di Maria Luisa Dalla Chiara e Roberto Giuntini

l centenario della nascita di Karl Popper, nel 2002, si è appena concluso, e con esso le celebrazioni, i convegni e le commemo-

razioni, a cui hanno preso parte anche i mass media. Popper è infatti uno dei non molti pensatori interessati alle problematiche

scientifiche il cui nome sia divenuto noto al più vasto pubblico. Tuttavia, un argomento a cui è stata dedicata scarsa attenzio-

ne è rappresentato dagli «errori» scientifici di Popper, che pure ha avuto la fortuna di interagire con alcuni degli scienziati più

importanti del Novecento, da Einstein a Heisenberg. Sulla meccanica quantistica, in particolare, Popper ha diffuso alcuni frain-

tendimenti matematici e fisici piuttosto gravi. C'è un episodio poco noto, di cui vale la pena raccontare la storia. Nel 1968 Pop-

per pubblica sulla rivista «Nature» un articolo intitolato Birkhoff and von Neumann's Interpretation of Quantum Mechanics. Si

tratta di una critica radicale all'approccio logico-quantistico, che Garrett Birkhoff e John von Neumann avevano proposto in un ce-

lebre lavoro apparso nel 1936. Scrive Popper. «La mia tesi è che la proposta di Birkhoff e von Neumann sia insostenibile. Ciò dipen-

de in parte da alcune scoperte fatte da John von Neumann nel campo della teoria dei reticoli.., ma anche da certi risultati molto sem-

plici della teoria della probabilità».

KARL POPPER,

natokVienna il 28 luglio 1902, nel 1 46

si trasferì definitivamente in Gran Bretagna,paese di cui assunse la nazionalità, dopo aver

trascorso diversi anni in Nuova Zelanda.

È scomparso il 1? settembre 1994.ml5r

Nel tentativo di difendere una interpretazione statistica estrema

del principio di indeterminazione formulato da Werner Heisenberg,

il celebre filosofo è caduto in alcuni errori matematiciPoppere la logica della rnecc anica quantistica

A quanto pare, l'intenzione di Popper è quella di criticareBirkhoff e von Neumann usando i loro stessi risultati algebrici.Quale poteva essere il motivo di un intervento così tardivo, 32anni dopo la pubblicazione del lavoro di Birkhoff e von Neu-mann? Una risposta parziale a questa domanda viene data daPopper stesso: si tratta di un «articolo che dopo 32 anni è ancoramolto influente». In effetti, gli anni sessanta avevano rappresen-tato un periodo di rinascita per le ricerche nel campo della logi-ca quantistica, a cui avevano contribuito G. Mackey, J. Jauch, C.Piron, P. Suppes, P. Mittelstaedt e molti altri.

La recensione di Popper diede origine a un acceso scambioepistolare fra Popper e JosefJauch, che proprio nel 1968 avevapubblicato il libro Foundations of Quantum Mechanics, destina-to a diventare un punto di riferimento per le ricerche logico-ma-tematiche sulla meccanica quantistica. In una di queste lettere(che ci è stata gentilmente trasmessa da Peter Mittelstaedt) Jauchscrisse: «Lei ha pubblicato in una rivista di grande diffusione unacritica di un importante articolo che ha certamente frainteso. Ioho tentato di suggerirLe di correggere Lei stesso i Suoi errori...Non ha scritto proprio Lei, in La società aperta e i suoi nemici,che lo spirito della scienza è la critica?». Popper non fu convintodalle obiezioni di Jauch. La sua risposta fu: «Lei mi ricorda lamia convinzione che "lo spirito della scienza è la critica". Nonvedo che cosa possa darLe il diritto di supporre che sia necessa-rio ricordarmelo. Non capisco che cosa Lei intenda con la Suaosservazione, a meno che non voglia accusarmi di disonestà».

