Embed Size (px)
Citation preview
Este documento es de distribución gratuita y llega gracias a
“Ciencia Matemática” www.cienciamatematica.com
El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Calculo: Series Funcionales. Taylor y Fourier
Antonio Garvın
Curso 04/05
1 Sucesiones de funciones
De forma analoga a como hicimos con las sucesiones de numeros reales,podemos definir una sucesion de funciones como una aplicacion ϕ:N → F ,siendo F el conjunto formado por todas las funciones reales. Si ϕ(n) = fn,denotamos la sucesion por {fn} o tambien f1, f2, f3, · · · , fn, · · ·
1.1 Lımite puntual de una sucesion de funciones
Supongamos que tenemos una sucesion de funciones {fn} definidas en uncierto dominio D, fn:D → R.
Dado un x0 ∈ D, tenemos la sucesion numerica {fn(x0)}. Supongamosque existe el lımite de esta sucesion numerica, l0 = lim fn(x0), y es unnumero real l0 ∈ R. Si para cada x0 ∈ D se puede hacer esto podermosdefinir una funcion f:D → R haciendo f(x0) = l0. A esta fun cion se ladenomina lımite puntual de la sucesion {fn}.
f(x) = lim fn(x) ∀ x ∈ D.
1.2 Ejemplo
1. Sea fn(x) = nx, solo existe lim fn(x) para x = 0.
Por tanto no existe en R la funcion lımite puntual de fn(x) = nx.
2. Consideremos la sucesion fn(x) = xn definidas en el intervalo [0, 1]
fn: [0, 1] → R x 7→ fn(x) = xn
El lımite puntual de la sucesion fn(x) = xn es la funcion
f(x) ={
0 si x ∈ [0, 1)1 si x = 1
.
1
www.cienciamatematica.com
3. Sea ahora la funcion fn(x) =sennx
n. El lımite puntual de fn(x) =
sennx
nes la funcion nula
f(x) = 0 ∀ x ∈ R.
2 Convergencia puntual y uniforme
Como ya hemos visto, el lımite puntual de una sucesion de funciones notiene porque existir. En el caso de que si exista ¿ que quiere decir quefn converge puntualmente a f? Para analizar esto consideremos un puntox1 ∈ D, fn:D → R, y la sucesion fn(x1). Debe ser f(x1) = lim fn(x1), esdecir que
∀ε > 0 ∃N1/ | fn(x1)− f(x1) |< ε si n ≥ N1
Si ahora considero otro punto x2 ∈ D, fn: D → R, y la sucesion fn(x2).Debe ser f(x2) = lim fn(x2), es decir que
∀ε > 0 ∃N2/ | fn(x2)− f(x2) |< ε si n ≥ N2
En general dado x ∈ D, debe ser f(x) = lim fn(x), es decir que
∀ε > 0 ∃Nx/ | fn(x)− f(x) |< ε si n ≥ Nx.
En general el lugar N a partir del cual se cumple que | fn(x) − f(x) |< εdepende de x ya que para cada x, fn(x) es una sucesion distinta.
Pues bien cuando sea posible elegir un N que sirva para todos los xdiremos que la convergencia es uniforme y que f es el lımite uniforme de fn.
2.1 Definicion:
Supongamos que existe f el lımite puntual de fn. Decimos que f es el lımiteuniforme de fn o que fn converge uniformemente a f si dado ε > 0 ∃ N /| fn(x)− f(x) |< ε, ∀x ∈ D.
Por definicion la convergencia uniforme implica la convergencia puntual.Por otro lado esta definicion no es muy operativa en la practica, de esta formanos planteamos lo siguiente ¿ Como se sabe en la practica si la convergenciaes puntual o uniforme?
2.2 Propiedades:
1. Si fn → f (uniformemente) y fn es continua ∀n, entonces f es con-tinua.
2
www.cienciamatematica.com
2. Si fn → f (uniformemente) y fn es continua ∀n, entonces
lim∫ b
afn(x)dx =
∫ b
alim fn(x)dx.
3. Supongamos que | fn(x) − f(x) |≤ an, ∀n, ∀x ∈ D, siendo {an} unasucesion de numeros que tiende a cero, lim an = 0. Entonces fn → f(uniformemente).
