Ministrio da EducaoSecretaria de Educao BsicaDiretoria de Apoio Gesto EducacionalPacto Nacional pela Alfabetizaona Idade CertaGEOMETRIABraslia 2014Caderno 05PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 1 2/4/2014 09:25:50Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Centro de Informao e Biblioteca em Educao (CIBEC)Brasil. Secretaria de Educao Bsica. Diretoria de Apoio Gesto Educacional.Pacto Nacional pela Alfabetizao na Idade Certa: Geometria / Ministrio da Educao, Secretaria de Educao Bsica, Diretoria de Apoio Gesto Educacional. Braslia: MEC, SEB, 2014.96 p.ISBN 978-85-7783-150-01. Alfabetizao. 2. Alfabetizao Matemtica. 3. GeometriaMINISTRIO DA EDUCAOSecretaria de Educao Bsica SEBDiretoria de Apoio Gesto Educacional DAGETiragem 362.388 exemplares MINISTRIO DA EDUCAOSECRETARIA DE EDUCAO BSICA Esplanada dos Ministrios, Bloco L, Sala 500CEP: 70.047-900Tel: (61) 2022-8318 / 2022-8320PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 2 2/4/2014 09:25:50SumrioGEOMETRIA05Iniciando a Conversa07Aprofundando o Tema07Dimenso, Semelhana e Forma09A Geometria e o Ciclo de Alfabetizao17Primeiros elementos de Geometria29Conexes da geometria com a arte42Materiais virtuais para o ensino da geometria45Localizao e Movimentao no Espao47Cartografias59A lateralidade e os modos de ver e representar72Compartilhando89Para Saber Mais89Sugestes de Leituras90Sugestes de Vdeos91Sugestes de Sites92Sugestes de Atividades para os Encontros em Grupos94Atividades para Casa e Escola95RefernciasPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 3 2/4/2014 09:25:50CADERNO 5 | GEOMETRIAOrganizadores:Carlos Roberto Vianna, Emerson RolkouskiAutores:Andria Aparecida da Silva Brito Nascimento, Antonio Vicente Marafioti Garnica, Carlos Roberto Vianna, Emerson Rolkouski, Evandro Tortora, Gilmara Aparecida daSilva,GiovanaPereiraSander,IoledeFreitasDruck,JulianaAparecida Rodrigues dos Santos Morais, Maria Ednia Martins-Salandim, Nelson Antonio Pirola, Thais Regina Ueno YamadaAutores dos Relatos de Experincia:Janeti Mamontel Mariani, Nelem Orlovski, Maria Jos da Silva FernandesComit Gestor:Adilson Oliveira do Esprito Santo, Liane Teresinha Wendling Roos, Mara Sueli Simo MoraesConsultores: Alexandrina Monteiro, Alina Galvo Spinillo, Antonio Jos Lopes, Celi Espasandin Lopes,CristianoAlbertoMuniz,GildaLisbaGuimares,MariadaConceio Ferreira Reis Fonseca, Maria Tereza Carneiro Soares, Rosinalda Aurora de Melo Teles Pareceristas ad hoc:Adail Silva Pereira dos Santos, Adriana Eufrasio Braga Sobral, Ana Marcia Luna Monteiro,CarlosEduardoMonteiro,CeciliaFukikoKameiKimura,Clarissa Arajo, Gladys Denise Wielewski, Iole de Freitas Druck, Lilian Nasser, Maria Jos Costa dos Santos, Paula Moreira Baltar Bellemain, Paulo Meireles Barguil, Rute Elizabete de Souza Rosa BorbaLeitores Crticos: CamilleBordinBotke,EndersonLopesGuimares,FlaviaDiasRibeiro,Helena NoronhaCury,LazaErlerJanegitz,LarissaKovalski,LeonoraPilonQuintas, LucianeFerreiraMocrosky,LucianeMulazanidosSantos,MarcosAurelio Zanlorenzi, Maria do Carmo Santos Domite, Michelle Tas Faria Feliciano, Nelem OrlovskiApoio Pedaggico:Laza Erler Janegitz, Nelem OrlovskiReviso:Clia Maria Zen Franco GonalvesProjeto grfico e diagramao:Labores GraphiciPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 4 2/4/2014 09:25:505C ADE R NO 5G E O M E T R I AIniciando a ConversaEstecadernodivididoemduaspartes.Aprimeiratrataespecificamentedo trabalho com as figuras geomtricas, enfatizando o reconhecimento daquelas mais presentes na nossa vida, bem como do desenvolvimento da habilidade de classificar. A segunda, est centrada na educao cartogrfica e nas questes sobre orientao, localizao e lateralidade.Soapresentadostextostericos,intercaladoscomrelatosdeexperinciae sugestesdeprticasdesaladeaularelativosadoisgrandesobjetivospresentes nosDireitosdeAprendizagemdoeixodeGeometria,visandoauxiliaroprofessor a desenvolver trabalhos pedaggicos possibilitando as crianas a: construir noes delocalizaoemovimentaonoespaofsicoparaaorientaoespacialem diferentessituaesdocotidianoereconhecerfigurasgeomtricaspresentesno ambiente. Embora centrados na aprendizagem da criana, os textos deste caderno trazem conceitos mais aprofundados para o professor.Soobjetivosdestematerial,subsidiarprticaspedaggicascomointuitode garantir que a criana possa:representar informalmente a posio de pessoas e objetos e dimensionar espaos por meio de desenhos, croquis, plantas baixas, mapas e maquetes, desenvolvendo noesdetamanho,delateralidade,delocalizao,dedirecionamento,de sentido e de vistas;reconhecer seu prprio corpo como referencial de localizao e deslocamento no espao;observar,experimentarerepresentarposiesdeobjetosemdiferentes perspectivas, considerando diferentes pontos de vista e por meio de diferentes linguagens;identificaredescreveramovimentaodeobjetosnoespaoapartirdeum referente, identificando mudanas de direo e de sentido;observar,manusear,estabelecercomparaesentreobjetosdoespaofsico eobjetosgeomtricos(esfricos,cilndricos,cnicos,cbicos,piramidais, prismticos)semusoobrigatriodenomenclatura,reconhecendocorpos redondos e no redondos;PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 5 2/4/2014 09:25:506G E O M E T R I Aplanificar modelos de slidos geomtricos e construir modelos de slidos a partir de superfcies planificadas;perceber as semelhanas e diferenas entre cubos e quadrados, paraleleppedos e retngulos, pirmides e tringulos, esferas e crculos;construir e representar figuras geomtricas planas, reconhecendo e descrevendo informalmente caractersticas como nmero de lados e de vrtices;descrever,comparareclassificarverbalmentefigurasplanasouespaciaispor caractersticas comuns, mesmo que apresentadas em diferentes disposies;conhecer as transformaes bsicas em situaes vivenciadas: rotao, reflexo e translao para criar composies (por exemplo: faixas decorativas, logomarcas, animaes virtuais);antecipar resultados de composio e decomposio de figuras bidimensionais etridimensionais(quebracabea,tangram,brinquedosproduzidoscom sucatas);desenhar objetos, figuras, cenas, seres mobilizando conceitos e representaes geomtricastaiscomo:pontos,curvas,figurasgeomtricas,propores, perspectiva, ampliao e reduo;utilizar a rgua para traar e representar figuras geomtricas e desenhos; utilizar a visualizao e o raciocnio espacial na anlise das figuras geomtricas enaresoluodesituaes-problemaemMatemticaeemoutrasreasdo conhecimento.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 6 2/4/2014 09:25:507C ADE R NO 5G E O M E T R I AAprofundando o TemaComecemos pensando em uma situao usual na qual um pedreiro pede a um ajudante que lhe alcance alguns objetos que necessita, diz ele: d-me o tijolo. E o ajudanteindaga:qualdeles?Ou,ainda,oajudanteindaga:oqueumtijolo?E o pedreiro responde: isso que est empilhado no seu lado direito! Embora este dilogo seja um tanto inusitado, no de esperar que algum leitor pense que h uma pilha de tijolos sobre o ombro direito do ajudante. De fato, a maioria dos leitores interpreta que o seu lado direito, no dilogo, est se referindo a uma regio no espao que est situada direita dele, do ajudante, e que no est sobre ele.Estarnomundonoscolocaeminteraocomaspessoaseobjetostambm presentesnelee,aomesmotempo,nossosmovimentosprovocamanecessidade dequedesenvolvamosumalinguagemassociadalocalizao,visualizao, representao e construo de imagens mentais e grficas sobre as quais falamos e escrevemos para nos comunicar uns com os outros. Umacircunstnciasimplescomoadescritanopargrafoinicialjnoslevaa problematizar uma linguagem geomtrica. A Geometria tem um papel importante paraaleituradomundo,emespecial,paraacompreensodoespaoquenos circunda. Mas no se pode restringir o seu estudo ao uso social, preciso cuidar de construir, de modo gradual, com o aluno, a terminologia especfica que usada tanto na Matemtica quanto nas mais diversas cincias e ramos da tecnologia.O professor, desde o ciclo da alfabetizao, deve ter condies de favorecer a compreenso dos alunos sobre a distino entre os significados dos termos usuais nocotidianoeosconceitosdaGeometria.Halgumaspalavrascomasquaisse deve ter um cuidado especial. No vamos aqui brigar com os dicionrios, uma luta que consideramos sem sentido visto que os dicionrios no registram as acepes que cientistas ou matemticos gostariam que fossem usadas pelas pessoas, e sim aquelas palavras e sentidos que so o uso, no dia a dia. Desse modo, o objetivo destas observaes iniciais no o de corrigir usos inadequados, pois no o so; o objetivo destas observaes o de alertar para um cuidado didtico que se deve ter em sala de aula e que procuramos manter neste Caderno em particular, pois aqui podemosfacilmentegerarconfusesconceituaisduradouras.Trataremosdetrs palavras em especial: dimenso, semelhana e forma.DIMENSO, SEMELHANA E FORMACarlos Roberto ViannaEmerson RolkouskiIole de Freitas DruckPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 7 2/4/2014 09:25:508G E O M E T R I ADimensoumconceitomatemticoquenoabordadonafasede alfabetizao.Aindaassim,bastantecomumquenalinguagemcorriqueirae emorientaescurricularesencontremosexpressescomoformas(oufiguras) bidimensionaisoutridimensionais.Namatemticauniversitriaestuda-seos espaoscomnmerovariadodedimenses,inclusiveespaoscommaisdetrs dimenses,masesteumconceitoumtantocomplexoparaserabordadono EnsinoFundamental.Nafasedealfabetizaoapropriadotomar-seasnoes de linhas, planos, superfcies e espao como noes primitivas para evitar futuras dificuldades para os alunos. Identificar a expresso figura espacial como sinnimodefiguratridimensionalumerromatemtico,jqueumalinha espiralada(quetemnaespiraldecadernosouemmolasummodeloconcreto) uma figura geomtrica ao mesmo tempo unidimensional (uma linha) e espacial (est no espao em que vivemos e no como um desenho no papel). Do mesmo modo, a superfcie de uma esfera uma figura geomtrica bidimensional ( uma casca) e espacial. O leitor deve pensar em exemplos semelhantes para o erro de confundir figura plana com figura bidimensional.Semelhana outra palavra que coloca os professores em situao complicada em relao aos conceitos da Geometria. Em matemtica o conceito de semelhana relacionado noo de proporcionalidade, que talvez o conceito mais usado de toda a matemtica no dia a dia. Mas, semelhana tambm no um conceito a ser abordado durante aalfabetizao. Acontece que a semelhana est diretamente relacionada com a forma das figuras geomtricas, e esta palavra, a forma, uma fontedegravesproblemasdecompreenso.EmGeometria,aFormaumtipo especial de relao que h entre figuras semelhantes, de modo que correto falar da forma quadrada (uma vez que todos os quadrados so semelhantes entre si), mas incorreto falar de forma retangular (uma vez que nem todos os retngulos sosemelhantes).Vejaasfiguras,queilustramoqueacabamosdedizer.Discuta com seus colegas se todos os tringulos so semelhantes entre si.Ricardo Luiz EnzPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 8 2/4/2014 09:25:519C ADE R NO 5G E O M E T R I AJaSimetrianocostumacausarerrospeloseuusocotidiano.Ocorrequea Simetriaumapalavrautilizadaemmuitoscamposdoconhecimento,quase semprecomsignificadosdiferentesdaqueledamatemticaedageometria.Do ponto de vista matemtico o conceito de simetria envolve a noo bsica de uma transformaoquenodeformaasfiguras.Porexemplo:sedesenharmosum quadrado no papel e de alguma maneira deslizarmos este quadrado para outro lugar do papel ele