Plostina na ramninski figuri

Plo{tina na ramninski figuri

str1

1.Poim za plo{tina na ramninski figuri

Sekojdnevniot ìvot ~esto pati nametnuva problemi za opredeluvawe na plo{tina na odredeni objekti {to imaat forma na mnoguagolnici i krug. Na

nekakov na~in, sekoj od nas si sozdal pretstava za poimot plo{tina i za toa deka taa se iskaùva so nekoj broj.

Vo matematikata poimot plo{tina e osnoven poim kakvi {to se, na primer, poimite to~ka,prava, ramnina, broj, mnoèstvo i dr. Takviot poim,

kako {to e poznato, ne se definira, tuku obi~no, se sogleduva i se osmisluva

{to, prosto se nametnuvaat. Za pomot plo{tina na mnoguagolnik se prifa}aat slednive osnovni

svojstva {to, site zaedno, se poznati pod imeto aksioma za plo{tina: 1. Plo{tinata R na mnoguagolnikot e sekoga{ pozitiven realen broj

t.e. R>0 2. Plo{tinata na mnoguagolnikot ne zavisi od negovata

mestopolo`ba, t.e. skladnite mnoguagolnici imaat ednakvi plo{tini.

3. Ako mnoguagolnikot e sostaven od dva ili pove}e mnoguagolnici

{to ne se preklopuvaat, toga{ negovata plo{tina e zbir od plo{tinite na tie delovi.

4. Za kvadratot so strana a se zema deka ima plo{tina a2. êtvrtoto svojstvo ovozmoùva da se utvrdi takanare~ena merna edinici

zap lo{tina. I pokraj toa za takva edinica moè da se zeme koj bilo kvadrat, so

Svetskiot sistem merki (SI) e prifateno taa da bide kvadrat so strana 1m {to e nare~en kvadraten metar i se ozna~uva so 1m2.

Poimot plo{tina na krug se osmisluva koristej}i go poimot plo{tina

na mnoguagolnik. Sega }e razgledame kako se presmetuva plo{tina na razni vidovi

~etiriagolnici, pravilni mnoguagolnici i plo{tina na krug i delovi od krug.

2.Plo{tina na parallelogram Plo{tinata R na kvadrat so strana a, spored 4 od Aksiomata, se

presmetuva so formulate P=a2

Taka, kvadrat so strana a=25 cm ima plo{tina 625 cm2=0,0625 m2.

Dijagonalata d i stranata a na kvadratot (crt.1) se

povrzani so relacijata 2ad ,pa, plo{tinata na toj kvadrat moè da se presmeta i so formulata

2

dP

2

Plo{tinata, pak, na pravoagolnik moè da se presmeta so formulata

iskaàna so slednava teorema: Teorema 1: Plo{tinata R na pravoagolnik so dimenzii a i b e brojot

ba t.e. P=ab.

Dokaz: Neka e daden pravoagolnikot ABCD so strani a i b kako na crt.2, a

negovata plo{tina da ja ozna~ime so R.

A

d

D C

B

Crte` 1

a


str2

A

P

D C

a B

Crte` 2

Za da ja dokaème teoremata }e nacrtame kvadrat A1EGK so strana a + b, kako na

crt.3, ~ii sostavni dlovi se dva pravoagolnika (A1 B1 C1D1 i FGHC1), skladni so dadeniot i dva kvadrata ( D1C1HK i B1EFC1) so strana a odnosno b. Spored

svojstvoto 2 i 3 od Aksiomata zap lo{tinata R* na kvadratot A1EGK imame

R*=R1+R2+2R

A koristej}i ja formulate za plo{tina na kvadrat, dobivame

.abbabababa PP22)( 22222 deka sleduva {to kade od

So toa, teoremata e dokaàna.

Primer 1: Da se presmeta plo{tinata na pravoagolnikot so strana a = 12

cm i dijagonala d=13 cm.

Re{enie: Za da se presmeta plo{tinata, potrebno e prethodno da se najde

stranata b:

cm525144169a 22 db ; R=12.5=60cm2.

Primer 2: Da se presmeta plo{tinata na pravoagolnikot ABCD so

strana cm314AB , i agolot me|u dijagonalite sproti stranata AB, =120o46’.