2.3 Ejemplos:
1. La sucesion fn(x) =sennx
nhemos visto que converge puntualmente
a f(x) = 0, la funcion nula. ¿Converge uniformemente? Fijemonos
que | sen nx
n− 0 |=| sennx
n|≤ 1
n, ∀x ∈ R. Por tanto aplicando la
propiedad 3 tenemos quesen nx
n
(unif.)−→ 0.
2. Hemos visto que la sucesion de funciones fn(x) = xn definidas en
[0, 1] convergen puntualmente a f(x) ={
0 si x ∈ [0, 1)1 si x = 1
. ¿Lo hacen
uniformemente? Si tratamos de hacer que | fn(x) − f(x) |≤ an, paraalguna sucesion numerica an, con an → 0, no se nos ocurre cual tomar.El no encontrarla no es suficiente para negar la convergencia uniforme,pero si lo serıa si encontramos alguna propiedad que respeta la conver-gencia uniforme y que en este caso no lo hace. Esto es lo que ocurreya que todas las funciones xn son continuas y si la convergencia fueseuniforme por la propiedad 1 f deberıa ser continua, y no lo es, yaque no lo es en 0. Como conclusion obtenemos que la convergencia noes uniforme. xn → f(puntualmente), pero xn 6→ f(uniformemente).Este ejemplo nos muestra que la convergencia puntual 6⇒ uniforme.
3 Series de funciones, o series funcionales
Al igual que con numeros reales podemos asociar a una sucesion {fn} defunciones una serie, la sucesion de sus sumas parciales. Ası S1 = f1, S2 =f1 + f2, S3 = f1 + f2 + f3, y en general Sn = f1 + f2 + · · · + fn. Tenemosası las sucesion {Sn} de sumas parciales de la sucesion {fn}. Supongamosque Sn(x) → g(x) puntualmente ∀x ∈ D, en este caso decimos que la serie
de termino general fn, que notamos por∞∑
n=1
fn, converge puntualmente a g
3
www.cienciamatematica.com
y escribimos∞∑
n=1
fn = g. Esto es:
∞∑
n=1
fn = lim(punt.)
Sn = g en D
o tambien,∞∑
n=1
fn(x) = lim(punt.)
Sn(x) = g(x) ∀x ∈ D
A D se le llama el campo de convergencia de la serie funcional∞∑
n=1
fn.
Si ocurre que ademas Sn(x) → g(x) uniformemente en D, decimos que
la serie∞∑
n=1
fn converge uniformemente a g. Esto es:
∞∑
n=1
fn = lim(unif.)
Sn = g en D
o tambien,∞∑
n=1
fn(x) = lim(unif.)
Sn(x) = g(x) ∀x ∈ D
¿Como ver en la practica que una serie converge uniformemente?
3.1 Teorema:
Supongamos que la serie∞∑
n=1
fn de funciones fn: D → R es tal que:
• | fn(x) |≤ Mn ∀x ∈ D, ∀n ≥ 1
•∞∑
n=1
Mn converge
Entonces para cada x ∈ D la serie numerica∞∑
n=1
fn(x) converge absoluta-
mente (esto ya lo sabıamos, es aplicacion directa del criterio de acotacion),en particular converge puntualmente en D. Se verifica ademas que la con-vergencia es uniforme en D.
4
www.cienciamatematica.com
3.2 Ejemplos:
1.∞∑
n=1
cosnx
n√
n, x ∈ R
| cosnx
n√
n|≤ 1
n√
n= Mn,
∑Mn converge ⇒
∞∑
n=1
cosnx
n√
nconverge absolutamente ∀x ∈ R,
en particular converge, y ademas∞∑
n=1
cosnx
n√
nconverge uniformemente
en R.
2. Sea x ∈ [2,∞), estudiemos∞∑
n=1
n−x.
n−x =1nx
<1n2
,∞∑
n=1
1n2
converge.
Por tanto para cada x ∈ [2,∞)∞∑
n=1
n−x converge absolutamente. Ademas
∞∑
n=1
n−x converge uniformemente en [2,∞).
-
3.3 Propiedades(Consecuencia de las propiedades para suce-siones funcionales):
1. Si todas las fn son continuas y∞∑
n=1
fn converge uniformemente en D a
f , entonces f es continua.
2. Si todas las fn son integrables en [a, b] y la serie converge uniforme-
mente en [a, b],∞∑
n=1
fn = f(unif.). Entonces
∫ b
a
∞∑
n=1
fn =∞∑
n=1
∫ b
afn
5
www.cienciamatematica.com
es decir ∫ b
af =
∞∑
n=1
∫ b
afn.