permanecer sendo um quadrado, com as mesmas medidas tanto dos lados quanto dos ngulos. Mas se desenhssemos o mesmo quadrado em uma tira elstica e esticssemos a tira, a figura desenhada sofreria uma deformao, deixaria de ser um quadrado. Assim, existem vrias maneiras de deslocar as figuras sobre o plano sem que elas sofram deformaes. A rotao e a translao sintetizam estas maneiras, mas no vamos ensinar rotao e translao para crianas, falaremos de algo mais simples, num contexto ldico e infantil. As simetrias axiais que sero objeto de estudo neste caderno, elas so obtidas quando a figura gira em torno a um eixo, uma reta. Mas a pergunta pertinente: e se a figura girasse em torno a um ponto? possvel fazer operaes com as translaes, rotaes e simetrias?Nestecaderno,semprequepossvel,usamosaspalavrasfiguraeformatoem lugar de forma. Ento, falar em figuras retangulares ou formatos retangulares mais aceitvel e comunica a mesma ideia que forma retangular, mas sem incorrer no erro matemtico. Ningum dever ser punido se disser forma triangular para sereferiradiversasfigurastriangulares,masaospoucosdevemostomarmais cuidado com a linguagem e diminuir o nmero de vezes que cometemos este tipo deerromatemtico.Apesardeestarmosalertandoparaestasquestes,fazemos questo de destacar que este aspecto no deve ser levado em conta em avaliaes. Semuitasoutrasrazesnoexistissem,bastariapensaremuma:aspessoasno devem ser punidas pelo uso comum da linguagem de todos os dias, de modo que perfeitamente aceitvel que uma criana fale em forma retangular e o professor tem condies de saber que ela est se referindo a um retngulo e no confunde retngulos com tringulos ou com prismas.Ricardo Luiz EnzOs retngulos azul e amarelo so semelhantes entre si, tm a mesma forma. O retngulo vermelho no se-melhante aos outros dois, no tem a mesma forma.Todos os quadrados so semelhantes entre si, tm a mesma forma.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 9 2/4/2014 09:25:5210G E O M E T R I AA GEOMETRIA E O CICLO DE ALFABETIZAOAndria Aparecida da Silva Brito NascimentoEvandro TortoraGilmara Aparecida da SilvaGiovana Pereira SanderJuliana Aparecida Rodrigues dos Santos MoraisNelson Antonio PirolaThais Regina Ueno YamadaDe acordo com os Direitos de Aprendizagem da rea de Matemtica (BRASIL, 2012), dois grandes objetivos a serem alcanados, por meio do ensino da Geometria/EspaoeForma1,nociclodealfabetizao,soosdepossibilitarosalunosa construrem noes de localizao e movimentao no espao fsico para a orientao espacial em diferentes situaes do cotidiano e os de reconhecer figuras geomtricas.Demaneirageral,oobjetivodestecadernoauxiliarnotrabalhocomo desenvolvimentodopensamentogeomtricodacriana,constitudoporum conjunto de componentes que envolvem processos cognitivos, como a percepo, acapacidadeparatrabalharcomimagensmentais,abstraes,generalizaes, discriminaes e classificaes de figuras geomtricas, entre outros.No que diz respeito ao trabalho com a movimentao e a localizao, o ensino da geometria, no ciclo de alfabetizao, deve propiciar aos alunos desenvolver noes de lateralidade (como direita e esquerda), noes topolgicas (como dentro e fora e vizinhana), utilizando o prprio corpo e outros objetos/pessoas como pontos de referncias (BRASIL, 2012). O registro do trajeto da movimentao de um objeto ou pessoa pode ser feito pela criana por meio de expresso verbal, desenhos, relatos escritos, entre outros, e a sua localizao pode ser feita por meio de desenhos, papel quadriculado,croquisemapas.Essasatividadespodemserrealizadasutilizando jogos, brincadeiras, construo de maquetes, entre outros recursos.Quantoaodesenvolvimentodapercepogeomtrica,osalunosdevemser capazes de visualizar diferentes figuras geomtricas, planas e espaciais, realizando asuadiscriminaoeclassificaopormeiodesuascaractersticas(atributos) eidentificandonmerodelados(oufaces)evrtices;reconhecerpadres, regularidadesepropriedadesdefigurasgeomtricaspresentesemdiferentes contextos, como obras de arte, natureza e manifestaes artsticas produzidas por diferentes culturas; perceber figuras geomtricas por meio de vistas de objetos (por exemplo, dado um objeto, a criana representa no papel, por meio de desenhos, o que ela v em diferentes perspectivas) e planificao de slidos geomtricos; ampliar ereduzir,comporedecomporfiguras;construirdiferentesfigurasgeomtricas 1 Neste caderno nos referiremos sempre Geometria.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 10 2/4/2014 09:25:5211C ADE R NO 5G E O M E T R I Autilizandoarguaediferentessoftwares,comooLOGO2;resolverproblemasque requeiram pensar geometricamente; relacionar objetos e situaes do cotidiano (bola de futebol, caixa de sapato, caixa de leite) com os slidos geomtricos e vice-versa.Deve-se mostrar aos alunos a importncia do estudo da Geometria para as nossas vidas e tambm para o exerccio de muitas profisses, seja na cidade ou no campo. Um Engenheiro Civil, por exemplo, usa elementos da Geometria para elaborar suas plantas e depois para realizar as construes:2 LOGO uma linguagem de programao elaborada no MIT por S. Papert Seymour Papert. Por meio de comandos simples o aluno pode fazer uma tartaruga desenhar figuras na tela do computador.Visualizao PlantaNocampo,dentreoutrasaplicaes,aGeometriautilizadaparadecidiro formato mais adequado de plantaes:Plantao em formato de crculoHorta comunitria com canteiros emformato retangular em Juazeiro BADisponvel em: . Acesso em dezembro de 2013.Embora se reconhea a importncia da Geometria, percebemos que ainda preciso superar algumas dificuldades relacionadas ao seu ensino, como por exemplo, trabalh- -la somente ao final do ano, como um campo desconectado de outros contedos como Ricardo Luiz EnzPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 11 2/4/2014 09:25:5712G E O M E T R I A3 Nos Cadernos de Formao do Pacto, ao invs do termo Tratamento da Informao, utilizaremos Educao Estatstica.A professora Janeti Marmontel Mariani, hoje aposentada do Ensino Fundamental, na rede pblica do Estado de So Paulo, relata sua experincia de trabalho com as crianas do ciclo de alfabetizao:Sempretrabalheicomcrianaspequenaseapreocupaocomoensinoda geometria era constante. Dessa forma, resolvi dar a elas a vivncia dessa aprendizagem realizando passeios onde pudessem observar o entorno e da extrair experincias que facilitassem a construo de conceitos geomtricos. Combinava com elas antes, o foco de nossa observao, por exemplo: Hoje vamos observar as rvores, mas somente os troncos. Munidos de uma prancheta e lpis de cor, cada grupo escolhia uma rvore. Os alunos deveriam olhar detalhadamente os troncos, abra-lo, ver se era grosso ou no, passar a mo para ver se a casca era spera ou lisa, se tinham estrias e como eraoformatodasmesmas.Sentavam-seemvoltadarvoreeregistravamatravs de desenhos, o que perceberam. Em outro momento observariam os galhos. Depois as folhas. Colhiam algumas folhas para um trabalho mais minucioso na sala de aula. Dessa forma, as crianas manipulavam as plantas fazendo observaes nas quais elas percebiam as diferenas entre o formato dos troncos, dos galhos, folhas, etc. Tudo era exposto e o vocabulrio sobre geometria era ampliado.Preocupava-memuitoosdesenhosdecasasfeitospelascrianas.Sempredo mesmo jeito, todos iguais. Como mudar este conceito j to arraigado at nos adultos? Um dia samos para observar casas, mas expliquei-lhes que iramos olhar, neste primeiro dia, somente os telhados. Cada criana com sua prancheta escolhia o telhado que iria desenhar. Na classe expunham os trabalhos axando-os na lousa, e cada uma fazia o seu comentrio sobre o que tinha observado. Era possvel detectar o que sabiam sobre oconceitoeoqueaindaprecisavamaprender.Numoutrodiaolharamasjanelas. Depois as portas. Gostaram muito de observar os portes, jardins, a frente ou a lateral da casa. Cada dia uma coisa era observada, registrada e comentada. Perceberam que os sobrados eram bem diferentes e lembraram-se dos edifcios, apartamentos, etc. Na nalizao do projeto, cada um deveria trazer o desenho de sua casa vista de frente edalateral.Aexposiofoibastantericaeascrianasutilizavamcadavezmaiso vocabulrioprpriodageometria.Apartirda,todavezquetinhamquedesenhar paisagens, as casas fugiam completamente da forma estereotipada de antes. Alguns passeios privilegiavam as caladas, igrejas, jardins, etc. Outras atividades: Jogos infantis tradicionais como os da amarelinha, pegador, esconder, corda, bolas, possibilitaram o desenvolvimento de nmeros, de medidas e de geometria, alm de orientao espacial e percepo visual.os de Nmeros, Grandezas e Medidas e Estatstica3. Alm disso, necessrio superar a ideia de que a Geometria se resume s figuras geomtricas, trabalhando tambm com atividades de Movimentao e Localizao de pessoas e objetos no espao.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 12 2/4/2014 09:25:5713C ADE R NO 5G E O M E T R I AConformeconstatamosnorelatodaprofessora,muitasatividadespodem serrealizadasnoptioounaquadradaescola,emumpasseioaozoolgico,ao parque ou ainda a cidades. Atividades de observao e registro de diferentes figuras geomtricaspodemserprogramadaspeloprofessor,comoporexemplo,uma visita a museus. L os alunos tero contato com diferentes recursos utilizados pelos artistas, como as figuras geomtricas, a simetria, linhas retas e curvas, paralelismo, propores,regularidadesepadres.Umpasseiopelacidadepodepropiciars crianas a observao de placas de trnsito que indicam como pedestres e motoristas podem se movimentar, alm de observao de fachadas de casas, prdios e igrejas, bem como do formato das praas.Nas imagens a seguir, outros exemplos so apresentados: muros com detalhes retangulares, placas circulares, igreja composta por diferentes formas geomtricas, mesas hexagonais entre outros.Em comunidades rurais, indgenas, quilombolas e de ribeirinhos, a geometria se faz presente em prticas sociais como as pinturas corporais, os desenhos geomtricos em rituais indgenas e cestarias produzidas por diversas comunidades.Arquivo dos autoresArquivo dos autoresArquivo dos autoresArquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 13 2/4/2014 09:26:0214G E O M E T R I APintura corporal Indigena.Artesanato Quilombola de Santa Luzia do Par PA.Disponvel em: .Disponvel em: .Adiversidadedeespaospossibilitarealizarconexesentreageometriaeos diferentes campos do saber nas diferentes comunidades, seja na zona urbana, seja na zona rural.Umtrabalhoadequadocomosalunospossibilitaodesenvolvimentode vriosaspectosdopensamentoeentreelesdestacamosasaesdeconjecturar, experimentar, registrar, argumentar e comunicar procedimentos e resultados.DeacordocomodicionrioHouaissdaLnguaPortuguesa,conjecturaoato ouefeitodeinferiroudeduzirquealgoprovvel,combaseempresunes, evidncias incompletas, pressentimentos, hipteses e suposies (HOUAISS; VILLAR E FRANCO, 2001, p. 803).PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 14 2/4/2014 09:26:0415C ADE R NO 5G E O M E T R I ANo h pretenses de que as crianas realizem demonstraes formais, mas que sejam estimuladas a elaborar conjecturas a partir de observaes e experimentos.SegundoHouaiss,umadasacepesdapalavraexperimentarprprova, tentar,procurar(HOUAISS;VILLAREFRANCO,2001,p.1287).Esseentendimento pareceviraoencontrodoqueesperamosparaoensinodageometria.Apsos alunos levantarem suas conjecturas, existe uma fase de experimentao, ou seja, de pr prova o que conjecturaram.Na fase de