Portadas Tesoros de las MatemÃ¡tmathpr.weebly.com/uploads/8/3/6/3/8363293/vol_2... · En este material nos proponemos ilustrar el uso de la Geometría Dinámica en la en-señanza

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X P A I M

PublicacionesCRAIM

Tesoros de la Matemática

Volumen 2

La geometría dinámica

Luis Augusto Campistrous

Instituto Centralde Ciencias PedagógicasMinisterio de Educación de

la República de Cuba, La Habana, Cuba

Jorge M. López

Departamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico, Río Piedras

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Tesoros de la Matemática

Volumen 2

La geometría dinámica


Instituto Centralde Ciencias PedagógicasMinisterio de Educación de

la República de Cuba, La Habana, Cuba

Jorge M. López

Departamento de MatemáticasUniversidad de Puerto Rico, Río Piedras

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© Todos los derechos reservadosPublicaciones CRAIMTesoros de la Matemática2008

La Geometría Dinámica

Tabla de contenido

Introducción .......................................................................................... v

Sobre la organización de este escrito ............................................. xiv

Actividad I: El punto medio de una cuerda en movimiento (GS)............3

Actividad II: El ortocentro (GC)..............................................................7

Actividad III: Más sobre el ortocentro (GS) ..........................................13

Actividad IV: Rectas y ángulos (GC) ....................................................21

Actividad V: Los ángulos de un triángulo (GC).................................... 27

Actividad VI: Las cuerdas en movimiento y las

medianas de los triángulos (GS).............................................................. 33

Actividad VII: Las homotecias (Interludio GC)..................................... 40

Actividad VIII: Algunos problemas optativos sobre la Geometría

Analítica del plano: Las homotecias y los movimientos rígidos (GC)...... 47

Actividad IX: Las bisectrices angulares y los equicentros (GC)............ 53

Actividad X: Las bisectrices angulares de los triángulos (GS)............... 65

Leyenda: GC = Geometría Cabri, GS = “Geometer’s Sketchpad”

1. La Geometría Dinámica, página ii

Introducción

Los dos libros más publicados en la historia de la humanidad son la Biblia y Los

Elementos de Euclides. El primero es el libro de las Sagradas Escrituras de las reli-

giones cristianas, las más extendidas del mundo occidental, el segundo un manual

de Geometría.

Este hecho es a primera vista sorprendente. Debido a la extensión del cristianismo y

el poder económico y político de la civilización occidental, parece natural que las Sa-

gradas Escrituras sean el libro más publicado de la historia, pero que el segundo lu-

gar lo ocupe un libro de Geometría parece inexplicable.

La explicación reside en el hecho de que Los Elementos es mucho más que un manual

de Geometría, es un modelo de pensamiento cuya perfección se mantuvo indis-

cutida por más de 23 siglos. En efecto su perfección se mantuvo sin tacha hasta el

siglo XIX y ya en el siglo XX en su afán de perfeccionarlo los matemáticos produje-

ron una revolución en las concepciones de la Matemática, siempre inspirados en el

modelo euclidiano.

La génesis de este éxito sin precedentes en la historia está en las raíces mismas del

pensamiento griego. En todos los campos del conocimiento la ciencia griega buscaba

encontrar los “elementos” que daban origen a todo lo conocido; así Anaximandro

consideraba al aire, el agua, el fuego y la tierra, los elementos del mundo material.

De todos estos intentos de encontrar los elementos, el único que lo logró y pudo ex-

plicar todo el conocimiento a partir de ellos fue Euclides. Este éxito lo convirtió en

un modelo que trascendió el ámbito de la Matemática, se transformó en un modelo

de pensamiento científico. De este modo la Geometría se integró al núcleo de los

conocimientos necesarios para el “desarrollo de la inteligencia y la excelencia

1. La Geometría Dinámica, página iii

moral”: Las siete Artes Liberales.

La misma fuerza del modelo y el interés por desarrollar el pensamiento (entiéndase,

pensamiento lógico) convirtieron a este texto científico en un texto escolar. Lo que

generó uno de los errores pedagógicos más duraderos de la historia: el tratar de

enseñar Geometría con un texto diseñado para sistematizar el conocimiento geomé-

trico de su época.

Durante siglos se utilizó directamente Los Elementos para la enseñanza. Más tarde se

sustituyó por manuales escolares con todas las desventajas de Los Elementos y sin las

ventajas que da a este último la genialidad de su autor. La preeminencia de este

modelo hizo que en la enseñanza se diera importancia a la exposición de los

resultados finales, perfectamente organizados, ocultando a los ojos de los aprendices

el proceso de búsqueda.

Durante siglos la enseñanza de la Geometría consistió en la repetición de cadenas

deductivas que “demostraban” teoremas, sin que aquellos que las repetían supieran

por qué lo demostraban ni cuál era el origen de esa afirmación, que supuestamente

habían demostrado.

Corresponde al matemático húngaro George Polya (1887-1985), el mérito de haber

rescatado la necesidad de convertir el proceso de búsqueda de las afirmaciones

matemáticas y sus demostraciones en objeto de enseñanza. Para este fin retoma la

antigua ciencia griega de la heurística (según el diccionario, heurística es el “arte de

inventar”) y la transforma en la heurística moderna.

En sus propias palabras: “la heurística moderna trata de comprender el método que

conduce a la solución de problemas, en particular las operaciones mentales típicamente

útiles en este proceso”. Son diversas sus fuentes de información y no se debe descui-

dar ninguna. Un estudio serio de la heurística debe tomar en cuenta el trasfondo

tanto lógico, como psicológico; no deben descuidarse las aportaciones hechas por

1. La Geometría Dinámica, página iv

autores tales como Pappus, Descartes, Leibniz y Bolzano, pero debe apegarse más a

la experiencia objetiva.

Una experiencia que resulta a la vez de la solución de problemas y de la observación

de los métodos del prójimo, constituye la base sobre la cuál se construye la heurís-

tica. En este estudio buscaremos, sin descuidar ningún tipo de problema, los puntos

comunes de las diversas formas de tratar cada uno de ellos y después trataremos de

determinar las características generales independientes del tema del problema.

Un estudio tal tiene objetivos “prácticos”; una mejor comprensión de las operaciones

mentales, típicamente útiles en la solución de un problema, y puede en efecto influir

favorablemente en los métodos de enseñanza, en particular en lo que se refiere a las

matemáticas.1

Más adelante, Polya señala: “Un Razonamiento Heurístico provisional, tan sólo

plausible, tiene un valor importante en el descubrimiento de la solución, pero no

debe admitirse como una demostración; incumbe a cada uno adivinar qué ocurre (en

el sentido de proponer conjeturas), pero también examinar las hipótesis. La naturaleza

del razonamiento heurístico se trata en indicios de progreso, pero la discusión se

podría ahondar”.2

En el párrafo anterior, Polya destaca algunas ideas que rompen con la tradición de

milenios en la enseñanza de la Matemática, en particular de la Geometría. Por pri-

mera vez en mucho tiempo se reconoce que en la Matemática hay que “adivinar”,

hacer “Razonamientos provisionales” sin el acabado perfecto de las demostraciones

elaboradas en los manuales tradicionales y, además, que hay que reconocer “indi-

cios” de progreso; que no hay seguridad en los avances, que no se adelanta en línea

recta, que hay retrocesos y vueltas.

1 Polya, George. Cómo plantear y resolver problemas, México DF: Editorial Trillas, 19892 Ibid

1. La Geometría Dinámica, página v

A pesar de que el libro de Polya fue publicado por primera vez en 1944, no es hasta

la década del 80, en el boom de la resolución de problemas, que sus ideas son

tomadas en cuenta. A partir de entonces la heurística comienza a ser ampliamente

difundida y se multiplican las experiencias para aplicarla en la enseñanza de la

Matemática.

Aunque hemos visto que Polya habla de “operaciones mentales” y “razonamientos

heurísticos”, los autores posteriores han acuñado diferentes términos para hacer re-

ferencia a ellas. Incluso muchos autores han llegado a construir una tipología de es-

tos procedimientos heurísticos.

Así por ejemplo, el alemán Horst Müller señala:

“... la psicología del aprendizaje ha demostrado que si los alumnos se

apropian de procedimientos que apoyen la realización consciente de las

actividades mentales exigidas, pueden llegar entonces a resultados mucho

mejores en la resolución independiente de problemas. Los procedimientos

con estas propiedades se llaman pro cedimientos heurísticos. La heurística es

una disciplina científica aplicable en todas las ciencias e incluye la elaboración

de principios, estrategias, reglas y programas que faciliten la búsqueda de la

vía de solución para problemas, es decir, para tareas no algorítmicas de

cualquier tipo y de cualquier dominio científico o práctico.”3

Algunos autores llegan a convertir esta tipología en un programa tan complejo que

llega a traicionar las ideas de Polya, pues casi se llega a algoritmizar el razonamiento

heurístico. Nosotros preferimos hablar de estrategias, en un sentido que trata de ser

el mismo de las operaciones mentales de las que habla Polya.

3 Müller, Horst. Formas del trabajo heurístico en la enseñanza de la Matemática. Boletín de la Sociedad Cubana deMatemática y Computación Nº 6, 1986

1. La Geometría Dinámica, página vi

Con la llegada a las aulas de las “súpercalculadoras” se incrementan las potenciali-

dades de la enseñanza heurística, estas calculadoras se convierten en “herramientas

heurísticas” que permiten hacer realidad la exploración, la búsqueda de suposicio-

nes y la formulación de conjeturas, así como detectar los indicios de progreso en su

trabajo.

Esto se hace aún más notable en el campo de la Geometría, en el que la introducción

de la Geometría Dinámica permite dar a la enseñanza de esta ciencia una orientación

nunca antes utilizada y hacer llevar a la práctica estrategias heurísticas que antes

apenas podían ser esbozadas.

En este material nos proponemos ilustrar el uso de la Geometría Dinámica en la en-

señanza de la Geometría y en la aplicación de las estrategias heurísticas para resol-

ver problemas, está concebida para llegar a los profesores, facilitarles su trabajo y

ayudarlos a generar ideas nuevas en el uso de estas herramientas.

Los cambios que hay que producir, tienen que estar dirigidos a una nueva manera

de trabajar estos contenidos donde se pueda explotar más y mejor los recursos tec-

nológicos actuales, exponer a los alumnos a situaciones activas de aprendizaje

donde se enfrenten continuamente a procesos de búsqueda, planteo de conjeturas,

comprobación experimental de ellas, entre otras formas de actuación.

