materia pochodzi ze strony matematyka.pisz.plOkrg i koo .

uk okrgu, wycinek i odcinek koa

A

A

r

r

okrg o rodku A

koo o rodku A

l=

2r 360

P =

r2 360

dugo uku

pole wycinka

3, 14

promie

rednica

ciciwa

r

Dugo okrgu i pole koa . odcinek koa pole odcinka koa = pole wycinka koa pole trjkta

r

A r

Kty w okrgu

l = 2r

P = r

2 K

3, 14A B A F B A B

F

kt rodkowy oparty matematyka.pisz.pl 1

kt wpisany oparty

kt rodkowy oparty

matematyka.pisz.pl

na uku AFB

na uku AFB

na uku AKB okrg opisany na trjkcie

Kt rodkowy ma wierzchoek w rodku okrgu. Kt wpisany ma wierzchoek na okrgu.R

a b

c

Twierdzenie o ktach wpisanych Kty wpisane oparte na tym samym uku s rwne. Przykady: promie: R =

a 2 sin

a dowolny bok kt naprzeciw tego boku

R=

abc 4P

a, b, c dugoci bokw trjkta P pole trjkta

Twierdzenie o kcie wpisanym i rodkowym Trjkt oparty na rednicy jest prostoktny. Kt rodkowy jest dwa razy wikszy od kta wpisanego opartego na tym samym uku co kt rodkowy. Przykady:

240

rodek okrgu opisanego na trjkcie znajdujemy rysujc symetralne bokw trjkta.

2

30

60120

Kt wpisany oparty na rednicy ma 90 .180

matematyka.pisz.pl

2

matematyka.pisz.pl

okrg wpisany w trjkt

Okrg wpisany w czworokt (czworokt opisany na okrgu)

cpromie okrgu:

d

c r a

b r= 2P a+b+c P - pole trjkta a

b

a+c=b+d

Czworokt moemy opisa na okrgu, jeeli suma jego przeciwlegych bokw jest rwna. promie okrgu wpisanego w czworokt

crodek okrgu wpisanego w trjkt znajdujemy rysujc dwusieczne ktw trjkta.

r= r d a b

2P a+b+c+d

P pole czworokta

Wzajemne pooenie prostej i okrgu Okrg opisany na czworokcie (czworokt wpisany w okrg)

O

prosta jest zewntrzn okrgu

+ = 180 + = 180prosta jest sieczn okrgu

O

Czworokt moemy wpisa w okrg, jeeli suma jego przeciwlegych ktw jest rwna 180 .A

rO

prosta jest styczn okrgu

matematyka.pisz.pl

3

matematyka.pisz.pl

A punkt stycznoci. Jedyny punkt wsplny prostej i okrgu.Odlego stycznej od rodka okrgu O jest rwna promieniowi okrgu r .Kt midzy promieniem okrgu a styczn jest prosty. dwie styczne do okrgu

r1 A

r2 B

okrgi przecinajce si

|r1 r2 | < |AB| < r1 + r2

Dwie styczne do okrgu

A B O C

A r1 Br2

okrgi styczne wewntrznie

|AB| = |r1 r2 |

A r1 B r2

okrgi rozczne wewntrznie

|AB| < |r1 r2 |

Odcinki AB i AC s rwne

|AB| = |AC|Pprosta AO jest dwusieczn kta CAB . okrgi wsprodkowe

wzajemne pooenie dwch okrgw

Kty w trjkcie

r1 A

r2 B

okrgi rozczne zewntrznie

|AB| > r1 + r2

.

Suma wszystkich ktw w trjkcie wynosi 180 .

r1 A r2 Bokrgi styczne zewntrznie

+ + = 180

|AB| = r1 + r2

matematyka.pisz.pl

4

matematyka.pisz.pl

Nierwno trjkta Dowolny bok trjkta ma mniejsz dugo od sumy dugoci pozostaych bokw. Przykady: rodek cikoci dzieli kad rodkow w stosunku 2 : 1.