experimentao os alunos podem observar, medir, desenhar, estimar, montar,desmontar,generalizarentreoutrosaspectosrelevantesdopensamento geomtrico.Ao realizar a experimentao o aluno poder validar ou no as suas conjecturas. Aps (e mesmo durante) a experimentao os alunos tm situaes que os levam aelaborarargumentaessobreosresultados.Osentidodaargumentaoque utilizaremos apresentar fatos, ideias, razes lgicas, provas, etc. que comprovem uma afirmao ou uma tese. O nvel da argumentao varia de acordo com o nvel de escolaridade em que o aluno se encontra. No ciclo de alfabetizao espera-se que os alunos utilizem os resultados dos experimentos para que, com seu vocabulrio prprio, apresentem os fatos que os levaram a validar ou no suas hipteses inicias sobre uma proposio apresentada pelo professor. Em todo esse processo, o registro muito importante, seja ele escrito ou em forma de desenhos e diagramas.Permeando toda a atividade que envolve a conjectura, experimentao, validao e argumentao est a comunicao. A comunicao entre as crianas tem como objetivoocompartilhamentodasideias,dasconjecturas,dosprocedimentos utilizados para desenvolver a tarefa e os registros realizados.Porexemplo:emumaaulacujoobjetivopossibilitaraosestudantesa compreensodequedadostrssegmentosquaisquernemsemprepossvel construirumtringulo.Oprofessorpoder,inicialmente,verificarquaissoas conjecturas dos seus alunos e como eles comunicam e argumentam as suas ideias. Na fase posterior, os alunos passam para a experimentao que pode consistir em distribuir a eles pedaos de varetas de diferentes tamanhos para que eles possam validar ou no as suas conjecturas.A partir da experimentao os alunos podero avaliar as suas conjecturas iniciais ebuscarpossveisexplicaes(argumentos)paraosresultadosdatarefa.Dessa forma, h o processo de validao das conjecturas. Permeando todo esse processo, os alunos so constantemente solicitados a comunicarem e registrarem suas ideias e resultados encontrados.Essa atividade de construo de tringulos foi aplicada com diferentes alunos do ciclodealfabetizao.Inicialmente,foiperguntadoscrianas:seentregssemos trs palitos de diferentes tamanhos, vocs conseguiriam representar um tringulo? A resposta dada com certeza foi sim. Posteriormente foram entregues os materiais, isto,trspalitos(dediferentestamanhos)afimdequeosmanuseasseme representassem o tringulo.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 15 2/4/2014 09:26:0416G E O M E T R I ANa figura abaixo vemos uma criana de seis anos construindo um tringulo.Crianade6anosjuntandotrspalitosparaconstruirum tringulo.A seguir foram dados trs palitinhos de tamanhos diferentes, como mostrado na figura abaixo.Criana de 6 anos tentando construir um tringulo. Criana de 6 anos tentando construir um tringulo.Arquivo dos autoresArquivo dos autoresArquivo dos autoresAoexecutaraatividadeacrianapercebeuqueemalgumassituaesnoera possvel construir um tringulo, visto que havia um palito maior e dois outros bem pequenos. Ento, ela solicitou ao professormais palitos para completar o tringulo. Foi informada de que era para construir o tringulo utilizando apenas os 3 palitos. A criana disse: no d para montar o tringulo porque os palitos so muito pequenos. Ou seja, para essa criana, nessa situao, no era possvel construir um tringulo. A experimentao levou essa criana a rever sua conjectura e a argumentar (segundo seu nvel de escolaridade) sobre situaes nas quais no se poderia obter um tringulo.A mesma atividade foi aplicada a alunos do segundo e terceiros anos do Ensino Fundamental.Durantearealizaodaatividadecomosalunosdosegundoanoapareceu um dado interessante: vrios disseram que, para construir um tringulo, os palitos deveriamteromesmotamanho,porm,apsaexperimentaoperceberamque poderiam construir tringulos com palitos de diferentes tamanhos.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 16 2/4/2014 09:26:0717C ADE R NO 5G E O M E T R I APlanificao 1. Planificao 2.Oprofessoralfabetizadorpoderexporosdesenhosdascrianaserealizar discusses para verificar se as planificaes esto adequadas. Perguntar-lhes: O que est faltando em cada uma das representaes? Se dobrarmos, o que acontecer, teremos uma caixa? Outras discusses e reflexes podero ser levantadas, como: Quais so as figuras geomtricas representadas? Por que a caixa tem este formato? Elapoderiaterformatodiferente?Nessecasoaexperimentaoumaao importanteparaqueosalunosvalidemassuasideiasepercebamcomopodem aprimorar as suas representaes.Nos prximos textos sero abordados os grandes objetivos da Geometria para o ciclo de alfabetizao. Iniciaremos pela discusso acerca do trabalho com as figuras geomtricas que nos cercam, a seguir traremos conexes com outras reas do saber, bem como, a possvel utilizao da informtica no ensino de geometria. Finalmente, trataremos,especificamente,dodesenvolvimentodasnoesdelocalizaoe movimentao no espao.Arquivo dos autoresComosalunosdoterceiroano,tambmocorreramafirmaesdequecom um palito grande e dois pequenos, no daria para fechar o tringulo, ou seja, seria impossvel formar o tringulo.Os alunos dessa faixa etria no precisam sistematizar este conhecimento, mas interessante saber que um tringulo somente poder ser construdo se qualquer um dos lados for menor que a soma dos outros dois.Atividades de experimentao, validao, argumentao e comunicao de ideias em sala de aula pode ser uma maneira divertida e para se aprender geometria.Imagine,porexemplo,quefoisolicitadoturmadosegundoanodoEnsino Fundamentalatarefadeplanificarumacaixadecremedental.Algunsalunos desenharam a planificao das caixas, como mostrado a seguir:PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 17 2/4/2014 09:26:0918G E O M E T R I AFlor Trimera..Acessoemdezembrode 2013.Favo de mel.. Acesso em de-zembro de 2013.A harmonia na natureza tambm se mostra quando observamos que muitas de suas formas so aproximadamente simtricas, como, por exemplo, as asas de uma borboleta.Demodogeral,umafigurasimtricaquandopodemosdividi-laempartes, sendoqueestascoincidemperfeitamentequandosobrepostas.Asimetriamais comum a axial que aquela em que uma figura espelhada em relao a uma reta.PRIMEIROS ELEMENTOS DA GEOMETRIAAndria Aparecida da Silva Brito NascimentoEvandro TortoraGilmara Aparecida da SilvaGiovana Pereira SanderJuliana Aparecida Rodrigues dos Santos MoraisNelson Antonio PirolaThais Regina Ueno YamadaAnaturezaumafontederecursosaseremutilizadosnoensinodaGeometria. Pormeiodela,possvelreconhecerregularidadesdasformas,ecomoasfiguras geomtricassejustapem.Comoexemplo,temosofavodemel,ocascoda tartaruga, a teia de aranha, algumas flores, entre outros. Tambm, por meio dessa observaopodemosidentificareexplorarconceitosepropriedadesgeomtricas, alm da possibilidade de desenvolver um trabalho interdisciplinar com Cincias.A proporo, o padro e a regularidade, a beleza, o equilbrio encontrados nas formas um fenmeno que atrai e envolve o homem.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 18 2/4/2014 09:26:1019C ADE R NO 5G E O M E T R I APara o trabalho com a simetria axial usual, na escola, solicitar s crianas que completem figuras desenhadas sobre papel quadriculado supondo-as simtricas:Uma atividade interessante para explorar a simetria o projetor mgico que consisteementregarumafolhadepapelsulfitecomumafiguracentralizadaem uma das metades da folha. No centro, apoiar uma lmina de acrlico. Ao colocar a lmina ao lado da figura, ela projetar a imagem para a outra metade da folha. O trabalho do aluno ser contornar a imagem projetada.Abaixo temos um aluno do primeiro ano realizando essa atividade e, a seguir a sua produo:Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 19 2/4/2014 09:26:1120G E O M E T R I AAdaptado de: . Acesso em dezembro de 2013.Apartirdasproduesdosalunos,oprofessorpoderfazeralguns questionamentos, como por exemplo: O que aconteceu com a figura desenhada? Elas tem o mesmo tamanho? O que dizer da posio da figura desenhada em relao figura dada? Se dobrarmos o papel, uma figura ficar sobreposta a outra? Quais outros aspectos e relaes interessantes podemos ver nas duas figuras?. importante notar que as figuras no sero perfeitamente espelhadas e com o mesmo tamanho e formato, por outro lado, uma atividade como esta aproxima a criana desses conceitos matemticos que sero sistematizados mais tarde.Alm da simetria, pode ser interessante um estudo sobre o que no simtrico, tanto na natureza como em construes humanas.Aolado,temosumaporta assimtrica. Uma discusso sobre o que a diferencia de portas simtricas pode levar a trabalhos interessantes sobre o tema.Disponvel em: . Acesso em dezembro de 2013.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 20 2/4/2014 09:26:1421C ADE R NO 5G E O M E T R I AA natureza nos oferece uma diversidade de exemplos que podem ser utilizados em sala de aula para ensinar conceitos e propriedades geomtricas. Alm de despertar a curiosidade dos alunos, podemos estabelecer conexes da Geometria com a rea deCincias,comoporexemplo,levantarconjecturassobreoporqudasteiasde aranha terem sempre o mesmo formato (relao forma-funcionalidade).Noquedizrespeitosfigurasgeomtricas(espaciaiseplanas),oestudoda Geometriapossibilitaaosindivduosreconhecerem,organizarem,sintetizareme darem significado s sensaes e aos estmulos recebidos pelos rgos dos sentidos. Otatopodeserdesenvolvido,porexemplo,pelaseguinteatividade:colocam-se vriosslidosgeomtricosemumasacolanotransparente.Aseguiracriana, sem olhar, insere a mo na sacola e segura um dos slidos sem o retirar. Por meio do tato ela dever descrever qual o objeto selecionado (se tem vrtices, superfcie arredondada,arestas,entreoutras).Paratrabalharaviso,observar-seasfiguras geomtricasplanaseespaciaise,pormeiodavisualizao,identificaratributos, classificar formas, identificar propriedades, entre outras.Podemosdizerqueumdosobjetivosdoensinodageometrianociclode alfabetizao levar os alunos a classificar as figuras geomtricas por meio de suas caractersticas, as quais denominaremos de atributos definidores.Os atributos definidores so os invariantes que distinguem uma figura da outra e que so utilizadas nas definies. Por exemplo: podemos dizer que um quadrado umquadrilterocujosladospossuemasmesmasmedidasequepossuiquatro ngulos retos. Possuir quatro lados congruentes e perpendiculares entre si dos adoissoalgunsatributosdefinidoresdoquadrado.Essascaractersticasso utilizadasparadiferenci-lodeoutrasfiguras,comoocasodopentgono,ou relacion-lo com outras, como o retngulo que compartilha de alguns atributos do quadrado (ngulos retos).Os atributos podem ser relevantes ou irrelevantes. Os atributos definidores so osrelevantes.Cor,tamanho,orientaodafiguranapgina,etc.soatributos irrelevantes.Paraqueumacrianacompreendaoqueumtringulo,dever abstrair que toda figura fechada com trs lados um tringulo, ou seja, dever se ater apenas aos atributos relevantes, definidores. Uma criana, por exemplo, que s v tringulos vermelhos pode considerar a cor vermelha como sendo um atributo definidor dessa figura por um processo de generalizao.Atividades escolares que proporcionam criana experincias unicamente com tringulos equilteros, tambm podem induzi-las a generalizarem que tringulo somente aquele que possui lados iguais (equiltero). No entanto, uma experincia didtica na qual diferentes tipos de tringulos so apresentados e em que se explicita que apesar das diferenas entre eles, todos so denominados de tringulo ser bem mais proveitosa, permitindo a generalizao necessria formao do conceito de tringulo.