En relación con lo antes planteado, la forma clásica de trabajar la Geometría,

presenta las figuras estáticas, por tanto aparece siempre una posición particular, una

concepción particular, una figura en particular. Esto hace que el alumno forme en su

imaginación y siempre presente a las figuras geométricas de una manera concreta e

independientemente de todas las cosas que se le puedan decir sobre el hecho de que

las figuras geométricas son abstractas, todo lo que pueda decirse sobre el hecho de

1. La Geometría Dinámica, página vii

que esas figuras son sólo un caso particular, que no deben asumirse las propiedades

de la figura concreta que están viendo. En la práctica el alumno siempre ve una

figura y siempre piensa sobre una figura y las propiedades las asocia con una

determinada figura.

Por ejemplo, aunque enunciamos que la suma de los ángulos interiores de cualquier

triángulo es de 180 grados, siempre el alumno lo va a ver asociado a un determinado

triángulo, y difícilmente él va a asumir esa propiedad, cualquiera que sea el trián-

gulo, porque va a tener alguna figura concreta en su cabeza.

En el trabajo con esta propiedad, que es quizás una de las que más se trabaja, se le

hace ver al alumno que da lo mismo que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u

obtusángulo, pero sin embargo no se tiene tanto cuidado con la figura que sirve de

modelo. De igual modo se enuncia, por ejemplo, el hecho de que la distancia entre

dos puntos es el menor camino, o que cada lado de un triángulo es menor que la

suma de los otros dos, y también eso siempre se ve asociado a una determinada

forma de figura.

Ahora bien, cuando las figuras geométricas adquieren la forma de moverse, es de-

cir, adquieren dinamismo, estamos en presencia de la Geometría Dinámica. Ésta

permite que el alumno se forme una idea más general de esas figuras geométricas, y

que no asocie las propiedades a una forma particular de las figuras.

Por ejemplo, en el caso de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, él podrá

ver que cuando movemos el triángulo esto hace que se mantenga la suma de sus án-

gulos interiores y permite, además, precisar el caso especial del triángulo rectángulo y

el caso límite, que es el caso en que un ángulo se hace 180 grados y los otros dos

1. La Geometría Dinámica, página viii

miden 0 grados.

De igual modo sucede con la propiedad de que en todo triángulo, cada lado es me-

nor que la suma de los otros dos, donde con esta variante dinámica se puede, ade-

más de comprender de una manera más general la propiedad, también precisar el

caso límite, es decir, cuando los tres puntos están en línea recta que es cuando se

obtiene la igualdad.

Lo mismo pasa con cualquier tipo de figura, por ejemplo cuando se toma un para-

lelogramo cualquiera y se analiza la amplitud de sus ángulos opuestos, el alumno

podrá apreciar que cualquiera que sea la forma de ese paralelogramo, se va a man-

tener la propiedad de que esos ángulos son iguales o que tienen la misma amplitud.

Sin embargo, si se toma la longitud de los lados consecutivos, los alumnos verán que

la propiedad de igualdad de dos lados consecutivos sólo se va a cumplir en un tipo

muy particular de cuadrilátero (el rombo y, en particular, el cuadrado) pues cuando

uno lo mueve va a obtener variaciones.

1. La Geometría Dinámica, página ix

Esto hace que la Geometría Dinámica permita a los alumnos formarse conceptos mu-

cho más generales acerca de las figuras geométricas y comprender de una manera

más completa las propiedades geométricas. De esa manera el alumno no va a asociar

ya cada propiedad con una forma particular de la figura.

Otra ventaja de la Geometría Dinámica es que permite aprovechar plenamente una

de las estrategias heurísticas en la solución de problemas geométricos, que difícil-

mente pueda ser aprovechada en otros casos, que es la estrategia de mover la figura.

De esta manera el alumno puede mover la figura y conservar ciertas propiedades, y

puede formarse una imagen de qué cosa es lo que ocurre al hacer las variaciones y

así tener ideas de cómo resolver el problema. Es decir, esto permite realizar esta

estrategia heurística, ya recomendada por Polya en el año 1944 en la primera edición

de su libro How to solve it, que de otra forma es casi imposible de hacer. Lo mismo

ocurre con la estrategia heurística de “considerar casos particulares”, “considerar

casos límites”, así como “medir y comparar”, entre otras; en las cuales al darle

movilidad a la figura se hacen visibles de una manera muy natural y se pueden

alcanzar esos casos y formarse una idea de cuál puede ser la solución del problema.

Por otra parte, cuando se va a hacer dinámica una figura, es necesario mantener

determinadas condiciones. La Geometría Dinámica permite fijar las propiedades

básicas de las figuras, para poderlas mover de manera que continúen siendo lo que

se quiere que sean. Para ello es necesario saber exactamente qué se puede mover y

cómo se puede mover.

Como antes se planteó, esta concepción permite hacer la introducción de la tecnolo-

gía, en este caso el empleo de calculadoras, súpercalculadoras y computadoras, en el

proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría. Pues con ella existe la

posibilidad de “mover las figuras geométricas”, es decir, variarlas de modo que

adquieran dinamismo, y antes hemos dicho que cuando eso sucede estamos en

1. La Geometría Dinámica, página x

presencia de la Geometría Dinámica. Ésta permite que el alumno se forme una idea

más general de esas figuras geométricas y no asocie las propiedades a una forma

particular de las figuras, no obstante, habría que incluir algunos elementos de

contenido, especialmente en lo que a habilidades se refiere, que permitan también

que aprendan a “mover en una figura o variarla”.

A continuación ilustraremos, con ejemplos desarrollados, como se puede utilizar la

tecnología para dinamizar la Geometría.


Instituto Central de Ciencias Pedagógicas

Ministerio de Educación de la República de Cuba

La Habana, Cuba, Agosto 2002

Dr. Jorge M. López

Departamento de Matemáticas y Ciencia de Cómputos

Universidad de Puerto Rico

Río Piedras

1. La Geometría Dinámica, página xi

Sobre la organización de este escrito

El presente fascículo consiste de una colección variada de problemas geométricos

cuya dilucidación se puede conseguir de manera creadora y efectiva mediante la

utilización de los programas de exploración geométrica hoy disponibles en el

mercado.4 Básicamente, el escrito consiste de problemas geométricos acompaña-

dos de guías heurísticas que mueven al estudiante hacia la exploración y la for-

mulación de argumentos lógicos para la confección de demostraciones sobre los

hallazgos observados. También se presentan “interludios” teóricos con apoyo en

la calculadora, en los que se expone al estudiante a resultados geométricos im-

portantes, pero basado más en argumentos algebraicos y lógicos y con menos

“experimentación”.

Típicamente las actividades tienen varias secciones:

El ambiente de exploración

Se emplea para “mostrar” al estudiante, mediante la calculadora fenómenos

curiosos de un “ambiente geométrico” creado por los autores. Al mismo

tiempo se pregunta sobre lo que está observando y se promueve la

formulación de conjeturas sobre lo observado. En esta primera etapa las

conjeturas esperadas son en cierto sentido “primitivas”, ya que luego de la

orientación heurística presentada en la actividad, es de esperarse que el estu-

diante pueda formular conjeturas muchos más detalladas.

Preguntas guías para la realización de observaciones

Estas preguntas constituyen propiamente dichas las guías heurísticas de la

4 Al momento de escribir este documento ello significa básicamente dos programas a saber “TheGeometer’s Sketchpad” y “Geometría Cabri”. El libro se ha confeccionado empleando estosprogramas, los cuales están instrumentados en las calculadoras TI-89, TI-92 y en la nueva Vogage 200.Hay otros programas en el mercado, aunque no vinculados con las calculadoras (hasta dondenosotros sabemos), como Cinderella y “The Geometric SupperSupposser”. De cualquier manera,cualquiera de estos programas, ejecutables o no en la calculadora, es adecuado para trabajar lasactividades aquí presentadas.

1. La Geometría Dinámica, página xii

actividad.

Formulación de conjeturas

En esta sección de una actividad se espera que el estudiante pueda formular

conjeturas mucho más abarcadoras y detalladas, e idealmente que pueda

generar las demostraciones correspondientes de sus hallazgos.

Advertimos al maestro que las actividades pueden incluir actividades más o

menos directas, pero también pueden contener actividades cuya dilucidación sea

un tanto sofisticada y suponen un tanto de madurez por parte del estudiante.

Esperamos que las actividades presentadas ayuden a generar una atmósfera de

“investigación” y exploración en el salón de clases, que sirva para proyectar en el

estudiante la imagen de que la matemática es una disciplina “viva” donde con

mucha frecuencia lo mejor de ésta es lo que parece estar por descubrirse.

1. La Geometría Dinámica, página xiii

1. La Geometría Dinámica, página xiv

Actividades

La Geometría Dinámica, página 2


Actividad I: El punto medio de una cuerda en movimiento (GS)


Emplea uno de los programas geométricos discutidos y dibuja una circunferencia

en la que traces una cuerda como la que se muestra.

Figura 1

En el dibujo se ha identificado un extremo de la cuerda como P (el punto móvil,

como veremos), y también se ha construido el punto medio m de la cuerda.

Emplea los recursos del programa, haz los ajustes necesarios para que el punto m

genere un trazo al moverse (en nuestro caso se ha introducido un botón de

animación). Como una opción adicional, si deseas, puedes dar animación al

punto P para que se mueva alrededor de la circunferencia.

Preguntas guías para la realización de observaciones:

1. ¿Qué tipo de trazo se observa cuando se mueve el punto P a lo largo de la

circunferencia? ¿Qué dos puntos especiales de la figura parecen estar en el trazo

obtenido?

2. Repite el procedimiento y ubica el “punto fijo” de la cuerda en diferentes lugares


de la circunferencia. Contesta las preguntas anteriores, sobre las figuras que se

obtienen con la reubicación del extremo fijo de la cuerda.

Formulación de conjeturas:

1. ¿Cuál es el centro del círculo que parece describir el trazo del punto medio de la

cuerda? ¿Cuál es su radio?

Figura 2

Figura 3

2. Completa la siguiente conjetura: El lugar geométrico del punto medio de una

cuerda de cuyos extremos se mueve a lo largo de su circunferencia es...

3. Propón una demostración para la conjetura.


4. Frasea la conjetura 2 de arriba, emplea los términos “homotecia” y “lugar

geométrico”. (De no saber qué es una “homotecia”, puedes examinar la sección

sobre homotecias más adelante.)

5. ¿Qué ocurre si se toma otro punto en la cuerda? Por ejemplo un punto a 2/3

partes de la distancia total de la cuerda, medida a partir del punto fijo de ésta.

