PLI20 GE4 2014 2015

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Έντυπο Υποβολής – Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος συμπληρώνει την ενότητα «Αξιολόγηση Εργασίας» και στα δύο αντίγραφα και επιστρέφει το ένα στο φοιτητή μαζί με τα σχόλια επί της ΓΕ, ενώ κρατά το άλλο για το αρχείο του μαζί με το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή, εάν έχει δοθεί παράταση.

Σε περίπτωση ηλεκτρονικής υποβολής του παρόντος εντύπου, το όνομα του ηλεκτρονικού αρχείου θα πρέπει να γράφεται υποχρεωτικά με λατινικούς χαρακτήρες και να ακολουθεί την κωδικοποίηση του παραδείγματος: Π.χ., το όνομα του αρχείου για τη 4η ΓΕ του φοιτητή ΙΩΑΝΝΟΥ στη ΔΕΟ13 θα πρέπει να γραφεί: «ioannou_ge4_deo13.doc». __________________________________________________________________________ΥΠΟΒΟΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ονοματεπώνυμο φοιτητή <Όνομα Φοιτητή> <Επώνυμο Φοιτητή>

ΚωδικόςΘΕ ΠΛΗ 20 Ονοματεπώνυμο Καθηγητή -Σύμβουλου

<Όνομα ΣΕΠ> <Επώνυμο ΣΕΠ>

Κωδικός Τμήματος <ΤΜΗΜΑ> Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής σύμφωνα με

το ακ. ημερολόγιο

Κυριακή

8/3/2015

Ακ. Έτος 2014–2015 Ημερομηνία αποστολής ΓΕ από το φοιτητή

α/α ΓΕ 4η Επισυνάπτεται (σε περίπτωση που έχει ζητηθεί) η άδεια παράτασης από το Συντονιστή; ΝΑΙ / ΟΧΙ

Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαιώνω ότι είμαι συγγραφέας αυτής της εργασίας και ότι κάθε βοήθεια την οποία είχα για την προετοιμασία της είναι πλήρως αναγνωρισμένη και αναφέρεται στην εργασία. Επίσης έχω αναφέρει τις όποιες πηγές από τις οποίες έκανα χρήση δεδομένων, ιδεών ή λέξεων, είτε αυτές αναφέρονται ακριβώς είτε παραφρασμένες. Επίσης βεβαιώνω ότι αυτή η εργασία προετοιμάστηκε από εμένα προσωπικά ειδικά για τη συγκεκριμένη Θεματική Ενότητα..

_____________________________________________________________________________________________

ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Ημερομηνία παραλαβής ΓΕ από το φοιτητή

Ημερομηνία αποστολής σχολίων στο φοιτητή

Βαθμολογία (αριθμητικά, ολογράφως) 0

_____________________________________________________________________________________________

Υπογραφή Υπογραφή Φοιτητή Καθηγητή-Συμβούλου

<Όνομα Φοιτητή> <Επώνυμο Φοιτητή>, 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [<ΤΜΗΜΑ>] 1


Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική – ΠΛΗ20Ακ. Έτος 2014-2015

Ε ρ γ α σ ί α 4η

Αλγόριθμοι, Θεωρία ΓραφημάτωνΣκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση με τις σημαντικότερες μεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφημάτων και μια επανάληψη των Αναδρομικών Αλγορίθμων. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να υποβληθεί μέσω του ηλεκτρονικού χώρου εκπαιδευτικής διαδικασίας study . eap . gr το αργότερο μέχρι την Κυριακή 8/3/2015. Οδηγίες προς τους φοιτητές: 1. Προτού αποστείλετε την εργασία στο Σύμβουλο Καθηγητή σας, βεβαιωθείτε ότι

έχετε συμπληρώσει το ειδικό έντυπο υποβολής στην πρώτη σελίδα. Για να συμπληρώστε π.χ. το όνομα κάντε διπλό κλικ στο σκιασμένο πεδίο <Όνομα Φοιτητή> και στη φόρμα που θα εμφανιστεί, στη θέση του προεπιλεγμένου κειμένου, συμπληρώστε το όνομά σας. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για κάθε σκιασμένο πεδίο του πρώτου μέρους της σελίδας που αναφέρεται στην υποβολή της εργασίας.

2. Στο αρχείο αυτό πρέπει να προσθέσετε τις απαντήσεις σας στο χώρο κάτω από το εκάστοτε ερώτημα εκεί όπου περιέχεται η φράση:

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>την οποία μπορείτε να σβήσετε. Μπορείτε να διαμορφώσετε το χώρο όπως επιθυμείτε, και δεν υπάρχει περιορισμός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας.