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 21 2/4/2014 09:26:1422G E O M E T R I AO trabalho deficitrio com os atributos definidores das figuras geomtricas pode gerar confuso entre figuras planas e espaciais. muito comum o aluno considerar um tringulo como sendo uma pirmide. importante desenvolver no ciclo de alfabetizao o trabalho com os atributos definidores,poispormeiodelesquepodemosestabelecerrelaesentreos conceitos e realizar classificaes.Devemosevitarapresentarscrianas,figurasgeomtricascomumnico atributo irrelevante a fim de no exp-las a um obstculo desnecessrio. Dentre as prticas a serem evitadas, podemos citar a apresentao de figuras geomtricas:sempre na mesma posio: tringulos com a base na horizontal, quadrados com lados horizontais, losangos com uma das diagonais na vertical;sempre com a mesma cor; sempre com o mesmo tamanho. Dentreasprticasadequadaspodemosdestacaraapresentaodasfiguras geomtricas em diferentes posies, cores e tamanhos: o uso de figuras recortadas um recurso interessante j que a criana poder gir-la, no estabelecendo uma relao entre cores, tamanhos ou posies com o nome das figuras.Outroaspectorelacionadoaprendizagemdosatributosdefinidores e,consequentemente,formaodeconceitosgeomtricos,dizrespeito apresentaodeexemplosecontraexemplosnasaladeaula.Adiscriminaode exemplos e contraexemplos feita baseada nos atributos definidores. Conseguimos diferenciar um tringulo de uma pirmide por meio de seus atributos definidores. A ausncia de um conjunto adequado de exemplos e contraexemplos nas situaes de ensino pode levar os alunos a processos equivocados de generalizao. Quando somente um exemplo dado (ou poucos exemplos, ou exemplos muito parecidos), os alunos, por meio de um processo de generalizao, iro consider-lo como sendo oconceitogeral.Issosignificaquenasaladeauladevemosfalardetringulose no-tringulos, quadrados e no-quadrados e assim por diante. Uma possibilidade apresentar sequncias de tringulos e depois de no-tringulos questionando, a seguir, como se classificaria uma outra figura. Dessa maneira, aos poucos, as crianas iro diferenciar essas figuras no seu cotidiano.Para que os alunos formem os conceitos de modo adequado, devemos considerar noapenasaquantidadedeexemplos,masaqualidadeemqueosatributos definidoreseirrelevantessomodificados.Porexemplo,nocasodotringulo, necessrioqueosalunosobservemvriostiposdetringulos,modificando-se asmedidasdosladosengulos(atributosdefinidores)etambmotamanhoea orientao (atributos irrelevantes). comum os alunos no considerarem o quadrado rotacionado (desenhado com inclinao) como quadrado. Isso decorrente de um trabalho em que somente dado ao aluno o quadrado na posio prototpica (sem estar rotacionado). O trabalho com atributos definidores, exemplos e contraexemplos possibilitam aos alunos realizarem classificaes das figuras geomtricas.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 22 2/4/2014 09:26:1423C ADE R NO 5G E O M E T R I AUmaatividadeinteressanteparasetrabalharcomclassificao,utilizando-seatributosdefinidores,exemplosecontraexemplossolicitaraosalunosque identifiquem uma figura em um conjunto de diferentes figuras.Observe que na atividade abaixo os alunos devero identificar os tringulos entre as outras figuras.Atividade realizada por um aluno do segundo ano do Ensino Fundamental.Aatividadeacimarepresentadafoirealizadaporumalunodosegundoano do Ensino Fundamental. Em sua resoluo percebe-se que um dos tringulos no foi pintado. Quando o aluno foi questionado sobre o porqu de t-lo deixado sem pintar ele respondeu: porque ele no pontudo.Umalunodoterceiroanoteveomesmoargumentoaonopintaromesmo tringulo.Atividade realizada por um aluno do terceiro ano do Ensino Fundamental.Arquivo dos autoresArquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 23 2/4/2014 09:26:1624G E O M E T R I APercebe-se tambm que o aluno do terceiro ano considerou dois quadrilteros, visto que pareciam com tringulos. Esse aluno no se deteve ao atributo definidor de quantidade de lados.Outra atividade apresentada aos alunos era a de identificar o quadrado em um conjunto de figuras.Nafiguraabaixooalunodeterceiroanopintousomenteosparalelogramos com lados iguais (no considerando o ngulo de 90 graus).Atividade realizada por um aluno do terceiro ano.Alguns alunos do segundo e terceiro ano conseguiram identificar os quadrados, mesmo aqueles que estavam rotacionados, como mostram as figuras a seguir:Atividade realizada por um aluno do terceiro ano do Ensino Fundamental.Atividade realizada por um aluno do segundo ano do Ensino Fundamental.Arquivo dos autoresArquivo dos autoresArquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 24 2/4/2014 09:26:1825C ADE R NO 5G E O M E T R I AAtividadescomoessas,possibilitamaoprofessoranalisarquaisatributos definidores so utilizados pelos alunos no momento da identificao e classificao das figuras geomtricas. Alm de mostrar como alguns atributos irrelevantes, como a orientao da figura, pode interferir no processo de aprendizagem.A seguir apresentaremos alguns Direitos de Aprendizagem relativos a percepo geomtricaaseremdesenvolvidosnociclodaalfabetizaoealgumasatividades que podem auxiliar nesse sentido.Observar, manusear, estabelecer relaes entre figuras planas e espaciais, compor e decompor figurasUmdosDireitosdeAprendizagemidentificarasfigurasgeomtricasplanas (tringulos,quadrados,retngulos,crculos,trapzios,pentgonosehexgonos) a partir de um conjunto de figuras. Por exemplo: no desenho de um barco em que so utilizadas diferentes figuras geomtricas, o aluno dever identificar qual a figura utilizada para representar a vela. O mesmo pode ser feito com slidos geomtricos. Dado um rob formado por diferentes modelos de slidos, o aluno dever identificar qualomodelodeslidoutilizadoparafazerochapu.Essasatividadestambm propiciamodesenvolvimentodashabilidadesdecomposioedecomposiode figuras.Umrecursodidticointeressantenessesentidootangram,umjogochins formadoporsetepeas.Pormeiodessaspeaspossvelcomporedecompor figuras,almdeproporcionarscrianasobrincarcomasformasgeomtricas. Supe-sequeaparteinicialdonomedojogo,tan,estejarelacionadadinastia Tang,quegovernouaChinaduranteumlongoperodo.Apartefinaldonome, gram, vem do latim e significa ordenar, dispor.Carlos Cesar SalvadoriPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 25 2/4/2014 09:26:1926G E O M E T R I AA composio e a decomposio de figuras pode ser motivada utilizando jogos online. Por exemplo, no site a criana pode utilizar as peas do tangram para montar figuras.Estratgiasdeensaioeerroeantecipaodavisualizaodasposiesem queasfigurasserocolocadassorecursosimportantesparaaaprendizagemda geometria. O jogo apresenta uma figura branca que a criana deve completar com as figuras pretas disponveis.Extrado de: . Acesso em setembro de 2013.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 26 2/4/2014 09:26:2027C ADE R NO 5G E O M E T R I AAseguirexemplificamoscomumitemdeavaliaoquerequerqueacriana relacionefigurasgeomtricascomobjetosdocotidianoemumasituaode composio.Questo 03 Provinha Brasil 2012.Relacionamento de objetos do cotidiano com os slidos geomtricos (ob-jetos matemticos) e vice-versa. Reconhecendo corpos redondos e no redondos (polidricos)Paraqueoalunopossarelacionarobjetosdocotidianocomosslidos geomtricos,eledeveestaremcontatocomdiferentesfigurasdeslidos. Para isso, os alunos devero levar para a sala de aula diferentes embalagens e realizar atividades de identificao.A seguir destacamos alguns slidos geomtricos e embalagens e objetos para serem relacionados.Arquivo dos autoresNo Caderno Jogos na Alfabetizao Matemtica o jogo Domin Geomtrico trabalha com esse Direito.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 27 2/4/2014 09:26:2128G E O M E T R I AAorelacionarslidosgeomtricoscomasembalagens,osalunosiro,aos poucosadquirindoumvocabulriomatemticoadequado,ampliandoassim,a sua percepo geomtrica e observando a geometria existente em seu cotidiano. importante que o professor faa relaes entre as faces das embalagens e figuras planas. Por exemplo, mostrar que a tampa da lata de milho circular, que a tampa da caixa de leite retangular, dentre outras possibilidades.Planificar modelos de slidos geomtricos e construirmodelos de slidos a partir de superfcies planificadasO professor poder utilizar diversos tipos de embalagens. Desmontando-as, os alunospoderoverificarqualasuaplanificaoequaisasfigurasgeomtricas planas que formam esse slido. Uma atividade interessante consiste em selecionar um modelo de slido geomtrico. A seguir, o professor solicita aos alunos que desenhem oqueelesimaginamqueresultariaseomodelofossedesmontado(planificado). Issopodeserrealizadocontornando,comumlpis,asfacesdoslido.Apso levantamento das hipteses dos alunos, feita a experimentao de desmontar o modelodeslido,paracomprovar,ounoasconjecturas.importantedestacar que slidos como a esfera no so passveis de planificao, propor aos alunos que tentem planific-la pode gerar interessantes discusses.Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 28 2/4/2014 09:26:2829C ADE R NO 5G E O M E T R I AAbaixodestacamosumaatividadeemqueoalunodeveidentificarasfiguras geomtricas que formam um modelo de slido, por meio do contorno das faces.Questo 6 Provinha Brasil 2012.Arquivo dos autoresPara o desenvolvimento da percepo geomtrica podemos nos valer de vrios recursos. Alm disso, a Matemtica de modo geral, e a Geometria particularmente, possuem vrias relaes com outras disciplinas que podem e devem ser exploradas em sala de aula. O prximo texto tratar dessas interessantes relaes.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 29 2/4/2014 09:26:2930G E O M E T R I ACONEXES DA GEOMETRIA COM A ARTEAndria Aparecida da Silva Brito NascimentoEvandro TortoraGilmara Aparecida da SilvaGiovana Pereira SanderJuliana Aparecida Rodrigues dos Santos MoraisNelson Antonio PirolaThais Regina Ueno YamadaSimetrias,harmoniaeregularidadessoalgumascaractersticasgeomtricas presentesemdiferentesmanifestaesartsticas.AinteraoentreaMatemtica eaArtefavoreceoestudodeconceitoseprincpiosmatemticos.Aoobservar determinadasobrasartsticas,possvelperceberalgunselementosgeomtricos, comoparalelismo,perpendicularidade,perspectivas,profundidade,simetriase assimetrias, propores, entre muitos outros. Assim, podemos observar e explorar conceitos geomtricos presentes na arquitetura, pintura, escultura, em cermicas, cestarias, entre outras prticas sociais. As conexes entre as artes e as geometrias, por exemplo, alm do estudo de diversos contedos geomtricos, d oportunidade aos alunos de conhecerem a vida e a obra de diferentes artistas, contribuindo para oseuenriquecimentoculturaleparamostrarqueageometriaestpresenteem diferentes contextos.NasobrasdeOscarNiemeyer,porexemplo,podemosobservarasimetria,as formasgeomtricas,curvas,retas,retasparalelaseperpendiculares,entreoutros aspectos.. Acesso em dezembro de 2013.Congresso Nacional Braslia/DF.Catedral de Braslia DF..Acesso em dezembro de 2013.