4 Series de Potencias
4.1 Definicion:
Una serie de potencias es una serie de funciones polinomicas de la forma∞∑
n=1
an(x− a)n. Decimos que esta centrada en x = a ya que cada fn(x) =
an(x− a)n es una potencia de (x− a), es decir un monomio en x− a.Vamos a estudiar las que estan centradas en x = 0, ya que el cambio
y = x− a nos reduce a este caso.
[∞∑
n=1
an(x− a)n =∞∑
n=1
anyn, y = x− a]
Por tanto realizamos el estudio para series del tipo∞∑
n=1
anxn, centradas en
0.
4.2 Teorema
Toda serie de potencias del tipo∞∑
n=1
anxn, esta en uno de los siguientes casos:
a) La serie converge unicamente en el valor x = 0.
b) La serie converge absolutamente en todo R.
c) La serie converge absolutamente en un intervalo de la forma (−R,R) ydiverge fuera de [−R, R]. En los extremos, x = −R y x = R puedeconverger o no.
En el primer caso se dice que el radio de convergencia es 0. En el segundoque es ∞. En el tercer caso se dice que el radio de convergencia es R.
Si fijamos un x ∈ R la serie funcional se convierte en una serie numerica.Podemos considerar la serie en valor absoluto e intentar aplicar los criteriosque vimos para series de terminos positivos. Si suponemos que l = lim n
√| an |
y aplicamos el criterio de la raiz a la serie∞∑
n=1
| anxn |=∞∑
n=1
| an || x |n
6
www.cienciamatematica.com
lim n√| an || x |n =| x | lim n
√| an | =| x | l
Ası pues si | x | l < 1 la serie converge absolutamente, y si | x | l > 1 laserie diverge. Es decir segun que | x |< 1
l o que | x |> 1l hay convergencia
absoluta o divergencia. Por tanto y de acuerdo con el teorema enunciadoanteriormente el radio de convergencia es R = 1
l . A falta de analizar loscasos l = 0 y l = ∞ que son inmediatos, tenemos el siguiente resultado:
4.3 Proposicion:
Supongamos que l = lim n√| an | y R es el radio de convergencia de la serie
∞∑
n=1
anxn. Entonces:
1. Si l ∈ (0,∞) ⇒ R =1l
2. Si l = 0 ⇒ R = ∞3. Si l = ∞ ⇒ R = 0
4.4 Nota
Recordemos que si existe el lımite del cociente, entonces existe el lımite dela raiz y son iguales,
l = lim| an+1 || an | ⇒ l = lim n
√| an |
4.5 Ejemplos:
(1)∞∑
n=1
(−1)nxn
n, aquı an =
(−1)n
n
n√| an | = n
√1n
,| an+1 || an | =
1/(n + 1)1/n
=n
n + 1→ 1
Ası pues l = 1, de donde R = 1/l = 1
Para x = 1 queda∞∑
n=1
(−1)n
nque converge por Leibnitz.
Para x = −1 queda∞∑
n=1
1n
que diverge.
7
www.cienciamatematica.com
Por tanto el campo de convergencia es (−1, 1]
(2)∞∑
n=1
(−1)n x2n
2n, aquı identificando con
∞∑
n=1
anxn resulta que | an |= 0
si n es impar, y | an |= 1n
si n es par. De esta forma no existe lim n√| an |
y por tanto no podemos aplicar el criterio anterior. En este caso nos vemosobligados a estudiar directamente la convergencia para cada x.
Dado un x fijo estudio (en valor absoluto) la serie numerica (∞∑
n=1
(−1)n x2n
2n.
Aplico el criterio del cociente
x2n+2/(2n + 2)x2n/(2n)
=2n
2n + 2x2 → x2
Por tanto converge si x2 < 1 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1), y diverge si si x2 > 1 ⇐⇒x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). Ası el radio de convergencia es 1.
Para x = −1 y x = 1 se obtiene∞∑
n=1
(−1)n
nque converge. El campo de
convergencia es, por tanto, el intervalo [−1, 1].—————————-Hasta aquı la convergencia que hemos analizado es puntual, sin embargo
se tiene el siguiente resultado que nos indica que este analisis es suficientepara las series de potencias.
4.6 Teorema
Sea S la funcion dada por S(x) =∑∞
n=1 anxn.
