EXPANSIÓN POLINOMIAL EN SERIES DE TAYLOR

DEFINICIÓN

Sea f una función cuyas “n” derivadas existen en un intervalo I , y estas no tienen un tamaño

desmesurado; es decir, están acotadas:

( )nf x k x I

Entonces, se verifica que:

2 3( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ... ...

1! 2! 3! !

n nf a x a f a x a f a x a f a x af x f a

n

Donde: a I

Es decir, una función infinitamente derivable en un intervalo puede

representarse como un polinomio a partir de sus derivadas

evaluadas en un punto “ a ”* de dicho intervalo. De manera más

compacta:

0

( )( ) ( )

!

nn

n

x af x f a

n

Esta fórmula, presentada por el matemático inglés Brook Taylor

(1685-1731) en su Methodus Incrementorum Directa et Inversa

(1715); es conocida como la fórmula de Taylor.

Hacer una función equivalente a un polinomio de Taylor permite aproximar los valores mediante

operaciones más simples (productos y sumas), aplicar las propiedades de las sumatorias, aproximar

derivadas e integrales, entre otros.

*Cuando el punto escogido (“ a ”), para evaluar la función y sus derivadas, es 0; la serie toma el

nombre de Maclaurin; en honor a Colin Maclaurin (1698-1746) quien estudió este caso particular de

la series de Taylor.

Ejemplo 1. Calcúlese la serie de Taylor de ( ) xf x e

Empezamos derivando, tratando de obtener un patrón; lo que es fácil con esta función:

( ) , ( ) , ( ) ,..., ( )x x x n xf x e f x e f x e f x e

Entonces, de la fórmula:

2 3( ) ( ) ( ) ( )... ...

1! 2! 3! !

a a a a nx a e x a e x a e x a e x a

e en

Tomamos un punto (“ a ”), de fácil cálculo y con el que existan las derivadas; en este caso escogemos

a =0.

0 0 2 0 3 00

2 3

( 0) ( 0) ( 0) ( 0)... ...

1! 2! 3! !

1( ) ( ) ( ) ( )1 ... ...

1! 2! 3! !

nx

nx

e x e x e x e xe e

n

x x x xe

n

De tal modo la serie para ( ) xf x e , es:

2 3 4 5

1 ... ...1! 2! 3! 4! 5! !

nx x x x x x x

en

De forma más simple:

0 !

nx

n

xe

n

Es decir, evaluar ( ) xf x e resulta igual a evaluar el

polinomio infinito0 !

n

n

x

n

; por ejemplo:

1

0 0

1 1(1)

! !

n

n n

f en n

Desarrollando el polinomio hasta 5° grado:

1 1 1 1 11 2.716

1! 2! 3! 4! 5!e

Ejemplo 2. Calcúlese la serie de Taylor de ( ) ln( )f x x

Las derivadas: 1

2 3 4

1 1 1.2 2.3 ( 1) ( 1)!( ) , ( ) , ( ) ( ) ,..., ( )

nIV n

n

nf x f x f x f x f x

x x x x x

De la fórmula de Taylor:

2 3 1

2 3

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1) ( )ln( ) ln( ) ... ...

1 2 3

n n

n

x a x a x a x ax a

a a a a n

Resulta evidente que “ a ” no puede ser 0 (no admite una serie de Maclaurin) ya que no es derivable –

ni continua- en ese punto; por comodidad se toma a =1.

2 3 1

2 3

1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1)ln( ) ln(1) ... ...

1 1 1 2 1 3 1

n n

n

x x x xx

n

2 3 4 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)ln( ) ... ...

1 2 3 4 1

n nx x x x xx

n

Entonces:

1

0

( 1) ( 1)ln( )

( 1)

n n

n

xx

n

CONVERGENCIA

La aproximación con series de Taylor es mejor – para cualquier grado de desarrollo – mientras más

cerca esté el número del punto de prueba ( a ). Es decir, hay un intervalo de convergencia centrado

en “ a ”; con un radio de convergencia “ r ” (que pertenece al intervalo I ); para el cual la serie

converge.

Teorema

Sea 0

( )n

n

n

u x a

una serie cualquiera; entonces se cumple una de las condiciones:

→ La serie solo converge (es exacta) para “ a ”. ( r =0)

→ La serie converge para cualquier valor de “x”. ( r = )

→ La serie converge para un intervalo ( ;a r a r ); con 0r .

Ejemplo 3.