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Dal punto di vista matematico, Jauch aveva certamente ra-gione. Tuttavia, forse era caduto in un «errore psicologico». Inve-ce di chiarire con precisione i passi scorretti del ragionamento diPopper, aveva preferito rimandare alla letteratura sull'argomen-to (che includeva il suo libro appena pubblicato). E Popper nonvoleva accettare quello che a lui pareva un richiamo a un «prin-cipio di autorità». Nello stesso periodo J. Pool e A. Ramsey invia-rono a «Nature» una nota critica sull'articolo di Popper. Ma, stra-namente, la rivista non pubblicò mai il loro intervento.

La struttura logica degli eventi quantistici

Per seguire il ragionamento di Popper, sarà utile ricordare al-cuni punti fondamentali del lavoro di Birkhoff e von Neumann.111oro articolo The Logic of Quantum Mechanics esordisce con laseguente osservazione: «Uno degli aspetti della teoria quantisti-ca che ha maggiormente attirato l'attenzione generale è rappre-sentato dalla novità delle nozioni logiche che la teoria presup-pone... Oggetto di questo lavoro sarà scoprire quali strutture lo-giche possiamo sperare di trovare in teorie fisiche che, come lameccanica quantistica, non ubbidiscono alla logica classica».

Ma perché la meccanica quantistica non ubbidisce alla logicaclassica? Una differenza fondamentale fra meccanica classica equantistica riguarda la rappresentazione matematica degli statipuri dei sistemi fisici studiati. Consideriamo un sistema fisicoclassico o quantistico: per esempio, un oggetto macroscopico

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IN SINTESI

2

RETICOLI E ALGEBRE DI BOOLEil n'algebra di Boole è un reticolo distributivo, dotato di massi-

mo e di minimo e complennentato.• (i) Un reticolo è una struttura algebrica ordinata che ha la se-

guente forma:

S=(S,s

dove:▪ è una relazione di ordine parziale (riflessiva, antisimmetrica

e transitiva) definita sull'insieme S.

Per ogni coppia di elementi a, b della struttura esiste il supremo

av b (ossia il più piccolo elemento che segue sia a sia b secondol'ordine s ), ed esiste l'infimo anb (ossia il più grande elemento

che precede sia a sia b secondo l'ordine ).• Iii) Un reticolo distributivo è un reticolo in cui le operazioni di

supremo e di infimo soddisfano le relazioni di distributività. L'in-

fimo cioè si distribuisce sul supremo: cm (b v c)- (un b) v (an

c). Simmetricamente, il supremo si distribuisce sull'infimo.• NO Un reticolo è dotato di massimo e di minimo quando con-

tiene un elemento (1, il massimo) che segue tutti gli altri ele-

menti, e un elemento (0, il minimo) che precede tutti gli altri ele-

menti secondo la relazione d'ordine s .

• liv) Un reticolo complementato è un reticolo su cui è definita

un'operazione di complemento ', che soddisfa i princìpi di non

contraddizione e del terzo escluso. Ossia:a v a'= 1; a A a'= O.

Un esempio concreto di algebra di Boole è rappresentato dal-la struttura di tutti i sottoinsiemi di un insieme dato, dove la riu-

nione, l'intersezione e il complemento relativo realizzano rispet-

tivamente le operazioni di supremo, infimo e complemento. L'e-

lemento minimo è rappresentato dall'insieme vuoto, mentre l'e-lemento massimo è rappresentato dall'insieme totale.

I reticoli ortocomplementati ortomodulari sono strutture al-

gebriche più generali, dove il principio di distributività è sostitui-

to da una condizione più debole, detta ortomodularità.

(come un sasso) o una particella microscopica (come un elettro-ne o un fotone). Che cosa s'intende per stato puro di quel siste-ma? Sia nella teoria classica sia in quella quantistica, uno statopuro corrisponde a un massimo di informazione che un osserva-tore può avere intorno al sistema studiato, un'informazione cioèche non può essere estesa, in modo coerente, a una conoscenzapiù ricca. Anche un'ipotetica mente onnisciente non potrebbesaperne di più! Gli stati puri classici e quelli quantistici si com-portano però in modo molto diverso. In meccanica classica ogniinformazione massimale è logicamente completa. Ciò significache gli stati puri sono in grado di decidere tutti gli eventi fisiciche possono accadere al sistema fisico studiato. Per esempio, sias uno stato puro di un oggetto classico e consideriamo l'evento«la velocità è nulla». La domanda «il sistema nello stato puro s havelocità nulla?» ammette una risposta binaria: sì o no. Dal puntodi vista logico, si usa dire che vale il principio semantico del ter-zo escluso: ogni evento è vero oppure falso rispetto a un qualsi-voglia stato puro s. Tertium non datar! (Non si dà un terzo caso!)