3 4 3 < 4+2 4 < 3+2 2 < 3+4

2

2

6 5 6 < 2+5 5 < 2+6 2 < 6+5

3

5 4 5 < 3+4 4 < 3+5 3 < 5+4

p a

x

b y q

x 2 = y 1

a 2 = b 1

q 2 = p 1

rodkowa dzieli trjkt na dwa trjkty o rwnych polach.

P 1 = P2 P1Wysoko trjkta Wysoko to odcinek czcy wierzchoek trjkta z podstaw lub jej przedueniem pod ktem prostym. Kady trjkt ma trzy wysokoci. Przykady: Symetralna boku trjkta to prosta prostopada do boku i przechodzca przez jego rodek.

P2

symetralna

Wysokoci lub ich przeduenia przecinaj si w jednym punkcie.

rodkowa trjkta rodkowa to odcinek czcy wierzchoek trjkta ze rodkiem przeciwlegego boku. Symetralne bokw trjkta przecinaj si w jednym punkcie, ktry jest rodkiem okrgu opisanego na tym trjkcie.

rodkowe przecinaj si w jednym punkcie. Nazywamy go rodkiem cikoci trjkta.

matematyka.pisz.pl

5

matematyka.pisz.pl

dwusieczna Dwusieczna kta to pprosta dzielca go na dwa rwne kty.

b ramionaW trjkcie rwnoramiennym kty przy podstawie s rwne.

Dwusieczne ktw trjkta przecinaj si w jednym punkcie, ktry jest rodkiem okrgu wpisanego w ten trjkt.

Wysoko dzieli podstaw i kt przy wierzchoku trjkta rwnoramiennego na dwie rwne czci.

odcinki o rwnej dugoci

Twierdzenie o dwusiecznej Trjkt rwnoboczny Twierdzenie o dwusiecznej

a a c b dWysoko i pole Dwusieczna dzieli bok trjkta na odcinki c i d o dugociach speniajcych rwnanie:

a

a

c d = a b aTrjkt rwnoramienny

h

a 3 h= 2 a2 3 P = 4

Kty w trjkcie60

60

60

Wysokoci w trjkcie rwnobocznym przecinaj si w jednym punkcie. Punkt przecicia dzieli wysoko na odcinki w stosunku 2 : 1

b a

b

b a

b

b a

b

x y

x=

2 h 3

y=

1 h 3

x 2 = y 1

a podstawa matematyka.pisz.pl 6 matematyka.pisz.pl

Trjkt prostoktny

Pole trjkta

b a

c

a, b przyprostoktne c przeciwprostoktna

h a

h a

h

a

h a

a podstawa h wysoko P = 1 ah 2

Twierdzenie Pitagorasa Funkcje trygonometryczne Wzory na dugo bokw trjkta prostoktnego (gimnazjum)c a b

wzr Herona:

P =

p(p a)(p b)(p c)

1 p = 2 (a + b + c) poowa obwodu

Twierdzenie Pitagorasa W kadym trjkcie prostoktnym:

c b a

b a2 + b2 = c2 a

P =

1 ab sin 2

Cechy przystawania trjktw Przykady: Przystawanie wieloktw

3

5 4 a=?

c=? 6(bbb) bok bok bok odpowiednie boki trjktw s rwne

c b a c

b a

a2 + 32 = 52 a2 = 9 25 a = 16 = 4

62 + 42 = c2 c2 = + 16 36 c = 52 = 4 13 = 2 13

(bkb) bok kt bok odpowiednie dwa boki trjktw s rwne i kt midzy nimi. 7

b b a

a

matematyka.pisz.pl

matematyka.pisz.pl

wynik.

(kbk) kt bok kt odpowiednie dwa kty trjktw s rwne i bok do nich przylegy

b

c

a

a

a a b c = = = 2R sin sin sin

Cechy podobiestwa trjktw .

bok bok bok

bok kt bok

kt kt kt R - dugo promienia okrgu opisanego na tym trjkcie

Kwadrat

a atwierdzenie cosinusw Przektna kwadratu Jeeli mamy dugo dwch bokw trjkta i kt jaki tworz, to moemy wyznaczy dugo trzeciego.