Re{enie: Stranata b moè da se opredeli od pravoagolniot triagolnik

AVS (crt 4) , na koj mu e poznata stranata a; agolot moè da se opredeli so

pomo{ na dadeniot agol .

2

ooooo

cm116138314P

cm13837293143729461201802180

,,

,tg,atgab;;; '''

Plo{tinata na romboidot moè da se presmeta kako proizvod na negovata

osnova i soodvetnata visina h, t.e. ahP

Taka plo{tinata na romboidot ABCD na crt.5 so osnova aAB i 1DE h ,

odnosno so osnova bBC i 21DE h moè da se presmeta so formulata

21 bhahP

G

D1

C1

a B1

Crte` 3

b

P2

P1

F

H

E

a

b

A1

P

P

K


str3

Vo zavisnost od toa kade }e padne podno`jeto E na visinata DE, se

razlikuvaat slu~aite kako na crt. 6:

Primer 3: Da se presmeta plo{tinata na romboidot so strana a=9cm i b

=4 cm i agolot me|u niv =36o 20’.

Re{enie: Od pravoagolniot triagolnik AVE (crt 7) , lesno se uo~uva

kako }e se najde visinata h so pomo{ na stranata b i agolot .

deka sleduva ottuka absinP bsinαhb

hsinα

Toa e u{te edna formula za presmetuvawe plo{tina na romboid koga ni

se zadadeni stranite i agolot me|u niv. Spored toa, P=9.4sin36o 20’ 21,16cm2.

Lesno se sogleduva deka formulata ahP vaì i za rombot, za{to istite slu~ai {to gi razgledavme za romboidot se javuvaat i kaj nego. Bidej}i taa vaì za pravoagolnik i kvadrat, sleduva deka so nea moè da se presmeta plo{tina na

sekoj parallelogram. Na crt.8 e daden rombot ABCD. Potoa e konstruiran ~etiriagolnikot

KLMN , taka {to negovite strani se paralelni so dijagonalite na rombot. Vrz

osnova na ovoj crte` moè da se izvedi formulate za plo{tina na romb. Bidej}i

dijagonalite na rombot se zaemno normalni sleduva deka ~etiriagolnikot KLMN e pravoagolnik ~ii strani se d1 i d2 . Ottuka plo{tinata na

pravoagolnikot e ednakva na d1.d2. Bidej}i pravoagolnikot e sostaven od osum

skladni triagolnici, a rombot od ~etiri skladni triagolnici toga{ plo{tinata na rombot i plo{tinata na pravoagolnikot se odnesuvaat kako 1: 2,

Crte` 6


str4

t.e plo{tinata na rombot e dvapati pomala od plo{tinata na pravoagolnikot. Pa zatoa plo{tinata na rombot se presmetuva po formulata:

2P 21 dd

Primer 4: Da se presmeta plo{tinata na rombot so strana a=10cm i

dijagonala d1=12cm . Re{enie: Za da ja opredelime plo{tinata potrebno e prethodno da ja

opredelime i drugata dijagonala. Od pravoagolniot triagolnik OAV (crt 8)

2

2

2

122 cm962

1216Pcmcm836100

22

toa ..Spored16 d

da

d

Plo{tinata na rombot so strana a i agol (<90o) {to go zafa}aat

stranite moè da se presmeta i so formulata sinaP 2 , koja sleduva od

formulata sinabP , bidej}i a=b.

3.Plo{tina na triagolnik

Plo{tinata na triagolnik se presmetuva so formulata

2P

ah

Navistina ako triagolnikot AVS

(crt.9) go dopolnime do

pralelogramot ABCD, taka {to AD BC i CD AB toga{ stranata AC

e negova dijagonala i go deli na dva

skladni triagolnika. Poradi toa, od 2 i 3 od Aksiomata, za

plo{tinata R na triagolnikot

AVS imame 2P=ah od kade {to sleduva deka 2

Pah

.

Sekoja strana na triagolnikot AVS moè da se zeme za osnova i zatoa e to~no deka

222P cchbhah ba

Primer 5: Da se presmeta stranata na ramnostraniot triagolnik so

plo{tina 43,25 cm2.

B

A

C

D

h

a Crte` 9


str5

Re{enie: Plo{tinata na ramnostran triagolnik se presmetuva so

formulata 4

3

2

2

3

2

2

2P

2

22

2

a

aaaaa

aha

. Od tuka stranata a se

presmetuva cm76993

73124434

3

34,

,,Pa

.