In questo contesto, ha senso rappresentare matematicamentegli eventi che possono accadere a un sistema fisico classico comeparticolari insiemi di stati puri: ogni evento sarà rappresentatodall'insieme di tutti gli stati puri che verificano quell'evento. Nel-l'esempio visto prima, l'evento «la velocità è nulla» sarà rappre-sentato dall'insieme di tutti gli stati puri che rispondono sì alladomanda «la velocità è nulla?». In modo simile, quando si fa se-mantica classica, si usa rappresentare matematicamente le pro-prietà di cui possono godere gli oggetti studiati con particolariinsiemi. Per esempio, l'insieme che rappresenta la proprietà «es-sere bello» sarà costituito da tutti gli oggetti belli. Se si rappre-sentano gli eventi con particolari insiemi, diventa naturale stu-diare come essi si combinino attraverso l'uso di operazioni logi-che. È possibile negare un evento dato, oppure congiungere o di-sgiungere fra loro due eventi. Esempi di eventi composti (ottenu-ti per negazione, congiunzione e disgiunzione) sono i seguenti:• «la velocità non è nulla»;• «la velocità è nulla e il valore della massa è un grammo»;• «la velocità è nulla o il valore della massa è un grammo»

Come si comportano la negazione, la congiunzione e la di-sgiunzione rispetto agli insiemi che rappresentano i diversi even-ti? L'insieme che rappresenta un evento negato («la velocità nonè nulla») sarà l'insieme di tutti gli stati puri che non verificanol'evento positivo (ossia il complemento insiemistico relativo del-l'insieme originario). L'insieme che rappresenta un evento con-giunto («la velocità è nulla e il valore della massa è un grammo»)sarà l'insieme degli stati puri che verificano entrambi i membridella congiunzione (l'intersezione dei due insiemi originari). Ana-logamente, l'insieme che rappresenta un evento disgiunto («la ve-locità è nulla o il valore della massa è un grammo») sarà l'insiemedegli stati puri che verificano almeno un membro della disgiun-zione (la riunione dei due insiemi originari). Su questa base risul-ta che gli eventi della meccanica classica danno luogo a unastruttura algebrica canonica, chiamata algebra di Boole (si vedala finestra nella pagina a fronte). Si dice anche che gli eventi fisi-ci classici hanno un comportamento algebrico di tipo booleano.

Ora, la classe delle algebre di Boole determina in modo natu-rale una particolare logica. Che cosa si intende esattamente per«logica»? Nell'accezione più generale, una logica rappresentauna teoria il cui concetto fondamentale è la relazione di conse-guenza logica. Si tratta di rispondere alla domanda: che cosa si-gnifica che una proposizione, espressa in un dato linguaggio, se-gue logicamente da altre proposizioni, considerate come premes-se? Le leggi di una data logica sono le proposizioni che seguonologicamente dall'insieme vuoto di premesse, ossia che valgonoin assoluto, indipendentemente da qualsiasi ipotesi. Si dimostrache la classe delle algebre di Boole permette di caratterizzare, at-traverso una particolare semantica di tipo algebrico, quella che

• Popper criticò aspramente l'approccio alla meccanica

quantistica proposto da John von Neumann e Garrett Birkhoff

in un lavoro del 1936, nel quale osservavano che questa teoria

non ubbidisce alla logica classica e suggerisce piuttosto una

logica in cui, oltre ai valori di verità «Vero» e «Falso», sono

contemplate situazioni semantiche indeterminate.

• L'ostilità di Popper all'interpretazione logico-quantistica

era legata alla predilezione, che condivideva con Einstein,

per un'interpretazione statistica estrema del principio

di indeterminazione, che lasciasse aperte le porte a un

possibile completamento della teoria con il ricorso a ipotetiche

«variabili nascoste».

