Plan Diario de Clase Todos Los Bloques

Soleras y ángulosPlan de clase (1/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________Profesor (a): __________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre números decimales finitos y fracciones.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora.

El Sr. Jorge se dedica a reparar y construir diferentes estructuras metálicas. Para realizar algunos trabajos envío a su ayudante Juan a comprar los siguientes materiales.

1. Barras de solera de las siguientes medidas: 1 1/8 in, 1 ¼ in y 1/2 in. Al llegar a la ferretería, le muestran un manual donde aparecen las medidas que están disponibles.

¿Cuáles medidas del manual debe pedir Juan? ____________________________________

2. Ángulos de lados iguales con las siguientes medidas: 0.75 x 0.125 in, 0.1875 x 0.375 in, en el catalogo disponible en la ferretería aparecen las siguientes medidas disponibles.

¿Cuáles medidas del catálogo debe pedir Juan? _____________________________________

Consideraciones previas:Si fuera necesario, comentar con los alumnos las características y usos de los materiales mencionados en el problema, soleras y ángulos.

Una manera de llegar a la primera respuesta del problema es transformar las fracciones a su escritura decimal, para ello, es muy probable que los alumnos en cada caso dividan el numerador entre el denominador y después busquen el resultado en la tabla. Si bien este procedimiento es correcto, se sugiere profundizar en el análisis de los resultados y en los procedimientos empleados.

Independientemente del procedimiento vale la pena analizar las escrituras decimales obtenidas y determinar si se trata de números decimales finitos o infinitos. En este plan únicamente se trabajan números decimales finitos. Una pregunta interesante que se puede plantear a los alumnos es, ¿sin realizar la división como pueden saber si se trata de un decimal finito o infinito? La idea es que puedan anticipar si la fracción dada puede transformarse en una equivalente cuyo denominador sea una potencia de 10, y por consecuencia se trate de un decimal finito.

a) 0.933 in c) 0.5 in e) 1.125 in g) 1.250 inb) 0.4375 in d) 1.375 in f) 1.933 in h) 1.012

a) ¾ x 5/16 in c) 3/16 x 2/8 inb) 3/16 x 3/8 in d) ¾ x 1/8 in

Si se tiene una fracción decimal, es decir, cuyo denominador tiene una potencia de 10, de manera inmediata se sabe que puede convertirse en un número decimal finito y el procedimiento es relativamente sencillo, sin embargo, hay fracciones que no tienen como denominador una potencia de 10 y también pueden transformarse en números decimales finitos, como por ejemplo las empleadas en este plan: 1/8, ¼, ½, ¾, 3/16 y 3/8, la razón es que sus denominadores pueden factorizarse utilizando los números 2 y/o 5.

Por ejemplo, el 8 de 1/8 puede factorizarse como 2 x 2 x 2, por lo tanto puede escribirse con un decimal finito y para lograrlo primero se puede transformar a una equivalente con un denominador que sea potencia de 10.

1 1 x 5 x 5 x 5 125 ----- = ------------------- = -------- 8 8 x 5 x 5 x 5 1000

Los alumnos podrían averiguar por qué multiplicar tanto numerador como denominador por 5 x 5 x 5 y qué relación tiene esta expresión con la factorización del 8.

Una manera de comprobar las equivalencias es realizar los procesos inversos, es decir, si transformamos una fracción a su notación decimal, ahora convertimos el número decimal obtenido a una fracción y verificar que se trata de la fracción original.

Observaciones posteriores:

1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Perímetros con decimales y con fraccionesPlan de clase (2/2)


Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que implican realizar transformaciones entre fracciones y número decimal periódico puro o número decimal periódico mixto.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema, pueden auxiliarse de una calculadora.

Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Expresen los resultados con números decimales y con fracciones.

a)

b)

Consideraciones previas:La exigencia adicional de este plan respecto al anterior es la necesidad de transformar fracciones a número decimal periódico puro (por ejemplo, 0.33333…) y a número decimal periódico mixto (por ejemplo, 0.166666…)

Además de practicar las transformaciones necesarias para resolver el problema planteado, se sugiere dedicar algún tiempo a los siguientes aspectos:

a) Si en una fracción, en su mínima expresión, el denominador puede factorizarse con 2 y/o 5 más otros números diferentes, su expresión decimal es un número periódico mixto, por ejemplo: 1/6, 1/15, 1/30. Que los alumnos puedan hacer anticipaciones antes de realizar la conversión.

b) Si en una fracción, en su mínima expresión, el denominador no puede factorizarse con 2 ni 5, su expresión decimal es un número periódico puro, por ejemplo: 1/3, 1/9 y 1/7. Que los alumnos puedan hacer anticipaciones antes de realizar la conversión.

3 m 3 m

1.30 m 4.72 m

m

2.80 m


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (1/3)


Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la posición del cero, el orden y la escala en la recta numérica, así como sobre la propiedad de densidad de los números racionales.

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

1. Utilizar los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar las fracciones y

.

2. Ubicar en las siguientes rectas numéricas la fracción considerando los puntos dados en cada

recta.

3. Representar en la siguiente recta numérica las fracciones y , después comparen sus

resultados tratando de encontrar algún error en lo que hizo su compañero.

4. Representar una fracción que pueda ubicarse entre las dos fracciones que ya están representadas. Comparen su trabajo con el de su compañero tratando de encontrar algún error.

Consideraciones previas: Para el primer problema, tal vez algunos alumnos pregunten dónde está ubicado el cero o digan que hace falta. Quizá otros alumnos lo ubiquen al principio de la recta a la izquierda del uno, en cuyo caso no estarían respetando la escala, puesto que en este caso ya está definido el tamaño de 1/2 a partir del cual se pueden ubicar las otras fracciones. Es muy importante dejar que los alumnos ubiquen los

1

Recta A

1

2

5

Recta B

3

1

3

2

12

11

números como ellos piensen que está bien y durante la puesta en común se analicen minuciosamente el orden, la escala y la posición arbitraria del cero.

En el problema 2, será interesante que los alumnos puedan contrastar lo que hacen en ambas rectas. En la recta A no está definida la posición del cero, de manera que lo pueden ubicar donde crean conveniente para que tengan espacio suficiente para el 5/3, en cambio en la recta B ya está definida la posición del cero pero no necesitan ubicarlo para señalar el 5/3.

El problema 3, es abierto, de manera que en cada pareja lo más probable es que no coincidan los puntos en que ubicaron las fracciones y sin embargo en ambos casos pueden estar correctamente ubicadas. La idea de que cada miembro de la pareja trate de encontrar algún error en el trabajo de su compañero tiene la intención de “orillar” a los alumnos a considerar los tres aspectos en los que se ha estado insistiendo: el orden, la escala y la posición arbitraria del cero.

En el caso del problema 4, es probable que muchos alumnos digan que no es posible encontrar números mayores que 1/3 y menores que 2/3, pero justamente esta dificultad puede llevarlos a pensar en expresiones equivalentes, tales como 2/6 y 4/6; 3/9 y 6/9, etcétera, para concluir que entre dos números racionales cualesquiera hay infinidad de números racionales.






Plan de clase (2/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre la posición del cero, el orden, la escala y la forma particular de partir la unidad al representar números decimales en la recta numérica.


1. Utilizar los puntos dados en la siguiente recta numérica para ubicar los números decimales 0.6 y 1.30

2. Ubicar en las siguientes rectas numéricas los números decimales 1.25 y 2.43 considerando los puntos dados en cada recta.

Consideraciones previas: En el problema 1, es probable que algunos alumnos tengan dificultad para ubicar 1.30 porque piensen que es mayor que 1.5, en ese caso, será importante reflexionar sobre la equivalencia entre 1.5 y 1.50 o entre 1.3 y 1.30

En el caso del problema 2, los alumnos deberán observar que para representar los números decimales que se indican se puede partir sucesivamente en 10 partes iguales, primero las unidades para obtener décimos y luego los décimos para obtener centésimos.



1 1.5

1.1005

Recta B

31

Recta A

2.50




Plan de clase (3/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas teniendo como recurso gráfico a la recta numérica.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. En la siguiente recta numérica representar los números 3/5, 1.3, 0.6 y 1.35

2. En la siguiente recta numérica el segmento (0, 5) está dividido en tres partes iguales. Anotar el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

Consideraciones previas:En el problemas 1, se trata de ver si los alumnos son capaces de ubicar el cero y posteriormente ubiquen los demás números. También, para ver si consideran que 3/5 y 0.6 son equivalentes y por lo tanto deben ubicarse en el mismo punto. Finalmente, cuando tengan 1.3 y 1.4, que dividan el segmento, ya sea en diez partes iguales para ubicar 1.35, o bien, lo dividan a la mitad.

La intención del segundo problema, es utilizar la recta numérica como recurso gráfico para resolver un problema de reparto (cinco entre tres) y a la vez implica el significado de la fracción como cociente. Los posibles razonamientos son: 1) si el segmento fuera (0,1) el número señalado con la flecha sería 2/3, pero como es cinco veces más, entonces el número señalado es cinco veces 2/3, es decir, 10/3. 2) dado que el segmento (0,5) está dividido en tres partes iguales, cada parte es el resultado de dividir 5 entre 3, esto es, 5/3; por lo tanto, a la segunda parte le corresponde 10/3.



0 5

15




Cálculo mentalPlan de clase (1/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: ______________Profesor (a): ____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Intenciones didácticas:Que los alumnos resuelvan mentalmente problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan mentalmente los siguientes problemas:

1. Para cumplir con los pedidos del día, una confitería calcula que necesita usar 4 kg de harina. En el estante guardan 2 paquetes de ¾ kg, 2 paquetes de ½ kg y 2 de ¼ kg. Averigüen si la harina que tienen es suficiente. Si falta o sobra harina, digan cuál es la diferencia. ________________________________________________

2. De una pizza entera Ana comió 1/3 y María ¼. ¿Qué porción de la pizza queda? _____________________________

Consideraciones previas: Anteriormente los alumnos han resuelto problemas que implican sumar o restar fracciones. La intención ahora es que los alumnos utilicen el cálculo mental para resolver problemas que implican más de una operación, esto permitirá darle sentido a los procedimientos.

Con respecto al primer problema, una probable estrategia sería agrupar primero cada uno de los paquetes de ¼ kg con un paquete de ¾ kg, formando así 1 kg. Como hay dos paquetes de ¼ kg y dos de ¾ kg, se obtienen 2 kg. Además, hay dos paquetes de ½ kg, lo cual equivale a otro kilogramo, entonces en total tenemos 3 kg.

Otra forma de pensarlo podría ser descomponiendo los paquetes de ¾ kg en ½ kg más ¼ kg, posteriormente asociar por un lado todos los cuartos y por otro todos los medios, así, quedarían 4 paquetes de ½ kg y 4 paquetes de 1/4 kg, que representan 2 kg y 1 kg, respectivamente. Como puede notarse, la harina existente es insuficiente, ya que se obtienen 3 kg y se requieren 4; hace falta 1 kg.

Una posible estrategia para el segundo problema es cortar la pizza en 12 partes iguales y como 1/3 es igual 4/12, y ¼ es igual a 3/12, entonces Ana y María se comieron 7/12 de la pizza, por lo que la porción que queda corresponde a 5/12.

Es importante propiciar la formación en el aula de un ambiente que favorezca la producción de procedimientos propios, de encontrar nuevas relaciones entre las fracciones que puedan ser utilizadas para facilitar los cálculos.

Para reafirmar lo estudiado, se podrían plantear los siguientes problemas:

De una bolsa de caramelos, Oscar sacó 1/4 y María 1/2. ¿Qué parte de los caramelos quedó en la bolsa?

Natalia comió 2/3 de un chocolate y Juana comió 1/6. ¿Cuánto chocolate quedó?






Sumar y restarPlan de clase (2/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _______________Profesor (a): ____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.3 Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta de fracciones que impliquen dos o más operaciones.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas:

1. De una jarra que contiene 2 ¼ litro de agua llené dos vasos de ¼ litro cada uno y un vaso de 1/3 de litro. ¿Cuánta agua quedó en la jarra? ________________________

2. En relación con su deporte favorito, a un grupo de estudiantes se le aplicó una encuesta, se obtuvieron los siguientes resultados:

1/4 de los entrevistados prefiere jugar fútbol. 1/6 de los entrevistados contestó básquetbol. 1/3 de los entrevistados se decidió por el beisbol. El resto de los entrevistados no tiene deporte favorito.

¿Qué parte del total de los entrevistados no tiene un deporte favorito? _______________

Consideraciones previas: A diferencia del plan anterior, los problemas de éste son un poco más complejos, de tal manera que los estudiantes, además del cálculo mental busquen otras estrategias, incluyendo los algoritmos convencionales.

En el primer problema, es probable que los alumnos tengan dificultades en comprender lo que significa una fracción mixta, si es el caso, hay que hacerles ver que una fracción mixta es la suma de un número entero y una fracción.

En el caso del segundo problema, es probable que para obtener el total de los entrevistados que sí tienen un deporte favorito, primero sumen dos de las tres fracciones y al resultado le sumen la otra, por ejemplo, que sumen 1/6 y 1/3 y al resultado sumarle ¼; o bien que busquen la manera de sumar al mismo tiempo las tres fracciones. Se sugiere analizar los diferentes órdenes de operar estas tres fracciones y verificar que el resultado sea el mismo, es decir, que: (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b

Para ejercitar lo estudiado se pueden plantear los siguientes problemas:

A Diego le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera pesa 3 3/8 kg y la segunda 20/6 kg. ¿Cuál es la que pesa más? ¿Cuánto pierde si elige la de menor peso?

Decide si es cierto o no que con 3 vasos de ¼ litro y 2 vasos de 1/5 litro se puede llenar una botella de 1 ½ litro.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Aplica la reglaPlan de clase (1/3)

Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________Profesor (a): _______________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan sucesiones de números con progresión aritmética y con progresión geométrica a partir de la regla general o de la regla de la regularidad, respectivamente, dadas en lenguaje común.

Consigna: Organizados en equipos realicen lo que se indica a continuación.

1. El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión.

a) Aplica la regla que emplea la máquina y determina los términos que están en las posiciones 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 de la sucesión. ________________________________________________________________________________

b) Si se introducen los números 50, 100, 500 y 1000, ¿cuáles son los términos de la sucesión que corresponden a estas posiciones? __________________________

2. Otra máquina emplea la regla de regularidad siguiente: “Al número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”. Si el primer término de la sucesión es 5, determina los primeros 6 términos de la sucesión: _________________________

Consideraciones previas: Es importante dejar claro que cuando se dice “regla general”, se hace referencia a la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión en función de su posición. Y

MÁQUINAENTRADA SALIDA

Posición

0, 2, 4, 6, 8,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general: Al número de la posición se multiplica por dos y al resultado se le resta dos.

cuando se dice “regla de la regularidad”, se refiere al enunciado que indica el patrón de comportamiento de los términos de una sucesión, por ejemplo:

En la sucesión: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,…La regla general es 3n + 2, en donde n es el número de la posición. Si deseamos conocer el término de la posición 20, basta sustituir a n por 20 en 3n + 2.La regla de la regularidad de los elementos de la sucesión puede enunciarse de varias maneras, por ejemplo: “va de tres en tres”, “al término anterior se le suma 3 y se obtiene el siguiente”, etcétera.

Dicho lo anterior, en la sucesión del primer problema, la cual representa una progresión aritmética, se emplea la regla general; mientras que la sucesión del segundo problema que representa una progresión geométrica, se utiliza la regla de la regularidad. La razón por la cual en el segundo problema no se utiliza la regla general es porque su deducción es compleja para este nivel, su representación simbólica es una función exponencial.

En el primer problema, se espera que los alumnos no tengan ninguna dificultad para determinar los términos de la sucesión que están en las posiciones10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20. Por ejemplo, para el término que está en la posición 10, basta multiplicar este número por 2 y al resultado restarle 2, en este caso, el término que resulta es 18. Lo mismo se debe hacer para calcular los números de la sucesión que están en las posiciones 50, 100, 500 y 1000. Es probable que algunos alumnos confundan entre el número de la posición y el término de una sucesión; por lo que hay que estar pendiente de esta situación y en caso de que suceda, vale la pena aclararlo desde un principio y que no sea obstáculo para que los alumnos realicen adecuadamente los cálculos.

En el segundo problema se trata de que los alumnos a partir de la regla de regularidad, determinen los primeros seis términos de la sucesión geométrica (5. 15, 45, 135, 405, 1215,…)

Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se sugiere proponer los siguientes problemas:

Si la regla que permite determinar cualquier término de una sucesión es: Al número de la posición del término se multiplica por 2 y el resultado se le suma 3. Encuentra los primeros 10 términos de la sucesión.

Una sucesión está determinada por la siguiente regla de regularidad. “Al número anterior se multiplica por 3 para obtener el siguiente término”.Si el primer término de la sucesión es 10 ¿cuáles son los primeros 5 términos de la sucesión?


10.¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12.Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Encuentra la reglaPlan de clase (2/3)

Escuela: _____________________________________ Fecha: _______________Profesor (a): ________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen, en lenguaje común, reglas generales que permitan determinar cualquier término de sucesiones con progresión aritmética.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:

Cada vez que Claudia resuelve problemas de sucesiones, la estrategia que le funciona es representar la información en una tabla para relacionar el número de la posición de la figura y el número de elementos que la componen; por ejemplo, para la sucesión:

La tabla que construyó en su análisis de la sucesión es la siguiente:

Número de la posición de la figura. 1 2 3 4 5 6Número de cuadrados 5 9 13 17 21 25Diferencia del número de cuadrados entre dos figuras consecutivas

4 4 4 4 4

Con sus propias palabras, formulen una regla que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión.

Regla: _______________________________________________________________________________________________________________________

Consideraciones previas: Para encontrar la regla de formación de la sucesión es necesario relacionar el número de la posición de la figura con el números de elementos de la misma; por lo que si los alumnos no se les ocurre cómo relacionar el número de la posición con cada término de la sucesión, se les puede plantear la siguiente pregunta: ¿Qué operación hay que hacer con el número de la posición de la figura para obtener el número de cuadrados que la conforman? A partir de esta pregunta, se espera que los alumnos prueben con varios cálculos; por ejemplo, que multipliquen por 5 el número de la posición.Cada vez que den una respuesta verbal, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así, que continúen en la búsqueda.

Es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que encuentran en la sucesión, pero que no es la regla general; por ejemplo:“Le va sumando de cuatro en cuatro”“Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término”“Sumarle cuatro al término”

En caso de que a nadie se le ocurra probar con multiplicar el número de la posición por la constante aditiva (4), sugerirles que lo hagan y luego que vean cuánto se debe sumar o restar al producto para obtener el número de la sucesión.

La regla que permite determinar el número de cuadrados de cualquier figura de la sucesión es: “Multiplicar por 4 la posición del término y al resultado sumarle 1”.

Se pretende que a partir de resolver varios problemas, los alumnos lleguen a darse cuenta que una forma de encontrar la regla general de una sucesión con progresión aritmética, es multiplicar el número de la posición del término por la constante aditiva y analizar cuánto se tiene que sumar o restar al resultado para obtener el término de la sucesión; por lo que es importante no darles la receta.

Si el tiempo lo permite, se les puede pedir que a partir de la regla que determinaron, encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000.

Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes:

Escribe una regla general que permita determinar el número de cuadrados de cualquier figura de cada una de las siguientes sucesiones:

a)

Regla: __________________________________________________

a)

Regla: __________________________________________________

Genera una sucesión de números, cuya diferencia entre dos términos consecutivos sea siempre 5. Luego escribe con palabras la regla que permita calcular cualquier término de la sucesión.

Para cada caso, escribe la regla general que permite determinar cualquier término de la sucesión.

a) 6, 10, 14, 18, 22, 26, … Regla: _____________________________________________________

b) 3, 5, 7, 9, 11, 13, …Regla: _____________________________________________________

c) 1/12, 4/12, 7/12, 10/12,…Regla: _____________________________________________________


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Muy útil ÚtilUso

limitadoPobre

¿Cuál es la regularidad?Plan de clase (3/3)

Escuela: __________________________________ Fecha: _________Profesor (a): ____________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

Intenciones didácticas:Que los alumnos formulen, en lenguaje común, la regla de la regularidad o del patrón de comportamiento de los elementos de una sucesión con progresión geométrica.

Consigna. En equipo, completen las siguiente sucesiones y escriban con palabras una regla que defina la regularidad de cada una.

Regla: _____________________________________________________________________________________________________________________________

Regla: _____________________________________________________________________________________________________________________________

Consideraciones previas:Las sucesiones que se plantean en este plan son de progresión geométrica. En el primer caso se trata de una sucesión con progresión geométrica creciente porque su razón es mayor que 1, es decir, 2. En el análisis que hagan los alumnos de esta sucesión, se espera que puedan darse cuenta que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando por 2 al anterior, excepto el primer término.

Las reglas generales de este tipo de sucesiones son exponenciales; por lo que es difícil que los alumnos de este nivel puedan obtenerla por los conocimientos necesarios para tal fin. Por ejemplo, para esta sucesión, la regla general para determinar cualquier término de la sucesión es: Dos elevado al número de la posición del término; es decir, (an = 2n). Como puede verse, esta expresión es exponencial.

En este tipo de sucesiones, es suficiente que los alumnos lleguen a identificar el comportamiento de los términos pero no a la regla general; se espera que los alumnos

lleguen a escribir la regla que corresponde a la regularidad o patrón de comportamiento entre los términos como: “Cada término se obtiene multiplicando por 2 al término anterior.”

Con respecto a la segunda sucesión, se espera que los alumnos determinen que la razón de crecimiento es ½, es decir, que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el término anterior por ½; por lo que la regla que corresponde a la regularidad o patrón de comportamiento entre los términos es la siguiente: “Cada término se obtiene multiplicando por 1/2 al término anterior.”

Para reafirmar los conocimientos adquiridos se podrían plantear los problemas siguientes:

Encuentra el octavo término de cada una de las siguientes sucesiones.

a) 3, 9, 27, 81, 243,…b) 3, 6, 12, 24, 48,... c) 1, 0.1, 0.01, 0.001,...d) 1,1/4,1/16,1/64,... e) 2, 6, 18, 54, 162,... f) 5, 5/3, 5/9, 5/27, … g) 54, 36, 24, 16, …

El cuarto término de una sucesión con progresión geométrica es 40. Si cada término se obtiene multiplicando al anterior por 2, encuentra el primer, segundo y tercer términos de la sucesión.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (1/2)

Escuela: _____________________________________ Fecha: ________________________Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen, con lenguaje natural, el significado de algunas fórmulas geométricas de perímetro; expresen con una fórmula generalizada los perímetros de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general.


1. Dado el siguiente marco cuadrado

a) ¿Cómo se puede saber el perímetro del marco?_________________________b) ¿Y si el marco fuera de 20 cm de lado?________________________________c) ¿Y si fuera de 35 cm?______________________________________________d) Escribe con tus propias palabras, ¿cómo se determina el perímetro de cualquier cuadrado?

_______________________________________________________e) Expresa en forma general, para cualquier medida del lado de un cuadrado:

________________________________________________________________

2. Luisa quiere poner una tira bordada alrededor de un mantel rectangular que mide 2 m de largo y 1.60 m de ancho:

a) ¿De qué forma calcularía Luisa, la medida de la tira bordada?_______________b) ¿Y si el mantel midiera 80 por 60 cm?__________________________________c) ¿Cómo obtendrías este dato (perímetro) para manteles de cualquier tamaño?___________________________________________________________________d) Expresa de forma general el perímetro de cualquier rectángulo______________

Consideraciones previas: En caso de que los alumnos den las fórmulas inmediatamente, precisarles que lo que se pide es que describan con sus propias palabras los procedimientos.De manera grupal, se establecerán las conclusiones, considerando la generalización de cada equipo.


13. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

15 cm

15 cm

14. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/2)

Escuela: _____________________________________ Fecha: ________________________Profesor (a): _________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.1.5 Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen con lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas de área, expresen con una fórmula generalizada el área de algunas figuras geométricas e interpreten el uso de la literal como número general, aplicando diversos valores para el cálculo.


1. En la clase de agricultura los alumnos de primer grado deben sembrar rábanos. El terreno ofrecido por el Ayuntamiento es cuadrado, mide 300 m por lado.

a) ¿De qué manera calcularían el área?__________________________________b) Si por gestiones de la directora se consigue un terreno más grande (500 m por lado),

¿cómo calcularían el área?_____________________________________c) Sin importar la medida de cada lado, ¿cómo expresarías, con tus propias palabras,

el procedimiento para calcular el área de un cuadrado?____________d) ¿Y cuál sería la expresión general que la represente?_____________________

2. Anoten la información que hace falta en la siguiente tabla

Figura Expresión verbal Fórmula

P = ________________

A =_________________

P = ________________

A = _______________

P = _______________ P = ________________

P = ________________

A = ________________

P = ________________

A = ________________

3. Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla.