Plo{tinata R na triagolnikot moè da se opredeli i so koristewe na

trigonometriskite funkcii, koga triagolnikot e zadaden so dve strain i agolot me|u niv. Taka , za triagolnikot

AVS na crt. 10 imame :

2P cch . No, od pravoagolniot triagolnik

'ACC i 'BCC moè da se najde deka

asinβbsinαhc , pa za plo{tinata R na

AVS dobivame :

i 2

P2

P

sinacsinbc

Na sli~en na~in moè da se dobie i formulata 2

P

sinab

.

Primer 6: Da se presmeta plo{tinata na pravoagolniot triagolnik so kateti a=8cm i b=13cm.

Re{enie: Bidej}i agolot =90o i sin90o=1, zatoa plo{tinata na

pravoagolen triagolnik se presmetuva so formulata 2

Pab

. Vo konkretniov

primer plo{tinata na pravoagolniot triagolnik e 2cm522

138P

.

Primer 7: Da se presmeta plo{tinata na triagolnik AVS zadaden so

stranite b=8cm, c=12cm i agolot =36o40’.

Re{enie: Zamenuvaj}i vo formulata

2o

cm6628597160482

4036128

2P ,,

sinsinbc '

.

Za sli~nite triagolnici vaì slednava teorema: Teorema 2 : Plo{tinite na dva sli~ni triagolnici se odnesuvaat kako

kvadratite na nivnite soodvetni strani. Dokaz: Neka triagolnicite AVS i A1V1S1 (crt. 11) se sli~ni. So R da ja

ozna~ime plo{tinata na AVS, a so R1 plo{tinata na A1V1S1.

1111111 c

c

b

b

cb

bc

2

sinαcb2

bcsinα

P

P

B1 A1 c1

a1 b1

1

1

1

C1

B A c

a b

C

B A

hc

c Crte` 10

a b

C’

Crte` 11


str6

No, od sli~nosta imame b:b1=c:c1, pa se dobiva

1

2

11

2

1 c

c

P

P

b

b

P

P i

Na sli~en na~in se pokaùva deka 1

2

1 a

a

P

P . Zna~i

1

2

1

2

1

2

1 c

c

b

b

a

a

P

P

Primer 8: Plo{tinata na dva sli~ni triagolnici AVS i A1V1S1, so osnovi a i a1, se soodvetno 49 i 36. Osnovata a=7. Da se odredi osnovata a1 i

visinite h i h1..

Re{enie: Vrz osnova na teorema 2, P:P1=a2:a12. Zamenuvaj}i gi dadenite

vrednosti vo ovaa proporcija dobivame 49:36=49:a12 od kade {to a1

2= 36; a1=6. Od formulata za plo{tina na triagolnik, za visinte na ovie

triagolnici, dobivame:

126

362214

7

4922 11

a

Ph

a

Ph i .

4.Drugi formuli za plo{tina na triagolnik

1. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik zadaden sodolìnite

negovite strani(Heronova formula) Neka e daden triagolnikot AVS i neka se poznati dolìnite na negovite

strani. Od pravoagolnite triagolnici AVA1 i ASA1

so zaedni~ka kateta AA1, {to e visina na AVS(crt.12) imame:

)1()( 222222 ..........................xabh xch i

od kade {to

a2

cbax ,xcxab

222 2222 )( . Akjo

dobienata vrednost za h ja zamenime vo (1), po sreduvaweto doa|ame do ravenstvoto

)( 2222222 cbaba4ha4 . Zasmenuvaj}i za ah=2P i razloùvaj}i ja desnata

strana na prosti mnoìteli, dobivame:

)2())()()((

))()()(( 2222

..............................................cbacbacbacbaP16

baccbacbaab2cbaab2P16

2

2222222

))((

Ako ja vovedeme oznakata cba s2 , toga{ )(2 ascba , )(2 bscba

)(2 cscba , pa so zamena vo (2) dobivame

c)b)(sa)(ss(sP c)2(sb)2(sa)2(ss2P16 2 t.e.

Formula ))()(( csbsassP e nare~ena Heronova formula vo ~est na

starogr~kiot matemati~ar Heron

Primer 9: Presmetaj ja plo{tinata triagolnik so strani 12cm,35cm, 37cm.