3. Η εργασία περιλαμβάνει 5 βαθμολογούμενα ερωτήματα (1-5), στα οποία πρέπει να απαντήσετε εγκαίρως και όπως περιγράφεται παραπάνω.

4. Υπενθυμίζεται επιπλέον ότι η σωστή και αποτελεσματική μελέτη απαιτεί οπωσδήποτε και την επίλυση και άλλων ασκήσεων από το βοηθητικό υλικό αλλά και από παλαιότερες εξετάσεις. Σε αυτό μπορούν να σας βοηθήσουν και οι ακόλουθες ασκήσεις από αυτό το υλικό:



Προηγούμενες εργασίες: Εργασία 4 των ακαδημαϊκών ετών 2005-2006, 2006-2007, 2007-2008, 2008-2009, 2009-2010, 2010-2011, 2011-2012, 2012-2013 και 2013-2014.

Προηγούμενα θέματα τελικών εξετάσεων: Ενδεικτικά αναφέρονται τα θέματα Θεωρίας Γραφημάτων στις εξεταστικές περιόδους των ετών 2014, 2013, 2012, 2011, 2010, 2009, 2008, 2007, 2006, 2005 και 2004.

Συμπληρωματικό Υλικό στη Θεωρία Γραφημάτων: Στην ηλεκτρονική διεύθυνση http://study.eap.gr/course/view.php?id=78 διατίθενται σημειώσεις για τη Θεωρία Γραφημάτων του κ. Σ. Κοντογιάννη, μια συλλογή ασκήσεων (με τις λύσεις τους) του κ. Χ. Σαρίμβεη, και ο πίνακας αντιστοίχησης των όρων που χρησιμοποιούνται στους Τόμους Α και Β, του κ. Χ. Σαρίμβεη. Για την αποδεικτική μέθοδο της επαγωγής είναι πολύ χρήσιμη η μελέτη του παράλληλου υλικού του κ. Δ. Φωτάκη, το οποίο διατίθεται μαζί με τον σχετικό οδηγό μελέτης, επίσης στην παραπάνω διεύθυνση.


http://study.eap.gr/course/view.php?id=78


Κ Ρ Ι Τ Η Ρ Ι Α Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Σ

Ερώτημα Μέγιστος βαθμός Βαθμός1 20

2 25

3 20

4 25

5 10

Συνολικός Βαθμός: 100 0

Γενικά Σχόλια:

<γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύμβουλο-Καθηγητή>



Ε ρ ω τ ή μ α τ αΕρώτημα 1.Το ζητούμενο στο ερώτημα αυτό είναι η εξοικείωση με τους αναδρομικούς αλγορίθμους και με την συνεκτικότητα σε γραφήματα.

Θεωρούμε τον ακόλουθο αναδρομικό αλγόριθμο που δέχεται ένα γράφημα G με n κορυφές και επιστρέφει true ή false.

procedure check( G )

if (n = 1) then

return true;

if ( μη-συνεκτικό με pGGG 1 , όπου κάθε iG είναι συνεκτική συνιστώσα του ) then

return ( check( 1G ) ... check( pG ) );

else if ( HG μη-συνεκτικό με qHHH 1 , όπου κάθε iH είναι συνεκτική συνιστώσα του H ) then

return ( check( 1H ) ... check( qH ) );

else

return false;

Η πράξη δηλώνει την ένωση ξένων γραφημάτων και η πράξη δηλώνει την σύζευξη λογικών μεταβλητών. Η διαδικασία check( ) δέχεται ως παράμετρο ένα γράφημα , εξετάζει τη συνεκτικότητα του και του και επιστρέφει σαν έξοδο true ή false.

Αν το δεν είναι συνεκτικό τότε εκτελείται η διαδικασία αναδρομικά σε κάθε υπογράφημα του που οι κορυφές του αποτελούν μια συνεκτική συνιστώσα του .

Αν το είναι μη-συνεκτικό τότε εκτελείται η διαδικασία αναδρομικά σε κάθε υπογράφημα του που οι κορυφές του αποτελούν μια συνεκτική συνιστώσα



στο . Δηλαδή στη περίπτωση αυτή, η διαδικασία εκτελείται αναδρομικά στο

ίδιο το γράφημα (και όχι στο G ), καθώς )]([)]([ iii HVGHVGH .

1) Έστω τα γραφήματα G1 και G2 του ακόλουθου σχήματος. Πρώτα για G = G1 και στη συνέχεια για G = G2, να εκτελεστούν όλα τα βήματα της κλήσης check(G) δείχνοντας τα ενδιάμεσα βήματα, δηλαδή δείχνοντας τις συνεκτικές συνιστώσες του ή του και να υπολογιστεί το τελικό αποτέλεσμα της κλήσης check(G).

