 1
16------+ +
∑ ⌡ s as b+∋ (+ 1= k1 a+∋ (s2k12----- b+
∑ ⌡ s17k116
-----------+ + 1=
k1 a+ 0=
k12----- b+ 0={ a k1– 16
17------–= =
bk12-----– 8
17------–= ={
1617------s– 8
17------–
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------k2 1√
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------
k3 s 14---+
∑ ⌡
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------+= 16
17------s– 8
17------– k3s k2
k34-----+ +=
Harjoitus 3
39
⇑ ⇑
⇑ askelvaste (4) (lähestyy T:n kasvaessa arvoa 16/17 ≡1 )
2d)
Navat pisteissä (-1/4 + j) ja (-1/4 - j), kaksinkertainen nolla “nollassa”⇑
⇑
Kirjoitetaan R(s) jälleen vaimenevan sinin ja kosinin L-muunnoksia vastaavaanmuotoon:
⇑ ⇑
⇑
k31617------–=
k2417------–={ R s∋ (
16 17≤s
----------------
417------– 1√
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------
1617------– s 1
4---+
∑ ⌡
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------+ +=
r t∋ (1617------ 4
17------e
t4---–
t∋ ( 1617------e
t4---–
t∋ (cos–sin– 1617------ e
t4---–
17------- 4 t∋ ( 16 t∋ (cos+sinΖ ∴–= =
x
x
1
-1/4
F s∋ (s2
s 14--- j–+
∑ ⌡ s 14--- j+ +
∑ ⌡-------------------------------------------------- s2
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------= =
R s∋ ( 1s---F s∋ (
s
s2 12---s 1 1
16------+ +
---------------------------------= =
R s∋ (k1 1√
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------
k2 s 14---+
∑ ⌡
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------+= k2s k1
k24-----+ + s=
k2 1=
k114---–={
R s∋ (
14---–
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------
s 14---+
s 14---+
∑ ⌡2
1+-----------------------------+= r t∋ ( e
t4---– 1
4--- t∋ ( t∋ (cos+sin–=
Harjoitus 3
40
⇑ askelvaste (3) (lähestyy t:n kasvaessa nollaa)
Harjoitus 4
41
4. HARJOITUS. KYSYMYKSET1. Yhdistä kuvan 1 piirien jännitteensiirtofunktiot Vout/Vin kuvan 2 nollanapakart-toihin. Numero nollanapakartan kirjaimen perässä kertoo, montako piiriä kyseiseenkarttaan liittyy. Kuvan 1 komponenttiarvojen yksiköt ovat ohmeja, henryjä ja far-adeja. Lukuunottamatta piirejä (6) ja (14) tulo on vasemmalla ja lähtö oikealla.
a
Kuva 1
+-
+-
+-
(12)
(2)(3)
(4)
(5)
(6) (7)
(8)
(9)
(13)
(11)
(14)
+-
(1)
(10)
1/2
1
1 1
1
1 1 1 1
11 1
1 11
2
1
1
1
11/21/2
1
1 1
11/2 1
1/2 1
1/2 1 11/2
11
1
1
1
1/3
1
1
1
1
1/2
vout
+ -vin
+
-
vin
+
-
vout
+ -
Harjoitus 4
42
x
(a,2) (b,3) (c,2)
x
(d,1)
x x
(e,2)x
x
(f,1)
x
(g,1) x
x
(h,1) x
x
x
(i,1)x
x
Kuva 2
-1 -1 -2 -1
-2.62 -0.38
-1 + j
-1 - j
-1 1
-1 + j
-1 - j
j
-j
-1 + j
-1 - j
1 + j
1 - j
x = napa (nimittäjän nollakohdat) = nolla (osoittajan nollakohdat)
Piirien (10) ja (11) nollanapakartat ratkaistaan laskuharjoituksissa.
Lisäksi lasketaan ylimääräinen tehtävä
Harjoitus 4
43
HARJOITUS 4. RATKAISUT
OPERAATIOVAHVISTINKYTKENTÖJEN ANALYSOINTI
Oletetaan operaatiovahvistin ideaaliseksi, jolloin1. Tulonapojen impedanssi = ⁄2. Operaatiovahvistimen jännitevahvistus = ⁄3. Tulonapojen välinen jännite = 0 (seuraus kohdasta 2)4. Lähtöimpedanssi = 0
Analysoidaan piiri (1) näiden oletusten pohjalta
+-R1+-Vin
I1
I4I2
I3
R2C1
C2
Vout
Vx
V1
R1 = 1/2ςR2 = 1ςC1 = 1FC2 = 1F
Oletuksen 3. perusteella jännite Vx = 0, koska positiivinen tulonapa on maadotettu.
Sovelletaan Kirchoffin virtalakia pisteeseen V1.
I1 I2 I3+= (1)
I1Vin V1–
R1-------------------= I2
V1 Vout–1 sC2∋ (≤----------------------=, , I3
V1 Vx–1 sC1∋ (≤---------------------
V11 sC1∋ (≤---------------------= =
(1) ⇑Vin V1–
R1------------------- sC2 V1 Vout–∋ ( sC1V1+= (2)
Oletuksen 1. perusteella I3 = I4, koska operaatiovahvistimen äärettömään tulo-impedanssiin ei mene virtaa.
⇑ sC1V1Vx Vout–
R2----------------------
VoutR2
----------–= = ⇑ V1Vout
sR2C1---------------–= (3)
(2) & (3)
VinR1-------
VoutsR1R2C1----------------------+
sC2Vout–sR2C1
---------------------- sC2Vout–sC1VoutsR2C1
-------------------–=
Harjoitus 4
44
⇑VoutVin---------- 1–
R1C2------------
∑ ⌡ s
s2 s 1R2------ 1
C1------ 1
C2------+
∑ ⌡ 1R1R2C1C2--------------------------+ +
------------------------------------------------------------------------------=
Sijoitetaan R1 = 1/2ς, R2 = 1ς, C1 = 1F, C2 = 1F
VoutVin---------- 2s–
s2 2s 2+ +--------------------------=⇑
Nimittäjän nollakohdat:
s1 2+2– 22 4 1 2√ √–°
2----------------------------------------------- 2– 4–°
2------------------------ 1– j+
1– j–
= = =
⇑
VoutVin---------- 2s–
s 1 j–+∋ ( s 1 j+ +∋ (-------------------------------------------------=
nolla “nollassa”navat -1 + j ja -1 - j
Vastaa kuvan 2 nollanapakarttaa (e)
1
1 1
Piiri (2)
+-Vin+-Vin
Z1
Z2=
Vout
Jännitejaon perusteella
Vout
VoutVin----------
Z2Z1 Z2+------------------=
Z11
sC------ R1{{
1sC------ R1√
1sC------ R1+-------------------
R11 sR1C+----------------------= = = Z2 R2=
VoutVin----------
R2
R2R1
1 sR1C+----------------------+
-----------------------------------R2 sR1R2C+
R1 R2 sR1R2C+ +-------------------------------------------- R1R2C
R1R2C-----------------
∑ ⌡s 1
R1C----------+
sR1 R2+R1R2C------------------+
---------------------------
∑ ⌡
= = =
s 1R1C----------+
s 1R1C---------- 1
R2C----------+
∑ ⌡+------------------------------------------= s 1+
s 2+-----------=
⇑ nolla -1napa -2
⇑ vastaa nollanapa-karttaa (c)
,
Harjoitus 4
45
⇑ kartta (b)
____________________________________________________________________
Lasketaan I2
, josta
⇑ kartta (d)
(3)C
R
R = 1ςC = 1F
+-VinVout
VoutVin---------- R
R 1sC------+
---------------- sRC1 sRC+-------------------- s
s 1RC--------+
---------------- ss 1+-----------= = = =
(4)R
C
R
C+- I1 I2
Vin VoutVout = 1/sC * I2I2 = ?
R = 1ςC = 1F
Vin
0R 1 sC≤+ 1 sC≤–
1 sC≤– R 2 sC≤+I1
I2
=
I2
R 1 sC≤+ Vin
1 sC≤– 0
R 1 sC≤+ 1 sC≤–1 sC≤– R 2 sC≤+
---------------------------------------------------------
1sC------Vin
R2 3RsC------- 1
s2C2-----------+ +
--------------------------------------sCVin
s2 RC∋ (2 s3RC 1+ +--------------------------------------------------= = =
VoutI2sC------
Vin
s2 RC∋ (2 s3RC 1+ +--------------------------------------------------= =
VoutVin---------- 1
s2 RC∋ (2 s3RC 1+ +-------------------------------------------------- 1
s2 3s 1+ +-------------------------- 1
s 2,62+∋ ( s 0,38+∋ (------------------------------------------------≡= =
Harjoitus 4
46
,
⇑
⇑ kartta (b)____________________________________________________________________
,
⇑
⇑ kartta (f)
+-
CR1
(5)R2 R1 = 1ς
R2 = 2ςC = 1F
I1
I2 I1 = I2
+-VinVout
I1Vin 0–
R1 1 sC≤+--------------------------= I2
0 Vout–R2
-------------------=
VinR1 1 sC≤+--------------------------
Vout–R2
-------------=VoutVin----------
R2–R1 1 sC≤+-------------------------- R2–
R1--------- s
s 1 RC≤+-----------------------
∑ ⌡ 2s–s 1+-----------= = =
(6)
R1
R2
R
C
R1 = 1ςR2 = 1ς
C = 1FR = 1ς
a bvout
+ -+-Vin
VaR2
R1 R2+------------------Vin
12---Vin= = Vb
1 sC≤R 1 sC≤+-----------------------Vin
11 sRC+--------------------Vin= =
VoutVin---------- 1
2--- 1
1 sRC+--------------------– sRC 1–
2 sRC 1+∋ (----------------------------
s 1RC--------–
2 s 1RC--------+
∑ ⌡------------------------- 0,5 s 1–∋ (
s 1+------------------------= = = =
Harjoitus 4
47
,
⇑
⇑ kartta (c)___________________________________________________________________
_
⇑ kartta (h)____________________________________________________________________
+-
(7)
R2R1
C
R1 = 1/2ςR2 = 1/2ςC = 1F+-Vin
vout
I1
I2Vin
I1 = I2
I1Vin 0–
R1 1 sC≤+--------------------------= I2
Vout Vin–R2
-----------------------=
VoutR2
---------- Vin1
R2------ sC
1 sR1C+----------------------+
∑ ⌡=
VoutVin---------- 1
sR2C1 sR1C+----------------------+
1 sC R1 R2+∋ (+1 sR1C+
--------------------------------------- R1 R2+R1
------------------s 1
C R1 R2+∋ (---------------------------+
s 1R1C----------+
------------------------------------
∑ ⌡
2 s 1+∋ (s 2+
-------------------= = = =
(8)
C L
C = 1FL = 1H+-Vin Vout
VoutVin---------- sL
sL 1sC------+
------------------- s2LCs2LC 1+---------------------- s2
s2 1LC-------+
------------------- s2
s jLC
-----------+ ∑ ⌡ s j
LC-----------–
∑ ⌡---------------------------------------------------- s2
s j+∋ ( s j–∋ (------------------------------= = = = =
(9)
RC L
C = 1/2FL = 1HR = 1ς
Vout+-Vin
Harjoitus 4
48
⇑ kartta (e)
___________________________________________________________________
Piirin (5) pohjalta voidaan johtaa laskusääntö invertoivalle operaatiovahvistinkyt-kennälle:
⇑ kartta (a)
____________________________________________________________________
⇑ kartta (a)
VoutVin----------
1sC------ sL{{
R 1sC------ sL{{+
----------------------------
sLsC------
∑ ⌡ 1sC------ sL+
∑ ⌡≤
R sLsC------
∑ ⌡ 1sC------ sL+
∑ ⌡≤+--------------------------------------------------- sL sC≤
R sC sRL sL sC≤+ +≤-----------------------------------------------------= = =
sLs2RCL sL R+ +---------------------------------------= 1
RC-------- s
s2 s 1RC-------- 1
LC-------+ +
------------------------------------ 2ss2 2s 2+ +--------------------------= =
+-
(12)
R1
R2
C C = 1FR2 = 1ςR1 = 1ς
Z1
Z2
+-Vin Vout
VoutVin----------
Z– 2Z1
---------R2 1 sC≤{{
R1-------------------------
R2 sC≤∋ (R2 1 sC≤+--------------------------–
R1-----------------------------
R21 sR2C+----------------------–
R1-------------------------- 1–
R1C----------
∑ ⌡ 1s 1 R2C≤+--------------------------
∑ ⌡= = = = =
1–s 1+-----------=
(13)
RC
R1 = 1ςC = 1FVout+-Vin
VoutVin---------- 1 sC≤
R 1 sC≤+----------------------- 1
1 sRC+-------------------- 1 RC≤
s 1 RC≤+----------------------- 1
s 1+-----------= = = =
Harjoitus 4
49
⇑
⇑ kartta (i)
(14)
R1
R2
R3
R
L
C
vout
+ -R1 = 1/3ςR2 = 1ςR3 = 1ςR = 1ςL = 1HC = 1/2F
a b
+-Vin
VaR2
R1 R2+------------------
∑ ⌡ Vin34---Vin= =
VbR sL 1 sC≤+ +
R3 R sL 1 sC≤+ + +------------------------------------------------Vin
s2LC sRC 1+ +s2LC sC R R3+∋ ( 1+ +--------------------------------------------------------Vin= =
s2 sRL--- 1
LC-------+ +
s2 sR R3+
L----------------
∑ ⌡ 1LC-------+ +
--------------------------------------------------Vin= s2 s 2+ +s2 2s 2+ +--------------------------Vin=
VoutVin----------
VaVin-------
VbVin-------– 3
4--- s2 s 2+ +
s2 2s 2+ +--------------------------– s– 2 2s 2–+
4 s2 2s 2+ +∋ (---------------------------------- 1
4--- s2 2s– 2+
s2 2s 2+ +--------------------------
∑ ⌡–= = = =
14---– s 1– j–∋ ( s 1– j+∋ (
s 1 j–+∋ ( s 1 j+ +∋ (-------------------------------------------------=
Harjoitus 4
50
H4 YLIMÄÄRÄINEN TEHTÄVÄ:
TENTTITEHTÄVÄ 07.04. 2006
Laske kuvan 3 piirin lähtöjännite vout(t), kun t ″ 0 ja vin(t) on yksikköaskelfunktio.Piiriin ei ole varastoitunut energiaa hetkellä t = 0 (eli lasketaan nolla-alkuehdoilla).Voit käyttää apuna taulukkoa 4.
Taulukko 4: Joitain Laplace-muunnospareja
x(t) X(s)
yksikköimpulssi χ(t) 1
yksikköaskel u(t) 1 1 / s
ramppi t 1 / s2
eksp.funktio e-at 1 / (s+a)
eksp.funktio tne-at n! / (s+a)n+1
+-
10kς
voutvin
Kuva 3
100ς 100λF
10λF
Harjoitus 5
51
5. HARJOITUS. KYSYMYKSET1. Kuvassa 1 on edellisen harjoituksen nollanapakartat ja niihin liittyvät piirit siirto-funktioineen. Kuvassa 2 on kaikkien piirien taajuusvasteet eli amplitudi (mag) javaihe (phase) taajuuden funktiona. Vaiheen yksikkönä on aste.