Re{enie: 42s84373512s2 , a )3742)(3542)(1242(42 P

2cm21044100P .

2. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako e daden

poluperimetarot i radiusot na vpi{anata kru`nica

B

h c

a

b

A

C A1

x

Crte` 12


str7

Na crt. 13 e nacrtan AVS i vo nego e

vpi{ana kru`nica so radius r . Od centarot O na kru`nicata se povle~eni ostse~kite

OA,OV i OS i so toa se dobieni

triagolnicite: AOV, VOS, SOA. Ako nivnite plo{tini gi ozna~ime so R1, R2, R3,

toga{ 22

a

232

brP,

rP,

crP1 pa, spored

svojstvoto 3 od Aksiomata sleduva

srcbarbrrcr

PPPP 1 )(222

a

232

t.e. srP .

Primer 10: Presmetaj radiusot na vpi{anata kru`nica vo triagolnikot

so strani 12cm, 15cm, 17cm.

Re{enie: 22s44171512s2 , a )1722)(1522)(1222(22 P

2cm7587P , . Od cm99322

7587,

,Pr

s

PrsrP t.e. .

3. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni stranite

na triagolnikot i radiusot na opi{anata kru`nica

Na crt.14 okolu AVS e opi{ana kru`nica so radius R. Niz temeto A i centarot O e

povle~ena prava do presek so kru`nicata i

pritoa e dobiena to~kata M ( R2AM ).

AMS e pravoagolen so periferen (prav)

agol vo temeto S na dijametarot

AM(Talesova teorema) i e sli~en so

pravoagolniot triagolnik AVA’

( AVS= AMS kako periferni agli nad ist

kruèn lak). Poradi toa, ha:c=b:2R, od ade

{to R2

bcha ,. Bidej}i ,aha

2

1P sleduva

deka .abc

,abc

P4R

R4P ottuka a

Primer 11: Presmetaj radiusot na opi{i{anata kru`nica vo

triagolnikot so strani 5cm, 8,4cm, 9,6cm.

Re{enie: 511s69485s2 ,,, , a )69511)(48511)(5511(511 ,,,,,,P

2cm9820P , . Radiusot na vpi{anata kru`nica e cm84P4

R ,abc

.

4. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni visinite na

triagolnikot i radiusot na opi{anata kru`nica

Rhhh22

1P cba

5. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako e dadena edna strana i aglite na triagolnikot

sinγ2

sinβsinαc

sinβ2

sinsinαb

sinα2

sinsinβaP

222

B c

a b

C

r A

Crte` 13

B

ha c

a

b

A

C A’

M Crte` 14

O


str8

6. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni aglite na triagolnikot i radiusot na opi{anata kru`nica

sinsinsinR2P2

7. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni aglite na

triagolnikot i radiusot na vpi{anata kru`nica

2

γctg

2

βctg

2

αctgrP

2

8. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni aglite na

triagolnikot i poluperimetarot

2

γtg

2

βtg

2

αtgsP

2

9. Presmetuvawe plo{tina na triagolnik ako se dadeni visinite na

triagolnikot i poluperimetarot

cba h

1

h

1

h

1

sP

5.Plo{tina na trapez i trapezoid

]e razgledame nekolku dokazi na formulata za presmetuvawe plo{tina na trapez:

Teorema: Plo{tinata na trapezot e ednakva na proizvodot od poluzbirot na

osnovite a i b i visinata h t.e . .2

hba

P

Prv dokaz: So dijagonalata AS , trapezot ABCD so

osnova aAB i bCD i visina hCG (crt.15) go razbivame na dva triagolnika : ABC so osnova a i

visina h i CDA so osnova b i visina h.

Toga{, ah,2

1Pbh,

2

1P ABCCDA bh

2

1ah

2

1PP ABCD

t.e. .2

hba

P

Vtor dokaz:

So visinate hCG i hDH , trapezot ABCD e razbien na dva triagolnika i eden pravoagolnik

(crt.16) pa imame:

.)(

2

1)2(

2

1

2

1

2

1

hbybxhybx

yhbhxhPPPP GBCHGCDADH

bidej}i x+b+y=a,sleduva hba

P2

Tret dokaz: Neka Y e sredina na krakot VS na

trapezot ABCD , a E e presek na pravite DS i

AB(crt.17).Triagolnicite SBE i SDC se skladni

spored priznakot ASA(B=C, SCSB , BSE=DSC) pa nivnite plo{tini se ednakvi ,t.e.