α) G1 β) G2

Για παράδειγμα, με είσοδο το γράφημα G1, θα εκτελεστεί το 3ο-if καθώς το συμπλήρωμα του G1 είναι μη-συνεκτικό γράφημα με δύο συνεκτικές συνιστώσες

1H και τα γραφήματα 1H = G1[{3}] και = G1[{1,2,4,5,6,7}].

2) Να δώσετε παράδειγμα ενός συνεκτικού γραφήματος G με 10 κορυφές που η κλήση της συνάρτησης check(G) πετυχαίνει βάθος αναδρομής ίσο με 10.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος

Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή:

<σχόλια>

Αξιολόγηση Ερωτήματος : / 20

Ερώτημα 2.Ελέγχει τον βαθμό κατανόησης των βασικών εννοιών του «κύκλου Hamilton», του «κύκλου Euler» και της συνεκτικότητας σε γραφήματα.



Έστω ένα γράφημα G με κύκλο Hamilton και την εξής ιδιότητα: υπάρχουν δύο κορυφές x και y στο G τέτοιες ώστε το γράφημα G – {x,y} (το γράφημα που προκύπτει από την αφαίρεση των κορυφών x και y) να μην είναι συνεκτικό. Σημειώστε ότι το αρχικό γράφημα G είναι συνεκτικό καθώς έχει κύκλο Hamilton.

a) Έστω H1, H2, ..., Hp, με p 2 οι συνεκτικές συνιστώσες του G – {x,y}. Δείξτε ότι στο G δεν υπάρχει κάποια ακμή μεταξύ δύο Hi και Hj για 1 ≤ i, j ≤p.

b) Δείξτε ότι στον κύκλο Hamilton του G δεν μπορεί να εμφανίζονται γειτονικές οι κορυφές x και y.

c) Δείξτε ότι το γράφημα G – {x,y} έχει ακριβώς 2 συνεκτικές συνιστώσες.

d) Δείξτε με ένα αντιπαράδειγμα ότι δεν ισχύει το c) στην περίπτωση που το γράφημα G έχει κύκλο Euler αντί για κύκλο Hamilton. Δηλαδή, δείξτε ότι υπάρχει γράφημα G με κύκλο Euler και ένα σύνολο κορυφών S = {x, y} τέτοιο ώστε το γράφημα G – S να έχει τουλάχιστον 3 συνεκτικές συνιστώσες.




<σχόλια>


Ερώτημα 3.Αποτελεί εξάσκηση στον τυπικό ορισμό απλών γραφοθεωρητικών ιδιοτήτων με χρήση της πρωτοβάθμιας γλώσσας και στην ερμηνεία προτάσεων της πρωτοβάθμιας γλώσσας σε γραφήματα. Προτείνετε να διαβάστε αρχικά τα αντίστοιχα ερωτήματα της 4ης Εργασίας των ετών 2008-2009, 2009-2010, 2010-2011, 2011-2012, 2012-2013, 2013-2014 και να εργαστείτε με ανάλογο τρόπο.

Θεωρούμε μια πρωτοβάθμια γλώσσα που περιέχει ένα κατηγορηματικό σύμβολο P . Ερμηνεύουμε τη γλώσσα αυτή σε απλά, μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Συγκεκριμένα, οι μεταβλητές ερμηνεύονται ως κορυφές των γραφημάτων και το σύμβολο P ως η διμελής σχέση που περιλαμβάνει όλα τα ζευγάρια κορυφών (a, b) τα οποία είναι γειτονικά.



α) Να γράψετε προτάσεις της κατηγορηματικής λογικής που (στη συγκεκριμένη ερμηνεία) εκφράζουν ότι:i) Κάθε μη μεμονωμένη κορυφή έχει τουλάχιστον δύο γείτονες.ii) Κάθε κορυφή με βαθμό τουλάχιστον δύο περιέχεται σε μία κλίκα 3 κορυφών.iii)Υπάρχει συνεκτική συνιστώσα με δύο ακριβώς κορυφές.