¿Cómo representarías tal situación en el programa?



Actividad II: El ortocentro (GC)


En esta actividad nos referimos a uno de los puntos notables clásicos en los trián-

gulos, el ortocentro. Comenzamos por construir un triángulo y construimos sus

tres alturas. Un teorema de la Geometría plana asevera que las alturas de

cualquier triángulo son cevianas1, concurrentes del triángulo (el punto común es

el ortocentro). Para convencernos de que no se trata de un fenómeno casual

debido a las características de algún triángulo particular, en esta exploración

habremos de variar la forma del triángulo y veremos que se conserva la pro-

piedad mencionada del ortocentro.

Figura 1

Figura 2

1 Es decir segmentos desde un vértice de un triángulo hasta un punto en el interior del lado opuesto.


Si empleamos una construcción como las presentadas en las Figuras 1 y 2

podemos observar que el ortocentro se desplaza del interior al exterior del

triángulo, al ubicar en diferentes posiciones del plano uno de los vértices del

triángulo. ¿A qué se debe este desplazamiento? ¿Cómo se mueve el ortocentro al

transformar el triángulo de esta manera?

En esta actividad limitaremos el estudio a un caso especial siguiendo las

recomendaciones de la heurística. Consideremos un triángulo inscrito en una cir-

cunferencia y estudiemos la variación del ortocentro al variar la posición del

triángulo en dicha circunferencia. Para ello necesitamos un triángulo que se

mueva conservando la misma circunferencia circunscrita. Nos preguntamos:

¿Cómo podemos lograr que un triángulo se mueva libremente en una

circunferencia? La construcción debe realizarse de modo que los tres vértices

puedan moverse libremente en la circunferencia de suerte que se pueda observar

el movimiento resultante del ortocentro. Para ello activaremos la traza para ese

punto. Por otra parte, en la Figura 3 se ha construido un triángulo con las

características que acabamos de enunciar, y en él se ha construido el ortocentro

empleando dos de las tres alturas. Para mayor claridad se han ocultado las líneas

empleadas en la construcción del ortocentro. En la Figura 4 se puede apreciar el

trazo resultante a medida que se mueve el ortocentro como resultado del

movimiento del vértice B alrededor de la circunferencia.



1. ¿Qué crees que ocurre? ¿Qué propiedades del comportamiento dinámico de la

figura podemos conjeturar?

2. Repite el proceso con el movimiento de los vértices A y C, respectivamente, y

observa. ¿Se refuerza o se refuta tu conjetura?

Figura 3

Figura 4

Figura 5


Formulación de conjeturas

1. Aparentemente, la trayectoria del ortocentro es una circunferencia congruente con

la circunferencia en la que está inscrito el triángulo. Prueba la conjetura.

[Sugerencias: Algunas propiedades conocidas pudiesen muy bien ser relevantes en

la dilucidación del problema sobre decidir cuándo un conjunto de puntos dados

queda sobre una circunferencia. Piensa en primer lugar en los teoremas sobre las

condiciones suficientes para que un cuadrilátero sea concíclico2. Piensa también en la

caracterización del arco capaz como el lugar geométrico de los puntos desde los

cuales se ve un segmento bajo un ángulo fijo. Observa que el ángulo B en la Figuras

6 y 7 es un ángulo constante, inscrito sobre la cuerda AC del círculo y analiza la

relación entre el ángulo formado por las alturas trazadas desde los vértices A y C y

el ángulo B del triángulo.

Figura 6

Traza las alturas mencionadas y utiliza el instrumento de medición de GC para

obtener el valor de los ángulos implicados.

Cambia la forma del triángulo moviendo vértices sobre la circunferencia. Nota

2 Es decir, inscriptible en un círculo.


que en las Figuras 6 y 7 se han representado dos posiciones diferentes del

triángulo. ¿Qué puedes decir sobre los dos ángulos mencionados? ¿Cuál es su

suma? ¿Qué sugiere esto respecto a una posible confirmación de la conjetura?

¿Puedes escribir ahora una demostración?

Figura 7

Comienza trazando una figura como la que aparece en la de la Figura 8 a

continuación.

Figura 8

Intenta ahora hallar una relación entre el ángulo AHC, formado por las alturas y

el ángulo B del triángulo. Como sospechas que estos ángulos son suplementa-


rios, podrías investigar la relación del ángulo AHC con los ángulos A y C (cuya

suma angular es suplementaria al ángulo B). Prueba que ∠HAC = 90° − ∠C y

que ∠HCA = 90° − ∠A , para luego concluir que ∠HAC + ∠HCA = 180° −

∠A + ∠C( ) = 180° − ∠B( ). Esto funciona en el arco más pequeño. Para el arco

mayor algo análogo funciona.]

2. La segunda conjetura se refiere a la congruencia de ambas circunferencias. Recuer-

da que dos circunferencias son congruentes si y sólo si sus radios son iguales.

Recuerda que el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo R, está dada por

la relación b/sen (B) = 2R , donde b es el lado opuesto al ángulo B. Explica

entonces, empleando el problema anterior, ¿por qué las circunferencias son

congruentes?


Actividad III: Más sobre el ortocentro (GS)

Las cuerdas en movimiento y las alturas de los triángulos


En este ejemplo transformamos un poco las condiciones del ejemplo de la Actividad

I para relacionarlo con la Actividad II. Dibuja una circunferencia y en ella traza una

cuerda como la que se muestra.

Figura 1

Esta cuerda permanecerá, como veremos, inmóvil en el presente experimento.

Emplea los recursos del programa GS, dibuja otra cuerda cuyos extremos no

coincidan con los de la cuerda ya dibujada y rotula un extremo como PM (“punto

móvil” -el otro extremo, PF, es el “punto fijo” de la cuerda-).

Figura 2


Luego dibuja una perpendicular desde PM a la recta que contiene la cuerda inicial

AB como se muestra en la Figura 3. Construye una perpendicular desde el punto B

hasta la recta que contiene el segmento que va desde PF a PM. En la Figura 4 se

aprecian ambas perpendiculares dibujadas y el punto de intersección de tales

perpendiculares. ¿Hay algunas rectas ocultas en la figura?

Figura 3

Figura 4


Figura 5

Ahora realiza los ajustes necesarios para que el punto de intersección genere un

trazo al mover el punto PM a lo largo de la circunferencia. Como una opción

adicional, si deseas, puedes dar animación al punto P para que se mueva alrededor

de la circunferencia. Notarás en la Figura 5 una curva un tanto exótica que queremos

investigar (se han ocultado las perpendiculares trazadas). En las Figuras 6 y 7 se

pueden apreciar varias de las curvas que se generan a medida que se cambia la

posición del punto PF.

Figura 6

Figura 7

Nota que en la Figura 7 los trazos obtenidos son “casi” círculos, lo que aparenta

haber ocurrido cuando el punto PF “casi” coincide con el extremo A de la cuerda


original, o cuando PF coincide con la reflexión del punto A en torno al diámetro del

círculo paralelo a la cuerda original.


L1

L2

PF = (c, d)

PM = (rcos(t), rsen(t))

A = (0, a)

B = (0, -a)

(0, 0)

Figura 8

Considera la Figura 8. En ella hemos representado el punto móvil PM a base de las

funciones trigonométricas del ángulo t, medido en posición normal en el círculo con

centro en el origen y radio r. Además hemos colocado la cuerda original

verticalmente, de manera que los extremos sean puntos en una recta vertical con

coordenadas (a, b) y (a, -b), de manera que PF tenga coordenadas (c, d). Claramente

la curva original diferirá de ésta por una rotación y alguna traslación, ¿por qué?

Hemos denotado por (x, y) al punto de intersección de las perpendiculares descritas

anteriormente en el enunciado del problema.


1. Prueba que si r es el radio del círculo, entonces:

La ecuación de la recta desde el punto B perpendicular al segmento que une

los puntos PF y PM esta dada por

y + b = −

r cos( t ) − cr sen (t) − d

x − a( ).

Claramente, la recta desde PM perpendicular a la recta AB esta dada por

y = r sent .

El punto de intersección de estas dos rectas es:

x =

− r2sen 2 (t) + ar cos( t) − (b − d)r sen(t) + (bd − ac)r cos( t ) − c

(I - a)

y = r sent (I - b)

Claramente podemos emplear la calculadora para resolver el problema bajo

consideración. En las siguientes pantallas se han representado en el editor de

ecuaciones paramétricas de una calculadora Voyage 200 las ecuaciones de arriba,

tomando r =1, y ubicando a PF en los puntos indicados.

Izquierda c = 0, d = 1; derecha c = - 1, d=0Figura 9

Repite el procedimiento ubicando el “punto fijo” de la cuerda movible en


diferentes lugares de la circunferencia. Observa las gráficas que se obtienen con

la re-ubicación del extremo fijo de la cuerda.

Izquierda c = 0, d = -1; derecha c = - 2 /2 , d= - 2 /2Figura 10


1. Describe las curvas que se obtienen cuando el punto fijo de la cuerda móvil se

coloca sobre el extremo A de la cuerda fija inicial de la circunferencia. ¿Pasa algo

similar en el extremo B?

Figura 11

2. Dibuja la bisectriz perpendicular de la cuerda fija inicial del círculo y

construye los dos puntos de intersección con la circunferencia. ¿Qué ocurre

con la curva que se traza a medida que el punto fijo se acerca a los puntos

construidos? ¿Qué puedes conjeturar sobre las “curvas límites”? En la Figura

12 se muestran los resultados que se obtienen en las trazas cuando el extremo


fijo de la cuerda móvil se ha colocado sobre una de las intersecciones de la

bisectriz perpendicular de la cuerda fija con la circunferencia original.

Figura 12

3. Prueba que a medida que el punto (c, d) se “acerca” al punto (a, b), el trazo de

las ecuaciones paramétricas I – a y I – b se “acerca” a una circunferencia. En

las ecuaciones paramétricas I – a y I – b supón que el punto (c, d) coincide con

el punto (a, b). [Sugerencias: Demuestra primero que,

x = a +

bd − r2 + r 2 cos 2 (t) + (d − b)cos( t )r cos( t ) − c

.

Luego sustituye c = a y d = b y demuestra que las ecuaciones se transforman

en

x = 2a + r cos( t)

y = r sen(t) .