Figura Fórmulas Datos Perímetro ÁreaP = 6 lA = Pa/2

l = 3 cma = 2 cml = 8 cma = 5 cml = 10 cma = 7 cm

a

P = 2a + 2bA = ah

a = 10 cmb = 8 cmh = 5 cma = 15 cmb = 9 cmh = 7 cma = 23 cmb = 14 cmh = 10 cm

Consideraciones previas: Si los alumnos no tienen claro a qué se refiere la columna “Expresión verbal”, se pondrá un ejemplo.






a

b

De tres y cuatro ladosPlan de clase (1/2)

Escuela: _____________________________________ Fecha: _______________Profesor (a): ________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y MContenido: 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Intenciones didácticas: Que los alumnos describan las características mínimas de cuadriláteros y triángulos para trazarlos con la misma forma y tamaño.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Javier necesita encargarle, a un carpintero, por teléfono, la elaboración de varias piezas de madera para hacer un rompecabezas. Las formas y tamaños de las piezas son como se muestran a continuación. Anoten debajo de cada pieza la información que Javier tendría que darle (por teléfono) al carpintero, para que las haga iguales.

Consideraciones previas:

Al decidir sobre la información que requiere el carpintero pueden suceder tres casos: que falte información, que sobre información o que se dé justamente la información necesaria.Es importante analizar mensajes que sean representativos de los tres casos anteriores; pero, además, entre los mensajes que aportan la información necesaria, hay que ver si algunos son más breves o si hay mensajes que aun siendo diferentes aportan la información necesaria. Por ejemplo, en el caso del triángulo equilátero, un mensaje podría ser: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm por lado”; o bien: “Un triángulo equilátero de 3.7 cm de base por 3.2 cm de altura”. La mejor manera de que los alumnos se den cuenta de si un mensaje aporta o no la información suficiente para construir una figura es que lo usen para construir la figura y vean si todos obtienen la misma. Se sugiere analizar la descripción de dos figuras, ya que en la sesión posterior se trabajarán las demás.


16.¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

17.¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Sigamos los mensajesPlan de clase (2/2)

Escuela: ________________________________________ Fecha: _____________Profesor (a): ____________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F,EyMContenido: 7.1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría.

Intenciones didácticas: Que los alumnos tracen diversos tipos de cuadriláteros y triángulos, utilizando los instrumentos del juego de geometría.

Consigna: En la sesión anterior ustedes escribieron la información que debía dársele a un carpintero para que pudiera construir unas piezas de madera, hoy vamos a usar parte de esa información para ver si todos obtenemos las mismas figuras. Empezaremos con el siguiente mensaje: “Se trata de construir un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 3 cm y sus lados iguales miden 5 cm cada uno” Antes de hacer los trazos contesten: ¿Consideran que todos deberían obtener el mismo triángulo? _____________________________________________________________________________________

Consideraciones previas: En esta sesión se pondrán a prueba diversos mensajes, elaborados por los propios alumnos o no, para que analicen con mayor profundidad la información que es pertinente para trazar una figura que sea congruente con otra. El término congruente se asigna a dos o más figuras que al superponerse coinciden en todos sus puntos.Es importante que al analizar los mensajes elaborados por los alumnos haya de todos tipos; es decir, unos que tengan información suficiente, y otros a los que les falte o sobre información.Hay que tomar en cuenta que en esta actividad hay dos clases de dificultad; una consiste en identificar la información suficiente para reproducir una figura y otra es hacer los trazos. En esta última, después de los intentos que los propios alumnos hagan, es necesario que usted les muestre un camino.Actividades complementarias que contribuyen a reafirmar el trazo de triángulos y cuadriláteros son las siguientes:

1. De manera individual, tracen en su cuaderno las siguientes figuras con las medidas que se indican. En aquellos casos donde falte información para obtener figuras congruentes, ustedes agréguenla.

a) CuadradoLado: 6.5 cm

b) RectánguloLargo: 7 cmAncho: 5 cmc) Trapecio isóscelesBase mayor: 7.5 cmBase menor: 5 cm

d) Triángulo equilátero

Lado: 6 cm

e) Triángulo escalenoLado a: 5 cmLado b: 6.5 cm

2. Utilizando regla y compás, reproduzcan individualmente las siguientes figuras con las mismas medidas:


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



1 2 3

Plan de Clase (1/4)

Escuela: ___________________________________________________ Fecha: _________Prof. (a): ___________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y MContenido: 7.1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen y comparen las características y propiedades de las rectas notables del triángulo.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.

1. Analicen las líneas que aparecen en los triángulos y anoten una en la tabla frente al triángulo cuando las características sí se cumplan y una X cuando no se cumplan.

Características Las líneas son perpendiculares a los lados del triángulo o a la prolongación de éstos

Las líneas pasan por un vértice del triángulo

Las líneas cortan los lados del triángulo en los puntos medios

Las líneas dividen a la mitad los ángulos del triángulo

Las líneas se cortan en un punto

Las líneas son paralelas a los lados del triángulo

Las líneas cortan los lados del triángulo en una razón de 2 a 1

Triángulo 1(mediatrices)

Triángulo 2(medianas)

Triángulo 3(alturas)

Triángulo 4(bisectrices)

Consideraciones previas:Para realizar la confrontación se sugiere tener dibujada la tabla en el pizarrón o en una hoja de rotafolio y hacer lo siguiente:

a) Ir preguntado a cada equipo y anotar en cada casillero de la tabla tantas palomitas y/o cruces como fueron anotadas por los equipos.

1 2

34

b) Analizar los casilleros en los que haya diferencias, animar a los alumnos para que busquen argumentos que fundamenten su respuesta.

c) Cuando todos estén de acuerdo en los resultados de la tabla, anotar por separado el nombre de cada tipo de rectas y las características que le corresponden.

Es probable que algunos alumnos no sepan a qué se refiere la última columna, en cuyo caso hay que aclarar que es como si el lado se dividiera en tres partes iguales, de las cuales quedan dos a un lado de la recta y una al otro lado.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de Clase (2/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen los puntos notables en un triángulo con el fin de establecer su utilidad y propiedades.

Consigna: Organizados en equipo, resuelvan el siguiente problema.

1. Analicen los puntos donde se cortan la medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un triángulo

cualquiera y anoten una donde se cumplan las características señaladas y una X donde no se cumplan.

Características Siempre se encuentra en el interior del triángulo

Se puede localizar en un vértice del triángulo

Puede localizarse fuera del triángulo

Es el centro de un círculo que toca los tres vértices de triángulo

Es el centro de un círculo que toca los tres lados del triángulo

Es el punto de equilibrio de un triángulo

Está a la misma distancia de los vértices del triángulo

Se encuentra alineado con otros puntos notables del triángulo

Incentro (punto donde se cortan las bisectrices)Baricentro (punto donde se cortan las medianas)Ortocentro (punto donde se cortan las alturas o su prolongación)Circuncentro (punto donde se cortan las mediatrices)

Consideraciones previas:Se sugiere organizar la confrontación de la misma manera que en el plan anterior. Hay que prever que los alumnos tengan tijeras, hilo o cordón, aguja, cartulina y juego de geometría. Se les indicará a los alumnos que para saber si el punto encontrado es el punto de equilibrio del triángulo, deberán recortar éste y hacer pasar la aguja con hilo por el punto obtenido, sosteniendo el hilo en forma vertical. Se les puede decir que también recibe el nombre de punto mediano o centroide (inclusive, en física, le llaman centro de gravedad por ser lugar de equilibrio de tres cuerpos de la misma masa colocados en los vértices del triángulo). La última columna se refiere a la alineación del ortocentro, baricentro y circuncentro. Es probable que este plan necesite dos sesiones de trabajo, para permitir que los alumnos analicen todos los casos posibles.






Plan de Clase (3/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el concepto de mediatriz y bisectriz para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipo analicen y resuelvan los siguientes problemas.

1. En una ciudad pequeña se quiere construir un quiosco que quede a la misma distancia del Palacio Nacional, de la Secretaría de Educación y del Edificio del Congreso, ¿dónde deberán construirlo?

2. Se tiene un terreno de forma triangular y se va a construir en él una fuente circular de tal manera que toque los tres lados del terreno y la parte restante se cubrirá de pasto. Dibuja cómo quedaría la fuente en dicho terreno.

Consideraciones previas: Se espera que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar un posible uso del punto de cruce de las mediatrices en el primer caso y de las bisectrices en el segundo. Es muy importante no quitarles la posibilidad de que por sí solos encuentren las soluciones y sientan la satisfacción de haberlo logrado.



Secretaría de Educación

Palacio Nacional

Edificio del Congreso




Plan de Clase (4/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen sus conocimientos sobre las rectas y puntos notables del triángulo en la resolución de problemas.

Consigna: Organizados en equipo resuelvan los siguientes problemas.

1. Se quiere construir la estación del tren de tal forma que esté sobre la vía y a la misma distancia del pueblo Arania y del pueblo Mosconia. ¿Dónde debe construirse la estación?

2. ¿Dónde se encuentra el centro de gravedad de estos tres cuerpos celestes de igual masa?

Consideraciones previas: Es importante dejar que los alumnos revisen los conceptos de las rectas y puntos notables en el triángulo hasta que encuentren cuáles son los que les permiten contestar los problemas anteriores.






Arania

Mosconia

Plan de clase (1/2)

Escuela: _______________________________________ Fecha: __________________Profesor (a): _____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas de reparto proporcional.

Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. Carlos y Raúl participaron en una rifa de $1200.00 y se la ganaron. ¿Cómo deben repartirse el dinero si para la compra del boleto Carlos cooperó con $8.00 y Raúl con $16.00?

2. Si el premio fuera de $1000.00 y para la compra del boleto Carlos puso $10.00 y Raúl $15.00, ¿cómo deben repartirse proporcionalmente el dinero según sus aportaciones?

Consideraciones previas:Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índices de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. En el problema 1, la cantidad a repartir es $1200.00, los índices de reparto son $8.00 y $16.00 y las cantidades recibidas son $400.00 y $800.00.

En este plan se trata que los estudiantes utilicen procedimientos personales. En el problema 1 es probable que algunos resultados no correspondan a un reparto proporcional, dado que la consigna no lo establece, en tal caso, habrá distintos resultados que pueden ser correctos, siempre y cuando se expliquen los criterios bajo los cuales se obtuvieron, por ejemplo, se dividieron el premio a la mitad, dado que la amistad que los une es más importante que la diferencia entre las cantidades que aportaron.Si el reparto no lo hacen proporcional a lo que aportó cada uno, podría preguntarse si les parece justo dicha repartición. Se trata de que los alumnos vean que un criterio más para la repartición son los índices de reparto, es decir, las cantidades que aportaron para la compra del boleto.

Si los alumnos están de acuerdo en que la repartición debe hacerse proporcionalmente a las aportaciones de cada uno, analizar detalladamente en plenaria los procedimientos empleados, uno posible es el siguiente:

Raúl aportó el doble que Carlos, por lo tanto, del premio a Raúl le corresponde el doble de lo que le toca a Carlos. Las cantidades que corresponden con lo anterior son: Carlos $400.00 y Raúl $800.00

El problema 2 dice claramente que el criterio para el reparto debe ser proporcional a las aportaciones, ahora la cantidad a repartir son $1000.00 y los índices de reparto son $10.00 y $15.00. Ninguna de las aportaciones es el doble que la otra, entonces los alumnos tendrán que buscar alternativas diferentes que en el problema 1, una de ellas podría ser la siguiente:

Sumar las cantidades aportadas por los dos ($25.00) y advertir que Carlos cooperó 2/5 partes de esa cantidad y Raúl 3/5, por lo tanto, dividen el premio en cinco partes iguales y de ellas dos le corresponden a Carlos y tres a Raúl. A Carlos le toca $400.00 y a Raúl $600.00.

Finalmente, se trata que los alumnos se den cuenta que resolver este tipo de problemas consiste en averiguar qué parte del total aportó cada persona y esa misma parte es la que le corresponde de la cantidad a repartir.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/2)

Escuela: _______________________________________ Fecha: __________________Profesor (a): _____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos expertos para resolver problemas de reparto proporcional.

Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. Tres amigos obtienen un premio de $1000.00 en la lotería, si uno de ellos aportó $14.00, el otro $9.00 y el tercero $17.00, ¿cuánto le corresponde a cada uno, si la repartición del premio debe hacerse proporcionalmente a sus aportaciones?

2. Una empresa va a repartir $35 900.00 entre cuatro empleados, en proporción directa a su antigüedad en el trabajo. Roberto tiene dos años, Jesús 3.75 años, Macario cuatro años y Teresa 1.5 años, ¿cuánto le corresponde a cada no?

3. Cuatro amigos ganaron un premio de $15000.00 en un sorteo y se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aportó para la compra del boleto que costó $100.00. Al primero le tocó $2100.00, al segundo $5700.00, al tercero $3300.00 y al cuarto el resto de los $15000.00 ¿Cuánto aportó cada amigo para la compra del boleto?

Consideraciones previas:Por la cantidad de los índices de reparto y por los números utilizados, es muy difícil que los alumnos utilicen los procedimientos comentados en el plan anterior, por ejemplo, en el problema 1 no es tan fácil y directo determinar qué parte representa 14, 9 y 17 de 40. La intención es que los alumnos elaboren procedimientos más sofisticados “expertos” como el siguiente:

Reducción a la unidad. Primero se obtiene la parte del premio que le corresponde a cada peso invertido, para ello se suman los índices y se divide la cantidad a repartir entre el resultado.

14 + 9 + 17 = 40 1000 ÷ 40 = 25

A cada peso invertido le corresponde 25 pesos del premio.

Posteriormente, se multiplica cada uno de los índices por 25 (factor constante) y se obtienen las cantidades recibidas.

Quien aportó $14.00, le corresponde $350.00, resultado de $14 x 25

Quien aportó $9.00, le corresponde $225.00, resultado de $9.00 x 25 Quien aportó $17, le corresponde $425.00, resultado de $17.00 x 25

Si a los alumnos no se les ocurre este procedimiento, se pueden plantear las preguntas, ¿cuánto le corresponde a cada peso invertido?, entonces, ¿cuánto le toca a cada participante?

Es probable que algunos alumnos intenten utilizar la muy famosa regla de tres o bien que empleen porcentajes:

Regla de tres: 40 1000 14 xDonde x representa la ganancia de quien aportó $14.00

Porcentajes:Para el caso de quien aportó $14.00, obtienen qué tanto por ciento representa 14 de 40 y calculan el mismo a $1000.00

Si acurre lo anterior, se sugiere revisar el trabajo de los alumnos y hacer las precisiones necesarias, sin profundizar en el tema, ya que estos contenidos serán objeto de estudio más adelante.

El problema 2 tiene la misma estructura que el 1 y por lo tanto puede resolverse mediante la reducción a la unidad, la diferencia es que en éste se trabajan, además de naturales, también números decimales.

En relación con el problema 3, es importante mencionar que en éste se dan la cantidad a repartir y las cantidades recibidas y lo que se pide son los índices de reparto, mientras que en todos los anteriores se daba la cantidad a repartir y los índices y se pedía las cantidades recibidas. Es importante que los alumnos adviertan que la relación entre la cantidad recibida y el total de premio es la misma entre un índice y el precio total del boleto. Para el caso de quien le tocó $2100.00, se trata de averiguar qué parte de 15000 es 2100 y calcular la misma parte de $100.00, precio total del boleto.






LA OCA MATEMÁTICAPlan de clase (1/3)

Escuela: ____________________________________________ Fecha: ________________Profr. (a): ___________________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Intenciones didácticas: Que los alumnos comprendan qué es un juego de azar con base en la práctica y los cuestionamientos acerca de éste.

Consigna. Organizados en equipo jueguen “La oca matemática”.Para jugarlo necesitan dos dados especiales y un tablero por equipo como el que se muestra enseguida.

Las reglas del juego son las siguientes:

Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba son del mismo color, se sumarán los dos números y el resultado será el número de casillas que se avanza.

Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba son de distinto color, se restarán los números, siempre el mayor menos el menor, y la resta indicará el número de casillas que se avanza.

En caso de caer en una casilla especial, se debe realizar lo que se indica. Gana el jugador que llegue primero a la meta.

Consideraciones previas: Es necesario tener listos un juego de dados y un tablero por equipo, además una ficha para cada alumno. Si les pide que construyan sus dados les puede dar los desarrollos planos que aparecen más adelante (anexo 1); también aparece un tablero de juego (anexo 2). Se pueden usar también dados blancos y sólo pedirles que pinten las caras: en un dado, cuatro caras rojas y dos azules y en el otro, cuatro caras azules y dos rojas. Por ejemplo:

Con esta actividad, los alumnos se darán cuenta de que el hecho de ganar el juego no depende de poner en práctica una estrategia o habilidad particular, sino que todo depende de lo que caiga en los dados, es decir, es totalmente azaroso. Para ello, se puede valer de preguntas como: ¿pueden

3 5

saber, antes de tirar, qué va caer en los dados?, ¿pueden saber con anticipación quién va a ganar?, quién gana una vez el juego, ¿ganará siempre?, ¿Pueden hacer algo para que caiga en los dados el color y el número que ustedes quieren?, etcétera.En una segunda partida se les puede pedir que registren lo que sucede en cada jugada. Se les puede pedir que construyan, en un pliego de papel bond o cartulina, una tabla como la que se sugiere enseguida a manera de ejemplo. El registro indica que los dados fueron del mismo color y por tanto sumaron los números, sin embargo, en la casilla 5 del tablero hay un castigo que indica retroceder 1, por lo tanto el jugador se queda en la casilla 4.Solamente se les pedirá a los alumnos que registren el lugar en que queda su ficha y no toda la operación, pues esto puede hacer tardado y tedioso el registro. Además de que se trata de operaciones que los alumnos pueden hacer mentalmente.

Ronda Niño 1 Niño 2 Niño 3

1 3+2=5, 5-1=4

2

3

4

5

Al término de esta segunda partida se puede tomar como ejemplo una tabla de cualquier equipo para presentarla al grupo y preguntar: ¿se puede saber quién ganó en este equipo con sólo ver la tabla?, ¿se puede saber quién quedó en segundo lugar?, ¿quién quedó en último lugar?, ¿es verdad que después de que caiga un 4 es más fácil que caiga otro 4 que un 5?, ¿qué color es más fácil que caiga en los dados?Con respecto a esta última pregunta, se espera que los alumnos se den cuenta que en un dado es más fácil que caiga el color rojo, ya que tiene cuatro caras rojas, y que en el otro dado es más fácil que caiga el color azul, por ser cuatro las caras azules.

Observaciones posteriores:1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

______________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique la sesión con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Anexo 1

Anexo 2

UN JUEGO DISPAREJOPlan de clase (2/3)

Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________Profr.(a): ____________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI


Intenciones didácticas: Que los alumnos, a partir de un juego de azar, intuyan nociones probabilísticas (intuición de la frecuencia relativa) implícitas en el juego.

Consigna. En equipos realicen el siguiente juego. Se trata de lanzar 3 monedas al mismo tiempo en repetidas ocasiones. Antes de lanzarlas, deberán predecir el número de águilas que caerán en cada lanzamiento (tres, dos, una o cero) y lo registran en la tabla de abajo. Luego cada uno de ustedes lanzará al mismo tiempo las tres monedas y los resultados también se registrarán en la tabla, frente a la predicción.Gana aquél cuya predicción haya acertado más veces.

Lanzamientos Predicción Resultado real1°2°3°4°5°6°7°8°9°

10°

Consideraciones previas: El juego de azar consiste en lanzar 3 monedas distinguibles entre sí al aire, al mismo tiempo, en repetidas ocasiones. Las monedas deben ser distinguibles para que los alumnos noten que hay más de una forma en que pueden caer 2 águilas, o una.Antes de cada lanzamiento, se preguntará a los alumnos cuántas monedas “pueden” caer con el águila hacia arriba.Se llevará un recuento de las veces que cayeron las águilas hacia arriba y que coincida con las predicciones de ellos.Es conveniente que en los primeros intentos no se haga un registro de los eventos ocurridos, pero en cuanto se observe que empiezan a desarrollar una estrategia para los posibles resultados, se les alentará para que registren los resultados. Este recuento les facilitará la tarea de hacer predicciones acertadas.El espacio muestra del juego con tres monedas es el siguiente:

Tres águilas Dos águilas Un águila Cero águilasaaa saa

asaaas

asssasssa

sss

De donde se observa que los resultados más probables es que salgan una o dos águilas, ambos eventos con una probabilidad de 3/8, siendo las combinaciones tres águilas y cero águilas las menos probables, con una probabilidad de 1/8. En este momento no deberá darse ente tipo de información, simplemente se les cuestionará para ver si observaron que hay combinaciones que se

repiten con mayor frecuencia, por lo que al finalizar el juego, es conveniente plantear preguntas como por ejemplo: ¿Qué combinaciones son más frecuentes? ¿Alguien tiene un método de predicción en particular?Ante estas preguntas, es muy probable que los alumnos no reconozcan cuáles son las combinaciones más frecuentes y tampoco que alguno de ellos tenga algún método de predicción en particular, es probable que algunos digan que elegían la primera combinación que les venía en la mente. Entonces se le puede plantear: si volvemos a lanzar diez veces estas monedas, ¿va a salir lo mismo? ¿Por qué?¿Hay alguna combinación de águilas y soles que cae con mayor frecuencia?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________



EXPERIMENTOSPlan de clase (3/3)

Escuela: ______________________________________ Fecha: ______________Profr.(a): ____________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI


Intenciones didácticas: Que los alumnos se inicien con experiencias aleatorias, de manera que pueda decir cuáles son los posibles resultados y cuáles pueden ocurrir con más frecuencia, usando recursos de fácil manejo.

Consigna. En esta ocasión se trata de realizar varios experimentos. Para ello, pongan atención en lo que se les indicará y respondan las preguntas.

Consideraciones previas: En este grado se inicia el tema “Nociones de probabilidad”, por lo que no es recomendable dar definiciones de términos o que se enuncien resultados formalmente, sino más bien conviene ofrecer al alumno actividades que le permitan desarrollar las estructuras mentales necesarias que lo lleven a comprender los conceptos de las probabilidades que se estudiarán de aquí en adelante.

Primera parte de la actividad. Consiste en mostrarles a los alumnos cuatro canicas de diferente color, pero de igual tamaño. Se colocan en una caja no transparente y se les pide que sin ver saquen una canica. Pero se les pide que antes de hacerlo digan cuál canica piensan que saldrá.

Para ello, se puede anotar en el pizarrón los distintos colores y al lado escribir el número de alumnos que creen que ese color corresponde a la canica que saldrá seleccionada. Se realiza el experimento y se escuchan comentarios de los estudiantes acerca de por qué razón se obtuvo ese color. Se devuelve la canica a la caja.

Segunda parte de la actividad. Nuevamente se tienen las cuatro canicas de diferente color en la caja y se pide a los alumnos que saquen una y registren el color que salió. Después la regresan a la caja y pasa otro a sacar una canica, vuelven a registrar el color y así sucesivamente hasta hacerlo 20 o más veces (de preferencia un número múltiplo de cuatro).Al finalizar el experimento, se harán comentarios acerca de los resultados obtenidos. En este caso se pretende que reflexionen acerca de que el número de veces que sale cada color es muy semejante. Es decir, si el experimento se hace 20 veces, cada color saldrá un número de veces que se acerca a 5. Si se hace 40 veces, seguramente el número de cada color se acercará a 10 y si se hace 60 veces el experimento, el número de veces que salga cada color será cercano a 15.

Tercera parte de la actividad. Ahora mostrar a los alumnos dos canicas del mismo color y otras dos de diferentes colores, es decir tres colores y cuatro canicas que se depositarán en la caja. Por ejemplo:

Ahora hay un color que "puede salir más veces''. Esto no se les dirá a los alumnos, se espera que sean ellos quienes lo comenten. Una vez realizado el experimento conviene escribir en el pizarrón algunos comentarios como "el color que estaba repetido salió más veces ...'', "todos los colores salieron ...'', etc.

Si el tiempo lo permite, se puede realizar las siguientes actividades en el salón, o bien, se pueden dejar como tarea y revisar las respuestas en la siguiente clase. Seguramente algunos alumnos dirán que tuvieron que hacer el experimento, lo cual es válido pues todavía están en la etapa de ver concretamente qué sucede. Cuarta parte de la actividad. Entregar a los alumnos una hoja en la cual está descrito el experimento. Se tiene una caja con cinco canicas de diferentes colores: roja-verde-azul-amarilla-negra. Se extrae una canica y se anota el color. ¿Cuál creen que saldrá? Si se realiza el experimento 20 veces ¿creen que hay alguna canica que saldrá más veces? Nuevamente, lo importante es considerar aquellos comentarios que tienen un sentido relacionado con el azar.