Usemos la serie hallada en el ejemplo 2; para aproximar ln(1.2) y ln(3) desarrollando el polinomio

hasta quinto grado:

2 3 4 5

2 3 4 5

(1.2 1) (1.2 1) (1.2 1) (1.2 1) (1.2 1)ln(1.2) 0.18233

1 2 3 4 5

(3 1) (3 1) (3 1) (3 1) (3 1)ln(3) 5.06667

1 2 3 4 5

Comparando con los valores reales

(redondeado a 5 decimales):

ln(1.2) 0.18232

ln(3) 1.09861

Se puede observar que la aproximación es

muy buena para ln(1.2), mas no para ln(3);

lo que se explica por la cercanía con el

punto de prueba ( a =1). Es evidente que 3

está fuera del intervalo de convergencia.

CÁLCULO DEL INTERVALO DE CONVERGENCIA: “PRUEBA DE LA RAZÓN” (CRITERIO DE D´ALEMBERT)

Supongamos una serie de Taylor: 0

( , ) ( )n

n

n

T f a u x a

, donde los nu son los coeficientes;

entonces, se justifica que los términos vayan haciéndose más pequeños (ya que el denominador

factorial se hace más grande), es decir, para cualquier n:

1

1( ) ( )n n

n nu x a u x a

La prueba de la razón consiste en evaluar el límite:

1

1( )lim 1

( )

n

n

nnn

u x a

u x a

Dado que:

1 11 1 1( ) ( )

lim lim ( ) lim 1( )( )

n nn n n

nnn n nn nn

u x a x a u ux a

x a u uu x a

Después de calcular el límite, resulta un intervalo en “x”.

Ejemplo 4. Calcular el intervalo de convergencia de

1

0

( 1) ( 1)ln( )

( 1)

n n

n

xx

n

1 2

1 1 21

11

1 1

( 1) ( 1)

( ) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1)lim lim lim

( 2)( 1) ( 1)( ) ( 1) ( 1)

( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)lim 1 lim 1

( 2) ( 2)

n n

n n nn

n nn n nn n nn

n n

x

u x a n x n

n xu x a x

n

x n nx

n n

Evaluando el límite:

( 1)1 lim 1 1 1 1 1 0 2

( 2)n

nx x x x

n

El intervalo de convergencia es exactamente: 0;2] . Y el radio de convergencia es 1.

Ejemplo 5. La serie de Maclaurin para la función seno es:

2 1

0

( 1) ( )( )

(2 1)!

n n

n

xsen x

n

; calcule el

intervalo de convergencia.

Usando la prueba de la razón:

1 2 3

1 1 2 31

2 12 1

1 22

( 1) ( )

( ) (2 3)! ( 1) ( ) (2 1)!lim lim lim

( 1) ( ) (2 3)!( ) ( 1) ( )

(2 1)!

( 1) ( ) 1lim lim 1

(2 2)(2 3) (2 2)(2 3)

n n

n n nn

n nn n nn n nn

n n

x

u x a n x n

x nu x a x

n

xx

n n n n

Calculando el límite:

2 (0) 1 0 1x

Lo que indica que la serie converge para todo x.

APROXIMACIÓN Y ACOTACIÓN DEL ERROR

Al realizar una aproximación con una serie de Taylor uno está limitado - obligado - a realizar una suma

finita; Es decir, escoger el grado hasta el que se desarrollará el polinomio.

Tomemos la expansión de Taylor para la función exponencial (ejemplo 1) para calcular una

aproximación del número de Euler (e ); podríamos desarrollar el polinomio a distintos grados:

1 1 1 1 11 2.71667

1! 2! 3! 4! 5!e

1 1 1 1 1 1

1 2.718061! 2! 3! 4! 5! 6!

e

1 1 1 1 1 1 11 2.71825

1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!e

←aproximación de quinto grado (n=5)

←aproximación de sexto grado (n=6)

←aproximación de séptimo grado (n=7)

Entonces si aproximamos una función ( )f x por una suma finita de grado “n” ( , )nT f a ; el error

cometido es:

( ) ( , )nf x T f a

En otras palabras se comete un error por todos aquellos términos que no se sumaron, este se puede

acotar:

nR

Donde nR es el resto de Lagrange, que se expresa:

1 1( )( )

( 1)!

n n

n

f x aR a x

n

Que representa el máximo error cometido en la aproximación de grado “n”.

Ejemplo 6. Estime el error cometido al calcular ( )6

sen

con un polinomio de Taylor de 5° grado.