Päättele siirtofunktion avulla, mitkä vasteet ja piirit vastaavat toisiaan.
x
(a)
-1
+-
1 1
(b)
x-1
+-
(12) (13)
(c)
x-2 -1
(2) 1
1 1
+-
(7)
1/21/2
1
1/2
1/2
12
1
1
1
11
VoutVin---------- 1–
s 1+-----------=
VoutVin---------- 1
s 1+-----------=
VoutVin---------- 2s–
s 1+-----------=
VoutVin---------- 0,5s
s 1+-----------=
VoutVin---------- s 1+
s 2+-----------=
VoutVin---------- 2 s 1+∋ (
s 2+-------------------=
(5) (10)
Kuva 1
Harjoitus 5
52
(d)
x x-2.62 -0.38
(4)
11 1
1VoutVin---------- 1
s2 3s 1+ +--------------------------=
(e)x
x
-1 + j
-1 - j
+-
(1)
1/2
1
1 1
(9)1
11/2
VoutVin---------- 2s
s2 2s 2+ +--------------------------=
VoutVin---------- 2s
s2 2s 2+ +--------------------------=
(f)
x-1 1 Vout
Vin---------- 0,5 s 1–∋ (
s 1+------------------------=
(g) x
x
-1 + j
-1 - j
(11)
1 11/2
VoutVin---------- s2
s2 2s 2+ +--------------------------=
(h) x
x
j
-j
(8)
1 1
VoutVin---------- s2
s2 1+--------------=
(i)x
x
-1 + j
-1 - j
1 + j
1 - j
(14) 1/3
1
1
1
1
1/2
vin
+
-
vout
+ -VoutVin---------- 0,25– s2 2s– 2+∋ (
s2 2s 2+ +--------------------------------------------=
(6)
1
1
1
1vout
+ -vin
+
-
Kuva 1
Harjoitus 5
53
0
0.5
1
0
45
90
135
180
ϖ (rad/s)
Phase
0
0.5
1
-180
-135
-90
-45
0
ϖ (rad/s)
Phase
0
0.5
1
-90
-45
0
ϖ (rad/s)
Phase
0
0.5
1
90
135
180
ϖ (rad/s)
Phase
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0
45
90
135
180
ϖ
Phase
Mag
Mag Mag
MagMag
0 2 4 6 8 10
(rad/s)
ϖ (rad/s) ϖ (rad/s)
ϖ (rad/s) ϖ (rad/s)
ϖ (rad/s)
(1)
(3) (4)
(5) (6)
0
0.5
1
1.5
2
-180
-135
-90
-45
0
ϖ (rad/s)
Phase
Mag
(2)
1 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
Kuva 2
Harjoitus 5
54
0.1
0.2
0.3
0.4
-180
-90
0
90
180
ϖ (rad/s)
0.4
0.6
0.8
1
0
ϖ (rad/s)
0
5
10
0
45
90
135
180
ϖ (rad/s)
1
1.5
2
0
ϖ (rad/s)
0
0.5
1
-90
-45
0
45
90
ϖ (rad/s)
2015
105
2015105
Phase Phase
Mag
Mag
Mag Mag
Mag
Phase Phase
Phase
ϖ (rad/s) ϖ (rad/s)
ϖ (rad/s) ϖ (rad/s)
ϖ (rad/s)
(7) (8)
(9) (10)
(11)
0.25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
45
90
ϖ (rad/s)
Mag
Phase
ϖ (rad/s)
(12)
0.5
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
Kuva 2
Harjoitus 5
55
HARJOITUS 5. RATKAISUT
TAAJUUSVASTE, SIIRTOFUNKTIO JA NOLLANAPAKARTTA:
Taajuusvasteella tarkoitetaan piirin steady-state vastetta (amplitudi- ja vaihevaste)sinimuotoiselle tulosignaalille. Sen voi aina laskea suoraan siirtofunktiosta sijoit-tamalla s:n paikalle jϖ ja laskemalla siirtofunktion itseisarvo ja vaihe eri ϖ:narvoilla. Tehtäväpaperista nähdään, että samalla nollanapakartalla voi olla useita eripiiritoteutuksia ja siihen voi liittyä useita siirtofunktioita riippuen vakiotermistä.Tämän vuoksi tietyn piirin absoluuttista vaihe- ja amplitudivastetta ei voi määrittääpelkästään nollanapakartan perusteella, vaan myös vakiotermi täytyy tuntea.
Vakiotermin itseisarvon muuttuminen vaikuttaa vain amplitudivasteeseen, kun taasvakiotermin merkin muuttuminen vaikuttaa ainoastaan vaihevasteeseen. Amplitudi-ja vaihevasteen perusmuoto voidaan kuitenkin aina päätellä pelkän nollanapakartanperusteella, koska siihen vakiotermin muuttuminen ei vaikuta.
Kuvassa 3on eräs nollanapakartta ja sitä vastaava siirtofunktion H itseisarvo. Itseis-arvokuvaaja on 3-ulotteinen, koska nyt kompleksisella taajuusmuuttujalla on reaali-ja imaginääriosa.
Navat ovat pinnan kohtia, joissa |H(ρ+jϖ)| ↑ ⁄ ja nollat kohtia, joissa |H(ρ+jϖ)| =0.
Reaaliosa vastaa aikatasossa eksponentiaalisesti vaimenevaa tai kasvavaa termiä.Nyt kun vaste on jatkuva ja sinimuotoinen, reaaliosa on nolla. Siniherätteen graaf-inen taajuusvaste siten on 3-ulotteisen pinnan leikkaus jϖ-akselia pitkin (kuva 4a).Yleensä taajuusvastetta laskettaessa käytetään vain positiivisia ϖ:n arvoja, kutenkuvassa 4b.
Tässä harjoituksessa etsitään siirtofunktiota vastaava taajuusvasteen kuvaaja.Käytännössä tämä tapahtuu laskemalla siirtofunktiosta valikoiduilla taajuuksillaitseisarvo ja vaihe. Muistin virkistämiseksi seuraavalla aukeamalla on kertaustaosoitinlaskennan säännöistä.
Harjoitus 5
56
-2-1.5
-1-0.5
0 -2-1
01
2
0
5
10
nollatnavat
|H(ρ∗jϖ)|
jϖ- eli Im
ρ- eli Re-akseli
-akseli
Kuva 3.
jϖ
jϖ
ρ
ρ
0-2
-1
12
jϖ
ρ
|H(s)|:n leikkaus jϖ-akselin kohdalta(a)
Kuva 4.
+jϖ
|H(s)|
ϖ < 0.5
(b)
ϖ < 0
likimääräinen amplitudivaste (itseisarvo)
Harjoitus 5
57
z1z2-----
A1 ε1∉
A2 ε2∉------------------
A1A2------- ε1 ε2–∋ (∉= =
z1 z2√ A1 ε1∉ A2 ε2∉√ A1 A2 ε1 ε2+∋ (∉√= =
z1 x1 jy1+ A1 ε1∉= =
z2 x2 jy2+ A2 ε2∉= =
z1 z2+ x1 x2 j y1 y2+∋ (+ +=
z1n A1 ε1∉∋ (
n A1n n ε1√∋ (∉= =
Summaus
Kertolaskut
potenssiin
jakolaskut
korottaminen
z1 z2– x1 x2– j y1 y2–∋ (+=Erotus
z x jy+=
A x2 y2+=
ε arc yx--
∑ ⌡tan=
z Aejε A ε∉= =
A ε∋ (cos j A ε∋ (sin√ √+√=
kompleksinen vektori
vektorin pituus
vektorin vaihekulma
j
-j
1-1
180o
-180o
j
-j
1-1
270o
-90o
Imag
Real
Imag
Real
Reaalisen ja negatiivisenvektorin vaihekulma on°180o.
Jos lasketun vaihekulmanitseisarvo on > 180o, vali-taan yleensä vastakkainenkiertosuunta.
1 270o∉
1 90o–∉=j–=
(suorakulmainen muoto)
kompleksinen vektori(osoitinmuoto)
Harjoitus 5
58
PIIRI (12)
Nähdään, että ainoa laskettuja amplitudi- ja vaihearvoja vastaava tehtäväpaperintaajuusvaste on numero (5).
1–s 1+-----------
s jϖ=
1–1 jϖ+--------------- 1 180o
∉
12ϖ
2+ arc ϖ1----
∑ ⌡tan∉
--------------------------------------------------------= =
1 180o∉
1 005 5 7+o
∉+-------------------------------- 1 174o
∉≡
1 180o∉
2 45o∉
--------------------- 0,7 135o∉≡
1 180o∉
101 84o∉
--------------------------- 0,1 96o∉≡
ϖ = 0,1
ϖ = 1
ϖ = 0/
0
0.5
1
90
135
180
ϖ (rad/s)
Phase
Mag
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10ϖ (rad/s)
(5)
Harjoitus 5
59
PIIRI (13)
Jännitesiirtofunktio eroaa edellisestä vain vakiotermin etumerkin osalta, joten
sen amplitudivasteen täytyy olla sama, kuin piirillä (12). Myös vaihevasteen muotoon sama, mutta arvot ovat 180↓:een vaihesiirrossa edelliseen. Näiden ehtojen perust-eella piirin (13) taajuusvaste on numero (4).
PIIRI (5)
1s 1+-----------
0
0.5
1
-90
-45
0
ϖ (rad/s)
Phase
Mag
0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10
ϖ (rad/s)
(4)
2s–s 1+-----------
s jϖ=
2jϖ–1 jϖ+--------------- 2 180o∉ ϖ 90o∉√
12 ϖ2+ arc ϖ1----
∑ ⌡tan∉-------------------------------------------------------= =
0 2 90– o∉+
1 005 5 7+ o∉+------------------------------- 0 20 95 7+ o–∉+≡
2 90– o∉
2 45o∉-------------------- 1,4 135o–∉≡
20 90– o∉
101 84o∉-------------------------- 2 174o–∉≡
ϖ = 0,1
ϖ = 1
ϖ => 10
Harjoitus 5
60
taajuusvaste (2)
PIIRI (10)
Siirtofunktio eroaa piiristä (13) ainoastaan vakiotermin osalta.
Suurilla taajuuksilla itseisarvo lähestyy arvoa 0.5.
⇑ piiriä vastaa taajuusvaste (12)
0
0.5
1
1.5
2
-180
-135
-90
-45
0
ϖ (rad/s)
Phase
Mag
(2)
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0 2 4 6 8 101 3 5 7 9
0,5ss 1+-----------
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
0 2 4 6 8 100
45
90
ϖ (rad/s)
Mag
Phase
ϖ (rad/s)
(12)
Harjoitus 5
61
Lasketaan loputkin tehtävät sijoittamalla ϖ:n paikalle 0,1rad/s, 1rad/s ja 10rad/s.Itseisarvojen ja vaiheiden laskemisen jälkeen etsitään vastaavat taajuusvaste-kuvaajat. Voit halutessasi käyttää muitakin taajuuksia.
Voit kirjata tuloksia seuraavan taulukkoon, esimerkiksi piirin (2) itseisarvot javaiheet em. taajuuksilla on jo laskettu malliksi.
__________________________________________________________
Osoitinlaskenta on tärkeä apuväline monessa kurssissa. Usein PT2 tentissä ontehtävä, jossa piirretään taajuusvaste käyttäen harjoituksessa 6 opittavaataajuusvasteen viiva-approksimaatiota.
Osoitinlaskennalla voi tarkistaa tietyllä pistetaajuudella, onko omanapproksimaation itseisarvo tai vaihe oikein.
Laskarissa 6 graafinen taajuusvaste piirretään siten, että• taajuusakseli on logaritminen (tässä laskarissa se on lineaarinen) ja• itseisarvot ilmaistaan desibeleinä (tässä se oli lineaariasteikolla).
Esimerkki: verkkofunktio on ja haluat tietää,
mikä on itseisarvon ja vaiheen tarkka arvo taajuudella ϖ<0///.
Itseisarvo lasketaan desibeleina, log tarkoittaa tässä 10-kantaista logaritmia.
H(jϖ):n vaihe taajuudella ϖ<0/// saadaan:
H s∋ (103
100 s+-----------------=
20 H jϖ∋ (log 20 103
100 jϖ+------------------------
∑ ⌡log 20 103∋ (log 20 100 jϖ∋ (+∋ (log–= =
ϖ 1000=∋ (
20 103∋ (log 20 100 j1000∋ (+∋ (log–= 60dB 60 04dB+– 0dB≡=
H jϖ∋ (∉ 103
100 s+-----------------
∑ ⌡∉ arc 0103--------
∑ ⌡tan arc ϖ100---------
∑ ⌡tan–= =
ϖ 1000=∋ (
arc 0∋ (tan arc 1000100
------------ ∑ ⌡tan–= 0o 84 2894o+– 84– 3o+≡=
Harjoitus 5
62
piiri
(2)
(7)
(4)
(1)j
a(9
)(6
)(1
1)(8
)(1
4)
siirt
o-fu
nk-
tio Mag
,ϖ
=0,1
0,5
Mag
,ϖ
=10,
63
Mag
,ϖ
=10
0,99
Phas
e,ϖ
=0,1
2,85
Phas
e,ϖ
=118
,43
Phas
e,ϖ
=10
5,6
vast
e(8
)(1
0)(3
)(1
1)(6
)(1
)(9
)(7
)
s1
+ s2
+---------
--2
s1
+∋
(s
2+
--------
--------
---1
s23s
1+
+----
--------
--------
------
2ss2
2s2
++
--------
--------
----------
0,5
s1
–∋
(s
1+
--------
---------
-------
s2
s22s
2+
+----
--------
---------
-----s2
s21
+----
--------
--h
0,25
–s2
2s–
2+
∋(
s22s
2+
+----
---------
--------
---------
--------
-------
Harjoitus 6
63
6. HARJOITUS. KYSYMYKSET
1. Piirrä seuraavien verkkofunktioiden Boden amplitudi- ja vaihekuvaajat
a) b)
c)
2. Etsi kuvan 1 Boden amplitudikuvaajia vastaavat verkkofunktiot.
3. Etsi kuvan 2 Boden vaihekuvaajia vastaavat verkkofunktiot
4. Piirrä seuraavan verkkofunktion Boden amplitudi- ja vaihekuvaajat
H jϖ∋ (10
1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤∋ (+Ζ ∴-------------------------------------------------------= H jϖ∋ (
10jϖ1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤∋ (+Ζ ∴
-------------------------------------------------------=
H jϖ∋ (10 jϖ∋ (2
1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤∋ (+Ζ ∴-------------------------------------------------------=
H jϖ∋ (10 1 2jϖ 3≤ jϖ∋ (2+ +Ζ ∴
1 jϖ 0,1≤∋ (+Ζ ∴ 1 jϖ∋ ( 10≤∋ (+Ζ ∴-----------------------------------------------------------------------------=
60
20
-20
-60 -20
0
20
0.01 1 1000.01 1 100
Kuva 1
{ H { ∋dB){ H { ∋dB)
ϖ (rad/s) ϖ (rad/s)
(a) (b)
Harjoitus 6
64
LASKUHARJOITUKSISSA LASKETTAVA:5.a) Määritä kuvan 3 vaihekuvaajaa vastaava verkkofunktio. (vertaa tehtävään 3)
b) Piirrä a-kohdan verkkofunktiolle Boden amplitudikuvaaja, kun verkkofunktionvakiotermi K on 100.
Kuva 3.