1. La serie converge uniformemente a S en todo intervalo cerrado con-tenido en su campo de convergencia.
2. S es continua en todo su campo de convergencia.
3. Las primitivas de S son series de potencias que tienen el mismo radiode convergencia que S, y que se obtienen integrando termino a termino.Concretamente
∫ ∞∑
n=1
anxn =∞∑
n=1
∫anxn + C =
∞∑
n=1
an
n + 1xn+1 + C
8
www.cienciamatematica.com
4. S es derivable. Su derivada es otra serie de potencias que tiene igualradio de convergencia que S, y que se obtienen derivando termino atermino.
d
dx
( ∞∑
n=1
anxn
)=
∞∑
n=1
d
dx(anxn) =
∞∑
n=2
nanxn−1
4.7 Ejemplo:
Vamos a calcular la suma de la serie∞∑
n=1
(−1)n 1n
, que sabemos converge por
Leibnitz.
Dada la serie∞∑
n=1
xn, para cada x es geometrica de razon x, y por tanto
converge solo si | x |< 1. Ademas lo hace a∞∑
n=1
xn =1
1− x
Por ser una serie de potencias la convergencia es uniforme, y el lımite uni-forme es una funcion integrable, continua y derivable. En particular
∫1
1− xdx =
∞∑
n=0
xn+1
n + 1+ C x ∈ (−1, 1)
− log(1− x) = C +∞∑
n=0
xn+1
n + 1
evaluando en x = 0, obtenemos C = 0, y evaluando en −x
log(1 + x) = −∞∑
n=1
(−1)n xn
n, x ∈ (−1, 1)
Fijemonos en que ahora la serie de la dercha converge en x = 1 (se hamodificado el campo de convergencia al integrar). Por la continuidad de la
serie∞∑
n=1
(−1)n xn
nen el punto x = 1, se tiene que
log(2) = −∞∑
n=1
(−1)n 1n
de donde ∞∑
n=1
(−1)n 1n
= − log 2
9
www.cienciamatematica.com
5 Series de Taylor
Vamos a recordar algunas cosas que ya vimos al hablar del polinomio deTaylor y vamos a justificarlas usando los resultados que hemos estado viendo.
5.1 Definicion
Sea f infinitas veces derivable en I, intervalo abierto, y sea a ∈ I. La seriede Taylor de f en I centrada en a, es la serie funcional
∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(x− a)n
5.2 Observacion
Fijemonos en que la serie de Taylor es una serie de potencias, por tanto severifican todas las propiedades que hemos estudiado.
Supongamos que la serie converge en un punto x = x0, entonces tenemos
el numero∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(x0 − a)n. Decimos que la serie de Taylor representa a f en x0,
si ocurre que el numero anterior es exactamente f(x0)
f(x0) =∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(x0 − a)n
Fijemonos en que al menos en el punto x = a la serie representa a lafuncion, ya que trivialmente se tiene la igualdad
∞∑
n=0
f (n)(a)n!
(a− a)n = f(a) + f ′(a)(a− a) + · · · = f(a) + 0 + 0 + · · · = f(a)
Tambien vimos que se tenıa el siguiente resultado
5.3 Teorema
La serie de Taylor de f en a representa a f en x0 si y solo si limRn(x0) = 0y como consecuencia de esto y teniendo en cuenta que
Rn(x0) =f (n+1)(c)(n + 1)!
(x0 − a)n+1, c entre x0 y a
obtenıamos la siguiente
10
www.cienciamatematica.com
5.4 Consecuencia:
Si | fn)(x) |≤ M , M ∈ R, ∀n, ∀x ∈ I. Entonces la serie de Taylor de frepresenta a la f en todos los puntos de I, f(x) = Tf,a(x).
5.5 Ejemplos
(1)
sen x = x− x3
3!+
x5
5!− x7
7!+ · · ·+ (−1)n x2n+1
(2n + 1)!+ · · ·
cos x = 1− x2
2!+
x4
4!− x6
6!+ · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!+ · · ·
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+ · · ·+ xn
n!+ · · ·
Desarrollos de Taylor en x = 0. sen x y cos x tienen derivadas acotadas portanto representan en todo R. La igualdad es valida ∀ x ∈ R.
Para la exponencial, dado x0 elegimos M talque x0 ∈ (−M, M). En-tonces eM acota la derivada ∀n ∀x ∈ (−M, M). En particular representa enel punto x = x0. Como se puede hacer para todos los puntos, representa entodo R. La igualda es valida en todo R.