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 30 2/4/2014 09:26:3131C ADE R NO 5G E O M E T R I AVriospintoresutilizamaharmoniadasformasecoresparacomporosseus trabalhos, como o caso de Alfredo Volpi (Lucca, 14 de abril de 1896 So Paulo, 28 de maio de 1988), um famoso pintor italiano, que viveu no Brasil. A partir da apresentao dessas obras de arte o professor pode questionar as crianas a respeito dasfigurasgeomtricasqueestonelasrepresentadas.Outrosquestionamentos podemtambmserfeitos,como:quantosladostemabandeirinha?Queoutras figuras possuem a mesma quantidade de lados da bandeirinha?Alfredo Volpi. Bandeirinha, 1958.Alfredo Volpi, Casari.Observando vrias obras de artes, temos a impresso de que os artistas brincam com as propriedades geomtricas, proporcionando-nos beleza e encantamento. o caso do artista Escher.Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 de Junho de 1898 Hilversum, 27 de Maro de 1972) foi um artista grfico holands conhecido pelas suas xilogravuras, litografiasemeios-tons,quetendemarepresentarconstruesimpossveis, preenchimentoregulardoplano,exploraesdoinfinitoeasmetamorfoses padresgeomtricosentrecruzadosquesetransformamgradualmenteem formascompletamentediferentes.Eletambmeraconhecidopelaexecuode transformaes geomtricas (isometrias) nas suas obras.Dentre os trabalhos de Escher encontramos aqueles que se dedicam a retratar figuras impossveis. Nesse sentido, podemos questionar as crianas acerca do que h de curioso nas obras a seguir:PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 31 2/4/2014 09:26:3332G E O M E T R I AEscher, Peixes.Escher, Waterfall.Na primeira figura, observa-se que a gua est descendo, mas ao mesmo tempo subindo.Esteefeitoobtidoporumamaneirapropositadamenteequivocadade registrarumafiguraespacialnoplanodopapel.Asegundaobraummosaico em que se entrelaam peixes, tartarugas e aves. A professora poder unir a ponta do rabo dos peixes para que os alunos percebam, que, na verdade trata-se de um mosaico de tringulos.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 32 2/4/2014 09:26:3533C ADE R NO 5G E O M E T R I AUmdosartistasplsticosquetrabalhacomfigurasgeomtricasdemodo bastante criativo Piet Mondrian, nascido em 1872.Mondrian, Composio com vermelho, amarelo e azul, ano de 1921.As crianas podem ser estimuladas a criar os seus Mondrians. A seguir vemos um destes desenhos feitos por crianas do primeiro ano do ciclo de alfabetizao:. Acesso em dezembro de 2013.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 33 2/4/2014 09:26:3634G E O M E T R I AAlm de se basearem em artistas conhecidos, um trabalho com linhas retas em um papel e lpis de cor podem servir para interessantes discusses:Fonte: Lopes (2011).A partir dessa construo pode-se pedir s crianas que cortem todos os polgonos e os separarem em grupos justificando sua separao. As crianas podem separar em cores, por nmero de lados ou outro critrio, desde que justifiquem suas escolhas. A partir da, a professora pode introduzir as nomenclaturas dos polgonos de acordo com o nmero de lados, alm de realizar a contagem de quantos polgonos aparecem.TrabalhandocomEVA,osalunospoderorecortarvriasfigurasgeomtricas, fazerumacomposiocomelasedepoisclassific-lasemtringulos,quadrados, crculos etc.Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 34 2/4/2014 09:26:3835C ADE R NO 5G E O M E T R I A importante observar que quando trabalhamos com composies de artistas, algumaspodemsermaisadequadasqueoutrasemfunodaescolaridadeda criana.UmaobradeMondrianporexemplo,maisadequadaaotrabalhode primeiros anos, que uma obra com mosaicos de Escher. Esse fato deve ser levado em conta no uso das obras de arte em sala de aula.O nosso pas rico em diversidade cultural e isso se reflete nas manifestaes artsticas e nos artesanatos, como bordados, cestarias, tapearias e cermicas. Em sala de aula, o professor pode trabalhar as conexes da Geometria com a Geografia, Histria,Arte,Cincias,etc.,comoobjetivodeestudardiferentesculturasea produo artstica desenvolvida por elas. A partir desse estudo, o professor poder levarobjetos,figurasevdeosquemostremdiferentesobrasparaestudaros conceitos, princpios e propriedades geomtricas.Aartemarajoara,almdebelssimaecheiadeencantamentos,umtimo exemplo para o trabalho em sala de aula.Aartemarajoaraoracaracteriza-sepelozoomorfismo(representaode animais)ouantropomorfismo(representaodohomemoupartedele), bemcomoamisturadasduasformas(antropozoomorfismo).Animais como serpentes, lagartos, jacars, escorpies, e tartarugas esto estilizados em forma de espirais, tringulos, retngulos, crculos concntricos, ondas, etc. em tcnicas variadas. Para aumentar a durabilidade do barro agregavam-se outras substncias-minerais ou vegetais como as cinzas de cascas de rvores e de ossos, p de pedra e concha, alm do cauixi, uma esponja silicosa que recobre a raiz de algumas rvores.Extrado de: . Acesso em setembro de 2013.. Acesso em setembro de 2013.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 35 2/4/2014 09:26:3836G E O M E T R I AOprofessorpoderexplorarasregularidadesepadresdasfiguras,ouso dediferentestiposdesimetrias,elementosdeparalelismo,perpendicularidade, propores, entre outros aspectos geomtricos. Tambm poder solicitar aos alunos que levem alguns exemplos (como bordados, cestarias, etc) para a sala de aula para exposio e explorao dos elementos geomtricos, o que poder tornar a aula mais agradvel, cultural e interdisciplinar.Otrabalhocommosaicotambmpodeserumdisparadordeinteressantes discusses em sala de aula. De acordo com o dicionrio Houaiss mosaico imagem oupadrovisualcriadopelaincrustaodepequenaspeascoloridas(depedra, mrmore, vidro, esmalte ou cermica) sobre uma superfcie (p. ex., uma parede, um piso)(HOUAISS;VILLAReFRANCO,2001,p.1965).Aoladrilharumaparede,ao emendar pedaos de tecidos para confeccionar uma colcha, um mosaico est sendo criado. O termo mosaico originrio de mosaicon, que significa musa. Essa arte existe h milnios. Os sumrios formavam lindssimas decoraes geomtricas revestindo pilastras com cones de argilas coloridas e fixadas em massa. Os gregos e romanos, tambm decoravam pisos e paredes das construes utilizando mosaicos.Essasconstruespodemserexploradasmatematicamentevistoqueh mosaicos cujo padro geomtrico repetido. A construo de mosaicos pode ser feita utilizando malhas quadriculadas, triangulares, hexagonais, dentre outras. Nesse trabalho, pode-se explorar a composio e a decomposio de figuras, como, por exemplo, no ladrilhamento de uma superfcie.. Acesso em dezembro de 2013.Cpula do Batistrio de Florena na Itlia.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 36 2/4/2014 09:26:4037C ADE R NO 5G E O M E T R I AEscher tambm trabalha com mosaicos em diversas de suas obras.Escher.Tambm se pode explorar a presena da ideia dos mosaicos na natureza, como por exemplo, no casco de uma tartaruga e na casca do abacaxi.Casco de tartaruga.Arquivo dos autoresArquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 37 2/4/2014 09:26:4238G E O M E T R I AEm algumas comunidades rurais comum a confeco de patchworks, como os encontrados emLagoadoAlto,zonaruraldeJardim,no Cear.Trata-se,naverdade,demosaicosde tecidos, por vezes em formatos irregulares, que podemserdiscutidoscomascrianas.Alm disso,pode-seestimularascrianasacriarem seus patchworks com colagens de polgonos..O ensino da geometria tambm pode ser desenvolvido por meio de dobraduras. Porexemplo,apartirdeumretngulopode-sepediraoalunoparaobterum quadrado.Apartirdoquadradopode-seexploraroconceitodessepolgono, identificar seus atributos definidores e a noo de diagonal. Dobrando-se as duas partes do quadrado, pela diagonal, o aluno pode perceber que obtm dois tringulos. A partir do tringulo pode-se explorar a altura. Dobrando-se o tringulo pela altura, obtm-se dois outros tringulos.Trabalhando com Origami e KirigamiOrigami a tradicional arte oriental de obter figurasatravsdedobrasemumafolhade papel.Apalavra,emjapons,vemdafuso do verbo oru (dobrar) e da palavra kami (papel). De modo geral o Origami feito a partir de um papel em formato quadrado.JoKirigamiatradicionalarteorientalde obterfigurasatravsdecortesnopapelea palavra vem da fuso do verbo kiru (cortar, em japons) com a palavra kami (papel).Um dos tipos mais simples de kirigami so as conhecidassanfonasdebonecosdepapel, mas existem outros extremamente elaborados que so verdadeiras obras de arte.Kirigami.Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 38 2/4/2014 09:26:4339C ADE R NO 5G E O M E T R I AEm sala de aulaAo utilizar Origamis e Kirigamis nas aulas do ciclo de alfabetizao importante a utilizao de papis de folha sulfite ou especiais para dobradura, tendo em vista que estes no so muito finos, facilitando a manipulao pela criana. Alm disso, o professor pode contar uma histria ou relacionar a figura obtida a cada dobra com algo, para que a criana se lembre de cada etapa e sua ordem. Para isso, uma boa fonte de inspirao o trabalho da Maria Helena Costa Valente Aschenbach.(ASCHEBACH; FAZENDA e ELIAS, 1996).Utilizando o OrigamiO trabalho com o Origami pode servir como disparador de atividades que envolvem a classificao de figuras planas, noes sobre simetria e ainda a lateralidade.Abaixo indicamos a dobradura de um avio de papel e as possibilidades de trabalho com a geometria em cada dobra:Esquema dadobraduraInstruesPossibilidades deEncaminhamentosDobrar a folha ao meio e juntar as pontas conforme a figuraAo dobrar a folha ao meio, pode-se dizer que tomamos um retngulo e o dobramos ao meio (conceito de metade). No entanto, depois de feita a dobra a figura continuou retangular.Depois dos tringulos feitos, deve-se dobr-los conforme a figuraA professora poder conversar sobre o tringulo formado e suas caractersticas que o diferenciam do retngulo.Deve-se repetir o procedimento anterior, juntando as figuras no centro.Dobra-se o pequeno triangulo, sobre o triangulo maior.Neste momento a professora pode auxiliar o aluno a perceber que, apesar de terem tamanhos diferentes, ambas as figuras com que iremos trabalhar so chamadas de tringulos.Ricardo Luiz EnzPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 39 2/4/2014 09:26:4440G E O M E T R I ADobra-se a folha conforme a figura.Novamente o conceito de metade pode ser trabalhado.Constri-se as asas de acordo com a figura.Pode-se observar as vrias figuras geomtricas que compem o avio, alm da observao de sua simetria.Quando desmontamos o origami, de modo geral os vincos das dobras apresentam simetria. Observe a dobradura do avio desmontada:Arquivo dos autoresRicardo Luiz EnzPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 40 2/4/2014 09:26:4641C ADE R NO 5G E O M E T R I AOs polgonos formados podem ser pintados pelas crianas de maneira a salientar a simetria:Utilizando o kirigamiPara que as crianas tenham um primeiro contato com a tesoura e assim possam desenvolversuacoordenaomotoraparaautilizaodesteinstrumentoa professoraprimeiramentepoderpediraelasquerecortemletrasefigurasem revistas velhas.Na sequncia, poder distribuir folhas com polgonos pontilhados a fim de trabalhar com a nomenclatura das figuras. Observe que, neste caso, h uma grande vantagem emrelaoaotrabalhocomoslivros,jqueascrianaspoderorotacionaras figuras e se concentrar nas caractersticas que as definem.Poderoentoconstruirdesenhoscomasformasrecortadascomoobjetivode observarem a composio e decomposio de figuras.Finalmente podemos passar para a atividade com o kirigami.Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 41 2/4/2014 09:26:4842G E O M E T R I A1)AtividadecomkirigamiCortarumafolhaA4pelametadeparaobter uma tira de papel longa. Dobr-la como uma sanfona. Desenhar um corao como no exemplo. Cortar o desenho, tomando o cuidado para no cortar nas dobras.Comessaatividadeoalunopodeexplorarnoodesimetria(cortaroretngulo pela metade, eixo de simetria, o aluno percebe que uma parte se sobrepe outra). A professora pode ainda fazer outras exploraes, perguntando:1. O desenho do corao aproximadamente simtrico?2. Se desenhar uma bonequinha no papel, o que acontecer?Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 42 2/4/2014 09:26:5243C ADE R NO 5G E O M E T R I AMATERIAIS VIRTUAIS PARAO ENSINO DA GEOMETRIAAndria Aparecida da Silva BritoA tecnologia est presente em toda a sociedade e tambm na escola. Para um uso adequado da informtica em sala de aula, no basta computadores e softwares educacionais, a alfabetizadora tem um papel fundamental neste trabalho, seja na seleodosprogramasaseremutilizados,sejanaelaboraoeadequaodas atividades.Ossoftwareseducacionaissoaquelesquetmporobjetivocontribuirpara oprocessodoensino-aprendizagemdedeterminadocontedo.Noentanto,um softwarequenofoicriadoobjetivandooensino,quandoutilizadoemsituao educacional,podeserconsideradoumsoftwareeducativo.Paraaescolhadeum software ou jogo para uso em sala de aula deve-se levar em considerao critrios tcnicos e pedaggicos.Os primeiros softwares educacionais possuam funo autodirigida, ou seja, eram programasinstrucionaisqueensinavamoalunoaaprender.Nomercadoexiste uma srie de softwares instrucionais, muitos deles caros e de qualidade duvidosa. Enfatizaremos o uso de softwares que so livres e gratuitos e, diferentemente dos softwaresinstrucionais,oalunoconstriconceitoscomasuautilizao,soos chamados softwares de autoria.Um destes o LOGO, conhecido como o programa da tartaruga, pode ser utilizado pelas crianas, pois os comandos para sua utilizao so de fcil compreenso. uma linguagem de programao que permite desenhar figuras geomtricas deslocando a tartaruga pela tela do computador. So utilizados comandos intuitivos, como por exemplo, para mover a tartaruga para frente PF, para mover para trs PT, para mover para a direita PD, e assim por diante.A construo de figuras geomtricas, como o quadrado e o retngulo, bem simples, pois envolve dois tipos de comandos: para frente (PF) e para a Direita (ou Esquerda) (PDouPE). Porexemplo, PF50significaqueatartarugaandar150 passos para frente. PD 90 significa que ela virar um ngulo de 90 para a direita. Veja, na pgina a seguir, os comandos para que a tartaruga faa um quadrado e um retngulo.A NLVM (National Library of Virtual Manipulatives) uma biblioteca on-line de materiais virtuais de contedo matemtico que disponibiliza alguns materiais com estrutura semelhante ao LOGO, mas ainda mais simples e que podem ser utilizados como atividades introdutrias a linguagem LOGO.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 43 2/4/2014 09:26:5244G E O M E T R I AQUADRADO RETNGULOPF 150 PF 100PD 90 PD 90PF 150 PF 160PD 90 PD 90PF 150 PF 100PD 90 PD 90PF 150 PF 160O Ladybug Leaf, Ladybug Mazes e Turtle Geometry, materiais virtuais disponveis nositeNLVM,endereoeletrnico,permitemresolver situaes-problemautilizandoumprogramadecomputadoredesenvolver conceitosgeomtricosdelocalizao,orientao,emovimentaodeobjetoem representaes grficas, o conceito de lateralidade, noes de ngulo, construo defigurasgeomtricasplanas,entreoutros.OLadybugLeaftemcomoobjetivo deslocaraJoaninhapelatelaatqueconsigacolocaroinsetosobafolha.O programa Ladybug Mazes objetiva deslocar a Joaninha no labirinto para atingir o ponto de chegada. O Turtle Geometry tem como objetivo deslocar a Tartaruga pela tela para desenhar figuras e resolver labirintos.Figura Ladybug Leaf. Figura Ladybug Mazes. Figura Turtle Geometry.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 44 2/4/2014 09:26:5345C ADE R NO 5G E O M E T R I AAlm destes programas h inmeros sites com jogos e atividades online. O jogo DAQUI PRA L, DE L PRA C est disponvel no site da Revista Escola, endereo eletrnico,. Esse jogo trabalha as noes de lateralidade, de localizao e de movimentao. Para jogar utilizamos os comandos de deslocamento, andar para frente e virar (45 ou90)direitaouesquerdaparasemoverpelacidadeandandopelasruase pontes at chegar ao local indicado, completando o trajeto.Ao trabalhar com a informtica no ciclo de alfabetizao, devemos ter cuidado para que sua utilizao no seja entendida como um mero passatempo. Para isso, a seleo dos softwares e o planejamento da aula so fundamentais para que a criana consiga fazer as relaes entre a situao vivenciada na sala de aula e os conceitos que est aprendendo e o que est fazendo no laboratrio de informtica.Ricardo Luiz EnzPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 45 2/4/2014 09:26:5446G E O M E T R I ALOCALIZAO E MOVIMENTAO NO ESPAOAntonio Vicente Marafioti GarnicaMaria Ednia Martins-SalandimOestudocurriculardaOrientaoeocupaodoespaoestpresenteem diferentes disciplinas como a Matemtica, a Geografia, a Histria, as Artes etc. Na rea da Matemtica, no ciclo de alfabetizao, este contedo parte da Geometria.Noentanto,aescola,muitasvezes,ignoraossentidos,oprpriocorpoeas experincias dos estudantes em relao ao espao, reduzindo o estudo da geometria a figuras planas. Vale a pena destacar a importncia de explorar os conhecimentos sobre ocupao do espao que as crianas trazem. Qual vocabulrio usam? Quais esquemas de representao possuem? Que noes de lateralidade elas tm? Estes cuidados iniciais so importantes, tanto porque muitas das crianas no passaram pela Educao Infantil, quanto porque podem possuir experincias relativas ao espao que fogem ao que costuma ser privilegiado nas aulas de Matemtica. Os estudantes, ainda que crianas, podem possuir experincias diversificadas em relao regio em que vivem, ou mesmo em relao a locais em que podem ter vivido ou dos quais podem ter ouvido falar (como outros espaos do campo ou cidades), uma experincia apartirdasquaisadquiriramdiferentesmodosdeexpressarsuasrelaescomo espao. Se pensarmos nas escolas do campo, por exemplo, precisamos considerar a diversidade de situaes, personagens e experincias, pois o campo no algo uno, e sua configurao depende, por exemplo, da regio brasileira da qual ele faz parte e/oudosmodosdeproduodeumadeterminadaregio.Noquedizrespeitoa essa diversidade, sabemos que no campo podem atuar diferentes atores, como lavradores,meeiros,agricultores,criadores,extrativistas,pescadores,ribeirinhos, caiaras, quilombolas, seringueiros dentre outros.Quandodizemospartirdosconhecimentosprviosdosestudantesno significa que pretendemos ou devemos ultrapassar esses conhecimentos prvios por eles serem inferiores. A inteno ao usar-se essa estratgia promover possibilidades de articulao entre estes conhecimentos prvios e os conhecimentos escolares, de modo que todos os tipos de conhecimento se integrem ao currculo oficial, sejam eles advindos de alunos do campo ou da cidade. Lima e Monteiro (2009) abordam esse tema no contexto da Educao de Jovens e Adultos, mas ele tambm muito significativo para as prticas e estudos relativos ao ciclo de alfabetizao do Ensino Fundamental, seja no campo ou nas cidades.Discutir o espao considerando os valores e os elementos socioculturais dessa construo nos remete a uma perspectiva de conhecimento matemtico dinmico, construdo e vinculado asignificadosquesere-elaboramnodebateestabelecidoentreasdiversaspossibilidades desepens-lo.Assim,nobastaumdesenhodocaminhocomopontodepartidapara representaomaisprecisademapas/.../ApropostanoensinaraGeometriaapartir PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 46 2/4/2014 09:26:5447C ADE R NO 5G E O M E T R I Ade noes prvias que se caracterizam por representaes simples e por esboos, os quais tendem a evoluir e a ser mais precisos (corretos), mas sim, discutir os conceitos presentes nessasprticascotidianaseproblematizadasemsuacomplexidade.(LIMAeMONTEIRO, 2009, p. 26)Almdisso,importantesalientarqueosDireitosdeAprendizagemdarea de Geografia tambm preconizam, desde o primeiro ano, os trabalhos envolvendo leitura,interpretaoeconstruodemapassimples.Trata-seportanto,deuma oportunidadeparaumtrabalhointerdisciplinar,emqueageometriaassumeum importante papel.Tendoemvistaessasconsideraes,emseguidaserodiscutidasalgumas prticascartogrficas,discussodaqualdecorreotratamentodevriostemase conceitos essenciais nas salas de aula do Ensino Fundamental.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 47 2/4/2014 09:26:5448G E O M E T R I AOLivroPrimeirosMapas:como entendereConstruirdeMariaElena Similelliapresentaatividadesdefcil entendimentoeexecuoporparte dascrianas,almdeeficazesparaa compreensodosconceitosbsicosde orientao e representao cartogrfica. Os contedos so ilustrados com muitos recursosdefotografiasedesenhos etrazemencaminhamentosparaa construo de maquetes e mapas.ReproduoCARTOGRAFIASAntonio Vicente Marafioti GarnicaMaria Ednia Martins-SalandimOtemadestetpicoCARTOGRAFIA.Portanto,parainciodeconversa, importanteperguntarmosoquecartografia.Sebuscarmosnumdicionrio delnguaportuguesa,encontraremosquecartografiaumapalavracujos radicaissocarto(quevemdogregochartis,quesignificacartaoumapa,que so sinnimos) e grafia (que tambm vem do grego graphein, e significa escrita, traado,composio).Odicionriodefinecartografiacomoaarteouacincia de compor cartas geogrficas, ou seja, desenhar mapas. Com o passar do tempo, osignificadodecartografiaampliou-see,hoje,abrangenosaelaboraode mapas, mas tambm seu estudo. Os que trabalham com cartografia so chamados cartgrafos, e usualmente ns associamos essa prtica (de desenhar mapas) e seus praticantes (os cartgrafos) aos estudos sobre Geografia, como a prpria definio dodicionrioindica.Masdesenharmapaseusarmapascomorecursosdidticos podem ser estratgias para muitas outras disciplinas escolares, como, por exemplo, a Matemtica, a Lngua Portuguesa, a Histria, as Cincias Sociais, a Arte e, claro, a Geografia. Mesmo que nem todas essas disciplinas faam parte dos anos iniciais da escolarizao formal, muitas das ideias que so prprias a elas podem e devem serdiscutidascomosalunosdoensinofundamental.Esteotemadesteartigo: comoousodemapaspodeservirderecursodidticoparanossassalasdeaula, promovendo uma discusso ampla sobre vrios temas.