-90
-180
-2700.01 1 100
0.01 1 100-135
-90
-45
0
Kuva 2
∉H (deg) ∉H (deg)
ϖ (rad/s)ϖ (rad/s)
(b)(a)
1 10 100 1000
90
45
0
-45
-90
ϖ (rad / s)
∉H(jϖ) (deg)
0.1 10000
Harjoitus 6
65
BODEN KUVAAJATBoden kuvaaja on taajuusvasteen graafinen esitys. Erona edellisen harjoituksen taa-juusvasteiden esitykseen on se, että taajuusakseli on Boden kuvaajassa logaritminenja amplitudikuvaaja esitetään desibeliasteikolla.
Logarimisen taajuusasteikon käyttämisen syy selvinnee alla olevasta esimerk-istä. Siinä on esitetty tehtävän 1b) verkkofunktion tarkka taajuusvaste sekä lineaaris-illa että logaritmisilla asteikoilla. Lineaarinen taajuusasteikko kätkeeverkkofunktion kaistanpäästöluonteen, eli itseisarvo pienellä taajuudella ei olekaan10, kuten vasemmasta itseisarvokuvaajasta voitaisiin tulkita. Myös vaihekuvaaja onpaljon selkeämpi logaritmisella taajuusasteikolla: nurkkataajuudet, joissa vaihe tait-tuu, ovat helpommin havaittavissa.
Verkkofunktioiden itseisarvoilla voi olla eri taajuuksilla suuria vahvistuksia jasuuria vaimennuksia, joten itseisarvokuvaajat esitetään desibeliasteikolla. Esi-merkiksi -40dB on lineaariasteikolla 0,01, mikä on melko hankala havaita jos lin-eaarinen asteikko on vaikkapa nollasta tuhanteen.
0 200 400 600 800 10000
2
4
6
8
10
0 200 400 600 800 1000-90
-45
0
45
90
10-2 10-1 100 101 102 103-10
-5
0
5
10
15
20
10-2 100 102 10310110-1
-90
-45
0
45
90
Lineaariset asteikot Logaritmiset asteikot
itseisarvo
vaihe
itseisarvo (dB)
vaihe
taajuus rad/s (lineaar.)
taajuus rad/s (lineaar.)
taajuus rad/s (log-asteikko)
taajuus rad/s (log-asteikko)
Harjoitus 6
66
BODEN KUVAAJIEN PIIRTÄMINENKuvaajia ei piirretä tarkan osoitinlaskennan avulla, vaan ns. viiva-approksimaati-oiden avulla (straight-line approximation), joiden avulla kuvaajien piirto ruutupa-perille on mahdollisimman nopeaa. Piirtosäännöt ovat sivuilla 69-71, mutta sitäennen hiukan pohjustusta.
Kun kuvaajia aletaan piirtää, verkkofunktio kirjoitetaan muotoon
,missä K on vakiotermi, A ja B ovat osoittaja ja nimittäjä.
Jotta Boden kuvaajien piirtäminen menisi oikein, reaaliset ja kompleksiset nollat janavat ovat kirjoitettuna tietyssä standardimuodossa, joka on muokattu verkkofunk-tion nolla-napa -esityksestä.
Reaaliset nollat ja navat. Jos H(jϖ) sisältää vain reaalisia nollia ja napoja, se onmuotoa:
, (5)
missä ϖz1...ϖzm ja ϖp1...ϖpn ovat nurkkataajuuksia, joissa amplitudivasteen jyrk-kyys muuttuu.
Siirtofunktion nollanapaesitystä käytettiin edellisissä laskareissa (esim. käänteismu-unnokset).
Esimerkiksi muokattaisiin tässä laskarissa muotoon
,
missä K=10, ϖz1=1000 rad/s, ϖp1=1 rad/s ja ϖp2 = 100 rad/sLaskuohjeissa esitetään s=jϖ, joten
H jϖ∋ ( KA jϖ∋ (B jϖ∋ (---------------=
H jϖ∋ ( K1 jϖ ϖz1≤∋ (+Ζ ∴ 1 jϖ ϖz2≤∋ (+Ζ ∴≈ 1 jϖ ϖzm≤∋ (+Ζ ∴
1 jϖ ϖp1≤∋ (+Ζ ∴ 1 jϖ ϖp2≤∋ (+Ζ ∴≈ 1 jϖ ϖpn≤∋ (+Ζ ∴------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=
H s∋ (s 1000+
s 1+∋ ( s 100+∋ (---------------------------------------=
≈1000 1 s
1000------------+
∑ ⌡√
1 100 1 s1---+
∑ ⌡ 1 s100---------+
∑ ⌡√ √--------------------------------------------------------------- 10
1 s1000------------+
1 s1---+
∑ ⌡ 1 s100---------+
∑ ⌡------------------------------------------√ K
1 sϖz1----------+
1 sϖp1----------+
∑ ⌡ 1 sϖp2
---------+ ∑ ⌡
---------------------------------------------------√= = =
≈ 101 jϖ
1000------------+
1 jϖ1
------+ ∑ ⌡ 1 jϖ
100---------+
∑ ⌡---------------------------------------------√ K
1 jϖϖz1----------+
1 jϖϖp1----------+
∑ ⌡ 1 jϖϖp2
---------+ ∑ ⌡
---------------------------------------------------√= =
Harjoitus 6
67
Kompleksiset nollat ja navat: Jos A(jϖ) ja B(jϖ) sisältävät kompleksisia nolla- janapapareja, niiden aiheuttamat termit ovat muotoa:
. (6)
Q-luku (esim. Qz1) on termi, jolla voidaan approksimoida amplitudivasteen piiki-tystä ja vaihevasteen jyrkkyyttä.
Jos esimerkiksi A(jϖ) on muotoa , Qz1 ja ϖz1 saadaan verta-amalla kaavan (6) osoittajan muotoa:
Näin ollen ϖz1 on 1 ja Qz1 on 3/2.
H jϖ∋ ( K
1 1Qz1ϖz1--------------------
∑ ⌡° jϖ∋ ( 1ϖz1
2---------- jϖ∋ (2+ ≈
1 1Qp1ϖp1---------------------
∑ ⌡° jϖ∋ ( 1ϖp1
2----------- jϖ∋ (2+ ≈
------------------------------------------------------------------------------------------=
1 2jϖ 3≤ jϖ∋ (2+ +
1 2jϖ 3≤ jϖ∋ (2+ + 1 132--- 1√----------
∑ ⌡
jϖ 1
12----- jϖ∋ (2+ + 1 1
Qz1ϖz1-------------------
∑ ⌡+ jϖ∋ ( 1ϖz1
2---------- jϖ∋ (+= =
H s∋ (1000
s 100+-----------------=
H s∋ (1000
s 100+----------------- 10
1 s100---------+
------------------ 10
1 jϖ100---------+
------------------= = =
Esimerkkinä siirtofunktio, jossa reaalinen napa:
Siirtofunktio H(s) muokataan ennen piirtämistä seuraavasti:
Kun piirretään taajuusvastetta, reaaliset/kompleksiset nollat ja navat
Eli vakiotermi K onkin 10 eikä 1000!
on aina kirjoitettava kaavojen (6) ja (7) mukaisestiJos näin ei tehdä, vakiotermi menee erittäin todennäköisesti pieleen.
Harjoitus 6
68
DEKADI, DESIBELIAmplitudi- ja taajuuskuvaajissa taajuusakseli on logaritminen, perustuen yleensä10-kantaiseen logaritmiin. Tällöin taajuus kasvaa tasavälein kymmenkertaiseksi.Taajuusväliä, jossa taajuus on kasvanut kymmenkertaiseksi, kutsutaan dekadiksi.
Amplitudikuvaajassa verkkofunktion itseisarvo esitetään desibeleinä( 20logΖ{H(jϖ){∴ ) ja vaihe-kuvaajassa vaiheakseli on lineaarinen.
Tehtävissä nurkkataajuudet, vakiokerroin, ja hyvyysluku (ϖz, ϖp, K ja Q) ovatnumeerisia tunnuslukuja, joiden mukaan siirtofunktion osatermit piirretään.Piirtosäännöissä pitää hoksata yhdistää numeeriset parametrit oikeaanpiirtosääntöön, esim.
Tehtävien siirtofunktioista näkee suoraan, onko nolla/napa reaalinen vai jopaorigossa. Jos osoittajassa tai nimittäjässä on toisen asteen polynomi, kannattaatodeta laskemalla, ovatko nollat/navat kompleksisia vai reaalisia. Jos reaalisia, esitäsiirtofunktio kahden reaalisen tekijän tulona.
1log10ϖ
2 3 4 5
10ϖ
100 Ζrad/s∴1000 104 105
10jϖ 1 jϖ
1000------------+
∑ ⌡
1 jϖ1
------+ ∑ ⌡ 1 jϖ
100---------+
∑ ⌡---------------------------------------------√ K
jϖ 1 jϖϖz1---------+
∑ ⌡
1 jϖϖp1---------+
∑ ⌡ 1 jϖϖp2---------+
∑ ⌡--------------------------------------------------√=
nolla origossa reaalinen nolla
reaalinen napavakiokerroin
Harjoitus 6
69
Vakiotermi ϑ: - itseisarvo
- vaihe
Reaalinen n-kertainen nolla 0:ssa (origossa) , tekijä (jϖ)n:- itseisarvo- vaihe
(lyhenne dek tarkoittaa dekadia eli taajuuden kymmenkertaistumista)
Reaalinen n-kertainen napa 0:ssa, tekijä 1/(jϖ)n:- itseisarvo- vaihe
20 Klog
0↓ kun K 0=+180↓ kun K 0;+
20log{K{180↓
-180↓
{H(jϖ){ ∉H(jϖ)K < /
K < /
0↓ K > /
ϖ
ϖ
20n ϖ∋ (logn 90↓√
n20dB
-n20dB
0 0//−0
n90↓{H(jϖ){ ∉H(jϖ)
ϖ ϖ
jyrkkyys +n20dB/dek
0dB
20– n ϖ∋ (logn– 90↓√
n20dB
-n20dB
0 0//−0
-n90↓
{H(jϖ){ ∉H(jϖ)
ϖ ϖ
jyrkkyys -n20dB/dek
0dB
Harjoitus 6
70
Reaalinen nolla, tekijä (1 ∗ jϖ/ϖz) :
- itseisarvo - vaihe
Reaalinen napa, tekijä 1/(1 ∗ jϖ/ϖp):
- itseisarvo - vaihe
Reaalinen nolla ja napa kääntävät siis vaihetta °90o.
0dB kun ϖ ϖz;+
20dB dek≤ kun ϖ ϖz=+
0↓ ϖ ϖz 10≤;+
45↓ dek≤ ϖz 10 ϖz 10ϖz; ;≤+
90↓ ϖ 10z=+
20dB
ϖz 0/ϖzϖz.0/
{H(jϖ){
ϖ
jyrkkyys +20dB/dek
0dB
jyrkkyys +45↓/dek
ϖz 0/ϖzϖz.0/ϖ0↓
-90↓
-45↓
45↓
90↓∉H(jϖ)
virhe 3dB
(vasemman puolitason nolla)
0dB kun ϖ ϖp;+
20– dB dek≤ kun ϖ ϖp=+
0↓ ϖ ϖp 10≤;+
45– ↓ dek≤ ϖp 10 ϖp 10ϖp; ;≤+
90– ↓ ϖ 10ϖp=+
-20dB
ϖp 0/ϖpϖp.0/
{H(jϖ){
ϖ
jyrkkyys -20dB/dek
0dBϖp 0/ϖpϖp.0/
ϖ0↓
-90↓
∉H(jϖ)
-45↓jyrkkyys -45↓/dek
45↓
90↓
virhe 3dB
(vasemman puolitason napa)
Harjoitus 6
71
Kompleksinen nollapari, tekijä :
-itseisarvo vaihe
.
Kompleksinen napapari tekijä :
- itseisarvo - vaihe
Kuten kompleksisella nollaparilla, vaiheen muutosjyrkkyys riippuu Q-luvusta.
1 1Qzϖz------------
∑ ⌡ jϖ∋ ( 1ϖz
2------ jϖ∋ (2+ +
0dB kun ϖ ϖz;+
40dB dek≤ kun ϖ ϖz=+ vaiheen muutos 0↓ 180↓↑
muutos taajuudesta ϖ1 taajuuteen ϖ2
40dB
{H(jϖ){
ϖ0dB ϖ0↓
∉H(jϖ)180↓
90↓
ϖ1ϖ0
ϖ1 ϖzlog10 4Q∋ (
2--------------------------√= ϖ2 ϖz
2log10 4Q∋ (--------------------------√=,
20log101Q---- 1 1
4Q2----------–√
∑ ⌡
todellisessa vasteessa on piikki
ϖz
rajataajuudella, piikin suuruus on
jyrkkyys+40dB/dek
10ϖz
dB
(vasemman puolitasonkompl. nollapari)
ϖz
Huomaa, että vaiheen muutosjyrkkyys riippuu Q-luvusta
1 1 1Qpϖp-------------
∑ ⌡ jϖ∋ ( 1ϖp
2------ jϖ∋ (2+ +≤
0dB kun ϖ ϖp;+
40– dB dek≤ kun ϖ ϖp=+ vaiheen muutos 0↓ 18– 0↓↑
muutos taajuudesta ϖ1 taajuuteen ϖ2
-40dB
{H(jϖ){
ϖ0dB ϖ
-180↓
0↓
∉H(jϖ)-90↓
ϖ1ϖ0
20– log101Q---- 1
1
4Q2----------–√
∑ ⌡
todellisessa vasteessa on piikki rajataajuudella, piikin suuruus on dB
∉H(jϖ)
ϖp
jyrkkyys-40dB/dek
10ϖp
ϖ1 ϖplog10 4Q∋ (
2--------------------------√= ϖ2 ϖp
2log10 4Q∋ (--------------------------√=,
(vasemman puolitasonkompl. napapari)
ϖp
Harjoitus 6
72
Lopullinen Boden-kuvaaja tehdään ensin piirtämällä kunkin osatermin itseisarvo javaihe erikseen. Lopuksi osatermien aiheuttamat kuvaajat summataan.
JOITAIN LISÄKOMMENTTEJAApproksimointisääntöjä on helpotettu siten, että nollat ja navat sijaitsevat aina vase-mmassa puolitasossa. Tällöin toteutusta kutsutaan minimivaiheiseksi, sillä vasem-man puolitason nollien aiheuttama vaiheen edistäminen kompensoi napojenaiheuttamaa vaiheen jätättämistä.__________________________________________________________________Nolla-napa formaatissa kompleksinen nolla- tai napapari on muotoa
. Tämä muoto pitää muistaa Suodattimet-kurssissa. Piirtosäännön
mukainen muokkaus olisi: , missä sulkulausek-
keen kerroin ϖ0 vaikuttaa vakiokertoimen K arvoon.__________________________________________________________________Ekan asteen termien piirtösäännöt viittaavat nurkkataajuuteen, esim. (s+ϖp1). Nolla-napakartan piirrossa merkintätapa olisi (s-p1), missä navan p1 ollessa negatiivinen,napa on vasemmassa puolitasossa. Yhteys piirtosääntöön on siisϖp1 = -p1 (tai p1 = -ϖp1).__________________________________________________________________Kuten edelisessä laskarissa mainittiin, piirretyn Boden kuvaajan voi tarkistaaosoitinlaskennalla sijoittamalla ϖ:n paikalle jokin piirretyssä kuvaajassa oleva taa-juus ja laskemalla todellinen itseisarvo ja vaihe. Huomaa, että jos lasket tarkan taa-juudella, jolla vaihe- tai amplitudivaste taittuu, tarkka arvo saattaa hieman poiketaviiva-approksimaatiosta.