Quinta parte de la actividad. Entregar a los alumnos una hoja donde se describe el experimento: Se tiene una caja con cinco bolas: cuatro rojas y una amarilla. Se pueden repetir entonces preguntas similares a las anteriores y se puede pedir al alumno que haga dibujos que ilustren su respuesta.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos con mayor éxito de la sesión?

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar la sesión?

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________



Plan de clase (1/2)


Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen los criterios de divisibilidad por 2, 3 y 5, y que identifiquen las características de los números primos y compuestos.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. El ingeniero José es supervisor de obras públicas en el municipio de Tecámac, en el estado de México. Dentro de sus funciones está el organizar las cuadrillas que tienen que ir a realizar las obras públicas. Actualmente el ingeniero trabaja con dos grupos; el primer grupo atiende al lado oriente del municipio y el segundo grupo al poniente. El primer grupo lo conforman 50 integrantes y el segundo grupo 47. Ambos grupos han solicitado que las cuadrillas se organicen de tal forma que todas estén integradas con la misma cantidad de trabajadores y que no haya excepciones.a. ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el primer grupo?b. ¿Cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar con el segundo grupo?c. Si reúne a los trabajadores del grupo 1 y 2 para hacer un solo grupo y reorganizar las

cuadrillas ¿cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar?

2. Si 30 x 45 = 1350:a. Escriban cuatro números diferentes a 30 y 45 que sean divisores de 1 350.b. Los números 9, 6 y 15, ¿son divisores de 1 350? c. En caso de que 9, 6 y 15 sean divisores, ¿por cuál número o números se tendrían que

multiplicar cada uno para obtener 1 350?d. Los números 4 y 7 son divisores de 1 350? ¿Por qué?

3. Con base en la siguiente tabla contesten lo que se solicita:

1160 4758 7299 1981151515 1620 35532 6264

4431 52380 489 166

a. ¿Cuáles números son divisibles por 2, por 3 y por 5?b. ¿Qué características debe tener un número para que sea divisible por 2, por 3 y por 5?c. ¿Hay números que tengan más de un divisor? ¿Cuáles?


El primer problema apunta a identificar las características de los números compuestos y primos. Es posible que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la división (la galera) para determinar cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar:

1. Del primer grupo de trabajadores, es muy probable que los alumnos hagan divisiones para encontrar los divisores de 50, algunos de éstos son: 1, 2, 5, 10, etc. De aquí la reflexión del significado del divisor y el resultado que se obtenga, por ejemplo 50 ÷ 2 = 25, por lo tanto, se pueden formar dos grupos de veinticinco personas.

2. Del segundo grupo de trabajadores, es posible que procedan de la misma forma que para el primer, la conclusión que debe obtenerse es que sólo se puede hacer un grupo de 47, o bien 47 grupos con una persona cada uno.

La resolución de este problema se puede aprovechar para discutir e inferir las características de un número primo (en este caso 47) y un número compuesto (50). Se sugiere plantear la búsqueda de números primos y compuestos, con la finalidad de aplicar estas nociones.

Del segundo problema resulta obvio decir que 30 y 45 son dos divisores, el argumento que puede darse es que 1 350 es múltiplo de ellos y probablemente algunos alumnos recurrirán a la comprobación realizando la división. Sin embargo, la expectativa es que los alumnos identifiquen que al descomponer en factores los números 30 y 45, éstos también son factores y por consecuencia, también divisores de 1 350. La multiplicaciones 6x5x45=1350 y 6x5x3x15= 1350 son el resultado de factorizar el 30 en 6 x 5 y el 45 en 3 x 15, por lo que se puede concluir que otros divisores de 1 350, además de 30 y 45, también son el 3, 5, 6, 15. Lo anterior ayuda a que los alumnos escriban los números en función de sus factores primos, además de que puedan realizar conjeturas como: si un número es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y 3, ¿entonces un número que sea divisible por 2 o 3, es siempre divisible por 6?

Si bien, desde primaria, hay un acercamiento a la regularidad de los múltiplos de 2, 3 y 5. Es probable que en el problema 3 los alumnos realicen las divisiones para saber si los números son divisores de 2, 3 y 5. Si es así, posteriormente se trata de identificar las características comunes de los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Con ello se espera consoliden que:

a. Toda cifra que tiene una terminación par o cero es divisible por 2.b. Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3, el número es divisible por 3.c. Todo número que tiene terminación en 5 o 0, es divisible por 5.

De esto último se espera que los alumnos reconozcan que estos criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural dando como resultado otro número natural, sobre todo cuando se tienen cantidades grandes.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Plan de clase (2/2)



Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expliquen y muestren algunas propiedades relacionadas con la suma de 2, 3 y 5 números naturales consecutivos.


1. ¿La suma de tres números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 3? ¿Por qué?

2. ¿La suma de cinco números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 5? ¿Por qué?

3. ¿La siguiente afirmación es correcta? “La suma de dos números naturales consecutivos cualesquiera es divisible por 2”De ser verdad justifiquen la respuesta, de lo contrario reescriban la afirmación de tal manera que sea verdadera y escriban algunos ejemplos.

Consideraciones previas:Para el problema 1, es muy probable que los estudiantes hagan algunos ensayos con diferentes tercias de números consecutivos, por ejemplo sumar 2, 3 y 4; 12, 13 y 14, 87, 88 y 89, etcétera, y que su respuesta sea afirmativa. Posteriormente se les puede solicitar que prueben la validez de su respuesta con otras tercias seleccionadas por otros equipos, así por el número de pruebas realizadas y sin encontrar un contraejemplo podrán explicar y mostrar dicha regularidad.

Dado que no es suficiente mostrar muchos ejemplos para generalizar una propiedad y considerando que en el bloque anterior se inició el trabajo con literales como número general, se sugiere aprovechar la oportunidad para que con la intervención del maestro, se pueda generalizar dicha propiedad. Dos preguntas iniciales pueden ser las siguientes: ¿cómo represento un número cualquiera? ¿y cómo representó los dos siguientes números? La finalidad es obtener la siguiente expresión:

x + x+1 + x+2.

Enseguida se les puede pedir a los alumnos que simplifiquen la expresión anterior, esperando que lleguen a 3x+3.A partir de esta expresión se puede sustituir x por algunos valores naturales y verificar que efectivamente el número resultante es múltiplo de 3, sin embargo, para llegar a una generalización puede centrarse el análisis en que un número natural cualquiera multiplicado por 3 (3x) siempre representa un múltiplo de 3, además, si a este múltiplo de 3 le agrego otro múltiplo de 3 (en este caso 3), quedando la expresión 3x + 3, ésta necesariamente es un múltiplo de 3 y por lo tanto es divisible por 3. Es muy probable que para llegar a esta generalización se requiera de una sentida intervención del profesor, ya que puede resultar complicado que los alumnos la hagan por si solos.

El tratamiento para el problema 2 puede ser semejante al 1. Un aspecto que puede resultar interesante, es que si el primer número es impar el resultado tendrá una terminación 5 y si el primer número es par el resultado tendrá una terminación en 0.

Con el tercer problema se espera que los alumnos identifiquen que la suma de dos números naturales consecutivos es divisible entre 2, si y sólo si, los dos son pares o impares.






Plan de clase (1/2)Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________


Contenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Intenciones didácticas. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del mínimo común múltiplo, empleando el producto de los factores primos.

Consigna. Reúnete con otro compañero y juntos resuelvan los siguientes problemas:

1. Se desea envasar el contenido de un tanque de líquido para limpieza en garrafones de la misma capacidad. ¿Cuál la cantidad mínima de líquido que debe tener el tanque, de tal manera que se puedan utilizar garrafones de 4, de 10 o de 12 litros y que no sobre líquido y los garrafones se llenen completamente?

2. En una línea de transporte de pasajeros, un autobús A sale de la terminal cada 1 ½ hora; un autobús B sale cada 2 horas y un autobús C, cada 2 ½ horas. Si salieron al mismo tiempo los tres autobuses a las 7 de la mañana del día lunes, ¿a qué hora y día vuelven a coincidir sus salidas?

3. Una sirena toca cada 450 segundos, otra cada 250 segundos y una tercera cada 600 segundos. Si a las 4 de la mañana han coincidido tocando las tres, ¿a qué hora volverán a tocar otra vez juntas?

Consideraciones previas: Con respecto al primer problema, es muy probable que los alumnos lo resuelvan listando los múltiplos de cada uno de los números involucrados e identificar visualmente el número buscado que en este caso es 60. Por lo que la cantidad mínima del tanque debe ser de 60 litros.Para el segundo problema, es probable que los estudiantes hagan una lista con los tiempos que pasan cada vez que sale un autobús, hasta lograr que los tiempos coincidan:

Autobús A: 1 ½, 3, 4½, 6, 7 ½, …Autobús B: 2, 4, 6, 8, 10, ...Autobús C: 2 ½, 5, 7½, 10, 12½, …

Si es así, encontrar la respuesta al problema resulta muy laborioso. Otros, es probable que renuncien a trabajar con números fraccionarios y decidan expresar los tiempos de salida de los autobuses en minutos, es decir, 90, 120 y 150 minutos, respectivamente; luego encuentren el mínimo común múltiplo haciendo un listado de los múltiplos de cada uno, lo cual ya no es tan funcional; sin embargo es muy probable que la mayoría intente resolverlo por esta vía, incluso habrá quienes sí puedan resolverlo.Este sería el momento en que el profesor puede dar a conocer un procedimiento abreviado para calcular el mínimo común múltiplo, a partir de la factorización de números primos. Se

inicia por descomponer los números involucrados en factores primos, como se muestra enseguida:

Descomposición en factores primos90 2 120 2 150 245 3 60 2 75 315 3 30 2 25 5

5 5 15 3 5 51 5 5 1

1

Luego se escriben las descomposiciones en forma de potencia:90 = 2 x 32 x 5120 = 23 x 3 x 5150 = 2x 3 x 52

Finalmente se toman los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente. En este caso resulta:

MCM (90, 120, 150) = 23 x 32 x 52= 1800

Esto quiere decir que en un tiempo de 1 800 minutos volverán a coincidir los tres autobuses, tiempo equivalente a 30 horas. Si coincidieron sus salidas a las 7:00 horas del día lunes, volverán a coincidir el martes a las 13:00 horas.

Una forma simplificada de obtener el MCM de los números 90, 120 y 150 es la siguiente:

Descomposición en factores primos

90, 120, 150 245, 60, 75 245, 30, 75 245, 15, 75 315, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1, 1

Por lo tanto, el MCM (90, 120, 150) = 23x32x52 = 1 800

Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes:

Encuentren el MCM de los siguientes números:

MCM = ______________ MCM = ____________ MCM = ___________

MCM = ______________ MCM = ____________ MCM = ___________

¿El m.c.m de dos números primos es el producto de ellos mismos? Justifiquen su respuesta.

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 7:15 de la tarde los tres coinciden. ¿Cuántas veces volverán a coincidir en los próximos cinco minutos y a qué horas?

Un autobús A hace su recorrido cada 8 días y otro autobús B lo hace cada 10 días. Si coinciden en su salida en la central de autobuses el día 20 de noviembre, ¿cuándo volverán a coincidir?

Carmen tiene un reloj despertador que suena cada 60 minutos, otro reloj despertador que suena cada 150 minutos y un tercero que suena cada 360 minutos. A las 6 de la mañana los tres relojes suenan al mismo tiempo. ¿A qué hora volverán a sonar otra vez juntos?

Cierto planeta A tarda 150 días en completar una órbita completa alrededor de su sol. Otro planeta B del mismo sistema solar lo hace en 225 días. Si cierto día ambos planetas están alineados con el sol, ¿cuánto tardarán en volver a estarlo?



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5. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/2)

Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): ______________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PAContenido: 7.2.2 Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor, empleando el producto de los factores primos.

Consigna: Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas:

1. Se quiere cortar dos tablones de madera, uno de 48 cm y el otro de 60 cm, en tablas de la mayor longitud posible y que midan lo mismo, sin que sobre madera de ninguno de los tablones.

a) ¿Cuánto medirá cada una de las partes?b) ¿Cuántas tablas se pueden sacar?

2. Se desea cubrir con azulejos cuadrados una pared de una cocina que mide 210 cm de ancho por 300 cm de alto. Si se quiere que los azulejos sean lo más grande posible y que no haya que romper ninguno, ¿cuál debe ser la medida por lado de los azulejos?

3. En una bodega hay 3 barriles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se puedan envasar todo el vino contenido en cada uno de los barriles, y el número de garrafas que se necesitan.

4. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 peras, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de peras y, además, el mayor número posible. Hallar el número de manzanas o de peras en cada caja y el número de cajas necesarias.

Consideraciones previas:El primer problema es muy sencillo, seguramente los alumnos lo resolverán listando los divisores de cada uno de los números involucrados e identificar visualmente el número buscado que en este caso es 12:Divisores de 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48, Divisores de 60: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60Luego, podrán determinar que en un tablón de 48 cm, se pueden cortar 4 tablas de 12 cm y que en el tablón de 60 cm se pueden cortar 5 tablas de 12 cm, dando un total de 9 tablas.

Con respecto a los problemas 2 y 3, ya no es sencillo resolverlos enlistando los divisores, sin embargo, es probable que los alumnos intenten resolverlos con muchas dificultades.

En este momento es preciso darles a conocer cómo se determina el M.C.D de varios números.Recuerde que el M.C.D. de dos números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.Para hallar el M.C.D. de varios números,

• se descomponen los números en factores primos,• se pasa la descomposición a forma de potencia y• se toman los factores comunes con su menor exponente.

Al igual que en el caso del MCM., se puede descomponer cada uno los números en factores primos. En este caso, resulta:


210 2 300 2105 3 150 2

35 5 75 37 7 25 51 5 5

1Luego se escribe la descomposición en forma de potencia. 210 = 2 x 3 x 5 x 7300 = 22 x 3 x 52 Finalmente se toma los factores primos comunes con menor exponente y se multiplican. En este caso resulta:

MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5= 30

Esto quiere decir que los azulejos más grandes que se pueden poner sin que haya desperdicio, deben tener 30 cm por lado para que quepan 7 azulejos de ancho por 10 azulejos de altura.

Una manera de determinar el MCD de los números de una forma más simplificada es como se muestra enseguida:


210, 300 2105, 150 3 35, 50 5 7, 10

En este caso, sólo se descomponen los números en factores primos comunes. Por lo que el MCD (210, 300) = 2 x 3 x 5 = 30

Esta forma directa puede aplicarse para obtener las respuestas de los problemas 3 y 4.

Problema 3, MCD (250, 360, 540) = 10. Capacidad máxima de las garrafas, 10 litros. Número de garrafas que se necesitan: 25 + 36 + 54 = 115.

Problema 4, MCD (12028, 12 772) = 22 x 31 = 124. 124 manzanas o 124 peras en cada caja. Cajas para manzanas 97 y cajas para las peras 103, total 200 cajas.

Una vez que los alumnos se les han mostrado cómo determinar el M.C.D. y que hayan realizado algunos ejercicios, se les pueden plantear la siguiente reflexión que involucran las nociones estudiadas:

Una pregunta de reflexión que puede plantearse es la siguiente: ¿Si un número es divisor de otro, entonces, este divisor es el MCD de ambos? Justifiquen su respuesta.

Algunos problemas complementarios relacionados con este contenido son los siguientes:

Encuentren el M.C.D de los siguientes números:

M.C.D. = ______________ M.C.D. = ____________ M.C.D. = ___________

M.C.D. = ______________ M.C.D. = ____________ M.C.D. = ___________

Se requiere embaldosar un patio de 1 620 cm de largo por 980 cm de ancho con baldosas cuadradas lo más grandes posibles y enteras. ¿Cuál será la longitud del lado de cada baldosa?

Una fracción de cartulina mide 1 m por 45 cm y se quiere dibujar en ella una cuadrícula del mayor tamaño posible cada cuadrado. ¿Cuál debe ser la medida de cada cuadrado de la cuadrícula?

De un pliego rectangular de foami que mide 96 cm de largo por 72 cm de ancho, se quiere cortar cuadrados de la mayor superficie posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados? ¿Cuántos cuadrados se pueden obtener?


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Plan de clase (1/2)Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________Profesor (a): __________________________________________________________________


Contenido: 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen estimaciones de problemas aditivos que combinan fracciones y números decimales y que reflexionen sobre la pertinencia o no de hacer únicamente una estimación.


1. Estima el resultado de las siguientes operaciones:

a)

b)

2. Encuentren el resultado estimado o exacto, según crean más conveniente, de los siguientes problemas.

a) María está interesada en controlar su peso. Para ello, se pesó una vez por semana y registró los resultados en la siguiente tabla:

Semana 1 2 3 4 5 6 7

Peso (kg) Inicial Subí Subí Bajé Bajé Subí Bajé

57 ½ kg 1.12 kg ¼ kg 0.98 kg 1 ¾ kg 0.14 kg 0.28 kg

Después de las siete semanas, ¿subió o bajo de peso? ____________ ¿cuánto? __________

b) Alfonso viaja constantemente a Estados Unidos por avión, en la aerolínea que utiliza sólo puede llevar equipaje con un peso menor a 23 kg, si dicho equipaje es igual o mayor le cobra una tarifa como se muestra en el siguiente recuadro.

Tarifa Peso/

Sobrepeso + 90 USD 51 - 70 lbs/23 - 32 kg

Alfonso lleva tres maletas con los siguientes pesos: una maleta que pesa 11.5 kg, otra con 8 1/4 kg y una tercera con 1 ¾ kg. ¿Cuál es el peso total que lleva por las tres maletas? ___________________ ¿Alfonso pagará tarifa por sobrepeso? _____________________

Consideraciones previas:Estimar el resultado de una operación es obtener un dato cercano al correcto y para llegar a él pueden utilizarse diferentes procedimientos como el redondeo, el truncamiento, asociar valores,

entre otros. Una estimación puede hacerse mental o utilizando algún implemento como lápiz y papel o una calculadora.

Es posible y deseable que en la primera operación los alumnos determinen que el resultado aproximado es 3 ½, ya que 8/15 es ligeramente mayor a ½, 2.95 es casi 3 y 1/40 es casi cero. En la segunda se puede redondear 1.95 a 2, transformar 6/8 en ¾, considerar 1/9 como 0.1 y 0.23 como ¼, así al relacionar ¾ y ¼ que se resta queda ½, 0.1 y 0.1 que se resta queda cero, por lo tanto, el resultado aproximado es 2.5 o bien 2 ½. Es necesario discutir ampliamente la pertinencia de operar y expresar los resultados con decimales o con fracciones. Por los valores utilizados, es posible que algunos alumnos hagan los cálculos mentalmente, si no es así, se puede solicitar que se use esta variante.

En relación con los problemas es importante que los alumnos discutan para decidir la pertinencia de obtener un resultado exacto o buscar únicamente una estimación. Mientras que para el primero es suficiente una estimación, en el segundo es indispensable encontrar el resultado exacto, ya que algunos gramos de más implican un cobro importante para Alfonso.






Plan de clase (2/2)Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________Profesor (a): __________________________________________________________________


Contenido: 7.2.3 Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen los algoritmos usuales al resolver problemas que impliquen sumar y restar fracciones y números decimales.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas:

1. Karla tiene problemas con su columna y el médico le recomendó no cargar pesos superiores a 5.5 kg. El fin de semana Karla fue al mercado y cargó los siguientes artículos: 1 2/5 kg de naranjas, 580 gramos de jamón, 1/5 de kg de queso, 1.2 kg de pollo, ¾ de kg de carne, una lata de rajas de 425 gramos, un jabón de tocador de 125 gramos y ½ kg de tortillas. ¿Respetó Karla la indicación de su médico?____________ ¿Cuál es la diferencia entre la recomendación del médico y lo que cargó? __________________________

2. Encuentren el número faltante en las siguientes operaciones:

a.

b.

Consideraciones previas:A diferencia del plan anterior, aquí es necesario encontrar resultados exactos. Por los números utilizados en los problemas, tanto decimales como fraccionarios, se espera que no sea tan evidente utilizar el cálculo mental para encontrar los resultados, y que los estudiantes usen los algoritmos convencionales para dicho fin.

En el primer problema, además de requerir que los alumnos realicen transformaciones entre decimales y fracciones y operar con ellos, es necesario que sepan que un kilogramo equivale a 1000 gramos, por lo tanto, 580 gr, 425 gr y 125 gr, pueden escribirse como 0.58 kg, 0.425 kg y 0.125 kg, respectivamente.

El asunto de la conveniencia de trabajar con decimales o con fracciones es una decisión importante que tienen que discutir los alumnos, por ejemplo, en la operación b al intentar transformar las fracciones en decimales se obtienen números periódicos y por lo tanto el número buscado será aproximado, en cambio sí se transforma 0.3 en fracción y se opera con puras fracciones el resultado será exacto.



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Plan de clase (1/3)Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________Profr.(a): ___________________________________________________________


Contenido: 7.2.4 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Intenciones didácticas:Que los alumnos usen la multiplicación de fracciones para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos de cuatro, van a resolver la siguiente actividad: “Cambiando la unidad”. (Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Secundaria, páginas 52 y 53).

Consideraciones previas: Los alumnos han realizado diversas actividades que son similares a esta en la primaria por lo que se espera que no tengan dificultad en su comprensión. Es probable que para cada actividad de la ficha se requiera una sesión.

Si no cuenta con el fichero, lo puede descargar en la siguiente dirección electrónica:http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/ficheroactividades.pdf

Observaciones posteriores:7. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

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8. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/ficheroactividades.pdf

http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/pdf/orientaciones/ficheroactividades.pdf

Plan de clase (2/3)Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________Profr.(a): __________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA


Intenciones didácticas:Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen multiplicaciones y/o divisiones con fracciones. Resuelvan problemas de división de fracciones a partir de la aplicación del inverso multiplicativo


a) Una tableta de una medicina pesa de onza, ¿cuál es el peso de de

tableta?

b) Una botella cuya capacidad es litros, contiene agua hasta sus partes.

¿Qué cantidad de agua contiene?

Consideraciones previas: Lo importante en el primer problema es que los alumnos se den cuenta de que, dado que quieren saber el peso de ¾ de tableta y el peso de la tableta completa es 4/7, lo que interesa averiguar es ¾ de 4/7. Este es el primer asunto que conviene que los alumnos tengan claro. A partir de aquí se puede ver que 4/7 se puede dividir en cuatro partes iguales y que cada una de esas partes es 1/7, de manera que ¼ de 4/7 es 1/7, 2/4 son 2/7 y ¾ de 4/7 son 3/7. Una vez que se ha hecho esta reflexión conviene pasar a la escritura formal para ver que ¾ de 4/7 es lo mismo que ¾ x4/7= 12/28 = 3/7. En el caso del segundo problema los alumnos pueden apoyarse en la representación gráfica, que corresponde al modelo de áreas.


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Plan de clase (3/3)Escuela: ____________________________________________ Fecha: _________Profr.(a): __________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA


Intenciones didácticas:Que los alumnos resuelvan problemas de división de fracciones a partir de la aplicación del inverso multiplicativo

Consigna: Organizados en parejas, van a resolver los siguientes problemas:

a) Un rectángulo tiene de área y sabemos que uno de sus lados mide .

¿Cuánto medirá el otro lado?

b) Un rectángulo tiene de área y sabemos que uno de sus lados mide .

¿Cuánto medirá el otro lado?c) Un granjero colocó una cerca alrededor de su parcela para que no entraran los

animales a comerse sus verduras. La parcela es de forma cuadrada, cada lado

mide 10 m, si puso los postes cada de metro, ¿cuántos postes colocó?

Consideraciones previas: En el primer problema, quizá los alumnos tracen un cuadrado a escala que represente el terreno y marquen el lugar donde colocarían cada poste. En los dos últimos problemas es importante que los alumnos sepan que cuando conocen el área de un rectángulo y la medida de uno de sus lados, pueden calcular la medida del otro lado dividiendo el área entre el lado conocido. Partiendo de esta idea básica, el problema es cómo dividir 15/40 entre 5/8. Una posibilidad es plantear esta operación como una multiplicación en la que se desconoce un factor: 5/8 x ( ) = 15/40. Dado que los alumnos ya saben que para multiplicar fracciones se multiplican numeradores y denominadores, es fácil que puedan encontrar el factor desconocido. Sólo después de hacer estas reflexiones se les puede decir que la división de fracciones equivale a multiplicar por el inverso multiplicativo, es decir, 15/40:5/8=15/40x8/5=120/200=3/5


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Plan de clase (1/2)Escuela: _________________________________________________ Fecha: _____________

Profr.(a): ______________________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Intenciones didácticas:Que los alumnos:

Utilicen los conceptos de recta, segmento, semirrecta; perpendicular y punto medio. Elaboren definiciones de mediatriz de un segmento y busquen maneras de trazarla.

Consigna 1: Dados los siguientes segmentos, traza una recta perpendicular a cada uno, de tal manera que los divida en dos partes iguales. Señala con la letra que quieras el punto donde se cortan los dos segmentos.

a) La recta que trazaste en cada caso se conoce como “mediatriz” del segmento dado. Escribe una definición de mediatriz.