(2) Encontrar el desarrollo de log x en el punto 1 ( o log(1+x) en x = 0)noes tan inmediato ya que las sucesivas derivadas se van complicando, si bienno es imposible existen maneras mas sencillas aplicando las propiedades delas series de potencias.
La derivada de log(1+x) es1
1 + xque podemos expresar como
11− (−x)
.
Lo anterior es precisamente la suma de una serie geometrica de razon −x.Como estas series convergen si | −x |< 1, resulta que si x ∈ (−1, 1) se tienela igualdad
∞∑
n=0
(−x)n =1
1− (−x)=
11 + x
=d
dx(log(1 + x))
es decir
∞∑
n=0
(−1)nxn =d
dx(log(1 + x))
Si integramos se tiene que en (−1, 1)∞∑
n=0
(−1)n xn+1
n + 1= log(1 + x) + C
11
www.cienciamatematica.com
Haciendo x = 0 determinamos que C = 0. Por la continuidad y dado quela serie obtenida converge en x = 1 (y diverge en x = −1) podemos afirmarque
log(1 + x) = x− x2
2+
x3
3− x4
4+ · · ·+ (−1)n+1 xn
n+ · · ·
desarrollo valido en (−1, 1]. Mejorando ligeramente el resultado que veıamosal hablar de las series de Taylor dentro de las series numericas.
(3)
Si f(x) = arctag x ⇒ f ′(x) =1
1 + x2, que puedo pensarlo como la suma
de una geometrica de razon −x2 y termino inicial 1, que converge si
| −x2 |< 1 ⇐⇒ x2 < 1 ⇐⇒ | x |< 1 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1)
Ası f ′(x) = 1− x2 + x4 − x6 + · · ·+ (−1)nx2n + · · ·, x ∈ (−1, 1).Integrando primero y haciendo x = 0 despues, para determinar la con-
stante que aparece, obtenemos que en (−1, 1)
arctag x = x−−x3
3+
x5
5− x7
7+ · · ·+ (−1)n x2n+1
2n + 1+ · · ·
Pero de nuevo por la continuidad y dado que la serie converge en los extremosdel intervalo, resulta que el desarrollo anterior es valido en [−1, 1]. De nuevoesto mejora el resultado que adelantabamos al final de las series numericas.
5.6 Comentario:
Hemos dicho que es la continuidad, junto con el hecho que la serie converja enel extremo lo que nos permite asegurar que la igualdad puede ser extendidaa ese extremo. Para ser totalmente precisos el razonamiento que justifique
esto podroa ser el siguiente: Tenemos S(x) =∞∑
n=1
anxn para cada x ∈ I,
siendo I el campo de convergencia de la serie. Sabemos que S es continua,es decir que lim
x→aS(x) = S(a).
Por otro lado sabemos que para una cierta funcion f se tiene que enel interior de I, I, f(x) = S(x), pero no tenemos en principio aseguradoque en un extremo sean iguales. Esto es, en principio si x0 es un extremodel intervalo tenemos dos numeros f(x0) y S(x0) que no sabemos que seaniguales.
Resulta que si f es continua si son iguales ya que
S(x0) = limx→x0x∈I
S(x) = limx→x0x∈I
f(x) = f(x0)
12
www.cienciamatematica.com
6 Series de Fourier
Seas f una funcion periodica de periodo 2π (es decir f(x) = f(x + 2π),x ∈ R) y continua a trozos en [−π, π]. Se llama serie de Fourier de f , a laserie
a0
2+
∞∑
n=1
(an cosnx + bn sen nx)
donde los coeficientes an y bn vienen dados por:
an =1π
∫ π
−πf(x) cosnxdx =
1π
∫ 2π
0f(x) cos nxdx
bn =1π
∫ π
−πf(x) sen nxdx =
1π
∫ 2π
0f(x) sen nxdx
para cada n ≥ 0. Fijemonos que siempre b0 = 0.