100
200-20-40-60
40
Kun piirrät Boden kuvaajia, noudatatarkkaan piirtosääntöjä.
Kuvassa on esimerkki osatermienkuvaajien summaamisesta. Harmaallaon merkitty vakiotermin ja reaalisennavan vaikutukset amplitudivasteeseen.
Musta käyrä on osatermien summa,
10
ϖ
1+ s100
(dB)
eli lopullinen amplitudivaste.
20log10(10)=20dB
s2 ϖ0Q------ s√ ϖ0
2+ +
ϖ02 s2
ϖ02
------ 1Qϖ0----------- s√ 1+ +
∑ ⌡
√
Harjoitus 6
73
HARJOITUS 6. RATKAISUT
TEHTÄVÄ 1
. a)
- vakiotermi 10- reaalisen navan aiheuttavat termit 1 + jϖ/1 ja 1 + jϖ/10. Eli ϖp1=1 ja ϖp2=10.
H jϖ∋ (10
1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤∋ (+Ζ ∴------------------------------------------------------- A
B C≥-------------= =
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
40
20
0
-20
-40
40
20
0
-20
-40
0
-45
-90
-135
-180
0
-45
-90
-135
-180
ϖ (rad / s)
ϖ (rad / s)
{H(jϖ({(dB)
{H(jϖ({(dB)
∉H(jϖ)
(deg)
∉H(jϖ)
(deg)
-20dB/dek
-40dB/dek
-45o/dek
-90o/dek
-45o/dek
B C
A
A
B C
Harjoitus 6
74
1b)
- vakiotermi 10- nolla origossa: termi jϖ- navat edelleen (1 + jϖ/1) ja (1 + jϖ/10)
H jϖ∋ (10jϖ
1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤∋ (+Ζ ∴------------------------------------------------------- A B≥
C D≥--------------= =
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
40
20
0
-20
-40
40
20
0
-20
-40
90
45
0
-45
-90
90
45
0
-45
-90
ϖ (rad / s)
ϖ (rad / s)
{H(jϖ({(dB)
{H(jϖ({(dB)
∉H(jϖ)
(deg)
∉H(jϖ)
(deg)
-20dB/dek+20dB/dek
-45o/dek
-90o/dek
-45o/dek
BC
A
A
B
C
D
D
Harjoitus 6
75
1c)
- vakiotermi 10- kaksinkertainen nolla origossa- navat kuten edellä
H jϖ∋ (10 jϖ∋ (2
1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤∋ (+Ζ ∴------------------------------------------------------- A B≥
C D≥--------------= =
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
10-2 10210110010-1 103
40
20
0
-20
-40
40
20
0
-20
-40
9045
0-45-90
ϖ (rad / s)
ϖ (rad / s)
{H(jϖ({(dB)
{H(jϖ({(dB)
∉H(jϖ)
(deg)
∉H(jϖ)
(deg)
+20dB/dek
+40dB/dek
BC
A
A
B
C
D
180
135
9045
0-45-90
180
135
D
-45o/dek
-90o/dek
-45o/dek
10-2 10210110010-1 103
Harjoitus 6
76
TEHTÄVÄ 2
a)
1: jyrkkyys -20dB/dek, kun ϖ ↑ 0 ⇑ 1/jϖ - termi2: jyrkkyyden muutos -20dB/dek, kun ϖ = 1 ⇑ termi 1/(1 + jϖ/1)3: jyrkkyyden muutos +20db/dek, kun ϖ = 10 ⇑ termi (1 + jϖ/10)4: vakiotermi K: arvioidaan funktiota taajuudella ϖ = 0.01, jossa sen arvo on 60dB:
⇑
⇑ ⇑
b)
1: jyrkkyys +20dB/dek, kun ϖ ↑ 0 ⇑ jϖ - termi2: jyrkkyys muuttuu -20dB/dek, kun ϖ = 1 ⇑ termi 1/(1 + jϖ/1)3: jyrkkyys muuttuu -20dB/dek, kun ϖ = 10 ⇑ termi 1/(1 + jϖ/10)4: ↑ vakiotermin täytyy olla 10
⇑
60
20
-20
-60
0.01 1 100
{ H { ∋dB)
ϖ (rad/s)
(a)
-20
0
20
0.01 1 100
{ H { ∋dB)
ϖ (rad/s)
(b)
H jϖ∋ ( K 1 jϖ 10≤+∋ (jϖ 1 jϖ 1≤+∋ (----------------------------------
ϖ 0,01=
K 1√0,01 1√------------------≡=
20 K∋ ( 20 1∋ ( 20 0,01∋ ( 20 1∋ (log–log–log+log= 60=
20 K∋ (log 20= K 10= H jϖ∋ (10 1 jϖ 10≤+∋ (jϖ 1 jϖ 1≤+∋ (------------------------------------=
H jϖ∋ (10jϖ
1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤+∋ (---------------------------------------------------=
Harjoitus 6
77
TEHTÄVÄ 3.
a)1: -90↓, kun ϖ < 0.1 ⇑ termi 1/jϖ2: jyrkkyyden muutos -45↓/dek taajuudella ϖ = 0.1 ⇑ termi 1/(1 + jϖ/1)3: jyrkkyyden muutos +45↓/dek taajuudella ϖ = 1 ⇑ termi (1 + jϖ/10)
⇑
b)
1: jyrkkyyden muutos -45↓/dek taajuudella ϖ = 0.1 ⇑ termi 1/(1 + jϖ/1)2: jyrkkyyden muutos -45↓/dek taajuudella ϖ = 1 ⇑ termi 1/(1 + jϖ/10)3: lopullinen arvo -270↓. Koska edelliset termit aiheuttavat yhteensä -180 vaihesiir-ron taajuuteen ϖ =100 mennessä, tarvitaan lisäksi termi 1/jϖ, joka aiheuttaa -90↓:een vakiovaiheen
⇑
0.01 1 100-135
-90
-45
0
∉H (deg)
ϖ (rad/s)
(a) -90
-180
-2700.01 1 100
∉H (deg)
ϖ (rad/s)
(b)
H jϖ∋ (K 1 jϖ 10≤+∋ (jϖ 1 jϖ 1≤+∋ (----------------------------------=
H jϖ∋ (K
jϖ 1 jϖ+∋ ( 1 jϖ 10≤+∋ (---------------------------------------------------------=
Harjoitus 6
78
TEHTÄVÄ 4, AMPLITUDIKUVAAJA
Jaetaan H(jϖ) tekijöihin:
- vakiotermi 10 (kuvaaja A)
- Siirtofunktion nollat ovat kompleksiset (laskemalla: -0.3333 ° j0.9428)
- kompleksisen nollaparin aiheuttava termi
⇑ ϖz < 0+ Q = 1,5 (kuvaaja B)
- reaalisen navan 0.1 aiheuttava termi (kuvaaja C)
- reaalisen navan 10 aiheuttava termi (kuvaaja D)
-Lopullinen amplitudivaste on piirretty harmaalla katkoviivalla.
H jϖ∋ (10 jϖ∋ (2 2jϖ
3--------- 1+ +
1 jϖ 0,1≤∋ (+Ζ ∴ 1 jϖ∋ ( 10≤∋ (+Ζ ∴-----------------------------------------------------------------------------=
1 2jϖ3
--------- jϖ∋ (2+ + 1 11 5+ 1√---------------- jϖ∋ ( 1
12----- jϖ∋ (2+ +=
1 jϖ 0,1≤∋ (+
1 jϖ 10≤∋ (+
{H(jϖ){ (dB)
10-3 10-2 10-1 100 101 102 103-60
-40
-20
0
20
40
60
Itseisarvo
ϖ (rad/s)
Α≅
C D
ϖz 1=
-20dB/dek
-20dB/dek
-20dB/dek+20dB/dek
+40dB/dek
Harjoitus 6
79
TEHTÄVÄ 4, VAIHEKUVAAJA (HAASTEELLINEN)
Boden vaihekuvaaja
- positiivinen vakiotermi 10: ei vaikuta vaiheeseen- kompleksisen nollaparin nurkkataajuus ϖz on 1.- kompleksisen nollaparin Q on 1.5, joten ϖ1 on 0.39 ja ϖ2 on 2.57 (kuvaaja B)
- reaalisen navan 0.1 aiheuttava termi (kuvaaja C)- reaalisen navan 10 aiheuttava termi (kuvaaja D)
-Lopullinen vaihevaste on piirretty harmaalla katkoviivalla.
H jϖ∋ (10 jϖ∋ (2 2jϖ
3--------- 1+ +
1 jϖ 0,1≤∋ (+Ζ ∴ 1 jϖ∋ ( 10≤∋ (+Ζ ∴-----------------------------------------------------------------------------
10 jϖ∋ (2 jϖ1 5+--------- 1+ +
1 jϖ 0,1≤∋ (+Ζ ∴ 1 jϖ∋ ( 10≤∋ (+Ζ ∴-----------------------------------------------------------------------------= =
1 jϖ 0,1≤∋ (+1 jϖ 10≤∋ (+
∉H(jϖ) (deg)
ϖ1 ϖ210-3 10-2 10-1 100 101 102 103-135
-90
-45
0
45
90
135
180
225
Vaihe
ϖ1 ϖzlog10 4Q∋ (
2--------------------------√= ϖ2 ϖz
2log10 4Q∋ (--------------------------√=
Α
C D-45 o/dek
-45o/dek
B: jyrkkyys 180o
log10 ϖ2∋ ( log10 ϖ1∋ (–--------------------------------------------------------- 220o dek≤≡
220o
/dek
175o
/dek
-45 o/dek
Harjoitus 6
80
Kuvaaja B ja sitä kautta käyrien summa on hankalahko piirtää ruutupaperilla.Kuvaajan taitekohten ϖ1 ja ϖ2 kaavoja ei tarvitse muistaa tentissä.
Jos tehtävänä olisikin Boden vaihekuvaajan suurpiirteinen luonnostelu (jollaiseenvoit törmätä vaikka suodattimet-kurssissa), olennaista on tämä: kompleksinen nolla-ja napapari kääntävät vaihetta °180º nurkkataajuuden molemmin puolin.
Harjoitus 7
81
7. HARJOITUS. KYSYMYKSET1. Syntesoi taulukon 1 avulla piirit, jotka toteuttavat alla olevat amplitudivasteet.Suunnittele piirit, jos mahdollista, siten että tarvittavat kondensaattorit ovat 100nF:nsuuruisia. Toteuta (a)- ja (b)-kohdissa lisäksi piirit, jotka antavat saman vasteen 10-kertaisella taajuudella kuviin verrattuna.
LASKUHARJOITUKSISA LASKETTAVAT:
2. Miten (d)-kohta toteutetaan yhdellä operaatiovahvistimella?
-20dB
102 103 104
0dB ϖ
6dB
1020dB ϖ
20dB
8000dB ϖ
1250
10000dB ϖ
400030002000
-6dB/oct
-12dB/oct6dB
12dB
+20dB/dec -20dB/dec
+6dB/oct -6dB/oct
(a)
(b)
(c)
(d)
2x102 4x102
Harjoitus 7
82
3. Tenttitehtävä 06.02.2004: Kuvan 1 piiristä: Laske Jännitteensiirtofunktio H(s) =Vout(s) / Vin(s) ja piirrä H(s):lle Boden amplitudi- ja vaihekuvaajat.
100 mH 10 mF
11 ςVin
Kuva 1
Vout
+-
1/z1
1
K/p1
1/K
x
Nollanapakartta T(s) = V2(s) / V1(s) piiri (yksiköt ovat ohmeja ja faradeja)
Ks z1+s p1+--------------–
toteuttaa mitkä ta-hansa reaaliset nol-lan ja navan
z1p1
xp1
+-
1 K/p1
1/K
K 1s p1+--------------–
xp1
xp2
+-
1
1/K
K/p2Ks–s p1+∋ ( s p2+∋ (
--------------------------------------1/p1
V2
V1
V2
V2
V1
V1
1
2
3
Taulukko 1
Harjoitus 7
83
HARJOITUS 7. RATKAISUT
SIIRTOFUNKTIOIDEN REALISOINTI KASKADIKYTKENNÖILLÄKun siirtofunktion toteuttaminen yksinkertaisella peruskytkennällä ei onnistu,voidaan näitä perusmoduleja kytkeä peräkkäin eli kaskadiin. Peräkkäisten asteidensiirtofunktiot voidaan kertoa keskenään, jos ne eivät kuormitta toisiaan. Tämä toteu-tuu jännitevahvistimessa, mikäli yksittäisen asteen tuloimpedanssi on ääretön tailähtöimpedanssi nolla. Tällöin peräkkäisten asteiden siirtofunktiot voidaan kertoakeskenään, koska edellisen asteen lähtöjännite kytkeytyy kokonaan seuraavanasteen tuloon. Tarkastellaan esimerkiksi kahden 1. asteen alipäästösuodattimen kas-kadikytkentää:
Viimeisessä piirissä käytetty operaatiovahvistinkytkentä voidaan analysoida harj. 4sääntöjen pohjalta. Koska tulonapojen välinen jännite on nolla, Vb = Va. Ääretöntuloimpedanssi ja nolla lähtöimpedanssi ovat ideaalisen operaatiovahvistimen omi-naisuuksia, joten operaatiovahvistin toteuttaa tässä kytkennässä ideaalisen puskurin.Yksittäisten operaatiovahvistinkytkentöjen liittäminen peräkkäin toteuttaa aina kas-kadikytkennän ehdot, koska niiden lähtöimpedanssi on nolla (esim. tehtäväpaperin
+-
1. asteen alipäästösuodatin (siirtofunktio laskettu harj 4)
R C
VoutVin---------- 1 RC≤
s 1 RC≤+-----------------------=
Vin Vout
2. asteen alipäästösuodatin (siirtofunktio laskettu harj 4)
VoutVin---------- 1 RC∋ (2≤
s2 s 3 RC≤∋ ( 1 RC∋ (2≤+ +--------------------------------------------------------------=Vin Vout
2. asteen alipäästösuodatin, jossa yksittäiset asteet on erotettu ideaalisellaoperaatiovahvistimella, jonka tuloimpedanssi on ääretön ja lähtöimpedanssi nolla
+-Vin
+-
R RC C
C
R
VoutR C
VoutVin---------- 1 RC≤
s 1 RC≤+-----------------------
∑ ⌡ 1 RC≤s 1 RC≤+-----------------------
∑ ⌡ 1 RC∋ (2≤
s2 s 2 RC≤∋ ( 1 RC∋ (2≤+ +--------------------------------------------------------------= =
VaVb
Harjoitus 7
84
kytkennät). Tällöin seuraavan asteen tuloimpedanssin ei tarvitse olla ääretön ideaal-isen kytkeytymisen toteutumiseksi.
Taajuus- ja impedanssiskaalaukset
Suodatinsuunnittelussa tarvitaan usein taajuus- ja impedanssiskaalausta, jotta saavu-tetaan halutut siirto-ominaisuudet. Skaalattujen piirielimien yhtälöt ovat seuraavat.
Skaalaukset voidaan myös tehdä samanaikaisesti, jolloin edelliset kaavat void-aan yhdistää:.