Observa que estas son las ecuaciones paramétricas de un círculo con centro

(2a, 0) y radio r, y que en efecto es la imagen bajo una reflexión3 en torno a la

recta vertical x = a del círculo original. Repite el procedimiento con el punto c

= -a y d = b. ¿Qué obtienes? Completa la siguiente conjetura: “El lugar

3 Una reflexión respecto a una recta L es una transformación que deja fijos los puntos de la recta y que envíacualquier otro punto P al punto en el lado opuesto de la recta P´, de manera que L biseca perpendicularmente alsegmento PP´. Véase sección sobre homotecias y movimientos rígidos.


geométrico del ortocentro4, de un triángulo inscrito en una circunferencia, a

medida que uno de sus vértices se mueve a lo largo de la circunferencia es…

Debes emplear la palabra “reflexión”. Formula otra conjetura similar de

acuerdo a lo discutido en este problema].

4. Se tiene un círculo con una cuerda fija y se construyen los puntos del círculo

en la bisectriz perpendicular de esta cuerda fija. Luego se traza una cuerda

desde uno de estos dos puntos, digamos D, hasta otro punto P en la

circunferencia y se construye el punto de intersección X de la perpendicular

de DP en D y la perpendicular desde P a la recta que contiene la cuerda fija

original (cuando existe tal intersección). Describe el lugar geométrico de X, a

medida que P se mueve a lo largo de la circunferencia original. Tu conjetura

debe emplear frases como “recta tangente a la circunferencia en D” y

“reflexión del círculo”.

5. Demuestra tu conjetura.

44 En la Geometría plana se demuestra que las tres alturas de un triángulo se encuentran en un punto llamadoortocentro. Véase actividad anterior.


Actividad IV: Rectas y ángulos (GC)


En esta actividad nos proponemos estudiar las relaciones que se establecen entre

los ángulos determinados por la intersección de dos o más rectas no paralelas en

el plano. La situación más simple se produce en el caso de dos rectas no

paralelas. Este será nuestro tema de exploración en esta actividad. Esta es una

situación conocida por nosotros desde grados tempranos de los estudios

escolares. En nuestra exploración de los ángulos formados por dos rectas no

paralelas emplearemos el programa de la GC. La Figura 1 muestra una situación

particular, pero típica, en la que se muestra que dos rectas no paralelas han

determinado cuatro ángulos, aunque tan sólo dos medidas angulares. Nota que

los ángulos son iguales dos a dos.

Figura 1

En esta imagen se puede ver que los ángulos que se oponen por el vértice tienen

la misma medida, mientras que los que yacen sobre una misma recta (los

adyacentes) son suplementarios. Ahora exploramos un poco para ver si tal

circunstancia se debe a una posición particular de las rectas o es una


característica general de este tipo de situación geométrica. Emplea las

funcionalidades dinámicas de la GC, mueve las rectas y observa cómo cambian

los ángulos resultantes; examina la Figura 2. ¿Qué observas?

Figura 2


1. Ahora añade una tercera recta a la figura de suerte que no haya ningún par

de ellas paralelas. Es decir, estarás explorando la situación general de dos

rectas que son cortadas por una secante o transversal. Aunque inicialmente te

hemos indicado que la exploración se hará suponiendo que ningún par de las

rectas trazadas son paralelas, más adelante no asumiremos ninguna posición

especial para tales rectas.

Figura 3


2. Representa en una figura, como la 3, la situación descrita a continuación.

Emplea los recursos y las funciones del Cabri para representar rectas generales.

En nuestro caso se puede apreciar que las rectas representadas no son paralelas.

¿Cuántos ángulos han determinado las rectas representadas? Recuerda que los

ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida, ¿cuántas medidas

angulares puedes identificar? Ahora debes mover la figura y observar lo que

ocurre. ¿Cuántos ángulos observas? ¿Cuántas medidas? Nota que siempre se

tienen ocho ángulos y cuatro medidas independientes.

Esta situación se ilustra en la Figura 4, en otra posición.

Figura 4

¿Qué conjeturas puedes formular sobre los ángulos que forman dos rectas

cortadas por una transversal?


Figura 5

3. Exploremos ahora con algunos casos especiales. Dibuja dos rectas paralelas y

traza una transversal o secante. Piensa en alguna situación como la que se ha

representado en la Figura 5.

4. ¿Cuántos ángulos puedes identificar? ¿Cuántas medidas? ¿Cómo comparan el

número de ángulos y el número de medidas angulares de este caso con el caso de

una sola recta cortada por una transversal? ¿Qué puedes decir de las medidas de

todos los ángulos agudos y todos los ángulos obtusos en este caso?

5. La conjetura del problema anterior sintetiza los teoremas relativos a ángulos

entre paralelas cortadas por una secante y también hace evidente que se trata de

un resultado que se ajusta al caso de las rectas paralelas. Sin embargo, para

garantizar la veracidad del resultado, se requiere una demostración. En este

ejercicio te pedimos que confecciones tal demostración y para ello te ofrecemos

las siguientes sugerencias. Primeramente, observa que se requiere demostrar que

los ángulos en las mismas posiciones son congruentes; ver la Figura 6. Esa idea

nos hace pensar en la posibilidad de desplazar una recta respecto a la otra.


Figura 6

Esta operación se representa en las Figuras 6 y 7, en las que sólo se han representado

las medidas de dos ángulos correspondientes para simplificarlas. La Figura 7 es el

resultado de realizar una traslación en la dirección de la recta secante y se puede

comprobar que los ángulos de la misma denominación se superponen, es decir,

tienen la misma medida.

Figura 7

De esta forma se elabora el siguiente resultado: Cuando dos rectas son cortadas

por una secante, si dichas rectas son paralelas, y sólo si lo son, los ángulos de la

misma denominación son iguales y los de diferente denominación son

suplementarios. ¿Qué crees que significa la terminología del resultado? ¿Puedes

confeccionar un argumento que demuestre la aseveración?



Actividad V: Los ángulos de un triángulo (GC)


En esta actividad continuaremos investigando sobre ángulos. En la anterior ana-

lizamos lo que se puede decir cuando los ángulos se generan al cortarse dos

rectas o cuando una recta corta a otras dos y, en particular cuando esas dos rectas

son paralelas. En esta actividad nos referimos a tres rectas en posición general,

que determinan un triángulo y a todos los ángulos que se generan en esa situa-

ción. ¿Puedes explicar porqué en esta situación, en la que hay tres puntos en los

que se intersectan las rectas tomadas por pares, hay un total de 12 ángulos que

son iguales por pares? Examina la Figura 1.

Figura 1

¿Por qué entonces resultan seis medidas diferentes que resultan ser suplemen-

tarias dos a dos? Así pues se tienen tres valores independientes como se muestra

en la Figura 2. Nos preguntamos entonces si estos tres valores son realmente

independientes o es posible encontrar alguna relación entre ellos. Seguramente

has escuchado que la suma de tales ángulos es 180º. Ahora queremos crear un

ambiente de exploración y búsqueda que te permita decidir la naturaleza de la


suma mencionada.

Figura 2


1. Ante una situación como la representada en la Figura 2 es difícil formular una

conjetura razonable. En la situación presente eso significa fijar el valor de alguna

de las medidas.

2. Comencemos considerando que uno de los ángulos es recto. Esta idea puede ser

fructífera, ya que de esa forma quedan sólo dos valores independientes y es más

sencillo formular una conjetura. La Figura 3 ilustra la situación que resulta.

Figura 3

¿Qué puedes observar de los dos ángulos agudos del triángulo? ¿Qué se observa


de los ángulos externos del triángulo? Formula conjeturas que comiencen de la

siguiente manera: La suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es…

La suma de cada uno de los ángulos exteriores de un triángulo rectángulo es igual a la

suma…

3. Nota que una de las afirmaciones está muy ligada a la situación particular que

hemos elegido. Transforma ahora la figura empleando los recursos del

programa. La Figura 4 por ejemplo muestra una tal transformación. ¿Qué puedes

decir de tus conjeturas a la luz de tal transformación?

Figura 4

4. En la Matemática se emplea con frecuencia la consideración de casos especiales

(como en el ejercicio anterior), de una situación dada para luego emplear tales

casos en la dilucidación de la situación general. Considera ahora el caso general;

en la Figura 5 hemos representado una tal “situación general”. Compara en este

caso también la medida de cada ángulo exterior con la suma de las medidas de

los dos interiores no adyacentes. ¿Qué puedes observar? Con respecto a los

ángulos interiores, ¿se conserva acaso la condición de que la suma de dos de

ellos sea igual al tercero? ¿Puedes decir algo sobre la suma de los tres ángulos


internos? ¿Cómo compara esto con la conjetura correspondiente en el caso del

triángulo rectángulo?

Figura 5

Transforma aún más la figura, como se ha hecho, por ejemplo, en las Figuras 6 y

7.

Figura 6

Figura 7


5. Ahora te pedimos que confecciones una demostración para la propiedad sobre la

suma de los ángulos internos de un triángulo arbitrario. Para ello te pedimos que

recuerdes la Actividad IV. En nuestro caso, sin embargo no parecen haber rectas

paralelas. Sin embargo, es posible introducirlas trazando una recta a través de un

vértice y paralela al lado opuesto. Traza una tal recta en tu figura; observa la

Figura 8.

Nota la recta paralela trazada. ¿Cómo “descompone” esta recta al ángulo exte-

rior? ¿Cómo comparan los ángulos de la descomposición con los ángulos

interiores no adyacentes? ¿Cómo puedes justificar esta igualdad a base de las

propiedades que has estudiado sobre dos rectas paralelas cortadas por una

secante? Nota que en cada caso la secante es la recta que contiene a uno de los

lados del triángulo.

Figura 8



Actividad VI: Las cuerdas en movimiento y las medianas de los triángulos (GS)


En este ejemplo transformamos un poco las condiciones del ejemplo de la

Actividad III. Dibuja una circunferencia y en ella traza una cuerda como la que

se muestra.

Figura 1

Esta cuerda permanecerá, como veremos, inmóvil en el presente experimento.

Emplea los recursos del programa GS, dibuja otra cuerda cuyos extremos no

coincidan con los de la cuerda ya dibujada y rotula un extremo como PM (punto

móvil -el otro extremo, PF, es el “punto fijo” de la cuerda-).

Figura 2


Luego dibuja los puntos medios de las cuerdas trazadas, como se muestra en la

Figura 3 (M y N) y construye los segmentos de PM a M y de B a N, como se

muestra en la misma figura. Continúa construyendo el punto de intersección de

los segmentos. Luego oculta los segmentos y “marca” el punto de intersección,

para que describa un trazo cuando se mueva.