6.1 Ejemplo:
sea f(x) ={
0, si x ∈ [−π, π/2) ∪ (π/2, π]1, si x ∈ [−π/2, π/2]
y extendida por periodicidad
fuera de [−π, π]. ¿Quien es su serie de Fourier?Es facil comprobar que a0 = 1. Para n > 0
an =1π
∫ π
−πf(x) cosnxdx =
1π
∫ π/2
−π/2f(x) cos nxdx =
=1π
sen nx
n
]π/2
−π/2=
1π
2 sen (nπ/2)n
bn =1π
∫ π
−πf(x) sen nxdx =
1π
∫−π/2π/2f(x) sen nxdx =
=1π
(−cosnx
n
]π/2
−π/2) =
1π· 0 = 0
Ası pues la serie de Fourier es
12
+2π
cosx− 23π
cos 3x +25π
cos 5x− 27π
cos 7x + · · ·
que resulta ser una serie de cosenos.
13
www.cienciamatematica.com
El ejemplo anterior es un caso particular de un hecho que afecta a todaslas funciones que son pares. Fijemonos en que f(x) = f(−x) para la funcionf del ejemplo anterior, es decir f es par. Por tanto al ser sen nx unafuncion impar, su producto f(x) sen nx resulta ser impar. De esta manera
y sin hacer el calculo explıcito∫ π
−πf(x) sen nxdx = 0 ya que entre 0 y −π
toma los mismos valores, pero de signo opuesto, que entre 0 y π, y ası∫ π
−π=
∫ 0
−π+
∫ π
0= A−A = 0
Por otro lado al ser cosnx una funcion par f(x) cos nx es par, y de estaforma toma los mismos valores entre −π y 0 que entre 0 y π. Por tanto∫ π
−π= 2
∫ π
0.
Ası pues si f es una funcion par se tiene que:
an = 2∫ π
0f(x) cos nxdx y bn = 0
por tanto su serie de Fourier es siempre una serie de cosenos (y el coseno espar).
Por otro lado razonando analogamente si f es una funcion impar, esdecir, f(−x) = f(x), f(x) cosnx es una funcion impar y por tanto se anula∫ π
−πf(x) cos nxdx y ası an = 0. f(x) sen nx es par (al ser producto de dos
impares) y por tanto∫ π
−πf(x) sen nxdx es el doble que
∫ π
0f(x) sen nxdx.
De esta formabn =
2π
∫ π
0f(x) sen nxdx
Ası en el caso de que f sea una funcion impar, su serie de Fourier es unaserie de senos( y el seno es impar).
6.2 Ejemplo:
Sea la funcion f(x) =x
πsi x ∈ [−π, π) y extendida por perodicidad a todo
R. Su grafica es:
14
www.cienciamatematica.com
¡¡
¡¡
¡¡¡µ
•
d
·······
π
¡¡
¡¡
¡¡¡µ
•
d
¡¡
¡¡
¡¡¡µ
•
d
·······
−π
· · · · · · ·1
· · · · · · ·−1
Fijemonos que f es una funcion impar, f(−x) = −xπ = −f(x), ası pues
an = 0 y
bn =2π
∫ π
0f(x) sen nxdx =
2π
∫ π
0
x
πsen nxdx =
2π2
∫ π
0x sen nxdx =
(calculando una primitiva por partes, se tiene)
=2π2
−x cosnx
n+
sen nx
n2
]π
0
=2π2
(−π cosnπ
n
)= −2 cos nπ
πn
Ası pues, teniendo en cuenta que
cosnπ ={
1 si n es par−1 si n es impar
la serie de Fourier es la siguiente:
2π
(sen x− sen 2x
2+
sen 3x
3− sen 4x
4+ · · ·
)=
=2π
∞∑
n=1
(−1)n+1 sen nx
n
Para definir la serie de Fourier de una funcion solo necesitamos quesea periodica de periodo 2π y continua a trozos. Sin embargo necesitamosalgunas condiciones mas para que converja y para que represente a la funcionf . La condicion es que sea derivable a trozos para que converja, y que seacontinua en el punto para que represente a la funcion en ese punto.
6.3 Notacion:
Notamos por f(x+0 ) = lim
x→x+0
f(x) y por f(x−0 ) = limx→x−0
f(x), a los lımites lat-
erales de f en x0 por la derecha y por la izquierda respectivamente.
15
www.cienciamatematica.com
6.4 Observacion:
Es equivalente que una funcion sea continua a trozos a que existan todos suslımites laterales. Evidentemente continua ⇒ continua a trozos, al contrariono es cierto.
Analogamente a como definimos los lımites laterales definimos las derivadaslaterales ‘popr la derecha f ′(x+
0 ), y por la izquierda f ′(x−0 )
f ′(x+0 ) = lim
h→0+
f(x0 + h)− f(x+0 )
h
f ′(x−0 ) = limh→0−
f(x0 + h)− f(x−0 )h
Es equivalente que una funcion sea derivable a trozos, a que existantodas sus derivadas laterales. Claramente derivable ⇒ derivable a trozos, elrecıproco no es cierto.
