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INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.
CALCULO SEMESTRE A
ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA
IBEROAMERICANO A.C
BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.
ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT
GRADO: 3° GRUPO: C
PROFESORA: OFELIA MERCEDES VALLADARES
IZQUIERDO
CÁLCULO
SEMESTRE A
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.
CALCULO SEMESTRE A
ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT
CICLO ESCOLAR: 2013-014
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C
BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.
ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT
GRADO: 3° GRUPO: C
PROFESORA: Ofelia Mercedes Valladares Izquierdo
CÁLCULO
CÁLCULO S e m e s t r e A
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.
CALCULO SEMESTRE A
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Portafolio Digital
SEMESTRE A
CICLO ESCOLAR: 2013-014
RELACIONES Y
FUNCIONES P R I M E R
P A R C I A L
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CALCULO SEMESTRE A
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INDICE
Relaciones y Funciones
Evaluación de Funciones
Tipos de Función
Operaciones con Funciones
Guía de examen
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CALCULO SEMESTRE A
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LIMITES S E G U N D O
P A R C I A L
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INDICE
Función por partes
Casos de limites
Aplicación de la definían de limite de
una función y sus propiedades
Limites en el infinito
Guía de examen
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CALCULO SEMESTRE A
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Introducción al Cálculo
Diferencial
Tercer Parcial
CÁLCULO
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INDICE
Limites de funciones exponenciales
Razón de cambio promedio
Razón de Cambio Instantáneo
Derivada de funciones
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CALCULO INTEGRAL
C u a r t o P a r c i a l
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INDICE
Trabajo Especial
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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT
Institución de Enseñanza Iberoamericano
Marquez Jorge Monserrat
3° C
Profesora: Ofelia Mercedes Izquierdo Valladares
Cálculo
TRABAJO ESPECIAL
Ciclo Escolar:
2013-2014
Semestre A
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA B.U.A.P.
CALCULO SEMESTRE A
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Introducción Posteriormente en base a este trabajo se podrá observar temas precisos que van acorde a todo lo
que hemos estado viendo en el transcurso del semestre, donde al ser investigados se podrán
analizar funciones expresadas en infinidad de maneras.
Máximos y Mínimos un tema importante dentro de esta área, considero en su totalidad, pues se
aplican las derivadas, podremos entender que dentro de nuestra área de salud no abordaremos
este tema a diferencia de otras carreras, sin embargo el dominar un poco el tema y ser conocedor
del formara parte de nuestra vida, teniendo en cuenta que podremos ayudar a alguien en caso de
una duda, entendemos que no tanto como un ingeniero sin embargo sabremos defendernos.
En base al tema como ya sabemos, la utilización de ecuaciones y variables serán como nuestros
amigos, pues no habrá momento en el que no aparezcan en estos casos, por lo tanto es
fundamental que se preste total atención, al leer los datos y analizar la función a maximizar o
minimizar, así mismo de entender los diferentes conceptos, y si es necesario buscar diferentes
graficas para que el dominio de este sea más práctico, como se mostrara más adelante.
Por otra parte, encontraremos una sección con el nombre de puntos de inflexión y concavidad,
para lo cual no hay ciencia alguna ni complejidad, podrá ser que en la resolución de los problemas
si, sin embargo la relación de un tema con otro van de la mano pues te explicara a detalle el cómo
sacar los puntos de dichas curvas formadas en las graficas.
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Índice
Pág. 6 - 7 Máximo Y Mínimo De Una Función
Pág. 7 - 9 Ejemplos
Pág. 10 Puntos de Inflexión Y Concavidad De La Curva
Pág. 10 - 12 Ejemplos
Pág. 13 Conclusión y Bibliografías
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Máximo Y Mínimo De Una Función
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier
otro punto del dominio de la función.
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier
otro punto del dominio de la función.
Máximo y mínimo relativo
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CALCULO SEMESTRE A
ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos
próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f (b) es menor o igual que los puntos
próximos al punto b.
Cálculo de los máximos y mínimos relativos
f (x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada
primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f’’ (−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f (1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4) Mínimo (1, 0)
EJEMPLOS
1. f ( x ) = x 3 − 3x + 2
f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = − 1 x = 1
Candidatos a extremos: − 1 y 1 .
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f''(x) = 6x
f’’ (−1) = −6 < 0 M áximo
f’’ (1) = 6 > 0 M ín imo
f (−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f (1 ) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
M áximo (−1, 4 ) M ínimo (1 , 0 )
2. f ( x ) = 3x − x 3
f'(x) = 3 − x2
f'(x) = 0 x= -1 x= 1
Candidatos a extremos: − 1 y 1 .
f"(8x) = -6x
f"(− 1) = 6 > 0 M ínimo
f"(1) = − 6 < 0 M áximo
f (−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2
f (1 ) = 3 · 1 − 1³ = 2
M áximo (− 1 , − 2) M ínimo (1 , 2 )
3. f(x)= x4 – 8x2+ 3
f'(x) = 4x3 – 16x 4x3 – 16x = 0
x= -2 x= 0 x=2
Candidatos a extremos: − 2 , 0 y 2 .
f''(x) = 12x2 – 16
f (−2) = (−2)4 − 8 · (− 2)² + 3 = − 13
f (0 ) = 04 − 8 · 0² + 3 = 3
f (2 ) = 2 4 − 8 · 2² + 3 = − 13
M áximos: (− 1 , − 13) , (2 , − 13) M ín imo (0 , 3 )
4. f(x)=x4-2x2-1
su derivada f'(x)=4x3-4x
y la derivada segunda f''(x)=12x2-4
Para calcular los extremos relativos hemos de:
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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Resolver la ecuación: f'(x)=4x3-4x=0
Soluciones: x=-1, x=0, x=-1
Calcular el signo de la segunda derivada en estos valores
x=-1, f'(x)=0, f''(x)>0 mínimo en (-1,-2)
x=0, f'(x)=0, f''(x) <0 máximo en (0,-1)
x=1, f'(x) = 0, f''(x)>0 mínimo en (1,-2)
5. Nuevamente conviene graficar para visualizar
el enunciado del problema. La figura
11.3 lo muestra. La recta tangente T está
formando un ángulo α = 50 grados con la
horizontal, se desea saber cuáles son las
coordenadas del punto P en donde pega
dicha recta con la parábola.
