MATEMATIČKI FAKULTETBEOGRAD

SEMINARSKI RAD IZ METODIKE NASTAVE MATEMATIKE II

TEMA: VEKTORI I PRIMENA

Student: Ivana VučkovićProfesor: Zoran Lučić

BeogradMaj 2004.

Sadržaj:

1 Uvod 3

2 Vektor i skalar 4

3 Podela vektora prema prirodi fizičke veličine 6

4 Proizvod i količnik vektora i skalara 6

5 Jedinični vektor ili ort vektora 7

6 Vektor položaja ili radijus vektor 7

7 Sabiranje i oduzimanje vektora 8

8 Razlaganje vektora na komponente 8

9 Kolinearni i komplanarni vektori 9

10 Projekcija vektora 10

11 Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora 10

12 Linearna zavisnost 12

13 Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora 15

14 Vektorski ili spoljašnji proizvod dva vektora 17

15 Orjentacija površine i predstavljanje površine vektorom 19

16 Proizvod tri vektora 20

17 Literatura

2

1. Uvod

Holanđanin Simon stevin, po prvi put od svih naučnika, pominje vektore u svojim delima 1585. godine. On je preko usmerenih duži dao princip paralelograma sila. Mehanika, tj. Njen deo statika je prva nauka u kojoj je nastao vektor, a sila je predstavljala konkretni obrazac vektorske veličine. Razvojem mehanike fizičari su dolazili do novih otkrića I zaključaka, koji su sadržali odnose vektorskih veličina, odnosno svi zakoni mehanike su se odnosili na usmerene fizičke veličine (I u statici, kinetici I dinamici). Sto godina nakon Stevinovog dela, Njutn izlaže svoj drugi zakon gde dokazuje da su ubrzanje I sila uvek jednako usmereni. Jednom rečju fizičari I matematičari su pronašli mnogo važnih odnosa mežu vektorima I negovoreći o njima.Prve operacije sa vektorima predstavljao je elementarni geometriski metod, pomoću kojeg je vektor uziman kao celina I predstava jedne fizičke veličine. Ali to nije zadovoljavalo komplikovane zadatke mehanike I to naročito u prostornom prikazivanju.1637. Descartes uvodi koordinatni sistem. Nešto kasnije kad je uveden koordinatni sistem sa tri koordinate mnogo je bilo lakše računanje u prostoru pomoću istog. Time dobijamo novi metod računanja sa vektorskim veličinama, analitički metod. Ovaj metod je počeo uvoditi Parent 1700-te godine ali ga je u stvari razvio Klero tek 1731. godine. U svom delu “Recherches sur les courbes a double courbure”. Analitički metod vektorske veličine nije predstavljao niti nazivao vektorima, nego je vektor razlagao na tri komponente po koordinatnim osama u prostoru i smatrao ih skalarima, te je s njima računao kao sa običnim matematičkim funkcijama, primenjujući na njih obične zakone algebre i analize beskonačno malih veličina.U XVII i XVIII veku Deskartesov sistem je postao univerzalan pa su ga koristili i veliki matematičari tog doba. Analitički metod u tom dobu dostiže kulminaciju baš u delu Lagranžea “Analitička mehanika”, koja je objavljena 1788. godine u Parizu. U ovom delu nema crteža, nego je sve svedeno na matematičke algebarske operacije, pa su geometriske kao i mehaničke veličine podvrgnute algebarskom računu analitičkim metodom (za svaku geometrisku veličinu koja je postavljala neku fizičku veličinu, uzima se po tri broja koji predstavljaju komponente na koordinatnim osama). Mnogi naučnici su te geometriske veličine, dakle i vektorske veličine, posmatrali u celini. Posmatrali su ih izolovano, pa i pored svojih vanrednih genijalnosti nisu uspeli dati prost, jasan i pristupačan metod operisanja sa tim veličinama.I pored pozitivnih strana analitičkog metoda, istina je da vektorska veličina, koju taj metod razlaže na tri komponente, predstavlja neku fizičku veličinu u celini i kao celina, tj. analitički metod je rastavlja pa te delove analizira bez veze sa celinom; ne vodi računa o fizičkoj stvarnosti koju vektor odražava i prikazuje. Vektor kao konkretno jedinstvo brojne veličine, pravca i smera u analitičkom metodu izgubi svoje kvalitete i razlaže se na svoje delove, koji su drugačijeg karaktera, nego što je sam vektor, a da se i ne govori o fizičkoj stvarnosti.Znači, kod analitičkog metoda se umesto jednog broja upotrebljavaju tri, pa je vrlo velik broj analitičkih jednačina a često je i složenost veća pod uticajem izabranog koordinatnog sistema.Razvojem fizike i mehanike u drugoj polovini 19-tog veka ponovo se prišlo posmatranju. To je opet upotreba ranijeg geometriskog metoda ali ipak na višem