Impedanssiskaalaus
vastus (1)
kela (2)
kondensaattori (3)
Taajuusskaalaus
vastus (4)
kela (5)
kondensaattori (6)
Impedanssi- ja taajuusskaalaus
vastus (7)
kela (8)
kondensaattori (9)
Rnew kmRold=
Lnew kmLold=
Cnew1
km------Cold=
Rnew Rold=
Lnew1kf----Lold=
Cnew1kf----Cold=
Rnew kmRold=
Lnewkmkf------Lold=
Cnew1
kmkf----------Cold=
Harjoitus 7
85
1a) Jaetaan Boden amplitudikuvaaja osiin, joista piiri on helppo muodostaa:
Siirtofunktioksi saadaan:
Kuvasta nähdään, että taajuudella ϖ = 0, T(j0) = 0dB, joten K = 1. Jaetaan seuraa-vaksi siirtofunktio kahteen 1. asteen funktioon. Jako voidaan tehdä esimerkiksiseuraavasti:
T1:n ja T2:n realisoimiseen voidaan nyt käyttää taulukon 1 piiriä 1:
-20dB
102 103 104
0dB ϖ
-20dB
102 103 104
0dB ϖ
x x
jϖ
1 4
32
1234
rajataajuudet
ρ
T jϖ∋ ( K 1 jϖ 103≤+∋ ( 1 jϖ 104≤+∋ (1 jϖ 102≤+∋ ( 1 jϖ 105≤+∋ (
------------------------------------------------------------------ jϖ 103+∋ ( jϖ 104+∋ (jϖ 102+∋ ( jϖ 105+∋ (
----------------------------------------------------= =
T s∋ ( T1 s∋ (T2 s∋ ( s 103+s 102+----------------- s 104+
s 105+-----------------≥= =
+-
1/z1 = 1/103 = 10-3
1
K/p1 = 1/102 = 10-2
1/K = 1/1 = 1
V2
V1
+-
1/z1 = 1/104 = 10-4
1
K/p1 = 1/105 = 10-5
1/K = 1/1 = 1
V2
V1
T1 T2
Harjoitus 7
86
⇑ saadaan seuraava piiri
Taajuusskaalausta ei nyt tarvitse suorittaa, koska komponenttiarvot on valittusuoraan haluttujen rajataajuuksien perusteella. Suoritetaan impedanssiskaalaussiten, että kaikki kondensaattorit ovat arvoltaan 100nF. Impedanssiskaalaus konden-saattorille saadaan kaavasta (3):
Skaalaamalla kaavoja (1)-(3) käyttäen saadaan piiri
Tehdään seuraavaksi taajuusskaalaus siten, että rajataajuudet nousevat 10-ker-taisiksi. Käyttämällä kaavaa (9) tulee impedanssiskaalauskertoimeksi
⇑ saadaan piiri:
+-
+-
1F 1F1F1F
10-3 10-510-410-2Vin Vout
kmColdCnew------------ 1F
100nF---------------- 107= = =
+-
+-
100nF 100nF100nF100nF
10k 0.1k1k100kVin Vout
kmCold
kfCnew---------------- 1F
10 100nF√-------------------------- 106= = =
+-
+-
100nF 100nF100nF100nF
1k 0.01k0.1k10k
Vin Vout
Harjoitus 7
87
1b)Rajataajuudet voidaan aluksi päätellä jyrkkyyksien perusteella (jyrkkyys 6dB/octtarkoittaa, että amplitudin arvo muuttuu 6dB taajuuden kaksinkertaistuessa). Tämäon sama jyrkkyys, kuin 20dB/dec) Jaetaan aluksi amplitudikuvaaja osiin, kutenedellä
Saadaan siirtofunktio
Koska T(0) = 0dB, K = 1. ⇑
käytetään realisoinnissa piiriä 1.
6dB
1020dB ϖ
+6dB/oct -6dB/oct
2x102 4x102
6dB
1020dB ϖ
+6dB/oct
-12dB/oct
2x102 4x102
+6dB/oct
xx
kaksinkertainen napa
1022x1024x102
T jϖ∋ ( K 1 jϖ 100≤+∋ ( 1 jϖ 400≤+∋ (1 jϖ 200≤+∋ ( 1 jϖ 200≤+∋ (
-------------------------------------------------------------------=
T s∋ ( s 100+∋ (s 200+∋ (
---------------------- s 400+∋ (s 200+∋ (
----------------------≥ T1T2==
Harjoitus 7
88
⇑ saadaan piiri
Tehdään impedanssiskaalaus siten, että kaikki kond. ovat 100nF. ⇑ km = 107 edel-lisen kohdan perusteella. ⇑ piiri
Tehdään seuraavaksi taajuusskaalaus siten, että rajatataajuudet kymmenkertaistuvat.Kaavasta (9)
⇑ vastukset pienenevät kymmenesosaan entisestä.
+-
1/z1 = 1/100 = 0.01
1
K/p1 = 1/200 = 0.005
1/K = 1/1 = 1
V2V1
+-
1/z1 = 1/400 = 0.0025
1
K/p1 = 1/200 = 0.005
1/K = 1/1 = 1
V2V1
T1 T2
+-
+-
1F 1F1F1F
10-2 2.5x10-35x10-3Vin Vout5x10-3
+-
+-
100nF 100nF100nF100nF
100k 25k50kVin Vout
50k
kmCold
kfCnew---------------- 1F
10 100nF√-------------------------- 106= = =
Harjoitus 7
89
1c)
Lasketaan aluksi piirin siirtofunktio. 20dB/dec nouseva kuvaaja B on termin jϖ/ϖ1aiheuttama, missä ϖ1 on 0dB:n ylitystaajuus 800rad/s (vrt. harj. 6)
Koska itseisarvo on keskitaajuudella 20dB ⇑ K = 10. Ktot = 12500Taulukosta 1 nähdään, että voidaan käyttää suoraan piiriä 3
20dB
8000dB ϖ
1250
+20dB/dec -20dB/dec
20dB
8000dB ϖ
1250
+20dB/dec
-20dB/dec
x x8001250
A
B C D
-20dB/dec
T jϖ∋ ( K jϖ 800≤1 jϖ 800≤+∋ ( 1 jϖ 1250≤+∋ (
---------------------------------------------------------------------- K1250 jϖ∋ (jϖ 800+∋ ( jϖ 1250+∋ (
--------------------------------------------------------= =
+-
1
1/K = 1/12500 = 80x10-6
K/p2 = 12500/1250= 101/p1 = 1/800
V2V1
= 1.25x10-3
Harjoitus 7
90
Skaalataan kondensaattorit siten, että tulohaarassa oleva kond. on 100nF
saadaan piiri:
Jos K lasketaan todellisten arvojen perusteella (arvioidaan funktiota taajuudella1000rad/s), saadaan sen arvoksi noin 16.5. Syynä on se, että Boden-amplitudikuvaa-jat ovat approksimaatioita, jotka antavat 3dB:n virheen napa- ja nollataajuudella(yksinkertaisen navan tai nollan tapauksessa). Alla olevassa kuvassa on sekä todel-liset arvot, että approksimaatiot. Jos suunnitellaan tämän esimerkin mukainen kai-stanpäästösuodatin pelkästään Boden-approksimaatioiden perusteella, virhe tuleesitä suuremmaksi, mitä pienempi kaistanleveys suodattimelle valitaan.
kmColdCnew------------ 1,25 10 3–≥
100 10 9–≥--------------------------- 12500= = =
+-
12.5k
6nF
125k
V2V1
100nF
102
103
104
-10
-5
0
ϖ (rad/s)
H(j ϖ
)
103800 1250
-3dB
jϖ 800≤1 jϖ 800≤+----------------------------
11 jϖ 1250≤+-------------------------------
total
Harjoitus 7
91
1d)
Siirtofunktio:
(yksi jakomahdollisuus)
käytetään piiriä 2. Yhdistämällä piirit saadaan haluttu siirtofunktio.
10000dB ϖ
400030002000
6dB
12dB
10000dB ϖ
400030002000
-6dB/oct
-12dB/oct6dB
12dB
A
B C
20log(K) = 12⇑ K ≡ 3
T jϖ∋ (4
1 jϖ 2000≤+∋ ( 1 jϖ 3000≤+∋ (------------------------------------------------------------------------- 24 106≥
jϖ 2000+∋ ( jϖ 3000+∋ (-----------------------------------------------------------= =
8000jϖ 2000+∋ (
----------------------------- 3000jϖ 3000+∋ (
-----------------------------= T1T2=
+-
1 K/p1 = 4
1/K = 1.25x10-4
V1V2
T1 T2
+-
1 K/p1 = 1
1/K = 3.33x10-4
V1V2
Harjoitus 7
92
Impedanssiskaalataan kumpikin aste erikseen siten, että kondensaattorit ovat 100nF
+-
1.25k 5kV1
T1 T2
+-
3,33k 3,33k
V2
100n 100n
km3 33+ 10 4–√
100 10 9–√---------------------------- 3 33+ 103√= =km
1 25+ 10 4–√
100 10 9–√---------------------------- 1 25+ 103√= =
1
s 100 10 9–√ √------------------------------- 5 103√ √
1
s 100 10 9–√ √------------------------------- 5 103√+------------------------------------------------------ 5 103√
1 5 103 s 100 10 9–√ √ √ √+-------------------------------------------------------------- 107
s 2000+--------------------= =
1
s 100 10 9–√ √------------------------------- 3 33+ 103√ √
1
s 100 10 9–√ √------------------------------- 3 33+ 103√+--------------------------------------------------------------- 3 33+ 103√
1 3 33+ 103 s 100 10 9–√ √ √ √+----------------------------------------------------------------------- 107
s 3000+--------------------= =
+-V1 V2
Z2
Z1
V2(s)
V1(s)
Z2(s)
Z1(s)
T1:
T2:
107
s 2000+--------------------–
1 25+ 103√------------------------- 8000–
s 2000+--------------------=
107
s 3000+--------------------–
3 33+ 103√------------------------- 3000–
s 3000+--------------------=
Lopputuloksen voi tarkistaa laskemalla siirtofunktiot
Lasketaan ensin Z2(s) kummallekin vahvistinasteelle:
T1:
T2:
Ja lopullisiksi siirtofunktioiksi saadaan:
Harjoitus 8
93
8. HARJOITUS. KYSYMYKSET1. Jännitevahvistimen DC-vahvistus on 200, ja sillä on kolme negatiivista napaa taa-juuksilla 1 MHz, 2 MHz ja 4 MHz. Vahvistinta käytetään negatiivisessa takaisinkyt-kennässä, jonka kerroin on ( = takaisinkytkentäkerroin).a) Totea takaisinkytketyn vahvistimen stabiilisuus Nyquistin stabiilisuuskriteerionavulla.b) Määritä Boden vahvistus- ja vaihekuvaajien avulla, millä :n arvolla vahvistinmuuttuu epästabiiliksi ja millä arvolla vaihevara on .c) Piirrä takaisinkytketyn vahvistimen juuren ura, kun perusvahvistimella on kol-minkertainen reaalinen napa pisteessä ( ). Millä silmukkavahvistuksenDC-vahvistuksen arvolla piiri tulee epästabiiliksi?
LASKUHARJOITUKSESSA LASKETTAVAT:2. Jännitevahvistimen a(s) DC-vahvistus on XdB, sillä on kolme negatiivista napaaja sen taajuusvasteet (itseisarvo ja vaihe) ovat kuvassa 1. Vahvistinta käytetäännegatiivisessa takaisinkytkennässä, jossa on vakiokerroin f. Silmukkavahvistus
. Vastaa seuraaviin kysymyksiin:a) Kun f on 1, takaisinkytkentä on epästabiili ja vahvistusvara on -20dB (vahvistustaon siis liikaa). Määritä kuvan 1 avulla X:n arvo (tästä saadaan myös dB-asteikko).b) Oletetaan, että f on 0,0147 (fdB on -36,7dB). Määritä kuvan 1 ja a)-kohdan avullavaihevara ja vahvistusvara (likimääräinen arvio).
3. T(s) on takaisinkytketyn verkon silmukkavahvistus.
Piirrä T(s):n Boden kuvaajat. Päättele kuvaajistavaihevara ja vahvistusvara.
f 0,05= f
f60↓
p1 p1 0;
T s∋ ( a s∋ ( f√=
104
105
106
107
-180
0
104 105 1076,5*105
dB∉
deg
rad / s
rad / s
X
10dB
-45
-90-135
6dB
tenttikysymys 27.1.2006
Kuva 1.
T s∋ (10 2–
s 1 s 102–
≤+ ∑ ⌡ 1 s 10
1–≤+
∑ ⌡----------------------------------------------------------------------=
Harjoitus 8
94
TAKAISINKYTKENTÄ JA STABIILISUUSAlkuun esimerkki takaisinkytkennästä PT1 luentomonisteesta:
Kuvan 2 kytkennässä RE:n aiheuttaman takaisinkytkennän vaikutus puretaan, jottaigm saadaan ratkaistua.
Kuva 2.Takaisinkytketyssä säädössä prosessin alkuun (tässä ub) ohjataan tieto säädetyn suu-reen (tässä igm) arvosta. Säätötekniikassa systeemi kuvataan signaalivuokaaviona,jossa signaalin etenemissuunta esitetään nuolena. Laatikot (tai kolmiot) ovat vainsignaalin kertoimia. Kuvassa 3 on kuvan 2 piirin takaisinkytkentä esitettynä vuo-kaavion avulla (ks. igm:n kaava).
Kuva 3.
igm = gm·(ub-ue)
R1
R2
ub
ue
RE R3 R4
igm gm ub ue–∋ (√=
ue RE igm√=
igmgm ub√
1 gm RE√+-----------------------------=
uoigm
gm
RE
igmub +
-
e
ueue igm RE√=
e ub ue– ub igm RE√–= =
igm gm e√ gm ub igm RE√–∋ (√ gmub igmgmRE–= = =
igm 1 gmRE+∋ ( gmub= igmgmub
1 gmRE+------------------------=∨ ∨
takaisinkytkentä
Harjoitus 8
95
Signaalivuokaavio ei kuvaa piiriä, se on abstraktio signaalin etenemisestä. Alla onvielä lopullinen vuokaavio, jolla kuvataan kuvan 3 piirin lähtöjännitteenmuodostumista tulojännitteen uin avulla.
Äskeinen esimerkki ei liity stabiilisuuteen, siinä ei ole mitään taajuusriippuvuutta.Stabiilisuuden analysoinnissa keskitymme negatiivisesti takaisinkytkyttyihin systee-meihin. Lähdetään liikkeelle takaisinkytkennästä, jossa G(s) on esim. vahvistimenjännitteensiirtofunktio ja takaisinkytkentähaaran siirtofunktio on F(s). Takaisinkyt-kentä on yleensä passiivinen ja F(s) voi olla pelkkä numeerinen kerroin.
Kuva 4.
Negatiivisesti takaisinkytketyn vahvistimen vahvistus H(s):
, missä T(s) on nk. silmukkavahvistus.