SBESCD PP )(2

1PP AED xa bidej}i x=b,sleduva

hba

P2

Crte` 15

Crte` 16

Crte` 17


str9

êtvrti dokaz:

Neka M i Y e sredina na kracie AD i VS na

trapezot ABCD ,toga{ 2

ba mMS e sredna

linija na toj trapez.Niz Y povlekuvame prava r

paralelna so so krakot AD i vo presecite so

pravite AV i CD gi dobivame to~kite K i L ,

soodvetno (crt.18).Bidej}i triagolnicite SBK i SCL se skladni spored priznakot

ASA(B=C, SCSB , BSK=CSL) imame pa Nivnite plo{tini se ednakvi ,t.e. .SCLSBK PP Sledstveno, plo{tinata na

trapezot ABCD e ednakva na plo{tinata na paralelogramot AKLD(AKDL i

KLAD - po konstrukcija),t.e. hba

mhP2

Petti dokaz: Trapezot ABCD go preslikuvame

so centralna simetrija vo odnos na to~kata Y, sredina na krakot VS na trapezot . Bidej}i

ADA1D1 i AD1 A1D, ~etiriagolnikot

ADA1D1 e paralelogram (crt.19), so osnova

baAD 1 i visina hDH .Pa negovata

plo{tina e ednakva na (a+b)h. No trapezot

A1CBD1 e dobien so centralna simetrija na trapezot ABCD , {to zna~i e skladen

so nego , t.e. tie imaat ednakvi plo{tini . Zatoa , plo{tinata na na trapezot ABCD e ednakva na polovina od plo{tinata na paralelogramot ADA1D1 (koj {to

se sostoi od dva skladni trapeza), t.e. hba

P2

[esti dokaz:

Neka MY e sredna linija na trapezot ABCD, toga{ i ~etiriagolnikot AVYM i

MSCD,se trapezi.Go rotirame trapezot

MSCD okolu to~kata Y za agol 1800 i go

dobivame trapezot M1 SBD1, (crt.20), koj e skladen so trapezot MSCD. Zna~i

.11SBDMSMCD PP , toga{ plo{tinata na

trapezot ABCD e ednakva na plo{tinata na

paralelogramot AD1 M1M ~ija osnova baAD 1 ,a visinata 2

)(.2

hbaP

hSQ ,

t.e. hba

P2

Primer 11: Da se presmeta plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi

15cm i 7cm i krak 5cm. Re{enie: Od dadenite elementi prvo treba da ja najdeme visinata h . Vo

pravoagolniot triagolnik AED (crt. 21) 2

AEba

pa, 3h92

bach 22

, .

2cm3332

715P

Primer 12: Da se presmeta plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 15cm i

7cm i agol =75o50’ .

Crte` .19

Crte` 20

Crte` 18


str10

Re{enie: Od pravoagolniot

triagolnik AED (crt. 21) tgα2

bah

pa,

cm85159617345075o ,,tg2

715h '

2cm3517485152

715P ,,

.

Plo{tinata na eden ~etiriagolnik (trapezoid) moè da se presmeta so pomo{ na Heronovata

formula ako mu se dadeni site strani i edna negova dijagonala.

Primer 13: Da se presmeta plo{tinata na

trapezoidot zadaden kako na cr.22. Re{enie:

2

1 cm94880)38)(68)(78(8 ,P

2

2 cm331980)1214)(914)(714(14 ,P 2

21 cm2440PPP , .

Ako pak ~etiriagolnikot ima normalni dijagonali kako na crt.23, toga{

negovata plo{tina moè da se presmeta po formulata

2

21ddP .

2

ddOBOD

2

dP

2

OBd

2

ODdPPP

211

11ABCADC

t.e.

Primer 13: Da se presmeta plo{tinata na deltoidot so strani 17 i 113 i edna

dijagonala 30.