• In realtà la presunta confutazione di Popper è basata su un

errore logico, come Jauch gli aveva fatto notare.

• Con la logica quantistica si può dimostrare che la meccanica

quantistica non può essere completata in modo deterministico

con una teoria non contestuale delle variabili nascoste e che,

al contrario di ciò che diceva Einstein, «Dio gioca a dadi».

JOHN VON NEUMANN (sopra) nel classico volume I fondamenti

matematici della meccanica quantistica,pubblicato in tedesco nel 1932,riuscì a fornire una formulazione assiomatica della teoria elaborata

da Werner Heisenberg (a sinistra).

siamo abituati a chiamare logica classica. Benché le algebre diBoole possano avere anche un numero infinito di elementi, le al-gebre che «contano» per caratterizzare la logica classica conten-gono solo due elementi: il valore di verità Vero (1) e il valore diverità Falso (0). La logica classica è cioè essenzialmente bivalen-te: situazioni semantiche indeterminate non sono considerate.

Che cosa accade nel caso della meccanica quantistica? E per-ché questa teoria non ubbidisce alla logica classica? Diversa-mente dalla meccanica classica, la meccanica quantistica è es-senzialmente probabilistica. Vale il celebre principio di indeter-minazione di Heisenberg: esistono coppie di grandezze fisicheincompatibili, a cui nessuno stato puro può attribuire simulta-neamente un valore preciso.

Esempi tipici di grandezze incompatibili sono: la posizione ela velocità, lo spin in una certa direzione e lo spin in una direzio-ne diversa. Riferiamoci al caso di un sistema quantistico costitui-to, per esempio, da un singolo elettrone. Gli stati puri quantisticivengono di solito indicati athaverso le lettere greche ti), lì_ Sup-poniamo che il nostro elettrone, nello stato ip, abbia un valoredeterminato per la grandezza spin nella direzione x (per esempio,lo spin nella direzione x sia all'insù). Allora, per il principio d'in-determinazione, il valore dello spin in qualsiasi altra direzionesarà assolutamente indeterminato. Pertanto l'evento «lo spin nel-la direzione z è all'insù» non sarà deciso dallo stato V.

In questa situazione, gli stati puri non sono in grado di deci-dere tutti gli eventi quantistici. In generale, ogni stato puro as-socerà a un dato evento non il valore di verità Vero o Falso, masolo un valore di probabilità (un numero reale compreso fra O e1). Pertanto, può accadere che un evento sia indeterminato ri-spetto a un certo stato puro: il suo valore di probabilità è diver-so sia da O sia da 1. Il principio semantico del terzo escluso vie-ne violato: Tertium datur! (Si dà un terzo caso!).

Pur rappresentando massimi di informazione, gli stati purinon sono logicamente completi. È come se il mondo dei quantiimponesse profonde limitazioni epistemiche non solo alla co-munità dei fisici, ma perfino a ipotetiche menti onniscienti!

Che dire allora della struttura algebrica degli eventi quantisti-ci? La maggiore novità della proposta di Birkhoff e von Neu-mann è fondata sulla seguente idea: i rappresentanti matemati-ci degli eventi quantistici non sono meri insiemi, ma sottospazichiusi di particolari spazi vettoriali, che sono chiamati spazi diHilbert (si veda la finestra a pagina 68). Da un punto di vista in-tuitivo, uno spazio di Hilbert H può essere immaginato comeuna specie di «ambiente matematico», dove «vivono» tutti i rap-presentanti matematici dei concetti fisici relativi al sistemaquantistico studiato. In questo ambiente astratto, gli stati puricorrispondono a particolari vettori dello spazio. Si conviene poiche uno stato puro verifichi un certo evento, quando gli assegnaprobabilità 1.