Consigna 2: Traza la mediatriz de cada segmento y marca un punto cualquiera sobre la mediatriz que trazaste. Después, une los extremos del segmento dado con el punto marcado sobre la mediatriz.

a) ¿Qué tipo de triángulo se formó en cada caso?b) ¿Todos los triángulos que formaste tienen la misma altura?__________ ¿Por qué?c) Si las distancias de cada extremo del segmento dado al punto marcado sobre la

mediatriz fueran iguales, ¿qué tipo de triángulo se formaría?d) Tomando como base los segmentos anteriores, ¿se podrá formar un triángulo con

tres lados de diferente medida? Justifica tu respuesta.

Consigna 3: Traza un segmento cualquiera y su mediatriz y con ellos dibuja un rombo.

A

B

CD

J

K

P Q

a) ¿Es único el rombo que se puede construir con los segmentos que trazaste? Justifica tu respuesta.

Consideraciones previas: Es importante verificar que los alumnos tracen correctamente la mediatriz de cada segmento y después de esto cuestionarlos para que caigan en cuenta que todos los triángulos formados son necesariamente tienen dos lados iguales, por lo tanto son isósceles. Pero si las distancias de cada uno de los extremos del segmento al punto marcado son iguales a la longitud del segmento, el triángulo formado es equilátero. De igual forma puede utilizarse la construcción del rombo y hacer cuestionamientos a los alumnos para que revisen y complementen la definición de mediatriz –en caso de que sea necesario.


7. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Plan de clase (2/2)Escuela:_________________________________________________ Fecha: _____________Profr.(a): _____________________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.2.5 Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

Intenciones didácticas:Que los alumnos:

Utilicen el concepto de ángulo. Busquen maneras para trazar la bisectriz de un ángulo y elaboren la definición de

bisectriz.

Consigna 1: Traza una línea, de tal manera que cada ángulo quede dividido en dos ángulos de igual medida.

a) A la línea que trazaron se le conoce con el nombre de “bisectriz” del ángulo. Escriban una definición para bisectriz.

Consigna 2: Traza con algún color la bisectriz de los ángulos interiores de cada figura, con otro color las diagonales y con un color diferente la mediatriz de cada lado.

a) ¿En qué casos coinciden las diagonales del polígono con las bisectrices de sus ángulos?

b) ¿En qué casos coinciden las mediatrices y las bisectrices?c) Tracen un círculo que quede inscrito en cada uno de los polígonos anteriores.

Consideraciones previas:Habrá que estar atentos para ver qué hacen al trazar diagonales y en caso necesario aclarar que los triángulos no tienen diagonales. Asimismo, será importante revisar qué relación hay entre las mismas diagonales (en el caso del cuadrado y del rombo son perpendiculares mediatrices una con respecto de la otra). De igual forma, podrían analizar la relación entre varias parejas de líneas dentro de cada figura.







Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F E y M

Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos calculen el perímetro y el área de polígonos regulares utilizando diferentes procedimientos.

Consigna. Reúnete con un compañero y tomen las medidas necesarias para calcular el perímetro y el área de cada una de las siguientes figuras:

.

Perímetro: ___________ Perímetro: ___________ Perímetro: ______________

Área: ___________ Área: ___________ Área: ______________

Consideraciones previas: En este momento los alumnos deben conocer las fórmulas para calcular el perímetro y el área de las dos primeras figuras, se espera que usen estos conocimientos para resolver lo que se plantea.Para el caso del área del triángulo, necesitan dos datos, la medida de la base y de la altura. Por lo que se espera que midan y obtengan estos datos y apliquen la fórmula correspondiente. La base mide 5 cm y su altura mide aproximadamente 4.3 cm.

Cuadrado Pentágono regularTriángulo equilátero

En relación con el perímetro, éste lo pueden obtener de varias maneras, por ejemplo tomando tres veces como sumando la medida de un lado (5 cm) o bien con la multiplicación 3 (5 cm). En este momento vale la pena profundizar con preguntas como:

¿Qué fórmula se requiere para calcular el perímetro de un octágono regular? ¿Cuál para un decágono regular? ¿Y cuál para un polígono regular de n lados? Si la fórmula para calcular el perímetro de un polígono regular es P = 7l, donde l es

la medida de un lado, ¿de qué figura se trata? Y si la fórmula es P = l + l + l + l + l + l, ¿de qué figura se trata?

La idea es interactuar con el lenguaje algebraico.

Para el cuadrado, basta con utilizar P = 4l y A = l 2 para obtener el perímetro y el área, respectivamente, donde l es la medida de un lado.

En la tercera figura el verdadero reto está en calcular su área, dado que los alumnos no conocen una fórmula para calcular el área del pentágono regular. Sin embargo, cuentan con otros recursos para hacerlo, como dividir el pentágono en otras figuras, para las cuales ya conocen una fórmula. Algunas posibles transformaciones son las siguientes:

Pentágono regular

Caso 1

Pentágono regular

Caso 2

Pentágono regular

Caso 3

Pentágono regular

Caso 4

Nota: Las líneas punteadas son las alturas de las figuras resultantes, las cuales tendrán que ser consideradas por los alumnos para realizar sus cálculos.

En el caso 1, la figura está dividida en un triángulo y un trapecio. En el segundo caso son puros triángulos. En el caso 3, está dividido el pentágono en tres triángulos y un cuadrado. El caso 4, es una división poco probable que realicen los alumnos, sin embargo, es uno de los métodos más rápidos, porque sólo necesitan dos medidas para hacer los cálculos. En caso de que este procedimiento de triangulación no surgiera entre los alumnos, se puede sugerir que lo hagan, ya que representa una experiencia fundamental para deducir la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular.

Independientemente del procedimiento que sigan los alumnos, se espera que puedan concluir que el área del pentágono es de aproximadamente 28 cm2.


10.¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

11.¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Curso: Matemáticas 7 Eje temático: F E y M

Contenido: 7.2.6 Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

Intenciones didácticas. Que los alumnos deduzcan la fórmula general para calcular el área de un polígono regular.

Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas:

1. Con base en las siguientes figuras, escriban una fórmula para calcular el área del hexágono y otra para el octágono.

2. Escriban una fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular.


Con respecto al primer problema, es probable que la mayoría de los alumnos sólo lleguen a las siguientes expresiones algebraicas:

Para el hexágono:

Para el octágono:

Si este fuera el caso, puede generarse una interacción entre los alumnos y el profesor para

deducir la fórmulas.El profesor puede explicar que las sumas se pueden escribir así:

Para el hexágono:

Para el octágono:

Luego, puede preguntarse a los alumnos: ¿Qué representa lo que está dentro del

paréntesis?, ¿Cómo se pueden escribir esas sumas en forma de productos?

Esto es con la finalidad de que los alumnos se den cuenta que las sumas representan el

perímetro de las figuras y cómo las pueden simplificar. Con lo anterior se pueden

transformar las expresiones en otras:

Para el hexágono: o

Para el octágono: : o

A partir de estas últimas expresiones, se puede preguntar a los alumnos, ¿cuál sería la

fórmula para calcular el área de un decágono regular? ¿y para un polígono regular de 16

lados? ¿y para calcular el área de cualquier poígono regular? La idea es que los alumnos

adviertan la variación en las fórmulas es 6x, 8x, 10x, 16x y que estas expresiones

representan el perímetro de los poígonos, el cual puede representarse con P; por lo que la

fórmula para calcular el área de cualquier un polígono regular es:

Finalmente, se sugiere pedir a los alumnos que usen la fórmula construida para verificar el

área del pentágono del plan anterior.



________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




Plan de clase (1/2)

Escuela: _______________________________ Fecha: _____________

Profr. (a): _____________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: M I

Contenido: 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen el factor constante de proporcionalidad entero y fraccionario para resolver problemas del tipo valor faltante, en los cuales los datos conocidos son enteros.

Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema: Los lados de un cuadrilátero miden 5, 9, 2 y 11 cm, tal como se muestra en la figura; si se realiza una reproducción a escala y el lado correspondiente a 5 cm, ahora mide 15 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados? Utilicen la tabla para escribir las respuestas.

Medidas de los lados de la figura original

Medidas de los lados de la reproducción

5 cm 15 cm2 cm9 cm11cm

Consigna 2: Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado correspondiente a 9 cm, en la reproducción mide 3 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados?



5 cm

9 cm

2 cm

11 cm


Consigna 3: Consideren la situación de la consigna 1, con la diferencia de que el lado correspondiente a 2 cm, en la reproducción mide 5 cm, ¿cuánto deben medir los demás lados?




Observaciones previas:Los problemas 1 y 2 son semejantes a los tratados en el bloque 1, en el 3 hay un avance importante, el factor constante de proporcionalidad (2.5 o 5/2) ya no es fracción unitaria, así la tarea principal en esta clase se centra en la búsqueda y uso del factor constante de proporcionalidad. Si a los alumnos les cuesta trabajo relacionar el tema de escala con la proporcionalidad, explicar y ejemplificar dichos vínculos.Es probable que en el ejercicio 2, utilicen la división para obtener los valores que se piden, destacar la equivalencia de dividir entre 3 y multiplicar por un tercio.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/2)

Escuela: _______________________________ Fecha: _____________

Profr. (a): _____________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: M I

Contenido: 7.2.7 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen factores constantes de proporcionalidad fraccionarios para resolver problemas del tipo valor faltante, en los cuales los datos conocidos son enteros y decimales.

Consigna 1: En equipos resuelvan lo siguiente. Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 5 cm, ahora mide 2.5 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados?



5 cm 2.5 cm2 cm9 cm11cm

Consigna 2: Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 9 cm, ahora mide 6.5 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.




Consigna 3: Consideren la situación de la consigna 1 del plan anterior, con la diferencia de que el lado de 2 cm, ahora mide 2.8 cm en la reproducción, ¿cuánto deben medir los demás lados? Pueden utilizar calculadora.




Observaciones previasEn el ejercicio de la consigna 1 el factor puede ser 0.5 o ½ (valores equivalentes), en cualquiera de los casos aprovechar la oportunidad para vincular con las operaciones de multiplicación y división.Por ejemplo, si tomamos la razón 5 cm es a 2.5 cm

División: Al intentar encontrar el factor constante de proporcionalidad (2.5 5) Multiplicación: Al utilizar el factor constante de proporcionalidad (5 x 0.5 ó 5 x ½)

En el ejercicio de la consigna 2 el factor de proporcionalidad puede ser 13/18 u otra fracción equivalente y el decimal periódico

Si se dan ambos casos, revisar los algoritmos y notar la diferencia (en algunos casos con los decimales se obtienen resultados aproximados).


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



0.72

0.72

Plan de clase (1/2)Escuela: _____________________________________________Fecha: _____________Profr.(a): ________________________________________________________________


Contenido 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la multiplicación para resolver problemas con números decimales.

Consigna: En parejas resuelvan los siguientes problemas.Una revista de ciencia publicó que uno de los primeros satélites que existieron tardaba 95.57 minutos en dar una vuelta a la Tierra. De acuerdo con esta información

a. ¿Cuántos minutos tardaba el satélite para dar 9.5 vueltas a la Tierra?b. ¿Cuántos minutos tardaba para dar 100 vueltas?c. ¿Cuántos días tardaba en dar 100 vueltas?d. ¿Cuántas horas tardaba en dar 100 vueltas?

Consideraciones previas: A partir de este problema se puede llevar a los alumnos a varias reflexiones interesantes, por ejemplo, el procedimiento rápido para multiplicar un decimal por 100, teniendo mucho cuidado de no pretender que simplemente se aprendan de memoria la regla de recorrer el punto decimal, sino que usen la calculadora para que observen la regularidad y ellos mismos formulen la regla. En el inciso c, un resultado aceptable es 6.6 días, a partir del cual se pueden plantear preguntas interesantes como: ¿Cuál sería el resultado expresado en días y horas? ¿Cuál sería el resultado expresado en días y minutos? Es muy probable que algunos alumnos digan que son 6 días y 6 horas, ante lo cual se puede cuestionar: ¿Y si fueran días y minutos serían 6 días y 6 minutos? El punto es que caigan en cuenta que 6.6 días, son 6 días y 6 décimos de día, de donde cabe preguntar: ¿Cuánto es un décimo de día en horas? ¿Cuánto es un décimo de día en minutos?



11. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________



Plan de clase (2/2)Escuela: _____________________________________________Fecha: _____________Profr.(a): ________________________________________________________________


Contenido 7.3.1 Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Intenciones didácticas:Que los alumnos reflexionen sobre el valor del producto cuando uno de los factores es menor que uno y utilicen el algoritmo convencional de la multiplicación para resolver problemas con números decimales.

Consigna: En parejas resuelvan los siguientes problemas.a. La Tierra gira alrededor del Sol a 29.7 kilómetros por segundo. Marte lo hace a

0.81 veces la velocidad de la Tierra. ¿Cuál de los dos planetas gira más rápido? ¿Por qué? ¿A qué velocidad gira Marte?

b. La velocidad de Plutón es de 4.8 kilómetros por segundo. La de Venus es 7.5 veces la velocidad de plutón. ¿A qué velocidad gira Venus?

Consideraciones previas: Es importante detenerse en el análisis de las tres preguntas del primer problema, porque es muy probable que algunos alumnos piensen que en toda multiplicación el producto debe ser mayor que cualquiera de los factores, lo cual no sucede cuando uno o ambos factores son menores que uno. Es conveniente que primero anticipen y después verifiquen que el resultado de multiplicar 29.7 por 0.81 es menor que 29.7 Por otra parte, también es importante consolidar la idea de que al utilizar la expresión “n veces”, n puede ser un número mayor, igual o menor que uno. En el contexto del problema, una afirmación que es cierta es que los planetas más cercanos al Sol giran más rápido a su alrededor. Otros problemas que se pueden plantear son: Diámetro de la Tierra: 12 756kmDiámetro de la Luna: 0.27 veces el de la Tierra. ¿Cuál es el diámetro de la Luna?

Averigua el diámetro de cada planeta pero antes digan cuales planetas son más grandes y cuales más chicos que la tierra. Planeta DiámetroTierra 12,756 kmMercurio 0.38 veces el diámetro terrestreVenus 0.91 veces el diámetro terrestreMarte 0.52 veces el diámetro terrestreJúpiter 10.97 veces el diámetro terrestreSaturno 9.03 veces el diámetro terrestreUrano 3.73 veces el diámetro terrestreNeptuno 3.38 veces el diámetro terrestrePlutón 0.45 veces el diámetro terrestre






Plan de clase (1/3)Escuela: ______________________________________ Fecha: _____________Profr. (a): ___________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido 7.3.2 Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Intenciones didácticas:Que los alumnos reflexionen sobre las relaciones que se pueden establecer entre los términos de la división.

Consigna: Organizados en equipos, encuentren 5 divisiones en las que el cociente sea 3.5 y el residuo sea cero. No se vale utilizar la calculadora.

Consideraciones previas: El problema fundamental consiste en encontrar una división cuyo cociente sea 3.5, para lo cual, es probable que los alumnos recurran al tanteo y posteriormente se den cuenta de que si multiplican el cociente por un divisor cualquiera, obtienen el dividendo. Una vez que tienen una división, también se espera que se den cuenta de que pueden obtener otras con el mismo cociente si multiplican el dividendo y el divisor por el mismo número. Es muy importante que todos estos hallazgos sean de los alumnos y que el profesor sólo se encargue de socializarlos y de ponerlos en claro durante la confrontación.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear a los alumnos el siguiente problema: Inventen un problema que se pueda resolver con una división y cuyo resultado sea 3.4En esta actividad habrá que centrar la discusión en la pertinencia de los datos propuestos y el significado del resultado obtenido según el contexto planteado por cada equipo.






Plan de clase (2/3)Escuela: ______________________________________ Fecha: _____________Profr. (a): ___________________________________________________________



Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen adecuadamente el algoritmo convencional de la división para resolver problemas con números decimales.

Consigna: En equipos, resuelvan los siguientes problemas. No se vale utilizar la calculadora.

1. Una caja de refrescos cuesta $ 104.40. Si ésta contiene 24 refrescos, ¿cuál es el costo de cada refresco?

2. El ancho de un rectángulo mide 1.25 m y su área es de 10 m2. Calcula la longitud de su largo.

3. Si un costal de azúcar contiene 61.5 kg, ¿cuántos paquetes de 0.750 kg se pueden llenar?

Consideraciones previas: Los problemas anteriores permiten reflexionar sobre el algoritmo de la división con decimales, el cual ha sido estudiado por los alumnos en la primaria. En caso de que los alumnos tengan dificultades con este algoritmo conviene reestudiarlo, haciendo énfasis en la propiedad de multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia de 10, para que el divisor quede entero.




¿?

1.25 m10 m2



Plan de clase (3/3)Escuela: ______________________________________ Fecha: _____________Profr. (a): ___________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA


Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen el algoritmo convencional de la división para resolver problemas con números decimales e interpreten correctamente los resultados obtenidos.

Consigna: En equipos y sin usar calculadora, calculen y anoten en la siguiente tabla las velocidades que corresponden a Luis, Juan y Pedro. Posteriormente contesten las preguntas planteadas.

Nombre Distancia Tiempo VelocidadLuis 215.5 km 2.5 horasJuan 215.5 km 2.39 horasPedro 215.5 km 2 horas, 6 minutos

a) ¿Quién hizo mayor tiempo?

b) ¿Quién iba a mayor velocidad?

Consideraciones previas: En primer lugar se espera que los alumnos sepan que mediante la división de la distancia entre el tiempo se pueden calcular las velocidades. Un problema adicional en el que seguramente será necesario que el maestro intervenga es el manejo de las unidades, dado que están dividiendo kilómetros entre horas, el resultado (la velocidad) será km/h (kilómetros por hora o kilómetros sobre hora). Un problema más es la manera en que se expresa el tiempo de Pedro, necesariamente hay que convertir 2 horas 6 minutos en un decimal y muchos alumnos pueden pensar que se trata de 2.6 h, lo cual es incorrecto. El maestro tendrá que intervenir para aclarar que 6 minutos es la décima parte de 60 minutos, por lo tanto son 6 horas y un décimo de hora, es decir, 6.1 horas.






Plan de clase (1/4)

Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________Profr. (a).: ___________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.3.3 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado de la forma , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen procedimientos personales al resolver problemas que se pueden plantear con una ecuación de la forma

Consigna: De manera individual resuelvan los siguientes problemas:

1. Pensé un número, a ese número le sumé 15 y obtuve como resultado 27. ¿Cuál es el número que pensé?”

2. Pensé un número, lo multipliqué por 3 y obtuve 51. ¿Cuál es el número que pensé?

3. Pensé un número, lo multipliqué por 2, le sumé 5 y obtuve 27. ¿Cuál es el número que pensé?

4. Pensé un número, le saqué mitad y luego le resté 15, con lo que obtuve 125. ¿Cuál es el número que pensé?

5. La edad de Liliana es un número que sumado a 15 da como resultado 27. ¿Cuál es la edad de Liliana?

6. Si al doble de la edad de Juan le sumas 8, obtienes 32. ¿Cuál es la edad de Juan?

Consideraciones previas:Es conveniente que después de resolver cada problema se analicen grupalmente los procedimientos utilizados. Los problemas propuestos sólo son ejemplos de muchos otros que se pueden plantear, procurando aumentar el rango de los números para “obligar” a los alumnos a utilizar algo más que el cálculo mental. Este algo más puede ser las operaciones inversas. Por ejemplo, en el problema 4, es probable que algunos alumnos utilicen el camino de regreso: a 125 sumarle 15 y al resultado multiplicarlo por dos, con lo que se obtiene el número pensado.






Plan de clase (2/4)Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________Profr(a).: _____________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA


Intenciones didácticas:Que los alumnos resuelvan problemas y hagan planteamientos que impliquen encontrar números desconocidos a través de su representación.

Consigna. En equipos encontrar el valor de x de los siguientes problemas:

Consideraciones previas:Para el primer y segundo casos, es probable que no haya ninguna dificultad para que los alumnos encuentren el valor de x; sin embargo, para el tercer caso, es probable que los alumnos tengan dificultades en reconocer que es igual a , y que por 3 es igual a para que puedan llegar finalmente a la ecuación . Situación que se puede aprovechar para plantear algunas actividades en las que los alumnos expresen de manera breve el perímetro o áreas de figuras. Ejemplo:

En este mismo contexto se puede introducir el uso del exponente 2 para expresar un número elevado al cuadrado, por ejemplo, , en lugar de , así como la convención de eliminar el signo de multiplicación entre dos literales o entre número y letra.



100

4

x

Área = 152 m2

x = ________

a)b) c)

x

x

x

x x

Perímetro = 80 cmx = ________

3

2xx

Área = 36 m2

x = ________

_________________________________________________________________________




101

Plan de clase (3/4)Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________Profr. (a): ___________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA


Intenciones didácticas:Que los alumnos examinen y discutan las diversas formas de expresar simbólicamente una misma ecuación.

Consigna. En equipos resolver el siguiente problema a partir de plantear una ecuación.

En una tira como la del dibujo se quieren hacer cinco agujeros del mismo diámetro a distancias iguales. Si cada agujero es un circulo de 9 cm de diámetro, ¿cuánto deben medir las separaciones entre agujeros señaladas en la figura con la letra x?

Consideraciones previas:Es probable que los alumnos no hagan uso de una ecuación para resolver el problema, sino que recurran a procedimientos aritméticos, por ejemplo:9 x 5 = 45, 60 – 45 = 15, 15 ÷ 6 = 2.5

Por supuesto que el procedimiento anterior es correcto y hay que validarlo como tal, sin embargo después de esto conviene pedirles que ahora planteen una ecuación con la que se resuelva el problema. Es probable que lleguen a ecuaciones como las siguientes:

Después de dar tiempo suficiente para que los alumnos planteen la ecuación y la resuelvan, se hará una puesta en común, sólo de las ecuaciones que se hayan escrito en forma diferente. También es importante ver como las resolvieron. El asunto a enfatizar es cuál es la manera más abreviada de escribir la ecuación.

102

x x9 cm

60 cm.

x

Una vez que todos estén de acuerdo en que la ecuación es , hay que consolidar los procedimientos que ya han utilizado para resolver ecuaciones, que seguramente serán el cálculo mental y el uso de las operaciones inversas, pero además hay que introducir el uso de las propiedades de la igualdad, en particular la que nos permite efectuar cualquier operación para simplificar la ecuación, siempre y cuando dicha operación se efectúe en los dos miembros de la ecuación y con los mismos números. En el caso anterior sería:

Ecuación original: 6x + 45 = 60Se resta 45 en ambos miembros: 6x + 45 – 45 = 60 – 45Resulta: 6x = 15Se divide entre 6 a los dos miembros: 6x/6 = 15/6Resulta: x = 2.5Después de esto hay que comprobar que efectivamente 2.5 es el valor de x que satisface la ecuación. Hay que dedicar algún tiempo para consolidar este procedimiento.






103

Plan de clase (4/4)Escuela: _______________________________________ Fecha: _______________Profr(a).: _____________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA


Intenciones didácticas:Que los alumnos resuelvan problemas y planteen ecuaciones para encontrar números desconocidos.

Consigna: En equipos de 3 alumnos, plantear una ecuación y resolverla para dar respuesta al siguiente problema.

Se reparten 76 balones en 3 grupos, el segundo recibe 3 veces el número de balones que el primero y el tercero recibe 4 balones menos que el primero. ¿Cuantos balones recibe cada grupo?

Consideraciones previas:Es conveniente que después de resolver el problema se analicen grupalmente los procedimientos utilizados.Una dificultad que se puede presentar a los alumnos es poder establecer la ecuación que relaciona todos los datos del problema.

De presentarse dificultades de interpretación, será necesario orientar a los alumnos para organizar la información del problema, por ejemplo:

Grupos: A B CBalones: x 3x x - 4Esto les puede facilitar el planteamiento de la ecuación.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear lo siguiente:

Consigna: Plantear una ecuación y resolverla para dar respuesta al siguiente problema.

Se tienen 88 objetos que se reparten entre dos personas, la segunda persona recibe 26 menos que la primera. ¿Cuántos recibe cada una?



104

_________________________________________________________________________




105

Plan de clase (1/3)Escuela: _____________________________________________Fecha: ____________Profr. (a): ______________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.3.4 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

Intenciones didácticas:Que los alumnos: Establezcan la diferencia entre el ángulo interior y el ángulo exterior de un polígono.Construyan diferentes polígonos de acuerdo con la información que se dé acerca de éstos.

Consigna 1: En equipo, utilizando las tiras de papel que se proporcionan, sin cortarlas, mediante dobleces únicamente, construyan las siguientes figuras planas regulares: triángulo (equilátero), cuadrado, pentágono y hexágono. Cada equipo construya por lo menos dos distintas.

a) ¿Cómo determinaron dónde debían hacer el doblez? ¿Por qué?