Del ejemplo 5, sabemos:

3 5

5(sin( ),0)3! 5!

x xT x x

3 5

5

6 6(sin( ),0) 0.500002

6 6 3! 5!T

El resto de Lagrange:

77

6 6

5 7

( )6 2.14*10 2.14*10

(7)! 6 7!R

6

5(sin( ),0) 0.500002 2.14*106

T

Ejemplo 7. Calcule el grado del polinomio para obtener una aproximación de 1

e con un error

menor a 10-4.

Sabemos:

0.5 4

0

1 ( 0.5)10

!

n

n

e conne

Usando el Teorema Lagrange:

14 4( 0.5)

10 10( 1)!

n

n

eR

n

Tomando un ϴ que haga máximo el resto entre <-0.5;0>

0 1 14( 0.5) ( 0.5)

10( 1)! ( 1)!

n ne

n n

Entonces el menor número “n” que cumple la desigualdad:

5 14( 0.5) 1

10(5 1)! 46080

Podemos comprobarlo:

0 2 3 4 50.5 ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5) ( 0.5)

0.606510...0! 1! 2! 3! 4! 5!

e

El resultado exacto: 0.606530… (se comprueba que el error aparece en la cuarta cifra decimal, como

se quería)

COMPOSICION Y SUSTITUCION

Ejemplo8. Calcule ( ( ),0)T g x con ( ) x xg x e e , y su intervalo de convergencia.

Queremos expandir alrededor de 0, la función que resulta de restar otras funciones; partiendo de:

2 3 4 5

0

1 ...! 1! 2! 3! 4! 5! !

n nx

n

x x x x x x xe

n n

Haciendo:

x x

Obtenemos:

2 3 4 5

0 0

( ) ( 1)1 ...

! ! 1! 2! 3! 4! 5!

n n nx

n n

x x x x x x xe

n n

Restando ambas series:

3 5 7

0 0

( 1) 2 2 2 2( ) ...

! ! 1! 3! 5! 7!

n n nx x

n n

x x x x x xg x e e

n n

3 5 7 2 1

0

( ) 2( ...) 21! 3! 5! 7! (2 1)!

nx x

n

x x x x xg x e e

n

Se puede demostrar que converge para todo x.

CÁLCULO DE LÍMITES

Teorema

Sea el límite L lim ( )x a

f x

, y ( , )nT f a la serie que representa a ( )f x

alrededor de “ a ”,

entonces:

L lim ( ) lim ( , )nx a x a

f x T f a

Ejemplo 9. Demuestre que el límite hacia cero de la función seno cardinal es 1, usando series de

Taylor.

sinsinc( )

xx

x

Sabemos que la serie para la función seno:

2 1 3 5 7 9

0

( 1) ( )( ) ...

(2 1)! 3! 5! 7! 9!

n n

n

x x x x xsen x x

n

Luego, para un mismo valor de x; distinto de

0:

2 4 6 8

2

0

sen1 ...

3! 5! 7! 9!

sen ( 1) ( )

(2 1)!

n n

n

x x x x x

x

x x

x n

Donde resulta evidente:

0 0

sinlim sinc( ) lim 1x x

xx

x

DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN

Teorema

Sea 0

( , ) ( )n

n n

n

T f a u x a

una serie que representa a ( )f x y converge alrededor de “ a ” con un

radio de convergencia “ r ”, entonces:

→ La serie 1

1

( 1)( )n

n

n

u n x a

representa a '( )f x y tiene el mismo radio de convergencia, mas

no necesariamente converge en los extremos del intervalo.

→ La serie 1

0

( )

1

n

n

n

x au

n

representa a

0

( )

x

f x dx con " "x que pertenece al intervalo de

convergencia.

En resumen, derivar o integrar término a término una serie que representa una función; genera la

serie de su derivado o integral, con el mismo radio de convergencia.

Ejemplo 10. Obténgase la serie para 1

1 x

Conocemos que

1

0

( 1) ( 1)ln( )

( 1)

n n

n

xx

n

Sustituyendo 1x x , en la serie.

1 1 1

0 0 0

( 1) (1 1) ( 1) ( ) ( )ln(1 )

( 1) ( 1) ( 1)

n n n n n

n n n

x x xx

n n n

Luego, como: (ln(1 )) 1

1

d x

dx x

1

0 0

2 3

0

(ln(1 )) ( ) ( 1)( ) 1( )

( 1) ( 1) 1

11 .....