3

stepenu. Uzimajući vektor kao celinu stvori se novi aparat kako za obeležavanje, tako i za proučavanje i prikazivanje. Pronađeni su i novi metodi vektorske algebre, analize i uopšte teorija vektora.Prvi radovi iz teorije vektora:

1. “Učenje o liniskom istezanju” Herman Grasman (1844)2. “Lekcije o kvaternionima” Vilia Roman Hamilton (1853)

Ova dela nisu bila odmah širom prihvaćena jer su bila matematički vrlo komplikovana i teško dostupna. Ali i pored toga dati su izvesni pojmovi i operacije iz vektorskog načina. Hamilton je dao pojam polja i nekih diferencijalnih operacija u polju. Do proizvoda vektora Hamilton je došao 1843. a Grasman nezavisno od njega 1844. godine.Tek u drugoj polovini 19-tog veka je razgrađena teorija vektora. Tada se pojavljuje plejada fizičara koji razvijaju vektorski račun, kao što su: James Maxwell (“Traktat o elektricitetu i magnetizmu”), John Willard Gibbs, Heaveside, Abraham i u XX veku Max Planck. Fizičar Gibbs je uglavnom dao i formu vektorskog računa još 1881. godine.Savremena fizika je usvojila vektorski račun u svim važnim oblastima. Ali...ipak postoje još neka pitanja iz oblasti matematičke fizike isl. Gde se vektori tek počinju primenjivati. Danas, elektrodinamika, hidromehanika itd. se jednostavno ne mogu zamisliti bez vektora. Neosporno je to da simbolika u teoriji vektora ne osvaja na blizinu i zbog vraćanja na komponente prilikom definitivnog izračunavanja i rešavanja pojedinih zadataka i pitanja.Opet svaki prigovor se obara prirodnošću, praktičnošću i kratkoćom, čak i elegantnošću vektora. Zato teorija vektora predstavlja najelegantniji metod u fizici. Savremenici ih jednostavno moraju znati.

2.Vektor i skalar

Poznato je da se neke fizičke veličine mogu prikazivati jednim brojem. Ogovarajući brojevi određenih jedinica ne zahtevaju nove dopunske komponente za karakterisanje veličine koju prikazuju. Te veličine koje se mogu prikazivati jednim brojem nazivaju se skalarne veličine ili skalari. Broj koji tu veličinu kvantitativno prikazuje naziva se brojna vrednost skalarne veličine. Brojevi moraju biti realni, a mogu biti pozitivni i negativni. Zato se obična algebra može smatrati kao skalarna algebra.Prirodno, skalari potiču iz fizike, ali oni su i fizičke i matematičke veličine. Priroda skalarnih fizičkih veličina ne iscrpljuje se jednim brojem koji predstavlja njenu vrednost, tj. njena brojna vrednost nije njena jedina karakteristika. Na primer masa; jedna njena karakteristika je odgovarajući broj jedinica ali ona je i mera za inerciju tela. Skalarne veličine se označavaju običnim slovima kao t (vreme), m (masa), V (zapremina) itd.Vrlo su važne veličine koje se ne mogu baš najbolje prikazati jednim brojem. Ako uzmemo, na primer silu. Na neko telo može delovati manja ili veća sila pa to predstavlja intezitet. Odmah se postavlja pitanje u kom pravcu deluje ta sila, ali i pravac ima dva smera, što znači...Ovakve veličine su orjentisane i nazivaju se vektorske velićine ili vektori.