Re{enie: Da gi ozna~ime stranite na deltoidot kako na crt.24. 17 bCDAD ,

113 aCBAB . Za stranite na ABD vaì neravenstvoto ABDBAD ,

,113DB17 t.e. 96DB od kade {to sleduva deka dadenata dijagonala ne moè

da bide oskata na simetrija na deltoidot

( 30DB ). Zna~i 30dAC 1 , pa od

ramnokrakite triagolnici ACD i ACB se

dobiva : 8641517OD 22 ,

1121254415113OB 22

t.e. 120dDB 2 . 2cm18002

12030

P .

E

A

D C

B a

b

Crte` 21

h

2

ba

P2

A

D

C

B

12

6

Crte` 22

P1

9

3

7

O A

D

C

B

Crte` 23

d1

d2

O A

D

C

B

b

Crte` 24

d1

d2

a


str11

6.Pravilni mnoguagolnici. Perimetar i plo{tina

Definicija 1: Sekoj konveksen mnoguagolnik so ednakvi strani i ednakvi

agli se vika pravilen mnoguagolnik. Teorema 4 : Okolu sekoj pravilen mnoguagolnik moè da se opi{e

kru`nica. Dokaz: Neka A1 A2 A3….. An e pravilen n-agolnik

(crt. 25) t.e. 1n3221 AAAAAA ...... , A1 = A2

= A3=….. = An . da gi povle~eme simetralite na

aglite A1 i A2 i neka tie se se~at vo to~kata O

; zna~i O A1 A2 e ramnokrak so 21 OAOA .

Bidej}i , 3221 AAAA 2OA - zaedni~ka strana i

A1 A2O = A3 A2O; sleduva deka OA1 A2 O A2A3

Od toa moè da se zaklu~i deka OA3 e simetrala

na A3 i 321 OAOAOA . Ako se prodolì so

razgleduvawe na parovite sosedni triagolnici vo mnoguagolnikot, }e se dobie:

n321 OAOAOAOA ........ . Od toa sleduva deka site temiwa na pravilniot

mnoguagolnik leàt na kru`nicata so centar vo to~kata O. So toa teoremata e dokaàna.

Stranata an i radiusite R i rn na opi{anata i

vpi{anata kru`nica na pravilniot n-agolnik

se elmenti na eden ramnokrak triagolnik (crt 26) ; toj se vika karakterist~en

triagolnik na mnoguagolnikot Od OAB na crt 26 to~ni se slednive

formuli: n

180Rsin2a

o

n , n

180tgr2a

o

nn ,

n

180Rcosr

o

n .

Ako vo pravilniot n-agolnik temiwata se

svrzat so negoviot centar, se dobivaat n

skladni triagolnici (karakteristi~ni triagolnici). Od tuka moè da se presmeta

Pn(plo{tinata na pravilniot mnoguagolnikot) i L n (perimetarot na pravilniot mnoguagolnikot) po slednive formuli:

n

180tgnr2L

n

180nRsin2L

o

nn

o

n ili ................................................(1)

n

180cos

n

180sinnRP

n

180ctga

n oo

n

o

n

22

4P ili ............................(2)

Formulite (1) i (2) se dobivaat so zamena na n

180Rsin2a

o

n , n

180Rcosr

o

n i

2

n

180ctga

r

o

n

n (koja sleduva od n

180tgr2a

o

nn so izrazuvawe na rn) vo op{tite

formuli za plo{tina i perimetar na pravilen n-agolnik t.e. vo nn

nn

n anL,2

ranP

.

A1

An A3

A2

O

Crte` 25

A B

R R

O

an

rn

n

o180

Crte` 26


str12

Primer 14: Da se presmeta plo{tinata na pravilen osumagolnik so

strana a8 =5.

Re{enie: 2o2

8 cm711203022ctg2528

54

8P ,

180ctg '

o

7.Perimetar na kru`nica.Plo{tina na krug

Za perimetrite na dve kru`nici L1 i L2 so dijametri d1 i d2 moè da se

napi{e: t.e. 2

2

1

1

2

1

2

1

d

L

d

L

d

d

L

L . Ottuka sleduva deka moiè da se smeta deka

odnosot pome|u perimetarot na koja bilo kru`nica i nejziniot dijametar e

ednakov broj, koj se ozna~uva so , t.e. d

L , Znaej}i deka d=2r, se dobiva L=2r

pri {to r e radius na taa kru`nica.