1

n n

n n

n

n

d x d x n x

dx dx n n x

x x x xx

Ejemplo 11. Mediante integración, obtenga la serie para ( ) arctan( )h x x

Por el ejemplo anterior, sabemos 0

1

1

n

n

xx

Si sustituimos 2x x

Conseguimos:

2

2 20

2

20

1 1( )

1 ( ) 1

1( 1)

1

n

n

n n

n

xx x

xx

Como: 2

0

1arctan( )

1

x

dx xx

, la función es equivalente a:

2 2 4 6

00 0

( ) ( 1) 1 ...

x x

n n

n

h x x dx x x x dx

3 5 7

arctan( ) ....3 5 7

x x xx x

Por lo que:

2 1

0

( 1)( ) arctan( ) 1 1

2 1

n n

n

xh x x x

n

MÉTODO NUMÉRICO PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES

Sea la ecuación diferencial ordinaria y el valor

inicial, el PVI:

0 0

( , )

( )

dyf x y

dx

y x y

Con solución: ( )y y x

De la formula de Taylor: 2 3

0 0 0 00 0 0

2 3

0 0 0 0 0 00 0 0 0

''( )( ) '''( )( )( ) ( ) '( )( ) ...

2! 3!

'( , )( ) ''( , )( )( ) ( ) ( , )( ) ...

2! 3!

y x x x y x x xy x y x y x x x

f x y x x f x y x xy x y x f x y x x

En general para el problema:

Se puede aproximar la solución de la ecuación diferencial (función) para un punto cercano al valor

inicial, centrando una serie de Taylor en el valor inicial en este punto

A veces, para obtener un valor más exacto de un punto cualquiera conviene dividir el intervalo entre

el punto que se tiene y el deseado, de tal forma que se tomen siempre valores cercanos; mientras se

van centrando sucesivas series en cada iteración

*La aproximación lineal:

0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) '( )( ) ( ) ( , )( )y x y x y x x x y x f x y x x Es conocido como el método de Euler

1

0 0 0 0

( , , ', '',..., ) 0

( ), '( ), ''( ),..., ( )

n

n

F x y y y yPVI

y x y x y x y x

Ejemplo 12. Emplee el método de Taylor para aproximar y(0.5), usando un polinomio de tercer grado, y compare con el valor exacto; dado el problema:

' 2

(0) 0

y y x

y

Primero resolveremos la ecuación diferencial analíticamente, observando que es lineal:

( 1) 2 2dy

y x dy ydx xdxdx

El factor integrante: ( 1)dx xe e

2 2

( ) 2 ( ) 2

2( 1)

x x x x x

x x x x

x x

e dy ydx e xdx e dy e ydx xe dx

d e y xe dx d e y xe dx

e y x e c

La solución general:

( ) 2( 1) xy x x ce

Y la particular:

(0) 2(0 1) 0 2

( ) 2( 1) 2 x

y c c

y x x e

El valor que se pide:

0.5(0.5) 2(0.5 1) 2 0.29744y e

Ahora usando el polinomio de Taylor, con el valor inicial:

2 3''(0)( ) '''(0)( )( ) (0) '(0)( ) ...

2! 3!

y x y xy x y y x

Sabemos

' 2 '' ' 2 ''' ''y y x y y y y

(0) 0, '(0) 0, '' 2 ''' 2ny y y y y n

En general, la serie (de Maclaurin) sería:

2 3 4 5( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2) ( ) ( 2)( ) 0 0 ...

2! 3! 4! 5!

x x x xy x

Factorizando:

2 3 4 5( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ...

2! 3! 4! 5!

x x x xy x

Haciendo algunos arreglos

2 3 4 5

2 3 4 5

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 ...

2! 3! 4! 5!

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2( 1) 2 1 ... 2( 1) 2

2! 3! 4! 5! !

n

n

x x x xy x x x

x x x x xy x x x x

n

Por lo que se puede demostrar que se obtiene la solución exacta:

( ) 2( 1) 2 xy x x e

Ahora, numéricamente el valor pedido:

2 3(0.5) ( 2) (0.5) ( 2) 7(0.5) 0 0 0.29167

2! 3! 24y

Ahora si agregásemos un par de términos más (polinomio de 5 grado):

2 3 4 5(0.5) ( 2) (0.5) ( 2) (0.5) ( 2) (0.5) ( 2) 571(0.5) 0 0 0.2974

2! 3! 4! 5! 1920y

Otra forma de aumentar la exactitud, sin agregar términos: haciendo iteraciones.

2 3

2 3

2 3

(0.25) ( 2) (0.25) ( 2) 13(0.25) 0 0 0.06771

2! 3! 192

''(0.25)( 0.25) '''(0.25)( 0.25)( ) (0.25) '(0.25)( 0.25)

2! 3!