Se tiene el siguiente resultado que nos dice cuando converge una serie deFourier y a quien lo hace.
6.5 Teorema( de Dirichlet)
Si f es derivable a trozos en el intervalo [−π, π], entonces para cada x0 ∈[−π, π], la serie de Fourier de f converge al valor
12(f(x+
0 ) + f(x−0 )), esto es,
a0
2+
∞∑
n=1
(an cosnx0 + bn sen nx0) =12(f(x+
0 ) + f(x−0 ))
6.6 Nota
Como consecuencia de este resultado podemos decir que la serie representaa la funcion f en x0, esto es, vale igual que la funcion en x0, si f es continuaen x0, ya que en este caso f(x0) = f(x+
0 ) = f(x−0 ), y por tanto
f(x0) =12(f(x+
0 ) + f(x−0 )) =a0
2+
∞∑
n=1
(an cosnx0 + bn sen nx0)
6.7 Ejemplo:
Consideremos f(x) =| x | en [−π, π]. Al ser par su serie de Fourier es decosenos, ası
bn = 0 ∀n ≥ 0 y an =2π
∫ π
0f(x) cosnxdx
16
www.cienciamatematica.com
Para n = 0 se tiene:
a0 =2π
∫ π
0xdx =
2π
π2
2= π
Para n ≥ 1
an =2π
∫ π
0x cosnxdx =
(calculando primitivas)
=2π
x sen nx
n+
cosnx
n2
]π
0=
2π
(cosnπ
n2− 1
n2
)=
=2
πn2(cosnπ − 1) =
{0 si n es par
− 4πn2
si n es impar
La serie de Fourier es
π
2− 4
π
∞∑
n=0
cos(2n + 1)x(2n + 1)2
.
Fijemonos en que la funcion f es continua en x = π, por tanto aplicandoel teorema de Dirichlet se tiene
π =| π |= f(π) =π
2− 4
π
∞∑
n=0
cos(2n + 1)π(2n + 1)2
=π
2+
4π
∞∑
n=0
1(2n + 1)2
π
2=
4π
∞∑
n=0
1(2n + 1)2
⇒ π2
8=
∞∑
n=0
1(2n + 1)2
Ya sabıamos que la serie∞∑
n=0
1(2n + 1)2
converge comparando con∞∑
n=1
1n2
,
pero no sabıamos su suma. Utilizando las series de Fourier hemos sidocapaces de decir exactamente a quien converge.
6.8 Serie de Fourier de una funcion periodica de periodo 2T
Si f es periodica de periodo 2T podemos, mediante un simple cambio devariable, transformarla en una funcion periodica de periodo 2π. Concreta-mente a f de periodo 2T asociamos g de periodo 2π dada por la siguientecomposicion
17
www.cienciamatematica.com
[−π, π] - [−T, T ]f - R
t - x = Tt
π- f(x) = g(t)
g
6
t =π
tx
g posee las mismas propiedades que f . Por ejemplo si f es par g es par,etc.
Definimos la serie de Fourier de f como la serie de Fourier de g
a0
2+
∞∑
n=1
(an cosnt + bn sen nt) =a0
2+
∞∑
n=1
(an cosnπ
Tx + bn sen n
π
Tx)
a0 =1π
∫ π
−πg(t)dt =
1π
∫ T
−Tf(x)
π
Tdx =
1T
∫ T
−Tf(x)dx
y si n ≥ 1
an =1π
∫ π
−πg(t) cos ntdt =
1π
∫ T
−Tf(x) cos
(n
π
Tx) π
Tdx =
1T
∫ T
−Tf(x) cos
(n
π
Tx)
dx
Razonando analogamente tenemos
bn =1T
∫ T
−Tf(x) sen
(n
π
Tx)
dx
6.9 Ejemplo:
Dada la funcion, periodica de periodo π, que tiene la siguiente grafica, darsu serie de Fourier.
d2π
@@
@@
@R
•
d
·······π
@@
@@
@R
•
d0
π
@@
@@
@R
•
d
·······−π
@@
@@
@R
•·······−2π
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
18
www.cienciamatematica.com
f(x) = π − x, si x ∈ [0, π). Su periodo es π (2T = π), por tanto elsemiperiodo es T = π/2.