Consideraciones previas:Para la realización de esta actividad es necesario preparar el siguiente material:Previendo que se formen equipos de cuatro alumnos, será necesario entregar a cada equipo cuatro tiras de 30 cm de largo por 1 cm de ancho, de manera que en cada equipo cada alumno construya una de las figuras propuestas.En caso de que a los alumnos se les dificulte la identificación de las figuras planas, colocar en el pizarrón un cartel (preparado para este efecto) con las figuras que se pide obtener, sin nombrarlas o mostrar alguna de sus características. Plantear preguntas como las siguientes.¿En qué son diferentes?¿En qué se parecen?A continuación se les pide que tomen una de las tiras de papel y hagan un nudo con ella. ¿Qué figura se obtiene en los dobleces marcados?

Consigna 2: Comenten en cada equipo los procedimientos utilizados para obtener las figuras anteriores y escriban la secuencia de pasos para exponer ante el grupo los que resulten diferentes.

Consideraciones previas:Si se observa que la mayoría de los alumnos no tienen dificultades en formar algunos polígonos, se les puede pedir que sólo se muestren los casos en los que se haya detectado mayor problema.Si después de unos diez minutos nadie ha construido una figura, habrá que utilizar un procedimiento dirigido para que el alumno siga las indicaciones y observe la forma en que se hacen los dobleces. Luego se preguntará sobre las características de la figura obtenida y si cumple o no con la tarea encomendada.

106

Consigna 3: A partir de las características observadas en las figuras construidas, completar la tabla siguiente:

Nombre # de lados # de ángulos Medida del ángulo interior

# de diagonales

Triángulo4 2

5120°

Consideraciones previas:En caso de que sea necesario, utilizar el cartel que se preparó con las figuras para la medición de los ángulos de las figuras construidas. Conviene analizar en colectivo los resultados de la tabla y discutir los resultados diferentes. También vale la pena analizar las regularidades de la tabla, por ejemplo, en todos los casos el número de lados coincide con el número de ángulos.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




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Intenciones didácticas:Que los alumnos busquen procedimientos para localizar el centro de una circunferencia dada y para dibujar un polígono regular inscrito en dicha circunferencia.

Consigna 1: Construyan un hexágono regular inscrito en la siguiente circunferencia.

¿Cuál fue el procedimiento que siguieron para trazarlo?

Consideraciones previas:Es probable que los alumnos se den cuenta de que necesitan el centro de la circunferencia pero no sepan como ubicarlo, en tal caso, primero hay que ver si la duda se puede resolver entre los propios alumnos. Si no es posible, se les puede sugerir el recurso de marcar tres puntos sobre la circunferencia, unirlos para trazar un triángulo y localizar el cruce de las mediatrices, que a la vez es el centro de la circunferencia.

Consigna 2: Divide el hexágono construido en triángulos congruentes que tengan un vértice común.¿Qué tipo de triángulos se forman al dividir el hexágono? Justificar la respuesta.

Consideraciones previas:Aquí se introduce el concepto de congruencia, sin embargo no será motivo de estudio en este momento y se puede dejar sólo la idea que al decir triángulos congruentes es lo mismo que decir triángulos iguales en forma y tamaño. En caso de que haya tiempo, se les pedirá que tracen otro polígono regular inscrito en la circunferencia, que lo triangulen y digan qué tipo de triángulos se formaron ahora.

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Intenciones didácticas:Que los alumnos:Utilicen las mediatrices de los lados de un cuadrado para trazar un octágono regular.Averigüen como puede trazarse un polígono regular con base en la medida de un lado.

Consigna 1: A partir de la siguiente figura construye un octágono regular inscrito en la circunferencia. Describe con claridad el procedimiento empleado y justifícalo.

Consigna 2: Traza un cuadrado cuyo perímetro sea 48 cm y su área sea 144 cm2.

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrado?

Consigna 3: Traza un hexágono regular que mida 5 cm por lado y después contesta las preguntas que siguen.

¿Cuánto mide un ángulo interior del hexágono regular?¿Cuál es el área del hexágono que trazaste?

Consideraciones previas:Los alumnos saben que al triangular un hexágono regular se forman triángulos equiláteros. Con esta información podrán saber la medida de un ángulo interno del hexágono y trazarlo, sabiendo que un lado mide 5 cm. En caso de que se atoren se dibujará en el pizarrón un hexágono para ayudarles a analizar sus propiedades.

110

PROCEDIMIENTO:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________






111


Contenido: 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares para resolver problemas que impliquen calcular cualquiera de las variables que intervienen en dichas fórmulas.

Consigna. En parejas, resuelvan los siguientes problemas:

1. El salón principal de un hotel tiene forma de octágono regular con un perímetro de 52 m. ¿Cuánto mide cada lado de dicho salón?

2. Alberto tiene que hacer un corral con forma de hexágono regular, utilizando alambre de púas. Cada lado debe medir 4.8 m. ¿Cuántos metros de alambre necesitará, si la cerca llevará dos hilos?

3. Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa lona cortada en forma de polígono regular de 10 lados. Calculen la cantidad de lona que necesitará para fabricar 36 sombrillas, si sabemos que cada lado mide 173 cm y su apotema mide 266.2 cm.

112

4. Encuentren la medida del apotema de la tapadera de una bombonera con forma de hexágono regular, cuya área es de 314.86 cm2 y cada uno de sus lados mide 11 cm.


Generalmente, en este tipo de problemas, el valor solicitado es el perímetro o el área. En este caso, la incógnita puede ser cualquier variable que interviene en las fórmulas correspondientes.

En el primer problema se conoce el perímetro del octágono regular y lo que se pide es el valor de cada lado. Es importante que los alumnos utilicen la fórmula correspondiente (P = 8 l) y que a partir de ella determinen la expresión “52 m = 8 l” y que para obtener el valor de l la relacionen con una ecuación de la forma ax = b, así el valor de l se obtiene con el cociente 52 m / 8.

Para el caso de la tapadera de la bombonera, se conoce el área del hexágono regular (314.86 cm2) y la medida de cada uno de sus lados (11 cm); el valor solicitado es el del apotema. La expectativa es que los alumnos modelen el problema con la siguiente expresión:

Y que la puedan transformar en:

Posteriormente, encontrar el valor de a de manera semejante como se encuentra el valor de x en una ecuación de la forma ax = b.

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En los problemas 2 y 3 se piden el perímetro y el área de los polígonos, basta sustituir en

las fórmulas y , los valores de l, P y a para encontrar los datos

solicitados. Tener presente que la respuesta del segundo problema es dos veces el valor del perímetro, ya que se trata de una cerca con dos hilos y para el tercero es 36 veces el área por tratarse de 36 sombrillas.






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Contenido: 7.3.5 Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

Intenciones didácticas:Que los alumnos establezcan las relaciones de variación del apotema, perímetro y área en función de la medida de los lados de polígonos regulares.

Consigna. Reunidos en equipo, discutan y justifiquen las respuestas de las siguientes preguntas:

Si se duplica, triplica o se reduce a la mitad la medida de los lados de un polígono regular:

a) ¿Qué sucede con el perímetro? _________________________________

b) ¿Qué sucede con el apotema? __________________________________

c) ¿Qué sucede con el área? ____________________________________

Consideraciones previas:Es importante pedirles a los alumnos que primero escriban sus conjeturas y luego traten de justificarlas. Para ello, es probable que algunos alumnos establezcan conjeturas como las siguientes:

“Al duplicar la medida de los lados, el perímetro se duplica, el apotema no cambia y el área también se duplica”

“Al reducir a la mitad la medida de los lados del polígono regular, el perímetro se reduce a la mitad, el apotema se reduce a la mitad y el área también se reduce a la mitad”

“Si se duplica la medida de los lados del polígono, el perímetro, el apotema y el área también se duplican”

Una vez que los alumnos han elaborado sus conjeturas, pedirles que las justifiquen. Para tal fin, pueden utilizar diferentes argumentos y recursos, por ejemplo, llenar una tabla como la siguiente, que se refiere a un hexágono regular cuyos lados miden 6 cm, después variar esta medida y observar que sucede con las demás variables.

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Es probable que cuando modifiquen la medida de los lados, cambien en la misma proporción el perímetro, lo cual es correcto, y que dejen constante la apotema, por lo tanto, el área también se modifica en la misma proporción que la medida de los lados y que el perímetro, sin embargo, esto no es correcto, al modificar las medidas de los lados, necesariamente también se modifican las medidas del apotema.

Una forma de verificar lo anterior es dibujando un triángulo equilátero de 6 cm por lado, luego, trazar otro triángulo equilátero donde la medida del lado sea el doble del primero; luego, medir su altura. De esta manera podrán darse cuenta que cuando se duplica la medida de los lados de un polígono, el apotema también se duplica.

Finalmente, se espera que puedan concluir que cuando se duplica, triplica o se reduce a la mitad las medidas de los lados de un polígono regular, el efecto es el mismo para el perímetro y para el apotema; mientras que para el área, es el cuadrado de la razón de ampliación o reducción; por ejemplo; si la razón de ampliación es el triple (3), la razón de ampliación del área es el cuadrado de esta razón de ampliación (32= 9). Así, si las medidas de los lados se duplican, el área es el cuádruple. Si se reducen a la mitad las medidas de los lados, el área se reduce a la cuarta parte.


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Lado Apotema Perímetro Área6 cm 5.2 cm 36 cm 93.6 cm2

12 cm3 cm

12 cm

6 cm

5.2 cm

10.4 cm





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Plan de clase (1/2)Escuela: _______________________________________ Fecha: ____________Profr. (a): __________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Intenciones didácticasQue los alumnos interpreten el factor constante fraccionario como dos operadores enteros y lo apliquen para resolver diversos problemas.

Consigna: En equipos, resuelvan el siguiente problema: Al fotocopiar una credencial, primero se amplia al triple y posteriormente la copia resultante se reduce a la mitad. ¿Cuál es el efecto final respecto a la credencial original? Si la credencial es un rectángulo de 10 por 6 cm, ¿qué área tendrá en la primera fotocopia? ¿Y en la segunda? Si necesitan calculadora, pueden utilizarla.

Consideraciones previas:En esta sesión los operadores son enteros, “por 3” y “entre 2”, que al combinarlos resulta el factor 3/2. Ampliar al triple es equivalente a utilizar una escala de 3 a 1 y reducir a la mita es equivalente a utilizar una escala de 1 a 2, así, el efecto final puede expresarse mediante la escala 3 es a 2 o 3/2.Conviene resaltar que 3/2 también puede interpretarse como “entre 2” “por 3”. Los efectos en la segunda fotocopia serán los mismos si primero se reduce a la mitad y luego se amplia al triple.Tanto para calcular el área de la primera fotocopia como para la segunda, los alumnos tienen que pasar por la medida de los lados, conviene resaltar que cuando ambos lados del rectángulo aumentan al triple el área aumenta nueve veces, mientras que cuando ambos lados se reducen a la mitad, el área se reduce cuatro veces. Vale la pena preguntar por qué sucede esto. Un error muy frecuente es pensar que el área aumenta o disminuye en la misma proporción que los lados. Habrá que ver si los alumnos incurren en él.




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Plan de clase (2/2)Escuela: _______________________________________ Fecha: ____________Profr. (a): __________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.3.6 Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Intenciones didácticasQue los alumnos interpreten el efecto de la aplicación sucesiva de dos factores fraccionarios al resolver diversos problemas.

Consigna 1: En equipos resuelvan el siguiente problema. El triangulo ABC, que aparece abajo, se reprodujo a una escala de 3/2, posteriormente se hizo una nueva construcción a partir de la reproducción con una escala de 1/3

¿Cuál es la escala de la segunda reproducción respecto al triángulo original?

Consigna 2: En equipos, resuelvan el siguiente problema: Una fotografía se reduce a una escala de 1/3 y enseguida se reduce nuevamente con una escala de 1/4. ¿Cuál es la reducción total que sufre la fotografía original?

Consideraciones previas:Si el problema de la consigna 1 resulta complicado, algunas preguntas que pueden orientar a los alumnos son:

a) ¿Cuánto miden los lados de la primera reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores?

b) ¿Cuánto miden los lados de la segunda reproducción? ¿Qué factor fraccionario permite obtener estos valores, considerando los valores de la primera reproducción?

c) ¿Qué factor fraccionario permite obtener directamente las medidas de los lados de la segunda reproducción, a partir de las medidas del triángulo original?

d) ¿Qué relación encuentran entre los factores que respondiste en a) y b) y el contestado en c)?

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A

B

C

5 cm4 cm

3 cm

Al trabajar con dos factores consecutivos fraccionarios conviene regresar a la descomposición de cada uno. Por ejemplo, por tres medios equivale a por tres entre dos y por un tercio equivale a por uno entre tres. Agrupando las operaciones queda por tres por uno, entre dos entre tres, es decir, por tres entre seis o por 3/6, que es el resultado de multiplicar 3/2 por 1/3.Sugerir variantes del ejercicio de la consigna 2, por ejemplo: cuando la fotografía se amplía dos veces consecutivas o cuando se amplía y posteriormente se reduce o viceversa, poniendo énfasis en el caso especial cuando las escalas son inversas, por ejemplo 3:1 y 1:3.Dada la complejidad de este contenido es muy probable que haya necesidad de dedicar otras sesiones para consolidar, planteando otros problemas similares. En tal caso habrá que elaborar otros planes de clase.






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Plan de clase (1/2)Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________Profr. (a): ___________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Intenciones didácticas: Que los alumnos pronostiquen resultados de experiencias aleatorias y que los comparen con los resultados reales de la experiencia.

Consigna: Reúnete con otro compañero para realizar las siguientes actividades:

1. Si se lanza una moneda 10 veces, ¿qué resultado creen que se repetirá más veces, águila o sol? ________________________ ¿Por qué? ______________________________________________________________________________________________________________

2. Ahora realicen el experimento, lancen una moneda 10 veces y registren en una tabla los resultados, ¿qué resultado se repitió más veces? ____________________ ¿Acertaron en su pronóstico? ____________________________________

3. Si se lanza una moneda 40 veces, ¿qué cara creen que saldrá la mayor cantidad de veces? ______________ ¿Por qué? _________________________________________________ __________________________________________________________________________

4. Lancen una moneda 40 veces y registren en una tabla los resultados. ¿La cara que más se repitió fue la que habían anticipado? _____________________________

5. Si se lanza una moneda 100 veces, ¿qué resultado creen que se repetirá más veces, águila o sol? ___________________ ¿Por qué? __________________________________________________________________________________________________________________

Consideraciones previas:Para realizar los experimentos es importante prever que cada pareja cuente con una moneda. Se trata que los alumnos antes de realizar los experimentos realicen una predicción de los resultados y que después comparen ambos resultados, el de su predicción y el del experimento.

122

Es conveniente que los resultados de las experiencias se registren en tablas de frecuencias, es más fácil visualizarlos. La siguiente es un ejemplo.

Lanzamiento Águila Sol

1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X

10 XTotales 6 4

Es importante analizar junto con los alumnos las construcciones de las tablas, verificando que las columnas y las filas sean las necesarias, los encabezados y los valores sean los correctos.

Es posible que la anticipación de la pregunta tres sea influida por los resultados del experimento de los diez lanzamientos de la moneda, es decir, que si en el experimento se obtuvieron más águilas, crean que al hacer 40 lanzamientos, también salgan más águilas. De ahí la importancia que se discutan ampliamente los argumentos de las predicciones.

Si bien se trata fundamentalmente que los alumnos contrasten sus anticipaciones con los resultados de las experiencias, es muy probable y deseable que los alumnos adviertan que los lanzamientos de la moneda son eventos independientes, es decir, que el resultado de uno no influye en el resultado de otro y que mientras más se repita el experimento, la diferencia entre la cantidad de águilas y soles es más pequeña. En la siguiente clase se retomarán y ampliarán estas reflexiones.

Observaciones posteriores



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Plan de clase (2/2)Escuela: _________________________________________________ Fecha: ___________Profr. (a): ___________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.3.7 Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan que las fracciones formadas por el número de veces que se obtiene cada cara de un dado entre el total de lanzamientos cada vez son más próximas mientras más lanzamientos se realicen.

Consigna 1: Organizados en equipos de seis integrantes participen en el siguiente juego.

Van a lanzar 60 veces un dado, pero antes, cada integrante del equipo debe elegir el número que considere que va a salir más veces. Se pueden repetir los números. Escriban sus predicciones en la siguiente tabla.

Nombre del jugador Predicción

Ahora realicen el experimento, y registren en la siguiente tabla los resultados.

Número de puntos

Veces que va saliendo el número

Total de veces

1

2

3

4

5

6

¿Quién ganó? __________________ ¿Cuántas veces se repitió el número que eligió? _______

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Si se repitiera el juego, ¿qué número escogerían? Discutan sus respuestas.

Consigna 2: Con el mismo equipo realicen lo que se pide.

Representen con una fracción los resultados del experimento anterior. El numerador será el total de veces que salió el número y el denominador, el total de veces que se tiró el dado.

Número de puntos

Total de veces Fracción

1

2

3

4

5

6

¿Se repite alguna fracción? __________________ ¿Cuál? _____________________

Si se lanzara el dado 120 o 600 veces, ¿qué fracción creen que se repetiría más? __________ ¿Por qué? ________________________________________________________________________________________________________________________

__

Consideraciones previas:Es necesario prever que cada equipo cuente con un dado de seis caras marcadas con uno, dos, tres, cuatro, cinco y seis puntos. Se sugiere que cada equipo cuente con seis integrantes para que exista la posibilidad de que cada uno seleccione un número diferente del dado y puedan advertir que el comportamiento de la probabilidad de todos es el mismo.

En la consigna 1 los alumnos anticipan que número se repetirá más veces al lanzar un dado 60 veces y después contrastan su predicción con los resultados reales del experimento; más adelante aparece una pregunta, ¿qué número escogerían si se repitiera el juego?, la finalidad de ésta es que los estudiantes identifiquen que las frecuencias de todos los números fluctúan alrededor de 10, por lo tanto, cualquiera de los seis números del dado tiene la misma posibilidad de repetirse más veces.

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La segunda columna de la tabla donde registrarán los resultados de los lanzamientos, cuyo encabezado es “Veces que va saliendo el número”, es un espacio que los alumnos pueden utilizar para colocar marcas (rayas, taches, etc.) cada vez que aparezca ese resultado, finalmente contarán esas marcas y determinarán la frecuencia de cada uno. Hay que decirles la utilidad de este espacio, la siguiente tabla muestra la utilidad descrita.

Número de puntos

Veces que va saliendo el número

Total de veces

1 XXXXXXXXX 92 XXXXXXXXXXX 113 XXXXXXXXXX 104 XXXXXXXXXX 105 XXXXXXXXX 96 XXXXXXXXXXX 11

Si bien desde la primera consigna se espera que los estudiantes noten que las frecuencias fluctúan alrededor de 10, en la consigna 2 determinarán fracciones con las frecuencias y el total de lanzamientos, con la intención de que identifiquen su cercanía o semejanza con 1/6. Se espera que la fracción que más se repita sea 10/60, que es equivalente con 1/6 y las otras sean muy cercanas (11/60, 12/60, 9/60, 8/60). Mientras más se repita el experimento, las fracciones que se obtengan se acercarán más a 1/6, que es la probabilidad de obtener cualquiera de los seis resultados del dado.

Observaciones posteriores





Plan de clase (1/3)Escuela: _______________________________________ Fecha: ____________

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Profr. (a): _________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.3.8 Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de

frecuencia absoluta y relativa.

Intenciones didácticas:Que los alumnos interpreten información contenida en tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1:Reunidos en equipos, analicen la información de la siguiente tabla y respondan a las preguntas que se hacen enseguida.

LAS CIUDADES MÁS GRANDES DEL MUNDO

CIUDAD NÚM. DE HABITANTES(EN MILLONES)

PAÍS CONTINENTE

Tokio 23.4 Japón AsiaMéxico 22.9 México AméricaNueva York 21.8 EU AméricaSao Paulo 19.9 Brasil AméricaShangai 17.7 China AsiaBeijing 15.3 China AsiaRío de Janeiro 14.7 Brasil AméricaLos Ángeles 13.3 EU AméricaBombay 12 India AsiaCalcuta 11.9 India AsiaSeúl 11.8 Corea del Sur AsiaBuenos Aires 11.4 Argentina AméricaYakarta 11.4 Indonesia OceaníaParís 10.9 Francia EuropaOsaka-Kobe 10.7 Japón AsiaEl Cairo 10 Egipto ÁfricaLondres 10 Inglaterra EuropaFuente: Libro para el maestro, Matemáticas, S. E. P., 2001.

1. ¿Cuáles son las dos ciudades más grandes del mundo y en qué país y continente se encuentran?2. ¿Cuántos millones de habitantes suman las ciudades más grandes que pertenecen al continente americano?3. ¿En qué continente se concentra la mayor cantidad de ciudades con más habitantes?

Consigna 2. Siguiendo el trabajo en equipo, analicen la siguiente tabla y contesten las preguntas con base a la información que se presenta en ella.

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CUADRO COMPARATIVO DE LOS CONTINENTES

CONTINENTE SUPERFICIE(MILES DE KM2)

% NÚM. HABITANTES(EN MILLONES)

%

África 30 310 20 694 12.6América 42 500 28 743 13.5Asia 44 900 30 3 331 60.7Europa 9 900 7 695 12.7Oceanía 8 500 6 27 0.5Antártida 14 000 9 - -Total mundial 150 000 100 5 490 100Fuente: Libro para el maestro, Matemáticas, S. E. P., 2001.* Se incluye la parte europea de Rusia (286 millones)

1. ¿Qué continente tiene la mayor extensión territorial?2. Menciona 3 continentes que juntos no rebasen al continente Americano en superficie.3. ¿Cuál es el motivo de que la Antártida tiene vacíos los casilleros de Número Habitantes y %?4. ¿En qué continente viven más personas por kilómetro cuadrado?5. ¿Cuál continente tiene más habitantes por kilómetro cuadrado, América o Europa? ¿Cómo puedes saberlo?6. ¿Cómo se obtienen los porcentajes de superficie y de núm. de habitantes?

Consideraciones previas:La actividad de la consigna 1 se deberá realizar y comentar en los primeros 15 ó 20 minutos de la clase.Si existiera dificultad para contestar la pregunta 3 de la actividad 2, aprovechar la ocasión para que los alumnos investiguen la ubicación y condiciones climáticas de este lugar.La respuesta 6 de la actividad 2, pudiera causar ciertos problemas a los estudiantes; si esto sucede, revisarla junto con ellos.


10.¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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11.¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Profr. (a): __________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI



Intenciones didácticas:Que los alumnos analicen e interpreten la información contenida en tablas incompletas de frecuencia absoluta y relativa y obtengan los datos faltantes.

Consigna:Trabajen en equipo para completar las siguientes tablas sobre las calificaciones obtenidas por los alumnos de dos grupos de primer grado. Posteriormente contesten las preguntas que se hacen. Pueden utilizar calculadora.

GRUPO 1º “Á”

Calificación Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa %

10 3 159 58 67 156 25 5 25Total 20 100

1. ¿Cuál es el grupo con mejor índice de aprobación? y ¿Por qué?2. ¿Cuántos alumnos reprobaron en cada grupo? ¿Cuál es el índice de reprobación

en cada grupo?3. ¿Por qué a frecuencias absolutas iguales en ambas tablas, les corresponde

frecuencias relativas diferentes?

Consideraciones previas:Si los alumnos tuvieran dificultades para obtener los valores faltantes de las tablas, vincular con los contenidos de primaria relacionados con los porcentajes.Es posible que los alumnos identifiquen que en la tabla del 1º “B” las frecuencias relativas no suman exactamente 100%, aprovechar la oportunidad para practicar el redondeo y encontrar la razón por la que no se obtiene exactamente 100%.Si el tiempo lo permite, con la intención de distinguir la información que proporciona una frecuencia absoluta y una relativa, podría plantearse la siguiente situación: si en un grupo cualesquiera de secundaria hay 5 reprobados en matemáticas, ¿son muchos o pocos? ¿De qué depende la respuesta?

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GRUPO 1º “B”

Calificación Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa %

10 3 12.59 48 217 16.676 2 8.335 6Total 24 100






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Profr. (a): __________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI



Intenciones didácticas:Que los alumnos organicen los datos de una muestra y construyan una tabla con frecuencias absolutas y relativas.

Consigna. En equipos resuelvan el siguiente problema:El profesor de Educación Física recopiló las estaturas (en metros) de los alumnos de un grupo de nuestra escuela. Analicen y organicen los datos para presentar la información en la tabla de la derecha. Pueden utilizar su calculadora.