''(0.25)(0.25) '''(0.25)(0.25)(0.5) (0.25) '(0.25)(0.25) 0.2

2! 3!

y

y x y xy x y y x

y yy y y

9656

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Muestre los polinomios finitos:

a) 2

3( 1 sin( ), )T x x

b) 3(tan( ), )4

T x

c)2

4( ln(1 ),0)T x x

d) 5 2

1( ,1)

1T

x

2. Obtenga las series correspondientes a las siguientes funciones alrededor de los puntos indicados:

a) ln( )xx , a=1

b) arcsin( )x , a=0

c) cos( )x , a=0

d) 2( 1)x , a=0

3. Pruebe que la serie

2 1

0 2 1

n

n

x

n

representa a

1log( )

1

x

x

y calcule su intervalo de convergencia. ¿En

qué punto coinciden?

4. Calcule el radio de convergencia de la serie de potencias:

a) 0

( !) n

n

n x

b) 0 2

n

n

z

5. Calcule el intervalo de convergencia para la serie del ejemplo 10, si esta representa una serie

geométrica de razón “x”>0.

6. Aproxime 3 8.5 , usando un polinomio de quinto grado ¿Dónde lo centraría?; estime el error y use

el valor exacto para calcular el error absoluto. Trabaje con seis decimales.

7. Use un polinomio de Maclaurin de noveno grado para arcsin( )x (ver problema 2. b)) y aproxime

; acote el error. Sugerencia: use 6arcsin(0.5) .

8. ¿Qué grado debe tener el polinomio de Taylor que aproxima a 1/ x alrededor de x=1, para

aproximar1/1.3, con un error máximo de 510

. Sugerencia: derive la serie del ejemplo 2.

9. Dentro de una circunferencia de radio “R” se inscribe un cuadrado;

dentro de este, otra circunferencia; y asi sucesivamente.

a) plantee la serie que representa la suma del area de todos los círculos

(S1) y la de todos los cuadrados (S2).

b) use la serie del ejemplo 10 para calcular S1 y S2, en función de “R”.

10. ¿En qué intervalo la aproximación de cos( )x con

2 4 6

12! 4! 6!

x x x tiene error máximo de

610?

11. Obtenga las series usando empleando el procedimiento sugerido, e indique el valor del punto de

evaluación.

a) sin(2 )cos(2 )x x . Sugerencia: Sustitución y razón trigonométrica de un ángulo doble.

b) 10log (5 )x . Sugerencia: Cambio de base y sustitución, o logaritmo de un producto.

c) 2cos( )xxe x . Sugerencia: Sustitución y multiplicación.

d)

2

3

x x

x

. Sugerencia: Descomposición en fracciones parciales.

12. Calcule los límites:

a) 20

1 cos( )limx

x

x

b) 0

1lim

x

x

e

x

c) 30

arcsin( )limx

x x

x

d) 10

1

log ( )lim

(1 )x

x

x

13. Estime: 2

1

0

xe dx

14. Obtenga la serie que representa sin( )w

dww y calcule su intervalo de convergencia.

15. A partir de 0

1

1

n

n

xx

, obtenga la serie que representa 2

5

(1 )

x

x.

16. Aproveche que 2

0

sin(2 ) sin ( )

x

x dx x (ver problema 11.a)), para calcular 2(sin ( ),0)T x .

Calcule también 2(cos ( ),0)T x .

17. Sea el problema:

''

(0) 0 '(0) 1

xy xe

y y

Aproxime y(0.3) usando un polinomio de Taylor de tercer grado, calculando:

a) Directamente el valor con la formula de Taylor a=0.

b) Primero y(0.1), con a=0; luego, y (0.2) con a=0.1 y y(0.3), con a=0.2 (tres iteraciones).

Calcule en ambos casos el error absoluto, si y(0.3)=-0.294759973

18. Muestre el polinomio cúbico que aproxima la solución 2

' 1xy e x , si coinciden en y(0)=1.

¿Puede mostrar la forma de la solución

2 12

0

( ) 0.5 1!(2 1)

n

n

xy x x x

n n

?

Sugerencia: realice una integración semejante al problema 13.

19. Obtenga los coeficientes de la parábola 2ax bx c que aproxima, en las cercanías de x=0, a la

solución del problema:

'' ' ( 1) 5

(0) 0 '(0) 3

xu e u x u

u u

20. Use 0 !

nx

n

xe

n

, con el cambio x i ( 1i ), para demostrar la identidad de Euler:

cos( ) sin( )ie i

Sugerencia: Sustituya y reagrupe los términos de la serie exponencial.