Josta saadaan johdettua negatiiviselle takaisinkytkennälle:
Saadut itseisarvon ja vaiheen tulokset auttavat muistamaan, mihin (kohta määritel-tävät) vahvistusvara ja vaihevara perustuvat. Stabiilisuus silmukkavahvistuksenavulla todetaan joko Nyquistin stabiilisuusehdolla tai suoraviivaisemmin em. karak-teristisella yhtälöllä. Stabiilisuuden toteamisesta sekä vaihe- ja vahvistusvarastalisää seuraavilla sivuilla.
gm
RE
ub +
-ue
-(R3||R4)uo
R2R1 R2+--------------------
uin igm
G(s(
F(s)
-
+Ρ
vo(s)vi(s)
H s∋ (vo s∋ (vi s∋ (------------- G s∋ (
1 G s∋ (F s∋ (+-------------------------------- a s∋ (
1 T s∋ (+--------------------= = =
1 T s∋ (+ 0=
T s∋ ( 1–=
∨ T s∋ ( 1= + T s∋ (∋ (∉ 180° ↓=
karakteristinen yhtälö, jossa T(s) = G(s)F(s)
Harjoitus 8
96
Nyquistin Stabiilisuusehto. Piirretään silmukkavahvistuksen T(jϖ) = G(jϖ)F(jϖ) osoi-tin Re/Im akselille ϖ:n funktiona. Silmukkavahvistuksen osoitinkuvaajasta seur-ataan, monestiko se kiertää pisteen (-1, j0). Jos taajuuden muuttuessa -⁄:stä+j⁄:ään silmukkavahvistuksen G(s)F(s) kuvaaja kiertää pisteen (-1,0)myötäpäivään, funktiolla 1+G(s)F(s) on oikean puolitason nollia. Niinpa takai-sinkytketyllä systeemillä on oikean puolitason napoja. Näin saadaan Nyqvistinstabiilisuusehto, joka on voimassa, jos (1+G(s)F(s)):llä itsellään ei ole napoja oik-eassa puolitasossa (mikä on yleensä voimassa) :
Jos taajuuden muuttuessa -⁄:stä +⁄:ään silmukkavahvistusfunktion G(s)F(s) osoit-inkuvaaja kiertää kerran tai useammin pisteen (-1,0) myötäpäivään, verkko on
takaisinkytkettynä epästabiili.
Karakteristinen yhtälö. Nyquistin stabiilisuusehtoa löysempi (ja suoraviivaisempi)stabiilisuuden indikaattori pohjaa edellisen sivun karakteristiseen yhtälöön:
Takaisinkytkentä on stabiili, jos silmukkavahvistuksen T(s) itseisarvo on ykköstäpienempi taajuudella, jolla = ±180↓− Jos T(s) on ykköstä suurempi tällä vai-
hekulmalla, systeemi on takaisinkytkettynä epästabiili.
Tuo suoraviivaisempi indikaattori toimii varmuudella vain minimivaiheisille systee-meille (nollat ja navat sijaitsevat aina vasemmassa puolitasossa).
Takaisinkytkennän stabiilisuuden astetta kuvataan seuraavilla määritelmillä(perustuvat tuohon löysempään ehtoon):
Vaihevara: Kertoo kuinka kaukana silmukkavahvistuksen GF vaihesiirto on -180asteesta sillä taajuudella, jolla silmukan vahvistus |G(jϖ)F(jϖ)| on pudonnut arvoon1 (0dB). Pieni vaihevara aiheuttaa sen, että takaisinkytkettynä piirin napojen Q-lukuon suuri ja amplitudivaste piikittää. Vahvistimilla tarvitaan yleensä 50-70 astettavaihevaraa, jotta takaisinkytkettynä amplitudivaste ei piikittäisi liikaa. Pienivaihevara näkyy myös askelvasteessa reippaana soimisena, esim. yleisesti mainittu45 asteen vaihevara aiheuttaa kymmenien prosenttien ylityksen. Sileään aset-tumiseen päästään 60..70 asteen vaihevaralla, ja tähän on useimmiten pyrittävä.
Vahvistusvara: Kertoo kuinka paljon silmukkavahvistus voi kasvaa ennen kuinse saavuttaa arvon 1 (0 dB) sillä taajuudella, jolla koko silmukan vaihe on muut-tunut täydet -180 astetta. Vahvistusvara on eräänlainen turvamarginaali mm.lämpötilan vaihtelujen varalle, ja sitä halutaan yleensä > 10 dB.
T s∋ (∉
Harjoitus 8
97
Tässä vielä luonnostelmia silmukkavahvistuksen T taajuusvasteista stabiilissa jaepästabiilissa tilanteessa. Miinusmerkkinen vahvistus- ja vaihevara tarkoittavatepästabiilia tilannetta..
Tehtävässä 1a lasketaan silmukkavahvistuksen itseisarvo sillä taajuudella, jollavaihe on kääntynyt -180 asteetta. Jos itseisarvo on pienempi kun 1, systeemi tode-taan stabiiliksi. 1a lopussa piirretty myös Nyquistin diagrammi.
Tehtävässä 1b todetaan Boden kuvaajilla, kuinka millä takaisinkytkentakertoimenarvolla ollaan stabiilisuuden rajoilla ja millä kertoimella saadaan tietty vaihevara.
1c:ssä tutustutaan juuren uran piirtoon. Juuren uraan liittyvä analysointi jätetääntässä aika pinnalliseksi, se on melko laaja aihe. Toisaalta juuren uran piirto (ja tulk-inta) MATLABin avulla on melko suoraviivaista.
-180o
(dB)
vahvistusvara>0dB
vaihevara>0o
|T(jϖ)|
T(jϖ)
0 dB
(deg)
-180o
(dB)
vahvistusvara<0dB
vaihevara<0o
|T(jϖ)|
T(jϖ)
0 dB
(deg)
Stabiili tilanne:
Epästabiili tilanne:
Harjoitus 8
98
HARJOITUS 8. RATKAISUT
TEHTÄVÄ 1.Tehtävän vahvistimella on kolme napaa kulmataajuuksilla:
, ,
Näillä taajuuksilla vahvistimen itseisarvokuvaaja taittuu -20dB/dek = -6dB/oct ala-späin.
Nämä taajuudet vastaavat siirtofunktion nimittäjässä olevia (1 ° s/ϖp) - muotoisiatermejä. Koska perusvahvistimen a(s) täytyy olla stabiili, sen navat sijaitsevat kom-pleksitason vasemmassa puoliskossa, joten nimittäjän termit ovat muotoa (1 ∗ s/ϖp).
ϖ1 2ο 1MHz√ 2ο 106rad s≤√= = ϖ2 4ο 106rad s≤√= ϖ3 8ο 106rad s≤√=
x x xϖ3 ϖ2 ϖ1
jϖ
ρ
Perusvahvistimen navats - tasossa.
DC - vahvistus = 200
G s∋ (200
1 sϖ1------+
∑ ⌡ 1 sϖ2------+
∑ ⌡ 1 sϖ3------+
∑ ⌡-----------------------------------------------------------------
200ϖ1ϖ2ϖ3s ϖ1+∋ ( s ϖ2+∋ ( s ϖ3+∋ (
-------------------------------------------------------------= =
T s∋ ( G s∋ (f G s∋ ( 0,05√10
1 sϖ1------+
∑ ⌡ 1 sϖ2------+
∑ ⌡ 1 sϖ3------+
∑ ⌡-----------------------------------------------------------------= = =
⇑
Takaisinkytkennässä F(s) on vain kerroin f = 0.05, jotensilmukkavahvistus on:
Harjoitus 8
99
1a)
T jϖ∋ ( T jϖ∋ ( T jϖ∋ ()√10
1 ϖϖ1------
∑ ⌡ 2+ 1 ϖ
ϖ2------
∑ ⌡ 2+ 1 ϖ
ϖ3------
∑ ⌡ 2+
---------------------------------------------------------------------------------------------= = (1)
T jϖ∋ (∉ arcϖ
ϖ2
c------ b–
∑ ⌡
1 aϖ2–-------------------------tan=
, missä a 1ϖ1ϖ2------------- 1
ϖ1ϖ3------------- 1
ϖ2ϖ3-------------+ += b 1
ϖ1------ 1
ϖ2------ 1
ϖ3------+ += c ϖ1ϖ2ϖ3=
(2)
Lasketaan taajuus, jolla T jϖ∋ (∉ 180↓=
ϖϖ2
c------ b–
∑ ⌡ 0= ⇑ ϖ 0= ϖ2
c------ b– 0=∧
⇑ ϖ bc 23,5 106rad s≤√≡ 3,74MHz= =
Lasketaan T jϖ∋ ( tällä taajudella:
(1):n perusteella T 23,5 106rad s≤√∋ ( 0,8897 1;=
⇑ Vahvistin on stabiili
Real-2 2 4 6 8 10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8Imag
T(s):n Nyquist-diagrammi,jossa ϖ muuttuu välillä-200 √106 rad/s - 200 √106 rad/s.
kuvaaja kiertää pisteen (-1,0) oikealta eli vahvistin on stabiili
-1
Tässä vielä
0,88
97
Harjoitus 8
100
1b) Piirretään Boden itseisarvo- ja vaihekuvaaja:
avoimen silmukan vahvistus - takaisinkytketyn vahvistimen vahvistus = silmukka-vahvistus
Stabiilisuuskriteerion perusteella vahvistin on epästabiili, jos T(s):n itseisarvo on >0dB vaihesiirrolla -180↓− Jos f on 1, |G(s)F(s)| on +25 dB sillä taajuudella, jolla on -180 asteen vaiheensiirto. Maksimi f:n arvo stabiilille takaisinkytkennälle on siten -25 dB, jotta silmukkavahvistuksen itseisarvo e.m. taajuudella olisi 0dB. -25dB onlineaariasteikolla noin 0.056.⇑Jälleen, jos f on 1, huomataan että 60o:n vaihevaran taajuudella vahvistusta on liikaan. 43 dB. f on nyt siis oltava -43 dB eli noin 0.007.
⇑
10ϖ1 10ϖ2 10ϖ31 10ϖ3≤1 10ϖ2≤1 10ϖ1≤
270↓–
180↓–
90↓–
vaihevara 60↓
≡ 3dB
x = 21dB
-6 dB/oct
-12 dB/oct
-18 dB/oct
G(0) ≡ 46 dB
25 dB
ϖ0 ϖ1 ϖ2
G s∋ (
G s∋ (∉
fmax 10 25 20≤– 0,056= =
f60↓ 10 43 20≤– 0,007≡=
Harjoitus 8
101
c) Takaisinkytkettynä vahvistimen vahvistukseksi tulee:
,
missä on perusvahvistimen DC-vahvistus ja on silmukkavahvistimen DC-vahvistus: = =G0f (f on kerroin).
Kun asetetaan nimittäjän nollaksi saadaan nimittajan juuresta se reaaliakselinpiste, josta juuren uran navat erkanevat kohti äärettomyyksissä olevaa nollaa:
(7)
Kulmat εk, joissa navat erkanevat pisteestä s = -ϖp1 saadaan kaavasta
, (8)
missä n on äärellisten nollien lukumäärä (n=0) ja m on äärellisten napojen lukumärä(m=3).
Napojen s1, s2 ja s3 avulla voidaan piirtää juuriura DC-silmukkavahvistuksen T0 eriarvoilla.
H s∋ (G s∋ (
1 G s∋ (F s∋ (+--------------------------------
G0
1 sϖp1-----------+
∑ ⌡ 3-----------------------------
1G0f
1 sϖp1-----------+
∑ ⌡ 3-----------------------------+
--------------------------------------G0
1 sϖp1-----------+
∑ ⌡ 3T0+
-----------------------------------------= = =
G0 T0T0
T0
s p1 ϖp1–= =
εk180↓ 2k 1–∋ (
n m–--------------------------------= ,k={0,1,...,n-m-1)
εk =
180↓3
----------- 60↓=
540↓3
----------- 180↓=
900↓3
----------- 300↓ 60↓–= ={ k=0
k=1
k=2
1 sϖp1-----------+
∑ ⌡ 3T0+ 0= 1 s
ϖp1-----------+
∑ ⌡ 3T0–=∨ ⇑ A(s).n navat: s1 ϖp1 1 T03+∋ (–=
s2 ϖp1 1 T03∋ (ej60↓–∋ (–=
s3 ϖp1 1 T03∋ (e j– 60↓–∋ (–=
Harjoitus 8
102
Kun T0 on nolla, saadaan kaavan (7) leikkauspiste. Juuren urat erkanevat 60, 180 ja-60 asteen kulmissa (8).
T0 :n kasvaessa yksi navoista liikkuu negatiivisen reaaliakselin suuntaan (180o) jakaksi muuta etääntyy reaaliakselista kulmassa 60↓ kohti oikeaa puolitasoa.
Piiri tulee epästabiiliksi T0 :n arvolla, jolla navat s2 ja s3 siirtyvät oikeaan puoli-tasoon. Ratkaistaan tämä s2:sta:
∨ ∨ ∨ T0 = 8.
Voidaan päätellä, että mikä tahansa kolminapainen vahvistin, jonka navat ovatidenttiset, tulee epästabiiliksi T0 :n arvoilla > 8.
Epästabiilisuudesta aiheutuvan värähtelyn taajuus saadaan kuvasta etäisyytenä ϖ0:
Kun T0 on tasan 8, systeemillä on vaimentamaton napapari. Tämä näkyy resonans-sipiikkinä Boden amplitudikuvaajassa.
5/↓
p1
jϖ
ρ
ϖ/
p1 ϖp1–=
Re s2∋ ( 0= 1 Re T03∋ (ej60↓Ζ ∴– 0= T03∋ ( 60↓cos 1=
ϖ0 p1 60↓tan 1,732 p1= =
Harjoitus 9
103
9. HARJOITUS. KYSYMYKSET1.Eräästä 2-porttipiiristä tehtiin seuraavanlaisia steady-state -mittauksia (jännitteetja virrat jatkuvia ja sinimuotoisia):• Kun lähtöportti on on auki (avoin piiri) ja tulojännite on 150cos(4000t) V, niin
lähtöjännite on 100cos(4000t + 15o) V ja tuloportin virta on 25cos(4000t - 45o) A.• Kun lähtöportti on oikosuljettu ja tulojännite on 30cos(4000t) V, niin tuloportin
virta on 1,5cos(4000t+30o) A ja lähtöportin virta on 0,25cos(4000t+150o) A.
Laske kyseiselle piirille t-parametrit.
2. a) Laske kuvan 1a) piirille y- ja z-parametrit.
b) Laske kuvan 1b) piirille y- ja z-parametrit jakamalla aluksi piiri kahteenrinnankytkettyyn osaan, ja laskemalla niiden y-parametrit erikseen.
c) Laske kuvan 1c) piirille z-parametrit jakamalla piiri aluksi kahteensarjaankytkettyyn osaan, ja laskemalla niiden z-parametrit erikseen.
d) Laske kuvan 1d) piirille g-parametrit laskemalla aluksi verkon t-parametrit, jamuuntamalla ne lopuksi g-parametreiksi tehtäväpaperin taulukon avulla.
e) Laske kuvan 1e) piirille y-parametrit jakamalla verkko kahteenrinnankytkettyyn osaan.