1.57, 1.53, 1.55, 1.56, 1.52, 1.54,1.55, 1.58, 1.57, 1.56, 1.55, 1.53,1.57, 1.54, 1.52, 1.55, 1.58, 1.56,1.55, 1.55, 1.54, 1.58, 1.53, 1.56,1.54, 1.56, 1.55, 1.54, 1.55, 1.53,1.56

Consideraciones previas:Si los alumnos preguntan cuantas líneas debe llevar su tabla, se les responderá que es un acuerdo del equipo, sin embargo hay que tener en cuenta que en este son 7 datos distintos, de 1.52 a 1.58 y que no hay forma de determinar rangos con la misma amplitud; por lo que lo más pertinente es utilizar 7 líneas, una para cada estatura.



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Estatura F. absoluta F. relativa

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________




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Plan de clase (1/4)

Escuela: _________________________________________________ Fecha: __________Profr. (a): __________________________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: SN y PA

Contenido: 7.4.1 Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos ubiquen en una línea del tiempo citas históricas de antes y después de Cristo.

Consigna. En equipo, lean las siguientes citas históricas; luego realicen lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

A) En el año 340 antes de Cristo surge la figura de Alejandro Magno e implanta la época helenística, periodo que duró hasta el inicio del imperio romano.

B) En el año 2 800 antes de Cristo se da la unificación de Egipto, atribuida al faraón Menes.C) En el año 630 después de Cristo un profeta árabe llamado Mahoma, se convirtió en la

figura más importante de la edad media. Es fundador de una de las religiones más importantes.

D) En el año 1 600 antes de Cristo surge el poder de los hititas, quienes se instalaron en Asia Menor. Su imperio se extendió hasta Siria.

E) Los españoles logran conquistar la ciudad de Tenochtitlan en el año 1 521 después de Cristo e inician la conquista de México.

F) La revolución rusa se inicia en el año 1917 después de Cristo.G) En el año 30 antes de Cristo se inicia la época de los emperadores romanos.H) En el año 620 antes de Cristo nace Tales de Mileto, filósofo griego que murió a la edad de

89 años.

1. Ubica en la línea del tiempo que a continuación se te presenta los años correspondientes a las citas históricas.

2. Ordena las citas históricas de lo más antiguo a lo más reciente.

3. Si Tales de Mileto vivió 89 años, ¿en qué periodo murió, antes o después de Cristo? ¿Por qué?

Consideraciones previas: Es necesario tener dibujada la línea del tiempo en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar las citas históricas.

En caso necesario, orientar a los alumnos planteando preguntas como:En la línea del tiempo, ¿dónde inicia el antes y el después de Cristo? ¿Con qué número se marca ese punto de inicio? ¿En que dirección se cuenta los años transcurridos antes de Cristo? ¿Y después de Cristo?Al comparar dos fechas distintas representadas en la recta numérica, ¿Cuál es más reciente?

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La puesta en común de las respuestas a los cuestionamientos debe llevar a establecer el convencionalismo de “llamar negativos a los números que se ubican a la izquierda del cero y positivos a los que se localizan a la derecha de cero”.






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Plan de clase (2/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos hagan uso de la recta numérica para representar situaciones con números positivos o negativos.

Consigna: En equipos, leer la siguiente información, luego realizar lo que se pide y al terminar las actividades dar a conocer al grupo los resultados.

Al terminar la temporada de fútbol mexicano, la tabla de resultados se encontraba muy apretada para definir cuáles eran los ocho equipos que pasaban a la liguilla; por lo que se acordó tomar en cuenta el resultado de sumar los goles a favor y en contra de cada equipo; luego ordenar los equipos para elegir a los ocho que resultaran con mejor posición; es decir, con mayor número de goles a favor o con menor número de goles en contra.Los resultados de sumar los goles a favor y en contra son los siguientes:

Morelia 8 goles en contra, Monterrey 5 goles a favor, Toluca 3 goles a favor, América 7 goles a favor, Jaguares 4 goles en contra, Pumas 5 goles en contra, Cruz Azul 7 goles en contra, Tigres 6 goles en contra, Chivas 5 goles en contra, Santos 3 goles a favor, Atlante 2 goles en contra, Necaxa 4 goles a favor.

1. Ubica en la recta numérica los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

2. Anota en la siguiente tabla los ocho equipos que pasan a la liguilla de acuerdo con la actividad anterior.

POSICIÓN EQUIPOPrimer lugarSegundo lugarTercer lugarCuarto lugarQuinto lugarSexto lugarSéptimo lugar

a) Anota los nombres de dos equipos que están a la misma distancia de cero:___________________________

b) Si un equipo acumuló durante el torneo 15 goles a favor y 15 en contra, ¿cuál es su resultado?___________

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c) El resultado final del equipo Morelia fue 8 goles en contra. ¿Cuántos goles a favor y cuántos en contra pudo haber acumulado?_______________________________________________

Consideraciones previas:Es necesario tener dibujada la recta numérica en el pizarrón para que cuando se haga la puesta en común de los resultados, los alumnos puedan pasar a ubicar a los equipos en función del número de goles a favor o en contra.

Es muy importante aprovechar la puesta en común, en particular las respuestas de los incisos a y b para introducir el concepto de números simétricos, como dos números cualesquiera que están a la misma distancia de cero. Decir además y hacer que los alumnos verifiquen con varios ejemplos, que la suma de dos números simétricos es cero.Al hablar de distancia entre dos números o de la distancia entre un número cualquiera y cero hay que decir que la distancia siempre es un número positivo y a partir de aquí hay que introducir el concepto de valor absoluto, como la distancia de un número al cero. Así, la distancia de -5 a cero es 5 y la distancia de 5 a cero también es 5, de manera que el valor absoluto de -5 es igual a 5 y el valor absoluto de 5 es igual a 5. Esto se denota así: I-5I = 5; I5I = 5.






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Plan de clase (3/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el uso de números con signo.

Consigna. Con base en la siguiente información, en equipos, indiquen las variaciones entre las temperaturas máximas y mínimas. Traten de justificar sus respuestas.

Ciudades Temperatura máxima Temperatura mínima VariaciónA 22 °C 7 °CB 9 °C -2 °CC 5.2 °C -1 °CD -2.5 °C -18.5 °C

Consideraciones previasEs probable que algunos alumnos se apoyen de una recta numérica para justificar sus resultados; sin embargo, en caso de que no suceda, sería conveniente sugerir que utilicen la recta numérica, ya que es un recurso muy útil para dar sentido a los números con signo.La ubicación de los números con signo en la recta numérica y la exposición por parte de los alumnos de los procedimientos empleados, puede ser enriquecida para analizar que la variación entre dos temperaturas equivale a encontrar la distancia entre dos números representados en la recta numérica y, como se dijo antes, la distancia siempre es un número positivo.

Después de analizar el problema anterior se puede plantear el siguiente: En una ciudad X, la temperatura al anochecer era -7 °C, por la mañana bajó otros 5 grados y a mediodía subió 7 grados. ¿Cuál era la temperatura a mediodía?A diferencia del problema anterior, en éste interviene la suma de números con signo. También puede utilizarse como apoyo la recta numérica.Observaciones posteriores:





140

141

Plan de clase (4/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos personales para resolver problemas que impliquen el uso de números con signo.

Consigna. En binas, resuelvan el siguiente problema. Traten de justificar sus respuestas.

En la siguiente línea del tiempo se ubican las fechas en las que el matemático griego Arquímedes nació y murió.

a) ¿Cuántos años vivió?

b) ¿Cuántos años han transcurridos desde que murió?

Consideraciones previasPara la pregunta del inciso b, es probable que algunos alumnos resten el año actual menos 212, cuando en realidad, para obtener la respuesta correcta es sumar 212 más los años transcurridos después de Cristo. En caso de que esto suceda, es importante plantear algunas preguntas de reflexión como por ejemplo, ¿Cuántos años transcurrieron desde que murió hasta el nacimiento de Cristo? ¿Cuántos años han transcurrido desde el nacimiento de Cristo?




-287 -212 0

Nació Murió

Antes de Cristo

Después de Cristo

142



143

Plan de clase (1/3)

Escuela: ________________________________________________ Fecha: __________Profr. (a): __________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y MContenido: 7.4.2 Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: circunferencia(s) que pasen por un punto dado.

Consigna. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por el punto A, marquen el centro y desígnenlo con la letra O. Al terminar, respondan las preguntas que aparecen abajo.

A .

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por el mismo punto A?___________ Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias se pueden trazar?_____________________

c) ¿Qué relación hay entre el punto A, el punto O y la circunferencia? _______________________________________________________________________

d) ¿Cómo se llama el segmento que une el punto A con el centro de cada círculo?________________________________

e) ¿Tienen igual medida todos los segmentos que unen el centro de los círculos trazados con el punto A?______________

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos se den cuenta de que se puede trazar un número infinito de circunferencias que pasen por el punto A; además, también es conveniente que reflexionen en que los círculos pueden ser iguales o diferentes, esto es, cuyo radio tenga la misma medida o bien que sea de longitud diferente. Asimismo, si ningún equipo recuerda el nombre del segmento AO, el profesor deberá mencionarlo y señalar que el tamaño de éste varía de acuerdo con el tamaño de la circunferencia.

En el caso de que la escuela cuente con el software de Geometría Dinámica Cabri, SketchPad, u otro, es conveniente que el maestro lo use en toda la secuencia.

En caso de que haya tiempo, se puede plantear la siguiente actividad:

144

Individualmente, en una hoja blanca marca un punto e identifícalo con la letra T. Después, haz un diseño con círculos cuyo radio sea el mismo y que todos pasen por el punto T. Al finalizar, compara tu diseño con los de tus compañeros.






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Plan de clase (2/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: círculo(s) que pasen por dos puntos.

Consigna. Individualmente, tracen con el compás una circunferencia que pase por los puntos A y B dados a continuación, y marquen el centro del círculo. Al terminar contesten las preguntas.

A .

. B

a) ¿Se podría trazar otra circunferencia que pase por estos mismos puntos? ____________ Si se puede, trácenla.

b) ¿Cuántas circunferencias que cumplan esta condición se pueden trazar? ¿Por qué?___________________________________________________

c) Unan con una recta los puntos A y B.d) Unan con una recta los centros de los círculos que trazaron.e) ¿Cómo son las dos rectas anteriores entre sí?f) ¿Qué relación tiene el segmento AB con todos los círculos que trazaron?g) ¿Existe algún círculo donde el segmento AB sea diámetro?

Consideraciones previas:Aquí se debe rescatar el concepto de cuerda y que el diámetro es la mayor de las cuerdas que tiene el círculo. También es importante que establezcan que si el segmento dado es cuerda del círculo, éste no es único, salvo en el caso en que se trate de la máxima cuerda (diámetro). Asimismo, se deberá recuperar el concepto de mediatriz y concluir que los centros de estos círculos quedan sobre la mediatriz del segmento AB, por lo tanto se pueden hacer tantos círculos como puntos contenga la mediatriz de la cuerda.



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___________________________________________________________________________________________________________________________________




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Plan de clase (3/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la unicidad o multiplicidad de trazos cuyas condiciones son: círculo(s) que pasen por tres puntos.

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema. El círculo central de una cancha de básquetbol se borró por el uso, por la proximidad de un campeonato se necesita repintarlo y sólo quedaron tres marcas como se muestra abajo. ¿Cómo sugerirías a los pintores que trazaran el círculo?

Consideraciones previas: Si los alumnos no logran percibir la necesidad de encontrar el punto de intersección de las mediatrices de dos de los segmentos que resulten de unir los puntos, el profesor puede recordar cómo realizaron la actividad del plan anterior, donde trazaron la mediatriz del segmento para ubicar el centro del círculo.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


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Plan de clase (1/3)

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Escuela: ____________________________________________Fecha: _________________Profr. (a): ___________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M Contenido: 7.4.3 Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente).Explicitación del número π (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan que π es la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el perímetro del círculo (longitud de la circunferencia).

Consigna 1. En equipo midan el diámetro y la longitud de la circunferencia de los círculos que se dieron, completen la tabla.

Círculo Medida del diámetro

Longitud de la circunferencia

Longitud de la circunferencia entre el diámetro

12345

Consigna 2. Organizados en equipos, trace cada uno un círculo de la medida que desee, pero que sea diferente a la de sus compañeros de equipo y continúen la tabla anterior, agreguen las filas que les sean necesarias. Al terminar contesten las preguntas.

a) ¿A qué valor se parece el resultado obtenido en la última columna?

b) Con base en la actividad realizada, escriban por qué el perímetro del círculo se calcula con la fórmula: C = πd

Consideraciones previas: Es necesario entregar a cada equipo un juego de 5 círculos (cuyos radios midan 5, 8, 10, 15, 20 cm, respectivamente y numerados del 1 al 5). Asimismo, los alumnos podrán usar regla o cordones para medir la longitud de las circunferencias.

Aunque es probable que ya hayan realizado en la primaria una actividad semejante, es conveniente hacerla nuevamente para que profundicen en la reflexión y puedan justificar la fórmula para calcular el perímetro del círculo.



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Plan de clase (2/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen la relación que existe entre la medida del diámetro y la longitud de la circunferencia.

Consigna 1. En equipo, revisen la tabla que elaboraron en la clase anterior. Dividan el diámetro uno entre el diámetro dos y hagan lo mismo con las circunferencias correspondientes. Continúen para completar los datos de la siguiente tabla. Al terminar escriban alguna conclusión que obtengan de lo que ahí se observa.

Razón entre los diámetros

Razón entre las circunferencias

d1/d2 = C1/C2 = d2/d3 = C2/C3 = d3/d4 = C3/C4 = d4/d5 = C4/C5 = d3/d5 = C3/C5 =

Consigna 2. En equipo, determinen la relación que hay entre las longitudes de dos circunferencias que miden 12 y 24 m, respectivamente. Encuentren también la relación entre las medidas de sus diámetros.

Consideraciones previas:Es importante que los alumnos encuentren que al duplicar, triplicar, etc., la medida del diámetro de un círculo, su circunferencia aumenta en la misma proporción y viceversa. En este caso, se tiene una relación de proporcionalidad directa y ésta se puede representar gráficamente.Nota: Presentar los círculos previamente elaborados para la próxima clase.






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Plan de clase (3/3)



Intenciones didácticas:Que los alumnos establezcan la relación que existe entre r2 y el área del círculo y con base en esto justifiquen la fórmula para calcular el área del círculo.

Consigna. En equipo realicen la actividad descrita:

a) Para cada uno de los círculos utilizados en la primera sesión de este apartado, (cuyos radios miden 5, 8, 10, 15 y 20 cm) construyan en cartulina 4 cuadrados con la medida de cada uno de los radios. (Cada equipo realiza el ejercicio con un círculo diferente).

Ejemplo:

10

r = 10 10

b) Intenten con los 4 cuadrados “llenar” el área del círculo respectivo. Pueden hacer recortes de los cuadrados para que el área esté cubierta lo mejor posible.

c) Contesten las preguntas:

¿Cuántos cuadrados fueron necesarios para cubrir el área del círculo?

¿Obtuvieron los otros equipos similitud en el resultado anterior?

¿Por qué piensas que ocurre esto?

¿Qué tiene que ver la actividad anterior con la fórmula para encontrar el área del círculo? (Recuérdala).

Observaciones previas:Es necesario que el maestro prevea que el material (círculos, tijeras y cartulinas) esté en el aula antes de comenzar la actividad.

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El maestro debe supervisar la actividad y aclarar las dudas que tengan los alumnos y dar las sugerencias para que realicen el ejercicio lo mejor posible. Debe dar la indicación de que en cuanto termine cada equipo anote su resultado en una tabla que él escribirá en el pizarrón:

Medida del radio Número de cuadrados que fueron necesarios para cubrir el área del círculo.

58

101520

El maestro deberá privilegiar en la confrontación de las respuestas la justificación de la fórmula del círculo; en caso de que los alumnos no encuentren la relación de la actividad con la fórmula, él deberá iniciar la reflexión y hacer las conclusiones que considere pertinentes.






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Plan de clase (1/2)

Escuela: ______________________________________ Fecha: ____________

Profesor (a): _____________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la pertinencia de aplicar la regla de tres en la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

Consigna. Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas utilizando el procedimiento que consideren más eficiente:1. Sabiendo que un 1 kg de pastel cuesta $ 75.50, ¿cuánto debe pagar Rodrigo por un

pastel cuyo peso en báscula fue de 2.7 Kg?

2. A precio de mayoreo, 5 latas de fruta en almíbar cuestan $210. ¿Cuál será el costo de 15 latas?

3. María ahorró en el mes de mayo un total de $ 13 900 en una caja de ahorro. Al término del mes le dieron como ganancia $ 319.70 por los intereses generados. Si Carlos ahorró $15 750 en la misma caja durante el mismo mes, ¿cuánto debe recibir de ganancia?

Consideraciones previas:Es importante que en la confrontación, además de analizar los procedimientos empleados, los alumnos argumenten el uso de los mismos.

Para el caso del problema 1, se espera que utilicen el valor unitario (dado en el problema). Basta con multiplicar $75.50 (costo de un kilogramo de pastel) por 2.7, que es el número de kilogramos, para encontrar el costo total del pastel.

Es probable y deseable que en el segundo problema los estudiantes identifiquen que el número de latas de fruta se triplica, por lo que para encontrar el costo de las 15 latas, basta triplicar el costo de 5 de ellas ($210 X 3 = $630).

El tercer problema se incluye en este plan con la intención de que los estudiantes tengan la necesidad de buscar otro procedimiento, independientemente a los que ya conocen, ya que no es evidente ni sencillo resolverlo duplicando cantidades, aplicando un factor

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constante o utilizando el valor unitario, entre otros. Si en esa búsqueda, a ningún equipo se le ocurre algún procedimiento semejante a la regla de tres, el profesor podrá utilizarla para resolver el problema. Es fundamental que se analice detalladamente el funcionamiento de este procedimiento. Dos formas de justificar el funcionamiento de la regla de tres son las siguientes:

Su vinculación con el valor unitario.Los datos del problema pueden representarse así:

Una forma de obtener el valor de es calcular el interés que le corresponde a cada peso, dividiendo 319.7 entre 13 900 y posteriormente, multiplicar el resultado por 15 750, cantidad de pesos que le corresponde al segundo capital. La diferencia con la regla de tres es que primero se hace la multiplicación de 319.7 por 15 750 y después dividir el resultado entre 13 900. La anterior equivalencia justifica el funcionamiento de la regla de tres y la validez de la siguiente fórmula:

Utilizando la igualdad de dos razones.

Los alumnos saben que en una igualdad de razones de la forma , se cumple que

, y que para obtener un valor desconocido de esta igualdad, éste se encuentra dividiendo el producto cruzado conocido entre el tercer valor conocido. Lo anterior da sustento a la regla de tres.

Una vez que los alumnos hagan esta reflexión, es conveniente proponerles analizar diferentes formas de acomodar los datos del tercer problema y deducir las que son correctas.Algunas formas son las siguientes:

a. en donde =362.25

b. en donde =362.25

c.

d. en donde =684782.6

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En los dos primeros planteamientos, aunque la posición de las magnitudes en la proporción no es la misma, pero si la correcta, nos da el mismo resultado, esto es debido a

que dentro de estas operaciones está implícito el valor unitario ( ), que representa la

ganancia obtenida en la caja de ahorro, por cada peso ahorrado, siendo este el principio por el cual funciona la regla de tres.En el tercer caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $13 900, suponiendo que por $15 750 se gana $319.70, lo cual es erróneo.En el cuarto caso lo que se está obteniendo es la ganancia por ahorrar $15 750, suponiendo que por $319.70 se gana $13 900, lo cual no es cierto.Por lo anterior, puede advertirse que los valores correspondientes (capital e intereses) deben estar alineados, horizontal o verticalmente.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para

usted.


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Plan de clase (2/2)

Escuela: ______________________________________ Fecha: ____________

Profesor (a): _____________________________________________________Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.4.4 Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen el procedimiento experto llamado “regla de tres” para resolver problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. Si consideran necesario, utilicen su calculadora.1. Miguel acostumbra correr en maratones. Si mantiene una velocidad constante y en los

primeros 12 minutos recorre 2.53 km, ¿cuánto tardará en llegar a la meta? La distancia exacta del maratón es de 42.195 km.

2. En un supermercado, un paquete de carne de 820 gramos cuesta $69.70, ¿cuánto debe pesar otro paquete del mismo tipo de carne que tiene marcado un precio de $155.55?

3. Con un bote de pintura de un galón (3.785 l) se alcanzó a pintar una superficie de 12.25 m2, si la pared completa mide 22.66 m2, ¿cuántos litros de pintura se requieren para pintarla toda?

Consideraciones previas:Aunque no se descartan otros procedimientos, los problemas planteados en este plan, por los valores utilizados, es pertinente resolverlos mediante el uso de la regla de tres. En la puesta en común es importante analizar detalladamente los procedimientos empleados e identificar la eficiencia de cada uno, si no aparece la regla de tres, proponerla e identificar las ventajas de su uso.

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Al utilizar la regla de tres es fundamental que los datos se relacionen correctamente. Así, un modelo adecuado para el primer problema es el siguiente:

De donde:

Es oportuno solicitar a los estudiantes que conviertan el resultado (200.13 minutos) en una expresión que contenga horas, minutos y segundos. Tener precaución porque es probable que algunos estudiantes consideren que 200.13 minutos equivalen a 3 horas con 20 minutos más 13 minutos, o lo que es lo mismo 3 horas con 33 minutos, lo cual es falso, ya que 0.13 minutos es equivalente 7.8 segundos.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


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Plan de clase (1/2)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ___________Profesor (a). ________________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos conocidos para determinar el factor inverso en problemas de proporcionalidad

Consigna: Organizados en equipos, resolver el siguiente problema:

1. Martín fue a una copiadora para reducir una fotografía con la medida indicada a continuación:

Al recibir la copia, se dio cuenta que la foto (copia) medía de ancho 6 cm

a) ¿Cuál fue el factor de reducción que aplicó el encargado de las copias?

b) ¿Cuánto mide de largo el original, si en la copia este lado mide 15 cm?

Consideraciones previas:Posiblemente sea necesaria una breve explicación sobre el funcionamiento de una fotocopiadora para ampliar o reducir; aclarando que el factor de ampliación o reducción están relacionados con el factor de proporcionalidad. En el caso de la primera pregunta, es importante asegurar que los alumnos comprendan que tienen que determinar el factor que multiplicado por 8 resulte 6. Al mismo tiempo es oportuno comentar la equivalencia entre multiplicar por una fracción y dividir entre la fracción reciproca por ejemplo 6 x 4/3 = 6 ÷ ¾. Si los alumnos logran en poco tiempo resolver el problema, se podrá presentar las siguientes situaciones:

Queremos que la fotografía se amplíe al tamaño de un cartel que debe medir 45 cm de largo y 18 cm de ancho ¿Cuál es su factor de proporcionalidad? ¿Qué característica debe tener el factor de proporcionalidad cuando sirve para ampliar una figura?, ¿y para reducirla?


8 cm

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Plan de clase (2/2)


Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.4.5 Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen el factor inverso en una relación de proporcionalidad.

Consigna: Van a trabajar en parejas para resolver el siguiente problema: Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las medidas indicadas, encuentren las medidas que se piden, sin hacer mediciones.

AH = ______ G’H’ = _______DE = ______ E’F’ = _______CD = ______BG = ______

Consideraciones previas:Al realizarse la puesta en común, es importante orientar la discusión hacia el uso del factor inverso, con preguntas como las siguientes:

¿Por cual número es necesario multiplicar la longitud del segmento D’E’ para obtener la medida del segmento DE?

Es importante llevar a los alumnos a concluir en la puesta en común la relación que existe entre los dos factores, el de ida y el de regreso y que verifiquen que su producto da uno.

G’

32

0.9

BARCO 1

H

G

A

B

D E

CF

3

H’A’

B’

D’ E’

F’C’

BARCO 2

1.5

1.5

5.25

B’G’=7.5

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Plan de clase (1/3)


Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.4.6 Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de combinaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. Samuel vende arreglos florales y para esta semana ha conseguido las siguientes clases de flores:

Si en cada arreglo utiliza solamente dos tipos de flores, ¿cuántos arreglos diferentes podrá elaborar? ___________________________________________

2. En una nevería se venden los siguientes sabores: fresa, vainilla, limón, nuez y chocolate. ¿De cuántas formas diferentes se puede servir un helado de dos sabores distintos? __________________________________________

3. De los seis representantes de los grupos de primer grado, se va a formar una comisión de tres alumnos que se entrevistará con el director para solicitarle una fiesta de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede integrar la comisión? _______________

margarita rosa lirio tulipán

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4. ¿Cuántos grupos de dos cifras se pueden hacer con las cifras 1, 2 y 3?a) Si las cifras de cada grupo son diferentes.b) Si las cifras de cada grupo pueden ser iguales.


El trabajo de este plan consiste en que, dado un conjunto de elementos, se formen todos los subconjuntos posibles con un número determinado de elementos, sin tomar en cuenta el orden, es decir, se trata de averiguar la cantidad de combinaciones.