Figura 3

Figura 4


Figura 5

En las Figuras 4 y 5 se pueden apreciar los trazos del punto de intersección de los

segmentos a medida que ubicamos el punto PF en diferentes lugares de la

circunferencia. Puedes notar que en el caso en que el punto fijo se hace coincidir

con el punto A, parecería que la traza describe un círculo como en la Figura 6.

Figura 6


1. Describe las curvas que se obtienen cuando el punto fijo de la cuerda móvil se

coloca sobre el extremo A de la cuerda fija inicial de la circunferencia. ¿Pasa algo

similar en el extremo B? ¿Qué crees que ocurre en el extremo B? ¿Qué piensas

hubiese ocurrido si en lugar de dibujar segmentos hubiésemos dibujado rectas?

Repite el experimento dibujando rectas en lugar de segmentos y contrasta lo que

observas en tal caso, con lo que observaste en este caso.

2. Considera la Figura 7 en la que vemos el círculo dibujado y en la que hemos

trazado los segmentos descritos anteriormente. En este ejercicio deseamos

determinar las ecuaciones paramétricas del punto de intersección de las rectas


que pasan, por un lado por los puntos N, B, y por el otro, por los puntos M y PM.

Nota que como hicimos anteriormente, hemos expresado las coordenadas del

punto PM como funciones trigonométricas del ángulo en posición normal del

punto. Demuestra que las coordenadas del punto de intersección están dadas

por:

x =

br 2 cos 2( t) + r(bc − a(b − d))cos(t) + a(r(a − c)sen( t) − ad − bc )r(2b + d)cos(t) + r(a − c)sen (t ) − a(2b + d)

y =

br sen(t)(r cos(t) − 2a + c)r(2b + d)cos( t ) + r(a − c)sen (t) − a(2b + d)

PF = (c, d)A = (a, b)

B = (a, -b)PM = (r cos(t), r sen(t))

Figura 7

[Sugerencias: Coloca la cuerda fija AB de manera vertical en un sistema de

coordenadas, como se muestra, y sea M el punto medio de la cuerda (Nota que M

= (a, 0).) Demuestra que la recta que pasa B y M tiene ecuación


y + b =

d + 2b + r sen(t)c − 2a + r cos( t)

(x − a).

Por otra parte la ecuación de la recta que pasa por D y N, el punto medio del

segmento de PF a PM, tiene ecuación

y =

r sen(t )r cos( t ) − a

(x − a) .

Si resuelves simultáneamente por x y por y tenemos,

x =

br 2 cos 2( t) + r(bc − a(b − d))cos(t) + a(r(a − c)sen( t) − ad − bc )r(2b + d)cos(t) + r(a − c)sen (t ) − a(2b + d)

y =

br sen (t)(r cos( t) − 2a + c)r(2 b + d)cos( t ) + r(a − c)sen (t) − a(2b + d)

.

Puedes graficar estas ecuaciones paramétricas para distintos valores de a, b, c, d

y r, sujetos, claro está a las relaciones que hay entre estas variables que se

deducen del hecho de que los pares (a, b) y (c, d) están en el círculo de radio r.

En la Figura 33 la pantalla de la izquierda corresponde a los valores r=1,

a = b = 2 /2 , c = 1 , d = 0. La pantalla de la derecha corresponde a los valores

r=1, a = b = 2 /2 , c = 1, d = 0.

Figura 8

Notarás que en estas pantallas aparecen asíntotas, que corresponden a valores en


los que se anulan denominadores (hablando un tanto informalmente, el “lápiz”

de la calculadora tiene que “regresar” de un extremo del infinito al otro y deja

una huella que es la asíntota). En el GC se puede hacer el mismo experimento

con mejores resultados gráficos, pero en este caso queremos verificar que

obtenemos los mismos trazos que con el GS].

3. Examina las ecuaciones paramétricas obtenidas, predice qué ocurre cuando el

punto (c, d) coincide con el punto (a, b). Demuestra que el trazo límite es

x =

r3

cos(t) +2 a3

y =

r3

sen (t ) .

¿Cuál es la gráfica de estas ecuaciones paramétricas? Demuestra qué es un

círculo de radio r/3 y centro (2a/3, 0). Recuerda que las medianas de un

triángulo se encuentran en un punto común conocido como el centroide o

baricentro. Concluye que el lugar geométrico del punto del baricentro de un

triángulo inscrito en un círculo, uno de cuyos vértices se mueve a lo largo de la

circunferencia es la imagen homotésica del círculo original, la cuál es un círculo

con centro… y radio…


Figura 9

4. Repite el ejercicio 3, cuando el punto (c, d) coincide con el punto (a, -b). ¿Cuál

es el lugar geométrico en este caso? ¿Por qué?


Actividad VII: Las homotecias (Interludio, GS)

Introducción

Una transformación del plano es una función que a cada punto P del plano se le

asigna algún otro punto del plano, digamos H(P). Por ejemplo, la corresponden-

cia que mueve cada punto del plano tres unidades a la derecha es una

transformación del plano llamada traslación. En nuestro caso estamos interesados

en ciertas transformaciones del plano llamadas homotecias. En esta discusión

denotaremos por |P, Q| a la distancia entre los puntos P y Q del plano. Al

utilizar esta notación podemos decir que una homotecia H es una transformación

del plano, para la cual existe algún número α tal que |H(P),H(Q)| = α |P, Q|

para todos los puntos P y Q del plano. Si α > 1 decimos que H es una ampliación

y si α < 1, decimos que H es una contracción. El caso α = 1 es particularmente

interesante, como veremos, y en tal caso decimos que H es un movimiento rígido

del plano. En esta sección todas nuestras homotecias serán contracciones. Una

propiedad interesante de las contracciones es que todas tienen un punto fijo

único llamado centro; un punto fijo de una transformación H es un punto P que

queda inmóvil bajo la acción de la transformación, es decir, tal que H(P) = P. ¿Por

qué necesariamente tiene que ser único un punto fijo de una homotecia? Sin

embargo, como el lector fácilmente descubre, los movimientos rígidos pueden

tener un número infinito de puntos fijos.


En los programas de exploración geométrica que estamos utilizando, es posible


representar ampliaciones y contracciones del plano. Por ejemplo en el GS una

homotecia (llamada genéricamente dilatación), se específica mediante dos

parámetros, como se muestra en la siguiente pantalla:

.

Figura 1

La razón indicada (en este caso 1:2) muestra que se trata de una homotecia con

parámetro α = 1/2.


Dibuja un triángulo, un círculo y un ángulo en la pantalla del GS. Escoge además un

centro C para la homotecia con parámetro α = 1/2. El resultado obtenido podría ser

parecido al que se muestra en la figura 2.

Figura 2


Luego de completar el trazado de las figuras indicadas, escógelas todas y aplica una

transformación homotésica, primeramente con razón α = 1/2 y luego con α = 1/3.

En la próxima figura se muestra la transformación con el valor α = 1/2 y en la que

sigue inmediatamente se observa la transformación correspondiente con α = 1/3.

Figura 3

Figura 4

En cada caso identifica las figuras originales así como las imágenes homotésicas

correspondientes. Nota que en algunos casos las figuras obtenidas son

congruentes (es decir una de ellas se puede hacer coincidir con la otra luego de

un movimiento rígido5). En otros casos las figuras obtenidas son similares, es

5 En algunos casos esta definición se sustituye por otra que no permite la reflexión de una figura, pues la últimatiene “salir del plano” para asumir su nueva posición. En esta sección no emplearemos esta variante de ladefinición.


decir, las razones de partes correspondientes siempre son por la misma razón (en

este caso α). Determina el caso del que se trata en cada una de las figuras

dibujadas.

1. Demuestra que una homotecia H es una transformación “inyectiva” o uno-

uno, es decir, si P y Q son puntos del plano y H(P) = H(Q), entonces P = Q.

2. ¿Cuál es la imagen homotésica de un círculo? Es decir, ¿qué figura se forma al

transformar un círculo mediante una homotecia? Pruébalo; es fácil probar qué

es parte de un círculo, pero no tan fácil probar qué es un círculo completo. En

otras palabras, para una homotecia dada, no sabemos que cualquier punto

arbitrario del plano es la imagen homotésica de algún otro punto del plano

(Es decir, en lenguaje matemático, no sabemos que una homotecia es una

función del plano sobre sí mismo –y lo es-).

3. ¿Cuál es la imagen homotésica de un triángulo? Describe la relación entre el

triángulo original y el triángulo transformado empleando la palabra

“similar”. (Aquí también aplican los comentarios del ejercicio anterior.

Puedes suponer que una homotecia es una transformación o función del

plano sobre el plano).

4. ¿Cuál es la imagen homotésica de un ángulo (Dos rayos con un punto

común)? ¿Cambiará su medida?

5. Traza un círculo como el que se muestra en la figura 5 y toma un punto

arbitrario A como centro de una homotecia que ahora definiremos.


Figura 5

Determina ahora la imagen homotésica del círculo con razón 1/2.

Figura 6

Luego, traza una cuerda desde el punto A hasta algún otro punto de la

circunferencia.

Figura 7

Halla el punto o los puntos de intersección de la cuerda trazada con el círculo


transformado y rotula los mismos como se muestra en la figura.

Figura 8

Traza segmentos entre los puntos A y B y entre los puntos B y C. Utiliza los

recursos de medición del programa geométrico para determinar las longitudes

de tales segmentos. ¿Qué observas? (Véase Figuras 9 y 10) Mueve le punto C

para que ocupe diferentes posiciones en la circunferencia. ¿Qué observas? ¿Qué

puedes decir del punto medio de una cuerda de un círculo a medida que un

extremo se mueve a lo largo del círculo?


1. ¿Cuál es la imagen homotésica de un círculo?

2. ¿Cuál es la imagen homotésica de un triángulo? Describe la relación entre el

triángulo original y el triángulo transformado, emplea la palabra “similar”.

3. ¿Cuál es la imagen homotésica del ángulo (Dos rayos con un punto común)?

4. Demuestra que toda contracción tiene un punto fijo único y que ese punto es

el centro. Demuestra lo mismo para las ampliaciones (α > 1). ¿Qué ocurre

cuando α = 1? ¿Puedes caracterizar todas las homotecias del plano con α = 1,


es decir, todos los movimientos rígidos del plano?

Figura 9

Figura 10

5. ¿Qué tienen que ver las imágenes homotésicas de un círculo con el lugar

geométrico del punto medio de una cuerda del mismo, uno de cuyos extre-

mos se mueve libremente en la circunferencia? ¿Puedes demostrar la conje-

tura?