1ς1ς
2F
2F
1ς
2ς1ς1ς
+
- 2v03ς
1ς
1F
1ς
1F 1ςn:1
1ς 1ς1F
(b)
(c)
(d) (e)
Kuva 1
1H
1ς 1F(a)
Harjoitus 9
104
3. Laske kuvan 2a) piirille z-parametrit ja
4. Laske kuvan 2b) piirille y-parametrit.
Laskuharjoituksissa laskettavat:
5. Laske kuvan 1d piirille y- ja z-parametrit. (y-parametrit saadaan suoraan)
6. Laske kuvan 3 2-portille z- parametrit. (Kesätenttikysymys 2004).
1ς +-1ς
2ς
3v1
v1
+
-
a) b)
2H
1F 3ςV1 V2
+
-
+
-
I2I1
2V1
Kuva 2
V1 V2
2I2 4ς 6ς
1
+ -
+ +
- -
I1 I2
Kuva 3
2 F
12 F1
4 F
Z
4 6s---+ 2 2
s---+
2s--- 6 4
s---+
=VASTAUS:
Harjoitus 9
105
HARJOITUS 9. RATKAISUT2-portin määritelmä.
Tulosuureista V1, I1, V2 ja I2 vain kaksi kerrallaan voi olla riippumattomia. Tämätarkoittaa, että kun kaksi suuretta tunnetaan, loput kaksi voidaan laskea. Esi-merkiksi, jos laatikon sisällä olevasta piiristä tunnetaan tulo- ja lähtöportin jännit-teet, virrat voidaan ratkaista.
Tuntemattomien ja tunnettujen suureiden kombinaatioita voi olla 6 kappaletta,joten on 6 tapaa, jolla suureiden välinen yhteys voidaan esittää:
Huomaa, että z-, y-, g-, h-, t-, ja b-parametrien yksiköt poikkeavat toisistaan. Para-metrit voivat olla impedansseja, admittansseja tai dimensioimattomia. Esim. g12:nyksikkö ei voi olla ς tai S.
V1 V2
+
-
+
-
I1 I2ja jännitteet sekä niiden suunnat.
I1 I2
Kuvassa näkyvät 2-portin määrittelyssä käytettävät virrat
tulo-portti
lähtö-portti
Valkoista ympyrää kutsutaanterminaaliksi, ja kummankinportin jännite on jännite terminaalienvälillä. Huomaa, että ylempään termi-naaliin menevä virta on sama kuinalemmasta terminaalista tuleva virta.
V1 z11I1 z12I2+=
V2 z21I1 z22I2+=
I1 y11V1 y12V2+=
I2 y21V1 y22V2+=
I1 g11V1 g12I2+=
V2 g21V1 g22I2+=
V1 h11I1 h12V2+=
I2 h21I1 h22V2+=
V1 t11V2 t12I2–=
I1 t21V2 t22I2–=
V2 b11V1 b12I1–=
I2 b21V1 b22I1–=
Harjoitus 9
106
2-porttiparametrien laskeminen testiehtojen avulla
Z-PARAMETRIT:
Y-PARAMETRIT
Z- JA Y-MATRIISIT OVAT TOISTENSA KÄÄNTEISMATRIISEJA.
V1
V2
z11 z12
z21 z22
I1
I2
=
I1 I2z11(ς) z22(ς)
z12I2 z21I1
V1 V2
+
-
+
-
V1 V2
+
-
+
-
V1 V2
+
-
+
-
z11V1I1------
I2 0=
= I1z21V2I1------
I2 0=
=
z12V1I2------
I1 0=
= z22V2I2------
I1 0=
= I2
I1
I2
y11 y12
y21 y22
V1
V2
=
I1 I2
V1 V2
y11(S) y22(S)
y12V2 y21V1
V2
V1+-
I1 I2
+-
I1 I2
y11I1V1------
V2 0=
= y21I2V1------
V2 0=
=
y12I1V2------
V1 0=
= y22I2V2------
V1 0=
=
Harjoitus 9
107
G-PARAMETRIT
H-PARAMETRIT
G- ja H-matriisit ovat toistensa käänteismatriiseja.
I1
V2
g11 g12
g21 g22
V1
I2
=
g22(ς)
g12V2g21V2g11 (S)
V1 V2
I1 I2
I1 V2
+
-
g11I1V1------
I2 0=
= g21V2V1------
I2 0=
=V1
+-
I1 V2
+
-
I2g12
I1I2----
V1 0=
= g22V2I2------
V1 0=
=
V1
I2
h11 h12
h21 h22
I1
V2
=
h12V1h21V2
V1 V2
h11(ς)
h22 (S)
I1 I2
V1
+
-I1
I2
V1
+
-
I2 +- V2
h11V1I1------
V2 0=
= h21I2I1----
V2 0=
=
h12V1V2------
I1 0=
= h22I2V2------
I1 0=
=
Harjoitus 9
108
T- ELI ABCD-PARAMETRIT
(Kurssikirjassa t-parametreja kutsutaan a-parametreiksi)
b-parametrit jätetään esittelemättä, mutta mainittakoon, että T- ja B-matriisitkin ovattoistensa käänteismatriiseja.
V1
I1
A BC D
V2
I2–t11 t12
t21 t22
V2
I2–= =
V1 V2
t11V2
-t12I2 t21/t22 (S)-I1/t22
I1 I2
V1+- V2
+
-
V1+-
-I2
V2
+
-I1
I1 -I2
AV1V2------
I2 0=
=
BV1I2------–
V2 0=
=
CI1V2------
I2 0=
=
DI1I2----–
V2 0=
=
Harjoitus 9
109
Joidenkin verkkojen parametriesityksiä (luentomateriaalissa tarkemmin).
Taulukko 5: Sarja- ja rinnakkaiskomponenttien parametriesitykset
z y g h t b
a)ei mahd.
b)ei mahd.
Taulukko 6: Muuntajan ja gyraattorin parametriesitykset
z y g h t b
c) ei mahd. ei mahd.
d) ei mahd. ei mahd.
Z
Y
n:1
1:r
a)
b)
c)
d)sarjakomponentti
rinnakkaiskomponentti
muuntaja
gyraattori
Y Y–Y– Y
Z 11– 0
0 1–1 Z
1 Z0 1
Y Y–Y– Y
Z ZZ Z
0 11– Y
Y 1–1 0
1 0Y 1
1 0Y 1
0 nn– 0
0 1 n≤–1 n≤ 0
n 00 1 n≤
1 n≤ 00 n
0 1– r≤1 r≤ 0
0 rr– 0
0 1 r≤r 0
0 1 r≤r 0
Harjoitus 9
110
T- ja Ο-kytkentä, jossa ei ole jännite- tai virtalähteitä:
PARAMETRIESITYSTEN YHDISTÄMINEN:
Z2Z1
Z3
Y1 Y2
Y3
z-parametrit saadaan kaavalla:
Z Z1 Z3+ Z3
Z3 Z2 Z3+=
Y-parametrit saadaan kaavalla:
Y Y1 Y3+ Y– 3
Y– 3 Y2 Y3+=
T-kytkentä
Ο-kytkentä
Jos piirissä on lähteitä, käytä sivun 106 testikytkentöjä
Z1
Z2
Y1
Y2
G1
G2
T1 T1
Z = Z1 + Z2
Y = Y1 + Y2 T = T1 T2
U1
U2
U=U1+U2
I1
I2
I =I1+I2
Sarjaankytkettyjen 2-porttien z-parametri-matriisit voidaan laskea yhteen.
Rinnankytkettyjen 2-porttien y-parametri-matriisit voidaan laskea yhteen.
Kuvan mukaisesti kytkettyjen 2-porttieng-parametrimatriisit voidaan laskea yhteen.
Kaskadiin kytkettyjen 2-porttien t-para-metrimatriisit voidaan kertoa.
Vastaavasti h-parametrimatriisit voidaansummata, jos rinnankytkentä on oikeallaja sarjaankytkentä vasemmalla.
G = G1 + G2
Harjoitus 9
111
Rinnan- ja sarjaankytkentäsääntöjen käyttöä rajoittaa ns. porttivirtaehto:
V1 V2
+
-
+
-
I1
I1 I2
I2porttivirtaehto: 2-porttiparametrit onmääritelty sillä ehdolla, että portintoiseen terminaaliin sisään menevävirta on sama, kuin toisesta terminaalistaulos tuleva virta
- Toteutuu kaskadikytkennässä automaattisesti
- Toteutuu rinnankytkennässä automaattisesti, jos rinnankytkettävät 2-portit ovat
nämä terminaalit ovat samassa potentiaalissa
3-terminaalisia. Esim:
nämä terminaalit ovat samassa potentiaalissa
piirretään rinnankytkentää vastaavaan muotoon
Harjoitus 9
112
KÄÄNTEISMATRIISIN LASKEMINEN
- Sarjaankytkennässä tarkasteltava jokainen tilanne erikseen
I1
I1
I1/2 I1/2
1ς 1ς
1ς
1ς 1ς
1ς 1ς1ς
I1
I1
I1
1ς 1ς
1ς
1ς 1ς
1ς 1ς1ς
I1
I1
vout
vout
+
+
-
-
porttivirtaehtoei toteudu
porttivirtaehtototeutuu
Zz11 z12z21 z22
= Y⇑ 1det Z∋ (----------------
z22 z– 12z– 21 z11
=
Harjoitus 9
113
TEHTÄVÄ 1. (KURSSIKIRJASTA EXAMPLE 18.2)Eräästä 2-porttipiiristä tehtiin seuraavanlaisia steady-state mittauksia (jännitteet javirrat jatkuvia ja sinimuotoisia):• Kun lähtöportti on on auki (avoin piiri) ja tulojännite on 150cos(4000t) V, niin
lähtöjännite on 100cos(4000t + 15o) V ja tuloportin virta on 25cos(4000t-45o) A.• Kun lähtöportti on oikosuljettu ja tulojännite on 30cos(4000t) V, niin tuloportin
virta on 1,5cos(4000t+30o) A ja lähtöportin virta on 0,25cos(4000t+150o) A.Laske piirille t-parametrit.
Käytetään suoraan sivulla 108 esitettyjä kaavoja. Tehtävä on helppo, kunhanyhdistät muuttujat a.o kuvassa oleviin suureisiin. Avoin lähtöportti tarkoittaa, että I2= 0A ja oikosuljettu lähtöportti tarkoittaa, että V2 = 0V. Miinusmerkki tarkoittaaosoitinlaskennassa 180:n asteen vaiheensiirtoa!
Jos halutaan siirtyä parametriesityksestä toiseen, helpointa on käyttää seuraavansivun taulukkoa (löytyy myös luennoista). Taulukon sarakkeet kertovat, mikä onalkuperäinen parametriesitys ja riveistä valitaan muunnettava parametriesitys. Esim.tämän tehtävän t-parametrejä vastaava z-matriisi saadaan laskettua kaavalla:
, missä Χt on t-matriisin determinantti
V1 V2
+
-
+
-
I1 I2
I1 I2
tulo-portti
lähtö-portti
AV1V2------
I2 0=
150 0o∉
100 15o∉---------------------- 1 5 15o–∉+ t11= = = =
BV1I2------–
V2 0=
1 180o 30 0o∉
0 25 150o∉+----------------------------∉ V
A--- 120 30oς∉ t12= = = =
CI1V2------
I2 0=
25 45o–∉
100 15o∉----------------------A
V--- 0 25 60oS–∉+ t21= = = =
DI1I2----–
V2 0=
1 180o 1 5 30o∉+
0 25 150o∉+----------------------------∉ 6 60o∉ t22= = = =
A BC D
t11 t12
t21 t22
=
t11 t21≤ Χt t21≤
1 t21≤ t22 t21≤
Harjoitus 9
114
Taulukko 7: Muunnokset eri parametriesitysten välillä
[z] [y] [g] [h] [t] [b]
[z]
[y]
[g]
[h]
[t]
[b]
z11 z12
z21 z22
y22Χy-------
y12–Χy
----------
y21–Χy
----------y11Χy-------
1g11-------
g12–g11
----------
g21g11------- Χg
g11-------
Χhh22-------
h12h22-------
h21–h22
---------- 1h22-------
t11t21------ Χt
t21------
1t21------
t22t21------
b22b21------- 1
b21-------
Χbb21-------
b11b21-------
z22Χz-------
z12–Χz
----------
z21–Χz
----------z11Χz-------
y11 y12
y21 y22
Χgg22-------
g12g22-------
g21–g22
---------- 1g22-------
1h11-------
h12–h11
----------
h21h11------- Χh
h11-------
t22t12------ Χt–
t12--------
1–t12------
t11t12------
b11b12------- 1–
b12-------
Χb–b12----------
b22b12-------
1z11-------
z12–z11
----------
z21z11------- Χz
z11-------
Χyy22-------
y12y22-------
y21–y22
---------- 1y22-------
g11 g12
g21 g22
h22Χh-------
h12–Χh
----------
h21–Χh
----------h11Χh-------
t21t11------ Χt–
t11--------
1t11------
t12t11------
b21b22------- 1–
b22-------
Χbb22-------
b12b22-------
Χzz22-------
z12z22-------
z21–z22
---------- 1z22-------
1y11-------
y12–y11
----------
y21y11------- Χy
y11-------
g22Χg-------
g12–Χg
----------
g21–Χg
----------g11Χg-------
h11 h12
h21 h22
t12t22------ Χt
t22------
1–t22------
t21t22------
b12b11------- 1
b11-------
Χb–b11----------
b21b11-------
z11z21------- Χz
z21-------
1z21-------
z22z21-------
y22–y21
---------- 1–y21-------
Χy–y21---------
y11–y21
----------
1g21-------
g22g21-------
g11g21------- Χg
g21-------
Χh–h21----------
h11–h21
----------
h22–h21
---------- 1–h21-------
t11 t12
t21 t22
b22Χb-------
b12Χb-------
b21Χb-------
b11Χb-------
z22z12------- Χz
z12-------
1z12-------
z11z12-------
y11–y12
---------- 1–y12-------
Χy–y12---------
y22–y12
----------
Χg–g12----------
g22–g12
----------
g11–g12
---------- 1–g12-------
1h12-------
h11h12-------
h22h12------- Χh
h12-------
t22Χt------
t12Χt------
t21Χt------
t11Χt------
b11 b12
b21 b22
Harjoitus 9
115
TEHTÄVÄ 2.a)
y-parametrimatriisi voidaan kirjoittaa suoraan, koska kyseessä on ο-verkko ilmanohjattuja lähteitä:
1H
1ς 1F
Y1 Y2
Y3
Y Y1 Y3+ Y– 3
Y– 3 Y2 Y3+=
Y1 = 1Y2 = sY3 = 1/s Y 1 1 s≤+ 1 s≤–
1 s≤– s 1 s≤+
s 1+s
----------- 1s---–
1s---– s2 1+
s--------------
= =
z-parametrit ottamalla käänteismatriisi Y-matriisista
Z Y 1–s 1+
s----------- 1
s---–
1s---– s2 1+
s--------------
1–
1detY-----------
s2 1+s
-------------- 1s---
1s--- s 1+
s-----------
= = = ;detY s2 s 1+ +s
-----------------------=
z11s2 1+
s-------------- s
s2 s 1+ +-----------------------√
s2 1+s2 s 1+ +-----------------------= =
z12 z211s--- s
s2 s 1+ +-----------------------√
1s2 s 1+ +-----------------------= = =
z22s 1+