4

Znači karakteristike vektora su;1. intezitet (jačina)2. pravac3. smer.

Intezitet vektora se može nazvati i dužinom vektora, veličinom vektora, mernim brojem vektoraitd. Ali intezitet nije ništa drugo nego apsolutna vrednost vektora.Za vektorske veličine važi slično kao i za skalarne veličine (da imaju različita svojstva prema svojoj prirodi) pa se ne može reći da ih navedena tri svojstva vektora potpuno karakterišu. Ali, za kvantitativno fizičko prikazivanje, ispostavlja se da su ta tri elementa vektora vrlo efikasni, pa je utoliko veća i njihova važnost, ako i vektora uopšte.Vektor se predstavlja usmerenom duži, a dužina duži predstavlja veličinu vektora. Vektor ima početnu tačku ili početak i naravno krajnju tačku ili kraj. Smer vektora označava se strelicom na kraju duži.

A-početak vektora; B-krajnja tačka vektora Vektori se obeležavaju malim slovima latinice sa strelicom iznad ( ) ili velikim slovima latinice sa strelicama ( ).Brojna vrednost vektora ili modul vektora označavamo istim slivom kao i vektor, ali bez strelice, npr. Modul vektora označavamo sa | |.Apsolutna vrednost (intezitet) vektora je skalarna veličina koja ne može biti negativna.Dva vektora su međusobno jednaka ako su jednaki njihovi inteziteti (apsolutne vrednosti), ako su istog pravca i istog smera.

ako su sve tri karakteristike vektora jednake. Dva jednaka vektora ne moraju biti prestavljeni jednom istom usmerenom duži već to mogu biti i paralelne duži.

Ako je vektor nepokretan, onda se vektor , koji mu je jednak, može paralelnim pomeranjem poklopiti sa vektorom tj. Tačke A i C će se pokolopiti, kao početne i tačke B i D kao završne.

Nulti vektor je onaj vektor čija je dužina jednaka nuli.

Početak i kraj nulti vektora se nalaze u jednoj tački. Svi nulti vektori su međusobno jednaki. Oni mogu biti bez pravca pa se predstavljaju kao geometriska tačka. Ali, ako

5

nulti vektor predstavlja limes vektora konačne dužine koja opada prema nuli onda se smatra da nulti vektor uzima pravac tog vektora. Nulti vektor se smatra bez orjentacije i to tako da se obični vektor ne menja sabiranjem sa nultim vektorom, a proizvod običnog i nultog vektora je jednak nuli.

3.Podela vektora prema prirodi fizičke veličine

Početak vektora posmatran kao “napadna” tačka vektora može biti proizvoljno uzet, a može biti određen u izvesnom domenu ili potpino u čitavom prostoru pa prema tome vektori se dele na:I SLOBODNI VEKTORI – kod ovog vektora napadna tačka se može proizvoljno izabrati u prostoru pri čemu modul, pravac i smer vektora ostaju nepromenjeni. Slobodni vektor se može paralelno pomerati, a da ne dođe do ikakve promene. Kao primer slobodnog vektora uzimamo brzinu translatornog kretanja tela. Svaka tačka tela ima istu brzinu pri translatornom kretanju pa zato možemo odabrati bilo koju za napadnu tačku našeg slobodnog vektora.II LINISKI VEKTORI – kod ovog vektora se početna tačka može pomerati po liniji koja se poklapa sa pravcem vektora. Primer klizećeg vektora je vektor sile koja deluje na čvrsto telo. Pomeranje napadne tačke sile duž prave koja se poklapa sa pravcem sile ne remeti prvobitno kretanje.III VEZANI VEKTORI – ovom vektoru određena je početna tačka pa se on ne može pomerati, jer će u različitim tačkama biti drugačiji. Primer vezanog vektora je vektor polja gde je u svakoj tački polja različiti vektor kao predstavnik fizičke veličine u dotičnom polju.