6. ¿Cómo se transforma el área de una figura en una transformación homoté-

sica? Prueba tu conjetura para algunas figuras como triángulos, cuadrados y

círculos.


Actividad VIII: Algunos problemas optativos sobre la Geometría Analítica del

plano: Las homotecias y los movimientos rígidos (GS)


Demuestra o convéncete de algún modo que toda homotecia con parámetro α < 1

tiene un punto fijo único conocido como centro. ¿Qué ocurre cuando α ≥ 1?

Muestra mediante ejemplos que en el caso α = 1 puede ocurrir lo siguiente: que

todos los puntos del plano podrían ser puntos fijos, que el conjunto de todos los

puntos fijos formen una recta, o sólo existe un punto fijo. ¿Te aventuras a describir

todos los movimientos rígidos del plano (α = 1)? [Sugerencia: Dada una homotecia

H, considera las imágenes repetidas de un punto P: H(P), H(H(P)), H(H(H(P))), etc.

Emplea el GS para representar tales imágenes. Observa la figura que se obtiene con

α = 1/2].

Figura 1



1. Una reflexión sobre una recta L es una función RL que envía los puntos del plano al

plano mismo de tal manera que:

a. Si P es un punto de L, entonces RL (P) = P;

b. Si P no es un punto de L, entonces RL (P) es el punto distinto de P tal

que la recta L es la bisectriz perpendicular del segmento de P a RL (P) .

Figura 2

Demuestra que si RL es una reflexión, entonces RL es una composición de la forma

TQ °R ′ L , donde TQ es una traslación por un punto Q y R ′ L es una reflexión sobre una

recta ′ L que pasa por el origen. [Sugerencia: Una traslación por un punto (o vector

Q) es la transformación o función TQ definida por TQ(P) = P− Q para todo punto P

del plano; aquí la operación de resta es la “vectorial” usual dada por

x,y( )− ′ x , ′ y ( ) = x − ′ x ,y − ′ y ( ) , donde todas las variables representan números reales.

2. Sea RL una reflexión sobre la recta L y suponga que L pasa por el origen. Enton-

ces existen números reales h y k tal que y R L[(x, y)] = hx + ky , kx − hy( ), donde

h2 + k 2 = 1, y la relación es válida para todo punto del plano (x, y). [Sugerencias


para una demostración: Sea θ ∈[0,π ) la inclinación de la recta L y sean c = cos(θ) ,

s= sen(θ ) . Verifica que la ecuación de L este dada por cy – sx = 0. Sea (u, v) un

punto cualquiera del plano y nota que la distancia de (u, v) a la recta L es |cv –

su|. Discutimos el caso |cv – su| = cv – su; el otro caso es similar. Prueba que la

ecuación de la recta a través de (u, v) y perpendicular a L está dada por sy + cx =

sv + cu. La intersección de esta última recta con la recta L se puede demostrar

que tiene coordenadas x = c(sv + cu) y y = s(sv + cu). El punto de reflexión

deseado entonces estaría dado por,

2(c(sv + cu), s(sv + cu)) – (u, v) = 2csv + c2u − s2u, 2csu + s 2v - c2v( ).

Nota que este último punto no es otro que,

sen 2θ( )v + cos 2θ( )u, sen 2θ( )u- cos 2θ( )v( ) y esta claro cuáles son los escogidos de h

y k].

3. Demuestra que la función RL como la definida en el ejercicio anterior es una

reflexión sobre una recta L que pasa por el origen.

4. En este ejercicio se presentan sugerencias para determinar todos los movimientos

rígidos del plano que fijan el origen. Supón que T es un movimiento rígido del

plano, es decir, que para todo par de puntos P y Q del plano, |T(P),T(Q)|= |P.

Q|. Suponga que además T fija el origen O = (0, 0), es decir, T(O) = O. Tomamos

dos puntos especiales U = (1,0) y V = (0, 1). Suponemos que las imágenes de U y

V bajo la acción de T están dadas, digamos, por (c, s) y (a, b) respectivamente.

Pruebe las relaciones


| T(U), T(V)| = 2

| T(U),0| = 1

| T(V),0| = 1

y demuestra mediante ellas que,

c2 + s 2 = 1

a 2 + b 2 = 1

c − a( )2 + s − b( )2 = 1

De estas últimas relaciones prueba que ac + bs =0 y finalmente, que i) a = - s y b =

c, o que ii) a = s y b = - c. Damos sugerencias para el caso i), ya que es el caso ii)

uno análogo. Sea P = (x, y) un punto arbitrario del plano. Supón que T(P) = (w, z)

y calcula las siguientes cantidades,

|O, T(U)| = |O, U|

|O, T(P)| = |O, P|

|T(P), T(U)| = |P, U|, y

|T(P), T(V)| = |P, V|,

para obtener las relaciones siguientes:

c2 + s2 = 1

w 2 + z 2 = x 2 + y 2

w − c( )2 + z − s( )2 = x − 1( )2 + y2

w + s( )2 + z − c( )2 = x 2 + y − 1( )2

Demuestra entonces que x = wc + zs y que y = zc – ws. Al resolver estas


ecuaciones por w y z vemos que T[(x, y)] = (w, z) = (sx + cy , cx – sy). De acuerdo

al ejercicio 3, en este caso T es una reflexión sobre una recta. En el caso restante,

el lector puede demostrar, si empleamos razonamientos análogos, que para todo

par de números reales x. y tenemos T[(x, y)] = (cx - sy , sx + cy). Ésta es una

rotación del plano que deja el origen fijo. Invitamos al lector que experimente con

valores específicos de s y c para explorar las diferencias entre los dos tipos de

movimientos rígidos.

5. Demuestra que todo movimiento rígido del plano es la composición de una

rotación en torno al origen y una traslación.

6. Observa que la transformación identidad es una rotación, (¿por qué?) pero no

una reflexión. Demuestra además, que si dos rotaciones en torno al origen (es

decir, que fijan el origen) se componen, entonces la función resultante es otra

rotación. Demuestra también que una rotación en torno al origen es una función

1-1 (como todas las homotecias) y también sobre. Por lo tanto la función inversa

existe. Prueba que ésta última es también una rotación. Demuestra que la

composición de rotaciones que fijan al origen es una operación conmutativa, es

decir, si R y S son rotaciones en torno al origen, entonces R °S = S°R. Todas estas

propiedades sobre las rotaciones se resumen al decir que “las rotaciones en torno

al origen forman un grupo comutativo bajo la operación de composición”.

7. Demuestra que si H es una homotecia con factor α , entonces existen números

reales a, b, h, k, tal que a2 + b2 = α 2 y se cumple una de las siguientes

condiciones:


H[(x,y)] = (ax− by + h,bx+ ay+ k) para todo punto del plano (x, y), o

H[(x,y)] = (ax+ by + h,bx− ay+ k) para todo punto del plano (x, y).

Además toda transformación de este tipo es una homotecia con parámetro

α = a2 + b2 .

[Sugerencia: Luego de una traslación se obtiene una homotecia que fija el origen

′ H y 1

α′ H es un movimiento rígido.]

8. Una función f : R → R es un movimiento rígido de la recta si |f(x) – f(y)| = |x –

y| para todo par de números reales x, y. Demuestra que existe un número real b

tal que i) f(x) = x + b para todo número real x, o ii) ) f(x) = - x + b para todo

número real x.

9. Indica por qué el siguiente argumento para demostrar el ejercicio anterior es

inadecuado: “Como f es un movimiento rígido, |f(x) – f(0)| = |x – 0| = |x| y

tenemos f(x) – f(0) = ± x. Por lo tanto, f(x) = ± x + b para toda x, donde b = f(0)”.


Actividad IX: Las bisectrices angulares y los equicentros (GC)


En esta actividad continuaremos en la exploración de los puntos notables de un

triángulo. En este caso se trata de las bisectrices de los ángulos interiores de un

triángulo cualquiera. En la Geometría Clásica se demuestra que tales bisectrices

concurren todas en un punto llamado el incentro. En la Figura 1 hemos trazado las

tres bisectrices de un triángulo arbitrario.

Figura 1

Figura 2

Resulta verdaderamente sorprendente que las tres bisectrices concurran en un

mismo punto. Emplea los recursos dinámicos del programa para transformar el

triángulo original. En la Figura 2 se muestra una tal transformación. Observa que


las bisectrices angulares siguen siendo concurrentes. Esto nos lleva a pensar que

ciertamente la concurrencia de las bisectrices parece ser una general que se da en

todos los triángulos. Dicho sea de paso, el punto de concurrencia se conoce como

“incentro” del triángulo, ya que es el centro del círculo inscrito en el triángulo.

Prueba esta última aseveración. Explica por qué este punto, a diferencia del

ortocentro de un triángulo, siempre queda siempre ubicado en el interior del

triángulo. En la Figura 3 se ha trazado el círculo inscrito a un triángulo dado.

Figura 3

Explica cómo al conocer el incentro de un triángulo se puede trazar el círculo

inscrito. Verifícalo con la calculadora.

Ahora pasamos de esta situación un tanto estática (el triángulo posee un único

incentro), a una situación más dinámica y fluida. Si hacemos variar el triángulo

así habrá de variar el incentro y, de paso, la circunferencia inscrita. La Figura 4

ilustra la trayectoria del incentro cuando se hace variar el triángulo. ¿Cuál es la

relación entre el movimiento del triángulo y la de su incentro y su círculo

inscrito?



1. Ahora concentraremos nuestra atención a un tipo particular de movimiento: el

movimiento de uno de los vértices del triángulo a lo largo de su circunferencia

circunscrita. En este contexto veremos nuevamente la pregunta original relativa

al lugar geométrico del incentro. ¿Cómo se construye la circunferencia

circunscrita del triángulo? ¿Cómo se determina su centro, el circuncentro?

Demuestra ambas conjeturas.

Figura 4

2. En el recuadro izquierdo de la Figura 5 se muestra la trayectoria del incentro,

cuando uno de los vértices recorre la circunferencia circunscrita. En el recuadro

derecho de la misma Figura se muestran los trazos obtenidos luego de

desplazados dos diferentes vértices del triángulo.


Figura 5

De la Figura parecería que cuando el vértice describe la circunferencia circunscrita,

el incentro recorre dos arcos de otras circunferencias. ¿Se trata realmente de arcos de

circunferencia? Y si así fuera, ¿de qué circunferencias se trata? Para abordar estas

preguntas podemos seguir una práctica milenaria de la Matemática, que consiste en

preguntarnos por las relaciones existentes entre lo dado (el incentro) y lo buscado (los

arcos de circunferencia – si es que en efecto los son– que “abrazan” a un segmento,

en nuestro caso, uno de los lados del triángulo dado).