Sorge la domanda: che cosa significano negazione, congiun-zione e disgiunzione nel mondo degli eventi quantistici? Co-minciamo a occuparci della negazione. Da un punto di vista in-tuitivo, è ragionevole aspettarsi che la proprietà fondamentale di

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GLI SPAZI DI HILBERTI I no spazio di Hilbert H è un particolare spazio vettoriale sul quale è definita una

operazione di prodotto scalare che associa a ogni coppia di vettori un numero

(reale o complesso). Lo spazio deve essere metricamente completo rispetto alla me-

trica indotta dall'operazione di prodotto scalare; vale a dire, quando lo spazio contiene

tutti gli elementi di una successione di Cauchy, deve contenere anche il limite di quel-

la successione. Esempi facilmente visualizzabili di spazi di Hilbert sono R2 (il piano

cartesiano) e R3 (Io spazio tridimensionale).

I sottospazi chiusi di uno spazio di Hilbert H sono particolari insiemi di vettori di H

che sono chiusi rispetto alle combinazioni lineari e rispetto alle successioni di Cauchy

(ossia, l'applicazione di tali operazioni a elementi del sottospazio considerato porta

ancora su elementi del sottospazio).

Per esempio, nel caso dello spazio R3 , i sottospazi chiusi saranno:

• tutte le rette passanti per l'origine degli assi;

• tutti i piani che contengono l'origine;

• l'insieme il cui unico elemento è l'origine (detto sottospazio nullo);

• l'insieme di tutti i vettori di R3 (detto sottospazio totale).La teoria degli spazi di Hilbert è uno strumento essenziale per lo sviluppo della

meccanica quantistica.

EINSTEIN SI OPPOSE

sempre a una

interpretazione

della meccanica

quantistica

che portasse

all'abbandono

del principio

deterministico

di causalità.

In una lettera a Born

nel 1944 scrisse:

«Tu ritieni che Dio

giochi a dadi col

mondo; io credo

invece che tutto

obbedisca a una

legge, in un mondo

di realtà obiettiva,

che cerco di cogliere

pervia furiosamente

speculativa».

8

E

C

onsideriamo la retta X . L'ortoconnple-

mento di X sarà il piano determinato

da YeZ (costituito da tutti i vettori ortogo-

nali a ogni vettore appartenente alla retta

X).

A

X

/Lortocomplemento X' di X

cui la negazione quantistica dovrà godere sia la seguente: unostato puro q) associa alla negazione di un evento probabilità 1 see solo se qi associa all'evento positivo probabilità O. Simmetrica-mente nel caso della probabilità O.

Per esempio, supponiamo che lo stato puro q) associ proba-bilità 1 all'evento «la velocità è nulla». Allora (e solo allora) 113

dovrà associare probabilità O all'evento negato «la velocità nonè nulla». Ma gli stati che assegnano probabilità O all'evento «lavelocità è nulla» sono ovviamente di meno rispetto agli statiche assegnano allo stesso evento una probabilità diversa da 1.Questo perché, come sappiamo, esistono «tanti» stati puri percui l'evento «la velocità è nulla» è indeterminato (ossia il suovalore di probabilità è diverso sia da 1 sia da O). Ne viene che,in questo contesto, la negazione non può essere «ben rappre-sentata» dal complemento insiemistico (che «cattura» troppi sta-ti puri, che non soddisfano alla condizione voluta). Tuttavia,osservano Birkhoff e von Neumann, è possibile ricorrere aun'altra «buona» operazione che è definita sull'insieme deglieventi quantistici ed è chiamata ortocomplemento (si veda la fi-nestra nella pagina a fronte). Si dimostra che: l'ortocomple-mento di un evento cattura esattamente tutti gli stati puri cheassegnano probabilità O all'evento originario. Pertanto, l'orto-complemento rappresenta una realizzazione adeguata della ne-gazione quantistica.

Per quanto riguarda la congiunzione, Birkhoff e von Neu-mann osservano che è ancora possibile rappresentarla attraver-so l'intersezione insiemistica (come in meccanica classica). Peresempio, avremo che: uno stato puro assegna valore di probabi-lità 1 all'evento congiunto «la velocità è quella della luce e lamassa è nulla» se e solo se il nostro stato assegna probabilità 1 aentrambi i membri della congiunzione.