4. Proizvod i količnik vektora i skalara

Proizvod vektora i skalara je vektor istog pravca i onoliko puta veće apsolutne vrednosti koliko taj skalar ima jedinica. Istog smera ako je skalar pozitivan, a suprotnog ako je negativan. To znači da je proizvod vektora i skalara k novi vektor

, koji ima isti pavac kao i vektor i isti smer ako je k>0, a suprotan smer ako je k<0.

Apsolutna vrednost vektora je: Ako je k=1, onda je , a to znači da su jednaki vektori paralelni i istog smera. Ako je k=-1, onda je pa se za takva dva vektora kaže da su međusobno suprotni, a

samim tim znači da su paralelni (da imaju iste brojne vrednosti) ali su suprotnog smera. Takvi vektori se nazivaju antiparalelni.

Iz ovoga sledi: k,m – skalarne veličine

6

Vektor se može dobiti ako se vektor podeli skalarom k .

Kao količnik dobija se vektor istog pravca kao i prvobitni vektor, a apsolutne veličine onoliko puta manje koliko jedinica ima ta skalarna veličina. Novi vektor ima isti smer kao i prvobitni ako je skalar pozitivan, a suprotan smer ako je negativan. Uopšte, ako se neki vektor podeli skalarnom veličinom dobija se vektor, a ako se taj vektor označi sa njegova apsolutna vrednost biće:

5. Jedinični vektor ili ort vektora

Vektor čija je apsolutna vrednost jednaka jedinici naziva se jedinični vektor. Svaki vektor se može prikazati kao proizvod svojeg inteziteta i jediničnog vektora koji je orentisan kao taj dati vektor.Jedinični vektor koji ima isti pravac i smer kao dati vektor naziva se jedinični vektor ili ort datog vektora.Jedinični vektor se obično označava isto kao i njegov vektor ali sa indeksom nula.

Svaki vektor je jednak proizvodu svoje apsolutne vrednosti i svoga orta, a ort jednog vektora jednak je količniku tog vektora i apsolutne vrednosti istog vektora.

6. Vektor položaja ili radijus vektor

Položaj neke tačke se određuje vektorom,a usvojeno je da to bude vektor položaja ili radijus vektor. Usvojeno je i to da se vektor položaja neke tačke završava u toj tački, odnosno da je orjentisan ka toj tački. Ort vektora položaja se označava kao .

7. Sabiranje i oduzimanje vektora

Imamo vektor i vektor . Zbir ta dva vektora se dobija kada na vrh vektora stavi početak vektora koji se paralelno samom sebi prenese. Zbir je takođe

7

vektor koji počinje u početku vektora , a završava se na završetku tako prenesenog vektora . Pravilo sabiranja vektora poznato je u fizici kod paralelograma sila.

Zbir tri vektora nalazi se kada se sa vektorom sabere vektor , pa sa tim zbirom sabere vektor ili kada se na taj nanese , a na kraj nanese , a zbir ova tri vektora je vektor koji polazi iz početka vektora , a završava se u završetku vektora . To znači da za sabiranje vektora važi pravilo poligona koje važi i za proizvoljan broj vektora. Za zbir vektora važe sledeća svojstva :1. komutativnost 2. asocijativnost 3. distributivnost

Oduzimanje vektora vrši se na taj način što se razlika dva vektora dobija kao zbir prvog vektora i vektora koji je suprotan drugom vektoru, odnosno .