En el primer problema hay un conjunto de cuatro elementos y hay que determinar subconjuntos con dos elementos. Se trata de formar arreglos en los que se combinen solamente dos de los cuatro tipos de flor. Dada esta condición, es muy probable que los alumnos se animen a solucionar el problema a través de dibujos, escribiendo una por una las seis posibilidades o bien utilizar un diagrama de árbol, cuidando que no se repitan las combinaciones.

El número de arreglos que se pueden hacer con dos tipos de flor son seis.

Otro recurso que también podrían utilizar los alumnos y si no el profesor puede sugerir es un arreglo rectangular:

margarita Rosa lirio tulipán

X XX XX X

X XX X

X X

liriomargarita

rosa

tulipán

tulipánlirio

rosa

tulipán

lirio

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Los problemas dos y tres tienen una estructura semejante al primero, solo que el número de elementos de los conjuntos y de las agrupaciones cambian. Hay que subrayar que no importa el orden de los elementos.

Es importante mencionar que en los tres primeros problemas, por la naturaleza del mismo o porque es una condición, los elementos de los subconjuntos no se repiten, en cambio en el problema cuatro se requiere obtener subconjuntos con repetición y sin repetición. Sin repetición resultan tres grupos: (1, 2), (1, 3) y (2, 3) y con repetición seis: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3) y (3, 3).






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Plan de clase (2/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de variaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. ¿Cuántas banderas diferentes de tres franjas, se pueden formar con los colores rojo, azul, verde y blanco? Cada bandera debe tener tres colores, uno en cada franja. ________________________________________________________

2. Considerando las cifras 1, 3, 5, 7 y 9, ¿cuántos números diferentes de tres y cuatro cifras distintas es posible formar? _________________________________________________________________________________________________________________

3. En un edificio nuevo hay 5 departamentos, cada departamento cuenta con un lugar de estacionamiento. Se han habitado dos departamentos, únicamente, el de Carmen y el de Daniel, quienes pueden colocar cada noche sus coches en el lugar que prefieran, si no está ocupado. ¿De cuántas formas diferentes pueden estacionarse? ____________Ha llegado un nuevo vecino, ¿de cuántas maneras distintas pueden estacionar los coches los tres vecinos? _______________________ ¿Resultan más o menos maneras que en el caso anterior? __________________ ¿Cuántas maneras habrá de estacionarse cuando todos los departamentos estén ocupados, si todos los vecinos tienen coche? _______________________________


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A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos sí importa el orden de los elementos de los subconjuntos, por ejemplo, los números 357 y 573 son diferentes aunque se utilicen las mismas cifras, por lo tanto, ahora se trata de averiguar la cantidad de variaciones, dado un conjunto de elementos.

En el segundo problema se tiene un conjunto de cinco elementos (1, 3, 5, 7 y 9) y se trata de determinar el número de subconjuntos diferentes (números) con tres y cuatro cifras. Una primera pregunta que pueden hacer los alumnos es si es válido formar números con cifras repetidas, por ejemplo, 111, 333, etcétera, hay que decir que no, puesto que el problema no lo considera. También es probable que los procedimientos utilizados no sean sistemáticos, es decir, los alumnos van encontrando números de manera desordenada y más o menos se aseguran de que no les falta ninguno, pero no están seguros. Es posible que algunos alumnos propongan el diagrama de árbol o una tabla; en caso de que los alumnos no utilicen el diagrama de árbol u otro recurso para mostrar las variaciones, el profesor puede proponer un diagrama en blanco para que vayan formando las cantidades, por ejemplo:

Además, es conveniente que el profesor plantee algunas cuestiones que permitan visualizar el orden que tienen los números y la cantidad de ellos que se forman, tales como:¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el primer nivel (centenas)?¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el segundo nivel (decenas)?¿Cuántos números diferentes se pueden colocar en el tercer nivel (unidades)?

Para encontrar los números de tres cifras el profesor puede sugerir el uso del diagrama de árbol, para el caso de cuatro cifras será conveniente que pida a los alumnos que no lo utilicen, obligándolos a que usen multiplicaciones para encontrar el total de variaciones y se den cuenta que pueden obtenerlas sin usar el diagrama, o sea que utilicen el principio fundamental de conteo:

El total de variaciones con cuatro cifras puede obtenerse con 5 x 4 x 3 x 2 = 120.

En los problemas donde no hayan usado multiplicaciones para encontrar el resultado, vale la pena hacerlo para comprobar los resultados y para generalizar el procedimiento.

En el problema 3, dado un conjunto de cinco elementos (estacionamientos), se requiere formar subconjuntos de dos, tres y cinco elementos (autos). Hay que señalar que en la última pregunta se involucran todos los elementos del conjunto, es decir, se trata de buscar todos los arreglos de

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cinco elementos, tomados de cinco en cinco. Este tipo de arreglos se llaman permutaciones, contenido del siguiente plan.

No olvidar hacer una puesta en común donde se discutan a profundidad los procesos que siguieron los alumnos para resolver el problema.

En ninguno de los tres problemas se acepta repetición de elementos, una bandera no puede tener dos franjas del mismo color, un número no debe tener cifras iguales y un auto no puede estacionarse en dos lugares a la vez. Un problema adicional, que sí acepta la repetición de elementos es el siguiente:

En una caja hay cinco fichas marcadas con los números 1, 3, 5, 7 y 9. Se extrae una ficha de la caja y se anota su número. La ficha extraída se regresa a la caja y nuevamente se realiza una extracción. ¿Cuántos números diferentes de dos cifras es posible formar?






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Plan de clase (3/3)



Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen diversos procedimientos para resolver problemas que impliquen obtener la cantidad de permutaciones que se pueden hacer con los elementos de un conjunto dado.


1. Andrea, Caro y Daniela se citan en una cafetería. Las tres amigas llegaron a la cita de una en una. Determinar todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber llegado.

2. ¿Cuántos números de cuatro cifras diferentes se pueden formar con las cifras 2, 3, 5 y 7? _____________________________ Con las mismas cifras, ¿cuántos números de cuatro cifras se podrían formar pudiendo repetir cifras en un mismo número? ___________________________

3. Al final del curso escolar se organizará la escolta de la escuela “Vicente Guerrero”, para ello se eligió a seis alumnos de segundo grado.

a) ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse los alumnos en la escolta? _________b) Si la abanderada es Mariana porque tuvo el promedio más alto, ¿de cuántas formas

pueden colocarse en la escolta los demás integrantes sin cambiar dicha posición? _____________________________________

c) Juan tiene un volumen de voz fuerte, por lo que se decide ponerlo de sargento. Si Mariana es la abanderada y Juan el sargento, ¿de cuántas maneras diferentes pueden colocarse los otros cuatro integrantes? _________________________


A diferencia de los problemas del plan anterior, en éstos intervienen todos los elementos del conjunto. A estos subconjuntos en donde sí importa el orden de los elementos y participan todos los elementos del conjunto, se llaman permutaciones. Por ejemplo, en el primer problema se trata de obtener el número de arreglos de un conjunto de tres elementos, tomados de tres en tres. En el segundo hay un conjunto de cuatro elementos (2, 3, 5 y 7) y se trata de calcular el número de

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permutaciones, es decir, la cantidad de números diferentes de cuatro cifras. Finalmente, el tercer problema se puede interpretar como el número de permutaciones de seis elementos tomados de seis en seis, de cinco elementos tomados de cinco en cinco y de cuatro elementos tomados de cuatro en cuatro.

Si bien, un recurso gráfico como un diagrama de árbol es eficiente para calcular las permutaciones de conjuntos con pocos elementos, la expectativa es que también se utilice el recurso de la multiplicación, principalmente para obtener las permutaciones con repetición del segundo problema y en los cálculos del tercer problema.

En la primera parte del tercer problema se trata de calcular las permutaciones de seis elementos, la respuesta es 720 formas diferentes. Se espera que los alumnos noten este hecho y traten de resolver por medio de la multiplicación 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720. El propósito principal es, por tanto, que los alumnos evolucionen en sus procedimientos hacia formas más eficientes.

En el caso del inciso b), al tener una restricción (que Mariana sea abanderada), el número de permutaciones se simplifica considerablemente, ya que sólo quedan cinco lugares por ocupar y el total es 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Y en el caso del inciso c) el problema se reduce a acomodar cuatro elementos en cuatro lugares, es decir, 24.






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Plan de clase (1/4)

Escuela: ______________________________________ Fecha: _______________Profr. (a): ____________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MIContenido: 7.4.7 Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas de barras de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica de barras que muestra los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos, respecto a su deporte favorito. Posteriormente contesten las preguntas.

a) ¿Cuál es el deporte de mayor preferencia?b) ¿Cuál es el de menor preferencia?c) ¿Cuántos alumnos prefieren el básquetbol? d) ¿Cuál es el número total de alumnos encuestados?e) ¿Cuántos alumnos no eligieron el básquetbol?f) ¿Qué % de alumnos prefieren el fútbol?

Consigna 2. Con el mismo equipo analicen la gráfica que muestra las tallas de los alumnos de un grupo, representadas en porcentajes (%) y contesten las preguntas:

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a) Si son 40 los alumnos del grupo, ¿cuántos son de cada talla?Talla Grande______ Talla Mediana______Talla Chica______

b) Suponiendo que en la escuela se quieren hacer chamarras para 160 alumnos, ¿cuántas chamarras de cada talla se deberán confeccionar atendiendo la misma proporción?Talla Grande______ Talla Mediana______Talla Chica______

Consideraciones previas:Es probable que los alumnos tengan problemas para determinar el número más aproximado de las preferencias de cada deporte o el porcentaje de cada talla, ante esto debe sugerirse la división de cada rango del eje vertical en el número más conveniente y por supuesto, emplear la perpendicular del eje vertical que coincida con la altura de cada barra.

Es posible que confundan la frecuencia absoluta con la relativa, al identificar los elementos de cada gráfica hay que enfatizar el tipo de frecuencia empleada.


19. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

20. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (2/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos recopilen información, la organicen y la presenten en gráficas de barras de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1. En equipos investiguen las edades de sus compañeros del grupo, completen la tabla con los datos que obtengan y construyan la gráfica de barras correspondiente.

Consigna 2. Con las edades de sus compañeros del grupo, ahora construyan la tabla y gráfica empleando frecuencias relativas (%).

EDAD11 años o menos

12 años13 años o más

Total

% 100 %

EDAD11 años o menos

12 años13 años o más

Total

NO. ALUMNOS

EDADES (años)

No.

Alu

mn

os

12 13 ó más

11 ó menos

176

Consideraciones previas. Es frecuente que los alumnos tengan dificultad al representar las escalas en los ejes verticales, dar tiempo suficiente para discutir las más adecuadas y no olvidar que a divisiones de la misma longitud les corresponde los mismos valores.






EDADES (años)

(%)

12 13 ó más

11 ó menos

177

13 años_____%

12 años_____%

11 años_____%

Plan de clase (3/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen e interpreten información presentada en gráficas circulares de frecuencia absoluta y relativa.

Consigna 1. En equipo, analicen la siguiente gráfica que muestra las edades de los alumnos de un grupo de secundaria. Posteriormente contesten las preguntas que se indican.

Si el grupo tiene 40 alumnos:

1. ¿Cuántos alumnos tienen 13 años? _________2. ¿Cuántos alumnos tienen 11 años? _________3. ¿Cuántos alumnos tienen 12 años? _________

Consigna 2. Con el mismo equipo ahora analicen la gráfica que corresponde a otro grupo y anoten el porcentaje que corresponde a cada edad.

11 años

13 años

12 años

178

Consideraciones previas. Una primera regla en este tipo de gráficas es que hay una relación de proporcionalidad entre las superficies de los sectores circulares y las frecuencias absolutas o relativas que representan. Esta idea puede ser explorada con preguntas como ¿Qué edad es más frecuente en el grupo? ¿Qué edad se repite más en el grupo, 12 años ó 13 y 11 años?, etcétera.

Dos aspectos hay que tener presentes y que pueden ser obstáculos para interpretar adecuadamente una gráfica circular, uno, la medición de los ángulos y el otro, establecer y resolver una relación de proporcionalidad entre los grados y las frecuencias, y aunque estos aspectos ya se estudiaron vale la pena cerciorarse que los alumnos los dominan y si no promover actividades para consolidarlos.






179

Plan de clase (4/4)



Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas circulares de frecuencias absolutas y frecuencia relativas.

Consigna 1. En equipo resuelvan el problema siguiente:

Un dado fue lanzado varias veces. En la siguiente tabla se concentran los resultados, complétenla y con esta información construyan una gráfica circular.

Cara del dado Veces que salió1 42 63 14 25 46 3Total

Consigna 2. Con el mismo equipo realicen lo que se pide.

Previo a las elecciones para presidente municipal de una comunidad se realizó una encuesta vía telefónica, los resultados fueron los siguientes: candidato A con 240 preferencias, candidato B con 720, candidato C con 128 y el candidato D con 512. Con esta información completen la siguiente tabla y construyan una gráfica circular.

Candidato Preferencias (%)ABCDTotal 100%

Consideraciones previas:En la construcción de las gráficas circulares, dos posibles obstáculos son la obtención de las medidas de los ángulos centrales de los diferentes sectores circulares y por otro lado el uso adecuado del transportador para el trazo de la gráfica. Respecto al primero es importante tener presente varias cosas:

a) Que el resultado de los conteos puede darse mediante una frecuencia absoluta o una relativa. En la primera gráfica se utiliza la frecuencia absoluta y en la segunda la frecuencia relativa.

180

b) Identificar claramente el conteo total, al cual corresponde los 360° de la gráfica. En el problema del dado, el conteo final son las 20 veces que se lanzó el dado; en el segundo son las 1600 preferencias.

c) Que establecer y resolver una relación de proporcionalidad es una herramienta muy útil para obtener las medidas de los ángulos centrales, por ejemplo: “20 es a 360° como 4 es a x” para el primer renglón del primer problema y “100% es a 360° como 15% es a x” para el primer renglón del segundo ejercicio.






181

182

Plan de clase (1/4)

Escuela: _________________________________________ Fecha: __________________Profesor (a): _______________________________________________________________


Contenido: 7.5.1 Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen procedimientos informales en la adición de números enteros para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas.

1. En la primera oportunidad el equipo de fútbol americano de la UNAM avanzó 6 yardas, en la segunda pierde 14 yardas, en la tercera avanzó 16 yardas. Si perdió 13 yardas en la cuarta oportunidad. ¿Cuál es el total de yardas ganadas o perdidas?

2. Un elevador subió 6 pisos, bajo 9, bajo 12 más, subió 8, bajo otros 4 y se detuvo en el piso 43. ¿De qué piso partió?

Consideraciones previas: Una vez que se analicen los resultados de los dos problemas es conveniente que el profesor sugiera el uso de la recta numérica para verificar los resultados, en el entendido de que los sumandos positivos se cuentan hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda.






183

Plan de clase (2/4)




Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen un algoritmo para resolver sumas o restas de números enteros.

Consigna: En equipos resuelvan los siguientes problemas:

¿Cuál es el número que sumado con 5 es igual a 2?

+ 5 = 2

¿Cuál es el número que sumado con -3 es igual a -7?

+ (-3) = -7

¿Cuál es el resultado de la siguiente resta?

(+8) - (-5) =

¿Cuál es el resultado de la siguiente resta?

(-3) - (+8) =

Consideraciones previas: Es probable que los alumnos no tengan dificultad para resolver los dos primeros casos que son de suma. Sin embargo, si es necesario, se sugerirá el uso de la recta numérica. Primero hay que situarse en el sumando que se conoce y contar hacia la derecha o a la izquierda para llegar al resultado, que en el primer caso es +2. La dificultad mayor se presenta en la resta, por lo que es necesario sugerir a los alumnos un recurso para resolver cualquier caso. Este recurso puede ser la propiedad, según la cual, “la suma de la diferencia más el sustraendo es igual al minuendo” de esta manera, la resta (+8)-(-5)= se convierte en una suma en la que se desconoce un sumando: + (-5) = +8. Es muy importante que los alumnos usen esta técnica resolviendo un número suficiente de restas, hasta que adquieran cierta familiaridad con dicha técnica, para lograr esto conviene dedicar un tiempo breve en cada sesión para resolver uno o dos casos.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________________________________



184

Plan de clase (3/4)




Intenciones didácticas: Que los alumnos usen un algoritmo de adición o sustracción de números enteros en la solución de problemas.

Consigna: En binas resuelvan los siguientes problemas:

1. En una región del estado de Tamaulipas, la mínima temperatura registrada en un año fue de -5 grados centígrados y la máxima fue de 42 grados centígrados. ¿Cuál es la diferencia entre ambas temperaturas?

2. Después de alcanzar una altura de 3 795 metros sobre el nivel del mar, un cohete suelta una de sus turbinas y ésta cae en el océano a una profundidad de -792 metros. ¿Qué distancia recorre la turbina? ¿Por qué se emplean números negativos para representar la distancia que se sumerge la turbina en el océano?

Consideraciones previas: Aunque se espera que los alumnos utilicen un algoritmo para resolver los problemas anteriores, lo importante es que encuentren el resultado y puedan mostrar por qué es correcto.






185

Plan de clase (4/4)




Intenciones didácticas:Que los alumnos utilicen los algoritmos de la adición y sustracción de números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

Consigna: En binas resuelvan las siguientes cuestiones:

1. En un cuadrado mágico, la suma de los números en cada fila, columna y diagonal es la misma.

3 -4 1

-2 0 2

-1 4 -3

Comprueba si el cuadrado es mágico:

Sumas horizontales Sumas verticales Sumas diagonales3 - 4 + 1 = 3 - 2 - 1 = 3 + 0 -3 =

-2 + 0 +2 = -4 + 0 + 4 = 1 + 0 -1 =

-1 + 4 -3 = 1 + 2 - 3 =

2. Completen los siguientes cuadrados mágicos. Los números dados en el primero deben sumar

(vertical, horizontal y diagonal) y en el segundo, -0.9:

a) b) -1.5, -1.2, -0.9, -0.6, -0.3, 0, 0.3, 0.6, 0.9


0.6

-0.3

-0.6

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Es conveniente no dar a los alumnos una regla para resolver cuadrados mágicos mientras los resuelven. Si queda tiempo se les puede pedir que ellos inventen un cuadrado mágico, a partir de la siguiente información:

Primero deben pensar en una sucesión de nueve números, de manera que la diferencia entre dos números seguidos sea la misma.Segundo, el número que va en medio de la sucesión debe colocarse en el centro del cuadrado.Tercero, la suma es el triple del número que va en el centro.






187

Plan de clase (1/3)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: _____________Profesor (a): __________________________________________________________________


Contenido: 7.5.2 Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan relaciones entre el exponente entero positivo o negativo, con la cantidad de ceros o la cantidad de cifras que hay después del punto decimal en potencias de 10, para representar números en notación científica.

Consigna. Reúnete con un compañero y realicen lo que se indica enseguida:

1. Realicen las siguientes operaciones y escriban una regla que permita encontrar rápidamente el resultado.

a) 1.75 x 10 = d) 0.48 x 10 =

b) 6.45 x 100 = e) 1.24 x 100 =

c) 7.45 x 1000 = f) 0.38 x 1000 =

Regla: _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

2. Realiza las siguientes operaciones y escriban una regla que permita encontrar rápidamente el resultado.

a) 1.75 ÷ 10 = d) 0.48 ÷ 10 =

b) 6.45 ÷ 100 = e) 1.24 ÷ 100=

c) 7.45 ÷ 1000 = f) 0.38 ÷ 1000=

Regla: _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

188

3. Completen la siguiente tabla y después contesten las preguntas.

Potencia Desarrollo Resultado105 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 100 000104 1 x 10 x 103 1 x 10 x 1 000102 1 x 10 x 10 100101 1 x 10 10100 1 1

0.1

0.01

0.00001

a) ¿Cuál es el resultado de 104?_____________ ¿Y de 10-4? ______________________

b) ¿Cuál es el resultado de 106?_____________ ¿Y de 10-6? ______________________

4. ¿Por cuánto hay que multiplicar cada de uno de los siguientes números para que sea equivalente a 352 000 000 000?

352 x ______________ 35.2 x ______________ 3.52 x _________________

5. ¿Por cuánto hay que multiplicar cada de uno de los siguientes números para que sea equivalente a 0.00000000352?

352 x ______________ 35.2 x ______________ 3.52 x ________________

6. ¿Cuántas veces se tiene que multiplicar por 10 el 3.5 para obtener 35 000 000? ______________________ ¿Cómo lo escribirían con una potencia de 10? ____________

7. ¿Cuántas veces se tiene que dividir entre 10 el 2.4 para obtener 0.00000000024? _______________________ ¿Cómo lo escribirían con una potencia de 10? ____________


189

Con respecto a las actividades 1 y 2, se espera que los alumnos puedan establecer que cuando se multiplica un número decimal por una potencia de 10 positiva, el punto decimal se recorre a la derecha tantas veces como indica el exponente; mientras que para una potencia de 10 negativa, se recorre el punto decimal hacia la izquierda tantas veces como indica el exponente.

Con respecto a la tercera actividad, es importante analizar la tabla entre todos con la finalidad de que los alumnos encuentren la relación entre el exponente positivo con la cantidad de ceros que hay después del uno; mientras que en el caso de potencias negativas, el número de cifras que hay después del punto decimal. Por ejemplo, para el caso 105, el número de ceros que hay después del uno son cinco ceros; mientras que 10-5, el número de cifras que hay después del punto decimal son cinco.

Las relaciones entre el número de ceros (caso de exponente positivo) y el número de cifras (caso de exponente negativo) se ponen en juego para las actividades 4 y 5.

Un aspecto que debe quedar claro para los alumnos es que una potencia negativa significa cuántas veces se divide un número entre 10. Por ejemplo:

Con respecto a las actividades 6 y 7, se espera que los alumnos expresen las cantidades como: 3.5 x 107 y 2.4 x 10-10, respectivamente.






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Plan de clase (2/3)

Escuela: _________________________________________________ Fecha: _____________Profesor (a): __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos adviertan y utilicen el procedimiento para transformar cantidades escritas en notación decimal a expresiones en notación científica y viceversa.

Consigna. Organizados en parejas, realicen lo que se indica en cada caso.

1. Analicen la información presentada en la tabla y luego respondan lo que se pregunta:

Cantidad en notación decimal Cantidad en notación científica

El año luz es la distancia que recorre la luz en un año y equivale aproximadamente a 9 500 000 000 000 km.

9.5 x 1012 km

La era Terciaria o Cenozoica tuvo una duración de 60 000 000 de años.

6 x 107 años

La velocidad de la luz es de aproximadamente 300 000 000 metros por segundo.

3 x 108 m/s

La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente 384 000 km

3.84 x 105 km

Distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 000 000 km

1.5 x 108 km

El tamaño de un virus de la gripe es de 0.0000000022 m

2.2 x 10-9 m

El radio del protón es de 0.00000000005 m 5 x 10-11 m

a) ¿Por cuántos factores está compuesto un número expresado en notación científica? ___________________________________

b) Cuando el exponente de la potencia de 10 es negativa, ¿es un número pequeño o grande? _______________________________

c) ¿Qué se le hizo a la distancia de la Tierra a la Luna para transformarla en notación científica? _____________________________________

2. Analicen la siguiente tabla y justifiquen para cada caso, cómo se convierte el número natural o decimal en notación científica.

Notación decimal Notación científica329 000 000 3.29 x 108

4500 4.5 x 103

191

590 587 348 584 5.9 x 1011

0.3483 3.5 x 10-1

0.000987 9.87 x 10-4

Consideraciones previas:Con respecto a la primera actividad, inciso a, es muy probable que la mayoría de los alumnos responda que un número en notación científica está conformado por dos factores. En el caso del inciso b, se espera que no tengan dificultad en reconocer que el exponente negativo de la potencia de 10 corresponde a una cantidad muy pequeña, menor que la unidad. En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos reconozcan que el punto decimal se recorre cinco lugares a la izquierda relacionado con el valor del exponente. Otros, es probable que respondan que se divide el número 384 000 entre cien mil, es decir:

Y luego se multiplica por la potencia 105

Por lo que 384 000 es equivalente a 3.84 x 10-5

Si se considera conveniente, en este momento, se puede dar a conocer la convención de la escritura de un número en notación científica, que es la siguiente:

Un número expresado en notación científica está compuesto por dos factores de la forma:a x 10n

Donde 1 ≤ a < 10, y n es un entero que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

El primer factor (a) suele llamarse coeficiente de la expresión

Una vez que los alumnos han comprendido las características de un número escrito en notación científica, se puede proseguir con la actividad 2. Aquí es importante estar al pendiente de los argumentos que den los alumnos con la finalidad de asegurar que han comprendido cómo se expresa un número en notación científica.

Para reafirmar los conocimientos adquiridos por los alumnos, se pueden plantear actividades como las siguientes:

Completa la siguiente tabla:

Notación decimal Notación científica0.00009850 0000.650 000

1.95 x108

4.36 x 10-8

5.645 x 107

La siguiente lista corresponde a la masa de algunos planetas del Sistema Solar. Exprésalos en notación científica.