Derivando y = x2 − 4x + 6:
dy 2x 4
dx
= −
y como la derivada es la tangente (trigonométrica)
del ángulo que forma la recta tangente P(x, y)
a la curva, entonces
dy 2x 4 tan 50 α = 50
dx
= − =
Esto es
2x - 4 = tan 50
2x - 4 = 1.19175
2x = 1.19175 + 4
2x = 5.19175
5 19175
2
x =.
x = 2.59
Como se dijo que las variables x e y que aparezcan en la derivada son las coordenadas del punto
de tangencia, significa que este valor de x pertenece a la parábola; por lo tanto, sustituyendo
en su ecuación se obtiene el valor de la ordenada (y) del punto de tangencia P.
Así que sustituyendo en y = x2 − 4x + 6 el valor de x = 2.59 se obtiene:
( )2 ( ) y = 2.59 − 4 2.59 + 6
y = 6.7081 −10.36 + 6
y = 2.34
Las coordenadas del punto pedido son:
P(2.59 ; 2.34)
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Puntos de Inflexión Y Concavidad De La Curva
· Una función f(x) no lineal se dice que es convexa en un intervalo si f'' (x) ³ 0 en todo punto de
dicho intervalo. Por la primera propiedad de las funciones derivables, esto significa que f'(x) es una
función creciente en ese intervalo. Basta recordar el significado de la derivada para concluir que las
pendientes de las tangentes a la curva en los puntos de abscisa del citado intervalo aumentan
según se avanza de izquierda a derecha, por el eje de abscisas.
Es claro que en una función convexa las tangentes a la curva quedan por debajo de ésta.
· Una función f(x) se dice que es cóncava en un intervalo si f'' (x) £ 0 en todo punto de él. Por la
segunda propiedad de las funciones derivables, es tanto como decir que la función f'(x) es
decreciente, o lo que es equivalente, las pendientes de las tangentes a la curva disminuyen al
recorrer de izquierda a derecha los puntos de abscisa del intervalo considerado.
En una tal función las tangentes a la curva quedan por encima de ésta.
· La gráfica de una función f(x) tiene un punto de inflexión en un punto de abscisa a, si en el punto
(a,f(a)) la curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa.
¿Cómo se encuentran los puntos de inflexión?
Puesto que una función es convexa cuando f'' (x) ³ 0 y cóncava si f'' (x) £ 0, y el punto de inflexión
separa una concavidad de una convexidad, en él la segunda derivada, si existe, necesariamente
ha de ser nula. Por tanto, si en a hay un punto de inflexión, f''(a) = 0.
Sin embargo, hay puntos en los que la derivada segunda es cero sin que existan puntos de
inflexión en ellos.
EJEMPLOS
1.
Resolución:
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ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT · Igualando a cero la segunda derivada y teniendo en cuenta que una fracción es cero cuando su
numerador es cero,
· Puesto que el denominador es positivo, f''(x) es positivo cuando el numerador sea positivo, y
negativo si el numerador es negativo.
pues para h < 1, 3h < 3 y 2 3,46, por lo que 3h - 2 < 0
2. Hallar los puntos de inflexión de:
f(x) = x3 − 3x + 2
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
f (0) = (0)3 − 3(0) + 2 = 2
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CALCULO SEMESTRE A
ALUMNA: MARQUEZ JORGE MONSERRAT Punto de inflexión: (0, 2)
3.
4. .
5. Puntos de in f lex ión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa
o v iceversa.
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Hay un punto de in f lex ión en x = 0 , ya que la función pasa de convexa a cóncava.
Conclusión
La aplicación de estos diversos temas podrán parecer complejos y difíciles de entender, en cambio
el graficar y expresar las diversas curvas para saber si es mínimo tan solo se debe guiar en base a
un punto de referencia, refiriéndose en base al dominio de dicho ejemplo, en cambio al resolver un
ejemplo mediante ecuaciones podrá no parecer sencillo sin embargo, si se hace paso a paso lo
que se pide o te basas en algún ejemplo su resolución será mucho más fácil pues te estás
apoyando y basándote de algo que ya es correcto, en si podemos decir con seguridad que estos
temas no son complejos si uno se dedica a analizarlos e irlos enlazando con otros pues para
entenderle a todo esto se puede partir desde una simple grafica que nos enseñaron a realizar en
primaria, ya tan solo lo que podremos complicarnos en general, es en base a las formulas y su
despeje de estas, pero concluyendo en si son temas que nos dejan con miedo, pero en su totalidad
como grupo terminamos comprendiéndolo todo gracias a una buena clase, que llevamos parcial
con parcial.
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Bibliografía
http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html
http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm
http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html
http://www.vitutor.com/fun/5/x_e.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/
max_min_2.htm
http://www.fic.umich.mx/~lcastro/11%20maximos%20y%20minimos.pdf
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/concavyc.htm
http://www.vitutor.com/fun/5/c_11.html
http://www.vitutor.net/1/inflexion.html
http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_7_1.pdf
http://www.matematicaparatodos.com/SEXTO/6_10modelos.pdf