Los siguientes ejercicios están concebidos para ayudarte a demostrar que los arcos

observados en los trazos son en efecto porciones de circunferencias las cuales se

pueden describir a base de los excentros y el incentro del triángulo dado.

3. Construye un triángulo ABC inscrito en un círculo como se muestra en la Figura

6. Construye el incentro I del triángulo. Luego, mide el ángulo AIC y observa su

medida a medida que mueves el vértice B del triángulo a lo largo de la

circunferencia. ¿Qué observas? Nota que la medida del ángulo se mantiene

constante cuando el punto B se mantiene en el mismo lado del segmento AC,

pero que cambia cuando B se mueve al lado opuesto. ¿Cuánto suman las

medidas de estos dos ángulos? En las Figuras 7 y 8 se muestra un resultado de

un caso específico. Enuncia una conjetura y pruébala. [Sugerencias: Recuerda que

el arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales un segmento

se ve bajo un ángulo constante. Esta observación podría resultar útil en la

determinación de las circunferencias. Construye los ángulos bajo los cuales se ve


el lado desde el incentro y comprueba si varían o no al describir la circunferencia.

La Figura 6 ilustra el ángulo descrito y cómo varía su medida al variar el vértice

libre sobre la circunferencia.

Figura 6

Figura 7


Figura 8

¿Cuánto mide el ángulo ACI al compararse con el ángulo C? ¿Y el ángulo CAI al

compararse con el ángulo A? Observa que la medida del ángulo B es constante a

medida que movemos el vértice B a lo largo de la circunferencia en el mismo

lado del segmento AC. Al utilizar estas observaciones y el dato de que las

medidas de los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados, demuestra

que en la Figura 6, ∠AIC = 180 ° − (∠A + ∠C)/2 = 90° + ∠B/2 . ¿Por qué?

Si denotamos por I 1 al incentro correspondiente cuando B se encuentra en un la-

do dado del segmento AC (que podrías denotar por B 1) y por I 2 cuando B = (B 2 )

está en el lado opuesto, entonces, si empleamos la relación anterior se demuestra

que,

∠AI 1C + ∠AI 2C = 270° ].

4. Usa esta última relación y la ley de senos para demostrar que los arcos de trazos

están, en general, contenidos en circunferencias de diferentes radios. ¿Qué

circunferencias son? ¿Son congruentes con la circunferencia original?

[Sugerencias: Ya habíamos mencionado que dos circunferencias son congruentes

cuando y sólo cuando tienen igual diámetro. De acuerdo a la ley de senos, el

diámetro de la circunferencia original está dado por:

2 R =

bsen B

=b

sen 180 ° − B( ).

En el caso de los arcos descritos por el incentro tenemos, si utilizamos el mismo

resultado:


2 R1 =

bsen I1

y 2 R2 =b

sen I 2

.

Por otra parte, nota que,

∠I 1 + ∠I2 < 180° (¿Por qué?).

Por consiguiente, sen I 1 ≠ sen I2 (¿por qué?) de donde podemos concluir que R1≠≠≠≠

R2].

Sin embargo, es de esperar que se completara al menos una circunferencia. ¿Qué

puede faltar? ¿Qué, si algo, estamos dejando de considerar que nos hace perder

la simetría del resultado? Un poco de reflexión nos convence de que hemos

considerado el incentro, que no es otra cosa que el punto de intersección de las

bisectrices de los ángulos interiores, pero que en un triángulo hay, además,

ángulos exteriores. Esto significa que tenemos bisectrices de esos ángulos y otros

posibles puntos de intersección.

5. En este problema te pedimos que explores la concurrencia de las bisectrices de

los ángulos externos del triángulo con la de sus ángulos internos. La primera

idea para tratar de completar la simetría es considerar los ángulos exteriores y

buscar la posibilidad de que también sean concurrentes. La Figura 7 muestra un

caso en el que no son concurrentes, eso elimina la posibilidad de tener un

excentro como punto de intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores.


Figura 9

Aunque es mucho esperar tener la concurrencia de las bisectrices exteriores,

existen otras posibles combinaciones que puedes explorar. Siempre que en una

combinación intervengan dos bisectrices interiores, su punto de intersección es el

incentro que ya consideramos. Pero existe otra posibilidad que ahora te pedimos

que explores.

Figura 10

Nota que es posible explorar la situación en que se tienen dos bisectrices de

ángulos exteriores y una del ángulo interior no adyacente a ellos. Es razonable

pensar que no puede considerarse otro ángulo interior porque sus vértices

coinciden con uno de los ángulos exteriores, y las bisectrices se cortan en dicho

vértice, por lo que no se pueden cortar en el exterior del triángulo. La Figura 10


muestra una de las tres posibilidades y que, en efecto, son concurrentes. Prueba

que el punto obtenido, llamado excentro, sirve de centro a una circunferencia que

es tangente a un lado del triángulo y a la prolongación de los otros dos. En la

Figura 10 se ha identificado como E1 para destacar que es sólo uno de tres

posibles. En la Figura 11 hemos representado el incentro y los tres excentros.

6. En este problema te pedimos que reflexiones sobre las dos circunferencias, cuya

existencia sospechamos al trazar el lugar geométrico del incentro. Para ver si

hemos logrado recuperar la simetría de la situación te pedimos que explores

haciendo uso de la Geometría Dinámica sobre lo qué ocurre con los excentros

cuando uno de los vértices recorre la circunferencia.

Figura 11

Figura 12


Figura 13

En la Figura 12 se muestra lo que ocurre con el incentro, y en la Figura 13 se

muestra lo que ocurre con los tres excentros a medida que se desplaza uno de los

vértices del triángulo original en la circunferencia circunscrita. En este último

caso vemos que se obtiene una figura que en cierto modo parece el complemento

de la que describe el movimiento del incentro. El cuadro se completa si

consideramos el movimiento del incentro y de los tres excentros

simultáneamente (conocidos por el nombre genérico de excentros) como se

muestra en la Figura 14.

Figura 14

En esta figura aparecen claramente las dos circunferencias cuya existencia hemos

inferido y cuyos diámetros se calcularon al estudiar el movimiento del incentro.


Considera el caso especial del triángulo equilátero. ¿Qué ocurre con el incentro y

el circuncentro en este caso? Observa la Figura 15. Sin embargo, a la hora de

estudiar el movimiento no puede ser analizado, pues si variamos las condiciones

deja de ser equilátero. Se trata entonces de considerar un triángulo isósceles y el

movimiento del vértice opuesto a la base, en cuyo caso la trayectoria del incentro

pasa por el circuncentro como ilustra la Figura 16. Este último caso muestra que

la distancia entre el incentro y el circuncentro puede llegar a valer cero en

algunos casos y no en otros. ¿De qué depende esta distancia? ¿Se puede expresar

en función de otros elementos del triángulo?

7. Trata de formular una conjetura sobre el lugar geométrico del incentro y los

excentros de un triángulo, a medida que uno de los vértices del mismo se mueve

a lo largo de la circunferencia circunscrita. Sé tan detallado como puedas.

Figura 15


Figura 16


Actividad X: Las bisectrices angulares de los triángulos (GS)


Ahora nos ocupamos de las bisectrices angulares de los triángulos en el contexto

del programa GS. También seguiremos una cobertura alterna a la de la actividad

IX. Se sabe que las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo también

son cevianas concurrentes, es decir, comparten un punto común llamado

“incentro” (que es el centro del círculo inscrito en el triángulo; demuéstralo). Es

posible presentar una discusión general sobre este problema, empleando curvas

paramétricas y explorando las situaciones “límites” de tales curvas (como en los

casos ortocentro y el baricentro). Pero hemos preferido seguir otro camino, ya

que en este caso la situación es mucho más complicada.

Figura 1

En la pantalla izquierda de la Figura 1 se aprecia un triángulo ABC, inscrito en

un círculo. Note que hemos dibujado las bisectrices de los ángulos internos del

triángulo desde los vértices A y C. Hemos dotado al punto de intersección de las

bisectrices angulares, el punto D, de la capacidad de generar un trazo cuando

éste se mueve. Luego, hemos empleado las funcionalidades del programa GS

para ocultar las bisectrices angulares mencionadas y hemos animado el punto B a


lo largo del círculo para examinar el trazo obtenido; ver Figura 2. Note que se ha

formado algo así como un lente visto de perfil, o una cuña, en el lado fijo del

triángulo. Queremos explorar la naturaleza de este trazo un tanto extraño.

Veamos.

Figura 2

Figura 3

Si animamos, por ejemplo el punto C, se observa un trazo similar al de la Figura

2; véase la Figura 3.


1. En este ejercicio te pedimos que pruebes que las bisectrices de los ángulos

internos de un triángulo son cevianas, es decir, son concurrentes.


2. Describe lo que ocurre si en lugar de tomar las bisectrices angulares internas,

también adicionamos una bisectriz externa. Por ejemplo, si revelamos todas las

partes ocultas de la figura que hemos construido, podemos prolongar el lado CA

mediante una recta y luego, ubicar un punto externo al triángulo, digamos E,

opuesto a C con respecto al punto A, como se muestra en la Figura 4. Luego,

como se muestra en la misma Figura, bisecamos el ángulo BAE y construimos la

intersección de esta bisectriz con la bisectriz interna que pasa por C y D. Luego,

ocultamos las rectas auxiliares que hemos dibujado, así como el punto externo E,

y trazamos el lugar geométrico de los dos puntos de intersección de las dos

bisectrices angulares, una de ellas externa. En la Figura 5 se puede apreciar el

nuevo lugar geométrico.


Figura 4

Figura 5

¿Qué hubiese ocurrido si hubiésemos prolongado el lado BA? ¿Hubiéramos

tenido acaso alguna situación diferente a la descrita en la Figura 5? ¿Tienes

alguna idea de lo que ocurre? Traza perpendiculares al segmento AB en los

puntos A y B y observa lo que ocurre; examina la Figura 6.

Figura 6

3. En la pantalla de la Figura 6 se observa el punto F, el cual es, en este caso, la

intersección de la bisectriz del ángulo externo formado por la prolongación de

AC en el extremo A y la bisectriz del ángulo C, (la bisectriz del ángulo externo

formado por la prolongación de AB en B y el lado AC también, se demuestra,


pasa por F). Decimos que el punto F es un excentro del triángulo ABC.