n = 0 a0 =1T
∫ T
−Tf(x)dx =
1T
∫ 2T
0f(x)dx =
2π
∫ π
0f(x)dx =
2π
∫ π
0(π − x)dx =
2π
[−(π − x)2
2]π0 =
2π
π2
2= π
n ≥ 1 an =1T
∫ T
−Tf(x) cos(n
π
Tx)dx =
1T
∫ 2T
0f(x) cos(n
π
Tx)dx =
2π
∫ π
0(π − x) cos(2nx)dx = (haciendo calculos) = 0
n ≥ 0 bn =1T
∫ T
−Tf(x) sin(n
π
Tx)dx =
1T
∫ 2T
0f(x) sin(n
π
Tx)dx =
2π
∫ π
0(π − x) sin(2nx)dx = · · · = 1
n
Ası pues la serie de Fourier de f es:
SF (x) =π
2+
∞∑
n=1
sin(2nx)n
.
Fijemonos en que f(0+) = π, f(0−) = 0, y SF (0) = f(0+)+f(0−)2 = π
2 .
6.10 Extensiones periodicas par e impar
Si tenemos f definida eb [0, T ] podemos extenderla al intervalo (−T, T ] deformas diferentes. Sean
f1(x) ={
f(x), x ∈ [0, T ]f(−x), x ∈ (−T, 0)
; f2(x) ={
f(x), x ∈ [0, T ]−f(−x), x ∈ (−T, 0)
f1 y f2 extienden a f en el sentido que coinciden con f en el intervalo[0, T ], pero f1 es una funcion par y f2 es una funcion impar.
La serie de f1 es una serie de cosenos, es decir
bn = 0 ∀n ≥ 0 y an =2T
∫ T
0f(x) cosn
π
Txdx
19
www.cienciamatematica.com
La serie de f2 es una serie de senos, es decir
an = 0 ∀n ≥ 0 y bn =2T
∫ T
0f(x) sen n
π
Txdx
6.11 Ejemplo:
La funcion f(x) = π − x en [0, π).En el ejemplo anterior dabamos la serie de Fourier de la funcion f(x) =
π − x, x ∈ [0, π) y periodica de periodo π. Vamos ahora a dar su serie deFourier como funcion periodica de periodo 2π, extendiendola a (−π, π] comofuncion par o como funcion impar
f1(x) ={
f(x), x ∈ [0, π]f(−x), x ∈ (−π, 0)
={
π − x, x ∈ [0, π]π + x, x ∈ (−π, 0)
2π¡
¡¡
¡¡¡······
π
@@
@@
@@0
π
¡¡
¡¡
¡¡······−π
@@
@@
@@
······−2π
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Por ser par (f1(x) = f1(−x)) bn = 0 ∀n ≥ 0 y an =2π
∫ π
0f(x) cos nxdx.
a0 =2π
∫ π
0(π − x)dx = π
an =2π
∫ π
0(π − x) cos nxdx =
2π
1− (−1)n
n2=
4πn2
, n impar
0, n par
Ası f(x) =π
2+
4π
(cosx +
cos 3x
9+ · · · cos(2n + 1)x
(2n + 1)2+ · · ·
), x ∈ [−π, π],
por ser f continua en todo R.
f2(x) ={
f(x), x ∈ [0, π]−f(−x), x ∈ (−π, 0)
={
π − x, x ∈ [0, π]−(π + x), x ∈ (−π, 0)
20
www.cienciamatematica.com
2ππ0−π−2π
π
−π
• • ··········
··········
@@
@@
@@
@@@R
@@
@@
@@
@@@R d d
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Por ser impar (f2(x) = −f2(−x)) an = 0 ∀n ≥ 0 y bn =2π
∫ π
0f(x) sen nxdx.
bn =2π
∫ π
0(π − x) sen nxdx =
2n
Ası para cada x ∈ [−π, π], x 6= 0, por ser f continua en estos puntos
f(x) = 2∞∑
n=1
sen nx
n= 2
(sen x +
sen 2x
2+
sen 3x3
+ · · ·)
En el punto x = 0 la funcion no es continua y podemos comprobar que laserie converge en ese punto a la semisuma de sus lımites laterales
0 =π + (−π)
2=
f(0+) + f(0−)2
= 2∞∑
n=1
sen n · 0n
= 0
21
www.cienciamatematica.com