Urano: 86 700 000 000 000 000 000 000 000 kg. __________________

Tierra: 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg. ____________________

Neptuno: 102 900 000 000 000 000 000 000 000 kg. ________________

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Saturno: 569 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. ________________






193

Plan de clase (3/3)

Escuela: ___________________________________________________ Fecha: ____________Profesor (a): ___________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos operen con números expresados en notación científica para resolver problemas.

Consigna. Reúnete con dos compañeros y resuelvan los siguientes problemas:

1. El sector salud pretende iniciar una campaña de vacunación en las cuatro entidades más pobladas del país para contrarrestar la enfermedad del virus contra la gripa aviar. Para ello cuenta con 3.5 x 108 vacunas.

2.Número aproximado de habitantes por entidad federativa

Lugar anivelnacional

Entidad FederativaHabitantes(año 2010)

1 Estado de México 1.5 x 107

2 Distrito Federal 8.9 x 107

3 Veracruz de Ignacio de la Llave 7.6 x 107

4 Jalisco 7.3 x 107

Fuente: http://cuentame.inegi.org.mx/monografias/informacion

a) ¿Es suficiente la cantidad de vacunas con que cuenta? ________ ¿Por qué? ________________________________________________________________

b) Si nada más se aplican las vacunas a la población del Estado de México y del Distrito Federal, ¿cuántas vacunas quedarán para las otras entidades? ______________________________

3. Los científicos determinaron que una persona tiene una concentración de glóbulos rojos en la sangre de 5.6 x 106 por cada mililitro de sangre, y que en total tiene 4.6 x 103 mililitros de sangre. ¿Cuántos glóbulos rojos contiene la sangre humana? ____________________.

194

http://cuentame.inegi.org.mx/monografias/informacion

4. ¿Sabes que significa un año luz?

Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (360 días). Esta distancia es aproximadamente 9.5 x 1012 km. Se estima que la Vía Láctea tiene un diámetro de 1.9 x 1018 km. ¿Cuántos años luz de diámetro tiene la Vía Láctea?

Consideraciones previas:En el primer problema, inciso a, para poder responder si la cantidad de vacunas es suficiente, tendrán que sumar el número de habitantes dando un total de 25.3 x 107 .Luego, para poder determinar si este número es mayor o menor a la cantidad de vacunas, será necesario expresarla como 2.53 x 108. Con ello, es posible determinar si la cantidad de vacunas es suficiente. Tal vez algunos alumnos realicen la sustracción 3.5 x 108 – 2.53 x 108 y determinen que el número de vacunas sobrantes es de 0.97 x 108, o lo que es lo mismo 9.7 x 107 vacunas (97 000 000). Aquí, se sugiere discutir en grupo y acordar cómo se deben sumar o restar este tipo de expresiones.

En el caso del inciso b, los alumnos realizarán la suma del número de habitantes de las dos entidades:1.5 x 107 + 8.9 x 107 = 10.4 x 107, o bien 1.04 x 108.Para luego obtener la respuesta:3.5 x 108 – 1.04 x 108= 2.46 x 108.

Por lo tanto, el número de vacunas para las otras entidades es de 2.46 x 108, o lo que es lo mismo 246 000 000.

La expectativa en el problema 2 es que se multiplique la cantidad de glóbulos rojos que hay en cada mililitro por el total de mililitros de sangre que tiene el cuerpo humano.

Por lo tanto, el cuerpo humano tiene 2.576 x 1010

glóbulos rojos.

Es importante hacer notar al alumno, si no lo identifica por si mismo, la utilidad de asociar para operar los números decimales por separado de las potencias de 10. Los números se multiplican en forma normal y en las potencias de 10 se suman sus exponentes.Si el producto decimal resulta mayor o igual a 10 (es decir con dos o más cifras en la parte entera) se rescribe en notación científica: Se suman los exponentes de las potencias: 101 x 109 = 10(1+9) = 1010.

Se puede comprobar el resultado con la calculadora introduciendo las cantidades de la siguiente manera. (Nota: si la calculadora no es científica, es probable que no pueda escribir este tipo de números)

Teclear ( 5.6 x 10 x y 6 ) x( 4.6 x 10 x y 3 = la calculadora devolverá 2.576 10

195

Otra forma de teclear en la calculadora científica la notación científica para realizar operaciones es la siguiente:

Teclear: La la calculadora devolverá

Hacer notar que la calculadora oculta la base 10 porque está trabajando en el sistema decimal (donde la base es 10).

Es razonable pensar que no todos los docentes tendrán a su alcance este recurso tecnológico, pero igual pueden tener una sola calculadora y mostrar el resultado al alumno. Este hecho no debe impedir que se propongan alternativas como esta para diversificar procedimientos de resolución.

El problema 3 puede resolverse mediante una división.Si un año luz equivale a 9.5 x 1012 km y de acuerdo con el problema, la Vía Láctea tiene un diámetro de 1.9 x 1018 km. Al dividir el diámetro de la vía láctea entre el valor de un año luz expresado en kilómetros encontraremos el valor del diámetro en años luz.

Al aclarar este punto los alumnos centrarán su atención en cómo realizar la operación.

¿Cómo dividir ?

Podemos descomponer en factores que representen potencias iguales a 106 (por no decir 10 x 10 x10 …, 18 veces y 10 x 10 x 10…. 12 veces en el denominador):

Al descomponer las potencias de 10 en potencias iguales podemos aplicar la cancelación (a/a

= 1), luego dividir por separado los coeficientes

Hacer notar que el resultado obtenido 0.2 x 106 no cumple la regla de escritura de la notación científica, por lo tanto:

Así, el diámetro de la Vía Láctea es igual 200 000 años

luz.

Igual que en problema 2 se puede comprobar el resultado con la calculadora introduciendo las cantidades de la siguiente manera. (Nota: si la calculadora no es científica, es probable que no pueda escribir este tipo de números)

Teclear (1.9 x 10 xy 18 ) ÷ ( 9.5 x 10 xy 12 = la calculadora devolverá

2.576 105.6 EXP 6 X 4.6 EXP 3 =

Diámetro= 1.9 x 1018 km

2 5

196

Hacer notar que la calculadora oculta la base 10 porque está trabajando en el sistema decimal (donde la base es 10)

Se pueden proponer más problemas de este tipo u operaciones directas con la finalidad de practicar los procedimientos estudiados para realizar los cálculos.

En síntesis se puede concluir con los alumnos que:

Exponente

Coeficiente Potencia

Al sumar o restar dos números en notación científica se suman los coeficientes, siempre y cuando las potencias tengan el mismo exponente.

Al multiplicar dos números en notación científica se multiplican por separado los coeficientes y se suman los exponentes de la potencia de 10

Al dividir dos números en notación científica se dividen por separado los coeficientes y se restan los exponentes de las potencias de 10

Para reafirmar los conocimientos adquiridos, se pueden plantear ejercicios como por ejemplo:

a) 16 × 106 + 32 × 106 = (16 + 32) x 105 =

b) 34×108 - 0.2×108 =

c) 16 × 104 + 8 ×105 - 4 ×103 =

d) 8.2 × 105 + 3 × 105 – 0.06 × 105 =

e) (9 × 103) × (2 × 102) =(9 x 2) x 103x102 =

f)

g)




197

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



198

Plan de clase (1/4)



Contenido: 7.5.3 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen de manera exponencial multiplicaciones de factores iguales al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos y sin utilizar calculadora, resuelvan el siguiente problema:

Un camión transporta 12 cajas que contienen cada una otras 12 cajas más pequeñas y que a su vez, cada caja pequeña contiene 12 cajitas con 12 bolsas; y cada bolsa contiene 12 mantecadas cada una.

a) ¿Cuántas mantecadas transporta el camión? b) ¿Cuál es la manera más breve de expresar la operación que resuelve este problema?

Consideraciones previas: Después de dar tiempo suficiente para que los equipos resuelvan el problema, algunos alumnos pasarán al pizarrón a escribir sus procedimientos y resultados, mismos que serán analizados por todo el grupo. Conviene que primero se pongan de acuerdo en el resultado, después en la manera más directa de obtenerlo y finalmente en la expresión más abreviada mediante la cual se obtiene el resultado. Se espera que lleguen a la expresión 12x12x12x12x12=248832. Después de esto todavía se les puede pedir que busquen una expresión más abreviada y si no la encuentran el docente interviene para explicar que dicha expresión es 12 a la quinta potencia (12 5 = 248832)

Para consolidar lo aprendido, es recomendable que se deje de tarea algunos ejercicios en los que tengan que expresar de manera exponencial multiplicaciones de factores iguales o viceversa. También es muy importante contrastar multiplicaciones de factores iguales con sumas de sumandos iguales. Por ejemplo, 3+3+3+3 = con 3x3x3x3=






199

200

Plan de clase (2/4)




Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la raíz cuadrada o la segunda potencia como operaciones inversas al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y completen la tabla que aparece enseguida (no pueden utilizar calculadora).

Núm. de figura TOTAL DE PUNTOS PUNTOS POR LADO1 12 2345625 625

Escriban la relación que existe entre los puntos por lado y el total de puntos de cada figura.

Consideraciones previas:Los alumnos pueden comprobar con calculadora. Es probable que en el caso del 625 los alumnos utilicen el ensayo y error para encontrar los puntos por lado. Conviene aclarar que el resultado obtenido multiplicado por sí mismo da 625, en este momento el profesor puede decir que este número es la raíz cuadrada de 625; con base en lo anterior se pueden plantear preguntas tales como: ¿cuál es la raíz cuadrada de 81, 121 y de 40? Este último no tiene raíz exacta y por lo tanto no hay un número entero que multiplicado por sí mismo dé 40, pero sí es posible aproximarse a 40 tanto como uno quiera agregando cifras decimales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 40 está entre: 6 y 7; 6.3 y 6.4; 6.32 y 6.33, etcétera. Los alumnos podrán usar la calculadora para hacer este trabajo.

Si queda tiempo se puede plantear el siguiente problema:

Un agricultor tiene una huerta pequeña de manzanos que ocupa una superficie cuadrada. Actualmente tiene 16 árboles equidistantes y está planeando aumentar su huerto pero manteniendo la superficie en forma cuadrada. Si la cantidad de árboles en el huerto fuera de 169 manzanos, ¿cuántos árboles habría en una fila?


Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

201





202

Plan de clase (3/4)




Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen la raíz cuadrada y su operación inversa, de manera aproximada, mediante el cálculo mental para resolver problemas.

Consigna. En equipo encontrar la solución del siguiente problema, basándose en cálculos aproximados. No se vale usar la calculadora.

Se intenta cubrir con loseta de 0.33 m x 0.33 m, el piso de habitaciones cuadradas con las medidas indicadas en la tabla. Calculen los datos que hacen falta.

Área de la habitaciónValores aproximados

Medida por lado de la habitación

Núm. de losetas a utilizar

15 m2 20 m2

26 m2

Consideraciones previas:Es probable que algunos alumnos no reconozcan que 0.33 m es equivalente a 33 cm, por lo que si es necesario, se puede hacer un paréntesis para aclarar esta relación.

De presentarse dificultades de interpretación, sería recomendable invitar a los alumnos a realizar un esquema del problema. Dado que las áreas de las habitaciones no son cuadrados perfectos, necesariamente el número de losetas tendrá que cubrir un área ligeramente mayor. Es fundamental que en este problema se enfatice la importancia de la aproximación.

En caso de que se resuelva fácilmente el problema, se puede plantear la siguiente variante:¿Cuántas losetas se necesitan para colocar el zoclo con tiras de 11 cm de ancho en cada habitación, considerando que la puerta mide 1 m. de ancho?




203



204

Plan de clase (4/4)




Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen la raíz cuadrada al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema:

Un parque cuadrado tiene una extensión de 1 225 m2. Si hay un paseo que rodea al parque y quieres entrenarte dando 5 vueltas a su alrededor, ¿cuántos metros recorrerás? ¿Y si la extensión fuera de 2 500 m2?

Consideraciones previas:El alumno puede tener la dificultad en el cálculo de la raíz cuadrada, por lo que se le invitará a obtenerla como pueda. Sin utilizar la calculadora en un primer momento y posteriormente podrá comprobar con el uso de ella. Es conveniente que al final el profesor enseñe el algoritmo para resolver la raíz cuadrada.






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Plan de clase (1/3)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ____________ Profesor (a). __________________________________________________________________


Contenido: 7.5.4 Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen el comportamiento de los términos en una sucesión de figuras y encuentren términos faltantes.

Consigna: En equipos, analizar las siguientes sucesiones y dibujar los términos que faltan. Explicar y justificar los procedimientos empleados.

Consideraciones previas:Se pretende que los alumnos utilicen procedimientos personales para analizar y obtener algunos términos faltantes. Es posible que relacionen la posición de la figura con el número de cuadritos de la misma; sin embargo, puede suceder que vean cómo cambia cada figura respecto a la anterior; cualquiera que sea el caso es importante que comenten y discutan los procedimientos. Si se les dificulta el análisis de las sucesiones, se pueden plantear preguntas como las siguientes: ¿cuántas figuras observan?, ¿cuántos cuadritos aumenta de una figura a otra?


4. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6 Fig. 7



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____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



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Plan de clase (2/3)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ____________ Profesor (a). _________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen y expresen en lenguaje común la regla general de sucesiones con progresión aritmética.

Consigna 1: El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión. En equipo, encontrar los números de la sucesión que corresponden a las posiciones 50, 100, 500 y 1000, respectivamente.

Consigna 2: De acuerdo con el siguiente esquema, escribir la regla general que permite determinar cualquier número de la sucesión, en función de su posición.

Consideraciones previas:La regla general del primer ejercicio consiste en multiplicar la posición por un número determinado, en este caso por tres; un ejercicio más complejo es el siguiente, en el que además de multiplicar la posición por dos al resultado se le resta dos.

El siguiente esquema representa lo que realiza una máquina al introducir las posiciones de los primeros cinco términos de una sucesión.


Posición

3, 6, 9, 12, 15,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general: Al número de la posición se multiplica por tres.

1, 2, 3, 4, 5,…


Posición

3, 7, 11, 15, 19,...

Sucesión

Regla general:


Posición

0, 2, 4, 6, 8, 10,...

Sucesión

1, 2, 3, 4, 5,...

Regla general: Al número de la posición se multiplica por dos y al resultado se le resta dos.208

¿Cuáles son los números de la sucesión que corresponden a las posiciones 14, 32, 50 y 250, respectivamente?

En el caso del problema 2, hay que recordar que una tabla es una herramienta útil en la búsqueda de la relación término- posición de elementos de una sucesión; por lo que se les puede sugerir a los alumnos que la utilicen. Luego plantear la siguiente pregunta: ¿Qué operación u operaciones realiza la máquina con los números de entrada para obtener los números de salida?Con esta pregunta, es probable que surjan respuestas verbales que corresponde a la regularidad que encuentran en la sucesión, pero que no es la regla general; por ejemplo:“Le va sumando de cuatro en cuatro”“Le suma cuatro al término anterior para obtener el siguiente término”“Sumarle cuatro al término”Cada vez que den una respuesta verbalmente, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así, que continúen en la búsqueda.En este caso, la respuesta a la que deben llegar es que la regla general que emplea la máquina es que multiplica por 4 a la posición del término y luego le resta 1.Si el tiempo lo permite, se les puede pedir que a partir de la regla que determinaron, encuentren los términos de la sucesión que están en las posiciones 10, 50, 100 y 1000, respectivamente.






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Plan de clase (3/3)

Escuela: _____________________________________________ Fecha: ____________ Profesor (a). __________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen en lenguaje algebraico, la regla general de sucesiones con progresión aritmética.

Consigna 1: Organizados en equipos, escriban con una expresión algebraica la regla general que permite determinar el número de cuadritos de cualquier figura, en función de su posición, de la siguiente sucesión:

Regla general: ____________________________

Consigna 2: Escriban algebraicamente la regla general que permite determinar cualquier término de cada una de las siguientes sucesiones:

a) 2, 4, 6, 8, 10 Regla: _______________________

b) 5, 10, 15, 20, 25 Regla: _______________________

c) 3, 5, 7, 9, 11 Regla: _______________________

d) 6, 11, 16, 21, 26 Regla: _______________________

Consideraciones previas:Respecto a la consigna 1. Una vez que los alumnos hayan determinado la regularidad de la sucesión, una herramienta que facilita la búsqueda de relación entre la posición de la figura y el número de cuadritos que contiene, es una tabla; por lo que se les puede pedir que la construyan y que anoten en la primera columna el número de figura y en la segunda, el número de cuadrados que contiene. Para verificar que la relación encontrada es la correcta, se les puede pedir que la continúen hasta la figura de la posición 10.

Para inducirlos a la búsqueda de la regla de formación de cualquier figura de la sucesión, considerando su posición, se podría plantear una pregunta como por ejemplo, la siguiente:¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 380 de la sucesión?

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

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En general, es muy probable que los alumnos se les dificulten resolver el problema, por lo que sería conveniente plantear preguntas de análisis de las dos columnas de la tabla para determinar la relación que existe entre el número de la posición de cada término de la sucesión y el número de cuadritos. Por ejemplo, se les puede plantear lo siguiente:Qué operación u operaciones se tiene que hacer con los números de la primer columna, para obtener los de la segunda, por ejemplo, ¿qué operaciones se pueden aplicar al número 5 de la primera columna para obtener el número 9 de la segunda columna?

Cada vez que den una respuesta, pedirles que verifiquen si se cumple con las otras parejas de números de la tabla, si no es así, que continúen en la búsqueda. En este caso, tienen que determinar que el número de la primera columna se tiene que multiplicar por 2 y al resultado restarle 1 para obtener el número de la segunda columna.Finalmente, se trata que los estudiantes lleguen a la expresión 2n – 1, donde n es la posición del término. Así, si se desea saber cuántos cuadritos tiene la figura que ocupa el lugar 150, basta con sustituir n por 150 en la expresión 2n – 1; al realizar la operación se obtiene 299, que es el número de cuadritos de la figura 150 de la sucesión.

Una actividad de aplicación puede ser la siguiente, dado que tiene la misma intención didáctica que la anterior.Determinar la regla general que permite calcular el número de cuadritos de cualquier figura de la siguiente sucesión:

Respecto a la consigna 2, se debe tener cuidado de que las sucesiones numéricas que se planteen sean con progresión aritmética, es decir, que entre sus términos haya una diferencia común.


1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

5 9

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212

Plan de clase (1/2)

Escuela: ____________________________________ Fecha: _______________Profesor (a): ________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen las fórmulas de perímetro y área del círculo para resolver problemas.

Consigna. En equipos resuelvan el siguiente problema y contesten las preguntas. Pueden usar calculadora.

De una lámina de 40 cm por 60 cm se han recortado 6 discos metálicos iguales, como los de la figura:

a) Calculen la cantidad de lámina que sobró después de recortar los discos.

b) Si los discos se forran alrededor con un hule de protección, ¿cuántos metros son necesarios para los seis discos?

Consideraciones previas:Es probable que algunos alumnos cometan errores como por ejemplo, emplear la medida del diámetro como medida del radio para calcular el área de la lámina que sobra después de recorta los discos. Para ello, es importante realizar una puesta en común de las diferentes estrategias de resolución con la idea de que ellos mismos se den cuenta de sus errores.



60 cm

40 cm

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214

Plan de clase (2/2)

Escuela: ____________________________________ Fecha: _______________Profesor (a): ________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: FE y M

Contenido: 7.5.5 Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Intenciones didácticas: Que los alumnos apliquen las fórmulas de perímetro y área del círculo para resolver problemas.

Consigna. En equipos, analicen y resuelvan el siguiente problema.

Luis tiene un pastizal en forma cuadrada cuya superficie mide 3 600 m2 y no está cercado. En el centro del pastizal hay un árbol al cual ata a su caballo con una cuerda que llega exactamente a las esquinas del pastizal y le permite al caballo rodear el terreno.

a) ¿Cuál es la longitud del máximo recorrido que puede hacer el caballo al dar una vuelta al árbol?

b) ¿Qué área puede pisar el caballo fuera del pastizal?

Consideraciones previas:Es conveniente pedir a los alumnos que hagan el dibujo que representa la situación anterior y a la vez hacer el dibujo en el pizarrón.

Si los alumnos no encuentran cómo calcular la medida del radio del círculo, se les puede hacer notar que éste es la mitad de la diagonal del cuadrado inscrito en él y que se puede obtener por medio de la fórmula del rombo, ya que el cuadrado es también un rombo (A = Dd/2)

Si sobrara tiempo, después de la puesta en común se pueden plantear los siguientes problemas, o bien, se pueden dejar de tarea:

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1) Calcula el área de la región sombreada en la figura:

2) ¿Cuál es el perímetro de una rueda de bicicleta cuyo diámetro es de 40 cm? ¿Cuál sería su perímetro si fuera el radio el que mide 40 cm?

3) Si el perímetro de una circunferencia es de 21.99 m, ¿cuál será la medida del diámetro? ¿Y la del radio?






2 cm

3 cm

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Plan de Clase (1/3)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: _________Profesor (a): _______________________________________________________________

Curso: Matemáticas 7 Eje temático: MI

Contenido: 7.5.6 Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

Intenciones didácticas: Que los alumnos Identifiquen variaciones que sufren las cantidades que se involucran en problemas de proporcionalidad múltiple.

Consigna: Organizados en parejas, anoten las cantidades que hacen falta en la tabla de abajo y contesten las preguntas que aparecen después.

En una fábrica se elaboran cajas de cartón de diferentes tamaños. En la tabla se muestran las dimensiones de algunas de ellas; si lo desean pueden dibujarlas y/o construirlas con cubos.

Caja Largo Ancho Alto VolumenA 3 dm 2 dm 4 dm 24 dm3

B 6 dm 2 dm 4 dmC 6 dm 6 dm 4 dmD 6 dm 4 dm 8 dmE 9 dm 6 dm 12 dm

Después de obtener el volumen de todas las cajas, analicen lo siguiente: ¿Cómo crecen los volúmenes en relación con las medidas de largo, ancho y alto de las cajas? ¿De los cinco tipos de cajas hay tres que están a escala?, ¿cuáles son? ¿Cómo lo saben?

Consideraciones previas:Es necesario ayudar a los alumnos a analizar la primera pregunta, para que encuentren las relaciones entre el crecimiento de una o más dimensiones y el volumen de las cajas.Es posible que los alumnos encuentren cómo se obtuvo la variación proporcional de dos cajas que están a escala, por ejemplo, al comparar los volúmenes de las cajas D y A; debe quedar claro que, por ejemplo, si se duplican las tres dimensiones de la caja, el volumen incrementa 8 veces (2 X 2 X 2 = 8) y sólo si las tres dimensiones aumentan en la misma proporción la caja que resulta está a escala. Si no fuese encontrada esta relación por los propios alumnos, conviene que el profesor la ponga a consideración para que los alumnos la validen.





217


218

AB

C

D

E

F

Plan de Clase (2/3)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: _________Profesor (a): _______________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las relaciones de proporcionalidad múltiple en el caso de los prismas.

Consigna: En equipos, lean la información que se proporciona y anoten las medidas que hacen falta en la tabla.

Una cadena de tiendas que distribuye perfumes, maneja 3 diferentes tamaños de caja para envasar su producto. La forma de la caja es un prisma triangular como se muestra en la figura.

Prisma Lado DF Lado EF Lado DE Altura AD Área Base VolumenA 3 cm 4 cm 5 cm 8 cm 6 cm2 48 cm3

B 4 cmC 6 cm

Consideraciones previas:El profesor debe centrar el análisis en los procedimientos que usaron los alumnos y en la diferencia entre la variación proporcional respecto a unidades lineales, de área y de volumen que encontraron.





8cm

3cm 4cm

5cm

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Plan de Clase (3/3)

Escuela: __________________________________________________ Fecha: _________Profesor (a): ________________________________________________________________



Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas de variación proporcional múltiple justificando los procedimientos utilizados.


Problema 1. Se calcula que se necesitan 20 litros de agua diarios para cada 15 niños que van a una excursión. ¿Cuántos litros se necesitan si 45 niños salen durante 7 días?

Problema 2. Al organizar otra excursión el responsable llevó 60 niños y transportó 420 litros de agua ¿Cuántos días podrá durar la excursión, si se conserva el promedio de consumo de agua por cada niño?

Consideraciones previas:El profesor deberá propiciar la explicación de cada uno de los diferentes procedimientos utilizados por los alumnos procurando que lleguen a generalizar reglas de correspondencia entre dos conjuntos de cantidades, mientras el tercer conjunto permanece constante. Por ejemplo, la regla de correspondencia entre agua y niños, si la cantidad de días permanece constante es N = ¾A, o bien, A = 4/3N.El profesor podrá plantearle al grupo problemas similares a los presentados, de tal manera que visualice hasta dónde sus alumnos han utilizado procedimientos adecuados para resolverlos.






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Plan Diario de Clase Todos Los Bloques