Ciertamente parecería que las Figuras 5 y 6 muestran porciones distintas de dos

“ciertas” circunferencias que se intersecan. También parecería que la “frontera”

que determina lo que se puede apreciar de las circunferencias del lugar

geométrico en la Figura 6 son las rectas perpendiculares al segmento AB en sus

extremos. Parecería además que las partes de las circunferencias que quedan

fuera de la franja del plano entre las dos paralelas son generadas por los

excentros que no hemos dibujado. Parece pues que hay una cierta conjetura en

“el aire”. En la próxima sección exploramos estas situaciones.

4. Con la ayuda de la calculadora dibuja un triángulo arbitrario ABC como se

muestra en la Figura 7. Define el punto I como la intersección de las bisectrices

de los ángulos interiores B y C del triángulo dado. Desde I traza perpendiculares

ID, IE e IF a los lados del triángulo AC, AB y BC respectivamente. (Nota que en

la Figura 7 se han ocultado algunas de las rectas o semirectas auxiliares

empleadas para la construcción de la figura). Utiliza los recursos del programa

para medir la longitud de los segmentos ID, IE e IF. ¿Qué observas? Compara las

medidas de los ángulos BAF y FAC. ¿Qué observas? Deforma el triángulo y

repite las medidas.


Figura 7

Para probar tus observaciones comienza por probar mediante congruencia de

triángulos que los triángulos BEI y BFI son congruentes y concluye que EI y FI

son congruentes. De la misma manera prueba la congruencia de los triángulos

FCI y DCI, también son congruentes para concluir que IF e ID son congruentes.

Concluye que I es el centro de un círculo tangente a los lados del triángulo

original, el círculo inscrito. Ahora demuestra que los triángulos EAI y DAI son

congruentes y concluye que los ángulos EAI y DAI son congruentes. Concluye

que las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo son cevianas

concurrentes del triángulo.

5. En este ejercicio te invitamos a explorar la relación entre la intersección de las

bisectrices de dos ángulos externos de un triángulo con la del ángulo interno

distante (es decir el ángulo interno que no comparte un vértice con los ángulos

externos). Deberás tener presente que la bisectriz de un ángulo es el lugar

geométrico de todos los puntos que están equidistantes de los lados del ángulo

dado. (Si tienes duda, demuéstralo). En la Figura 8 se ha trazado un triángulo

arbitrario ABC y se han trazado además las bisectrices de los ángulos externos


ACD y CAE (aquí D y E son puntos en las prolongaciones de los lados BA y BC

del triángulo ABC en la dirección de A y C respectivamente). El punto EX

(excentro) es el punto de intersección de las dos bisectrices construidas.

Figura 8

6. Traza el segmento de B a EX y mide los dos ángulos que se forman internamente

en el vértice B del triángulo. ¿Qué observas? Deforma el triángulo original y

vuelve a cotejar las medidas correspondientes. ¿Qué observas?

Explica por qué la distancia de EX al lado AC es la misma que la distancia a la

recta BCD. Explica que las distancias correspondientes al lado AC y a la recta

BAE son también iguales. Entonces el punto EX es equidistante de las rectas BAE

y BCD. Explica entonces porqué está en la bisectriz del ángulo B del triángulo

original. Concluye que las bisectrices de dos ángulos externos y la bisectriz del

ángulo interno correspondiente son concurrentes.

7. En este ejercicio volvemos al problema original de la determinación del lugar

geométrico del incentro y los excentros de un triángulo dado, a medida que uno

de sus vértices se mueve a lo largo del círculo circunscrito al triángulo. En el


ejercicio te pedimos que demuestres que el incentro y su excentro

correspondiente, así como los dos vértices del lado fijo del triángulo (los vértices

que no se mueven) forman un cuadrilátero “inscriptible”, es decir, un

cuadrilátero que se puede inscribir en una circunferencia. Este dato, ciertamente,

de ser cierto podría servirnos para describir el lugar geométrico deseado. En este

ejercicio necesitas recordar que un cuadrilátero es inscriptible si y sólo si sus

ángulos opuestos son suplementarios. Si nunca has visto este resultado debes

verificar su demostración en algún libro de Geometría o, mejor aún, probarlo tú

mismo. (Ciertamente está claro que la condición es necesaria, ¿por qué?)

En la Figura 9 hemos construido el triángulo ABC con su circunferencia

circunscrita y hemos dibujado el incentro I y el excentro correspondiente E.

Como bien puedes observar hemos ocultado varias rectas auxiliares necesarias

para la construcción del incentro y su excentro correspondiente. Utiliza las

funcionalidades del programa para medir los ángulos internos del cuadrilátero

IAEB. ¿Qué observas?

Si denotamos indistintamente los ángulos y sus medidas como es usual, entonces

demuestra que las medidas de los siguientes ángulos son las indicadas:

Ángulo IAB:

12

∠A

Ángulo BAE:

12

∠B + ∠C( )

Ángulo IBA:

12

∠B


Ángulo ABE:

12

∠A + ∠C( ) .

Figura 9

Concluye entonces que ∠IAB y ∠BAE son complementarios (lo cual es muy

interesante). Concluye además que ∠IAE y ∠IBE son suplementarios. Pero

entonces ∠AIB y ∠AEB también son suplementarios.

Figura 10

En la Figura 10 hemos trazado el círculo, y ubicamos su centro mediante la inter-

sección de las bisectrices perpendiculares de dos de los lados del cuadrilátero (en

nuestro caso, AI y BI) y hemos empleado a B como punto en la circunferencia.


Repite esta construcción por ti mismo. ¿Qué observas? Mueve el vértice C a lo

largo del círculo circunscrito al triángulo inicial. ¿Qué observas? Esto completa el

ejercicio.

Continuemos en nuestro intento por describir el lugar geométrico de los

incentros y los excentros a medida que el vértice C del triángulo inicial se mueve

a lo largo del circuncírculo del triángulo. Ahora debemos hacer que los puntos E

e I dejen trazos a medida que C se mueve a lo largo del círculo circunscrito. Nota

que las circunferencias “se invierten” y cambian de tamaño dependiendo del

lado de la cuerda AB en la que se encuentran el incentro o el excentro; véase

Figura 11.

Figura 11

Estas gráficas son interesantes ya que nos muestran dos circunferencias que

parecen ser los lugares geométricos deseados, y es evidente que nos las muestran

parcialmente. En nuestro caso, el círculo pequeño es el que empleamos en la

discusión del ejercicio anterior, pero, claramente, existe otra circunferencia que se

describe cuando el incentro cambia lados, respecto a la cuerda AB del circuncír-


culo.

8. Ahora queremos que consideres la Figura 12 en la que se muestra el triángulo

original con su circunferencia circunscrita y otra circunferencia que ahora

definimos.

Figura 12

Toma la cuerda BC (el lado fijo del triángulo) y dibuja su bisectriz perpendicular,

denotando por C1 y C2 las intersecciones de tal bisectriz con la circunferencia

original. Emplea a C1 como centro y toma la longitud del segmento desde C1 a B

(o a C, lo mismo da, ¿por qué?) como radio, traza un círculo como el que se

muestra. Toma un punto I en el círculo construido y dibuja un diámetro IC1E

como el que se muestra. Extiende el segmento en su extremo I hasta que toque la

circunferencia circunscrita en A como se muestra (lo cual define una posición del

triángulo inicial). Prueba que I es el incentro de ABC y que E es el excentro que

corresponde a A. [Sugerencias: Nota que los arcos BC1 y C1C son congruentes y

concluye que los ángulos BAC1 y C1AC son congruentes, ¿por qué? Esto


muestra que I está en la bisectriz del ángulo A del triángulo original y lo mismo

ocurre con E. Para terminar la demostración es suficiente demostrar que el rayo

BI biseca el ángulo B del triángulo original y que el rayo BE biseca el ángulo

externo del triángulo que se obtiene al prolongar el lado AB en B. Utiliza

primeramente la calculadora para verificar que la propiedad se cumple a medida

que el vértice A se mueve libremente sobre el círculo circunscrito. Nota que en

las Figuras 13 y 14 hemos extendido el lado a B en su extremo B con el fin de

poder medir los ángulos externos. ¿Qué observas? ¿Cómo se podría demostrar?].

Figura 13

Figura 14

En la Figura 14 hemos presentado una figura ampliada, con

construcciones auxiliares y que podría serte útil. Nota que como BAC y C1AC


son arcos congruentes (recuerda M es el punto medio de la cuerda BC y C1 es el

centro del círculo construido), entonces los ángulos correspondientes son

también congruentes, de manera que el rayo AI es en efecto la bisectriz del

ángulo A del triángulo original. (Recuerda que la bisectriz angular consiste de

todos los puntos equidistantes de los lados del ángulo dado). Para demostrar que

I es en efecto el incentro, tendrías que demostrar que los ángulos ABI e IBC son

congruentes. Una posibilidad es la siguiente: traza perpendiculares desde I hasta

el lado AB del triángulo (intersección J) y hasta el lado fijo del triángulo, es decir,

hasta BC (intersección K) y demuestra que el cuadrilátero IJBK es inscriptible.

Prueba que los segmentos IM e IJ son congruentes y concluye que los arcos

correspondientes son congruentes. Explica por qué de este dato podemos

concluir que los ángulos ABI e IBC son congruentes.

9. Repite una construcción análoga en el otro extremo de la cuerda BC para

demostrar que el punto diametralmente opuesto a I, es decir E, es el excentro

correspondiente.

10. Explica por qué todos los puntos escogidos I y E como en los ejercicios 5 y 6 cons-

tituyen todos los incentros y excentros correspondientes (opuestos a A respecto a

BC) del triángulo original. Recuerda que tres puntos diferentes definen una

circunferencia.

11. De los problemas 5 y 6 puedes apreciar que el lugar geométrico del incentro del

triángulo y el excentro opuesto al ángulo A del triángulo, está formado por los

puntos de dos circunferencias que quedan entre dos rectas paralelas (las


perpendiculares al segmento BC en sus extremos). Puedes apreciar, además que

las circunferencias cambian a medida que el incentro cambia lados respecto al

lado fijo del triángulo ABC. Explica por qué esto ocurre. Prueba que un punto en

cualquiera de las dos circunferencias que no quede en la franja definidas por las

rectas paralelas definidas anteriormente, es un excentro del triángulo.

12. Ahora completa la conjetura: El lugar geométrico del incentro y los excentros de

un triángulo, a medida que uno de sus vértices se mueve a lo largo de la

circunferencia circunscrita consiste de dos circunferencias… Sé tan explícito

como puedas.


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