a

d a

d=a 2

b a

cObwd kwadratu

a a a aPole kwadratu

Obw = 4a

c2 = a2 + b2 2ab cos

atwierdzenie sinusw Dzielc dugo dowolnego boku trjkta przez sinus kta naprzeciwko otrzymujemy ten sam matematyka.pisz.pl 8

P = a2 a

matematyka.pisz.pl

prostokt

Kty w rwnolegoboku

a b aObwd prostokta Przektne w rwnolegobokuy x

+ = 180 b

a b aPole prostokta

xO

b

Obw = 2a + 2b

y

Punkt przecicia przektnych O dzieli przektne na rwne czci

b a

P = ab

Romb Romb to rwnolegobok, ktrego wszystkie boki s rwne.

aRwnolegobok Rwnolegobok to czworokt, ktrego przeciwlege boki s rwnolege.

a aObwd rombu Obw = 4a Pole rombu

a

a

b aObwd rwnolegoboku Obw = 2a + 2b Pole rwnolegoboku

b

f

h a a b

a

h

a

e

f

e

a P = ah P = a2 sin P = ef 2

h a P = ah

h

a P = ah matematyka.pisz.pl

P = ab sin 9 matematyka.pisz.pl

Kty w rombie deltoid

+ = 180

q p p, q przektne

Przektne w rombiey x y

Pole deltoidu

x

P =

pq 2

Przektne w rombie przecinaj si pod ktem prostym. Punkt przecicia przektnych dzieli przektne na rwne czci.

wielokty

Trapez

wielokt wypuky

wielokt wklsy

prostoktny Pole trapezu:

rwnoramienny suma miar ktw wewntrznych wielokta wypukego, ktry ma n wierzchokw, jest rwna (n 2) 180

b h a P = h

b

a, b podstawy h wysoko

wielokty foremne

a a+b h 2

Kty w trapezie:

+ = 180 + = 180

trjkt rwnoboczny

kwadrat

piciokt foremny

szeciokt foremny

piciokt foremny w piciokcie foremnym wszystkie boki maj tak sam dugo, a kty s rwne matematyka.pisz.pl 10 matematyka.pisz.pl

a a apiciokt foremny wpisany w okrg

apole: konstrukcja5 2 4a

a

P =

ctg 36

Kty w szeciokcie foremnym:

60 0 6

konstrukcja

60

60 60

60

12 0

0 12

360 : 6 = 60kty w piciokcie foremnym108

60 + 60 + 60 = 180

108

72

Obwd wielokta Obwd dowolnego wielokta otrzymujemy dodajc dugoci wszystkich bokw. Przykady:

72

72 54 5410 8 10 8

360 : 5 = 72

54 + 54 + 72 = 180

3Szeciokt foremny

2 4 3

Obw = 4 + 2 + 3 = 9

W szeciokcie foremnym wszystkie boki maj tak sam dugo, a kty s rwne.

a a a aSzeciokt foremny wpisany w okrg:

3 a aPole:

3 3 5

Obw = 4 3 = 12

3a2 3 P = 2

3 5

3

Obw = 2 5 + 2 3 = 10 + 6 = 16

matematyka.pisz.pl

11

matematyka.pisz.pl

120

12 0

0 12

60

60 0 6

120

72

72

108

72

d 1 3 2 b c d e a = = = = =k a b c d ePrzystawanie wieloktw Przykad: Dwie gury nazywamy przystajcymi, gdy mona je naoy na siebie tak, aby dokadnie si pokryy.

c

5 e

d

c

e

4

Obw = 4 + 5 + 1 + 3 + 2 = 15

a

b

b

a

24100

8100

1560

60

5przystajce trjkty:80 120

1880 120

6 4

2.5

100

460

80

3120

12

2 2 3 4 2, 5 1 = = = = 12 18 24 15 6 k= 1 6

18 24 15 12 = = = =3 4 6 8 5przystajce prostokty:

k=3

jednokadno Figura i jej obraz w jednokadnoci o rodku O i skali k . k Oznaczenie takiej jednokadnoci: JO przystajce piciokty: przykady:DB A D C

B AB A

C

C

S

O

O OB

Podobiestwo wielkoktw

AA

OB

S B

C

A

Wielkokty s podobne, jeeli ich kty s odpowiednio rwne, a boki proporcjonalne w skali rwnej k .