8. Razlaganje vektora na komponente

Iz pravila o sabiranju vektora proizilazi da se jedan vektor prema potrebi može razložiti na dva ili više vektora tako da dati vektor bude njihov vektorski zbir. Vektori na koje se dati vektor razlaže nazivaju se komponente vektora.Pravci komponenata mahom zavise od prirode i zahteva problema koji se tretira. U fizici se vektori ( sile, brzine...) razlažu uglavnom na dve ili tri komponente. Ali, ogromna većina problema zahteva razlaganje na dve komponente u ravni, i to skoro redovno na dve komponente koje su međusobno normalne.Uzmimo, npr, kosi hitac. Za nalaženje potrebnih veličina odmah se na početku razlaže brzina, kojom se telo baci, na dve komponente i to na jednu horizontalnu i drugu vertikalnu.

8

Ako se neki vektor može razložiti na dve komponente, onda važi relacija :

Na isti način se može izraziti i veći broj komponenata vektora ,

____________

ako je , onda i i .

9. Kolinearni i komplanarni vektori

Dva vektora su kolinearna kada su paralelna jednoj pravoj ili se nalaze na jednoj pravoj. Znači, kolinearni vektori mogu biti vektori različite brojne vrednosti i smera, a glavno je samo da budu paralelni. Pošto je proizvod vektora i skalara takođe vektor onda kažemo da je vektor kolinearan vektorom .Uslov kolinearnosti dva vektora može se prikazivati i ovako:

Tri ili više vektora su komplanarni kada su paralelni jednoj ravni ili se nalaze u jednoj ravni. Neka su data tri vektora , i u jednoj ravni. Onda je moguće vektor razložiti na dve komponente i koje su paralelne vektorima i .

9

10. Projekcija vektora

Poznato je da se projekcija neke tačke na datoj osi dobija kada se iz te tačke povuče normala na tu osu. Presečna tačka normale iz te tačke i ose biće projekcija tačke na osi. Kao projekcija vektora na nekoj osi uzima se rastojanje među pravama provučenim kroz krajnje tačke vektora normalno na datu osu.

Projekcija vektora na osi XX predstavljena je sa . Veličina te projekcije je rastojanje među dvema navedenim pravama. Projekcija vektora na osi se smatra skalarnom veličinom, a projekcija vektora na pravoj vektorskom veličinom.Ako sa označimo ugao između

vektora i ose x onda će projekcija iznositi .

11. Proučavanje vektora u koordinatnom sistemu. Koordinate vektora

Neka su OX, OY i OZ tri uzajamno normalne orijentisane prave koje se seku u tački O. Orijentisane prave OX, OY i OZ se nazivaju koordinatne ose i to x-oca, y-osa , z-osa, a tačka O je koordinantni početak. Ovim elementima je određen Dekardov pravougli koordinantni sistem u prostoru.Dat je vektor u koordinantnom sistemu. Dati vektor možemo razložiti na tri vektora duž koordinantnih osa.

Vektori, predstavljaju komponente vektora . Projekcije vektora na ose su algebarske veličine: To su koordinate vektora . Koordinantni ortovi i isto tako su ortovi ( jedinični vektori ) komponenata vektora , pa prema tome :

.Tako se vektor može napisati u obliku zbira njegovih komponenata koje su paralelne sa koordinantnim osama tj.

10

Po Pitagori , pa sledi .

1. Neka su dati i proizvoljni vektori. Tada je

i . Sabiranjem ova dva vektora dobijamo :

tj.

2.

3. - je suprotan vektoru pa sledi

4. tj.