β) Αναφορικά με τη συγκεκριμένη ερμηνεία, εξηγήστε (σε φυσική γλώσσα) τι σημαίνει κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις. Επιπλέον, για την πρόταση i) δώστε δύο παραδείγματα γραφημάτων με 5 ακριβώς κορυφές το καθένα, για τα οποία η πρόταση είναι αληθής. Για την πρόταση ii) δώστε ένα παράδειγμα συνεκτικού γραφήματος με 5 ακριβώς κορυφές για το οποίο η πρόταση είναι αληθής και ένα παράδειγμα συνεκτικού γραφήματος με 5 ακριβώς κορυφές για το οποίο η πρόταση είναι ψευδής.i) yx,Pzy,Pzx,Pzyxyx

ii) wy,Pzy,Pyx,Pwxzxwzwzyyx,Py x




<σχόλια>


Ερώτημα 4.Το ακόλουθο ερώτημα αποτελεί εξάσκηση στην εφαρμογή της μαθηματικής επαγωγής σε γραφήματα. Προτείνετε να διαβάστε αρχικά τα αντίστοιχα ερωτήματα της 4ης Εργασίας των ετών 2009-2010, 2010-2011, 2011-2012, 2012-2013 και 2013-2014 και να εργαστείτε με ανάλογο τρόπο.

Συμβολίζουμε με P4 το γράφημα με σύνολο κορυφών {a,b,c,d} και σύνολο ακμών {{a,b}, {b,c}, {c,d}}, δηλαδή ένα απλό μονοπάτι 4 κορυφών μήκους 3.

i) Έστω ένα γράφημα G στο οποίο υπάρχει μια κορυφή x που έχει βαθμό 0 ή n – 1. Δείξτε ότι το G είναι μη-συνεκτικό ή το G είναι μη-συνεκτικό.

ii) Δείξτε ότι για κάθε γράφημα G με 2 ≤ n ≤ 4, είτε το G είναι μη-συνεκτικό είτε το G είναι μη-συνεκτικό εκτός αν είναι το P4.



iii) Έστω ένα γράφημα G με n 2 που δεν περιέχει P4. Δείξτε επαγωγικά ότι κάθε επαγόμενο υπογράφημα του G είναι μη-συνεκτικό ή το συμπλήρωμα ενός μη-συνεκτικού γραφήματος.

Υπόδειξη: Στο επαγωγικό βήμα μπορείτε να θεωρήσετε το γράφημα G – x, για κάποια κορυφή x του G, και να βρείτε περιπτώσεις στις οποίες η x θα μπορούσε να συμμετέχει σε κάποιο P4.




<σχόλια>


Ερώτημα 5.Τo ερώτημα αυτό έχει ως σκοπό να σας εξοικειώσει με τη μορφή εξέτασης που χρησιμοποιεί ερωτήματα πολλαπλών επιλογών. Περιέχει δύο ερωτήματα που αφορούν σε βασικές έννοιες της Θεωρίας Γραφημάτων, με τέσσερις απαντήσεις το καθένα, από τις οποίες κάθε απάντηση μπορεί να είναι Σωστή (υπάρχει τέτοιο γράφημα) ή Λάθος (δεν υπάρχει τέτοιο γράφημα). Είναι σημαντικό να προσπαθήσετε να δώσετε τις απαντήσεις σας σε λιγότερο από 15 λεπτά.

Απαντήσετε τις ακόλουθες ερωτήσεις και τα υπο-ερωτήματά τους βρίσκοντας για κάθε ένα αν είναι Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) και αιτιολογώντας συνοπτικά σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας. Θεωρούμε ότι τα γραφήματα του ερωτήματος είναι απλά και μη κατευθυνόμενα.

1) Στα παρακάτω υποερωτήματα καλείστε να εξετάσετε αν υπάρχουν γραφήματα με τις παρακάτω ακολουθίες βαθμών:

a) (2, 2, 2, 2, 1, 1).

b) (6, 2, 2, 2, 2, 2, 0).

c) (6, 2, 2, 2, 2, 2, 2) και να είναι διμερές.

d) (2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) και το συμπλήρωμά του να έχει κύκλο Hamilton.



2) Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

a) Αν σε ένα γράφημα G υπάρχει μια κορυφή x με βαθμό 1 τότε το G έχει μονοπάτι Hamilton αν και μόνο αν το G – x έχει μονοπάτι Hamilton.

b) Αν ένα γράφημα χρωματίζεται με 3 χρώματα τότε το συμπλήρωμά του έχει μια κλίκα με τουλάχιστον κορυφές.

c) Αν σε ένα γράφημα υπάρχουν ακριβώς δυο κορυφές περιττού βαθμού τότε υπάρχει μονοπάτι μεταξύ των δύο κορυφών περιττού βαθμού.

d) Υπάρχει μη-συνεκτικό γράφημα με n 2, που το συμπλήρωμά του είναι μη-συνεκτικό.




<σχόλια>



Documents

PLI20 GE4 2014 2015