Che dire della disgiunzione? Come accade in logica classica,sembra ragionevole accettare che anche nei contesti quantisticiil comportamento della disgiunzione dipenda da quello dellanegazione e della congiunzione. Infatti, asserire una disgiunzio-ne significa negare la congiunzione delle negazioni dei duemembri della disgiunzione. Per esempio, i due eventi seguentihanno chiaramente lo stesso significato:• «lo spin nella direzione x è all'insù o lo spiri nella direzione x èall'ingiù».• «non accade che: lo spin nella direzione x non sia all'insù e lospin nella direzione x non sia all'ingiù».

11 risultato è un comportamento profondamente anomalo del-

GLI AUTORI

MARIA LUISA DALLA CHIARA, già pre-sidente della Società italiana di lo-gica e filosofia della scienza e dellaInternational Quantum StructuresAssociation, è docente di filosofiadella scienza presso la Facoltà dilettere e filosofia dell'Università diFirenze.ROBERTO GIUNTINI è docente di logi-ca presso la Facoltà di scienze pe-dagogiche e filosofiche dell'Univer-sità di Cagliari.

la disgiunzione quantistica (che dipende dalle caratteristiche del-la negazione quantistica): una disgiunzione può essere verificatada uno stato puro anche quando i suoi membri sono entrambiassolutamente indeterminati! Per esempio, ogni stato puro di unelettrone assegna probabilità 1 all'evento disgiunto «lo spin nel-la direzione x è all'insù o lo spin nella direzione x è all'ingiù».

Questo perché tutti gli elettroni ammettono soltanto due pos-sibili valori per la grandezza spin in qualsivoglia direzione: ilvalore «all'insù» e il valore «all'ingiù». Tuttavia, nel caso in cui ilnostro elettrone abbia un valore determinato per lo spin in unadirezione diversa da x (per esempio, nella direzione y), in virtùdel principio di indeterminazione, entrambi i membri della no-stra disgiunzione («lo spin nella direzione x è all'insù», «lo spinnella direzione x è all'ingiù») dovranno essere assolutamente in-determinati. Si tratta di una situazione logica frequente in mec-canica quantistica, dove spesso emergono alternative determina-te, i cui membri sono totalmente indeterminati.

Su questa base si dimostra che, diversamente dal caso classi-co, la struttura degli eventi quantistici non dà luogo a un'alge-bra di Boole. Si ottiene una struttura algebrica più debole, cheappartiene a una classe di particolari strutture astratte, chiamatereticoli ortocomplementati ortomodulari (si veda la finestra a pa-gina 67). «Più debole» significa che ogni algebra di Boole è unreticolo ortocomplementato ortomodulare, ma non viceversa.

Come abbiamo visto, la logica classica è la logica che corri-sponde naturalmente alla classe delle algebre di Boole. In modoanalogo, anche la classe dei reticoli ortocomplementati ortomo-

dulari permette di caratterizzare una forma particolare di logica,che è stata chiamata logica quantistica. Diversamente dalla logi-ca classica, la logica quantistica è essenzialmente polivalente: ivalori di verità non sono solo il Vero e il Falso. Situazioni di in-determinazione semantica sono possibili.

Un errore algebricodi Birkhoff e von Neumann?

La critica di Popper a Birkhoff e von Neumann usa un argo-mento algebrico. Dice Popper: ci deve essere qualcosa di sba-gliato nella struttura logico-quantistica che emerge dall'insiemedei sottospazi chiusi in uno spazio di Hilbert. Perché, a dispettodi quello che appare, si tratta in realtà di una struttura che col-lassa su un'algebra di Boole.

Anche senza entrare in particolari tecnici, è facile indicaredove si annida l'errore di Popper (in realtà abbastanza banaledal punto di vista logico).

I passi fondamentali del ragionamento di Popper possono es-sere così riassunti:i Prima di tutto viene richiamata la nozione di reticolo unica-I mente complementato: un reticolo è unicamente complemen-tato quando per ogni suo elemento esiste esattamente un altroelemento che si comporta come un «buon complemento» (ossiasoddisfa due princìpi che rappresentano la «versione algebrica»dei princìpi logici del terzo escluso e di non contraddizione).