12. Linearna zavisnost

Ako su vektori , a realni brojevi tada se izraz

naziva linearna kombinacija.a) ako je onda su vektori linearno nezavisni b) ako postoje realni brojevi koji nisu svi jednaki nuli, onda kažemo da

su vektori linearno zavisni tj. 1. Ne-nula vektori i su linearno zavisni ako i samo ako su kolinearni. 2. Ne-nula vektori , i su linearno zavisni ako i samo ako su međusobno

komplanarni.

11

Zadatak 1. Dati su vektori . Odrediti realan broj tako da vektori i budu kolinearni.Rešenje: uslov kolinearnosti :

Zadatak 2. Neka su vektori i proizvoljni. Dokazati da su vektori

linearno zavisni. Naći koeficijente te linearne nezavisnosti.Rešenje

Zadatak 3. Ako su četri tačke A,B,C i D komplanarne, pri čemu su tačke A,B,C nekolinearne, tada postoje takvi realni brojevi a,b,c da je gde je O proizvoljna tačka.Rešenje:

12

13. Skalarni ili unutrašnji proizvod vektora

Dato je telo koje se moše kretati po horizontalnoj podlozi. Ako na njega deluje drugo telo silom , onda je iz elementarne fizike poznato da se rad vrši samo ako se telo pomerilo za izvesno rastojanje. Uzmimo najpre slučaj da sila deluje paralelno podlozi i neka je taj određeni put s. Znamo da je pri tom izvesni rad A=Fs. Rad je prema svojoj prirodi

13

tipično skalarna veličina. Odmah se vidi da je ta skalarna veličina u ovom slučaju jadnaka proizvodu intenziteta vektora sile i vektora puta.

U opštem slučaju sila ne deluje baš u pravcu kretanja tela, nego sa tim pravcem zahvata neki ugao q.

Prema tome rad vrši samo ona komponenta tih sila koja je u pravcu kretanja tela. Zato se sila razlaže na komponente i . Prva je definisana kao pomeraj tela, a druga je

nmormalna na nju. Sila ne izaziva nikakvo pomeranje tela, pa ne vrši ni rad, tako da

aktivna sila koja vrši rad nije celokupna sila , nego samo njena komponenta .

Ovo je skalarani proizvod dva vektora.1. Skalarni ili unutrašnji proizvod dva vektora je proizvod apsolutne

vrednosti ( intenziteta ) jednog vektora i projekcije drugog vektora.2. Skalarni proizvod dva vektora je proizvod njihovih apsolutnih vrednosti

( intenziteta ) i kosinusa ugla između tih vektora.Taj proizvod je skalarna veličina pa se zato naziva skalarnim.Skalarni proizvod : vektor-tačka-vektor Iz ovoga se može videti da skalarni proizvod dva međusobno normalna vektora je jednak nuli.

1. komutativni zakon

2. distributivni zakon

Ovo se može proširiti i na proizvod vektorskih polinoma.

14

3. asocijativni zakon

Skalarni proizvod dva vektora u analitičkom obliku :

Zadatak 4. Naći ugao između vektora ako je .Rešenje:

Zadatak 5. Vektori i su uzajamno ortogonalni , a vektor gradi sa njima uglove od

. Ako je , naći:

a)

b)

c)

15

14. Vektorski ili spoljasnji proizvod dva vektora

Vektorski proizvod dva vektora i je vektor čiji je intezitet jednak povrsini paralelograma, čije su stranice dati vektori i koji je normalan na tu povrsinu, a takvog je smera da za posmatrača, koji stoji uz vektor rotacija najkraćim putem od vektora do

vektora bude pozitivna (suprotno smeru kazaljke na satu ).Vektori , i čine desni koordinatni sistem.Kao znak vektorskog mnozenja usvojeno je x.

Ako je q ugao između i , a ort vektora biće:

Apsolutna vrednost vektorskog proizvoda :

Promenom reda faktora ( ) menja se znak proizvoda tj. dobija se pa zbog toga se uzima: . To znači da za vektorski proitvod ne važi komutativni

zakon nego umesto njega važi antikomutativni ili alterativni zakon. Posmatranjem paralelograma stranice i zaključujemo da se vektorski proizvod ne menja kada se jednom faktoru doda vektor paralelan sa drugim faktorom.