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 48 2/4/2014 09:26:5549C ADE R NO 5G E O M E T R I AAfinal,paraqueserveummapa?Ummapapodetervriasfunes,masa principal delas localizar. Um mapa serve para que possamos nos localizar no espao emquetransitamos.Mas,paratransitarmosemumespaoquejconhecemos bemnoprecisamosdemapas,portanto,afunodeummapavaimuitoalm. Um mapa deve nos ajudar a conhecer e nos ajudar a decifrar um espao que desconhecemos mas que queremos conhecer.H diferentes tipos de mapa. H mapas hidrogrficos (ou cartas hidrogrficas, lembrando que um dos sinnimos de carta mapa), cartas celestes, cartas nuticas, mapas rodovirios, mapas tursticos, geomorfolgicos, etc. Um excelente exerccio buscar, junto com os alunos, o que representam cada um desses mapas. Ao longo deste texto, vrios tipos de mapas sero discutidos.Por exemplo, por conta do advento do Turismo Rural, muitas regies campesinas possuemmapastursticos,comopodemosobservarnomapaaseguirdaregio de Lomba Grande RS. Trazer mapas como estes pode ser a motivao para uma interessante discusso com as crianas.Mapa Turstico da Regio de Lomba Grande RS.Disponvel em: . Acesso em dezembro de 2013.Afiguradapginaseguinteumacartaceleste,umarepresentaodocu edecomoneleselocalizamoscorposcelestes(asestrelas,planetas,asterides, constelaes,etc.). Em particular esta carta representa o cu de Fortaleza na noite do dia 5 de setembro de 2013. No desejamos aqui que a criana tenha domnio ReproduoPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 49 2/4/2014 09:26:5650G E O M E T R I Asobre os elementos desta carta, mas, apenas que ela aos poucos possa perceber que precisamos, constantemente, fazer e ler representaes da realidade que nos cerca.Disponvel em: . Acesso em dezembro de 2013.Aoobservaroscus,osantigosdesconfiaram,emprincpio,quetodosos corpos celestes se moviam juntos, ao mesmo tempo. Um pouco mais de observao foinecessriaparaperceberemqueexistiam,sim,corposcelestesquesemoviam juntos, a uma mesma velocidade, mantendo entre eles uma mesma distncia. Mas haviaoutroscorposcelestesquepareciamsemoveremvelocidadesdiferentes. Dessas observaes surgiu uma primeira distino: de um lado, as estrelas, corpos celestes que se moviam todos juntos, ao mesmo tempo, numa mesma velocidade; e de outro lado, os planetas, corpos celestes que se moviam pelo cu em velocidades distintas. Mas essa era ainda uma diferenciao inicial, e foram necessrias muitas outras observaes, instrumentos mais refinados e estudos para que a Astronomia sedesenvolvesseechegasseaoestgioemqueseencontraatualmente.Note, entretanto, que, embora hoje essas primeiras observaes nos paream simples por serem iniciais elas foram essenciais para outras observaes e outras descobertas (isso implica que no devemos, de modo algum, pensar que as primeiras elaboraes sejam dos sbios da Antiguidade, sejam as nossas ou a dos nossos alunos so menos importantes que as elaboraes posteriores, ou que as conquistas dos antigos eram mais elementares, mais rudimentares, mais simples que as atuais).PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 50 2/4/2014 09:26:5951C ADE R NO 5G E O M E T R I ADesseexemplonspodemosconcluirqueummapa,qualquerquesejaele celeste,hidrogrfico,nutico,turstico,etc.feitoapartirdaobservao.No sculoXVIII,quandoasprofissesqueatualmenteconhecemosaindaestavam sendoinventadas,surgiuumprofissionalchamadodegegrafodepoltrona. Esse gegrafo era assim chamado por escrever tratados de Geografia e Cartografia semsairdoseuescritrio.Como,ento,umtalgegrafopoderiafalardepases distantes, de vales, de montanhas e cidades que no conhecia? Ele usava como fonte os relatos daqueles que haviam passado por esses pases, vales, montanhas e cidades (esses eram chamados viajantes, descobridores, exploradores, etc.). Ou seja, a cartografia depende, de algum modo, da observao, e tanto mais apurada a carta quanto mais ela um registro sincero resultante de uma observao. H registros que falsificam a realidade, defendendo interesses especficos, mas se partirmos do princpio de que um mapa serve para localizar alguma coisa (uma rua, um planeta, um rio, um teatro, etc.) importante que suas referncias sejam seguras e possam sercompreendidasporquemestiveraptoautiliz-lo.Sendoassim,importante frisar que a observao, de algum modo, direta ou indiretamente, est sempre na origem de um mapa.Isso tem implicaes para nossa prtica docente: devemos valorizar, em nossas salasdeaula,aobservaoeoregistrodessasobservaes.Nocasodocu,por exemplo,principalmentenocampo,nazonarural,ondehmaisespaossem iluminaoeltricaquenascidades,possvelobservarmelhorocuetentar,a partirdisso,registraralgumascaractersticasetentarargumentarsobreelas,para concluirmos se as observaes so vlidas ou no. Podemos problematizar com os alunos,porexemplo,porquecorposcelestessomaisvisveisnocampoquena cidade; por que no podemos julgar o tamanho dos astros apenas pela observao direta;porqueasestrelassovisveisnoiteenoduranteodia;deondevem aluminosidadedoscorposcelestes,etc.Umadasprticasmaissignificativas numa sala de aula a problematizao, ainda mais quando desestabiliza as ideias oriundas do senso comum e as substitui por ideias fundamentadas, argumentadas, justificadas, discutidas e compartilhadas. Problematizar e desestabilizar so funes do professor.J vimos que desenhar mapas pressupe observao. Observemos, ento, por exemplo,ummapahidrogrfico,ouseja,ummapaquepermitelocalizarriose bacias que cortam uma determinada regio. O mapa abaixo um mapa hidrogrfico dabaciadorioTiet,umrioquecortatodooestadodeSoPaulo.OTiettem quase 1500 km de extenso. Ele nasce na Serra do Mar (mais especificamente no municpiodeSalespolis,cujadistnciaatolitoralcercade20km),correem direo ao interior do estado e desgua no Rio Paran, na cidade de Trs Lagoas, no estado do Mato Grosso do Sul.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 51 2/4/2014 09:26:5952G E O M E T R I AApenascomasinformaessobreoslocaisdanascenteedodesaguamento, poderamosnosperguntarporque,nascendotoprximodomar,oTietno desguadiretamentenooceano,mas,aocontrrio,correportodooestadoat encontrar o rio Paran.Umoutromapaummapageomorfolgico(geo/morfo/lgico:estudoda forma da superfcie terrestre), que representa o relevo de uma determinada regio dessa mesma regio mostrar que o relevo acidentado da Serra do Mar impede queelecorradiretamenteparaooceano,obrigando-oarumarparaadireo contrria(sudeste-noroeste).Ouseja,aparentemente,orioTietparececorrer para cima e no, como se suporia, correr em direo ao mar. Esse um exemplo da problematizao que a cartografia permite, principalmente para as crianas do EnsinoFundamental,queestoformandosuaspercepes,comeandoaapurar seus sentidos, buscando justificativas e evidncias. Assim, dessa observao, surgem duas constataes importantes para nossa discusso sobre cartografia: cada mapa tem sua especificidade, pois impossvel representar tudo ao mesmo tempo (isso equivale ao que j foi dito anteriormente: h vrios tipos de mapa); mas todo mapa dasuperfcieterrestre(sejammapashidrogrficos,geomorfolgicos,rodovirios, Mapa hidrogrfico do Rio Tiet, no estado de So Paulo.Arquivo dos autoresPNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 52 2/4/2014 09:26:5953C ADE R NO 5G E O M E T R I Atursticos, etc.) representado de cima, como se sobrevossemos o espao mapeado. Esseomotivopeloqualdevemostrabalharcomosmapasnocho,evitandoa leitura dos mapas sempre pregados s paredes da sala de aula.Obviamente h variaes quanto as definies do que a Cartografia e do que soMapas.AlgunspesquisadoresdefinemCartografiadeummododistinto(no caso,umpoucomaisamplo)doqueusamosaqui.Paraalguns,porexemplo,a cartografiaaarteouacinciaquecuidaderepresentarasuperfcieterrestree, como sabemos, h distintas maneiras de representar essa superfcie. Por exemplo, h os globos terrestre (que, como os mapas, tambm servem para localizar pases, cidades, oceanos, rios, etc. e podem ser especficos em sua representao, indicando orarelevo,oraregies,orariosebaciashidrogrficas,etc.).Mas,deummodo geral, todos parecem concordar com uma diferenciao fundamental, por exemplo, entreumgloboterrestreeummapa:osmapassorepresentaesplanasda superfcie terrestre (ou seja, so como uma fotografia de uma determinada regio: representam no plano o que do espao). E certamente nem tudo que serve para localizarummapa,maspermitirquenoslocalizemos,queencontremosoque estamos procurando funo de todo mapa.Por exemplo, o cdigo de endereamento postal, o CEP, permite que um carteiro localizearegioemqueumadeterminadacartadeveserentregue,masumCEP no um mapa, um cdigo, ou seja, uma sequncia de indicaes (no caso, uma sequncianumrica)que,aoserinterpretada(oudecodificada)indicaumlugar. Oque,ento,diferenciaummapadeumcdigocomooCEP?Arespostano tosimplesassim,poisummapaumarepresentaogrfica,efotografias, organogramas,fluxogramas,cronogramas,desenhos,pinturasetabelas,por exemplo,tambmsorepresentaesgrficas(poistodasessascoisascompem imagens e fazem parte do mundo da comunicao visual) e a prpria escrita pode ser vista como um registro grfico. Mas para simplificarmos, poderamos dizer que um mapa um desenho (assim como os organogramas, fluxogramas, tabelas, etc. sodesenhosouapoiam-seemdesenhos,comlinhas,cores,legendas,etc.)que serveparalocalizar.EssadefiniosuficienteparadiferenciaromapadoCEP, ecertamentesersuficienteparaque,emnossassalasdeaula,nohajadvidas sobre o que um mapa e qual a diferena entre um mapa e um cronograma ou umfluxogramaouumnmerodeCEP,atporqueummapaalgomuitousual no cotidiano e, muitas vezes, o refinamento de uma noo (que sem refinamento algum j bastante clara, seja por intuio, seja pela familiaridade com que lidamos com essa noo em nosso dia a dia) s confunde e complica desnecessariamente. Mas se assim, por que comeamos essa discusso aqui? Porque a ideia dos cdigos comoocasodoCEPpossibilitaestratgiasdidticasfantsticasetantoos mapas(objetosdacartografia)quantooscdigosexigemumadecodificao(e, nisso, obviamente, mapas e cdigos se assemelham).PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 53 2/4/2014 09:26:5954G E O M E T R I ADecodificar significa interpretar, ler o que determinada mensagem (no caso, uma mensagemvisual,omapa)pretendesignificar.Todomapadeveserdecodificado, isto , para poder fazer sentido para quem o usa. Para nos auxiliar na decodificao, importante que o mapa tenha um ttulo, ou seja, que indique o que o mapa est representando(abaciahidrogrficadoTiet;asrodoviasdaregionordestedo Brasil; o relevo do Parque Nacional da Serra dos rgos, no Rio de Janeiro; as atraes tursticas de Veneza; a constelao de rion; os pases da frica ou da Europa, etc.), todo mapa deve ter uma legenda (que identifica os smbolos usados no mapa). Nos mapas profissionais esto ainda indicadas a escala (que indica a proporo entre a regio mapeada e a representao dessa regio no mapa) e a fonte (explicitando o nome do cartgrafo ou da instituio responsvel pela elaborao do mapa). Veja, por exemplo, o mapa abaixo. Nele esto claramente identificados o ttulo (Metr-SP, indicando que se trata do mapa da rede metroviria da cidade de So Paulo), a legenda (indicando as linhas e as caractersticas de algumas estaes e servios), e a fonte (a prpria Companhia do Metropolitano paulista).Mapa do Metr da cidade de So Paulo.Fonte: Companhia do Metropolitano de So Paulo.A noo de escala extremamente importante, e pode ser trabalhada a partir dos mapas. claro que no incio do Ensino Fundamental no se exige dos alunos clculos ou formalizaes em relao a esse conceito, mas a ideia de escala pode e deve ser trabalhada mesmo com crianas do incio da escolarizao. Por exemplo, nassalasdeauladoEnsinoFundamentalpodemostrabalharcomcomparaes (ao usarmos uma escala podemos comparar a reduo entre a regio mapeada e arepresentaodessaregionummapa),comredueseampliaesdefiguras simples, por exemplo. Usando os mapas podemos problematizar quais representaes permitem registros mais detalhados.PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 54 2/4/2014 09:27:0055C ADE R NO 5G E O M E T R I AVeja: um mapa com escala 1: 300.000 (um por trezentos mil) significa que cada unidade do mapa (digamos, 1 cm), representa trezentos mil centmetros (ou seja, 3 km) da regio real mapeada. Um mapa com escala 1: 300 (um por trezentos) significa que 1 unidade no mapa representa 300 unidades na regio mapeada (1 cm no mapa representaria 300 cm ou seja, 3 metros da regio real). Dizemos que a escala 1: 300.000 MENOR que a escala 1: 300, e, claro, quanto MENOR a escala MAIOR o nvel de detalhamento que ela permite na representao. Diminuir a escala, ento, como dar um zoom no que est sendo representado, como ver mais de perto a regio mapeada. Um mapa do Brasil na escala 1: 79.000.000 permite identificarmos nitidamente todos os