s----------- s
s2 s 1+ +-----------------------√
s 1+s2 s 1+ +-----------------------= =
Harjoitus 9
116
2.b) Verkko voidaan jakaa kahteen rinnankytkettyyn osaan esim. seuraavasti
a
b
a kyseessä on ο- verkko, joten y-parametrit voidaan kirjoittaa suoraan
Y1 = 0Y2 = 1Y3 = 2s
Y1 Y2
Y3
Ya2s 2s–2s– 1 2s+
=⇑
b kyseessä on t- verkko, joten z-parametrit voidaan kirjoittaa suoraan
Z2Z1
Z3Z Z1 Z3+ Z3
Z3 Z2 Z3+=
Z1 = 1Z2 = 1Z3 = 1/2s
Zb1 1 2s≤+ 1 2s≤
1 2s≤ 1 1 2s≤+
2s 1+2s
--------------- 12s-----
12s----- 2s 1+
2s---------------
= =⇑
Yb Zb1–= 1
s 1+∋ ( s≤----------------------
2s 1+2s
--------------- 12s-----–
12s-----– 2s 1+
2s---------------
2s 1+2 s 1+∋ (------------------- 1
2 s 1+∋ (-------------------–
12 s 1+∋ (-------------------– 2s 1+
2 s 1+∋ (-------------------
s 0,5+s 1+
---------------- 0,5–s 1+-----------
0,5–s 1+----------- s 0,5+
s 1+----------------
= = =
Ytot Ya Yb+ 2s 2s–2s– 1 2s+
s 0,5+s 1+
---------------- 0,5–s 1+-----------
0,5–s 1+----------- s 0,5+
s 1+----------------
+2s2 3s 0,5+ +
s 1+---------------------------------- 2s2 2s 0,5+ +∋ (
s 1+---------------------------------------–
2s2 2s 0,5+ +∋ (s 1+
---------------------------------------– 2s2 4s 1,5+ +s 1+
----------------------------------
= = =
1ς1ς
2F
2F
1ς 1ς1ς
2F
2F
1ς
Harjoitus 9
117
2. c) Jaetaan piiri kahteen sarjaankytkettyyn osaan:
2ς1ς1ς
+
- 2v03ς
1ς
2ς1ς1ς
+- 2v0
3ς
1ς
Za1 1+ 1
1 1 2+2 11 3
= =
a
b
a
b v0
+
-
+- 2v0
3ς
1ς≠ v0
+
-
2v03ς 1ς
muutetaan ohjattu virtalähde vastaavaksi impedanssiksi lähde-absorptiolla (harj. 1)
2v0v0
+
-
≠ v0
+
-
zv02– v0
----------- 12---–= =-1/2ς
⇑ 3ς 1ς -1/2ς-3/2ς≠
Zb3– 2≤ 3– 2≤3– 2≤ 3– 2≤
=
(taulukosta 5)
porttivirtaehto voimassa
Ztot Za Zb+ 2 11 3
3– 2≤ 3– 2≤3– 2≤ 3– 2≤
+ 1 2≤ 1– 2≤1– 2≤ 3 2≤
= = = ⇑ Ytot3 11 1
=
Harjoitus 9
118
2. d) Lasketaan piirin t-parametrit jakamalla se neljään kaskadikytkettyyn osaan:
2. e) Jaetaan piiri aluksi kahteen rinnankytkettyyn osaan, joiden y-parametrit lasketaan:
1F
1ς
1F 1ς
käytetään taulukkoa 5, jostasaadaan sarja- ja rinnakkais-komponenttien t-parametrit
T 1 0s 1
= 1 10 1
1 0s 1
1 01 1
s 2+ 1s2 3s 1+ + s 1+
A BC D
= =
g-parametrit saadaan taulukosta 7:
GCA---- detT
A-----------–
1A--- B
A---
= ; detT 1=
⇑ Gs2 3s 1+ +
s 2+-------------------------- 1
s 2+-----------–
1s 2+----------- 1
s 2+-----------
=
1:n
1ς 1ς1:n
1ς 1ς1F
a
b
1F
piiri on a:n ja b:n rinnankytkentä
Harjoitus 9
119
a kyseessä on ο- verkko, joten y-parametrit voidaan kirjoittaa suoraan
1F Y1 = 0Y2 = 0Y3 = s
Yas s–s– s
=⇑
b lasketaan verkon t-parametrit ja muunnetaan ne y-parametreiksi
n:1
1ς 1ς
käytetään taulukoita 5 ja 6, joistasaadaan sarjakomponenttien jamuuntajan t-parametrit
Tb1 10 1
1 n≤ 00 n
1 10 1
1n--- n2 1+
n--------------
0 n
A BC D
= = =
Taulukon 7 perusteella
Yb
DB----
detTbB
--------------–
1B---– A
B---
= ; detTb 1=
⇑ Yb
n2
n2 1+-------------- n
n2 1+--------------–
nn2 1+--------------– 1
n2 1+--------------
1n2 1+-------------- n2 n–
n– 1= =
⇑ Ytot Ya Yb+ 1n2 1+-------------- n2 s n2 1+∋ (+ n– s n2 1+∋ (–
n– s n2 1+∋ (– 1 s n2 1+∋ (+= =
(saadaan myös taulukosta 6)
Harjoitus 9
120
TEHTÄVÄ 3Kuvan 2a 2-portille z-parametriesitys
1ς +-1ς
2ς
3V1
V1
+
-I1 V2
+
-
z11V1I1------
I2 0=
= z21V2I1------
I2 0=
=Va
1ς +-1ς
2ς
3V1
V1
+
I2V2
+
-
Va
-
Vb
z12V1I2------
I1 0=
= z22V2I2------
I1 0=
=
⇑ Z 3 211 9
=
V1 1 2+∋ (I1 3I1= =
V2 2I1 3V1+ 2I1 9I1+ 11I1= = =
z11V1I1------ 3= =
z21V2I1------ 11= =
V1 2I2=
V2 1 2+∋ (I2 3V1+ 3I2 6I2+ 9I2= = =z22
V2I2------ 9= =
z12V1I2------ 2= =
1ς +-1ς
2ς
3v1
v1
+
-
Lasketaan z-parametrit edellä esitettyjen testiehtojen perusteella
Harjoitus 9
121
Tehtävä 4. Kuvan 2b 2-portille y-parametriesitys
V1+-
V2 = 0:
I1 s V1√ 2V112s----- V1 0–∋ (+ += y11∨
I1V1------ s 2 1
2s-----+ += =
I2 2V1–0 V1–
2s---------------+ V1 2– 1
2s-----–
∑ ⌡= = y21∨I2V1------ 2– 1
2s-----–= =
V1 = 0:
I213--- V2√ 1
2s----- V2 0–∋ (√+= y22∨
I2V2------ 1
3--- 1
2s-----+ y22= = =
I10 V2–
2s---------------= y12∨
I1V2------ 1
2s-----– y12= = =
y
s 2 12s-----+ + 1
2s-----–
2– 12s-----– 1
3--- 1
2s-----+
=
2H
1F 3ςV1 V2
+
-
+
-
I2I1
2V1
2H
1F 3ς
I2I1
2V1
V2+-
2H
1F 3ς
I2I1
Harjoitus 9
122
Harjoitus 10
123
10. HARJOITUS. KYSYMYKSET1. Allaolevassa taulukossa näet jonkun piirin Z, Y ja T-parametrit. Piiri päätetäänlähtöpuolelta impedanssiin ZL=1/s, jolloin V2 = -I2ZL. Laske piirille jännitteen javirran siirtofunktio. (Osakoetehtävä 2007)
2. Laske kuvan 2 piirin jännitteensiirtofunktio Vout/Vin.
3. Kuvan 3 kytkennässä on erään 2-portin z-parametrit. Laske virran siirtofunktio(I2/I1) ja lähtöimpedanssi Zout.
Z Y T
13--- 1 1 2s–
1 1 s+√ 1
s--- 1 s+ 1– 2s+
1– 1√ 1 s
3 1 s+
R R
R/2
C
2C
C
vin vout
+
-
+
-Kuva 2
7s 1s--- 2+ + 1
s--- 2+
1s--- 5+ 1
s--- 6+
1F
1H
Vg V1 V2
+
-
+
-
I1I2
+
Zout
z-parametrit:
Kuva 3
Harjoitus 10
124
Laskuharjoituksissa laskettava:4. Asetetaan kuvan 4 2-porttipiiri kuvan 5 kytkentään. Laske siirtofunktio
. Kesätenttikysymys 2004.G s∋ ( Iout s∋ ( Iin s∋ (≤=
V1 V2
2I2 4ς 6ς
1
+ -
+ +
- -
I1 I2
2 F
12 F1
4 F
kuva 4
z-parametrit laskettiin edellisessä laskuharjoituksessa
z4 6
s---+ 2 2
s---+
2s--- 6 4
s---+
z11 z12z21 z22
= =
Iin(s)
Kuva 5
Iout(s)
Tehtävä on taulukon 10 avulla helppo ratkaista (ZL=0).Kyseisessä tentissä ei ollut e.m taulukkoa, jollointehtävä voidaan laskea joko:
ratkaisemalla yleinen virran siirtofunktio z-partametreillä (taulukon 10 tulos)
tai
asettamalla piiri kuvan 5 laatikkoon, josta lasketaan siirtofunktio.Huom: Koska ylempään solmuun tulee
I2I1---- 1–
3s 2+---------------=
Vastaus:
virta Iin, siirtofunktio ratkeaa helposti virtajaon periaatteella.
Harjoitus 10
125
Joidenkin verkkojen parametriesityksiä
Taulukko 8: Sarja- ja rinnakkaiskomponenttien parametriesitykset
z y t b g h
a) ei mahd.
b) ei mahd.
Taulukko 9: Muuntajan ja gyraattorin parametriesitykset
z y t b g h
c) ei mahd. ei mahd.
d) ei mahd. ei mahd.
Z
Y
n:1
1:r
a)
b)
c)
d)sarjakomponentti
rinnakkaiskomponentti
muuntaja
gyraattori
Y Y–Y– Y
1 Z0 1
Y Y–Y– Y
Z 11– 0
0 1–1 Z
Z ZZ Z
1 0Y 1
1 0Y 1
0 11– Y
Y 1–1 0
n 00 1 n≤
1 n≤ 00 n
0 nn– 0
0 1 n≤–1 n≤ 0
0 1– r≤1 r≤ 0
0 rr– 0
0 1 r≤r 0
0 1 r≤r 0
Harjoitus 10
126
Kun verkon 2-porttiparametrit tunnetaan, niistä voidaan laskea mm. verkon jännit-teen- ja virransiirtofunktiot sekä tulo- ja lähtöimpedanssi. Helpoin tapa laskea e.msuureet on käyttää taulukkoa 10.
2-portin tulo- ja lähtöimpedanssin ja vahvistusten laskeminen, kun verkko onpäätetty tulo- ja lähtöpäistä impedansseilla ZS ja ZL.
Taulukon funktioiden laskeminen käsin ei ole hankalaa, esim. jännitteensiirtofunk-tio (Au) Y-verkolle lasketaan näin:
Taulukko 10:
z y t
Zi
Zo
Ai = I2/I1
Au = U2/U1
detZ z11ZL+z22 ZL+
--------------------------------y22 YL+
detY y11YL+--------------------------------
AZL B+CZL D+---------------------
detZ z22ZS+z11 ZS+
--------------------------------y11 YS+
detY y22YS+--------------------------------
DZS B+CZS A+--------------------
z– 21z22 ZL+--------------------
y21YLdetY y11YL+--------------------------------
1–D CZL+---------------------
z21ZLdetZ z11ZL+--------------------------------
y21–y22 YL+--------------------
ZLB AZL+--------------------
Y YL
i2
u2u1+
-
+
-
y11 y12y21 y22
u1u2
√i1i2
=
y11 u1 y12 u2√+√ i1=
y21 u1 y22 u2√+√ i2= i2 YL– u2√= sij.
yhtälömuodossa:
Saadaan y21 u1 u2 y22 YL+∋ (√+√ 0=u2u1-----
y21–y22 YL+--------------------=josta
kuvasta saadaan:
2-portin y-parametriesitys:
Harjoitus 10
127
HARJOITUS 10. RATKAISUT
TEHTÄVÄ 1.
Tämä tehtävä on helppo, kun siirtofunktion ratkaisukaavat ovat näkyvillä.Impedanssi ZL on 1/s ja sen käänteisluku YL on s.
Toisinaan tenttivastauksissa opiskelijat sekoittavat parametrimatriisin indeksit.Ensimmäinen alaindeksi on rivin numero, toinen sarakkeen numero. Esim.
Vastaukset saadaan siis kaavaan sijoittelulla:
Z Y T
13--- 1 1 2s–
1 1 s+√ 1
s--- 1 s+ 1– 2s+
1– 1√ 1 s
3 1 s+
V1
V2
z11 z12
z21 z22
I1
I2
=
V2V1------
y21–y22 YL+---------------------
1s---
1s--- s+----------- 1
s2 1+--------------= = =
I2I1----
z– 21z22 ZL+---------------------
13---–
13--- s 1+∋ (
1s---+
----------------------------- s–
s2 s 3+ +-----------------------= = =
Harjoitus 10
128
TEHTÄVÄ 2.Lasketaan aluksi verkon y-parametrit, joista ratkaistaan siirtofunktio taulukon 10perusteella
Muunnetaan y-parametreiksi ottamalla käänteismatriisit
R/2
C
2C
C
vin vout
+
-
+
-
R R
R/2
CC
2C
R R
Verkko voidaan jakaa kahteen rinnankytkettyyn T-verkkoon, joiden z-parametrit voidaankirjoittaa suoraan.
Za
R 1s2C----------+ 1
s2C----------
1s2C---------- R 1
s2C----------+
=
Zb
1sC------ R
2---+ R
2---
R2--- 1
sC------ R
2---+
=
Ya Za1– sC
sR2C R+-----------------------
∑ ⌡R 1
s2C----------+ 1
s2C----------–
1s2C----------– R 1
s2C----------+
= =
Yb Zb1– sC∋ (2
sRC 1+--------------------
∑ ⌡R2--- 1
sC------+ R
2---–
R2---– R
2--- 1
sC------+
= =
Ytot Ya Yb+} }
s2 RC∋ (2 1+2R sRC 1+∋ (--------------------------------– s2 RC∋ (2 s4RC 1+ +
2R sRC 1+∋ (--------------------------------------------------
= =
VoutVin----------
y21y22 YL+-------------------– s2 RC∋ (2 1+
s2 RC∋ (2 s4RC 1+ +--------------------------------------------------= =
Harjoitus 10
129
TEHTÄVÄ 3.
Tämän 2-portin sijaiskytkentä on laskettu luentomateriaalissa.
7s 1s--- 2+ + 1
s--- 2+
1s--- 5+ 1
s--- 6+
1F
1H
Vg V1 V2
+
-
+
-
I1I2
Zz11 z12
z21 z22
7s 1s--- 2+ + 1
s--- 2+
1s--- 5+ 1
s--- 6+
= =
ZL=1/s
I2 s∋ (
I1 s∋ (--------------
z– 21z22 ZL+---------------------
1s--- 5+
∑ ⌡–
1s--- 6 1
s---+ +
----------------------5– 1
s---–
6 2s---+
---------------- 5s 1+∋ (–6s 2+
-----------------------= = = =
+
Zout
Zout s∋ (det Z∋ ( z22ZS+
z11 ZS+---------------------------------------
42s2 9s 1+ +s
--------------------------------- ∑ ⌡ 1
s--- 6+
∑ ⌡ s+
7s 1s--- 2 s+ + +
------------------------------------------------------------------ 1 10s 48s2+ +
1 2s 8s2+ +------------------------------------= = =
det(Z) = (42s2+9s+1)/s
ZS=s
z-parametrit:
Harjoitus 10
130