Vrhovi su na pravoj koja je paralelna sa

Za vektorski proizvod vazi distributivni zakon:

Pri množenju vektorskog proizvoda skalarom važi asocijativni zakon:

Uslov paralelnosti vektora je: tj. ugao između njih je nula stepeni, što znači da su paralelni. Vektorski proizvod nekog vektora samim sobom je jednak nuli: . Uslov kolinearnosti vektora: .Kod vektorskog proizvoda ne postoji deljenje kao obrnuta operacija množenju. To znači da, ako se zna vektorski proizvod i jedan faktor, ne može se tek tako odrediti drugi faktor.Vektorski proizvod koordinatnih ortova: .

Vektorski proizvod dva vektora u analitičkom obliku

16

Data su dva vektora: i , onda je:

.

Ako označimo vidi se da su projekcije vektora na koordinatnim osama vezane sa projekcijama vektora – faktora sledećim relacijama:

Vektorski proizvod se može prikayati i determinantom:

a možemo koristiti i šemu:

Zadatak 6. Koji uslov treba da ispunjavaju vektori i da bi vektori bili kolinearni.Rešenje:

sledi, pošto su ova dva vektora kolinearna onda su i kolinearni.

Zadatak 7. Neka su ortovi koordinatnih osa dekartovog pravouglog koordinatnog sistema u prostoru.Izračunati:a)

b)

15. Orijentacija površine i predstavljanje površine vektorom

17

U raznim oblastima fizike i matematike obe strane jedne površi ne igraju istu ulogu. Poznato je da između struje i magnetnog polja jednog provodnika nije isti na obe strane površine strujnog kola. Pojavila se potreba za orijentaciju površine a to znači da se jedna strana površine usvoji kao pozitivna, druga kao negativna. Kada je površini dat smer cirkulacije onda je pozitivni smer normale, odnosno normalni ort te površine takav da posmatraču koji stoji uz normalni ort, cirkulacija teče u pozitivnom smeru ( pravilo desnog zavrtnja ). Strana površine prema normali naziva se pozitivnom stranom, a suprotna strana je negativna strana.

Konvencijalno je uzeto da se orijentisana površina predstavlja vektorom, koji ima brojnu vrednost jednaku brojnoj vrednosti te površine a smer vektora je smer pozitivne normale na površini ( pravilo desne šake ). Napadna ( početna ) tačka M tog vektora je bilo koja tačka te površine. Brojna vrednost te površine neka je S, onda je vektor koji predstavlja tu orijentisanu površinu :

gde je jedinični vektor vektora .

Kada se usvoji desni koordinatni sistem onda je pozitivna strana površine orijentisana tako da osobi koja bi išla po konturi u ravni u smeru orijentacije pozitivna strana površine u ravni ostaje stalno na levoj strani. Tu se radi o zatvorenoj ravnoj orijentisanoj površini.Kada bi se usvojio levi koordinantni sistem onda bi pozitivna strana površine bila ona strana koja je negativna. Kada se radi o orijentaciji površina nekog tela, onda treba da se zna da su površinski vektori orijentisani

u smeru izvan tela. Tako su spoljašnje strane ravnih površina poliedara pozitivne. Na primer, trostrana piramida :

iz jednog temena idu 3 vektora i to su ivice piramide, a ostale ivice predstavljaju razlike odgovarajućih vektora.

- glavno je da vektorski zbir stranica trougla bude jednak nuli- dvostruka površina DAB je predstavljena kao , DBC kao ,

DCA kao i ABC kao .