estados, mas mesmo as maiores cidades seriam pontos muito pequenos nessa representao. Numa escala 1: 29.000.000, por exemplo, no mapa que representa os estados do Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Gois, j poderamos representar com maior nitidez as principais cidades dessa regio mapeada.Masnotequeaescalanummapatrabalhasemprecommedidaslineares,ou seja, medidas de comprimento (num mapa com escala 1: 1500, por exemplo, um caminho de 1500 metros (1,5 km) estaria representado por um trao de 1 metro) e no com medidas de rea.A discusso sobre escala que fizemos at agora, entretanto, importante para que voc, professor, se familiarize um pouco mais com a noo de escala, mas no possvel levar essa discusso, como ela est sendo feita aqui, para sua sala de aula doEnsinoFundamental.Mas,comojdissemos,essasnoestodaspodemser trabalhadas em situaes mais simples. Veja, por exemplo, o exerccio de ampliao indicado pelas figuras abaixo.Imaginequepretendamosampliarotringulodadonafiguramenoracima, ondecadaquadradinhotem0.5cmdelado.Nafiguramaior,cadaquadradinho tem 1 cm de lado. A figura menor um tringulo retngulo cujos catetos medem 1.5 cm e 2 cm. A ampliao (figura maior) um tringulo retngulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm, ou seja, como se cada lado do tringulo fosse esticado namesmaproporo,ouseja,cadaunidadedotringulomenorequivaleaduas PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 55 2/4/2014 09:27:0056G E O M E T R I Aunidadesdotringulomaior(trata-se,portanto,deumaampliaoLINEAR),pois os lados do tringulo foram aumentados numa escala de 1: 2. Mas note que a rea do tringulo menor 1,5 cm2, e a rea do tringulo maior 6 cm2. claro que a rea do tringulo da figura menor menor que a rea do tringulo da maior, mas aocontrriodoqueocorreucomoslados,areanofoiduplicada.Exerccios assim podem ser levados sala de aula para nortear uma discusso mais intuitiva quetcnica.Ascrianasgostamdereduzireampliarfiguras(comopersonagens dehistriasemquadrinhos,super-heris,animais,etc.)ecabeavoc,professor, aproveitar isso para problematizar noes como aumentar, diminuir, dobrar, dividir ao meio, etc., isto , promover uma atividade que motive comparaes.Ummododevermosavariaodeescaladinamicamente,porexemplo, acessando uma determinada regio no Google Maps. O Google Maps um aplicativo gratuitoquepermiteoacessoamapasdosmaisdiversosespaosgeogrficos. NoGoogleMapspossvelacessarmosmapascartogrficosusuaiseregistrosde satlites.OsGPS(siglaeminglsparaGlobalPositioningSistem,ouSistemade Posicionamento Global, em portugus) um sistema de navegao por satlite que permite detectar a posio de um alvo (ou seja, o aparelho que chamamos de GPS) em movimento num determinado espao. Os aparelhos GPS hoje so muito comuns emcarroseemoutrosaplicativoscomotelefonescelulares,porexemplo,eeles podemserlevadossaladeaula,poispermitemexperinciascomescalaeso, obviamente, exemplos da planificao do globo terrestre (no caso, alm da escala e da planificao, o GPS agrega dinamicidade, movimento, ao mapa). importante que a criana construa mapas; mapas de diferentes regies, com diferentes propostas, em escalas distintas. importante, tambm, que ela crie smbolos especficos para usar nas legendas que deem sentido ao que est representado no mapa. necessrio ressaltar que, embora faamos a defesa de que se deve aproximar a escola do cotidiano das crianas, isto no significa que devamos nos restringir a esteespaoetempo.Destamaneira,aosetrabalharcomescolasdocampo,por exemplo, no defendemos que apenas os mapas relativos ao mundo campesino deva ser temas dessas atividades. Essa observao tem vrias justificativas, uma delas diz queprecisoreconhecerque,naatualidade,adistinoentreomundoruraleo mundo urbano est cada vez menos ntida. Os meios de comunicao, os sistemas de transporte e o avano das fronteiras urbanas tornam cada vez mais indistinta essa diferenciao entre campo e cidade, ainda que algumas particularidades continuem caracterizando cada uma dessas realidades socioculturais e econmicas.Assim, nas escolas do campo, as crianas devem ser incentivadas a criar mapas, como de sua escola, de sua sala de aula, do terreno de sua casa, da comunidade ruralemquevivem,deseumunicpio,etc.Devemteraoportunidadedeavaliar mapasdeoutrasescolas,decidadesedesituaesquenolhessofamiliares (como mapas de museus, de sistemas de transportes, mapas tursticos de cidades prximas ou distantes, etc.), da mesma maneira que escolas da cidade devem ter aoportunidadedecriarmapasdecentrosurbanosquelhessofamiliares,bem PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 56 2/4/2014 09:27:0057C ADE R NO 5G E O M E T R I Acomo, de comunidades da zona rural. O professor, por sua vez, deve estar atento para problematizar esses mapas, orientando as crianas a perceberem os aspectos essenciaisvinculadosatividadedecartografar.Aocriarseusmapas,ascrianas podem perceber que os pontos de referncia usados para os mapas urbanos podem ser distintos daqueles usados nos mapas da zona rural. Ao criar um mapa do quintal desuacasa,umasequnciademapaspodemsurgir:ummapageral,situandoa casa e o quintal; um mapa mais particular, situando a horta, o pomar ou o jardim easdiferentesespciesdeplantasexistentes;ummapadacomunidadeemque estejadestacadasuacasa,suaescola,aigreja,etc.Usandoparaissosmbolos especficos que integraro a legenda do mapa. importante que o professor, por exemplo, disponibilize em sua sala de aula um mapa do municpio, indicando nele acomunidadedocampoqualseusalunosestovinculados.Esseconjuntode mapas pode constituir uma mapoteca e esta permitir ao professor, por exemplo: problematizar as noes de escala; discutir as diferenas entre a representao (o mapa) e o representado (os espaos mapeados); considerar as relevncias que cada cartgrafo define quando cria sua representao (o que ele registra, o que ele deixa de registrar); lembrar que toda representao cartogrfica deve ser compreensvel e til para o usurio, cabendo ao cartgrafo esforar-se para criar e disponibilizar os parmetros bsicos para que essa compreenso e utilidade se efetivem; destacar os pontos de referncia de cada mapa; ressaltar que todo mapa pressupe um espao maior que contm o espao mapeado: a sala de aula est na escola, a escola na comunidade, a comunidade no municpio, o municpio est no estado, o estado no pas, o pas no mundo. Finalmente, importante lembrar que todo mapa distorce a realidade que ele representa.Fonte: . Acesso em dezembro de 2013.Mapa-mndi (planificao do globo terrestre, indicando o Equador, os paralelos e os meridianos).PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 57 2/4/2014 09:27:0158G E O M E T R I AUmmapa-mndinotemfunoalgumasepretendemosencontraruma determinadarua,numadeterminadacidadee,domesmomodo,ummapa hidrogrfico no nos o mais til quando queremos chegar de carro a uma cidade ouumaatraoturstica(paraessescasosseriammelhorummaparodovirioe ummapaturstico,respectivamente).Mapasmaisespecializadosrepresentamum nico elemento ou um conjunto bastante limitado de elementos (ou seja, um mapa geomorfolgico,porexemplo,representaasmontanhas,osvales,asplancies, osriosquecorrememmeioaesserelevo,masnorepresentamemdetalheas cidades como faria, por exemplo, um mapa turstico , nem cuidam de nomear detalhadamente todos os afluentes de um rio como faria um mapa hidrogrfico).No ciclo de alfabetizao as crianas podem trabalhar na construo e leitura demapaseesquemassimples.Paraissopodemsevalerdeatividadesldicas como a brincadeira de caa ao tesouro. A professora Analice Cordeiro dos Santos VictorapresentaumadestasatividadesnoPortaldoProfessordoMEC(http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=23825).Primeiramente ela divide a turma em dois grupos e entrega s crianas as pistas separadas em cartes:PISTAS DO GRUPO 11.V AT A PORTA DA SALA, VIRE ESQUERDA. ANTES DE CHEGAR PORTA QUE D PARA O CARACOL, VOC ENCONTRAR A PRXIMA PISTA.2.ENTRE NO CARACOL E FIQUE DE FRENTE PARA O PAINEL. ANDE DE LADO PARA A DIREITA E A PRXIMA PISTA IR ENCONTRAR.3.VATOMEIODAQUADRAECAMINHEEMDIREOAOPALCO. CAMINHANDO A DIREITA DO PALCO OUTRA PISTA VAI ENCONTRAR.4.D 3 OU 4 PASSOS BEM LARGOS EM DIREO A LAVANDERIA E MAIS UMA PISTA ENCONTRAR.5.CAMINHANDO EM DIREO AO PALCO O TESOURO VAI ENCONTRAR.Depois das crianas encontrarem o tesouro (que pode ser um ba confeccionado pela professora ou pelos prprios alunos), elas devero elaborar um mapa. Concluda PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 58 2/4/2014 09:27:0159C ADE R NO 5G E O M E T R I AMAPA 1MAPA 2Arquivo dos autoresAdiscussosobreoquerepresentacadadesenho,permeadapelos questionamento das outras crianas e da professora, vai, aos poucos, desenvolvendo a habilidade de leitura e representao de mapas. Alm disso, as crianas acabam sendo solicitadas a utilizar termos como esquerda de direita de, etc. noes relativas a lateralidade, assunto a ser aprofundado no prximo texto.a atividade devero explicar o esquema que desenharam. Abaixo esto representados dois destes esquemas realizados por crianas de 5 anos:PNAIC_MAT_Caderno 5_pg001-096.indd 59 2/4/2014 09:27:0160G E O M E T R I AA LATERALIDADE E OS MODOSDE VER E REPRESENTARAntonio Vicente Marafioti GarnicaMaria Ednia Martins-SalandimAsnoesdelateralidadeeorientaonoespao,geralmenteformam-sea partir do prprio corpo, e ainda na infncia, a partir dos sentidos e movimentos em um espao perceptivo e familiar criana.Aindanainfnciaenecessrioquesejaassimdefine-separaacriana umapredominncialateral,manifestando-senautilizaomaisintensaegilde membros do lado direito ou esquerdo do seu corpo chamada de lateralizao por alguns autores. Essas manifestaes ocorrem quando decidimos ou somos levados a decidir, por exemplo, com qual mo faremos algumas de nossas atividades mais corriqueiras,comopegarumacolher,escovarosdentes,segurarolpisetc,ou comqualpchutamosumabola.Noincio,noentanto,acriananotemum vocabulrio especfico para essas aes, elas so naturais, ou seja, desenvolvidas intuitivamente ou por observao, j que a criana est rodeada por pessoas que a todo o momento realizam atividades como as que ela prpria quer ou tem que realizar.Como,ento,desenvolverumvocabulrioqueaospoucosincorporetermos como esquerda, direita, atrs, para trs, de trs, frente, em frente, defrente,diante,adianteetc?Opontodepartidapodesernovamente,o prpriocorpodacriana.Paraalgunspesquisadores,nssomosonossocorpoe nossas relaes com o mundo (e essas relaes com o mundo so, de algum modo, sempremediadaspelacorporeidade).Mascomoensinarqual,porexemplo,a modireita?Quaisproblemasacarretamousofrequentedaafirmaodequea mo direita aquela com a qual se escreve, ou, ainda, que o lado da porta em queestumdeterminadoobjeto?Comodiscernirentreoqueestatrseoque est no fundo da sala se muitas vezes o que est atrs o que est ao fundo da sala?Precisamoscuidardostermoseexplicaesutilizados,pensandoatividades, brincadeiras,jogosquenoapenaspropiciemaosestudantesexperinciascomo uso de membros de seu corpo visando a incorporar, no ensino, os conceitos ligados lateralizao. preciso, alm disso, que essas experincias, esses comandos e as atividades sejam problematizados.Reconhecendosualateralizao(manifestaodaprefernciadeusodos membros direitos ou esquerdos para a realizao de certas tarefas), a criana pode evoluir dessa percepo que prpria, singular, restrita, ao conceito de lateralidade, ou seja, a compreender que sua esquerda coincide com a direita de quem est sua frente e olhando para ela; ou que