Zabele{ka: Brojot ili u{te se vika Ludolfov broj e iracionalen broj

i negovta vrednost zaokruèna na prvite dvaeset decimali e

=3.14159265358979323846... Primer 15: Da se presmeta radiusot na kru`nicata so perimetar 78,5cm.

Re{enie: Od ravenstvoto 78,5=2r . 3,14 se dobiva r 12,5cm .

Na crte` 27 e dadena kru`nica so

radiu r. Da se pokaè daka plo{tinata na krugot {to e ograni~en so nea e ednakva na

πr2 t.e. πrP

2 . Vo kru`nicata vpi{uvame pravilen n-

agolnik. Negovata plo{tina se presmetuva so

formulata hLP nn 2

1, kade {to Ln e

perimeter na mnoguagolnikot, t.e. Ln=na, a h e

apotema (visina na negov karakteristi~en triagolnik.) . Plo{tinata na n-agolnik

vpi{an vo dadenata kru`nica zavisi od n i

toa kolku {to e n pogolem priroden broj ,

tolku i plo{tinata e pogolema. Ako so R ja ozna~ime plo{tinata na krugot, toga{ razlikata P-Pn , so rastewe na n, stanuva se pomala i pomala i moè da se

re~e deka mnoguagolnikot go ispolnuva kru`nicata. Vo vakov slu~aj apotemata h

se stremi kon radiusot r, a a perimetarot Ln kon L na kru`nicata {to go

zapi{uvame: hnr, Ln L. Od formulata nnn hLP 2

1 spored prethodnoto imame

rLPPPrLP nn 2

1

2

1 bidej}i no , . Zamenuvaj}i so L=2r , dobivame

πrP 2 .

8.Plo{tina na delovi od krug

Definicija 2: Delot od krugot {to e zafaten so daden centralen agol se

vika kruèn ise~ok ili kruèn sektor. Na crte` 28, so {rafiraniot del e pretstaven eden kruèn ise~ok. Za da

ja presmetame plo{tinata na kru`niot ise~ok , da pretpostavime deka krugot e razdelen na 360 ednakvi ise~oci, sekoj so centralen agol 1o. Plo{tinata R1 na

takov kruèn ise~ok e 360-del od plo{tinata na krugot, t.e. 360

rP

2

1

. Ako, pak,

a

A3 h

A2

An

A1

A4

Crte` 27


str13

centralniot agol e , toga{ plo{tinata na

soodvetniot kruèn ise~ok }e bide -pati

pogolema od R1, t.e. 360

rP

2

.

Plo{tinata na kruèn ise~ok zadaden so r i ,

moè da se presmata i so pomo{ na dolìnata na soodvetniot kruèn lak l. Dolìnata na kruèn

lak se presmetuva so formulata 180

rππl , pa poradi

toa plo{tinata na ise~okot moè da se presmeta i

so formulata 2

rlP .

Definicija 3: Delot od krugot {to e zafaten so eden negov lak i

soodvetnata tetiva se vika kruèn otse~ok ili kruèn segment.

Na crte` 29, so {rafiraniot del e pretstaven eden kruèn otse~ok; vo krugot so radius r, otse~okot e

opredelen AV ili centralniot agol .

Plo{tinata na kru`niot ose~ok e razlika od plo{tinata na kru`niot ise~ok i plo{tinata na

ramnokrakiot triagolnik AVO, pa zatoa

sinα

180

πα2r2

1sinα2r

2

1

360

πα2rP .

Primer 16: Da se presmeta plo{tinata na kru`niot

otse~ok so centralen agol =30o vo krug so radius 12 cm.

Re{enie: Koristej}i ja formulata

sinα

180

παr

2

1P 2

dobivame 2o2 )cm3(π12)2

1

6

π(7230

180

3012

2

1P

sin .

Definicija 4: Delot ograni~en od dva koncentri~ni krugovi (so razli~ni radiusi) se vika kruèn prsten.

[rafiraniot del od krugot na crt. 30 pretstavuva kruèn prsten. Negovata plo{tina moè da se presmeta

kako razlika od plo{tinite na koncentri~nite

krugovi so radiusi r i r1, t.e. πrrπrπrP2

1

22

1

2)(

l

r

O

Crte` 28

A

r

O

Crte` 29

Crte` 30

O

r

r1

Documents

Plostina na ramninski figuri