LORTOCOMPLEMENTO IN R3

2«Birkhoff ha dimostrato che ogni reticolo ortocomplemen-

aato è anche un'algebra di Boole, purché sia unicamentecomplementato.»9 Nel caso della struttura degli eventi quantistici «Birkhoff e

von Neumann parlano di una operazione di complemento, equesto implica che la negazione sia unica... Non sempre vieneosservato che un simbolo come a' implica un'unica operazione[l'operazione indicata dal simbolo'] e ciò porta a contraddizio-ne qualora venga utilizzato nel caso in cui a abbia più di uncomplemento».CONCLUSIONE: «11 reticolo proposto da Birkhoff e von Neu-mann, supposto non booleano, è in realtà un'algebra di Boole».

Dove sta l'errore in questo ragionamento? In realtà, la strut-tura degli eventi quantistici risulta essere allo stesso tempo orto-complementata e non unicamente complementata. Infatti, ognievento quantistico (diverso dall'evento certo e da quello impos-sibile) risulta avere infiniti buoni complementi. L'evento cheviene scelto come la negazione quantistica di un dato evento èun elemento speciale in questa classe di buoni complementi.Non c'è nulla di contraddittorio in tutto questo, e la struttura de-gli eventi quantistici non collassa certo su un'algebra di Boole.

In conclusione, l'errore di Popper sta tutto nel passo (3), men-tre i passi (1) e (2) sono ovviamente corretti.

La logica quantistica e le variabili nascoste

Perché Popper considerava l'approccio logico-quantistico un«nemico» della sua filosofia della meccanica quantistica? Inmolte occasioni, Popper ha difeso una interpretazione statisticaestrema del principio di indeterminazione. Secondo lui, i mi-crooggetti potrebbero avere per coppie di grandezze fisiche in-compatibili (come la posizione e la velocità) valori accompagna-ti da precisioni che vanno oltre i limiti stabiliti dalle relazioni diindeterminazione di Heisenberg. In un certo senso, Popper haaddirittura anticipato il celebre argomento di Einstein-Podol-sky-Rosen (chiamato in gergo «EPR»), che fu presentato per laprima volta, nel 1935, nell'articolo Can Quantum-MechanicalDescription of Physical Reality be considered Complete?

L'intenzione di Einstein, Podolsky e Rosen era quella di dimo-strare l'incompletezza fisica della meccanica quantistica «orto-dossa»: gli stati puri della teoria non possono rappresentare unmassimo di informazione; altrimenti diventerebbe possibile de-rivare alcune conseguenze paradossali. 11 tipo di esperimento

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GIOCA Al DADI 71

ideale proposto da Popper è descrivibile come una sorta di «ultraEPR», basato su alcuni errori fisici.

C'è un interessante scambio epistolare fra Popper e Einsteinsu questo problema: Einstein mette in luce gli errori di Popper,Popper (diversamente da come più tardi avrebbe fatto conJauch) sembra accettare la critica di Einstein. In questa occasio-ne, Einstein ribadisce il suo ben noto atteggiamento verso lameccanica quantistica: «...in secondo luogo, non credo che do-vremo accontentarci per sempre di una descrizione tanto esile[fadenscheinig] della Natura».

È significativo che Popper, nella seconda edizione inglesedella sua Logica della scoperta scientifica, riportando la lettera diEinstein, abbia tradotto il tedesco fadenscheinig con loose andflimsy, cioè «approssimativo e superficiale», che sembra avere unsignificato peggiorativo rispetto all'aggettivo originario.

Alla fine della recensione a Birkhoff e von Neumann, Popperdiscute la possibilità di usare strumenti logico-quantistici perstudiare il problema delle variabili nascoste. Di nuovo, il suo at-teggiamento verso la logica quantistica è decisamente negativo:«Si noti che essi [Birkhoff e von Neumann] propongono un me-ro indebolimento della struttura logica... Non è possibile deriva-re alcuna conclusione sulle cosiddette "variabili nascoste" nelcontesto di un sistema così indebolito, a meno che quelle con-clusioni non siano già derivabili dal sistema classico più forte».