16. Proizvod tri vektora

Tri vektora se međusobno mogu množiti na osnovu skalarnog i vektorskog proizvoda tako da se dobija jedna od tri kombinacije proizvoda.1. Skalarni proizvod dva vektora se pomnoži trećim vektorom

18

2. Vektorski proizvod dva vektora se skalarno pomnoži trećim ( mešoviti proizvod )3. Vektorski proizvod dva vektora se vektorski pomnoži trećim ( dvostruki vektorski

proizvod )

1. Skalarni proizvod dva vektora je skalar. Proizvod tog skalara sa trećim vektorom je vektor kolinearan sa trećim vektorom. Ako imamo tri vektora onda je njihov proizvod :

Ovakvi proizvodi su različitog pravca i smera, pa je 2. Prema definiciji ovaj proizvod je . Vektorsko-skalarni proizvod je skalar ako se sluzimo desnim koordinatnim sistemom i ako uzmemo da vektori polaze iz iste tačke ali da nisu komplanarni onda:

- Vektorski proizvod brojno je jednak površini paralelograma ( stranica a i b) i predstavljen je vektorom ( koji je normalan na ravan vektora i .- gde je V zapremina paralelopipeda.-pošto ugao može biti i tup:Mešoviti proizvod tri vektora brojno je jednak zapremini paralelopipeda, čije su ivice dati vektori, sa pozitivnim znakom ispred ako je redosled vektora isti kao kod osa usvojenog

sistema, a sa negativnim ako je redosled obrnut.Cikličnom permutacijom tri vektora se ne menja njihov mešoviti proizvod:

, a svakom drugom permutacijom se menja znak proizvoda

kao na primer .Mešoviti proizvod vektora se ne menja kada se međusobno zamene znaci vektorskog i skalarnog množenja ali samo ako se ne menja redosled faktora: .Ako su u mešovitom proizvodu tri vektora dva vektora međusobno identična ili ako su data tri vektora komplanarna onda je taj proizvod jednak nuli.

su komplanarniMešoviti proizvod koordinatnih ortova je jednak jedinici: , a u obrnutom redosledu je:

Analitički oblik mešovitog proizvoda:

19

3. Prema definiciji ovaj proizvod je . Vektorsko-vektorski proizvod je vektor. On je

normalan i na vektor proizvoda i na vektor . To znači da se konačni vektor nalazi u ravni tj. on je komplanaran sa njima.

Iz uslova komplanarnosti se dobija: gde su k i m skalarni faktori. Ove

skalarne faktore nije lako odrediti pa se uvodi pomoćni vektor koji je u ravni sa i normalan je na vektor .Smer vektora tako da vektori budu redosleda desnog sistema. Množenjem se dobija:

Sa slike vidimo da je vektor usmeren po vektoru i :

zamenom se dobija

Da bi dobili m relaciju ćemo da napišemo u obliku odakle je . Napokon se dobija:

20

Vektorsko-vektorski proizvod tri vektora transformira se u razliku dva vektora, od kojih je prvi proizvod srednjih vektora i skalarnog proizvoda krajnjih vektora, a drugi proizvod drugog vektora iz zagrade i skalarnog proizvoda ostala dva vektora.Ciklična permutacija dovodi do tri potpuno različita vektora.

Promena mesta zagrade izaziva promenu:

Analitičko izvođenje-ako je onda je koordinata na x-osi

-ako dodamo identitet matematički sledi

- ako je matematički sledi

Zadatak 8. Vektori obrazuju desni triedar. Izračunati mešoviti proizvod ovih vektora ako je: a) i vektori su međusobno ortogonalni.

b) . Vektor je ortogonalan na i i ugao između i je 30 stepeni.

Zadatak 9. Izračunati zapreminu paralelopipeda koga određuju vektori:a) c)

b) d)

21

Literatura:1. Dr inž. Dragiša M. Ivanović

Vektorska analiza2. Jovan D. Kečkić

Matematika za III razred srednje škole3. Srđan Ognjanović, Živorad IvanovićZbirka rešenih zadataka za treći razred gimnazija i tehničkih škola

22