k=2

k = 2

k=

1 2

k = 1 3

Po przeksztaceniu jednokadnoci o skali k : matematyka.pisz.pl 12 matematyka.pisz.pl

obwd gury zmienia si |k| razy: pole gury zmienia si k 2 razy:

Obw2 = |k| Obw1 P2 = k 2 P 1

y A A

A

B

y

C

jednokadno w ukadzie wsprzdnych Obrazem punktu A = (x, y) w jednokadnoci o rodku O w pocztku ukadu wsprzdnych i skali k jest A = (kx, ky).y A xB

x AA

C

C

x

B

B

A

AA

B

y

punkt: wzgldem osi x: wzgldem osi y :A

A = (3, 2) A = (3, 2) A = (3, 2)

x

symetria rodkowa

k=3 A = (2, 1) A = (3 2, 3 1) = (6, 3)

k = 1 2 A = (6, 2) 1 A = 1 (6), 2 2 = (3, 1) 2 B = (2, 4) 1 B = 1 (2), 2 4 = (1, 2) 2

Figura i jej obraz w symetrii rodkowej wzgldem punktu O .C B A A O O A A A B B CS

B A OS

O

symetria osiowa Figura i jej obraz w symetrii osiowej wzgldem prostej k .C A A B B AO

konstrukcja

konstrukcja

konstrukcja

konstrukcja

symetria rodkowa wzgldem pocztku ukadu wsprzdnychk

kA A B

kC

A B

k

O

obrazem punktu A = (x, y) w symetrii rodkowej wzgldem punktu pocztku ukadu wsprzdnych jest A = (x, y)yA B

y

konstrukcja

konstrukcja

konstrukcja

konstrukcja

AC

x

C

x

symetria osiowa w ukadzie wsprzdnych obrazem punktu A = (x, y) w symetrii wzgldem osi x jest A = (x, y) obrazem punktu A = (x, y) w symetrii wzgldem osi y jest A = (x, y)

AB A

A = (3, 2)

A = (3, 2)

A = (7, 4) B = (2, 4) C = (5, 1) matematyka.pisz.pl

A = (7, 4) B = (2, 4) C = (5, 1)

matematyka.pisz.pl

13

y

przesunicie (translacja) o wektor Punkt A = (x, y) przesunity o wektor v = [a, b] daje punkt A o wsprzdnych

Punkt A = (x, y) obrcony o kt wok pocztku ukadu wsprzdnych daje punktA A

A = (x , y )x

A = [x + a, y + b]przykady:

x = x cos y sin y = x sin + y cos przykady wyprowadzenie

B = (1, 2) b = [2, 2] B = (1 + (2), 2 + 2) = (3, 4) yB

A = (2, 1) a = [3, 2] A = (2 + 3, 1 + 2) = (5, 3)

A B A C C

o symetrii gury O symetrii gury jest prost, wzgldem ktrej ta gura jest do siebie osiowo symetryczna. O symetrii dzieli gur na dwie przystajce czci.

xprzykady gur z jedn osi symetrii:D D

C = (2, 1) c = [0, 2] C = (2 + 0, 1 + (2)) = (2, 3)

D = (4, 3) d = [2, 0] D = (4 + (2), 3 + 0) = (2, 3)trjkt rwnoramienny obrt trapez rwnoramienny deltoid

Figura i jej obraz w obrocie dokoa punktu OB A O A B A A OC A A B CS

przykady gur z dwiema osiami symetrii:BS

O

O

obrt o 40

obrt o 50

obrt o 60

obrt o 110

obrt w ukadzie wsprzdnych matematyka.pisz.pl 14 matematyka.pisz.pl

odcinek

prostokt

romb

dalej

rodek symetrii gury rodek symetrii gury jest punktem, wzgldem ktrego ta gura jest do siebie rodkowosymetryczna. Figura obrcona o 180 wok swojego rodka symetrii naoy si na siebie. przykady gur ze rodkiem symetrii:

prostokt

odcinek

okrg, koo

szeciokt foremny

kwadrat

przykady gur bez rodka symetrii:

matematyka.pisz.pl

15

matematyka.pisz.pl