Questo è di nuovo un punto molto critico. Naturalmente,Popper ha ragione se si riferisce ai puri sistemi logici. La logicaquantistica è una logica più debole rispetto alla logica classica:ogni legge logica quantistica è anche una legge logica classica,ma in generale non viceversa. Pertanto, non è possibile dimo-strare, attraverso la logica quantistica, qualcosa che non sia giàdimostrabile nella logica classica. Tuttavia, le argomentazioniimportanti non sono solo teoriche, ma anche (e molto spesso)metateoriche. Ragionare a livello metateorico significa ragiona-re sulle capacità dimostrative e semantiche di teorie e di logichediverse. In questa prospettiva, la logica quantistica si è rivelatauno strumento metateorico molto efficace proprio nella discus-sione del problema delle variabili nascoste.

È possibile ottenere un completamento deterministico (nonbanale) della meccanica quantistica ricorrendo alle variabili na-scoste? Dopo la pubblicazione dell'articolo di Einstein-Podol-sky-Rosen, il problema della completezza fisica della meccanicaquantistica ha dato luogo a innumerevoli discussioni. Che cosasignificherebbe completare la meccanica quantistica attraversouna teoria non contestuale delle variabili nascoste? Molto sinte-ticamente si tratta di questo. Ogni stato puro ti) della teoria do-vrebbe venir esteso a uno stato completo (tp,k), dove k rappre-senta la parte nascosta, che riguarda valori di grandezze fisicheoggi sconosciute. Inoltre:

1 (ip'2'.) dovrebbe essere in grado di decidere tutti gli eventiquantistici (determinismo).

2' e (11),X) dovrebbero risultare coerenti sia dal punto di vista

logico sia dal punto di vista statistico. Pertanto lo stato orto-dosso ti) e il suo completamento (tii,k) (con la parte nascosta) do-vrebbero dar luogo alle stesse previsioni probabilistiche.9 11 completamento con la parte nascosta dovrebbe essere non

contestuale: ossia dovrebbe dipendere esclusivamente dallostato ortodosso ti), e non dalle scelte dell'osservatore che, in con-testi diversi, può decidere di misurare grandezze diverse.

Il problema della completabilità fisica (via variabili nascoste)si è rivelato profondamente connesso con una proprietà logica,che è stata chiamata proprietà di Lindenbaum (o anche di com-pletabilità logica). Una logica soddisfa la proprietà di Linden-baum quando ogni teoria non contraddittoria, espressa nel suolinguaggio, ammette un'estensione non contraddittoria e logica-mente completa, dove una teoria è logicamente completa quandoogni proposizione espressa nel suo linguaggio viene o dimostra-ta o refutata: in altri termini, non esistono problemi indecisi.

La logica classica e molte logiche non classiche soddisfano laproprietà di Lindenbaum. È questa una condizione che, dal pun-to di vista intuitivo, giustifica la fiducia nel fatto che tutti i pro-blemi siano in linea di principio decidibili, almeno in mente Dei,anche se con modalità non computabili e comunque non acces-sibili alla comunità scientifica. Che cosa accade in una situazio-ne logico-quantistica? In questo caso la proprietà di Linden-baum è in generale violata. Inoltre le due condizioni di compie-tabilità logica e completabilità fisica risultano profondamenteconnesse. Vale, infatti, la relazione seguente: la meccanicaquantistica ammette un completamento deterministico via va-riabili nascoste se e solo se la logica quantistica associata al si-stema di tutti gli eventi quantistici soddisfa la proprietà di Lin-denbaum. Si ottiene così una versione puramente logica dei co-siddetti no-go theorem: la meccanica quantistica non può esserecompletata in modo deterministico con una teoria non conte-stuale delle variabili nascoste. Contro le aspettative di Einstein,pare proprio inevitabile accettare l'idea che «Dio gioca a dadi».

BIBLIOGRAFIA

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DALLA CHIARA M. e GIUNTINI R., Popper and the Logic of QuantumMechanics, relazione presentata al Congresso «Karl Popper

2002. Centenary Congress», Vienna, 3-7 luglio 2002.

70 LESCIENZE 414/febbraio 2003